高等数学中易错知识点总结
1．在一元函数中，若函数在某点连续，则该函数在该点必有极限。
若函数在某点不连续，则该函数在该点必无极限。
2, 在一元函数中，若函数在某点可导，则函数在该点一定连续。
但是如果函数不可导，不能推出函数在该点一定不连续。
3. 基本初等函数在其定义域内是连续的，
而初等函数在其定义区间上是连续的。
4．若函数在某一区间上连续，则在这个区间上，该函数存在原函数。
若函数在某一区间上不连续，则在这个区间上，该函数也可能存在原函数，不能说该函数在区间上必无原函数。
5. 在二元函数中，两个偏导数存在与该函数的连续性没有关系。
但是若果二元函数可微，则该函数必然连续。
6．在一元函数中，驻点可能是极值点，也可能不是极值点。函数的极值点必是函数的驻点或导数不存在的点。
在多元函数中，若偏导数存在，则极值点必为驻点，但驻点不一定是极值点。
7. 函数f(x)的周期性和奇偶性与它的导数的周期性和奇偶性有什么关系？
a.函数f(x)与它的导数的周期一样：可导的周期函数，其导数必定是周期函数
证明如下：设可导函数为f(x),
因为它是周期函数,所以f(x+T)=f(x),
--->f'(x)=(x+T)'*f'(x+T)=1*f'(x+T)
所以f'(x+T)=f'(x),就是说它的导函数也是周期函数.
b. 函数f(x)与它的导数的奇偶性相反：可导的偶函数的导数是奇函数
证明如下: 一、根指导数定义和偶函数定义,有f′(-x)=lim{[f(-x+h)-f(-x)]/h} =lim{[f(x-h)-f(x)]/(-h)} =-f′(x) 二、根据复合函数的求导法则, 设f(x)为偶函数,则有f(-x)=f(x) 对上式两边关于x求导数,则有
8. 设函数y=f(x)在x=a处可导,则函数y=f(x)的绝对值在x=a处不可导的充分条件是: f(a)=0,f'(a)≠0
证明如下：f(a)=0,f'(a)>0或f'(a)<0 ①f(a)=0,f'(a)>0
lim(x→a-)f'(x)=-f'(a)
lim(x→a+)f'(x)=f'(a)≠-f'(a)=lim(x→a-)f'(x) ∴x=a处导数不存在
②f(a)=0,f'(a)<0 lim(x→a-)f'(x)=f'(a)
lim(x→a+)f'(x)=-f'(a)≠f'(a)=lim(x→a-)f'(x)
∴x=a处导数不存在如果想不通,就当f(x)=x吧,|x|在x=0处导数不存在
9.闭区间上的单调函数必可积。
闭区间上的连续函数必可积。
闭区间上有界且仅有有限个间断点的函数可积
10.有限个无穷小量的和仍是无穷小量。无限个无穷小量的和不一定是无穷小量
有限个无穷小量之积是无穷小量。无限个无穷小量的积不一定是无穷小量。
无穷小量与有界变量之积仍是无穷小量。无穷小量与常数的乘积不一定全是无穷小量。11.两个无穷大量之和不一定为无穷大量，两个无穷大量之积必为无穷大量。
无穷大量与常数的乘积不一定全是无穷大量。
针对第10与11给出具体解析：
(1)无穷大量与常数的乘积可以分为两种情况，一种是与0的乘积，一种是与除0以外的常数，当与0相乘时，得到的是0，而不是无穷大量，可以这样说，无穷大量与除0以外的常数的乘积为无穷大量。同理，无穷小量与常数的乘积也可以分为类似的情况。
(2)无穷大量可以分为正无穷大量和负无穷大量，当正无穷大量与正无穷大量相乘时，得到的结果是无穷大量。当正无穷大量与负无穷大量相乘时，得到的是负无穷大量，因为负无穷大量也是无穷大量，所以无穷大量与无穷大量相乘时，得到一定是无穷大量。
(3)无穷大量与无穷大量之和不一定是无穷大量，因为如果是正无穷大量与负无穷大量之和，得到的结果可能是0，可能是常数，等等
思考一下：既然两个无穷大量之积必为无穷大量，则能否扩展到有限个无穷大量之积必为无穷大量，进一步扩展到无限个无穷大量之积必为无穷大量。
12可导与导函数的关系
可导是对定义域内的点而言的，处处可导则存在导函数，只要一个函数在定义域内某一点不可导，那么就不存在导函数，即使该函数在其它各处均可导。
13,连续与可积的关系
如果函数在某区域连续，那么函数在该区域可积，反之，函数在某区域可积，不能保证函数在该区域连续，比如存在第一类间断点的函数不连续，但可积。
14,切线与可导之间的关系
有切线不一定可导，是因为垂直于X轴的切线，它的斜率是无穷大，所以不可导。
可以得出结论：可导必有切线，有切线不一定可导（竖直切线）
以上知识点在判断题中非常实用
大题解题指导
高等数学考试中大题包括以下几种类型：1.求极限 2.求最值 3.求不定积分或定积分4求隐函数的偏导数5求二阶连续偏导数 6.二重积分7.微分方程8.求旋转体积或面积9.证明题
1.求极限：在求极限的问题中，极限包括函数的极限和数列的极限，但在考试中一般出的都
是函数的极限，求函数的极限中，主要是掌握公式，有些不常见的公式一定要记熟，详细
的公式看高等数学学习指导与习题指南一书第8页。这种类型的题一般属于简单题，但往更难一点的方向出题的话，它会和变上限的定积分联系在一起出题
2.求最值：这类题一般求导之后便可解出，不在过多叙述。
3.求不定积分和定积分，在这类题中，一般会用到换元积分法和分部积分法，还有牛顿莱布
尼茨公式。一般情况下，多做些题就没什么大问题。
4.求偏导数：偏导数包括一阶偏导数和二阶偏导数。重点谈二阶偏导数，尤其是二阶混合偏
导，在二阶以上的混合偏导中，用到的一个最重要的法则是链式法则，链式法则在很多时候，我们会迷，算到一半，不知道那到底是什么玩意，甚至看着自己算出的一个式子，自己都不明白，关于链式法则，我很想举例来说明，但是一般的电脑没有数学软件，那些符号根本无法显示，故建议看高等数学学习指导与习题指南一书第172页，它详细的论述了多元函数微分学中的一些重要知识点，当看完解题指导，自己独立的把教材194页例2做一下，做的时候，最好不要看例题的解题部骤，因为看例题的解题步骤会迷，当独立的把结果推算出来的时候，多元函数微分学的大概你掌握的已经差不多了。
5.微分方程：这个类型的题，只需要把那一个解题的公式记住，然后往里面套公式即可，这
是最简单也最枯燥的题，没什么新意，但是考试的时候，这类题还从未少过，每年都有。
需要注意的是有时候求的是通解，有时候求的是特解。
