高一数学必修一函数的奇偶性.

高一必修一数学奇偶性知识点在高一必修一的数学学习中，奇偶性是一个非常重要的知识点。

奇偶性在数学中具有广泛的应用，不仅在解方程、证明等数学题目中有用，还在实际生活中有很多应用。

下面我们将详细介绍高一必修一数学中与奇偶性相关的知识点。

一、整数的奇偶性整数的奇偶性是指整数的性质，可以判断一个数是奇数还是偶数。

整数的奇偶性是通过整除2来确定的。

当一个整数除以2的余数为0时，它是一个偶数；当余数为1时，它是一个奇数。

二、四则运算中的奇偶性在四则运算中，奇数与奇数相加、相乘，结果仍为奇数；偶数与偶数相加、相乘，结果也是偶数。

而奇数与偶数相加、相乘，结果则是偶数。

三、幂的奇偶性在幂的运算中，奇数的任意次幂都是奇数，而偶数的任意次幂都是偶数。

四、多项式的奇偶性对于多项式来说，奇次幂项的系数的奇偶性与整体多项式的奇偶性相同；偶次幂项的系数的奇偶性与整体多项式的奇偶性相反。

五、函数的奇偶性在函数的奇偶性中，如果对于任意的x，函数f(-x) = f(x)，则称函数是偶函数；如果对于任意的x，函数f(-x) = -f(x)，则称函数是奇函数。

六、图形的奇偶性在几何图形中，奇函数的图形关于坐标原点对称，偶函数的图形关于y轴对称。

七、应用举例1. 在解一元二次方程时，可以根据方程中各项的系数的奇偶性，来判断方程的根的奇偶性，从而简化解题过程。

2. 在证明数学命题时，奇偶性也经常被用到。

通过分析题目中给出的条件和结论的奇偶性，可以选择合适的方法进行证明。

3. 在计算机科学中，奇偶性也常常被用于数据校验，如奇偶校验位、CRC校验等。

综上所述，高一必修一数学中的奇偶性知识点涉及整数、四则运算、幂、多项式、函数和图形等方面。

掌握奇偶性的规律和应用，可以帮助我们更好地理解和解决数学问题，提高数学思维能力和解题能力。

因此，我们要认真学习和掌握这一知识点，为接下来的学习打下良好的基础。

人教版高一数学必修一知识点梳理(实用版)编制人：______审核人：______审批人：______编制单位：______编制时间：__年__月__日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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高一数学必修一函数专题：奇偶性第一部分：常见的奇函数和偶函数常见奇函数：第一种：nx x f =)(（n 为奇数）例：x x f =)(；x x x f 1)(1==-；3)(x x f =；331)(xx x f ==-。

第二种：n x x f =)(（n 为奇数）例：331)(x x x f ==；515)(x x x f ==。

第三种：)sin()(x A x f ϖ=例：)2sin()(x x f =；)sin()(x x f --=；x x f sin 21)(=。

第四种：)tan()(x A x f ϖ=例：x x f tan )(=；)21tan(2)(x x f --=；x x f tan 3)(=。

常见偶函数：第一种：n x x f =)(（n 为偶数）例：2)(x x f =；221)(x x x f ==-；4)(x x f =；441)(x x x f ==-。

第二种：c x f =)(（c 为常数）例：2)(=x f ；21)(-=x f 。

第三种：)cos()(x A x f ϖ=例：)cos(3)(x x f -=；)2cos(21)(x x f =；)cos()(x x f -=。

第四种：|)(|)(x g x f =（)(x g 为奇函数或者偶函数）例：|)sin(2|)(x x f -=；||)(4x x f =；|tan |)(x x f =；|)21cos(|)(x x f -=。

两种特殊的奇偶函数：第一种：)()()()(x f x g x g x f ⇒-+=是偶函数例：x x e e x f -+=)(，假设：)()()()()()(x f x g x g x f e x g e x g x x ⇒-+=⇒=-⇒=-是偶函数。

