(完整版)四边形中“新定义”型试题探究

新定义问题所谓“新定义”型问题，主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型．解决“新定义型专题”关键要把握两点：一是掌握问题原型的特点及其解决问题的思想方法；二是根据问题情境的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移．类型1 新法则、新运算型例1 我们知道，任意一个正整数n 都可以进行这样的分解：n ＝p ×q (p ，q 是正整数，且p ≤q )．在n 的所有这种分解中，如果p ，q 两因数之差的绝对值最小，我们就称p ×q 是n 的最佳分解．并规定：F (n )＝pq.例如2可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12－1＞6－2＞4－3，所以3×4是12的最佳分解，所以F (12)＝34.(1)如果一个正整数m 是另外一个正整数n 的平方，我们称正整数m 是完全平方数，求证：对任意一个完全平方数m ，总有F (m )＝1；(2)如果一个两位正整数t ，t ＝10x ＋y (1≤x ≤y ≤9，x ，y 为自然数)，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36，那么我们称这个数t 为“吉祥数”，求所有“吉祥数”；(3)在(2)所得的“吉祥数”中，求F (t )的最大值．例题分层分析(1)对任意一个完全平方数m ，设m ＝n 2(n 为正整数)，找出m 的最佳分解为________，所以F(m)＝________＝________；(2)设交换t的个位上的数与十位上的数得到的新数为t′，则t′＝________，根据“吉祥数”的定义确定出x与y的关系式为________，进而求出所求即可；(3)利用“吉祥数”的定义分别求出各自的值，进而确定出F(t)的最大值即可．对应练习：对于任意实数a，b，定义关于“⊗”的一种运算如下：a⊗b＝2a－b.例如：5⊗2＝2×5－2＝8，(－3)⊗4＝2×(－3)－4＝－10.(1)若3⊗x＝－2011，求x的值；(2)若x⊗3<5，求x的取值范围．解题方法点析此类问题在于读懂新定义，然后仿照范例进行运算，细心研读定义，细致观察范例是解题的关键．类型2 新定义几何概念型例2 如图，将△ABC纸片沿中位线EH折叠，使点A的对称点D落在BC边上，再将纸片分别沿等腰△BED和等腰△DHC的底边上的高线EF，HG折叠，折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形．类似地，对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为叠合矩形．(1)将▱ABCD 纸片按图①的方式折叠成一个叠合矩形AEFG ，则操作形成的折痕分别是线段________，________；S 矩形AEFG ∶S ▱ABCD ＝________．(2)▱ABCD 纸片还可以按图②的方式折叠成一个叠合矩形EFGH ，若EF ＝5，EH ＝12，求AD 的长．(3)如图③，四边形ABCD 纸片满足AD ∥BC ，AD <BC ，AB ⊥BC ，AB ＝8，CD ＝10.小明把该纸片折叠，得到叠合正方形．．．．请你帮助画出叠合正方形的示意图，并求出AD ，BC 的长．例题分层分析(1)观察图形直接得到操作形成的折痕，根据矩形和平行四边形的面积公式与折叠的轴对称性质可得S 矩形AEFG ∶S ▱ABCD ＝________；(2)由矩形的性质和勾股定理可求得FH ＝________，再由折叠的轴对称性质可知HD ＝________，FC ＝______，∠AHE ＝12______，∠CFG ＝12________，从而可得∠________＝∠________，再证得△AEH ≌△CGF ，可得________，进而求得AD 的长；(3)根据叠合矩形定义，画出叠合正方形，然后再求AD ，BC 的长． 对应练习：定义：有一组邻边相等，并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形． (1)如图①，等腰直角四边形ABCD 中，AB ＝BC ，∠ABC ＝90°. ①若AB ＝CD ＝1，AB ∥CD ，求对角线BD 的长． ②若AC ⊥BD ，求证：AD ＝CD .(2)如图②，在矩形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝9，点P 是对角线BD 上一点，且BP ＝2PD ，过点P 作直线分别交边AD ，BC 于点E ，F ，使四边形ABFE 是等腰直角四边形．求AE 的长．解题方法点析解决此类问题的关键在于仔细研读几何新概念，将新的几何问题转化为已知的三角形、四边形或圆的问题，从而解决问题．对于几何新概念弄清楚条件和结论是至关重要的． 课后练习：1．定义[x ]表示不超过实数x 的最大整数，如[1.8]＝1，[－1.4]＝－2，[－3]＝－3.函数y ＝[x ]的图象如图Z 3－3所示，则方程[x ]＝12x 2的解为( )A ．0或 2B ．0或2C ．1或－ 2D .2或－ 22．对于实数a ，b ，定义符号min{a ，b }，其意义为：当a ≥b 时，min{a ，b }＝b ：当a ＜b 时，min{a ，b }＝a .例如min{2，－1}＝－1.若关于x 的函数y ＝min{2x －1，－x ＋3}，则该函数的最大值为( )A.23 B ．1 C.43 D .533．在平面直角坐标系xOy 中，对于不在坐标轴上的任意一点P (x ，y )，我们把点P ′(1x，1y)称为点P 的“倒影点”．直线y ＝－x ＋1上有两点A ，B ，它们的倒影点A ′，B ′均在反比例函数y ＝kx的图象上．若AB ＝2 2，则k ＝________．4．经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图，线段CD 是△ABC 的“和谐分割线”，△ACD 为等腰三角形，△CBD 和△ABC 相似，∠A ＝46°，则∠ACB 的度数为________．5．有两个内角分别是它们对角的一半的四边形叫做半对角四边形．(1)如图①，在半对角四边形ABCD 中，∠B ＝12∠D ，∠C ＝12∠A ，求∠B 与∠C 的度数之和；(2)如图②，锐角三角形ABC 内接于⊙O ，若边AB 上存在一点D ，使得BD ＝BO ，∠OBA 的平分线交OA 于点E ，连结DE 并延长交AC 于点F ，∠AFE ＝2∠EAF ，求证：四边形DBCF 是半对角四边形；(3)如图③，在(2)的条件下，过点D 作DG ⊥OB 于点H ，交BC 于点G ，当DH ＝BG 时，求△BGH 与△ABC 的面积之比．答案与解析【例1】【解答】解：（1）证明：对任意一个完全平方数m，设m＝n2（n为正整数），∵|n﹣n|＝0，∴n×n是m的最佳分解，∴对任意一个完全平方数m，总有F（m）＝＝1；（2）设交换t的个位上数与十位上的数得到的新数为t′，则t′＝10y+x，∵t是“吉祥数”，∴t′﹣t＝（10y+x）﹣（10x+y）＝9（y﹣x）＝36，∴y＝x+4，∵1≤x≤y≤9，x，y为自然数，∴满足“吉祥数”的有：15，26，37，48，59；（3）F（15）＝，F（26）＝，F（37）＝，F（48）＝＝，F（59）＝，∵＞＞＞＞，∴所有“吉祥数”中，F（t）的最大值为．【对应练习】【解答】解：（1）根据题意，得：2×3﹣x＝﹣2011，解得：x＝2017；（2）根据题意，得：2x﹣3＜5，解得：x＜4．【例2】【解答】解：（1）根据题意得：操作形成的折痕分别是线段AE、GF；由折叠的性质得：△ABE≌△AHE，四边形AHFG≌四边形DCFG，∴△ABE的面积＝△AHE的面积，四边形AHFG的面积＝四边形DCFG的面积，∴S矩形AEFG＝S▱ABCD，∴S矩形AEFG：S▱ABCD＝1：2；故答案为：AE，GF，1：2；（2）∵四边形EFGH是矩形，∴∠HEF＝90°，∴FH＝＝13，由折叠的性质得：AD＝FH＝13；（3）有3种折法，如图4、图5、图6所示：①折法1中，如图4所示：由折叠的性质得：AD＝BG，AE＝BE＝AB＝4，CF＝DF＝CD＝5，GM＝CM，∠FMC＝90°，∵四边形EFMB是叠合正方形，∴BM＝FM＝4，∴GM＝CM＝＝＝3，∴AD＝BG＝BM﹣GM＝1，BC＝BM+CM＝7；②折法2中，如图5所示：由折叠的性质得：四边形EMHG的面积＝梯形ABCD的面积，AE＝BE＝AB＝4，DG＝NG，NH＝CH，BM＝FM，MN＝MC，∴GH＝CD＝5，∵四边形EMHG是叠合正方形，∴EM＝GH＝5，正方形EMHG的面积＝52＝25，∵∠B＝90°，∴FM＝BM＝＝3，设AD＝x，则MN＝FM+FN＝3+x，∵梯形ABCD的面积＝（AD+BC）×8＝2×25，∴AD+BC＝，∴BC＝﹣x，∴MC＝BC﹣BM＝﹣x﹣3，∵MN＝MC，∴3+x＝﹣x﹣3，解得：x＝，∴AD＝，BC＝﹣＝；③折法3中，如图6所示，作GM⊥BC于M，则E、G分别为AB、CD的中点，则AH＝AE＝BE＝BF＝4，CG＝CD＝5，正方形的边长EF＝GF＝4，GM＝FM＝4，CM＝＝3，∴BC＝BF+FM+CM＝11，FN＝CF＝7，DH＝NH＝8﹣7＝1，∴AD＝5．【对应练习】【解答】解：（1）①∵AB＝CD＝1，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形，∵∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是正方形，∴BD＝AC＝＝．②如图1中，连接AC、BD．∵AB＝BC，AC⊥BD，∴∠ABD＝∠CBD，∵BD＝BD，∴△ABD≌△CBD，∴AD＝CD．（2）若EF⊥BC，则四边形ABFE是矩形，AE＝BF＝BC＝6，∵AB＝5，∴AE≠AB∴四边形ABFE表示等腰直角四边形，不符合条件．若EF与BC不垂直，①当AE＝AB时，如图2中，此时四边形ABFE是等腰直角四边形，∴AE＝AB＝5．②当BF＝AB时，如图3中，此时四边形ABFE是等腰直角四边形，∴BF＝AB＝5，∵DE∥BF，∴DE：BF＝PD：PB＝1：2，∴DE＝2.5，∴AE＝9﹣2.5＝6.5，综上所述，满足条件的AE的长为5或6.5．【课后练习】1.A 【解答】解：当1≤x＜2时，x2＝1，解得x1＝，x2＝﹣（舍去）；当0≤x＜1时，x2＝0，解得x＝0；当﹣1≤x＜0时，x2＝﹣1，方程没有实数解；当﹣2≤x＜﹣1时，x2＝﹣2，方程没有实数解；所以方程[x]＝x2的解为0或．故选：A．2.D【解答】解：由题意得：，解得：，当2x﹣1≥﹣x+3时，x≥，∴当x≥时，y＝min{2x﹣1，﹣x+3}＝﹣x+3，由图象可知：此时该函数的最大值为；当2x﹣1≤﹣x+3时，x≤，∴当x≤时，y＝min{2x﹣1，﹣x+3}＝2x﹣1，由图象可知：此时该函数的最大值为；综上所述，y＝min{2x﹣1，﹣x+3}的最大值是当x＝所对应的y的值，如图所示，当x＝时，y＝，故选：D．3.﹣【解答】解：（方法一）设点A（a，﹣a+1），B（b，﹣b+1）（a＜b），则A′（，），B′（，），∵AB＝＝＝（b﹣a）＝2，∴b﹣a＝2，即b＝a+2．∵点A′，B′均在反比例函数y＝的图象上，∴，解得：k＝﹣．（方法二）∵直线y＝﹣x+1上有两点A、B，且AB＝2，∴设点A的坐标为（a，﹣a+1），则点B的坐标为（a+2，﹣a﹣1），点A′的坐标为（，），点B′的坐标为（，﹣）．∵点A′，B′均在反比例函数y＝的图象上，∴，解得：．故答案为：﹣．4.113°或92°【解答】解：∵△BCD∽△BAC，∴∠BCD＝∠A＝46°，∵△ACD是等腰三角形，∵∠ADC＞∠BCD，∴∠ADC＞∠A，即AC≠CD，①当AC＝AD时，∠ACD＝∠ADC＝（180°﹣46°）＝67°，∴∠ACB＝67°+46°＝113°，②当DA＝DC时，∠ACD＝∠A＝46°，∴∠ACB＝46°+46°＝92°，故答案为113°或92°．5.【解答】解：（1）在半对角四边形ABCD中，∠B＝∠D，∠C＝∠A，∵∠A+∠B+∠C+∠D＝360°，∴3∠B+3∠C＝360°，∴∠B+∠C＝120°，即∠B与∠C的度数和为120°；（2）证明：∵在△BED和△BEO中，，∴△BED≌△BEO（SAS），∴∠BDE＝∠BOE．∵∠BCF＝∠BOE，∴∠BCF＝∠BDE，连接OC，设∠EAF＝α，则∠AFE＝2∠EAF＝2α，∴∠EFC＝180°﹣∠AFE＝180°﹣2α，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝α，∴∠AOC＝180°﹣∠OAC﹣∠OCA＝180°﹣2α，∴∠ABC＝∠AOC＝∠EFC，∴四边形DBCF是半对角四边形；（3）解：过点O作OM⊥BC于M，∵四边形DBCF是半对角四边形，∴∠ABC+∠ACB＝120°，∴∠BAC＝60°，∴∠BOC＝2∠BAC＝120°，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝30°，∵DG⊥OB，∴BH＝BG＝．在直角△BDH中，利用勾股定理得到：BD＝＝＝．∴BO＝BD＝．∴⊙O的直径是2．。

专题02与特殊四边形有关问题的压轴题之四大题型目录【题型一与矩形有关问题的压轴题】 (1)【题型二与菱形有关问题的压轴题】 (14)【题型三与正方形形有关问题的压轴题】 (25)【题型四与特殊平行四边形中新定义探究问题压轴题】 (37)【题型一与矩形有关问题的压轴题】由题意知，60DAN ∠=︒，4AD AB ==∴cos 602AN AD =⋅︒=，sin DN AD =⋅∴3tan 2DN DGN GN ∠==，∵FBG △是等腰三角形，∴11124BM GM BG AB ====，∴3AM =，由题意，设5AB BC x ==，则4OB x =【变式训练】1．（2023·浙江·一模）如图1，菱形ABCD 中，=60B ∠︒，2AB =，E 是边BC 上一动点（不与点B 、C 重合）连结DE ，点C 关于直线DE 的对称点为C '，连结AC '并延长交直线DE 于点P 、F 是AC '的中点，连结DC '、DF ．(1)填空：DC '=________；FDP ∠=________．(2)如图2，将题中条件“=60B ∠︒”改成“90B Ð=°”，其余条件均不变，连结BP 线段间的数量关系，并对你的猜想加以证明．(3)在（2）的条件下，连结AC ．①若动点E 运动到边BC 的中点处时，求ACC '△的面积；90GAP∴∠=︒，四边形ABCD是菱形，Ð∴四边形ABCD是正方形，90ADC BAD∴∠=∠=︒，AB AD=，由（1）得：12 FDP ADC ∠=∠AD C D'=，AF C F'=，∠=∠=由（2）得：APB G∴∠=∠+∠= BPD BPA DPFBPD BCD∴∠=∠=︒，90∴B、P、C、D四点共圆， 四边形ABCD是正方形，∴=，OA OC上，∴在OA12ACC S AC C M ''∴=⋅ ，222AC AB == ，1222ACC S C M ''∴=⨯= ∴当C M '取最大时，S △22BD AC == ，122DM BD ∴==，2C M C D DM ''∴=-=-()2222ACC S '∴=-= 故ACC '△面积的最大值为=，求证：(1)在线段BC上取一点T，使CE CT(2)图中7AE=．AB=，1∆周长的最大值和最小值；①点F在线段BC上，求EFG②记点F关于直线AB的轴对称点为点【答案】(1)见解析(2)①最小值为93，最大值为343；60FEG ∠=︒ ，60TEC ∠=︒，FET TEG GEC TEG ∴∠+∠=∠+∠，FET GEC ∴∠=∠，在FET ∆和GEC ∆中，FET GEC ET CE FTE GCE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()ΔΔEFT EGC ASA ∴≅，FT CG ∴=；（2）解：①如下图，当点F 与点B 重合时，同（1）可得，FE GF =，60FEG ∠=︒ ，FEG ∴∆是等边三角形，同理可得，当点F 在BC 边上时，FEG ∆均是等边三角形，当FE BC ⊥时，EF 最短，如下图，7AB AC == ，1AE =，716CE AC AE ∴=-=-=，又60ACF ∠=︒ ，30CEF ∴∠=︒，过点E 作EH BC ⊥于H ，则3CH =，33EH =，734BH BC CH ∴=-=-=，在Rt BHE 中，2BE BH EH =+∴作CM AB ⊥于M ，点F 关于AB 的对称点N 在OF ON CM ∴==，37322CM BC ABC BC =⋅∠==，732OF ∴=，连接BN，点N与点F关于AB对称，ABN ABC∴∠=∠=︒，60，∠=︒BAC602CF BC BF ∴=-=，02CF ∴<<或14CF >．【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形判定和性质，相似三角形判定和性质，轴对称性质等知识，解决问题的关键是证明三角形相似．【题型二与菱形有关问题的压轴题】(1)求证：CBE FEB ∠=∠．(2)当A ，F ，C 三点共线时，用含(3)若5AB AE =，BCF △能否是等腰三角形？若能，求【答案】(1)见解析由对称得BE AC ⊥，∴90ABE BAC ∠+∠=︒，∵90DAC BAC ∠+∠=︒，∴ABE DAC ∠=∠．=(如图3)，则5a=若FB BCn=，∴5若FC BC =（如图4），由NC (2260251313a na a na ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得132n =∴n 的值为5013或5或132．【点睛】题目主要考查矩形及折叠的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理解三角形等，理解题意，进行分类讨论，作出相应图形是解题关键．【变式训练】1．（2023·浙江金华·校联考三模）如图，在矩形ABCD 中，4AB =，2AD =，动点P 从点A 开始以每秒2个单位长度沿AB 向终点B 运动，同时，动点Q 从点C 开始沿C D A --以每秒3个单位长度向终点A 运动，它们同时到达终点．连接PQ 交AC 于点E ．过点E 作EF PQ ⊥，交直线CD 于点F ．1AQ AD DQ =-=，(23AP CD =同理：AME ABC ∽△△，∴12EM BC AM AB ==，∴22AM EM h ==．若点F 在Q 的右侧，如图3，当FEQ △作PH CD ⊥于点H ，而B PHQ ∠=∠=∴ABC PHQ ∽，则2AB H PH Q BC ==，∴112QH PH ==．∵222242=+=+AC AB BC 又∵32CE AE =∴24555AE AC ==．∵由FEQ ABC ∽△△结合对顶角可得：由90FEQ NEG ∠=∠=︒，得FEN ∠∴Rt Rt FEN QEG ∽△△，∴2EN EF EG EQ==．同理可得：12AG BC EG AB ==，(1)如图（1），当0α=︒，求n m的值．(2)如图2，若090α︒≤≤︒，求m 关于n 的数量关系．(3)若CEF △旋转至A ，E ，F 三点共线，求m 的值．【答案】(1)5 四边形ABCD 是矩形，90ADC BCE ∴∠=∠=︒，AD =在Rt ABC ∆中，由勾股定理得：在Rt CEF ∆中，4CE =，3EF =，5CF ∴=，∴3EF =，63AB ==，在Rt ABC ∆中，由勾股定理得：在Rt CEF ∆中，4CE =，3EF =，5CF ∴=，∴34EF CE =，6384AB BC ==，同理得：AFC BEC ∆∆∽，∴54AC AF BC BE ==，AF =48211255BE AF -∴==综上，821125BE +=或BE 【点睛】本题考查了矩形的性质、旋转的性质、勾股定理以及相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握【题型三与正方形形有关问题的压轴题】(1)如图1，过点E 作EG CD ⊥，EF BC ⊥，连接(2)如图2，连结EC ，过点E 作EC 的垂线交①求证：EQC 为等腰三角形；②连结PC ，若2BQ k CQ =，且2DE =，求【答案】(1)结论：AE FG =，AE FG ⊥．详见解析(2)①详见解析；②2244k k ++FG EC =，可得结论；（2）①过点E 作EM AB ⊥于点M ，EN BC ⊥于点N ，分别证明EP EC =，EQ EP =，可得结论；②延长ME 交CD 与点K ．则四边形EKCN 是矩形，证明2CQ =，BQ k =，利用勾股定理求解．【详解】（1）解：结论：AE FG =，AE FG ⊥．理由：连接EC ，延长AE 交FG 与点J ，交CD 于点K ．四边形ABCD 是正方形，BA BC ∴=，AB ∠45E CBE =∠=︒，90BCD ∠=︒，BE BE = ，()SAS ABE CBE ∴≌ ，AE CE ∴=，BAE BCE ∠=∠，EG CD ⊥ ，EF CB ⊥，90EGC EFC FCG ∴∠=∠=∠=︒，∴四边形EFCG 是矩形，∴=FG CE ，AE FG ∴=，EG FC = ，90GEF CFE ∠=∠=︒，EF FE =，()SAS GEF CFE ∴≌△△，ECF EGF ∴∠=∠，BAE EGF ∠=∠ ，∵AB CD ∥，BAE EKG ∴∠=∠，EGF EKG ∴∠=∠，90GEK EKG ∠+∠=︒ ，90GEK EGJ ∴∠+∠=︒，四边形ABCD是正方形，∴∠=∠，EBA EBC⊥，EN CB EM AB⊥∴=，EM ENEMB ENB MBN∠=∠=∠【变式训练】(1)判断线段AE、BF的位置关系并说明理由．(2)连接AC交BF于点H，连接EH，如图②；①若点E是BC的中点，当5HF=时，求线段AE②设正方形ABCD的面积为1S，四边形CEHF的面积为【答案】(1)垂直，理由见解析(1)探索并证明AG 与BF 有怎样的位置和数量关系；(2)转动DEF 至如图2位置时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请说明理由．(3)若122DE AD ==，DEF 绕着点D 旋转过程中，请直接写出【答案】(1)2BF AG =，BF AG ⊥，证明见解析(2)仍然成立，证明见解析(3)221221CG -≤≤+四边形ABCD 为正方形，AB BC CD AD ∴===，DE DF = ，AD DE CD DF ∴-=-，即在ABE 和CBF V 中，AB CB BAE BCF =⎧⎪，四边形ABCD 为正方形，AB BC CD AD ∴===，90BAE BCF ∠=∠=︒，9090ADE EDC CDF EDC ∠+∠=︒∠+∠=︒ ，，ADE CDF \Ð=Ð，在ADE V 和CDF 中，AD CD ADE CDF DE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SAS ADE CDF ∴≌V V ，AE CF ∴=，DAE DCF ∠=∠，在BGM 和EGA △中，BG GE AGE MGB AG MG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SAS BGM EGA ∴ ≌，AE BM GAE M ∴=∠=∠，，90180M MBC BAM ∠+∠+︒+∠=︒ ，90BAM GAE DAE ∠+∠+∠=︒，MBC EAD ∴∠=∠，9090ABM MBC BCF DCF ∠=︒+∠∠=︒+∠ ，，ABM BCF ∴∠=∠，在ABM 和BCF △中，令E 点所在圆的半径为R ，G 点所在圆的半径为 122DE AD ==，4AB AD ∴==，2AC BD AB ==+1222BO CO BD ∴===，:1:2BG BE = ，:1:2r R ∴=，(1)求证：DG FG=．(2)如图2，当点E是中点时，求tan CGE∠的值．(3)如图3，当23BEDG=时，连接CF并延长交AB于点，求CFCH的值．【答案】(1)见解析(2)3 4 2∴EFM EGC △∽△，△∴EF EM EG EC =，即25x x =CF CM CH CB =，即12CF CH =2CF 【题型四与特殊平行四边形中新定义探究问题压轴题】【解决问题】：(3)如图3，点P 是正方形ABCD 的AB 边上一动点（不与A 、B 重合）位置，连接DE 并延长，与CP 的延长线交于点F ，连接AF ，若∵四边形ABCD 和四边形∴ABF ABD ∠=∠∴B ，F ，D 三点在一条直线上．∵GF AB ⊥，DA ∴BGF 和BAD∵四边形ABCD 和四边形∴45ABD GBF ∠=∠=∴BGF ∆和BAD ∆为等腰直角三角形，∴ABG ABF ∠+∠=∠∴ABG DBF ∠=∠，∴ABG DBF ∽，∴2DF BD ==；∵ABG DBF ∽，∴GAB BDF ∠=∠．∵ANM DNB ∠=∠，∴BAG AMN ∠+∠=∴AMN ABD ∠=∠=即直线DF 与直线AG∵四边形ABCD为正方形，=，∴BC CD由折叠的性质可得：=，∴CE CD⊥，∵CQ DF∠=∠．∴ECQ DCQ【变式训练】(1)如图1，在四边形ABCD 中，,90AD BC A ∠=︒∥，对角线BD 平分ADC ∠四边形．(2)如图2，在6×5的方格纸中，A ，B ，C 三点均在格点上，若四边形ABCD 合条件的格点D ．（3）如图，过C 作CQ AD ⊥于Q ，可得四边形ABCQ 是矩形，AQ BC =，AD BC ∥，证明四边形ACBE 为平行四边形，可得8BE AC ==，AE BC =，设BC AE x ==，而10DE =，10AD x =-，()10210DQ x x x =--=-，由新定义可得CD CB x ==，由勾股定理可得：()22222108x x x --=-，再解方程可得答案．【详解】（1）解：∵,90AD BC A ∠=︒∥，∴18090ABC A ∠=︒-∠=︒，ADB CBD ∠=∠，∵对角线BD 平分ADC ∠，∴ADB CDB ∠=∠，∴CBD CDB ∠=∠，∴CD CB =，∴四边形ABCD 为邻等四边形．（2）解：1D ，2D ，3D 即为所求；（3）如图，过C 作CQ AD ⊥于Q ，∵90DAB ABC ∠=∠=︒，∴四边形ABCQ 是矩形，∴,AQ BC AB CQ ==，AD BC ∥，∵BE AC ∥，∴四边形ACBE 为平行四边形，∴8BE AC ==，AE BC =，设BC AE x ==，而10DE =，问题探究：(1)如图1，等边ABC 边长为3，垂直于BC 边的等积垂分线段长度为______；(2)如图2，在ABC 中，8AB =，63BC =，30B ∠=︒，求垂直于BC 边的等积垂分线段长度；(3)如图3，在四边形ABCD 中，90A C ∠=∠=︒，6AB BC ==，3AD =，求出它的等积垂分线段长．∵ABC 是等边三角形，∴3sin 602AD AB ︒==，∴332AD =，（2）解：如图2中，线段在Rt ABH 中，∵90AHB ∠=︒，∴142AH AB ==，3BH AH =∵63BC =，11在Rt ABC △中，∵90A ∠=∴2223BD AD BD =+=+∵EH AB ∥，∴EH DH DE AB DB AD==，∵EF AD∥，∴ADH EHD∠=∠，∵ADB BDC∠=∠，∴EDH EHD∠=∠，∴ED EH=，论的思想解决问题是关键．。

