3.1.1空间向量及其加减运算专项练习与答案

2020秋高中数学人教A版选修2-1达标练习：3.1-3.1.1 空间向量及其加减运算含解析A级基础巩固一、选择题1．下列说法中正确的是(）A．任意两个空间向量都可以比较大小B．方向不同的空间向量不能比较大小，但同向的空间向量可以比较大小C．空间向量的大小与方向有关D．空间向量的模可以比较大小解析：由向量概念可知只有D正确．答案:D2．下列说法中正确的是()A．若｜a｜＝｜b|，则a，b的长度相等，方向相同或相反B．若向量a是向量b的相反向量,则｜a｜＝|b｜C．空间向量的减法满足结合律D．在四边形ABCD中,一定有错误!＋错误!＝错误!解析：｜a|＝｜b|，只是说明a，b模相等，但方向不确定，所以A错；相反向量方向相反，模相等,则B正确；C显然不对；四边形ABCD若为平行四边形则满足此式错误!＋错误!＝错误!，有的不规则四边形ABCD不满足此式,D错．答案:B3．已知空间向量错误!、错误!、错误!、错误!，则下列结论正确的是(）A.错误!＝错误!＋错误!B.错误!－错误!＋错误!＝错误!C.错误!＝错误!＋错误!＋错误! D。

错误!＝错误!－错误!解析:错误!－错误!＋错误!＝错误!＋错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!.答案：B4．已知正方形ABCD的边长为1,设错误!＝a,错误!＝b，错误!＝c，则|a＋b＋c|等于(）A．0 B．3 C．2＋错误!D．2错误!解析:利用向量加法的平行四边形法则结合正方形性质求解,|a ＋b＋c|＝2|错误!|＝2错误!.答案:D5。

如图，在长方体ABCD。

A1B1C1D1中，下列各式中运算结果为向量错误!的是()①（错误!－错误!)－错误!；②(错误!＋错误!)－错误!；③(错误!－错误!)－错误!；④(错误!－错误!)＋错误!.A．①②B．②③C．③④D．①④答案:A二、填空题6．把所有单位向量的起点移到同一点，则这些向量的终点组成的图形是________．解析:在空间中把所有的单位向量的起点移到同一点,则这些向量的终点组成的图形是以这些单位向量的公共起点为球心，半径为1的球面．答案：球面7．在长方体ABCD-A1B1C1D中,错误!＋错误!＋错误!与向量错误!之间的关系是________．解析:因为错误!＝错误!＋错误!＋错误!，错误!＝错误!＋错误!，错误!＝错误!＋错误!，错误!＝错误!＋错误!，所以错误!＋错误!＋错误!＝2错误!。

3.1 空间向量及其运算3.1.1 空间向量及其加减运算一、基础达标1．下列命题中，假命题是( )A ．任意两个向量都是共面向量B ．空间向量的加法运算满足交换律及结合律C ．只有零向量的模等于0D ．共线的单位向量都相等 答案 D解析 容易判断D 是假命题，共线的单位向量是相等向量或相反向量．2．已知空间四边形ABCD 中，AB →＝a ，BC →＝b ，AD →＝c ，则CD →等于( )A ．a ＋b －cB ．c －a －bC ．c ＋a －bD ．c ＋a ＋b答案 B解析 如图，∵AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0.即a ＋b ＋CD →－c ＝0，∴CD →＝c －a －b .3．判断下列各命题的真假：①向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； ②两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；③两个有公共终点的向量，一定是共线向量； ④有向线段就是向量，向量就是有向线段． 其中假命题的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5答案 B解析 ①假命题，若a 与b 中有一个为零向量时，其方向是不确定的；②真命题；③假命题，终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反；④假命题，向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段．4．已知平行四边形ABCD 的对角线交于点O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，则BC →等于( )A ．－a －bB ．a ＋b C.12a －bD ．2(a －b )答案 A 解析 如图，∵OA→＝a ，OB →＝b ， ∴BO→＝－b ，OC →＝－a ， ∴BC→＝BO →＋OC →＝－b －a . 5．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量表达式DD 1→－AB →＋BC →化简后的结果是( )A.BD 1→B.D 1B →C.B 1D →D.DB 1→答案 A解析 如图所示，因为DD 1→＝AA 1→，DD 1→－AB →＝AA 1→－AB →＝BA 1→，BA 1→＋BC →＝BD 1→， ∴DD 1→－AB →＋BC →＝BD 1→.6．对于空间中的非零向量AB →、BC →、AC →，有下列各式：①AB →＋BC →＝AC →；②AB →－AC →＝BC →；③|AB →|＋|BC →|＝|AC →|；④|AB →|－|AC →|＝|BC →|.其中一定不成立的是________． 答案 ②解析 根据空间向量的加减法运算，对于①：AB→＋BC →＝AC →恒成立；对于③：当AB→、BC →、AC →方向相同时，有|AB →|＋|BC →|＝|AC →|；对于④：当BC →、AB →、AC →共线且BC→与AB →、AC →方向相反时，有|AB →|－|AC →|＝|BC →|.只有②一定不成立． 7．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为AB 、B 1C 的中点．如何用AB →、AD →、AA 1→表示向量MN →？解 MN→＝MB →＋BC →＋CN → ＝12AB →＋AD →＋12(CB →＋BB 1→) ＝12AB →＋AD →＋12(－AD →＋AA 1→) ＝12AB →＋12AD →＋12AA 1→. 二、能力提升8．如图，在四棱柱的上底面ABCD 中，AB →＝DC →，则下列向量相等的是( )A.AD→与CB →B.OA→与OC → C.AC →与DB →D.DO→与OB → 答案 D解析 ∵AB→＝DC →，∴|AB →|＝|DC →|，AB ∥DC ，即四边形ABCD 为平行四边形，由平行四边形的性质知，DO→＝OB →.∴应选D.9．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若CA →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，则A 1B →＝____________． 答案 －a ＋b －c解析 A 1B →＝A 1A →＋AB →＝C 1C →＋(CB →－CA →)＝－CC 1→＋CB →－CA →＝－c ＋b －a . 10．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AC →＋AB 1→＋AD 1→与向量AC 1→之间的关系是________．答案 AC →＋AB 1→＋AD 1→＝2AC 1→ 解析 ∵AC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→，AC →＝AB →＋AD →，AB 1→＝AB →＋AA 1→，AD 1→＝AD →＋AA 1→，∴AC →＋AB 1→＋AD 1→＝2AC 1→. 11．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，化简DA →－DB →＋B 1C →－B 1B →＋A 1B 1→－A 1B →. 解 如图．DA →－DB →＋B 1C →－B 1B →＋A 1B 1→－A 1B → ＝(DA →－DB →)＋(B 1C →－B 1B →)＋(A 1B 1→－A 1B →) ＝BA →＋BC →＋BB 1→＝BD →＋BB 1→＝BD 1→. 12．如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，M 是BB 1的中点．化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：(1)CB →＋BA 1→； (2)AC→＋CB →＋12AA 1→； (3)AA 1→－AC →－CB →. 解 (1)CB →＋BA 1→＝CA 1→. (2)因为M 是BB 1的中点，所以BM →＝12BB 1→.又AA 1→＝BB 1→，所以AC →＋CB →＋12AA 1→＝AB →＋BM →＝AM →.(3)AA 1→－AC →－CB →＝CA 1→－CB →＝BA 1→. 向量CA 1→，AM →，BA 1→如图所示．三、探究与创新13．如图所示，已知空间四边形ABCD ，连接AC ，BD ，E ，F ，G 分别是BC ，CD ，DB 的中点，请化简(1)AB→＋BC →＋CD →； (2)AB→＋GD →＋EC →，并标出化简结果的向量． 解 (1)AB→＋BC →＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →.(2)∵E ，F ，G 分别为BC ，CD ，DB 的中点．∴BE→＝EC →，EF →＝GD →.∴AB→＋GD →＋EC → ＝AB→＋BE →＋EF →＝AF →. 故所求向量AD→，AF →如图所示．。

实用文档选修2-1 3.1.1空间向量及其加减运算一、选择题1、在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F.若＝a ，＝b ，则等于( )A.14a ＋12bB.13a ＋23b C.12a ＋14b D.23a ＋13b2、平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H ，P ，Q 分别是A 1A ，AB ，BC ，CC 1，C 1D 1，D 1A 1的中点，则( )A.EF →＋＋＝0B. EF→－－＝0 C.EF →＋－＝0 D.EF→－＋＝03、在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，向量表达式-+化简后的结果是( )A. B. 1D B C.1B D D. 1DB4、已知向量，，满足||＝||＋||，则( )实用文档 A. ＝＋ B. ＝－－C. 与同向D. 与与同向5、已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点且2＋＋=0，则等于( )A. B. C. OD → D.2OD →6、如图所示，平行四边形ABCD 的对角线的交点为O ，则下列等式成立的是()A. ＋＝B. ＋＝C. －＝D. －＝7、下列命题中，假命题是( )A. 向量与的长度相等B ．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同C ．只有零向量的模等于0D ．共线的单位向量都相等二、填空题8、判断下列各命题的真假：①向量的长度与向量的长度相等；②向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；④两个有公共终点的向量，一定是共线向量；⑤有向线段就是向量，向量就是有向线段．其中假命题的个数为________．9、若G为△ABC内一点，且满足AG＋＋＝0，则G为△ABC的________．(填“外心”“内心”“垂心”或“重心”)A B的模相等的向量有________个．10、在平行六面体ABCD－A’B’C’D’中，与向量''三、解答题11、证明：平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分．实用文档12、如图所示，已知空间四边形ABCD，连结AC,BD,E,F,G分别是BC,CD,DB的中点，请化简：＋＋，(2)＋＋，并标出化简结果的向量．13、判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由．①向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在一条直线上；②单位向量都相等；③任一向量与它的相反向量不相等；④四边形ABCD是平行四边形的充要条件是＝；⑤模为0是一个向量方向不确定的充要条件．实用文档实用文档以下是答案一、选择题1、D [＝＋＝a ＋23 ＝a ＋13(b －a )＝23a ＋13b .]2、A [观察平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1可知，向量，，平移后可以首尾相连，于是＋＋＝0.]3、A[如图所示， ∵＝，1－＝－＝，∴－＋＝.]4、D [由||＝||＋||＝||＋||，知C点在线段AB上，否则与三角形两边之和大于第三边矛盾，所以与同向．]5、C [∵D为BC边中点，∴＋＝2，∴＋＝0，∴＝.]6、D [－＝＝.]7、D [共线的单位向量是相等向量或相反向量．]二、填空题8、3解析①真命题；②假命题，若a与b中有一个为零向量时，其方向是不确定的；③真命题；④假命题，终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反；⑤假命题，向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段．9、重心实用文档实用文档如图，取BC 的中点O ，AC 的中点D ，连结OG 、DG .由题意知＝－－＝＋＝2，同理＝2，故G为△ABC 的重心．10、7解析 ||＝||＝||＝||＝||＝||＝||＝||.三、解答题11、证明如图所示，平行六面体ABCD —A ′B ′C ′D ′，设点O 是AC ′的中点，则＝12＝12(＋＋)．实用文档设P 、M 、N 分别是BD ′、CA ′、DB ′的中点．则AP ＝＋＝＋12＝＋12(＋＋) ＝＋12(－＋＋) ＝12(＋＋)． 同理可证：＝12(＋＋) ＝12(＋＋)． 由此可知O ，P ，M ，N 四点重合．故平行六面体的对角线相交于一点，且在交点处互相平分．12、解 (1) ＋＋＝＋＝.(2)∵E ，F ，G 分别为BC ，CD ，DB 的中点．∴＝，＝.∴＋＋＝＋＋＝.故所求向量，，如图所示．13、解①不正确，共线向量即平行向量，只要求两个向量方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB，CD在同一条直线上．②不正确，单位向量模均相等且为1，但方向并不一定相同．③不正确，零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的．④正确．⑤正确．实用文档。

