陕西省西安市西工大附中高三数学三模考试试卷 理(含解析)

陕西西工大附中2019年高三第三次适应性练习题数学理数 学〔理科〕本试卷分为第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两部分，总分值150分。

考试时间120分钟第一卷〔选择题 共50分〕一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分、在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。

1、如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，那么该几何体的体积是 〔 〕 AD 、2、复数131i Z i-=+的实部是 〔 〕A 、 2B 、 1C 、1-D 、4- A.,p q 均为真命题B.,p q 中至少有一个为假命题 C.,p q 均为假命题D.,p q 中至多有一个为假命题 4.双曲线2222:1(,0)x y C a b a b-=>的左、右焦点分别为1F ，2F ,过2F 作双曲线C 的一条渐近线的垂线,垂足为H ,假设2F H 的中点M 在双曲线C 上,那么双曲线C 的离心率为〔〕ABC 、2D 、35、己知5sin cos 3cos 3sin =-+αααα，那么αααcos sin sin 2-的值是〔〕A 、52B 、52-C 、－2D 、2 6、假设集合2{|02},{|1}A x x B x x =≤≤=>，全集U=R ，那么()U A C B =〔〕A 、{|01}x x ≤≤B 、{|01}x x x ><-或C 、{|12}x x <≤D 、{|02}x x <≤ 7、六名学生从左至右站成一排照相留念，其中学生甲和学生乙必须相邻、在此前提下，学生甲站在最左侧且学生丙站在最右侧的概率是 〔〕正视图俯视图侧视图A 、130B 、110C 、140D 、1208、设△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，那么r ＝2Sa ＋b ＋c ；类比那个结论可知：四面体S －ABC 的四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，内切球的半径为R ，四面体P －ABC 的体积为V ，那么R ＝() A 、VS 1＋S 2＋S 3＋S 4B 、2VS 1＋S 2＋S 3＋S 4C 、3V S 1＋S 2＋S 3＋S 4D 、4VS 1＋S 2＋S 3＋S 49、公差不为零的等差数列{}n a 中，12513a a a ++=，且1a 、2a 、5a 成等比数列，那么数列{}n a 的公差等于〔〕A.1 B 、2C 、3 D 、4 10、在R 上可导的函数3211()232f x x ax bx c=+++，当(0,1)x ∈时取得极大值，当(1,2)x ∈时取得极小值，那么21b a --的取值范围是〔〕A 、11(,)22-B 、11(,)24-C 、1(,1)2D 、1(,1)4第二卷〔非选择题共100分〕二、填空题：本大题共5小题，每题5上、 11、如右图所示的程序框图的输出值]2,1(∈y那么输入值∈x 。

2020年西安市西工大附中高考数学模拟试卷(理科)(3月份)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={(x,y)|x,y∈N∗,y≥x}，B={(x,y)|x+y=8}，则A∩B中元素个数为()A. 2B. 3C. 4D. 62.若复数z=a−2i在复平面内对应的点在直线x+y=0上，则|z|=()2A. 2B. √2C. 1D. 2√23.自古以来“民以食为天”，餐饮业作为我国第三产业中的一个支柱产业，一直在社会发展与人民生活中发挥着重要作用.某机构统计了2010～2016年餐饮收入的情况，得到下面的条形图，则下面结论中不正确的是()A. 2010～2016年全国餐饮收入逐年增加B. 2010～2016年全国餐饮收入同比增量超过3000亿元的年份有3个C. 2010～2016年全国餐饮收入同比增量最多的是2015年D. 2016年全国餐饮收入比2010年翻了一番以上4.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是()A. 14B. 15C. 16D. 175.设a=0.512,b=0.914,c=log0.3，则a,b,c的大小关系是()．5A. a >c >bB. c >a >bC. a >b >cD. b >a >c6. 从正方形四个顶点中任取2个点，则这2个点间的距离大于该正方形边长的概率为( ) A. 16 B. 13 C. 12 D. 237. 我国于07年10月24日成功发射嫦娥一号卫星，并经四次变轨飞向月球．嫦娥一号绕地球运行的轨迹是以地球的地心为焦点的椭圆．若第一次变轨前卫星的近地点到地心的距离为m ，远地点到地心的距离为n ，第二次变轨后两距离分别为2m 、2n(近地点是指卫星距离地面最近的点，远地点是距离地面最远的点)，则第一次变轨前的椭圆的离心率比第二次变轨后的椭圆的离心率( )A. 不变B. 变小C. 变大D. 无法确定8. 如图，在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，∠ACB =90°，CA =CB =CC 1=1，则直线A 1B 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值为( )A. √22B. √155C. √33D. √639. 已知函数f(x)=sinωx (ω>0)的图象关于点(2π3,0)对称，且f(x)在[0,π4]上为增函数，则ω=( ) A. 32 B. 3 C. 92 D. 610. 已知函数f(x)=e x ,g(x)=a √x(a ≠0)，若函数y =f(x)的图象上存在点P(x 0,y 0)，使得y =f(x)在点P(x 0,y 0)处的切线与y =g(x)的图象也相切，则a 的取值范围( )A. (0,1]B. (0,√2e]C. (1,√2e]D. (1√2e ,2e) 11. 已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a,b >0)的左焦点为F ，过点F 作圆O ：x 2+y 2=14b 2的切线，切点为M ，且交双曲线C 右支于点N.若FN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则双曲线C 的渐近线方程为( )A. 3x ±y =0B. x ±3y =0C. 2x ±y =0D. x ±2y =012. 已知函数g (x )(x ∈R )是偶函数，且g(2+x)=g(2−x)，当x ∈[0,2]时，g(x)=1−x ，则方程g(x)=11−|x |在区间[−10,10]上的解的个数是( ).A. 8B. 9C. 10D. 11二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量a⃗=(2,m)，a⃗+b⃗ =(1,2)，若a⃗//(a⃗+3b⃗ )，则实数m=________．14.设(1−2x)7=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7，则代数式a1+2a2+3a3+4a4+5a5+6a6+7a7的值为________．15.数列{a n}中，若a n+a n+1=7n+5，n∈N∗，则a1+a100=______ ．16.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足________时，有MN//平面B1BDD1．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.△ABC中，AB=3，AC=5，D是边BC上的点，AB⊥AD，sinC⋅tan∠ADC=−33．70(1)求cos B；(2)求△ABC的面积．18.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AC⊥平面BCC1B1，AC=1，BC=√3，BB1=2，∠B1BC=30°．(1)证明：B1C⊥平面ABC．(2)求二面角B1−A1C−C1的余弦值．19.设顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线过点P(2,4)，过P作抛物线的动弦PA，PB，并设它们的斜率分别为k PA，k PB．(1)求抛物线的方程；(2)若k PA+k PB=0，求证直线AB的斜率为定值，并求出其值；(3)若k PA⋅k PB=1，求证直线AB恒过定点，并求出其坐标．20.《中国制造2025》是经国务院总理李克强签批，由国务院于2015年5月印发的部署全面推进实施制造强国的战略文件，是中国实施制造强国战略第一个十年的行动纲领.制造业是国民经济的主体，是立国之本、兴国之器、强国之基.发展制造业的基本方针为质量为先，坚持把质量作为建设制造强国的生命线.某制造企业根据长期检测结果，发现生产的产品质量与生产标准的质量差都服从正态分布N(μ,σ2)，并把质量差在(μ−σ,μ+σ)内的产品为优等品，质量差在(μ+σ,μ+2σ)内的产品为一等品，其余范围内的产品作为废品处理．优等品与一等品统称为正品．现分别从该企业生产的正品中随机抽取1000件，测得产品质量差的样本数据统计如下：(1)根据频率分布直方图，求样本平均数x；(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)(2)根据大量的产品检测数据，检查样本数据的方差的近似值为100，用样本平均数x作为μ的近似值，用样本标准差s作为σ的估计值，求该厂生产的产品为正品的概率；参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2)，则：P(μ−σ<ξ≤μ+σ)≈0.6827，P(μ−2σ<ξ≤μ+2σ)≈0.9545，P(μ−3σ<ξ≤μ+3σ)≈0.9973⋅(3)假如企业包装时要求把3件优等品球和5件一等品装在同一个箱子中，质检员每次从箱子中摸出三件产品进行检验，记摸出三件产品中优等品球的件数为X，求随机变量X的分布列及期望值．21.已知函数f(x)=(x−1)lnx+ax2+(1−a)x−1.(1)当a=−1时，判断函数的单调性；(2)讨论f(x)零点的个数．22. 将参数方程{x =2+sin 2θy =sin 2θ(θ为参数)化为普通方程．23. 已知函数f(x)=|2x −a|+|2x +3|，g(x)=|3x −2|．(1)解不等式g(x)<|2x +1|；(2)若对任意的x 1∈R ，任意的x 2∈[0,1]，使得f(x 1)≥g(x 2)成立，求实数a 的取值范围．【答案与解析】1.答案：C解析：本题考查交集中元素个数的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 利用交集定义求出A ∩B ={(1,7)，(2,6)，(3,5)，(4,4)}.由此能求出A ∩B 中元素的个数． 解：∵集合A ={(x,y)|x ，y ∈N ∗，y ≥x}，B ={(x,y)|x +y =8}，∴A ∩B ={(x,y)|{y ≥x x +y =8,x,y ∈N ∗}={(1,7)，(2,6)，(3,5)，(4,4)}． ∴A ∩B 中元素的个数为4．故选：C ．2.答案：B解析：利用复数代数形式的乘除运算化简，再由z 对应的点在直线x +y =0上列式求得a ，则答案可求． 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题． 解：因为复数z =a−2i 2=a 2−i ，所以复数z =a−2i 2在复平面内对应的点的坐标为(a 2,−1)，由复数z =a−2i 2在复平面内对应的点在直线x +y =0上，可得a 2−1=0⇒a =2，z =1−i ，|z|=√12+(−1)2=√2，故选B ．3.答案：B解析：本题考查条形图的性质的基础知识，是基础题．2010～2016年全国餐饮收入同比增量超过3000亿元的年份有2015年和2016年，共两年．解：由条形数得：在A中，2010～2016年全国餐饮收入逐年增加，故A正确；在B中，2010～2016年全国餐饮收入同比增量超过3000亿元的年份有2015年和2016年，共2个，故B错误；在C中，2010～2016年全国餐饮收入同比增量最多的是2015年，故C正确；在D中，2016年全国餐饮收入比2010年翻了一番以上，故D正确．故选B．4.答案：C解析：本题考查程序框图，理解程序的功能是解题的关键．根据程序框图，，当n=14时，，所以到n=15得到S<−3，因此将输出n=15+1=16．故选C．5.答案：D解析：本题考查了指数函数性质与对数运算，比较大小，属于基础题．解：a=0.512=0.2514,b=0.914>0.2514>0,c=log50.3<0，所以b>a>c．故选D．6.答案：B解析：解：从正方形ABCD四个顶点中任取2个点，有AB，BC，CD，DA，AC，BD共有6种结果，若这2个点间的距离大于该正方形边长，则为AC，BD，2个结果，则对应的概率P=26=13，利用列举法分别列举出对应事件的个数，结合古典概型的概率公式进行求解即可．本题主要考查概率的计算，利用列举法是解决本题的关键．7.答案：A解析：本题考查椭圆离心率的计算，考查学生的计算能力，比较基础．利用离心率公式，分别求出离心率，即可得出结论．解：由题意，第一次变轨前有：a−c=m，a+c=n，则2a=m+n，2c=n−m，∴e=ca =n−mn+m，第二次变轨后有：a′−c′=2m，a′+c′=2n，则2a′=2(m+n)，2c′=2(n−m)，∴e′=c′a′=n−mn+m，∴e=e′．故选：A．8.答案：C解析：根据几何性质得出直线A1B与平面BB1C1C所成角为∠A1BC1，转化为直角三角形△A1C1B求解，利用边长的关系求解．本题综合考查了直棱柱的几何性质，运用平面问题求解空间角，注意空间思维能力，运算能力的考查，属于中档题．解：∵直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠ACB=90°∴A1C1⊥CC1，A1C1⊥B1C1，∵CC1∩B1C1=C1，∴A1C1⊥面BB1C1C，∴直线A1B与平面BB1C1C所成角为∠A1BC1，∵CA=CB=CC1=1，AB=√2∴Rt△A1C1B中A1C1=1，A1B=√3，∴sin∠A1BC1=3=√33，9.答案：A解析：本题主要考查三角函数的图象与性质，是中档题．f(x)=sinωx的图象关于(2π3,0)对称，可得ω=32k(k∈Z)，f(x)=sinωx在区间[0,π4]上是增函数，可得πω4≤π2且ω>0，由此可解．解：因为函数f(x)=sinωx的图象关于(2π3,0)对称，所以2ω3π=kπ(k∈Z)，即ω=32k(k∈Z)①，又函数f(x)=sinωx在区间[0,π4]上是增函数，所以πω4≤π2且ω>0，所以0<ω≤2②，由①②得ω=32．故选A．10.答案：B解析：本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程，求参数的范围问题，属于综合题．解：由题意f(x)=e x，在点P(x0,y0)处的切线，y=e x0x+e x0(1−x0)，∵g(x)=a√x(a≠0)，∴g′(x)=2x ，令2x=e x0，则知a>0，解得x=a24e2x0，。

