二重积分的计算方法

注: 利用例7可得到一个在概率论与数理统计及工程上 非常有用的反常积分公式
+∞ − x2 e dx 0 为 R2 时,
∫
=
π
事实上, 当D
2 d x∫
①
+∞ − y 2 e −∞
∫∫D e
− x2 − y2
d xd y = ∫
+∞ − x2 e −∞
dy
利用例7的结果, 得
= 4⎛ ⎜∫ ⎝
2
+∞ − x 2 e 0
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例5 求两个底圆半径为R 的直角圆柱面所围的体积. 解: 设两个直圆柱方程为
x2 + y2 = R2 , x2 + z 2 = R2 利用对称性, 考虑第一卦限部分,
其曲顶柱体的顶为 z = R 2 − x 2
z
2 2 2 x + y = R R
y ⎧0 ≤ y ≤ R 2 − x 2 D ( x, y ) ∈ D : ⎨ ⎩0 ≤ x ≤ R x2 + z 2 = R2 x 则所求体积为 2 2 R − x R V = 8∫∫ R 2 − x 2 d x d y = 8∫ R 2 − x 2 d x ∫ dy
原式 =
∫∫D
e
−r 2
r d r d θ = ∫ d θ ∫ re 0
0
2
2π
a
−r 2
dr
− 1 −r ⎤ ⎡ −a 2 = π ( 1 − e ) = 2π ⎢ e ⎥ ⎣ 2 ⎦0
由于 e
− x2
a
的原函数不是初等函数 , 故本题无法用直角
坐标计算.
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θ = θk
o
r = rk x
Δσ k
则除包含边界点的小区域外,小区域的面积
2 1 r 2 ⋅ Δθ Δσ k = 1 ( r + Δ r ) ⋅ Δ θ − k k k 2 k 2 k
=1 [r + (rk + Δrk )]Δrk ⋅ Δθ k 2 k = rk Δrk ⋅ Δθ k
在 Δσ k 内取点( rk ,θ k ), 对应有
11
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思考: 下列各图中域 D 分别与 x , y 轴相切于原点,试 问 θ 的变化范围是什么? (1)
y
r = ϕ (θ ) D o x
(2) y
r = ϕ (θ ) D x
o
答: (1) 0 ≤ θ ≤ π ;
( 2) −
π
2
≤θ ≤
π
2
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λ →0 k =1
n
n
即
∫∫D f ( x, y) d σ = ∫∫D f (r cosθ , r sin θ ) r d r dθ
r = ϕ ( θ ) 2 D
β
⎧ϕ1 (θ ) ≤ r ≤ ϕ 2 (θ ) ,则 设D:⎨ ⎩ α ≤θ ≤ β
∫∫D f (r cosθ , r sin θ )r d r dθ
= ∫ dθ ∫
α β ϕ 2 (θ ) ϕ1 (θ )
o
β
o
α
r = ϕ1 (θ )
r = ϕ 2 (θ )
f (r cosθ , r sin θ )r d r
α r = ϕ1 (θ )
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⎧0 ≤ r ≤ ϕ (θ ) 特别地, 对 D : ⎨ ⎩ 0 ≤ θ ≤ 2π
D
o
R
0
0
= 8∫
R
0
16 3 (R − x ) d x = R 3
2 2
8
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二、利用极坐标计算二重积分 y
在极坐标系下, 用同心圆 r =常数 及射线 θ =常数, 分划区域D 为 Δσ k (k = 1, 2 ,", n)
θ = θ k + Δθ k
D
2
y+2
2
=∫
y+2 2 1 2 x y d y 2 y −1 2
1 1
[
−1
]
y
xy d x
o −1
D
y = x−2
4 x
sin x dx . 例 4 求 ∫ dy ∫ y 0 x 解题思路：无法直接计算，但交换积分顺序后可以求解。
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45 1 2 2 5 = ∫ [ y ( y + 2) − y ] d y = 8 2 −1
x = ψ1 ( y)
= ∫ d y∫
c
d
ψ 2 ( y)
ψ 1 ( y)
y y = ϕ1 ( x) c x o a b x
D
x = ψ 2 ( y)
为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序. (2) 若积分域较复杂,可将它分成若干 y D2 D1 X-型域或Y-型域 , 则 D3 ∫∫D = ∫∫D1 + ∫∫D2 + ∫∫D3 o x
第八章
第二节 二重积分的计算方法
(Calculation of Double Integral)
一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分 三、小结与思考练习
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一、利用直角坐标计算二重积分
设曲顶柱体的顶为 z = f ( x, y ) ≥ 0 曲顶柱体的底为 ϕ1 ( x) ≤ y ≤ ϕ 2 ( x)⎫ ⎧ D = ⎨ ( x, y ) ⎬ a≤ x≤b ⎩ ⎭ 截面积为 A( x0 ) = 故曲顶柱体体积为
如 D1 为圆域 D : x 2 + y 2 ≤ 1 在第一象限部分, 则有
D1
o D x
当区域关于 y 轴对称, 函数关于变量 x 有奇偶性时, 仍有类似结果.