3.1.1空间向量及其加减运算一、选择题1．判断下列命题中为真命题的是( )A ．向量AB →与BA →的长度相等B ．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆C ．空间向量就是空间中的一条有向线段D ．不相等的两个空间向量的模必不相等解析：选A.|AB →|＝|BA →|，故选项A 对；选项B 应为球面；选项C ，空间向量可以用有向线段来表示，但不等同于有向线段；选项D ，向量不相等但有可能模相等．2．已知空间四边形ABCD ，连结AC 、BD ，则AB →＋BC →＋CD →为( )A.AD →B.BD →C.AC → D ．0解析：选A.AB →＋BC →＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →.3．已知向量AB →，AC →，BC →满足|AB →|＝|AC →|＋|BC →|，则( )A.AB →＝AC →＋BC →B.AB →＝－AC →－BC →C.AC →与BC →同向D.AC →与CB →同向解析：选D.由条件可知，C 在线段AB 上，故D 正确．4．下列命题是真命题的是( )A ．四边形ABCD 是平行四边形的充要条件是AB →＝DC →B ．若非零向量a ，b 方向相反，则a 与b 是相反向量C ．若向量AB →、CD →满足|AB →|>|CD →|，则AB →与CD →同向，且AB →>CD →D ．若两个非零向量AB →与CD →满足AB →＋CD →＝0则AB →、CD →为相反向量解析：选D.A 错，应为AB →＝DC →；B 错，只有向量a 、b 方向相反，模相等时，a ，b 才是相反向量；C 错，|AB →|>|CD →|只能说明AB →的长度大于CD →的长度，但方向不定，且向量不能比较大小．只有D 正确．5．已知四边形ABCD ，O 为空间任意一点，且AO →＋OB →＝DO →＋OC →，则四边形ABCD 是( )A ．空间四边形B ．平行四边形C ．等腰梯形D ．矩形解析：选B.由AO →＋OB →＝DO →＋OC →，得OB →－OC →＝DO →＋OA →，即CB →＝DA →，∴CBDA . ∴四边形ABCD 为平行四边形．6．已知正方体ABCD ­A ′B ′C ′D ′的中心为O ，则在下列各结论中正确的结论共有( ) ①OA →＋OD →与OB ′→＋OC ′→是一对相反向量；②OB →－OC →与OA ′→－OD ′→是一对相反向量；③OA →＋OB →＋OC →＋OD →与OA ′→＋OB ′→＋OC ′→＋OD ′→是一对相反向量；④OA ′→－OA →与OC →－OC ′→是一对相反向量．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选C.如下图所示，①OA →＝－OC ′→，OD →＝－OB ′→，∴OA →＋OD →＝－(OB ′→＋OC ′→)，是一对相反向量；②OB →－OC →＝OB →＋CO →＝CB →，OA ′→－OD ′→＝OA ′→＋D ′O →＝D ′A ′→，而CB →＝D ′A ′→，故不是相反向量； ③同①也是正确的；④OA ′→－OA →＝OA ′→＋AO →＝AA ′→，OC →－OC ′→＝OC →＋C ′O →＝C ′C →＝－AA ′→，是一对相反向量．二、填空题7．如下图，在三棱柱ABC ­A ′B ′C ′中，AC →与A ′C ′→是________向量；AB →与B ′A ′→是________向量．答案：相等 相反8．在直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，若CA →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，则A 1B →＝________(用a ，b ，c表示)．解析：A 1B →＝CB →－CA 1→＝CB →－(CA →＋CC 1→)＝－a ＋b －c答案：－a ＋b －c9．如下图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为AB 、B 1C 的中点．用AB →、AD →、AA 1→表示向量MN →，则MN →＝________.解析：MN →＝MB →＋BC →＋CN →＝12AB →＋AD →＋12(CB →＋BB 1→)＝12AB →＋AD →＋12(－AD →＋AA 1→) ＝12AB →＋12AD →＋12AA 1→ 答案：12AB →＋12AD →＋12AA 1→ 三、解答题10．如图，在以长、宽、高分别为AB ＝3、AD ＝2、AA 1＝1的长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中，(1)单位向量共有多少个？(2)试写出模为5的所有向量；(3)试写出与AB →相等的所有向量；(4)试写出AA 1→的相反向量．解：(1)由于长方体的高为1，所以长方体4条高所对应的向量AA 1→、A 1A →、BB 1→、B 1B →、CC 1→、C 1C →、DD 1→、D 1D →共8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共8个．(2)由于这个长方体的左、右两侧的对角线长均为5，故模为5的向量有AD 1→、D 1A →、A 1D →、DA 1→、BC 1→、C 1B →、B 1C →、CB 1→，共8个．(3)与向量AB →相等的所有向量(除它自身之外)共有A 1B 1→、DC →及D 1C 1→，共3个．(4) 向量AA 1→的相反向量为A 1A →、B 1B →、C 1C →、D 1D →，共4个．11．如下图所示，已知空间四边形ABCD ，连结AC 、BD ，E 、F 、G 分别是BC 、CD 、DB的中点，请化简(1)AB →＋BC →＋CD →，(2)AB →＋GD →＋EC →，并标出化简结果的向量．解：(1)AB →＋BC →＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →，如图中向量AD →；(2)AB →＋GD →＋EC →＝AB →＋BG →＋EC →＝AG →＋GF →＝AF →，如图中向量AF →.12．证明平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分．证明：如图所示，平行六面体ABCD ­A ′B ′C ′D ′，设点O 是AC ′的中点，则AO →＝12AC ′→＝12(AB →＋AD →＋AA ′→)．设P 、M 、N 分别是BD ′、CA ′、DB ′的中点，则AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋12BD ′→＝AB →＋12(BA →＋BC →＋BB ′→)＝AB →＋12(－AB →＋AD →＋AA ′→) ＝12(AB →＋AD →＋AA ′→)． 同理可证：AM →＝12(AB →＋AD →＋AA ′→)，AN →＝12(AB →＋AD →＋AA ′→)． 由此可知O 、P 、M 、N 四点重合．故平行六面体的对角线相交于一点，且在交点处互相平分．。

3.1.1空间向量及其加减运算1.下列说法正确的是( ).A .a -a =0B .若|a |=|-b |,则a 与b 为相反向量C .平行且等长的有向线段表示的向量相等D .同向且等长的有向线段表示同一向量 答案:D解析:a -a =0,故A 错;当|a|=|-b |时,有|a|=|b|.但两个向量不一定是相反向量,B 错;C 中两向量也可能为相反向量,故C 错.2.已知向量AB ,AC ,BC 满足|AB |=|AC |+|BC |,则( ). A .AB AC BC =+ B .AB =-AC BC - C .AC 与BC 同向 D .AC 与CB 同向答案:D解析:由已知点C 在线段AB 上,如图.则易知D 正确.3.如下图,已知平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1,在下列选项中,与CD 相等的向量是( ).A.ABB.11ACC.11B AD.1AA答案:C解析:由于ABCD -A 1B 1C 1D 1是平行六面体,所以|CD |=|11B A |,且CD 与11B A 方向相同,故11B A CD =.4.在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,若CA =a ,CB =b ,1CC =c ,则1B A 等于( ). A .a+b -c B .a -b+c C .-a+b+c D .-a+b -c 答案:D解析:111B A AB AA CB CA AA =-=--=b -a -c =-a+b -c .5.设有四边形ABCD ,O 为空间任意一点,且AO OB DO OC +=+,则四边形ABCD 是( ). A.平行四边形 B.空间四边形 C.等腰梯形D.矩形答案:A解析:由于AO OB AB +=,DO OC DC +=,所以AB DC =,从而|AB |=|DC |,且AB DC .所以四边形ABCD 是平行四边形.6.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,下列各式中运算的结果为向量1AC 的共有( ). ①(AB CB -)+1CC ;②1111C AA A D D ++; ③(1AB BB +)+11B C ;④(111AA A B +)+11B C . A.1个 B.2个C.3个D.4个答案:C解析:①(AB CB -)+1111CC AB BC CC AC CC AC =++=+=;②111111C C AA A D D AA A AC ++=+=; ③(1AB BB +)+111111BC AB BC AC =+=;④(111AA A B +)+111111BC AB BC AC =+=. 因此共有3个式子化简结果是1AC .7.在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,1AB CB AA ++化简的结果可表示为 . 答案:1DB解析:1111AB CB AA DC CB BB DB BB DB ++=++=+=.8.已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的中心为O ,则下列各结论中正确的是 .(填序号) ①OA OD +与11OB OC +是一对相等向量;②OB OC -与11OA OD -是一对相反向量; ③OA OB OC OD +++与1111OA OB OC OD +++是一对相反向量; ④1OA OA -与1OC OC -是一对相等向量. 答案:③解析:依题意,在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,应有1OA OC +=0,1OB OD +=0,1OC OA +=0,1OD OB +=0,故(OA OB OC OD +++)+(1111OA OB OC OD +++)=0.9.如图,在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AB=3,AD=2,AA 1=1,以长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中.(1)单位向量共有多少个?(2). (3)试写出与AB 相等的所有向量. (4)试写出1AA 的相反向量.解:(1)模为1的向量有1A A ,1AA ,1B B ,1BB ,1C C ,1CC ,1D D ,1DD ,共8个单位向量.(2)1AD ,1A D ,1D A ,1DA ,1BC ,1B C ,1C B ,1CB .(3)与向量AB 相等的向量(除它自身之外)为11A B ,DC 及11DC . (4)向量1AA 的相反向量为1A A ,1B B ,1C C ,1D D .10.在如图所示的平行六面体中,求证:''AC AB AD ++=2'AC .证明:∵平行六面体的六个面均为平行四边形, ∴AC AB AD =+,''AB AB AA =+,''AD AD AA =+.∴''AC AB AD ++=(AB AD +)+('AB AA +)+('AD AA +)=2('AB AD AA ++).。

