115第9章 重积分重积分是定积分概念的推广，其被积函数是多元函数，积分范围是平面或空间的一个有界闭区域，两者虽然形式不同，但本质都是一种和式的极限．本章主要介绍二重积分和三重积分的概念、性质、计算方法以及它们在几何和物理方面的一些应用．§1 二重积分的概念及性质一、两个实例1.曲顶柱体的体积所谓曲顶柱体是指以xOy 面上的有界闭区域D 为底，以D 的边界曲线为准线、母线平行于z 轴的柱面为侧面，以曲面(),z f x y =(其中(),f x y 是D 上的非负连续函数)为顶的这样一种立体Ω(如图9-1)．下面运用第5章中计算曲边梯形面积的思想来计算上述曲顶柱体的体积.现将具体计算过程阐述如下:(1)分割：将曲顶柱体Ω分割成若干小曲顶柱体 将闭区域D 任意分割成n 个小闭区域i σ∆，i σ∆同时也表示第i 个小区域的面积．以每个小区域i σ∆(1,2,,)i n =的边界曲线为准线,作母线平行于z 轴的柱面，这些柱面将曲顶柱体分成n 个小曲顶柱体(如图9-2),设其体积为i V ∆(1,2,,)i n =,则曲顶柱体体积1ni i V V ==∆∑．(2)近似：用小平顶柱体的体积近似代替小曲顶柱体的体积 在每个小区域i σ∆内任取一点(),i i ξη,以iσ∆为底，(,)i i f ξη(1,2,,)i n =为高的小平顶柱体的体积作为相应小曲顶柱体体积的近似值，即(,)(1,2,,)i i i i V f i n ξησ∆≈∆=．(3)求和：用n 个小平顶柱体的体积和作为曲顶柱体体积V 的近似值11611(,)n ni i i i i i V V f ξησ===∆≈∆∑∑．(4)取极限当对区域D 的分割无限变细，即当各个小闭区域i σ∆(1,2,,)i n =的直径(有界闭区域的直径是指区域中任意两点间距离的最大值)中的最大值λ趋于零时，取上式和式的极限，便可得到所求曲顶柱体的体积11lim (,)nni i i i i i V V f λξησ→===∆=∆∑∑．2.平面薄板的质量设一平面薄板占有xOy 面上有界闭区域D ，它在点(),x y 处的面密度()y x ,μ为D 上的非负连续函数，求该薄板的质量m ．如果薄板是均匀的，即面密度是常数，则薄板质量为m =面密度⨯薄板面积，而此薄板面密度()y x ,μ是变量，故不能用上面公式计算此薄板质量．类似于上面求曲顶柱体体积的方法，下面来计算薄板的质量m ．(1)分割 如图9-3，将闭区域D 任意分割成n 个小闭区域i σ∆，iσ∆同时也表示第i 个小区域的面积(1,2,,)i n =．设第i 个小区域的质量为i m ∆(1,2,,)i n =，于是 1ni i m m ==∆∑．(2)近似由于()y x ,μ连续,小区域上面密度变化很小，可近似地看作是均匀的，于是在i σ∆内任取一点(),i i ξη(1,2,,)i n =，有()(),1,,i i i i m i n μξησ∆≈∆=．(3)求和将这n 个近似值相加，便得到整个平面薄板质量的近似值，即1(,)ni i i i m μξησ=≈∆∑．(4)取极限当n 个小区域的最大直径0λ→时，上述和式的极限就是所求薄板的质量，即11lim (,)nni i i i i i m m λμξησ→===∆=∆∑∑．117上面两个实例，一个是几何问题，一个是物理问题．虽然两个问题的实际意义不同，但是解决这两个问题的思想方法都是相同的，结果都归结为计算同一形式和式的极限．抛开上述两个问题的具体意义，可抽象出下述二重积分的定义．二、二重积分的定义定义1 设函数(,)f x y 是有界闭区域D 上的有界函数，将D 任意分割成n 个小闭区域i σ∆，并用i σ∆表示第i 个小区域的面积(1,2,,)i n =．在每个小闭区域i σ∆内任取一点(),i i ξη，作乘积(,)(1,2,,)i i i f i n ξησ∆=,并求和1(,)n i i i i f ξησ=∆∑.如果当各小闭区域的直径中的最大值λ趋于零时，此和式极限存在，且与区域D 的分法和点(),i i ξη的取法无关，则称(,)f x y D 上可积，并称此极限值为函数(,)f x y 在闭区域D 上的二重积分， 记作(),d Df x y σ⎰⎰，即()01,d lim (,)niiii Df x y f λσξησ→==∆∑⎰⎰其中(,)f x y 称为被积函数，(,)d f x y σ称为被积表达式，x ，y 称为积分变量，d σ称为面积微元，D 称为积分区域．在上述定义中对闭区域D 的分割是任意的，如果(,)f x y 在D 上可积，那么为方便计算，我们可取特殊的分割．例如在直角坐标系中，可用平行于坐标轴的直线来分割区域D ，此时除了包含D 边界的一些小区域外，其余的小区域都是矩形区域，且小矩形区域的面积为i i i x y σ∆=∆∆．因此在直角坐标系中，常将二重积分的面积元素写成d =d d x y σ，二重积分常可以写为()(),d ,d d DDf x y f x y x y σ=⎰⎰⎰⎰．利用上述定义，前面所讨论的两个实例可分别如下表示： (1)曲顶柱体的体积是曲面(,)z f x y =()(,)0f x y ≥在底D 上的二重积分，即(),d DV f x y σ=⎰⎰．(2)平面薄板的质量是其面密度()y x ,μ在薄板所占闭区域D 上的二重积分，即(),d Dm x y μσ=⎰⎰．与定积分类似，下面不加证明地给出二重积分存在的两个充分条件． 定理1 若函数(,)f x y 在有界闭区域D 上连续，则(,)f x y 在区域D 上可积． 定理2 若函数(,)f x y 在有界闭区域D 上有界，且分片连续（即可把D 分成有限个118子区域，使(,)f x y 在每个子区域上都连续），则(,)f x y 在区域D 上可积．