6.证明题：这种题还是离不开公式定理。一般情况下，用洛尔定理和微分中值定理即可，若
再复杂的话，有时候就需要微分中值定理和积分中值定理连用，对于这类题，有时间则做，没时间就不做。
总的来说，高数其实不算太难，当你对它产生一种畏惧的时候，你就很难把它学好了。要喜欢这门课，就要先喜欢这门课的老师，考试要的也是心态，有些题，本来就不属于自己的能力范围的，就直接放弃，一直缠着只会是浪费时间，其它题没时间做，这道题又没做出来。现在复习高数的时候别怕浪费时间，因为补考前的一个月就是让你浪费的，正如高四的复习，那一年确确实实是让我们好好浪费的，所以一定要多花时间浪费在复习中，数学讲究的就是熟练，当你看到一道题的时候，自己首先要有一个感性的认识，对它有一个大体的把握，复习就要做到多看教材，复习的最高境界就是把教材习题化，也就是说，当你看到课本上的知识点的时候，脑中立刻会想起你曾经做过的那道题用过这个知识点，如果这个知识点要考试的话，它最有可能以什么方式呈现出来。
高中化学易错知识点归纳 一、化学基本概念和理论（判断正误，错误的请订正或说明原因） 1、具有相同质子数的粒子都属于同种元素。 2、向饱和氯化铁溶液中滴加适量的沸水，制取氢氧化铁胶体。 3、Cl2、SO2和氨气的水溶液都具有导电性，它们都属于电解质。 4、氢氧燃料电池中，当电路上有1mol电子通过时，则正极上消耗氧气的体积为5.6L 5、标准状况下，11.2LCl2溶于足量的冷水中，转移的电子数为0.5N A 6、在1L0.1mol/L碳酸钠溶液中，阴离子总数一定大于0.1N A 7、实验室用铅蓄电池作电源电解饱和食盐水制取0.050mol氯气，电池消耗的H2SO4的物质的量至少是0.10mol 8、在同温同压下，由CO、N2和O2组成的混合气体的密度是H2的14.5倍，其中O2的质量分数为27.6%，混合气体的平均相对分子质量为29g/mol 9、含N A个钠离子的Na2O溶解于1L水中，Na+的物质的量约为1mol/L 10、配制0.2mol/LNaOH溶液500mL，需要使用的玻璃仪器有玻璃棒、烧杯、胶头滴管，还有容量瓶；用托盘天平称量NaOH的质量为4g 11、在溶液中可能发生反应：2KMnO4+HCOOK+KOH＝2K2MnO4+CO2↑+H2O 12、在反应CaCO3+2HCN＝CaCN2+CO↑+H2↑+CO2↑中，CaCO3是氧化剂，HCN是还原剂 13、在反应14CuSO4+5FeS2+12H2O＝7Cu2S+5FeSO4+12H2SO4中，Cu2S 既是氧化产物，又是还原产物。（你能配平该反应吗？并得出该反应中电子转移个数吗？） 14、在反应KClO3+6HCl（浓）＝KCl+3Cl2↑+3H2O中，转移电子数为5e-，氧化产物与还原产物的质量比为1:5 ★15、某厂废水中含5.00×10-3mol/l的Cr2O72-，欲使1L该废水中的Cr2O72-完全转化为Cr0.5Fe1.5FeO4，理论上需要加入0.05molFeSO4·7H2O 16、在3BrF3+5H2O＝HBrO3+Br2+9HF+O2反应中，若有5mol水参加反应，则被水还原的BrF3的物质的量为10/3mol 17、向Na2S2O3溶液中通入足量氯气的离子方程式为：S2O32-+2Cl2+3H2O ＝2SO32-+4Cl-+6H+ 18、碱洗除去铝材表面的自然氧化膜时，常有气泡冒出：2Al+2OH- ＝2AlO2-+H2↑ 19、少量SO2通入到Ca(ClO)2溶液中：SO2+Ca2++2ClO-+H2O＝CaSO3↓+2HClO 20、加入铝能放出H2的溶液中大量存在：Fe2+、Al3+、NO3-、Cl- 21、由水电离出的c(OH-) ＝10-12mol/L的溶液大量存在：Cl-、HCO3-、
第八章 1、向量在轴上的投影： 性质：?cos )(a a u =（即Prj u ?cos a a =），其中?为向量a 与u 轴的夹角； u u u b a b a )()()( +=+（即Prj u =+)(b a Prj u a + Prj u b ）； u u a a )()( λλ=（即Prj u λλ=)(a Prj u a ）. 2、两个向量的向量积：设k a j a i a a z y x ++=，k b j b i b b z y x ++=，则 =?b a x x b a i y y b a j z z b a k =1 1) 1(+-y y b a z z b a i +21)1(+-x x b a z z b a j +3 1) 1(+- x x b a y y b a k =k b a b a j b a b a i b a b a x y y x z x x z y z z y )()()(-+-+- 注：a b b a ?-=? 3、二次曲面 （1） 椭圆锥面：222 22z b y a x =+； （2） 椭圆抛物面：z b y a x =+22 22； （旋转抛物面：z a y x =+2 22（把把xOz 面上的抛物线z a x =22 绕z 轴旋转）） （3） 椭球面：1222222=++c z b y a x ； （旋转椭球面：122 2 22=++c z a y x （把xOz 面上的椭圆122 22=+c z a x 绕z 轴旋转）） （4） 单叶双曲面：1222222=-+c z b y a x ； （旋转单叶双曲面：122 222=-+c z a y x （把 xOz 面上的双曲线122 22=-c z a x 绕z 轴旋转））
