上海市延安中学2020-2021学年高一上学期10月月考数学试题

2020-2021学年上海市长宁区延安中学高一（上）第一次月考数学试卷一、填空题（每题3分，共42分）.1．设集合A＝{﹣2，﹣1，0，1}，B＝{x|x＞0}，则A∩B＝．2．不等式x（x﹣2）＜0的解集是．3．已知集合A＝{x|（x﹣1）2≤0}，B＝（1，2]，则A∪B＝．4．设集合A＝{，2}，B＝{3，﹣5，y}，若A⊆B，则xy＝．5．用描述法表示被3除余2的所有自然数组成的集合．6．满足{a，b}⊊A⊆{a，b，c，d，e}的集合A有个．7．已知α：x2﹣3x+2≤0，β：x＜a，若α是β的充分条件，则满足条件的最小的整数a为．8．已知集合P＝{x|2x2+x﹣3＝0}，Q＝{x|mx＝1}，若Q⊂P，则实数m的取值集合为．9．若关于x的不等式ax2+bx+2＞0的解集是（﹣，），则bx2+ax＜0的解集为．10．已知关于x的方程x2+ax+3a＝0的两个实根为x1，x2，x12x2+x1x22＝﹣9，则实数a ＝．11．有四个命题：①a＞b⇒c﹣a＜c﹣b；②a＞b，c＞0⇒＜；③ac2＞bc2⇒a＞b；④a3＞b3⇒＝a＞|b|．其中正确的命题是．（填序号）12．若关于x的不等式组的解集非空，则实数a的取值范围是．13．若关于x的不等式（a﹣1）x2+（a﹣1）x+2＞0对一切实数x都成立，则实数a的取值范围是．14．设a∈R，若x＞0时，均有（ax﹣1）（x2﹣3ax﹣1）≥0，则a＝．二、选择题（每题3分，共12分）15．若α：（x﹣1）（x+3）≥0，β：x﹣1≥0，则α是β的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件16．已知集合A＝{（x，y）||x+1|+（y﹣2）2＝0，x∈R，y∈R}，B＝{（x，y）|xy≤0，x∈R，y∈R}，则（）A．A∈B B．A⊆B C．A⊇B D．A∩B＝∅17．命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为（）A．对任意x∈R，都有x2＜0B．不存在x∈R，都有x2＜0C．存在x0∈R，使得x02≥0D．存在x0∈R，使得x02＜018．设U为全集，S1、S2、S3是U的三个非空子集，且S1∪S2∪S3＝U，则下列论断正确的是（）A．∩（S2∪S3）＝∅B．S1⊆∩C．∩∩＝∅D．S1⊆∪三、解答题（本大题共46分，解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要步骤，）19．设集合A＝{x2，2x﹣1，﹣4}，B＝{x﹣5，1﹣x，9}，若A∩B＝{9}，求x的值及A∪B．20．设全集U＝R，P＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，Q＝{x|﹣3≤x﹣a≤3}．（1）若集合P∪Q＝Q，求实数a的取值范围；（2）若＝U，求实数a的取值范围．21．已知卡车从踩刹车到停车所滑行的距离s（米）与速度v（千米/小时）的平方和卡车总质量m（吨）的乘积成正比，设某辆卡车不装货物以60千米/小时的速度行驶时，从刹车到停车滑行了20米．（1）当这辆卡车不装货物以36千米/小时的速度行驶，从刹车到停车所滑行的距离为多少米？（2）如果这辆卡车装着等同于车重的货物行驶时，发现前面20米处有障碍物，卡车司机发现障碍物到踩刹车需经过1秒，这时为了能在离障碍物5米以外处停车，最大限制时速应是多少千米/小时？（结果精确到0.1）22．设集合S＝{a|a＝m2﹣n2，m，n，∈Z}．（1）判断元素3是否属于集合S，并说明理由；（2）设集合P＝{b|b＝2t+1，t∈Z}，证明：P⊂S；（3）设c＝4k﹣2（k∈Z），证明：c∉S．23．符号[x]表示不大于x的最大整数（x∈R），例如[1.3]＝1，[2]＝2，[﹣1.2]＝﹣2．（1）解方程[x]＝2；（2）设A＝{x|[x2]≤8}，B＝{x|x2﹣7kx+10k2≥0}，A∪B＝R，求实数k的取值范围；（3）求方程4x2﹣40[x]+51＝0的实数解．参考答案一、填空题（每题3分，共42分）1．设集合A＝{﹣2，﹣1，0，1}，B＝{x|x＞0}，则A∩B＝{1}．解：∵A＝{﹣2，﹣1，0，1}，B＝{x|x＞0}，∴A∩B＝{﹣2，﹣1，0，1}∩{x|x＞0}＝{1}．故答案为：{1}．2．不等式x（x﹣2）＜0的解集是（0，2）．解：方程x（x﹣2）＝0的两根为0、2，又函数y＝x（x﹣2）的图象开口向上，∴x（x﹣2）＜0的解集是（0，2），故答案为：（0，2）．3．已知集合A＝{x|（x﹣1）2≤0}，B＝（1，2]，则A∪B＝[1，2]．【分析】先求出集合A，由此能求出A∪B．解：∵集合A＝{x|（x﹣1）2≤0}＝{1}，B＝（1，2]，∴A∪B＝[1，2]．故答案为：[1，2]．4．设集合A＝{，2}，B＝{3，﹣5，y}，若A⊆B，则xy＝18．【分析】由已知中A⊆B，可得∈B，即＝3或＝﹣5（舍去），y＝2，解方程后进而求出xy．解：∵A＝{，2}，B＝{3，﹣5，y}，又∵A⊆B，∴＝3或＝﹣5（舍去），y＝2，解得x＝9，y＝2，即xy＝18．故答案为：18．5．用描述法表示被3除余2的所有自然数组成的集合{x|x＝3k+2，k∈N}．【分析】根据集合描述法的定义即可求出结果．解：用描述法表示被3除余2的所有自然数组成的集合为{x|x＝3k+2，k∈N}，故答案为：{x|x＝3k+2，k∈N}．6．满足{a，b}⊊A⊆{a，b，c，d，e}的集合A有7个．【分析】集合A一定要含有a、b两个元素，且至少要多一个，多的元素只能从c、d、e 中选，推出集合A可以是下面7个集合．解：A可以为{c，a，b}，{a，b，d}，{a，b，e}，{c，a，b，d}，{c，a，b，e}，{a，b，d，e}，{c，a，b，d，e}个数为7．故答案为：7．7．已知α：x2﹣3x+2≤0，β：x＜a，若α是β的充分条件，则满足条件的最小的整数a为3．【分析】先解一元二次不等式求出α：1≤x≤2，再利用充要条件的定义得到答案．解：∵α：x2﹣3x+2≤0，∴1≤x≤2，∵α是β的充分条件，∴{x|1≤x≤2}⊆{x|x＜a}，∴a＞2，∴满足条件的最小的整数a为3，故答案为：3．8．已知集合P＝{x|2x2+x﹣3＝0}，Q＝{x|mx＝1}，若Q⊂P，则实数m的取值集合为{0，1，}．【分析】求出集合P，由Q⊂P，分情况讨论①m＝0时，Q＝∅，②m≠0时，Q⊊P，可得﹣m＝1或m＝1，即可求实数m的取值集合．解：∵集合集P＝{x|2x2+x﹣3＝0}＝{﹣，1}，Q＝{x|mx﹣1＝0}，①m＝0时，Q＝∅，满足Q⊊P．②m≠0时，Q⊊P，可得﹣m＝1或m＝1，∴m＝﹣或1综上所述，实数m的取值范围：{0，﹣，1}．故答案为：{0，﹣，1}．9．若关于x的不等式ax2+bx+2＞0的解集是（﹣，），则bx2+ax＜0的解集为（﹣∞，﹣6）∪（0，+∞）．【分析】根据题意可得﹣和是方程ax2+bx+2＝0的两个根，所以﹣+＝﹣，（﹣）×＝，从而解出a与b的值即可求出bx2+ax＜0的解集．解：根据题意，﹣和是方程ax2+bx+2＝0的两个根，则﹣+＝﹣；（﹣）×＝，解得a＝﹣12，b＝﹣2，则bx2+ax＜0等价于﹣2x2﹣12x＜0，即x2+6x＞0，解得x＜﹣6或x＞0，所以该不等式的解集为（﹣∞，﹣6）∪（0，+∞）．10．已知关于x的方程x2+ax+3a＝0的两个实根为x1，x2，x12x2+x1x22＝﹣9，则实数a＝．【分析】首先求得实数a的取值范围，然后利用韦达定理得到关于a的方程，解方程即可确定实数a的值．解：方程存在实数根，则Δ＝a2−12a≥0，∴a∈（−∞，0]∪[12，+∞），由题意结合韦达定理可得：x1+x2＝−a，x1x2＝3a，则：，解得：，其中时方程没有实数根，故．故答案为：．11．有四个命题：①a＞b⇒c﹣a＜c﹣b；②a＞b，c＞0⇒＜；③ac2＞bc2⇒a＞b；④a3＞b3⇒＝a＞|b|．其中正确的命题是①③．（填序号）【分析】直接利用不等式的性质，作差法，配凑法的应用判断①②③④的结论．解：对于①a＞b，根据不等式的性质，c﹣a＜c﹣b，故①正确；对于②a＞b，c＞0，由于a和b的符号不确定，故＜不一定成立，故②错误；对于③ac2＞bc2⇒a，根据不等式的性质，a＞b成立，故③正确；对于④a3＞b3⇒，整理得a＞b，故④错误．故答案为：①③．12．若关于x的不等式组的解集非空，则实数a的取值范围是（﹣1，3）．【分析】先解不等式组，再由其解集非空，可得a2﹣2a﹣3＜0，解之即可．解：不等式组可化为，∵该不等式组的解集非空，∴a2+1＜2a+4，即a2﹣2a﹣3＜0，解得﹣1＜a＜3，∴实数a的取值范围是（﹣1，3）．故答案为：（﹣1，3）．13．若关于x的不等式（a﹣1）x2+（a﹣1）x+2＞0对一切实数x都成立，则实数a的取值范围是[1，9）．【分析】根据已知，x的最高次幂的系数是否为0，利用二次函数的性质解决．解：∵（a﹣1）x2+（a﹣1）x+2＞0对一切实数x都成立，①当a﹣1＝0，即a＝1时，2＞0，对于一切实数x都成立；②当a﹣1≠0时，必有，解得：1＜a＜9，综合①②，得实数a的取值范围为[1，9）．故答案为：[1，9）．14．设a∈R，若x＞0时，均有（ax﹣1）（x2﹣3ax﹣1）≥0，则a＝．【分析】构造函数y1＝ax﹣1，y2＝x2﹣2ax﹣1，它们都过定点P（0，﹣1），确定a＞0，利用函数y2＝x2﹣2ax﹣1过点M（，0）解方程求出a的值．解：构造函数y1＝ax﹣1，y2＝x2﹣3ax﹣1，它们都过定点P（0，﹣1）．考查函数y1＝ax﹣1，令y＝0，得M（，0），所以a＞0；考查函数y2＝x2﹣3ax﹣1，显然过点M（，0），代入得：﹣3﹣1＝0，解得：a＝，或a＝﹣（舍去）．所以a＝．故答案为：．二、选择题（每题3分，共12分）15．若α：（x﹣1）（x+3）≥0，β：x﹣1≥0，则α是β的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】直接根据充分条件和必要条件的定义即可判断．解：由（x﹣1）（x+3）≥0，解得x≤﹣3或x≥1，由x﹣1≥0，解得x≥1，则由α不能推出β，但由β能推出α，故α是β的必要不充分条件，故选：A．16．已知集合A＝{（x，y）||x+1|+（y﹣2）2＝0，x∈R，y∈R}，B＝{（x，y）|xy≤0，x∈R，y∈R}，则（）A．A∈B B．A⊆B C．A⊇B D．A∩B＝∅【分析】先由题意求出集合A，B，再根据集合的包含关系求解即可得到答案．解：由题意可得A＝{（﹣1，2）}，B＝{（x，y）|xy≤0，x∈R，y∈R}，又有﹣1×2＝﹣2≤0，所以A⊆B，故选：B．17．命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为（）A．对任意x∈R，都有x2＜0B．不存在x∈R，都有x2＜0C．存在x0∈R，使得x02≥0D．存在x0∈R，使得x02＜0【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出命题的否定命题即可．解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为．存在x0∈R，使得x02＜0．故选：D．18．设U为全集，S1、S2、S3是U的三个非空子集，且S1∪S2∪S3＝U，则下列论断正确的是（）A．∩（S2∪S3）＝∅B．S1⊆∩C．∩∩＝∅D．S1⊆∪【分析】根据公式∁U（A∩B）＝（∁U A）∪（∁U B），∁U（A∪B）＝（∁U A）∩（∁U B），即可推出正确的结论．【解答】解法一：∵S1∪S2∪S3＝U，∴∁U S1∩∁U S2∩∁U S3＝∁U（S1∪S2∪S3）＝∁U U＝∅．解法二：由S1∪S2∪S3＝U，所以∁U S2＝S1∪S3，∁U S1∩∁U S2＝S3，∁U S3＝S1∪S2，所以∁U S1∩∁U S2∩∁U S3＝∅．故选：C．三、解答题（本大题共46分，解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要步骤，）19．设集合A＝{x2，2x﹣1，﹣4}，B＝{x﹣5，1﹣x，9}，若A∩B＝{9}，求x的值及A∪B．【分析】根据A与B的交集为9，得到x2＝9或2x﹣1＝9，代入检验求出x的值，确定出A与B，求出两集合的并集即可．解：∵集合A＝{x2，2x﹣1，﹣4}，B＝{x﹣5，1﹣x，9}，且A∩B＝{9}，∴x2＝9或2x﹣1＝9，解得：x＝3或﹣3或5，当x＝3时，A＝{﹣4，9，5}，B＝{9，﹣2}，不合题意；当x＝﹣3时，A＝{﹣4，9，﹣7}，B＝{9，4，﹣8}，符合题意；当x＝5时，A＝{﹣4，9，25}，B＝{9，0，﹣4}，不合题意，∴x的值为﹣3，即A＝{﹣4，9，﹣7}，B＝{9，4，﹣8}，则A∪B＝{﹣4，﹣8，﹣7，4，9}．20．设全集U＝R，P＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，Q＝{x|﹣3≤x﹣a≤3}．（1）若集合P∪Q＝Q，求实数a的取值范围；（2）若＝U，求实数a的取值范围．【分析】（1）求出集合P，由集合P∪Q＝Q，得P⊆Q，列不等式组能求出实数a的取值范围；（2）由＝U，得P∩Q＝∅，从而a+3≤﹣2或a﹣3≥3，由此能求出实数a的取值范围．解：（1）全集U＝R，P＝{x|x2﹣x﹣6＜0}＝{x|﹣2＜x＜3}，Q＝{x|﹣3≤x﹣a≤3}＝{x|a﹣3≤x≤a+3}，∵集合P∪Q＝Q，∴P⊆Q，∴，解得0≤a≤1，∴实数a的取值范围是[0，1]；（2）∵＝U，∴P∩Q＝∅，∴a+3≤﹣2或a﹣3≥3，解得a≤﹣5或a≥6，∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣5]∪[6，+∞）．21．已知卡车从踩刹车到停车所滑行的距离s（米）与速度v（千米/小时）的平方和卡车总质量m（吨）的乘积成正比，设某辆卡车不装货物以60千米/小时的速度行驶时，从刹车到停车滑行了20米．