上海临港第一中学数学全等三角形单元测试卷附答案

一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）

1．如图1，等腰△ABC中，AC=BC＝42, ∠ACB=45˚，AO是BC边上的高，D为线段AO上一动点，以CD为一边在CD下方作等腰△CDE,使CD=CE且∠DCE=45˚，连结BE.

(1) 求证：△ACD≌△BCE；

(2) 如图2，在图1的基础上，延长BE至Q, P为BQ上一点，连结CP、CQ,若CP＝CQ＝5,求PQ的长.

(3) 连接OE，直接写出线段OE的最小值．

【答案】（1）证明见解析；（2）PQ=6；（3）OE=422

-

【解析】

试题分析：()1根据SAS即可证得ACD BCE

≌；

()2首先过点C作CH BQ

⊥于H，由等腰三角形的性质，即可求得45

DAC

∠=︒，则根据等腰三角形与直角三角形中的勾股定理即可求得PQ 的长．

()3OE BQ

⊥时，OE取得最小值.

试题解析：()1证明：∵△ABC与△DCE是等腰三角形，

∴AC=BC,DC=EC,45

ACB DCE

∠=∠=，

45

ACD DCB ECB DCB

∴∠+∠=∠+∠=，

∴∠ACD=∠BCE；

在△ACD和△BCE中，

,

AC BC

ACD BCE

DC EC

=

⎧

⎪

∠=∠

⎨

⎪=

⎩

(SAS)

ACD BCE

∴≌；

()2首先过点C作CH BQ

⊥于H，

(2)过点C作CH⊥BQ于H，

∵△ABC是等腰三角形，∠ACB=45˚，AO是BC边上的高，45

DAC

∴∠=，

ACD BCE

≌，

45

PBC DAC

∴∠=∠=，

∴在Rt BHC中,

22

424

22

CH BC

=⨯=⨯=，

54

PC CQ CH

===

，，

3

PH QH

∴==，

6.

PQ

∴=

()3OE BQ

⊥时，OE取得最小值.

最小值为：42 2.

OE=-

2．（1）已知△ABC是等腰三角形，其底边是BC,点D在线段AB上，E是直线BC上一点，且∠DEC=∠DCE,若∠A等于60°（如图①）.求证：EB=AD；

（2）若将（1）中的“点D在线段AB上”改为“点D在线段AB的延长线上”，其他条件不变（如图②），（1）的结论是否成立，并说明理由．

【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析

【解析】

试题分析：（1）作DF∥BC交AC于F，由平行线的性质得出∠ADF=∠ABC，∠AFD=∠ACB，∠FDC=∠DCE，证明△ABC是等边三角形，得出∠ABC=∠ACB=60°，证出△ADF是等边三角形，∠DFC=120°，得出AD=DF，由已知条件得出∠FDC=∠DEC，ED=CD，由AAS证明

△DBE≌△CFD，得出EB=DF，即可得出结论；

（2）作DF∥BC 交AC 的延长线于F ，同（1）证出△DBE≌△CFD，得出EB=DF ，即可得出结论.

试题解析：（1）证明：如图，作DF ∥BC 交AC 于F ，

则△ADF 为等边三角形

∴AD=DF ，又∵ ∠DEC=∠DCB ，

∠DEC+∠EDB=60°，

∠DCB+∠DCF=60° ，

∴ ∠EDB=∠DCA ，DE=CD ，

在△DEB 和△CDF 中，

120EBD DFC EDB DCF DE CD ，，

∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩

∴△DEB

≌△CDF ，

∴BD=DF ，

∴BE=AD .

(2). EB=AD 成立；

理由如下：作DF ∥BC 交AC 的延长线于F ，如图所示：

同（1）得：AD=DF ，∠FDC=∠ECD ，∠FDC=∠DEC ，ED=CD ，

又∵∠DBE=∠DFC=60°，

∴△DBE ≌△CFD

（AAS ），

∴EB=DF ，

∴EB=AD.

点睛：此题主要考查了三角形的综合，考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，综合性强，有一定的难度，证明三角形全等是解决问题的关键.

3．如图，在ABC ∆中，ACB ∠为锐角，点D 为射线BC 上一动点，连接AD .以AD 为直角边且在AD 的上方作等腰直角三角形ADF .

（1）若AB AC =，90BAC ∠=︒

①当点D 在线段BC 上时（与点B 不重合），试探讨CF 与BD 的数量关系和位置关系； ②当点D 在线段C 的延长线上时，①中的结论是否仍然成立，请在图2中面出相应的图形并说明理由；

（2）如图3，若AB AC ≠，90BAC ∠≠︒，45BCA ∠=︒，点D 在线段BC 上运动，试探究CF 与BD 的位置关系.

【答案】（1）①CF ⊥BD ，证明见解析；②成立，理由见解析；（2）CF ⊥BD ，证明见解析.

【解析】

【分析】

（1）①根据同角的余角相等求出∠CAF=∠BAD ，然后利用“边角边”证明△ACF 和△ABD 全等，②先求出∠CAF=∠BAD ，然后与①的思路相同求解即可；

（2）过点A 作AE ⊥AC 交BC 于E ，可得△ACE 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AC=AE ，∠AED=45°，再根据同角的余角相等求出∠CAF=∠EAD ，然后利用“边角边”证明△ACF 和△AED 全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ACF=∠AED ，然后求出∠BCF=90°，从而得到CF ⊥BD ．

【详解】

解：（1）①∵∠BAC=90°，△ADF 是等腰直角三角形，

∴∠CAF+∠CAD=90°，∠BAD+∠ACD=90°，

∴∠CAF=∠BAD ，

在△ACF 和△ABD 中，

∵AB=AC ，∠CAF=∠BAD ，AD=AF ，

∴△ACF ≌△ABD(SAS)，

∴CF=BD ，∠ACF=∠ABD=45°，

∵∠ACB=45°，

∴∠FCB=90°，

∴CF ⊥BD ；

②成立，理由如下：如图2：