三、二重积分的几何意义设函数(,)f x y 连续，则(1) 当(,)0f x y ≥时，二重积分(),d Df x y σ⎰⎰表示的是以曲面(,)z f x y =为顶，以区域D 为底的曲顶柱体的体积V ，即(),d Df x y V σ=⎰⎰；(2) 当(,)0f x y ≤时，曲顶柱体在xOy 面下方，此时(),d Df x y σ⎰⎰表示的是曲顶柱体体积V 的负值，即(),d Df x y V σ=-⎰⎰；(3) 当(,)f x y 有正有负时，(),d Df x y σ⎰⎰表示区域D 上在xOy 面上方的曲顶柱体体积1V 与xOy 面下方的曲顶柱体体积2V 之差，即()12,d Df x y V V σ=-⎰⎰．例 1 利用二重积分的几何意义,计算二重积分DI σ=，其中区域(){}222,D x y xy R =+≤．解 被积函数(),f x y =是半径为R 的上半球面,积分区域D 是半径为R 的圆,所以由二重积分的几何意义可知，所求二重积分为上半球体的体积，即323DI R σπ==．四、二重积分的性质二重积分具有与定积分类似的性质，下面假定所讨论的函数在相应积分区域上均可积．性质1 两个函数和(或差)的二重积分等于它们二重积分的和(或差)，即()()()(),,d ,d ,d DDDf x yg x y f x y g x y σσσ±=±⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰． 性质2 被积函数的常数因子可以提到二重积分的符号外面,即对任意常数k ，有119()(),d ,d DDk f x y k f x y σσ=⎰⎰⎰⎰．性质1和性质2称为二重积分的线性性质，且对任意常数12,,,n k k k ，有()()()1122,,,d n n Dk f x y k f x y k f x y σ±±±⎡⎤⎣⎦⎰⎰()()()1122,d ,d ,d n n DDDk f x y k f x y k f x y σσσ=±±±⎰⎰⎰⎰⎰⎰．性质3 若被积函数(,)1f x y ≡,则1d d DDσσσ⋅==⎰⎰⎰⎰，其中σ为区域D 的面积．该性质的几何意义是很明显的,即高为1的平顶柱体的体积在数值上等于柱体的底面积．性质4(积分区域可加性) 若积分区域D 被一条曲线分成两个闭区域1D 和2D ，则有()()()12,d ,d ,d DD D f x y f x y g x y σσσ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰．这一性质可推广到将D 分割成有限个区域()1,2,,i D i n =上去，即 ()()()()12,d ,d ,d ,d nDD D D f x y f x y g x y g x y σσσσ=+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰．性质5(二重积分保号性) 若(,)0f x y ≥(),x y D ∈，则(),d 0Df x y σ≥⎰⎰．推论1 若在区域D 上()(,),f x y g x y ≤，则()(),d ,d DDf x yg x y σσ≤⎰⎰⎰⎰．推论2()(),d ,d DDf x y f x y σσ≤⎰⎰⎰⎰．性质6(二重积分估值定理) 设M 及m 分别是函数(,)f x y 在闭区域D 上的最大值与最小值，σ为区域D 的面积，则(),d Dm f x y M σσσ≤≤⎰⎰．性质7(二重积分中值定理) 设函数(),f x y 在闭区域D 上连续，σ为区域D 的面积，120则在D 上至少存在一点(),ξη，使得()(),d ,Df x y f σξησ=⎰⎰．证 因为(),f x y 在D 上连续，由最值定理知，(),f x y 在D 上必存在最大值M 和最小值m ，由性质6有(),d Dm f x y M σσσ≤≤⎰⎰．再由介值定理知，至少存在一点(),D ξη∈，使得()()1,d ,Df x y f σξησ=⎰⎰． 即()(),d ,Df x y f σξησ=⎰⎰．证毕．这一性质的几何意义：在D 上以曲面(),f x y 为顶的曲顶柱体的体积，等于D 上以某一点(),ξη的函数值(),fξη为高的平顶柱体的体积．例2 利用二重积分的性质，估计二重积分()5d DI x y σ=-+⎰⎰的值，其中(){}22,4D x y xy =+≤．解 如图9-4所示，当224x y +≤时，x y --≤ 所以()()5454I ππ-≤≤．习题 9-11．利用二重积分定义证明: (1)d Dσσ=⎰⎰(其中σ为区域D 的面积)；(2)()(),d ,d DDk f x y k f x y σσ=⎰⎰⎰⎰(k 为常数)．2．利用二重积分的几何意义，计算下列二重积分： (1)()1d Dx y σ--⎰⎰，其中积分区域D 是由直线1x y +=，0x =，0y =所围成的121区域；(2)2d Dσ⎰⎰，其中积分区域(){},1,1,0D x y x y y x y =+≤-≤≥；(3)d Dσ⎰⎰，其中积分区域()2222,1x y D x y a b ⎧⎫⎪⎪=+≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭．3．利用二重积分的性质，比较下列二重积分的大小： (1)()2d Dx y σ+⎰⎰与()3d Dx y σ+⎰⎰，其中积分区域D 是由直线1x y +=与x 轴，y 轴 所围成的区域；(2)()2d Dx y σ+⎰⎰与()3d Dx y σ+⎰⎰，其中积分区域D 是由圆()()22212x y -+-=所围成的区域；(3)()ln d Dx y σ+⎰⎰与()2ln d Dx y σ+⎰⎰，其中积分区域D 是以点()1,0，()1,1，()2,0 为顶点的三角形闭区域；(4)()ln d Dx y σ+⎰⎰与()2ln d Dx y σ+⎰⎰，其中积分区域(){},35,01D x y x y =≤≤≤≤． 4．