专题2.4新定义的四种题型与真题训练题型一：函数中新定义问题1.（2022青浦一模18）如图，一次函数y ＝ax +b （a ＜0，b ＞0）的图象与x 轴，y 轴分别相交于点A ，点B ，将它绕点O 逆时针旋转90°后，与x 轴相交于点C ，我们将图象过点A ，B ，C 的二次函数叫做与这个一次函数关联的二次函数．如果一次函数y ＝﹣kx +k （k ＞0）的关联二次函数是y ＝mx 2+2mx +c （m ≠0），那么这个一次函数的解析式为．【解答】解：对y ＝﹣kx +k ，当x ＝0时，y ＝k ，当y ＝0时，x ＝1，∴A （1，0），B （0，k ），∴C （﹣k ，0），将A 、B 、C 的坐标代入y ＝mx 2+2mx +c 得，，解得：或或，∵m ≠0，k ＞0，∴m ＝﹣1，k ＝3，c ＝3，∴一次函数的解析式为y ＝﹣3x +3，故答案为：y ＝﹣3x +3．2.（2022黄埔一模18）若抛物线2111y ax b x c =++的顶点为A ，抛物线2222y ax b x c =-++的顶点为B ，且满足顶点A 在抛物线2y 上，顶点B 在抛物线1y 上，则称抛物线1y 与抛物线2y 互为“关联抛物线”，已知顶点为M 的抛物线()223y x =-+与顶点为N 的抛物线互为“关联抛物线”，直线MN 与x 轴正半轴交于点D ，如果3tan 4MDO ∠=，那么顶点为N 的抛物线的表达式为_________【详解】设顶点为N 的抛物线顶点坐标N 为（a ，b ）已知抛物线()223y x =-+的顶点坐标M 为（2，3）∵3tan 4MDO ∠=，∴34M M N y x x =-，即3324Dx =-，解得24D x =±∵直线MN 与x 轴正半轴交于点D，∴D 点坐标为（6，0）则直线MD 解析式为3(6)4y x =--N 点在直线MD 3(6)4y x =--上，N 点也在抛物线()223y x =-+故有()23(6)423b a b a ⎧=--⎪⎨⎪=-+⎩，化简得2394247b a b a a ⎧=-+⎪⎨⎪=-+⎩联立得2394742a a a --=-+，化简得2135042a a -+=解得a =54或a =2（舍），将a =54代入3942b a =-有359157257442161616b =-⨯+=-+=解得545716a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故N 点坐标为（54，5716）则顶点为N 的抛物线的表达式为2557()416y a x =-+将（2，3）代入2557()416y a x =-+有，25573(2416a =-+化简得95731616a =+，解得a =-1故顶点为N 的抛物线的表达式为2557(416y x =--+故答案为：2557()416y x =--+．3.（2020杨浦二模）定义：对于函数y ＝f （x ），如果当a ≤x ≤b 时，m ≤y ≤n ，且满足n ﹣m ＝k （b ﹣a ）（k 是常数），那么称此函数为“k 级函数”．如：正比例函数y ＝﹣3x ，当1≤x ≤3时，﹣9≤y ≤﹣3，则﹣3﹣（﹣9）＝k （3﹣1），求得k ＝3，所以函数y ＝﹣3x 为“3级函数”．如果一次函数y ＝2x ﹣1（1≤x ≤5）为“k 级函数”，那么k 的值是．【分析】根据一次函数y ＝2x ﹣1（1≤x ≤5）为“k 级函数”解答即可．【解答】解：因为一次函数y＝2x﹣1（1≤x≤5）为“k级函数”，可得：k＝2，故答案为：2．题型二：三角形中的新定义1.（2022嘉定一模18）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，，点D在边AC上，CD：AD＝1：3，联结BD，点E在线段BD上，如果∠BCE＝∠A，那么CE＝．【解答】解：过点E作EF⊥BC，垂足为F，∵∠ACB＝90°，BC＝2，，∴AC＝＝＝4，∵CD：AD＝1：3，∴CD＝1，∵∠BCE＝∠A，∠ACB＝∠CFE＝90°，∴△ABC∽△CEF，∴＝＝＝2，∴设EF为a，则CF为2a，BF为2﹣2a，∵∠ACB＝∠BFE＝90°，∠CBD＝∠FBE，∴△BFE∽△BCD，∴＝，∴＝，∴a＝，∴EF＝，CF＝1，∴CE＝＝＝，故答案为：．2、（2022杨浦一模17）新定义：已知三条平行直线，相邻两条平行线间的距离相等，我们把三个顶点分别在这样的三条平行线上的三角形称为格线三角形．如图，已知等腰Rt△ABC为“格线三角形”，且∠BAC＝90°，那么直线BC与直线c的夹角α的余切值为．【解答】解：过B 作BE ⊥直线a 于E ，延长EB 交直线c 于F ，过C 作CD ⊥直线a 于D ，则∠CDA ＝∠AEB ＝90°，∵直线a ∥直线b ∥直线c ，相邻两条平行线间的距离相等（设为d ），∴BF ⊥直线c ，CD ＝2d ，∴BE ＝BF ＝d ，∵∠CAB ＝90°，∠CDA ＝90°，∴∠DCA +∠DAC ＝90°，∠EAB +∠DAC ＝90°，∴∠DCA ＝∠EAB ，在△CDA 和△AEB 中，，∴△CDA ≌△AEB （AAS ），∴AE ＝CD ＝2d ，AD ＝BE ＝d ，∴CF ＝DE ＝AE +AD ＝2d +d ＝3d ，∵BF ＝d ，∴cotα＝＝＝3，故答案为：3．3.（2022长宁一模17）定义:在△A 中,点D 和点E 分别在AB 边、AC 边上,且DE //BC ，点D 、点E 之间距离与直线DE 与直线BC 间的距离之比称为DE 关于BC 的横纵比.已知,在△A 中,4,BC BC =上的高长为3,DE 关于BC 的横纵比为2:3,则DE =_______．【详解】如图，AF BC ⊥于F ，交DE 于点G ，//DE BC ，ADE ABC ∴△△∽，AG DE ⊥，DE AGBC AF∴=，3AF = DE 关于BC 的横纵比为2:3，4BC =，23DE GF ∴=设2DE a =，则3GF a =，33AG AF GF a∴=-=-23343a a -∴=，解得23a =，43DE ∴=，故答案为：434.（2022虹口一模17）在网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形称为“格点三角形”．如图，在4×4的网格中，△ABC 是一个格点三角形，如果△DEF 也是该网格中的一个格点三角形，它与△ABC 相似且面积最大，那么△DEF 与△ABC 相似比的值是．【解答】解：由表格可得：AB ＝，BC ＝2，AC ＝，如图所示：作△DEF ，DE ＝，DF ＝，EF ＝5，∵＝＝＝，∴△DEF ∽△ABC ，则△DEF 与△ABC 相似比的值是．故答案为：．5.（2020松江二模）如果一个三角形中有一个内角的度数是另外两个内角度数差的2倍，我们就称这个三角形为“奇巧三角形”.已知一个直角三角形是“奇巧三角形”，那么该三角形的最小内角等于度.【分析】设直角三角形的最小内角为x ，另一个内角为y ，根据三角形的内角和列方程组即可得到结论．【解答】解：设直角三角形的最小内角为x ，另一个内角为y ，由题意得，，解得：，答：该三角形的最小内角等于22.5°，故答案为：22.5．6.（2020嘉定二模）定义：如果三角形的两个内角∠α与∠β满足∠α=2∠β,那么，我们将这样的三角形称为“倍角三角形”，如果一个等腰三角形是“倍角三角形”，那么这个等腰三角形的腰长与底边长的比值为【考查内容】新定义题型，黄金三角形【评析】中等【解析】当∠α为底角时，用内角和公式求得∠β= 36，此时为黄金三角形，腰长与底边长的比值215+；当当∠α为顶角时，用内角和公式求得∠β= 45，此时为等腰直角三角形，腰长与底边长的比值22。

中考数学复习新定义问题所谓“新定义”型问题，主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型．“新定义”型问题成为近年来中考数学压轴题的新亮点．在复习中应重视学生应用新的知识解决问题的能力．解决“新定义型专题”关键要把握两点：一是掌握问题原型的特点及其解决问题的思想方法；二是根据问题情境的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移．类型1 新法则、新运算型例题：（2017甘肃天水）定义一种新的运算：x*y=，如：3*1==，则（2*3）*2= 2 ．【考点】1G：有理数的混合运算．【分析】原式利用题中的新定义计算即可得到结果．【解答】解：根据题中的新定义得：（2*3）*2=（）*2=4*2==2，故答案为：2同步训练：定义：有一组邻边相等，并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形．（1）如图1，等腰直角四边形ABCD，AB=BC，∠ABC=90°，①若AB=CD=1，AB∥CD，求对角线BD的长．②若AC⊥BD，求证：AD=CD，（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=9，点P是对角线BD上一点，且BP=2PD，过点P 作直线分别交边AD，BC于点E，F，使四边形ABFE是等腰直角四边形，求AE的长．【考点】LO：四边形综合题．【分析】（1）①只要证明四边形ABCD是正方形即可解决问题；②只要证明△ABD≌△CBD，即可解决问题；（2）若EF⊥BC，则AE≠EF，BF≠EF，推出四边形ABFE表示等腰直角四边形，不符合条件．若EF与BC不垂直，①当AE=AB时，如图2中，此时四边形ABFE是等腰直角四边形，②当BF=AB 时，如图3中，此时四边形ABFE是等腰直角四边形，分别求解即可；【解答】解：（1）①∵AB=AC=1，AB∥CD，∴S四边形ABCD是平行四边形，∵AB=BC，∴四边形ABCD是菱形，∵∠ABC=90°，∴四边形ABCD是正方形，∴BD=AC==．（2）如图1中，连接AC、BD．∵AB=BC，AC⊥BD，∴∠ABD=∠CBD，∵BD=BD，∴△ABD≌△CBD，∴AD=CD．（2）若EF⊥BC，则AE≠EF，BF≠EF，∴四边形ABFE表示等腰直角四边形，不符合条件．若EF与BC不垂直，①当AE=AB时，如图2中，此时四边形ABFE是等腰直角四边形，∴AE=AB=5．②当BF=AB时，如图3中，此时四边形ABFE是等腰直角四边形，∴BF=AB=5，∵DE∥BF，∴DE：BF=PD：PB=1：2，∴DE=2.5，∴AE=9﹣2.5=6.5，综上所述，满足条件的AE的长为5或6.5．解题方法点析此类问题在于读懂新定义，然后仿照范例进行运算，细心研读定义，细致观察范例是解题的关键．类型2 新定义几何概念型例题：（2017日照）阅读材料：在平面直角坐标系xOy中，点P（x0，y）到直线Ax+By+C=0的距离公式为：d=．例如：求点P（0，0）到直线4x+3y﹣3=0的距离．解：由直线4x+3y﹣3=0知，A=4，B=3，C=﹣3，∴点P（0，0）到直线4x+3y﹣3=0的距离为d==．根据以上材料，解决下列问题：问题1：点P1（3，4）到直线y=﹣x+的距离为 4 ；问题2：已知：⊙C是以点C（2，1）为圆心，1为半径的圆，⊙C与直线y=﹣x+b相切，求实数b的值；问题3：如图，设点P为问题2中⊙C上的任意一点，点A，B为直线3x+4y+5=0上的两点，且AB=2，请求出S△ABP的最大值和最小值．【考点】FI：一次函数综合题．【分析】（1）根据点到直线的距离公式就是即可；（2）根据点到直线的距离公式，列出方程即可解决问题．（3）求出圆心C到直线3x+4y+5=0的距离，求出⊙C上点P到直线3x+4y+5=0的距离的最大值以及最小值即可解决问题．【解答】解：（1）点P1（3，4）到直线3x+4y﹣5=0的距离d==4，故答案为4．（2）∵⊙C与直线y=﹣x+b相切，⊙C的半径为1，∴C（2，1）到直线3x+4y﹣b=0的距离d=1，∴=1，解得b=5或15．（3）点C（2，1）到直线3x+4y+5=0的距离d==3，∴⊙C上点P到直线3x+4y+5=0的距离的最大值为4，最小值为2，∴S△ABP 的最大值=×2×4=4，S△ABP的最小值=×2×2=2．同步训练：（2017湖北随州）在平面直角坐标系中，我们定义直线y=ax﹣a为抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的“梦想直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y轴上的三角形为其“梦想三角形”．已知抛物线y=﹣x2﹣x+2与其“梦想直线”交于A、B两点（点A在点B的左侧），与x轴负半轴交于点C．（1）填空：该抛物线的“梦想直线”的解析式为y=﹣x+，点A的坐标为（﹣2，2），点B的坐标为（1，0）；（2）如图，点M为线段CB上一动点，将△ACM以AM所在直线为对称轴翻折，点C的对称点为N，若△AMN为该抛物线的“梦想三角形”，求点N的坐标；（3）当点E在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“梦想直线”上，是否存在点F，使得以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E、F的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）由梦想直线的定义可求得其解析式，联立梦想直线与抛物线解析式可求得A、B 的坐标；（2）过A作AD⊥y轴于点D，则可知AN=AC，结合A点坐标，则可求得ON的长，可求得N 点坐标；（3）当AC为平行四边形的一边时，过F作对称轴的垂线FH，过A作AK⊥x轴于点K，可证△EFH≌△ACK，可求得DF的长，则可求得F点的横坐标，从而可求得F点坐标，由HE的长可求得E点坐标；当AC为平行四边形的对角线时，设E（﹣1，t），由A、C的坐标可表示出AC 中点，从而可表示出F点的坐标，代入直线AB的解析式可求得t的值，可求得E、F的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y=﹣x2﹣x+2，∴其梦想直线的解析式为y=﹣x+，联立梦想直线与抛物线解析式可得，解得或，∴A（﹣2，2），B（1，0），故答案为：y=﹣x+；（﹣2，2）；（1，0）；（2）如图1，过A作AD⊥y轴于点D，在y=﹣x2﹣x+2中，令y=0可求得x=﹣3或x=1，∴C（﹣3，0），且A（﹣2，2），∴AC==，由翻折的性质可知AN=AC=，∵△AMN为梦想三角形，∴N点在y轴上，且AD=2，在Rt△AND中，由勾股定理可得DN===3，∵OD=2，∴ON=2﹣3或ON=2+3，∴N点坐标为（0，2﹣3）或（0，2+3）；（3）①当AC为平行四边形的边时，如图2，过F作对称轴的垂线FH，过A作AK⊥x轴于点K，则有AC∥EF且AC=EF，∴∠ACK=∠EFH，在△ACK和△EFH中∴△ACK≌△EFH（AAS），∴FH=CK=1，HE=AK=2，∵抛物线对称轴为x=﹣1，∴F点的横坐标为0或﹣2，∵点F在直线AB上，∴当F点横坐标为0时，则F（0，），此时点E在直线AB下方，∴E到y轴的距离为EH﹣OF=2﹣=，即E点纵坐标为﹣，∴E（﹣1，﹣）；当F点的横坐标为﹣2时，则F与A重合，不合题意，舍去；②当AC为平行四边形的对角线时，∵C（﹣3，0），且A（﹣2，2），∴线段AC的中点坐标为（﹣2.5，），设E（﹣1，t），F（x，y），则x﹣1=2×（﹣2.5），y+t=2，∴x=﹣4，y=2﹣t，代入直线AB解析式可得2﹣t=﹣×（﹣4）+，解得t=﹣，∴E（﹣1，﹣），F（﹣4，）；综上可知存在满足条件的点F，此时E（﹣1，﹣）、F（0，）或E（﹣1，﹣）、F（﹣4，）．解题方法点析解决此类问题的关键在于仔细研读几何新概念，将新的几何问题转化为已知的三角形、四边形或圆的问题，从而解决问题．对于几何新概念弄清楚条件和结论是至关重要的．类型3 新内容理解把握例题：（2017湖南岳阳）已知点A在函数y1=﹣（x＞0）的图象上，点B在直线y2=kx+1+k（k为常数，且k≥0）上．若A，B两点关于原点对称，则称点A，B为函数y1，y2图象上的一对“友好点”．请问这两个函数图象上的“友好点”对数的情况为（）A．有1对或2对 B．只有1对C．只有2对D．有2对或3对【分析】根据“友好点”的定义知，函数y1图象上点A（a，﹣）关于原点的对称点B（a，﹣）一定位于直线y2上，即方程ka2﹣（k+1）a+1=0 有解，整理方程得（a﹣1）（ka﹣1）=0，据此可得答案．【解答】解：设A（a，﹣），由题意知，点A关于原点的对称点B（（a，﹣），）在直线y2=kx+1+k上，则=﹣ak+1+k，整理，得：ka2﹣（k+1）a+1=0 ①，即（a﹣1）（ka﹣1）=0，∴a﹣1=0或ka﹣1=0，则a=1或ka﹣1=0，若k=0，则a=1，此时方程①只有1个实数根，即两个函数图象上的“友好点”只有1对；若k≠0，则a=，此时方程①有2个实数根，即两个函数图象上的“友好点”有2对，综上，这两个函数图象上的“友好点”对数情况为1对或2对，故选：A．【点评】本题主要考查直线和双曲线上点的坐标特征及关于原点对称的点的坐标，将“友好点”的定义，根据关于原点对称的点的坐标特征转化为方程的问题求解是解题的关键．同步训练：（2017湖南株洲）如图示，若△ABC内一点P满足∠PAC=∠PBA=∠PCB，则点P为△ABC的布洛卡点．三角形的布洛卡点（Brocard point）是法国数学家和数学教育家克洛尔（A．L．Crelle 1780﹣1855）于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意，1875年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡（Brocard 1845﹣1922）重新发现，并用他的名字命名．问题：已知在等腰直角三角形DEF中，∠EDF=90°，若点Q为△DEF的布洛卡点，DQ=1，则EQ+FQ=（）A．5 B．4 C．D．【考点】R2：旋转的性质；JB：平行线的判定与性质；KW：等腰直角三角形．【分析】由△DQF∽△FQE，推出===，由此求出EQ、FQ即可解决问题．【解答】解：如图，在等腰直角三角形△DEF中，∠EDF=90°，DE=DF，∠1=∠2=∠3，∵∠1+∠QEF=∠3+∠DFQ=45°，∴∠QEF=∠DFQ，∵∠2=∠3，∴△DQF∽△FQE，∴===，∵DQ=1，∴FQ=，EQ=2，∴EQ+FQ=2+，故选D专题训练1.（2017深圳）阅读理解：引入新数i，新数i满足分配律，结合律，交换律，已知i2=﹣1，那么（1+i）•（1﹣i）= 2 ．【考点】4F：平方差公式；2C：实数的运算．【分析】根据定义即可求出答案．【解答】解：由题意可知：原式=1﹣i2=1﹣（﹣1）=2故答案为：22. （2017浙江湖州）对于任意实数a，b，定义关于“⊗”的一种运算如下：a⊗b=2a﹣b．例如：5⊗2=2×5﹣2=8，（﹣3）⊗4=2×（﹣3）﹣4=﹣10．（1）若3⊗x=﹣2011，求x的值；（2）若x⊗3＜5，求x的取值范围．【考点】C6：解一元一次不等式；2C：实数的运算；86：解一元一次方程．【分析】（1）根据新定义列出关于x的方程，解之可得；（2）根据新定义列出关于x的一元一次不等式，解之可得．【解答】解：（1）根据题意，得：2×3﹣x=﹣2011，解得：x=2017；（2）根据题意，得：2x﹣3＜5，解得：x＜4．3. (2017湖北宜昌)阅读：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数a，b，c，称为勾股数．世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为：其中m＞n＞0，m，n是互质的奇数．应用：当n=1时，求有一边长为5的直角三角形的另外两条边长．【考点】KT：勾股数；KQ：勾股定理．【分析】由n=1，得到a=（m2﹣1）①，b=m②，c=（m2+1）③，根据直角三角形有一边长为5，列方程即可得到结论．【解答】解：当n=1，a=（m2﹣1）①，b=m②，c=（m2+1）③，∵直角三角形有一边长为5，∴Ⅰ、当a=5时，（m2﹣1）=5，解得：m=（舍去），Ⅱ、当b=5时，即m=5，代入①③得，a=12，c=13，Ⅲ、当c=5时，（m2+1）=5，解得：m=±3，∵m＞0，∴m=3，代入①②得，a=4，b=3，综上所述，直角三角形的另外两条边长分别为12，13或3，4．4. （2017广西百色）阅读理解：用“十字相乘法”分解因式2x2﹣x﹣3的方法．（1）二次项系数2=1×2；（2）常数项﹣3=﹣1×3=1×（﹣3），验算：“交叉相乘之和”；1×3+2×（﹣1）=1 1×（﹣1）+2×3=5 1×（﹣3）+2×1=﹣1 1×1+2×（﹣3）=﹣5（3）发现第③个“交叉相乘之和”的结果1×（﹣3）+2×1=﹣1，等于一次项系数﹣1．即：（x+1）（2x﹣3）=2x2﹣3x+2x﹣3=2x2﹣x﹣3，则2x2﹣x﹣3=（x+1）（2x﹣3）．像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．仿照以上方法，分解因式：3x2+5x﹣12= （x+3）（3x﹣4）．【考点】57：因式分解﹣十字相乘法等．【分析】根据“十字相乘法”分解因式得出3x2+5x﹣12=（x+3）（3x﹣4）即可．【解答】解：3x2+5x﹣12=（x+3）（3x﹣4）．故答案为：（x+3）（3x﹣4）5. (2017湖北咸宁)定义：数学活动课上，李老师给出如下定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称这个三角形为“智慧三角形”．理解：（1）如图1，已知A、B是⊙O上两点，请在圆上找出满足条件的点C，使△ABC为“智慧三角形”（画出点C的位置，保留作图痕迹）；（2）如图2，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF=CD，试判断△AEF 是否为“智慧三角形”，并说明理由；运用：（3）如图3，在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，点Q是直线y=3上的一点，若在⊙O上存在一点P，使得△OPQ为“智慧三角形”，当其面积取得最小值时，直接写出此时点P 的坐标．【考点】MR：圆的综合题．【分析】（1）连结AO并且延长交圆于C1，连结BO并且延长交圆于C2，即可求解；（2）设正方形的边长为4a，表示出DF=CF以及EC、BE的长，然后根据勾股定理列式表示出AF2、EF2、AE2，再根据勾股定理逆定理判定△AEF是直角三角形，由直角三角形的性质可得△AEF为“智慧三角形”；（3）根据“智慧三角形”的定义可得△OPQ为直角三角形，根据题意可得一条直角边为1，当斜边最短时，另一条直角边最短，则面积取得最小值，由垂线段最短可得斜边最短为3，根据勾股定理可求另一条直角边，再根据三角形面积可求斜边的高，即点P的横坐标，再根据勾股定理可求点P的纵坐标，从而求解．【解答】解：（1）如图1所示：（2）△AEF是否为“智慧三角形”，理由如下：设正方形的边长为4a，∵E是DC的中点，∴DE=CE=2a，∵BC：FC=4：1，∴FC=a，BF=4a﹣a=3a，在Rt△ADE中，AE2=（4a）2+（2a）2=20a2，在Rt△ECF中，EF2=（2a）2+a2=5a2，在Rt△ABF中，AF2=（4a）2+（3a）2=25a2，∴AE2+EF2=AF2，∴△AEF是直角三角形，∵斜边AF上的中线等于AF的一半，∴△AEF为“智慧三角形”；（3）如图3所示：由“智慧三角形”的定义可得△OPQ为直角三角形，根据题意可得一条直角边为1，当斜边最短时，另一条直角边最短，则面积取得最小值，由垂线段最短可得斜边最短为3，由勾股定理可得PQ==2，PM=1×2÷3=，由勾股定理可求得OM==，故点P的坐标（﹣，），（，）．6.（2017•益阳）在平面直角坐标系中，将一点（横坐标与纵坐标不相等）的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫这一点的“互换点”，如（﹣3，5）与（5，﹣3）是一对“互换点”．（1）任意一对“互换点”能否都在一个反比例函数的图象上？为什么？（2）M、N是一对“互换点”，若点M的坐标为（m，n），求直线MN的表达式（用含m、n 的代数式表示）；（3）在抛物线y=x2+bx+c的图象上有一对“互换点”A、B，其中点A在反比例函数y=﹣的图象上，直线AB经过点P（，），求此抛物线的表达式．【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征；FA：待定系数法求一次函数解析式；H8：待定系数法求二次函数解析式．【分析】（1）设这一对“互换点”的坐标为（a，b）和（b，a）．①当ab=0时，它们不可能在反比例函数的图象上，②当ab≠0时，由可得，于是得到结论；（2）把M（m，n），N（n，m）代入y=cx+d，即可得到结论；（3）设点A（p，q），则，由直线AB经过点P（，），得到p+q=1，得到q=﹣1或q=2，将这一对“互换点”代入y=x2+bx+c得，于是得到结论．【解答】解：（1）不一定，设这一对“互换点”的坐标为（a，b）和（b，a）．①当ab=0时，它们不可能在反比例函数的图象上，②当ab≠0时，由可得，即（a，b）和（b，a）都在反比例函数（k≠0）的图象上；（2）由M（m，n）得N（n，m），设直线MN的表达式为y=cx+d（c≠0）．则有解得，∴直线MN的表达式为y=﹣x+m+n；（3）设点A（p，q），则，∵直线AB经过点P（，），由（2）得，∴p+q=1，∴，解并检验得：p=2或p=﹣1，∴q=﹣1或q=2，∴这一对“互换点”是（2，﹣1）和（﹣1，2），将这一对“互换点”代入y=x2+bx+c得，∴解得，∴此抛物线的表达式为y=x2﹣2x﹣1．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数的解析式，正确的理解题意是解题的关键．。