2024年陕西省西安市碑林区西北工大附中中考数学三模试卷一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分.每小题只有一个选项是符合题意的）1．（3分）某天某港口最高水位为1m，最低水位为﹣2m，该天最高水位与最低水位的差是（）A．1m B．﹣1m C．3m D．﹣3m2．（3分）中国茶文化源远流长，博大精深，在下列有关茶的标识中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．3．（3分）如图，直线m∥n，C在直线m上，过点C作CD⊥AB，若∠2＝47°，则∠1为（）A．53°B．43°C．37°D．27°4．（3分）下列运算，与（a3）4计算结果相同的是（）A．a5+a2B．a2•a6C．a24÷a2（a≠0）D．a4•（a4）25．（3分）正比例函数的图象经过A（a，2）、B（3，a）两点，过点A的一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象y随x的增大而减小，则a等于（）A．﹣6B．C．D．6．（3分）如图，正方形ABCD中，N为AB中点，MN⊥AB，AM＝2AN，MC交BD于O，则∠COD的度数为（）A．45°B．60°C．72°D．75°7．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD＝45°，BC＝，CD＝2，则⊙O的半径为（）A．2B．2C．D．8．（3分）已知抛物线L：y＝x2﹣4x+c，其顶点为M，与y轴交于点N，将抛物线L绕原点旋转180°，点M、N的对应点分别为P、Q，若四边形MNPQ为矩形，则c的值为（）A．B．C．D．二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）9．（3分）下列实数：1、0、、﹣π中，最小的是10．（3分）苯分子的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的．发现苯分子中的6个碳原子与6个氢原子均在同一平面，且所有碳碳键的键长都相等（如图1），组成了一个完美的正六边形如图2，则∠1的度数为°．11．（3分）大自然是美的设计师，一个盆景，也会产生最具美感的黄金分割比．如图，点B为AC的黄金分割点（AB＞BC），若AB＝50cm，则BC的长是cm．12．（3分）如图Rt△AOB中，∠BAO＝90°，∠B＝60°，△AOB的面积为12，AO与x轴负半轴的夹角为30°，若点A在双曲线上，则k的值为．13．（3分）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E、F是边AB、BC上的动点，且满足EF＝2，P是CD边上任意一点（不与点C重合），过点P作PG⊥AP交BC于点G，则线段EF的中点M到AG的最小距离是．三、解答题（共13小题，计81分解答应写出过程）14．（5分）计算：．15．（5分）求不等式的最大整数解．16．（5分）解方程：．17．（5分）如图，已知△ABC，请用尺规作图的方法作菱形CDEF，使D、E、F分别在AC、AB、BC上．（不写作法，保留作图痕迹）18．（5分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E在DB的延长线上，连接CE，∠A＝∠E，AD＝EC．求证：∠CBD＝∠DCB．19．（5分）读诗词解题：（通过列方程式，算出周瑜去世时的年龄）大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿符；哪位学子算得快，多少年华属周瑜？20．（5分）“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连；秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒”．“二十四节气”是中华上古农耕文明的产物，蕴含了中华民族悠久的文化内涵和历史沉淀．小明购买了四张邮票，分别是“立春、立夏、秋分、大寒”，现将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面形状和大小完全相同）．（1）若从中随机抽取一张，抽到的是“立夏”的概率是；（2）小明的妹妹想要“立春”和“秋分”，小明让妹妹从中随机抽取一张后（不放回），再从中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求妹妹抽到的两张邮票恰好是“立春”和“秋分”的概率．（立春、立夏、秋分、大寒可以分别用A，B，C，D表示）21．（6分）物理实验技能考核前，小亮对“探究凸透镜成像规律”的实验进行了反复练习，在练习的过程中，他惊喜地发现“蜡烛在燃烧过程中，其剩余高度y（cm）与燃烧时间t（min）之间呈一次函数关系”，已知蜡烛燃烧6分钟后，蜡烛剩余高度20.4cm；蜡烛燃烧20分钟后，蜡烛剩余高度19cm．（1）求y与t的函数表达式；（2）小亮晚上7时15分点亮一支新蜡烛，但有一段时间风把蜡烛吹灭了，后又点亮蜡烛，至晚上9时15分蜡烛燃烧了一半，问其间蜡烛熄灭了几分钟？22．（7分）2024年2月23日，第三届“天宫画展”在中国空间站开展．神舟十七号航天员乘组在轨展示和介绍了新时代青少年畅想中国式现代化的美丽画卷，并向全国青少年发出邀请，相约待到中华人民共和国成立100周年时，共同见证几代人为之艰辛求索、牺牲奉献、接续奋斗的现代化中国．西安市某中学掀起了“航天有我，筑梦太空”的阅读月活动，为了解学生们课外阅读有关航天书籍的情况，随机抽取20名学生，对每人每周课外阅读航天书籍的平均时间进行了调查：【收集数据】90，60，81，70，81，95，80，76，85，100，72，83，96，85，70，85，66，82，94，89【整理数据】课外阅读时间x（min）60≤x≤7070＜x≤8080＜x≤9090＜x≤100等级D C B A人数4a94【分析数据】平均数中位数众数82分钟m分钟n分钟请根据以上提供的信息，解答下列问题：（1）填空：a＝，m＝，n＝；（2）如果根据表格设计扇形统计图，C等级对应的扇形圆心角的度数是多少？（3）等级为B及B以上为达标，该校现有学生2000人，估计达标的学生有多少人？23．（7分）某数学兴趣小组在综合实践活动中测量古塔的高度．【测量方案】在地面上选一点A，垂直地面竖立标杆AB，后退2m到E处，此时M、B、E在一直线上；另选一点C，垂直地面竖立标杆CD，后退4m到F处，此时M、D、F三点也在一直线上．【测量数据】两次测量标杆之间的距离是为50m，两个标杆的高度均为1.5m，且N、A、E、C、F在同一直线上．请你根据以上测量数据，帮助兴趣小组求出古塔的高度．24．（8分）如图，AB为⊙O直径，点C为圆上一点D是的中点，连接BD交AC于点F，过A作⊙O 的切线交BD的延长于点G．（1）求证：DG＝DF；（2）若DG＝2，tan∠ABG＝，求BC的长．25．（8分）某公园有一个喷泉景观，在一个柱形高台上装有喷水管，水管喷头斜着喷出水柱，经过测量水柱在不同位置到水管的水平距离x米和对应的竖直高度y米，整理如下：水平距离x（米）12345竖直距离y（米） 4.2 4.85 4.8 4.2（1）根据表格数据，在如下坐标系中描点、连线；猜想y与x之间满足我们学过的哪类函数关系，并求y与x之间的函数表达式；（2）此喷水管可以上下调节，喷出的水柱形状不变且随之上下平移，若调节后的落水点（水落到地面的位置）向左平移了1米，求喷水管需要向下平移多少米？26．（10分）问题提出：（1）如图①，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝4，以BC为边在△ABC外作等边△BCD，过点D作DE⊥AB于E，连接CE，求tan∠AEC的值；问题解决：（2）2024年国际沙滩排球世界锦标赛将在陕西商洛举行，为迎接此次锦标赛，促进全民健身，计划修建一个四边形运动公园如图②所示．运动公园（即四边形ABDC）需建在公路AC的一边，现场测量AC＝200m，根据有关设计要求：运动公园还要满足∠ABD＝135°，∠D＝90°，且BD＝CD，那么是否存在面积最大的运动公园？若存在，请求出运动公园面积的最大值；若不存在，请说明理由．2024年陕西省西安市碑林区西北工大附中中考数学三模试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分.每小题只有一个选项是符合题意的）1．【分析】根据最高水位与最低水位的差进行列式计算即可．【解答】解：根据题意可知，1﹣（﹣2）＝3（m）．故选：C．【点评】本题考查有理数的减法，熟练掌握运算法则是解题的关键．2．【分析】根据轴对称图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形．判断各项即可．【解答】解：选项C的图形能找到一条直线，使图形沿该直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．故选：C．【点评】本题主要考查了轴对称图形的定义，熟记定义是解题的关键．3．【分析】设CD与AB相交于点E，先利用平行线的性质可得∠2＝∠3＝47°，再根据垂直定义可得∠CEB＝90°，然后利用直角三角形的两个锐角互余进行计算，即可解答．【解答】解：如图：设CD与AB相交于点E，∵m∥n，∴∠2＝∠3＝47°，∵CD⊥AB，∴∠CEB＝90°，∴∠1＝90°﹣∠3＝43°，故选：B．【点评】本题考查了平行线的性质，垂线，三角形的内角和定理，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．4．【分析】根据合并同类项法则，同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘；同底数幂相除，底数不变指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：（a3）4＝a12，A、a5与a2不能合并，故此选项不符合题意；B、a2•a6＝a8，故此选项不符合题意；C、a24÷a2＝a22（a≠0），故此选项不符合题意；D、a4•（a4）2＝a4•a8＝a12，故此选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．5．【分析】设正比例函数的解析式为y＝kx（k≠0），由点A，B的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出a，k的值，由过点A的一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象y随x的增大而减小，利用一次函数的性质，可得出a＜0，进而可得出a＝﹣．【解答】解：设正比例函数的解析式为y＝kx（k≠0），∵正比例函数y＝kx（k≠0）的图象经过A（a，2）、B（3，a）两点，∴，解得：或，又∵过点A的一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象y随x的增大而减小，∴a＜0，∴a＝﹣．故选：C．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质，利用一次函数图象上点的坐标特征，找出关于a的方程组是解题的关键．6．【分析】连接DM、BM．首先证明∠MDB＝∠MAB＝30°，再根据全等三角形的判定证明△MAD≌△MBC，推出∠ADM＝∠MCB＝15°，由此即可解决问题．【解答】解：如图，连接DF、BF．∵MN⊥AB，AN＝NB，∴MA＝MB，∵AM＝2AN，∴AM＝AB＝MB，∴△AMB是等边三角形，∵AM＝AD＝AB，∴点A是△DBM的外接圆的圆心，∴∠MDB＝∠MAB＝30°，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝BC，∠DAB＝∠ABC＝90°，∠ADB＝∠DBC＝45°，∴∠MAD＝∠MBC，∴△MAD≌△MBC（SAS），∴∠ADM＝∠MCB＝15°，∴∠DOC＝∠OBC+∠OCB＝60°，故选：B．【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、圆等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加辅助圆解决问题，属于中考选择题中的压轴题．7．【分析】过B点作BE⊥CD，交DC的延长线于点E，连接BD，OB，OD，通过证明△OBD为等腰直角三角形可得OB＝，通过证明△BCE为等腰直角三角形可得BE＝CE＝1，即可求出ED的长，再利用勾股定理求解BD的长，进而可求出OB的长．【解答】解：过B点作BE⊥CD，交DC的延长线于点E，连接BD，OB，OD，∵∠BAD＝45°，∴∠BOD＝2∠BAD＝90°，∠BCE＝∠A＝45°，∵OB＝OD，∴△OBD为等腰直角三角形，∴OB＝，∵BE⊥CD，∠BCE＝45°，∴△BCE为等腰直角三角形，∴BE＝CE＝BC＝1，∵CD＝2，∴ED＝CE+CD＝3，∴BD＝，∴OB＝．故选：D．【点评】本题考查了圆内接四边形，等腰直角三角形，圆周角定理，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．8．【分析】由抛物线的解析式求得顶点M（2，c﹣4），与y轴交于点N（0，c），根据旋转的性质求得P（﹣2，4﹣c），Q（0，﹣c），由以M、N、P、Q为顶点的四边形是矩形可知PM＝QN，利用勾股定理即可得出（2+2）2+（c﹣4+c﹣4）2＝（c+c）2，解得c＝，【解答】解：∵抛物线L：y＝x2﹣4x+c＝（x﹣2）2﹣4+c，∴顶点M（2，c﹣4），与y轴交于点N（0，c），将抛物线L绕原点旋转180°，点M、N的对应点分别为P、Q，∴P（﹣2，4﹣c），Q（0，﹣c），∵以M、N、P、Q为顶点的四边形是矩形，∴PM＝QN，即（2+2）2+（c﹣4+c﹣4）2＝（c+c）2，解得c＝，故选：D．【点评】本题考查了二次函数的图象与几何变换，旋转的性质，矩形的性质，根据矩形的对角线相等得出关于c的方程是解题的关键．二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）9．【分析】根据：﹣π≈﹣3.14，＜﹣1，可得﹣2＜﹣1，因此﹣＜0＜1，即可得出结果．【解答】解：∵﹣π≈﹣3.14，＜﹣1，∴﹣2＜﹣1，∴﹣＜0＜1，故答案为：﹣π．【点评】本题考查的是实数的大小比较和算术平方根，熟练掌握﹣π和﹣的取值范围是解题的关键．10．【分析】根据正六边形的性质，三角形内角和定理以及全等三角形的判定和性质进行计算即可．【解答】解：∵六边形ABCDEF是正六边形，∴AB＝AF＝EF，∠BAF＝∠AFE＝＝120°，∴△BAF≌△AFE（SAS），∴∠ABF＝∠FAE，∴∠1＝∠ABF+∠BAE＝∠FAE+∠BAE＝∠BAF＝120°．故答案为：120．【点评】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形的性质，全等三角形的判定和性质以及三角形内角和定理是正确解答的关键．11．【分析】根据黄金分割的定义进行计算，即可解答．【解答】解：∵点B为AC的黄金分割点（AB＞BC），AB＝50cm，∴＝，∴BC＝AB＝（25﹣25）cm，∴BC的长是（25﹣25）cm，故答案为：（25﹣25）．【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．12．【分析】过点A作AC⊥x轴于点C，根据反比例函数比例系数的即可意义得S△OAC＝|k|，则|k|＝2S△OAC＝OC×OA，设AB＝a，则OB＝2AB＝2a，OA＝，根据△AOB的面积为12得，然后根据AO与x轴负半轴的夹角为30°得∠AOC＝30°，则AC＝OA＝，OC＝，由此可得OC×OA＝＝18，据此可得k的值．【解答】解：过点A作AC⊥x轴于点C，如下图所示：∵点A在双曲线（k≠0）上，＝，∴根据反比例函数比例系数的即可意义得：S△OAC＝2××OC×OA＝OC×OA，∵|k|＝2S△OAC设AB＝a，∵在Rt△AOB中，∠BAO＝90°，∠B＝60°，∴∠AOB＝90°﹣∠B＝60°＝30°，∴OB＝2AB＝2a，由勾股定理得：OA＝＝，∵△AOB的面积为12，∴×OA×AB＝12，即，∴，∵AO与x轴负半轴的夹角为30°，∴∠AOC＝30°，∴AC＝OA＝，由勾股定理得：OC＝＝，∴OC×OA＝＝＝＝18，∴|k|＝OC×OA＝18，∵双曲线（k≠0）在第二象限，∴k＝﹣18．故答案为：﹣18．【点评】此题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，含有30°角的直角三角形的性质，熟练掌握反比例函数比例系数的几何意义，含有30°角的直角三角形的性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键．13．【分析】先证明△DAP∽△CPG得BG＝4﹣CG≥3，过点B作BK⊥AG，求得BK最小＝，连接BM，过点M作MN⊥AG，MN即点M到AG的最小距离，根据BM+MN≥可得结果．【解答】解：∵PG⊥AP，∴∠APD+∠CPG＝90°，∵∠APD+∠DAP＝90°，∴∠DAP＝∠CPG，∵∠D＝∠C＝90°，∴△DAP∽△CPG，∴，设DP＝x，则，整理得：4CG＝4x﹣x2，∴CG＝﹣（x﹣2）2+1，∴CG≤1，∴BG＝4﹣CG≥3，∴当BG＝3时，△ABG的面积最小，最小值为×4×3＝6，此时AG＝＝5，＝，过点B作BK⊥AG，则BK最小连接BM，过点M作MN⊥AG，MN即点M到AG的最小距离，∵∠EBF＝90°，M是EF中点，∴BM＝EF＝1，∵BM+MN≥BK，∴BM+MN≥，∴MN≥﹣1，∴MN≥1.4，∴点M到AG的最小距离是1.4．【点评】本题主要考查了正方形的性质、二次函数的性质及最值，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键．三、解答题（共13小题，计81分解答应写出过程）14．【分析】利用平方差公式，零指数幂，绝对值的意义进行计算，即可解答．【解答】解：＝3﹣4﹣1﹣（2﹣）＝3﹣4﹣1﹣2+＝﹣4+．【点评】本题考查了二次根式的混合运算，实数的运算，平方差公式，零指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．15．【分析】求出不等式的解集，可得结论．【解答】解：，2（x﹣2）≥3x﹣6，2x﹣4≥3x﹣6，﹣x≥﹣2，x≤2，∴不等式的最大整数解是2．【点评】本题考查解一元一次不等式组，解题的关键是掌握解不等式组的方法．16．【分析】方程两边都乘（x+3）（x﹣2）得出4（x﹣2）+x（x+3）＝（x+3）（x﹣2），求出方程的解，再进行检验即可．【解答】解：，方程两边都乘（x+3）（x﹣2），得4（x﹣2）+x（x+3）＝（x+3）（x﹣2），4x﹣8+x2+3x＝x2﹣2x+3x﹣6，4x+x2+3x﹣x2+2x﹣3x＝﹣6+8，6x＝2，x＝，检验：当x＝时，（x+3）（x﹣2）≠0，所以分式方程的解是x＝．【点评】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．17．【分析】结合菱形的判定，作∠ACB的平分线，交AB于点E，再作线段CE的垂直平分线，分别交BC，AC于点F，D，连接EF，DE即可．【解答】解：如图，作∠ACB的平分线，交AB于点E，再作线段CE的垂直平分线，分别交BC，AC 于点F，D，连接EF，DE，则菱形CDEF即为所求．【点评】本题考查作图—复杂作图、菱形的判定，熟练掌握菱形的判定是解答本题的关键．18．