12. 4 证明不等式的基本方法
T 懈不评式证明的基車方诜：比较法,综合建、井析媒 ttMK MMM ■■座用它们证明一些简 厲的不等式.
Kiff <年斋号悄况来看.本讲尼岛号血埶的一个热点一 fO 灿讪卜将芸号僧：：1；与躺碓不零式结, 证
期不等式:2>M 破立，探索性问題结合,ttaAMML 厲中档題團L
E 基础知识过关
［知识梳理］
1. 证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.
2. 三个正数的算术-几何平均不等式
(1) 定理：如果a , b , c € R +那么a + ?+1需辰，当且仅当a = b = c 时，等号 a + b + c Q
成立.即三个正数的算术平均 3 不小于它们的几何平均Vabc.
(2) 基本不等式的推广
对于n 个正数a i , a 2, , , a ，它们的算术平均数不小于它们的几何平均数, 即a 〔 + 汁‘ +
》^a 1a 2,—，当且仅当 a 1 = a 2 =, = a n 时，等号成立.
n
3. 柯西不等式
(1)设 a , b , c , d 均为实数，则(a 2 + b 2)(c 2 + d 2)>(ac + bd)2，当且仅当 ad = bc 时等号成立.
f n 「n J 「n '
⑵若a i, b(i € N *)为实数，贝则
18 15 A l^a b i 2,当且仅当 I "八=1丿T =1
丿
(当a i = 0时，约定b i = 0, i = 1,2, , , n)时等号成立. (3)
柯西不等式的向量形式：设 a B 为平面上的两个
向量，则|如3》|a • (3当 且仅当a, 3共线时等号成立.
善纲解谨
君向预测 b^_ b2_ a 1 a 2
b n =a ；
［诊断自测］ 1概念思辨
(1)用反证法证明命题“ a, b, c 全为0”时，假设为“ a,b,c 全不为0”.( )
⑵若x ^2y>1，则 x + 2y>x — y.() (3) |a + b|+ |a -b|> |2a|.()
(4) 若实数 x , y 适合不等式 xy>1, x + y>-2,则 x>0, y>0.( )
答案(1)x (2) x ⑶V ⑷V
2. 教材衍化
b a
(1)(选修 A4 — 5P 23T 1)不等式：①x ? + 3>3x ;②a ?+ b ?》2(a — b — 1);③舌+2, 其中恒成立的是()
A .①③
B .②③
C .①②③
D .①② 答案 D
解析 由①得x 2 + 3 — 3x = X —22 + 4>0,所以x 2 + 3>3x ;对于②，因为a 2+ b 2 —2(a — b — 1) = (a — 1)2 + (b + 1)2》0,所以不等式成立；对于③，因为当 2
a —
b b a 飞―<0，即b +
b<2.故选D.
1 1 1
(2)(选修A4 — 5P 25T 2)已知a , b , c 是正实数，且a + b + c = 1,则a +^+C 的最 小值为 ___________ .
答案9
1 1 1
解析 把a +b + c = 1代入a + b +c ,得
a b c a + b + c a + b + c a + b + c
b a
c a c b a + b + a +
c +
b +
c > 3+2+2 + 2= 9,
1
当且仅当a = b = c = §时，等号成立. 3. 小题热身
ab<0 时,
b +b -2=
(1) (2017 聊城模拟)下列四个不等式：①log x IO + lg x>2(x>1);②|a —b|v|a| + |b|;
b a
③5+ b》2(ab z0):④|x—1|+ |x —2|> 1,其中恒成立的个数是()
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4 答案C
1
解析log x10 + lg x=灵 + lg x>2(x>1)，①正确.
ab< 0 时,|a—b|= |a|+ |b|,②不正确；
因为ab z0, °与2同号，
a b
十「b a b a 小十十”
所以a+ b =a + b A2,③正确；
由|x—1| + |x—2|的几何意义知，
|x—1|+ |x —2|> 1恒成立，④正确，
综上①③④正确.故选C.
(2) 设a,b,m,n€ R，且a2+ b2= 5,ma+ nb= 5,则寸m2+ n2的最小值为______ .
答案5
解析由柯西不等式得(ma+ nb)?w (m? + n2)(a + b2),即m2+ n2A 5"； m2+ n2 A 5,二所求最小值为5.
E经翼题型［巾尖
题型1综合法证明不等式
典例(2018安徽百校模拟)已知a>0, b>0,函数f(x)=|2x + a|+ 2 x—- + 1 的最小值为2.
(1) 求a+ b 的值；
(14、
(2) 求证：a + log3a+ b A 3—b.
应殛】(1)当绝对值符号中x的系数相同时，利用绝对值不等式的性质消去x
1 4 \14'
即可；(2)利用a+ b= 1转化为如a+ (a+ b) a + b求解.
解(1)因为f(x)= |2x + a|+ |2x- b|+ 1 > |2x + a—(2x—b)| + 1 = |a + b|+ 1, 当