（1）当这辆卡车不装货物以36千米/小时的速度行驶，从刹车到停车所滑行的距离为多少米？（2）如果这辆卡车装着等同于车重的货物行驶时，发现前面20米处有障碍物，卡车司机发现障碍物到踩刹车需经过1秒，这时为了能在离障碍物5米以外处停车，最大限制时速应是多少千米/小时？（结果精确到0.1）【分析】（1）由题意，s＝kv2m，设卡车不装货物的重量为m0，得k＝，进一步求得v＝36千米/小时的s值即可；（2）求出刹车后滑行的距离，由题意可得＜15，求解不等式得答案．解：（1）由题意，s＝kv2m，设卡车不装货物的重量为m0，则20＝3600km0，得k＝，当v＝36千米/小时，s＝＝7.2（米）．∴当这辆卡车不装货物以36千米/小时的速度行驶，从刹车到停车所滑行的距离为7.2米；（2）卡车司机发现障碍物到踩刹车需经过1秒，行驶的路程为（米）．刹车会滑行的距离为（米）．故需满足＜15，整理得：v2+25v﹣1350＜0，又v＞0，解得：0＜v＜≈26.31．∴最大限制时速应是26.3千米/小时．22．设集合S＝{a|a＝m2﹣n2，m，n，∈Z}．（1）判断元素3是否属于集合S，并说明理由；（2）设集合P＝{b|b＝2t+1，t∈Z}，证明：P⊂S；（3）设c＝4k﹣2（k∈Z），证明：c∉S．【分析】（1）可知当m＝2，n＝1时，m2﹣n2＝3；（2）令m＝t+1，n＝t，可证明P⊆S，且0∈S，0∉P，从而证明P⊂S；（3）利用反证法证明c∉S．解：（1）当m＝2，n＝1时，m2﹣n2＝3，故3∈S；（2）证明：对任意b＝2t+1，t∈Z，令m＝t+1，n＝t，则2t+1＝m2﹣n2∈S，故P⊆S，又∵当m＝2，n＝2时，m2﹣n2＝0∈S，0∉P，∴P⊂S；（3）证明：假设c∈S，则存在m，n∈Z，使得c＝m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n），①若m、n一个为奇数，一个为偶数，则m+n、m﹣n都为奇数，则c为奇数，与c＝4k﹣2（k∈Z）是偶数矛盾，②若m，n两个数都是奇数或两个数都是偶数，则m+n．m﹣n都为偶数，则c为4的倍数，与c＝4k﹣2＝2（2k﹣1）（k∈Z）矛盾，故c∉S．23．符号[x]表示不大于x的最大整数（x∈R），例如[1.3]＝1，[2]＝2，[﹣1.2]＝﹣2．（1）解方程[x]＝2；（2）设A＝{x|[x2]≤8}，B＝{x|x2﹣7kx+10k2≥0}，A∪B＝R，求实数k的取值范围；（3）求方程4x2﹣40[x]+51＝0的实数解．【分析】（1）由[x]表示不大于x的最大整数，即可求解．（2）由题意可知x2＜9，求出集合A，再对k分情况讨论，根据A∪B＝R，即可求出k 的取值范围．（3）当x≤0时，[x]≤0，显然不满足方程，当x＞0时[x]2≤x2＜（[x]+1）2，所以，令t＝[x]，整理可得，，求出t 的值，从而得到方程的解．解：（1）∵[x]表示不大于x的最大整数，∴若[x]＝2，则2≤x＜3，即解方程[x]＝2的解集为{x|2≤x＜3}．（2）∵[x2]≤8，∴x2＜9，∴﹣3＜x＜3，∴A＝{x|﹣3＜x＜3}，B＝{x|（x﹣2k）（x﹣5k）≥0}，①当k＝0时，B＝R，满足题意，②当k＞0时，B＝（∞，2k]∪]5k，+∞），∵A∪B＝R，∴5k≤3，∴0，③当k＜0时，B＝（∞，5k]∪]2k，+∞），∵A∪B＝R，∴5k≥﹣3，∴，综上所述，k．（3）当x≤0时，[x]≤0，显然不满足方程，当x＞0时，[x]≥0，由[x]≤x＜[x]+1，可得[x]2≤x2＜（[x]+1）2，∴，令t＝[x]，整理可得，，求解得：，即t∈，又t∈N，∴t＝2，6，7，8，当[x]＝2时，4x2﹣29＝0，解得x＝；当[x]＝6时，4x2﹣189＝0，解得x＝；当[x]＝7时，4x2﹣229＝0，解得x＝；当[x]＝8时，4x2﹣269＝0，解得x＝，经检验，以上四个解都是方程的解．。

2020-2021学年第一学期10月份第一次月考试卷高一数学试卷参考答案2020.10考试范围：人教A 版必修第一册第一、二章考试时间：120分钟一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．D 解析：由(6)(1)0x x -+<，得16x -<<，从而有{}16B x x =-<<，所以{}14A B x x ⋂=-<<，故选：D .2．B 解析：集合{}0,1,2,3,4,5A =，{{}2B x y x x ===≥，所以{}U 2B x x =<ð.图中阴影部分表示的集合为(){}U 0,1A B ⋂=ð.故选：B 3．A 解析：因为甲是乙的充要条件，所以乙⇔甲；又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙⇒乙，但乙⇒丙．综上，丙⇒甲，但甲⇒丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．故选A .4．A 解析：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“[]1,3x ∀∈-，2320x x -+≤”的否定为“[]01,3x ∃∈-，200320x x -+>”．故选A ．5．B 解析：对于A ，若22ac bc >，则0c ≠，2222ac bc c c >，即a b >，故正确；对于B ，根据不等式的性质，若0a b <<，不妨取2,1a b =-=-，则22a b >，故题中结论错误；对于C ，若0a b >>，则a b ab ab>，即11a b <，故正确；对于D ，若0a b <<,0c d >>，则0a b ->->，故ac bd ->-，ac bd <，故正确.故选B .6．B 解析：0a > ，0b >，且21a b +=，120b a ∴=->，解得102a <<．∴12122(1)1212122(1)(2321111a a a a a a a a b a a a a a a a a ---+=+=+-=+-+-=++-+----11+=+ ，当且仅当1a =，3b =-时取等号．∴12aa a b++有最小值1+．故选：B ．7．C 解析：解：不等式210x mx -+<的解集为空集，所以0∆≤，即240m -≤，解得22m -≤≤．故选：C ．8．B 解析：依题意2() 4.914.717h t t t =-++234.928.0252t ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，故当32t =时，()max 28.02528m h t =≈.故选B .二、多项选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．ABD 解析：由于M N ⊆，即M 是N 的子集，故M N M ⋂=，M N N ⋃=，从而M M N ⊆⋂（），()M N N ⋃⊆.故选ABD .10．AC 解析：对于选项A ，由327x =-得293x x =-⇒=，但是3x =适合29x =，推出32727x =≠-，故A 正确；对于选项B ，在ABC ∆中，222AB AC BC ABC +=⇒∆为直角三角形，但ABC ∆为直角三角形222AB AC BC ⇒+=或222AB BC AC +=或2221BC AC AB +=，故B 错误；对于选项C ，由220,a b a b +≠⇒不全为0，反之，由a ，b 不全为2200a b ⇒+≠，故D 正确；对于选项D ，结论“四边形是菱形”推不出条件“四边形是正方形”，因此必要条件不成立.故选：AC .11．AB 解析：对A ,2211224a b ab +⎛⎫⎛⎫≤== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,当且仅当12a b ==时取等号.故A 正确.对B ,22a b a b a b =+++++=≤,当且仅当12a b ==时取等号.故B 正确.对C ,()1111224b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+⎝= ⎪⎭.当且仅当12a b ==时取等号.所以11a b+有最小值4.故C 错误.对D ,()222121a b a ab b +=⇒++=≤2a +()222a b b ++,即2212a b +≥,故22a b +有最小值12.故D 错误.故选：AB 12．ABD 解析：由23344x x b -+≤得23121640x x b -+-≤，又1b <，所以()4810b ∆=-<，从而不等式23344a x x b ≤-+≤的解集为∅，故A 正确.当1a =时，不等式23344a x x ≤-+就是2440x x -+≥，解集为R ，当4b =时，不等式23344x x b -+≤就是240x x -≤，解集为{}04x x ≤≤，故B 正确.由23344a x x b ≤-+≤的解集为{}x a x b ≤≤，知min a y ≤，即1a ≤，因此当x a =，x b =时函数值都是b .由当x b=时函数值是b ，得23344b b b -+=，解得43b =或4b =.当43b =时，由2343443a a b -+==，解得43a =或83a =，不满足1a ≤，不符合题意，故C 错误.当4b =时，由233444a ab -+==，解得0a =或4a =，0a =满足1a ≤，所以0a =，此时404b a -=-=，故D 正确.故选：A B D三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.13．4解析：由题得满足关系式{}{}2,31,2,3,4A ⊆⊆的集合A 有：{2,3},{1,2,3},{2,3,4},{1,2,3,4}.所以集合A 的个数为4.故答案为414．充分非必要解析：令命题:2p x y +≠-，命题:q x ，y 不都为1-；:2p x y ⌝+=-，:q x ⌝，y 都是1-，则当x ，y 都是1-时，满足2x y +=-，反之当1x =，3y =-时，满足2x y +=-，但x ，y 都是1-不成立，即q ⌝是p ⌝充分非必要条件，则根据逆否命题的等价性知p 是q 的充分非必要条件，故答案为：充分非必要．15．16解析：0a >，1b >且210a b b +=⇒->且()11a b +-=∴()()91919111010616111b a a b a b a b a b -⎛⎫+=++-=++≥+=⎡⎤ ⎪⎣⎦---⎝⎭当且仅当()911b a a a -=-取等，又2a b +=，即34a =，54b =时取等号，故所求最小值16．故答案为：1616．0解析：由根与系数的关系可知()11{0,01m m m b b m m a++=∴==+=四、解答题:本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．解：（1）若1A ∈，则210,1m m -+=∴=1a ∉ ，∴实数m 的取值范围为：{}1m m ∈≠R ……………4分（2）选①：若A =∅，则关于x 的方程2210mx x -+=没有实数解，所以0m ≠，且440m ∆=-<，所以1m >……………10分选②：若A 恰有两个子集，则A 为单元素集，所以关于x 的方程2210mx x -+=恰有一个实数解，讨论：①当0m =时，12x =，满足题意；②当0m ≠时，Δ440m =-=，所以1m =.综上所述，m 的集合为{}0,1……………10分选③：若1,22A ⎛⎫⋂≠∅ ⎪⎝⎭，则关于x 的方程221mx x =-在区间1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭内有解，等价于当1,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，求2221111m x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭的值域，所以](0,1m ∈……………10分18．解：（1）122x x +>-等价于()()12220x x x ⎧+->⎨-≠⎩，解得25x <<:25p x ∴<<，由p ⌝为真知：2x ≤或5x ≥……………6分（2）q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，则q 是p 的必要不充分条件.故2:50q x ax -+>对于任意25x <<恒成立，故5a x x<+，由基本不等式可知5x x+≥x =a <……12分19．解：（1）因为0x >，0y >，所以x y +≥，由2x y xy +=，得2xy ≥1≥，1xy ≥，当且仅当1x y ==时，等号成立……………6分（2）由2x y xy +=得112x y+=.2111223222x x x y y y x x x x y x x ⎛⎫+=++=++≥+≥ ⎪⎝⎭.当且仅当2x y x=，且0x <时，两个等号同时成立.即当且仅当12x =-且14y =，2y x x +的最小值是32……………12分20．（1）由题意可知，月处理成本y （元）与月处理量x （吨）之间的函数关系可近似地表示为()21200800004006002y x x x =-+≤≤，所以，每吨二氧化碳的平均处理成本为1800002002y x x x =+-，由基本不等式可得200200y x ≥=（元），当且仅当1800002x x=时，即当400x =时，等号成立，因此，该单位每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低……………6分（2）()()222111100200800003008000030035000222f x x x x x x x ⎛⎫=--+=-+-=--- ⎪⎝⎭400600x ≤≤ ，函数()f x 在区间[]400,600上单调递减，当400x =时，函数()f x 取得最大值，即()()max 40040000f x f ==-.所以，该单位每月不能获利，国家至少需要补贴40000元才能使该单位不亏损……12分21．解：(1)()()2210⎡⎤-+-=---≤⎣⎦x x a a x a x a ，当1a a <-（12a <）时，不等式解集为{|1}x a x a ≤≤-；当1a a >-（12a >）时，不等式解集为{|1}x a x a -≤≤；当1a a =-（12a =）时，不等式解集为1{|}2x x =.所以，当1 2a <时，不等式解集为{|1}A x a x a =≤≤-；当1 2a =时，不等式解集为12A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭；当1 2a >时，不等式解集为{|1}A x a x a =-≤≤……………8分(2)由上(1)，1 2a >时，() {|1}1,1A x a x a =-≤≤⊆-，所以111a a ->-⎧⎨<⎩，得1a <，所以，实数a 的取值范围112a <<……………12分22．解：(1)函数24y x mx =++的图象开口向上，对称轴为2m x =-，在区间[]1,2上的最大值，分两种情况：①322m -<（3m >-）时，根据图象知，当2x =时，函数取得最大值82max y m =+；②322m -≥（3m ≤-）时，当1x =时，函数取得最大值5max y m =+.所以，当3m >-时,82max y m =+；当3m ≤-时,5max y m =+……………7分(2)[] 1,20x y ∈<，恒成立，只需在区间[]1,2上的最大值0max y <即可，所以(1)0(2)0f f <⎧⎨<⎩，得45m m <-⎧⎨<-⎩，所以实数m 的取值范围是5m <-……………12分。