【分析】根据AAS证明△ABD≌△EDC得出BD＝DC，即可得出结论．【解答】证明：∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDE，在△ABD与△EDC中，，∴△ABD≌△EDC（AAS），∴BD＝DC，∴∠CBD＝∠DCB．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键．19．【分析】设周瑜去世时的年龄的个位数字为x，则十位数字为x﹣3．根据题意建立方程求出其值就可以求出其结论．【解答】解：设周瑜去世时的年龄的个位数字为x，则十位数字为x﹣3．由题意得；10（x﹣3）+x＝x2，解得：x1＝5，x2＝6当x＝5时，周瑜的年龄25岁，非而立之年，不合题意，舍去；当x＝6时，周瑜年龄为36岁，完全符合题意．答：周瑜去世时的年龄为36岁．【点评】本题是一道数字问题的运用题，考查了列一元二次方程解实际问题的运用，在解答中理解而立之年是一个人30岁的年龄是关键．20．【分析】（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽到的是“立夏”的结果有1种，利用概率公式可得答案．（2）画树状图得出所有等可能的结果数以及妹妹抽到的两张邮票恰好是“立春”和“秋分”的结果数，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽到的是“立夏”的结果有1种，∴抽到的是“立夏”的概率是．故答案为：．（2）画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中妹妹抽到的两张邮票恰好是“立春”和“秋分”的结果有：AC，CA，共2种，∴妹妹抽到的两张邮票恰好是“立春”和“秋分”的概率为＝．【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．21．【分析】（1）根据题意，先设出y与t的函数表达式，然后根据蜡烛燃烧6分钟后，蜡烛剩余高度20.4cm；蜡烛燃烧20分钟后，蜡烛剩余高度19cm，即可求得该函数解析式；（2）将t＝0代入求出蜡烛的长，再根据小亮晚上7时15分点亮一支新蜡烛，但有一段时间风把蜡烛吹灭了，后又点亮蜡烛，至晚上9时15分蜡烛燃烧了一半，即可求得其间蜡烛熄灭了几分钟．【解答】解：（1）设y与t的函数表达式为y＝kt+b，∵蜡烛燃烧6分钟后，蜡烛剩余高度20.4cm；蜡烛燃烧20分钟后，蜡烛剩余高度19cm，∴，解得，即y与t的函数表达式为y＝﹣0.1t+21；（2）将t＝0代入y＝﹣0.1t+21，得y＝21，∴这根蜡烛的长度为21cm，将y＝代入y＝﹣0.1t+21，得t＝105，∵7：15到9：15有120分钟，120﹣105＝15（分钟），∴其间蜡烛熄灭了15分钟．【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式．22．【分析】（1）已知共调查了20人，根据各部分之和等于总体，可求出a；再根据中位数和众数的概念，即可求出m、n．（2）先求出C等级的占比，再根据各部分扇形圆心角的度数＝部分占总体的百分比×360°，即可求解；（3）求出调查中B及B以上达标的人数占比，再用该占比乘总数，即可求解．【解答】解：（1）从统计的数据可知，70＜x≤80共有3个，分别是80、76、72，故a＝3；将收集的数据从小到大排列为：60，66，70，70，72，76，80，81，81，82，83，85，85，85，89、90，94，95，96，100，可以看出一共20个数据，第10个和第11个数据分别为82、83，所以这组的中位数为（82+83）÷2＝82.5，故m＝82.5，其中85出现的次数最多，所以这组数据的众数为85，故n＝85，故答案为：3、82.5、85．（2）（3÷20）×360°＝54°答：C等级对应的扇形圆心角的度数是54°．（3）（9+4）÷20×2000＝1300（人）答：估计达标的学生有1300人．【点评】本题考查的是频数分布表、扇形统计图、中位数和众数，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．23．【分析】证明△BEA∽△MEN，得出，同理△FDA∽FMN，得出，代入数据求解即可．【解答】解：由题可知，AB⊥FN，MN⊥FN，CD⊥FN，∴∠N＝∠EBA＝∠DCF＝90°，∵∠BEA＝∠MEN，∴△BEA∽△MEN，∴，即：①，同理△FDA∽FMN，∴，即：②，联立①②解得，AN＝50，MN＝39，∴古塔的高度为39米．【点评】本题考查了相似三角形的应用，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键．24．【分析】（1）根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，得到∠DAF+∠AFD＝90°，根据切线的性质得到∠BAG＝90°，求得∠G+∠ABD＝90°，推出∠G＝∠AFD，得到AG＝AF，根据等腰三角形的性质得到DG＝DF；（2）解：由（1）知，AG＝AF，DG＝DF＝2，得到∠GAD＝∠DAF＝∠ABG，根据三角函数的定义得到BF＝BD﹣DF＝6，根据勾股定理得到AF＝＝＝2，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】（1）证明：∵AB为⊙O直径，∴∠ADB＝90°，∴∠DAF+∠AFD＝90°，∵AG是⊙O的切线，∴∠BAG＝90°，∴∠G+∠ABD＝90°，∵D是的中点，∴，∴∠DAF＝∠ABD，∴∠G＝∠AFD，∴AG＝AF，∴DG＝DF；（2）解：由（1）知，AG＝AF，DG＝DF＝2，∴∠GAD＝∠DAF＝∠ABG，∵tan∠ABG＝tan∠DAG＝，∴＝，∴AD＝4，BD＝8，∴BF＝BD﹣DF＝6，∴AF＝＝＝2，∵∠ADF＝∠ACB＝90°，∠DAF＝∠CBF，∴△ADF∽△BCF，∴，∴，∴．【点评】本题考查了切线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握切线的性质是解题的关键．25．【分析】（1）依据题意，由表格数据即可作图；结合图象，设函数的解析式为y＝a（x﹣3）2+5（a≠0），再将（1，4.2）代入求出a后即可得解；（2）依据题意，令y＝0，即：，从而解得x后，即可判断原抛物线的落水点，然后求出新抛物线的落水点，再设喷水管需要向下平移h米，故新抛物线的表达式为，又将（7，0）代入得，，求h后即可得解．【解答】解：（1）描点、连线如图；猜想y与x满足二次函数关系；设y与x之间的函数表达式为y＝a（x﹣h）2+k（a≠0），观察图象可知，顶点坐标为（3，5），代入得y＝a（x﹣3）2+5（a≠0）．将（1，4.2）代入，4a+5＝4.2，∴解得：．∴抛物线的表达式为．（2）由题意，抛物线与x轴相交，令y＝0，即：，解之得：x1＝8，x2＝﹣2（不合题意，舍去）．∴原抛物线的落水点为（8，0）．∴新抛物线的落水点为（8﹣1，0），即（7，0）．设喷水管需要向下平移h米，∴新抛物线的表达式为．将（7，0）代入得，，∴解得：h＝1.8．答：喷水管需要向下平移1.8米．【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．26．【分析】（1）利用直角三角形的性质和等边三角形的性质得到∠EBD＝90°﹣60°＝30°，利用含30°的直角三角形的性质，勾股定理和直角三角形的边角关系定理解答即可；（2）连接BC，过点D作DE⊥AB，交AB的延长线于点E，利用三角形的内角和定理，等腰直角三角＝S△ACE；依据题意可知：以形的判定与性质得到∠ABC＝∠BED＝90°，则BC∥DE，可得S四边形ABDCO为圆心，OA为半径画圆，那么点E就在上运动，所以当AC边上的高取得最大值时，运动公园面积的最大，利用圆的有关性质，当E′为的中点时，四边形ABDC的面积最大；利用直角三角形的边角关系定理，垂径定理和勾股定理求得E′H即可得出结论．【解答】解：（1）如图，作等边△BCD，作DE⊥AB于E，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∴∠EBC＝90°，∵△BCD是等边三角形，∴∠DBC＝60°，BC＝BD＝4，∴∠EBD＝90°﹣60°＝30°．在Rt△BED中，∠BED＝90°，∠EBD＝30°，∴，．在Rt△BEC中，∵∠EBC＝90°，∴；（2）存在，理由如下：连接BC，过点D作DE⊥AB，交AB的延长线于点E，如图，∵BD⊥CD，BD＝CD，∴△BDC是等腰直角三角形，∴∠DBC＝45°，∴∠EBD+∠CBD＝90°＝∠EBC，即△ABC是直角三角形，∵∠ABC＝∠BED＝90°，∴BC∥DE，＝S△CEB，根据同底等高可知：S△CDB＝S△ACE，∴S四边形ABDC当∠DBC＝45°，∴∠EBD＝45°，∴BE＝DE．在等腰Rt△BED中，设BE＝a，则，∴在等腰Rt△BDC中，BC＝BD＝2a，在Rt△BCE中，，∴，∴∠BEC是定角，在△ACE中，∠AEC是定角，对边AC＝200，∴点E在以AC为弦的一段弧上运动．设∠AEC＝β，则为AC为底作顶角为2β的等腰△AOC，以O为圆心，OA为半径画圆，那么点E就在上运动，'最大；理由如下：过点O在OE'⊥AC于点H，交圆O于点E′，此时S△ACE∵OE'+OH＝OE+OH≥EF，∴当O、E'、H三点共线且垂直于AC时三角形的高有最大值，最大值是E′H，即E′为的中点．∵∠AEC＝∠AEC＝∠AOH＝β，，∴，∵AH＝CH＝100，∴，∴．∴，∴．即：，∴四边形ABDC的面积最大值是．【点评】本题主要考查了直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，恰当的条件辅助线构造直角三角形是解题的关键。

2020年陕西省西安市西工大附中高考数学第三阶段模考试卷(理科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|x >−1}，B ={x|log 2x <1}，则A ∩B =( )A. {x|x >0}B. {x|−1<x <2}C. {x|0<x <2}D. {x|x <2}2. 已知单位向量a ⃗ ，b ⃗ 的夹角为π3，则a ⃗ ⋅(a ⃗ +2b ⃗ )=( )A. 32B. 1+√32C. 2D. 1+√33. 设函数f (x )={log 2x,x >1x 2+1,x ≤1，则f(f (1))的值为( )A. −1B. 1C. 0D. 24. 已知cos2α=13，则sin 2(α+π2)等于( )A. √53B. 13C. 14D. 235. 2019年成都世界警察与消防员运动会期间，需安排甲、乙、丙、丁四名志愿者去A ，B ，C 三个场馆参与服务工作，要求每个场馆至少一人，则甲、乙被安排到同一个场馆的概率为( )A. 112B. 18C. 16D. 146. 已知点F 是抛物线y 2=4x 焦点，M ，N 是该抛物线上两点，|MF|+|NF|=6，则MN 中点到准线距离为( )A. 32B. 2C. 3D. 47. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.若acosB +bcosA =4sinC ，则△ABC 的外接圆面积为( )A. 16πB. 8πC. 4πD. 2π8. 函数f(x)=2x 2−lnx 在x =1处的切线方程是( )A. y =4x −5B. y =3x −1C. y =3x −2D. y =4x −29. 在底面为正方形的四棱锥S −ABCD 中，SA =SB =SC =SD ，异面直线AD 与SC 所成的角为60°，AB =2.则四棱锥S −ABCD 的外接球的表面积为( )A. 6πB. 8πC. 12πD. 16π10.已知F1，F2是双曲线E：x2a2−y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，点M在E的渐近线上，且MF2与x轴垂直，cos∠MF1F2=2√23，则E的离心率为()A. 2B. √3C. √2D. √6211.正方体ABCD−A1B1C1D1棱长为4，M，N，P分别是棱A1D1，A1A，D1C1的中点，则过M，N，P三点的平面截正方体所得截面的面积为()A. 2√3B. 4√3C. 6√3D. 12√312.某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额：(1)如果不超过200元，则不给予优惠；(2)如果超过200元但不超过500元，则按标价给予9折优惠；(3)如果超过500元，其500元内的按第(2)条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠。

2020年高考数学模拟试卷（理科）（3月份）一、选择题1．已知集合，B＝{（x，y）|y＝3x}，则A∩B中的元素的个数是（）A．1B．2C．3D．42．复数在复平面内对应的点到原点的距离是（）A．B．C．D．3．虚拟现实（VR）技术被认为是经济发展的新增长点，某地区引进VR技术后，VR市场收入（包含软件收入和硬件收入）逐年翻一番，据统计该地区VR市场收入情况如图所示，则下列说法错误的是（）A．该地区2019年的VR市场总收入是2017年的4倍B．该地区2019年的VR硬件收入比2017年和2018年的硬件收入总和还要多C．该地区2019年的VR软件收入是2018年的软件收入的3倍D．该地区2019年的VR软件收入是2017年的软件收入的6倍4．执行如图所示的程序框图，若输出的S的值为0，则中可填入（）A．m＝m+2B．m＝m+1C．m＝m﹣1D．m＝m﹣25．设a＝4，b＝log，c＝log43，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线围成的各区域上分别且只能标记数字1，2，3，4，相邻区域标记的数字不同，其中，区域A和区域B标记的数字丢失．若在图上随机取一点，则该点恰好取自标记为1的区域的概率所有可能值中，最大的是（）A．B．C．D．7．1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开启了人造卫星的新篇章，人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等．设椭圆的长轴长、焦距分别为2a，2c，下列结论不正确的是（）A．卫星向径的最小值为a﹣cB．卫星向径的最大值为a+cC．卫星向径的最小值与最大值的比值越小，椭圆轨道越扁D．卫星运行速度在近地点时最小，在远地点时最大8．已知在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点E，F分别在侧棱AA1，BB1上（与顶点不重合），＝，AA1＝4，△ABC的面积为5，截面C1EF与截面CEF将三棱柱ABC﹣A1B1C1分成三部分．若中间部分的体积为4，则AA1与底面所成角的正弦值为（）A．B．C．D．9．已知f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ≤π）是R上的奇函数，若f（x）的图象关于直线对称，且f（x）在区间内是单调函数，则＝（）A．B．C．D．10．已知直线l与曲线y＝e x相切，切点为P，直线l与x轴、y轴分别交于点A，B，O为坐标原点．若△OAB的面积为，则点P的个数是（）A．1B．2C．3D．411．知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，点M在C的右支上，MF1与y轴交于点A，△MAF2的内切圆与边AF2切于点B．若|F1F2|＝4|AB|，则C的渐近线方程为（）A．B．C．2x±y＝0D．x±2y＝012．已知符号函数，偶函数f（x）满足f（x+2）＝f（x），当x∈[0，1]时，f（x）＝x，则（）A．sgn（f（x））＞0B．C．sgn（f（2k））＝0（k∈Z）D．sgn（f（k））＝|sgnk|（k∈Z）二、填空题13．已知向量，，若，则实数μ的值为；若，则实数μ的值为．14．若对（1+x）n＝1+x+x2+x3+…+x n两边求导，可得n（1+x）n﹣1＝+x+x2+…+x n﹣1．通过类比推理，有（5x﹣4）7＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7，可得a1+2a2+3a3+4a4+5a5+6a6+7a7的值为．15．已知数列{a n}中，a1＝11，，若对任意的m∈[1，4]，存在n∈N*，使得成立，则实数t的取值范围是．16．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长是a，S是A1B1的中点，P是A1D1的中点，点Q在正方形DCC1D1及其内部运动，若PQ∥平面SBC1，则点Q的轨迹的长度是．三、解答题17．如图所示，在△ABC中，点D在边BC上，且∠DAC＝90°，，．（1）若，求BC的值；（2）若BC边上的中线AE＝2，求AC的值．18．如图，在多面体ABCDEF中，AB∥CD，AD⊥CD，CD＝2AB＝2AD，四边形ADEF 是矩形，平面BDE⊥平面ABCD，AF＝λAD．（1）证明：DE⊥平面ABCD；（2）若二面角B﹣CF﹣D的正弦值为，求λ的值．19．如图，已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，圆E：（x﹣3）2+（y﹣2）2＝16与C交于M，N两点，且M，E，F，N四点共线．