利用二重积分的性质，估计下列二重积分的值： (1)()1d Dx y σ++⎰⎰，其中积分区域(){},01,02D x y x y =≤≤≤≤；(2)22sin sin d Dx y σ⎰⎰，其中积分区域(){},0,0D x y x y ππ=≤≤≤≤； (3)sin cos d x y De σ⎰⎰，其中积分区域(){}22,4D x y xy =+≤；(4)()2249d Dxy σ++⎰⎰，其中积分区域(){}22,4D x y xy =+≤．§2 二重积分的计算一、直角坐标系下二重积分的计算由于二重积分的值与积分区域D 有关，因此下面在直角坐标系下按积分区域D 的类122型介绍二重积分(),d Df x y σ⎰⎰的计算方法，其中被积函数(),f x y 为D 上连续函数．1、积分区域D 为X 型区域二重积分(),d Df x y σ⎰⎰的计算所谓X 型区域是指由曲线()1y x ϕ=和()2y x ϕ=以及直线x a =和x b =所围成的闭区域，这里函数()1x ϕ、()2x ϕ在区间[,]a b 上连续(如图9-5)．该区域的特点是过D 内部任一点作一条平行于y 轴的直线，该直线与D 的边界交点不超过两个．X 型区域D 可这样表示：()()(){}12,,D x y x y x a x b ϕϕ=≤≤≤≤．若(),0f x y ≥且在X 型区域D 上连续，则由二重积分的几何意义知，(),d Df x y σ⎰⎰表示的是以D 为底，以(),z f x y =为顶的曲顶柱体的体积．下面利用“切片法”来计算上述曲顶柱体的体积V ．如图9-6，过x 轴上区间[,]a b 上任一点x 作垂直于x 轴的平面，该平面截曲顶柱体所得截面是一个以区间()()12[,]x x ϕϕ为底，以曲线(),z f x y =为曲边的曲边梯形，且截面面积为()()()()21,d x xA x f x y y ϕϕ=⎰．再利用第六章定积分的几何应用:已知立体的截面面积()A x ，[,]x a b ∈，则立体体 积公式()d baV A x x =⎰，可得曲顶柱体的体积V 为()()()()21d ,d d b bx aa x V A x x f x y y x ϕϕ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰．123此体积V 的值即为二重积分(),d Df x y σ⎰⎰的值，即有()()()()21,d ,d d b x a x Df x y f x y y x ϕϕσ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰． (1)上式右端称为先对y 积分然后再对x 积分的二次积分或累次积分．它的实质是计算两次定积分:先把x 看成常数，即(),f x y 只看成y 的函数，对变量y 计算从()1x ϕ到()2x ϕ的定积分()()()21,d x x f x y y ϕϕ⎰，其结果是x 的函数，然后再对变量x 计算[,]a b 上的定积分．这种先对y 后对x 的累次积分也常记作()()()21d ,d b x ax x f x y y ϕϕ⎰⎰．因此公式(1)也常写为()()()()21,d d ,d b x ax Df x y x f x y y ϕϕσ=⎰⎰⎰⎰．(2) 2、积分区域D 为Y 型区域二重积分(),d Df x y σ⎰⎰的计算所谓Y 型区域是指由曲线()1x y ψ=和()2x y ψ=以及直线y c =和y d =所围成的闭区域，这里函数()1y ψ、()2y ψ在区间[,]c d 上连续(如图9-7)．该区域的特点是过D 内部任一点作一条平行于x 轴的直线，该直线与D 的边界交点不超过两个．Y 型区域D 可这样表示：()()(){}12,,D x y y x y c y d ψψ=≤≤≤≤．类似于X 型区域D 上二重积分(),d Df x y σ⎰⎰计算公式(1)或(2)的推导，容易得到Y型区域D 上二重积分(),d Df x y σ⎰⎰可化为先对x 积分再对y 积分的累次积分来计算，计算公式为124()()()()()()()2211,d ,d d d ,d d y d y cy c y Df x y f x y x y y f x y x ψψψψσ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰． (3) 注 上面公式(2)和公式(3)的推导中，总假定了(),0f x y ≥，实际上此条件可去掉，即对有界闭区域上的任意连续函数(),f x y ，公式(2)和公式(3)均成立．若积分区域D 既是X 型区域，又是Y 型区域，则有()()()()()()()2211,d d ,d d ,d b x dy ax cy Df x y x f x y y y f x y x ϕψϕψσ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰．此式说明两个不同顺序的累次积分相等，同为原二重积分之值．但在具体计算中，两种方法的效果有时未必相同，甚至其中一种顺序可能无法进行计算，如下面例3．因此在实际计算中选择恰当的积分次序很关键．3、积分区域D 既非X 型区域又非Y 型区域此时可用平行于坐标轴的直线将D 分割成几个子区域，使每个子区域成为X 型区域或Y 型区域．然后利用积分区域可加性，分别计算出相应子区域上的二重积分再求和即可(如图9-8) ，即()()()12,d ,d ,d DD D f x y f x y f x y σσσ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰()3,d D f x y σ+⎰⎰．例1 计算二重积分1d 34D x y σ⎛⎫-- ⎪⎝⎭⎰⎰，其中D (){},22,11x y y x =-≤≤-≤≤． 解 首先画出积分区域D 的图形(如图9-9)，D 既是X 型区域，又是Y 型区域．