基本不等式题型归纳

ʏ喻 芳利用不等式求最值的实质是a b ɤa +b2ɤa 2+b 22(a ,b >0),a b ɤa +b 22ɤa 2+b22(a ,b ɪR )的灵活应用㊂题型一:简单的和或积为定值求最值例1 (1)已知x ,y ,z 都是正实数,若x y z =1,则(x +y )(y +z )(z +x )的最小值为( )㊂A.2 B .4C .6D .8(2)已知0<x <1,则函数f (x )=x 3(1-x 3)的最大值为㊂(1)由x >0,y >0,z >0,可知x +y ȡ2x y >0(当且仅当x =y 时等号成立),y +z ȡ2y z >0(当且仅当y =z 时等号成立),x +z ȡ2x z >0(当且仅当x =z 时等号成立)㊂以上三个不等式两边同时相乘得(x +y )(y +z )(z +x )ȡ8x 2y 2z 2=8(当且仅当x =y =z =1时等号成立)㊂应选D ㊂(2)由基本不等式得f (x )=x 3(1-x 3)ɤx 3+1-x322=14,当且仅当x 3=1-x 3,即x =312时等号成立㊂故所求的最大值为14㊂感悟:基本不等式a 2+b 2ȡ2a b (a ,b ɪR ),a +b ȡ2a b (a ,b ɪR +),当一端为定值时,另一端就可取到最值,且要注意两个不等式适应的范围和取等号的条件㊂题型二:配凑法构造和或积为定值求最值例2 (1)已知x <54,求y =4x -2+14x -5的最大值㊂(2)若x ȡ72,则f (x )=x 2-6x +10x -3有( )㊂A .最大值52B .最小值52C .最大值2D .最小值2(1)由x <54,可得5-4x >0,所以y =4x -2+14x -5=4x -5+14x -5+3=-5-4x +15-4x+3ɤ-2(5-4x )ˑ15-4x+3=1,当且仅当5-4x =15-4x ,即x =1时等号成立,所以y 的最大值为1㊂(2)由x ȡ72,可得x -3>0,所以f (x )=x 2-6x +10x -3=(x -3)2+1x -3=(x -3)+1x -3ȡ2(x -3)ˑ1x -3=2,当且仅当x -3=1x -3,即x =4时等号成立,所以f (x )有最小值2㊂应选D ㊂感悟:形如y =a x 2+b x +ck x +m的分式函数求最值,可化为y =m g (x )+Ag (x)+B (A >0,B >0),这里g (x )恒正或恒负,然后运用基本不等式求最值㊂题型三:常数代换法求最值例3 已知p ,q 为正实数,且p +q =3,81 知识结构与拓展 高一数学 2023年9月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.则1p +2+1q +1的最小值为( )㊂A.23B .53C .74D .95由p ,q 为正实数,p +q =3,可知p +2+q +1=6㊂所以1p +2+1q +1=1p +2+1q +1 ㊃p +26+q +16 =13+16p +2q +1+q +1p +2 ȡ13+16ˑ2p +2q +1㊃q +1p +2=23,当且仅当p +2=q +1,即p =1,q =2时 = 成立㊂应选A ㊂感悟:常数代换法适用于求解条件最值问题㊂题型四:消元法求最值例4 若正实数x ,y ,z 满足x 2+4y 2=z +3x y ,则当x yz 取最大值时,1x +12y -1z 的最大值为㊂正实数x ,y ,z 满足x 2+4y 2=z +3x y ,则z =x 2-3x y+4y 2,所以x y z =x yx 2-3x y +4y2=1x y +4y x -3ɤ12x y ㊃4y x -3=1,当且仅当x =2y 时等号成立,所以x yzm a x=1,此时x =2y ,所以z =x 2-3x y +4y 2=2y 2㊂所以1x +12y -1z =12y +12y -12y 2=-121y -12+12ɤ12,所以1x +12y -1z的最大值为12㊂感悟:解决多元最值的方法是消元后利用基本不等式求解,但要注意所保留变量的取值范围㊂题型五:换元法求最值例5 若正数a ,b 满足2a +b =1,则a 2-2a +b2-b的最小值是㊂设u =2-2a ,v =2-b ,则a =2-u2,b =2-v ,所以u +v =3(u >0,v >0)㊂所以a 2-2a +b 2-b =1-12uu +2-vv=1u +2v -32=13(u +v )1u +2v-32=13㊃3+v u +2u v-32ȡ133+2v u ㊃2uv-32=1+223-32=223-12,当且仅当v 2=2u 2,u +v =3,即v =6-32,u =32-3时等号成立,所以所求的最小值为223-12㊂感悟:换元法求最值的关键是整体换元,利用构造的新元求最值㊂题型六:构建不等式求最值例6 (1)已知正实数x ,y 满足x y =x +y +8,则x +y 的最小值为㊂(2)已知x ,y ɪR +,若x +y +x y =8,则x y 的最大值为㊂(1)由正实数x ,y ,可得(x +y )2=x 2+y 2+2x y ȡ4x y(当且仅当x =y 时等号成立),所以x y ɤ(x +y )24,所以x y =x +y +8ɤ(x +y )24,即(x +y )2-4(x +y )-32ȡ0,解得x +y ɤ-4(舍去)或x +y ȡ8(当且仅当x =y =4时等号成立),所以x +y 的最小值为8㊂(2)因为正数x ,y 满足x +y +x y =8,所以8-x y =x +y ȡ2x y ,即x y +2x y-8ɤ0,解得0<x y ɤ2,所以x y ɤ4,当且仅当x =y =2时取等号㊂所以x y 的最大值为4㊂感悟:利用题设条件,借助基本不等式进行放缩,得到关于 和 或 积 的不等式,解此不等式可得 和 或 积 的最值㊂作者单位:湖北省宜昌市长阳土家族自治县职业教育中心(责任编辑 郭正华)91知识结构与拓展高一数学 2023年9月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。

基本不等式题型及常用方法总结1. 引言不等式是数学中重要的概念之一，它在数学建模、优化理论、概率论等领域中有着广泛的应用。

基本不等式是解决不等式问题的基础，掌握常用的解题方法对于学习和应用不等式理论至关重要。

本文将系统总结基本不等式题型及常用方法，以帮助读者更好地理解和应用这一领域的知识。

2. 一元一次不等式2.1 一元一次线性不等式2.1.1 基本性质：线性函数图像特点、函数值与符号关系在解决一元一次线性函数时，我们首先需要了解线性函数图像的特点。

对于形如ax+b>0或ax+b<0的线性函数，我们可以通过求解对应方程ax+b=0得到临界点x=-b/a，并以此为界将数轴分为两个区间。

在每个区间内，我们可以通过选取任意一个测试点来判断该区间内函数值与符号之间的关系。

2.1.2 解法：图像法、代数法对于一元一次线性不等式，我们可以通过图像法和代数法来解决问题。

图像法是通过绘制线性函数的图像，通过观察函数在不同区间的变化来确定不等式的解集。

代数法则是通过代数运算，将不等式转化为等价的形式，从而得到解集。

例如，对于ax+b>0形式的线性不等式，我们可以将其转化为ax>-b，并根据a的正负性讨论出解集。

2.2 一元一次绝对值不等式绝对值函数是一个常见的非线性函数，在解决绝对值不等式时我们需要特别注意其特点和解题方法。

对于形如|ax+b|>c或|ax+b|<c的绝对值不等式，我们可以将其转化为一个或多个线性不等式，并根据这些线性不等式得到最终的解集。

2.3 一元二次根号型不等式二次根号型函数在数学中也有着重要地位，在解决二次根号型函数时我们需要掌握特定方法。

例如，在求解形如√(ax^2+bx+c)>0或√(ax^2+bx+c)<0 的二次根号型函数时，可以通过求出二次方程ax^2+bx+c=0 的两个实数根，并根据根的位置和函数的凹凸性来确定函数值与符号之间的关系。

基本不等式知识点和基本题型基本不等式专题辅导一、知识点总结1、基本不等式原始形式若$a,b\in R$，则$a+b\geq 2ab$，其中$a^2+b^2$为定值。

2、基本不等式一般形式（均值不等式）若$a,b\in R$，则$\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}$。

3、基本不等式的两个重要变形若$a,b\in R$，则$a+b\geq 2\sqrt{ab}$，其中$\frac{a+b}{2}\leq \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$。

总结：当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定值时，它们的积有最小值。

特别说明：以上不等式中，当且仅当$a=b$时取“=”。

4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”。

5、常用结论若$x>1$，则$\frac{x+1}{2}>\sqrt{x}$（当且仅当$x=1$时取“=”）。

若$x<1$，则$\frac{x+1}{2}<-\frac{1}{x}$（当且仅当$x=-1$时取“=”）。

若$ab>0$，则$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2$（当且仅当$a=b$时取“=”）。

若$a,b\in R$，则$a^2+b^2\geq 2ab$，$\frac{a+b}{2}\geq \frac{2ab}{a+b}$，$\frac{a+b}{2}\leq \sqrt{a^2+b^2}$。

6、柯西不等式若$a,b\in R$，则$(a^2+b^2)(1+1)\geq (a+b)^2$。

题型分析题型一：利用基本不等式证明不等式1、设$a,b$均为正数，证明不等式：$ab\geq\frac{a^2+b^2}{2}$。

2、已知$a,b,c$为两两不相等的实数，求证：$a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca$。