3.1.1空间向量及其加减运算1．已知空间四边形ABCD ，连接AC ，BD ，则AB →＋BC →＋CD →为( )A.AD →B.BD →C.AC → D ．0解析：选A.AB →＋BC →＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →.2．下列命题，正确的是( )A ．若a ≠b ，则|a |≠|b |B ．若|a |>|b |，则a >bC ．若a ＝b ，则|a |＝|b |D ．若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b解析：选C.A 显然错；向量不能比较大小，故B 错；C 正确；|a |＝|b |说明a 与b 长度相等，方向不一定相同，所以D 错．3．已知向量AB →，AC →，BC →满足|AB →|＝|AC →|＋|BC →|，则( )A.AB →＝AC →＋BC →B.AB →＝－AC →－BC →C.AC →与BC →同向D.AC →与CB →同向解析：选D.由条件可知，C 在线段AB 上，故D 正确．4．给出下列命题：①若空间向量a ，b 满足|a |＝|b |，则a ＝b ；②在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，必有AC →＝A 1C 1→；③若空间向量m ，n ，p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p .其中不正确的命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．0解析：选A.根据向量相等的定义——不仅模相等，而且方向相同，故①错；根据正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量AC →与A 1C 1→的方向相同，模也相等，应有AC →＝A 1C 1→，故②正确；命题③显然正确，故选A.5．在四边形ABCD 中，若AC →＝AB →＋AD →，则四边形ABCD 的形状一定是( )A ．平行四边形B ．菱形C ．矩形D ．正方形解析：选A.∵AC →＝AB →＋AD →，∴四边形ABCD 是以AB 与AD 为邻边，AC 为对角线的平行四边形．6．式子(AB →－CB →)＋CC 1→运算的结果是__________．解析：(AB →－CB →)＋CC 1→＝(AB →＋BC →)＋CC 1→＝AC →＋CC 1→＝AC 1→.答案：AC 1→7．给出下列命题：①若|a |＝0，则a ＝0；②若a ＝0，则－a ＝0；③|－a |＝|a |，其中正确命题的序号是__________．解析：①若|a |＝0，则a ＝0，即①错误；②正确；③正确．答案：②③8．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若CA →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，则A 1B →＝__________.解析：A 1B →＝CB →－CA 1→＝CB →－(CA →＋CC 1→)＝b －(a ＋c )＝b －c －a .答案：b －c －a9.如图所示，在长、宽、高分别为AB ＝3，AD ＝2，AA 1＝1的长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的八个顶点的两点为始点和终点的向量中，(1)单位向量共有多少个？(2)试写出模为5的所有向量；(3)试写出与AB →相等的所有向量．解：(1)由于长方体的高为1，所以长方体4条高所对应的AA 1→，A 1A →，BB 1→，B 1B →，CC 1→，C 1C →，DD 1→，D 1D →这8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共有8个．(2)由于这个长方体的左、右两侧的对角线长均为5，故模为5的向量有AD 1→，D 1A →，A 1D →，DA 1→，BC 1→，C 1B →，B 1C →，CB 1→共8个．(3)与向量AB →相等的所有向量(除它自身之外)共有A 1B 1→，DC →及D 1C 1→3个．10．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，化简DA →－DB →＋B 1C →－B 1B →＋A 1B 1→－A 1B →.解：如图，DA →－DB →＋B 1C →－B 1B →＋A 1B 1→－A 1B →＝(DA →－DB →)＋(B 1C →－B 1B →)＋(A 1B 1→－A 1B →)＝BA →＋BC →＋BB 1→＝BD →＋BB 1→＝BD 1→.能力提升1．已知空间向量a 和b ，若p ：a ＝b ，则q ：|a |＝|b |，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.由p 知道两个向量相等，则它们的大小相等，所以能够推出q ；由q 知道两个向量的长度相等，但它们的方向不确定，所以不能够推出p .2．在正六棱柱ABCDEF －A 1B 1C 1D 1E 1F 1中，设AB →＝a ，BC →＝b ，BB 1→＝c ，则用a 、b 、c 表示AE 1→＝__________.解析：AE 1→＝AD →＋DE →＋EE 1→＝2BC →－AB →＋BB 1→，所以AE 1→＝－a ＋2b ＋c .答案：－a ＋2b ＋c3．已知平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′，化简下列表达式：(1)AB →＋BB ′→－DA ′→＋D ′D →－BC →；(2)AC ′→－AC →＋AD →－AA ′→.解：(1)原式＝AB →＋A ′D ′→＋D ′D →＋CB →＝AB →＋A ′D →＋CB →＝DC →＋DA →＋A ′D →＝DB →＋A ′D →＝A ′B →；(2)原式＝CC ′→＋A ′D →＝AA ′→＋A ′D →＝AD →.4.如图所示，已知空间四边形ABCD ，连接AC 、BD ，E 、F 、G 分别是BC 、CD 、DB 的中点，请化简(1)AB →＋BC →＋CD →，(2)AB →＋GD →＋EC →，并标出化简结果的向量．解： (1)AB →＋BC →＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →，如图中向量AD →；(2)连接GF ，AB →＋GD →＋EC →＝AB →＋BG →＋EC →＝AG →＋GF →＝AF →，如图中向量AF →.。

3.1.1 空间向量及其加减运算一、选择题1．下列命题中，正确的有( )(1)若A 、B 、C 、D 是不共线的四点，则AB →＝DC →是四边形ABCD 是平行四边形的充要条件； (2)若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；(3)向量a 、b 相等的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧|a |＝|b |a ∥b；(4)|a |＝|b |是向量a ＝b 的必要不充分条件； (5)AB →＝CD →的充要条件是A 与C 重合，B 与D 重合． A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个2．空间任意四个点A 、B 、C 、D ，则DA →＋CD →－CB →等于( ) A.DB → B ．AC → C.AB →D.BA →3．已知空间向量AB →、BC →、CD →、AD →，则下列结论正确的是( ) A.AB →＝BC →＋CD → B ．AB →－DC →＋BC →＝AD → C.AD →＝AB →＋BC →＋DC →D.BC →＝BD →－DC →4．如图所示，平行四边形ABCD 的对角线交点是O ，则下列等式成立的是( )A.OA →＋OB →＝AB →B.OA →＋OB →＝BA →C.AO →－OB →＝AB →D.OA →－OB →＝CD →5．在平行六面体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，与向量AA ′→相等的向量(不含AA ′→)的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算的结果为向量AC 1→的共有( )①AB →＋BC →＋CC 1→ ②AA 1→＋B 1C 1→＋D 1C 1→ ③AB →－C 1C →＋B 1C 1→ ④AA 1→＋DC →＋B 1C 1→ A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个二、填空题7．在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若CA →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，则A 1B →＝__________. 8．化简(AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝__________. 三、解答题9.如图所示的是平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1，化简下列各式． (1)AB →＋AD →＋AA 1→； (2)DD 1→－AB →＋BC →.10.在四棱柱ABCD —A ′B ′C ′D ′中，底面ABCD 为矩形，化简下列各式．(1)AB →＋BB ′→－D ′A ′→＋D ′D →－BC →； (2)AC ′→－AC →＋AD →－AA ′→.一、选择题11．已知正方形ABCD 的边长为1，设AB →＝a ，BC →＝b ，AC →＝c ，则|a ＋b ＋c |等于( ) A ．0 B ．3 C ．2＋ 2D ．2 212．给出下列命题：①将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆； ②若空间向量a 、b 满足|a |＝|b |，则a ＝b ；③若空间向量m 、n 、p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p ； ④空间中任意两个单位向量必相等； ⑤零向量没有方向． 其中假命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．413．空间四边形ABCD 中，若E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 边上的中点，则下列各式中成立的是( )A.EB →＋BF →＋EH →＋GH →＝0B.EB →＋FC →＋EH →＋GE →＝0C.EF →＋FG →＋EH →＋GH →＝0D.EF →－FB →＋CG →＋GH →＝014．如果向量AB →，AC →，BC →满足|AB →|＝|AC →|＋|BC →|，则( ) A.AB →＝AC →＋BC →B ．AB →＝－AC →－BC →C.AC →与BC →同向D.AC →与CB →同向 二、填空题15．已知空间四边形ABCD ，连接AC 、BD ，设M 、N 分别是BC 、CD 的中点，则MN →用AB →、AC →、AD →表示的结果为________________________________．16．已知平行六面体ABCD —A ′B ′C ′D ′，则下列四式中： ①AB →－CB →＝AC →；②AC ′→＝AB →＋B ′C ′→＋CC ′→； ③AA ′→＝CC ′→；④AB →＋BB ′→＋BC →＋C ′C →＝AC ′→. 正确的是__________．三、解答题17.如图，在空间四边形ABCD 中，AB 的中点为E ，DC 的中点为F ，证明EF →＝12(AD →＋BC →)．答 案基础巩固强化 一、选择题 1．【答案】 C【解析】 (1)正确．∵AB →＝DC →， ∴|AB →|＝|DC →|且AB →∥CD →.又∵A 、B 、C 、D 不共线，∴四边形ABCD 是平行四边形． 反之，在▱ABCD 中，AB →＝DC →.(2)正确．∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同． ∵b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同．故a ＝c . (3)不正确．由a ∥b ，知a 与b 方向相同或相反． (4)正确．a ＝b ⇒|a |＝|b |，|a |＝|b |⇒/ a ＝b .(5)不正确．由AB →＝CD →，知|AB →|＝|CD →|，且AB →与CD →同向．故选C. 2．【答案】 D【解析】 解法1：DA →＋CD →－CB →＝(CD →＋DA →)－CB → ＝CA →－CB →＝BA →.解法2：DA →＋CD →－CB →＝DA →＋(CD →－CB →) ＝DA →＋BD →＝BA →. 3．【答案】 B【解析】 根据向量加减法运算可得B 正确． 4．【答案】 D【解析】 OA →－OB →＝BA →＝CD →，故选D. 5．【答案】 C【解析】 利用向量相等的定义求解． 6．【答案】 D【解析】 根据空间向量的加法法则以及正方体的性质，逐一进行判断：①AB →＋BC →＋CC 1→＝AC →＋CC 1→＝AC 1→；②AA 1→＋B 1C 1→＋D 1C 1→＝AD 1→＋D 1C 1→＝AC 1； ③AB →－C 1C →＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→；④AA 1→＋DC →＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→； 所以，所给四个式子的运算结果都是AC 1→. 二、填空题7．【答案】 b －c －a【解析】 A 1B →＝CB →－CA 1→＝CB →－(CA →＋CC 1→)＝b －(a ＋c )＝b －c －a . 8．【答案】 0【解析】 方法1：(利用相反向量的关系转化为加法运算) (AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝AB →－CD →－AC →＋BD → ＝AB →＋DC →＋CA →＋BD →＝AB →＋BD →＋DC →＋CA →＝0. 方法2：(利用向量的减法运算法则求解) (AB →－CD →)－(AC →－BD →) ＝(AB →－AC →)＋BD →－CD → ＝CB →＋BD →－CD →＝CD →－CD →＝0. 三、解答题9.【答案】 (1)AB →＋AD →＋AA 1→＝AB →＋BC →＋CC 1→＝AC 1→. (2)DD 1→－AB →＋BC →＝DD 1→－(AB →－AD →)＝DD 1→－DB →＝BD 1→. 10.【答案】 (1)原式＝AB →＋AA ′→＋AD →－AA ′→－AD →＝AB →. (2)原式＝CC ′→＋AD →－AA ′→＝AD →.能力拓展提升一、选择题 11．【答案】 D【解析】 利用向量加法的平行四边形法则结合正方形性质求解，|a ＋b ＋c |＝2|AC →|＝2 2.12．【答案】 D【解析】 ①假命题．将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点时，它们的终点将构成一个球面，而不是一个圆；②假命题．根据向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，但②中向量a 与b 的方向不一定相同；③真命题．向量的相等满足递推规律；④假命题．空间中任意两个单位向量模长均为1，但方向不一定相同，所以不一定相等，故④错；⑤假命题．零向量的方向是任意的． 13．【答案】 B【解析】 EB →＋FC →＝EB →＋BF →＝EF →， EH →＋GE →＝GH →，易证四边形EFGH 为平行四边形， 故EF →＋GH →＝0，故选B. 14．【答案】 D 二、填空题15．【答案】 12(AD →－AB →)【解析】 MN →＝12BD →＝12(AD →－AB →)16．【答案】 ①②③【解析】 AB →－CB →＝AB →＋BC →＝AC →，①正确；AB →＋B ′C ′→＋CC ′→＝AB →＋BC →＋CC ′→＝AC ′→，②正确；③显然正确；∵AB →＋BB ′→＋BC →＝AC ′→，∴④不正确．三、解答题17. 【证明】 证法1：设AC 的中点为G ，连接EG ，FG . ∵E ，F 分别为AB ，CD 的中点， ∴GF →＝12AD →，EG →＝12BC →.故EF →＝EG →＋GF →＝12(AD →＋BC →)．证法2：∵E 、F 分别为AB 、CD 的中点，∴EA →＋EB →＝0，DF →＋CF →＝0，∵EF →＝EA →＋AD →＋DF →，EF →＝EB →＋BC →＋CF →， ∴2EF →＝AD →＋BC →，∴EF →＝12(AD →＋BC →)．证法3：∵E 、F 分别为AB 、CD 的中点， ∴GE →＝12(GA →＋GB →)，GF →＝12(GC →＋GD →)，∴EF →＝GF →－GE →＝12(GC →＋GD →－GA →－GB →)＝12[(GC →－GB →)＋(GD →－GA →)]＝12(BC →＋AD →)．。