方法一：按X 型区域，即按先y 后x 的次序计算，有1d 34D x y σ⎛⎫-- ⎪⎝⎭⎰⎰1212d 1d 34x y x y --⎛⎫=-- ⎪⎝⎭⎰⎰ 212121d 38x y y y x --⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦⎰1144d 83x x -⎛⎫=-= ⎪⎝⎭⎰． 方法二：按Y 型区域，即按先x 后y 的次序计算，有1d 34D x y σ⎛⎫-- ⎪⎝⎭⎰⎰2121d 1d 34x y y x --⎛⎫=-- ⎪⎝⎭⎰⎰125122211d 64y x x x y --⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦⎰ 2212d 82y y -⎛⎫=-= ⎪⎝⎭⎰． 特别地，当积分区域D 为矩形域(){},,D x y c y d a x b =≤≤≤≤，且被积函数可分离变量，即()()()12,f x y f x f y =时，二重积分()()()12,d d d b dac Df x y f x x f y y σ=⋅⎰⎰⎰⎰．上式右端实际上是两个定积分之积，这样可简化计算．证明留给读者．例2 计算d Dxy σ⎰⎰，其中D 由抛物线2y x =和直线2y x =-所围闭区域．解 首先画出积分区域D 的图形(图9-10)． 方法一：视D 为Y 型区域，即(){}2,2,12D x y y x y y =≤≤+-≤≤(如图9-10(a))，于是d Dxy σ⎰⎰2221d d y y y xy x +-=⎰⎰2221d d y y y y x x +-=⎰⎰()22411452d 28y y y y -⎡⎤=+-=⎣⎦⎰． 方法二：视D 为X 型区域，此时须用直线1x =将D 分割成1D (){},1x y y x =≤≤≤≤和2D (){},24x y x y x =-≤≤≤≤两个子区域(如图9-10(b))，则12612d d d DD D xy xy xy σσσ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰14012d d d d x x y x xy y -=+⎰⎰⎰458=． 比较两种方法，显然方法一要简洁些． 例3 计算sin d Dyy σ⎰⎰，其中D 是由直线y x =和曲线y = 解 积分区域D 如图9-11所示，显然D 既是X 型区域，又是Y 型区域．若视D 为X 型区域，即(){},1D x y x y x =≤≤≤≤，于是sin d Dyy σ⎰⎰10d d x y x y y =⎰⎰． 由一元函数积分学知，sin yy的原函数不能用有限形式的初 等函数表示，计算无法继续．但若改变积分次序，视D 为Y 型 区域，即(){}2,,01D x y yx y y =≤≤≤≤，于是sin d Dy y σ⎰⎰210sin d d y y y y x y =⎰⎰ ()1s i n s i n d 1s i n 1y yy y =-=-⎰． 由例2和例3可以看出，将二重积分转化为不同次序的累次积分，其计算难易程度可能不同．在选择积分次序时，既要考虑积分区域的形状，还要考虑被积函数的特性，两者综合考虑才能选择恰当的积分次序．例4 设(),f x y 连续，改变下列累次积分的积分次序: (1)()10d ,d x I x f x y y =⎰⎰；(2)()()101d ,d ,d I x f x y y x f x y y =+⎰⎰⎰．解(1)首先根据累次积分的积分限画出X 型积分区域(){},1D x y x y x =≤≤≤(如图9-12)，再将D 视为Y 型区域，即(){},1,01D x y x y y =≤≤≤，于是127()101d ,d yI y f x y x =⎰⎰．(2)首先将所给的累次积分看成函数(),f x y 在区域D 上的二重积分，积分区域12D D D =(如图9-13)，其中(){}1,01D x y y x =≤≤≤≤，2D (){,0x y y x =≤≤≤≤，然后视D 为Y 型区域，即()2,39y D x y x y ⎧⎫⎪⎪=≤≤≤≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭，则 ()293d ,d y I y f x y x =⎰．在第五章定积分中我们知道，奇函数或偶函数在对称区间上的定积分可以相抵消或合成，从而简化了定积分的计算．同样，二重积分也有类似的结论，称为二重积分的对称性质，具体内容如下：(1) 若积分区域D 关于x 轴对称，且被积函数(),f x y 关于y 为奇(偶)函数，则有()()()()()()12,d ,,,,,d 0,,,.D D f x y f y f x y f x y f x y f y f x y f x y σσ⎧-=⎪=⎨⎪-=-⎩⎰⎰⎰⎰为的偶函数即为的奇函数即，，其中1D 为D 在x 轴的上半平面部分．(2) 若积分区域D 关于y 轴对称，且被积函数(),f x y 关于x 为奇(偶)函数，则有()()()()()()2.2,d ,,,,,d 0,,,D D f x y f x f x y f x y f x y f x f x y f x y σσ⎧-=⎪=⎨⎪-=-⎩⎰⎰⎰⎰为的偶函数即为的奇函数，即， 其中2D 为D 在y 轴的右半平面部分．128(3) 若积分区域D 关于原点对称，且被积函数(),f x y 同时为x ，y 的奇(偶)函数， 则有()()()()()()3,.2,d ,,,,d 0,,,D Df x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y σσ⎧--=⎪=⎨⎪--=-⎩⎰⎰⎰⎰同时为的偶函数，即同时为的奇函数，即，，其中3D 为D 的上半平面部分．(4) 若积分区域D 关于直线y x =对称，则有()(),d ,d DDf x y f y x σσ=⎰⎰⎰⎰．