高等数学（下）知识点 主要公式总结 第八章 空间解析几何与向量代数 1、 二次曲面 1） 椭圆锥面：2 2 222z b y a x =+ 2） 椭球面：122 222 2=++c z b y a x 旋转椭球面：1222222=++c z a y a x 3） 单叶双曲面：122 222 2=-+c z b y a x 双叶双曲面：1222222=--c z b y a x 4） 椭圆抛物面：z b y a x =+2222 双曲抛物面（马鞍面）：z b y a x =-22 22 5） 椭圆柱面：1222 2=+b y a x 双曲柱面：122 22=-b y a x 6） 抛物柱面： ay x =2 （二） 平面及其方程 1、 点法式方程： 0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A 法向量：),,(C B A n =ρ ，过点),,(000z y x 2、 一般式方程： 0=+++D Cz By Ax 截距式方程： 1=++c z b y a x 3、 两平面的夹角：),,(1111C B A n =ρ，),,(2222C B A n =ρ， ?∏⊥∏21 0212121=++C C B B A A ；?∏∏21// 2 1 2121C C B B A A == 4、 点 ),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离： （三） 空间直线及其方程 1、 一般式方程：?????=+++=+++0 022221111D z C y B x A D z C y B x A 2、 对称式（点向式）方程： p z z n y y m x x 0 00-=-=-
高中化学易错知识点总结 高中化学易错知识点总结 “元素化合物”知识模块 1.碱金属元素原子半径越大，熔点越高，单质的活泼性越大 错误,熔点随着原子半径增大而递减 2.硫与白磷皆易溶于二硫化碳、四氯化碳等有机溶剂，有机酸则较难溶于水 3.在硫酸铜饱和溶液中加入足量浓硫酸产生蓝色固体 正确,浓硫酸吸水后有胆矾析出 4.能与冷水反应放出气体单质的只有是活泼的金属单质或活泼的非金属单质 错误,比如2Na2O2+2H2O→O2↑+4NaOH 5.将空气液化，然后逐渐升温，先制得氧气，余下氮气 错误,N2的沸点低于O2,会先得到N2,留下液氧 6.把生铁冶炼成碳素钢要解决的主要问题是除去生铁中除Fe以外各种元素，把生铁提纯 错误,是降低生铁中C的百分比而不是提纯 错误,自然界钾元素含量不低，但以复杂硅酸盐形式存在难溶于水 8.制取漂白色粉末、配制波尔多液以及改良酸性土壤时，都要用到熟石灰
正确,制取漂白色粉末为熟石灰和Cl2反应,波尔多液为熟石灰和硫酸铜的混合物 9.二氧化硅是酸性氧化物，它不溶于酸溶液 错误,SiO2能溶于氢氟酸 10.铁屑溶于过量盐酸，再加入氯水或溴水或碘水或硝酸锌，皆 会产生Fe3+ 错误,加入碘水会得到FeI2,因为Fe3+的氧化性虽然不如 Cl2,Br2,但是强于I2,在溶液中FeI3是不存在的 11.常温下，浓硝酸可以用铝罐贮存，说明铝与浓硝酸不反应 错误,钝化是化学性质,实质上是生成了致密的Al2O3氧化膜保护着铝罐 12.NaAlO2、Na2SiO3、Na2CO3、Ca(ClO)2、NaOH、C17H35COONa、C6H5ONa等饱和溶液中通入CO2出现白色沉淀，继续通入CO2至过量，白色沉淀仍不消失 错误,Ca(ClO)2中继续通入CO2至过量，白色沉淀消失,最后得 到的是Ca(HCO3)2 13.大气中大量二氧化硫来源于煤和石油的燃烧以及金属矿石的 冶炼 正确 14.某澄清溶液由NH4Cl、AgNO3、NaOH三种物质混合而成，若加入足量硝酸必产生白色沉淀 正确,NH4Cl、AgNO3、NaOH混合后发生反应生成[Ag(NH3)2]+加 入足量硝酸后生成AgCl和NH4NO3 15.为了充分利用原料，硫酸工业中的.尾气必须经净化、回收处理 错误,是为了防止大气污染
高数重点知识总结 1、基本初等函数：反函数(y=arctanx)，对数函数(y=lnx)，幂函数(y=x)，指数函数(x a y =)，三角函数(y=sinx)，常数函数(y=c) 2、分段函数不是初等函数。 3、无穷小：高阶+低阶=低阶 例如：1lim lim 020==+→→x x x x x x x 4、两个重要极限：()e x e x x x x x x x x =?? ? ??+=+=∞ →→→11lim 1lim )2(1 sin lim )1(1 0 经验公式：当∞→→→)(,0)(,0x g x f x x ，[] ) ()(lim ) (0 )(1lim x g x f x g x x x x e x f →=+→ 例如：()33lim 10 031lim -? ? ? ? ?-→==-→e e x x x x x x 5、可导必定连续，连续未必可导。例如：||x y =连续但不可导。 6、导数的定义：()00 00 ') ()(lim ) (') ()(lim x f x x x f x f x f x x f x x f x x x =--=?-?+→→? 7、复合函数求导： [][])(')(')(x g x g f dx x g df ?= 例如：x x x x x x x y x x y ++=++ = +=2412221 1', 8、隐函数求导：(1)直接求导法；(2)方程两边同时微分，再求出dy/dx 例如：y x dx dy ydy xdx y x y yy x y x - =?+- =?=+=+22,),2('0'22,),1(1 22左右两边同时微分法左右两边同时求导解：法 9、由参数方程所确定的函数求导：若?? ?==) ()(t h x t g y ，则)(')('//t h t g dt dx dt dy dx dy ==，其二阶导数：()[] ) (')('/)('/)/(/22 t h dt t h t g d dt dx dt dx dy d dx dx dy d dx y d === 10、微分的近似计算：)(')()(000x f x x f x x f ??=-?+ 例如：计算 ?31sin