3.1.1 空间向量及其加减运算A 级：基础巩固练一、选择题1．下列命题正确的有( )①空间向量就是空间中一条有向线段；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB →＝DC →是四边形ABCD 是平行四边形的充要条件；③若a ≠b ，则a 与b 的方向不同；④AB →＝CD →的充要条件是A 与C 重合，B 与D 重合．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 答案 A解析 ①错误，有向线段是表示向量的一种图形工具；②正确，由AB →＝DC →知AB ∥DC 或A ，B ，C ，D 四点共线，|AB →|＝|DC →|，因此在A ，B ，C ，D 四点不共线的前提下，AB →＝DC →⇔ABCD 是平行四边形；③错误，不相等的向量，方向可以相同；④错误．2．空间任意四个点A ，B ，C ，D ，则BA →＋CB →－CD →等于( ) A.DB → B.AD → C.DA → D.AC → 答案 C解析 BA →＋CB →－CD →＝CB →＋BA →－CD →＝CA →－CD →＝DA →.3．在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，|AB →－CB →＋CB 1→|＝( ) A ．1 B. 2 C. 3 D ．2 答案 B解析 因为AB →－CB →＋CB 1→＝AB →＋BC →＋CB 1→＝AB 1→，|AB 1→|＝2，故选B.4．已知空间四边形ABCD ，连接AC ，BD ，设G 是CD 的中点，则AB →＋12(BD →＋BC →)等于( )A.AG →B.CG →C.BC →D.12BC →答案 A解析 如图所示．∵G 是CD 的中点， ∴12(BD →＋BC →)＝BG →， ∴AB →＋12(BD →＋BC →)＝AG →.5．如图直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若CA →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，则A 1B →等于( )A ．a ＋b －cB ．a －b ＋cC ．－a ＋b ＋cD ．－a ＋b －c答案 D解析 A 1B →＝A 1C 1→＋C 1C →＋CB →＝AC →－CC 1→＋CB →＝－CA →－CC 1→＋CB →＝－a ＋b －c . 6．空间四边形ABCD 中，M ，G 分别是BC ，CD 的中点，则MG →－AB →＋AD →＝( ) A ．2DB → B ．3MG → C ．3GM → D ．2MG → 答案 B解析 MG →－AB →＋AD →＝MG →＋BD →＝MG →＋2MG →＝3MG →. 二、填空题7．下图所示，在三棱柱ABC －A ′B ′C ′中，AC →与A ′C ′→是________向量，AB →与B ′A ′→是________向量．(用相等、相反填空)答案 相等 相反解析 根据相等向量、相反向量的定义知， AC →与A ′C ′→是相等向量.AB →与B ′A ′→是相反向量．8．已知向量a ，b ，c 互相平行，其中a ，c 同向，a ，b 反向，|a |＝3，|b |＝2，|c |＝1，则|a ＋b ＋c |＝________.答案 2解析 由a ，c 同向，a ，b 反向及|a |＝3，|b |＝2，|c |＝1，画图可知，|a ＋b ＋c |＝|a |＋|c |－|b |＝3＋1－2＝2.9．已知点M 是△ABC 的重心，则MA →＋MB →＋MC →＝________. 答案 0解析 设D 为AB 的中点，则MA →＋MB →＝2MD →，又M 为△ABC 的重心，则MC →＝－2MD →，所以MA →＋MB →＋MC →＝0.三、解答题10．如图所示，已知空间四边形ABCD ，连接AC ，BD ，点E ，F ，G 分别是BC ，CD ，DB 的中点，请化简：(1)AB →＋BC →＋CD →；(2)AB →＋GD →＋EC →，并标出化简得到的向量． 解 (1)AB →＋BC →＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →.(2)∵点E ，F ，G 分别为BC ，CD ，DB 的中点， ∴BE →＝EC →，EF →＝GD →.∴AB →＋GD →＋EC →＝AB →＋BE →＋EF →＝AF →. 所求向量AD →，AF →如图所示．B 级：能力提升练如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为其中心．(1)化简AB →＋CC 1→＋B 1D 1→；(2)若AA 1→＋x ＋BC →＋C 1D →＋D 1A 1→＝0，则x 可以是图中有向线段所示向量中的哪一个？(至少写出两个)解 (1)AB →＋CC 1→＋B 1D 1→＝AB →＋BB 1→＋B 1D 1→＝AB 1→＋B 1D 1→＝AD 1→. (2)因为BC →＝B 1C 1→，D 1A 1→＝DA →，所以AA 1→＋x ＋BC →＋C 1D →＋D 1A 1→＝AA 1→＋x ＋B 1C 1→＋C 1D →＋DA →＝0， 所以AA 1→＋x ＋B 1A →＝0，所以x ＝A 1B 1→. 又因为A 1B 1→＝AB →＝DC →＝D 1C 1→，所以x 可以是A 1B 1→，AB →，DC →，D 1C 1→中的任一个．。

3.1.1 空间向量及其加减运算[目标] 1.了解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示和字母表示.2.掌握空间向量的加减运算及其运算律，理解向量减法的几何意义．[重点] 空间向量加减运算及其几何意义．[难点] 向量加减运算由平面向空间的推广．知识点一空间向量的有关概念[填一填]1．定义：在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量．2．长度：向量的大小叫做向量的长度或模．4．几类特殊向量[答一答]1．向量可以用有向线段表示，那么有向线段是向量吗？提示：不是．虽然有向线段既有大小又有方向，但它不是一个量．2．如何理解零向量的方向？提示：由于零向量的长度为零，可以理解为表示零向量的有向线段长度为零，因此可以理解为零向量不是没有方向，而是方向是任意的．3．你能说出平面向量与空间向量的区别与联系吗？提示：(1)区别：平面向量研究的是二维平面的向量，空间向量研究的是三维空间的向量．(2)联系：空间向量的定义、表示方法及零向量、单位向量、相反向量和相等向量的概念都与平面向量相同．知识点二空间向量的加减运算[填一填][答一答]4．空间两向量的加减法与平面内两向量的加减法完全一样吗？提示：因为空间中任意两个向量均可平移到同一个平面内，所以空间向量与平面向量加减法均可以用三角形或平行四边形法则，是一样的．5．共起点的两个不共线向量的和向量所对应的线段是平行四边形的对角线，那么三个不共面的向量的和向量与这三个向量有什么关系？提示：如图，将三个不共面的向量平移至同一起点，以这三个向量所对应的线段为棱作平行六面体，则这三个向量的和向量所对应的线段即为从该起点出发的平行六面体的体对角线．1．零向量的方向是任意的，同平面向量中的规定一样，0与任何空间向量平行．2．单位向量的模都相等且为1，而模相等的向量未必是相等向量．3．空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一个平面内的两个向量，因而空间任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加、减法运算．类型一 空间向量的有关概念 【例1】 给出以下命题：①若a ，b 是空间向量，则|a |＝|b |是a ＝b 的必要不充分条件； ②若向量a 是向量b 的相反向量，则|a |＝|b |； ③两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ④若空间向量m ，n ，p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p ；⑤在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，必有AC →＝A 1C 1→；⑥空间中任意两个单位向量必相等． 其中，正确的命题序号是________． 【分析】 用空间向量的有关概念进行判断．【解析】 以上命题①②④⑤正确．两向量若相等，必须方向相同且模相等．但相等的向量起点不一定相同，故③错；两个单位向量虽模相等，但方向不一定相同，故⑥错．【答案】 ①②④⑤与平面向量一样，空间向量也有向量的模、向量的夹角、单位向量、零向量、相等向量、相反向量、平行向量的概念.两个向量是否相等，要看方向是否相同，模是否相等，与起点和终点位置无关.(1)把空间所有单位向量归结到一个共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形是( C )A ．一个圆B ．两个孤立的点C ．一个球面D ．以上均不正确(2)下列命题中正确的个数是( C ) ①如果a ，b 是两个单位向量，则|a |＝|b |； ②两个空间向量共线，则这两个向量方向相同； ③若a ，b ，c 为非零向量，且a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ； ④空间任意两个非零向量都可以平移到同一平面内． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个解析：(1)单位向量的模为1，把所有空间单位向量移到共同起点后，向量的终点到起点的距离均为1，构成了一个球面．(2)对于①：由单位向量的定义即得|a |＝|b |＝1，故①正确；对于②：共线不一定同向，故②错；对于③：正确；对于④：正确，在空间任取一点，过此点引两个与已知非零向量相等的向量，而这两个向量所在的直线相交于此点，两条相交直线确定一个平面，所以两个非零向量可以平移到同一平面内．类型二 空间向量的加减运算【例2】 如图，已知正方体ABCD ­A ′B ′C ′D ′，点E 是上底面A ′B ′C ′D ′的中心，求下列各式中x 、y 、z 的值．(1)BD ′→＝xAD →＋yAB →＋zAA ′→； (2)AE →＝xAD →＋yAB →＋zAA ′→.【解】 (1)∵BD ′→＝BD →＋DD ′→＝BA →＋BC →＋DD ′→＝－AB →＋AD →＋AA ′→， 又BD ′→＝xAD →＋yAB →＋zAA ′→，∴x ＝1，y ＝－1，z ＝1.(2)∵AE →＝AA ′→＋A ′E →＝AA ′→＋12A ′C ′→＝AA ′→＋12(A′B ′→＋A ′D ′→)＝AA ′→＋12A ′B ′→＋12A ′D ′→＝12AD →＋12AB →＋AA ′→， 又AE →＝xAD →＋yAB →＋zAA ′→， ∴x ＝12，y ＝12，z ＝1.灵活运用空间向量的加法与减法法则，尽量走边路即沿几何体的边选择途径，多个向量运算时，先观察分析“首尾相接”的向量，使之结合，使用减法时，把握“共起点，方向指向被减向量”.如图所示，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算的结果为向量AC 1→的共有( D )①(AB →＋BC →)＋CC 1→；②(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→； ③(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→； ④(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→. A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个解析：①(AB →＋BC →)＋CC 1→＝AC →＋CC 1→＝AC 1→； ②(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→＝AD 1→＋D 1C 1→＝AC 1→； ③(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→； ④(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→.所以，所给4个式子的运算结果都是AC 1→.故选D. 类型三 有关向量的证明问题【例3】 求证：平行六面体的体对角线交于一点，并且在交点处互相平分． 【分析】 解决这个问题要充分利用课本上的一个结论，即平行六面体体对角线向量AC ′→＝AB →＋AD →＋AA ′→.【证明】 如下图，平行六面体ABCD ­A ′B ′C ′D ′，设点O 是AC ′的中点，则AO →＝12AC ′→＝12(AB →＋AD →＋AA ′→)．设P 、M 、N 分别是BD ′、CA ′、DB ′的中点．则AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋12BD ′→＝AB →＋12(BA →＋BC →＋BB ′→)＝AB →＋12(－AB →＋AD →＋AA ′→)＝12(AB →＋AD →＋AA ′→)．同理可证：AM →＝12(AB →＋AD →＋AA ′→)，AN →＝12(AB →＋AD →＋AA ′→)．由此可知O 、P 、M 、N 四点重合．故平行六面体的体对角线相交于一点，且在交点处互相平分．利用向量解决立体几何问题的一般思路是：将要解决的问题用向量表示，用已知向量表示所需向量，对表示出的所需向量进行目标运算，再将运算结果转化为要解决的问题.如图，设A 是△BCD 所在平面外的一点，G 是△BCD 的重心．求证：AG →＝13(AB →＋AC →＋AD →)．解：如图，连结BG ，延长后交CD 于E ，由G 为△BCD 的重心，知BG →＝23BE →.∵E 为CD 的中点， ∴BE →＝12BC →＋12BD →.∴AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋23BE →＝AB →＋13(BC →＋BD →)＝AB →＋13[(AC →－AB →)＋(AD →－AB →)]＝13(AB →＋AC →＋AD →).1．判断下列命题中为真命题的是( A )A ．向量AB →与BA →的长度相等B ．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆C ．空间向量就是空间中的一条有向线段D ．不相等的两个空间向量的模必不相等解析：|AB →|＝|BA →|，故选项A 对；选项B 应为球面；选项C ，空间向量可以用有向线段来表示，但不等同于有向线段；选项D ，向量不相等有可能模相等．2．设A 、B 、C 为空间任意三点，则下列命题为假命题的是( C ) A.AB →＋BC →＝AC → B.AB →＋BC →＋CA →＝0 C.AB →－AC →＝BC →D.AB →＝－BA →3．如右图，在平行六面体ABCD ­A ′B ′C ′D ′中，AB →＝a ，AD →＝b ，AA ′→＝c ，则BD ′→＝b－a ＋c ，A ′C →＝a ＋b －c .解析：BD ′→＝BD →＋DD ′→＝AD →－AB →＋AA ′→＝b －a ＋c ，A ′C →＝A ′A →＋AC →＝AB →＋AD →＋A ′A →＝a ＋b －c .4．在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，化简AB →－CD →＋BC →－DA →的结果是2AC →.5．如图所示，已知空间四边形ABCD ，连接AC 、BD ，E 、F 、G 分别是BC 、CD 、DB 的中点，请化简(1)AB →＋BC →＋CD →；(2)AB →＋GD →＋EC →，并标出化简结果的向量．解：(1)AB →＋BC →＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →，如图中向量AD →；(2)∵E 、F 、G 分别为BC 、CD 、DB 的中点，∴GD →＝BG →，GF →＝12BC →＝EC →，∴AB →＋GD →＋EC →＝AB→＋BG →＋EC →＝AG →＋GF →＝AF →，如图中向量AF →.。