3、已知$a+b+c=1$，求证：$a^2+b^2+c^2+\frac{9}{4}\geq 2(ab+bc+ca)$。

2.2基本不等式10题型分类一、基本不等式1．如果a >0，b >0≤2a b+，当且仅当a b =时，等号成立．其中2a b+叫做正数a ，b a ，b 的几何平均数．2．变形：ab ≤22a b +⎛⎫⎪⎝⎭，a ，b ∈R ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．a ＋b a ，b 都是正数，当且仅当a ＝b 时，等号成立．3.不等式22a b + 2ab ≤2a b+成立的条件一样吗？不一样，22a b + 2ab 成立的条件时a ，b ∈R 2a b+成立的条件是a >0，b >0.4.不等式22a b + 2ab ≤2a b+中“＝”成立的条件相同吗？相同.都是当且仅当a ＝b 时等号成立.5.基本不等式成立的条件一正二定三相等.二、基本不等式与最大值最小值1.两个正数的和为常数时，它们的积有最大值；两个正数的积为常数时，它们的和有最小值.(1)已知x ，y 都是正数，如果和x ＋y 等于定值S ，那么当x y =时，积xy 有最大值214S .(2)已知x ，y 都是正数，如果积xy 等于定值P ，那么当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值（一）对基本不等式概念的理解对基本不等式概念的理解（1）基本不等式ab ≤2a b+(a ＞0，b ＞0)反映了两个正数的和与积之间的关系．（2）对基本不等式的准确掌握要抓住以下两个方面：①定理成立的条件是a 、b 都是正数．②“当且仅当”的含义：当a ＝b 时，ab ≤2a b +的等号成立，即a ＝b ⇒2a b+＝ab ；仅当a ＝b 时，2a b +≥ab 的等号成立，即2a b+＝ab ⇒a ＝b .的是（（二）利用基本不等式比较大小利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项(1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．(2)注意事项：①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型，再使用．（三）利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值1．利用基本不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的原则．≥ab成立的前提条件：a>0，b>0.(1)一正：符合基本不等式a＋b2(2)二定：化不等式的一边为定值．(3)三相等：必须存在取等号的条件，即等号成立．以上三点缺一不可．2．若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值，通常化(或利用)和为定值，其解答技巧是恰当变形，合理拆分项或配凑因式．3．应用基本不等式证明不等式的关键在于进行“拼”、“凑”、“拆”、“合”、“放缩”等变形，构造出符合基本不等式的条件结构..4.一般地，数学中的定理、公式揭示了若干量之间的本质联系，但不能定格于某种特殊形式，因此重要不=（四）基本不等式的恒成立问题求参数的值或取值范围的一般方法(1)分离参数，转化为求代数式的最值问题．(2)观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或取值范围．C ．2m ≤-或m 1≥D ．1m ≤-或2m ≥9-2．（2023秋·湖北·高一校联考阶段练习）已知不等式()1116x ay x y ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭对任意正实数,x y 恒成立，则正实数a 的最小值为（）A ．2B ．4C ．6D ．99-3．（2023春·河北石家庄·高二校联考阶段练习）已知0,0a b >>，且212a b +=，若2143121t t a b -≤+--恒成立，则t 的取值范围是.9-4．（2023秋·云南昭通·高一校联考阶段练习）已知0a >，0b >，且12ab =，不等式11422m a b a b++≥+恒成立，则正实数m 的取值范围是（）A ．{}1m m ≥B ．{}2m m ≥C ．{}3m m ≥D ．{}4m m ≥9-5．（2023秋·天津和平·高一耀华中学校考期中）已知0a >，0b >.(1)若不等式313ma b a b+≥+恒成立，求m 的最大值；(2)若228a b ab ++=，求2+a b 的最小值.（五）利用基本不等式解决实际问题在应用基本不等式解决实际问题时，应注意如下的思路和方法：(1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)根据实际背景写出答案．题型10：利用基本不等式解决实际问题10-1．（2023·广西南宁·统考二模）某单位为提升服务质量，花费3万元购进了一套先进设备，该设备每年管理费用为0.1万元，已知使用x 年的维修总费用为227x x+万元，则该设备年平均费用最少时的年限为（）A ．7B ．8C ．9D ．1010-2．（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）某社区计划在一块空地上种植花卉，已知这块空地是面积为1800平方米的矩形ABCD ，为了方便居民观赏，在这块空地中间修了如图所示的三条宽度为2米的人行通道，则种植花卉区域的面积的最大值是（）A ．1208平方米B ．1448平方米C ．1568平方米D ．1698平方米10-3．（2023春·湖南长沙·高二湖南师大附中校考期中）一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买10g 黄金，售货员先将5g 的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g 的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．你认为顾客购得的黄金（）附：依据力矩平衡原理，天平平衡时有1122m L m L =，其中1m 、2m 分别为左、右盘中物体质量，1L 、2L 分别为左右横梁臂长．A ．等于10gB ．小于10gC ．大于10gD ．不确定10-4．（2023秋·广东深圳·高一校考阶段练习）为加强“疫情防控”，某校决定在学校门口借助一侧原有墙体，建造一间墙高为4米，底面积为32平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园应急室，由于此应急室后背靠墙，无需建造费用，某公司给出的报价为：应急室正面和侧面报价均为每平方米200元，屋顶和地面报价共计7200元，设应急室的左右两侧的长度均为x 米()16x ≤≤，公司整体报价为y 元.(1)试求y 关于x 的函数解析式；(2)公司应如何设计应急室正面和两侧的长度，可以使学校的建造费用最低，并求出此最低费用.一、单选题1．（2023春·重庆·高二校联考期末）已知0a b >>，下列不等式中正确的是（）A ．2ab b <B ．c ca b>C ．1111a b <--D ．12a b a b-+≥-2．（2023·全国·高三专题练习）已知实数,,a b c 满足a b c <<且0abc <，则下列不等关系一定正确的是（）A ．ac bc <B ．ab ac <C ．2b c c b+>D ．2b a a b+>3．（2023春·山东滨州·高二校考阶段练习）若0x >,则()94f x x x=+的最小值为（）A ．4B ．9C ．12D ．214．（2023秋·广东江门·高一校考期中）如果0a b <<，那么下列不等式正确的是（）A2a ba b +<<<B ．2a ba b +<<C2a ba b +<<<D ．2a ba b+<<<5．（2023春·河南·高三校联考阶段练习）已知2(0,0)a b ab a b +=>>，下列说法正确的是（）A ．ab 的最大值为8B ．1212a b +--的最小值为2C ．a b +有最小值3D ．2224a a b b -+-有最大值46．（2023·江苏·高一假期作业）若对0x >，0y >，有21(2)()x y m x y+⋅+≥恒成立，则m 的取值范围是（）A ．4m ≤B ．4m >C ．0m <D ．8m ≤7．（2023秋·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）快递公司计划在某货运枢纽附近投资配建货物分拣中心.假定每月的土地租金成本与分拣中心到货运枢纽的距离成反比，每月的货物运输成本与分拣中心到货运枢纽的距离成正比.经测算，如果在距离货运枢纽10km 处配建分拣中心，则每月的土地租金成本和货物运输成本分别为2万元和8万元.要使得两项成本之和最小，分拣中心和货运枢纽的距离应设置为（）A ．5kmB ．6kmC ．7kmD ．8km二、多选题8．（2023春·云南曲靖·高二校考阶段练习）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．下列结论不正确的是（）A ．当0x >2≥B ．当0x >2的最小值是2C ．当54x <时，22145x x -+-的最小值是52D ．设0x >，0y >，且2x y +=，则14x y +的最小值是929．（2023春·安徽六安·高二六安一中校考期末）已知正实数a 、b 满足2a b +=，则下列结论正确的是（）A ．1ab ≤B 2≥C ．332a b +≤D ．222a b +≥10．（2023春·云南迪庆·高一统考期末）设正实数x ，y 满足23x y +=，则下列说法正确的是（）A ．3yx y +的最小值为4B ．xy 的最大值为98C 的最小值为2D ．224x y +的最小值为9211．（2023春·江西南昌·高二校联考期末）已知0,0a b >>，且22a b +=，则（）A ．ab 的最小值是12B ．12a b+的最小值是4C ．2214a b +的最小值是8D 211a b++12．（2023春·河北张家口·高二统考期末）已知0a >，0b >且121a b+=，则下列结论正确的有（）A ．a b +≤B ．3a b +≥+C ．ab ≤D ．8ab ≥13．（2023春·江西上饶·高二统考期末）已知0x >，0y >，且30x y xy ++-=，则下列结论正确的是（）A ．xy 的取值范围是(0,1]B ．x y +的取值范围是[2,3]C ．2x y +的最小值是3-D ．5x y +的最小值为6三、填空题14．（2023春·云南红河·高二校考期中）若正数,a b 满足4ab =，则a b +的最小值是．15．（2023秋·陕西渭南·高二统考期末）若1x >，则311x x +--的最小值为.16．（2023春·辽宁葫芦岛·高二统考期末）已知正实数x ，y 满足1x y +=，则63x y xy++的最小值为．17．（2023春·辽宁·高二校联考阶段练习）已知0a >，0b >，()()2218a b ++=，则下列判断正确的是（）A ．3322a b +++B ．ab 的最大值为11-C ．2a b +的最小值为6D ．()1a b +的最大值为818．（2023秋·上海黄浦·高一上海市光明中学校考期中）已知0x >，0y >且3x y +=，若1222a x y y x +≥--恒成立，则实数a 的范围是．四、解答题19．（2023春·河北石家庄·高一校考期中）（1）已知102x <<，求()1122y x x =-的最大值（2）已知3x <，求423y x x =+-的最大值（3）已知00，x y >>，且4x y +=，求13x y+的最小值20．（2023春·山西运城·高二康杰中学校考阶段练习）若正实数a ，b 满足1a b +=．(1)求ab 的最大值；(2)求411a b++的最小值.21．（2023秋·四川绵阳·高一四川省绵阳江油中学校考阶段练习）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为x m ，宽为y m ．(1)若菜园面积为18m 2，则x ，y 为何值时，可使所用篱笆总长最小？(2)若使用的篱笆总长度为15m ，求12x y+的最小值．22．（2023秋·陕西榆林·高一统考期末）已知0a >，0b >.(1)若16b a =-，求ba的最大值；(2)若222292a b ab a b ++=，证明：8ab ≥.23．（2023·贵州黔西·校考一模）设a ，b ，c 均为正数，且1a b c ++=，证明：(1)22213a b c ++≥；(2)333a c b a c b abc ++≥．。