上海市高一上学期数学10月月考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）已知全集，，，则（）A .B .C .D .2. （2分） (2020高一上·林芝期末) 函数的定义域为（）A .B .C .D .3. （2分） (2019高一上·吴忠期中) 下列式子正确的是（）.① ②③ 且④ 且A . ①③B . ②④C . ①④D . ②③4. （2分）已知函数f（x）=a2﹣x（a＞0且a≠1），当x＞2时，f（x）＞1，则f（x）在R上（）A . 是增函数B . 是减函数C . 当x＞2时是增函数，当x＜2时是减函数D . 当x＞2时是减函数，当x＜2时是增函数5. （2分） (2016高一下·随州期末) f（x）= ，则f（f（﹣1））等于（）A . ﹣2B . 2C . ﹣4D . 46. （2分）已知2m＞2n ，则m，n的大小关系为（）A . m＞nB . m≥nC . m＜nD . m≤n7. （2分） (2018高一上·会泽期中) 计算：的值为（）A .B .C .D .8. （2分） (2019高一上·番禺期中) 函数是上的减函数，则的取值范围是（）A . （0，1）B .C .D .9. （2分）已知函数的值域为C，则（）A .B .C .D .10. （2分）若函数f（x）是一次函数，且f（f（x））=4x﹣1，则f（x）=（）A . 2x﹣B . 2x﹣1C . ﹣2x+1D . 2x﹣或﹣2x+111. （2分） (2017高三上·济宁开学考) 已知函数f（x）满足f（x）•f（x+2）=2，若f（3）=2，则f（2017）=（）A . 2B . ﹣2C . 4D . 112. （2分） (2019高二上·双流期中) 焦点在x轴上的椭圆的离心率e= ，F ， A分别是椭圆的左焦点和右顶点，P是椭圆上任意一点，则的最大值为（）A . 4B . 6C . 8D . 10二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）已知函数且，则实数 ________．14. （1分） (2019高三上·台州期末) 已知则 ________；不等式的解集为________．15. （1分） (2016高一上·江阴期中) 已知定义在实数集R上的偶函数f（x）在区间[0，+∞）上是单调增函数，若f（x2﹣2）＜f（2），则实数x的取值范围________．16. （1分） (2019高二下·萨尔图期末) 某同学在研究函数时，给出下列结论：①对任意成立；②函数的值域是；③若，则一定有；④函数在上有三个零点．则正确结论的序号是________.三、解答题 (共6题；共65分)17. （15分）(2019高一上·东至期中) 已知全集，集合，，．（1）求；（2）若，求实数的值．18. （15分）(2018·曲靖模拟) 已知数，其中为自然对数底数（1）讨论函数的单调性；（2）若a＞0，函数对任意的都成立，求a＋b的最大值.19. （5分） (2016高一上·济南期中) 解答题（1）若f（x+1）=2x2+1，求f（x）的表达式；（2）若函数f（x）= ，f（2）=1，又方程f（x）=x有唯一解，求f（x）的表达式．20. （5分） (2019高一上·包头月考) 画出函数y＝－x2＋2|x|＋1的图象并写出函数的单调区间．21. （10分） (2019高一上·赤峰月考) 已知函数， .（1）解方程；（2）判断在上的单调性，并用定义加以证明；（3）若不等式对恒成立，求m的取值范围.22. （15分）(2018·张家口期中) 已知函数．（1）求函数y＝f（x）的单调区间；（2）若对于∀x∈（0，+∞）都有成立，试求m的取值范围；（3）记g（x）＝f（x）+x﹣n﹣3．当m＝1时，函数g（x）在区间[e﹣1 ， e]上有两个零点，求实数n的取值范围．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共65分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、22-3、。

2021年高一上学期10月份月考数学试题 Word版含答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡．．．相应位置上．．．．．.1.若用列举法表示集合，则集合2.下列各式中，正确的序号是②④⑤①0={0}；②0∈{0}；③{1}∈{1，2，3}；④{1，2}{1，2，3}；⑤{a，b}{a，b}．3.已知全集,集合,,则集合4.已知全集，集合，，那么集合=．或5.下列函数中（2）与函数是同一个函数（1）；（2）；（3）（4）．6.函数的定义域为7.设函数则的值为8.若函数，则使得函数值为的的集合为9.已知是奇函数，则实数=____________010.函数函数的单调增区间是11.如图，函数的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0,4),(2,0),(6,4)，则_________212.下列两个对应中是集合A到集合B的映射的有（1）（3）（1）设A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6，7，8，9},对应法则；（2）设,,对应法则（3）设，对应法则除以2所得的余数；（4），对应法则13.已知奇函数在定义域R上是单调减函数，且，则的取值范围是14. 已知函数是(-∞,+∞)上的单调减函数,那么实数的取值范围是(0,2]二、解答题：本大题共6小题, 共计90 分. 请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答, 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（1）设A＝{－4,2a－1，a2}，B＝{a－5,1－a,9}，已知A∩B＝{9}，求a的值，并求出A∪B.（2）已知集合{}{},1x=mm≤-xx≤BxA满足5=|23,-≤≤|+求实数的取值范围.解（1）∵A∩B＝{9}，∴9∈A，所以a2＝9或2a－1＝9，解得a＝±3或a＝5.当a＝3时，A＝{9,5，－4}，B＝{－2，－2,9}，B中元素违背了互异性，舍去．当a＝－3时，A＝{9，－7，－4}，B＝{－8,4,9}，A∩B＝{9}满足题意，故A∪B＝{－7，－4，－8,4,9}．当a＝5时，A＝{25,9，－4}，B＝{0，－4,9}，此时A∩B＝{－4,9}，与A∩B＝{9}矛盾，故舍去．综上所述，a＝－3，A∪B＝{－7，－4，－8,4,9}．（2）由题意知,要满足必须,即16.已知函数,x∈[3,5].(1) 判断函数的单调性,并证明;(2) 求函数的最大值和最小值.解：(1) 任取x1,x2∈[3,5]且x1<x2.f(x1)-f(x2)=-=,因为3≤x1<x2≤5,所以x1-x2<0,(x1+2)(x2+2)>0.所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2).所以f(x)在[3,5]上为增函数.(2) 由(1)知f(x)max=f(5)=,f(x)min=f(3)=.17．已知函数(1)求在区间[0，3]上的最大值和最小值；(2)若在[2,4]上是单调函数，求的取值范围．解(1)∵, x∈[0，3]，对称轴,开口向下,∴f (x )的最大值是f (1)＝3，又f (0)＝2，f (3)＝，所以f (x )在区间[0，3]上的最大值是3，最小值是.(2)∵,函数对称轴是,开口向下,又在[2,4]上是单调函数∴≤2或≥4，即或.故m 的取值范围是或.18．已知定义域为的奇函数，当 时,.（1）当时，求函数的解析式；（2）求函数解析式；（3）解方程．解: （1）当时,, 所以22()()()()3()3(0);f x f x f x f x x f x x x ∴-=-∴-=-∴=-+<是奇函数 ………… 5分 （2）因为函数是定义域为的奇函数,所以,则 ………10分 （3） 当时，方程即，解之得；当时，方程即，解之得()；当时，方程即，解之得().综上所述，方程的解为，或，或. ………16分19．设函数,（）.(1) 求证:是偶函数;(2) 画出函数的图象，并指出函数的单调区间,并说明在各个单调区间上是单调递增还是单调递减;(3) 求函数的值域.解： (1) 因为,所以f(x)的定义域关于原点对称.对定义域内的每一个x,都有f(-x)=f(x),所以f(x)是偶函数.(2) 当0≤x≤4时,f(x)=x 2-2x-3=(x-1)2-4;当-4≤x<0时,f(x)=x 2+2x-3=(x+1)2-4.函数f(x)的图象如图所示.由图知函数f(x)的单调区间为[-4,-1),[-1,0),[0,1),[1,4].f(x)在区间[-4,-1)和[0,1)上单调递减,在[-1,0)和[1,4]上单调递增.(3) 当x≥0时,函数f(x)=(x-1)2-4的最小值为-4,最大值为f(4)=5;当x<0时,函数f(x)=(x+1)2-4的最小值为-4,最大值为f(-4)=5.故函数f(x)的值域为[-4,5].20． 某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：（其中x 是仪器的月产量）．(1)将利润表示为月产量的函数f (x )；(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润)解：（1）f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －12x 2＋300x －20 000，0≤x ≤400，60 000－100x ，x >400.(2)当0≤x ≤400时，f (x )＝－12(x －300)2＋25 000. ∴当x ＝300时，有最大值为25 000；当x >400时，f (x )＝60 000－100x 是减函数，f (x )<60 000－100×400＝20 000<25 000.∴当x ＝300时，f (x )的最大值为25 000，即每月生产300台仪器时，利润最大，最大利润为25 000元．}27285 6A95 檕25052 61DC 懜k&@Y31750 7C06 簆.*29155 71E3 燣 f 33982 84BE 蒾。