第二种：)()()()(x f x g x g x f ⇒--=是奇函数例：x x x f 313)(-=，假设：)()()()(313)(3)(x f x g x g x f x g x g xx x ⇒--=⇒==-⇒=-是奇函数。

数学·必修1(人教A版)1.3.3函数的奇偶性►基础达标1．已知f(x)是定义在R上的奇函数，则f(0)的值为() A．－1B．0C．1D．无法确定解析：∵f(x)为R上的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(0)＝－f(0)，∴f(0)＝0.答案：B2．已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2＋1x，则f(－1)＝()A．－2 B．0 C．1 D．2答案：A3．如果偶函数在区间[a，b]上有最大值，那么该函数在区间[－b，－a]上()A．有最大值B．有最小值C．没有最大值D．没有最小值解析：∵偶函数图象关于y轴对称，由偶函数在区间[a，b]上具有最大值，∴在区间[－b，－a]上有最大值．答案：A4．已知f(x)＝ax3＋bx＋5，其中a，b为常数，若f(－7)＝－7，则f(7)＝()A．7 B．－7 C．12 D．17解析：∵f(－7)＝－7，∴a(－7)3＋b(－7)＋5＝－7，∴73a＋7b＝12.∴f(7)＝73a＋7b＋5＝12＋5＝17.答案：D5．若函数f(x)＝(k－2)x2＋(k－1)x＋3是偶函数，则f(x)的递减区间是________．解析：∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∴k－1＝0，∴k＝1，∴f(x)＝－x2＋3的递减区间为[0，＋∞)．答案：[0，＋∞)►巩固提高6．设f(x)是R上的任意函数，则下列叙述正确的是()A．f(x)f(－x)是奇函数B．f(x)|f(－x)|是奇函数C ．f (x )－f (－x )是偶函数D ．f (x )＋f (－x )是偶函数解析：取f (x )＝x ，则f (x )f (－x )＝－x 2是偶函数，A 错，f (x )|f (－x )|＝x 2是偶函数，B 错；f (x )－f (－x )＝2x 是奇函数，C 错．故选D.答案：D7．已知定义在R 上的偶函数f (x )的单调递减区间为[0，＋∞)，则使f (x )＜f (2)成立的自变量取值范围是( )A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(－2,2)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)解析：∵f (x )是偶函数且在[0，＋∞)为减区间，示意图如下：由图示可知：f (x )＜f (2)成立的自变量的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)．答案：D8．设函数f (x )满足：①函数在(－∞，－1)上递减；②函数具有奇偶性；③函数有最小值．则f (x )可以是：____________答案：f (x )＝x 2(答案不唯一)9．已知函数f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝x －x 2.求当x ∈(－∞，＋∞)时，f (x )的表达式．解析：当x ∈(0，＋∞)时，－x ∈(－∞，0)，因为x ∈(－∞，0)时，f (x )＝x －x 2，所以f (－x )＝(－x )－(－x )2，因为f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，所以f (x )＝x ＋x 2.综上，x ∈(－∞，＋∞)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋x 2(x ＞0)，0(x ＝0)，x －x 2(x ＜0).10．已知函数f (x )＝－x 3＋3x .求证：(1)函数f(x)是奇函数；证明：显然f(x)的定义域是R.设任意x∈R，∵f(－x)＝－(－x)3＋3(－x)＝－(－x3＋3x)＝－f(x)，∴函数f(x)是奇函数．(2)函数f(x)在区间(－1,1)上是增函数．证明：在区间(－1,1)上任取x1，x2，且x1＜x2.f(x2)－f(x1)＝－(x2－x1)(x22＋x2x1＋x21)＋3(x2－x1)＝(x2－x1)(3－x22－x2x1－x21)．因为－1＜x1＜x2＜1，所以(x2－x1)＞0，(3－x22－x2x1－x21)＞0，所以f(x2)＞f(x1)．所以函数f(x)＝－x3＋3x在区间(－1,1)上是增函数．。

