计算方法实验报告

实验报告

一、求方程f(x)=x^3-sinx-12x+1的全部根, ε=1e -6 1、 用一般迭代法; 2、 用牛顿迭代法;

并比较两种迭代的收敛速度。

一、首先，由题可求得：12cos 3)(2

'

--=x x x f . 其次，分析得到其根所在的区间。

① 令()0=x f ，可得到x x x sin 1123

=+-.

② 用一阶导数分析得到1123

+-x x 和x sin 两个函数的增减区间；再用二阶导数分析得到

两个函数的拐点以及凹凸区间.

③ 在直角坐标轴上描摹出01123

=+-x x 和0sin =x 的图，在图上可以看到他们的交点，然后估计交点所在的区间，即是所要求的根的区间。经过估计，得到根所在的区间为

[]3,4--，[]1,0和[]4,3.

1、 一般迭代法 （1）算法步骤：

设ε为给定的允许精度，迭代法的计算步骤为：

① 选定初值0x .由()0=x f 确定函数()x g ，得等价形式()x g x =. ② 计算()0x g .由迭代公式得()01x g x =.

③ 如果ε≤-01x x ，则迭代结束，取1x 为解的近似值；否则，用1x 代替0x ，重复步骤②和步骤③. （2）程序代码： ① 在区间[]3,4--内， 代码： clc

x0=-3.5; %初值0x

iter_max=100; %迭代的最大次数 ep=1e-6; %允许精度 ε k=0;

while k<=iter_max %k 从0开始到iter_max 循环 x1=(sin(x0)+12*x0-1).^(1/3); %代入0x ，算出1x 的值 if abs(x1-x0)

x0=x1; %条件ε≤-01x x 不成立，用1x 代替0x k=k+1; %k 加1 end

x_star=x1, iter=k %1x 为解的近似值，iter 为迭代次数 运行结果：x_star = -3.4101 ；iter =14

②在区间[]1,0内，

代码： clc

x0=0.5; %初值0x

iter_max=100; %迭代的最大次数 ep=1e-6; %允许精度ε k=0;

while k<=iter_max %k 从0开始到iter_max 循环 x1=(1/12)*(x0.^3-sin(x0)+1); %代入0x ，算出1x 的值

if abs(x1-x0)

x0=x1; %条件ε≤-01x x 不成立，用1x 代替0x k=k+1; %k 加1 end

x_star=x1, iter=k %1x 为解的近似值，iter 为迭代次数 结果：x_star = 0.07696；iter =6

③在区间[]4,3内， 代码： clc

x0=3.5; %初值0x

iter_max=100; %迭代的最大次数 ep=1e-6; %允许精度ε k=0;

while k<=iter_max %k 从0开始到iter_max 循环 x1=(sin(x0)+12*x0-1).^(1/3); %代入0x ，算出1x 的值 if abs(x1-x0)

x0=x1; %条件ε≤-01x x 不成立，用1x 代替0x k=k+1; %k 加1 end

x_star=x1, iter=k %1x 为解的近似值，iter 为迭代次数 运行结果：x_star = 3.4101 ；iter =10

2、 牛顿迭代法 （1）算法步骤：

① 选定初值0x ，计算()0x f ，()0'

x f .

② 按公式()()

k k k k x f x f x x '

1-

=+迭代，得新的近似值1+k x ，并计算()1+k x f ，()1'

+k x f . ③ 对于给定的允许精度ε，如果ε≤-+k k x x 1，则终止迭代，取1*

+≈k x x ；否则，

1+=k k ，在转回步骤②计算.

（2）程序代码： ①在区间[]3,4--内， clc

x1=-3.5; %初值1x k=0;

while k<=100 %k 从0开始到100循环 x0=x1; %将初值1x 赋给0x

f0=x0.^3-sin(x0)-12*x0+1; %计算()0x f f1=3*x0.^2-cos(x0)-12; %计算()0'x f x1=x0-f0/f1; %计算得到新的近似值1x

if abs(x1-x0)< 1.0e-6 %01x x -与允许精度作比较 break ; %条件ε≤-01x x 成立，跳出循环 end

k=k+1; %条件ε≤-01x x 不成立，k 加1

end

x_star=x1, iter=k %1x 为解的近似值，iter 为迭代次数 运行结果：x_star = -3.4911；iter =2

②在区间[]1,0内， clc

x1=0.5; %初值1x k=0;

while k<=100 %k 从0开始到100循环 x0=x1; %将初值1x 赋给0x

f0=x0.^3-sin(x0)-12*x0+1; %计算()0x f f1=3*x0.^2-cos(x0)-12; %计算()0'x f x1=x0-f0/f1; %计算得到新的近似值1x

if abs(x1-x0)< 1.0e-6 %01x x -与允许精度作比较 break ; %条件ε≤-01x x 成立，跳出循环 end

k=k+1; %条件ε≤-01x x 不成立，k 加1 end

x_star=x1, iter=k %1x 为解的近似值，iter 为迭代次数 运行结果：x_star =0.07696 ；iter =3

③在区间[]4,3内， clc

x1=3.5; %初值1x k=0;