高考化学易错知识点归纳 柯桥中学高三化学备课组林春辉2012.5 一、化学基本概念和理论（判断正误，错误的请订正或说明原因） 1、具有相同质子数的粒子都属于同种元素 2、向饱和氯化铁溶液中滴加适量的沸水，制取氢氧化铁胶体 3、Cl2、SO2和氨气的水溶液都具有导电性，它们都属于电解质 4、氢氧燃料电池中，当电路上有1mol电子通过时，则正极上消耗氧气的体积为5.6L 5、标准状况下，11.2LCl2溶于足量的冷水中，转移的电子数为0.5N A 6、由于碳酸根离子水解，在0.1mol/L碳酸钠溶液中，阴离子总数一定大于0.1N A 7、实验室用铅蓄电池作电源电解饱和食盐水制取0.050mol氯气，电池消耗的H2SO4的物质的量至少是0.10mol 8、在同温同压下，由CO、N2和O2组成的混合气体的密度是H2的14.5倍，其中O2的质量分数为27.6%，混合气体的平均相对分子质量为29g/mol 9、含N A个钠离子的Na2O溶解于1L水中，Na+的物质的量浓度约为1mol/L 10、配制0.2mol/LNaOH溶液500mL，需要使用的玻璃仪器有玻璃棒、烧杯、胶头滴管，还有容量瓶；用托盘天平称量NaOH的质量为4g 11、在溶液中可能发生反应：2KMnO4+HCOOK+KOH＝2K2MnO4+CO2↑+H2O 12、在反应CaCO3+2HCN＝CaCN2+CO↑+H2↑+CO2↑中，CaCO3是氧化剂，HCN是还原剂 13、在反应14CuSO4+5FeS2+12H2O＝7Cu2S+5FeSO4+12H2SO4中，Cu2S既是氧化产物，又是还原产物（你能配平该反应吗？） 14、在反应KClO3+6HCl（浓）＝KCl+3Cl2↑+3H2O中，转移电子数为5e-，氧化产物与还原产物的质量比为1:5 ★15、某厂废水中含 5.00×10-3mol/l的Cr2O72-，欲使1L该废水中的Cr2O72-完全转化为Cr0.5Fe1.5FeO4，理论上需要加入0.05molFeSO4·7H2O 16、在3BrF3+5H2O＝HBrO3+Br2+9HF+O2反应中，若有5mol水参加反应，则被水还原的BrF3的物质的量为10/3mol 17、向Na2S2O3溶液中通入足量氯气的离子方程式为：S2O32-+2Cl2+3H2O ＝2SO32-+4Cl-+6H+ 18、碱洗除去铝材表面的自然氧化膜时，常有气泡冒出：2Al+2OH- ＝2AlO2-+H2↑ 19、少量SO2通入到Ca(ClO)2溶液中：SO2+Ca2++2ClO- +H2O＝CaSO3↓+2HClO 20、加入铝能放出H2的溶液中大量存在：Fe2+、Al3+、NO3-、Cl- 21、常温下，由水电离出的c(OH-) ＝10-12mol/L的溶液大量存在：Cl-、NO3-、NH4+、F- 22、在高温下，2C+SiO2＝2CO+Si，由此可以说明碳元素的非金属性强于硅元素 23、1L1mol/L的碳酸钠溶液吸收SO2的量小于1L1mol/L硫化钠溶液吸收SO2的量 24、已知中和热△H＝-57.3kJ/mol，则稀硫酸与稀氢氧化钡溶液反应生成1mol水时，放出的热量是57.3kJ 25、MnO2的生产方法之一是以石墨为电极，电解酸化的MnSO4溶液，阴极的电极反应式是Mn2+＋2e-＋2H2O ＝MnO2＋4H+ 26、炒过菜的铁锅未及时洗净（残液中含NaCl），第二天便出现了红棕色的锈斑，负极反应式为Fe－3e-＝Fe3+，正极反应式为：O2＋4H+＋4e-＝2H2O 27、镀铜可防止铁制品腐蚀，电镀时用铜不用石墨作阳极的原因是铜不活泼，覆盖在铁制品上保护了铁 28、以铝材为阳极，在硫酸溶液中电解，铝材表面形成氧化膜，阳极电极反应式为2Al＋3H2O －6e-＝Al2O3＋6H+
高中化学易错知识点总结 1、羟基就是氢氧根 看上去都是OH组成的一个整体，其实，羟基是一个基团，它只是物质结构的一部分，不会电离出来。而氢氧根是一个原子团，是一个阴离子，它或强或弱都能电离出来。所以，羟基不等于氢氧根。 例如：C2H5OH中的OH是羟基，不会电离出来；硫酸中有两个OH也是羟基，众所周知，硫酸不可能电离出OH-的。而在NaOH、Mg（OH）2、Fe（OH）3、Cu2（OH）2CO3中的OH就是离子，能电离出来，因此这里叫氢氧根。 2、Fe3+离子是黄色的 众所周知，FeCl3溶液是黄色的，但是不是意味着Fe3+就是黄色的呢？不是。Fe3+对应的碱Fe（OH）3是弱碱，它和强酸根离子结合成的盐类将会水解产生红棕色的Fe（OH）3.因此浓的FeCl3 溶液是红棕色的，一般浓度就显黄色，归根结底就是水解生成的Fe （OH）3导致的。真正Fe3+离子是淡紫色的而不是黄色的。将Fe3+溶液加入过量的酸来抑制水解，黄色将褪去。 3、AgOH遇水分解 我发现不少人都这么说，其实看溶解性表中AgOH一格为“—”就认为是遇水分解，其实不是的。而是AgOH的热稳定性极差，室温就能分解，所以在复分解时得到AgOH后就马上分解，因而AgOH 常温下不存在。和水是没有关系的。如果在低温下进行这个操作，是可以得到AgOH这个白色沉淀的。 4、多元含氧酸具体是几元酸看酸中H的个数。 多元酸究竟能电离多少个H+，是要看它结构中有多少个羟基，非羟基的氢是不能电离出来的。如亚磷酸（H3PO3），看上去它有三个H，好像是三元酸，但是它的结构中，是有一个H和一个O分别和中心原子直接相连的，而不构成羟基。构成羟基的O和H只有两个。因此H3PO3是二元酸。当然，有的还要考虑别的因素，如路易斯酸H3BO3就不能由此来解释。 5、酸式盐溶液呈酸性 表面上看，“酸”式盐溶液当然呈酸性啦，其实不然。到底酸式盐呈什么性，要分情况讨论。如果这是强酸的酸式盐，因为它电离出
第八章 1、 向量在轴上的投影： 性质：?cos )(a a u =（即Prj u ?cos a a =），其中?为向量a 与u 轴的夹角； u u u b a b a )()()( +=+（即Prj u =+)(b a Prj u a + Prj u b ）； u u a a )()( λλ=（即Prj u λλ=)(a Prj u a ）. 2、 两个向量的向量积：设k a j a i a a z y x ++=，k b j b i b b z y x ++=，则 =?b a x x b a i y y b a j z z b a k =1 1) 1(+-y y b a z z b a i +21)1(+-x x b a z z b a j +3 1)1(+- x x b a y y b a k ) =k b a b a j b a b a i b a b a x y y x z x x z y z z y )()()(-+-+- 注：a b b a ?-=? 3、 二次曲面 （1） 椭圆锥面：222 22z b y a x =+； （2） 椭圆抛物面：z b y a x =+2222； （旋转抛物面： z a y x =+2 2 2（把把xOz 面上的抛物线z a x =22 绕z 轴旋转）） （3） 椭球面：1222222=++c z b y a x ； （旋转椭球面： 122 222=++c z a y x （把xOz 面上的椭圆122 22=+c z a x 绕z 轴旋转）） （4） 单叶双曲面：1222222=-+c z b y a x ； （旋转单叶双曲面：122 222=-+c z a y x （把 xOz 面上的双曲线122 22=-c z a x 绕z 轴旋转） ）