2 2 = 4 ( x + y )d xd y (x + y ) d x d y ∫∫
2 2
∫∫D
D1
∫∫
D
xy d x d y = 0
17
∫∫D f ( x, y) d x d y = ∫∫D f1 ( x, y) d x d y − ∫∫ f 2 ( x, y ) d x d y D
5
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因此上面讨论的累次积分法仍然有效 .
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y 例 1 计算积分 ∫∫ 2 dxdy ，其中 D 是正方形区域: 1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1 . D x
y = ϕ 2 ( x)
y
z
D
任取 x0 ∈ [a , b],平面 x = x0 截柱体的
o
a
x0 b x
∫ϕ
ϕ 2 ( x0 )
1 ( x0 )
f ( x0 , y ) d y
b
y = ϕ1 ( x)
X型区域
a
V = ∫∫ f ( x, y ) d σ = ∫ a A( x)d x = ∫ [
D
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∫∫D f (r cosθ , r sin θ ) r d r dθ
=∫
2π 0
r = ϕ (θ )
D
dθ
∫0
ϕ (θ )
f (r cosθ , r sin θ ) r d r
o
若 f ≡1 则可求得D 的面积
1 2π 2 σ = ∫∫ d σ = ∫ ϕ (θ ) d θ D 2 0
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2π
1
= π [(1 + ρ ) ln(1 + ρ )] − 2 ∫ ρ dρ
2 2 1 0 0
(
0
1
)
= π(2 ln 2 − 1)
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例7 计算 ∫∫ e
D
− x2 − y2
d xd y , 其中 D : x 2 + y 2 ≤ a 2 .
⎧0 ≤ r ≤ a 解: 在极坐标系下 D : ⎨ , 故 ⎩0 ≤ θ ≤ 2π
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f ( x, y ) d x
x = x1 ( y ) x
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极坐标系情形: 若积分区域为 D = { (r ,θ ) α ≤ θ ≤ β , ϕ1 (θ ) ≤ r ≤ ϕ 2 (θ ) } 则
b
∫ϕ
ϕ2 ( x )
1 ( x)
f ( x, y ) d y ] d x
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同样, 若曲顶柱的底为
D = { ( x, y ) ψ 1 ( y ) ≤ x ≤ ψ 2 ( y ), c ≤ y ≤ d
则其体积可按如下两次积分计算
}
x = ψ 2 ( y)
y d V = ∫∫ f ( x, y ) d σ D x = ψ1 ( y) d ψ 2 ( y) =∫ [∫ ]d y y f ( x , y ) d x c ψ1 ( y ) c ψ2 ( y) Δ d o f ( x, y ) d x = ∫ d y∫
d x⎞ ⎟ ⎠
2
4⎛ ⎜∫ ⎝ 故①式成立 .