基本不等式题型20种不等式是数学中重要的概念，它描述了数之间的大小关系。

在解决实际问题和推导数学推论中，不等式起着非常重要的作用。

本文将介绍20种常见的基本不等式题型。

一、一元一次不等式一元一次不等式是最简单的不等式类型。

例如：解不等式3x+4>10。

解：首先将不等式转化为等式：3x+4=10；然后解方程：3x=6；得到解：x=2。

二、一元二次不等式一元二次不等式是一元二次函数的不等式形式。

例如：解不等式x^2-5x+6>0。

解：首先求出一元二次函数的根：(x-2)(x-3)>0；然后画出函数的图像或根据韦达定理判断函数的正负；得到解：x<2或x>3。

三、绝对值不等式绝对值不等式是含有绝对值符号的不等式。

例如：解不等式|2x-3|≥5。

解：将含有绝对值的不等式拆分为两个不等式：2x-3≥5或2x-3≤-5；然后求解这两个不等式得到：x≥4或x≤-1。

四、分式不等式分式不等式是含有分式的不等式。

例如：解不等式(3x-2)/(2x+1)≤1。

解：首先将不等式化简：3x-2≤2x+1；然后解方程：x≤3。

五、根式不等式根式不等式是含有根式的不等式。

例如：解不等式√(x-4)≥2。

解：将不等式平方得：x-4≥4；然后解方程：x≥8。

六、乘法不等式乘法不等式是含有乘法的不等式。

例如：解不等式2x(x-1)≤0。

解：将不等式化简：2x(x-1)≤0；然后求解这个不等式得到：0≤x≤1。

七、除法不等式除法不等式是含有除法的不等式。

例如：解不等式(3x+6)/(x+2)≤4。

解：首先将不等式转化为等式：(3x+6)/(x+2)=4；然后解方程：x=-5；由于分母不能为0，所以解为x<-2或x>-5。

八、加法不等式加法不等式是含有加法的不等式。

例如：解不等式x+2>5。

解：将不等式化简：x>3。

九、减法不等式减法不等式是含有减法的不等式。

例如：解不等式2x-5≥1。

基本不等式是高中数学中非常重要且基础的一部分。

它在高一数学中占据着重要的地位，对于学生的数学基础和逻辑推理能力的培养起着至关重要的作用。

在高一数学教学中，基本不等式的学习也是一个重要的环节，不仅需要掌握它的概念和性质，还需要学会运用它解决实际问题。

本文将从基本不等式的概念入手，详细介绍其性质和运用方法，并列举17种题型，帮助学生全面理解和掌握基本不等式的相关知识。

一、基本不等式的概念基本不等式是指在任意三个实数a、b、c之间，必有以下基本不等式成立：1）正数的不等式：a >b ⟹ a +c > b + ca > 0,b > 0 ⟹ ac > bca > b, c > 0 ⟹ ac > bca > b, c < 0 ⟹ ac < bc2）负数的不等式：a <b ⟹ a +c < b + ca < 0,b < 0 ⟹ ac > bca < b, c > 0 ⟹ ac < bca < b, c < 0 ⟹ ac > bc以上基本不等式是学习基本不等式的基础，对于解决实际问题是非常重要的。

二、基本不等式的性质基本不等式还具有一些重要的性质，包括：1）传递性：若a > b，b > c，则a > c2）对称性：若a > b，则-b > -a3）倒置性：若a > b，则1/a < 1/b，且a/b > 0这些性质对于运用基本不等式解决实际问题时起着重要的作用，可以帮助学生更好地理解和运用基本不等式。

三、基本不等式的运用方法基本不等式在解决实际问题时有着广泛的应用，其运用方法主要包括：1）利用基本不等式的性质化简题目；2）利用基本不等式构造等式或方程组，进而求解问题；3）利用基本不等式证明不等式关系，讨论最值等问题。

学生在解决实际问题时，可以根据具体情况选择不同的运用方法，灵活运用基本不等式，解决各种复杂的问题。

基本不等式题型及常用方法总结基本不等式题型包括一元一次不等式、一元二次不等式、绝对值不等式和有理不等式等。

1. 一元一次不等式：- 解法1：通过移项和化简来求解，确保不等号方向的正确性。

- 解法2：将不等式转化为等价的集合表示，再通过集合的交、并运算求解。

2. 一元二次不等式：- 解法1：将不等式化为一元二次函数的图像，通过观察图像求解或者利用函数的性质来求解。

- 解法2：通过移项和配方法将不等式转化为二次函数的标准形式，再判断二次函数图像的位置与不等号关系来求解。

3. 绝对值不等式：- 解法1：将绝对值不等式分段求解，分别讨论绝对值内部是正数还是负数的情况。

- 解法2：通过绝对值的定义和不等式的性质，将绝对值不等式转化为两个简单的不等式来求解。

4. 有理不等式：- 解法1：将有理不等式化为分式的形式，然后通过分式的性质来求解。

- 解法2：通过变量的替换来将有理不等式转化为一元二次不等式或者一元一次不等式，再利用对应的方法来求解。

常用方法总结：1. 对于一元一次不等式和一元二次不等式，常用的方法是移项和化简、画函数图像和利用函数的性质来求解。

2. 对于绝对值不等式，常用的方法是分段求解和利用绝对值的性质来求解。

3. 对于有理不等式，常用的方法是化为分式形式和利用分式的性质来求解。

4. 在求解不等式的过程中，经常需要进行合并同类项、开方、取倒数、乘除等基本运算，需要注意运算法则和符号的变化。

5. 在不等式的求解过程中，需要注意不等式两边的平方值是否相等，以及是否存在不等式的等价变换等。

同时，在进行运算过程中，需要根据不等式的符号关系来选择合适的方式。

基本不等式题高考常考题型
基本不等式是数学中重要的一种不等式，也是高中数学知识点中不可避免的考点。

在高考中，基本不等式经常作为考题出现，下面就是一些常见的基本不等式题型：
1. 证明不等式：常见的证明不等式题型有利用均值不等式证明某个不等式，利用柯西不等式证明某个不等式等。

2. 求最小值或最大值：这种题型与证明不等式相似，但不需要证明不等式，而是要求出不等式的最小值或最大值。

3. 求解不等式：这种题型是给出一个不等式，要求求解其解集。

4. 线性规划：线性规划是一种优化问题，可以使用基本不等式进行求解。

总之，基本不等式在高考数学中非常重要，掌握基本不等式的相关知识和解题技巧，对于高考数学的成绩提高有很大的帮助。

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基本不等式 一、考点、热点回顾 1．基本不等式：ab ≤a ＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )．(2)b a ＋a b≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )．(4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )．以上不等式等号成立的条件均为a ＝b .3．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4．利用基本不等式求最值问题已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p .(简记：积定和最小)(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值p 24.(简记：和定积最大) 知识拓展不等式的恒成立、能成立、恰成立问题(1)恒成立问题：若f (x )在区间D 上存在最小值，则不等式f (x )>A 在区间D 上恒成立⇔f (x )min >A (x ∈D )； 若f (x )在区间D 上存在最大值，则不等式f (x )<B 在区间D 上恒成立⇔f (x )max <B (x ∈D )．(2)能成立问题：若f (x )在区间D 上存在最大值，则在区间D 上存在实数x 使不等式f (x )>A 成立⇔f (x )max >A (x ∈D )； 若f (x )在区间D 上存在最小值，则在区间D 上存在实数x 使不等式f (x )<B 成立⇔f (x )min <B (x ∈D )．(3)恰成立问题：不等式f (x )>A 恰在区间D 上成立⇔f (x )>A 的解集为D ；不等式f (x )<B 恰在区间D 上成立⇔f (x )<B 的解集为D .二、典型例题例1、设0a b ，则下列不等式中正确的是（ ）A ．a ＜b ＜＜ B. a ＜＜＜bC ．a ＜＜b ＜ D ．＜a ＜＜b变式训练1、已知等比数列的各项均为正数，公比0＜q ＜1，设392a a P +=，Q =，则a 3，a 9，P 与Q 的大小关系是（ ）A ．a 3＞P ＞Q ＞a 9 B. a 3＞Q ＞P ＞a 9C ．a 9＞P ＞a 3＞QD ．P ＞Q ＞a 3＞a 9考点二、利用基本不等式求最值例2、(1)已知0<x <1，则x (4－3x )取得最大值时x 的值为________．(2)函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________． （3）设a ＞0，b ＞0，且21a b +=，则11a b+的最小值为 。

