工程力学精品课程梁的应力及强度设计.ppt

因此，最大弯曲正应力即为:
▲ 矩形截面抗弯截面系数
bh3
max
M Wz
Wz
12 h
bh2 6
d 4
2
▲ 圆形截面抗弯截面系数
Wz
64 d
d 3
32
2
同理，空心圆截面的抗弯截面系数
Wz
D 4
64
(1 4 )
D
D 3
32
(1 4 )
2
c) 组合截面的惯性矩
将组合截面A划分为n个简单图形，设每个简单图形面积分别为A1、A2、……An。 根据惯性矩定义及积分的概念，组合截面A对某一轴的惯性矩等于每个简单图形对同 一轴的惯性矩之和，即：
y
例8—1．图8—10所示为T字形截面，求截面对形心轴zC的惯性矩Iz。
解：（1）确定界面形心C的位置
建立坐标系Oyz,将截面分为两个矩形Ⅰ、Ⅱ，
60
其面积及各自的形心纵坐标分别为：
20 40
O
Ⅰ yC
Z
C
ZC
Ⅱ
A1＝60×20＝1200mm2 yC1＝20/2＝10mm A2=40×20＝800 mm2 yC2＝40/2＋20＝40mm 由形心计算公式，组合截面形心C的纵坐标为
解：（1）求B截面上的弯矩 由截面法，求得：
MB
ql 2 2
10 300 2 2
4.5 10 5 Nmm
A
(2)求B截面上c、d处的正应力
q B
l
QB q
b
c h
d
h/2 z
y
c
M B yc Iz
4.5105 30 4 45103
75MPa
A
MB B
d
M B yd Iz
4.5105 30 150MPa 2 45103
根据上述表面变形现象，我们对梁内部的变形及受力作如下假设： a.梁的横截面在梁变形后仍保持为平面，且仍与梁轴线正交。此为平面 假设。 b.梁的所有与轴线平行的纵向纤维都是轴向拉长或缩短（即纵向纤维之 间无相互挤压）。此为单向受力假设。
将与底层平行、纵向长度不变的那层纵向纤维称为中性层。中性层即为梁内纵向纤维伸长区与 纵向纤维缩短区的分界层。中性层与横截面的交线被称为中性轴。
My
Iz
2.常见截面的惯性矩、抗弯截面系数及组合截面的惯性矩
a) 惯性矩
b/2 b/2
▲ 矩形截面的惯性矩Iz 根据惯性矩定义有：
h/2
C h/2
z
I z
y 2dA
A
h
2 h
2
y 2bdy
bh3 12
y
dy y
▲ 圆形截面的惯性矩Iz
I P 2dA y2dA z 2dA I z I y 2I z
n
I z I z (i) i 1
惯性矩的组合公式
平行移轴定理:
I z I z0 Ad 2
wk.baidu.com
y
C
dA
z
d 截面对任一轴（不通过形心）的惯性矩，等于截面对平行 z0 于该轴的形心轴的惯性矩与一附加项之和，该附加项等于
y0 截面面积与两轴距离平方之积。因该附加项恒为正，所以 ，截面对形心轴的惯性矩最小。
例8—3．求图8—12a所示铸铁悬臂梁内最大拉应力及最大压应力。P=20KN， Iz=10200cm4。
dx
1
2
O1
O2
a
y b
12
中性轴
x
z
y
dθ
ρ
1 O1
1 O2
a
yb
2
2
故ab纵线的正应变则为：
ε
lab yd yd y lab dx d
上式表明：每层纵向纤维的正应变与其到中性层的距离成线形关系。
3).物理方程与应力分布
由于各纵向纤维只承受轴向拉伸或压缩，于是在正应力不超过比例极限时，由虎克 定律知
20
y
yC
A1 yc1 A2 yc2 A1 A2
120010 800 40 22mm 200 800
60
（2）求截面对形心轴zC的惯性矩Iz根据组合公式有：
20
O
Ⅰ yC
Z
40
C
ZC
Ⅱ
I zC I zC () I zC ()
由平移轴公式有：
20 y
I
zC
()＝
60
203 12
22
A
A
A
d
c
z
ρy
z
Iz
IP 2
d 4
64
同理，空心圆截面对中性轴的惯性矩为
y
Iz
IP 2
D 4
64
(1 4 )
式中D为空心圆截面的外径，α为内、外径的比值。
b)抗弯截面模量
max
My m a x Iz
Iz
M / ymax
Iz / ymax只与截面的形状及尺寸相关，称其为抗弯截面模量，用Wz表示
20 2
2
60 20
21.28104 mm4
I zc ()
20 40 3 12
40
222
40 20
36.59 10 4 mm 4
故有：
I zC I zC () I zC () 57.87 10 4 mm 4
3.横力弯曲时梁的正应力计算
例8—2．图8—11a所示矩形截面悬臂梁，承受均布载荷q作用。已知q=10N/mm， l=300mm。b=20mm，h=30mm。试求B截面上c、d两点的正应力。
将(a)式代入(c)并令 I z y 2dA
A
A
E
y 2dA
E
Iz
M
由此可知，中性层的曲率为：
得：
1 M
EI z
Iz为截面对Z轴的惯性矩
中性层的曲率1/ρ与弯矩M成正比，与EIz成反比。可见，EIz的大小直接决定了梁抵抗 变形的能力，因此称EIz为梁的截面抗弯刚度，简称为抗弯刚度。
将上式代入(a)式，得：
E E y
（a）
表明横截面上正应力沿截面高度呈线形分布，而中性轴上各点的正应力为零。
σ-max
中性轴
σ+max
4).静力学关系
因： dA 0
(b)
z
A
c y
Mx бdA
ydA M
(c)
A
将(a)式代入(b)，于是有：
y
E
E
A
ydA
A
ydA
0
即：
ydA 0
A
由此可见，中性轴过截面形心。
纯弯梁变形时，所有横截面均保持为平面，只是绕各自的中性轴转过一角度，各纵向纤维承 受纵向力，横截面上各点只有拉应力或压应力。
2)纯弯梁变形的几何规律
dx
1
2
中性轴
O1
O2
a
y b
x
12
z y
dθ
1 O1
a
2
ρ y
1 O2 b
2
距中性层为y处的纵线ab的变形量：
lab ( y)d dx ( y)d d yd
第八章
梁的应力及强度设计
DESIGN OF BEAMS FOR BENDING STRESSES
一。 对称弯曲正应力
梁横截面上只有弯矩，而剪力为零，此种弯曲为纯弯曲
梁的横截面上同时有剪力与弯矩，这种弯曲称为横力弯曲
1.纯弯梁横截面上的正应力
1）．纯弯曲的实验现象及相关假设
a.梁表面的纵向直线均弯曲成弧线，而且，靠顶面的纵线缩短， 靠底面的纵线拉长，而位于中间位置的纵线长度不变。 b.横向直线仍为直线，只是横截面间作相对转动，但仍与纵线 正交。 c.在纵向拉长区，梁的宽度略减小，在纵向缩短区，梁的宽度 略增大。