模型10新定义问题（3）【模型分析】知识精要新定义型问题是学习型阅读理解题，是指题目中首先给出一个新定义（新概念或新公式），通过阅读题目提供的材料，理解新定义，再通过对新定义的理解来解决题目提出的问题。

其主要目的是通过对新定义的理解与运用来考查学生的自主学习能力，便于学生养成良好的学习习惯。

要点突破解决此类题的关键是（1）深刻理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论;（2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的做题方法；归纳“举例”提供的分类情况；（3）依据新定义，运用类比、归纳、联想、分类讨论以及数形结合的数学思想方法解决题目中需要解决的问题。

【经典例题】例1．（2020·杭州市公益中学七年级月考）已知正整数n 小于100，并且满足等式236n n n n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，则这样的正整数n 有（）A ．6个B ．10个C ．16个D ．20个【分析】由236n n n n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤++=⎢⎥⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎦⎣⎦，以及若x 不是整数，则[]x <x 知,,223366n n n n n n⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即n 是6的倍数，得到n 的值【解析】∵236n n n n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，若x 不是整数，则[]x <x∴,,223366n n n n n n⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即n 是6的倍数∴n 值为：6、12、18、24、30、36、42、48、54、60、66、72、78、84、90、96，共16个，选C 【小结】此题考查有理数的大小比较，取整计算，解题的关键是正确理解[]x 表示不超过x 的最大整数，得到,,223366n n n n n n⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即n 是6的倍数，由此解决问题.例2．（2021·全国八年级）若一个自然数t能写成t＝x2﹣y2（x，y均为正整数，且x≠y），则称t为“万象数”，x，y为t的一个万象分解，在t的所有万象分解中，若x yx y-+最小，则称x，y为t的绝对万象分解，此时F（t）＝xy．例如：32＝92﹣72＝62﹣22，因为9797-+＝18，6262-+＝12，1182<．所以9和7为32的绝对万象分解，则F（32）＝97．若一个四位正整数，它的千位数字与个位数字相同，百位数字与十位数字相同，但四个数字不全相同，则称这个四位数为“博雅数”．例如2112，4554均为“博雅数”．若一个四位正整数m是“万象数”且能被13整除，“博雅数”n的前两位数字组成的两位数与后两位数字组成的两位数恰好是m的一个万象分解，则所有满足条件的数m中F（m）的最大值为______．【分析】设n的个位数字是a，十位数字是b，由“博雅数”和万象分解的定义，可以得到m=99(a+b)(a-b)，再由a与b的取值范围，m同时能被13整除，可以确定m的所有取值可能为1287，3861，6435；再将这三个数进行万象分解，确定F(m)．【解析】设n的个位数字是a，十位数字是b，∵n是“博雅数”，∵n的前两位数字组成的两位数与后两位数字组成的两位数恰好是m的一个万象分解，∴m＝（10a+b）2﹣（10b﹣a）2＝99（a+b）（a﹣b），∵m能被13整除，∴（a+b）（a﹣b）是13的倍数，∵1≤a≤9，0≤b≤9，∴a+b＝13，∴a＝6，b＝7；a＝7，b＝6；a＝5，b＝8；a＝8，b＝5；a＝9，b＝4；a＝4，b＝9；∴m的值所有情况为：1287＝99×13×1＝762﹣672＝362﹣32；3861＝99×13×3＝852﹣582＝752﹣422＝692﹣482；6435＝99×13×5＝942﹣492＝1022﹣632＝1142﹣332＝3622﹣3532；∵F（1287）＝7667；F（3861）＝6948；F（6435）＝362353；∴F（m）的最大值为69 48．【小结】本题考査因式分解的应用；能够通过定义，结合数整除的性质，借助因式分解准确找到符合条件的三个数的所有万象分解是解题的关键．例3．（2021·渝中区·重庆巴蜀中学八年级期末）对于一个四位正整数，若满足百位数字与十位数字之和是个位数字与千位数字之和的两倍，则称该四位正整数为“希望数”，例如：四位正整数3975，百位数字与十位数字之和是16，个位数字与千位数字之和8，而16是8的两倍，则称四位正整数3975为“希望数”，类似的，四位正整数2934也是“希望数”．根据题中所给材料，解答以下问题：（1）请写出最小的“希望数”是________；最大的“希望数”是_______；（2）对一个各个数位数字均不超过6“希望数m ，设m abcd =，若个位数字是千位数字2倍，且十位数字和百位数字均是2倍数，定义()|()()|F m a b c d =+-+，求()F m 最大值．【分析】（1）根据题意可知，最小的“希望数”要使千位和百位最小，最大的“希望数”要使千位和百位最大，据此写出答案；（2）根据题意直接列出满足条件的“希望数m ，再根据定义()|()()|F m a b c d =+-+求出()F m 即可得出最大值．【解析】（1）千位数最小为1，最大为9，百位数最小为0，最大为9；根据对于一个四位正整数，若满足百位数字与十位数字之和是个位数字与千位数字之和的两倍，则称该四位正整数为“希望数”，可得：出最小的“希望数”是1020；最大的“希望数”是9990；（2）一个各个数位数字均不超过6的“希望数m ，若个位数字是千位数字的2倍，且十位数字和百位数字均是2的倍数，“希望数m ”可能是1062；1602；1242；1422；2664．当m abcd ==1602时，()|(16)(02)|=5F m =+-+；当m abcd ==1062时，()|(10)(62)|=7F m =+-+；当m abcd ==1242时，()|(12)(42)|=3F m =+-+；当m abcd ==1422时，()|(14)(22)|=1F m =+-+；当m abcd ==2664时，()|(26)(64)|=2F m =+-+；故()F m 的最大值为7．【小结】本题考查阅读材料类题目，属于创新题，同时又包含了大量计算，做此类型题目时，应注意从材料中获取解题方法、掌握定义的本质，同时本题考查了数的大小与数位的关系．【巩固提升】1．（2020·新安中学（集团）外国语学校七年级月考）若规定“！”是一种数学运算符号，且1!1=，2!212=⨯=，3!3216=⨯⨯=， ，则100!98!的值为（）A ．5049B ．99C ．9900D ．2【分析】先根据数学运算符号“！”得出100!和98!的值，再计算有理数的乘除法即可得【解析】由题意得：100!10099982198!98979621⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯ 10099=⨯9900=，选C 【小结】本题考查了新运算下的有理数的乘除法，理解新运算是解题关键．2．（2020·江苏常州市·七年级期中）定义：一种对于三位数abc (其中在abc 中，a 在百位，b 在十位，c 在个位，a 、b 、c 不完全相同)的F 运算：重排abc 的三个数位上的数字，计算所得最大三位数和最小三位数的差(允许百位数字为零)，例如abc ＝463时，则经过大量运算，我们发现任意一个三位数经过若干次F 运算都会得到一个固定不变的值；类比联想到：任意一个四位数经过若干次这样的F 运算也会得到一个定值，这个定值为（）A ．4159B ．6419C ．5179D ．6174【分析】设这个四位数为1234，再进行若干次F 运算即可得到这个定值．【解析】由题意，不妨设这个四位数为1234，则经过第1次F 运算的结果为432112343087-=，经过第2次F 运算的结果为87303788352-=，经过第3次F 运算的结果为853*********-=，经过第4次F 运算的结果为764114676174-=，由此可知，这个定值为6174，选D ．【小结】本题考查了数字类的规律型问题，掌握理解F 运算的定义是解题关键．3．（2020·浙江金华市·七年级期中）已知a 是不等于1-的数，我们把11a+称为a 的和倒数．如：2的和倒数为11123=+，已知211,a a =是1a 的和倒数，3a 是2a 的和倒数，4a 是3a 的和倒数，…，依此类推，则31212a a a a ⋅⋯⋅=______．【分析】根据和倒数的定义分别计算出a 1、a 2、a 3、…a 12的值，代入计算即可求解．【解析】a 1＝1，a 211112==+，a 3121312==+，413a 2513==+，515a 3815==+，618a 51318==+，7113a 821113==+，8121a 1334121==+，9134a 2155134==+，10155a 3489155==+，11189a 55144189==+，121144a 892331144==+，则a 1•a 2•a 3…a 12＝1123581321345589144123581321345589144233233⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=【小结】本题为新定义问题，理解和倒数的定义，并根据定义依次计算出a 1，a 2，a 3，a 4，a 5…a 12的值是解题关键．4．（2020·江门市新会尚雅学校八年级期中）定义：若两个二次根式a 、b 满足a b c ⋅=，且c 是有理数，则称a 与b 是关于c的共轭二次根式．若与是关于2的共轭二次根式，则m 的值为___．【分析】根据共轭二次根式的定义列等式即可得出m 的值；【解析】∵与是关于2的共轭二次根式，∴=2⨯∴1=12m 【小结】本题考查了新定义共轭二次根式的理解和应用，并会用二次根据的性质进行计算．5．（2020·重庆市凤鸣山中学八年级期中）进位数是一种计数方法，可以用有限的数学符号代表所有的数值，使用数字符号的数目称为基数，基数为n 个则称为n 进制，现在最常用的是十进制，通常使用10个阿拉伯数字0—9作为基数，特点是满十进1，对于任意一个(210)n n ≤≤进制表示的数通常使用n 个阿拉伯数字()01--n 作为基数，特点是逢n 进一，我们可以通过下列方式把它转化为十进制．例如：五进制数()252342535469=⨯+⨯+=，则()523469=，七进制数()271361737676=⨯+⨯+=（1）请将以下两个数转化为十进制：()5333=，（746)=．（2）若一个正数可以用7进制表示为()7abc ，也可用五进制表示为()5cba ，求出这个数并用十进制表示．【分析】（1）根据进制的规则列式计算即可；（2）根据题意列得227755a b c c b a ++=++，化简成24a +b =12c ，根据a 、b 、c 的取值范围分别将a 从1开始取值验证，即可得到答案．【解析】（1）()253333535393=⨯+⨯+=，7(46)47634=⨯+=，故答案为：93，34；（2）根据题意得：227755a b c c b a ++=++，∴24a +b =12c ，∴212bc a =+，∵a 、b 、c 均为整数，且04b ≤≤，∴b =0，c =2a ，∵04a <≤，04c <≤，∴12a c =⎧⎨=⎩或24a c =⎧⎨=⎩，∵27(102)170251=⨯++=，27(204)2704102=⨯++=．∴这个数用十进制表示为51或102．【小结】此题考查新定义运算，有理数的混合运算，列代数式，正确理解题意是解题的关键．6．（2020·浙江绍兴市·九年级其他模拟）定义：如果一条直线把一个封闭的平面图形分成面积相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条中分线．如三角形的中线所在的直线是三角形的一条中分线．（1）按上述定义，分别作出图1，图2的一条中分线．（2）如图3，已知抛物线2132y x x m =-+与x 轴交于点(2,0)A 和点B ，与y 轴交于点C ，顶点为D ．①求m 的值和点D 的坐标；②探究在坐标平面内是否存在点P ，使得以A ，C ，D ，P 为顶点的平行四边形的一条中分线经过点O ．若存在，求出中分线的解析式；若不存在，请说明理由．【分析】（1）对角线所在的直线为平行四边形的中分线，直径所在的直线为圆的中分线；（2）①将(2,0)A 代入抛物线2132y x x m =-+，得143202m ⨯-⨯+=，解得4m =，抛物线解析式2211134(3)222y x x x =-+=--，顶点为1(3,)2D -；②根据抛物线解析式求出(2,0)A ，(4,0)B ，(0,4)C ，当A 、C 、D 、P 为顶点的四边形为平行四边形时，根据平行四边形的性质，过对角线的交点的直线将该平行四边形分成面积相等的两部分，所以平行四边形的中分线必过对角线的交点．Ⅰ．当CD 为对角线时，对角线交点坐标为37(,)24，中分线解析式为76y x =；Ⅱ．当AC 为对角线时，对角线交点坐标(1,2)．中分线解析式为2y x =；Ⅲ．当AD 为对角线时，对角线交点坐标为51(,24-，中分线解析式为110y x =-．【解析】（1）如图，对角线所在的直线为平行四边形的中分线，直径所在的直线为圆的中分线，（2）①将(2,0)A 代入抛物线2132y x x m =-+，得143202m ⨯-⨯+=，解得4m =，∴抛物线解析式2211134(3)222y x x x =-+=--，∴顶点为1(3,)2D -；②将0y =代入抛物线解析式21342y x x =-+，得234201x x -+=，解得2x =或4，(2,0)A ∴，(4,0)B ，令0x =，则4y =，(0,4)C ∴，当A 、C 、D 、P 为顶点的四边形为平行四边形时，根据平行四边形的性质，过对角线的交点的直线将该平行四边形分成面积相等的两部分，所以平行四边形的中分线必过对角线的交点．Ⅰ．当CD 为对角线时，对角线交点坐标为14032(,)22-+，即37(,)24，中分线经过点O ，∴中分线解析式为76y x =；Ⅱ．当AC 为对角线时，对角线交点坐标为2004(,22++，即(1,2)． 中分线经过点O ，∴中分线解析式为2y x =；Ⅲ．当AD 为对角线时，对角线交点坐标为10232(,)22-+，即51(,)24-，中分线经过点O ，∴中分线解析式为110y x =-，综上，中分线的解析式为式为76y x =或为2y x =或为110y x =-．【小结】本题考查了二次函数，熟练运用二次函数的性质与平行四边形的性质是解题的关键．模型11新定义问题（4）【模型分析】知识精要新定义型问题是学习型阅读理解题，是指题目中首先给出一个新定义（新概念或新公式），通过阅读题目提供的材料，理解新定义，再通过对新定义的理解来解决题目提出的问题。

新定义型题目的解题策略探究摘要：“新定义”试题是宁波市中考数学中的特色题目之一，近年来都以固定题型的形式出现在中考试卷上，其是以能力立意为目标，以增大思维容量为特色，以定义新概念为背景的一种创新题型。

本文在简述“新定义”试题的概念，特点，题型分类的基础上探究“新定义”试题的解题技巧与方法，并得出在教学中的启示与反思。

关键词：新定义;解题策略;教学启示一、“新定义”试题概述1.“新定义”试题的概念“新定义”试题成为近年来中考数学的新亮点，也是宁波市近年来中考数学的固定题型。

“新定义”试题主要是指在问题中定义了一些没有学过的新概念、新运算、新符号等，要求学生现学现用，能够理解新知，读懂题意，然后利用题目中所介绍的新定义、新概念等，结合已有知识、能力进行理解、运算、推理、迁移、拓展的一种题型。

“新定义”试题的目的是考查学生的接受能力、应变能力与创新能力，其在于培养学生自主学习与主动探究的数学素养。

2.“新定义”试题的特点“新定义”试题设计新颖，构思独特，集应用性、探索性和开放性于一体，旨在全方面、多角度考查学生发现问题、分析问题与解决问题的能力。

首先，“新定义”试题具有情景新、形式新颖、知识点活的特点。

其次，“新定义”试题体现了阅读性、应用性、综合性的特点。

最后，“新定义”试题体现探究性、启发性、探究性的特点。

二、“新定义”试题的类型与解题策略1.“新定义”试题的类型（1）“新定义”中的新运算与新规律试题“新定义”中的新运算试题一般是通过理解示例的运算规则，然后推理题目所求，这类题目相对比较简单，一般在填空或者选择题里出现。

关于新规律试题一般是通过已知条件推导出合理的新规律，再由特殊到一般对新规律加以应用去解题，这类题目也比较简单，一般也是作为小题出现。

（2）“新定义”中的阅读理解试题“新定义”中的阅读理解试题主要考察学生的语言逻辑、分析能力和推理能力，这类题目首先要理解阅读材料的内容，理清思路是很重要的，接下来在阅读材料中提炼重要信息内化为所学知识点去求解。

四边形中新定义型试题探究
四边形中新定义型试题探究
所谓"新定义"型试题,是指在试题中给出一个考生从未接触过的新概念,要求考生现学现用,主要考查考生阅读理解能力、应用新知识能力、逻辑推理能力和创新能力.给"什么",用"什么",是"新定义"型试题解题的基本思路.以四边形为背景的几何"新定义"型试题,看似平淡无奇,仔细研读却发现试题韵味无穷,极具探究价值和选拔功能.求解这类试题的关键是:正确理解新定义,并将此定义作为解题的依据,同时熟练掌握相关的基本概念、性质,把握图形的变化规律.
作者：王赛英徐敏贤作者单位：浙江省象山县丹城中学,315700 刊名：数学通报PKU英文刊名：BULLETIN DES SCIENCES MATHEMATICS 年，卷(期)：2008 47(9) 分类号：O1 关键词：。

