概率论习题试题集1

第一章 随机事件与概率

一、填空题

1. 已知随机事件A 的概率5.0)(=A P ，事件B 的概率6.0)(=B P ，条件概率8.0)(=A B P ，则

______________)(=B A P 。

2.设A ，B 为随机事件，已知

3.0)(=A P ，

4.0)(=B P ，

5.0)(=B A P ，则____________)(=B A P 。 3. 甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为

6.0和5.0，现目标被击中，则它是甲命中的概率为___________。

4. 某射手在3次射击中至少命中一次的概率为87

5.0，则该射手在一次射击中命中的概率为

___________。

5. 设随机事件A 在每次试验中出现的概率为

3

1,则在3次独立试验中A 至少发生一次的概率为

___________.

6. 袋中有黑白两种球,已知从袋中任取一个球是黑球的概率为4

1,现从袋中不放回地依次取球,则第k 次

取得白球的概率为___________。

7. 三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障的概率依次为7.08.09.0，，，则这三台机器中至少有一台发生故障的概率是___________。

8. 电路由元件A 与两个并联的元件B ，C 串联而成，若A ，B ，C 损坏与否相互独立，且它们损坏的概率依次为1.02.03.0，，，则电路断路的概率是___________。

9. 甲乙两个投篮，命中率分别为6.07.0，，每人投3次，则甲比乙进球数多的概率是___________。 10. 3人独立破译一密码，他们能独立译出的概率分别是413151，，，则此密码被译出的概率是

________。

二、选择题

1. 对于任意两个事件A ，B ，有)(B A P -为（ ） （A ）)()(B P A P -

（B ）)()()(B A P B P A P -+ （C ）)()(AB P A P -

（D ）)()()(AB P B P A P +-

2. 设A ，B 为两个互斥事件，且0)(,0)(>>B P A P ，则下列正确的是（ ）

（A ）)()(A P B A P = （B ）0)(=A B P （C ）)()()(B P A P AB P =

（D ）0)(>A B P

3. 其人独立地投了3次篮球，每次投中的概率为3.0，则其最可能失败（没投中）的次数为（ ） （A ）2 （B ）2或3 （C ）3

（D ）1

4. 袋中有5个球（3个新，2个旧），每次取一个，无放回地抽取两次，则第二次取到新球的概率是（ ） （A ）5

3 （B ）43 （C ）

4

2

（D ）

10

3

5. n 张奖券中含有m 张有奖的，k 个人购买，每人一张，其中至少有一个人中奖的概率是（ ） （A ）

m

n

C m （B ）k

n

k

m n C C --

1

（C ）

k n

k m

n m C

C C 11--

（D ）∑

=k

r k n r

m C

C 1

三、计算题

(随机事件、随机事件的关系与运祘) 1. 指出下面式子中事件之间的关系：

⑴ A AB =； ⑵ A ABC =； ⑶A B A = 。

2. 一个盒子中有白球、黑球若干个，从盒中有放回地任取三个球.设i A 表示事件“第i 次取到白球” )3,2,1(=i ，试用i A 的运算表示下列各事件.

⑴ 第一次、第二次都取到白球； ⑵ 第一次、第二次中最多有一次取到白球； ⑶ 三次中只取到二次白球; ⑷ 三次中最多有二次取到白球; ⑸ 三次中至少有一次取到白球.

3. 掷两颗骰子，设i A 、i B 分别表示第一个骰子和第二骰子出现点数i 朝上的事件，试用i A 、i B 表示下列事件.⑴ 出现点数之和为4; （2） 出现点数之和大于10.

4. 对若干家庭的投资情况作调查，记{

=

A 仅投资股票

},{

=B 仅投资基金

},{

=

C

仅投资债券

}，试

述下列事件的含义.

⑴ C AB ; ⑵ C B A ; ⑶ A B C ; ⑷ C ABC =; ⑸ C AB C .

5. 用集合的形式写出下列随机试验的样本空间及随机事件A . ⑴ 掷一颗骰子，点数为偶数的面朝上; ⑵ 掷二颗骰子，两个朝上面的点数之差为2;

⑶ 把三本分别标有数字1，2，3的书从左到右排列，标有数字1的书恰好在最左边; ⑷ 记录一小时内医院挂号人数，事件=A {一小时内挂号人数不超50人};

⑸ 一副扑克牌的4种花式共52张，随机取4张，取到的4张是同号的且是3的倍数.

6. 对某小区居民订阅报纸情况作统计，记C B A ,,分别表示订阅的三种报纸，试叙述下列事件的含义. ⑴ 同时订阅B A ,两种报纸; ⑵ 只订阅两种报纸; ⑶ 至少订两种报纸;

⑷ 一份报纸都不订阅; ⑸ 订C 报同时也订A 报或B 报中的一种; ⑹ 订A 报不订B 报.

7．某座桥的载重量是1000公斤（含1000公斤），有四辆分别重为600公斤，200公斤，400公斤和500公斤的卡车要过桥，问怎样过法即省时间而桥又不会损坏。

(古典概型及其概率)

8. 设袋中有5个白球，3个黑球，从袋中随机摸取4个球，分别求出下列事件的概率：

（1）采用有放回的方式摸球，则四球中至少有1个白球的概率； （2）采用无放回的方式摸球，则四球中有1个白球的概率。

9. 设有3个人和4间房，每个人都等可能地分配到4间房的任一间房内，求下列事件的概率：（1）指定的

3间房内各有一人的概率；（2）恰有3间房内各有一人的概率；（3）指定的一间房内恰有2人的概率。

10. 一幢12层的大楼，有6位乘客从底层进入电梯，电梯可停于2层至12层的任一层，若每位乘客在任一

层离开电梯的可能性相同，求下列事件的概率：（1）某指定的一层有2位乘客离开；（2）至少有2位乘客在同一层离开。

11. 将8本书任意放到书架上，求其中3本数学书恰排在一起的概率。

12.某人买了大小相同的新鲜鸭蛋，其中有a只青壳的，b只白壳的，他准备将青壳蛋加工成咸蛋，故将鸭

蛋一只只从箱中摸出进行分类，求第k次摸出的是青壳蛋的概率。

13.某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆10桶，黑漆4桶，红漆3桶，在搬运中所有标签脱落，交货人随

意将这些油漆发给顾客。问一个订货为4桶白漆、3桶黑漆，2桶红漆的顾客，能按所定颜色如数得到订货的概率是多少？

14. 将12名新技工随机地平均分配到三个车间去，其中3名女技工，求：

（1）每个车间各分配到一名女技工的概率；（2）3名女技工分配到同一车间的概率。

15．从6双不同的手套中任取4只，求其中恰有两只配对的概率。

16．从0，1，2，......，9十个数中随机地有放回的接连取三个数字，并按其出现的先后排成一列，求下列事件的概率：（1）三个数字排成一奇数；（2）三个数字中0至多出现一次；

（3)三个数字中8至少出现一次；（4）三个数字之和等于6。

（利用事件的关系求随机事件的概率）

17. 在1~1000的整数中随机地取一个数，问取到的整数既不能被4整除，又不能被6整除的概率是多少？

18. 甲、乙两人先后从52张牌中各抽取13张，

（1）若甲抽后将牌放回乙再抽，问甲或乙拿到四张A的概率；

（2）若甲抽后不放回乙再抽，问甲或乙拿到四张A的概率。

19. 在某城市中发行三种报纸A,B,C，经调查，订阅A报的有45%，订阅B报的有35%，订阅C报的有30%，同时订阅A及B的有10%，同时订阅A及C的有8%，同时订阅B及C的有5%，同时订阅A,B,C 的有3%。试求下列事件的概率：

（1）只订A报的；（2）只订A及B报的；（3）恰好订两种报纸。

20．某人外出旅游两天，据预报，第一天下雨的概率为0.6，第二天下雨的概率为0.3，两天都下雨的概率为0.1，试求：

（1）至少有一天下雨的概率；（2）两天都不下雨的概率；（3）至少有一天不下雨的概率。

21．设一个工人看管三台机床，在1小时内三台机床需要工人照管的概率的依次是0.8,0.7,0.6,试求：（1）至少有一台机床不需要人照管的概率；（2）至多只有一台机床需要人照管的概率。

（条件概率与乘法原理）

22．某种动物活15年的概率为0.8，活25年的概率为0.3，求现年15岁的这种动物活到25岁的概率。

23．设口袋有5只白球，4只黑球，一次取出3只球，如果已知取出的球都是同一种颜色，试计算该颜色是黑色的概率。

24．10件产品中有3件是次品，从中任取2件。在已知其中一件是次品的条件下，求另一件也是次品的概率。

25．从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽出2张，并将其中的1张拿到验钞机上检验，结果发现是假钞，求抽出的2张都是假钞的概率。

26. 小王忘了朋友家电话号码的最后一位，他只能随意拨最后一个号，他连拨了三次，求第三次才拨通的概率。

27. 设袋中装有a只红球，b只白球，每次自袋中任取一只球，观察颜色后放回，并同时放入m只与所取出的那只同色的球，连续在袋中取球四次，试求第一、第二次取到红球且第三次取到白球，第四次取到红球的概率。