上海市高一上学期数学10月月考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）给出如下四个命题：①若“”为假命题，则p,q均为假命题；②命题“若a>b,则”的否命题为“若,则”；③命题“任意”的否定是“存在”；④在中，“A>B”是“sinA>sinB”的充要条件.其中不正确命题的个数是（）A . 4B . 3C . 2D . 12. （2分） (2015高三上·荣昌期中) 若集合M={x|x﹣2＞0}，N={x|log2（x﹣1）＜1}，则M∩N=（）A . {x|2＜x＜3}B . {x|x＜1}C . {x|x＞3}D . {x|1＜x＜2}3. （2分） (2018高二下·永春期末) 若命题：，则为（）A .B .C .D .4. （2分） (2019高三上·集宁期中) 下列各组集合中，表示同一集合的是（）A . ，B . ，C . ，D . ，5. （2分）已知集合，则集合M与P的关系是（）A .B .C .D .6. （2分）若，则下列说法正确的是（）A . 若a>b,则a-c>b-cB . 若a>b，则C . 若ac<bc，则a<bD . 若a>b，则7. （2分）已知a，b∈R，且a2＞b2（）A . 若b＜0，则a＞bB . 若b＞0，则a＜bC . 若a＞b，则a＞0D . 若b＞a，则b＞08. （2分）设集合，则（）A .B .C .D .9. （2分）下列有关命题的说法正确的是（）A . 命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B . “m=1”是“直线x﹣my=0和直线x+my=0互相垂直”的充要条件C . 命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”D . 命题“已知x，y为一个三角形的两内角，若x=y，则sinx=siny”的逆命题为真命题10. （2分） (2019高一上·台州月考) 二次函数在上的最小值为（）A .B .C .D .11. （2分） (2019高一上·北京月考) 《几何原本》中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成为了后世数学家处理问题的重要依据.通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.如图所示的图形，在上取一点，使得，，过点作交圆周于，连接 .作交于 .则下列不等式可以表示的是（）A .B .C .D .12. （2分）已知集合A={x|3x+x2＞0}，B={x|﹣4＜x＜﹣1}，则（）A . A∩B={x|﹣4＜x＜﹣3}B . A∪B=RC . B⊆AD . A⊆B二、填空题 (共6题；共6分)13. （1分）已知集合U={1,2,3}，A={1,3},B={1,3,4},则=________ .14. （1分） (2020高二上·无锡期末) 不等式的解集是________．15. （1分）含有三个实数的集合既可表示成，又可表示成{a2 ， a+b，0}，则a2017+b2016=________．16. （1分）已知集合A={2，3}，B={2，2a﹣1}，若A=B，则a=________17. （1分） (2019高三上·浙江月考) 已知非零平面向量不共线，且满足，记，当的夹角取得最大值时，的值为________．18. （1分） (2019高二上·四川期中) 在下列四个命题中，正确的命题的有________.①已知直线ax＋by＋c－1＝0(bc>0)经过圆x2＋y2－2y－5＝0的圆心，则的最小值是10;②若圆上有且只有两个点到直线的距离为1，则；③若实数满足的取值范围为；④点M在圆上运动，点为定点，则|MN|的最大值是7.三、解答题 (共4题；共30分)19. （10分） (2019高一上·四川期中) 已知全集为，集合， .（1）当时，求；（2）若，求实数的取值范围.20. （5分）已知集合A={x|a﹣1＜x＜2a+1}，B={x|0＜x＜1}（1）若a=，求A∩B．（2）若A∩B=∅，求实数a的取值范围．21. （5分） (2017高三上·唐山期末) 选修4-5：不等式选讲已知函数 .（1）当时，解不等式；（2）若，求的取值范围．22. （10分） (2019高一上·新丰期中) 已知函数 .（1）若，求不等式的解集；（2）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围.参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共6题；共6分)13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、18-1、三、解答题 (共4题；共30分) 19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、。

2020-2021学年高一数学上学期10月月考试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}5,3,0,3,5A =--,集合{}5,2,2,5B =--,则AB = ( ){}.5,3,0,3,5,5,2,2,5A ---- {}.5,5B -{}.5,3,2,0,2,3,5C --- {}.5,3,2,2,3,5D ---2．如果集合{}1->=x x P ，那么( )A ．P ⊆0B ．P ∈}0{C ．P ∈∅D ．P ⊆}0{ 3.函数432x y x +=-的定义域是 ( )A ．3(,]2-∞ B ． 3(,)2-∞ C ． 3[,)2+∞ D ． 3(,)2+∞4.已知函数1(1)()3(1)x x f x x x +≤⎧⎪=⎨-+>⎪⎩ 则5[()]2f f 等于 （ ）A ．21-B ．25C ．29D ．235．下列函数中,在定义域上既是奇函数又是增函数的为（ ） A ．1y x =+B ．2y x =-C ．1y x=D ．||y x x = 6．下列各组函数中，表示同一函数的是( )A ．211x y x -=-与1y x =+ B ．0y x =与l y =C ．y x =与33y x = D ．2y x =与y x =7.如果1()1xf x x=-，则当0,1x ≠时，()f x =（ ） A ．1xB ．11x - C ．11x - D ．11x -8．若二次函数221y x ax =-+在区间[2，+∞）上单调递增，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ≥0 B ．a ≤O C.a ≥2 D ．a ≤2 9．函数||y x x =的图像大致是( )A B C D10.某社区要召开群众代表大会，规定各小区每10人推选一名代表，当各小区人数除以10的余数不小于5时再增选一名代表．那么，各小区可推选代表人数y 与该小区人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为 ( )A ．y ＝[x10]B ．y ＝[x ＋310] C ．y ＝[x ＋410] D ．y ＝[x ＋510]11.已知函数1f (x )+是偶函数，当1x (,)∈-∞时，函数f (x )单调递减，设1122a f (),b f (),c f ()=-=-=，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c< a<bB ．a< b<cC ．a< c<bD ．c<b<a12.已知函数)(x f 为奇函数，0>x 时为增函数且0)2(=f ，则{}(2)0x f x ->=（ ） A.}{420><<x x x 或 B.{}04x x x <>或C.{}06x x x <>或 D.{}22x x x <->或二、填空题：（本大题共有4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷的相应位置） 13．已知函数2()3f x ax bx a b =+++是偶函数，定义域为[a-l ，2a]，则f(0)=___________. 14．设奇函数)(x f 的定义域为[]5,5-，若当[0,5]x ∈)(x f 的图象如右图,则不等式()f x ≤0解集是 .15.已知函数221()1x f x x -=+，则111973()()()(0)(1)(3)(7)(9)f f f f f f f f +++++++= ．16.给定集合A ，若对于任意,a b A ∈，都有a b A +∈且a b A -∈，则称集合A 为完美集合，给出下列四个论断：①集合{}4,2,0,2,4A =--是完美集合；②完美集合不能为单元素集；③集合{}3,A n n k k Z ==∈为完美集合；④若集合,A B 为完美集合，则集合A B 为完美集合．其中正确论断的序号是 ．三、解答题：（本大题共有6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）已知集合{|36}A x x =-<≤，{|37}B x b x b =-<<+，{|45}M x x =-≤<，全集U =R ．（1）求A M ；（2）若()UB M =R ，求实数b 的取值范围．18.（本小题满分12分）若函数()f x 为奇函数，当0x ≥时，2()24f x x x =-（如图）． （1）求函数()f x 的表达式，并补齐函数()f x 的图象； （2）写出函数)(x f 单调区间和值域.19.（本小题满分12分）已知函数()af x x x=+，且(1)3f =． （1）求a 的值，并确定函数()f x 的定义域； （2）用定义研究函数()f x 在),2[+∞的单调性； （3）当]2,4[--时，求出函数()f x 的取值范围．20．（本小题满分12分）已知二次函数)(x f 满足x x f x f 2)()1(=-+，且1)0(=f ． （1）求)(x f 的解析式；（2）在区间]1,1[-上，m x x f +>2)(，试确定实数m 的取值范围．21. （本小题满分12分）定义在R 上的函数),(x f y =当0>x 时，1)(>x f ，且对任意的R b a ∈,有)()()(b f a f b a f =+。

上海市延安中学2020-2021学年高三上学期10月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．已知集合{}{}1,3,,3,4A m B ==，且B A ⊆，则实数m 的值是__________.2．函数()f x =的定义域是_________. 3．如果圆锥的底面积为π，母线长为2，那么该圆锥的高为___________. 4．在()1521x +的二项展开式中，含5x 的项是二项展开式的第__________项.5．已知复数03z i =+（i 为虚数单位），复数z 满足003z z z z ⋅=+，则z =__________. 6．等差数列{a n }的前10项和为30，则14710a a a a +++=________7．已知双曲线与椭圆221166x y +=有相同的焦点，且双曲线的渐进线方程为12y x =±，则此双曲线方程为_________8．某班从4位男生和3位女生志愿者选出4人参加校运会的点名签到工作，则选出的志愿者中既有男生又有女生的概率的是__________.（结果用最简分数表示） 9．如图，将四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，,A B 是原来小正方形的其中两个顶点，()1,2,7i P i =是小正方形的其余顶点，在所有()1,2,7i AB AP i ⋅=中，不同的数值有__________个.10．函数()()()1,01,0x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨-+<⎪⎩，()()21g x f x =-+，若()3g a =，则()4g a -=__________.11．已知实数数列{}n a 满足()2123n n n a a a n N *+=-+∈，n S 是数列{}n a 的前n 项和.若()32k a k N *=∈，则2017k S +=__________. 12．已知a b 、是平面内两个互相垂直的单位向量，且此平面内另一向量c 在满足()()340a c b c +-=，均能使c bk -≤成立 ，则k 的最小值是_________.二、单选题13．已知,a b 都是实数，那么“22a b >”是“a b >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件14．若数列{}n a 的通项公式1,1,211,3,3n nn n a n n N *⎧=⎪⎪+=⎨⎪≥∈⎪⎩前n 项和为n S ，则下列结论中正确的是（ ） A ．lim n n a →∞不存在 B ．8lim 9n n S →∞=C ．lim 0n n a →∞=或1lim 3n n a →∞=D ．1lim 18n n S →∞=15．有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点．已知最底层正方体的棱长为2，且该塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积)超过39，则该塔形中正方体的个数至少是A ．4B ．5C ．6D ．716．对任意一个复数z ，定义集合{}21,n z M z n N αα-==∈，设12ω=-（i 为虚数单位），则集合M ω与2M ω的关系是（ ） A ．{}21,M M ωωω= B ．2M M ωω⊆C ．2M M ωω=D ．M ω和2M ω没有关系三、解答题17．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12AA AB BC ===，且AB BC ⊥.求：（1）四棱锥11C ABB A -的体积； （2）AC 与平面11A B C 所成角的大小.18．设函数()4sin ,0,3f x x x x π⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦.（1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）ABC ∆中，1,2AB AC ==,且()f A =ABC ∆为直角三角形. 19．某公司进行共享单车的投放与损耗统计，到去年2016年底单车的市场保有量（已投入市场且能正常使用的单车数量）为10000辆，预计今后每年新增单车1000辆，随着单车的频繁使用，估计每年将有200辆车的损耗，并且今后若干年内，年平均损耗在上一年损耗基础上增加10％.（1）预计2019年底单车的市场保有量是多少？（2）到哪一年底，市场的单车保有量达到最多？该年的单车保有量是多少辆（最后结果精确到整数）？20．如图，过抛物线24y x =焦点F 的直线与抛物线交于,A B （其中A 点在x 轴的上方）两点.（1）若线段AF 的长为3，求O 到直线AB 的距离； （2）证明：OAB ∆为钝角三角形；（3）已知AF FB λ=且[]2,3λ∈，求三角形OAB 的面积S 的取值范围. 21．A 是定义在[]1,2上且满足如下条件的函数()x ϕ组成的集合：①对任意的[]1,2x ∈，都有()()1,2x ϕ∈；②存在常数()01L L <<，使得对任意的[]12,1,2x x ∈，都有()()1212x x L x x ϕϕ-≤-. （1）设()[]211,1,25x x x ϕ=+∈，问()x ϕ是否属于A ？