利用此结论可简化二重积分的计算，例如上面例2的方法二中，积分区域1D 关于x 轴 对称，且被积函数(),f x y xy =关于y 为奇函数，故可不必将二重积分1d D xy σ⎰⎰化为累次积分10d d x y ⎰计算，而直接由二重积分的对称性质有1d 0D xy σ=⎰⎰．但值得注意的是只有当积分区域D 的对称性与被积函数(),f x y 的奇偶性均满足时才能使用此结论．例5 计算()d Dx y σ+⎰⎰，其中(){},1D x y x y =+≤．解 积分区域D 如图9-14所示，D 既关于x 轴对称，又关于y 轴对称，且被积函数(),f x y x y =+关于关于x 和y 均为偶函数，所以()d Dx y σ+⎰⎰()14d D x y σ=+⎰⎰()11044d d 3x x x y y -=+=⎰⎰． 二、极坐标系下二重积分的计算在介绍极坐标系下二重积分的计算之前，先看下面的例子． 例6计算DI σ=⎰⎰，其中(){}22,1D x y xy =+≤．解 若采用直角坐标系下的二重积分公式有14d I x y =⎰⎰129(12002ln d x y x ⎡=⎢⎥⎣⎦⎰12012lnd x x x ⎫+==⎪⎪⎝⎭⎰显然要算出上式右端的定积分并不容易．为了给出简便的计算方法，下面讨论极坐标系下二重积分的计算公式以及如何将二重积分转化为累次积分．1、极坐标系下二重积分的计算公式将直角坐标系下的二重积分转化为极坐标系下的二重积分，需同时将被积函数(),f x y ，积分区域D 及面积元素d d d x y σ=用极坐标表示．在直角坐标系xOy 中，取原点作为极坐标系的极点，取x 轴正半轴为极轴(如图9-15)，则点P 的直角坐标(),x y 与极坐标(),ρθ之间有如下关系式:cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩及arctan .y x ρθ⎧=⎪⎨=⎪⎩被积函数(),f x y 的极坐标形式为()cos ,sin fρθρθ．下面问题的关键是极坐标系下面积微元d σ用,ρθ如何表示?为此我们用如下的坐标曲线网去分割区域D ，即用一簇同心圆ρ=常数和一簇以极点O 为起点的射线θ=常数来分积分区域D (如图9-16)，将D 分成若干小区域i σ∆()1,2,,i n =．设i σ∆为i ρρ=，i i ρρρ=+∆，i θθ=，i iθθθ=+∆所围区域，则()221122i i i i i i σρρθρθ∆=+∆∆-∆ ()212i i i i i ρρθρθ=∆∆+∆∆． 当i ρ∆和i θ∆都充分小时，可略去比i i i ρρθ∆∆更高阶的 无穷小()212i i ρθ∆∆，得i σ∆的近似值为 i σ∆i i i ρρθ≈∆∆．再利用微分概念便可得极坐标系下的面积元素d σ为d d d σρρθ=．假定积分区域D 在极坐标系下表示为D '，于是有极坐标系下二重积分的表示式为130()(),d cos ,sin d d DD f x y f σρθρθρρθ'=⎰⎰⎰⎰． (6)2、极坐标系下二重积分化为累次积分极坐标系中的二重积分，同样可以化为累次积分来计算，且积分次序一般是先对r 后对θ积分．下面按积分区域D 的三种情形来讨论二重积分在极坐标系下如何化为累次积分计算．(1) 极点O 在积分区域D 的外部如图9-17，区域D 由射线,θαθβ==()βα>，连续曲线()1ρϕθ=和()2ρϕθ=()()()21ϕθϕθ≥所围成，此时()()(){}12,,D ρθϕθρϕθαθβ=≤≤≤≤，则()()()()21cos ,sin d d d cos ,sin d Df f βϕθαϕθρθρθρρθθρθρθρρ=⎰⎰⎰⎰．(2) 极点O 在积分区域D 的内部设区域D 的边界曲线方程为()ρϕθ=(如图9-18a)，或极点在区域D 的内边界内(如图9-18b)，此时()(){},0,02D ρθρϕθθπ=≤≤≤≤或131()()(){}12,,02D ρθϕθρϕθθπ=≤≤≤≤．于是()()()20cos ,sin d d d cos ,sin d Df f πρθρθρθρρθθρθρθρρ=⎰⎰⎰⎰．或()()()()2120cos ,sin d d d cos ,sin d Df f πϕθϕθρθρθρρθθρθρθρρ=⎰⎰⎰⎰．(3) 极点O 在积分区域D 的边界上如图9-19，设区域D 的边界曲线为()ρϕθ=，此时()(){},0,D ρθρϕθαθβ=≤≤≤≤，于是()()()cos ,sin d d d cos ,sin d Df f βϕθαρθρθρρθθρθρθρρ=⎰⎰⎰⎰．通常，在下面两种情形下，往往运用上述公式将直角坐标系下二重积分化为极坐标系下的累次积分，这样可简化二重积分的计算:(1)积分区域D 是圆域、圆环、扇形、曲边扇形等； (2)被积函数含有表达式()22f x y +，y f x ⎛⎫⎪⎝⎭或x f y ⎛⎫⎪⎝⎭． 例6(续) 解 由于被积函数含有22x y +，且积分区域为圆域，因此在极坐标系下来计算I 的值，较为简便．如图9-20， 极点位于积分区域D 内，且在极坐标变换下，圆域(){}22,1D x y x y =+≤对应的区域(){},01,02D ρθρθπ'=≤≤≤≤，于是132212002d d d d 3D I πρρρθθρρπ'=⋅==⎰⎰⎰⎰．注 本题亦可利用二重积分的几何意义来计算，请读者思考． 例7 化累次积分()11d ,d xI x f x y y -=⎰为极坐标系下的累次积分．解 本题的解题步骤与直角坐标系下改变积分次序的步骤相同．首先根据所给累次积 分的上下限写出积分区域(){},11D x y x y x =-≤≤≤≤，并画出积分区域D的图形(如图9-21) ，将区域D 的边界曲线化为极坐标形式: 由0x =，即cos 02πρθθ=⇒=；y =sin 00θθ=⇒=； 1y ρ=⇒=；1y x =-，即1sin 1cos sin cos ρθρθρθθ=-⇒=+．所以在极坐标系下区域D 可表示为()1,1,0sin cos 2D πρθρθθθ⎧⎫'=≤≤≤≤⎨⎬+⎩⎭．