第6章 梁的应力

梁的应力计算公式全部解释应力是材料受力时产生的内部力，它是描述材料内部抵抗外部力的能力的物理量。

在工程领域中，计算材料的应力是非常重要的，可以帮助工程师设计和选择合适的材料，以确保结构的安全性和稳定性。

梁的应力计算公式是计算梁在受力时产生的应力的公式，它可以帮助工程师了解梁在不同条件下的应力情况，从而进行合理的设计和分析。

梁的应力计算公式是由弹性力学理论推导而来的，它可以根据梁的几何形状、受力情况和材料性质来计算梁的应力。

在工程实践中，梁的应力计算公式通常包括弯曲应力、剪切应力和轴向应力三种类型的应力。

下面将分别对这三种类型的应力计算公式进行详细解释。

1. 弯曲应力计算公式。

梁在受到外部力的作用时，会产生弯曲应力。

弯曲应力是由于梁在受力时产生的弯曲变形所引起的，它可以通过以下公式进行计算：σ = M c / I。

其中，σ表示梁的弯曲应力，单位为N/m^2；M表示梁的弯矩，单位为N·m；c表示梁截面内的距离，单位为m；I表示梁的惯性矩，单位为m^4。

弯曲应力计算公式可以帮助工程师了解梁在受力时产生的弯曲应力大小，从而进行合理的设计和分析。

在工程实践中，通常会根据梁的几何形状和受力情况选择合适的弯曲应力计算公式进行计算。

2. 剪切应力计算公式。

梁在受到外部力的作用时，会产生剪切应力。

剪切应力是由于梁在受力时产生的剪切变形所引起的，它可以通过以下公式进行计算：τ = V Q / (I b)。

其中，τ表示梁的剪切应力，单位为N/m^2；V表示梁的剪力，单位为N；Q 表示梁的截面偏心距，单位为m；I表示梁的惯性矩，单位为m^4；b表示梁的截面宽度，单位为m。

剪切应力计算公式可以帮助工程师了解梁在受力时产生的剪切应力大小，从而进行合理的设计和分析。

在工程实践中，通常会根据梁的几何形状和受力情况选择合适的剪切应力计算公式进行计算。

3. 轴向应力计算公式。

梁在受到外部力的作用时，会产生轴向应力。

轴向应力是由于梁在受力时产生的轴向变形所引起的，它可以通过以下公式进行计算：σ = N / A。

第6章梁的应力分析与强度计算梁是一种常见的结构构件，在建筑、桥梁、机械等领域都有广泛的运用。

在使用梁时，需要对其进行应力分析与强度计算，以确保其安全运行。

本章将介绍梁的应力分析与强度计算的基本原理和方法。

1.梁的应力分析梁的应力分析是指对梁内部各点的应力状态进行分析。

应力是指单位截面上受力的大小，常用的应力有轴力、弯矩和剪力。

对于梁的应力分析，主要有两个基本的方程：平衡方程和应变-位移关系。

1.1平衡方程平衡方程是指在梁内力平衡的条件下，梁内部各点的受力平衡。

对于梁来说，平衡方程可以表示为：∑Fx=0∑Fy=0∑M=0其中，∑Fx和∑Fy分别表示横截面上各点受力在X和Y方向的合力，∑M表示横截面上各点受力对横截面上其中一点产生的力矩。

通过求解平衡方程可以得到梁内力的分布情况。

1.2应变-位移关系应变-位移关系是指梁内部各点的应变与位移之间的关系。

梁的应变可以分为轴向应变、横向应变和剪应变三种，位移则可以分为平移位移和旋转位移。

应变-位移关系可以表示为：εx = du/dxεy = dv/dyγxy = (dudv + dvdx)/2其中，εx和εy分别表示横截面上各点的轴向应变，γxy表示横截面上各点的剪应变，du和dv分别表示横截面上各点的位移在X和Y方向上的微分。

2.梁的强度计算梁的强度计算是指根据应力分析的结果，对梁的强度进行评估。

梁的强度主要包括弯曲强度、剪切强度和扭转强度。

2.1弯曲强度弯曲强度是指梁在受到弯矩作用时的抗弯承载能力。

根据弯曲的理论，可以得到梁的最大正应力和最大剪应力。

对于矩形截面的梁来说，最大正应力和最大剪应力可以分别表示为：σmax = M * y / Iτmax = T * Q / It其中，M表示弯矩，y表示梁离中性轴的距离，I表示梁的惯性矩，T表示剪力，Q表示横截面的剪力传递量，It表示横截面的扭转惯性矩。

2.2剪切强度剪切强度是指梁在受到剪力作用时的抗剪承载能力。

第六章 弯曲变形分析梁是机械与工程结构中最常见的构件。

本章内容包括梁的内力、平面弯曲中横截面上的正应力和切应力分布规律，以及梁的变形计算。

6.1 梁的内力● 梁的概念当杆件受到矢量方向垂直于轴线的外力或外力偶作用时，其轴线将由直线变为曲线，如图6–1(a)。

以轴线变弯为主要特征的变形形式称为弯曲，凡是以弯曲变形为主的杆件，工程上称为梁，如车辆的轮轴、房屋的梁及桥梁等。

在分析计算中，通常用梁的轴线代表梁，如图6–1(b)。

在工程实际中，大多数梁都具有一个纵向对称面；而外力也作用在该对称面内。

在这种情况下，梁的变形对称于纵向对称面，且变形后的轴线也在对称图6–1 梁 图6–2 对称弯曲图6–3 梁的约束 图6–4 三类静定梁面内，即所谓的对称弯曲，如图6–2。

