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取 ,解此方程组,得
.
则相似变换矩阵
.
7.设矩阵
,
试计算 .
解:矩阵 的特征多项式为
,
由于
,
其中 .
且
,
故
= .
8.证明:任意可逆矩阵 的逆矩阵 可以表示为 的多项式.
证明:设矩阵 的特征多项式为
,
则
,
即
,
因为 可逆,故 ,则
9.设矩阵
,
试计算 .
解:矩阵 的特征多项式为
,
则
,
而
,
故
.
10.已知3阶矩阵 的三个特征值为1,-1,2,试将 表示为 的二次式.
故 的初等因子为
,
从而 的Jordan标准形为
;
(5)设该矩阵为 ,则
,
故 的初等因子为
,
从而 的Jordan标准形为
;
(6)设该矩阵为 ,则
,
该 矩阵的各阶行列式因子为
,
则不变因子为
,
故初等因子为
,
则 的Jordan标准形为
.
5.设矩阵
,
求 .
解:矩阵 的特征多项式为
,
故 的特征值为 , .
属于特征值 的特征向量为 ,
,
于是不变因子为
故该矩阵的Smith标准形为
.
2.求下列 矩阵的不变因子:
(1) ;
(2) ;
(3) ;
(4) .
解:(1)该 矩阵的右上角的2阶子式为1,故
而
,
所以该 矩阵的不变因子为
;
(2)当 时,由于
, ,
故不变因子为
,
当 时,由于
,
且该 矩阵中右上角的3阶子式为
且 ,
则 ,故 ,所以该 矩阵的不变因子为
解:矩阵 的特征多项式为
,
则设
,
由 得
解之,得
,
因此
.
11.求下列矩阵的最小多项式:
(1) ;(2) ;
(3) 阶单位阵 ;(4) 阶方阵 ,其元素均为1;
(5) .
解:(1)设 ,则
,
故该矩阵的最小多项式为 .
(2)设 ,则
,
故该矩阵有三个不同的特征值,因此其最小多项式为
(3) 阶单位阵 的最小多项式为 .
(1) ;(2) ;(3) ;
(4) ;(5) ;(6) .
解:(1)设该矩阵为 ,则
,
故 的初等因子为
,
则 的Jordan标准形为
;
(2)设该矩阵为 ,则
,
故 的初等因子为
,
从而 的Jordan标准形为
;
(3)设该矩阵为 ,则
,
故 的初等因子为
从而 的Jordan标准形为
;
(4)设该矩阵为 ,则
,
;
(3)该 矩阵的右上角的3阶子式为 ,故
而
,
所以该 矩阵的不变因子为
;
(4)该 矩阵的行列式因子为
,
所以该 矩阵的不变因子为
.
3.求下列 矩阵的初等因子:
(1) ;
(2) .
解:(1)该 矩阵的行列式因子为
,
故初等因子为 ;
(2)该 矩阵的行列式因子为
,
故不变因子为
因此,初等因子为 .
4.求下列矩阵的Jordan标准形:
习题二
1.化下列矩阵为Smith标准型:
(1) ;
(2) ;
(3) ;
(4) .
解:(1)对矩阵作初等变换
,
则该矩阵为Smith标准型为
;
(2)矩阵的各阶行列式因子为
,
从而不变因子为
故该矩阵的Smith标准型为
;源自文库
(3)对矩阵作初等变换
故该矩阵的Smith标准型为
;
(4)对矩阵作初等变换
在最后的形式中,可求得行列式因子
属于 的特征向量为 .
设
, ,
则 .,故
.
6.设矩阵
,
求 的Jordan标准形 ,并求相似变换矩阵 ,使得 .
解:(1)求 的Jordan标准形 .
,
故其初等因子为
,
故 的Jordan标准形
.
(2)求相似变换矩阵 .
考虑方程组
即
解之,得
.
其通解为
= ,
其中 为任意常数.
考虑方程组
,
故当 时,方程组有解.
(4)因为
,
又 ,即 ,故该矩阵的最小多项式为 .
(5)因为
,
而 是 的因子,经检验知 是矩阵 的最小多项式.