含参数的一元二次不等式的解法举例

含参数的一元二次不等式例题例题 1解不等式：x^2 2x + a > 0，其中a为参数。

解析：对于一元二次方程x^2 2x + a = 0，其判别式\Delta = 4 4a。

当\Delta 0，即4 4a 0，a > 1时，不等式的解集为R。

当\Delta = 0，即4 4a = 0，a = 1时，不等式化为(x 1)^2 > 0，解集为x ≠ 1。

当\Delta > 0，即4 4a > 0，a 1时，方程x^2 2x + a = 0的两根为x_1 = 1 \sqrt{1 a}，x_2 = 1 + \sqrt{1 a}，不等式的解集为x 1 \sqrt{1 a}或x > 1 + \sqrt{1 a}。

例题 2解不等式：ax^2 + 2x + 1 > 0，其中a为参数。

解析：当a = 0时，不等式化为2x + 1 > 0，解得x > \frac{1}{2}。

当a ≠ 0时，对于一元二次方程ax^2 + 2x + 1 = 0，其判别式\Delta = 4 4a。

若\Delta 0，即4 4a 0，a > 1，不等式的解集为R。

若\Delta = 0，即4 4a = 0，a = 1，不等式化为(x + 1)^2 > 0，解集为x ≠ 1。

若\Delta > 0，即4 4a > 0，a 1且a ≠ 0，方程ax^2 + 2x + 1 = 0的两根为x_1 = \frac{1 + \sqrt{1 a}}{a}，x_2 =\frac{1 \sqrt{1 a}}{a}。

当0 a 1时，不等式的解集为x \frac{1 \sqrt{1 a}}{a}或x > \frac{1 + \sqrt{1 a}}{a}。

当a 0时，不等式的解集为\frac{1 + \sqrt{1 a}}{a} x\frac{1 \sqrt{1 a}}{a}。

含参数的一元二次不等式的解法
解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢？对含参一元二次不等式常用的分类方法有三种：
一、按2x 项的系数a 的符号分类，即0,0,0<=>a a a ;
例1 解不等式：()0122>+++x a ax
例2 解不等式()00652≠>+-a a ax ax
分析 因为0≠a
，0>∆，所以我们只要讨论二次项系数的正负。

二、按判别式∆的符号分类，即0,0,0<∆=∆>∆；
例3 解不等式042>++ax x
分析 本题中由于2x 的系数大于0,故只需考虑∆与根的情况。

例4 解不等式()()R m x x m ∈≥+-+014122
三、按方程02=++c bx ax 的根21,x x 的大小来分类，即
212121,,x x x x x x <=<；
例5 解不等式)0( 01)1(2≠<++
-a x a a x 例6 解不等式06522>+-a
ax x ，0≠a
练习、（1）解关于x 的不等式：.0)2(2
>+-+a x a x （2）解关于x 的不等式：.01)1(2
<++-x a ax （3）解关于x 的不等式：.012
<-+ax ax。