函数的奇偶性 题型归纳题型一、函数奇偶性的概念➢ 函数奇偶性的定义：设函数D x x f y ∈=，)(，（D 为关于原点对称的区间）：①如果对于任意的D x ∈,都有)()(x f x f -=，则称)(x f y =为偶函数；②如果对于任意的D x ∈,都有)()(x f x f --=，则称)(x f y =为奇函数。

➢ 函数奇偶性的性质：①函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称。

②奇偶函数的图像：奇函数关于原点对称；偶函数关于y 轴对称。

③奇函数)(x f y =在0=x 处有意义，则必有0)0(=f 。

④偶函数)(x f y =必满足|)(|)(x f x f =。

1. 若)(x f 是奇函数，则其图象关于（ ）【答案：C 】A ．x 轴对称B ．y 轴对称C ．原点对称D ．直线x y =对称2. 若函数))((R x x f y ∈=是奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数)(x f y =图象上的是（ ）【答案：C 】A ．))(,(a f a -B ．))(,(a f a --C ．))(,(a f a ---D ．))(,(a f a -3. 下列说法错误的是（ ）【答案：D 】A.奇函数的图像关于原点对称B.偶函数的图像关于y 轴对称C.定义在R 上的奇函数()x f y =满足()00=fD.定义在R 上的偶函数()x f y =满足()00=f题型二、判断函数的奇偶性➢ 定义法：➢ 运算函数奇偶性的规律：奇±奇=奇；偶±偶=偶；奇±偶=非奇非偶；奇×÷奇=偶；奇×÷偶=奇；偶×÷偶=偶。

➢ 复合函数奇偶性判断：内偶则偶，两奇为奇。

➢ 抽象函数奇偶性：赋值法。

1、定义法：1. 下列函数中为偶函数的是（ ）【答案：C 】A ．x y =B ．x y =C ．2x y =D ．13+=x y2. 判断函数的奇偶性 ①)3,1(,)(2-∈=x x x f ②2)(x x f -=；③25)(+=x x f ； ④)1)(1()(-+=x x x f .⑤()xx x f 1-= ⑥()13224+-=x x x f 【答案：】（1）非奇非偶函数.（2）偶函数.（3）非奇非偶函数.（4）偶函数.（5）奇函数（6）偶函数.2、奇偶函数的四则运算法则：3. 下列函数为偶函数的是（ ）【答案：D 】A.()x x x f +=B.()xx x f 12+= C.()x x x f +=2 D.()2x x x f =4. 判断函数的奇偶性①53)(x x x x f ++=； ②1y 2+=x x【答案：（1）奇函数. （2）奇函数. 】5. 已知函数)(x f y =是定义在R 上的奇函数，则下列函数中是奇函数的是 （填序号）。

高一数学函数的奇偶性知识点详解1.定义一般地，对于函数fx1如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f-x=-fx，那么函数fx就叫做奇函数。

2如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f-x=fx，那么函数fx就叫做偶函数。

3如果对于函数定义域内的任意一个x，f-x=-fx与f-x=fx同时成立，那么函数fx既是奇函数又是偶函数，称为既奇又偶函数。

4如果对于函数定义域内的任意一个x，f-x=-fx与f-x=fx都不能成立，那么函数fx 既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。

说明：①奇、偶性是函数的整体性质，对整个定义域而言②奇、偶函数的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不是奇或偶函数。

分析：判断函数的奇偶性，首先是检验其定义域是否关于原点对称，然后再严格按照奇、偶性的定义经过化简、整理、再与fx比较得出结论③判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义2.奇偶函数图像的特征：定理奇函数的图像关于原点成中心对称图表，偶函数的图象关于y轴或轴对称图形。

fx为奇函数《==》fx的图像关于原点对称点x，y→-x，-y奇函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上也是单调递增。

偶函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上单调递减。

3.奇偶函数运算1.两个偶函数相加所得的和为偶函数.2.两个奇函数相加所得的和为奇函数.3.一个偶函数与一个奇函数相加所得的和为非奇函数与非偶函数.4.两个偶函数相乘所得的积为偶函数.5.两个奇函数相乘所得的积为偶函数.6.一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积为奇函数.1. 集合的含义2. 集合的中元素的三个特性：1 元素的确定性如：世界上最高的山2 元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}3 元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}1 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}2 集合的表示方法：列举法与描述法。