大学高等数学知识点整理 公式，用法合集 极限与连续 一. 数列函数: 1. 类型: (1)数列: *()n a f n =; *1()n n a f a += (2)初等函数: (3)分段函数: *0102()(),()x x f x F x x x f x ≤?=?>?; *0 ()(), x x f x F x x x a ≠?=?=?;* (4)复合(含f )函数: (),()y f u u x ?== (5)隐式(方程): (,)0F x y = (6)参式(数一,二): () ()x x t y y t =??=? (7)变限积分函数: ()(,)x a F x f x t dt = ? (8)级数和函数(数一,三): 0 (),n n n S x a x x ∞ ==∈Ω∑ 2. 特征(几何): (1)单调性与有界性(判别); (()f x 单调000,()(()())x x x f x f x ??--定号) (2)奇偶性与周期性(应用). 3. 反函数与直接函数: 1 1()()()y f x x f y y f x --=?=?= 二. 极限性质: 1. 类型: *lim n n a →∞; *lim ()x f x →∞ (含x →±∞); *0 lim ()x x f x →(含0x x ± →) 2. 无穷小与无穷大(注: 无穷量): 3. 未定型: 000,,1,,0,0,0∞ ∞∞-∞?∞∞∞ 4. 性质: *有界性, *保号性, *归并性 三. 常用结论: 11n n →, 1(0)1n a a >→, 1()max(,,)n n n n a b c a b c ++→, ()00! n a a n >→
七种高中化学易错知识点总结 七种高中化学易错知识点总结 1、多元含氧酸具体是几元酸看酸中H的个数 多元酸究竟能电离多少个H+，是要看它结构中有多少个羟基， 非羟基的氢是不能电离出来的。如亚磷酸(H3PO3)，看上去它有三个H，好像是三元酸，但是它的结构中，是有一个H和一个O分别和中 心原子直接相连的，而不构成羟基。构成羟基的O和H只有两个。 因此H3PO3是二元酸。当然，有的还要考虑别的因素，如路易斯酸 H3BO3就不能由此来解释。 2、酸式盐溶液呈酸性 3、H2SO4有强氧化性 就这么说就不对，只要在前边加一个“浓”字就对了。浓H2SO4 以分子形式存在，它的氧化性体现在整体的分子上，H2SO4中的S+6 易得到电子，所以它有强氧化性。而稀H2SO4(或SO42-)的氧化性几 乎没有(连H2S也氧化不了)，比H2SO3(或SO32-)的`氧化性还弱得多。这也体现了低价态非金属的含氧酸根的氧化性比高价态的强， 和HClO与HClO4的酸性强弱比较一样。所以说H2SO4有强氧化性时 必须严谨，前面加上“浓”字。 4、书写离子方程式时不考虑产物之间的反应 从解题速度角度考虑，判断离子方程式的书写正误时，可以“四看”:一看产物是否正确;二看电荷是否守恒;三看拆分是否合理;四 看是否符合题目限制的条件。从解题思维的深度考虑，用联系氧化 还原反应、复分解反应等化学原理来综合判断产物的成分。中学典 型反应：低价态铁的化合物(氧化物、氢氧化物和盐)与硝酸反应;铁 单质与硝酸反应;+3铁的化合物与还原性酸如碘化氢溶液的反应等。
5、忽视混合物分离时对反应顺序的限制 混合物的分离和提纯对化学反应原理提出的具体要求是：反应要快、加入的过量试剂确保把杂质除尽、选择的试剂既不能能引入新 杂质又要易除去。 6、计算反应热时忽视晶体的结构 计算反应热时容易忽视晶体的结构，中学常计算共价键的原子晶体：1mol金刚石含2mol碳碳键，1mol二氧化硅含4mol硅氧键。分 子晶体：1mol分子所含共价键，如1mol乙烷分子含有6mol碳氢键 和1mol碳碳键。 7、对物质的溶解度规律把握不准 物质的溶解度变化规律分三类：第一类，温度升高，溶解度增大，如氯化钾、硝酸钾等;第二类，温度升高，溶解度增大，但是增加的 程度小，如氯化钠;第三类，温度升高，溶解度减小，如气体、氢氧 化钠等，有些学生对气体的溶解度与温度的关系理解不清。
易混易错知识点总结 一、人民当家作主 1.在我国，一切权力属于【人民】 3.有立法权、人事任免权和重大事项决定权×。【全国人民代表大会】 4. 【全国人民代表大会】是我国最高权力机关。 5【人民代表大会制度】是我国的根本政治制度。 6. 【各级人民代表大会】是我国的权力机关。 7.人民代表大会制度是我国的【根本政治制度】 8.我国公民有直接参加国家管理的民主权利。× 二、我国的经济成分 1. 【公有制经济】是我国经济的主体。【公有制经济】是我国社会主义经济制度的基础。 2. 【国有经济】是我国经济的主导。 4.非公有制经济是社会主义市场经济的重要组成部分。 5【国有经济】控制着我国国民经济的命脉。 三、中国走向世界 1.改革开放是我国长期坚持的一项基本国策。×【对处开放】 2.中国是维护世界和平与稳定的决定力量（领导力量、主宰力量、控制力量）。×【重要力量（、坚定力量、中坚力量）】 3.中国在国际事务中发挥着决定力量（领导力量、主宰力量、控制力量）。×【重要力量（、坚定力量、中坚力量）】 四、社会主义初级阶段 1.人口多、底子薄是我国的基本国情。×【处于并将长期处于社会主义初级阶段】 2.“三个代表”重要思想是我国的立国之本。×【四项基本原则】 3.对外开放是强国之路，是社会主义建设的活力源泉、不竭动力。×【改革开放】 4.党和国家始终把民生问题、人民的切身利益放在一切工作的首位（首要工作、中心工作、工作中心、工作重心、工作重点）。×【以经济建设为中心，大力发展生产力】 5.我国的根本任务是实现共同富裕。