3.1.1空间向量及其加减运算1．在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′的棱所在向量中，与向量AA ′→模相等的向量有( )．A ．0个B ．3个C ．7个D ．9个解析 如下图， 与向量AA ′→模相等的向量有：A ′A →，BB ′→，B ′B →，CC ′→，C ′C →，DD ′→，D ′D →.答案 C2．化简PM →－PN →＋MN →所得的结果是( )．A.PM →B.NP → C ．0 D.MN →解析 PM →－PN →＋MN →＝NM →＋MN →＝0.答案 C3．下列说法中正确的是( )．A ．若|a |＝|b |，则a 、b 的长度相同，方向相同或相反B ．若向量a 是向量b 的相反向量，则|a |＝|b |C ．空间向量的减法满足结合律D ．在四边形ABCD 中，一定有AB →＋AD →＝AC →解析 |a |＝|b |，说明a 与b 模长相等，但方向不确定；对于a 的相反向量b ＝－a 故|a |＝|b |，从而B 正确；空间向量只定义加法具有结合律，减法不具有结合律；一般的四边形不具有AB →＋AD →＝AC →，只有平行四边形才能成立．故A 、C 、D 均不正确．答案 B4．对于空间中的非零向量AB →、BC →、AC →，有下列各式：①AB →＋BC →＝AC →；②AB →－AC →＝BC →③|AB →|＋|BC →|＝|AC →|；④|AB →|－|AC →|＝|BC →|.其中一定不成立的是________．解析 根据空间向量的加减法运算，对于①：AB →＋BC →＝AC →恒成立；对于③：当AB →、BC →、AC →方向相同时，有|AB →|＋|BC →|＝|AC →|；对于④：当BC →、AB →、AC →共线且BC →与AB →、AC →方向相反时，有|AB →|－|AC →|＝|BC →|.只有②一定不成立．答案 ②5．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为AB 、B 1C 的中点．用AB →、AD →、AA 1→表示向量MN →，则MN →＝________．解析 MN →＝MB →＋BC →＋CN →＝12AB →＋AD →＋12(CB →＋BB 1→)＝12AB →＋AD →＋12(－AD →＋AA 1→) ＝12AB →＋12AD →＋12AA 1→. 答案 12AB →＋12AD →＋12AA 1→ 6．如下图，在长、宽、高分别为AB ＝3，AD ＝2，AA 1＝1的长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的八个顶点的两点为起点和终点的向量中，(1)单位向量共有多少个？(2)试写出模为5的所有向量；(3)试写出与AB →相等的所有向量；(4)试写出AA 1→的相反向量．解 (1)由于长方体的高为1，所以长方体4条高所对应的向量AA 1→、A 1A →、BB 1→、B 1B →、CC 1→、C 1C →、DD 1→、D 1D →共8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共8个．(2)由于这个长方体的左右两侧的对角线长均为5，故模为5的向量有AD 1→、D 1A →、A 1D →、DA 1→、BC 1→、C 1B →、B 1C →、CB 1→，共8个．(3)与向量AB →相等的所有向量(除它自身之外)共有A 1B 1→、DC →及D 1C 1→，共3个．(4)向量AA 1→的相反向量为A 1A →、B 1B →、C 1C →、D 1D →，共4个．7．如下图，在四棱柱的上底面ABCD 中，AB →＝DC →，则下列向量相等的是( )．A.AD →与CB →B.OA →与OC →C.AC →与DB →D.DO →与OB →解析 ∵AB →＝DC →，∴|AB →|＝|DC →|，AB ∥DC ，即四边形ABCD 为平行四边形，由平行四边形的性质知，DO →＝OB →.∴应选D.答案 D8．空间任意四个点A 、B 、C 、D ，则DA →＋CD →－CB →等于( )．A.DB →B.AC →C.AB →D.BA →解析 DA →＋CD →－CB →＝DA →＋BD →＝BA →.答案 D9．如下图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若CA →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，则A 1B →＝______(用a ，b ，c 表示)．解析 A 1B →＝CB →－CA 1→＝CB →－(CA →＋CC 1→)＝－a ＋b －c .答案 －a ＋b －c10．已知点M 是△ABC 的重心，则MA →＋MB →＋MC →＝________．解析 设D 为AB 的中点，则MA →＋MB →＝2MD →，又M 为△ABC 的重心，则MC →＝－2MD →，所以MA →＋MB →＋MC →＝0.答案 011．如图，在四棱柱A ′B ′C ′D ′－ABCD 中，求证：AB →＋BC →＋CA ′→＝DD ′→. 证明，AB →＋BC →＝AC →，AC →＋CA ′→＝AA ′→，所以AB →＋BC →＋CA ′→＝AC →＋CA ′→＝AA ′→，在四棱柱A ′B ′C ′D ′－ABCD 中 ，AA ′→＝DD ′→，所以AB →＋BC →＋CA ′→＝DD ′→.12．已知点G 是△ABC 的重心，O 是空间任意一点，若OA →＋OB →＋OC →＝λOG →，求λ的值．解 连结CG 并延长交AB 于D ，则D 为AB 中点，且CG ＝2GD ，∴OA →＋OB →＋OC →＝OG →＋GA →＋OG →＋GB →＋OG →＋GC →＝3OG →＋GA →＋GB →＋GC →＝3OG →＋2GD →＋GC →＝3OG →－GC →＋GC →＝3OG →.∴λ＝3.。

3.1.1空间向量及其加减运算 3.1.2空间向量的数乘运算一、选择题1．【题文】在空间四边形OABC 中，OA AB CB +-u u u r u u u r u u u r等于( )A ．OA u u u rB ．AB u u u rC ．OC u u u rD ．AC u u u r2．【题型】在空间四边形OABC 中，OA =u u u r a ，OB =u u u r b ，OC =u u u r c ，点M 在线段OA 上且2OM MA =，N 为BC 的中点，则MN u u u u r等于（）A ．121232-+a b cB ．112223+-a b cC ．211322-++a b cD ．221332+-a b c3．【题文】在平行六面体ABCD A B C D -''''中，若23AC x AB yBC zC C ''=++u u u u r u u u r u u u r u u u u r ，则x y z ++等于( )A ．116B ．76C ．56D ．234.【题文】如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，下列各式中运算结果为向量1AC u u u u r 的是( )①()1AB BC CC ++u u u r u u u r u u u u r ；②()11111AA A D D C ++u u u r u u u u r u u u u r；③()111AB BB B C ++u u u r u u u r u u u u r ；④()11111AA A B B C ++u u u r u u u u r u u u u r .A ．①③B ．②④C ．③④D ．①②③④5．【题文】已知空间四边形ABCD ，E 、F 分别是AB 与AD 边上的点，M 、N 分别是BC 与CD 上的点，若AE AB λ=u u u r u u u r ，AF AD λ=u u u r u u u r ，CM CB μ=u u u ur u u u r ，CN CD μ=u u u r u u u r ，则向量EF u u u r 与MN u u u u r满足的关系为( )A. EF MN =u u u r u u u u rB. EF MN u u u r u u u u r PC ．EF MN =u u u r u u u u rD ．EF MN ≠u u u r u u u u r6．【题文】下列条件中使M 与A 、B 、C 一定共面的是( )A.2OM OA OB OC =--u u u u r u u u r u u u r u u u rB.111532OM OA OB OC =++u u u ur u u u r u u u r u u u rC.MA MB MC ++=0u u u r u u u r u u u u rD.OM OA OB OC +++=0u u u u r u u u r u u u r u u u r7．【题文】空间四边形ABCD 中，若E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点，则下列各式中成立的是( )A.EB BF EH GH +++=0u u u r u u u r u u u r u u u rB.EB FC EH GE +++=0u u u r u u u r u u u r u u u rC.EF FG EH GH +++=0u u u r u u u r u u u r u u u rD.EF FB CG GH -++=0u u u r u u u r u u u r u u u r8．【题文】对于空间任意一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，且有OP xOA yOB =+u u u r u u u r u u u r()x zOC y z ∈+R u u u r 、、，则1x y z ++=是四点P 、A 、B 、C 共面的 ( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题9.【题文】已知空间四边形ABCD ，连接AC ，BD ，则 AB BC CD ++=u u u r u u u r u u u r_____________.10．【题文】已知O 是空间任一点，A 、B 、C 、D 四点满足任三点均不共线，四点共面，且234OA xBO yCO zDO =++u u u r u u u r u u u r u u u r，则234x y z ++=_____.11．【题文】已知平行六面体ABCD A B C D -''''，则下列四式中：①AB CB AC -=u u u r u u u r u u u r ；②AC AB B C CC ''''=++u u u u r u u u r u u u u r u u u u r ； ③AA CC ''=u u u r u u u u r ；④AB BB BC C C AC '''+++=u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u u r .正确式子的序号是________．三、解答题12.【题文】三棱柱111ABC A B C -中，M N 、分别是1A B 、11B C 上的点，且BM = 12A M ，112C N B N =.设AB =u u u r a ，AC =u u u r b ，1AA =u u u rc .试用,,a b c 表示向量MN u u u u r .13．【题文】点P 是矩形ABCD 所在平面外一点，且PA ⊥平面ABCD ,,M N 分别是,PC PD 上的点，M 分PC 成定比，N 分PD 成定比，求满足MN =u u u u r x AB y AD z AP ++u u u r u u u r u u u r的实数,,x y z 的值．14．【题文】已知在四面体P ABCD -中，PA =u u u r a ，PB =u u u rb ，PC =u u u rc ，G ∈平面ABC ．证明：G 为△ABC 的重心的充分必要条件是()13PG =++u u u r a b c .3.1.1空间向量及其加减运算 3.1.2空间向量的数乘运算参考答案与解析一、选择题1．【答案】C【解析】OA AB CB OB CB OB BC OC +-=-=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r. 考点：空间向量的加减运算. 【题型】选择题 【难度】较易 2． 【答案】C【解析】()1221123322MN ON OM OB OC OA =-=+-=-++u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r a b c ，故选C.考点：空间向量的加减运算. 【题型】选择题 【难度】较易 3． 【答案】B【解析】因为AC AC CC AB BC CC '''=+=++u u u u v u u u v u u u u v u u u v u u u v u u u u v ，23AC x AB yBC zC C ''=++u u u ur u u u r u u u r u u u u r ，所以111,,23x y z ===-，则76x y z ++=.考点：空间向量的加减运算，数乘运算. 【题型】选择题 【难度】较易 4. 【答案】D【解析】①()111AB BC CC AC CC AC ++=+=u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u r；②()111111111AA A D D C AD D C AC ++=+=u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r ；③()1111111AB BB B C AB B C AC ++=+=u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u r ；④()111111111AA A B B C AB B C AC ++=+=u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u r .考点：空间向量的运算. 【题型】选择题 【难度】较易 5．【答案】B【解析】AE AF AB AD DB λλλ-=-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，即FE DB λ=u u u r u u u r.同理，NM DB μ=u u u u r u u u r .因为DB DB μλu u u r u u u r P ，所以FE NM u u u r u u u u r P ，即EF MN u u u r u u u u rP .又λ与μ的大小关系不确定，故MN u u u u r 与EF u u u r的大小关系不确定. 考点：空间向量的加减运算. 【题型】选择题 【难度】一般 6． 【答案】C【解析】C 选项中MA MB MC =--u u u r u u u r u u u u r，∴点M 、A 、B 、C 共面，故选C.考点：空间向量的加减运算. 【题型】选择题 【难度】一般7． 【答案】B【解析】∵GE EH GH +=u u u r u u u r u u u r ，FC EB BF EB EF +=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，EF GH +=0u u u r u u u r，∴EB FC EH GE +++=0u u u r u u u r u u u r u u u r.考点：空间向量的加减运算. 【题型】选择题 【难度】一般 8． 【答案】C【解析】充分性：若1x y z ++=，则原式可变形为()1OP y z OA yOB zOC =--++u u u r u u u r u u u r u u u r，()()OP OA y OB OA z OC OA -=-+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，∴AP y AB z AC =+u u u r u u u r u u u r，∴P 、A 、B 、C 四点共面．必要性：若P 、A 、B 、C 四点共面，则由共面向量定理的推论知对空间任一点O ，有OP OC sCA tCB =++u u u r u u u r u u u r u u u r(其中、是唯一的一对有序实数)． ∵CA OA OC =-u u u r u u u r u u u r ，CB OB OC =-u u u r u u u r u u u r ，∴()1OP s t OC sOA tOB =--++u u u r u u u r u u u r u u u r .令x =1s t --，y s =，z t =，则有1x y z ++=.考点：空间向量的加减运算，数乘运算. 【题型】选择题 【难度】较难二、填空题 9.【答案】AD u u u r【解析】AB BC CD AC CD AD ++=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r.考点：空间向量的加减运算. 【题型】填空题 【难度】较易 10． 【答案】−1【解析】∵A 、B 、C 、D 共面，∴OA OB BC BD λμ=++u u u r u u u r u u u r u u u r()()()1OB OC OB OD OB OB OC OD λμλμλμ=+-+-=--++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r()1234BO CO DO xBO yCO zDO λμλμ=+---=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r， ∴()()()23411x y z λμλμ++=+-+-+-=-. 考点：空间向量的运算. 【题型】填空题 【难度】一般 11．【答案】①②③【解析】AB CB AB BC AC -=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，①正确；AB B C CC AB BC CC AC '''''++=++=u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u u r，②正确；③显然正确；AB BB BC C C AB B C C C AC C C AC ''''''''+++=++=+=u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u r，故④错误． 考点：空间向量的运算. 【题型】填空题 【难度】一般三、解答题 12.【答案】111333MN =++u u u u r a b c【解析】11111111133MN MA A B B N BA AB B C =++=++u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u u r()()1111133333=-++-=++c a a b a a b c . 考点：空间向量的数乘运算. 【题型】解答题 【难度】一般 13．【答案】211,,366x y z =-=-=【解析】取PC 的中点E ，连接NE ，则()12MN EN EM CD PM PE =-=--u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r()12111112322626CD PC PC CD PC AB AP AB AD ⎛⎫=--=-=---++ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r u u u r 211366AB AD AP =--+u u u r u u u r u u u r ，通过比较知211,,366x y z =-=-=．考点：空间向量的加减运算，数乘运算. 【题型】解答题 【难度】一般 14．【答案】证明见解析【解析】证明：必要性：连接AG 并延长交BC 于D ，则D 平分BC ，且G 分AD 所成的比为21∶，从而23PG PA AG AD =+=+u u u r u u u r u u u r u u ur a ，又()()()()1112222AD AB AC PB PA PC PA ⎡⎤=+=-+-=+-⎣⎦u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r b c a ，故()()11233PG =++-=++u u u r a b c a a b c ．充分性：设D 分BC 所成的比为p ，G 分AD 所成的比为．则()11p p BD BC PC PB p p ==-++u u u ru u u r u u u r u u u r ，()11q q AG AD PD PA q q==-++u u u r u u u r u u u r u u u r ， 所以()1111p p PD PB BD PB PC PB PB PC p P p=+=+-=++++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur ， 于是，1111q p PG PA AG PA PB PC PA q P p ⎛⎫=+=++-⎪+++⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ()()()()111111q pqPA PB PC q q p q p =+++++++u u u r u u u r u u u r ， 因为()13PG =++u u u r a b c ，故()()()()11111113q pq q q p q p ===+++++， 解得2q =，1p =，于是G 为△ABC 的重心．所以G 为△ABC 的重心的充分必要条件是()13PG =++u u u r a b c .考点：空间向量的运算. 【题型】解答题 【难度】较难。