⾼⼀数学必修1《函数的奇偶性》说课稿 "说课"是教学改⾰中涌现出来的新⽣事物，是进⾏教学研究、教学交流和教学探讨的⼀种新的教学研究形式，也是集体备课的进⼀步发展，⽽说课稿则是为进⾏说课准备的⽂稿。

下⾯是店铺为⼤家整理的⾼⼀数学必修1《函数的奇偶性》说课稿，欢迎参考! ⾼⼀数学必修1《函数的奇偶性》说课稿 ⼀、教材分析 1.教材所处的地位和作⽤ “奇偶性”是⼈教A版第⼀章“集合与函数概念”的第3节“函数的基本性质”的第2⼩节。

奇偶性是函数的⼀条重要性质，教材从学⽣熟悉的及⼊⼿，从特殊到⼀般，从具体到抽象，注重信息技术的应⽤，⽐较系统地介绍了函数的奇偶性。

从知识结构看，它既是函数概念的拓展和深化，⼜是后续研究指数函数、对数函数、幂函数、三⾓函数的基础。

因此，本节课起着承上启下的重要作⽤。

2.学情分析 从学⽣的认知基础看，学⽣在初中已经学习了轴对称图形和中⼼对称图形，并且有了⼀定数量的简单函数的储备。

同时，刚刚学习了函数单调性，已经积累了研究函数的基本⽅法与初步经验。

从学⽣的思维发展看，⾼⼀学⽣思维能⼒正在由形象经验型向抽象理论型转变，能够⽤假设、推理来思考和解决问题. 3.教学⽬标 基于以上对教材和学⽣的分析，以及新课标理念，我设计了这样的教学⽬标： 【知识与技能】 1.能判断⼀些简单函数的奇偶性。

2.能运⽤函数奇偶性的代数特征和⼏何意义解决⼀些简单的问题。

【过程与⽅法】 经历奇偶性概念的形成过程，提⾼观察抽象能⼒以及从特殊到⼀般的归纳概括能⼒。

【情感、态度与价值观】 通过⾃主探索，体会数形结合的思想，感受数学的对称美。

从课堂反应看，基本上达到了预期效果。

4、教学重点和难点 重点：函数奇偶性的概念和⼏何意义。

⼏年的教学实践证明，虽然“函数奇偶性”这⼀节知识点并不是很难理解，但知识点掌握不全⾯的学⽣容易出现下⾯的错误。

他们往往流于表⾯形式，只根据奇偶性的定义检验成⽴即可，⽽忽视了考虑函数定义域的问题。

高一年级人教版必修一3.2.2函数的奇偶性教案年级：高一年级版本：人教版模块：必修一【教材分析】在“函数的奇偶性”这一节中，“数”与“形”有着密切的联系。

它既是函数概念的拓展和深化，是继函数单调性后的又一个重要性质，又是后续研究指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等函数的必备知识。

因此本节课起着承上启下的重要作用。

奇偶性的教学无论在知识上还是在能力上对学生的教育起着非常重要的作用。

【核心素质培养目标】1.结合具体函数的图像和解析式，深刻理解奇函数、偶函数的定义。

2.通过画图，分析图像了解奇函数、偶函数图象的特征，培养直观想象核心素养。

3.通过例题学习，归纳并掌握判断（证明）函数奇偶性的方法，培养逻辑推理核心素养。

【教学重难点】教学重点：函数奇偶性的概念及函数奇偶性的判定教学难点：判断函数奇偶性的方法与格式【教学方法】师生共同探究，从代数的角度来严格推证。

【教学过程】一、情景引入，提出问题对称美是大自然的一种美，对称美在数学中随处可见，今天我们学习数学中的对称美。

师：复习函数的三要素和三种表示法。

生：三要素是：定义域、值域、对应关系；三种表示方法是：解析法、图象法、列表法。

师：结合的三要素和三种表示方法想一想（1）这个函数图象有什么特征？生：答定义域关于原点对称且图像关于y轴对称。

（2）当自变量x取一对相反数时，相应的两个函数值什么关系？生：从函数值对应表可以看到，当自变量x取一对相反数时，相应的两个函数值相等。

（3）你能尝试用函数解析式描述图象的对称特征吗？生：对于定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)。