说明你的判断理由； （2）若()x A ϕ∈，如果存在()01,2x ∈，使得()00x x ϕ=，证明这样的0x 是唯一的；（3）设,k b 为正实数，是否存在函数()[]1,2x x ϕ=∈，使()x A ϕ∈？作出你的判断，并说明理由.参考答案1．4 【解析】 【分析】根据集合包含关系确定方程，解得结果. 【详解】因为B A ⊆，所以{3,4}{1,3,}4m m ⊆∴= 故答案为：4 【点睛】本题考查根据集合包含关系求参数，考查基本分析求解能力，属基础题. 2．()[),02,-∞+∞【解析】 【分析】 由210x -≥，化为20x x-≥,解分式不等式可得结果. 【详解】要使函数()f x =有意义， 则210x -≥， 即20x x-≥,解得0x <或2x ≥,即函数()f x =的定义域是()[),02,-∞+∞， 故答案为()[),02,-∞+∞.【点睛】本题主要考查抽象函数的定义域、不等式的解法，属于中档题.定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数()f x 的定义域为[],a b ，则函数()()f g x 的定义域由不等式()a g x b ≤≤求出.3【解析】 【分析】由底面积求出底面半径，利用勾股定理可得结果. 【详解】设圆锥底面半径为r , 因为圆锥的底面积为π， 所以21,r r ππ=⇒=又因为母线长为2=【点睛】本题主要考查圆锥的性质，意在考查对基础知识的掌握情况，考查了空间想象能力，属于基础题. 4．11 【分析】根据二项展开式通项公式即可确定结果. 【详解】15115(2)15510rr r T C x r r -+=∴-=∴=,即含5x 的项是二项展开式的第11项.故答案为：11 【点睛】本题考查二项展开式通项公式，考查基本分析求解能力，属基础题. 5【分析】变形003z z z z ⋅=+可得0033z iz z i+==-，分子分母同乘以i ，可得13z i =-，利用复数模的公式可得结果. 【详解】复数03z i =+， 复数z 满足003z z z z ⋅=+，()020333i iz i z z i i ++∴===- 13131ii -+==--，z ==.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分. 6．12 【解析】 【分析】利用等差数列的前n 项和公式即可得到a 1+a 10=6．由等差数列的性质可得a 1+a 10=a 4+a 7，进而可得答案． 【详解】∵等差数列{a n }的前10项和为30，∴()11010302a a +=，解得a 1+a 10=6．由等差数列的性质可得a 1+a 10=a 4+a 7， ∴a 1+a 4+a 7+a 10=2（a 1+a 10）=2×6=12． ∴a 1+a 4+a 7+a 10=12． 故答案为12． 【点睛】熟练掌握等差数列的前n 项和公式、等差数列的性质是解题的关键．7．22182x y -=【分析】根据双曲线的渐进线方程为12y x =±，设双曲线222214x y b b-=，计算椭圆焦点为()，根据双曲线焦点公式得到答案. 【详解】221166x y +=的焦点为：()双曲线的渐进线方程为12y x =±，则设双曲线方程为：222214x y b b-=，焦点为()故2224102b b b +=∴= ，双曲线方程为22182x y -=故答案为：22182x y -=【点睛】本题考查了求双曲线方程，根据渐近线设双曲线为222214x y b b-=是解题的关键.8．3435【分析】“4位男生和3位女生志愿者选出4人参加校运会的点名签到工作，若这4人中必须既有男生又有女生”的对立事件是“只有男生”，利用组合知识求出总事件数，根据古典概型概率公式以及对立事件的概率公式可得结果. 【详解】“4位男生和3位女生志愿者选出4人参加校运会的点名签到工作，若这4人中必须既有男生又有女生”的对立事件是“只有男生”，事件“只有男生”只包含一个基本事件，而总的基本事件数是4735C =，故事件“只有男生”的概率是135， 事件“4位男生和3位女生志愿者选出4人参加校运会的点名签到工作，若这4人中必须既有男生又有女生”的概率是13413535-=，故答案为3435. 【点睛】本题主要考查对立事件的概率公式以及古典古典概型概率公式的应用，属于基础题. 在求解有关古典概型概率的问题时，首先求出样本空间中基本事件的总数n ，其次求出概率事件中含有多少个基本事件m ，然后根据公式mP n=求得概率. 9．5 【分析】建立直角坐标系，根据向量数量积坐标计算，再统计不同结果个数. 【详解】建立如图所示直角坐标系，则123(2,1)(2,0)4,(2,1)(0,1)1,(2,1)(1,1)3,AB AP AB AP AB AP ⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=4567(2,1)(1,0)2,(2,1)(0,2)2,(2,1)(1,2)4,(2,1)(2,2)6,AB AP AB AP AB AP AB AP ⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=所以有5个不同的数值， 故答案为：5 【点睛】本题考查向量数量积坐标计算，考查基本分析求解能力，属基础题. 10．1- 【分析】先根据分段函数求a 的值，再代入求()2f a -的值，即得结果. 【详解】因为()3g a =，所以()()()21322g a f a f a =-+=∴-=因此20(2)(3)2a a a -≥⎧⎨--=⎩或20(2)(1)2a a a -<⎧⎨---=⎩解得4a =或a ∈∅从而()()()2(2)24211f a f g a f a -=-=-∴-=-+=- 故答案为：1- 【点睛】本题考查求分段函数值，考查基本分析求解能力，属基础题. 11．32【分析】根据递推关系求各项，再求和. 【详解】2211323232()02n n n k k k k k a a a a a a a a ++=-+∴=-+=--=当1n k ≥+时，0n a =若2k ≥，则由2123n n n a a a +=-+得2211111323232k k k k k k a a a a a a -----=-+∴-+=∴∈∅，因此=1k ，从而20173,133+02220,2n k n a S n +⎧=⎪=∴==⎨⎪≥⎩， 故答案为：32【点睛】本题考查根据递推关系求通项，考查基本分析求解能力，属中档题. 12【分析】根据题意，()()()1,0,0,1,,a b c x y ===，利用()()340a c b c +⋅-=，求得,x y 的关系，利用圆的几何性质，再求出c b -的最大值，从而求出k 的最小值. 【详解】因为a b 、是平面内两个互相垂直的单位向量，所以可设 ()()()1,0,0,1,,a b c x y ===，()33,a c x y ∴+=+， ()4,4b c x y -=--，又()()340a c b c +⋅-=，()()340x x y y ∴-++-=， 即()22325224x y ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭， 它表示的圆心在3,22M ⎛⎫-⎪⎝⎭，半径为52的圆，c b -表示圆上的点到(0,1)B 的距离，圆心M 到点(0,1)B 的距离为2d =c b ∴-的最大值为55222++=，要使c b k -≤恒成立，52k +≥即k . 【点睛】本题主要考查向量模的几何意义、轨迹方程的应用以及圆的几何意义，考查了转化思想的应用，属于难题. 转化是数学解题的灵魂，合理的转化不仅仅使问题得到了解决，还可以使解决问题的难度大大降低，本题将不等式恒成立问题转化为圆上动点到定点距离的最值问题是解题的关键. 13．D 【分析】举反例说明既不充分也不必要. 【详解】当2,1a b =-=时，满足22a b >，但a b >不成立；所以不充分； 当1,2a b ==-时，满足a b >，但22a b >不成立；所以不必要； 故选：D 【点睛】本题考查充要关系的判定，考查基本分析判断能力，属基础题. 14．B 【分析】先利用等比数列求和公式求和，再求极限得结果. 【详解】1lim lim03n nn n a →∞→∞==3234211(1)11111551133+++(1)1233336618313n n n n S ---=++=+=+--因此2511518lim lim[(1)]61836189n n n n S -→∞→∞=+-=+=故选：B【点睛】本题考查数列解析以及等比数列求和公式，考查基本分析求解能力，属中档题. 15．C 【分析】根据相邻正方体的关系得出个正方体的棱长为等比数列，求出塔形表面积n S 的通项公式，令39n S >，即可得出n 的范围． 【详解】设从最底层开始的第n 层的正方体棱长为n a ，则{}n a 是以2为首项，以2为公比的等比数列. ∴{}2na 是以4为首项，以12为公比的等比数列 ∴塔形的表面积为222222222123123114(1)32264444444248401212nn n n nS a a a a a a a a a -=+++⋅⋅⋅=+++⋅⋅⋅+=⨯+=--. 令3240392n->，解得5n >. ∴塔形正方体最少为6个. 故选C. 【点睛】此题考查了立体图形的表面积问题以及等比数列求和公式的应用．解决本题的关键是得到上下正方体的棱长之间的关系，从而即可得出依次排列的正方体的一个面的面积，这里还要注意把最下面的正方体看做是6个面之外，上面的正方体都是露出了4个面． 16．C 【分析】根据ω的性质化简集合M ω与2M ω，再进行判定选择. 【详解】因为12ω=-，所以231,12ωω=-={}{}212,,1,n M n N ωααωωω-==∈=，{}{}2422,,1,n M n N ωααωωω-==∈=所以2M M ωω=， 故选：C 【点睛】本题考查ω的性质以及集合相等的判定，考查基本分析化简判断能力，属基础题. 17．（1）83；（2）6π【分析】（1）先证线面垂直得高，再根据锥体体积公式求结果；（2）先补成正方体，再根据线面垂直确定线面角，最后解三角形得结果. 【详解】（1）因为直三棱柱111ABC A B C -，所以1AA ⊥平面ABC ∴1AA BC ⊥1,AB BC ABAA A BC ⊥=∴⊥平面11ABB A因此四棱锥11C ABB A -的体积为11118=222333ABB A BC S ⋅⋅⨯⨯⨯=矩形； （2）先补成正方体1111ABCD A B C D -,则AC 与平面11A B C 所成角为AC 与平面11A B CD 所成角，因为1AD ⊥平面11A B CD ,设11A O AD D =,则ACO ∠为AC 与平面11A B C 所成角,因为1sin 26AO ACO ACO AC π∠==∴∠=,因此AC 与平面11A B C 所成角为6π.【点睛】本题考查锥体体积公式、线面角以及线面垂直判定定理，考查基本分析求解能力，属中档题.18．（1）766ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，（2）详见解析【分析】（1）先根据辅助角公式化简函数，再根据正弦函数性质求单调区间；（2）先根据()f A A ，再根据余弦定理求BC ，最后根据勾股定理证结论. 【详解】（1）()sin 2sin(),3f x x x x π==+由322,()232k x k k Z πππππ+≤+≤+∈得722,()66k x k k Z ππππ+≤≤+∈ 因为40,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以7,66x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即单调递减区间为766ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，；（2）因为()f A =2sin()sin()33A A ππ+=+因为(0,)A π∈，所以2333A A πππ+=∴= 222211221232BC AC AB ∴=+-⨯⨯⨯==- 因此ABC ∆为直角三角形. 【点睛】本题考查辅助角公式、正弦函数性质以及余弦定理，考查基本分析求解能力，属基础题. 19．（1）12338（2）2033年底；最多18891辆 【分析】（1）根据等差数列与等比数列进行列式计算；（2）根据题意先列市场的单车保有量函数关系式，再根据数列单调性确定单车保有量最大值. 【详解】（1）2019年底单车的市场保有量是210000+10003200200 1.1200 1.112338⨯--⨯-⨯=（2）到2016n +年底，市场的单车保有量为2110000+1000200200 1.1200 1.1200 1.1n n a n -=⨯--⨯-⨯--⨯1 1.110000+100020010200+10002000 1.11 1.1n n n n -=-⨯=-⨯-11000200 1.1200(5 1.1)n n n n a a +-=-⨯=-1116,;17,;n n n n n a a n a a ++∴≤>≥<即17,n n a =取最大值18891，此时为2033年底；即到2033年底，市场的单车保有量达到最多，为18891辆. 【点睛】本题考查数列单调性以及等比数列再实际问题中的应用，考查综合分析求解能力，属中档题.20．（1（2）详见解析；（3）⎣⎦ 【分析】（1）先根据抛物线定义求出A 点坐标，再根据点斜式求直线AB 的方程，最后根据点到直线距离公式求结果；（2）先设直线方程，与抛物线方程联立，结合韦达定理化简OA OB ⋅,根据OA OB ⋅为负证明结果；（3）先设直线方程，与抛物线方程联立，结合韦达定理以及面积公式表示三角形OAB 的面积S ，再根据对勾函数单调性求值域. 