含参数的一元二次不等式的解法高中数学一元二次不等式是高中数学中重要的内容之一，它与一元二次方程不同，需要通过特定的方法来解决。

当一元二次不等式中出现参数时，解法也会有所不同。

本文将介绍含参数的一元二次不等式的解法。

首先，我们来看一个简单的例子，假设有不等式 f(x) =ax^2+bx+c > 0，其中a、b、c为实数且不为零。

我们的目标是确定x的取值范围使得不等式成立。

步骤一：将不等式化简为标准形式首先，我们需要将不等式化简为标准形式，即形如(ax^2+bx+c)>0的形式。

若不等式已经处于此形式，则可以直接进行下一步。

若不等式不满足此形式，则需要移项合并同类项，将不等式转化为标准形式。

步骤二：确定基本情况下的解法对于标准形式的一元二次不等式，我们可以利用图像法或代数法来解决。

对于a>0和a<0的两种情况，基本的解法如下：1. 当a>0时：- 如果a>0，二次函数的开口朝上，函数图像是一个开口朝上的抛物线。

此时的不等式解集为抛物线上方的实数集。

- 若抛物线与x轴有两个交点，我们可以通过求解对应的一元二次方程，求出两个交点x1和x2。

然后我们可以得到解集: x<x1 或x>x2- 若抛物线与x轴只有一个交点，我们可以求解的结果只有一个交点x0，此时解集为：x<x0 或 x>x0。

2. 当a<0时：- 如果a<0，二次函数的开口朝下，函数图像是一个开口朝下的抛物线。

此时的不等式解集为抛物线下方的实数集。

- 若抛物线与x轴有两个交点，我们可以通过求解对应的一元二次方程，求出两个交点x1和x2。

然后我们可以得到解集: x1<x<x2- 若抛物线与x轴没有交点，则解集为空集：ø步骤三：含参数时的解法当一元二次不等式中存在参数时，解法稍有不同。

我们以一个具体的例子来说明。

例题：对于不等式f(x) = (a+b)x^2+(b+c)x+c>0，其中a，b，c 为实数且不为零。

含参数的一元二次不等式的解法含参一元二次不等式常用的分类方法有三种：一、按$x$项的系数$a$的符号分类，即$a>0$，$a=0$，$a<0$。

例1：解不等式$ax+(a+2)x+1>2$分析：本题二次项系数含有参数，$\Delta=(a+2)^2-4a=a+4>0$，故只需对二次项系数进行分类讨论。

解：当$a>0$时，解得方程$ax+(a+2)x+1=0$的两根$x_1=-\frac{a+2+\sqrt{a+4}}{2a}$，$x_2=-\frac{a+2-\sqrt{a+4}}{2a}$，因为$a>0$，所以$x_1x_2$或$x<x_1$，即$x\in\left(-\infty,\frac{a+2-\sqrt{a+4}}{2a}\right)\cup\left(\frac{a+2+\sqrt{a+4}}{2a},+\infty\right)$。

当$a=0$时，不等式为$2x+1>2$，解得$x>\frac{1}{2}$，即解集为$x>\frac{1}{2}$。

当$a<0$时，解得方程$ax+(a+2)x+1=0$的两根$x_1=-\frac{a+2-\sqrt{a+4}}{2a}$，$x_2=-\frac{a+2+\sqrt{a+4}}{2a}$，因为$a<0$，所以$x_1<x_2$。

所以解集为$x_1<x<x_2$，即$x\in\left(\frac{a+2-\sqrt{a+4}}{2a},\frac{a+2+\sqrt{a+4}}{2a}\right)$。

例2：解不等式$ax-5ax+6a>(a\neq0)^2$分析：因为$a\neq0$，$\Delta>0$，所以我们只需讨论二次项系数的正负。

解：当$a>0$时，解得方程$ax-5ax+6a=0$的两根$x_1=2$，$x_2=3$，因为$a>0$，所以$x_13$，即$x\in\left(-\infty,2\right)\cup\left(3,+\infty\right)$。

含参数的一元二次不等式的解法含参一元二次不等式常用的分类方法有三种：一、按2x 项的系数a 的符号分类，即0,0,0<=>a a a ;例1 解不等式：()0122>+++x a ax分析：本题二次项系数含有参数，()044222>+=-+=∆a a a ，故只需对二次项 系数进行分类讨论。

解：∵()044222>+=-+=∆a a a 解得方程 ()0122=+++x a ax 两根,24221a a a x +---=a a a x 24222++--= ∴当0>a 时,解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<++-->a a a x a a a x x 242242|22或 当0=a 时，不等式为012>+x ,解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧>21|x x 当0<a 时, 解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<<++--a a a x a a a x 242242|22 例2 解不等式()00652≠>+-a a ax ax分析 因为0≠a ，0>∆，所以我们只要讨论二次项系数的正负。

解 ()()032)65(2>--=+-x x a x x a∴当0>a 时，解集为{}32|><x x x 或；当0<a 时，解集为{}32|<<x x二、按判别式∆的符号分类，即0,0,0<∆=∆>∆；例3 解不等式042>++ax x分析 本题中由于2x 的系数大于0,故只需考虑∆与根的情况。

解：∵162-=∆a∴当()4,4-∈a 即0<∆时，解集为R ；当4±=a 即Δ＝0时，解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠∈2a x R x x 且；当4>a 或4-<a 即0>∆,此时两根分别为21621-+-=a a x ，21622---=a a x ，显然21x x >, ∴不等式的解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧----+->21621622a a x a a x x 〈或 例4 解不等式()()R m x x m ∈≥+-+014122解 因,012>+m ()()2223414)4(m m -=+--=∆ 所以当3±=m ，即0=∆时，解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧=21|x x ； 当33<<-m ，即0>∆时，解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+--+-+>1321322222m m x m m x x 〈或； 当33>-<m m 或，即0<∆时，解集为R 。

