齐次线性方程组解的结构

1 a 0 0
1
练习. 设
A
0 0 a
1 0 0
a 1 0
0 a 1
,
b
1 0 0
(1) 求|A|；
（2）已知Ａｘ＝ｂ有无穷多解，求ａ，并求Ａｘ＝ｂ的通解.
三、小结
（一）、齐次线性方程组解的结构
１．齐次线性方程组基础解系的求法 ２．齐次线性方程组解的情况
R( A) n
（二）、非齐次线性方程组解的结构
Ax的解0.
Ax 0
证毕.
由以上两个性质可知，方程组的全体解向量所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的，因此构成
一个向量空间，称此向量空间为齐次线性方程组
的解空间．
Ax 0
因此，求齐次线性方程组的解就是求出解空间，这就需要求出解空间的一组基。称解空间的一组基为方程 组的基础解系。
定义 1
1,2 ,L ,t 称为齐次线性方程组 Ax 0的基础
其中k1，k2，k3，为任意实数。
例 3 设线性方程组
解 对增广矩阵进行行初等变换
px1 x2 x1 tx2
x3 x3
4, 3,
x1 2tx2 x3 4.
试就p,t讨论方程组 的解的情况，有解 时并求出解.
p 1 1 4 1 t A 1 t 1 3 0 1
1 1 p
4x1 5x2 6x3 11x4 10x5 15,
的全部解。
解 对增广矩阵进行行初等行变换 系数矩阵与增广矩阵的秩都是2<5，故有解。
对应的齐次线性方程（去掉常数列）的基础解系为
令x3＝x4＝x5＝0，得齐次线性方程组的一个特解为(30/7,-3/7,0,0,0)， (不能忽略常数列)，于是它的全部解 为
r( A) n
性质（1）若
x 为1, x 的解2 ，则Ax 0
x 1 2 也是
证
Q A1 0, A2 0 A1 2 A1 A2 0
故 x 1 2 也是Ax 0的解.
性质（2）若
为 x 的1 解，Ax为实数0 ，则
k也是
的解．x k1
证
Ak1 kA1 k0 0.
定理的证明实际上指出了求齐次线性方程组的基础解系的一种方法.
例 1 解齐次线性方程组
解 齐次线性方程组的系数矩阵为
对A进行行初等变换，得
其对应的方程组是 基础解系为
秩r＝2<4，故有非零解. 方程组的通解为
二、非齐次线性方程组解的结构
线性方程组
a11x1 a12 x2 L a1n xn b1 ,
a21 x1
a22
x2
L LL
a2n xn
b2 ,
am1x1 am2 x2 L amn xn bm
（2）
称为非齐次线性方程组(
b1 ,b2 ,L ,bm 不全为0).
如果把它的常数项都换成0，就得到相应的齐次线性方程组，称它为非齐次线性方程组(2)的导出方程组， 简称导出组.
定理 3 （非齐次线性方程组解的结构定理）如果非齐次线性方程组有 解，那么它的一个解与其导出方程组的解之和是非齐次线性方 程组的一个解，非齐次线性方程组的任意解都可以写成它的一 个特解与其导出方程组的解之和。
k1 ,k2 ,L ,kn )是方程组的任意解，
k1 c1,r 1kr 1 c1,r 2kr 2 c1n kn k2 c2,r 1kr 1 c k 2,r 2 r 2 c2n kn
kr kr
1
cr
k ,r 1 r 1 1kr 1
c k r ,r 2 r 2 0kr2
基础解系的求法
定理 1 齐次线性方程组若有非零解，则它一定有基础解系，且基础 解系所含解向量的个数等于n-r，其中r是 系数矩阵的秩。
证明：
齐次线性方程组
Ax 0
系数矩阵为
a11
A
a21
M
a12 L a22 L
M
a1n
a2 n
,
M
am1
am 2
L
amn
有非零解，从而秩r＜n.对A进行行初等变换，A可化为
1 2t 1 4 0 0 ( p 1)t
(1)当 （p 1)t 0,即p时，1有,惟t一解 0
3
42p
1 4t 2 pt
x1
2t 1 (p 1)t
,
x2
1, t
x3
1 4t 2 pt (p 1)t
.