（1）求抛物线C的方程；（2）设动点P在直线x＝﹣1上，存在一个定点T（t，0）（t≠0），动直线l经过点T 与C交于A，B两点，直线PA，PB，PT的斜率分别记为k1，k2，k3，且k1+k2﹣2k3为定值，求该定值和定点T的坐标．20．随着智能手机的普及，手机计步软件迅速流行开来，这类软件能自动记载每日健步走的步数，从而为科学健身提供了一定帮助．某企业为了解员工每日健步走的情况，从该企业正常上班的员工中随机抽取300名，统计他们的每日健步走的步数（均不低于4千步，不超过20千步）．按步数分组，得到频率分布直方图如图所示．（1）求这300名员工日行步数x（单位：千步）的样本平均数（每组数据以该组区间的中点值为代表，结果保留整数）；（2）由直方图可以认为该企业员工的日行步数ξ（单位：千步）服从正态分布N（μ，σ2），其中μ为样本平均数，标准差σ的近似值为2，求该企业被抽取的300名员工中日行步数ξ∈（14，18]的人数；（3）用样本估计总体，将频率视为概率．若工会从该企业员工中随机抽取2人作为“日行万步”活动的慰问奖励对象，规定：日行步数不超过8千步者为“不健康生活方式者”，给予精神鼓励，奖励金额为每人0元；日行步数为8～14千步者为“一般生活方式者”，奖励金额为每人100元；日行步数为14千步以上者为“超健康生活方式者”，奖励金额为每人200元．求工会慰问奖励金额X（单位：元）的分布列和数学期望．附：若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ＜ξ≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ＜ξ≤μ+3σ）≈0.9973．21．已知函数f（x）＝．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若x1，x2（x1＜x2）是f（x）的两个零点，求证：．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（θ为参数），直线C2的参数方程为（a为常数且a≠0，t为参数）．（1）求C1和C2的直角坐标方程；（2）若C1和C2相交于A、B两点，以线段AB为一条边作C1的内接矩形ABCD，当矩形ABCD的面积取最大值时，求a的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+a|﹣|2x﹣2|（a∈R）．（1）证明：f（x）≤|a|+1；（2）若a＝2，且对任意x∈R都有k（x+3）≥f（x）成立，求实数k的取值范围．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，B＝{（x，y）|y＝3x}，则A∩B中的元素的个数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】作出椭圆+y2＝1和y＝3x的图象，结合图形得A∩B中的元素的个数是2．解：集合，B＝{（x，y）|y＝3x}，作出椭圆+y2＝1和y＝3x的图象，如下：结合图形得A∩B中的元素的个数是2．故选：B．2．复数在复平面内对应的点到原点的距离是（）A．B．C．D．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．解：∵＝，∴z在复平面内对应的点到原点的距离是|z|＝．故选：C．3．虚拟现实（VR）技术被认为是经济发展的新增长点，某地区引进VR技术后，VR市场收入（包含软件收入和硬件收入）逐年翻一番，据统计该地区VR市场收入情况如图所示，则下列说法错误的是（）A．该地区2019年的VR市场总收入是2017年的4倍B．该地区2019年的VR硬件收入比2017年和2018年的硬件收入总和还要多C．该地区2019年的VR软件收入是2018年的软件收入的3倍D．该地区2019年的VR软件收入是2017年的软件收入的6倍【分析】设2017年VR市场总收入为1，根据统计图，逐一判断即可．解：设2017年VR市场总收入为1，A，地区2019年的VR市场总收入为4，是2017年的4倍，正确；B，2017年和2018年的硬件收入总和为1×0.9+2×0.8＝2.5＜4×0.7＝2.8，故正确；C，2019年的VR软件收入1.2是2018年的软件收入0.4的3倍，正确；D，错误，2019年的VR软件收入是2017年的软件收入的12倍，故选：D．4．执行如图所示的程序框图，若输出的S的值为0，则中可填入（）A．m＝m+2B．m＝m+1C．m＝m﹣1D．m＝m﹣2【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解：第一次，S＝2×（4﹣2）＝4，S≤0否；若m＝m+2＝6；第二次，S＝4×（6﹣4）＝8，S≤0否；m＝m+2＝8；第三次，S＝8×（8﹣8）＝0，S≤0，是，输出S＝0；正确；若m＝m+1＝5；第二次，S＝4×（5﹣4）＝4，S≤0否；m＝m+1＝6；第三次，S＝4×（6﹣4）＝8，S≤0，否；m＝m+1＝7，第四次，S＝8×（7﹣8）＝﹣8，S≤0是；输出S＝﹣8；与S＝0矛盾，舍去；若m＝m﹣1＝3；第二次，S＝4×（3﹣4）＝﹣4，S≤0是；输出S＝﹣4，与S＝0矛盾，舍去；若m＝m﹣2＝2第二次，S＝4×（2﹣4）＝﹣8，S≤0是；输出S＝﹣8，与S＝0矛盾，舍去；故输入m＝m+2，输出的S的值为0，故选：A．5．设a＝4，b＝log，c＝log43，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a【分析】可以得出，，从而可得出a，b，c的大小关系．解：，，∴a＜c＜b．故选：B．6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线围成的各区域上分别且只能标记数字1，2，3，4，相邻区域标记的数字不同，其中，区域A和区域B标记的数字丢失．若在图上随机取一点，则该点恰好取自标记为1的区域的概率所有可能值中，最大的是（）A．B．C．D．【分析】要想符合要求，1出现的次数尽可能的多，当区域A标记的数字是2，区域B 标记的数字是1时，恰好取在标记为1的区域的概率所有可能值最大．解：要想符合要求，1出现的次数尽可能的多；所以：当区域A标记的数字是2，区域B标记的数字是1时，恰好取在标记为1的区域的概率所有可能值最大，此时所在的小方格个数n＝5×6＝30，标记为1的区域中小方格的个数m＝10，∴恰好取在标记为1的区域的概率所有可能值中，最大的是P＝＝．故选：C．7．1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开启了人造卫星的新篇章，人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等．设椭圆的长轴长、焦距分别为2a，2c，下列结论不正确的是（）A．卫星向径的最小值为a﹣cB．卫星向径的最大值为a+cC．卫星向径的最小值与最大值的比值越小，椭圆轨道越扁D．卫星运行速度在近地点时最小，在远地点时最大【分析】由题意可得卫星项径是椭圆上的点到焦点的距离，可得项径的最大值最小值，运行速度的意义又是服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等，可得速度的最大值及最小值时的情况，由项径的意义可得最小值与最大值的比越小时椭圆越圆，进而可得所给命题的真假．解：由题意可得卫星的向径是椭圆上的点到右焦点的距离，所以最小值为a﹣c，最大值为a+c，所以A，B正确；因为运行速度是变化的，速度的变化，所以卫星运行速度在近地点时最小，在远地点时最大，即D正确；卫星向径的最小值与最大值的比值越小，即＝＝﹣1+越小，则e越大，而e＝，所以这时b越接近a，椭圆越圆，故C不正确．故选：C．8．已知在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点E，F分别在侧棱AA1，BB1上（与顶点不重合），＝，AA1＝4，△ABC的面积为5，截面C1EF与截面CEF将三棱柱ABC﹣A1B1C1分成三部分．若中间部分的体积为4，则AA1与底面所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【分析】由题意可得中间部分的体积为原三棱柱体积的三分之一，得到原三棱柱的体积，设AA1与底面所成角为α，由棱柱体积公式列式求得sinα的值．解：如图，过EF作平面EFG∥底面ABC，则，，可得中间部分的体积为V＝＝4，∴，设AA1与底面所成角为α，则S△ABC•AA1•sinα＝12，又AA1＝4，△ABC的面积为5，∴20sinα＝12，即sin．∴AA1与底面所成角的正弦值为．故选：B．9．已知f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ≤π）是R上的奇函数，若f（x）的图象关于直线对称，且f（x）在区间内是单调函数，则＝（）A．B．C．D．【分析】首先利用函数的奇偶性求出φ的值，进一步求出函数的关系式为f（x）＝﹣sinωx，进一步利用（x）的图象关于直线对称，整理得ω＝4k+2，最后利用函数的单调性的应用求出ω的值，从而确定函数的关系式，最后求出函数的值．解：f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ≤π）是R上的奇函数，所以φ＝kπ，k∈Z，当k＝1时，φ＝π．所以f（x）＝sin（ωx+π）＝﹣sinωx，由于f（）＝﹣sin（ω）＝±1，所以ω＝kπ（k∈Z），整理得ω＝k+，整理得ω＝4k+2．当k＝0时，ω＝2，函数f（x）＝﹣sin2x，由于x∈，所以，故函数是单调递减函数．当k＝1时ω＝4+2＝6，函数f（x）＝﹣sin6x，由于x∈，所以，由于内单调，故函数不为单调函数．当k＝2时，ω＝10，函数f（x）在区间内也不是单调函数，所以f（x）＝﹣sin2x，故f（）＝＝﹣．故选：A．10．已知直线l与曲线y＝e x相切，切点为P，直线l与x轴、y轴分别交于点A，B，O为坐标原点．若△OAB的面积为，则点P的个数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】设切点P（），写出函数在切点处的导数，得到切线方程，分别求出切线在两坐标轴上的截距，利用三角形面积公式列式可得．构造函数f（x）＝（x﹣1）2e x，利用导数研究其单调性与极值，则答案可求．解：设切点P（），由y＝e x，得y′＝e x，则，∴直线l的方程为，取y＝0，得x＝x0﹣1，取x＝0，得．∴，则．构造函数f（x）＝（x﹣1）2e x，f′（x）＝e x（x2﹣1）．令f′（x）＝0，得x＝±1．∴当x＜﹣1或x＞1时，f′（x）＞0，当﹣1＜x＜1时，f′（x）＜0，可得f（x）先增后减再增，，f（x）极小值＝f（1）＝0．∵f（x）的极大值＜，∴当x≤1时，不存在点P满足题意；当x＞1时，f（x）单调递增，当x→+∞时，f（x）→+∞．∴f（x）＝0有唯一解，则点P存在且唯一．故选：A．11．知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，点M在C的右支上，MF1与y轴交于点A，△MAF2的内切圆与边AF2切于点B．若|F1F2|＝4|AB|，则C的渐近线方程为（）A．B．C．2x±y＝0D．x±2y＝0【分析】由双曲线的定义和内切圆的切线性质：圆外一点向圆引切线，则切线长相等，结合双曲线的定义，转化求解渐近线方程即可．解：双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，点M在C的右支上，MF1与y轴交于点A，△MAF2的内切圆与边AF2切于点B．与MF1的切点为N，如图：设AB＝n，MB＝m，BF2＝t，由双曲线的定义可知：m+2n+t﹣m﹣t＝2a，可得n ＝a，若|F1F2|＝4|AB|，所以2c＝4a，c＝2a，则b＝．所以双曲线的渐近线方程为：±y＝0．故选：A．12．已知符号函数，偶函数f（x）满足f（x+2）＝f（x），当x∈[0，1]时，f（x）＝x，则（）A．sgn（f（x））＞0B．C．sgn（f（2k））＝0（k∈Z）D．sgn（f（k））＝|sgnk|（k∈Z）【分析】本题先根据函数的周期性和奇偶性画出函数f（x）的图象，再根据符号函数的性质，以及函数的周期性，利用数形结合法可对四个选项逐个判断，可得正确选项．解：依题意，由f（x+2）＝f（x），可知函数f（x）是以2为周期的周期函数．∵当x∈[0，1]时，f（x）＝x，f（x）是偶函数，∴当x∈[﹣1，0]时，f（x）＝﹣x．函数f（x）图象如下：根据图可得，0≤f（x）≤1，故sgn（f（x））≥0，选项A不正确；很明显，当x＝2k，k∈Z时，f（x）＝0，sgn（f（x））＝0，选项C正确；f（）＝f（2×1010+）＝f（）＝，故选项B不正确；当k＝2时，sgn（f（2））＝sgn（0）＝0，|sgn2|＝1，故选项D不正确故选：C．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量，，若，则实数μ的值为；若，则实数μ的值为．【分析】利用向量数量积与向量垂直、向量坐标运算与向量共线的关系即可得出．解：+μ＝（﹣3+μ，2﹣μ），2+＝（﹣5，3），∵，∴（+μ）•＝（﹣3+μ，2﹣μ）•（﹣3，2）＝﹣3（﹣3+μ）+2（2﹣μ）＝0，解得μ＝．∵，∴3（﹣3+μ）+5（2﹣μ）＝0，解得μ＝．故答案为：，．14．若对（1+x）n＝1+x+x2+x3+…+x n两边求导，可得n（1+x）n﹣1＝+x+x2+…+x n﹣1．通过类比推理，有（5x﹣4）7＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7，可得a1+2a2+3a3+4a4+5a5+6a6+7a7的值为35．【分析】对已知式两边对x求导数，再利用x＝1，即可求得结果．解：∵（5x﹣4）7＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7，两边对x求导数，可得7×5×（5x﹣4）6＝a1+2a2x+3a3x2+4a4x3+5a5x4+6a6x5+7a7x6，再令x＝1，可得a1+2a2+3a3+4a4+5a5+6a6+7a7＝35，故答案为：35．15．已知数列{a n}中，a1＝11，，若对任意的m∈[1，4]，存在n∈N*，使得成立，则实数t的取值范围是（﹣4，2）．【分析】利用裂项法可求得a n＝（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a3﹣a2）+（a2﹣a1）+a1＝12﹣，而a n＝12﹣为递增数列，可求得a n的极限值（可作为最大值），于是所求可转化为对任意的m∈[1，4]，t2+mt＜12恒成立问题，通过构造函数h（m）＝tm+t2﹣12，则，解之即可．解：∵，∴＝﹣，∴a n＝（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a3﹣a2）+（a2﹣a1）+a1＝（﹣）+（﹣）+…+（﹣）+（1﹣）+11＝12﹣，∵a n＝12﹣为递增数列，∴当n→+∞时，a n→12．∵对任意的m∈[1，4]，存在n∈N*，使得成立，∴对任意的m∈[1，4]，t2+mt＜12恒成立．令h（m）＝tm+t2﹣12，则，即，解得：﹣4＜t＜2，故答案为：（﹣4，2）．16．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长是a，S是A1B1的中点，P是A1D1的中点，点Q在正方形DCC1D1及其内部运动，若PQ∥平面SBC1，则点Q的轨迹的长度是．【分析】求出Q在正方形DCC1D1的位置，然后转化求解距离即可．解：要使PQ∥平面SBC1，作PE∥C1S，交C1D1于E，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长是a，D1E＝C1D1＝，连接BD，取BD的中点O，连接PO，则PSBO为平行四边形，PO∥SB，取DF＝＝，连接OF，EF，所以PEFO为平行四边形，Q在EF上，所以EF＝＝．点Q的轨迹的长度是：．故答案为：．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．如图所示，在△ABC中，点D在边BC上，且∠DAC＝90°，，．（1）若，求BC的值；（2）若BC边上的中线AE＝2，求AC的值．【分析】（1）由题意利用诱导公式可求sin∠BAC的值，在△ABC中，由正弦定理可得BC的值．（2）由（1）可得sin∠BAC＝，利用同角三角函数基本关系式可求cos∠BAC，利用平面向量的运算可得＝（+），两边平方后即可计算得解AC的值．解：（1）∵∠DAC＝90°，，．∴sin∠BAC＝sin（90°+∠DAB）＝，∵，∴在△ABC中，由正弦定理，可得：＝，可得：BC＝4．（2）∵由（1）可得sin∠BAC＝，∴cos∠BAC＝﹣，∵＝（+），可得2＝（+）2，又∵AE＝2，，∴可得4＝[6+AC2+2×]，可得3AC2﹣2AC﹣30＝0，∴解得AC＝或﹣（舍去）．18．如图，在多面体ABCDEF中，AB∥CD，AD⊥CD，CD＝2AB＝2AD，四边形ADEF 是矩形，平面BDE⊥平面ABCD，AF＝λAD．（1）证明：DE⊥平面ABCD；（2）若二面角B﹣CF﹣D的正弦值为，求λ的值．【分析】（1）推导出AD⊥DE，BD⊥DE，由此能证明DE⊥平面ABCD．（2）DE⊥平面ABCD，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DE为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出λ．