×【集中力量进行社会主义现代化建设（以经济建设为中心，大力发展生产力）】（共同富裕是社会主义的根本目的和根本原则，不是根本任务） 6.解决我国所有问题的关键（最重要、最根本的）是共同富裕。×【发展（以经济建设为中心，大力发展生产力）】 共同富裕、公平正义、科技成就、人与自然 1.党和国家的各种措施有利于实现各族人民的同步富裕（同等富裕、同时富裕）。×【共同富裕】 2.党和国家致力于维护社会的绝对公平与正义。×【“绝对”删去（公平是相对的，没有绝对的公平）】 3.我国的科技实力不断增强，已经跻身于世界先进行列。×【部分（某些）领域已经跻身世界先进行列。】 4.我们要战胜自然、改造自然，走可持续发展道路。×【人与自然和谐相处】 六、法治的国家 1.依法治国是党领导人民治理国家的基本国策。×【基本方略（治国方略）】 2.依法治国的主体是中国共产党（全体公民）。×【广大人民群众】 3.最有效、最可靠最重要的规则是道德。×【法律】 4.依法治国和以德国（法律和道德），依法治国（法律）更重要，更有效。×【两者相辅相成，同等重要、缺一不可。】
第一讲: 极限与连续 一. 数列函数: 1. 类型: (1)数列: *()n a f n =; *1()n n a f a += (2)初等函数: (3)分段函数: *010 2()(), ()x x f x F x x x f x ≤?=? >?; *0 0()(),x x f x F x x x a ≠?=?=?;* (4)复合(含f )函数: (),()y f u u x ?== (5)隐式(方程): (,)0F x y = (6)参式(数一,二): () () x x t y y t =?? =? (7)变限积分函数: ()(,)x a F x f x t dt = ? (8)级数和函数(数一,三): 0 (),n n n S x a x x ∞ ==∈Ω∑ 2. 特征(几何): (1)单调性与有界性(判别); (()f x 单调000,()(()())x x x f x f x ??--定号) (2)奇偶性与周期性(应用). 3. 反函数与直接函数: 1 1()()()y f x x f y y f x --=?=?= 二. 极限性质: 1. 类型: *lim n n a →∞ ; *lim ()x f x →∞ (含x →±∞); *0 lim ()x x f x →(含0x x ±→) 2. 无穷小与无穷大(注: 无穷量): 3. 未定型: 000,,1,,0,0,0∞ ∞∞-∞?∞∞∞ 4. 性质: *有界性, *保号性, *归并性 三. 常用结论: 11n n →, 1(0)1n a a >→, 1()m a x (,,)n n n n a b c a b c ++→, ()00! n a a n >→ 1(0)x x →→∞, 0lim 1x x x + →=, l i m 0n x x x e →+∞=, ln lim 0n x x x →+∞=,
语文易错知识点汇总一易错的字音字词易错读音1 ǐ）户q）绮（nún tùh）馄饨（nùn dùhì）灯混沌（chǐ）梁白炽（j脊（）头攻讦（núx噱（）喷nēp）沱大雨香喷喷（ngāp）滂（èxié）跑马卖解（ji ）气íp）头倔脑倔脾（èju）倔（?uq?gé）强枸杞（ju）香倔（nèp（）然iěfù）立斐（chù）立矗（zhì）古不化伫（nú）撼树泥（fíp蚍蜉（）闻iēfì）子手绯（gu）刽（iàkuú）市侩（rèni嗫嚅（易错多音字2 炮、菲易错词语3 平心而论挖墙脚老生常谈明信片食不果腹大满贯启事文身亟待爆冷门凑合履新埋单出其不意出奇制胜挑肥拣瘦=一如既往继往开来捡（拾取）拣（挑选）买单工力悉敌前事不忘，后事之师顶礼膜拜倾轧毋庸置疑荟萃萃取易错词义4 没工夫）-武术）工夫（时间/罚不当罪（罚重了）功夫（同工夫完成某项工作的人力）/功效）工力（力量和本领/功力（功夫和力量二易错的病句类型）搭配、用词不当1（，关键时期长身体、长知识，形成人生观、世界观的正是（正处在）青年学生1教育部门、学校领导和有关组织对他们的双休日是该好好关心一下了。读者在学习英语句型方面起举一反三的作用。引导（对）本书作者希望本书能2，她纵横，对她来说，
是一次史无前例的的“长征”医学尖端—癌症攻克当代3。医学独创自己的提出中西，博采众长，千年求索，推陈出新，，有鲤鱼跳）岁月verb蹉跎（和青春往事了自己的自述在这本新书里，冯小刚4龙门，有对生活的坦白，更有对朋友的怀念。。兴趣（？）和浓厚的关心了极大的表示科技界的同志对这一问题5（多重否定）收集邮票。无时无刻不忘小李是个集邮迷，他6还可以发展到特点但研究人员认为其微型超微型电脑已经尽显了巨大的魅力，7。更高水平。倍1~2下降了夏季即将来临，空调的价格愈演愈烈，有的品牌价格甚至8胜利凯旋拿破仑远征西班牙后9 。把文化思维方式和表达方式的思维训练提前到中学教育阶段，已是人们的共10 。人生发展规律，而且要更加重视尊重人生价值的实现识，创新教育不仅要（关联词递进关系错误），在民间的影响如日中天，所近几年，易中天因做客中央电视台“百家讲坛”11 到许多高校发表演讲深受学生欢迎。被应邀（应邀就有被动含义）以常，对其他高新技术以及高新技术代表当代最高水平的成为（作为）航天技术12 就能产生无法他一旦转化为现实生产力，经济社会的发展具有很强的带动作用，估量的经济效益。，
主要公式总结 第八章空间解析几何与向量代数 1、 二次曲面 1） 椭圆锥面：2 2222z b y a x =+ 2） 椭球面：122 222 2=++c z b y a x 旋转椭球面：1222222=++c z a y a x 3） 单叶双曲面：122 222 2=-+c z b y a x 双叶双曲面：1222222=--c z b y a x 4） 椭圆抛物面：z b y a x =+2222双曲抛物面（马鞍面）：z b y a x =-22 22 5） 椭圆柱面：1222 2=+b y a x 双曲柱面：122 22=-b y a x 6） 抛物柱面： ay x =2 （二） 平面及其方程 1、 点法式方程： 0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A 法向量：),,(C B A n =ρ ，过点),,(000z y x 2、 一般式方程： 0=+++D Cz By Ax 截距式方程： 1=++c z b y a x 3、 两平面的夹角：),,(1111 C B A n =ρ ，),,(2222C B A n =ρ ， 22 22 22 21 21 21 2 12121cos C B A C B A C C B B A A ++?++++= θ ?∏⊥∏210212121=++C C B B A A ；? ∏∏21//2 1 2121C C B B A A == 4、 点 ),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离： 2 2 2 000C B A D Cz By Ax d +++++= （三） 空间直线及其方程