28. 一个游戏需要闯过三关才算通过，已知一个玩家第一关失败的概率是3/10，若第一关通过，第二关失败的概率是7/10，若前两关通过，第三关失败的概率为9/10，。试求该玩家通过游戏的概率。

29.盒中有六个乒乓球，其中2个旧球，每次任取一个，连取两次（不放回），求至少有一次取到旧球的概率。

（全概率与贝叶斯公式）

30. 设有两台机床加工同样的零件，第一台机床出废品的概率是0.03，第二台机床出废品的概率是0.02，加工出来的零件混放在一起，并且已知第一台机床加工的零件比第二台机床多一倍。试求：

（1）求任意取出的一个零件是合格品的概率；

（2）如果任意取出一个零件经检验后发现是废品，问它是第一台机床还是第二台机床生产出来的可能性大？

31. 已知男子有5%是色盲患者，女子有0.25%是色盲患者，假设人群中男女比例1：1。试求：（1）人群中患色盲的概率是多少？

（2）今从人群中随机地挑选一人，恰好是色盲者，问此人是男性的概率是多少？

32．盒中有10只羽毛球，其中有6只新球。每次比赛时取出其中的2只，用后放回，求第二次比赛时取到的2只球都是新球的概率。

33．一种传染病在某市的发病率为4%。为查出这种传染病，医院采用一种新的检验法，它能使98%的患有此病的人被检出阳性，但也会有3%未患此病的人被检验出阳性。现某人被此法检出阳性，求此人确实患有这种传染病的概率。

34．某人下午5：00下班，他所累计的资料表明：

到家时间5：35～

5：39 5：40～

5:44

5:45~

5:49

5:50~

5:54

迟于5:54

乘地铁到家概率0．10 0．25 0．45 0．15 0．05

乘汽车到家概率0．30 0．35 0．20 0．10 0．05

某日他抛一枚硬币决定乘地铁还是乘汽车，结果他是5：47到家的，试求他是乘地铁回家的概率。

35．在一个每题有4个备选答案的测验中，假设有一个选项是正确的，如果一个学生不知道问题的正确答案，他就作随机选择。知道正确答案的学生占参加测验者的90%，试求：

（1）学生回答正确的概率；

（2）假如某学生回答此问题正确，那么他是随机猜出的概率。

36．有朋自远方来，他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别是0.3，0.2，0.1，0.4，如果他乘火车、

轮船、汽车来的话，迟到的概率分别是1/4，1/3，1/6，而乘飞机则不会迟到，试问：（1）他迟到的概率多大？

（2）结果他迟到了，试问他是乘火车来的概率是多少？

37．要验收100台微机，验收方案如下：自该批微机中随机地取出3台独立进行测试，三台中只要有一台在测试中被认为是次品，这批微机就会被拒绝接受，由于测试条件和水平，将次品微机误认为正品的概率为0.05，而将正品的微机误判为次品的概率为0.01。如果已知这100台微机中恰有4台次品，试问：（1）这批微机被接受的概率是多少?(2) 假如被接受，而3台微机中有1台次品微机的概率是多少？

（贝努利概型）

38. 五架飞机同时去轰炸一目标，每架飞机击中目标的概率为6.0，求：五架飞机中至少有三架击中目标的概率.

39. 有一场短跑接力赛，某队有4名运动员参加，每人跑四分之一距离，每名运动员所用时间超过一分钟的概率为0.3,当四名中有一名运动员所用时间超过一分钟,则该队必输,求: ⑴ 该队中没有一个运动员所用时间超过一分钟的概率; ⑵ 最多二人超过一分钟的概率; ⑶ 该队输掉的概率.

40. 某人骑车回家需经过五个路口，每个路口都设有红绿灯，红灯亮的概率为5

2，求：

⑴ 此人一路上遇到三次红灯的概率； ⑵ 一次也没有遇到红灯的概率.

41. 某台电视机能接收到十个频道的电视节目，每个频道独立地播放广告，每小时放广告的概率均为5

1，问某

一时刻打开电视机:

⑴ 十个频道都在放广告的概率； ⑵ 只有三个频道在放广告的概率； ⑶ 至少有一个频道在放广告的概率.

42．有五个儿童在玩跳绳比赛，每个儿童跳绳能超过100下的概率为0.6，问： ⑴ 五人中最多有二人超过100下的概率； ⑵ 至少一人超过100下的概率.

43．据统计某地区五月份中各天下雨的概率为

62

1，求：

⑴ 五月份中下雨的天数不超过五天的概率； ⑵ 五月份每天都下雨的概率.

44．三名运动员射击同一靶，射中靶的概率都为0.7，问： ⑴ 靶被射中的概率；

⑵ 最多二名运动员射中的概率.

45. 五家电视台同时接受由卫星转播的一套节目，但受天气影响，五家电视台各自能收到节目的概率都为0.6，问，至少有三家电视台能收到节目的概率.

46. 某幢大楼有20户居民，每户订日报的概率为0.2，问邮递员每天至少要给这幢大楼送10份日报的概率.

47. 20个鞭炮受了潮，每个能放响的概率为0.3，问： ⑴ 只有5个鞭炮能放响的概率； ⑵ 最多有10个能放响的概率.

（利用事件的独立性求概率）

48. 三家电视台独立地播放广告节目，在一小时内各电视台播放广告的概率分别为0.1, 0.15, 0.2. ⑴ 求一小时内三家电视台同时播放广告的概率； ⑵ 求一小时内没有一家电视台在播放广告的概率； ⑶ 至少有一家电视台在播放广告的概率.

49. 一个系统由三个电器并联组成，三个电器会损坏的概率分别为0.3, 0.4, 0.5. ⑴ 求系统不能正常工作的概率； ⑵ 求系统能正常工作的概率.

50. 有两组射击手各5人，每组射击手射击时射中目标的概率分别为： ⑴ 0.4, 0.6, 0.7, 0.5, 0.5; ⑵ 0.8, 0.4, 0.3, 0.6, 0.5.

两组进行射击比赛，哪组击中目标的概率大.

51. 一个会议室装有若干组独立的照明系统，每组照明系统由一个开关和一个灯组成，开关、灯损坏的概率分别0.6、0.5. 当开关、灯都正常工作时，这组系统才能正常工作，问会议室里至少需有多少组系统，才能以95%的把握使室内有灯照明.

52. 五架飞机同时去轰炸一目标，每架飞机投中目标的概率为0.6. 求⑴ 5架飞机都投中目标的概率； ⑵ 只有一架投中目标的概率；

⑶ 要以90%以上的概率将目标击中，至少应有几架飞机去轰炸.

53. 某班级4名学生去参加数学竞赛，他们能得满分的概率分别为0.8, 0.6, 0.7, 0.9，求： ⑴ 只有一张卷子得满分的概率； ⑵ 没有一人得满分的概率.

54. 某人回家需打开大门、过道门和房门三道门，这三道门的钥匙各不相同并放在一起，此人每到一道门便随机地取一把钥匙开门，然后放回，问此人取了三次钥匙开门锁即能进屋的概率.

55. 有三个人从公司回家分别乘公交车、地铁和出租车，三种方式所花的时间超过半小时的概率分别为0.8, 0.6, 0.5.

⑴ 三人中至少有一人回家时间超过半小时的概率; ⑵ 至少有二人回家时间超过半小时的概率.

56. 某台电视机能接收到三个频道节目，这三个频道独立地播放广告，每小时播放广告的概率分别为4

1,51,61，

问：

⑴ 打开电视机三个频道都在放广告的概率；

⑵ 最多有二个频道在播广告的概率.

57. 5名运动员各划一条船进行划船比赛，若在规定时间内到达对岸的，可以得到一面锦旗，5名运动员在规定时间内能到达对岸的概率分别为0.8, 0.9, 0.7, 0.5, 0.6, 求: ⑴ 至少一人拿到锦旗的概率；

⑵ 恰有一人拿到锦旗的概率.

（四）证明题

1.设A ，B 为两个随机事件，且有1)(=AB C P ，证明：1)()()(-+≥B P A P C P 。

2.设A ，B 为两个随机事件，)()(,1)(0A B P A B P A P =<<，证明：A 与B 相互独立。

参考答案

一、填空题： (1) 0.7：(2) 0.1；(3)

4

3；(4) 0.5；(5)

27

19；(6)

4

3；(7)0.496；(8)0.314；(9) 0.436；(10)

5

3二、

选择题：(1)C; (2) B; (3) A; (4) A; (5) B.

三、计算题：

（随机事件、随机事件的关系与运算） 1.解：⑴事件B 包含事件A ，A B ?.

⑵事件B 与事件C 的交包含事件A ，A BC ?. ⑶事件A 包含事件B ，B A ?.

2. 解：⑴ 21A A 。 ⑵212121A A A A A A . ⑶321321321A A A A A A A A A . ⑷321321A A A A A A =. ⑸321A A A .