解：（1）证明：∵四边形ADEF是矩形，平面BDE⊥平面ABCD，平面BDE∩平面ABCD＝BD，∴AD⊥DE，BD⊥DE，∵AD∩BD＝D，∴DE⊥平面ABCD．（2）解：∵在多面体ABCDEF中，AB∥CD，AD⊥CD，四边形ADEF是矩形，平面BDE⊥平面ABCD，AF＝λAD．由（1）知DE⊥平面ABCD，∴以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DE为z轴，建立空间直角坐标系，设CD＝2AB＝2AD＝2，则AF＝λ，则B（1，1，0），C（0，2，0），D（0，0，0），F（1，0，λ），＝（1，﹣1，0），＝（1，﹣2，λ），＝（0，﹣2，0），设平面BCF的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，1，），设平面CDF的法向量＝（a，b，c），则，取a＝1，得＝（1，0，﹣），∵二面角B﹣CF﹣D的正弦值为，∴|cos＜＞|＝＝||＝，解得λ＝或λ＝．19．如图，已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，圆E：（x﹣3）2+（y﹣2）2＝16与C交于M，N两点，且M，E，F，N四点共线．（1）求抛物线C的方程；（2）设动点P在直线x＝﹣1上，存在一个定点T（t，0）（t≠0），动直线l经过点T 与C交于A，B两点，直线PA，PB，PT的斜率分别记为k1，k2，k3，且k1+k2﹣2k3为定值，求该定值和定点T的坐标．【分析】（1）由题意知E（3，2），设抛物线C的准线为直线l′，过M，N，E分别作直线l′的垂线，垂足分别为M′，N′，E′，则|MF|＝|MM′|，|NF|＝|NN′|，从而|EE′|＝＝＝＝4，进而3+＝4，由此能求出抛物线C的方程；（2）设直线l的方程为x＝ky+t，与y2＝4x联立，得y2﹣4ky﹣4t＝0，由此利用根的判别式，韦达定理、直线与抛物线的位置关系，能求出k1+k2﹣2k3的值与k，y0无关，当且仅当t＝1时，定点为T（1，0），定值为0．解：（1）由题意知E（3，2），设抛物线C的准线为直线l′，过M，N，E分别作直线l′的垂线，垂足分别为M′，N′，E′，则|MF|＝|MM′|，|NF|＝|NN′|，∴|EE′|＝＝＝＝4，∴3+＝4，解得p＝2，∴抛物线C的方程为y2＝4x．（2）由题意知，直线l的斜率存在，且不为0，设直线l的方程为x＝ky+t，与y2＝4x联立，得：y2﹣4ky﹣4t＝0，△＝16k2+16t＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），P（﹣1，y0），y1+y2＝4k，y1y2＝﹣4t，∴x1+x2＝k（y1+y2）+2t＝4k2+2t，x1x2＝，∴k1+k2﹣2k3＝++＝+＝，∴k1+k2﹣2k3的值与k，y0无关，当且仅当t＝1时，定点为T（1，0），定值为0．20．随着智能手机的普及，手机计步软件迅速流行开来，这类软件能自动记载每日健步走的步数，从而为科学健身提供了一定帮助．某企业为了解员工每日健步走的情况，从该企业正常上班的员工中随机抽取300名，统计他们的每日健步走的步数（均不低于4千步，不超过20千步）．按步数分组，得到频率分布直方图如图所示．（1）求这300名员工日行步数x（单位：千步）的样本平均数（每组数据以该组区间的中点值为代表，结果保留整数）；（2）由直方图可以认为该企业员工的日行步数ξ（单位：千步）服从正态分布N（μ，σ2），其中μ为样本平均数，标准差σ的近似值为2，求该企业被抽取的300名员工中日行步数ξ∈（14，18]的人数；（3）用样本估计总体，将频率视为概率．若工会从该企业员工中随机抽取2人作为“日行万步”活动的慰问奖励对象，规定：日行步数不超过8千步者为“不健康生活方式者”，给予精神鼓励，奖励金额为每人0元；日行步数为8～14千步者为“一般生活方式者”，奖励金额为每人100元；日行步数为14千步以上者为“超健康生活方式者”，奖励金额为每人200元．求工会慰问奖励金额X（单位：元）的分布列和数学期望．附：若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ＜ξ≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ＜ξ≤μ+3σ）≈0.9973．【分析】（1）以各组中点为该组的代表值加权平均即可；（2）依题意，日行步数ξ（千步）服从正态分布N（μ，σ2），由（1）知μ＝12，又σ的近似值为2，所以P（14＜ξ＜18）＝P（μ+σ＜ξ＜μ+3σ）代入即可；（3）由频率分布直方图知每人获得奖励为0元的概率为0.02，奖励金额为100元的概率为0.88，奖励金额为200元的概率为0.1，确定随机变量X的所有可能的取值，分别求出，每个随机变量对应的概率，列出分布列求期望即可．解：（1）这300名员工日行步数的样本平均数为2（5×0.005+7×0.005+9×0.04+11×0.29+13×0.11+15×0.03+17×0.015+19×0.005）＝11.68≈12千步；（2）因为ξ～N（12，22），所以P（14＜ξ＜18）＝P（12+2＜ξ＜12+3×2）＝[P（6＜ξ＜18）﹣P（10＜ξ＜14）]＝0.1574，所以走路步数ξ∈（14，18）的总人数为300×0.1574≈47人；（3）由频率分布直方图知每人获得奖励为0元的概率为0.02，奖励金额为100元的概率为0.88，奖励金额为200元的概率为0.1，由题意知X的可能取值为0，100，200，300，400，P（X＝0）＝0.022＝0.0004，P（X＝100）＝2×0.02×0.88＝0.0352，P（X＝200）＝0.882+2×0.02×0.1＝0.7784，P（X＝300）＝2×0.88×0.1＝0.176，P（X＝400）＝0.12＝0.01，所以X的分布列为：X0100200300400P0.00040.03520.77840.1760.01 E（X）＝100×0.0352+200×0.7784+300×0.176+400×0.01＝216．21．已知函数f（x）＝．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若x1，x2（x1＜x2）是f（x）的两个零点，求证：．【分析】（1）f（x）的定义域为（0，+∞），求出导函数，通过①当a≤0时，②当a ＞0时，判断导数的符号，判断函数的单调性即可．（2）利用f（x）有两个零，得到，推出a＞2e，要证原不等式成立，只需证明，利用分析法推出；另一方面，令，（x＞0），通过函数的导数，转化求解函数的最值，转化求解即可．解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），且，①当a≤0时，f'（x）≤0，f（x）的单调递减区间为（0，+∞）；②当a＞0时，由f'（x）＞0得，故f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为．（2）证明：∵f（x）有两个零点，∴由（1）知a＞0且，∴a ＞2e，要证原不等式成立，只需证明，只需证明，只需证明．一方面∵a＞2e，∴，∴，∴，且f（x）在单调递增，故；另一方面，令，（x＞0），则，当时，g'（x）＜0；当时，g'（x）＞0；故，故g（x）≥0即时x∈（0，+∞）恒成立，令，则，于是，而，故，且f（x）在单调递减，故；综合上述，，即原不等式成立．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（θ为参数），直线C2的参数方程为（a为常数且a≠0，t为参数）．（1）求C1和C2的直角坐标方程；（2）若C1和C2相交于A、B两点，以线段AB为一条边作C1的内接矩形ABCD，当矩形ABCD的面积取最大值时，求a的值．【分析】（1）曲线C1的参数方程为（θ为参数），利用平方关系消去参数可得普通方程．直线C2的参数方程为（a为常数且a≠0，t为参数）．消去参数t可得普通方程；（2）由直线x＝﹣2+ay经过定点（﹣2，0），由于以线段AB为一条边作C1的内接矩形ABCD，因此矩形的对角线为圆的直径，都经过原点．可知：当矩形ABCD的面积取最大值时，四边形ABCD为正方形．即可得出．解：（1）曲线C1的参数方程为（θ为参数），利用平方关系消去参数可得：x2+y2＝4．直线C2的参数方程为（a为常数且a≠0，t为参数）．消去参数t可得：x＝﹣2+ay．（2）由直线x＝﹣2+ay经过定点（﹣2，0），由于以线段AB为一条边作C1的内接矩形ABCD，因此矩形的对角线为圆的直径，都经过原点．可知：当矩形ABCD的面积取最大值时，四边形ABCD为正方形．∴直线经过点（0，±2），代入可得：0＝﹣2±2a，解得a＝±1．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+a|﹣|2x﹣2|（a∈R）．（1）证明：f（x）≤|a|+1；（2）若a＝2，且对任意x∈R都有k（x+3）≥f（x）成立，求实数k的取值范围．【分析】（1）将函数f（x）＝|x+a|﹣|2x﹣2|化为f（x）＝|（2x﹣2）﹣（x﹣a﹣2）|﹣|2x﹣2|，利用绝对值不等式可得f（x）≤|x﹣a﹣2|（当且仅当（x﹣1）（x﹣a﹣2）≤0时取等号），进一步分析可证得结论成立；（2）要使k（x+3）≥f（x）恒成立．则过定点（﹣3，0）的直线y＝k（x+3）的图象不会在y＝f（x）的图象的下方，在同一坐标系中作出y＝f（x）与y＝k（x+3）的图象，结合图象可求得实数k的取值范围．【解答】（1）证明：函数f（x）＝|x+a|﹣|2x﹣2|＝|（2x﹣2）﹣（x﹣a﹣2）|﹣|2x﹣2|≤|2x﹣2|+|x﹣a﹣2|﹣|2x﹣2|＝|x﹣a﹣2|（当且仅当（2x﹣2）（x﹣a﹣2）≤0，即（x﹣1）（x﹣a﹣2）≤0时取等号）由于（x﹣1）（x﹣a﹣2）≤0，当a﹣2≥1，即a≥3时，|x﹣a﹣2|≤|1﹣a﹣2|＝|a+1|＝|a|+1；当1＞a﹣2，即a＜3时，|x﹣a﹣2|≤|1﹣a﹣2|＝|a+1|≤|a|+1；综上所述，f（x）≤|a|+1；（2）解：a＝2，且对任意x∈R都有k（x+3）≥f（x）＝|x+2|﹣|2x﹣2|＝，要使k（x+3）≥f（x）恒成立．则过定点（﹣3，0）的直线y＝k（x+3）的图象不会在y＝f（x）的图象的下方，在同一坐标系中作出y＝f（x）与y＝k（x+3）的图象如图，由图可知，≤k≤1．即实数k的取值范围为[，1]．。

2020届陕西省西安市西北工业大学附中高三第三次适应性考试数学（理）试题一、单选题1．若,a b ∈R ，且a b >，则下列不等式成立的是（ ）A ．22a b >B ．1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．lg()0a b ->D ．1b a< 【答案】B【解析】利用特殊值排除错误选项，利用指数函数单调性证明正确选项. 【详解】不妨设1,2a b =-=-，则22a b <，A 选项错误.()lg lg10a b -==，C 选项错误.21ba=>，D 选项错误. 对于B 选项，由于13x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭为R 上的减函数，而a b >，所以1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即B 选项正确. 故选：B 【点睛】本小题主要考查数的大小判断，考查指数函数单调性，属于基础题. 2．已知{0,1,2,3},A={|1},B y y ==P A B =⋂，则P 的子集个数为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．16【答案】C【解析】先求得集合B ，由此求得集合P ，根据集合P 元素的个数，求得P 的子集个数. 【详解】由于11y =≥，所以[)1,B =+∞，所以{}1,2,3P A B =⋂=，集合P 共有3个元素，故子集有328=个. 故选：C【点睛】本小题主要考查函数值域，考查集合交集和子集个数的求法，属于基础题.3．从n 个正整数1，2…n 中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为114，则n 的值为（ ） A ．6 B ．8C ．10D ．14【答案】B【解析】利用古典概型概率计算公式列方程，解方程求得n 的值. 【详解】两数之和为5有14,23++两种情况，故22114n C =，故()21282n n n C -==，解得8n =. 故选：B 【点睛】本小题主要考查根据古典概型的概率求参数，属于基础题.4．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面111A B C ，底面ABC V 是正三角形E 是BC 的中点，则下列叙述正确的是（ ）A ．1CC 与1B E 是异面直线 B ．AC ⊥平面11ABB A C ．11AE B C ⊥D ．11//A C 平面1AB E【答案】C【解析】证明11,CC B E 共面，由此判断A 选项错误.由AC 与AB 不垂直，判断B 选项错误.通过证明AE ⊥平面11BCC B ，证得11AE B C ⊥，由此判断C 选项正确.由11//A C AC 而AC 与平面1AB E 相交，判断D 选项错误.【详解】对于A 选项，由于11,CC B E 都含于平面11BCC B ，所以不是异面直线，故A 选项错误.对于B 选项，由于3CAB π∠=，所以AC 与平面11ABB A 不会垂直，故B 选项错误.对于C 选项，在等边三角形ABC 中，AE BC ⊥，根据直三棱柱中易得1AE AA ⊥，所以AE ⊥平面11BCC B ，所以11AE B C ⊥，所以C 选项正确.对于D 选项，由于11//A C AC ，而AC 与平面1AB E 相交，所以直线11A C 与平面1AB E 不平行，故D 选项错误. 故选：C 【点睛】本小题主要考查异面直线判断、异面直线垂直、线面垂直、线面平行等命题的真假性判断，属于基础题.5．如图所示的茎叶图记录了甲，乙两组各5名工人某日的产量数据单位：件），若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x 和y 的值分别为（ ）A ．3，5B ．7，5C ．5，7D ．5，3【答案】D【解析】根据两组数据的中位数和平均数相等，求得,x y 的值. 【详解】乙组的中位数为65，所以5x =，所以平均数5965676178566562747055y+++++++++=，解得3y =.故选：D 【点睛】本小题主要考查与茎叶图有关的平均数和中位数的计算，属于基础题.6．若()4*nx n N x x ⎛∈ ⎝的展开式中含有常数项，则n 的最小值为（ ）A ．8B ．10C ．11D ．12【答案】C【解析】求得二项式展开式的通项公式，根据展开式中含有常数项，求得n 的表达式，进而求得n 的最小值. 【详解】二项式()4*nx n N⎛∈ ⎝展开式的通项公式为()()31144221rrn n rr rrn n C xx C x ---⎛⎫⋅⋅-=-⋅⋅ ⎪⎝⎭，由于展开式中含有常数项，则11402r n -=，118r n =，当8r =时，n 取得最小值为11. 故选：C 【点睛】本小题主要考查根据二项式展开式含有常数项求参数，属于基础题.7．不等式2225x x a -+>对(1,)x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[2,2]-B ．(2,2)-C ．(,2)(2,)-∞-+∞UD ．(,2][2,)-∞-+∞U【答案】A【解析】求得1x >时225x x -+的取值范围，由此求得2a 的取值范围，进而求得a 的取值范围. 【详解】由于1x =是225y x x =-+的对称轴，所以当1x >时，22251254x x -+>-+=.所以24a ≤，解得22a -≤≤. 故选：A 【点睛】本小题主要考查不等式恒成立问题的求解，属于基础题.8．己知双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的离心率(1,2]e ∈，则其经过第一、三象限的渐近线的倾斜角的取值范围是（ ） A ．0,6π⎛⎤⎥⎝⎦B ．0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．,62ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．,32ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B 【解析】根据b a 与c a 的关系式，求得ba的取值范围，由此求得经过第一、三象限的渐近线的倾斜角的取值范围 【详解】由于12c a <≤所以12<≤，所以22114,03b b a a ⎛⎫⎛⎫<+≤<≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以0b a <≤，所以经过第一、三象限的渐近线的倾斜角的取值范围是0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦. 故选：B 【点睛】本小题主要考查双曲线离心率和渐近线斜率的关系，考查直线斜率与倾斜角的对应关系，属于基础题.9．在直角坐标系xOy 中，曲线log (3)3a y x =-+（0a >，且1a ≠）过定点P ，若角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过定点P ，则tan 2θ的值为（ ） A ．