高中数学基本不等式题型总结word版专题根本不等式知识根本不等式：ABXXX,B0（1）根本不等式成立的条件：；(2)等号成立的条件：当且仅当时取等号2.几个重要的不等式（1）ABA,BR；(2)A+BXXX,B0；分析的巧妙替换0,Y0，且_Y，贝U4的最小值为4_Y0,Y0,且_Y3，那么4的最小值为4_Y020XX年天津)设AB2,B0，那么扁早的最小值为数A,B满足AB1，那么A2B的最小值为数A,B满足AB1,贝UA2BAB的最小值为_,Y满足_2Y1，那么冬旦的最小值为_Y0,B0,假设不等式AB 总能成立，那么实数M的最大值为2AB_2A_BY1A,B0与圆_21相交A,B 两点，O为坐标原点AOB为直角三角形，那么的最小值为AB11的最小值AB22直线2A_BY20A0,B0始终平分圆_Y2_4Y10的周长，那么110,Y0,LG2_LG4YLG2，那么的最小值是_YA.6B.5C.322D.4、2F_4_14_1，0,_20，且F_1F_21，那么F_1_2的最小值为与“积混合型4相交所得弦,NR,假设直线L:M_NY10与_轴相交点A,与Y轴相交B,且I与圆_2Y2的长为2，O为坐标原点，贝UAOB面积的最小值为11,YR,A1,B1，假设A_BY2,A2B8，那么一一的最大值为_Y数A,B满足AB2AB1，那么AB的最小值为,NR，假设直线M1_N1Y20与圆_221Y11相切，那么MN的取值范围是(A)1.3,1.3(B),1313,(C)222,222(D),22、2.222,1I1,Y1，且一IN_,,LNY成等比数列，那么_Y的最小值为.440,BO,AB8,那么当A的值为时LOG2ALOG22B取得最大值.G2ALOG2B1，那么3A9B的最小值为【例9以下说法正确的选项是A.函数Y_的最小值为2、2_B.函数YSIN_0_的最小值为22SIN_RC.函数Y_|的最小值为2运_D函数YLG_孟的最小值为2【例10设_,YR,且_Y5,那么3_3Y的最小值是A.10B.63C.46D.18、3精选。