3. 解：⑴221331B A B A B A . ⑵665665B A B A B A .

4. 解：⑴被调查到的家庭同时投资了股票和基金，没投资债券. ⑵被调查到的家庭，至少投资了一项. ⑶被调查到的家庭，至少一项没投资.

⑷被调查到的家庭，凡投资债券的同时都投资了股票和基金.

⑸被调查到的家庭，或同时投资了股票和基金，但没投资债券，或仅投资债券.

5. 解：⑴}{6

,5,4,3,2,1=Ω }{6,4,2=A .

⑵}{)6,5(,),2,1(),1,1( =Ω共36个样本点,

}{)3,5(,)5,3(,)2,4(),4,2(,)1,3(,)3,1(=A .

⑶}{321

,312,213,231,132,123=Ω, }{132

,123=A .

⑷记X 为一小时内挂号的人数，}{ ,2,1,0===ΩK K X ，}{50

,,1,0 ===K K X

A .

⑸记,,,,i i i i D C B A 分别表示4种花式的第i 张(13,,1 =i )，

{}13

1131131131,,,,,,,,,,,D D C C B B A A =Ω.

{})

(),(),(),(12121212999966663333D C B A D C B A D C B A D C B A A =.

6. 解：⑴AB . ⑵C AB B A A C BC . ⑶BC AC AB . ⑷C B A . ⑸B A C (?A B ）. ⑹B A .

7. 解：记{

=A 600公斤的卡车过桥

}，{

=B 200公斤的卡车过桥

}，

{

=

C 400公斤的卡车过桥

}，{

=D 500公斤的卡车过桥

}，

{=E 卡车过桥速度快且桥不会损坏}.

BD C A D B AC CD B A D C AB E +++=.

（古典概型及其概率）

8. 解：（1）0

4

145

3

1()()0.99968

8

p C =-=

（2）13

5325

8

50.089356

C C p C

=

=

=

9．解：21

3

333

41233

3

3

3!3129,,4

32

4

32

4

64

P C C C p p p ??=

=

=

=

=

=

10．解 ：（1）24

616

(10)0.084711C p =

=

（2）6

112610.812211

P p =-

=

11．解：1

635

8

3 2.14328

C P P p P =

=

=

12．解：1

1

1

1

a a

b a a b k

a b a b

C P C P a a p p P a b P a b

+-+-++=

=

=

=

++或

13．解：4

3

2

1043

9

17252

0.1042431

C C C p C

==

=

14．解：333

396314

4

4

1284

0.2909P C C C p C C C =

=； 1144

398424

4

4

1284

0.0545C C C C p C C C =

=

15．解：1

2

1

1

6522

412

160.48533

C C C C p C

=

=

=（分子：先从6双中取一双，两只都取来；再从剩下的5双中

任取两双，再从每双中任取1只） 16．解：12

513

100.510

C p ?=

=； 312

323

99

0.97210

C p +?=

=

333

9

10.02810

p =-

= （考虑它的对立事件{三个数字未出现8}）

43

3

1234567

280.02810

10

p ++++++=

==

（穷举法，仅适合分子较容易穷举的题目。本题第一个数字取6、5、4、3、2、1、0的基本事件分别是1、2、3、4、5、6、7）

（利用事件的关系求随机事件的概率）

17. 解：设A ={能被4整除}，B ={能被6整除}

依题意()1()1[()()()]P AB P A B P A P B P AB =-?=-+- 这里1000/4250[1000/6]166[1000/12]83(),(),()100010001000

1000

1000

1000

P A P B P A B =

====

=

2516683()1[]0.8921000

1000

1000

P AB ∴=-+-

=

18. 解：设A ={甲拿到4A}，B ={乙拿到4A}

1） 依题意,A B 相互独立，9

9

2

484813135252

()()()()()2(

)C C P A B P A P B P A P B C

C

?=+-=?

-

2） 依题意,A B 互不相容，9

481352

()()()2C P A B P A P B C

?=+=?

。

19. 解：设A ={订阅A 报}，B ={订阅B 报}，C ={订阅C 报} 依题意

()45%,()35%,()30%,()10%,()8%,()5%,()3%P A P B P C P AB P AC P BC P ABC ======= 1()()()()()0.450.10.080.030.3p P ABC P A P AB P AC P ABC ==--+=--+= 2()()()0.10.030.07p P ABC P AB P ABC ==-=-=

3()()()0.070.050.020.14p P ABC P ABC P ABC =++=++=

（提示：画出文式图，会帮助求出概率） 20．解：设i A ={第i 天下雨},i=1,2

依题意1212()0.6,()0.6,()0.1P A P A P A A ===

1121212()()()()0.60.30.10.8p P A A P A P A P A A =?=+-?=+-= 2121212()()1()10.80.2c

p P A A P A A P A A ==?=-?=-= 3121212()()1()10.10.9c p P A A P A A P A A =?=?=-?=-=。

21．解：设i A ={第i 台机床需要人照顾},i=1,2,3

依题意123()0.8,()0.7,()0.6P A P A P A ===，且三个i A （,i=1,2,3）三个相互独立。

1123()()1()10.80.70.60.664p P A A A P ABC P ABC =??==-=-??= 2123123123123()

0.20.30.40.80.30.40.20.70.40.20.30.60.212

p P A A A A A A A A A A A A =+++=??+??+??+??=

（条件概率与乘法原理）

22．解：设A ={活了25岁}，B ={活了15岁} 依题意()0.3()0.375()

0.8

P AB P A B P B =

==。

23．解：设A ={黑色}，B ={同一种颜色}，且A B A =

依题意33

345

43

3

9

9

(),()C C C P A P B C C +=

=

；()()48()0.286()

()

168

P AB P A P A B P B P B =

=

=

=。

24．解：设A ={2件都是次品}，B ={2件中至少有1件次品}， 依题意2

211

3337

2210

10

(),()C C C C P A P B C

C

+=

=

；()1()0.125()

8

P AB P A B P B =

=

=。

25．解：设A ={2张都是假钞}，B ={至少有一张假钞}， 依题意2

211

5

5515

2

2

20

20

(),()C C C C P A P B C C +=

=

，且A B A =

()()2()0.118()

()

17

P AB P A P A B P B P B =

=

=

=。

26. 解：设i A ={第i 次拨通},i=1,2,3 依题意,由乘法原理知123981()0.11098

P A A A =

??=。

27. 解：设i A ={第i 次取到红球},i=1,2,3,4 依题意，由乘法原理知12342()23a a m b a m P A A A A a b

a b m

a b m

a b m

++=?

?

?

+++++++

28. 解：设i A ={第i 次关通过},i=1,2,3 依题意，由乘法原理知123379()(1)(1)(1)0.021101010

P A A A =-?-

?-

=

29. 解：设i A ={第i 次取到旧球},i=1,2 依题意121212()()()()P A A P A P A P A A ?=+- 这里12121212211()(),()()()6

6515

P A P A P A A P A P A A ===?=?=

所以1221()20.66

15

P A A ?=

?-

=。

（全概率与贝叶斯公式）

30. 解：设i A ={第i 台机器生产},i=1,2，B ={产品为次品} 依题意1212()2/3,()1/3,()0.03,()0.02P A P A P B A P B A ==== 由全概公式()2/30.031/30.020.027P B =?+?=

由贝叶斯公式122/30.031/30.02(),()()

()

P A B P A B P B P B ??==

，

所以第一台机器生产的可能性大。

31.解：设1A ={女性}，2A ={男性}，B ={色盲}

依题意1212()0.5,()0.5,()0.25%,()5%P A P A P B A P B A ==== 由全概公式()0.50.25%0.55%0.02625P B =?+?=

由贝叶斯公式20.50.25%

()0.0476()

P A B P B ?=

=

32．解：设i A ={第一次取出i 只新球},i=0,1,2，B ={第二次取出新球} 依题意 11

2

2

466

4

0122

2

2

10

10

10

22265401222210

10

10

(),(),(),(),(),()C C C C P A P A P A C C C C C C P B A P B A P B A C

C

C

=

=

==

=

=

由全概公式2

1

1

2

2

2

2

646564422222210

10

101010

10

()28/135C C C C C C C P B C

C

C

C

C

C

=

?

+?

+

?