例题精讲【例1】．定义：有一组对角互余的四边形叫做对余四边形，如图，在对余四边形ABCD中，AB＝BC，AD＝2，CD＝5，∠ABC＝60°，则线段BD＝3．解：∵对余四边形ABCD中，∠ABC＝60°，∴∠ADC＝30°，∵AB＝BC，∴将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAF，连接FD，如图所示，∴△BCD≌△BAF，∠FBD＝60°∴BF＝BD，AF＝CD，∠BDC＝∠BFA，∴△BFD是等边三角形，∴BF＝BD＝DF，∵∠ADC＝30°，∴∠ADB+∠BDC＝30°，∴∠BFA+∠ADB＝30°，∵∠FBD+∠BFA+∠ADB+∠AFD+∠ADF＝180°，∴60°+30°+∠AFD+∠ADF＝180°，∴∠AFD+∠ADF＝90°，∴∠FAD＝90°，∴AD2+AF2＝DF2，∴AD2+CD2＝BD2，∴BD2＝（2）2+52＝45，∵BD＞0，∴BD＝3，故答案为：3．变式训练【变1-1】．定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径，即损矩形外接圆的直径．如图，△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为一边向形外作菱形ACEF，点D是菱形ACEF对角线的交点，连接BD．若∠DBC＝60°，∠ACB＝15°，BD＝2，则菱形ACEF的面积为12．解：如图1，取AC的中点G，连接BG、DG，，∵四边形ACEF是菱形，∴AE⊥CF，∴∠ADC＝90°，又∵∠ABC＝90°，∴A、B、C、D四点共圆，点G是圆心，∴∠ACD＝∠ABD＝90°﹣∠DBC＝90°﹣60°＝30°，∵∠AGB＝15°×2＝30°，∠AGD＝30°×2＝60°，∴∠BGD＝30°+60°＝90°，∴△BGD是等腰直角三角形，∴BG＝DG＝，∴AC＝2，∴AD＝2，∴，∴菱形ACEF的面积为：3＝＝故答案为：12．【变1-2】．定义：有一组对角互补的四边形叫做“对补四边形”，例如：四边形ABCD中，若∠A+∠C＝180°或∠B+∠D＝180°，则四边形ABCD是“对补四边形”．【概念理解】（1）如图1，四边形ABCD是“对补四边形”．①若∠A：∠B：∠C＝3：2：1，则∠D＝90度．②若∠B＝90°．且AB＝3，AD＝2时．则CD2﹣CB2＝5．【类比应用】（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝CB，BD平分∠ADC．求证：四边形ABCD是“对补四边形”．（1）解：①∵∠A：∠B：∠C＝3：2：1，∴设∠A＝3x°，则∠B＝2x°，∠C＝x°，∵四边形ABCD是“对补四边形”，∴∠A+∠C＝180°，∴3x+x＝180，∴x＝45°．∴∠B＝2x＝90°．∵四边形ABCD是“对补四边形”，∴∠B+∠D＝180°，∴∠D＝90°．故答案为：90；②连接AC，如图，∵∠B＝90°，∴AB2+BC2＝AC2．∵四边形ABCD是“对补四边形”，∴∠B+∠D＝180°．∴∠D＝90°．∴AD2+CD2＝AC2．∴AB2+BC2＝AD2+CD2，∴CD2﹣CB2＝AB2﹣AD2，∵AB＝3，AD＝2，∴CD2﹣CB2＝32﹣22＝5．故答案为：5；（2）证明：在DC上截取DE＝DA，连接BE，如图，∵BD平分∠ADC，∴∠ADB＝∠EDB．在△ADB和△EDB中，，∴△ADB≌△EDB（SAS），∴∠A＝∠DEB，AB＝BE，∵AB＝CB，∴BE＝BC，∴∠BEC＝∠C．∵∠DEB+∠BEC＝180°，∴∠DEB+∠C＝180°，∴∠A+∠C＝180°，∴四边形ABCD是“对补四边形”．【例2】．定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做等邻边四边形．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝1，将△ABC沿∠ABC的平分线BB'的方向平移，得到A'B'C'，连接AC'，CC'，若四边形ABCC'是等邻边四边形，则平移距离BB'的长度是1或．解：∵将Rt△ABC平移得到△A′B′C′，∴BB′＝CC′，A′B′∥AB，A′B′＝AB＝2，B′C′＝BC＝1，A′C′＝AC＝，①如图1，当CC′＝BC时，BB′＝CC′＝BC＝1；②如图1，当AC′＝AB＝2时，∵∠ABC＝90°，BB′是∠ABC的角平分线，∴∠B′BA＝45°，延长C′B′交AB于H，∵A′B′∥AB，∠A′B′C′＝90°，∴∠AHC′＝∠A′B′C′＝90°，∴∠BHB′＝90°，设BH＝B′H＝x，∴BB′＝x，AH＝2﹣x，C′H＝1+x，∵AC′2＝AH2+C′H2，∴22＝（2﹣x）2+（1+x）2，整理方程为：2x2﹣2x+1＝0，∵△＝4﹣8＝﹣4＜0，∴此方程无实数根，故这种情况不存在；③如图2，当AC′＝C′C时，则AC′＝BB′，延长C′B′交AB于H，∵A′B′∥AB，∠A′B′C′＝90°，∴∠AHC′＝∠A′B′C′＝90°，∴∠BHB′＝90°，设BH＝B′H＝x，∴BB′＝AC′＝x，AH＝2﹣x，C′H＝1+x，∵AC′2＝AH2+C′H2，∴（x）2＝（2﹣x）2+（1+x）2，解得：x＝，∴BB′＝，综上所述，若四边形ABCC'是等邻边四边形，则平移距离BB'的长度是1或，故答案为：1或．变式训练【变2-1】．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝3．我们定义：“四个顶点都在三角形边上的正方形是三角形的内接正方形”．（1）如图1，四边形CDEF是△ABC的内接正方形，则正方形CDEF的边长a1等于2；（2）如图2，四边形DGHI是（1）中△EDA的内接正方形，那么第2个正方形DGHI 的边长记为a2；继续在图2中的△HGA中按上述方法作第3个内接正方形，依此类推，……则第n个内接正方形的边长a n＝．（n为正整数）解：（1）四边形CDEF是正方形，∴EF＝FC，EF∥FC，∴△BFE∽△BCA，∴＝，∴＝，∴a1＝2，故答案是：2；（2）如图（2）四边形DGHI是正方形，∴IH＝ID，IH∥AD，∴△EIH∽△EDA，∴＝，∴＝，∴a2＝，如图3中，由以上同样的方法可以求得正方形PGQS的边长为：＝，第4的个正方形的边长为：＝，…第n个内接正方形的边长a n＝，故答案为：＝．【变2-2】．定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．根据以上定义，解决下列问题：（1）如图1，正方形ABCD中E是CD上的点，将△BCE绕B点旋转，使BC与BA重合，此时点E的对应点F在DA的延长线上，则四边形BEDF是（填“是”或“不是”）“直等补”四边形；（2）如图2，已知四边形ABCD是“直等补”四边形，AB＝BC＝10，CD＝2，AD＞AB，过点B作BE⊥AD于E．①过C作CF⊥BF于点F，试证明：BE＝DE，并求BE的长；②若M是AD边上的动点，求△BCM周长的最小值．解：（1）∵将△BCE绕B点旋转，BC与BA重合，点E的对应点F在DA的延长线上，∴∠ABF＝∠CBE，BF＝BE，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠D＝90°，∴∠ABE+∠CBE＝90°，∴∠ABE+∠ABF＝90°，即∠EBF＝∠D＝90°，∴∠EBF+∠D＝180°，∵∠EBF＝90°，BF＝BE，∴四边形BEDF是“直等补”四边形．故答案为：是；（2）①证明：∵四边形ABCD是“直等补”四边形，AB＝BC＝10，CD＝2，AD＞AB，∴∠ABC＝90°，∠ABC+∠D＝180°，∴∠D＝90°，∵BE⊥AD，CF⊥BE，∴∠DEF＝90°，∠CFE＝90∴四边形CDEF是矩形，∴DE＝CF，EF＝CD＝2，∵∠ABE+∠A＝90°，∠ABE+∠CBE＝90°，∴∠A＝∠CBF，∵∠AEB＝∠BFC＝90°，AB＝BC，∴△ABE≌△BCF（AAS），∴BE＝CF，AE＝BF，∵DE＝CF，∴BE＝DE；∵四边形CDEF是矩形，∴EF＝CD＝2，∵△ABE≌△BCF，∴AE＝BF，∴AE＝BE﹣2，设BE＝x，则AE＝x﹣2，在Rt△ABE中，x2+（x﹣2）2＝102，解得：x＝8或x＝﹣6（舍去），∴BE的长是8；②∵△BCM周长＝BC+BM+CM，∴当BM+CM的值最小时，△BCM的周长最小，如图，延长CD到点G，使DG＝CD，连接BG交AD于点M′，过点G作GH⊥BC，交BC的延长线于点H，∵∠ADC＝90°，∴点C与点G关于AD对称，∴BM+CM＝BM+MG≥BG，即BM+CM≥BM′+M′C，∴当点M与M′重合时，BM′+M′C的值最小，即△BCM的周长最小，在Rt△ABE中，AE＝＝＝6，∵四边形ABCD∴∠A+∠BCD＝180°，∵∠BCD+∠GCH＝180°，∴∠A＝∠GCH，∵∠AEB＝∠H＝90°，∴△ABE∽△CGH，∴＝＝＝，即＝，∴GH＝，CH＝，∴BH＝BC+CH＝10+＝，∴BG＝＝＝2，∴△BCM周长的最小值为2+10．1．如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知AE＝c，这时我们把关于x的形如ax2+cx+b＝0的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：（1）判断下列方程是否是“勾系一元二次方程”：①2x2+x+1＝0不是（填“是”或“不是”）；②3x2+5x+4＝0是（填“是”或“不是”）（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”ax2+cx+b＝0必有实数根；（3）若x＝﹣1是“勾系一元二次方程”ax2+cx+b＝0的一个根，且四边形ACDE的周长是12，求△ABC面积．（1）解：2x2+x+1＝0不是“勾系一元二次方程”，理由：∵c＝，∴c＝，∵a＝2，b＝1，∴a2+b2≠c2，∴以a、b、c为三边长的三角形是不是直角三角形，且c为斜边的长，∴2x2+x+1＝0不是“勾系一元二次方程”，3x2+5x+4＝0是“勾系一元二次方程”，理由：∵c＝5，∴c＝5，∵a＝3，b＝4，∴a2+b2＝c2，∴以a、b、c为三边长的三角形是直角三角形，且c为斜边的长，∴3x2+5x+4＝0是“勾系一元二次方程”，故答案为：不是，是；（2）证明：∵ax2+cx+b＝0是“勾系一元二次方程“，∴a、b、c为同一直角三角形的三边长，且c为斜边的长，∴c2＝a2+b2，∵Δ＝（c）2﹣4ab＝2c2﹣4ab＝2（a2+b2）﹣4ab＝2（a﹣b）2≥0，∴关于x的“勾系一元二次方程”ax2+cx+b＝0必有实数根．（3）解：∵x＝﹣1是“勾系一元二次方程”ax2+cx+b＝0的一个根，∴a﹣c+b＝0，∴a+b＝c，∵四边形ACDE的周长是12，∴2（a+b）+c＝12，∴2c+c＝12，∴c＝2，∴a+b＝×2＝4，∴（a+b）2＝16，∴a2+2ab+b2＝16，∵a2+b2＝c2＝（2）2＝8，∴2ab+8＝16，∴ab＝4，＝ab＝×4＝2．∴S△ABC∴△ABC面积是2．2．我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．（1）写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称；（2）如图1，已知格点（小正方形的顶点）O（0，0），A（3，0），B（0，4），请你画出以格点为顶点，OA，OB为勾股边且对角线相等的勾股四边形OAMB；（3）如图2，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°，得到△DBE，连接AD，DC，∠DCB＝30°．求证：DC2+BC2＝AC2，即四边形ABCD是勾股四边形．（1）解：正方形、长方形、直角梯形．（任选两个均可）（2）解：答案如图所示．M（3，4）或M′（4，3）．（3）证明：连接EC，∵△ABC≌△DBE，∴AC＝DE，BC＝BE，∵∠CBE＝60°，∴EC＝BC＝BE，∠BCE＝60°，∵∠DCB＝30°，∴∠DCE＝90°，∴DC2+EC2＝DE2，∴DC2+BC2＝AC2．即四边形ABCD是勾股四边形．3．定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．（1）如图I，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD 上的点．求证：四边形ABEF是邻余四边形；（2）如图2，在5×4的方格纸中，A，B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF，使AB是邻余线，E，F在格点上；（3）如图3，已知四边形ABCD是以AB为邻余线的邻余四边形，AB＝15，AD＝6，BC ＝3，∠ADC＝135°，求CD的长度．（1）证明：∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB+∠DBA＝90°，∴∠FAB与∠EBA互余，∴四边形ABEF是邻余四边形；（2）解：如图所示（答案不唯一），（3）解：如图3，延长AD，CB交于点H，∵四边形ABCD是以AB为邻余线的邻余四边形，∴∠A+∠B＝90°，∵∠ADC＝135°，∴∠HDC＝45°，∴∠HDC＝∠HCD＝45°，∴CH＝DH，∵AB2＝AH2+BH2，∴225＝（6+DH）2+（3+DH）2，∴DH＝6（负值舍去），∴CD＝6．4．定义：我们把一组对边平行另一组对边相等且不平行的四边形叫做等腰梯形．【性质初探】如图1，已知，▱ABCD，∠B＝80°，点E是边AD上一点，连结CE，四边形ABCE恰为等腰梯形．求∠BCE的度数；【性质再探】如图2，已知四边形ABCD是矩形，以BC为一边作等腰梯形BCEF，BF ＝CE，连结BE、CF．求证：BE＝CF；【拓展应用】如图3，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，AB＝2，∠ABC＝45°，过点O作AC的垂线交BC的延长线于点G，连结DG．若∠CDG＝90°，求BC的长．【性质初探】解：过点A作AG⊥BC交于G，过点E作EH⊥BC交于H，∵▱ABCD，∴AE∥BC，∴AG＝EH，∵四边形ABCE恰为等腰梯形，∵AB＝EC，∴Rt△ABG≌Rt△ECG（HL），∴∠B＝∠ECH，∵∠B＝80°，∴∠BCE＝80°；【性质再探】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AE∥BC，∵四边形BCEF是等腰梯形，∴BF＝CE，由（1）可知，∠FBC＝∠ECB，∴△BFC≌△CEB（SAS），∴BE＝CF；【拓展应用】解：连接AC，过G点作GM⊥AD交延长线于点M，∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点，∵GO⊥AC，∴AC＝CG，∵AB∥CD，∠ABC＝45°，∴∠DCG＝45°，∴∠CDG＝90°，∴CD＝DG，∴BA＝DG＝2，∵∠CDG＝90°，∴CG＝2，∴AG＝2，∵∠ADC＝∠DCG＝45°，∴∠CDM＝135°，∴∠GDM＝45°，∴GM＝DM＝，在Rt△AGM中，（2）2＝（AD+）2+（）2，∴AD＝﹣，∴BC＝﹣．5．给出如下定义：有两个相邻内角互余的四边形称为“邻余四边形”，这两个角的夹边称为“邻余线”．（1）如图1，格点四边形ABCD是“邻余四边形”，指出它的“邻余线”；（2）如图2，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD 上的点．求证：四边形ABEF是“邻余四边形”；（3）如图3，四边形ABCD是“邻余四边形”，AB为“邻余线”，E，F分别是AB，CD 的中点，连接EF，AD＝4，BC＝6．求EF的长．（1）解：由图形可知∠E＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴它的“邻余线”是AB；（2）证明：∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB+∠DBA＝90°，∴∠FAB与∠EBA互余，∴四边形ABEF是邻余四边形；（3）解：如图，连接DE并延长到G，使EG＝DE，连接BG，CG，在△AED和△BEG中，，∴△AED≌△BEG（SAS），∴∠A＝∠ABG，BG＝AD＝4，∵四边形ABCD是“邻余四边形”，AB为“邻余线”，∴∠A+∠ABC＝90°，∴∠ABG+∠ABC＝∠GBC＝90°，在Rt△GBC中，GC＝，∵EG＝DE，AE＝BE，∴EF＝＝．6．定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”．（1）如图1，△ABC的三个顶点均在正方形网格中的格点上，若四边形ABCD是以AC 为“相似对角线”的四边形，请只用无刻度的直尺，就可以在网格中画出点D，请你在图1中找出满足条件的点D，保留画图痕迹（找出2个即可）（2）①如图2，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠DCB＝135°，对角线AC平分∠DAB．请问AC是四边形ABCD的“相似对角线”吗？请说明理由；②若AC＝，求AD•AB的值．（3）如图3，在（2）的条件下，若∠D＝∠ACB＝90°时，将△ADC以A为位似中心，位似比为：缩小得到△AEF，连接CE、BF，在△AEF绕点A旋转的过程中，当CE所在的直线垂直于AF时，请你直接写出BF的长．解：（1）如图1所示，AB＝，BC＝2，∠ABC＝90°，AC＝5，∵四边形ABCD是以AC为“相似对角线”的四边形，当∠ACD＝90°时，△ACD∽△ABC或△ACD∽△CBA，∴或，∴或，∴CD＝2.5或CD＝10，同理：当∠CAD＝90°时，AD＝2.5或AD＝10，如图中，D1，D2，D3，D4即为所求；（2）①是，理由：∵∠DAB＝90°，AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠CAB＝45°，∴∠D+∠DCA＝180°﹣∠DAC＝135°，又∵∠DCB＝135°＝∠DCA+∠ACB，∴∠D＝∠ACB，∴△DAC∽△CAB，∴AC是四边形ABCD的“相似对角线”；②∵△DAC∽△CAB，∴，∴AD•AB＝AC2，∵AC＝，∴AD•AB＝10；（3）①由（2）可知△ADC为等腰直角三角形，AC＝，∴AD＝CD＝，∵△AEF∽△ADC，且相似比为：，∴AE＝EF＝，AF＝2，如图，延长CE交AF于点H，由题意可得：EH⊥AF于H，∴AH＝AF＝1，∴CH＝，∴CE＝CH﹣EH＝3﹣1＝2，∵∠CAD＝∠EAF＝45°，∴∠CAE＝∠BAF，，∵，∴△EAC∽△FAB，∴即，∴FB＝；②如图，设AF与EC交于点G，∵AF⊥CE，∴△AGE为等腰直角三角形，∵EA＝，∴AG＝EG＝1，在Rt△AGC中，CG＝，∴EC＝4，同理可证△EAC∽△FAB，∴即，∴FB＝4，综上，FB＝2或FB＝4．7．我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”（1）概念理解：请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子；（2）问题探究：如图1，在等邻角四边形ABCD中，∠DAB＝∠ABC，AD，BC的中垂线恰好交于AB边上一点P，连接AC，BD，试探究AC与BD的数量关系，并说明理由；（3）应用拓展：如图2，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠C＝∠D＝90°，BC＝BD＝3，AB＝5，将Rt△ABD绕着点A顺时针旋转角α（0°＜∠α＜∠BAC）得到Rt△AB′D′（如图3），当凸四边形AD′BC为等邻角四边形时，求出它的面积．解：（1）矩形或正方形；（2）AC＝BD，理由为：连接PD，PC，如图1所示：∵PE是AD的垂直平分线，PF是BC的垂直平分线，∴PA＝PD，PC＝PB，∴∠PAD＝∠PDA，∠PBC＝∠PCB，∴∠DPB＝2∠PAD，∠APC＝∠PBC，即∠PAD＝∠PBC，∴∠APC＝∠DPB，∴△APC≌△DPB（SAS），∴AC＝BD；（3）分两种情况考虑：（i）当∠AD′B＝∠D′BC时，延长AD′，CB交于点E，如图3（i）所示，∴∠ED′B＝∠EBD′，∴EB＝ED′，设EB ＝ED ′＝x ，由勾股定理得：42+（3+x ）2＝（4+x ）2，解得：x ＝4.5，过点D ′作D ′F ⊥CE 于F ，∴D ′F ∥AC ，∴△ED ′F ∽△EAC ，∴＝，即＝，解得：D ′F ＝，∴S △ACE ＝AC ×EC ＝×4×（3+4.5）＝15；S △BED ′＝BE ×D ′F ＝×4.5×＝，则S 四边形ACBD ′＝S △ACE ﹣S △BED ′＝15﹣＝10；（ii ）当∠D ′BC ＝∠ACB ＝90°时，过点D ′作D ′E ⊥AC 于点E ，如图3（ii ）所示，∴四边形ECBD ′是矩形，∴ED ′＝BC ＝3，在Rt △AED ′中，根据勾股定理得：AE ＝＝，∴S △AED ′＝AE ×ED ′＝××3＝，S 矩形ECBD ′＝CE ×CB ＝（4﹣）×3＝12﹣3，则S 四边形ACBD ′＝S △AED ′+S 矩形ECBD ′＝+12﹣3＝12﹣．8．定义：长宽比为：1（n 为正整数）的矩形称为矩形．下面，我们通过折叠的方式折出一个矩形，如图①所示操作1：将正方形ABCD 沿过点B 的直线折叠，使折叠后的点C 落在对角线BD 上的点G 处，折痕为BH ．操作2：将AD沿过点G的直线折叠，使点A，点D分别落在边AB，CD上，折痕为EF．可以证明四边形BCEF为矩形．（Ⅰ）在图①中，的值为；（Ⅱ）已知四边形BCEF为矩形，仿照上述操作，得到四边形BCMN，如图②，可以证明四边形BCMN为矩形，则n的值是3．（1）证明：设正方形ABCD的边长为1，则BD＝＝，由折叠性质可知BG＝BC＝1，∠AFE＝∠BFE＝90°，则四边形BCEF为矩形，∴∠A＝∠BFE，∴EF∥AD，∴＝，即：＝，∴BF＝，∴BC：BF＝1：＝：1，∴四边形BCEF为矩形；（2）解：（Ⅰ）在Rt△BFG中，由勾股定理得：FG＝＝＝＝，∴＝＝；（Ⅱ）∵BC＝1，EC＝BF＝，∴BE＝＝＝＝，由折叠可得BP＝BC＝1，∠FNM＝∠BNM＝90°，∠EMN＝∠CMN＝90°．∵四边形BCEF是矩形，∴∠F＝∠FEC＝∠C＝∠FBC＝90°，∴四边形BCMN是矩形，∠BNM＝∠F＝90°，∴MN∥EF，∴＝，即BP•BF＝BE•BN，∴1×＝BN，∴BN＝，∴BC：BN＝1：＝：1，∴四边形BCMN是的矩形，∴n＝3．故答案为：；3．9．我们定义：有一组邻角相等的凸四边形做“等邻角四边形”，例如：如图1，∠B＝∠C，则四边形ABCD为等邻角四边形．（1）定义理解：已知四边形ABCD为等邻角四边形，且∠A＝130°，∠B＝120°，则∠D＝55度．（2）变式应用：如图2，在五边形ABCDE中，ED∥BC，对角线BD平分∠ABC．①求证：四边形ABDE为等邻角四边形；②若∠A+∠C+∠E＝300°，∠BDC＝∠C，请判断△BCD的形状，并明理由．（3）深入探究：如图3，在等邻角四边形ABCD中，∠B＝∠BCD，CE⊥AB，垂足为E，点P为边BC上的一动点，过点P作PM⊥AB，PN⊥CD，垂足分别为M，N．在点P的运动过程中，判断PM+PN与CE的数量关系？请说明理由．（4）迁移拓展：如图4，是一个航模的截面示意图．四边形ABCD是等邻角四边形，∠A＝∠ABC，E为AB边上的一点，ED⊥AD，EC⊥CB，垂足分别为D、C，AB＝2dm，AD＝3dm，BD＝dm．M、N分别为AE、BE的中点，连接DM、CN，求△DEM与△CEN的周长之和．（1）解：∵四边形ABCD为等邻角四边形，∠A＝130°，∠B＝120°，∴∠C＝∠D，∴∠D＝55°，故答案为：55；（2）①证明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∵ED∥BC，∴∠EDB＝∠DBC，∴∠EDB＝∠ABD，∴四边形ABDE为等邻角四边形；②解：△BDC是等边三角形，理由如下：∵∠BDC＝∠C，∴BD＝BC，∠DBC＝180°﹣2∠C，∵∠A+∠E+∠ABD+∠BDE＝360°，∴∠A+∠E＝360°﹣2∠ABD，∵∠A+∠C+∠E＝300°，∴300°﹣∠C＝360°﹣2（180°﹣2∠C），∴∠C＝60°，又∵BD＝BC，∴△BDC是等边三角形；（3）解：PM+PN＝CE，理由如下：如图，延长BA，CD交于点H，连接HP，∵∠B＝∠BCD，∴HB＝HC，＝S△BPH+S△CPH，∵S△BCH∴×BH×CE＝×BH×PM+×CH×PN，∴CE＝PM+PN；（4）解：如图，延长AD，BC交于点H，过点B作BG⊥AH于G，∵ED⊥AD，EC⊥CB，M、N分别为AE、BE的中点，∴AM＝DM＝ME，EN＝NB＝CN，∵AB2＝BG2+AG2，BD2＝BG2+DG2，∴52﹣（3+DG）2＝37﹣DG2，∴DG＝1，∴BG＝＝6，由（3）可得DE+EC＝BG＝6，∴△DEM与△CEN的周长之和＝ME+DM+DE+EC+EN+CN＝AE+BE+BG＝AB+BG＝（6+2）dm．10．问题情景：如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”，按照此定义，我们学过的平行四边形中的菱形、正方形等都是“垂美四边形”，“筝形”也是“垂美四边形”．概念理解：（1）如图2，已知等腰梯形ABCD是“垂美四边形”，AB＝6，CD＝8，求AD的长．性质探究：（2）如图3，已知四边形ABCD是“垂美四边形”，试探究其两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系，并写出证明过程．问题解决：（3）如图4，分别以Rt△ABC的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG与正方形ABDE，连接CE，BG，GE，CE与BG交于点O，已知AC＝3，AB＝5，求△OGE的中线OH的长．解：（1）∵等腰梯形ABCD是“垂美四边形”，∴AD＝BC，AC⊥BD，∴AB2＝OB2+OA2，CD2＝OC2+OD2，∴AB2+CD2＝OA2+OB2+OC2+OD2，AD2＝OA2+OD2，BC2＝OB2+OC2，∴AD2+BC2＝OA2+OB2+OC2+OD2，∴垂美四边形两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系是AB2+CD2＝BC2+AD2；∵AB＝6，CD＝8，∴2AD2＝62+82，∴AD＝5；（2）由（1）证明可得：垂美四边形两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系是AB2+CD2＝BC2+AD2；（3）连接BE，CG，CE，∵∠CAE＝∠CAB+∠BAE，∠BAC+∠CAG＝∠GAB，∴∠CAE＝∠GAB，∵AC＝AG，AB＝AE，∴△ABG≌△AEC（SAS），∴△ABG可视为△AEC绕点A逆时针旋转90°后得到的，由旋转的性质知：BG⊥CE，∴四边形BCGE为垂美四边形，∴由（2）知：CG2+BE2＝BC2+EG2，又∵AC＝3，AB＝5，∴BC＝4，CG＝3，BE＝5，∴（3）2+（5）2＝42+GE2，∴GE＝2，又∵△OGE为直角三角形，OH为其斜边上的中线，∴OH＝，11．定义：我们把两条对角线互相垂直的四边形称为“垂美四边形”．特例感知：（1）如图1，四边形ABCD是“垂美四边形，如果，OB＝2，∠OBC＝60°，则AD2+BC2＝，AB2+CD2＝．猜想论证（2）如图1，如果四边形ABCD是“垂美四边形”，猜想它的两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系并给予证明．拓展应用：（3）如图2，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知AC＝4，∠BAC＝60°，求GE长．（4）如图3，∠AOB＝∠COD＝90°，∠ABO＝∠CDO＝30°，∠BOC＝120°，OA＝OD，，连接AC，BC，BD，请直接写出BC的长．解：（1）∵OA＝OD＝OB，OB＝2，∴OA＝OD＝，∵四边形ABCD是“垂美四边形”，∴∠AOD＝∠BOC＝90°，∵∠OBC＝60°，∴∠BCO＝30°，∴BC＝4，OC＝2，∴AD2+BC2＝OA2+OD2+BC2＝（）2×2+42＝，AB2+CD2＝OA2+OB2+OD2+OC2＝AD2+BC2＝，故答案为：，；（2）AB2+CD2＝AD2+BC2，理由如下：∵四边形ABCD是“垂美四边形”，∴∠AOD＝∠BOC＝90°，∴AB2+CD2＝OA2+OB2+OD2+OC2＝AD2+BC2；（3）连接CG，BE，设BG与AC的交点为O，∵正方形ACFG和正方形ABDE，∴AG＝AC，AE＝AB，∠GAC＝∠EAB，∴∠GAB＝∠CAE，∴△GAB≌△CAE（SAS），∴∠GAB＝∠ACE，∵∠AOG＝∠BOC，∴BG⊥CE，∴四边形BCGE是“垂美四边形”，由（2）知，BC2+GE2＝CG2+BE2，∵∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，∴∠CBA＝30°，∴AB＝2AC＝8，BC＝4，∴CG＝4，BE＝8，∴（4）2+GE2＝（4）2+（8）2，解得EG＝4；（4）如图，连接AD，设AC与BD的交点为H，∵∠AOB＝∠COD＝90°，∠ABO＝∠CDO＝30°，OC＝，∴∠BOD＝∠AOC，BO＝OA，DO＝OC＝3，AB＝2AO，CD＝2CO＝2，∵OA＝OD＝3，∴AB＝6，∵∠BOC＝120°，∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠AOD＝60°，∴△AOD是等边三角形，∴AD＝DO＝3，∵＝，∠BOD＝∠AOC，∴△BOD∽△AOC，∴∠DBO＝∠CAO，∵∠ABD+∠DBO+∠BAO＝90°，∴∠ABD+∠BAO+∠CAO＝90°，∴∠AHB＝90°，∴AC⊥BD，∴四边形ABCD是“垂美四边形”，由（2）可知：AB2+CD2＝AD2+BC2，∴36+12＝9+BC2，∴BC＝．12．点P（x1，y1），Q（x2，y2）是平面直角坐标系中不同的两个点，且x1≠x2，若存在一个正数k，使点P，Q的坐标满足|y1﹣y2|＝k|x1﹣x2|，则称P，Q为一对“限斜点”，k叫做点P，Q的“限斜系数”，记作k（P，Q）．由定义可知，k（P，Q）＝k（Q，P）．例：若P（1，0），Q（3，），有|0﹣|＝|1﹣3|，所以点P，Q为一对“限斜点”，且“限斜系数”为．已知点A（1，0），B（2，0），C（2，﹣2），D（2，）．（1）在点A，B，C，D中，找出一对“限斜点”：点A与点D或点A与点C，它们的“限斜系数”为2或；（2）若存在点E，使得点E，A是一对“限斜点”，点E，B也是一对“限斜点”，且它们的“限斜系数”均为1．求点E的坐标；（3）正方形对角线的交点叫做中心，已知正方形EFGH的各边与坐标轴平行，边长为2，中心为点M（0，m）．点T为正方形上任意一点，若所有点T都与点C是一对“限斜点”，且都满足k（T，C）≥1，直接写出点M的纵坐标m的取值范围．解：（1）由定义可知x1≠x2，y1≠y2，∴B、C、D三点不能是“限斜点”，A、B不能是“限斜点”，对于点A（1，0）和点C（2，﹣2），|﹣2﹣0|＝2|2﹣1|，∴A与C是“限斜点”，“限斜系数”为2；对于点A（1，0）和点D（2，），|﹣0|＝|2﹣1|，∴A与D是“限斜点”，“限斜系数”为；故答案为：点A与点D或点A与点C；2或；（2）设E（x，y），∵点E，A是一对“限斜点”，“限斜系数”为1，∴|y|＝|x﹣1|，∵点E，B一对“限斜点”，“限斜系数”为1，∴|y|＝|x﹣2|，∴|x﹣1|＝|x﹣2|，解得x＝，∴y＝±，∴E（，）或（，﹣）；（3）∵C（2，﹣2），∴点C在直线y＝﹣x上，当T点在直线y＝﹣x上时，k（T，C）＝1，∵所有点T都满足k（T，C）≥1，∴T点在直线y＝﹣x的上方，∵M（0，m），FG＝2，∴F（﹣1，m﹣1），当F点在直线y＝﹣x上时，m﹣1＝1，解得m＝2，∴m≥2时，对任意的T都有k（T，C）≥1；过点C作直线y＝﹣x的垂线，则垂线解析式为y＝x﹣4，当T点在直线y＝x﹣4上时，k（T，C）＝1，∵所有点T都满足k（T，C）≥1，∴T点在直线y＝x﹣4的下方，∵M（0，m），FG＝2，∴E（﹣1，m+1），当E点在直线y＝x﹣4上时，﹣1﹣4＝m+1，解得m＝﹣6，∴m≤﹣6时，对任意的T都有k（T，C）≥1；综上所述：m≥2或m≤﹣6时，对任意的T都有k（T，C）≥1．13．定义：对于一个四边形，我们把依次连结它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”．概念理解：下列四边形中一定是“中方四边形”的是D．A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形性质探究：如图1，四边形ABCD是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形ABCD 的两条结论：①AC＝BD；②AC⊥BD．问题解决：如图2，以锐角△ABC的两边AB，AC为边长，分别向外侧作正方形ABDE 和正方形ACFG，连结BE，EG，GC．求证：四边形BCGE是“中方四边形”；拓展应用：如图3，已知四边形ABCD是“中方四边形”，M，N分别是AB，CD的中点，（1）试探索AC与MN的数量关系，并说明理由．（2）若AC＝2，求AB+CD的最小值．解：概念理解：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中只有正方形是“中方四边形”，理由如下：因为正方形的对角线相等且互相垂直，故选：D；性质探究：①AC＝BD，②AC⊥BD；理由如下：如图1，∵四边形ABCD是“中方四边形”，∴EFGH是正方形且E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，∴∠FEH＝90°，EF＝EH，EH∥BD，EH＝BD，EF∥AC，EF＝AC，∴AC⊥BD，AC＝BD，故答案为：AC⊥BD，AC＝BD；问题解决：如图2，取四边形BCGE各边中点分别为P、Q、R、L并顺次连接成四边形MNRL，连接CE交AB于P，连接BG交CE于K，∵四边形BCGE各边中点分别为M、N、R、L，∴MN、NR、RL、LM分别是△BCG、△CEG、△BGE、△CEB的中位线，∴MN∥BG，MN＝BG，RL∥BG，RL＝BG，RN∥CE，RN＝CE，ML∥CE，ML ＝CE，∴MN∥RL，MN＝RL，RN∥ML∥CE，RN＝ML，∴四边形MNRL是平行四边形，∵四边形ABDE和四边形ACFG都是正方形，∴AE＝AB，AG＝AC，∠EAB＝∠GAC＝90°，又∵∠BAC＝∠BAC，∴∠EAB+∠BAC＝∠GAC+∠BAC，即∠EAC＝∠BAG，在△EAC和△BAG中，，∴△EAC≌△BAG（SAS），∴CE＝BG，∠AEC＝∠ABG，又∵RL＝BG，RN＝CE，∴RL＝RN，∴▱MNRL是菱形，∵∠EAB＝90°，∴∠AEP+∠APE＝90°．又∵∠AEC＝∠ABG，∠APE＝∠BPK，∴∠ABG+∠BPK＝90°，∴∠BKP＝90°，又∵MN∥BG，ML∥CE，∴∠LMN＝90°，∴菱形MNRL是正方形，即原四边形BCGE是“中方四边形”；拓展应用：（1）MN＝AC，理由如下：如图3，分别作AD、BC的中点E、F并顺次连接EN、NF、FM、ME，∵四边形ABCD是“中方四边形”，M，N分别是AB，CD的中点，∴四边形ENFM是正方形，∴FM＝FN，∠MFN＝90°，∴MN＝＝＝FM，∵M，F分别是AB，BC的中点，∴FM＝AC，∴MN＝AC；（2）如图4，分别作AD、BC的中点E、F并顺次连接EN、NF、FM、ME，连接BD交AC于O，连接OM、ON，当点O在MN上（即M、O、N共线）时，OM+ON最小，最小值为MN的长，＝2MN，∴2（OM+ON）最小由性质探究②知：AC⊥BD，又∵M，N分别是AB，CD的中点，∴AB＝2OM，CD＝2ON，∴2（OM+ON）＝AB+CD，＝2MN，∴（AB+CD）最小由拓展应用（1）知：MN＝AC；又∵AC＝2，∴MN＝，＝2．∴（AB+CD）最小14．对于平面直角坐标系xOy中的图形W1和图形W2．给出如下定义：在图形W1上存在两点A，B（点A，B可以重合），在图形W2上存在两点M，N（点M、N可以重合）使得AM＝2BN，则称图形W1和图形W2满足限距关系．（1）如图1，点C（1，0），D（﹣1，0），E（0，），点F在CE上运动（点F可以与C，E重合），连接OF，DF．①线段OF的最小值为，最大值为；线段DF的取值范围是DF≤2．②在点O，D中，点O与线段CE满足限距关系．（2）如图2，正方形ABMN的边长为2，直线PQ分别与x轴，y轴交于点Q，P，且与x轴正方向的夹角始终是30°，若线段PQ与正方形ABMN满足限距关系，求点P的纵坐标a（a＞0）的取值范围；（3）如图3，正方形ABMN的顶点均在坐标轴上，A（0，b）（b＞0），G，H是正方形边上两点，分别以G，H为中心作边长为1的正方形，与正方形ABMN的四边分别平行．若对于任意的点G，H，以G，H为中心的正方形都满足限距关系，直接写出b的取值范围．解：（1）①如图1，点C（1，0），D（﹣1，0），E（0，），∴OC＝1，OD＝1，OE＝，∴CE＝2，当OF⊥CE时，OC•OE＝EC•OF，∴OF＝，此时OF的值最小；当F点与E点重合时，OF的值最大，最大值为，当DF⊥CE时，DF的值最小，∴DC•OE＝EC•DF，∴DF＝，当点F与点C或点E重合时，DF有最大值，∴DE＝CD＝2，∴FD的最大值为2，∴≤DF≤2，故答案为：，，≤DF≤2；②线段CE上存在点M、N，满足OM最小值为，ON最大值为，则OM＝2ON，∴点O与线段CE满足限距关系；∵≤DF≤2，∴线段CE上不存在两点与点满足限距关系；故答案为：O；（2）∵P（0，a），∠PQO＝30°，∴OP＝a，PQ＝2a，∴OQ＝a，∵正方形的边长为2，∴OA＝OB＝2，当a＝2时，a＝，此时点Q与点B重合，①如图2，当0＜a＜时，线段PQ在正方形内部，此时PQ与正方形无公共点，过点Q作QE⊥AB交于E，过点Q作QF⊥QE交AN于点F，∴QE＝，∴QE＝1﹣a，∴正方形上到线段PQ的最短距离为1﹣a，∵NF＝，∴NF＝1+a，∴正方形上到线段PQ的最大距离为1+a，∵线段PQ与正方形满足限距关系，∴1+a≥2（1﹣a），解得a≥，∴≤a＜；②如图3，当≤a≤时，线段PQ与正方形有公共点，线段PQ与正方形满足限距关系；③如图4，当a＞时，线段PQ在正方形的外部，与正方形无公共点，过点A作AC⊥PQ交于C，过点M作MD⊥PQ交于D，∵∠OPQ＝60°，∴∠PAC＝30°，∠PMD＝30°，∴CP＝AP，PD＝PM，∴正方形到线段PQ的最小距离为AC＝＝（a﹣），正方形到线段PQ的最大距离为MP＝a+，∵线段PQ与正方形满足限距关系，∴a+≥2×（a﹣），解得a≤2+，∴＜a≤2+；综上所述：≤a≤2+；（3）如图5，当中心H、G分别与B、N重合时，∵A（0，b），∴OA＝OB＝ON＝b，∵小正方形的边长为1，∴CD＝PQ＝，∴两个正方形的距离的最小值为BN﹣BD﹣PN＝2b﹣，最大距离为BN+BC+NQ＝2b+，∵两个正方形满足限距关系，∴2b+≥2（2b﹣），解得b≤，∴0＜b≤．15．定义：长宽比为：1（n为正整数）的矩形称为矩形．下面，我们通过折叠的方式折出一个矩形，如图①所示．操作1：将正方形ABCD沿过点B的直线折叠，使折叠后的点C落在对角线BD上的点G处，折痕为BH．操作2：将AD沿过点G的直线折叠，使点A，点D分别落在边AB，CD上，折痕为EF．则四边形BCEF为矩形．证明：设正方形ABCD的边长为1，则BD＝＝．由折叠性质可知BG＝BC＝1，∠AFE＝∠BFE＝90°，则四边形BCEF为矩形．∴∠A＝∠BFE．∴EF∥AD．∴＝，即＝．∴BF＝．∴BC：BF＝1：＝：1．∴四边形BCEF为矩形．阅读以上内容，回答下列问题：（1）在图①中，所有与CH相等的线段是GH、DG，tan∠HBC的值是﹣1；（2）已知四边形BCEF为矩形，模仿上述操作，得到四边形BCMN，如图②，求证：四边形BCMN是矩形；（3）将图②中的矩形BCMN沿用（2）中的方式操作3次后，得到一个“矩形”，则n的值是6．解：（1）由折叠可得：DG＝HG，GH＝CH，∴DG＝GH＝CH．设HC＝x，则DG＝GH＝x．∵∠DGH＝90°，∴DH＝x，∴DC＝DH+CH＝x+x＝1，解得x＝．∴tan∠HBC＝＝＝．故答案为：GH、DG，；（2）∵BC＝1，EC＝BF＝，∴BE＝＝．由折叠可得BP＝BC＝1，∠FNM＝∠BNM＝90°，∠EMN＝∠CMN＝90°．∵四边形BCEF是矩形，∴∠F＝∠FEC＝∠C＝∠FBC＝90°，∴四边形BCMN是矩形，∠BNM＝∠F＝90°，∴MN∥EF，∴＝，即BP•BF＝BE•BN，∴1×＝BN，∴BN＝，∴BC：BN＝1：＝：1，∴四边形BCMN是的矩形；（3）同理可得：将矩形沿用（21次后，得到一个“矩形”，将矩形沿用（2）中的方式操作1次后，得到一个“矩形”，将矩形沿用（2）中的方式操作1次后，得到一个“矩形”，所以将图②中的矩形BCMN沿用（2）中的方式操作3次后，得到一个“矩形”，故答案为6．16．定义：长宽比为：1（n为正整数）的矩形称为矩形．下面，我们通过折叠的方式折出一个矩形，如图a所示．操作1：将正方形ABEF沿过点A的直线折叠，使折叠后的点B落在对角线AE上的点G 处，折痕为AH．操作2：将FE沿过点G的直线折叠，使点F、点E分别落在边AF，BE上，折痕为CD．则四边形ABCD为矩形．（1）证明：四边形ABCD为矩形；（2）点M是边AB上一动点．①如图b，O是对角线AC的中点，若点N在边BC上，OM⊥ON，连接MN．求tan∠OMN的值；②若AM＝AD，点N在边BC上，当△DMN的周长最小时，求的值；③连接CM，作BR⊥CM，垂足为R．若AB＝2，则DR的最小值＝2．证明：（1）设正方形ABEF的边长为a，∵AE是正方形ABEF的对角线，∴∠DAG＝45°，由折叠性质可知AG＝AB＝a，∠FDC＝∠ADC＝90°，则四边形ABCD为矩形，∴△ADG是等腰直角三角形．∴AD＝DG＝，∴AB：AD＝a：＝：1．∴四边形ABCD为矩形；（2）①解：如图b，作OP⊥AB，OQ⊥BC，垂足分别为P，Q．∵四边形ABCD是矩形，∠B＝90°，∴四边形BQOP是矩形．∴∠POQ＝90°，OP∥BC，OQ∥AB．∴，．∵O为AC中点，∴OP＝BC，OQ＝AB．∵∠MON＝90°，∴∠QON＝∠POM．∴Rt△QON∽Rt△POM．∴＝．∴tan∠OMN＝．②解：如图c，作M关于直线BC对称的点P，连接DP交BC于点N，连接MN．则△DMN的周长最小，∵DC∥AP，∴，设AM＝AD＝a，则AB＝CD＝a．∴BP＝BM＝AB﹣AM＝（﹣1）a．∴＝＝2+，③如备用图，∵四边形ABCD为矩形，AB＝2，∴BC＝AD＝2，∵BR⊥CM，∴点R在以BC为直径的圆上，记BC的中点为I，∴CI＝BC＝1，∴DR最小＝﹣1＝2故答案为：217．定义：有两个内角分别是它们对角的一半的四边形叫做半对角四边形．（1）如图1，在半对角四边形ABCD中，∠B＝∠D，∠C＝∠A，则∠B+∠C＝120°；（2）如图2，锐角△ABC内接于⊙O，若边AB上存在一点D，使得BD＝BO，在OA上取点E，使得DE＝OE，连接DE并延长交AC于点F，∠AED＝3∠EAF．求证：四边形BCFD是半对角四边形；（3）如图3，在（2）的条件下，过点D作DG⊥OB于点H，交BC于点G，OH＝2，DH＝6．①连接OC，若将扇形OBC围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径为；②求△ABC的面积．（1）解：∵四边形ABCD是半对角四边形，∴∠B＝∠D，∠C＝∠A．∴∠D＝2∠B，∠A＝2∠C．∵∠A+∠B+∠C+∠D＝360°，∴3∠B+3∠C＝360°，∴∠B+∠C＝120°，故答案为：120；（2）证明：连接OC，如图，在△BDE和△BOE中，，∴△BDE≌△BOE（SSS）．∴∠BDF＝∠BOE．∵∠ACB＝∠BOE，∴∠ACB＝∠BDF．设∠EAF＝α，则∠AED＝3α．∵∠AED＝∠EAF+∠AFE，∴∠AFE＝∠AED﹣∠EAF＝2α，∴∠DFC＝180°﹣∠AFD＝180°﹣2α．∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠EAF＝α，∴∠AOC＝180°﹣∠EAF﹣∠OCA＝180°﹣2α，∴∠AOC＝∠DFC．∵∠ABC＝∠AOC，∴∠ABC＝∠DFC，∴四边形BCFD是半对角四边形；（3）解：①连接OC，如图，四边形BCFD是半对角四边形，且∠ABC＝∠DFC，∠ACB＝∠BDF，由（1）的方法可求得：∠ABC+∠ACB＝120°，∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝60°，∴∠BOC＝2∠BAC＝120°．设⊙O的半径为r，则BD＝BO＝r，BH＝r﹣2，在Rt△BDH中，∵BD2＝BH2+DH2，。