解含参数的一元二次不等式例1.解关于x 的不等式2(1)0x a x a +--<.【解】易知原不等式可化为()(1)0x a x -+<,其对就方程的两根为1,a -,所以(1)当1a =-时,则不等式2(1)0x +<, 则x ∈∅;(2)当1a <-时,则不等式的解集为(,1)x a ∈-;(3)当1a >-时,则不等式的解集为(1,)x a ∈-.例2.解关于x 的不等式2(1)10()ax a x a R ---<∈.【解】(1)当0a =时,不等式可化为10x -<,即1x <;(2)当0a ≠时,不等式可化为(1)(1)0ax x +-<,其对应方程两根为11,a -,所以 ①当0a >时,显然101a -<<,所以原不等式的解为1(,1)x a ∈-; 当0a <时,有10a->,所以, ②当1a =-时,11a-=,原不等式可化为2(1)0x --<,其解为1x ≠; ③当10a -<<时,有11a ->,则不等式的解为1(,1)(,)x a∈-∞-+∞ ; ④当1a <-时,有11a -<,则不等式的解为1(,)(1,)x a∈-∞-+∞ ; 综上(1)(2)可知,原不等式的解集为:(按a 从小到大的顺序排列,且能并取了并集)①当1a <-时,有1(,)(1,)x a∈-∞-+∞ ; ②当10a -≤<时,有1(,1)(,)x a∈-∞-+∞ ; ③当0a =时,有(,1)x ∈-∞;④当0a >时,有1(,1)x a∈-. 例3.解关于x 的不等式220ax x a -+<.【解】(1)当0a =时,原等式可化为20x -<,即有0x >;(2)当0a ≠时,不等式对应方程的24(1)a ∆=-,所以,1)当0∆<,即1a >或1a <-时,有①当1a >时,不等式的解为x ∈∅;②当1a <-时,不等式的解为x R ∈;2)当0∆=,即1a =±时,有③当1a =时,不等式的解为x ∈∅;④当1a =-时,不等式的解为1x ≠-;3)当0∆>,即10a -<<或01a <<时,对应方程的两根为x =所以⑤当01a <<时,,故不等式的解为;⑥当10a -<<时,,故不等式的解为:()x ∈-∞+∞ . 综上(1)、(2)可知原不等式的解集为:(按a 从小到大的顺序排列,且能并取了并集) ①当1a <-时,有x R ∈;②当10a -≤<时,有()x ∈-∞+∞ ; ③当0a =时,有(0,)x ∈+∞;④当01a <<时有x ∈; ⑤当1a ≥时,有x ∈∅.〖小结〗一般地,关于x 的不等式2()()()0(0)p a x q a x r a ⋅+⋅+>≤(其中(),(),()p a q a r a 都是关于a 的简单多项式)的解法———分类讨论法,过程如下:(1)首先,讨论二次项系数()p a 符号(等于0优先);(2)其次,当()0p a ≠时,对应方程因式分解或讨论其判别式∆的符号(0,0∆<∆=优先);(3)再次,当0∆>时,讨论对应方程两根12(),()x a x a 的大小.(4)最后,按参数a 从小到大的顺序将不等式的解集分别陈述总结,能合并则合并起来. 〖巩固练习〗1.解关于x 的不等式2(1)10ax a x -++<.【解】(1)当0a =时,不等式为10x -+<,得1x >;(2)当0a ≠时,不等式可化为(1)(1)0ax x --<,其对应方程两根为1,1a; ①当0a <时,显然101a <<,则不等式的解为1x >或1x a<; ②当0a >时,1)当1a =时,不等式为2(1)0x -<,即x ∈∅;2)当01a <<时,11a >,则不等式的解为11x a<<; 3)当1a >时,11a <,则不等式的解为11x a<<. 综上可知,不等式的解集为①当0a <时,1(,)(1,)x a∈-∞+∞ ; ②当0a =时,(1,)x ∈+∞;③当01a <<时,1(1,)x a∈; ④当1a =时,x ∈∅;⑤当1a >时,1(,1)x a∈. 2.解不等式(1)1(1)2a x a x ->≠-. 【解】原不等式可化为(1)(2)0[(1)(2)](2)02a x a a x a x x --->⇔---->- 由于1a ≠,故其对应的方程两根为212,111a a a -=---,所以 (1)当1a >时,显然11121a -<<-,故不等式的解为2{|,2}1a x x x a -<>-或; (2)当1a <时,所以①当0a =时,有221a a -=-,故不等式2(2)0x -->的解为x ∈∅; ②当01a <<时,有221a a ->-,故不等式的解为2{|2}1a x x a -<<-; ③当0a <时,有221a a -<-,故不等式的解为2{|2}1a x x a -<<-; 综上(1)、(2)可知,原不等式的解为:①当0a <时,有2{|2}1a x x a -<<-;②当0a =时,有x ∈∅; ③当01a <<时,有2{|2}1a x x a -<<-;④当1a >时,有2{|,2}1a x x x a -<>-或.。