=。

33．解：设1A ={患有传染病}，2A ={没有患传染病}，B ={被检出阳性} 依题意1212()4%,()96%,()98%,()3%P A P A P B A P B A ==== 由贝叶斯公式14%98%()0.5764%98%96%3%

P A B ?==?+?。

34．解：设1A ={乘地铁}，2A ={乘汽车}，B ={到家时间为5：45~5：49} 依题意1212()0.5,()0.5,()0.45,()0.2P A P A P B A P B A ==== 由贝叶斯公式10.50.45()0.6920.50.450.50.2

P A B ?=

=?+?。

35．解：设1A ={知道正确答案}，2A ={不知道正确答案}，B ={回答正确} 依题意1212()0.9,()0.1,()1,()0.25P A P A P B A P B A ==== 由全概公式()0.910.10.250.925P B =?+?= 由贝叶斯公式10.10.25()0.0270.910.10.25

P A B ?=

=?+?。

36．解：设1A ={乘火车}，2A ={乘轮船}，3A ={乘汽车}，2A ={乘飞机}，B ={迟到}，依题意

12341234()0.3,()0.2,()0.1,()0.4,()1/4,()1/5,()1/6,()0

P A P A P A P A P B A P B A P B A P B A ========

由全概公式()0.31/40.21/30.11/60.400.1583P B =?+?+?+?= 由贝叶斯公式10.31/4

()0.4740.31/40.21/30.11/60.40

P A B ?=

=?+?+?+?。

37．解：设i A ={三台微机中的次品数为i},i=0,1,2,3，B ={微机被接受}; 依题意 3

12

21

3

964964964

012433

3

3100

100

100

100

3

2

2

3

0123(),(),(),()()0.99,()0.050.99,()0.050.99,()0.05

C C C C C C P A P A P A P A C C C C P B A P B A P B A P B A =

=

=

=

==?=?=

由全概公式

3

12

21

3

3

2

2

3

9649649643333100100

100

100

()0.990.050.990.050.990.050.8629C C C C C C P B C

C

C

C

=

?+

??+

??+

?=。

38.解：)2()1()0(1)2(1)3(P P P P P ---=≤-=≥ξξ.

3

2254155)4.0(6.0)4.0(6.0)4.0(1??-??--=C C .

=0.68.

39．解：⑴ 4)7.0()0(==ξP =0.24.

⑵ 2

22431447.03.07.03.07.0)2()1()0()2(??+??+=++=≤C C P P P P ξ=0.92.

⑶ 4

7.01)0(1)1(-=-=≥P P ξ=0.76. 40．解：⑴ 625

144)5

3

()5

2

()3(2

3

3

5=

==C P ξ.

⑵ 3125

243

)5

3

()0(5

=

==ξP .

41．解：⑴ 10)51(. ⑵ 7

3310)54()51(C . ⑶ 10)5

4(1-.

42．解：⑴ 2

32541556.04.06.04.0)4.0()2()1()0()2(??+??+=++=≤C C P P P P ξ=0.32

⑵ 5

)4.0(1)0(1)1(-==-=≥ξξP P =0.99 43．解：⑴2

162

131=?

==np λ

)5()4()3()2()1()0()5(=+=+=+=+=+==≤ξξξξξξξP P P P P P P

()()()

99.0)!

521!

421!

321!2)21(211(5

4

3

221

=+

+

+++=-e .

⑵ 0!

31)21()31(31

2

1≈?==-e

P ξ. 44．解：⑴ 3)3.0(1)0(1)1(-==-=≥ξξP P =0.97. ⑵ 3)7.0(1)3(1)2(-==-=≤ξξP P =0.66.

45. 解：5554452335)6.0(4.0)6.0()4.0()6.0()3(C C C P ++=≥ξ=0.68.

46. 解：0081.0!

4

)10(420

10

4

≈=

≥=∑

=-k k

e

k P ξλ.

47．解：6=λ ⑴ 16.0!

56

)5(6

5

===-e

P ξ.

（利用事件的独立性求概率） 48. 解：记{=

i A 第i 家电视台在播放广告}，A 为待求概率的事件.

⑴ 321A A A A =，事件321,,A A A 独立.

003.02.015.01.0)()()()(321=??==A P A P A P A P . ⑵ 1A A =2A 3A ，事件1A ,2A ,3A 独立，

612.0)2.01)(15.01)(1.01()()()()(321=---==A P A P A P A P . ⑶ 321321A A A A A A A == ，)()()(1)(321A P A P A P A P -=388.0=. 49. 解：记{=

i A 第i 个电器损坏}

)3,2,1(=i ，A 为所求概率的事件.

⑴ 321A A A A =，由题意,事件321,,A A A 独立.

06.05.04.03.0)()()()(321=??==A P A P A P A P .

⑵ 1A A =2A 3313A A A A = , 06.01)(-=A P =0.94 50. 解：设{

=A 目标被击中

}，{

=i A 第一组第i 个射击手射中目标

}，

{=

i B 第二组第i 个射击手中目标} (i =1,2,3,4,5)，

则：54321A A A A A A =，)5,,1( =i A i 是独立的，

∴)(1)(A P A P -=982.0)(154321=-=A A A A A P .

同理：9832.0)(1)(54321=-=B B B B B P A P . 所以第二组击中目标的概率大. 51. 解：设需n 组系统，{

=

A 室内有灯照明

}，{=

i

A 第i 组系统正常}),,1(n i =，

则：3.05.06.0)(=?=i A P n A A A 1=，

)(1)(A P A P -==95.0)7.0(1)()()(121>-=-n n A P A P A P n )7.0(05.0> 39.81549

.03.17

.0log 05.0log ≈--=

?n

9=n . 52. 解：⑴ 记{=

i A 第i 架飞机投中目标}(5,,1 =i )，

54321A A A A A A =，i A 独立(5,,1 =i )； （1）08.0)6.0()(5≈=A P .

（2）5432154321...A A A A A A A A A A A ++=，08.05)4.0(6.0)(4≈??=A P . （3）设应有n 架飞机去轰炸，

)(1)(A P A P -=1.0)4.0(9

.0)4.0(1)(11

<>-=-=∏=n

n i n

i A P

4

.0lg 1.0lg >

n ， 3=n .

53．解：记{=

i A 第i 名得满分}(4,,1 =i ), 记A 为所求事件.

⑴ )()()()()(4321432143214321A A A A P A A A A P A A A A P A A A A P A P +++=

=0.04.

⑵ 0024.04.03.02.01.0)(=???=A P . 54. 解：记{=i A 第i 道门被打开}(3,2,1=i )，321,,A A A 独立，

{

=

A 此人进屋

}，321A A A A =

，3

1)(=

i A P ，(3,2,1=i )，

27

1313131)()()()(321=??=

=A P A P A P A P .

55．解：记D 为所求事件.

{

=A 乘公交车回家时间超过半小时}，

{=B 乘地铁回家时间超过半小时

}， {

=

C 乘出租车回家时间超过半小时

}，

⑴)(1)()(A P C B A P D P -== )(B P )(C P =0.96. ⑵ ABC BC A C B A C AB D +++=,

)()()()()(ABC P BC A P C B A P C AB P D P +++==0.7.

56. 解：记B ={三个频道都在放广告}为所求事件，则

⑴ 记{=

i A 第i 个频道在播广告}

)3,2,1(=i ， 1201

415161)()(321=

??=

=A A A P B P .

⑵ 120

11912011)(1)(=-=-=B P B P .

57. 解：记{=

i A 第i 个运动员能拿到锦旗}

)5,,1( =i ，{

=

B 所求事件

}.

⑴ 99.0)(1)(1)(54321=-=-=A A A A A P B P B P . ⑵ 543215432154321A A A A A A A A A A A A A A A B +++= ，

02.0)(=B P .

李贤平 《概率论与数理统计 第一章》答案

第1章 事件与概率 2、若A ，B ，C 是随机事件，说明下列关系式的概率意义：(1)A ABC =；(2)A C B A =Y Y ； (3)C AB ?；(4)BC A ?. 3、试把n A A A Y ΛY Y 21表示成n 个两两互不相容事件的和． 6、若A ，B ，C ，D 是四个事件，试用这四个事件表示下列各事件：（1）这四个事件至少发生一个；（2）这四个事件恰好发生两个；（3）A ，B 都发生而C ，D 都不发生；（4）这四个事件都不发生；（5）这四个事件中至多发生一个。 8、证明下列等式：（1）1321232-=++++n n n n n n n nC C C C Λ； （2）0)1(321321=-+-+--n n n n n n nC C C C Λ； （3）∑-=-++=r a k r a b a k b r k a C C C 0. 9、袋中有白球5只，黑球6只，陆续取出三球，求顺序为黑白黑的概率。 10、一部五本头的文集，按任意次序放书架上去，试求下列概率：（1）第一卷出现在旁边； （2）第一卷及第五卷出现在旁边；（3）第一卷或第五卷出现在旁边；（4）第一卷及第五卷都不出现在旁边；（5）第三卷正好在正中。 11、把戏，2，3，4，5诸数各写在一小纸片上，任取其三而排成自左向右的次序，求所得数是偶数的概率。 12、在一个装有n 只白球，n 只黑球，n 只红球的袋中，任取m 只球，求其中白、黑、红球分别有)(,,321321m m m m m m m =++只的概率。 13、甲袋中有3只白球，7办红球，15只黑球，乙袋中有10只白球，6只红球，9只黑球。现从两袋中各取一球，求两球颜色相同的概率。 14、由盛有号码Λ,2,1，N 的球的箱子中有放回地摸了n 次球，依次记下其号码，试求这些号码按严格上升次序排列的概率。