(2)当p=1，且1-4t+2pt =1-2t=0 即t = 时，方程组有无穷1多解，此时
解系, 如果
(1)1,2 ,L ,t是Ax 0的一组线性无关 的解;
(2) Ax 0的任一解都可由1,2 ,L ,t线性表出.
如果1,2 ,L ,t为齐次线性方程组 Ax 0 的一组基础解系,
那么, Ax 0 的任一解可表示为
x k11 k22 ktt
并称为方程组的通解。
其中k1 , k2 , , kt是任意常数 .
2
1 1 1 3
2
1 0 1 2
A 0 1 0 2 0 1 0 2
0
0
0
0
0 0 0 0
2 1
于是方程组的一般解为
x 2 k 0 (k为任意常数).
0 1
(3)当p=1，但1-4t+2pt=1-2t≠0，即t≠1/2时，方程组无解.
(4)当t=0时，1-4t +2pt =1≠0，故方程组也无解.
11
则
x
1
21
称为方程组(1) 的解向量，它也是向量方程的解．
n1
Ax 0.
就是该显方然程齐组次的线一性个方解程，组这总个是解有叫解做，零解，若方程组还x有1其他解0，, x那2么这些0解,L就叫,做x非n零解.0
方程组 Ax 有非0零解的充要条件是
齐次线性方程组的解有如下的性质
。
crn kn 0kn
k
r
2
0kr 1 1kr 2 0kn
kn 0kr 1 0kr 2 1kn
于是
k1
k2
M
kr 1 1
kr 22
L
knnr
kn
因此方程组的每一个解向量，都可以由这nr个解向量
ξ1 ,ξ2 ,L ,ξnr 线性表示，
所以
ξ1 ,ξ2 ,L ,ξnr是方程组的基础解系.
xr
cr
,r
1
cr
,r
2
crn
c1,r1
c2,r
1
c1,r2
c2 ,r 2
c1n
c2 n
1
cr ,r 1 1
,
2
cr ,r 2
,
0
,nr
crn
.
0
0
1
0
0
0
1
首先，这n-r个解向量显然线性无关.
其次，设( 代入方程组得
非齐次线性方程组的通解 非齐次线性方程组Ax=b的通解为
x k11 knr nr .
其中
k11 L 为k对n应r齐n次r 线性方程组的通解， 为非齐次线性方程组
的任意一个 特解.
例 2 试求
x1 3x2 x3 2x4 4x5 3, 2x1 x2 8x3 7 x4 2x5 9,
第三章 第四讲
1 齐次线性方程组解的结构 2 非齐次线性方程组解的结构
一、 齐次线性方程组解的结构
回顾
齐次线性方程组
（1）
a11 a12
若记
A
a21
a22
am1 am 2
a1n a2n amn
,
x
x1 x2 xn
则方程组(1)可写成向量方程
若 x1 11 , x2 21 , , xn n1为方程 Ax的解 0
1． 非齐次线性方程组解的情况 R A R B n R A R B n
R A RB
2．非齐次线性方程组通解的求法
Ax b有唯一解.
Ax b有无穷多解.
Ax b无解.
（1）
1 0 0 L
0
1
0L
L L L L
0
0
0L
0 L L L L L L L
0 L
L
L
0
c1,r 1
L
0
c2 ,r 1
L
L
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L
1
cr ,r 1
L
L
L
L
L
L
L
L
L
L
c1n
c2 n
L
crn
,
0
L
0
与之对应的方程组为
x1 c x 1,r 1 r 1 L c1n xn 0,
x2 c x 2,r 1 r 1 L c2n xn 0,
LL
xr cr x ,r 1 r 1 L crn xn 0.
令 xr 1 , xr 2 ,L , xn 为自由未知量，得
x1 c1,r1xr1 L c1n xn ,
x2 c2,r1xr1 L c2n xn ,
LL
xr cr ,r1xr 1 L crn xn .
xr1 1 0 0
取
xr 2
0, 1,
, 0,
xn
0 0
1
可得 从而得到(1)的n-r个解
x1 c1,r 1 c1,r 2
c1n
x2
c2
,r
2
, c2,r 2
,L
,
c2
n
,
M M M M