【希望杯竞赛题】61-70
题61 设直线n m ,都是平面直角坐标系中椭圆72x +3
2
y =1的切线，且n m ⊥，m 、n 交
于
点P ，则点P 的轨迹方程是 ．
（第十二届高二培训题第47
题）
解 设直线y =b kx +与椭圆72x +3
2y =1相切，则二次方程72x +()132
=+b kx ，即
()0
217147322
2
=-+++b kbx x
k 有两个相等实根，其判别式
()()()2
22144377210kb k b ∆=-+-=，解得22273,73k b k b +±=+= ．因此斜率
为k 的椭圆的切线有两条：2
73k kx y +±=①，与其中每条垂直的切线也各有两条：
27
3k
k x y +±-
=②；另有与x 轴垂直的切线两条：7±=x ，与其中每条垂直的切线又各有两条：3±=y ．
由①、②得()kx y -2=2
73k +③，22
73k k x y +=⎪⎭⎫ ⎝
⎛+④，④式即()7
322+=+k x ky ⑤．③+⑤得
()()()
,1101122222
+=+++k y k x k
即1022=+y x ⑥．又点
(
)(
)()()
3,7,3,7,3,7,
3,7----都适合方程⑥．故点P 的轨迹方程为
1022=+y x ．
评析 这是一道典型的用交轨法求轨迹方程的问题．解题的关键有两个：如何设两条动切线方程与如何消去参数．当切线的斜率存在时，我们可设其方程为b kx y +=，此时出现两个参数k 与b ，由于此切线方程与椭圆的方程组成的方程组有且只有一解，故由二次方程有等根的条件得2
73k b +±=（这与事实一致：斜率为k 的椭圆的切线应当有两条），从而切线方程为2
73k kx y +±=，那么与其垂直的椭圆的切线方程就是将此切线方程中的
k 换成k
1
-
所得方程，即273k k x y +±-=．此时突破了第一关．下面是否通过解方程组
得交点轨迹的参数方程，然后再消参得所求轨迹方程呢？想象中就是非常繁琐的．上面题解
中的方法充分体现了消参的灵活性，大大简化了解题过程．然而，事情到此并未结束，以上
所设切线方程是以切线有斜率为前提的，是否有不存在斜率的椭圆的切线呢？于是引来了分类讨论，当然，此时只要将几个点的坐标代入所求的方程102
2
=+y x ，看是否适合即可． 拓展 如果留心，我们会发现所求轨迹方程102
2
=+y x 中的10正好是已知椭圆方程
72x +32y =1中的7与3的和．那么，是否将椭圆方程改为+22a x 122
=b
y ，则所求轨迹方程就是2
2
2
2
b a y x +=+了呢？经研究，果真如此．于是我们得到
定理1 设直线m 、n 都是椭圆+22a x 122
=b
y 的切线，且n m ⊥，m 、n 交于点P ，则点
P 的轨迹方程是2
2
2
2
b a y x +=+．
证明 设l kx y +=为椭圆的切线,由2222
1y kx l
x y a b =+⎧⎪
⎨+=⎪⎩,
得01212222222=-++⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+b l x b lk x b k a ，由0=∆x ，得2
222k a b l +=，所以
222k a b l +±=
，所以两垂直切线为，::m y kx
x n y k ⎧=±⎪
⎨
=-±⎪⎩
另有四对：b y n a x m ±=±=:,:,①式变为2
2
2
2
)(k
a b kx y +=-③，②式变为
2222)(k b a ky x +=+④．③+④得2222b a y x +=+．特殊四对垂线的交点坐标也都适合
⑤，故P 点的轨迹方程为2
2
2
2
b a y x +=+．
若将定理1中的椭圆改为双曲线，是否也有相类似的什么结论呢？为了证明定理2，先
引进两个引理．
引理1 若双曲线12222=-b y a x 的切线的斜率k 存在，则|k |b
a >．
证明 对于12222=-b
y a x 两边取x 的导数知,)(22'
y a x b x y =∴双
曲线上任意一点P （00,y x ）)0(0≠y 处切线的斜率k 有
①, ②,
|k |=|)(0'
x y |=||0022y x a b ①，又 b a y x x a b y y >∴=<|||,|||||00010，代入①得|k | b
a
>．
引理2 如果双曲线122
22=-b
y a x 有b a ≤，则不存在垂直切线．
证明 假设双曲线存在两条垂直切线，则这两条切线必然都存在斜率，斜率分别记为1k ，
2k ，由引理1知|k 1|b a >,|2k |b
a >,11||2221≥>=∴a
b k k ,即1>1,矛盾,所以不存在垂直
切线．
定理2 设直线n m ,都是双曲线)(122
22b a b
y a x >=-的切线，且n m ⊥，n m ,交于点P ，
则点P 的轨迹方程为2
2
2
2
b a y x -=+．
证明 当一条切线的斜率不存在时，该切线必然经过双曲线实轴上的顶点，这时另一条
垂直切线不存在．已知n m ,是垂直切线，所以斜率必然都存在．
设l kx y +=为双曲线的切线，则由 22
221
y kx l x y a
b =+⎧⎪⎨-=⎪⎩ 得012)1(22
22
222=----b l x b lk x b k a ①，由引理1知|k |b a >，所以222b k a >，所以01222≠-b k a 且02
22>-b k a ．由①中
0=∆x ，得2
222222,b k a l b k a l -±=∴-=，两条垂直切线
为::m y kx x n y k ⎧=±⎪⎨=-⎪⎩
变形为22222222
()()y kx a k b yk x a k b
⎧-=-⎪⎨+=-⎪⎩ ④+⑤得2222b a y x -=+，即为点P 的轨迹方程．
将定理1、2中的椭圆、双曲线改为抛物线，我们又可以得到
定理3 抛物线)0(22
>=p px y 的两条互相垂直的切线n m ,的交点M 的轨迹方程为
2
p x -
=． 证明 当其中一条切线过抛物线顶点时，另一条垂直的切线不存在，已知n m ,是垂直切线，所以斜率必然都存在．
②,
③,
④, ⑤,