再将被积函数和面积微元d σ均化为极坐标形式，于是I 在极坐标系下的表达式为()21sin cos 1d cos ,sin d If πθθθρθρθρρ+=⎰⎰．例8 计算Dσ，其中()211,24D x y x y ⎧⎫⎛⎫=+-≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭．解 如图9-22，积分区域D 是圆心在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径为12的 圆域．区域D 在极坐标系下可表示为(){},0sin ,0D ρθρθθπ'=≤≤≤≤．于是d d DD σρρθ'=133sin 0d d πθθρρ=⎰⎰()322sin 011d 3πθρθ=--⎰()()2233011cos 1d cos 1d 33πππθθθθ=-----⎰⎰1212433233239πππ⎛⎫⎛⎫=--+-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 例9 (1)计算二重积分()22d d x y DI ex y-+=⎰⎰，其中(){}222,D x y xy R =+≤；(2)利用(1)的结果计算广义积分2d xe x +∞-⎰的值．解 (1)因为积分区域(){}222,D x y xy R=+≤关于原点对称，且被积函数()22x y e -+同时为,x y 的偶函数，所以利用二重积分的对称性质有()2214d d x y D I ex y -+=⎰⎰，其中(){}2221,,0,0D x y xy R x y =+≤≥≥．在极坐标变换下，()1,0,02D R πρθρθ⎧⎫'=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭，于是 ()222004d d 1RR I e e πρθρρπ--=⋅=-⎰⎰．注 本题若不采用极坐标变换计算，而用直角坐标系下二重积分化为累次积分计算， 就会遇到计算2d y ey -⎰的问题，但我们不能把2d y ey -⎰表示为初等函数，因此在直角坐标系下就无法计算此二重积分．由此可见，选择适当的坐标系对于简化二重积分的计算是很关键的．(2)如图9-23所示，构造三个积分区域:(){}2221,,0,0D x y xy R x y =+≤≥≥；(){}2,0,0D x y x R y R =≤≤≤≤；134(){}2223,2,0,0D x y xy R x y =+≤≥≥．则123D D D ⊂⊂，由于()220x y e-+>，所以()()()222222123d d d d d d x y x y x y D D De x y e x y ex y-+-+-+≤≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰．由于()()2221d d 14x y R D ex y e π-+-=-⎰⎰，()()22232d d 14x y R D e x y e π-+-=-⎰⎰，又()()2222222d d d d d RRR x y x y x D ex y ex ey ex -+---=⋅=⎰⎰⎰⎰⎰，所以()214R eπ--()22d R x ex-≤⎰()2214R e π-≤-，令R →+∞，上式两端趋于同一数值4π，由夹逼准则有2d 2x e x +∞-=⎰．此例的结果是概率论中研究正态分布时会用到的一个重要的结论．*三、二重积分的一般换元法由第五章我们知道，在计算某些定积分时，要对积分变量作代换，也称换元，将复杂形式的定积分转化为容易计算的定积分．同样，二重积分也有换元技巧，除了上面使用的极坐标变换之外，还可作一般的变量代换，其目的是使较复杂的被积函数和积分区域简化，使二重积分便于计算．下面不加证明地给出二重积分换元法的一般表示式．定理1 设函数(),f x y 在有界闭区域D 上连续，变换()(),,,x x u v y y u v ==将uOv 平面上的闭区域D '一对一地变换到xOy 平面上的区域D ，函数()(),,,x x u v y y u v ==在区域D '上对,u v 具有一阶连续偏导数，且在D '上雅可比行列式()(),0,xx x y u vJ yy u v uv∂∂∂∂∂==≠∂∂∂∂∂， 则有135()()(),d ,,,d d DD f x y f x u v y u v J u v σ'=⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰⎰． (*) 式(*)称为二重积分的换元公式．注 若J 只在D '内个别点上或在某一条曲线上为零，而其它点上不为零，则(*)式仍成立．在使用二重积分的换元公式时，选择的变换式()(),,,x x u v y y u v ==要遵守以下三条:(1)要对,u v 具有一阶连续偏导数，且雅可比行列式0J ≠； (2)要能够使被积函数尽可能简化，以便容易积分；(3)要使以新变量表示的积分区域变得简单，从而使积分限容易确定． 将该定理应用于极坐标变换cos ,sin x y ρθρθ==，有()()cos sin ,sin cos ,x y J θρθρθρθρθ-∂===∂，代入(*)式即得极坐标变换下的二重积分计算公式(6)，可见极坐标变换只是二重积分换元法的一种常用的特殊情形．例10 计算cosd d Dy xx y y x-+⎰⎰，其中D 是由x 轴，y 轴及直线1x y +=，2x y +=围成的区域．解 对给定的被积函数在直角坐标系中难以计算，故采用换元法，令,,u y x v y x =-⎧⎨=+⎩即,2.2u v x u v y -⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩在此变换下，xOy 平面上的区域D 变为uOv 平面上的区域D '(如图9-24)，其中(){},,12D u v v u v v '=-≤≤≤≤，其雅可比行列式为136()()11,12211,222x y J u v -∂===-∂． 