概率论选修习题一

第一章 随机事件 1、口袋里装有若干个黑球和白球，每次任取1个球，共取两次。设A 表示第一次取道黑球，B 表示第二次取道黑球，问：（1）A+B 表示什么事件？（2）AB 表示什么事件？（3）A-B 表示什么事件？（4）第一次取道白球且第二次取道黑球应如何表示？（5）两次都取道白球应如何表示？（6）两次取道球的颜色不一致应如何表示？（7）两次取道球的颜色一致应如何表示？ 2、甲、乙、丙三门炮各向同一目标发射一发炮弹，设A 表示甲炮击中，B 表示乙炮击中，C 表示丙炮击中，问：（1）A+B+C 表示什么事件？（2）AB+AC+BC 表示什么事件？（3）C B A 表示什么事件？（4）C B A ++表示什么事件？（5）恰好有一门炮击中应如何表示？ （6）恰好有两门炮击中应如何表示？（7）三门炮都击中应如何表示？（8）目标被击中应如何表示？ 3、某地区一年内刮风的概率为4/15，下雨的概率为2/15，既刮风又下雨的概率为1/10，求： （1）刮风或下雨的概率；（2）既不刮风又不下雨的概率； 4、口袋里有6黑和3白球，每次任取1个球，不放回取两次，求： （1）第一次取到黑球且第二次取道白球的概率； （2）两次取道的球颜色一致的概率； 5、市场上供应的某种商品由甲厂与乙厂生产，甲厂占60%，乙厂占40%，甲厂的次品率为7%，乙厂的次品率为8%，买一件产品，求：（1）它是甲厂生产的概率；（2）它是乙厂生产的概率； 6、甲乙丙三人相互独立向同一目标各射击一次，甲击中的概率为0.8，乙为0.7丙为0.6，求目标被击中的概率。 7、市场上供应的某种商品由甲厂、乙厂、及丙厂生产，甲厂占50%，乙厂占30%，丙厂占20%，甲厂的正品率为88%，乙厂的正品率为70%，丙厂的正品率为75%，求： （1）从市场上任买一件这种商品是正品的概率；（2）从市场上已买一件正品是甲厂生产的概率； 8、某种产品中有90%是合格品，用某种方法检查时，合格品被认为合格品的概率为98%，而次品被误认为合格品的概率为3%，从中任取1个产品，求它经检查被认为合格品的概率。 9、设A 、B 为两个事件，若P(B)=3/10，P （B/A ）=1/6，P(A+B)=4/5，则P （A ）= 。 10、设A 、B 为两个事件，且已知7.0)(=A P ，P （B ）=0.6，若A 、B 相互独立，则P （AB ）= 。 11、设A 、B 为两个事件，若P （B ）=0.84，21.0)(=B A P ，则P （AB ）= 。 12、甲、乙两城市都位于长江下游，根据一百余年来气象的记录，知道甲、乙两城市一年中雨天占的比例分别为20%和18%，两地同时下雨的比例为12%，问（1）乙市为雨天时，甲市也为雨天的概率是多少？（2）甲市为雨天时，乙市也为雨天的概率是多少？（3）甲、乙两市至少有一个为雨天的概率是多少？ 13、两台车床加工同样的零件，第一台加工后的废品率为0.03，第二台加工后的废品率为0.02，加工出来的零件放在一起，已知这批加工后的零件中，由第一台车床加工的占2/3，由第二台车床加工的占1/3，从这批零件中任取一件，求这件是合格品的概率。 14、甲乙各射击一次，设A 表示甲击中，B 表示乙击中，这甲乙两人中恰好有一人不击中可表示为 。 15、设A 、B 为两个事件，若P(A)=1/4，P （B ）=2/3，P （AB ）=1/6，则P （A+B ）= 。

概率论大作业讲解

现实生活中的大数定理及中心值定理的应用 电子工程学院

目录 摘要........................................... 错误！未定义书签。第一章引言...................................... 错误！未定义书签。第二章大数定律 (2) 2.1大数定律的发展历史 (2) 2.2大数定律的定义 (3) 2.3几个常用的大数定律 (3) 第三章大数定律的一些应用 (6) 3.1大数定律在数学分析中的一些应用 (6) 3.2大数定律在保险业的应用 (6) 3.3大数定律在银行经营管理中的应用 9结论 (11) 参考文献 (12)

对于随机现象而言,其统计规律性只有在基本相同的条件下进行大量的重复试验才能显现出来.本文主要是通过大数定律来讨论随机现象最根本的性质——平均结果稳定性的相关内容.大数定律,描述当试验次数很大时所呈现的概率性质的定律,是随机现象统计规律性的具体表现. 本文首先介绍了大数定律涉及的一些基础知识,以便于对文中相关知识的理解.通过比较,就不同条件下存在的大数定律做了具体的分析,介绍了几种较为常见的大数定律和强大数定律,总结了大数定律的应用,主要有大数定律在数学分析中的应用,大数定律在生产生活中的应用,大数定律在经济如：保险、银行经营管理中的应用等等,将理论具体化,将可行的结论用于具体的数学模型中,使大家对大数定律在实际生活中的应用价值有了更深的认识.

概率论与数理统计是研究随机现象的统计规律的科学,而随机现象的统计规律性只有在相同条件下进行大量重复试验或观察才呈现出来.在随机事件的大量重复出现中,往往呈现几乎必然的规律,这个规律就是大数定律.大数定律是概率论中一个非常重要的课题,而且是概率论与数理统计之间一个承前启后的重要纽带.大数定律阐明了大量随机现象平均结果具有稳定性,证明了在大样本条件下,样本平均值可以看作总体平均值,它是“算数平均值法则”的基本理论,通俗地说,这个定理就是在试验不变的条件下,重复试验多次,随机事件的频率以概率为稳定值. 在现实生活中,经常可以见到这一类型的数学模型,比如,我们向上抛一枚硬币,硬币落下后哪一面朝上本来是偶然的,但当我们向上抛硬币的次数足够多时,达到上万次甚至几十万几百万次之后,我们会发现,硬币向上的次数约占总次数的二分之一,偶然中包含着必然.又如：在分析天平上称重量为a 的物品,若以12,,x x 3,...,n x x 表示n 次重复称量的结果,经验告诉我们,当n 充分大时,它们的算术平均值1 1n i i X n =∑与a 的偏差就越小.这种思想,不仅在整个概率论中起着重要00作用,而且在其他数学领域里面也占据着相当重要的地位. 大数定律的发展与研究也经历了很长一段时间,伯努利是第一个研究这一问题的数学家,他于1713年首先提出后人称之为“大数定律”的极限定理.现在,大数定律的相关模型已经被国内外广大学者所研究,特别是应用在实际生活中,如保险业得以存在并不断发展壮大的两大基石的一个就是大数定律.许多学者也已经在此领域中研究出了许多有价值的成果,讨论了在统计,信息论,分析、数论等方面的应用.在许多数学领域中,广大学者对某些具有特定类型的数学模型,都能利用大数定律的思考方式总结其代表性的性质及结论,使得这些类型的数学模型在进行讨论的时候大大简化了繁琐的论证过程,方便了研究.大数定律作为概率论的重要内容,其理论成果相对比较完善,这方面的文章较多,结果也比较完美,但对大数定律的应用问题的推广也是一项非常有价值的研究方向,通过对这些问题的应用推广,不仅能加深对大数定律的理解,而且能使之更为有效的服务于各项知识领域中.下面文中就通过对大数定律的讨论,给出了各大数定律之间的关系,归结出一般性结论.最后列举了一些能用大数定律来解决的实例,希望能通过这些实例,来进一步阐明大数定律在各个分支学科中的重要作用,以及在实际生活中的应用价值,加深大家对大数定律的理解.

概率论第一章习题解答

00第一章 随机事件与概率 I 教学基本要求 1、了解随机现象与随机试验，了解样本空间的概念，理解随机事件的概念，掌握事件之间的关系与运算； 2、了解概率的统计定义、古典定义、几何定义和公理化定义，会计算简单的古典概率和几何概率，理解概率的基本性质； 3、了解条件概率，理解概率的乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式，会用它们解决较简单的问题； 4、理解事件的独立性概念. II 习题解答 A 组 1、写出下列随机试验的样本空间 (1) 抛掷两颗骰子，观察两次点数之和； (2) 连续抛掷一枚硬币，直至出现正面为止； (3) 某路口一天通过的机动车车辆数； (4) 某城市一天的用电量. 解：(1) {2,3, ,12}Ω=； (2) 记抛掷出现反面为“0”，出现正面为“1”，则{(1),(0,1),(0,0,1),}Ω=； (3) {0,1,2, }Ω=； (4) {|0}t t Ω=≥. 2、设A 、B 、C 为三个事件，试表示下列事件： (1) A 、B 、C 都发生或都不发生； (2) A 、B 、C 中至少有一个发生； (3) A 、B 、C 中不多于两个发生. 解：(1) ()()ABC ABC ； (2) A B C ； (3) ABC 或A B C . 3、在一次射击中，记事件A 为“命中2至4环”、B 为“命中3至5环”、C 为“命中5至7环”，写出下列事件：(1) AB ；(2) A B ；(3) ()A B C ；(4) ABC . 解：(1) AB 为“命中5环”； (2) A B 为“命中0至1环或3至10环”；