3.1.1空间向量及其加减运算课时过关·能力提升基础巩固1下列说法正确的是()A.若|a|=|b|,则a,b的长度相同,方向相同或相反B.若向量a是向量b的相反向量,则|a|=|b|C.空间向量就是空间中的一条有向线段⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AAD.在四边形ABCD中,一定有AA解析:|a|=|b|,说明a与b的模相等,但方向不确定;由于a的相反向量b=-a.故|a|=|b|,从而选项⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , B正确;向量与有向线段是不同的,常用有向线段表示向量;一般的四边形不具有AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA只有平行四边形才成立,故选项A,C,D均不正确.答案:B⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )的结果是()⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )−(AA2化简(AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D.AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C.AAA.0B.AA答案:A⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为()⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA3已知空间四边形ABCD,连接AC,BD,则AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D.0⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C.AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B.AAA.AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .故选A.⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA解析:AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA答案:A⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则四边形AAAA是(⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA4设有四边形ABCD,O为空间任意一点,且AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA)A.空间四边形B.平行四边形C.等腰梯形D.矩形解析:由已知得AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,即AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是相等向量,因此AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的模相等,方向相同,即四边形ABCD 是平行四边形.答案:B5已知在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AC 1的中点为O ,则下列命题正确的是( ) A .AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是一对相等向量 B .AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是一对相反向量 C .AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是一对相等向量D .AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是一对相反向量解析:选项A 中是一对相反向量,B 中是一对相等向量;C 中是一对相反向量,D 中也是一对相反向量. 答案:D6在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,化简向量表达式AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的结果为______________________. 答案:07①若|a |=0,则a =0;②若a =0,则-a =0;③|-a |=|a |,其中正确命题的序号是 . 答案:②③8如图,在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中,AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,AA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,则AA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =______________________,A 'A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =______________________.解析:AA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b -a +c , A 'A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 'A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 'A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a +b -c . 答案:b -a +c a +b -c9已知长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1,化简:AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .解:AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 10如图所示,长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的长、宽、高分别为AB=3,AD=2,AA 1=1,以此长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中,(1)单位向量共有多少个? (2)试写出模为√5的所有向量.解:(1)因为长方体的高为1,所以长方体4条高所对应的AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 这8个向量都是单位向量,而其他向量的模均不为1,故单位向量共有8个.(2)因为这个长方体的左、右两侧的对角线长均为√5,所以模为√5的向量有AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共8个.能力提升1下列说法正确的是( ) A.若|a |<|b |,则a <bB.若a 与b 互为相反向量,则a +b =0C.单位向量的模不一定相等D.在四边形ABCD 中,一定有AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗解析:选项A 中,向量a 与b 不能比较大小;选项B 中,应为a +b =0;选项C 中,单位向量的模都是1个单位长度;选项D 中,由向量运算可知正确. 答案:D2已知平行六面体OABC-O'A'B'C',AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,AA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,则A 'A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −A 'A '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( ) A.-a +b +cB.-b -a -cC.a-b-cD.a-b+c答案:D⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+|AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,那么()⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 满足|AA3如果向量AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B.AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AAA.AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 同向⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 同向D.AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与AAC.AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,∴A,A,A共线且点C在AB之间,即AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 同向.⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+|AA解析:∵|AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AA答案:D4在空间四边形ABCD中,若E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA边上的中点,则下列各式成立的是()⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AAA.AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AAB.AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AAC.AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AAD.AA答案:B⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,有下列各式:⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AA5对于空间中的非零向量AA①AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+|AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |;⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ;③|AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ;②AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AA④|AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |.其中一定不成立的是______________________.(填序号)⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |−|AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,故②不成立;③当AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA解析:①AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 恒成立;②AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线且AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 方向相反时,有⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+|AA方向相同时,有|AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |;④当AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |.故只有②一定不成立.⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |−|AA|AA答案:②6如图,在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,化简下列向量表达式:(1)AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ; (2)A 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 解:结合题图可知, (1)AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .(2)A 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=A 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 7在六棱柱ABCDEF-A 1B 1C 1D 1E 1F 1中,化简A 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,并在图中标出化简结果的向量.解:A 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .图略.8如图,已知空间四边形ABCD ,连接AC ,BD ,E ,F ,G 分别是BC ,CD ,DB 的中点,请化简(1)AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ;(2)AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,并在图中标出化简结果的向量.解:(1)AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,如图中向量AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,如图中向量AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA(2)连接GF,AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA。

3.1.1 空间向量及其加减运算3.1.2 空间向量的数乘运算1.已知空间四边形ABCD中,G为CD的中点,则+(+)等于( A )(A) (B) (C) (D)解析:+(+)=+×(2)=+=.故选A.2.下列命题中正确的个数是( A )①若a与b共线,b与c共线,则a与c共线;②向量a,b,c共面,即它们所在的直线共面;③若a∥b,则存在唯一的实数λ,使a=λb.(A)0 (B)1 (C)2 (D)3解析:①当b=0时,a与c不一定共线,故①错误;②中a,b,c共面时,它们所在的直线平行于同一平面,不一定在同一平面内,故②错误;③当b 为零向量,a不为零向量时,λ不存在.故选A.3.在平行六面体ABCD EFGH中,若=x-2y+3z,则x+y+z等于( C )(A) (B) (C) (D)1解析:=++,则x=1,y=-,z=,故选C.4.已知空间向量a,b,且=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,则一定共线的三点是( A )(A)A,B,D (B)A,B,C (C)B,C,D (D)A,C,D解析:因为=+=2a+4b=2,所以A,B,D三点共线.故选A.5.若空间中任意四点O,A,B,P满足=m+n,其中m+n=1,则( A )(A)P∈AB (B)P∉AB(C)点P可能在直线AB上 (D)以上都不对解析:因为m+n=1,所以m=1-n,所以=(1-n)+n,即-=n(-),即=n,所以与共线.又有公共起点A,所以P,A,B三点在同一直线上,即P∈AB.故选A.6.若a与b不共线,且m=a+b,n=a-b,p=a,则( D )(A)m,n,p共线(B)m与p共线(C)n与p共线(D)m,n,p共面解析:由于(a+b)+(a-b)=2a,即m+n=2p,即p=m+n,又m与n不共线,所以m,n,p共面.7.已知i,j,k是不共面向量,a=2i-j+3k,b=-i+4j-2k,c=7i+5j+λk,若a,b,c三个向量共面,则实数λ等于( D )(A) (B)9 (C) (D)解析:因为a,b,c三向量共面,所以存在实数m,n,使得c=ma+nb,即7i+5j+λk=m(2i-j+3k)+n(-i+4j-2k).所以所以λ=.8.给出下列命题:①若A,B,C,D是空间任意四点,则有+++=0;②|a|-|b|=|a+b|是a,b共线的充要条件;③若,共线,则AB∥CD;④对空间任意一点O与不共线的三点A,B,C,若=x+y+z(其中x,y,z∈R),则P,A,B,C四点共面.其中不正确命题的个数是( C ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:显然①正确;若a,b共线,则|a|+|b|=|a+b|或|a+b|=||a|-|b||,故②错误;若,共线,则直线AB,CD可能重合,故③错误;只有当x+y+z=1时,P,A,B,C四点才共面,故④错误.故选C.9.下列命题:①空间向量就是空间中的一条有向线段;②不相等的两个空间向量的模必不相等;③两个空间向量相等,则它们的起点相同,终点也相同;④向量与向量的长度相等.其中真命题有.解析:①假命题,有向线段只是空间向量的一种表示形式,但不能把二者完全等同起来.②假命题,不相等的两个空间向量的模也可以相等,只要它们的方向不相同即可.③假命题,当两个向量的起点相同,终点也相同时,这两个向量必相等,但两个向量相等却不一定有相同的起点和终点.④真命题,与仅是方向相反,它们的长度是相等的.答案:①10.在直三棱柱ABC A 1B1C1中,若=a,=b,=c,则= .解析:如图,=-=-=--(-)=-c-(a-b)=-c-a+b.答案:-c-a+b11.已知点G是△ABC的重心,O是空间任一点,若++=λ,则λ的值为. 解析:连接CG并延长交AB于D,则=2,所以-=2(-),即3=2+.又2=+,所以3=++.。