247-B ．247C ．724-D ．724【答案】B【解析】先求得P 点坐标，由此求得tan θ的值，进而求得tan 2θ的值. 【详解】曲线log (3)3a y x =-+的定点()4,3P ，所以3tan 4θ=，所以223322tan 2442tan 271tan 731164θθθ⨯====-⎛⎫- ⎪⎝⎭. 故选：B 【点睛】本小题主要考查对数函数过定点问题，考查三角函数的定义，考查正切的二倍角公式，属于基础题.10．已知函数1()ln1xf x x x+=+-，且()(1)0f a f a ++>，则a 的取值范为（ ） A ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】首先判断()f x 的奇偶性和单调性，由此化简不等式()(1)0f a f a ++>，求得a 的取值范围.【详解】 由101x x +>-解得11x -<<，而()()11n 11ln l x f x x x x x f x x ++-⎛⎫-=-=-=- ⎪+⎝⎭-，所以()f x 为奇函数，且1()ln1x f x x x +=+-()122ln ln 111x x x x x --+⎛⎫=+=-++ ⎪--⎝⎭为增函数，所以由()(1)0f a f a ++>，得()()()1f a f a f a +>-=-，则1a a +>-，解得12a >-.由于11111a a -<<⎧⎨-<+<⎩，即10a -<<.所以102a -<<.即a 的取值范围是1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭. 故选：A 【点睛】本小题主要考查根据函数的奇偶性和单调性解不等式，属于中档题.11．ABC V 为等腰直角三角形，90C ∠=︒，1CA CB ==，CD 为斜边AB 上的高，D 是垂足，P 为线段CD 的中点，则AP CP ⋅=u u u r u u u r（ ） A ．-1 B ．12-C ．14-D ．18-【答案】D【解析】利用向量减法运算化简,AP CP u u u r u u u r ，结合向量数量积运算求得AP CP ⋅u u u r u u u r的值.【详解】依题意112224AB CD AB CP CD ==⨯==⨯=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以()2AP CP CP CA CP CP CA CP⋅=-⋅=-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur21111cos 4544848⎛=-⨯=-=- ⎝⎭o. 故选：D【点睛】本小题主要考查向量的减法和数量积运算，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题. 12．设函数()ln f x x x =，()()'f x g x x=，给定下列命题①不等式()0g x >的解集为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；②函数()g x 在()0,e 单调递增，在(),e +∞单调递减； ③若120x x >>时，总有()()()2212122m x x f x f x ->-恒成立，则1m ≥； ④若函数()()2F x f x ax =-有两个极值点，则实数()0,1a ∈．则正确的命题的个数为( ) A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】明确函数()g x 的图象及性质，命题的正误易判. 【详解】f （x ）=xlnx 的导数为f′（x ）=1+lnx ， 则()()1lnxf xg x xx+=='，()2'lnx g x x =-,对于①()0g x >即1lnx 0x +＞，解得1x e >，故正确； 对于②()2'lnxg x x=-，当x ()0,1∈时()()'0g x g x ＞，在()0,1单调递增，故错误；对于③()()()2212122m x x f x f x ->-可化为：()()222211 22m m f x x f x x ->- 设()2φfx 2m x x =-，又120x x >>∴()φx 在()0∞+，上单调递减，∴()φ'1lnx mx 0x =+-≤在()0∞+，上恒成立， 即1lnx m x +≥，又()1lnxg x x+=在()0,1单调递增，在()1∞+，上单调递减， ()11g =，∴m 1≥故正确；对于④若函数()()2F x f x ax =-有两个极值点，则()'F x = 1+lnx-2ax 有两个零点，即1+lnx-2ax=0，2a=1lnxx+ 又()1lnxg x x+=在()0,1单调递增，在()1∞+，上单调递减， ()11g =，x ∞→+时，()0g x →，即2a ()0,1∈，a 10,2⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故错误；故选B 【点睛】本题考查导数的运用：考查函数的单调性，考查恒成立问题，考查函数的零点的个数，注意运用转化思想、数形结合思想，属于中档题．二、填空题 13．复数121iz i i-=-+（i 为虚数单位），则||z =________． 【答案】3【解析】利用复数除法运算化简z ，再求得z . 【详解】依题意()()()211222231112i i iz i i i i i i i ---=-=-=-=-++-，所以3z =. 故答案为：3 【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查复数的模的运算，属于基础题.14．若直线20(0,0)ax by a b -+=>>被圆222410x y x y ++-+=截得的弦长为4，则21a b+的最小值为________． 【答案】4【解析】利用题目所给弦长，求得,a b 的关系式，再利用基本不等式求得21a b+的最小值. 【详解】圆222410x y x y ++-+=可化为()()222122x y ++-=，所以圆心为()1,2-，半径为2，由于直线与圆相交所得弦长为4，则直线过圆心，即220,22a b a b --+=+=.()2112122a b a b a b ⎛⎫+=⨯+⨯+ ⎪⎝⎭14144422b a a b ⎛⎛⎫=++≥+= ⎪ ⎝⎭⎝，当且仅当224,4,21b a a b a b a b ====时等号成立，所以21a b+的最小值为4. 故答案为：4 【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查基本不等式求最值，属于基础题. 15．从抛物线214y x =上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且5PM =.设抛物线的焦点为F ，则MPF ∆的面积为______. 【答案】10【解析】先设处P 点坐标，进而求得抛物线的准线方程，进而求得P 点横坐标，代入抛物线方程求得P 的纵坐标，进而利用三角形面积公式求得答案. 【详解】抛物线24x y =上一点P 引抛物线准线的垂线， 设()00,P x y依题意可知抛物线准线1y =-，0514y ∴=-=.04x ∴=，MPF ∴∆的面积为：011||541022PM x =⨯⨯=. 故答案为：10. 【点睛】本题主要考查了抛物线的应用.解题的关键是灵活利用了抛物线的定义.16．记函数|1|1()cos 2x f x x π-⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间(2,4)-上的零点分别为(1,2,,)i x x i n ==⋅⋅⋅，则1ni i x ==∑ ________．【答案】6【解析】画出11,cos 2x y y x π-⎛⎫== ⎪⎝⎭在区间()2,4-上的图象，根据两个图象交点的对称性，求得1ni i x =∑.【详解】令|1|1()cos 02x f x x π-⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，得|1|1cos 2x x π-⎛⎫= ⎪⎝⎭，画出11,cos 2x y y x π-⎛⎫== ⎪⎝⎭在区间()2,4-上的图象如下图所示.两个函数图象都关于直线1x =对称，所以两个函数图象的六个交点，也关于直线1x =对称，所以1326nii x==⨯=∑.故答案为：6【点睛】本小题主要考查函数零点问题，考查函数图像的对称性，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.三、解答题17．已知等差数列{}n a 的公差d =2，且1,a 3,a 4a 成等比数列． （I ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设数列102n a n b n +=+，求数列{}n b 的前n 项和n S ．【答案】（I ）210n a n =-；（2）()11144332n n n n S ++=⋅-+【解析】（I ）根据等比中项的性质列方程，并转化为1,a d 的形式，由此求得1a ，进而求得{}n a 的通项公式.（II ）利用分组求和法求得数列{}n b 的前n 项和n S . 【详解】（I ）由于1,a 3,a 4a 成等比数列，所以2314a a a =⋅，即()()211146a a a +=⋅+，解得18a =-.所以210n a n =-.所以数列{}n a 的通项公式为210n a n =-.（II ）由（I ）得224n nn b n n =+=+.所以()()244412nn S n =+++++++L L ()()4141142n n n -+=+-()11144332n n n ++=⋅-+. 【点睛】本小题主要考查等比中项的性质，考查等差数列通项公式的基本量计算，考查分组求和法，属于中档题.18．如图，在多面体ABCDE 中，平面ABD ⊥平面ABC ，AB AC ⊥，AE BD ⊥，DE P12AC ，AD=BD=1. (Ⅰ)求AB 的长；(Ⅱ)已知24AC ≤≤，求点E 到平面BCD 的距离的最大值.【答案】(1)2AB =217. 【解析】分析：(Ⅰ) 先由面面垂直的性质可得AC ⊥平面ABD ，DE ⊥平面ABD ，可得DE BD ⊥，再证明BD ⊥平面ADE ，于是得AD BD ⊥，由勾股定理可得结果；(Ⅱ)过O 作直线//OY AC ，以点O 为坐标原点，直线,,OB OY OD 分别为x y z ，，轴，建立空间直角坐标系O xyz -，如图所示. 记2AC a =，求出平面的一个法向量，利用点E 到平面BCD 的距离，结合24AC ≤≤，可得点E 到平面BCD 的距离的最大值.详解：(Ⅰ)∵平面ABD ⊥平面ABC ，且交线为AB ，而AC ⊥AB ，∴AC ⊥平面ABD. 又∵DE ∥AC ，∴DE ⊥平面ABD ，从而DE ⊥BD.注意到BD ⊥AE ，且DE∩AE=E ，∴BD ⊥平面ADE ，于是，BD ⊥AD. 而AD=BD=1，∴2AB =.(Ⅱ)∵AD=BD ，取AB 的中点为O ，∴DO ⊥AB. 又∵平面ABD ⊥平面ABC ，∴DO ⊥平面ABC.过O 作直线OY ∥AC ，以点O 为坐标原点，直线OB ，OY ，OD 分别为x y z ，，轴，建立空间直角坐标系O xyz -，如图所示.记2AC a =，则12a ≤≤，22000022A B ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，222000C a D ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，20E a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，，()220BC a =-u u uv ，，，22022BD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u v ，，. 令平面BCD 的一个法向量为()n x y z =v，，.由00BC n BD n ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v 得22022022x ay x z ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩.令2x =，得122n a ⎛⎫= ⎪⎝⎭v ，，. 又∵()00DE a u u u v ，，=-，∴点E 到平面BCD 的距离214DE n d n a⋅==+u u u v v v .∵12a ≤≤，∴当2a =时，d 取得最大值，max 217=144d =+.点睛：本题主要考查空间垂直关系，利用空间向量求点到面的距离，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.19．已知椭圆()2222C :1,0x y a b a b +=>>，短轴一个端点到右焦点的(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 与椭圆C 交于A,B 两点，坐标原点O 到直线l求AOB n 面积的最大值.【答案】(1)2213x y +=；(2)2. 【解析】试题分析：(1)由题意可得：1a b == ，则椭圆方程为22x y 13+=．(2)分类讨论：①当AB x ⊥轴时，AB =②当AB 与x 轴不垂直时，设处直线AB 的方程，利用题意结合根与系数的关系讨论最值即可，综合两种情况可得max 1S AB 2=⨯=. 试题解析：（1）设椭圆的半焦距为c，依题意{3c a a ==1b ∴=，∴所求椭圆方程为2213xy +=．（2）设()12,A x x ，()22,B x y ． ①当AB x ⊥轴时，AB ．②当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y kx m =+．=()22314m k=+．把y kx m=+代入椭圆方程，整理得()22316k x kmx++2330m+-=，122631kmx xk-∴+=+，()21223131mx xk-=+()()222211AB k x x∴=+-=()()()22222221213613131mk mkkk⎡⎤-⎢⎥+-⎢⎥++⎣⎦．()()()222221213131k k mk++-=+()()()2222319131k kk++=+242123961kk k=+=++()221230196kkk+≠++1234236≤+=⨯+当且仅当2219kk=，即k=时等号成立．当0k=时，AB=，综上所述max2AB=．当k=±时，AB取得最大值，AOBV面积也取得最大值．max12S AB=⨯=.20．小军的微信朋友圈参与了“微信运动”，他随机选取了40位微信好友（女20人，男20人），统计其在某一天的走路步数．其中，女性好友的走路步数数据记录如下：5860 8520 7326 6798 7325 8430 3216 7453 11754 98608753 6450 7290 4850 10223 9763 7988 9176 6421 5980男性好友走路的步数情况可分为五个类别（说明：a~b表示大于等于a，小于等于b）A（0~2000步）1人，B（2001-5000步）2人，C（5001~8000步）3人，D（8001-10000步）6人，E（10001步及以上）8人若某人一天的走路步数超过8000步被系统认定为“健康型”否则被系统认定为“进步型”．（I）访根据选取的样本数据完成下面的2×2列联表，并根据此判断能否有95%以上的把握认为“认定类型”与“性别”有关？（Ⅱ）如果从小军的40位好友中该天走路步数超过10000的人中随机抽取3人，设抽到女性好友X人，求X的分布列和数学期望()E X．附：22(),()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++n a b c d=+++．【答案】（I）22⨯列联表见解析，没有95%以上的把握认为“认定类型”与“性别”有关.（Ⅱ）分布列见解析，数学期望为3 5 .【解析】（I）根据题目所给数据填写好22⨯列联表，计算出2K的值，由此判断出没有95%以上的把握认为“认定类型”与“性别”有关.（II）利用超几何分布分布列计算的公式，计算出X的分布列，进而求得数学期望. 【详解】（I）根据题目所给数据列联表如下图所示：所以()2240141286 3.636 3.84122182020K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，所以没有95%以上的把握认为“认定类型”与“性别”有关.（II ）女性好友超过10000步的有2人，男性好友超过10000步的有8人，共有10人超过10000步，从中抽取3人，其中女性好友的人数X 的可能取值为0,1,2.且()03283107015C C P X C ⋅===，()12283107115C C P X C ⋅===，()21283101215C C P X C ⋅===. 所以分布列为数学期望为()77193012151515155E X =⨯+⨯+⨯==. 【点睛】本小题主要考查22⨯列联表独立性检验，考查超几何分布的分布列以及数学期望的计算，属于中档题.21．已知函数1()ln(1)1()1a f x a x a a R x +=-++--∈+， （I ）讨论()f x 在(0,)+∞上的单调性；（Ⅱ）若对任意的正整数n 都有11n ae n -⎛⎫+> ⎪⎝⎭成立，求a 的取值范围．