师：这时我们称f(x)=x2为偶函数，设计意图：启发学生由图象获取函数性质的直观认识，从而引入新课。

二、获取新知，生成概念（板书）偶函数:一般地，如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。

师：研究函数优先考虑定义域，把f(x)=x2定义域改成（0，+∞），仍然是偶函数吗？生：不是师：判断函数是偶函数的前提什么？生：函数的定义域关于原点对称。

高一数学必修一函数知识点总结归纳1.函数的奇偶性(1)若f(x)是偶函数，那么f(x)=f(-x);(2)若f(x)是奇函数，0在其定义域内，则f(0)=0(可用于求参数);(3)判断函数奇偶性可用定义的等价形式：f(x)±f(-x)=0或(f(x)≠0);(4)若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性;(5)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性;偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性;2.复合函数的有关问题(1)复合函数定义域求法：若已知的定义域为[a，b],其复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出即可;若已知f[g(x)]的定义域为[a,b],求f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)的值域(即f(x)的定义域);研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则。

(2)复合函数的单调性由“同增异减”判定;3.函数图像(或方程曲线的对称性)(1)证明函数图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在图像上;(2)证明图像C1与C2的对称性，即证明C1上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在C2上，反之亦然;(3)曲线C1：f(x,y)=0,关于y=x+a(y=-x+a)的对称曲线C2的方程为f(y-a,x+a)=0(或f(-y+a,-x+a)=0);(4)曲线C1:f(x,y)=0关于点(a,b)的对称曲线C2方程为：f(2a-x,2b-y)=0;(5)若函数y=f(x)对x∈R时，f(a+x)=f(a-x)恒成立，则y=f(x)图像关于直线x=a对称;(6)函数y=f(x-a)与y=f(b-x)的图像关于直线x=对称;4.函数的周期性(1)y=f(x)对x∈R时，f(x+a)=f(x-a)或f(x-2a)=f(x)(a>0)恒成立,则y=f(x)是周期为2a的周期函数;(2)若y=f(x)是偶函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为2︱a︱的周期函数;(3)若y=f(x)奇函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为4︱a︱的周期函数;(4)若y=f(x)关于点(a,0),(b,0)对称，则f(x)是周期为2的周期函数;(5)y=f(x)的图象关于直线x=a,x=b(a≠b)对称，则函数y=f(x)是周期为2的周期函数;(6)y=f(x)对x∈R时，f(x+a)=-f(x)(或f(x+a)=，则y=f(x)是周期为2的周期函数;5.方程k=f(x)有解k∈D(D为f(x)的值域);6.a≥f(x)恒成立a≥[f(x)]max,;a≤f(x)恒成立a≤[f(x)]min;7.(1)(a>0,a≠1,b>0,n∈R+);(2)logaN=(a>0,a≠1,b>0,b≠1); (3)logab的符号由口诀“同正异负”记忆;(4)alogaN=N(a>0,a≠1,N>0);8.判断对应是否为映射时，抓住两点：(1)A中元素必须都有象且唯一;(2)B中元素不一定都有原象，并且A中不同元素在B中可以有相同的象;9.能熟练地用定义证明函数的单调性，求反函数，判断函数的奇偶性。

高一函数的奇偶性知识点函数是数学中一个非常重要的概念，它描述了数值之间的关系。

在高中数学中，函数受到了广泛的研究和运用。

其中，函数的奇偶性是一个很重要的概念。

本文将介绍高一函数的奇偶性知识点，并探讨其应用。

一、奇函数和偶函数的定义函数f(x)是定义在一个对称区间上的函数。

如果对任意的x∈该区间，都有f(-x)=-f(x)成立，那么函数f(x)就被称为奇函数；如果对任意的x∈该区间，都有f(-x)=f(x)成立，那么函数f(x)就被称为偶函数。