3.1.1 空间向量及其加减运算[学生用书P131(单独成册)][A 根底达标]1．空间向量AB →，BC →，CD →，AD →，那么以下结论正确的选项是( ) A.AB →＝BC →＋CD →B ．AD →＝AB →＋CD →＋BC → C.AD →＝AB →＋BC →－CD →D ．BC →＝BD →＋CD →解析：选B.根据空间向量的加减运算可得B 正确． 2．给出以下命题：①向量AB →的长度与向量BA →的长度相等；②向量a 与b 平行，那么a 与b 的方向一样或相反； ③两个有公共终点的向量，一定是共线向量；④假设向量AB →与向量CD →是共线向量，那么点A ，B ，C ，D 必在同一条直线上； ⑤有向线段就是向量，向量就是有向线段． 其中假命题的个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：选C.①真命题；②假命题，假设a 与b 中有一个为零向量时，其方向不确定；③假命题，终点一样并不能说明这两个向量的方向一样或相反；④假命题，共线向量所在直线可以重合，也可以平行；⑤假命题，向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段．故假命题的个数为4.3．向量AB →，AC →，BC →满足|AB →|＝|AC →|＋|BC →|，那么( ) A.AB →＝AC →＋BC → B ．AB →＝－AC →－BC → C.AC →与BC →同向D ．AC →与CB →同向解析：选D.由|AB →|＝|AC →|＋|BC →|＝|AC →|＋|CB →|，知A ，B ，C 三点共线且C 点在线段AB 上，所以AC →与CB →同向．4．空间四边形ABCD 中，假设E ，F ，G ，H 分别为AB ，BC ，CD ，DA 边上的中点，那么以下各式中成立的是( )A.EB →＋BF →＋EH →＋GH →＝0B.EB →＋FC →＋EH →＋GE →＝0C.EF →＋FG →＋EH →＋GH →＝0D.EF →－FB →＋CG →＋GH →＝0解析：选B.由于E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 边上的中点，所以四边形EFGH 为平行四边形，其中EH →＝FG →，且FC →＝BF →，而E ，B ，F ，G 四点构成一个封闭图形，首尾相接的向量的和为零向量，即有EB →＋FC →＋EH →＋GE →＝0.5．在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，以下各式中运算的结果为AC 1→的有( ) ①AB →＋BC →＋CC 1→；②AA 1→＋B 1C 1→＋D 1C 1→； ③AB →－C 1C →＋B 1C 1→；④AA 1→＋DC →＋B 1C 1→. A ．①④ B ．①②③ C ．①②④D ．①②③④解析：选D.根据空间向量的加法运算法那么及正方体的性质，逐一进展判断：①AB →＋BC →＋CC 1→＝AC →＋CC 1→＝AC 1→；②AA 1→＋B 1C 1→＋D 1C 1→＝AD 1→＋D 1C 1→＝AC 1→；③AB →－C 1C →＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→；④AA 1→＋DC →＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→.所以，所给四个式子的运算结果都是AC 1→.6．式子(AB →－CB →)＋CC 1→运算的结果是__________． 解析：(AB →－CB →)＋CC 1→＝(AB →＋BC →)＋CC 1→＝AC →＋CC 1→＝AC 1→. 答案：AC 1→7．平行六面体ABCD ­A ′B ′C ′D ′，那么以下四式中正确的有________． ①AB →－CB →＝AC →；②AC ′→＝AB →＋B ′C ′→＋CC ′→； ③AA ′→＝CC ′→；④AB →＋BB ′→＋BC →＋C ′C →＝AC ′→. 解析：AB →－CB →＝AB →＋BC →＝AC →，①正确； AB →＋B ′C ′→＋CC ′→＝AB →＋BC →＋CC ′→＝AC ′→，②正确；③显然正确；AB →＋BB ′→＋BC →＋C ′C →＝AB ′→＋B ′C ′→＋C ′C →＝AC →，④错． 答案：①②③8．给出以下几个命题：①方向相反的两个向量是相反向量； ②假设|a |＝|b |，那么a ＝b 或a ＝－b ； ③对于任何向量a ，b ，必有|a ＋b |≤|a |＋|b |. 其中正确命题的序号为________．解析：对于①，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，故①错；对于②，假设|a |＝|b |，那么a 与b 的长度相等，但方向没有任何联系，故不正确；只有③正确．答案：③9.如图，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，化简向量表达式： (1)AB →＋CD →＋BC →＋DA →； (2)AA 1→＋B 1C 1→＋D 1D →＋CB →. 解：(1)AB →＋CD →＋BC →＋DA →＝AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0.(2)因为B 1C 1→＝BC →＝－CB →，D 1D →＝－AA 1→， 所以原式＝AA 1→－CB →－AA 1→＋CB →＝0.10.如下图，空间四边形ABCD ，连接AC ，BD ，E ，F ，G 分别是BC ，CD ，DB 的中点，请化简以下向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．(1)AB →＋BC →＋CD →； (2)AB →＋GD →＋EC →. 解：(1)AB →＋BC →＋CD →＝AD →. (2)AB →＋GD →＋EC →＝AB →＋EF →＋BE →＝AF →. 作出向量如下图：[B 能力提升]11．正方体ABCD ­A ′B ′C ′D ′的中心为O ，那么在以下各结论中正确的共有( ) ①OA →＋OD →与OB ′→＋OC ′→是一对相反向量； ②OB →－OC →与OA ′→－OD ′→是一对相反向量；③OA →＋OB →＋OC →＋OD →与OA ′→＋OB ′→＋OC ′→＋OD ′→是一对相反向量； ④OA ′→－OA →与OC →－OC ′→是一对相反向量．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选C .如下图，①OA →＝－OC ′→，OD →＝－OB ′→，所以OA →＋OD →＝－(OB ′→＋OC ′→)，是一对相反向量；②OB →－OC →＝CB →，OA ′→－OD ′→＝D ′A ′→，而CB →＝D ′A ′→，故不是相反向量； ③同①也是正确的；④OA ′→－OA →＝AA ′→，OC →－OC ′→＝C ′C →＝－AA ′→，是一对相反向量． 12．以下说法中错误的选项是________(填序号)． ①在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，AC →＝A 1C 1→；②假设两个非零向量AB →与CD →满足AB →＝－CD →，那么AB →，CD →互为相反向量． ③AB →＝CD →的充要条件是A 与C 重合，B 与D 重合．解析：①正确．②正确.AB →＝－CD →，且AB →，CD →为非零向量，所以AB →，CD →互为相反向量．③错误．由AB →＝CD →，知|AB →|＝|CD →|，且AB →与CD →同向，但A 与C ，B 与D 不一定重合．答案：③13．如图，长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1，试在图中画出以下向量表达式所表示的向量． (1)AB 1→－AD 1→，AB 1→＋AD 1→；(2)AB →＋AD →－AD 1→，AB →＋AD →＋AD 1→.解：(1)如下图，AB 1→－AD 1→＝D 1B 1→，AB 1→＋AD 1→＝AB 1→＋B 1C 2→＝AC 2→.(2)如下图，AB →＋AD →－AD 1→＝AC →－AD 1→＝D 1C →， AB →＋AD →＋AD 1→＝AC →＋CC 3→＝AC 3→.14．(选做题)如下图，在六棱柱ABCDEF ­A 1B 1C 1D 1E 1F 1中．(1)化简A 1F 1→－EF →－BA →＋FF 1→＋CD →＋F 1A 1→，并在图中标出化简结果的向量； (2)化简DE →＋E 1F 1→＋FD →＋BB 1→＋A 1E 1→，并在图中标出化简结果的向量． 解：(1)A 1F 1→－EF →－BA →＋FF 1→＋CD →＋F 1A 1→＝AF →＋FE →＋AB →＋BB 1→＋CD →＋DC → ＝AE →＋AB 1→＋0 ＝AE →＋ED 1→ ＝AD 1→.AD 1→在图中所示如图．(2)DE →＋E 1F 1→＋FD →＋BB 1→＋A 1E 1→＝DE →＋EF →＋FD →＋BB 1→＋B 1D 1→ ＝DF →＋FD →＋BD 1→ ＝0＋BD 1→ ＝BD 1→.BD 1→在图中所示如图．。

3.1.1 空间向量及其加减运算基础巩固类一、选择题1．在平行六面体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，与向量AD →相等的向量共有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个2．在长方体ABCD ­A ′B ′C ′D ′的棱所在的向量中，与向量AA ′→的模相等的向量至少有( ) A ．0个 B ．3个 C ．7个D ．9个3．下列关于单位向量与零向量的叙述中，正确的是( ) A ．零向量是没有方向的向量，两个单位向量的模相等 B ．零向量的方向是任意的，所有单位向量都相等 C ．零向量的长度为0，两个单位向量不一定是相等向量 D ．零向量只有一个方向，模相等的单位向量的方向不一定相同4．如图，点D 是空间四边形OABC 的边BC 的中点，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则AD →为( )A.12(a ＋b )－c B.12(c ＋a )－b C.12(b ＋c )－a D.a ＋12(b ＋c )5．如图，已知P 是正六边形ABCDEF 外一点，O 为正六边形ABCDEF 的中心，则P A →＋PB →＋PC →＋PD →＋PE →＋PF →等于( )A ．PO →B ．3PO →C ．6PO →D ．06．设a 表示向东3 m ，b 表示向北4 m ，c 表示向上5 m ，则( ) A ．a －b ＋c 表示向东3 m ，向南4 m ，向上5 m B ．a ＋b －c 表示向东3 m ，向北4 m ，向上5 m C ．2a －b ＋c 表示向东3 m ，向南4 m ，向上5 m D ．2(a ＋b ＋c )表示向东6 m ，向北8 m ，向上5 m7．在平行六面体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c ，则下列向量中与B 1M →相等的是( ) A.－12a ＋12b ＋cB.12a ＋12b ＋12cC.12a －12b ＋c D.－12a －12b ＋c8．空间四边形ABCD 中，若E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 边上的中点，则下列各式中成立的是( ) A.EB →＋BF →＋EH →＋GH →＝0 B.EB →＋FC →＋EH →＋GE →＝0 C.EF →＋FG →＋EH →＋GH →＝0 D.EF →－FB →＋CG →＋GH →＝0 二、填空题9．如下图，a 、b 是两个空间向量，则AC →与A ′C ′→是相等向量，AB →与B ′A ′→是 向量．10．在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，给出以下向量表达式：①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →；②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→；③(AD →－AB →)－2DD 1→；④(B 1D 1→＋A 1A →)＋DD 1→.其中能够化简为向量BD 1→的是 .11．如图，已知平行六面体ABCD ­A ′B ′C ′D′，则下列四式中：①AB →－CB →＝AC →； ②AC ′→＝AB →＋B ′C ′→＋CC ′→； ③AA ′→＝CC ′→；④AB →＋BB ′→＋BC →＋C ′C →＝AC ′→. 正确式子的序号是 . 三、解答题12．如图所示，在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，化简式子：DA →－DB →＋B 1C →－B 1B →＋A 1B 1→－A 1B →，并在图中标出化简结果的向量．13．如图，已知平行六面体ABCD ­A ′B ′C ′D ′，以图中一对顶点构造向量，使它们分别等于：(1)AB →＋B ′C ′→； (2)AB →－A ′D ′→； (3)AB →＋CB →＋AA ′→.能力提升类14．在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算的结果为AC 1→的有( ) ①AB →＋BC →＋CC 1→； ②AA 1→＋B 1C 1→＋D 1C 1→； ③AB →－C 1C →＋B 1C 1→； ④AA 1→＋DC →＋B 1C 1→. A ．①④ B ．①②④ C ．①②③D ．①②③④15．已知长方体ABCD ­A ′B ′C ′D ′，点E 、F 分别是上底面A ′B ′C ′D ′和面CC ′D ′D 的中心，求下列各题中x 、y 、z 的值： (1)AC ′→＝xAB →＋yBC →＋zCC ′→； (2)AE →＝xAB →＋yBC →＋zCC ′→； (3)AF →＝xBA →＋yBC →＋zCC ′→.参考答案基础巩固类一、选择题 1．【答案】C【解析】与AD →相等的向量有A 1D 1→，BC →，B 1C 1→，共3个．2．【答案】C【解析】与向量AA ′→的模一定相等的向量有A ′A →，BB ′→，B ′B →，CC ′→，C ′C →，DD ′→，D ′D →共7个．3．【答案】C【解析】因为零向量的方向是任意的，且长度为0，两个单位向量的模相等，但方向不一定相同，故选C. 4．【答案】C【解析】AD →＝AO →＋OD →＝－a ＋12(OB →＋OC →)＝－a ＋12(b ＋c )．5．【答案】C【解析】P A →＋PB →＋PC →＋PD →＋PE →＋PF →＝6PO →＋(OA →＋OB →＋OC →＋OD →＋OE →＋OF →)＝6PO →. 6．【答案】A 7．【答案】A 8．【答案】B【解析】如图，∵GE →＋EH →＝GH →，FC →＋EB →＝BF →＋EB →＝EF →， EF →＋GH →＝0，∴EB →＋FC →＋EH →＋GE →＝0. 二、填空题 9．【答案】相反 10．【答案】①②【解析】①中(A 1D 1→－A 1A →)－AB →＝AD 1→－AB →＝BD 1→；②中(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→＝BC 1→－D 1C 1→＝BD 1→；③中(AD →－AB →)－2DD 1→＝BD →－2DD 1→≠BD 1→；④中(B 1D 1→＋A 1A →)＋DD 1→＝B 1D →＋DD 1→＝B 1D 1→≠BD 1→，所以①②正确． 11．【答案】①②③【解析】AB →－CB →＝AB →＋BC →＝AC →，①正确；AB →＋B ′C ′→＋CC ′→＝AB →＋BC →＋CC ′→＝AC ′→，②正确；③正确；(AB →＋BB ′→)＋BC →＋C ′C →＝AB ′→＋B ′C ′→＋C ′C →＝AC ′→＋C ′C →＝AC →，故④错误．三、解答题12．解：DA →－DB →＋B 1C →－B 1B →＋A 1B 1→－A 1B →＝BA →＋BC →＋BB 1→＝BD →＋BB 1→＝BD 1→，如图．13．解：(1)AB →＋B ′C ′→＝AB →＋BC →＝AC →. (2)AB →－A ′D ′→＝AB →－AD →＝DB →.(3)AB →＋CB →＋AA ′→＝AB →－BC →＋AA ′→＝AB →－AD →＋AA ′→＝DB →＋AA ′→＝DB →＋BB ′→＝DB ′→.能力提升类14．【答案】D【解析】根据空间向量的加法运算法则及正方体的性质，逐一进行判断：①AB →＋BC →＋CC 1→＝AC →＋CC 1→＝AC 1→；②AA 1→＋B 1C 1→＋D 1C 1→＝AD 1→＋D 1C 1→＝AC 1→；③AB →－C 1C →＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→；④AA 1→＋DC →＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→.所以，所给四个式子的运算结果都是AC 1→. 15．解：(1)∵AC ′→＝AB →＋BC →＋CC ′→， 又由题知AC ′→＝xAB →＋yBC →＋zCC ′→， ∴x ＝1，y ＝1，z ＝1.(2)∵AE →＝AA ′→＋A ′E →＝AA ′→＋12(A ′B ′→＋A ′D ′→)＝12AB →＋12BC →＋CC ′→， 又由题知AE →＝xAB →＋yBC →＋zCC ′→， ∴x ＝12，y ＝12，z ＝1.(3)∵AF →＝AD →＋DF →＝BC →＋12(DC →＋DD ′→)＝－12BA →＋BC →＋12CC ′→，又由题知AF →＝xBA →＋yBC →＋zCC ′→， ∴x ＝－12，y ＝1，z ＝12.。