学习指导２０２３年１０月下半月㊀㊀㊀四边形新定义问题例析◉江苏省徐州市第十三中学㊀王㊀峥㊀㊀四边形新定义问题,是培养学生创造性思维的良好素材,包括 等邻边四边形 问题㊁ 等角相邻点 问题㊁ 妙线 问题㊁ 准等距点 问题等．以下作一分析探讨,以飨读者．１ 等邻边四边形 问题菱形㊁正方形是四边都相等的四边形,它们都是从实际生活中抽象出来的,因为应用广泛而得到推广．等邻边四边形 是指有两组邻边相等的凸四边形． 等邻边四边形 有什么性质?又如何判定呢?下面结合实例进行探讨．例１㊀我们定义:有两组邻边相等的凸四边形叫做 等邻边四边形 ．如菱形㊁筝形都是特殊的 等邻边四边形 ．图１(１)如图１,四边形A B C D中,若øA B C＝øB C D,B CʊA D,对角线B D恰巧平分øA B C,则四边形A B C D等邻边四边形 ．(填是 或 不是 )．(２)在探究 等邻边四边形 的性质时:图２①小红画了一个 等邻边四边形 A B C D(如图２),其中A B＝A D,B C＝C D,若øA＝８０ʎ,øC＝６０ʎ,写出øB,øD的度数．②小红猜想:对于任意四边形,若有一组邻边相等,一组对角相等,则这个四边形为 等邻边四边形 ．你认为他的猜想正确吗?若正确,请证明;若不正确,请举出反例．(３)在锐角三角形A B C中,A B＝A C,在平面内存在一点P,使P B＝B A,P A＝P C,四边形P A B C可能是 等邻边四边形 吗?若可能,画出符合题意的图形,并求øB A C的度数;若不可能,请说明理由．解析:(１)由A DʊB C,øA B C＝øB C D,可知四边形A B C D是等腰梯形,则A B＝C D．由øA D B＝øD B C,øA B D＝øD B C,得øA B D＝øA D B,则A D＝A B,A D＝D C,所以四边形A B C D有两组邻边相等,即四边形A B C D是 等邻边四边形 ．故填答案:是．(２)①如图３,连接A C．因为A B＝A D,B C＝D C ,图３A C＝A C,所以әAB CɸәA D C(S S S),可得øB＝øD．又øB A D＝８０ʎ,øB C D＝６０ʎ,则øB＋øD＝３６０ʎ－８０ʎ－６０ʎ＝２２０ʎ．所以øB＝øD＝１１０ʎ．②小红猜想错误．反例,如图４所示．四边形A B C D中,B A＝B C,øA B C＝øA D C＝６０ʎ,四边形不是 等邻边四边形 ．图４㊀㊀图５(３)①如图５,当C B＝C P时,由P A＝P C,可知四边形A B C D是 等邻边四边形 ．设B P交A C于点O．因为P B＝A C,A B＝B A,P A＝B C,所以әA B PɸәB A C(S S S),可得øP B A＝øB A C,则A O＝O B,P O＝C O,从而可知øO P C＝øO C P＝øO A B＝øO B A．又øO P C＝øC B P,则øA B C＝øA C B＝２øB A C,所以øB A C＝１５ˑ１８０ʎ＝３６ʎ．图６②如图６,当әA B C是等边三角形时,四边形A B C P是 等邻边四边形 ．综上所述,满足条件的øB A C的值为３６ʎ或６０ʎ．２ 等角相邻点 问题平行四边形的对角线互相平分;菱形的对角线互相垂直平分;矩形的对角线相等且互相平分;正方形的对角线相等且互相垂直平分．这些实际上是对应四边形的中心点与四边形的关系, 等角相邻点 问题是指四边形内一点与其四个顶点连接,在四边形内形成的四个角中有两组角相等．那么,如何得到等角相邻点?等角相邻点又有什么性质呢?例２㊀如图７Ｇ１,在四边形A B C D内取一点P,连接A P,B P,C P,D P,如果øA P D＝øA P B＝α,且øB P C＝øC P D＝β,那么P叫做四边形A B C D的一６４Copyright©博看网. All Rights Reserved.２０２３年１０月下半月㊀学习指导㊀㊀㊀㊀个等角相邻点．图７Ｇ１㊀㊀图７Ｇ２图７Ｇ３㊀㊀图７Ｇ４(１)如图７Ｇ２,已知正方形A B C D ,请在其内部找一点P ,使P 为等角相邻点,且αʂβ;(２)如图７Ｇ３,已知任意四边形A B C D ,请在其内部找一点P ,且P 为等角相邻点;(３)如图７Ｇ４,已知任意四边形A B C D ,在它的内部有两个等角相邻点P １,P ２,证明:线段P １P ２上任意一点也是等角相邻点．解析:(１)如图８,所画的点P 在A C 上且不是A C的中点和A C 的端点．图８㊀㊀㊀图９(２)如图９,画点B 关于A C 的对称点B ᶄ,延长D B ᶄ交A C 于点P ,则点P 即为所求．图１０(３)证明:连接P １A ,P １D ,P １B ,P ２C 和P ２D ,P ２B ,如图１０．根据题意,øA P １D ＝øA P １B ,øD P １C ＝øB P １C ,则øA P １B ＋øB P １C ＝１８０ʎ．所以点P １在A C 上．同理可知,点P ２也在线段A C 上．在әD P １P ２和әB P １P ２中,因为øD P ２P １＝øB P ２P １,P １P ２＝P １P ２,øD P １P ２＝øB P １P ２,{所以有әD P １P ２ɸәB P １P ２(A S A ),可得D P １＝B P １,D P ２＝B P ２,于是B ,D 是轴对称点,关于直线A C 对称．如果在P １P ２上任取一点P ,作线段P D ,P B ,根据轴对称的性质,得øD P A ＝øB P A ,øD P C ＝øB P C ．故P １P ２上的任意一点是四边形的等角相邻点．３妙线 问题由于中心对称图形绕中心旋转１８０ʎ后能与原图形重合,所以过中心对称图形对称中心的任一条直线,分中心对称图形成两部分,这部分的面积是相等的．但是对于任意四边形,如何画一条直线把它分成面积相等的两部分呢?下面结合实例对此进行深入的讨论,并将这样一条直线称为 妙线 ．例３㊀我们把能将四边形分成两部分,且这两部分的面积相等,这样的直线称为 妙线 ．下面的图示,是得到 妙线 的过程:如图１１,在四边形A B C D 中,取对角线B D 的中点O ,连接O A ,O C ,显然,折线A O C 能平分四边形A B C D 的面积,再过点O 作O E ʊA C 交C D 于点E ,则直线A E 即为一条 妙线 ．(１)如图１１,试说明直线A E 是妙线 的理由;图１１图１２图１３(２)如图１２,A E 为一条 妙线 ,F 为A D 边上的一点,请作出经过点F 的 妙线 ,并说明理由;(３)如图１３,已知一块土地是五边形A B C D E ,经过开发,又得到多边形E D C MN ,中间的折线C D E 是一条小路,现要修一条直路,且这条直路经过点E ,使直路右边的面积不作改变,如何画图呢?解析:(１)如图１４,由点O 是B D 的中点,可得S әA O B ＝S әA O D ,S әB O C ＝S әD O C ,则S әA O B ＋S әB O C ＝S әA O D ＋S әD O C ＝１２S 四边形A B C D ,所以S 四边形A B C O ＝１２S 四边形A B C D ．故折线A O C 能平分四边形A B C D 的面积．设A E 交O C 于点F ．由O E ʊA C ,可知S әA O E ＝S әC O E ,则S әA O F ＝S әC E F ．由于折线A O C 能平分四边形A B C D 的面积,因此直线A E 平分四边形A B C D 的面积,即A E 是四边形A B C D 的一条 妙线 ．图１４图１５图１６(２)如图１５,连接E F ,过点A 作E F 的平行线交C D 于点G ,连接F G ,则G F 为一条 妙线 ．理由:由A G ʊE F ,可知S әA G E ＝S әA F G ．设A E 与F G 的交点是O ,则S әA O F ＝S әG O E ．又A E 为一条妙线 ,所以G F 为一条 妙线 ．(３)如图１６,连接C E ,过点D 作D F ʊE C 交C M 于点F ,连接E F ,则E F 为所修的直路．本文中从形到点再到线,对四边形内存在的特殊四边形㊁特殊点㊁特殊线作了深入细致的研究,得到了一些创造性的结论,开阔了学生的认知视野,培养了学生创新解决问题的能力,是四边形领域里一道亮丽的风景线．Z７４Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。