基本不等式的题型
基本不等式是高中数学的重点内容，题型丰富多样，以下是一些常见题型：
1.基础型：直接利用基本不等式进行求解。

2.“1”的代换型：通过将“1”进行转换，再利用基本不等式求解。

3.“和”与“积”互消型：在求解过程中，通过对“和”与“积”进行转换，使其相互抵消，进而求解。

4.以分母为主元构造型：通过构建分母，再利用基本不等式求解。

5.分子含参型：通过分离分子的方式，使其转化为基本不等式的形式进行求解。

6.反解代入型：通过反解基本不等式，将其转化为代数式的形式，再代入求解。

7.因式分解型：通过对式子进行因式分解，再利用基本不等式求解。

8.均值不等式用两次：通过对基本不等式进行多次使用，进而求解。

9.换元法型：通过换元的方式，将式子转化为基本不等式的形式进行求解。

这些题型只是基本不等式中的一部分，在实际的数学问题中，还有许多其他的题型和应用方式。

基本不等式题型20种基本不等式是初等数学中的重要内容，涉及到多种类型的问题。

以下是一些常见的基本不等式题型：1. 一元一次不等式，例如 2x + 3 > 7。

2. 一元二次不等式，例如 x^2 4x + 3 > 0。

3. 绝对值不等式，例如 |2x 1| < 5。

4. 有理不等式，例如 (x-1)/(x+2) > 0。

5. 混合不等式，例如 2x + 3 < 5 或 3x 2 > 7。

6. 复合不等式，例如 2 < x < 5。

7. 线性不等式组，例如 {2x + y > 3, x y < 1}。

8. 二元二次不等式，例如 x^2 + y^2 < 25。

9. 分式不等式，例如 (x+1)/(x-2) > 0。

10. 绝对值分式不等式，例如 |(x-1)/(x+2)| < 1。

11. 参数不等式，例如若 a > 0, 则 ax < 5。

12. 根式不等式，例如√(x+1) > 2。

13. 指数不等式，例如 2^x > 16。

14. 对数不等式，例如 log(x) < 3。

15. 三角不等式，例如 sin(x) < 1。

16. 求最值问题，例如求函数 f(x) = x^2 4x + 3 的最小值。

17. 区间问题，例如求不等式 2 < x < 5 的解集。

18. 图形法解不等式，例如用图形法解不等式 2x + 3 < 7。

19. 实际问题，例如某商品的售价要高于成本价的 20%。

20. 复杂不等式的综合运用，例如将多种不等式类型结合运用解决问题。

这些是基本不等式的一些常见题型，涵盖了初等数学中常见的不等式问题。

希望这些例子可以帮助您更好地理解基本不等式。

基本不等式知识点及题型归纳总结知识点精讲1. 几个重要的不等式（1）（2）基本不等式：如果，则(当且仅当“”时取“”).特例：同号.（3）其他变形：①(沟通两和与两平方和的不等关系式)②(沟通两积与两平方和的不等关系式)③(沟通两积与两和的不等关系式)④重要不等式串：即调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值(注意等号成立的条件).2. 均值定理已知.（1）如果(定值)，则(当且仅当“”时取“=”).即“和为定值，积有最大值”.（2）如果(定值)，则(当且仅当“”时取“=”).即积为定值，和有最小值”.题型归纳及思路提示题型1 基本不等式及其应用思路提示熟记基本不等式成立的条件，合理选择基本不等式的形式解题，要注意对不等式等号是否成立进行验证.例7.5“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件解析：由能推出；但反之不然，因为的条件是，故选A.变式1 已知且，则（）A. B. C. D.变式2下列不等式中一定成立的是（）A. B.C. D.例7.6 若，则下列不等式对一切满足条件的恒成立的是（写出所有正确命题的序号）.①；②；③；④；⑤.解析：对于①，由及得，即(当且仅当时取等号)，故①正确；对于②，由及得，即(当且仅当时取等号)，故②正确；对于③，由得，故③正确.对于④，，因此(当且仅当时取等号)，故④不恒成立；对于⑤，，又，则，故⑤正确，故填①③⑤.变式1如果正数满足，那么（）A. ，且等号成立时的取值唯一B. ，且等号成立时的取值唯一C. ，且等号成立时的取值不唯一D. ，且等号成立时的取值不唯一题型2 利用基本不等式求函数最值思路提示（1）在利用基本不等式求最值时，要把握四个方面，即“一正各项都是正数；二定和或积为定值；三相等等号能否取到（对于不满足‘相等’的函数求最值，可考虑利用函数单调性解题）；四同时多次使用基本不等式时等号要同时取得”，求最值时，这是个方面缺一不可，若忽视了某个条件的验证，可能会出现错误.（2）利用基本不等式求函数最值常用的技巧有：1通过加减项的方法配凑成使用基本不等式的形式；2注意“1”的变换；3灵活选择和应用基本不等式的变形形式；4合理配组，反复使用基本不等式等.一、利用基本不等式求最值要注意条件的验证例7.7 （1）若，求函数的最小值；（2）若，求函数的值域.分析：（1）因为满足不等式条件，可以直接利用基本不等式求最值.（2）因为，故需先转化为，才能利用基本不等式求最值.解析：因为，由基本不等式得，当且仅当，即时，取最小值.（2）因为，所以，则，且，即. 当且仅当，即时，取最大值.故函数的值域为.评注：解（1）时，应注意积为定值这个前提条件；解（2）时，应注意使用基本不等式求最值时，各项必须为正数.变式1 （1）求函数的值域（2）求函数的最小值；（3）求函数的最小值.二、通过代数变换凑配成使用基本不等式的形式例7.8已知，求函数的最大值.分析：因为，所以首先要调整符号，又不是常数，所以要对进行拆凑项，通过将函数解析式拆凑成可以使用基本不等式的形式，从而求得函数的最值.解析：因为，所以，由（当且仅当时，即时取等号）得. 所以函数的最大值为1.当且仅当时，即时取等号，故当时，.评注：利用基本不等式求最值时要重视各种条件，即“一正二定上相等四同时”必须全部满足，方可利用其求得最值. 如果本题中的条件“”改为“”，则如下求解：因为，所以，为错误求解，错误原因：在于只注重基本不等式的形式构造而未对成立条件“三相等”加以验证，事实上，.一般地，对勾函数在上单调递减，在上单调递增，若不满足“三相等”的条件可以利用函数的单调性求最值.另外，还要注意与对勾函数同形质异的函数在上和均为单调增函数.如可直接利用单调性求最值.变式1 求函数的最大值.变式2 设正实数满足，则当取得最大值时，最大值为（ ）A. 0B. 1C.D. 3 三、“1”的变换 例7.9 已知，且，求的最小值.分析：利用条件中“1”的变换.解析：解法一：因为，且，所以.当且仅当即，的最小值为16.解法二：由，且，得，所以10.因为0y >，所以90y ->，所以99(9)102(9)101699y y y y -++≥-+=--. 当且仅当999y y -=-，即12y =时取等号，此时4x =，所以当4,12x y ==时，x y +取得最小值16 评注 本题的解法一是利用条件中的“1”，代换成“19x y+”，将其所求的形配凑成利用基本不等式的形式，使得题目顺利求解，但下面的解法是错误的：因为1919612x y x y xy+=≥=，即36xy ≥，所以223612x y xy +≥=，错误的原因在于连续使用了两次基本不等式，但未对两个“=”成立的条件是否吻合进行验证，其实，这两次“=”不能同时取得，这就提醒我们，在多次使用基本不等式时，一定要验证多次“=”满足的条件能否同时成立.变式1 已知0a >，0b >，2a b +=，则11y a b=+的最小值是 变式2 求函数2214(0)sin cos 2y x x x π=+<<的最小值 变式3已知a b c >>，证明：1113a b b c c a a c++≥---- 变式4 设2a b +=，0b >则当a = 时，12a a b+最得最小值. 四、转化思想和方程消元思想在求二元函数最值中的应用例7.10若正数,a b 满足3ab a b =++，则：（1）ab 的取值范围是 （2）a b +的取值范围是分析 由等量关系的结构特征可知，只需将所求部分之外的部分利用不等式转化为所求的形式，然后解不等式即可.解析（1）解法一：基本不等式.33ab a b =++≥，当且仅当a b =时取等号，所以230≥，3≥1-（舍），3≥，故有9ab ≥.当且仅当3a b ==时取等号，即ab 的取值范围是[9,)+∞解法二：判别式法.令ab t =（3t >），则t b a =，代入原式得，3t t a a=++，整理得2(3)0a t a t +-+=. 2(3)40t t ∆=--≥，得9t ≥或1t ≤（舍），ab 的取值范围是[9,)+∞（2）解法一：23()2a b ab a b +=++≤，当且仅当a b =时取等号，令0S a b =+>，则234S S +≤，整理得即24120S S --≥得6S ≥或2S ≤-（舍），即a b +的取值范围是[6,)+∞解法二：判别式法，令a b t +=（0t >），则b t a =-，代入原式得，()3a t a t -=+，整理得230a at t -++=24(3)0t t ∆=-+≥，得6t ≥或2t ≤-（舍）.即a b +的取值范围是[6,)+∞评注：注意体会使用方程消元法求范围与利用基本不等式求范围的优劣，试用方程消元法求解本题的第（2）问.变式1 若,0x y >满足26x y xy ++=，则xy 的最小值是变式2 若,0x y >满足2x y xy ++=，则x y +的最小值是 变式3 若,0x y >满足228x y xy ++=，则2x y +的最小值是（ ）.A 3 .B 4 .C 92 .D 112五、灵活选择和运用基本不等式的变形形式例7.11 设0,0x y ≥≥，2212y x +=，则的最大值为 分析 观察所求式子与题中所给条件的联系，运用基本不等式灵活建立两者之间的关系是解题的核心.解析 0x ≥，0y ≥，2212y x +=所以== 221222y x ++≤2212222y x ++==（当且仅当2212y x +=时取“=”，即x =，2y =时取“=”）. 评注 本题除了利用基本不等式求解外，还可以利用已知条件中的2212y x +=，采用三角换元来求解，望同学们自己尝试．变式１ 已知0a >，0b >，4a b +=，求2211()()a b a b+++的最小值． 六、合理配组，反复应用基本不等式 例7.12 设0a b >>，则211()a ab a a b ++-的最小值是（ ） .A 1 .B 2 .C 3 .D 4解析 解法一：因为2112a b a b +≤+，所以411a b a b+≥+.故2114()ab a a b a ab ab +≥-+- 则211()a ab a a b ++-224a a ab ab≥++-2222444a a a =+≥=（当且仅当2ab a ab =-与44a =，0a b >>同时成立时，取得“=”），即当a =2b =211()a ab a a b ++-的最小值为4，故选D解法二：22111111()()a a ab a a b ab b a b a++=++---，因为0b >，0a b ->，所以22()()24a a b a b -≤=（当且仅当2a b =时取“=”），则222221444()a a b a b a a+≥+≥=-（当且仅当a ==”），所以当a =2b =时，211()a ab a a b ++-的最小值为4，故选D变式1 若0a >，0b >，满足11a b++ ）.A 2 .B .C 4 .D 5变式2 若,x y 是正数，则2211()()22x y y x+++的最小值是（ ） .A 3 .B 72 .C 4 .D 92题型3 利用基本不等式证明不等式思路提示类似于基本不等式的结构的不等式的证明可以利用基本不等式去组合、分解、运算获得证明. 例7.13 （1）,,a b c R +∈，求证：11()()4a b c a b c+++≥+ （2）,,a b c R +∈，求证：222a b c a b c b c a++≥++（3）,,x y z R +∈，且1x y z ++=解析 （1）因为,,0a b c >，所以1111()()[()]()a b c a b c a b c a b c+++=+++++ 11a b c b c a +=++++2a b cb c a+=+++224≥+=当且仅当a b c =+时等号成立. （2）因为,,0a b c >，所以22a b a b +≥，22b c b c +≥，22c a c a +≥三式相加得：222()()()a b c b c a b c a +++++222a b c ≥++，即222a b c a b c b c a++≥++（3）分析法.要证明≤，只需证3x y z +++≤，只需证：1≤因为,,x y z R +∈，x y +≥，x z +≥，y z +≥，所以2()x y z ++≥1≤成立.评注 本题（2）的证明是综合法，（3）的证明是分析法.综合是从已知出发推导结果，分析法是从结果出发，去分析命题成立的条件，一般情况下两种方法是可以通用的，对于比较复习的问题，也可以结合这两种方法使用变式1若,,a b c R +∈，且1a b c ++=，求证：111(1)(1)(1)8a b c---≥变式2 证明：若,,,,,x y z a b c R +∈，则222()b c c a a b y z xy yz xz a b c+++++≥++最有效训练题1．函数1()2f x x x =+-（2x >）在x a =处取得最小值，则a =（ ）.A 1 .B 1 .C 3 .D 42．已知0a >，0b >，2a b +=，则19y a b=+的最小值是（ ）.A 72 .B 8 .C 92.D 5 3．若0x >，0y >，2282y xm m x y+>+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） .A (,2][4,)-∞-⋃+∞ .B (,4][2,)-∞-⋃+∞ .C (2,4)- .D (4,2)-4．已知,a b R +∈，且21a b +=，则224S a b =-的最大值为（ ）.A .B 1 .C 1 .D 5．若0x >，0y >，且()1xy x y -+=则（ ）.A 2x y +≤ .B 2x y +≥ .C 21)x y +≤ .D 21)x y +≥6．若224mn+<，则点(,)m n 必在（ ）.A 直线20x y +-=的左下方 .B 直线20x y +-=的右上方 .C 直线220x y +-=的右上方 .D 直线220x y +-=的左下方7．在“4+91=”中的“ ”处分别填上一个自然数，使他们的和最小，其和的最小值为8．已知函数()1pf x x x =+-（p 为常数，且0p >），若()f x 在(1,)+∞上的最小值是4，则实数p 的值为9．已知关于x 的不等式227x x a+≥-在(,)x a ∈+∞上恒成立，则实数a 的最小值为10．（1）设02x <<，求函数(42)y x x =-最大值. （2）设(0,)x π∈，求函数4()sin sin f x x x=+的最小值. （3）已知0x >，0y >，且1x y +=，求34x y+的最小值 （4）若正数,x y 满足35x y xy +=，则34x y +的最小值是11．已知,a b≥12．提高过江大桥车辆的通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下，大桥上的车辆速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0，当车流速度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明，当20200x ≤≤时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数. （1）当20200x ≤≤时，求函数()v x 的表达式；（2）当车密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/每小时）()()f x x v x =可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆/小时）.。