§3.1 空间向量及其运算 3.1.1 空间向量及其加减运算1.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，BB 1—→＋A 1D 1—→＋CD →等于( ) A.A 1C —→ B.BD → C.CD 1—→ D.BD 1—→ 答案 D解析 由题意可得BB 1—→＋A 1D 1—→＋CD →＝BB 1—→＋B 1C 1—→＋C 1D 1—→＝BD 1—→. 2．下列命题中为真命题的是( ) A ．向量AB →与BA →的长度相等B ．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆C ．空间向量就是空间中的一条有向线段D ．不相等的两个空间向量的模必不相等 答案 A解析 对于选项B ，其终点构成一个球面；对于选项C ，空间向量可以用有向线段表示，但不是有向线段；对于选项D ，向量a 与向量b 不相等，它们的模可能相等，故选A.3．已知空间任意四个点A ，B ，C ，D ，则DA →＋CD →－CB →等于( ) A.DB → B.AC → C.AB → D.BA → 答案 D解析 DA →＋CD →－CB →＝DA →＋BD →＝DA →－DB →＝BA →.4．在空间四边形ABCD 中，AB →＝a ，BC →＝b ，AD →＝c ，则CD →等于( ) A ．a ＋b －c B ．c －a －b C ．c ＋a －b D ．c ＋a ＋b 答案 B解析 ∵AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0， 即a ＋b ＋CD →－c ＝0，∴CD →＝c －a －b .5．三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，记BA →＝a ，BB 1—→＝b ，BC →＝c ，则C 1A —→等于( ) A ．－a ＋b ＋c B ．a ＋b －c C ．a －b －c D ．a ＋b ＋c答案 C解析 如图，根据向量的加减法运算法则得：C 1A —→＝BA →－BC 1—→＝BA →－(BB 1—→＋BC →)＝BA →－BB 1—→－BC →＝a －b －c .6．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，化简AB →－CD →＋BC →－DA →的结果是________． 答案 2AC →解析 AB →－CD →＋BC →－DA →＝AB →＋BC →＋DC →－DA →＝AC →＋AC →＝2AC →.7．已知平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′，则下列各式中运算正确的有________．(填序号) ①AB →－CB →＝AC →；②AC ′—→＝AB →＋B ′C ′——→＋CC ′—→； ③AA ′—→＝CC ′—→；④AB →＋BB ′—→＋BC →＋C ′C ——→＝AC ′—→. 答案 ①②③解析 AB →－CB →＝AB →＋BC →＝AC →，①正确；AB →＋B ′C ′——→＋CC ′—→＝AB →＋BC →＋CC ′—→＝AC ′—→，②正确；③显然正确；AB →＋BB ′—→＋BC →＋C ′C ——→＝AB ′→＋B ′C ′——→＋C ′C ——→＝AC →，④错误．8．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，长、宽、高分别为AB ＝3，AD ＝2，AA 1＝1，以该长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中： (1)单位向量共有____________个； (2)模为5的向量共有____________个；(3)与A 1B 1——→相等的向量共有____________个； (4)CC 1—→的相反向量共有____________个．答案 (1)8 (2)8 (3)3 (4)4解析 (1)由于长方体的高为1，所以长方体的4条高所对应的向量分别为AA 1—→，A 1A —→，BB 1—→，B 1B —→，CC 1—→，C 1C —→，DD 1—→，D 1D —→，共8个向量，都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共有8个．(2)由于长方体的左、右两侧的对角线长均为5，故模为5的向量有AD 1—→，D 1A —→，A 1D —→，DA 1—→，BC 1—→，C 1B —→，B 1C —→，CB 1—→，共8个． (3)与向量A 1B 1→相等的所有向量(除它自身)有AB →，DC →，D 1C 1—→，共3个． (4)向量CC 1→的相反向量为A 1A —→，B 1B —→，C 1C —→，D 1D —→，共4个． 9.如图所示的是平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1，化简下列各式．(1)AB →＋AD →＋AA 1—→； (2)DD 1—→－AB →＋BC →.解 (1)AB →＋AD →＋AA 1—→＝AC →＋AA 1—→＝AC 1—→. (2)DD 1—→－AB →＋BC →＝AA 1—→－AB →＋BC → ＝BA 1→＋BC →＝BD 1—→.10.如图所示，在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，化简下列表达式．(1)AB →＋BC →； (2)AB →＋AD →＋AA ′—→；(3)AB →＋CB →＋AA ′—→； (4)AC ′—→＋D ′B ——→－DC →. 解 (1)AB →＋BC →＝AC →.(2)AB →＋AD →＋AA ′—→＝AC →＋AA ′—→＝AC ′—→. (3)AB →＋CB →＋AA ′—→＝AB →＋DA →＋BB ′—→＝DB ′—→.(4)AC ′—→＋D ′B —→－DC →＝(AB →＋BC →＋CC ′—→)＋(DA →＋DC →＋C ′C ——→)－DC →＝DC →.11．设有四边形ABCD ，O 为空间任意一点，且AO →＋OB →＝DO →＋OC →，则四边形ABCD 是( ) A ．平行四边形 B ．空间四边形 C ．等腰梯形 D ．矩形答案 A解析 由AO →＋OB →＝AB →＝DO →＋OC →＝DC →，得AB →＝DC →，故四边形ABCD 为平行四边形，故选A. 12．三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若CA →＝a ，CB →＝b ，CC 1—→＝c ，则A 1B —→等于( ) A ．a ＋b －c B ．a －b ＋c C ．－a ＋b ＋c D ．－a ＋b －c 答案 D解析 A 1B —→＝A 1C 1—→＋C 1C —→＋CB →＝－CA →－CC 1→＋CB →＝－a ＋b －c .13．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算结果为向量AC 1—→的有( )①(AB →＋BC →)＋CC 1—→；②(AA 1—→＋A 1D 1—→)＋D 1C 1—→；③(AB →＋BB 1—→)＋B 1C 1—→；④(AA 1—→＋A 1B 1—→)＋B 1C 1—→. A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 答案 D解析 根据空间向量加法法则及正方体的性质有 ①(AB →＋BC →)＋CC 1—→＝AC →＋CC 1—→＝AC 1—→； ②(AA 1—→＋A 1D 1—→)＋D 1C 1—→＝AD 1—→＋D 1C 1—→＝AC 1—→； ③(AB →＋BB 1—→)＋B 1C 1—→＝AB 1—→＋B 1C 1—→＝AC 1—→；④(AA 1—→＋A 1B 1—→)＋B 1C 1—→＝AB 1—→＋B 1C 1—→＝AC 1—→. 所以所给四个式子的运算结果都是AC 1—→.14．已知向量a ，b ，c ，其中a ，c 同向，a ，b 反向，|a |＝3，|b |＝2，|c |＝1，则|a ＋b ＋c |＝________. 答案 215．已知正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的中心为O ，则在下列各结论中正确的共有( ) ①OA →＋OD →与OB ′—→＋OC ′—→是一对相反向量； ②OB →－OC →与OA ′—→－OD ′—→是一对相反向量；③OA →＋OB →＋OC →＋OD →与OA ′—→＋OB ′—→＋OC ′—→＋OD ′—→是一对相反向量； ④OA ′—→－OA →与OC →－OC ′—→是一对相反相量． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 答案 C解析 如图所示，①OA →＝－OC ′—→，OD →＝－OB ′—→，所以OA →＋OD →＝－(OB ′—→＋OC ′—→)，是一对相反向量；②OB →－OC →＝CB →，OA ′—→－OD ′—→＝D ′A ′——→，而CB →＝D ′A ′——→，故不是相反向量； ③同①，也是正确的；④OA ′—→－OA →＝AA ′—→，OC →－OC ′—→＝C ′C ——→＝－AA ′—→，是一对相反向量．16．如图所示，在正六棱柱ABCDEF －A 1B 1C 1D 1E 1F 1中．(1)化简A 1F 1—→－EF →－BA →＋FF 1—→＋CD →＋F 1A 1—→，并在图中标出表示化简结果的向量； (2)化简DE →＋E 1F 1—→＋FD →＋BB 1—→＋A 1E 1—→，并在图中标出表示化简结果的向量．解 (1)A 1F 1—→－EF →－BA →＋FF 1—→＋CD →＋F 1A 1—→＝AF →＋FE →＋AB →＋BB 1—→＋CD →＋DC →＝AE →＋AB 1—→＋0＝AE →＋ED 1—→＝AD 1—→. 向量AD 1—→如图1所示，图1 图2(2)DE →＋E 1F 1—→＋FD →＋BB 1—→＋A 1E 1—→＝DE →＋EF →＋FD →＋BB 1—→＋B 1D 1—→＝DF →＋FD →＋BD 1—→＝0＋BD 1—→＝BD 1—→.向量BD 1—→如图2所示．。