二、奇函数和偶函数的性质1. 奇函数的图像关于原点对称，即在平面直角坐标系中，关于原点对称。

2. 奇函数的定义域包括原点，而奇函数在原点处取零值。

3. 偶函数的图像关于y轴对称，即在平面直角坐标系中，关于y轴对称。

4. 偶函数的定义域包括y轴，而偶函数在y轴上的任意点处取相等的函数值。

三、奇偶性的判断方法对于一个给定的函数，我们如何确定它是奇函数还是偶函数呢？有以下几种判断方法：1. 利用定义进行判断：根据奇函数和偶函数的定义进行判断。

2. 利用恒等式进行判断：对于一些特定的函数形式，我们可以通过代入x和-x，利用恒等式判断函数的奇偶性。

例如，对于幂函数y=x^n，如果n为偶数，则函数为偶函数；如果n为奇数，则函数为奇函数。

3. 利用图像进行判断：通过观察图像，我们可以发现奇函数的图像具有对称性，而偶函数的图像则具有轴对称性。

四、奇函数和偶函数的应用奇偶性在函数的研究和应用中扮演着重要的角色。

以下是一些常见的应用：1. 函数图像的绘制：通过了解函数的奇偶性，我们可以在绘制函数的图像时，仅仅绘制出对称区间上的一部分，然后通过对称性得到整个图像。

2. 函数性质的研究：通过奇偶性的判断，我们可以推论出一些重要的函数性质。

例如，奇函数与奇函数的和仍然是奇函数；奇函数与偶函数的积是一个偶函数。

3. 函数的积分计算：对于定义在对称区间上的奇函数，其在该区间上的积分等于零。

1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义教学目标2.掌握判断函数奇偶性的方法，了解奇偶性与函数图象对称性之间的关系重难点 3.会求一些简单函数的定义域、函数值。