于是1cosd d cos d d 2DD y x u x y u v y x v '-=-+⎰⎰⎰⎰ 211d cos d 2v v uv u v-=⎰⎰213sin1d sin12v v ==⎰．例11 求抛物线2y x =，22y x =及双曲线2xy =，3xy =所围闭区域D 的面积．解 积分区域D 如图9-25所示，作变换2,,y u x v xy ⎧=⎪⎨⎪=⎩则在此变换下，将积分区域D 变换为uOv 平面上的矩形区域(){},12,23D u v u v '=≤≤≤≤，且利用雅可比行列式的性质有()()()()2,1110,3,3,x y J u v y u v u x x y ∂====-≠∂∂-∂． 所以所求面积A 为322111111d d d d d d ln 2333DD A x y u v v u u u '====⎰⎰⎰⎰⎰⎰．137例12计算d Dx y ，其中()2222,1x y D x y a b ⎧⎫⎪⎪=+≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭．解 作广义极坐标变换: cos ,sin ,x a y b ρθρθ=⎧⎨=⎩则在该变换下，xOy 平面上的区域D 变为uOv 平面上的区域(){},01,02D ρθρθπ'=≤≤≤≤，且雅可比行列式()()cos sin ,sin cos ,a a x y J ab b b θρθρθρθρθ-∂===∂．其中J 仅在0ρ=时为零，所以d d d DD x y ρρθ'=202d d 3ab πθρρπ==⎰⎰．习题 9-21．画出积分区域，并计算下列二重积分： (1)()3233d D xx y y σ++⎰⎰，其中(){},01,01D x y x y =≤≤≤≤；(2)d Dxy σ⎰⎰，其中D 是由直线1y =，2x =及y x =围成的区域；(3)()2d Dx y σ--⎰⎰，其中D 是由直线y x =和2y x =围成的区域； (4)22d D x yσ⎰⎰, 其中D 是由曲线1xy =及直线y x =，2x =围成的区域； (5)2d y De σ-⎰⎰，其中由直线y x =，1y =与y 轴围成的区域；(6)2sin d Dx σ⎰⎰，其中D 是由直线y x =，0y =和1x =围成的区域．2．改变下列累次积分的积分次序： (1)()110d ,d yy f x y x ⎰⎰； (2)()10d ,d yy f x y x ⎰；138(3)()121d ,d xx x f x y y ⎰⎰； (4)()220d ,d y yI y f x y x =⎰⎰；(5)()()112201d ,d d ,d y y f x y x y f x y x -+⎰⎰⎰⎰；(6)()()2202120,d d ,d x x xx f x y y x f x y y --+⎰⎰⎰⎰．3．利用二重积分的对称性，计算下列二重积分： (1)()322cos d Dx x y σ+⎰⎰，其中(){}22,2D x y xy y =+≤；(2)d D xy σ⎰⎰，其中(){},1D x y x y =+≤；(3)()d Dx y σ+⎰⎰，其中D 是由y x =，2y x =，1y =所围闭区域．4．利用极坐标变换，计算下列二重积分： (1)()221d Dxy σ--⎰⎰，其中(){}22,1D x y xy =+≤； (2)Dσ⎰⎰，其中(){}2222,4D x y x y ππ=≤+≤；(3)(d Dy σ⎰⎰，其中(){}22,2D x y xy x =+≤；(4)d Dxy σ⎰⎰，其中(){}222,(0)D x y xy a a =+≤>；(5)22d Dx yx y σ++⎰⎰，其中(){}22,1,1D x y x y xy =+≥+≤；(6)arctan d Dy x σ⎰⎰，其中D 是由圆周224x y +=，221x y +=及直线0y =，y x = 所围成的在第一象限内的闭区域．5．化下列累次积分为极坐标形式的累次积分： (1)()1220d d x f x y y +⎰⎰； (2)10d d xy x f y x ⎛⎫⎪⎝⎭⎰； (3)()110d ,d x x f x y y -⎰⎰； (4)()1d ,d x f x y y ⎰；139(5)()20d ,d x f x y y ⎰； (6)()11d ,d y f x y x ⎰⎰．*6．利用适当的坐标变换，计算下列二重积分：(1)d d x y x yDex y -+⎰⎰，其中(){},1,0,0D x y x y x y =+≤≥≥；(2)2222d d D x y x y a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰⎰，其中()2222,1x y D x y a b ⎧⎫⎪⎪=+≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭．*7．设D 是由曲线4xy =，8xy =，35xy =，315xy =所围成的第一象限部分的闭区域，求D 的面积．§3 三重积分一、三重积分的概念实例(空间立体的质量) 设有一质量分布不均匀的物体占有空间区域Ω，它在点(),,x y z ∈Ω处的密度为(),,x y z μ，其中(),,x y z μ是Ω上的非负连续函数，求该物体的质量M ．类似于求平面薄片的质量，将区域Ω任意分割成n 个小区域i V ∆()1,2,,i n =，其中i V ∆既表示第i 个小区域，也表示第i 个小区域的体积．在小立体i V ∆上任取一点(),,i i i ξηζ，显然小立体i V ∆的质量i M ∆近似地等于(),,i i i i V μξηζ∆()1,2,,i n =，即()(),,1,2,,i i i i i M V i n μξηζ∆≈∆=．