解含有参数的一元二次不等式问题例1．解关于x 的不等式x 2-ax -30a 2<0．解：解方程x 2-ax -30a 2=0，得x 1=-5a ，x 2=6a ．当a >0时，-5a <6a ，解集为：{x |-5a <x <6a }；当a >0时，6a <-5a ，解集为：{x |6a <x <-5a }．当a =0时，原不等式为x 2<0，解集为：Φ．注：对含有字母的不等式，其一元二次方程的两根大小不能确定时，要注意讨论．例2．已知不等式11<-x ax 的解集为{x |x <1，或x >2}，则a 的值为 ( ) (A )a <21 (B )a >21 (C )a =21 (D )a =-21 解：原不等式整理为 011)1(<-+-x x a ． 它等价于[(a -1)x +1](x -1)<0，由于原不等式的解集为{x |x <1，或x >2}，∴a -1<0．∴a <1且-211=-a ，得a =21． 故选 (C )． 注：含有字母的不等式在进行变换时，要特别注意首项系数的正负，因为它能左右不等式解集的正确与否．例3．解关于x 的不等式1-x x <1-a (a ∈R )． 解：∵x -1的值的符号无法确定，所以不能直接去分母，可将原不等式变形为1-x x -(1-a )<0，即11--+x a ax <0． (1)当a >0时，不等式两侧同除以a ，得011<--+x a a x ， 它等价于01)1(<⎪⎭⎫ ⎝⎛---a a x x ． ∵a >0，a a a 111-=--<0，∴11<-aa ． 这时不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-11x a a x ． (2)当a =0时，原不等式为011<-x ，则解集为{x |x <1}． (3)当a <0时不等式的两边同除以a ，则011>---x a a x ， 当a <0时，0111>-=--a a a ，∴11>-aa ． 这时不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<->1,1x a a x x 或． 综上所述，可得当a >0时，原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-11x a a x ； 当a =0时，原不等式的解集为{x |x <1}；当a <0时，原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<->1,1x a a x x 或． 注：不等式的两边不能盲目乘以或除以一个字母或含有未知数的因式，除非已知它们的正负．例4．已知集合A ={x |x 2-3x -10}，B ={x |2m -1<x <3m +2}且A B =∅，求实数m 的取值范围．分析：将A 化为{x |x ≤-2或x ≥5}，由于A B =∅，所以可分为B ≠∅或B =∅两种情况求解． 解：A ={x |x ≤-2或x ≥5}，当B ≠∅时，∵A B =∅，∴⎩⎨⎧≤+-≥-523212m m ．由此得 -21≤m ≤1． 当B =∅时，此时A ∅=∅，∴2m -1≥3m +2．由此得到m ≤-3．综上所述，可得实数m 的取值范围为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤--≤121,3m m m 或． 例5．已知集合A ={x |x 2-5x +4≤0}与B ={x |x 2-2ax +a +2≤0，a ∈R }满足B ⊆A ，求a 的取值范围． 解：由已知，得A ={x |x 2-5x +4≤0}={x |1≤x ≤4}，记f (x )=x 2-2ax +a +2，它的图象是一条开口向上的抛物线．(1)若B =∅，显然有B ⊆A ，此时抛物线与x 轴无交点，故∆=4a 2-4(a +2)<0，∴-1<a <2． (2)若B ≠∅，再设抛物线与x 轴交点的横坐标为x 1，x 2且x 1<x 2．欲使B ⊆A ，应有[x 1，x 2]⊆[1，4]，观察图形可知，需⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤-≤≥++⋅-=≥++⋅-=≥+-=∆422102424)4(02121)1(0)2(44222a a a f a a f a a ，解得2≤a ≤718． 综合(1)、(2)得a 的取值范围是⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<-7181a a ． 1 x 1 x 2 4 y x O。

含参数的一元二次不等式的解法含参一元二次不等式常用的分类方法有三种：一、按X 2项的系数a 的符号分类，即a 〉0,a=0,a<0; 例1解不等式： ax 2a 2x 1 0分析：本题二次项系数含有参数， A=(a +2f_ 4a = a 2+4》0,故只需对二次项系数进行分类讨论。