基本不等式知识点及题型归纳总结知识点精讲1. 几个重要的不等式（1）（2）基本不等式：如果，则(当且仅当“”时取“”).特例：同号.（3）其他变形：①(沟通两和与两平方和的不等关系式)②(沟通两积与两平方和的不等关系式)③(沟通两积与两和的不等关系式)④重要不等式串：即调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值(注意等号成立的条件).2. 均值定理已知.（1）如果(定值)，则(当且仅当“”时取“=”).即“和为定值，积有最大值”.（2）如果(定值)，则(当且仅当“”时取“=”).即积为定值，和有最小值”.题型归纳及思路提示题型1 基本不等式及其应用思路提示熟记基本不等式成立的条件，合理选择基本不等式的形式解题，要注意对不等式等号是否成立进行验证.例7.5“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件解析：由能推出；但反之不然，因为的条件是，故选A.变式1 已知且，则（）A. B. C. D.变式2下列不等式中一定成立的是（）A. B.C. D.例7.6 若，则下列不等式对一切满足条件的恒成立的是（写出所有正确命题的序号）.①；②；③；④；⑤.解析：对于①，由及得，即(当且仅当时取等号)，故①正确；对于②，由及得，即(当且仅当时取等号)，故②正确；对于③，由得，故③正确.对于④，，因此(当且仅当时取等号)，故④不恒成立；对于⑤，，又，则，故⑤正确，故填①③⑤.变式1如果正数满足，那么（）A. ，且等号成立时的取值唯一B. ，且等号成立时的取值唯一C. ，且等号成立时的取值不唯一D. ，且等号成立时的取值不唯一题型2 利用基本不等式求函数最值思路提示（1）在利用基本不等式求最值时，要把握四个方面，即“一正各项都是正数；二定和或积为定值；三相等等号能否取到（对于不满足‘相等’的函数求最值，可考虑利用函数单调性解题）；四同时多次使用基本不等式时等号要同时取得”，求最值时，这是个方面缺一不可，若忽视了某个条件的验证，可能会出现错误.（2）利用基本不等式求函数最值常用的技巧有：1通过加减项的方法配凑成使用基本不等式的形式；2注意“1”的变换；3灵活选择和应用基本不等式的变形形式；4合理配组，反复使用基本不等式等.一、利用基本不等式求最值要注意条件的验证例7.7 （1）若，求函数的最小值；（2）若，求函数的值域.分析：（1）因为满足不等式条件，可以直接利用基本不等式求最值.（2）因为，故需先转化为，才能利用基本不等式求最值.解析：因为，由基本不等式得，当且仅当，即时，取最小值.（2）因为，所以，则，且，即. 当且仅当，即时，取最大值.故函数的值域为.评注：解（1）时，应注意积为定值这个前提条件；解（2）时，应注意使用基本不等式求最值时，各项必须为正数.变式1 （1）求函数的值域（2）求函数的最小值；（3）求函数的最小值.二、通过代数变换凑配成使用基本不等式的形式例7.8已知，求函数的最大值.分析：因为，所以首先要调整符号，又不是常数，所以要对进行拆凑项，通过将函数解析式拆凑成可以使用基本不等式的形式，从而求得函数的最值.解析：因为，所以，由（当且仅当时，即时取等号）得. 所以函数的最大值为1.当且仅当时，即时取等号，故当时，.评注：利用基本不等式求最值时要重视各种条件，即“一正二定上相等四同时”必须全部满足，方可利用其求得最值. 如果本题中的条件“”改为“”，则如下求解：因为，所以，为错误求解，错误原因：在于只注重基本不等式的形式构造而未对成立条件“三相等”加以验证，事实上，.一般地，对勾函数在上单调递减，在上单调递增，若不满足“三相等”的条件可以利用函数的单调性求最值.另外，还要注意与对勾函数同形质异的函数在上和均为单调增函数.如可直接利用单调性求最值.变式1 求函数的最大值.变式2 设正实数满足，则当取得最大值时，最大值为（ ）A. 0B. 1C.D. 3 三、“1”的变换 例7.9 已知，且，求的最小值.分析：利用条件中“1”的变换.解析：解法一：因为，且，所以.当且仅当即，的最小值为16.解法二：由，且，得，所以10.因为0y >，所以90y ->，所以99(9)102(9)101699y y y y -++≥-+=--. 当且仅当999y y -=-，即12y =时取等号，此时4x =，所以当4,12x y ==时，x y +取得最小值16 评注 本题的解法一是利用条件中的“1”，代换成“19x y+”，将其所求的形配凑成利用基本不等式的形式，使得题目顺利求解，但下面的解法是错误的：因为1919612x y x y xy+=≥=，即36xy ≥，所以223612x y xy +≥=，错误的原因在于连续使用了两次基本不等式，但未对两个“=”成立的条件是否吻合进行验证，其实，这两次“=”不能同时取得，这就提醒我们，在多次使用基本不等式时，一定要验证多次“=”满足的条件能否同时成立.变式1 已知0a >，0b >，2a b +=，则11y a b=+的最小值是 变式2 求函数2214(0)sin cos 2y x x x π=+<<的最小值 变式3已知a b c >>，证明：1113a b b c c a a c++≥---- 变式4 设2a b +=，0b >则当a = 时，12a a b+最得最小值. 四、转化思想和方程消元思想在求二元函数最值中的应用例7.10若正数,a b 满足3ab a b =++，则：（1）ab 的取值范围是 （2）a b +的取值范围是分析 由等量关系的结构特征可知，只需将所求部分之外的部分利用不等式转化为所求的形式，然后解不等式即可.解析（1）解法一：基本不等式.33ab a b =++≥，当且仅当a b =时取等号，所以230≥，3≥1-（舍），3≥，故有9ab ≥.当且仅当3a b ==时取等号，即ab 的取值范围是[9,)+∞解法二：判别式法.令ab t =（3t >），则t b a =，代入原式得，3t t a a=++，整理得2(3)0a t a t +-+=. 2(3)40t t ∆=--≥，得9t ≥或1t ≤（舍），ab 的取值范围是[9,)+∞（2）解法一：23()2a b ab a b +=++≤，当且仅当a b =时取等号，令0S a b =+>，则234S S +≤，整理得即24120S S --≥得6S ≥或2S ≤-（舍），即a b +的取值范围是[6,)+∞解法二：判别式法，令a b t +=（0t >），则b t a =-，代入原式得，()3a t a t -=+，整理得230a at t -++=24(3)0t t ∆=-+≥，得6t ≥或2t ≤-（舍）.即a b +的取值范围是[6,)+∞评注：注意体会使用方程消元法求范围与利用基本不等式求范围的优劣，试用方程消元法求解本题的第（2）问.变式1 若,0x y >满足26x y xy ++=，则xy 的最小值是变式2 若,0x y >满足2x y xy ++=，则x y +的最小值是 变式3 若,0x y >满足228x y xy ++=，则2x y +的最小值是（ ）.A 3 .B 4 .C 92 .D 112五、灵活选择和运用基本不等式的变形形式例7.11 设0,0x y ≥≥，2212y x +=，则的最大值为 分析 观察所求式子与题中所给条件的联系，运用基本不等式灵活建立两者之间的关系是解题的核心.解析 0x ≥，0y ≥，2212y x +=所以== 221222y x ++≤2212222y x ++==（当且仅当2212y x +=时取“=”，即x =，2y =时取“=”）. 评注 本题除了利用基本不等式求解外，还可以利用已知条件中的2212y x +=，采用三角换元来求解，望同学们自己尝试．变式１ 已知0a >，0b >，4a b +=，求2211()()a b a b+++的最小值． 六、合理配组，反复应用基本不等式 例7.12 设0a b >>，则211()a ab a a b ++-的最小值是（ ） .A 1 .B 2 .C 3 .D 4解析 解法一：因为2112a b a b +≤+，所以411a b a b+≥+.故2114()ab a a b a ab ab +≥-+- 则211()a ab a a b ++-224a a ab ab≥++-2222444a a a =+≥=（当且仅当2ab a ab =-与44a =，0a b >>同时成立时，取得“=”），即当a =2b =211()a ab a a b ++-的最小值为4，故选D解法二：22111111()()a a ab a a b ab b a b a++=++---，因为0b >，0a b ->，所以22()()24a a b a b -≤=（当且仅当2a b =时取“=”），则222221444()a a b a b a a+≥+≥=-（当且仅当a ==”），所以当a =2b =时，211()a ab a a b ++-的最小值为4，故选D变式1 若0a >，0b >，满足11a b++ ）.A 2 .B .C 4 .D 5变式2 若,x y 是正数，则2211()()22x y y x+++的最小值是（ ） .A 3 .B 72 .C 4 .D 92题型3 利用基本不等式证明不等式思路提示类似于基本不等式的结构的不等式的证明可以利用基本不等式去组合、分解、运算获得证明. 例7.13 （1）,,a b c R +∈，求证：11()()4a b c a b c+++≥+ （2）,,a b c R +∈，求证：222a b c a b c b c a++≥++（3）,,x y z R +∈，且1x y z ++=解析 （1）因为,,0a b c >，所以1111()()[()]()a b c a b c a b c a b c+++=+++++ 11a b c b c a +=++++2a b cb c a+=+++224≥+=当且仅当a b c =+时等号成立. （2）因为,,0a b c >，所以22a b a b +≥，22b c b c +≥，22c a c a +≥三式相加得：222()()()a b c b c a b c a +++++222a b c ≥++，即222a b c a b c b c a++≥++（3）分析法.要证明≤，只需证3x y z +++≤，只需证：1≤因为,,x y z R +∈，x y +≥，x z +≥，y z +≥，所以2()x y z ++≥1≤成立.评注 本题（2）的证明是综合法，（3）的证明是分析法.综合是从已知出发推导结果，分析法是从结果出发，去分析命题成立的条件，一般情况下两种方法是可以通用的，对于比较复习的问题，也可以结合这两种方法使用变式1若,,a b c R +∈，且1a b c ++=，求证：111(1)(1)(1)8a b c---≥变式2 证明：若,,,,,x y z a b c R +∈，则222()b c c a a b y z xy yz xz a b c+++++≥++最有效训练题1．函数1()2f x x x =+-（2x >）在x a =处取得最小值，则a =（ ）.A 1 .B 1 .C 3 .D 42．已知0a >，0b >，2a b +=，则19y a b=+的最小值是（ ）.A 72 .B 8 .C 92.D 5 3．若0x >，0y >，2282y xm m x y+>+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） .A (,2][4,)-∞-⋃+∞ .B (,4][2,)-∞-⋃+∞ .C (2,4)- .D (4,2)-4．已知,a b R +∈，且21a b +=，则224S a b =-的最大值为（ ）.A .B 1 .C 1 .D 5．若0x >，0y >，且()1xy x y -+=则（ ）.A 2x y +≤ .B 2x y +≥ .C 21)x y +≤ .D 21)x y +≥6．若224mn+<，则点(,)m n 必在（ ）.A 直线20x y +-=的左下方 .B 直线20x y +-=的右上方 .C 直线220x y +-=的右上方 .D 直线220x y +-=的左下方7．在“4+91=”中的“ ”处分别填上一个自然数，使他们的和最小，其和的最小值为8．已知函数()1pf x x x =+-（p 为常数，且0p >），若()f x 在(1,)+∞上的最小值是4，则实数p 的值为9．已知关于x 的不等式227x x a+≥-在(,)x a ∈+∞上恒成立，则实数a 的最小值为10．（1）设02x <<，求函数(42)y x x =-最大值. （2）设(0,)x π∈，求函数4()sin sin f x x x=+的最小值. （3）已知0x >，0y >，且1x y +=，求34x y+的最小值 （4）若正数,x y 满足35x y xy +=，则34x y +的最小值是11．已知,a b≥12．提高过江大桥车辆的通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下，大桥上的车辆速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0，当车流速度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明，当20200x ≤≤时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数. （1）当20200x ≤≤时，求函数()v x 的表达式；（2）当车密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/每小时）()()f x x v x =可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆/小时）.。