专题05 四边形中的新定义问题一、考情分析"新定义"型问题是指在问题中定义了初中数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识进行理解，而后根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型。

它一般分为三种类型：(1)定义新运算;(2)定义初、高中知识衔接"新知识";(3)定义新概念。

这类试题考查考生对"新定义"的理解和认识，以及灵活运用知识的能力，解题时需要将"新定义"的知识与已学知识联系起来，利用已有的知识经验来解决问题.利用的数学思想：（1）转化的思想，把未知的问题转化为学过的知识解决。

（2）对全新的概念，需要灵活的迁移运用。

二、精选考题1．阅读与探究我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．请结合上述阅读材料，解决下列问题：（1）在我们所学过的特殊四边形中，是勾股四边形的是；（写出一种即可）（2）下面图1，图2均为66的正方形网格，点A，B，C均在格点上，请在图中标出格点D，并连接AD，CD，使得四边形ABCD符合下列要求：图1中的四边形ABCD是勾股四边形，并且是轴对称图形；图2中的四边形ABCD是勾股四边形且对角线相等，但不是轴对称图形．2．阅读理解：定义：有三个内角相等的四边形叫“和谐四边形”．（1）在“和谐四边形”ABCD中，若135∠=；B∠=︒，则A（2）如图，折叠平行四边形纸片DEBF，使顶点E，F分别落在边BE，BF上的点A，C 处，折痕分别为DG，DH．求证：四边形ABCD是“和谐四边形”．3．定义：长宽比为:1(n n为正整数）的矩形称为n矩形．通过下面的操作方式我们可以折出一个2矩形，如图①所示．操作1：将正方形ABCD沿过点B的直线折叠，使折叠后的点C落在对角线BD上的点G处，折痕为BD．1操作2：将AD沿过点G的直线折叠，使点A，点D分别落在边AB，CD上，折痕为EF．则四边形BCEF为2矩形．证明：设正方形ABCD 的边长为1，则BD由折叠性质可知1BG BC ==，90CFE BFE C ∠=∠=∠=︒，则四边形BCEF 为矩形．90A BFE ∴∠=∠=︒．//EF AD ∴． ∴BG BFBD AB =1BF =． ∴BF =∴:BC BF ==．∴四边形BCEF阅读以上内容，回答下列问题：（1）已知四边形BCEF 矩形，沿用上述操作方式，得到四边形BCMN ，如图②，求证：四边形BCMN（2）在图②中，求2tan D BC ∠的值．（3）若将矩形沿用上述方式操作m 次后，得到一个矩形，求k 和1tan k D BC -∠的值．（用含m 和n 的代数式表示，直接写出结论即可）4．我们给出如下定义：若一个四边形有一组对角互补（即对角之和为180)︒，则称这个四边形为圆满四边形．（1）概念理解：在平行四边形、菱形、矩形、正方形中，你认为属于圆满四边形的有 矩形，正方形 ．（2）问题探究：如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，若ADB ACB ∠=∠，问四边形ABCD 是圆满四边形吗？请说明理由．小明经过思考后，判断四边形ABCD 是圆满四边形，并提出了如下探究思路：先证明AOD BOC ∆∆∽，得到比例式OA OD OB OC =，再证明AOB DOC ∆∆∽，得出对应角相等，根据四边形内角和定理，得出一组对角互补．请你帮助小明写出解题过程．（3）问题解决：请结合上述解题中所积累的经验和知识完成下题．如图，四边形ABCD 中，AD BD ⊥，AC BC ⊥，AB 与DC 的延长线相交于点E ，BE BD =，5AB =，3AD =，求CE 的长．5．定义：有一组邻边垂直且对角线相等的四边形为垂等四边形．（1）矩形 垂等四边形（填“是”或“不是” )；（2）如图1，在正方形ABCD 中，点E ，F ，G 分别在AD ，AB ，BC 边上．若四边形DEFG 是垂等四边形，且90EFG ∠=︒，AF CG =，求证：EG DG =；（3）如图2，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，2AC BC=，25AB =，以AB 为对角线，作垂等四边形ACBD ，过点D 作CB 的延长线的垂线，垂足为E ，且ABC ∆与BDE ∆相似，求四边形ACBD 的面积．6．阅读理解：如图1，在四边形ABCD 的边AB 上任取一点E （点E 不与点A 、点B 重合），分别连接ED ，EC ，可以把四边形ABCD 分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E 叫做四边形ABCD 的边AB 上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E 叫做四边形ABCD 的边AB 上的强相似点．解决问题：（1）如图1，55A B DEC ∠=∠=∠=︒，试判断点E 是否是四边形ABCD 的边AB 上的相似点，并说明理由；（2）如图2，在矩形ABCD 中，5AB =，2BC =，A ，B ，C ，D 四点均在正方形网格（网格中每个最小正方形的边长为1)的格点（即每个最小正方形的顶点）上，若图2中，矩形ABCD 的边AB 上存在强相似点E ，则:AE EB = ；拓展探究：（3）如图3，将矩形ABCD 沿CM 折叠，使点D 落在AB 边上的点E 处．若点E 恰好是四边形ABCM 的边AB 上的一个强相似点，试探究AB 和BC 的数量关系．7．我们定义对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．如图点E 是四边形ABCD 内一点，已知BE EC =，AE ED =，90BEC AED ∠=∠=︒，对角线AC 与BD 交于O 点，BD 与EC 交于点F ，AC 与ED 交于点G ．（1）求证：四边形ABCD 是垂美四边形；（2）猜想四边形ABCD 两组对边AB 、CD 与BC 、AD 之间的数量关系并说明理由；（3）若3BE =，4AE =，6AB =，则CD 的长为 ．8．定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”，回答下列问题．（1）如图1，四边形ABCD 中，90A ∠=︒，1AB =，2CD ，BCD DBC ∠=∠，判断四边形ABCD 是不是“等邻边四边形”，并说明理由；（2）如图2，Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，2AB =，1BC =，现将Rt ABC ∆沿ABC ∠的平分线BB '方向平移得到△A B C '''，连接AA '，BC '，若平移后的四边形ABC A ''是“等邻边四边形”，求BB '的长．9．我们学过了特殊的四边形，体验了通过作平行线、垂线、延长线等常用方法，把四边形问题转化为三角形问题的重要思想．除了我们学过的特殊四边形，还有很多特殊四边形．我们定义：四边形中，除一边以外其余的部分都在这条边的同侧，这个四边形就叫做凸四边形；有一组邻角相等的凸四边形就叫做“等邻角四边形”，根据这个定义，请解决下列问题．（1）概念理解如图（1），在ABC∆中，CH AB⊥于H，点D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，连接DF、EF、EH、DE、FH，写一个图形中的“等邻角四边形”：（不再添加除图形以外的字母）；（2）解决问题如图（2），四边形ABCD是“等邻角四边形”，且DAB ABC∠=∠，延长AB、DC交于点P．求证：AD PC BC PD⋅=⋅；（3）探索研究如图（3），Rt ABCAC=，3AD=，点E是BC边上的一个AB=，4∠=︒，8∆中，90BAC动点，当四边形ADEC成为“等邻角四边形”时，求四边形ADEC的面积．10．定义：有一组邻边垂直且对角线相等的四边形称为垂等四边形．（1）写出一个已学的特殊平行四边形中是垂等四边形的是；（2）如图1，在正方形ABCD中，点E，F，G分别在AD，AB，BC上，四边形DEFG 是垂等四边形，且90=．∠=︒，AF CGEFG①求证：EG DG =；②若BC n BG =⋅，求n 的值；（3）如图2，在Rt ABC ∆中，2AC BC =，5AB =，以AB 为对角线，作垂等四边形ACBD ．过点D 作CB 的延长线的垂线，垂足为E ，且ACB ∆与DBE ∆相似，求四边形ACBD 的面积．11．新定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．（1）已知：如图1，四边形ABCD 是“等对角四边形”， A C ∠≠∠，60A ∠=︒，70B ∠=︒，求C ∠，D ∠的度数（2）在探究“等对角四边形”性质时：小红画了一个“等对角四边形” ABCD （如图2)，其中ABC ADC ∠=∠，AB AD =，此时她发现CB CD =成立．请你证明此结论（3）已知：在“等对角四边形ABCD 中，60DAB ∠=︒，90ABC ∠=︒，10AB =，8AD =．求对角线AC 的长．12．定义：长宽比为:1(n n 为正整数）的矩形称为n 矩形．下面，我们通过折叠的方式折出一个2矩形，如图a 所示．操作1：将正方形ABEF沿过点A的直线折叠，使折叠后的点B落在对角线AE上的点G处，折痕为AH．操作2：将FE沿过点G的直线折叠，使点F、点E分别落在边AF，BE上，折痕为CD．则四边形ABCD为2矩形．（1）证明：四边形ABCD为2矩形；（2）点M是边AB上一动点．①如图b，O是对角线AC的中点，若点N在边BC上，OM ON⊥，连接MN．求tan OMN∠的值；②若AM AD=，点N在边BC上，当DMN∆的周长最小时，求CNNB的值；③连接CM，作BR CM⊥，垂足为R．若22AB=，则DR的最小值=．13．定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”．理解：（1）如图1，ABC∆的三个顶点均在正方形网格中的格点上，若四边形ABCD是以AC为“相似对角线”的四边形，请用无刻度的直尺在网格中画出点D（保留画图痕迹，找出3个即可）；（2）①如图2，在四边形ABCD中，80ABC∠=︒，140ADC∠=︒，对角线BD平分ABC∠．请问BD是四边形ABCD的“相似对角线”吗？请说明理由；②若4BD=，求AB BC⋅的值．运用：（3）如图3，已知FH是四边形EFGH的“相似对角线”，30EFH HFG∠=∠=︒．连接EG，若EFG∆的面积为63FH的长．14．新定义：两邻角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．（1）四边形ABDE 是邻余四边形，则下列说法正确的是 （填序号）．①AE ，BD 的延长线的夹角为90︒；②若AB 为邻余线，则AB 是最长边；③若AB 为邻余线，则D ABD ∠>∠．（2）在64⨯的方格纸中，A ，B 在格点上，请在图①，图②中各画出一个符合条件的邻余四边形ABHG ，使AB 不是邻余线，G ，H 在格点上．（3）如图③，四边形ABDE 是邻余四边形，AB 为邻余线，点F 为DE 的中点，连接AF ，BF ，恰有AF ，BF 分别平分EAB ∠，DBA ∠．若8AE BD ⋅=，求DE 的长．15．定义：若一个四边形能被其中一条对角线分割成两个相似三角形，则称这个四边形为“友好四边形”．（1）如图1，在44⨯的正方形网格中，有一个网格Rt ABC ∆和两个网格四边形ABCD 与ABCE ，其中是被AC 分割成的“友好四边形”的是 ；（2）如图2，将ABC ∆绕点C 逆时针旋转得到△A B C ''，点B '落在边AC ，过点A 作//AD A B ''交CA '的延长线于点D ，求证：四边形ABCD 是“友好四边形”； （3）如图3，在ABC ∆中，AB BC ≠，60ABC ∠=︒，ABC ∆的面积为63，点D 是ABC ∠的平分线上一点，连接AD ，CD ．若四边形ABCD 是被BD 分割成的“友好四边形”，求BD 的长．16．已知在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，3BC =．我们定义：“四个顶点都在三角形边上的正方形是三角形的内接正方形”．（1）如图1，四边形CDEF 是ABC ∆的内接正方形，则正方形CDEF 的边长1a 等于 ；（2）如图2，四边形DGHI 是（1）中EDA ∆的内接正方形，那么第2个正方形DGHI 的边长记为2a ；继续在图2中的HGA ∆中按上述方法作第3个内接正方形，依此类推，⋯⋯则第n 个内接正方形的边长n a = ．(n 为正整数）17．有一组对边平行，一个内角是它对角的两倍的四边形叫做倍角梯形．（1）已知四边形ABCD 是倍角梯形，//AD BC ，100A ∠=︒，请直接写出所有满足条件的D ∠的度数；（2）如图1，在四边形ABCD 中，180BAD B ∠+∠=︒，BC AD CD =+．求证：四边形ABCD 是倍角梯形；（3）如图2，在（2）的条件下，连结AC ，当2AB AC AD ===时，求BC 的长．18．我们定义：有两条边相等，一组对角互补的四边形称为“奇妙”四边形，其中相等的这组边称为“奇妙”边．（1）下列选项中一定是“奇妙”四边形的是 ．（填写序号）；①平行四边形 ②矩形 ③菱形 ④正方形（2）如图，在722⨯的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，四边形ABCD 的四个顶点均在格点（小正方形的顶点）上，连接AC ．①图中ACD ∆中CD 边上的高的长为 ．②请判断四边形ABCD 是否为“奇妙”四边形，说明理由；③请用图中的ABC ∆和ADC ∆拼成一个新的图形（两个三角形不重叠），使得该图形为轴对称图形，在网格图中画出两个你所拼后的图形（全等的图形只能算一个），所拼的两个图形分别为 、 （在原图上作图，或在空余网格处作图均可，注明图形顶点字母并表示在横线上）；（3）已知在“奇妙”四边形ABCD 中，其中一条“奇妙”边2AB =，对角线2BD =，60ADC ∠=︒，请直接写出该“奇妙”四边形的周长．19．定义：如果一个四边形存在一条对角线，使得这条对角线是四边形某两边的比例中项，则称这个四边形为“闪亮四边形”，这条对角线称为“亮线”．如图1，四边形ABCD 中，AB AC AD ==，满足2AC AB AD =⋅，四边形ABCD 是闪亮四边形，AC 是亮线．（1）以下说法正确的是 （填写序号）①正方形不可能是闪亮四边形；②矩形中存在闪亮四边形；③若一个菱形是闪亮四边形，则必有一个内角是60︒．（2）如图2，四边形ABCD 中，//AD BC ，90ABC ∠=︒，9AD =，12AB =，20CD =，判断哪一条线段是四边形ABCD 的亮线？请你作出判断并说明理由．（3）如图3，AC 是闪亮四边形ABCD 的唯一亮线，90ABC ∠=︒，60D ∠=︒，4AB =，2BC =，请直接写出线段AD 的长．20．我们给出如下新定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．（1）如图①，请你在图中画出格点M ，使得四边形OAMB 是以OA 、OB 为勾股边且对角线相等的勾股四边形；（2）如图②，将ABC ∆绕顶点B 按顺时针方向旋转60︒，得到DBE ∆，连接AD ，DC ，CE ．若30DCB ∠=︒，则四边形ABCD 是勾股四边形，为什么？。

四边形定义四边形中“新定义”型试题探究浙江省象山县丹城中学王赛英徐敏贤邮编 315700所谓“新定义”型试题，是指在试题中给出一个考生从未接触过的新概念，要求考生现学现用，主要考查考生阅读理解能力、应用新知识能力、逻辑推理能力和创新能力.给“什么”，用“什么”，是“新定义”型试题解题的基本思路.以四边形为背景的几何“新定义”型试题，看似平淡无奇，仔细研读却发现试题韵味无穷，极具探究价值和选拔功能.求解这类试题的关键是：正确理解新定义，并将此定义作为解题的依据，同时熟练掌握相关的基本概念、性质,把握图形的变化规律.解：（1）平行四边形、等腰梯形等.（2）答：与∠A相等的角是∠BOD（或∠COE）.四边形DBCE是等对边四边形.（3）答：此时存在等对边四边形，是四边形DBCE.∠EGC，∴，∴BD=CE，∴四边形DBCE是等对边四边形.( 3 ）若四边形 ABCD 有两个半等角点P1 、P2（如图9 ) ，证明线段P1 P2上任一点也是它的半等角点 .（2）画点B关于AC的对称点B′，延长D B′交AC于点P，点P即为所求的点.（3）连P1A、P1D、P1B、P1C和P2D、P2B，根据题意,∠A P1D=∠A P1B，∠ D P1C=∠B P1C，∴∠A P1B+∠B P1C=1800, ∴P1在AC上，同理，P2也在AC上. 在△D P1 P2和△BP1 P2中评析：此题以顶点相同的四个角满足特殊的数量、位置关系为契机, 创设了一个全新的概念----四边形半等角点.第（1）小题是新定义的直接应用.第（2）小题，语言简洁、精练，看似平淡，实则蕴涵丰富的思维内涵, 突出考查了学生灵活运用基础知识解决问题的能力.通过分析，发现所求作的点在对角线AC上，且∠DPA =∠BPA，但要画出点P仍不容易；继续分析，发现∠DPB关于直线AC对称，点B关于AC的对称点B′在DP上，至此，才峰回路转，柳暗花明.第（3）小题要证明线段P1 P2上任一点也是它的半等角点，需先证A、P1 、P2、B四点在一直线上，再证线段P1 P2上任一点满足条件∠DPA =∠BPA，∠DPC=评析：此题以对角线之间满足相等关系为契机，创设了一个全新的概念----等对角线四边形.第（1）小题考查学生运用新知识的能力及掌握课标规定的双基知识的情况.第（2）小题，语言精练, 构思精巧，涉及的知识点不多，但思维含量及高.着重考查学生观察力、分析能力、逻辑推理能力.好多考生面对此题，犹如“昨夜西风凋碧树，独上高楼，望尽天涯路” .解决此题，可就其特殊情形入手，即当此等对角线四边形为梯形时先研究，不难想到等对角线梯形问题常添辅助线是平移对角线至过角的顶点，从而使特殊情形时问题获证；对于一般情形，则可类比特殊情形的方法，使问题得到解决.例5 （ 2005年资阳市中考数学试题）阅读以下短文，然后解决下列问题：。