(3) ()A B C 为“命中0至2环或5至10环”； (4) ABC 为“命中2至4环”. 4、任取两正整数，求它们的和为偶数的概率？ 解：记取出偶数为“0”，取出奇数为“1”，则其出现的可能性相同，于是任取两个整数的样本空间为{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}Ω=.设A 为“取出的两个正整数之和为偶数”，则 {(0,0),(1,1)}A =，从而1 ()2 p A = . 5、从一副52张的扑克中任取4张，求下列事件的概率： (1) 全是黑桃；(2) 同花；(3) 没有两张同一花色；(4) 同色？ 解：从52张扑克中任取4张，有4 52C 种等可能取法. (1) 设A 为“全是黑桃”，则A 有413 C 种取法，于是413 452 ()C p A C =； (2) 设B 为“同花”，则B 有413 4C 种取法，于是413 452 4()C p B C =； (3) 设C 为“没有两张同一花色”，则C 有4 13种取法，于是4 452 13()p C C =； (4) 设D 为“同色”，则D 有426 2C 种取法，于是426 452 2()C p D C =. 6、把12枚硬币任意投入三个盒中，求第一只盒子中没有硬币的概率？ 解：把12枚硬币任意投入三个盒中，有12 3种等可能结果，记A 为“第一个盒中没有硬币”，则A 有12 2种结果，于是12 2()()3 p A =. 7、甲袋中有5个白球和3个黑球，乙袋中有4个白球和6个黑球，从两个袋中各任取一球，求取到的两个球同色的概率？ 解：从两个袋中各任取一球，有11 810C C ?种等可能取法，记A 为“取到的两个球同色”，则A 有1 111 5 4 3 6C C C C ?+?种取法，于是 1111543611 81019 ()40 C C C C p A C C ?+?==?. 8、把10本书任意放在书架上，求其中指定的三本书放在一起的概率？ 解：把10本书任意放在书架上，有10!种等可能放法，记A 为“指定的三本书放在一起”，则A 有3!8!?种放法，于是3!8!1 ()10!15 p A ?= =. 9、5个人在第一层进入十一层楼的电梯，假若每个人以相同的概率走出任一层(从第二层开始)，求5个人在不同楼层走出的概率？

概率统计-习题及答案-(1)

概率统计-习题及答案-(1)

习题一 1.1写出下列随机试验的样本空间，并把指定的事件表示为样本点的集合： （1）随机试验：考察某个班级的某次数学考试的平均成绩（以百分制记分，只取整数）； 设事件A表示：平均得分在80分以上。 （2）随机试验：同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和； 设事件A表示：第一颗掷得5点； 设事件B表示：三颗骰子点数之和不超过8点。（3）随机试验：一个口袋中有5只球，编号分别为1，2，3，4，5，从中取三个球； 设事件A表示：取出的三个球中最小的号码为1。 （4）随机试验：某篮球运动员投篮练习，直至投中十次，考虑累计投篮的次数； 设事件A表示：至多只要投50次。 （5）随机试验：将长度为1的线段任意分为三段，依次观察各段的长度。 1.2在分别标有号码1~8的八张卡片中任抽一

张。 （1）写出该随机试验的样本点和样本空间； （2）设事件A为“抽得一张标号不大于4的卡片”，事件B为“抽得一张标号为偶数的 卡片”，事件C为“抽得一张标号能被3整除的卡片”。 试将下列事件表示为样本点的集合，并说明分别表示什么事件？ （a）AB；(b) B A+；(c) B；(d) B A-； (e) BC；(f) C B+。 1.3 设A、B、C是样本空间的事件，把下列事件用A、B、C表示出来： （1）A发生；（2）A不发生，但B、C至少有一个发生； （3）三个事件恰有一个发生；（4）三个事件中至少有两个发生； （5）三个事件都不发生；（6）三个事件最多有一个发生； （7）三个事件不都发生。 1.4 设}10,,3,2,1{ Ω，}5,3,2{=A，}7,5,3{=B，}7,4,3,1{=C，求 =

概率论与数理统计题库及答案

概率论与数理统计题库及答案 一、单选题 1. 在下列数组中，（ ）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布． (A) 51,41,31,21 (B) 81,81,41,21 (C) 2 1,21,21,21- (D) 16 1, 8 1, 4 1, 2 1 2. 下列数组中，（ ）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布． (A) 4 1414121 (B) 161814121 (C) 16 3 16 14 12 1 (D) 8 18 34 12 1- 3. 设连续型随机变量X 的密度函数 ???<<=, ,0, 10,2)(其他x x x f 则下列等式成立的是（ ）． (A) X P (≥1)1=- (B) 21)21(==X P (C) 2 1)21(= < X P (D) 2 1)21(= > X P 4. 若 )(x f 与)(x F 分别为连续型随机变量X 的密度函数与分布函数，则等式（ ）成 立． (A) X a P <(≤?∞ +∞-=x x F b d )() (B) X a P <(≤? = b a x x F b d )() (C) X a P <(≤? = b a x x f b d )() (D) X a P <(≤? ∞+∞ -= x x f b d )() 5. 设 )(x f 和)(x F 分别是随机变量X 的分布密度函数和分布函数，则对任意b a <，有 X a P <(≤=)b （ ）． (A) ? b a x x F d )( (B) ? b a x x f d )( (C) ) ()(a f b f - (D) )()(b F a F - 6. 下列函数中能够作为连续型随机变量的密度函数的是（ ）．

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、填空题 1、设 A 、B 、C 表示三个随机事件，试用 A 、B 、C 表示下列事件：①三个事件都发生 ____________ ；__②_ A 、B 发生，C 3、 设 A 、 B 、C 为三个事件，则这三个事件都不发生为 ABC; A B C.） 4、 设 A 、B 、C 表示三个事件，则事件“A 、B 、C 三个事件至少发生一个”可表示为 ，事件“A 、B 、 C 都发生”可表 示为 ， 5、 设 A 、 B 、 C 为三事件，则事件“A 发生 B 与 C 都不发生”可表示为 ________ 事__件; “A 、B 、C 不都发生”可表 示为 ____________ ；_事_ 件“A 、B 、C 都不发生”可表示为 ____ 。_（_ABC ,A B C ;A B C ） 6、 A B ___________ ；__ A B ___________ ；__A B ___________ 。_（_ B A ， A B ， A B ） 7、 设事件 A 、B 、C ，将下列事件用 A 、B 、C 间的运算关系表示：（1）三个事件都发生表示为： _______ ；_（_ 2）三 个 事件不都发生表示为： ________ ；_（_ 3）三个事件中至少有一个事件发生表示为： _____ 。_（_ ABC ， A B C ， A B C ） 8、 用 A 、B 、C 分别表示三个事件，试用 A 、B 、C 表示下列事件： A 、B 出现、C 不出现 ；至少有一 个 事 件 出 现 ； 至 少 有 两 个 事 件 出 现 。 （ ABC,A B C,ABC ABC ABC ABC ） 9、 当且仅当 A 发生、 B 不发生时，事件 ________ 发_生_ 。（ A B ） 10、 以 A 表 示 事 件 “甲 种 产 品 畅 销 ， 乙 种 产 品 滞 销 ”， 则 其 对 立 事 件 A 表 示 。（甲种产品滞销或乙种产品畅销） 11、 有R 1, R 2 , R 3 三个电子元件，用A 1,A 2,A 3分别表示事件“元件R i 正常工作”（i 1,2,3） ，试用 A 1,A 2,A 3表示下列事件： 12、 若事件 A 发生必然导致事件 B 发生，则称事件 B _____ 事_件 A 。（包含） 13、 若 A 为不可能事件，则 P （A ）= ；其逆命题成立否 。（0，不成立） 14、 设Ａ、Ｂ为两个事件， P （A ）＝０ .5, P （A －B ）=0.2，则 P （A B ） 。（0.7） 15、 设P A 0.4，P A B 0.7，若 A, B 互不相容，则P B ______________ ；_若 A, B 相互独立，则P B _______ 。_（_0.3， 概率论与数理统计试题库 不发生 _________ ；__③三个事件中至少有一个发生 2、 设 A 、B 、C 为三个事件，则这三个事件都发生为 _______________ 。_（__A_BC ， ABC ， A B C ） ；三个事件恰有一个发生 为 ABC; ABC ABC ABC ）。 ；三个事件至少有一个发生为 事件“A 、 B 、C 三事件中至少有两个发生”可表示为 。（ A B C ， ABC ， AB BC AC ） 三个元件都正常工作 ；恰有一个元件不正常工作 至少有一个元件 正常工作 。（ A 1 A 2 A 3, A 1A 2 A 3 A 1 A 2A 3 A 1A 2A 3,A 1 A 2 A 3）