【答案】（I ）当0a ≥时，()f x 在(0,)+∞上递减.当102a -<<时，()f x 在210,a a +⎛⎫ ⎪-⎝⎭上递减，在21,a a +⎛⎫+∞ ⎪-⎝⎭上递增.当12a ≤-时，()f x 在(0,)+∞上递增.（II ）1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ 【解析】（I ）求得()f x 的导函数()'fx ，对a 分成1110,0,,222a a a a ≥-<<<=-<-等四种情况，讨论()f x 的单调性.（II ）将不等式11n ae n -⎛⎫+> ⎪⎝⎭转化为111ln 10a n n n⎛⎫⎛⎫-+-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，构造()()()(]()1ln 10,1g x ax x x x =-+-∈，利用()g x 的导函数，结合（I ）的结论，求得a 的取值范围. 【详解】（I ）依题意()()'2211ax a f x x ---=+（0x >）当0a ≥时，()'0fx <，所以()f x 在(0,)+∞上递减.当0a <时，令()'0f x =解得21a x a+=-. 当102a -<<时，210,0a a a +->>-，所以()f x 在210,a a +⎛⎫⎪-⎝⎭上递减，在21,a a +⎛⎫+∞ ⎪-⎝⎭上递增.当12a =-时，()()'21201x f x x =>+，()f x 在(0,)+∞上递增. 当12a <-时，210,0a a a+-><-，所以()f x 在(0,)+∞上递增. 综上所述，当0a ≥时，()f x 在(0,)+∞上递减.当102a -<<时，()f x 在210,a a +⎛⎫⎪-⎝⎭上递减，在21,a a +⎛⎫+∞⎪-⎝⎭上递增.当12a ≤-时，()f x 在(0,)+∞上递增.（II ）不等式11n ae n -⎛⎫+> ⎪⎝⎭两边取以e 为底的对数，可转化为111ln 10a n n n ⎛⎫⎛⎫-+-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令()()()(]()1ln 10,1g x ax x x x =-+-∈，故要对任意的正整数n 都有11n ae n -⎛⎫+> ⎪⎝⎭成立，只需对任意(]0,1x ∈，有()0g x >.()()()'1ln 111a g x f x a x a x +==-++--+. 由（I ）知： 当12a ≤-时，()g x 在(]0,1上递增，所以()()00g x g >=，符合题意. 当0a ≥时，()g x 在(]0,1上递减，()()00g x g <=，不符合题意. 当1123a -<≤-时，()g x 在210,a a +⎛⎫ ⎪-⎝⎭上递减，所以当210,a x a +⎛⎫∈ ⎪-⎝⎭时，()()00g x g <=，不符合题意.当103-<<a 时，()g x 在(]0,1上递减，()()00g x g <=，不符合题意. 综上所述，a 的取值范围是1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求解有关不等式恒成立问题，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题. 22．在直角坐标系xOy ，直线l 的参数方程是cos ,{sin ,x m t y t αα=+=（t 为参数）.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系中，曲线C ：4cos ρθ=.（1）当1m =-，30α=︒时，判断直线l 与曲线C 的位置关系；（2）当1m =时，若直线与曲l 线C 相交于A ，B 两点，设(1,0)P ，且1PA PB -=，求直线l 的倾斜角.【答案】（1）直线l 与曲线C 相交.（2）3πα=或23π. 【解析】【详解】试题分析：(1)圆心到直线的距离小于半径，则直线l 与曲线C 相交.(2)写出直线参数方程的标准形式，与圆的方程联立，利用参数的几何意义整理可得直线l 的倾斜角3πα=或23π. 试题解析：解：（1）由4cos ρθ=，得24cos ρρθ=，又cos x ρθ=，sin y ρθ=，得曲线C 的普通方程为()2224x y -+=， 所以曲线C 是以()2,0M 为圆心，2为半径的圆，由直线l的参数方程为1,{1,2x y t =-+=（t 为参数），得直线l的直线坐标方程为10x +=. 由圆心M 到直线l的距离322d ==<， 故直线l 与曲线C 相交.（2）直线l 为经过点()1,0P 倾斜角为α的直线， 由1{x tcos y tsin αα=+=代入()2224x y -+=，整理得，22cos 30t t α--=，()22cos 120α∆=+>，设A ，B 对应的参数分别为12,t t ，则122cos t t α+=，1230t t ⋅=-<， 所以12,t t 异号.则122cos 1PA PB t t α-=+==，所以1cos 2α=±，又[)0,απ∈， 所以直线l 的倾斜角3πα=或23π.。

陕西省西安市西北工业大学附属中学2020届高三下学期高考猜题卷（三）数学试题(理)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知集合{}12A x x =-≤≤，{}22530B x x x =--<，则A B =（ ）A. {}13x x -≤<B. 112x x ⎧⎫-≤≤-⎨⎬⎩⎭C. {}23x x << D. 122x x ⎧⎫-<≤⎨⎬⎩⎭『答案』D『解析』集合{}212530|32B x x x x x ⎧⎫=--<=-<<⎨⎬⎩⎭，又{}12A x x =-≤≤， 则122A B x x ⎧⎫⋂=-<≤⎨⎬⎩⎭.故选：D. 2. 复数()1iim m z +-=-（m ∈R ，i 是虚数单位）是纯虚数，则m 等于（ ）A. -1B. 1C. -2D. 2『答案』B『解析』由题可知：()111+-=-=--=-+m m i mz m m mi i i由复数()1m m iz i+-=-是纯虚数所以1010m m m -=⎧⇒=⎨≠⎩ 故选：B.3. 已知a R ∈，“幂函数()1a f x x -=在()0,∞+上为增函数”是“指数函数()()23xg x a =-为增函数”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件『答案』B『解析』由题可知：幂函数()1a f x x-=在()0,∞+上为增函数，则101a a ->⇒>指数函数()()23xg x a =-为增函数，则2312->⇒>a a 所以1a >不能得到2a >，但2a >能得到1a > 所以“幂函数()1a f x x-=在()0,∞+上为增函数”是“指数函数()()23xg x a =-为增函数”成立的必要不充分条件 故选：B.4. 在等比数列{}n a 中，316a =-，9252a a =，则n a =（ ）A. 12n +-B. 12n +C. 14n -D. 14n --『答案』A『解析』设等比数列的公比为q由2319259251116216242a q a q a a a a q =-=⎧=-⎧⎧⇒⇒⎨⎨⎨==-=⎩⎩⎩， 所以1112-+==-n n n a a q故选：A.5. 某公司引进先进管理经验，在保持原有员工人数基础上，注重产品研发及员工待遇，提高产品质量和员工积极性，效益显著提高.同时该公司的各项成本也随着收入的变化发生了相应变化.下图给出了该公司2018年和2019年的运营成本及利润占当年总收入的比例，已知2019年和2018年的材料设备费用相同，则下列说法不正确的是（ ）A. 该公司2019年利润是2018年的3倍B. 该公司2019年的员工平均工资是2018年的2倍C. 该公司2019年的总收入是2018年的2倍D. 该公司2019年的研发费用等于2018年的研发和工资费用之和 『答案』B『解析』2018年全年收入为x ，则2019年全年收入为y ，因为2019年和2018年的材料设备费用相同，所以0.40.2x y =，即：2y x =，故C 选项正确；对于A 选项，2018年的利润为：0.2x ，2019年的利润为：0.30.320.630.2y x x x =⨯==⨯，故正确；对于B 选项，2019年的平均工资为：0.250.5y x =， 2018年的平均工资为：0.2x ，故B 选项不正确；对于D 选项，2019年的研发费用为：0.150.3y x =，2018年的研发和工资费用之和为：0.10.20.3x x x +=，故正确．故选：B ．6. 已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线过点()2,4A -，则该双曲线的离心率为（ ）A.B.2C.D. 『答案』C『解析』设坐标原点为O ，直线OA 的斜率为40220k -==---，所以，2ba =，因此，该双曲线的离心率cea=====故选：C.7. 函数()()2355lnx x xf x xx--⋅=-的部分图象大致为（）A. B.C. D.『答案』A『解析』由题意，函数()()2355lnx x xf x xx--⋅=-的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，所以定义域关于原点对称，又由()()()()223355ln55ln()()x x x xx xf x x x f xx x---⋅--⋅-=---==-，所以函数()f x为偶函数，排除B、D项；当1x=时，可得()()12355ln111101f--⋅=--<=，排除C项，所以只有A选项适合.故选：A.8. 已知正四棱锥P ABCD-中，2PA=，且所有的棱长相等，则该四棱锥的外接球的表面积为（）A. 16πB. 12πC. 10πD. 8π『答案』D『解析』如图所示，连接AC，BD相交于点E，连接PE，则球心位于PE 上，因为12AE AC ===，所以PE ===即AE PE ==E ，球体的半径r =所以球的表面积为248S r ππ==. 故选：D.9. 有两对双胞胎组团去旅游，四人在某景点站成一排合影留念，则至少有一对双胞胎相邻的概率为（ ） A.13B.12C.23D.34『答案』C『解析』四人站成一排合影共有4424A =种站法，其中恰有一对双胞胎相邻的站法有1222228C A A =种站法，其中恰有两对双胞胎相邻的站法有2222228A A A =种站法， 所以至少有一对双胞胎相邻的概率为882243P +==. 故选：C. 10. 关于函数()()32cos cos sin f x x x x =--，有以下4个结论：①()f x 的最小正周期是π；②()f x 的图象关于点,28π⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称；③()f x 的最小值为2-④()f x 在区间5,612ππ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递增. 其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①③④ B. ①③ C. ②④ D. ②③④『答案』B 『解析』()()232cos cos sin 32cos 2cos sin 2sin 2cos 2)24f x x x x x x x x x x π=--=-+=+-=-+1、由2ω=，知：最小正周期2||T ππω==，故①正确 2、由正弦函数的性质，知：()f x 中24x k ππ-=，k Z ∈，则对称中心为(,2)28k ππ+，故②错误3、由()f x 的化简函数式知：min ()2f x =4、因为24y x π=-在定义域上为增函数，结合复合函数单调性知：()f x 在222242k x k πππππ-≤-≤+上递增，可得388k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈，有一个单调增区间为3[,]88ππ-，故5,612ππ⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，故④错误 故选：B.11. 已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ，准线为l ，点M 在抛物线C 上，过点M作MA l ⊥，A 为垂足，已知直线AF 的斜率为2，AFM △的面积为10，则p 等于（ ） A. 4 B. 6C. 8D. 10『答案』C『解析』设()00,M x y ，可知0,2p A x ，0,2p F ⎛⎫⎪⎝⎭， 02AFp k x ，得02p x =-，08p y ，由抛物线的性质可知0528p p MA MF y ， 0115102282AFMp pSMAx ，解得8p =. 故选：C.12. 若对m R ∀∈，()0,x ∀∈+∞，()()21104ax e m x m ++++≥恒成立，则实数a 的最小为（ ） A. e B. 1C.1eD.2e『答案』D 『解析』22224?1?(1)(2)(1)(1)(2)14444?14ax ax ax ax e e e x x e x m x m m x m x +-+-++++=++++++=所以对2,(0,),(1)(1)04ax e m R x m x m ∀∈∀∈+∞++++ 恒成立，等价于2(0,),04ax e x x -∀∈+∞ 恒成立，即2(0,),lnx x a x ∀∈+∞ 恒成立， 令2()lnx f x x =，则22(1)()lnx f x x -'=， 于是当(0,)x e ∈ 时，()0f x '>； 当(,)x e ∈+∞ 时，()0f x '<， 即函数()f x 在区间(0,)e 上单调递增，在区间(,)e +∞ 上单调递减，所以2()()max f x f e e ==，因此2a e，即实数a 的最小值为2e ， 故选：D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知单位向量1e ，2e 的夹角是23π，向量123a e e λ=+，若2a e ⊥，则实数λ=________. 『答案』32『解析』由向量123a e e λ=+，2a e ⊥，知：122(3)0e e e λ+⋅= ∴212230e e e λ⋅+=，而单位向量1e ，2e 的夹角是23π ∴23cos03πλ⨯+=，解得32λ= 故答案为：32. 14. 已知曲线()321f x ax x x=++上在点()()1,1f 处的切线方程为4y x b =+，则实数b =___________.『答案』-1.『解析』()22132f x ax x x '=+-， ()13214f a '=+-=，∴1a =，()11113f =++=，把点()1,3代入切线方程得：34b =+，∴1b =-，故答案为：-1.15. 已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若25a =，41a =，则nnS a 的最小值为___________.『答案』1『解析』设等差数列{}n a 的公差为d ，2141531a a d a a d =+=⎧∴⎨=+=⎩，解得17,2a d ，71292na n n ，279282nn nS n n ，()21928n n n n a nn S -+∴=≥-， 令()28()192x x f x x x --+=≥，2222289282218+72'9292x xx xx x f xxx，2218720x x 恒成立，()'0f x ∴>，∴()f x 在[)1,+∞单调递增，由此可以判断数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为递增数列，故n nS a 的最小值为111S a =. 故答案为：1.16. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，13AA =，点M ，N 分别在棱AB 和1BB 上，且1D M MN ⊥，则线段BN 的长度的最大值为___________，此时，三棱锥1M ACD -的体积为___________.『答案』 (1).12(2). 3 『解析』设BN t =(02)t ≤≤，BM x =(02)x ≤≤，则2AM x =-，12NB t =-，在正方体中，因为13AA =，所以111AD B D ==，所以2221(2)D M x =+-，2221(2)D N t =+-，222MN x t =+， 因1D M MN ⊥，所以22211D M MN D N +=，即222218(2)18(2)x x t t +-++=+-，化简得222t x x -=-2(1)1x =--， 所以211(122t x =--+），所以当1x =时，t 取得最大值12，所以线段BN 的长度的最大值为12， 此时1M ACD V -=1D ACM V -=11323332⨯⨯⨯⨯=. 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17. 已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，222sin sin sin sin A C A C B ++=.（1）求角B ；（2）若ABC 的面积为1，a =sin A .