【详解】（1）设111(,),(0)A x y y ，因为3AF =，所以111132x x y +=∴=∴= 因此22:(1),22220AB yx xy从而O 到直线AB |22|2238+1； （2）设直线AB 的方程为1x my =+，11122(,),(0)(,),A x y y B x y ，由214x my y x=+⎧⎨=⎩得211124404,4y my y y m y y --=∴+==- 从而22121212123016y y OA OBx x y y y y ，因此OAB ∆为钝角三角形；（3）因为AF FB λ=，所以12y y λ，由（2）得124y y =-，所以2224|y y λ=，12211||1(1)||22S y y y λ=-⨯=+==因为[]2,3λ∈，而1y tt =+在上单调递增，所以S ∈= 【点睛】本题考查抛物线定义、点到直线距离公式、抛物线中三角形面积以及直线与抛物线位置关系，考查综合分析求解与论证能力，属中档题.21．（1）是，详见解析（2）详见解析（3）详见解析 【分析】（1）根据定义逐一验证，即求函数在[]1,2上值域，再判断是否为()1,2子集；根据不等式寻找满足条件的常数()01L L <<；（2）利用反证法，假设存在两个，根据条件得到1L ≥，即假设不成立，原命题成立； （3）先根据条件①解不等式确定13k <<，再根据条件②利用恒成立转化为对应函数最值，再解不等式确定12k <<.b 的条件由k 确定. 【详解】（1）因为()2115x x ϕ=+在[]1,2上单调递增，所以()69[,](1,2)55x ϕ∈⊆；()()121212121455x x x x x x x x ϕϕ-=-+≤-， 所以存在常数45，使得对任意的[]12,1,2x x ∈，都有()()121245x x x x ϕϕ-≤-， 综上()x ϕ属于A ；（2）设存在()12121,,2,x x x x ≠∈，满足()()1122,x x x x ϕϕ==， 因为()x A ϕ∈，所以存在常数()01L L <<，使得()()1212x x L x x ϕϕ-≤-， 即12121201x x L x x x x L -≤-->∴≥，与01L <<矛盾，因此满足条件的0x 是唯一的；（3）假设存在，则因为()x A ϕ∈，且()x ϕ=[]1,2上单调递增，所以12<121210222b bb k k b b ∴+<<+∴>+>+∴<<，2411243k b k k k k ∴-<<-∴->-∴<，因此13k <<；存在常数()01L L <<，使得对任意的[]12,1,2x x ∈，12L x x≤-，12L x x≤-，所以k≤<，≥>=因此2416022k kk k <+-<∴--<<从而12k <<即当12241,0kk b k b <<-<<->，时存在函数()[]1,2x x ϕ=∈，使()x Aϕ∈；否则不存在.【点睛】本题考查函数新定义、反证证以及恒成立问题，考查综合分析求解与论证能力，属难题.。

2020-2021学年上海市某校高一（上）月考数学试卷（10月份）一.填空题（本大题共12题，1-6每题3分，7-12每题4分，共42分）1. 已知集合M＝{x|x(4−x)<0}，N＝{x|(x−1)(x−6)<0, x∈Z}，则M∩N＝________．2. 不等式1x <12的解集是________．3. 不等式5−xx+4≥1的解集为________．4. 不等式(x+2)(x+1)2(x−1)3(x−2)≤0的解集为________．5. 若不等式ax2−bx+c<0的解集是(−2, 3)，则不等式bx2+ax+c<0的解集是________．6. 已知A＝{x||2x−3|<a}，B＝{x||x|≤10}，且A⫋B，则实数a的取值范围是________．7. 关于x的方程m(x−3)+3=m2x的解为不大于2的实数，则m的取值范围为________．8. 若已知不等式2x−1>m(x2−1)对满足|m|≤2的一切实数m的取值都成立，则x的取值范围为________．9. 已知集合A={x|x2−5x+4≤0}，集合B={x|x2−2ax+a+2≤0}，若B⊆A，则实数a的取值范围为________．10. 已知不等式xy≤ax2+2y2对于x∈[1, 2]，y∈[2, 3]恒成立，则实数a的取值范围是________．二.选择题（本大题共4题，每题4分，共16分）不等式|a+b||a|+|b|≤1成立的充要条件是（）A.ab≠0B.a2+b2≠0C.ab>0D.ab<0x为实数，且|x−5|+|x−3|<m有解，则m的取值范围是（）A.m>1B.m≥1C.m>2D.m≥2已知关于x的不等式ax+b>0的解集是(1, +∞)，则关于x的不等式ax−bx−2>0的解集是（）A.{x|x<−1或x>2}B.{x|−1<x<2}C.{x|1<x<2}D.{x|x>2}不等式组{x>03−x 3+x >|2−x2+x|的解集是（）A.{x|0<x<2}B.{x|0<x<2.5}C.{x|0<x<√6}D.{x|0<x<3}三.解答题（本大题共4题，共14+14+14+20=62分）已知f(x)=−3x2+a(6−a)x+6．(1)解关于a的不等式f(1)>0；(2)若不等式f(x)>b的解集为(−1, 3)，求实数a，b的值．a∈R，解关于x的不等式x−1x≥a(x−1)．已知a是实数，函数f(x)=2ax2+2x−3−a，如果函数y=f(x)在区间[−1, 1]上有零点，求a的取值范围．（附加题）已知S1、S2、S3为非空整数集合，对于1、2、3的任意一个排列i、j、k，若x∈S i，y∈S j，则x−y∈S k．（1）证明：三个集合中至少有两个相等；（2）三个集合中是否可能有两个集合无公共元素？说明理由．参考答案与试题解析2020-2021学年上海市某校高一（上）月考数学试卷（10月份）一.填空题（本大题共12题，1-6每题3分，7-12每题4分，共42分）1.【答案】{5}【考点】交集及其运算【解析】可以求出集合M，N，然后进行交集的运算即可．【解答】∵M＝{x|x<0或x>4}，N＝{x|1<x<6, x∈Z}＝{2, 3, 4, 5}，∴M∩N＝{5}．2.【答案】(−∞, 0)∪(2, +∞)【考点】其他不等式的解法【解析】根据x大于0和x小于0分两种情况考虑，当x大于0时，去分母得到不等式的解集，与x大于0求出交集即为原不等式的解集；当x小于0时，去分母得到不等式的解集，与x小于0求出交集即为原不等式的解集，综上，得到所有满足题意的x的范围即为原不等式的解集．【解答】解：当x>0时，去分母得：x>2，所以原不等式的解集为：(2, +∞)；当x<0时，去分母得：x<2，所以原不等式的解集为：(−∞, 0)，综上，原不等式的解集为：(−∞, 0)∪(2, +∞)．故答案为：(−∞, 0)∪(2, +∞)3.【答案】(−4, 1 2 ]【考点】其他不等式的解法【解析】把要解的不等式转化为与之等价的一元二次不等式，从而求得它的解集．【解答】不等式5−xx+4≥1，即2x−1x+4≤0，即(2x−1)⋅(x+4)≤0且x+4≠0，求得−4<x≤12，4.【答案】(−∞, −2]∪{−1}∪[1, 2]【考点】其他不等式的解法【解析】根据“数轴穿根法”求解即可．【解答】根据题意，作出如下的图形，由图可知，不等式的解集为(−∞, −2]∪{−1}∪[1, 2]．5.【答案】(−3, 2)【考点】根与系数的关系一元二次不等式的解法【解析】根据不等式ax2−bx+c<0的解集得出a>0，ca 与ba的值，把不等式bx2+ax+c<0化为x2+x−6<0，从而得出不等式的解集．【解答】解：∵不等式ax2−bx+c<0的解集是(−2, 3)，∴a>0，且对应方程ax2−bx+c=0的实数根是−2和3，由根与系数的关系，得：{ca=−2×3，ba=−2+3，即ca =−6，ba=1，∴b>0，且ab =1，cb=−6，∴不等式bx2+ax+c<0可化为：x2+x−6<0，解得−3<x<2，∴该不等式的解集为(−3, 2)．故答案为：(−3, 2)．6.【答案】(−∞, 17]【考点】集合的包含关系判断及应用【解析】根据题意，可得B，分两种情况讨论A包含于B时a的取值范围，即可得答案．【解答】根据题意，易得B ＝{x|−10≤x ≤10}， 若A 是B 的真子集，分两种情况讨论： 当a ≤0时，A ＝⌀，此时A 包含于B ； 当a >0时，|2x −3|<a ⇒3−a 2<x <3+a 2，若A 包含于B ，则有{3−a 2≥−103+a 2≤10⇒a ≤17，a 的取值范围为(0, 17]； 7. 【答案】(−∞,−32]∪(0,1)∪(1,+∞)【考点】一元二次不等式的解法 【解析】把原方程化为未知项移到左边，常数项移动右边，然后当m =0和m =1时，分别代入即可得到方程不成立；当m 不等于0且m 不等于1时，求出方程的解，让方程的解小于等于2，列出关于m 的不等式，求出不等式的解集即可得到m 的取值范围，综上，得到符合题意的m 的取值范围． 【解答】解：由m(x −3)+3=m 2x 得： (m 2−m)x =−3m +3，若m =0，不成立；m =1，解得x 为R ，不成立， 若m ≠0且m ≠1时，则x =−3(m−1)m(m−1)=−3m ≤2，即2m+3m≥0，可化为：m(2m +3)≥0，解得：m ≥0或m ≤−32， 综上，得到m 的取值范围为：(−∞,−32]∪(0,1)∪(1,+∞)． 故答案为：(−∞,−32]∪(0,1)∪(1,+∞)8. 【答案】(√7−12，√3+12) 【考点】一元二次不等式与二次函数 【解析】构造变量m 的函数，对x 2−1>0，x 2−1<0，x 2−1=0，进行分类讨论，利用|m|≤2时函数的取值，分别求出x 的范围，然后求并集即可． 【解答】解：构造变量m 的函数求解：2x −1>m(x 2−1)， 即：(x 2−1)m −(2x −1)<0，构造关于m 的函数f(m)=(x 2−1)m −(2x −1)， |m|≤2即−2≤m ≤2．1)当x 2−1>0时，则f(2)<0 ，从而 2x 2−2x −1<0，解得：1−√32<x <1+√32又x 2−1>0，即x <−1 或 x >1， 所以 1<x <1+√32；2)当x 2−1<0时，则f(−2)<0 可得−2x 2−2x +3<0 ， 从而 2x 2+2x −3>0 解得 x <−1−√72或x >√7−12， 又−1<x <1， 从而√7−12<x <13)当x 2−1=0时，则f(m)=1−2x <0 ， 从而x >12，故x =1；综上有：√7−12<x <1+√32.故答案为：(√7−12，√3+12). 9. 【答案】 −1<a ≤187【考点】集合关系中的参数取值问题 【解析】分别解出集合A 、B ，对于集合B ，我们需要讨论它是不是空集，再根据子集的定义进行求解； 【解答】解：集合A ={x|x 2−5x +4≤0}，集合B ={x|x 2−2ax +a +2≤0}， B ⊆A ，解得A ={x|1≤x ≤4}，若B ≠⌀，△=(−2a)2−4(a +2)=4a 2−4a −8>0， 可得a ≥2或a ≤−1；B ={x|a −√a 2−a −2≤x ≤a +√a 2−a −2}， ∵ B ⊆A ，∴ {a +√a 2−a −2≤4①a −√a 2−a −2≥1②，解不等式①得，a ≤187，解不等式②得，1≤a ≤3，取交集得，1≤a ≤187，又∵ △≥0，可得a ≥2或a ≤−1； 可得2≤a ≤187当a =187符合题意；当a =2符合题意；∴ 2≤a ≤187若B =⌀，可得△=(−2a)2−4(a +2)=4a 2−4a −8<0， −1<a <2；综上可取并集得：−1<a ≤187故答案为：−1<a ≤187；10.【答案】 [−1, +∞) 【考点】 不等式的综合 【解析】本题考查的是不等式与恒成立的综合类问题．在解答时，首先可以分离参数将问题转化为：a ≥yx −2(yx )2对于x ∈[1, 2]，y ∈[2, 3]恒成立，然后解答此恒成立问题即可获得问题的解答． 【解答】由题意可知：不等式xy ≤ax 2+2y 2对于x ∈[1, 2]，y ∈[2, 3]恒成立， 即：a ≥yx −2(y x )2，对于x ∈[1, 2]，y ∈[2, 3]恒成立， 令t =yx ，则1≤t ≤3，∴ a ≥t −2t 2在[1, 3]上恒成立， ∵ y =−2t 2+t =−2(t −14)2+18∴ y max ＝−1， ∴ a ≥−1二.选择题（本大题共4题，每题4分，共16分）【答案】 B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 【解析】由于题中分式，故要保证分母不为0，即a 2+b 2≠0，故得不等式成立的充要条件是a 2+b 2≠0． 【解答】 解： ∵ |a+b||a|+|b|≤1∴ a ，b 不能同时为0，即a 2+b 2≠0 ∴ |a +b|≤|a|+|b| 两边平方得2ab ≤2|a||b| 不等式恒成立 故选B ．【答案】C【考点】绝对值不等式的解法与证明【解析】求出|x−5|+|x−3|的最小值，只需m大于最小值即可满足题意．【解答】解：|x−5|+|x−3|<m有解，只需m大于|x−5|+|x−3|的最小值，|x−5|+|x−3|≥2，所以m>2，|x−5|+|x−3|<m有解．故选C．【答案】A【考点】其他不等式的解法【解析】由题意知，a>0，且−ba =1，故不等式ax−bx−2>0可等价于a(x+1)(x−2)>0，解之即可．【解答】∵不等式ax+b>0的解集是(1, +∞)，∴a>0，且−ba=1，即b＝−a，不等式ax−bx−2>0等价于(ax−b)(x−2)>0，即a(x+1)(x−2)>0，∴x<−1或x>2．【答案】C【考点】其他不等式的解法【解析】把不等式化为{x>0(3−x)(2+x)>|2−x|(3+x)，讨论0<x≤2和x>2时，去掉绝对值，解不等式即可．【解答】解：不等式组{x>03−x3+x>|2−x2+x|等价于{x>0(3−x)(2+x)>|2−x|(3+x)，当0<x≤2时，有(3−x)(2+x)>(2−x)(3+x)，解得x>0，应取0<x≤2；当x>2时，有(3−x)(2+x)>(x−2)(3+x)，解得−√6<x<√6，应取2<x<√6；综上，原不等式的解集为{x|0<x<√6}．