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第九章 重积分
一、学习目的与要求
1、加深理解二重积分与三重积分的概念，熟悉重积分的性质。
2、熟练掌握二重积分的计算方法（包括直角坐标与极坐标系下的计算）。
3、熟练掌握三重积分的计算方法（包括直角坐标、柱坐标以及球坐标系下的计算）。
4、能用重积分来表达一些几何量与物理量（如体积、曲面面积、质量、重心、转动惯量
等）。
二、学习重点
二重积分和三重积分的计算法
三、内容提要
1、重积分的定义
⎰⎰∑=→∆=D
n
i i
i
i
f d y x f 1
),(lim ),(σηξσλ
（与D 的划分及),(i i ηξ取法无关），其中D 为平面
有界闭区域，}{max ),,,2,1(),(1的直径i n
i i i i n i σλσηξ∆==∆∈≤≤ 。
⎰⎰⎰∑Ω
=→∆=n
i i i
i
i
V f dV z y x f 1
),,(lim ),,(ζηξλ
（与Ω的划分及),,(i i i ζηξ取法无关，其中Ω
为空间有界闭区域，}{max ),,,2,1(),,(1的直径i n
i i i i i V n i V ∆==∆∈≤≤λζηξ 。
2、重积分的几何意义
当0),(≥y x f 时，
⎰⎰D
d y x f σ),(表示以区域D 为底，以曲面z =f (x,y )为顶的曲顶柱体
体积。当1),(≡y x f 时，
⎰⎰D
d σ表示平面区域D 的面积。当1),,(≡z y x f 时，⎰⎰⎰Ω
dV
表示空间区域Ω的体积。
3、重积分的可积性
若),(y x f （或),,(z y x f ）在有界闭区域D （或Ω）上分块连续，则),(y x f （或
),,(z y x f ）在D （或Ω）上可积。
4、重积分的性质
二重积分与三重积分具有类似的性质，现以二重积分为例，并假设所有被积函数都是可积的。 （Ⅰ）线性性质
⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=+D
D
D
d y x g k d y x f k d y x g k y x f k
σσσ),(),()],(),([2121
，其中k 1,k 2为
常数。
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（Ⅱ）区域可加性
⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=D
D D d y x f d y x f d y x f 1
2
),(),(),(σσσ，其中,21
D D
D ⋃=且D 1，D 2除
边界外无其它公共点。 （Ⅲ）比较性质
若D y x y x g y x f ∈≤),(),,(),(，则
⎰⎰⎰⎰≤D
D
d y x g d y x f σσ),(),(
特别有
⎰⎰
⎰⎰≤D
D
d y x f d y x f σσ),(),(
（Ⅳ）估值定理
设}),(),(min{},),(),(max{D y x y x f m D y x y x f M ∈=∈=，则
⎰⎰≤≤D
D M d y x f D m σ),(，其中D 为有界闭区域D 的面积。
（Ⅴ）中值定理：若f (x,y )在D 上连续，则D f d y x f D
⋅=⎰⎰),(),(ηξσ，其中
D ∈),(ηξ
5、重积分的计算
重积分计算需化为累次积分，积分顺序的选取应视区域形状及被积函数的特点而定。 （Ⅰ）二重积分计算
（1）在直角坐标系下，面积元dxdy d =σ 若⎩⎨
⎧≤≤≤≤)
()(:21x y y x y b
x a D （x -型区域），则
⎰⎰
⎰⎰
=D
b
a
x y x y dy y x f dx d y x f )()
(21),(),(σ
若⎩⎨⎧≤≤≤≤)()(:21y x x y x d
y c D （y -型区域），则⎰⎰⎰⎰=D
d c y x y x dx y x f dy d y x f )()(21),(),(σ （2）在极坐标系)sin ,cos (θθr y r x ==下，面积元素θσrdrd d =
若⎩⎨⎧≤≤≤≤),()(,
:21θθβθr r r a D 则⎰⎰⎰⎰=D
r r rdr r r f d d y x f )()(21)sin ,cos (),(θθβαθθθσ 特别，若极点O 在D 的内部，则0)(,201=≤≤θπθr ；若极点O 在D 的边界上， 则0)(1=θr
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若⎩⎨⎧≤≤≤≤)()(,
:21r r b r a D θθθ，则⎰⎰⎰⎰=b a r r D
d r r f rdr d y x f θθθσϕϕ)sin ,cos (),()()(12
（Ⅱ）三重积分的计算
（1）在直角坐标系下，体积元dxdydz dv =
若⎩⎨⎧≤≤∈Ω),,(),(,
),(:21y x z z y x z D y x 则⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω=D
y x z y x z dz z y x f dxdy dV z y x f ),(),(21),,(),,(
此方法俗称“先一后二”法，区域D 为Ω在xOy 面的投影区域。 若⎩⎨
⎧≤≤∈Ω,,
),(:21c z c D y x z 则⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω=z
D c c dxdy z y x f dz dV z y x f ),,(),,(21
此法俗称“先二后一”法，区域D z 为平面z=z(c 1（2）在柱坐标系),sin ,cos (z z r y r x ===θθ下，体积元drdz rd dV θ=
若⎪⎩⎪
⎨⎧≤≤≤≤≤≤Ω,
),()(),,(),(:21
2121θθθθθθθr r r r z z r z 则
⎰⎰⎰⎰⎰
⎰
Ω
=2
1
2121)()
(),()
,(),sin ,cos (),,(θθ
θθθθθθθr r r z r z rdz z r r f dr d dV z y x f
若⎪⎩⎪
⎨⎧≤≤≤≤≤≤Ω),
,(),(),()(,
:21
21z r r z r z z a c z c θθβθ则
⎰⎰⎰⎰
⎰
⎰
Ω
=21
21)()
(),()
,(),sin ,cos (),,(c c z z z r z r rdr z r r f d dz dV z y x f βαθθθθθ
（3）在球坐标系)cos ,sin sin ,cos sin (ϕρθϕρθϕρ===z y x 下，体积
ρϕθϕρd d d dV sin 2=
若⎪⎩⎪
⎨⎧≤≤≤≤≤≤Ω,
),()(),
,(),(:21
2121θθθθϕϕθϕϕθρρϕθρ则⎰⎰⎰ΩdV z y x f ),,(