八下新定义类问题专练四边形新定义问题1．（2023春•义乌市期末）若一个四边形有一组邻边相等，且这组邻边夹角所对的对角线平分一个内角，则称这样的四边形为“半对称四边形”，这条角平分线称为四边形的“分割对角线”．例如：如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，BD平分∠ABC，则称四边形ABCD是半对称四边形，BD称为四边形ABCD的分割对角线．（1）如图1，求证：BC∥AD．（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AC，AD∥BC，∠CAD＝2∠DBC．求证：四边形ABCD 是半对称四边形．（3）如图3，在△ABC中，∠A＝45°，∠ABC＝120°，，D是△ABC所在平面内一点，当四边形ABCD是半对称四边形且AC为分割对角线时，求四边形ABCD的面积．【分析】（1）利用等腰三角形的性质，角平分线的定义和平行线的判定定理解答即可得出结论；（2）利用“半对称四边形”的定义解答即可；（3）利用分类讨论的思想方法分①当DA＝DC，AC平分∠BAD时，②当DA＝DC，AC平分∠BCD时，画出符合题意的图形，先计算得到△ABC的三边长度和它的面积，再计算△ADC的面积，则S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC．【解答】（1）证明：∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∴∠CBD＝∠ADB，∴BC∥AD；（2）证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∴∠ABC＝∠DAC．∵∠CAD＝2∠DBC，∴∠ABC＝2∠DBC，即BD为∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠DBC．∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∴∠ABD＝∠ADB，∴AB＝AD．这样，在四边形ABCD中，AB＝AD，BD平分∠ABC，∴四边形ABCD是半对称四边形；（3）解：过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E，如图，∵CE⊥AB，∠A＝45°，∠ABC＝120°，∴∠ACE＝45°，∠EBC＝60°，∴AE＝EC，∠ECB＝30°，∴BE＝BC＝，∴EC＝＝＝3，∴AE＝EC＝3，∴AC＝EC＝3．∴AB＝AE﹣BE＝3﹣．∴AB•EC＝3＝．①当DA＝DC，AC平分∠BAD时，如图，由题意：∠DAC＝∠BAC＝45°，∴DA＝DC，∴∠DCA＝∠DAC＝45°，∴∠ADC＝90°，∴△ADC为等腰直角三角形，∴AD＝CD＝AC＝3，∴AD•CD＝，∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC＝+＝9﹣；②当DA＝DC，AC平分∠BCD时，如图，由题意：∠ACD＝∠BCA＝15°，∴DA＝DC，∴∠DCA＝∠DAC＝15°，∴∠ADC＝150°，过点C作CF⊥AD，交AD的延长线于点F，则∠CDF＝30°，∴CF＝CD，∴DF＝CD．设CD＝x，则AD＝x，CF＝x，AF＝AD+DF＝（1+）x，在Rt△ACF中，∵AC2＝AF2+CF2，∴，∴x＝3+3（不合题意，舍去）或x＝3﹣3，∴AD＝3﹣3，CF＝．∴S△ADC＝AD•CF＝，∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC＝﹣+＝﹣6．综上，四边形ABCD的面积为9﹣或﹣6．2．（2022春•德清县期末）定义：有一组邻边相等，并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形．（1）如图1，等腰直角四边形ABCD，AB＝BC，∠ABC＝90°，①若AB＝CD＝1，AB∥CD BD的长．②若AC⊥BD，求证：AD＝CD，（2）如图2，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝9，点P是对角线BD上一点，且BP＝2PD，过点P作直线分别交边AD，BC于点E，F，使四边形ABFE是等腰直角四边形，求AE的长．【分析】（1）①只要证明四边形ABCD是正方形即可解决问题；②只要证明△ABD≌△CBD，即可解决问题；（2）若EF⊥BC，则AE≠EF，BF≠EF，推出四边形ABFE表示等腰直角四边形，不符合条件．若EF与BC不垂直，①当AE＝AB时，如图2中，此时四边形ABFE是等腰直角四边形，②当BF ＝AB时，如图3中，此时四边形ABFE是等腰直角四边形，分别求解即可；【解答】解：（1）①∵AB＝CD＝1，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形，∵∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是正方形，∴BD＝AC＝＝．②如图1中，连接AC、BD．∵AB＝BC，AC⊥BD，∴∠ABD＝∠CBD，∵BD＝BD，∴△ABD≌△CBD，∴AD＝CD．（2）若EF⊥BC，则四边形ABFE是矩形，AE＝BF＝BC＝6，∵AB＝5，∴AE≠AB∴四边形ABFE表示等腰直角四边形，不符合条件．若EF与BC不垂直，①当AE＝AB时，如图2中，此时四边形ABFE是等腰直角四边形，∴AE＝AB＝5．②当BF＝AB时，如图3中，此时四边形ABFE是等腰直角四边形，∴BF＝AB＝5，∵DE∥BF，∴DE：BF＝PD：PB＝1：2，∴DE＝2.5，∴AE＝9﹣2.5＝6.5，综上所述，满足条件的AE的长为5或6.5．3．（2023春•余姚市期末）定义：一个四边形的四条边和两条对角线这六条线段中只有两种长度，我们把这样的四边形叫做双距四边形．（1）下列说法正确的有①③（填序号）．①正方形一定是双距四边形．②矩形一定是双距四边形．③有一个内角为60°的菱形是双距四边形．（2）如图1，在四边形ABCD AD∥BC，AB＝AD，∠ABC＝∠DCB＝72°，求证：四边形ABCD为双距四边形．（3）如图2，四边形ABCD为双距四边形，，BC＝DC，AB＜BC，求BC的长．【分析】（1）由正方形的四条边都相等，两条对角线相等，可知正方形是双距四边形，可判断①正确；因为矩形的两组对边分别相等，两条对角线相等，所以矩形的四条边和两条对角线这六条线段中可能有三种长度，所以矩形不一定是双距四边形，可判断②错误；由菱形的四条边都相等，且有一个内角为60°，可知该菱形中60°角所对的对角线将该菱形分成两个全等的等边三角形，则有一个内角为60°的菱形是双距四边形，可判断③正确，于是得到问题的答案；（2）作DG∥AB交BC于点G，则∠DBC＝∠ABC＝∠DCB＝72°，所以DC＝DG，而四边形ABCD是平行四边形，则AB＝DG，因为AB＝AD，所以AB＝AD＝DC，∠ADB＝∠ABD，而∠ADB＝∠CBD，则∠ADB＝∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝36°，因为∠CDA＝180°﹣∠DCB＝108°，所以∠CDB＝∠CDA﹣∠ADB＝72°＝∠DCB，则BC＝BD，再证明△ABC和≌△DCB，即可证明AC＝BC＝BD，则四边形ABCD是双距四边形；（3）由四边形ABCD为双距四边形，AB＝AD，BC＝DC，AB＜BC，得AC＝BD＝BC＝DC，设AC交BD于点E，AC＝BD＝BC＝2x，因为AC垂直平分BD，所以∠AEB＝∠CEB＝90°，BE＝DE＝BD＝BC＝x，则CE＝＝x，AE＝2x﹣x，由勾股定理得x2+（2x ﹣x）2＝（）2，求得符合题意的x值为，则BC的长是3+．【解答】（1）解：∵正方形的四条边都相等，两条对角线相等，∴正方形的四条边和两条对角线这六条线段中只有两种长度，∴正方形是双距四边形，故①正确；∵矩形的两组对边分别相等，两条对角线相等，∴矩形的四条边和两条对角线这六条线段中可能有三种长度，∴矩形不一定是双距四边形，故②错误；∵菱形的四条边都相等，且有一个内角为60°，∴该菱形中60°角所对的对角线将该菱形分成两个全等的等边三角形，∴该菱形中较短的对角线长与该菱形的边长相等，∴有一个内角为60°的菱形的四条边和两条对角线这六条线段中只有两种长度，∴有一个内角为60°的菱形是双距四边形，故③正确，故答案为：①③．（2）证明：作DG∥AB交BC于点G，∵∠ABC＝∠DCB＝72°，∴∠DBC＝∠ABC＝∠DCB＝72°，∴DC＝DG，∵AD∥BC，DG∥AB，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DG，∴AB＝DC，∵AB＝AD，∴AB＝AD＝DC，∠ADB＝∠ABD，∵∠ADB＝∠CBD，∴∠ADB＝∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝36°，∵∠CDA＝180°﹣∠DCB＝108°，∴∠CDB＝∠CDA﹣∠ADB＝72°＝∠DCB，∴BC＝BD，在△ABC和△DCB中，，∴△ABC≌△DCB（SAS），∴AC＝BD，∴AC＝BC＝BD，∴四边形ABCD是双距四边形．（3）解：∵四边形ABCD AB＝AD，BC＝DC，AB＜BC，∴AC＝BD＝BC＝DC，如图2，设AC交BD于点E，AC＝BD＝BC＝2x，∵点A、点C都在BD的垂直平分线上，∴AC垂直平分BD，∴∠AEB＝∠CEB＝90°，BE＝DE＝BD＝BC＝x，∴CE＝＝＝x，∴AE＝AC﹣CE＝2x﹣x，∵BE2+AE2＝AB2，AB＝，∴x2+（2x﹣x）2＝（）2，整理得x2＝，解得x1＝，x2＝（不符合题意，舍去），∴BC＝2×＝3+，∴BC的长是3+．4．（2023春•西城区期末）在平面直角坐标系xOy中，对于正方形ABCD和它的边上的动点P，作等边△OPP'，且O，P，P′三点按顺时针方向排列，称点P'是点P关于正方形ABCD的“友好点”．已知A（﹣a，a），B（a，a），C（a，﹣a），D（﹣a，﹣a）（其中a＞0）．（1）如图1，若a＝3，AB的中点为M，当点P在正方形的边AB上运动时，①若点P和点P关于正方形ABCD的“友好点”点P′，恰好都在正方形的边AB上，则点P'的坐标为（，3）；点M关于正方形ABCD的“友好点”点M′的坐标为（，）；②若记点P关于正方形ABCD的“友好点”为P′（m，n），直接写出n与m的关系式（不要求写m的取值范围）；（2）如图2，E（﹣1，﹣1），F（2，2）．当点P在正方形ABCD的四条边上运动时，若线段EF上有且只有一个点P关于正方形ABCD的“友好点”，求a的取值范围；（3）当2≤a≤4时，直接写出所有正方形ABCD的所有“友好点”组成图形的面积．【分析】（1）①如图，OP＝OP'＝PP'，Rt△OMP中，OM2+MP2＝OP2，解得MP'＝，得P'（，3）；如图，过点M作MF⊥x轴，垂足为F，则∠OFM＝90°，OM′＝3，OF＝＝，得M'（，）：②如图，直线PM交轴于点G，可证△POM≌△P′OM′，得∠OM′P′＝∠OMP＝90°，∠OGM′＝60°，可知点P′（m，n）在直线M′G上，设直线解析式为y＝kx+b（k≠0），求得k＝﹣，b＝6，于是n＝﹣m+6；（2）由（1）知若A（﹣a，a），则OM′＝OM＝a．求得点G（a，0），可求得直线A′B′解析式y＝﹣x+2a，经过F（2，2），得a＝+1，直线C′D′解析式为y＝﹣x+2a，经过（﹣1，﹣1），得a＝；于是＜a≤+1；（3）如图，分别求得a＝2时，4时，点P′轨迹所在四边形的面积，相减即得所有“友好点”组成图形的面积为48．【解答】（1）（，3）；（，）；′如图，OP＝OP'＝PP'，∴PM＝P′M，OM＝3，∠MOP＝∠MOP′＝30°，∴OP′＝2MP′，∴Rt△OMP中，OM2+MP2＝OP2，∴32+MP′2＝（2MP′）2，解得MP'＝，∴P（，3）；如图，过点M′作M′F⊥x轴，垂足为F，则∠OFM′＝90°，OM′＝3，∴∠M′OF＝90°﹣∠MOM′＝30°，∴M′F＝OM′＝，∴OF＝＝，∴M′（，）；②n＝﹣m+6；如图，直线P′M′交x轴于点G，∵∠POP′＝∠MOM′＝60°，∴∠POP′﹣∠MOP′＝∠MOM′﹣∠MOP′，即∠POM＝∠P′OM′，又∵OP＝OP′，OM＝OM′，∴△POM≌△P′OM′（SAS），∴∠OM′P′＝∠OMP＝90°，∵∠MOG＝90°﹣60°＝30°，∴∠OGM′＝90°﹣∠M′OG＝90°﹣30°＝60°，点P′（m，n）在直线M′G上，设直线解析式为y＝kx+b（k≠0），则，解得，∴n＝﹣m+6；（2）如上图，由（1）知若A（﹣a，a），则OM′＝OM＝a，在Rt△OM′G中，M′G＝OG，∴a2+（OG）2＝OG2，解得OG＝a，即点G（a，0），由（1）知点P在线段AB上时，直线P′M′与x轴相交锐角为60°，可设直线M′G为y＝﹣x+q，代入G（a，0），解得q＝2a，故点P′在直线y＝﹣x+2a上，即A′B′解析式为y＝﹣x+2a，如下图，同理可得，直线C′D′解析式为y＝﹣x﹣2a，经过（﹣1，﹣1），则一1＝﹣5×（﹣1）﹣2a，解得a＝；如下图，直线A′B′的解析式为y＝﹣x+2a，经过F（2，2），则2＝﹣×2+2a，解得a ＝+1．∴＜a≤+1；（3）如图，当a＝2时，点P′轨迹所在四边形A′B′C′D′的面积为（2×2）2＝16，当a＝4时，点P′轨迹所在四边形的面积为（2×4）2＝64，故2≤a≤4时，正方形ABCD的所有“友好点”组成图形的面积为64﹣16＝48．反比例函数新定义问题5．（2022•宜城市一模）背景：点A在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，AB⊥x轴于点B，AC ⊥y轴于点C，分别在射线AC，BO上取点D，E，使得四边形ABED为正方形．如图1，点A 在第一象限内，当AC＝4时，小李测得CD＝3．探究：通过改变点A的位置，小李发现点D，A的横坐标之间存在函数关系．请帮助小李解决下列问题．（1）求k的值．（2）设点A，D的横坐标分别为x，z，将z关于x的函数称为“Z函数”．如图2，小李画出了x＞0时“Z函数”的图象．①求这个“Z函数”的表达式；②补画x＜0时“Z函数”的图象；③并写出这个函数的性质（两条即可）．【分析】（1）由四边形ABED是正方形，得AB＝1，从而得出A（4，1），则k＝4；（2）①由题意，A（x，x﹣z），则x（x﹣z）＝4，即可得出“Z函数”的表达式；②利用描点法画出图象；③根据图象可得出性质．【解答】解：（1）∵AC＝4，CD＝3，∴AD＝AC﹣CD＝1，∵四边形ABED是正方形，∴AB＝1，∵AC⊥y轴，AB⊥x轴，∴∠ACO＝∠COB＝∠OBA＝90°，∴四边形ABOC是矩形，∴OB＝AC＝4，∴A（4，1），∴k＝4；（2）①由题意，A（x，x﹣z），∴x（x﹣z）＝4，∴z＝x﹣，②图象如图所示，③性质1：x＞0时，y随x的增大而增大，性质2：x＜0时，y随x的增大而增大，（答案不唯一）．6．（2022春•嵊州市期末）定义：在平面直角坐标系中，M（x1，y1），N（x2，y2），x1≠x2，y1≠y2，且点M，N在同一象限，过点M，N分别作x轴的垂线，垂足分别为点G，F，若|y1|＞|y2|，则过点M作y轴的垂线，交直线NF于点E，如图1．我们称矩形MEFG为过点M，N的伴随矩形．已知：如图2，点A（1，3），点B是反比例函数图象上的两点．（1）求k的值．（2）若过点A，B的伴随矩形是正方形，求点B的坐标．（3）若过点A，B的伴随矩形的面积是3，求点B的坐标．【分析】（1）将点A的坐标代入反比例函数解析式中，求解即可求出答案；（2）分两种情况：利用伴随矩形是正方形得出|m﹣1|＝3或|﹣1|＝，解方程即可求出答案；（3）分两种情况：过点A，B的伴随矩形的面积是3，得出3•|n﹣1|＝3或•|n﹣1|＝3，解方程即可求出答案．【解答】解：（1）∵点A（1，3）在反比例函数y＝的图象上，∴k＝1×3＝3；（2）由（1）知，k＝3，∴反比例函数的解析式为y＝，设点B（m，）（m＞0），①当＜3，即m＞1时，∵过点A，B的伴随矩形是正方形，∴|1﹣m|＝3，∴m＝﹣2（舍去）或m＝3∴B（4，）；②当＞3，即m＜1时，∵过点A，B的伴随矩形是正方形，∴|m﹣1|＝，∴m＞1或m＝＜0，不符合题意，即点B（4，）；（3）由（1）知，k＝3，∴反比例函数的解析式为y＝，设点B（n，）（n＞0），①当＜3，即n＞1时，∵过点A，B的伴随矩形的面积是3，∴3•|n﹣1|＝3，∴n＝0（舍去）或n＝2，∴B（2，）；②当＞3，即n＜1时，∵过点A，B的伴随矩形的面积是3，∴•|n﹣1|＝3，∴n＝，∴B（，6）；即点B的坐标为（2，）或（，6）．7．（2023春•宁波期末）定义：把能被一条对角线分成两个全等直角三角形的四边形叫做勾股四边形．（1）矩形是勾股四边形（填“是”或“不是”）．（2）如图在直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+1与双曲线相交于A，B两点，点P（﹣3，0）在x轴负半轴上，Q为直角坐标平面上一点．①分别求出A、B两点的坐标．②当四边形APQB是平行四边形时，如图（Ⅰ），请证明▱APQB是勾股四边形．（3）在（2）的条件下，当以A、B、P、Q为顶点的四边形是勾股四边形时，请直接写出Q点的坐标．【分析】（1）证矩形的对角线将矩形分成的两个直角三角形全等即可得出结论；（2）①直线y＝﹣x+1与双曲线联立成方程组，解方程组即可得点A，B的坐标；②利用待定系数法求出直线AP的解析式为y＝3x+9，直线BQ的解析式为y＝3x+11，直线PQ的解析式为y＝﹣x﹣3，解方程组，可得点Q（2，﹣5），然后证△APB为直角三角形，再证△APB和△QBP全等即可得出结论；（3）由∠APB＝90°得：当以A、B、P、Q为顶点的四边形是勾股四边形时，有以下三种情况：（ⅰ）当AB、AP为勾股四边形的边时，即是（2）②，此时可得点Q的坐标；（ⅱ）当AB为勾股四边形的边，AP为对角线时，过点A作PB的平行线与过点P作AB的平行线交于点Q，证△APB和△P AQ可得四边形ABPQ为勾股四边形，连接BQ交AP于点E，先求出点E（﹣2.5，1.5），进而可求出点Q的坐标；（ⅲ）当AP为勾股四边形的边，AB为对角线时，过点A作PB的平行线与过点B作AP的平行线交于点Q，此时四边形APBQ为矩形，由（1）知矩形为勾股四边形，同（ⅱ）得点Q的坐标．【解答】（1）解：矩形是勾股四边形．理由如下：四边形ABCD为矩形，AC为对角线，∵四边形ABCD为矩形，∴AB＝CD，BC＝AD，∠B＝∠C＝90°，在△ABC和△CDA中，，∴△ABC≌△CDA（SAS），∴矩形是勾股四边形．故答案为：是．（2）①解：解方程组，得：，，∴点A（﹣2，3），点B（3，﹣2）；②证明：设直线AP的解析式为：y＝k1x+b1，将点A（﹣2，3），P（﹣3，0）代入y＝k1x+b1，得，解得：，∴直线AP的解析式为：y＝3x+9，∵四边形APQB为平行四边形，∴BQ∥AP，PQ∥AB，AP＝QB，AB＝QP，∴设直线BQ的解析式为：y＝k2x+b2，∵BQ∥AP，∴k2＝3，即直线BQ的解析式为：y＝3x+b2，将点B（3，﹣2）代入y＝3x+b2，得：b2＝﹣11，∴直线BQ的解析式为：y＝3x﹣11，设直线PQ的解析式为：y＝k3x+b3，∵PQ∥AB，∴k3＝﹣1，即直线PQ的解析式为：y＝﹣x+b3，将点P（﹣3，0）代入y＝﹣x+b3，得：b3＝﹣3，∴直线PQ的解析式为：y＝﹣x﹣3，解方程组，解得：，∴点Q（2，﹣5），∵点A（﹣2，3），B（3，﹣2），P（﹣3，0），Q（2，﹣5），∴AB2＝（﹣2﹣3）2+（3+2）2＝50，AP2＝（﹣2+3）2+（3﹣0）2＝10，PB2＝（3+3）2+（﹣2﹣0）2＝40，∴AB2＝AP2+PB2，∴△APB为直角三角形，即∠APB＝90°，∵BQ∥AP，∴∠APB＝∠QBP＝90°，∴△QBP为直角三角形，在△APB和△QBP中，，∴△APB≌△QBP（SSS），∴平行四边形APQB为勾股四边形．（3）解：点Q的坐标为（2，﹣5）或（﹣8，5）或（4，1）或（1，4）．理由如下：由（2）可知：∠APB＝90°，∴当以A、B、P、Q为顶点的四边形是勾股四边形时，有以下四种情况：（ⅰ）当AB、AP为勾股四边形的边时，即是（2）②，此时点Q的坐标为（2，﹣5）；（ⅱ）当AB为勾股四边形的边，AP为对角线时，过点A作PB的平行线与过点P作AB的平行线交于点Q，则四边形ABPQ为平行四边形，∴APB＝∠P AQ＝90°，PB＝AQ，在△APB和△P AQ中，，∴△APB≌△P AQ（SAS），∴四边形ABPQ为勾股四边形，设点Q的坐标为（k，t），连接BQ交AP于点E，则点E既是AP的中点，又是BQ的中点，∵A（﹣2，3），P（﹣3，0），∴点E的横坐标为：，点E的纵坐标为：，即点E（﹣2.5，1.5），又点Q（k，t），B（3，﹣2），∴，，∴k＝﹣8，t＝5，∴点Q的坐标为（﹣8，5）；（ⅲ）当AP为勾股四边形的边，AB为对角线时，过点A作PB的平行线与过点B作AP的平行线交于点Q，则四边形APBQ为平行四边形，又∠APB＝90°，∴四边形APBQ为矩形，由（1）知：矩形为勾股四边形，∴四边形APBQ为勾股四边形，同（ⅱ）可得点Q的坐标为（4，1）．（ⅳ）由（2）可知：∠APB＝90°．作点P关于直线AB的对称点Q，连接PQ交AB于H，如图所示：根据轴对称性可知：△APB≌△AQB，∴四边形APBQ为勾股四边形，设直线PQ的表达式为：y＝mx+n，∵P，Q关于AB对称，∴PQ⊥AB，点H为PQ的中点，∴m＝1，∴直线PQ的表达式为：y＝x+n，将点P（﹣3，0）代入y＝x+n，得n＝3，∴直线PQ的表达式为：y＝x+3，解方程组，得，∴点H的坐标为（﹣1，2），∵点H为PQ的中点，∴点Q的坐标为（1，4）．综上所述：当以A、B、P、Q为顶点的四边形是勾股四边形，Q的坐标为（2，﹣5）或（﹣8，5）或（4，1）或（1，4）．1．（2023春•东阳市期末）对于平面直角坐标系xOy中的不同两点A（x1，y1），B（x2，y2），给出如下定义：若x1x2＝1，y1y2＝1，则称点A，B互为“倒数点”，例如：点，B（2，1）互为“倒数点”．（1）已知点A的坐标为（1，3），则点A的“倒数点”点B的坐标为，；将线段AB向右平移2个单位得到线段A′B′，则线段A′B′上不存在（填“存在”或“不存在”）“倒数点”．（2）如图，在正方形CDEF中，点C坐标为，点D坐标为，请判断该正方形的边上是否存在“倒数点”，并说明理由．【分析】（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意得出x2＝1，，点B的坐标为，由平移的性质得出A′（3，3），，即可得出结论；（2）①若点M（x1，y1）在线段CF上，则，点N（x2，y2）应当满足x2＝2，可知点N 不在正方形边上，不符题意；②若点M（x1，y1）在线段CD上，则，点N（x2，y2）应当满足y2＝2，可知点N不在正方形边上，不符题意；③若点M（x1，y1）在线段EF上，则，点N（x2，y2）应当满足，得出，，此时点，在线段EF上，满足题意．【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），∵x1x2＝1，y1y2＝1，A（1，3），∴x2＝1，，点B的坐标为，将线段AB水平向右平移2个单位得到线段A′B′，则A′（3，3），，∵3×3＝9，，∴线段A′B′上不存在“倒数点”，故答案为：（1，）；不存在；（2）正方形的边上存在“倒数点”M、N，理由如下：①若点M（x1，y1）在线段CF上，则，点N（x2，y2）应当满足x2＝2，可知点N不在正方形边上，不符题意；②若点M（x1，y1）在线段CD则，点N（x2，y2）应当满足y2＝2，可知点N不在正方形边上，不符题意；③若点M（x1，y1）在线段EF上，则，点N（x2，y2）应当满足，∴点N只可能在线段DE上，，，此时点，在线段EF上，满足题意；∴该正方形各边上存在“倒数点”，，，．2．（2023春•鄞州区期末）【新知学习】定义：一组邻边相等，另一组邻边也相等的凸四边形叫做“筝形”．如在凸四边形ABCD中，若AB＝AD，BC＝DC，则四边形ABCD是“筝形”．（1）如图1，在边长为1的正方形网格中，画出“筝形”ABCD，要求点D是格点；【问题探究】（2）如图2，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝12，“筝形”EFGH的顶点E是AB的中点，点F，G，H分别在BC，CD，AD上，且，求对角线EG的长；【拓展思考】（3）如图3，在“筝形”ABCD中，AB＝AD，BC＝DC＝12，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，AE平分∠BEF，EF⊥CD，EF＝8，求“筝形”ABCD的面积．【分析】（1）根据“筝形”的定义找到点D即可；（2）分两种情况讨论：当EF＝EH，GH＝GF时，分别利用HL证得Rt△AEH和Rt△BEF全等，Rt△DGH和Rt△CGF全等，得出点G是CD的中点，从而得出EG＝AD，即可求出EG的长；当FE＝FG，HE＝HG时，利用勾股定理求出BF的长，再利用勾股定理求出CG的长，最后利用勾股定理求出EG的长即可；（3）过点A作AH⊥EF于点H，根据角平分线的性质得出AB＝AH，结合已知条件证出四边形AHFD是正方形，设AD＝DF＝FH＝AH＝x，用x表示CF、CE的长，利用勾股定理列出关于x 的方程，求出x的值，然后根据图形面积之间的关系计算即可．【解答】解：（1）如图1，点D是所求作的点，由勾股定理得，，，由图可得AB＝5，∴AB＝AD，CD＝CB，∴四边形ABCD是“筝形”；（2）如图2﹣1，EF＝EH，GH＝GF，∵E是AB的中点，AB＝10，∴AE＝BE，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AD＝BC，在Rt△AEH和Rt△BEF中，，∴Rt△AEH≌Rt△BEF（HL），∴AH＝BF，∴AD﹣AH＝BC﹣BF，即DH＝CF，在Rt△DGH和Rt△CGF中，，∴Rt△DGH≌Rt△CGF（HL），∴DG＝CG，∴EG＝AD＝12；如图2﹣2，FE＝FG，HE＝HG，过点G作GM⊥AB于点M，∴∠GME＝∠GMB＝∠B＝∠C＝90°，∴四边形BMGC是矩形，∴BM＝CG，∵点E是AB的中点，AB＝10，∴AE＝BE＝5，GM＝BC＝12，在Rt△BEF中，BE＝5，，由勾股定理得，∵BC＝12，∴CF＝BC﹣BF＝12﹣5＝7，在Rt△CFG中，CF＝7，，由勾股定理得，∴BM＝1，∴ME＝BE﹣BM＝5﹣1＝4，在Rt△GME中，GM＝12，ME＝4，由勾股定理得；综上，EG的长是12或；（3）如图3，过点A作AH⊥EF于点H，∵AE平分∠BEF，∠B＝90°，AH⊥EF，∴AB＝AH，∵AB＝AD，∴AH＝AD，∵AH⊥EF，∠D＝90°，EF⊥CD，∴∠AHF＝∠EFD＝∠D＝90°，∴四边形AHFD是矩形，又AH＝AD，∴四边形AHFD是正方形，∴AD＝DF＝FH＝AH，设AD＝DF＝FH＝AH＝x，则CF＝CD﹣DF＝12﹣x，EH＝EF﹣FH＝8﹣x，在Rt△ABE和Rt△AHE中，，∴Rt△ABE≌Rt△AHE（HL），∴BE＝EH，∴BE＝8﹣x，∴CE＝CB﹣BE＝12﹣（8﹣x）＝x+4，在Rt△EFC中，由勾股定理得CE2＝EF2+CF2，∴（x+4）2＝82+（12﹣x）2，解得x＝6，∴AD＝AB＝DF＝AH＝6，BE＝2，CF＝6，∴S筝形ABCD＝S△ABE+S△AEF+S△ADF+S△EFC＝＝＝6+24+18+24＝72．3．（2022春•南浔区期末）定义：我们把一组对边平行另一组对边相等且不平行的四边形叫做等腰梯形．【性质初探】如图1，已知，▱ABCD，∠B＝80°，点E是边AD上一点，连结CE，四边形ABCE 恰为等腰梯形．求∠BCE的度数；【性质再探】如图2，已知四边形ABCD是矩形，以BC为一边作等腰梯形BCEF，BF＝CE，连结BE、CF．求证：BE＝CF；【拓展应用】如图3，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，AB＝2，∠ABC＝45°，过点O作AC的垂线交BC的延长线于点G，连结DG．若∠CDG＝90°，求BC的长．【分析】【性质初探】过点A作AG⊥BC交于G，过点E作EH⊥BC交于H，证明Rt△ABG≌Rt △ECG（HL），即可求解；【性质再探】证明△BFC≌△CEB（SAS），即可求解；【拓展应用】连接AC，过G点作GM⊥AD交延长线于点M，分别证明△ACG是等腰三角形，△CDG是等腰直角三角形，△DGM是等腰直角三角形，从而可求AG＝2，GM＝DM，在Rt△AGM中，用勾股定理求出AD的长即为所求BC的长．【解答】【性质初探】解：过点A作AG⊥BC交于G，过点E作EH⊥BC交于H，∵▱ABCD，∴AE∥BC，∴AG＝EH，∵四边形ABCE恰为等腰梯形，∵AB＝EC，∴Rt△ABG≌Rt△ECG（HL），∴∠B＝∠ECH，∵∠B＝80°，∴∠BCE＝80°；【性质再探】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AE∥BC，∵四边形BCEF是等腰梯形，∴BF＝CE，由（1）可知，∠FBC＝∠ECB，∴△BFC≌△CEB（SAS），∴BE＝CF；【拓展应用】解：连接AC，过G点作GM⊥AD交延长线于点M，∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点，∵GO⊥AC，∴AC＝CG，∵AB∥CD，∠ABC＝45°，∴∠DCG＝45°，∴∠CDG＝90°，∴CD＝DG，∴BA＝DG＝2，∵∠CDG＝90°，∴CG＝2，∴AG＝2，∵∠ADC＝∠DCG＝45°，∴∠CDM＝135°，∴∠GDM＝45°，∴GM＝DM＝，在Rt△AGM中，（2）2＝（AD+）2+（）2，∴AD＝﹣，∴BC＝﹣．4．（2023春•东阳市期末）定义：在平面直角坐标系中，过点P，Q分别作x轴，y轴的垂线所围成的矩形，叫做P，Q的“关联矩形”，如图所示．（1）已知点A（﹣2，0）①若点B的坐标为（3，2），则点A，B的“关联矩形”的周长为14．②若点C在直线y＝4上，且点A，C的“关联矩形”为正方形，求直线AC的解析式．（2）已知点M（1，﹣2），点N（4，3），若使函数的图象与点M、N的“关联矩形”有公共点，求k的取值范围．【分析】（1）①画出点A，B的“关联矩形”，确定长和宽，最后确定周长；②画出点A，C的“关联矩形”为正方形的图形，点C有两个位置，分别求直线AC的解析式；（2）画出点M、N的“关联矩形”，若使函数的图象与点M、N的“关联矩形”有公共点，观察函数中k的变化，找到k的临界值，即函数的图象过点N（4，3、（4，﹣2）时，进而求出k的取值范围．【解答】解：（1）①点A，B的“关联矩形”的长为3﹣（﹣2）＝5，宽为2﹣0＝2，∴周长为（5+2）×2＝14．故答案为：14．②点A，C的“关联矩形”为正方形时点C有两个，C1（2，4），C2（﹣6，4），如图所示：设直线AC1的解析式为y＝k1x+b1，则，∴，∴直线AC1的解析式为y＝x+2；设直线AC2的解析式为y＝k2x+b2，则，∴，∴直线AC2的解析式为y＝﹣x﹣2；∴直线AC的解析式为y＝x+2或y＝﹣x﹣2．（2）如图所示：当k＞0时，若函数的图象过点N（4，3），则k＝12，所以0＜k≤12；当k＜0时，若函数的图象过点（4，﹣2），则k＝﹣8，所以﹣8≤k＜0；∴若使函数的图象与点M、N的“关联矩形”有公共点，k的取值范围为﹣8≤k＜0或0＜k≤12．5．（2023春•宁波期末）我们定义：以已知菱形的对角线为边且有一条边与已知菱形的一条边共线的新菱形称为已知菱形的伴随菱形．如图1，在菱形ABCD中，连接AC，在AD的延长线上取点E使得AC＝AE，以CA、AE为边作菱形CAEF，我们称菱形CAEF是菱形ABCD的“伴随菱形”．（1）如图2，在菱形ABCD中，连接AC，在BC的延长线上作CA＝CF，作∠ACF的平分线CE 交AD的延长线于点E，连接FE，求证：四边形AEFC为菱形ABCD的“伴随菱形”．（2）①如图3，菱形AEFC为菱形ABCD的“伴随菱形”，过C作CH垂直AE于点H，对角线AC、BD相交于点O，连接EO若，试判断ED与BD的数量关系并加以证明．②在①的条件下请直接写出的值．【分析】（1）可推出∠FCE＝∠AEC，∠FCE＝∠ACE，从而∠ACE＝∠AEC，从而得出AC＝AE，进而得出CF＝AE，进一步得出结论；（2）①作OT⊥AE于T，可证得△AOT∽△ACH，从而，于是不妨设OT＝1，则CH＝2，OE＝CH＝2，ET＝＝，设AT＝x，则AC＝AE＝x+，AO＝，在Rt△AOT中列出x2+1＝（）2，从而求得AT＝，OA＝，由tan∠OAT＝tan∠DOT得出，从而求得DT＝，从而得出ED＝ET﹣DT＝＝，由S△AOD＝得OD＝，进一步得出结论；②由①可得出结果．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴BC∥AE，∴∠FCE＝∠AEC，∵CE平分∠ACF，∴∠FCE＝∠ACE，∴∠ACE＝∠AEC，∴AC＝AE，∵AC＝CF，∴CF＝AE，∴四边形AEFC是平行四边形，∴▱AEFC是菱形，∴菱形AEFC为菱形ABCD的“伴随菱形”；（2）解：①如图，ED＝BD，理由如下：作OT⊥AE于T，∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝AC，BD⊥AC，∵CH⊥AE，∴OT∥CH，∴△AOT∽△ACH，∴，不妨设OT＝1，则CH＝2，OE＝CH＝2，∴ET＝＝，设AT＝x，则AC＝AE＝x+，∴AO＝，在Rt△AOTx2+1＝（）2，∴x1＝，x2＝（舍去），∴AT＝，OA＝，∵∠AOD＝90°，∴∠AOT+∠DOT＝90°，∵∠ATO＝90°，∴∠AOT+∠OAT＝90°，∴∠OAT＝∠DOT，∴tan∠OAT＝tan∠DOT，∴，∴，∴DT＝，∴ED＝ET﹣DT＝＝，AD＝DT+AT＝＝，由S△AOD＝得，∴，∴OD＝，∴BD＝2OD＝，∴ED＝BD；②由①知：CH＝2，ED＝，∴＝．。