【知识回顾与能力提升】1．定义域为I的函数f(x)的增减性2．函数的单调性与单调区间如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，就说函数y＝f(x)在区间D上具有(严格)的单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．3．最大值(1)定义：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值．(2)几何意义：函数y＝f(x)的最大值是图象最高点的纵坐标．4．最小值(1)定义：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，我们称M是函数y＝f(x)的最小值．(2)几何意义：函数y＝f(x)的最小值是图象最低点的纵坐标．规律方法判断函数奇偶性的方法：(1)定义法：若函数定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数；若函数定义域关于原点对称，则应进一步判断f(－x)是否等于±f(x)，或判断f(－x)±f(x)是否等于0，从而确定奇偶性．(2)图象法：若函数图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数．(3)分段函数的奇偶性应分段说明f(－x)与f(x)的关系，只有当对称区间上的对应关系满足同样的关系时，才能判定函数的奇偶性．跟踪演练1(1)下列函数为奇函数的是()A．y＝|x| B．y＝3－xC．y＝1x3D．y＝－x2＋14(2)若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数，则g(x)＝ax3＋bx2＋cx是()A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．既是奇函数又是偶函数答案(1)C(2)A解析(1)A、D两项，函数均为偶函数，B项中函数为非奇非偶函数，而C项中函数为奇函数．(2)∵f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数，∴f(－x)＝f(x)，得b＝0.∴g(x)＝ax3＋cx.∴g(－x)＝a(－x)3＋c(－x)＝－g(x)，∴g(x)为奇函数．要点二利用函数奇偶性研究函数的图象例2已知奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如下图所示，则使函数值y<0的x的取值集合为________．答案(－2,0)∪(2,5)解析因为函数f(x)是奇函数，所以y＝f(x)在[－5,5]上的图象关于原点对称．由y＝f(x)在[0,5]上的图象，可知它在[－5,0]上的图象，如下图所示．由图象知，使函数值y<0的x的取值集合为(－2,0)∪(2,5)．规律方法给出奇函数或偶函数在y轴一侧的图象，根据奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，可以作出函数在y轴另一侧的图象．作对称图象时，可以先从点的对称出发，点(x0，y0)关于原点的对称点为(－x0，－y0)，关于y轴的对称点为(－x0，y0)．跟踪演练2设偶函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)＜0的解集是________________________．答案 {x |－5≤x ＜－2，或2＜x ≤5}解析 由于偶函数的图象关于y 轴对称，所以可根据对称性确定不等式f (x )＜0的解．∵当x ∈[0,5]时，f (x )＜0的解为2＜x ≤5，所以当x ∈[－5,0]时，f (x )＜0的解为－5≤x ＜－2.∴f (x )＜0的解是－5≤x ＜－2或2＜x ≤5.要点三 利用函数的奇偶性求解析式例3 已知函数f (x )(x ∈R )是奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝2x －1，求函数f (x )的解析式．解 当x ＜0，－x ＞0，∴f (－x )＝2(－x )－1＝－2x －1.又∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝2x ＋1.又f (x )(x ∈R )是奇函数，∴f (－0)＝－f (0)，即f (0)＝0.∴所求函数的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1，x ＞0，0，x ＝0，2x ＋1，x ＜0.规律方法 1.本题易忽视定义域为R 的条件，漏掉x ＝0的情形．若函数f (x )的定义域内含0且为奇函数，则必有f (0)＝0.2．利用奇偶性求解析式的思路：(1)在待求解析式的区间内设x ，则－x 在已知解析式的区间内；(2)利用已知区间的解析式进行代入；(3)利用f (x )的奇偶性，求待求区间上的解析式．跟踪演练3 (1)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，x ≥0时，f (x )＝x 2－2x ，则函数f (x )在R 上的解析式是( )A ．f (x )＝－x (x －2)B ．f (x )＝x (|x |－2)C ．f (x )＝|x |(x －2)D ．f (x )＝|x |(|x |－2)(2)已知函数f (x )为奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝x 2＋1x，则f (－1)等于( ) A ．－2 B ．0C ．1D ．2答案 (1)D (2)A解析 (1)∵f (x )在R 上是偶函数，且x ≥0时，f (x )＝x 2－2x ，∴当x ＜0时，－x ＞0，f (－x )＝(－x )2＋2x ＝x 2＋2x ，则f (x )＝f (－x )＝x 2＋2x ＝－x (－x －2)．又当x ≥0时，f (x )＝x 2－2x ＝x (x －2)，解析 ∵f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，∴f (－x )＝f (x )，∴b ＝0，又a －1＝－2a ，∴a ＝13，∴a ＋b ＝13. 6．偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上的图象如图，则函数f (x )的增区间为________．答案 [－1,0]，[1，＋∞)解析 偶函数的图象关于y 轴对称，可知函数f (x )的增区间为[－1,0]，[1，＋∞)．7．已知f (x )是R 上的偶函数，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝x 2＋x －1，求x ∈(－∞，0)时，f (x )的解析式．解 设x <0，则－x >0.∴f (－x )＝(－x )2＋(－x )－1.∴f (－x )＝x 2－x －1.∵函数f (x )是偶函数，∴f (－x )＝f (x )．∴f (x )＝x 2－x －1.∴当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝x 2－x －1.二、能力提升8．已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13的x 取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫13，23B.⎣⎡⎭⎫13，23 C.⎝⎛⎭⎫12，23 D.⎣⎡⎭⎫12，23 答案 A解析 由题意得|2x －1|<13⇒－13<2x －1<13⇒23<2x <43⇒13<x <23，故选A. 9．已知f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (－1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (－1)＝4，则g (1)等于( )A ．4B ．3C ．2D ．1答案 B解析 ∵f (x )是奇函数，∴f (－1)＝－f (1)．又g (x )是偶函数，∴g (－1)＝g (1)．∵f (－1)＋g (1)＝2，∴g (1)－f (1)＝2.①又f (1)＋g (－1)＝4，∴f (1)＋g (1)＝4.②由①②，得g (1)＝3.。