专升本高等数学知识点汇总 常用知识点： 一、常见函数的定义域总结如下： （1） c bx ax y b kx y ++=+=2 一般形式的定义域：x ∈R （2）x k y = 分式形式的定义域：x ≠0 （3）x y = 根式的形式定义域：x ≥0 （4）x y a log = 对数形式的定义域：x ＞0 二、函数的性质 1、函数的单调性 当21x x <时，恒有)()(21x f x f <，)(x f 在21x x ，所在的区间上是增加的。 当21x x <时，恒有)()(21x f x f >，)(x f 在21x x ，所在的区间上是减少的。 2、 函数的奇偶性 定义：设函数)(x f y =的定义区间D 关于坐标原点对称（即若D x ∈，则有D x ∈-） (1) 偶函数)(x f ——D x ∈?，恒有)()(x f x f =-。 (2) 奇函数)(x f ——D x ∈?，恒有)()(x f x f -=-。 三、基本初等函数 1、常数函数：c y =，定义域是),(+∞-∞，图形是一条平行于x 轴的直线。 2、幂函数：u x y =， (u 是常数)。它的定义域随着u 的不同而不同。图形过原点。 3、指数函数
定义: x a x f y ==)(， (a 是常数且0>a ，1≠a ).图形过（0,1）点。 4、对数函数 定义: x x f y a log )(==， (a 是常数且0>a ，1≠a )。图形过（1,0）点。 5、三角函数 (1) 正弦函数: x y sin = π2=T ， ),()(+∞-∞=f D ， ]1,1[)(-=D f 。 (2) 余弦函数: x y cos =. π2=T ， ),()(+∞-∞=f D ， ]1,1[)(-=D f 。 (3) 正切函数: x y tan =. π=T ， },2 )12(,|{)(Z R ∈+≠∈=k k x x x f D π ， ),()(+∞-∞=D f . (4) 余切函数: x y cot =. π=T ， },,|{)(Z R ∈≠∈=k k x x x f D π， ),()(+∞-∞=D f . 5、反三角函数 (1) 反正弦函数: x y sin arc =，]1,1[)(-=f D ，]2 ,2[)(π π- =D f 。 (2) 反余弦函数: x y arccos =，]1,1[)(-=f D ，],0[)(π=D f 。 (3) 反正切函数: x y arctan =，),()(+∞-∞=f D ，)2 ,2()(π π- =D f 。 (4) 反余切函数: x y arccot =，),()(+∞-∞=f D ，),0()(π=D f 。 极限 一、求极限的方法 1、代入法 代入法主要是利用了“初等函数在某点的极限，等于该点的函数值。”因此遇到大部分简单题目的时候，可以直接代入进行极限的求解。 2、传统求极限的方法 （1）利用极限的四则运算法则求极限。 （2）利用等价无穷小量代换求极限。 （3）利用两个重要极限求极限。 （4）利用罗比达法则就极限。
“元素化合物”知识模块 1. 碱金属元素原子半径越大，熔点越高，单质的活泼性越大 错误, 熔点随着原子半径增大而递减 2. 硫与白磷皆易溶于二硫化碳、四氯化碳等有机溶剂，有机酸则较难溶于水 3. 在硫酸铜饱和溶液中加入足量浓硫酸产生蓝色固体 正确, 浓硫酸吸水后有胆矾析出 4. 能与冷水反应放出气体单质的只有是活泼的金属单质或活泼的非金属单质 错误, 比如2Na2O2+2H2→OO2↑+4NaOH 5. 将空气液化，然后逐渐升温，先制得氧气，余下氮气 错误,N2 的沸点低于O2,会先得到N2, 留下液氧 6. 把生铁冶炼成碳素钢要解决的主要问题是除去生铁中除Fe 以外各种元素，把生铁提纯错误, 是降低生铁中 C 的百分比而不是提纯 7. 虽然自然界含钾的物质均易溶于水，但土壤中K%不高，故需施钾肥满足植物生长需要错误, 自然界钾元素含量不低，但以复杂硅酸盐形式存在难溶于水 8. 制取漂白粉、配制波尔多液以及改良酸性土壤时，都要用到熟石灰 正确, 制取漂白粉为熟石灰和Cl2 反应, 波尔多液为熟石灰和硫酸铜的混合物 9. 二氧化硅是酸性氧化物，它不溶于酸溶液 错误,SiO2 能溶于氢氟酸 10. 铁屑溶于过量盐酸，再加入氯水或溴水或碘水或硝酸锌，皆会产生Fe3＋ 错误, 加入碘水会得到FeI2, 因为Fe3＋的氧化性虽然不如Cl2,Br2, 但是强于I2, 在溶液中FeI3 是不存在的 11. 常温下，浓硝酸可以用铝罐贮存，说明铝与浓硝酸不反应 错误, 钝化是化学性质, 实质上是生成了致密的Al2O3 氧化膜保护着铝罐 12.NaAlO2 、Na2SiO3、Na2CO3、Ca(ClO)2 、NaOH、C17H35COON、aC6H5ONa等饱和溶液中通 入CO2出现白色沉淀，继续通入CO2至过量，白色沉淀仍不消失 错误,Ca(ClO)2 中继续通入CO2至过量，白色沉淀消失, 最后得到的是Ca(HCO3)2 13. 大气中大量二氧化硫来源于煤和石油的燃烧以及金属矿石的冶炼 正确 14. 某澄清溶液由NH4Cl、AgNO3、NaOH三种物质混合而成，若加入足量硝酸必产生白色沉淀 正确,NH4Cl 、AgNO3、NaOH混合后发生反应生成[Ag(NH3)2]+ 加入足量硝酸后生成AgCl 和 NH4NO3 15. 为了充分利用原料，硫酸工业中的尾气必须经净化、回收处理 错误, 是为了防止大气污染 16. 用1molAl 与足量NaOH溶液反应，共有3mol 电子发生转移 17. 硫化钠既不能与烧碱溶液反应，也不能与氢硫酸反应