概率统计第一章答案

概率论与数理统计作业 班级 姓名 学号 任课教师 第一章 概率论的基本概念 教学要求： 一、了解样本空间的概念，理解随机事件的概念，掌握事件的关系及运算． 二、理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典概率，掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式及贝叶斯公式． 三、理解事件的独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算，理解独立重复试验的概念，掌握计算有关事件概率的方法． 重点：事件的表示与事件的独立性；概率的性质与计算． 难点：复杂事件的表示与分解；试验概型的选定与正确运用公式计算概率；条件概率的理 解与应用；独立性的应用． 练习一 随机试验、样本空间、随机事件 1.写出下列随机事件的样本空间 (1)同时掷两颗骰子，记录两颗骰子点数之和； (2)生产产品直到有5件正品为止，记录生产产品的总件数； (3)在单位圆内任意取一点，记录它的坐标． 解：（1）{=Ω2；3；4；5；6；7；8；9；10；11；12 }; （2）{=Ω5；6；7；…}; （3）(){} 1,22≤+=Ωy x y x 2.设C B A ,,三事件，用C B A ,,的运算关系表示下列事件： （1）A 发生，B 与C 不发生，记为 C B A ； （2）C B A ,,至少有一个发生，记为C B A Y Y ； (3) C B A ,,中只有一个发生，记为C B A C B A C B A Y Y ； (4）C B A ,,中不多于两个发生，记为ABC ． 3.一盒中有3个黑球，2个白球，现从中依次取球，每次取一个，设i A ={第i 次取到黑

球}，,2,1=i 叙述下列事件的内涵： （1）21A A ={}次都取得黑球次、第第21. （2）21A A Y ={}次取得黑球次或地第21. （3）21A A ={}次都取得白球次、第第21 . （4）21A A Y ={}次取得白球次或地第21. （5）21A A -={}次取得白球次取得黑球，且第第21. 4.若要击落飞机，必须同时击毁2个发动机或击毁驾驶舱，记1A ={击毁第1个发动机}；2A ={击毁第2个发动机}；3A ={击毁驾驶舱}；试用1A 、2A 、3A 事件表示=B {飞机被击落}的事件. 解：321A A A B Y = 练习二 频率与概率、等可能概型（古典概率） 1.若41)()()(===C P B P A P ,0)()(==BC P AB P , 16 3)(=AC P , 求事件A 、B 、C 都不发生的概率. 解：由于 ,AB ABC ? 则 ()(),00=≤≤AB P ABC P 得(),0=ABC P 于是 ()()()()()()()()ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P +---++=Y Y 16 9163414141=-++= 所以 ()().16 716911=- =-=C B A P C B A P Y Y 2.设,)(,)(,)(r B A P q B P p A P ===Y 求B A P (). 解：因为 ()()(),AB A P B A P B A P -=-=且,A AB ?则() ()().AB P A P B A P -= 又 ()()()(),r q p B A P B P A P AB P -+=-+=Y

第一章概率论习题解答附件

教 案 概率论与数理统计 (Probability Theory and Mathematical Statistics ) Exercise 1.1 向指定目标射三枪，观察射中目标的情况。用1A 、2A 、 3A 分别表示事件“第1、2、3枪击中目标” ，试用1A 、2A 、3A 表示以下各事件： （1）只击中第一枪； （2）只击中一枪； （3）三枪都没击中； （4）至少击中一枪。 Solution （1）事件“只击中第一枪”，意味着第二枪不中，第三枪也不中。所以，可以表示成 1A 32A A 。 （2）事件“只击中一枪”，并不指定哪一枪击中。三个事件“只击中第一枪”、“只击中第二枪”、“只击中第三枪”中，任意一个发生，都意味着事件“只击中一枪”发生。同时，因为上述三个事件互不相容，所以，可以表示成 123A A A +321A A A +321A A A . （3）事件“三枪都没击中”，就是事件“第一、二、三枪都未击中”，所以，可以表示成 123A A A . （4）事件“至少击中一枪”，就是事件“第一、二、三枪至少有一次击中”，所以，可以表示成 321A A A 或 123A A A +321A A A +321A A A +1A 32A A +321A A A +321A A A + 321A A A . Exercise 1.2 设事件B A ,的概率分别为 21,31 .在下列三种情况下分别求)(A B P 的值： （１）A 与B 互斥； （２）；B A ? （３）81)(=AB P ． Solution 由性质（5），)(A B P =)()(AB P B P -. （1） 因为A 与B 互斥，所以φ=AB ，)(A B P =)()(AB P B P -=P(B)= 21 （2） 因为；B A ?所以)(A B P =)()(AB P B P -=)()(A P B P -= 6 13121=-

济南大学概率论A大作业答案

第一章 概率论的基本概念 一、填空题 1．;)3(;)2(;)1(C B A C B A C B A C B A C AB )()4(C B C A B A C B A C B A C B A C B A 或; 2． 2 1 81，； 3．6.0； 4． 733.0，； 5． 8.0,7.0； 6． 87； 7． 85； 8. 996.01211010 12或A -； 9． 2778.0185 6 446==A ；10. p -1. 二、选择题 D ；C ；B ；A ；D ； C ；D ；C ；D ；B . 三、解答题 1.解：).()()()(),((AB P B P AB P A P A B P B A P -=-∴=） 相互独立， 又）B A B A P B P A P ,,9 1 )(),((==∴ .3 2 )(,91)](1[)()()()(22=∴=-===∴A P A P A P B P A P B A P 2.解： 设事件A 表示“取得的三个数字排成一个三位偶数”，事件B 表示“此三位偶数的末 尾为0”，事件B 表示“此三位偶数的末尾不为0”，则: =)(A P )()(B P B P += .125 3 4 1 2123423=+A A A A A 3.解：设A i =“飞机被i 人击中”，i =1,2,3 , B =“飞机被击落”, 则由全概率公式： )()()()((321321B A P B A P B A P B A B A B A P B P ++== ） )()()()()()(332211A B P A P A B P A P A B P A P ++= (1) 设1H =“飞机被甲击中”，2H =“飞机被乙击中”，3H =“飞机被丙击中”, 则: =)(1A P 321(H H H P 321(H H H P 321(H H H P ) =+)(321H H H P +)(321H H H P )(321H H H P ) 由于甲、乙、丙的射击是相互独立的，

考研概率论与数理统计题库-题目

概率论与数理统计 第一章 概率论的基本概念 1. 写出下列随机试验的样本空间 （1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（以百分制记分） （2）生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。 （3）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。 2. 设A ，B ，C 为三事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列事件。 （1）A 发生，B 与C 不发生 （2）A ，B 都发生，而C 不发生 （3）A ，B ，C 中至少有一个发生 （4）A ，B ，C 都发生 （5）A ，B ，C 都不发生 （6）A ，B ，C 中不多于一个发生 （7）A ，B ，C 中不多于二个发生 （8）A ，B ，C 中至少有二个发生。 3. 设A ，B 是两事件且P (A )=0.6，P (B )=0.7. 问(1)在什么条件下P (AB )取到最大值，最 大值是多少？（2）在什么条件下P (AB )取到最小值，最小值是多少？ 4. 设A ，B ，C 是三事件，且0)()(,4/1)()()(=====BC P AB P C P B P A P ，8 1 )(= AC P . 求A ，B ，C 至少有一个发生的概率。 5. 在电话号码薄中任取一个电话号码，求后面四个数全不相同的概率。（设后面4个数 中的每一个数都是等可能性地取自0，1，2……9）

6. 在房间里有10人。分别佩代着从1号到10号的纪念章，任意选3人记录其纪念章的 号码。 （1）求最小的号码为5的概率。 （2）求最大的号码为5的概率。 7. 某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆10桶、黑漆4桶，红漆3桶。在搬运中所标笺 脱落，交货人随意将这些标笺重新贴，问一个定货4桶白漆，3桶黑漆和2桶红漆顾客，按所定的颜色如数得到定货的概率是多少？ 8. 在1500个产品中有400个次品，1100个正品，任意取200个。 （1）求恰有90个次品的概率。 （2）至少有2个次品的概率。 9. 从5双不同鞋子中任取4只，4只鞋子中至少有2只配成一双的概率是多少？ 10. 将三个球随机地放入4个杯子中去，问杯子中球的最大个数分别是1，2，3，的概 率各为多少？ 11. 已知)|(,5.0)(,4.0)(,3.0)(B A B P B A P B P A P ?===求。 12. )(,2 1 )|(,31)|(,41)(B A P B A P A B P A P ?=== 求。 13. 设有甲、乙二袋，甲袋中装有n 只白球m 只红球，乙袋中装有N 只白球M 只红球， 今从甲袋中任取一球放入乙袋中，再从乙袋中任取一球，问取到（即从乙袋中取到）白球的概率是多少？ (2) 第一只盒子装有5只红球，4只白球；第二只盒子装有4只红球，5只白球。先从第一盒子中任取2只球放入第二盒中去，然后从第二盒子中任取一只球，求取到白球的概率。 14. 已知男人中有5%是色盲患者，女人中有0.25%是色盲患者。今从男女人数相等的人 群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？ 15. 一学生接连参加同一课程的两次考试。第一次及格的概率为P ，若第一次及格则第 二次及格的概率也为P ；若第一次不及格则第二次及格的概率为2/P