题型1 基本不等式正用a ＋b ≥2ab例1：(1)函数f (x )＝x ＋1x (x >0)值域为________；函数f (x )＝x ＋1x(x ∈R )值域为________；(2)函数f (x )＝x 2＋1x 2＋1的值域为________． 解析：(1)∵x >0，x ＋1x≥2x ·1x＝2，∴f (x )(x >0)值域为[2，＋∞)； 当x ∈R 时，f (x )值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)； (2)x 2＋1x 2＋1＝(x 2＋1)＋1x 2＋1－1≥2x 2＋1·1x 2＋1－1＝1，当且仅当 x ＝0 时等号成立．答案：(1)[2，＋∞) (－∞，－2]∪[2，＋∞) (2)[1，＋∞)4．(2013·镇江期中)若x >1，则x ＋4x －1的最小值为________．解析：x ＋4x －1＝x －1＋4x －1＋1≥4＋1＝5.当且仅当x －1＝4x －1，即x ＝3时等号成立．答案：5 [例1] (1)已知x ＜0，则f (x )＝2＋4x＋x 的最大值为________．(1)∵x ＜0，∴－x ＞0，∴f (x )＝2＋4x ＋x ＝2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤4－x ＋－x .∵－4x ＋(－x )≥24＝4，当且仅当－x ＝4－x ，即x＝－2时等号成立．∴f (x )＝2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤4－x ＋－x ≤2－4＝－2，∴f (x )的最大值为－2.例：当x ＞0时，则f (x )＝2xx 2＋1的最大值为________． 解析：(1)∵x ＞0，∴f (x )＝2x x 2＋1＝2x ＋1x≤22＝1，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时取等号． 3．函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值是________．解析：∵x >1，∴x －1>0.∴y ＝x 2＋2x －1＝x 2－2x ＋2x ＋2x －1＝x 2－2x ＋1＋2x －1＋3x －1＝x －12＋2x －1＋3x －1＝x －1＋3x －1＋2≥2 x －13x －1＋2＝23＋2.当且仅当x －1＝3x －1，即x ＝1＋3时，取等号．答案：23＋2 10．已知x ＞0，a 为大于2x 的常数，求y ＝1a －2x－x 的最小值． 解：y ＝1a －2x ＋a －2x 2－a 2≥2 12－a 2＝2－a 2.当且仅当x ＝a －22时取等号．故y ＝1a －2x －x 的最小值为2－a2. 题型2 基本不等式反用ab ≤a ＋b2例：(1)函数f (x )＝x (1－x )(0<x <1)的值域为__________；(2)函数f (x )＝x (1－2x )⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <12的值域为__________．解析：(1)∵0<x <1，∴1－x >0, x (1－x )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋1－x 22＝14，∴f (x ) 值域为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14.(2)∵0<x <12，∴1－2x >0. x (1－2x )＝12×2x (1－2x )≤12·⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋1－2x 22＝18，∴f (x ) 值域为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18.答案：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14 (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18 3．(教材习题改编)已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为________．解析：由x (3－3x )＝13×3x (3－3x )≤13×94＝34，当且仅当3x ＝3－3x ，即x ＝12时等号成立．答案：123．函数y ＝x 1－x 2的最大值为________．解析：x 1－x 2＝x 21－x 2≤x 2＋1－x 22＝12.4．已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为 ( )A.13B.12C.34D.23解析 ∵0<x <1，∴1－x >0.∴x (3－3x )＝3x (1－x )≤3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1－x 22＝34.当x ＝1－x ，即x ＝12时取等号．答案 B 10．已知x ＞0，a 为大于2x 的常数，求函数y ＝x (a －2x )的最大值；解：∵x ＞0，a ＞2x ，∴y ＝x (a －2x )＝12×2x (a －2x )≤12×⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋a －2x 22＝a 28，当且仅当x ＝a4时取等号，故函数的最大值为a 28.题型三：利用基本不等式求最值2．已知t >0，则函数y ＝t 2－4t ＋1t的最小值为________．解析 ∵t >0，∴y ＝t 2－4t ＋1t ＝t ＋1t －4≥2－4＝－2，且在t ＝1时取等号．答案 －2例：当x >0时，则f (x )＝2xx 2＋1的最大值为________．解析：∵x >0，∴f (x )＝2x x 2＋1＝2x ＋1x≤22＝1，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时取等号．例1：(1)求函数f (x )＝1x －3＋x (x ＞3)的最小值；(2)求函数f (x )＝x 2－3x ＋1x －3(x ＞3)的最小值；思维突破：(1)“添项”，可通过减3再加3，利用基本不等式后可出现定值．(2)“拆项”，把函数式变为y ＝M ＋aM的形式． (1)∵x ＞3，∴x －3＞0.∴f (x )＝1x －3＋(x －3)＋3≥21x －3·x －3＋3＝5.当且仅当1x －3＝x －3，即x ＝4时取等号，∴f (x )的最小值是5.(2)令x －3＝t ，则x ＝t ＋3，且t ＞0.∴f (x )＝t ＋32－3t ＋3＋1t ＝t ＋1t＋3≥2t ·1t＋3＝5. 当且仅当t ＝1t，即t ＝1时取等号，此时x ＝4，∴当x ＝4时，f (x )有最小值为5.技巧总结：当式子不具备“定值”条件时，常通过“添项”达到目的；形如y ＝cx 2＋dx ＋fax ＋b(a ≠0，c ≠0)的函数，一般可通过配凑或变量替换等价变形化为y ＝t ＋p t(p 为常数)型函数，要注意t 的取值范围； 例：设x >－1，求函数y ＝x ＋4x ＋1＋6的最小值；解：∵x >－1，∴x ＋1>0.∴y ＝x ＋4x ＋1＋6＝x ＋1＋4x ＋1＋5≥2x ＋1·4x ＋1＋5＝9，当且仅当x ＋1＝4x ＋1，即x ＝1时，取等号．∴当x ＝1时，函数y 的最小值是9. 1．若x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值是________． 解析 由于x >0，y >0，则x ＋y ≥2xy ，所以xy ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝81，当且仅当x ＝y ＝9时，xy 取到最大值81. 答案 815．已知x ，y ∈R ＋，且满足x 3＋y4＝1，则xy 的最大值为_______________．解析 ∵x >0，y >0且1＝x 3＋y 4≥2xy 12，∴xy ≤3.当且仅当x 3＝y4时取等号．答案 36．(2013·大连期中)已知x ，y 为正实数，且满足4x ＋3y ＝12，则xy 的最大值为________．解析：∵12＝4x ＋3y ≥24x ×3y ，∴xy ≤3.当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧4x ＝3y ，4x ＋3y ＝12，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝2时xy 取得最大值3.答案：32．已知m >0，n >0，且mn ＝81，则m ＋n 的最小值为________．解析：∵m >0，n >0，∴m ＋n ≥2mn ＝18.当且仅当m ＝n ＝9时，等号成立．答案：18 5．已知x ＞0，y ＞0，lg x ＋lg y ＝1，则z ＝2x ＋5y的最小值为________．解析：由已知条件lg x ＋lg y ＝1，可得xy ＝10.则2x ＋5y≥210xy＝2，故⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5y min ＝2，当且仅当2y ＝5x 时取等号．又xy ＝10，即x ＝2，y ＝5时等号成立．答案：2(2012·天津高考)已知log 2a ＋log 2b ≥1，则3a ＋9b的最小值为________． 解析：由log 2a ＋log 2b ≥1得log 2(ab )≥1，即ab ≥2，∴3a ＋9b ＝3a ＋32b≥2×3a ＋2b 2(当且仅当3a ＝32b，即a ＝2b 时取等号)．∵a ＋2b ≥22ab ≥4(当且仅当a ＝2b 时取等号)，∴3a＋9b≥2×32＝18.即当a ＝2b 时，3a＋9b有最小值18. 3．设x ，y ∈R ，a >1，b >1，若a x ＝b y＝3，a ＋b ＝23，则1x ＋1y的最大值为 ( )A ．2 B.32 C ．1 D.12解析 由a x ＝b y＝3，得：x ＝log a 3，y ＝log b 3，由a >1，b >1知x >0，y >0，1x ＋1y ＝log 3a ＋log 3b ＝log 3ab ≤log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝1，当且仅当a ＝b ＝3时“＝”成立，则1x ＋1y的最大值 为1. 答案 C6．(2011·湖南)设x ，y ∈R ，且xy ≠0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1y 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x2＋4y 2的最小值为________．解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1y 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x2＋4y 2＝5＋1x 2y 2＋4x 2y 2≥5＋21x 2y 2·4x 2y 2＝9，当且仅当x 2y 2＝12时“＝”成立．答案 9例：若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，求xy 的最小值．解：∵x ＞0，y ＞0，则5xy ＝x ＋3y ≥2x ·3y ，∴xy ≥1225，当且仅当x ＝3y 时取等号．∴xy 的最小值为1225.4．若正实数x ，y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，则xy 的最小值是________． 答案 18解析 由x >0，y >0,2x ＋y ＋6＝xy ，得xy ≥22xy ＋6(当且仅当2x ＝y 时，取“＝”)，即(xy )2－22xy －6≥0， ∴(xy －32)·(xy ＋2)≥0. 又∵xy >0，∴xy ≥32，即xy ≥18. ∴xy 的最小值为18.例：已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是 ( )A ．3B ．4 C.92 D.112解析 依题意，得(x ＋1)(2y ＋1)＝9， ∴(x ＋1)＋(2y ＋1)≥2x ＋12y ＋1＝6，即x ＋2y ≥4.当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝2y ＋1，x ＋2y ＋2xy ＝8，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1时等号成立．∴x ＋2y 的最小值是4.3．若x ，y ∈(0，＋∞)，x ＋2y ＋xy ＝30. (1)求xy 的取值范围； (2)求x ＋y 的取值范围．解：由x ＋2y ＋xy ＝30，(2＋x )y ＝30－x ， 则2＋x ≠0，y ＝30－x2＋x ＞0,0＜x ＜30.(1)xy ＝－x 2＋30xx ＋2＝－x 2－2x ＋32x ＋64－64x ＋2＝－x －64x ＋2＋32 ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋2＋64x ＋2＋34≤18，当且仅当x ＝6时取等号，因此xy 的取值范围是(0,18]． (2)x ＋y ＝x ＋30－x 2＋x ＝x ＋32x ＋2－1＝x ＋2＋32x ＋2－3≥82－3，当且仅当⎩⎨⎧x ＝42－2，y ＝42－1时，等号成立，又x ＋y ＝x ＋2＋32x ＋2－3＜30，因此x ＋y 的取值范围是[82－3,30)．例：已知a >b >0，则a 2＋16b a －b的最小值是________．解析：∵a >b >0，∴b (a －b )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋a －b 22＝a 24， 当且仅当a ＝2b 时等号成立．∴a 2＋16b a －b ≥a 2＋16a 24＝a 2＋64a2≥2a 2·64a2＝16，当且仅当a ＝22时等号成立．∴当a ＝22，b ＝2时，a 2＋16ba －b取得最小值16. 8．设x ，y ，z 为正实数，满足x －2y ＋3z ＝0，则y 2xz的最小值是________．解析：由已知条件可得y ＝x ＋3z2，所以y 2xz ＝x 2＋9z 2＋6xz 4xz＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫x z ＋9z x ＋6 ≥14⎝⎛⎭⎪⎫2 x z ×9z x ＋6＝3， 当且仅当x ＝y ＝3z 时，y 2xz取得最小值3.答案：3例：已知x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ，若xy ≥m －2恒成立，则实数m 的最大值是________．解析：由x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ≥22xy ，得xy ≥8，于是由m －2≤xy 恒成立，得m －2≤8，即m ≤10.故m 的最大值为10.1．已知正数x ，y 满足x ＋22xy ≤λ(x ＋y )恒成立，则实数λ的最小值为________． 解析：依题意得x ＋22xy ≤x ＋(x ＋2y )＝2(x ＋y )，即x ＋22xy x ＋y ≤2(当且仅当x ＝2y 时取等号)，即x ＋22xyx ＋y的最大值是2；又λ≥x ＋22xyx ＋y，因此有λ≥2，即λ的最小值是2.答案：21．已知关于x 的不等式2x ＋2x －a≥7在x ∈(a ，＋∞)上恒成立，则实数a 的最小值为________． 解析：因为x >a ，所以2x ＋2x －a ＝2(x －a )＋2x －a＋2a ≥22x －a ·2x －a＋2a ＝2a ＋4，即2a ＋4≥7，所以a ≥32，即a 的最小值为32.答案：325．圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0 (a ，b ∈R )对称，则ab 的取值范围是 ( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，14B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，14 答案 A解析 由题可知直线2ax －by ＋2＝0过圆心(－1,2)，故可得a ＋b ＝1，又因ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝14(a ＝b 时取等号)．故ab 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，14.典例：(12分)已知a 、b 均为正实数，且a ＋b ＝1，求y ＝⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a ⎝⎛⎭⎪⎫b ＋1b 的最小值．易错分析 在求最值时两次使用基本不等式，其中的等号不能同时成立，导致最小值不能取到．审题视角 (1)求函数最值问题，可以考虑利用基本不等式，但是利用基本不等式，必须保证“正、定、等”，而且还要符合已知条件．(2)可以考虑利用函数的单调性，但要注意变量的取值范围． 规范解答解 方法一 y ＝⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a ⎝⎛⎭⎪⎫b ＋1b＝⎝⎛⎭⎪⎫ab ＋1ab ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫ab ＋1ab ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ab ＋1ab 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4ab ＋1ab －3ab 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫24ab ·1ab －3×a ＋b 22＝⎝⎛⎭⎪⎫4－322＝254.[10分] 当且仅当a ＝b ＝12时，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 取最小值，最小值为254.[12分] 方法二 y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＝ab ＋1ab ＋a b ＋b a ＝ab ＋1ab ＋a 2＋b 2ab ＝ab ＋1ab ＋a ＋b 2－2abab＝2ab＋ab －2.[8分]令t ＝ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝14，即t ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14.又f (t )＝2t ＋t 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14上是单调递减的，[10分] ∴当t ＝14时，f (t )min ＝334，此时，a ＝b ＝12.∴当a ＝b ＝12时，y 有最小值254.[12分]温馨提醒 (1)这类题目考生总感到比较容易下手．但是解这类题目却又常常出错．(2)利用基本不等式求最值，一定要注意应用条件：即一正、二定、三相等．否则求解时会出现等号成立、条件不具备而出错．(3)本题出错的原因前面已分析，关键是忽略了等号成立的条件. 方法与技巧1．基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点． 2．恒等变形：为了利用基本不等式，有时对给定的代数式要进行适当变形．比如：(1)当x >2时，x ＋1x －2＝(x －2)＋1x －2＋2≥2＋2＝4.(2)0<x <83，x (8－3x )＝13(3x )(8－3x )≤13⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋8－3x 22＝163.失误与防范1．使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．2．在运用重要不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足重要不等式中“正”“定”“等”的条件．3．连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致． 题型四：利用基本不等式整体换元例2：若正数 a ，b 满足 ab ＝a ＋b ＋3，求 ab 及 a ＋b 的取值范围．思维突破：本题主要考查均值不等式在求最值时的运用，并体现了换元法、构造法等重要思想． 自主解答：方法一：由ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3， 即ab －2ab －3≥0. 即(ab －3)(ab ＋1)≥0. ∵ab ≥0，∴ab ＋1≥1. 故ab －3≥0，∴ab ≥9. 当且仅当a ＝b ＝3时取等号． 又∵ab ≤a ＋b2，∴ab ＝a ＋b ＋3≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22.当且仅当a ＝b ＝3时取等号． 即(a ＋b )2－4()a ＋b －12≥0，(a ＋b －6)(a ＋b ＋2)≥0.∵a ＋b ＋2＞0，有a ＋b －6≥0，即a ＋b ≥6. ∴a ＋b 的取值范围是[6，＋∞)． 方法二：由ab ＝a ＋b ＋3，则b ＝a ＋3a －1. ab ＝a ＋4a a －1＝a ＋4＋4a －1＝a －1＋4a －1＋5≥2a －1·4a －1＋5＝9，当且仅当a ＝b ＝3时取等号． ∴ab 的取值范围是[9，＋∞)． 由ab ＝a ＋b ＋3，得b ＝a ＋3a －1， a ＋b ＝a ＋a ＋3a －1＝a ＋1＋4a －1＝(a －1)＋4a －1＋2≥2()a －1·4a －1＋2＝6， 当且仅当a ＝b ＝3时取等号． ∴a ＋b 的取值范围是[6，＋∞)．技巧总结：整体思想是分析这类题目的突破口，即a ＋b 与ab 分别是统一的整体，把a ＋b 转换成ab 或把ab 转换成a ＋b .例3：已知正数a ，b 满足a ＋2b ＝1，则1a ＋1b的最小值是____．试解：1a ＋1b ＝a ＋2b a ＋a ＋2b b＝3＋2b a＋ab≥3＋22b a ·ab＝3＋2 2.易错点评：多次利用基本不等式解题，没有考虑等号能否同时成立。