故选：C．三.解答题（本大题共4题，共14+14+14+20=62分）【答案】解：(1)∵f(x)=−3x2+a(6−a)x+6，f(1)>0，∴−3+a(6−a)+6>0，∴a2−6a−3<0，∴3−2√3<a<3+2√3，∴不等式的解集为{a|3−2√3<a<3+2√3}.(2)∵不等式f(x)>b的解集为(−1, 3)，∴−3x2+a(6−a)x+6>b的解集为(−1, 3)，∴−1，3是方程3x2−a(6−a)x−6+b=0的两个根，∴{−1+3=a(6−a)3，(−1)×3=−6+b3，∴a=3±√3，b=−3.【考点】根与系数的关系一元二次不等式的应用一元二次不等式的解法【解析】（1）f(1)>0，即−3+a(6−a)+6>0，即a2−6a−3<0，由此可得不等式的解集；（2）不等式f(x)>b的解集为(−1, 3)，等价于−3x2+a(6−a)x+6>b的解集为(−1, 3)，即−1，3是方程3x2−a(6−a)x−6+b=0的两个根，利用韦达定理可求实数a，b的值．【解答】解：(1)∵f(x)=−3x2+a(6−a)x+6，f(1)>0，∴−3+a(6−a)+6>0，∴a2−6a−3<0，∴3−2√3<a<3+2√3，∴不等式的解集为{a|3−2√3<a<3+2√3}.(2)∵不等式f(x)>b的解集为(−1, 3)，∴−3x2+a(6−a)x+6>b的解集为(−1, 3)，∴−1，3是方程3x2−a(6−a)x−6+b=0的两个根，∴{−1+3=a(6−a)3，(−1)×3=−6+b3，∴a=3±√3，b=−3.【答案】解：原不等式可转化为(x−1)[(1−a)x+1]x≥0(∗)．(1)当a=1时，(∗)式为x−1x≥0，解得x<0或x≥1．(2)当a≠1时，(∗)可式为(1−a)(x−1)(x+11−a)x≥0①若a<1，则a−1<0，1a−1<0，解得1a−1≤x<0，或x≥1；②若1<a≤2，则1−a<0，1a−1≥1，解得x<0，或1≤x≤1a−1；③若a>2，则a−1>1，0<1a−1<1，1−a<0，解得x<0，或1a−1≤x≤1；综上，当a=1时，不等式解集为{x|x<0或x≥1}当a<1时，不等式解集为{x|1a−1≤x<0, 或x≥1}当1<a≤2时，不等式解集为{x|x<0, 或1≤x≤1a−1}当a>2时，不等式解集为{x|x<0, 或1a−1≤x≤1}．【考点】其他不等式的解法【解析】通过方程的根的大小对a的讨论，然后求出表达式的解集．【解答】解：原不等式可转化为(x−1)[(1−a)x+1]x≥0(∗)．(1)当a=1时，(∗)式为x−1x≥0，解得x<0或x≥1．(2)当a≠1时，(∗)可式为(1−a)(x−1)(x+11−a)x≥0①若a<1，则a−1<0，1a−1<0，解得1a−1≤x<0，或x≥1；②若1<a≤2，则1−a<0，1a−1≥1，解得x<0，或1≤x≤1a−1；③若a>2，则a−1>1，0<1a−1<1，1−a<0，解得x<0，或1a−1≤x≤1；综上，当a=1时，不等式解集为{x|x<0或x≥1}当a<1时，不等式解集为{x|1a−1≤x<0, 或x≥1}当1<a≤2时，不等式解集为{x|x<0, 或1≤x≤1a−1}当a>2时，不等式解集为{x|x<0, 或1a−1≤x≤1}．【答案】解：a=0时，不符合题意，所以a≠0，又∴f(x)=2ax2+2x−3−a=0在[−1, 1]上有解，⇔(2x2−1)a=3−2x在[−1, 1]上有解⇔1a =2x2−13−2x在[−1, 1]上有解，问题转化为求函数y=2x 2−13−2x[−1, 1]上的值域；设t=3−2x，x∈[−1, 1]，则2x=3−t，t∈[1, 5]，y=12⋅(t−3)2−2t=12(t+7t−6)，设g(t)=t+7t ．g′(t)=t2−7t2，t∈[1,√7)时，g′(t)<0，此函数g(t)单调递减，t∈(√7，5]时，g′(t)>0，此函数g(t)单调递增，∴y的取值范围是[√7−3，1]，∴f(x)=2ax2+2x−3−a=0在[−1, 1]上有解⇔1a∈[√7−3，1]⇔a≥1或a≤−3+√72．故a≥1或a≤−3+√72．【考点】函数零点的判定定理【解析】y=f(x)在区间[−1, 1]上有零点转化为(2x2−1)a=3−2x在[−1, 1]上有解，把a用x表示出来，转化为求函数y=2x 2−13−2x在[−1, 1]上的值域，再用分离常数法求函数y=2x2−13−2x在[−1, 1]的值域即可．【解答】解：a=0时，不符合题意，所以a≠0，又∴f(x)=2ax2+2x−3−a=0在[−1, 1]上有解，⇔(2x2−1)a=3−2x在[−1, 1]上有解⇔1a =2x2−13−2x在[−1, 1]上有解，问题转化为求函数y=2x 2−13−2x[−1, 1]上的值域；设t=3−2x，x∈[−1, 1]，则2x=3−t，t∈[1, 5]，y=12⋅(t−3)2−2t=12(t+7t−6)，设g(t)=t+7t ．g′(t)=t2−7t2，t∈[1,√7)时，g′(t)<0，此函数g(t)单调递减，t∈(√7，5]时，g′(t)>0，此函数g(t)单调递增，∴y的取值范围是[√7−3，1]，∴f(x)=2ax2+2x−3−a=0在[−1, 1]上有解⇔1a∈[√7−3，1]⇔a≥1或a≤−3+√72．故a≥1或a≤−3+√72．（附加题）【答案】若x∈S i，y∈S j，则y−x∈S k，从而(y−x)−y＝−x∈S i，所以S i中有非负元素，由i，j，k的任意性可知三个集合中都有非负元素，若三个集合都没有0，则取S1∪S2∪S3中最小的正整数a（由于三个集合中都有非负整数，所以这样的a存在），不妨设a∈S1，取S2∪S3中的最小正整数b，并不妨设b∈S2，这时b>a（否则b不可能大于a，只能等于a，所以b−a＝0∈S3，矛盾），但是，这样就导致了0<b−a<b，且b−a∈S3，这时与b为S2∪S3中的最小正整数矛盾，∴三个集合中必有一个集合含有0．∵三个集合中有一个集合含有0，不妨设0∈S1，则对任意x∈S2，有x−0＝x∈S3，∴S2包含于S3，对于任意y∈S3，有y−0＝y∈S2，∴S3包含于S2，则S2＝S3，综上所述，这三个集合中必有两个集合相等；可能，比如S1＝{奇数}，S2＝{奇数}，S3＝{偶数}，这时S1∩S3＝⌀．【考点】子集与交集、并集运算的转换【解析】（1）根据条件，若x∈S i，y∈S j，则y−x∈S k，从而(y−x)−y＝−x∈S i，这便说明S i中有非负元素，从而三个集合中都有非负元素．可以看出若0∈S i，任意x∈S j，都有x−0＝x∈S k，从而说明S j⊆S k，而同理可得到S k⊆S j，从而便可得出S j＝S k，这便得出3个集合中至少有两个相等，从而来证明在三个集合中有一个集合含有0即可，可用反证法，即假设三个集合都不含0，然后推出矛盾即可；（2）3个集合中可能有两个集合无公共元素，只需举一个这样的例子即可．【解答】若x∈S i，y∈S j，则y−x∈S k，从而(y−x)−y＝−x∈S i，所以S i中有非负元素，由i，j，k的任意性可知三个集合中都有非负元素，若三个集合都没有0，则取S1∪S2∪S3中最小的正整数a（由于三个集合中都有非负整数，所以这样的a存在），不妨设a∈S1，取S2∪S3中的最小正整数b，并不妨设b∈S2，这时b>a（否则b不可能大于a，只能等于a，所以b−a＝0∈S3，矛盾），但是，这样就导致了0<b−a<b，且b−a∈S3，这时与b为S2∪S3中的最小正整数矛盾，∴三个集合中必有一个集合含有0．∵三个集合中有一个集合含有0，不妨设0∈S1，则对任意x∈S2，有x−0＝x∈S3，∴S2包含于S3，对于任意y∈S3，有y−0＝y∈S2，∴S3包含于S2，则S2＝S3，综上所述，这三个集合中必有两个集合相等；可能，比如S1＝{奇数}，S2＝{奇数}，S3＝{偶数}，这时S1∩S3＝⌀．。

2021-2022学年上海市长宁区延安中学高一（上）月考数学试卷（10月份）一、填空题（共12题，满分54分）.1．已知集合A＝{1，2，4}，B＝{2，4，6，8}，则A∩B＝．2．所有平行四边形组成的集合可以表示为．3．判断命题“已知n∈Z，若n³是奇数，则n是奇数”是真命题还是假命题？．4．已知△ABC的两边长AB＝2，BC＝3，则第三边AC的长的取值范围用区间表示为．5．设全集U＝R，集合A＝{x|x＞0}，B＝{x|x＞1}，则A∩B＝．6．已知图形P，则“图形P是中心对称图形”的一个充分非必要条件可以是．7．设集合M＝{1，2}，N＝{a²}，若M∪N＝M，则实数a＝．8．已知集合{x|x²+ax+b＝0，x∈R}＝{2，﹣1}，则集合{x|ax+b＝0，x∈R}＝．9．数学中经常把集合{x|x∈A，x∉B}称为集合A对B的差集，记作A\B，若把自然数集N记为P，Q＝（﹣∞，3]∪（5，2021），则P\Q＝．10．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园（阴影部分），则其边长x（单位m）的取值范围是．11．对任意实数x，等式ax4+bx3+cx2+dx+e＝x（x﹣2）（x²+3）恒成立，则关于x的不等式ax4+cx2+d+e﹣b≤0的解集是．12．已知集合A＝{1，2，3，4，5}，直角坐标系xOy中的点集B＝{（x，y）|x∈A，y∈A，x ﹣y∈A}，若用一张完整无破损的纸片去覆盖点集B中的所有点，则这张纸片的面积至少是．二、选择题（本大题共有4题，满分16分）13．若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（）A．ac＜bd B．ad＜bc C．ac＞bd D．ad＞bc14．设x为实数，α：x＝﹣1或x＝2，β：x≤0，则α是β的（）条件A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．非充分非必要15．下列叙述中正确的是（）A．若a，b，c∈R，则“ab2＞cb2”的充要条件是“a＞c”B．集合{x|ax2+bx+c＝0，x∈R}的元素个数有两种可能性C．陈述句“x＝1或y＞2”的否定是“x≠1且y≤2”D．若a，b，c∈R，则“ax2+bx+c≥0对一切实数x都成立”的充分条件是“b2﹣4ac≤0”16．设全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，给出条件：①A⊆U；②若x∈A，则2x∉A；③若x∈，则2x∉．那么同时满足三个条件的集合A的个数为（）A．0个B．16个C．32个D．64个三、解答题（本大题共有5题，满分80分）17．（16分）已知α：4x+p＜0，p、x∈R．（1）设﹣p∈{x|x满足α}，求满足条件的最小整数p；（2）若α是“x2﹣x﹣2＞0”的充分条件，求实数p的取值范围．18．（16分）已知关于x的方程为：k2x2+（k+3）x+1＝0……①，k，x∈R．（1）若方程①有两个不同的实数根，求k的取值范围；（2）设方程①的两根分别为x1、x2，用k的代数式表示x1³+x1²x2+x1x2²+x2³．19．（16分）已知△ABC．（1）若40°＜∠A＜70°，60°＜∠B＜90°，证明△ABC为锐角三角形；（2）如图，过顶点C作CD⊥AB，垂足D位于边AB上，若AD＝4，BD＝3，且CD＝3，证明∠ACB不是直角．20．（16分）某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F（单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时）与车流速度v（假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒）的值有关，其公式为F＝．（1）在该模型下，请你判断是否一定车速越快车流量越大？并说明理由；（2）为了增加高峰时刻的车流量，使最大车流量控制在不少于1900辆/小时，应该如何限定车速（车速数据保留两位小数）？21．（16分）设集合A＝{x|x＝a2+b2，a，b∈N}．（1）将集合A中的元素进行从小到大的排列，求最小的六个元素组成的子集B；（2）对任意的x1，x2∈A，判定x1+x2和x1•x2是否是集合A中的元素？并证明你的结论．参考答案一、填空题（本大题共12题，满分54分）只要求直接填写结果，第1～6题每个空格填对得4分，第7～12题每个空格填对得5分，否则一律得零分）1．已知集合A＝{1，2，4}，B＝{2，4，6，8}，则A∩B＝{2，4}．【分析】利用交集定义直接求解．解：∵集合A＝{1，2，4}，B＝{2，4，6，8}，∴A∩B＝{2，4}．故答案为：{2，4}．2．所有平行四边形组成的集合可以表示为{x|x为平行四边形}．【分析】可以利用描述法表示为{x|x为平行四边形}．解：可以利用描述法表示为{x|x为平行四边形}．故答案为：{x|x为平行四边形}．3．判断命题“已知n∈Z，若n³是奇数，则n是奇数”是真命题还是假命题？真命题．【分析】直接利用关系式的变换，进行命题真假的判定．解：若n为奇数，可设n＝2k+1，则n3＝（2k+1）2＝（2k+1）2（2k+1）＝（4k2+4k+1）（2k+1）＝8k3+12k2+6k+1；此时：n3为奇数，合乎题意；若n为偶数，可设n＝2k，（k∈Z），则n3＝8k3，此时n3为偶数；不合乎题意；综上所述，已知n∈Z，若n3为奇数，则n为奇数，原命题为真命题；故答案为：真命题；4．已知△ABC的两边长AB＝2，BC＝3，则第三边AC的长的取值范围用区间表示为（1，5）．【分析】由三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可得解．解：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，所以BC﹣AB＜AC＜BC+AC，即3﹣2＜AC＜3+2，所以1＜AC＜5．故答案为：（1，5）．5．设全集U＝R，集合A＝{x|x＞0}，B＝{x|x＞1}，则A∩B＝{x|x＞1}．