+∞ − x2 e 0
−a 2 ⎞ d x ⎟ = lim π (1 − e ) = π ⎠ a → +∞
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2 2 被圆柱面 x + y = 2 ax 例8 求球体 x + y + z ≤ 4 a (a > 0) 所截得的(含在柱面内的)立体的体积. 2 2 2 2
解：∫∫
D
y dxdy = 2 x
D
∫
2
1
dx ∫
1
0
y 1 2 1 1 d y = ∫1 2 d x = . 2 2 x 4 x
例 2 计算 ∫∫ y 1 + x 2 − y 2 dσ ，其中 D 是由直线 y = x ， x = −1 和 y = 1 所围成的闭区域．
解题步骤： （1）画出积分区域 D （2） D 即可看成 X − 型，又可看成 Y − 型
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补充说明（课本没有）： 当被积函数 f ( x, y ) 在D上变号时, 由于
f ( x, y ) + f ( x, y ) f ( x, y ) − f ( x, y ) f ( x, y ) = − 2 2 f1 ( x, y ) ∴ f 2 ( x, y ) 均非负
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θ
2a
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补充：积分对称性
设函数 f ( x, y ) 在闭区域上连续, 域D 关于x 轴对称,
D 位于 x 轴上方的部分为D1 , 在 D 上
y
(1) f ( x ,− y ) = f ( x, y ), 则
∫∫D f ( x, y ) d σ = 2∫∫D1 f ( x, y ) d σ (2) f ( x ,− y ) = − f ( x, y ), 则 ∫∫D f ( x, y ) d σ = 0
rk Δθ k
Δθ k
rk
Δrk
ξ k = rk cosθ k , ηk = rk sin θ k
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λ →0 k =1
lim ∑ f (ξ k , η k )Δσ k = lim ∑ f ( rk cosθ k , rk sin θ k )rk Δrk Δθ k
解: 设 D : 0 ≤ r ≤ 2 a cosθ , 0 ≤ θ ≤ 由对称性可知
π
2
z
V = 4 ∫∫ = 4∫
π
0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
D 2
4 a 2 − r 2 r d r dθ dθ
π
o
2
y
∫0
2 acosθ
4a − r r dr
2
2a
x
r = 2a cos θ
32 3 2 = a ∫ (1 − sin 3θ ) d θ 0 3 32 3 π 2 = a ( − ) 3 2 3
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例 6 计算二重积分 ∫∫ ln(1 + x 2 + y 2 )dxdy ，其中 D
D
是单位圆域：
x2 + y 2 ≤ 1 ．
解： ∫∫ ln(1 + x 2 + y 2 )dxdy = ∫∫ ρ ln(1 + ρ 2 )dρ dθ ,
D D
= ∫ dθ ∫ ρ ln(1 + ρ 2 )dρ
0
∫∫D f ( x, y) d σ = ∫a d x ∫y ( x)
• 若积分区域为
f ( x, y ) d y
D = {( x, y ) c ≤ y ≤ d , x1 ( y ) ≤ x ≤ x2 ( y )}
d x2 ( y )
1
D
c
则
∫∫D f ( x, y) d σ = ∫c d y ∫x ( y )
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内容小结
直角坐标系情形 :
y
y = y2 ( x)
D
y = y1 ( x) a bx
y x = x2 ( y ) d
• 若积分区域为
则
D = {( x, y ) a ≤ x ≤ b, y1 ( x) ≤ y ≤ y2 ( x)}
b y2 ( x )
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2012年3月26日星期一
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2 x y d σ , y = x 及直线 其中 D 是抛物线 例3 计算 ∫∫D
y = x − 2 所围成的闭区域.
解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分, 则
y ≤ x≤ y+2 D:⎧ ⎨ ⎩ −1 ≤ y ≤ 2
2
y
y 2 y2 = x
∴ ∫∫ x yd σ = ∫ d y ∫
c
ψ1 ( y )
x
Y型区域
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说明: (1) 若积分区域既是X–型区域又是Y –型区域 , 则有
∫∫D f ( x, y) d x d y
= ∫ d x ∫ϕ
a b
ϕ 2 ( x)
1 ( x)
d
y
y = ϕ 2 ( x)
f ( x, y ) d y
f ( x, y ) d x