基本不等式总结题型一、基本不等式的概念基本不等式呢，就是那个超有用的不等式啦，对于正数a、b，有(a + b)/2 ≥ √(ab)。

这就像是数学世界里的一个小宝藏，在好多题型里都会用到哦。

二、基本不等式总结题型1. 求最值题型比如给你一个式子y = x+1/x（x>0），要求这个式子的最小值。

这时候就可以用基本不等式啦。

因为x和1/x都是正数，根据基本不等式(a + b)/2 ≥ √(ab)，这里 a = x，b = 1/x，那么y=x + 1/x≥2√(x×1/x)=2，所以y的最小值就是2啦。

还有像已知2x + 3y = 6，求xy的最大值这种题。

我们可以把2x和3y看作基本不等式里的a和b，由2x+3y = 6可得y=(6 - 2x)/3，那么xy=x×(6 - 2x)/3=-2/3x² + 2x。

再根据基本不等式变形可得2x+3y≥2√(6xy)，6≥2√(6xy)，解这个不等式就可以求出xy的最大值。

2. 证明不等式题型比如说要证明(a² + b²)/2≥ab。

我们可以从基本不等式出发，因为(a - b)²≥0，展开得到a² - 2ab + b²≥0，移项就得到a² + b²≥2ab，两边同时除以2，就得到(a² + b²)/2≥ab啦。

再比如证明1/(a + b)+1/(b + c)+1/(c + a)≥9/(2(a + b + c))（a,b,c都是正数）。

这种题就需要巧妙地构造基本不等式的形式，把式子进行变形然后利用基本不等式来证明。

3. 比较大小题型例如比较(a + b)/2和√((a² + b²)/2)的大小（a,b都是正数）。

我们可以采用作差法，把(a + b)/2 - √((a² + b²)/2)进行化简，然后根据基本不等式的性质来判断这个差是大于0、小于0还是等于0，从而得出两个式子的大小关系。