于是，立体Ω的总质量的近似值为()11,,n ni i i i i i i M M V μξηζ===∆≈∆∑∑．记{}1max i i nd λ≤≤=，其中i d 为i V ∆()1,2,,i n =的直径(直径定义如前所述)，则当0λ→时，上述和式的极限就等于M 的精确值，即()01lim ,,ni i i i i M V λμξηζ→==∆∑．这正是三重积分的物理背景．由此可见，三重积分与二重积分的定义方式是一样的．因此，我们自然可将二重积分的定义推广得到三重积分的定义，只要把二重积分定义中的平面区域和面积等分别改为空间区域和体积等．下面给出三重积分的定义．定义1 设三元函数(),,f x y z 是定义在空间有界闭区域Ω上的有界函数，将Ω任意 分割成n 个小闭区域i V ∆，且i V ∆()1,2,,i n =也表示它的体积．在i V ∆中任取一点140(),,i i i ξηζ，作乘积(),,i i i i f V ξηζ∆()1,2,,i n =，并求和()1,,ni i i i i f V ξηζ=∆∑，记{}1max i i nd λ≤≤=，i d 为第i 个小区域i V ∆()1,2,,i n =的直径，当0λ→时，如果上面和式的极限总存在，且与Ω的分割法及点(),,i i i ξηζ()1,2,,i n =的取法无关，则称函数(),,f x y z 在Ω上可积，并称此极限值为函数(),,f x y z 在Ω上的三重积分，记作(),,d f x y z v Ω⎰⎰⎰，即()()01,,d lim ,,niiiii f x y z v f V λξηζ→=Ω=∆∑⎰⎰⎰． 其中(),,f x y z 称为被积函数，(),,d f x y z v 称为被积表达式，d v 称为体积微元，Ω称为积分区域，,,x y z 称为积分变量．上述定义中对积分区域Ω的分割是任意的．在直角坐标系中，如果(),,f x y z 在Ω上可积，那么可用平行于坐标面的平面来分割Ω，除了包含Ω的边界点的一些不规则的小闭区域外，其余的小闭区域i ∆Ω都是长方体．设小长方体i ∆Ω的边长为,,i i i x y z ∆∆∆，则小长方体的体积i i i i V x y z ∆=∆∆∆，因此，在直角坐标系中，三重积分的体积微元为d d d d v x y z =．于是三重积分也可记为()(),,d ,,d d d f x y z v f x y z x y z ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰．由三重积分的定义可知，前面实例可这样描述:占有空间区域Ω的空间物体的质量M 等于其密度函数(),,x y z μ在Ω上的三重积分，即(),,d M x y z v μΩ=⎰⎰⎰．特别地，当(),,1f x y z ≡时，三重积分d v Ω⎰⎰⎰的数值等于空间区域Ω的体积．与二重积分类似，下面不加证明地给出三重积分的存在定理．定理1 若函数(),,f x y z 在空间有界闭区域Ω上连续，则(),,f x y z 在区域Ω上可积．三重积分的性质与二重积分的性质类似，这里不再一一详述，只简单介绍三重积分的对称性质．例如当积分区域Ω关于xOy 坐标面对称，且被积函数(),,f x y z 关于z 是奇(偶)函数，则有()()()()()()1,,,,,,,,2,,d ,,,,d 0,.f z f x y z f x y z f z f x y z f x y z f x y z v f x y z v ΩΩ-=-=-⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰⎰⎰为的偶函数，即为的奇函数，即141其中1Ω表示Ω在xOy 坐标面上方的部分． 当积分区域Ω关于yOz 面对称，或关于zOx 面对称时，也有类似的结论．二、直角坐标系下三重积分的计算1．“先一后二”法下面从计算空间物体Ω的质量的模型出发，导出三重积分的计算公式． 设函数(),,f x y z 是空间有界闭区域Ω上的非负连续函数，则三重积分(),,d f x y z v Ω⎰⎰⎰可看成占有空间区域Ω且体密度为(),,f x y z 的空间物体的质量，即(),,d m f x y z v Ω=⎰⎰⎰．下面从另一角度来计算Ω的质量．如图9-26，设物体占有空间区域Ω，其侧面是母线平行于z 轴的柱面，Ω在xOy 面 上的投影区域为xy D ，上、下底面分别为连续函数()2,z z x y =、()1,z z x y =()(2,z x y ()1,z x y ≥，则Ω可表示为()()()(){}12,,,,,,xyx y z z x y z z x y x y D Ω=≤≤∈．在区域xy D 内点(),,0x y 处取面积微元d =d d x y σ，以d σ的边界曲线为准线，作母线平行于z 轴的柱面，此柱面截取Ω的部分可看成一根“细棒”，细棒的质量()()()()21,,d ,,,d d d z x y z x y m x y f x y z z x y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰，其中z 是积分变量，,x y 看作常量．将所有细棒的质量相加，便得到Ω的质量()()()()21,,d ,,,d d d xy xyz x y z x y D D m m x y f x y z z x y ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰．若区域xy D 可以表示为()()(){}12,,xy D x y y x y y x a x b =≤≤≤≤，则()()()()()2211,,d d ,,d by x z x y ay x z x y m x y f x y z z =⎰⎰⎰．抽去上述具体的质量的含义，便得直角坐标系下三重积分的计算公式。