概率论与数理统计第一章课后习题及参考答案

概率论与数理统计第一章课后习题及参考答案 1．写出下列随机试验的样本空间． (1)记录一个小班一次数学考试的平均分数(以百分制记分)； (2)一个口袋中有5个外形相同的球，编号分别为1，2，3，4，5，从中同时取 出3个球； (3)某人射击一个目标，若击中目标，射击就停止，记录射击的次数； (4)在单位圆内任意取一点，记录它的坐标． 解：(1)}100,,2,1{ =Ω； (2)}345,235,234,145,135,134,125,124,123{=Ω； (3)},2,1{ =Ω； (4)}|),{(22y x y x +=Ω． 2．在}10,,2,1{ =Ω，}432{，，=A ，}5,4,3{=B ，}7,6,5{=C ，具体写出下列各式：(1)B A ；(2)B A ；(3)B A ；(4)BC A ；(5)C B A ． 解：(1),9,10}{1,5,6,7,8=A ， }5{=B A ；(2)}10,9,8,7,6,5,4,3,1{=B A ； (3)法1：}10,9,8,7,6,2,1{=B ， }10,9,8,7,6,1{=B A ， }5,4,3,2{=B A ； 法2：}5,4,3,2{===B A B A B A ； (4)}5{=BC ， }10,9,8,7,6,4,3,2,1{=BC ， }4,3,2{=BC A ， }10,9,8,7,6,5,1{=BC A ；

(5)}7,6,5,4,3,2{=C B A ， {1,8,9,10}=C B A ． 3．设}20|{≤≤=Ωx x ，}121| {≤<=x x A ，}2 341|{≤≤=x x B ，具体写出下列各式：(1)B A ；(2)B A ；(3)AB ；(4)B A ． 解：(1)B B A = ， }22 3,410|{≤<<≤==x x x B B A ；(2)=B A ?； (3)A AB =， }21,10|{≤<≤ ≤==x x x A AB ；(4)}231,2141|{<<<≤=x x x B A ．4．化简下列各式：(1)))((B A B A ；(2)))((C B B A ；(3)))((B A B A B A ．解：(1)A B B A B A B A ==)())(( ； (2)AC B C A B C B B A ==)())((；(3))())()((B A B B A B A B A B A =AB AB A A B A A === )(．5．A ，B ，C 表示3个事件，用文字解释下列事件的概率意义：(1)C B A C A C B A ；(2)BC AC AB ；(3)(C B A ；(4)BC AC AB ． 解：(1)A ，B ，C 恰有一个发生； (2)A ，B ，C 中至少有一个发生； (3)A 发生且B 与C 至少有一个不发生； (4)A ，B ，C 中不多于一个发生． 6．对于任意事件A ，B ，证明：Ω=-A B A AB )(．

大学概率论习题五详解(1)

正文： 概率论习题五详解 1、设X 为离散型的随机变量，且期望EX 、方差DX 均存在，证明对任意0>ε,都有 ()2 εεDX EX X P ≤ ≥- 证明 设()i i p x X P == ,...2,1=i 则 ()()∑≥ -==≥-ε εEX x i i x X P EX X P ()i EX x i p EX x i ∑≥ --≤εε2 2 ()i i i p EX x ∑ -≤2 2ε=2 εDX 2、设随机变量X 和Y 的数学期望都是2，方差分别为1和4，而相关系数为0.5，请利用切比 雪夫不等式证明： ()12 16≤ ≥-Y X P 。 证 ()0=-Y X E ()1,cov ==DXDY Y X ρ ()()325,cov 2=-=-+=-Y X DY DX Y X D ()()()()()12 1 6662= -≤≥---=≥-Y X D Y X E Y X P Y X P 3、一枚均匀硬币要抛多少次才能使正面出现的频率与0.5之间的偏差不小于0.04的概率不 超过0.01？ 解设n X 为 n 次抛硬币中正面出现次数，按题目要求，由切比雪夫不等式可得 01.004.05.05.004.05.02≤??≤??? ? ??≥-n n X P n 从而有 1562504.001.025 .02 =?≥n 即至少连抛15625次硬币，才能保证正面出现频率与0.5的偏差不小于0.04的概率不超过0.01。 4、每名学生的数学考试成绩X 是随机变量，已知80=EX ，25=DX ，（1）试用切比雪夫不等式估计该生成绩在70分到90分之间的概率范围；（2）多名学生参加数学考试，要使他们的平均分数在75分到85分之间的概率不低于90%，至少要有多少学生参加考试？ 解 (1)由切比雪夫不等式 () 2 1ε εDX EX X P - ≥<- ()0>ε 又 ()()()101090709070≤-≤-=-≤-≤-=≤≤EX X P EX EX X EX P X P =()75.0100 25 11080=-≥≤-X P 即该生的数学考试成绩在70分到90分之间的概率不低于75% (2)设有n 个学生参加考试(独立进行)，记第i 个学生的成绩为i X ()n i i ...2,=，则平均成绩

概率论与数理统计大纲各章节作业

第一章随机事件与概率 1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件C B A ,,分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件C B A ,,中的样本点。 解：Ω={（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）}； A={（正，反），（正，正）}； B={（正，正），（反，反）}； C={（正，反），（正，正），（反，正）}。 2.设31)(=A P ，2 1)(=B P ，试就以下三种情况分别求)(A B P ： （1）AB =?，（2）B A ?，（3）81)(=AB P 解: （1）5.0)()()()()(==-=-=B P AB P B P AB B P A B P （2）6/13/15.0)()()()()()(=-=-=-=-=A P B P AB P B P AB B P A B P （3）375 .0125.05.0)()()()(=-=-=-=AB P B P AB B P A B P 3.某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而随机的拨号，求他 拨号不超过三次而接通所需的电话的概率是多少如果已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少 解: 记H 表拨号不超过三次而能接通。 Ai 表第i 次拨号能接通。 注意：第一次拨号不通，第二拨号就不再拨这个号码。 10 3819810991109101) |()|()()|()()()(2131211211321211=??+?+= ++=∴ ++=A A A P A A P A P A A P A P A P H P A A A A A A H 三种情况互斥 Θ 如果已知最后一个数字是奇数（记为事件B ）问题变为在B 已发生的条件下，求H 再发生的概率。

概率论与数理统计习题集及答案

《概率论与数理统计》作业集及答案 第1章 概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ； B ：两次出现同一面，则= ； C ：至少有一次出现正面，则C= . §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则 （1）=?B A ，（2）=AB ，（3）=B A ， （4）B A ?= ，（5）B A = 。 §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个 签，说明两人抽“中‘的概率相同。 2. 第一盒中有4个红球6个白球，第二盒中有5个红球5个白球，随机地取一盒，从中 随机地取一个球，求取到红球的概率。

概率论第一章答案

.1. 解：（正， 正）， （正， 反）， （反， 正）， （反， 反） A （正 ，正） ， （正， 反） .B （正，正），（反，反） C （正 ，正） ， （正， 反） ，（反，正） 2.解：(1,1),(1,2), ,(1,6),(2,1),(2,2), ,(2,6), ,(6,1),(6,2), ,(6,6)；AB (1,1),(1,3),(2,2),(3,1)； A B (1,1),(1,3),(1,5), ,(6,2),(6,4),(6,6),(1,2),(2,1)； AC - BC (1,1),(2,2). A B C D (1,5), (2,4), (2,6), (4,2), (4,6), (5,1), (6,2), (6,4) 3. 解：(1) ABC ；(2) ABC ；(3) ABC ABC ABC ； (4) ABC ABC ABC ；( 5) A B C ； (6) ABC ；(7) ABC ABC ABC ABC 或AB AC BC (8) ABC ；(9) ABC 4. 解：甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中； 甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有两人击中c 5. 解：如图： 第一章概率论的基本概念习题答案

每次拿一件，取后放回，拿3次: ABC ABC; AB C ABC C; B A C ABC ABC ABC BA ABC BC ABC 6. 解：不 疋成立 。例如： A 3,4,5 B 那么 A C B C 但A B 0 7. 解：不 疋成立 。例如： A 3,4,5 B 那么 A (B C) 3 , 但是 （A B) C 3,6,7 ABC ABC A B 4,5,6 o 8.解: C ABC ABC ABC 3 C 4,5 6,7 P( BA) P(B AB) P(B) P(AB) (1) 2 ; (2) P( BA) P(B A) P(B) 1 P(A) 6 ; (3) P( BA) P(B AB) P(B) 1 P(AB)- 2 9. 解： P(ABC) P A B C 1 P(A B C)= 1 1 8 P (1 ) 2 982 1003 0.0576 ; 1旦 1003 0.0588 ; 1 P(A) 1 P(B) 1 P(C) 1 P(AB) 1 P(AC) 3 P(BC) P(ABC) 16 16 g 八牛 A)n .(.( (C p( B P (1) C ；8C ； C 100 0.0588 ; P (2) 3 100 1 98 0.0594 ; D P 3 2 2 P c ；c