初中【道法/思品】易错易混知识点全汇总 【道法/思品】易错知识点 1.进入初中生活，我们难免有些不适应。进入青春期，会出现闭锁心里。 误：青春期出现闭锁心理是绝对有害的，我们要想办法消除。析：出现上述两种心理现象是正常的，但有危害，要及时调整，积极与同学、朋友交往，养成热情、开朗的性格。 2.学习中的苦与乐。 误：学习对大多数人来说是苦乐交织的；学习过程是痛苦的，学习结果是快乐的。 析：学习对每个人来说都是苦乐交织的，学习中有苦更有乐3.生命是地球上最珍贵的财富，世界因生命的存在而变得精彩。 误：人的生命是地球上最珍贵的财富。 4.每个人的生命都是有价值的。每个人对国家、社会和他人都有价值。 误：每个人生命的价值和意义都是一样的。坏人、恶人的生命没有价值。 析：人的生命作为一种存在，如果其愿意，任何人都能够为社会留下物质财富或精神财富。
5.我们要肯定、尊重、悦纳、珍爱生命，无论何时何地，无论遇到多大挫折，都不会轻易放弃生的希望。 误：人在任何时候都不应放弃生命。 析：在某些十分危急的情况下，可能要为正义而献身，“舍生取义、舍己救人”。正确表述：除了为正义而献身外，人一般不应主动放弃生命。 自杀、自残：与社会道义相悖，与法不合。 6.学生成长过程中的双刃剑：诱惑、挫折、网络 ①诱惑 误：我们要抵制各类诱惑。 析：我们的生边存在很多诱惑，但并非所有的诱 惑都是有害的，要善于辨别并抵制不良诱惑。 ②挫折 误：挫折总是给人带来消极作用；挫折是人成功 的保证；不经历挫折就不能成功。 析：挫折首先（一定会）产生消极作用，如果处 理得好，会产生积极作用，“艰难困苦，玉汝于 成”。战胜挫折使人成功。 ③网络 误：应远离网络，关闭网吧。
------------------------------------------------------------- 考点------ 可数名词的数 There are fifty _____ in our school. They are all friendly to us. A. woman teachers B. women teacher C. woman teacher D. women teachers 【易错选项】选A 【易错原因】复合名词变复数时, 忽视由man和woman构成的复合名词这一特殊形式。 【正确答案】D 【试题解析】由man和woman构成的复合名词变复数时,前后两个名词都要变成复数。 ------------------------------------------------------------- 考点------ 不可数名词 I'm so hungry. Please give me _____ to eat. A. three bread B. three pieces of bread
C. three pieces of breads 【易错选项】选C 【易错原因】未掌握不可数名词的数量表达。 【正确答案】B 【试题解析】bread为不可数名词,没有复数形式,表示数量时, 不能用数词直接来修饰,可借助表示数量单位的短语修饰。 ------------------------------------------------------------- 考点------ 名词所有格 ---What is _____ brother? ---He is a policeman A. Jim's and paul's B. Jim and Paul C. Jim and paul's 【易错选项】选A 【易错原因】混淆表示共有和各自拥有时的所有格结构。 【正确答案】C 【试题解析】由问句中的brother及答语中的He可知, 此处表示Jim
第1章 函数与极限总结 1、极限的概念 (１）数列极限的定义 给定数列{x n }，若存在常数a ，对于任意给定的正数ε (不论它多么小)， 总存在正整数N ， 使得对于n >N 时的一切n , 恒有 |x ｎ-ａ ｜<ε 则称a 是数列｛x n }的极限, 或者称数列{x n }收敛于a , 记为 a x n n =∞ →lim 或xn →ａ (ｎ→∞)． (2)函数极限的定义 设函数f （ｘ)在点x 0的某一去心邻域内（或当0x M >>)有定义,如果存在常数A , 对于任意给定的正数ε (不论它多么小)， 总存在正数δ,（或存在X ） 使得当ｘ满足不等式0<|x －ｘ0|<δ 时，(或当x X >时） 恒有 |f (ｘ)－A ｜<ε , 那么常数Ａ就叫做函数f (ｘ)当0x x →（或x →∞)时的极限， 记为 A x f x x =→)(lim 0 或f (x ）→A (当x →ｘ０).（ 或lim ()x f x A →∞ =) 类似的有：如果存在常数A ,对0,0,εδ?>?>当00:x x x x δ-<<(00x x x δ<<-）时,恒有()f x A ε-<，则称A 为()f x 当0x x →时的左极限(或右极限）记作 00 lim ()(lim ())x x x x f x A f x A - +→→==或 显然有0 lim ()lim ()lim ())x x x x x x f x A f x f x A -+→→→=?== 如果存在常数A ,对0,0,X ε?>?>当()x X x X <->或时，恒有()f x A ε-<，则称A 为()f x 当x →-∞（或当x →+∞)时的极限 记作lim ()(lim ())x x f x A f x A →-∞ →+∞ ==或 显然有lim ()lim ()lim ())x x x f x A f x f x A →∞ →-∞ →+∞ =?== ２、极限的性质 (１）唯一性 若a x n n =∞ →lim ,lim n n x b →∞ =，则a b = 若0() lim ()x x x f x A →∞→=0() lim ()x x x f x B →∞→=，则A B = (２)有界性 (i)若a x n n =∞ →lim ，则0M ?>使得对,n N + ?∈恒有n x M ≤