它是弯曲问题中最基本、最常见的情况。

本章只讨论梁的对称弯曲。

图6–3表示了梁的三种常见约束形式及相应的约束力：可动铰支座(图6–3(a))，固定铰支座(图6–3(b))和(平面)固定端约束(图6–3(c))。

在以上三种约束方式下，有三种常见的梁形式，如图6–4所示。

图6–4(a)为简支梁，两端分别为固定铰支座和活动铰支座；图6–4(b)为悬臂梁，一端固定端约束，一端自由；图6–4(b)为外伸梁，它是具有一个或两个外伸部分的简支梁。

这三种梁都是静定梁。

作用在梁上的外载荷，常见的有集中力偶M (图6–5(a))、分布载荷q (图6–5(b))和集中力F (图6–5(c))。

在实际问题中，q 为常数的均布载荷较为常见。

● 梁的剪力与弯矩在4.2中已经介绍了求杆件内力的通用方法，即截面法。

具体到梁，其内力分量为剪力和弯矩，规定当剪力相对于横截面的转向为顺时针为正，使杆件发生上凹下凸的弯矩为正，如图4–5(b)和(c)。

例6–1：如图6–6所示悬臂梁，受均布载荷q ，在B 点处受矩为2qa M =的力偶作用，试绘梁的剪力图与弯矩图。

解：设固定端的约束力和约束力偶为C R 和C M ，则由平衡方程00=-=∑qa R F C y ，qa R C =05.102=--⋅=∑C C M qa qa a m ，221qa M C = 以杆件左端为坐标原点，以B 为分界面，将梁分为AB 和BC 两段。

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图中的尺寸单位为mm 。

求：梁的1－1截面上A 、B 两点的正应力。

解：1。

计算梁的1－1截面上的弯矩：31m 110N 1m+600N/m 1m 1300N m 2M ⎛⎞=−××××=−⋅⎜⎟⎝⎠ 2。

确定梁的1－1截面上A 、B 两点的正应力：A 点：()336-3-315010m 1300N m 2010m 210Pa MPa ()10010m 15010m12z A z M y I σ−−⎛⎞×⋅×−×⎜⎟⎝⎠==×=××× 2.54拉应力 B 点：()3363-3-315010m 1300N m 4010m 216210Pa 162MPa ()10010m 15010m12..z A z M y I σ−−⎛⎞×⋅×−×⎜⎟⎝⎠===×=×××压应力6－2 加热炉炉前机械操作装置如图所示，图中的尺寸单位为mm。

其操作臂由两根无习题6－2图习题6－1图缝钢管所组成。

外伸端装有夹具，夹具与所夹持钢料的总重F P ＝2200 N ，平均分配到两根钢管上。

求：梁内最大正应力（不考虑钢管自重）。

6 混凝土梁承载力计算原理6.1 概述本章介绍钢筋混凝土梁的受弯、受剪及受扭承载力计算方法。

钢筋混凝土梁是由钢筋和混凝土两种材料所组成，且混凝土本身是非弹性、非匀质材料。

抗拉强度又远小于抗压强度，因而其受力性能有很大不同。

研究钢筋混凝土构件的受力性能，很大程度上要依赖于构件加载试验。

建筑工程中梁常用的截面形式如图6-1所示。

6.2 正截面受弯承载力6.2.1 材料的选择与一般构造1)截面尺寸为统一模板尺寸以便施工，现浇钢筋混凝土构件宜采用下列尺寸：梁宽一般为100mm、120mm、 150mm、180mm、 200mm、220mm、250和300mm，以上按b/，50mm模数递增。

梁高200～800mm，模数为50mm，800mm以上模数为100mm。

梁高与跨度只比lh/，主梁为1/8～1/12，次梁为1/15～1/20，独立梁不小于1/15（简支）和1/20（连续）；梁高与梁宽之比b在矩形截面梁中一般为2～2.5，在T形梁中为2.5～4.0。

2)混凝土保护层厚度为了满足对受力钢筋的有效锚固及耐火、耐久性要求，钢筋的混凝土保护层应有足够的厚度。

混凝土保护层最小厚度与钢筋直径，构件种类、环境条件和混凝土强度等级有关。

具体应符合下表规定。

表6-1 混凝土保护层最小厚度注：（1）基础的保护层厚度不小于40mm；当无垫层时不小于70mm。

（2）处于一类环境且由工厂生产的预制构件，当混凝土强度不低于C20时，其保护层厚度可按表中规定减少5mm，但预制构件中的预应力钢筋的保护层厚度不应小于15mm；处于二类环境且由工厂生产的预制构件，当表面另做水泥砂浆抹面层且有质量保证措施时，保护层厚度可按表中一类环境数值取用。

（3）预制钢筋混凝土受弯构件钢筋端头的保护层厚度不应小于10mm，预制肋形板主肋钢筋的保护层厚度应按梁的数值采用。

（4）板、墙、壳中分布钢筋的保护层厚度不应小于10mm，梁、柱中箍筋和构造钢筋的保护层厚度不应小于15mm。