传热学第三章稳态导热2011

ln( r r1 ) t t w1 (t w1 t w2 ) ln( r2 r1 )

圆筒壁内温度分布曲线的形状？
dt t w1 t w 2 1 d 2t t w1 t w 2 1 ; 2 dr ln( r2 r1 ) r dr ln( r2 r1 ) r 2
d 2t 若 t w1 t w2 : 0 2 dr
工程传热学 第三章 稳态导热
本章将针对一维、稳态、常物性、无内热源 情况，考察平板和圆柱内的导热。
§3-1 通过平壁的导热
平壁亦称平板，指厚度有限、面积趋于无限大的物体。 1 单层平壁的导热
a 几何条件：单层平板； b 物理条件：、c、 已知；无内热源 c 时间条件： 稳态导热 : t 0 d 边界条件：第一类
热系数h不是均匀一致的 — 可通过数值计算解决。
2 肋片效率（教材中没有，补充）
为了从散热的角度评价加装肋片后换热效果，引进肋片效率 f
实际散热量Φ 肋片效率＝ 假设整个肋表面处于肋 基温度下的散热量 Φ0
hP 0 th ( mH ) th ( mH ) f m hPH 0 mH
W
m
通过单位长度圆筒壁传热过程的 热阻 [mK/W]
小结
(1) 单层圆筒壁 思考：温度分布应如何求出？
(2) 多层圆筒壁
tf1 tf 2 ql n d i 1 1 1 1 ln h1d1 i 1 2i di h2d n 1
3、通过球壁的稳态导热
对于内、外表面维持均匀衡定温度的空心球壁的导热，在 球坐标系中也是一个一维导热问题。相应计算公式为：
P是周长
关于温度的二阶非 齐次常微分方程
Newton冷却公式： Φd h( Pdx)(t t )

d 2t hP (t t ) 0 2 dx Ac
d 2t hP (t t ) 0 导热微分方程： 2 dx Ac
引入过余温度 t t 。令 m 则有：
向下凹
d t 若 t w1 t w 2 : 0 2 dr
2
向上凸
下面来看一下圆筒壁内部的热流密度和热流分布情况
ln( r r1 ) t t w1 (t w1 t w 2 ) ln( r2 r1 )
dt t w1 t w 2 1 dr ln( r2 r1 ) r
虽然时稳态情况，但 热流密度 q 与半径 r 成反比！
多层、第三类边条
q
tf1 tf 2 1 n i 1 h1 i 1 i h2
tf1
h1 t2
t3
h2 tf2
W 单位： 2 m
传热系数
K
n
？
1
？
t1 t2 t3 t2
i 1 1 h1 i 1 i h2
tf1
tf2
三层平壁的稳态导热
§3-2 通过圆筒壁，球壳和其它 截面物体的导热
导热热流量可按总温差和总热阻计算
t w1 t w ( n1) Φ n 1 ri 1 ln ri i 1 2i L t w1 t w ( n1) ql n 1 ri 1 ln ri i 1 2i
W W m
通过单位长度圆筒壁的热流量
单层圆筒壁，第三类边界条件，稳态导热
§3-3 通过肋片的导热
第三类边界条件下通过平壁的一维稳态导热：
Φ
1 1 h1 A A h2 A
tf1 tf 2
W
为了增加传热量，可以采取哪些措施?
（1）增加温差（tf1 - tf2），但受工艺条件限制 （2）减小热阻： a) 金属壁一般很薄( 很小)、热导率很大，故导热热阻一般可忽略 b) 增大h1、h2，但提高h1、h2并非任意的 c) 增大换热面积 A 也能增加传热量
o

x
直角坐标系： c
t t t t ( ) ( ) ( ) Φ x x y y z z
根据上面的条件可得：
t t c ( ) Φ x x
控制 方程
d 2t dx
2
0
边界 条件
第一类边条：
x 0, t t w1 x , t t w2
2 d t 2 dt 球坐标系一维导热： 0 2 dr r dr
边界条件：r=r1时，t=t1 r=r2时，t=t2
t t2 (t1 t2 )
1 r 1 r2 1 r1 1 r2
t1
t2
r1
r2
dt
设导热系数λ ＝常量，对上式积分 两次，可解得球体温度分布：
dr
说明λ 为常量时，球壁内温度分布为双曲线
r
线性分布
t w2 t w1 t q t ( A )
R A

（m2.K/W）单位导热热阻
（K/W）导热热阻
热阻分析法适用于一维、稳态、无内热源的情况
2 多层平壁的导热

t
t1t1
λ1
t2
多层平壁：由几层不同材料组成 例：房屋的墙壁 — 白灰内层、水泥 沙浆层、红砖（青砖）主体层等组成 假设各层之间接触良好，可以近似地认 为接合面上各处的温度相等


当两固体壁具有温差时，接合 处的热传递机理为接触点间的 固体导热和间隙中的空气导热， 对流和辐射的影响一般不大
求解：这个问题可以从两个方面入手：
a 导热微分方程，例如书上第42页 b 能量守恒＋Fourier law
能量守恒：
Φx Φxdx Φd
dt Φ A c Fourier 定律： x dx
Φ x dx dΦ x d 2t Φx dx Φx Ac dx 2 dx dx