解：•, A = (a +2 2 —4a = a 2+4》0 解得方程 ax 2 +(a +2 X +1=0 两根为=—'—2；；京*4, X2 = -'-2*带 八心 臣”兀 —a -2 +而2 +4 y _a -2 - da 2 +4 .•当 a 》0时,解集为』x | x > ----------------------- 或x < ---------------------2a 2a当a =0时，不等式为2x+1》0，解集为』x|x 〉；？— a —2+y a 2+4_a_2_Ja 2+4当a<0时，解集为Jx|一 <x <一 .2例2解不等式ax —5ax + 6a 》0(a 孝0 )分析 因为a #0 , A >0,所以我们只要讨论二次项系数的正负。

解a(x 2 -5x 6) = a x - 2 x -3 )〉0,二当a a 0时，解集为<x | x < 2或x a 3"当a < 0时，解集为 k | 2 <x < 3}2、(1 — ax )2<1.【解】 由(1 - ax)2<1 得 a 2x 2 - 2ax+ 1<1.即 ax(ax —2)<0. (1)当a=0时，不等式转化为0<0,故原不 等式无解.(2)当a<0时，不等式转化为 x(ax 一2)>0,2即 x(x — )<0.a2<0 , 不等式的解集为 {x|2aa<x<0}.变式：解关于x 的不等式1、(x —2)(ax —2) A0 ; ⑴当a ：：：0时,{x|2:::x<2} a(2) 当 a =0 时,{x|x =:: 2)2 (3) 当0 <a C 1 时,{ x| x <2,或xA —)a (4) 当a =1 时,{x | x =2) 2工(5) 当a A 1 时,{x | x 〈一,或x A2)a(3)当a>0时，不等式转化为 x(ax — 2)<0 ,一 2 又>0, a2...不等式的解集为{x|0<x<a }.综上所述：当a= 0时，不等式解集为 空集；2 当a<0时，不等式解集为{x|2<x<0}; a2当a>0时，不等式解集为{x|0<x< }.a二、按判别式 △的符号分类，即 A A 0,A=0,A<0; 例3解不等式x 2 +ax +4>0分析 本题中由于x 2的系数大于0,故只需考虑△与根的情况。

含参不等式专题（淮阳中学）编写:孙宜俊当在一个不等式中含有了字母，则称这一不等式为含参数的不等式，那么此时的参数可以从以下两个方面来影响不等式的求解，首先是对不等式的类型（即是那一种不等式）的影响，其次是字母对这个不等式的解的大小的影响。

我们必须通过分类讨论才可解决上述两个问题,同时还要注意是参数的选取确定了不等式的解，而不是不等式的解来区分参数的讨论。

解参数不等式一直是高考所考查的重点内容，也是同学们在学习中经常遇到但乂难以顺利解决的问题。

下面举例说明，以供同学们学习。

解含参的一元二次方程的解法，在具体问题里面，按分类的需要有讨论如下四种情况：（1）二次项的系数；（2）判别式；（3）不等号方向（4）根的大小。

一、含参数的一元二次不等式的解法：1 .二次项系数为常数（能分解因式先分解因式,不能得先考虑A》。

）例1、解关于兀的不等式x2 - （« + l）x + a>0 o解：（，_恥_1）>0令（x-（/Xx-l） = O=>x = G,x = l为方程的两个根（因为d与1的大小关系不知，所以要分类讨论）（1）当“ < 1时,不等式的解集为{x I A- > 1或x v a]（2）当a > 1时,不等式的解集为（x\x> a^x< 1}（3）a = 1时，不等式的解集为{xlxHl}综上所述：⑴当a<\时,不等式的解集为任I x > 1或r v a}（2 ）当G>1时，不等式的解集为{x\x> < 1}（3）当“ =1时,不等式的解集为{x I x H 1}变题1、解不等式x2 - (« + l)x + « >0；2、解不等式 A 2- (a2 +a)x + a5 > 0 o小结：讨论两个根的大小关系，尤其是变题2中2个根都有参数的要加强讨论。

例2、解关于尤的不等式2x2+kx-k<0分析此不等式为含参数k的不等式，当k值不同时相应的二次方程的判别式的值也不同，故应先从讨论判别式入手.解△ = /+% = «伙+ 8)(1)当△ >0,既R v—8或k〉(》寸，方程2十+kx—k= 0有两个不相等的实根。