【分析】直接利用交集运算得答案．解：∵A＝{x|x＞0}，B＝{x|x＞1}，∴A∩B＝{x|x＞0}∩{x|x＞1}＝{x|x＞1}．故答案为：{x|x＞1}．6．已知图形P，则“图形P是中心对称图形”的一个充分非必要条件可以是图形P为平行四边形．【分析】利用中心对称图形的定义，再结合充要条件的定义判定即可．解：①当图形P为平行四边形时，则图形P是中心对称图形，②当图形P是中心对称图形时，则图形P不一定为平行四边形，故答案为：图形P为平行四边形．7．设集合M＝{1，2}，N＝{a²}，若M∪N＝M，则实数a＝±1，或±．【分析】由集合的并集的性质可得N⊆M，再由集合的子集的定义可得所求值．解：由M∪N＝M可得N⊆M，由M＝{1，2}，N＝{a²}，可得a2＝1，a2＝2，解得a＝±1，或a＝±．故答案为：±1，或±．8．已知集合{x|x²+ax+b＝0，x∈R}＝{2，﹣1}，则集合{x|ax+b＝0，x∈R}＝{﹣2}．【分析】由韦达定理得﹣a＝2﹣1，b＝2×（﹣1），即a＝﹣1，b＝﹣2，代入求方程的解即可．解：∵集合{x|x²+ax+b＝0，x∈R}＝{2，﹣1}，∴﹣a＝2﹣1，b＝2×（﹣1），即a＝﹣1，b＝﹣2，解﹣x﹣2＝0得，x＝﹣2，即{x|ax+b＝0，x∈R}＝{﹣2}．故答案为：{﹣2}．9．数学中经常把集合{x|x∈A，x∉B}称为集合A对B的差集，记作A\B，若把自然数集N记为P，Q＝（﹣∞，3]∪（5，2021），则P\Q＝{x|x＝4或5或x≥2021，x∈N}．【分析】根据差集的定义可得出结果．解：记Q在R中的补集为，则＝（3，5]∪[2021，+∞），由题意可得P\Q＝{x|x＝4或5或x≥2021，x∈N}，故答案为：{x|x＝4或5或x≥2021，x∈N}．10．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园（阴影部分），则其边长x（单位m）的取值范围是[10，30]．【分析】设矩形的另一边长为ym，由相似三角形的性质可得：，（0＜x＜40）．矩形的面积S＝x（40﹣x），利用S≥300解出即可．解：设矩形的另一边长为ym，由相似三角形的性质可得：，解得y＝40﹣x，（0＜x＜40）∴矩形的面积S＝x（40﹣x），∵矩形花园的面积不小于300m2，∴x（40﹣x）≥300，化为（x﹣10）（x﹣30）≤0，解得10≤x≤30．满足0＜x＜40．故其边长x（单位m）的取值范围是[10，30]．故答案为[10，30]．11．对任意实数x，等式ax4+bx3+cx2+dx+e＝x（x﹣2）（x²+3）恒成立，则关于x的不等式ax4+cx2+d+e﹣b≤0的解集是[﹣1，1]．【分析】依题意可求得a，b，c，d，e的值，进而可知所求不等式为x4+3x2﹣4≤0，再直接求解即可．解：由于x（x﹣2）（x2+3）＝（x2﹣2x）（x2+3）＝x4﹣2x3+3x2﹣6x，则依题意有，a＝1，b＝﹣2，c＝3，d＝﹣6，e＝0，∴ax4+cx2+d+e﹣b≤0即为x4+3x2﹣4≤0，∴（x2﹣1）（x2+4）≤0，则x2﹣1≤0，∴﹣1≤x≤1．故答案为：[﹣1，1]．12．已知集合A＝{1，2，3，4，5}，直角坐标系xOy中的点集B＝{（x，y）|x∈A，y∈A，x ﹣y∈A}，若用一张完整无破损的纸片去覆盖点集B中的所有点，则这张纸片的面积至少是．【分析】分类讨论求得所有符合条件的所有数对，在平面直角坐标系描出所有的点，观察可知纸片的图形形状，计算可得面积．解：当x＝1时，y＝1，2，3，4，5，均不能满足x﹣y∈A，当x＝2时，y＝1时可满足x﹣y∈A，当x＝3时，y＝1，2可满足x﹣y∈A，当x＝4时，y＝1，2，3可满足x﹣y∈A，当x＝5时，y＝1，2，3，4可满足x﹣y∈A，作图知要用一张完整无破损的纸片去覆盖点集B中的所有点，只需一个边长为3的等腰三角形即可，这个三角形的面积为．故答案为：．二、选择题（本大题共有4题，满分16分）13．若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（）A．ac＜bd B．ad＜bc C．ac＞bd D．ad＞bc【分析】对于AC，结合不等式的性质，即可求解，对于BD，结合特殊值法，即可求解．解：对于AC，∵c＜d＜0，∴﹣c＞﹣d＞0，∵a＞b＞0，∴﹣ac＜﹣bd，即ac＞bd，故A正确，C错误，对于BD，令a＝3，b＝1，c＝﹣3，d＝﹣1，满足a＞b＞0，c＜d＜0，但ad＝bc，故BD 错．故选：A．14．设x为实数，α：x＝﹣1或x＝2，β：x≤0，则α是β的（）条件A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．非充分非必要【分析】利用充要条件的定义判定即可．解：∵2＞0，∴α是β的既不充分也不必要条件，故选：D．15．下列叙述中正确的是（）A．若a，b，c∈R，则“ab2＞cb2”的充要条件是“a＞c”B．集合{x|ax2+bx+c＝0，x∈R}的元素个数有两种可能性C．陈述句“x＝1或y＞2”的否定是“x≠1且y≤2”D．若a，b，c∈R，则“ax2+bx+c≥0对一切实数x都成立”的充分条件是“b2﹣4ac≤0”【分析】利用充要条件判断A；求解集合判断B，命题的否定判断C；充要条件判断D．解：a，b，c∈R，则“ab2＞cb2”的充分不必要条件是“a＞c”，所以A不正确；集合{x|ax2+bx+c＝0，x∈R}的元素个数有三种可能性，因为集合A有三种情况，所以B 不正确；陈述句“x＝1或y＞2”的否定是“x≠1且y≤2”，满足命题的否定形式，所以C正确；a，b，c∈R，则“ax2+bx+c≥0对一切实数x都成立”的充分条件是a＞0且“b2﹣4ac≤0”，或a＝b＝0，c≥0；所以D不正确；故选：C．16．设全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，给出条件：①A⊆U；②若x∈A，则2x∉A；③若x∈，则2x∉．那么同时满足三个条件的集合A的个数为（）A．0个B．16个C．32个D．64个【分析】设集合P n＝{1，2，…，n}，n∈N*．任取偶数x∈P n，将x除以2，若商仍为偶数，再除以2…，经过k次以后，商必为奇数，此时记商为m，从而x＝m⋅2k，x是否属于A由m是否属于A确定．设Q n是P n中所有奇数的集合，则f（n）等于Q n 的子集个数．由此能求出结果．解：设集合P n＝{1，2，…，n}，n∈N*．任取偶数x∈P n，将x除以2，若商仍为偶数，再除以2…，经过k次以后，商必为奇数，此时记商为m，于是x＝m⋅2k，其中m为奇数，k∈N*．由条件知，若m∈A，则x∈A等价于k为偶数；若m∉A，则x∈A等价于k为奇数．于是x是否属于A由m是否属于A确定．设Q n是P n中所有奇数的集合，因此f（n）等于Q n的子集个数．当n为偶数（或奇数）时，P n中奇数的个数是（或），所以f（n）＝，所以P10＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，即同时满足三个条件的集合A的个数为＝32．故选：C．三、解答题（本大题共有5题，满分80分）17．（16分）已知α：4x+p＜0，p、x∈R．（1）设﹣p∈{x|x满足α}，求满足条件的最小整数p；（2）若α是“x2﹣x﹣2＞0”的充分条件，求实数p的取值范围．【分析】（1）利用集合的确定性即可求解．（2）先解一元二次不等式求出x2﹣x﹣2＞0的解集，再利用充分必要条件的定义求解．解：（1）∵﹣p∈{x|x满足α}，α：4x+p＜0，∴﹣4p+p＜0，∴p＞0，∴满足条件的最小整数p为1．（2）∵α：4x+p＜0，∴x＜﹣，∵x2﹣x﹣2＞0，∴x＜﹣1或x＞2，∵α是x2﹣x﹣2＞0的充分条件，∴﹣≤﹣1，∴p≥4，∴实数p的取值范围[4，+∞）．18．（16分）已知关于x的方程为：k2x2+（k+3）x+1＝0……①，k，x∈R．（1）若方程①有两个不同的实数根，求k的取值范围；（2）设方程①的两根分别为x1、x2，用k的代数式表示x1³+x1²x2+x1x2²+x2³．【分析】（1）由二次项系数不为0且判别式大于0求解k的取值范围；（2）利用根与系数的关系求得x1+x2，x1x2的值，再把因式分解，代入整理即可．解：（1）若方程①有两个不同的实数根，则k2≠0，且（k+3）2﹣4k2＞0，解得k∈（﹣1，0）∪（0，3）；（2）∵，，∴＝＝＝＝＝．19．（16分）已知△ABC．（1）若40°＜∠A＜70°，60°＜∠B＜90°，证明△ABC为锐角三角形；（2）如图，过顶点C作CD⊥AB，垂足D位于边AB上，若AD＝4，BD＝3，且CD＝3，证明∠ACB不是直角．【分析】利用三角形内角和为180°即可证明；第二问用反证法证明．【解答】（1）解：由∠A＞40°，∠B＞60°，得∠A+∠B＞100°，所以∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＜80°，由∠A＜70°，∠B＜90°且∠C＜80°，得△ABC为锐角三角形．（2）证明：假设∠ACB＝90°，因为AD＝4，BD＝3，CD＝3，CD⊥AB，所以BC＝2，AB＝7，若∠ACB＝90°，则由勾股定理可得AC＝，此时AC2≠AD2+CD2，与已知条件矛盾，所以假设不成立，故∠ACB不是直角．20．（16分）某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F（单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时）与车流速度v（假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒）的值有关，其公式为F＝．（1）在该模型下，请你判断是否一定车速越快车流量越大？并说明理由；（2）为了增加高峰时刻的车流量，使最大车流量控制在不少于1900辆/小时，应该如何限定车速（车速数据保留两位小数）？【分析】（1）比较v＝10和v＝11时F的值的大小，即可得到结论；（2）根据题意得到F＝≥1900，求解不等式即可得到答案．解：（1）由题意可知，v＝10时，F＝2000，v＝11时，F＝1995.23＜2000，所以在该模型下，车速越快，车流量不一定越大；（2）因为F＝≥1900，又v2+18v+100＝（v+9）2+19＞0，所以F≥1900等价于v2﹣22v+100≤0，解得且，故应该限定车速在[6.42，15，58]米/秒．21．（16分）设集合A＝{x|x＝a2+b2，a，b∈N}．（1）将集合A中的元素进行从小到大的排列，求最小的六个元素组成的子集B；（2）对任意的x1，x2∈A，判定x1+x2和x1•x2是否是集合A中的元素？并证明你的结论．【分析】（1）由题意对a，b进行意义列举求出x，即可得到B集合；（2）由题意可以对a，b进行赋值进行验证证明即可．解：（1）由题意a，b∈N，A中的元素进行从小到大可依次取a＝b＝0，此时x＝0，取a＝0，b＝1，此时x＝1，取a＝1，b＝1，此时x＝2，取a＝0，b＝2，此时x＝4，取a＝1，b＝2，此时x＝5，取a＝2，b＝2，此时x＝8，即集合A中的元素进行从小到大的排列，最小的六个元素组成的子集B＝{0，1，2，4，5，8}；（2）由题意取x1＝1，x2＝2，则x1+x2＝3∉A，故对任意的x1，x2∈A，x1+x2不一定是集合A中的元素，对任意的x1，x2∈A，则取x1＝a2+b2，x2c2+d2，则x1•x2＝（a2+b2）（c2+d2）＝a2c2+a2d2+b2c2+b2d2＝（ac+bd）2+（ad﹣bc）2，由于ac+bd，ad﹣bc∈Z，所以x1•x2必定是集合A中的元素．。

上海市延安中学2020-2021学年高一上学期10月月考数学试题学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________一、填空题1. 设集合，，则_______.2. 不等式的解集为________.3. 已知集合，，则_______.4. 设集合，，若，则_______.5. 用描述法表示被3除余2的所有自然数组成的集合_______.6. 满足条件Ü的集合的个数是________7. 已知，，若是的充分条件，则满足条件的最小的整数为_______.8. 已知集合，，若，则实数的取值集合为_______.9. 若关于的不等式的解集是，则的解集为_______.10. 已知关于的方程的两个实根为、，，则实数_______.11. 有四个命题：①；②，；③；④；其中正确的命题是_______.（填序号）12. 若关于的不等式组的解集非空，则实数的取值范围是_______.13. 若关于的不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围是_______.二、解答题14. 设，若时，均有，则_______.三、单选题15. 若，，则是的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件16. 已知集合，，则（）A．B．C．D．17. “对任意，都有”的否定形式为（）A．对任意，都有B．不存在，都有C．存在，使得D．存在，使得18. 设为全集，、、是的三个非空子集，且，则下列论断正确的是（）A．B．C．D．四、解答题19. 设集合，，若，求实数的值.20. 设全集，，.（1）若集合，求实数的取值范围；（2）若，求实数的取值范围.21. 已知卡车从踩刹车到停车所滑行的距离（米）与速度（千米/小时）的平方和卡车总质量（吨）的乘积成正比，设某辆卡车不装货物以60千米/小时的速度行驶时，从刹车到停车滑行了20米.（1）当这辆卡车不装货物以36千米/小时的速度行驶，从刹车到停车所滑行的距离为多少米？（2）如果这辆卡车装着等同于车重的货物行驶时，发现前面20米处有障碍物，卡车司机发现障碍物到踩刹车需经过1秒，这时为了能在离障碍物5米以外处停车，最大限制时速应是多少千米/小时？（结果精确到0.1）。