分析：严格地说，肋片中的温度场是三维、稳态、无内热 源、常物性、第三类边条的导热问题。但由于三维
问题比较复杂，故此，在忽略次要因素的基础上，
将问题简化为一维问题。 简化：a 宽度 l >> and H 肋片长度方向温度均匀 l=1 b 大、 << H，认为温度沿厚度方向均匀 边界：肋基：第一类；肋端：绝热；四周：对流换热
t w2 t w1 c1 ; ln( r2 r1 )
获得两个系数
ln r1 c2 t w1 (t w2 t w1 ) ln( r2 r1 )
将系数带入第二次积分结果
t2 t1 t t1 ln( r r1 ) ln( r2 r1 )
显然，温度呈对数曲线分布
圆筒壁内温度分布：
图 2－14
图 2－15
§3-4 接触热阻

实际固体表面不是理想平整的，所以两固体表面直接接触的 界面容易出现点接触，或者只是部分的而不是完全的和平整 的面接触 —— 给导热带来额外的热阻 —— 接触热阻 (Thermal contact resistance）

当界面上的空隙中充满导热系 数远小于固体的气体时，接触 热阻的影响更突出
双曲正弦函数
双曲余弦函数 双曲正切函数
稳态条件下肋片表面的散热量 = 通过肋基导入肋片的热量
d Φ A dx
x 0
hP Ac 0 m th (mH ) 0 th (mH ) m
即x＝H
肋端过余温度：
ch[m( H x)] 1 0 0 ch (mH ) ch (mH )
1 单层圆筒壁的导热 假设单管长度为l，圆筒壁的外半 径小于长度的1/10。
圆柱坐标系：
t 1 t 1 t t c ( r ) 2 ( ) ( ) Φ r r r r z z
一维、稳态、无内热源、常物性：
d dt (r )0 dr dr
在一些换热设备中，在换热面上加装肋片是增大换热量的重要手段 肋壁：直肋、环肋；等截面、变截面
1 通过等截面直肋的导热 已知： (1) 矩形直肋
l
(2) 肋 基 温 度 为 t0 ， 且 t0 > t
(3) 肋片与环境的表 面传热系数为 h. (4) ， h 和 Ac 均保持 不变 求： 温度场 t 和热流量
应用边界条件可得：
最后可得等截面内的wk.baidu.com度分布：
e m ( H x ) e m ( H x ) ch[m( H x)] 0 0 mH mH e e ch(mH )
e x ex e x ex e x ex sh ( x) ; ch ( x) ; th ( x) x x 2 2 e e
t
直接积分，得：
dt c1 t c1 x c2 dx
tw1
tw2
t w 2 t w1 c 带入边界条件： 1 c2 t w1
o

x
t w2 t w1 t x t w1 带入Fourier 定律 t t d t w2 w1 dx
(a)
r r1时 t t w1 第一类边界条件： r r2时 t t w2
对上述方程(a)积分两次:
第一次积分
第二次积分 应用边界条件
dt r c1 t c1 ln r c2 dr
t w1 c1 ln r1 c2 ; t w2 c1 ln r2 c2
几点说明：
(1) 上述推导中忽略了肋端的散热（认为肋端绝热）。 对于一般工程计算，尤其高而薄的肋片，足够精确。若 必须考虑肋端散热，取：Hc=H + /2 (2)上述分析近似认为肋片温度场为一维。 当Bi=h/ 0.05 时，误差小于1%。对于短而厚的肋片，
二维温度场，上述算式不适用；实际上，肋片表面上表面传
t2 t3
λ2
t3
λ3

t4
t4
边界条件： x 0
t t1
n i
x

i 1
t t n 1
t1
δ1
t2
δ2
δ3
t3
x
t4
热阻：
r1
1 , , rn n 1 n
三层平壁的稳态导热
由热阻分析法：
q
t1 t n 1
ri
i 1
n

t1 t n 1
hP const Ac
d 2 2 m 2 dx
混合边界条件： x 0 时， ＝ 0＝t0 t
d 0 x H 时， dx
方程的通解为：
c1e mx c2e mx
e mH c1 0 mH e e mH e mH c2 0 mH e e mH
i i 1 i
n
问：现在已经知道了q，如何计算其中第 i 层的右侧壁温？
q 第一层： q 第二层：
1 (t1 t2 ) t2 t1 q 1 1 1
2 (t2 t3 ) t3 t2 q 2 2 2

第i
q 层：

i (ti ti 11) ti 1 ti q i i i
ql
r1
2r1h1 (t f 1 t w1 ) ql 2r2 h2 (t w 2 t f 2 )
t w1 t w 2 r2 1 ln 2 r1
h1
h2
ql
r2
tf1 tf 2 ql r2 1 1 1 ln h1 2r1 2 r1 h2 2r2 tf1 tf 2 Rl
m
hP Ac


hP h2l 2h 3 2 mH H H H Ac l H
l
P 2l
3 通过环肋及三角形截面直肋的导热 为了减轻肋片重量、节省材料，并保持散热量基本不变，
需要采用变截面肋片，环肋及三角形截面直肋是其中的两
种。 对于变截面肋片来讲，由于从导热微分方程求得的肋片 散热量计算公式相当复杂，因此，人们仿照等截面直肋。 利用肋片效率曲线来计算方便多了。
dt t w1 t w 2 q dr r ln(r2 r1 )
W 2 m
t w1 t w 2 t w1 t w 2 Φ 2 rlq ln( r2 r1 ) R 2 l
W
长度为 l 的圆筒 壁的导热热阻
2 n层圆筒壁

由不同材料构成的多层圆筒壁，其