浙江省宁波市中考数学高频题型（四）与新定义结合的四边形综合问题【中考真题】1.（2017·浙江宁波·26）有两个内角分别是它们对角的一半的四边形叫做半对角四边形．(1)如图1，在半对角四边形ABCD中，∠B＝∠D，∠C＝∠A，求∠B与∠C的度数之和；(2)如图2，锐角∠ABC内接于∠O，若边AB上存在一点D，使得BD＝BO．∠OBA的平分线交OA于点E，连结DE并延长交AC于点F，∠AFE＝2∠EAF．求证：四边形DBCF 是半对角四边形；(3)如图3，在（2）的条件下，过点D作DG∠OB于点H，交BC于点G．当DH＝BG时，求∠BGH与∠ABC的面积之比．【答案】（1）解：在半对角四边形ABCD中，∠B=∠D，∠C=∠A.∠∠A+∠B+∠C+∠D=360°，∠3∠B+3∠C=360°.∠∠B+∠C=120°.即∠B与∠C的度数之和120°.（2）证明：在∠BED和∠BEO中，.∠∠BED∠∠BEO（SAS）.∠∠BDE=∠BOE.又∠∠BCF=∠BOE.∠∠BCF=∠BDE.如下图，连结OC.设∠EAF=.则∠AFE=2∠EAF=2.∠∠EFC=180°-∠AFE=180°-2.∠OA=OC,∠∠OAC=∠OCA=.∠∠AOC=180°-∠OAC-∠OCA=180°-2.∠∠ABC=∠AOC=∠EFC.∠四边形DBCF是半对角四边形.（3）解：如下图，作过点OM∠BC于点M.∠四边形DBCF是半对角四边形，∠∠ABC+∠ACB=120°.∠∠BAC=60°.∠∠BOC=2∠BAC=120°.∠OB=OC∠∠OBC=∠OCB=30°.∠BC=2BM=BO=BD.∠DG∠OB,∠∠HGB=∠BAC=60°.∠∠DBG=∠CBA,∠∠DBG∠CBA.∠=2=.∠DH=BG,BG=2HG.∠DG=3HG.∠=∠=.2.（2019·浙江宁波·26）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线.（1）如图1，在∠ABC中，AB=AC,AD是∠ABC的角平分线，E,F分别是BD,AD上的点，求证：四边形ABEF是邻余四边形.（2）如图2，在5×4的方格纸中，A,B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF，使得AB是邻余线，E,F在格点上.（3）如图3，在（1）的条件下，取EF中点M，连接DM并延长交AB于点Q，延长EF 交AC于点N，若N为AC的中点，DE=2BE,QB=3，求邻余线AB的长.解答：（1）∠AB=AC，AD是∠ABC的角平分线，∠AD∠BC，∠∠ADB=90°，∠∠DAB+∠DBA=90°，∠FAB与∠EBA互余，∠四边形ABEF是邻余四边形；（2）如图所示（答案不唯一），四边形AFEB为所求；（3）QB∵，∠53=NC=AC=CN∵102=∴ACAB=10=【解题指导】四边形与新定义结合的综合题常常位于压轴题位置，难度较大，第（1）和第（2）小问通常建立在所学知识的背景下，结合给定的新定义可得出，第（3）问综合性较强，要求学生能够结合实际情境，经历建立模型、解决问题的过程，不仅仅掌握所学知识，更要求具有将各知识点关联起来，进一步理解有关知识，加以迁移与应用的能力。

专题训练:15年四边形汇编及新定义四边形1.（15安徽)在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C，点E在边AB上，∠AED＝60°，则一定有.A．∠ADE＝20° B．∠ADE＝30° C．∠ADE＝ 12∠ADC D．∠ADE＝13∠ADC2.（2015梅州）下列命题正确的是.A．对角线互相垂直的四边形是菱形B．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形3.（15年衡阳）下列命题是真命题的是（）．A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．对角线相等的四边形是矩形C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形4.下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是A．等边三角形 B．平行四边形 C．矩形 D．圆5.（呼和浩特）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是A． B. C. D.6.（湖北滨州）顺次连接矩形ABCD各边的中点，所得四边形必定是A.邻边不等的平行四边形B.矩形C.正方形D.菱形7.（湖北孝感）已知一个正多边形的每个外角等于60，则这个正多边形是A．正五边形 B．正六边形 C．正七边形 D．正八边形8．（江西）如图，小贤为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，B与D两点之间用一根橡皮筋．．．拉直固定，然后向右扭动框架，观察所得四边形的变化．下面判断错误．．的是( )A．四边形ABCD由矩形变为平行四边形B．BD的长度增大C．四边形ABCD的面积不变 D．四边形ABCD的周长不变9.（呼和浩特）.如图，有一块矩形纸片ABCD，AB=8，AD=6，将纸片折叠，使得AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED沿DE向右翻折，AE与BC的交点为F，则△CEF的面积为A.12B.98C. 2D. 48题B CA E BCFDGH10题9题10.（2015安徽）如图，矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝4．点E 在边AB 上，点F 在边CD 上，点G 、H 在对角线AC 上．若四边形EGFH 是菱形，则AE 的长是. A ．2 5 B ．3 5 C ．5 D ．611. 如图，菱形ABCD 中，AB=4，∠B=60°，AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，垂足分别为E ，F ，连结EF ，则△AEF 的面积是A. 34B. 33C. 32D. 312.（湖北襄阳）如图，矩形纸片ABCD 中，AB ＝4，BC ＝8，将纸片沿EF 折叠，使点C 与点A 重合，则下列结论错误的是.A ．AF ＝AEB ．△ABE ≌△AGFC ．EF ＝2 5D ．AF ＝EF 13.（2015•益阳）如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，以下说法错误的是. A ． ∠ABC=90° B ． AC=BD C ． OA=OB D ． OA=AD14.（2015广东）如图，菱形ABCD 的边长为6，∠ABC=60°，则对角线AC 的长是______. 15.如图，在ABCD 中，BE 平分∠ABC ，BC = 6，DE = 2 ，则 ABCD 周长等于 .16.（2015•益阳）如图是用长度相等的小棒按一定规律摆成 的一组图案，第1个图案中有6根小棒，第2个图案中有11根小棒，…，则第n 个图案中有 根小棒．17.（无锡）如图，已知矩形ABCD 的对角线长为8cm ，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，则四边形EFGH 的周长等于 cm ．18.如图，正方形ABCD 中，AB=6，点E 在边CD 上，且CD=3DE ．将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，延长EF 交边BC 于点G ，连接AG 、CF ． （1）证明△ABG ≌△AFG ； （2）求BG 的长；（3）求△FGC 的面积．11题GFEDCBA12题13题 14题15题 16题A B C DE FG H 17题18题19.如图1示，将一边长为2的正方形ABCD和一个长为2、宽为1的长方形CEFD拼在一起，构成一个大的长方形ABEF．现将小长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE′F′D′，旋转角为α．（1）当点D′恰好落在EF边上时，求旋转角α的值；（2）如图2，G为BC中点，且0°＜α＜90°，求证：GD′=E′D；（3）小长方形CEFD绕点C顺时针旋转一周的过程中，△DCD′与△CBD′能否全等？若能，直接写出旋转角α的值；若不能说明理由．20.四边形一条对角线所在直线上的点，如果到这条对角线的两端点的距离不相等，但到另一对角线的两个端点的距离相等，则称这点为这个四边形的准等距点．如图，点P为四边形ABCD对角线AC所在直线上的一点，PD=PB，PA≠PC，则点P为四边形ABCD的准等距点．（1）如图2，画出菱形ABCD的一个准等距点．（2）如图3，作出四边形ABCD的一个准等距点（尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）．（3）如图4，在四边形ABCD中，P是AC上的点，PA≠PC，延长BP交CD于点E，延长DP 交BC于点F，且∠CDF=∠CBE，CE=CF．求证：点P是四边形ABCD的准等距点．21.给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．（1）在你学过的特殊四边形中，写出两种勾股四边形的名称：____________和___________；（2）如图1，已知格点（小正方形的顶点）O（0，0），A（3，0），B（0，4）．请画出以格点为顶点，OA，OB为勾股边，且对角线相等的勾股四边形OAMB；（3）如图2，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°，得到△DBE，连接AD，DC，已知∠DCB=30°．求证：四边形ABCD是勾股四边形．22.对某一种四边形给出如下定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．（1）已知：如图1，四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A≠∠C，∠A=70°，∠B=80°．则∠C=_______度，∠D=______度．（2）在探究“等对角四边形”性质时：小红画了一个“等对角四边形ABCD”（如图2），其中∠ABC=∠ADC，AB=AD，此时她发现CB=CD成立．请你证明此结论；（3）已知：在“等对角四边形ABCD”中，∠DAB=60°，∠ABC=90°，AB=5，AD=4．求对角线AC的长．。

如何解答新定义题教学目标1.通过本节课的学习，使学生掌握解答新定义题的方法和过程。

2.通过本节课的学习，使学生掌握如何将新定义题的知识点转化为学生已经掌握的知识内容，从而去解答题目。

教学过程1．若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，我们把这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形．如菱形就是和谐四边形．（1）如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=120°，∠C=75°，BD平分∠ABC．求证：BD是梯形ABCD的和谐线；（2）如图2，在12×16的网格图上（每个小正方形的边长为1）有一个扇形BAC，点A．B．C均在格点上，请在答题卷给出的两个网格图上各找一个点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形的两条对角线都是和谐线，并画出相应的和谐四边形；（3）四边形ABCD中，AB=AD=BC，∠BAD=90°，AC是四边形ABCD的和谐线，求∠BCD的度数．【考点】四边形综合题．【专题】压轴题．【分析】（1）要证明BD是四边形ABCD的和谐线，只需要证明△ABD和△BDC 是等腰三角形就可以；（2）根据扇形的性质弧上的点到顶点的距离相等，只要D在中点时构成的四边形ABDC就是和谐四边形；连接BC，在△BAC外作一个以AC为腰的等腰三角形ACD，构成的四边形ABCD就是和谐四边形，（3）由AC是四边形ABCD的和谐线，可以得出△ACD是等腰三角形，从图4，图5，图6三种情况运用等边三角形的性质，正方形的性质和30°的直角三角形性质就可以求出∠BCD的度数．【解答】解：（1）∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD=180°，∠ADB=∠DBC．∵∠BAD=120°，∴∠ABC=60°．∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC=30°，∴∠ABD=∠ADB，∴△ADB是等腰三角形．在△BCD中，∠C=75°，∠DBC=30°，∴∠BDC=∠C=75°，∴△BCD为等腰三角形，∴BD是梯形ABCD的和谐线；（2）由题意作图为：图2，图3（3）∵AC是四边形ABCD的和谐线，∴△ACD是等腰三角形．∵AB=AD=BC，如图4，当AD=AC时，∴AB=AC=BC，∠ACD=∠ADC∴△ABC是正三角形，∴∠BAC=∠BCA=60°．∵∠BAD=90°，∴∠CAD=30°，∴∠ACD=∠ADC=75°，∴∠BCD=60°+75°=135°．如图5，当AD=CD时，∴AB=AD=BC=CD．∵∠BAD=90°，∴四边形ABCD是正方形，∴∠BCD=90°如图6，当AC=CD时，过点C作CE⊥AD于E，过点B作BF⊥CE于F，∵AC=CD．CE⊥AD，∴AE=AD，∠ACE=∠DCE．∵∠BAD=∠AEF=∠BFE=90°，∴四边形ABFE是矩形．∴BF=AE．∵AB=AD=BC，∴BF=BC，∴∠BCF=30°．∵AB=BC，∴∠ACB=∠BAC．∵AB∥CE，∴∠BAC=∠ACE，∴∠ACB=∠ACE=∠BCF=15°，∴∠BCD=15°×3=45°．2．在平面直角坐标系中，点Q为坐标系上任意一点，某图形上的所有点在∠Q的内部（含角的边），这时我们把∠Q的最小角叫做该图形的视角．如图1，矩形ABCD，作射线OA，OB，则称∠AOB为矩形ABCD的视角．（1）如图1，矩形ABCD，A（﹣3，1），B（3，1），C（3，3），D（﹣3，3），直接写出视角∠AOB的度数；（2）在（1）的条件下，在射线CB上有一点Q，使得矩形ABCD的视角∠AQB=60°，求点Q的坐标；（3）如图2，⊙P的半径为1，点P（1，3），点Q在x轴上，且⊙P的视角∠EQF的度数大于60°，若Q（a，0），求a的取值范围．解;（1）120°； (1)（2）连结AC，在射线CB上截取CQ=CA，连结AQ． (2)∵AB=23，BC=2，∴AC=4． (3)∴∠ACQ=60°．∴△ACQ为等边三角形，即∠AQC=60°． (4)∵CQ=AC=4，∴Q（3，﹣1）． (5)（3）如图1，当点Q 与点O 重合时，∠EQF=60°，∴Q （0，0）． (6)如图2，当FQ ⊥x 轴时，∠EQF=60°，∴Q （2，0）． ················································ 7 ∴a 的取值范围是0＜a ＜2．3．在平面直角坐标系中，⊙C 的半径为r ，P 是与圆心C不重合的点，点P 关于⊙C 的限距点的定义如下：若为直线PC 与⊙C 的一个交点，满足，则称为点P 关于⊙C 的限距点，右图为点P 及其关于⊙C 的限距点的示意图．（1）当⊙O 的半径为1时．①分别判断点M ，N ，T 关于⊙O 的限距点是否存在？若存在，求其坐标；②点D 的坐标为（2,0），DE ，DF 分别切⊙O 于点E ，点F ，点P 在△DEF 的边上.若点P 关于⊙O 的限距点存在，求点的横坐标的取值范围；（2）保持（1）中D ，E ，F 三点不变，点P 在△DEF 的边上沿E →F →D →E 的方向运动，⊙C 的圆心C 的坐标为（1,0），半径为r .请从下面两个问题中任选一个作答温馨提示：答对问题1得2分，答对问题2得1分，两题均答不重复计分.xOy P '2r PP r '≤≤P 'P '(3,4)5(,0)2P 'P '29．解：（1）①点M ，点T 关于⊙的限距点不存在；点N 关于⊙的限距点存在，坐标为（1，0）．………………………2分②∵点D 的坐标为(2，0)，⊙半径为1，DE ，DF 分别切⊙于点E ，点F ，∴切点坐标为1(2，1(2，.……………3分 如图所示，不妨设点E 的坐标为1(2，点F 的坐标为1(2，，EO ，FO 的延长线分别交⊙于点'E ，'F ，则1'(2E -，，1'(2F -． 设点关于⊙的限距点的横坐标为．Ⅰ.当点在线段上时，直线PO 与的交点'P 满足2'1≤≤PP ，故点关于⊙的限距点存在，其横坐标满足.………5分 Ⅱ.当点在线段，（不包括端点）上时，直线PO 与⊙O 的交点'P 满足1'0<<PP 或2'3PP <<，故点P 关于⊙的限距点不存在．Ⅲ.当点与点重合时，直线PO 与⊙O 的交点'(1,0)P 满足1'=PP ，故点P 关于⊙的限距点存在，其横坐标=1．综上所述，点关于⊙的限距点的横坐标的范围为或=1． ……………………6分 （2）问题1： ． ………………8分 O O O O PO x P EF ''E F P O x 112x -≤≤-P DE DF O P D O x P O x 112x -≤≤-x 9问题2：0 < r < 16．………………7分反思:解答新定义题时，首先要理解新定义概念及其内涵外延，并转化为已经学过的知识去解答数学问题。