解：（1）由正弦定理得：222a c b ++=，即222a c b +-=，所以222cos 222a cb B ac ac +-===-，则34B π∠=. （2）若ABC 的面积为1，则11sin 1222S ac B c ===，解得2c =，由余弦定理得b ===，又sin sin a b A B =，所以sin sin a B A b ===.18. 已知等腰梯形ABCD ，如图（1）所示，//AB CD ，222AB AD CD ===，沿AC 将△ACD 折起，使得平面ABC ⊥平面ACD ，如图（2）所示，连接BD ，得三棱锥D ABC -.（1）求证：图（2）中BC ⊥平面ACD ； （2）求图（2）中的二面角A BD C --的正弦值.（1）证明:等腰梯形ABCD ，//AB CD ，222AB AD CD ===，知：1===AD DC CB 且60B DAB ∠=∠=︒，120D ∠=︒，即Rt △ACB 中90ACB ∠=︒ ∴BC CA ⊥，又面ABC 面ACD CA =，BC ⊂面ABC ，而面ABC ⊥面ACD∴BC ⊥面ACD（2）解：如下图示，构建以C 为原点，CB 为x 轴、CA 为y 轴、过C 点垂直于面ABC 的直线为z 轴的空间直角坐标系，由题意知：A ，(1,0,0)B ，1(0,)22D ，则1(0,,)22AD =-，(1,AB =，1(0,)22CD =，(1,0,0)CB =令(,,)m x y z =为面ABD 的一个法向量，则122y zx⎧-+=⎪⎨⎪=⎩，若y=1，有(3,1,m=令(,,)n x y z=为面CBD一个法向量，则12y zx+=⎪=⎩，若y=1，有(0,1,n=∴m与n的夹角为θ，则10cos10||||m nm nθ⋅==-，故sinθ=根据二面角与向量夹角的关系，知：二面角A BD C--19. 某城市为疏导城市内的交通拥堵问题，现对城市中某条快速路进行限速，经智能交通管理服务系统观测计算，通过该快速路的所有车辆行驶速度近似服从正态分布()2~,Nξμσ，其中平均车速82μ=，标准差4σ=.通过分析，车速保持在(],2μσμσ-+之间，可令道路保持良好的行驶状况，故认为车速在(],2μσμσ-+之外的车辆需矫正速度（速度单位：/km h）.（1）从该快速路上观测到的车辆中任取一辆，估计该车辆需矫正速度的概率.（2）某兴趣小组也对该快速路进行了观测，他们于某个时间段内随机对100辆车的速度进行取样，根据测量的数据列出上面的条形图.①估计这100辆车的速度的中位数（同一区间中数据视为均匀分布）；②若以该兴趣小组测得数据中的频率视为概率，从该快速路上的所有车辆中任取三辆，记其中不需要矫正速度的车辆数为速度X，求X的分布列和期望.的附：若()2~,N ξμσ，则()0.6827P X μσμσ-<≤+≈；()220.9545P X μσμσ-<≤+≈；()330.9973P X μσμσ-<≤+≈.解：（1）由()0.6827P X μσμσ-<≤+≈，()220.9545P X μσμσ-<≤+≈ ∴()1()0.158652P X P X μσμσμσ--<≤+≤-=≈()122(2)0.022752P X P X μσμσμσ--<≤+>+=≈由题意，知：快速路上观测到的车辆中任取一辆，估计该车辆需矫正速度的概率为()(2)0.1814P X P X μσμσ≤-+>+=（2）①由图知：100辆车的速度在(70,82]有26辆，在(86,98]有34辆∵同一区间中数据均匀分布，知：40辆速度在(82,86]之间的车中，速度为83、84、85、86各有10辆∴100辆车的速度的中位数为85/km h②由题意知：不需要矫正速度的车辆数X 的取值为{0,1,2,3}，且车速在(78,90]之间的不需要矫正速度∴不需要矫正速度的概率：116402441005P ++==，需要矫正速度的概率：241155P =-=∴由上：33312314()()()55n nn n n n P X n C P P C --===，分布列如下：∴31124864()(())0123 2.4125125125125X E X X P X ==⋅=⨯+⨯+⨯+⨯=∑ 20. 已知函数()2ln cos 1f x x x x =-++.证明：（1）()f x 在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上存在唯一的零点. （2）对任意()0,x ∈+∞，都有()22ln cos 1f x x x x x x ++>+. 证明：（1）由题意知：21()2cos sin f x x x x x x '=-+-在[,)2ππ上有()0f x '<恒成立 ∴()f x 在[,)2ππ上单调递减，而(,)2e ππ∈，2()cos 0f e e e =<，()1ln 1ln 022f e ππ=->-= 可知：()f x 在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上存在唯一的零点（2）要证：对任意()0,x ∈+∞，都有()22ln cos 1f x x x x x x ++>+需证：()22ln cos 1(21)ln 0f x x x x x x x x x ++--=-+>恒成立令()(21)ln g x x x x =-+，故1()2ln 3g x x x'=-+，而()'g x 在()0,x ∈+∞单调增 ∵(1)20g '=>，1()12ln 2ln024e g '=-=< ∴必01(,1)2x ∃∈，使得0001()2ln 30g x x x '=-+=，即有00013ln 2x x x -= ∴在0(0,)x 上()0g x '<，()g x 单调减；在0(,)x +∞上()0g x '>，()g x 单调增 故2000min0000000(21)(13)251()()(21)ln (2)0222x x x g x g x x x x x x x --+==-+==-+>(21)ln 0x x x -+>在对任意()0,x ∈+∞恒成立得证∴对任意()0,x ∈+∞，都有()22ln cos 1f x x x x x x ++>+21. 已知点()0,1F-，直线:2l y =-，动点P 到直线l 的距离为d ，且2PFd=，记P 的轨迹为曲线C . （1）求C 的方程；（2）过点F 的直线m 与C 交于A 、B 两点，判断AF BFAF BF⋅+是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，说明理由.解：（1）设点(),P x y，由2PF d =2=，化简得2212y x +=， 因此，曲线C 的方程为2212y x +=；（2）在椭圆2212y x +=中，a =1b c ==.当直线m 垂直于x轴时，()()22224AF BF a c a c a c AF BFaa⋅-+-====+； 当直线m 不垂直于x 轴时，设直线m 的方程为1y kx =-，设点()11,A x y 、()22,B x y ，联立22112y kx y x =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 并整理得()222210k x kx +--=，()()222442810k k k ∆=++=+>，由韦达定理得12222+=+kx x k ，12212x x k =-+，1AF y ====，12y -≤≤))11111AF y kx kx ∴=+=-+=+， 同理可得()212BF kx =+，所以，()()()()212121212111122kx kx k x x k x xAF BFAF BF k x x++⎤+++⋅⎣⎦==+++⎡⎤⎣⎦)()2222222222112242812222k k kk kk kk k⎫-+++⎪+⎝⎭+===⎛⎫++⎪++⎝⎭.综上所述，AF BFAF BF⋅=+（定值）.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22. 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为xyαα⎧=⎪⎨=⎪⎩（其中α为参数，且0απ<<），在以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为cos sin0bρθρθ++=（b为常数，b R∈）.（1）点A的极坐标为1,4π⎛⎫⎪⎝⎭，若直线l过点A，求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C有两个交点，求b的取值范围.解：（1）直线l的极坐标方程为cos sin0bρθρθ++=，经过点A的极坐标为(1,)4π，所以022b++=，解得b=，cos sin0ρθρθ+-=的直角坐标方程为0x y+=．曲线C的参数方程为xyαα⎧=⎪⎨=⎪⎩（其中α为参数，且0)απ<<，消去参数得223(0)x y y+=>．（2）直线l的方程0x y b++=，与曲线223(0)x y y+=>有两个交点，利用图象，所以当b =1b =-时，直线与圆有一个交点，故当1b <<-时，有两个交点．23. 已知a ，b ，c 均为正实数，且满足3a b c ++=.证明：（12（2）22232a b c b c c a a b ++≥+++.解：（1）由a ，b ，c 均为正实数，且满足3a b c ++=，22()a c a c =+++，2()a c +=a c =时取得等号．22(3)(3)b b b b =-+-=， 当且仅当32b =，34a c ==时取得等号．（2）由a ，b ，c 均为正实数，且满足3a b c ++=，22244a b c a a b c b c ++=++，当且仅当2a b c =+取得等号， 同理可得24b c ab c a +++，当且仅当2b a c =+取得等号， 同理可得24c a bc a b +++，当且仅当2c b a =+取得等号， 上面三式相加可得222322a b c a b c b c c a a b ++++=+++（当且仅当1a b c ===时取得等号）．。

2014年普通高等学校招生全国统一考试适应性训练数 学（理科）第Ⅰ卷 选择题（共50分）一、选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求（本大题共10小题,每小题5分,共50分）1.若复数i a a z )2()2(2++-=为纯虚数,则ii a -+22013的虚部为（ ）A.22B.i 22C.322D.i 322 2.若sin601233,log cos60,log tan 30a b c ===oo o ,则（ ）A.a b c >>B.b c a >>C.c b a >>D.b a c >>3.设y x ,是两个实数,命题:“y x ,中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件是（ ）A.2x y +=B.2x y +>C.222x y +>D.1xy >4.设函数()3sin(2)14f x x π=++,将()y f x =的图像向右平移(0)ϕϕ>个单位,使得到的图像关于y 对称,则ϕ的最小值为（ ）A.8π B.38π C.4πD.34π5.51()(21)ax x x+-的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中常数项为（ ）A.20-B.10-C.10D.206.如右图,在多面体ABCDEF 中,已知面ABCD 是 边长为3的正方形,AB EF //,5.1=EF ,EF 与 面AC 的距离为2,则该多面体的体积为（ ） A.5.4 B.5 C.6 D.5.77.已知函数)(x f 的定义域为R ,且满足1)4(=f ,)(x f ' 为)(x f 的导函数,又知)(x f y '=的图象如右图所示, 若两个正数b a ,满足,1)2(<+b a f ,则222++a b 的取值范围是（ ）A.]6,32[B.),6()32,(+∞-∞Y C.]23,61[ D.)3,31(8.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点为F ,若过点F 且倾斜角为60°的直线与DCB双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率e 的取值范围是( )A.)2,1(B.)2,1(-C.),2(+∞D.),2[+∞9.已知)(x f 是定义R 上的不恒为零的函数,且对于任意实数b a ,满足:)()()(a bf b af b a f +=⋅,2)2(=f ,)()2(+∈=N n n f a n n ,)(2)2(+∈=N n f b n n n , 考察下列四个结论: ①)1()0(f f =； ②)(x f 为偶函数； ③数列}{n a 为等比数列； ④数列}{n b 为等差数列。

2019年陕西师大附中、西安高中、高新一中、铁一中学、西工大附中等八校高考数学模拟试卷（理科）（3月份）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合A＝{1，2，3，6，9}，B＝{3x|x∈A}，C＝{x∈N|3x∈A}，则B∩C＝（）A．{1，2，3}B．{1，6，9}C．{1，6}D．{3}2．（5分）右图是甲乙两位同学某次考试各科成绩（转化为了标准分，满分900分）的条形统计图，设甲乙两位同学成绩的平均值分别为，标准差分别为σ甲，σ乙，则（）A．B．C．D．3．（5分）1748年，瑞士著名数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式e ix＝cos x+i sin x，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据此公式可知，e2i表示的复数所对应的点在复平面中位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．（5分）设D为△ABC所在平面内一点，＝3，则（）A．＝﹣+B．＝﹣C．＝+D．＝+5．（5分）《张丘建筑经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾，且从第二天起，每天比前一天多织相同量的布．若第一天织5尺布，现有一月（按30天计），共织390尺布”，则该女最后一天织布的尺数为（）A．18B．20C．21D．256．（5分）如果对定义在R上的奇函数y＝f（x），对任意两个不相邻的实数x1，x2，所有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1），则称函数y＝f（x）为“H函数”，下列函数为H函数的是（）A．f（x）＝sin x B．f（x）＝e x C．f（x）＝x3﹣3x D．f（x）＝x|x|7．（5分）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的三视图如图所示，一只蚂蚁从顶点A出发沿该正三棱柱的表面绕行两周到达顶点A1，则该蚂蚁走过的最短路径为（）A．B．25C．D．318．（5分）将函数的图象向右平移个单位，在向上平移一个单位，得到g（x）的图象．若g （x1）g（x2）＝4，且x1，x2∈[﹣2π，2π]，则x1﹣2x2的最大值为（）A．B．C．D．9．（5分）已知圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+3＝0，若等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦，则|PC|的最大值为（）A．B．C．2D．210．（5分）抛物线x2＝y在第一象限内图象上的一点（a i，2a i2）处的切线与x轴交点的横坐标记为a i+1，其中i∈N+，若a2＝32，则a2+a4+a6等于（）A．64B．42C．32D．2111．（5分）已知双曲线的右焦点为F2，若C的左支上存在点M，使得直线bx ﹣ay＝0是线段MF2的垂直平分线，则C的离心率为（）A．B．2C．D．512．（5分）已知函数，则函数g（x）＝xf（x）﹣1的零点的个数为（）A．2B．3C．4D．5二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）13．（5分）已知F是抛物线C：y＝2x2的焦点，点P（x，y）在抛物线C上，且x＝1，则|PF|＝．14．（5分）已知实数x，y满足约束条件，则z＝|﹣5x+y|的取值范围为．15．（5分）在的展开式中，常数项为．16．（5分）如图，已知圆柱和半径为的半球O，圆柱的下底面在半球O底面所在平面上，圆柱的上底面内接于球O，则该圆柱的体积的最大值为．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）（一）必考题：共60分.17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为，且．（1）求角A的大小；（2）求△ABC的面积的最大值．18．（12分）如图1，等边△ABC中，AC＝4，D是边AC上的点（不与A，C重合），过点D作DE∥BC交AB 于点E，沿DE将△ADE向上折起，使得平面ADE⊥平面BCDE，如图2所示．（1）若异面直线BE与AC垂直，确定图1中点D的位置；（2）证明：无论点D的位置如何，二面角D﹣AE﹣B的余弦值都为定值，并求出这个定值．19．（12分）从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值．由测量表得到如下频率分布直方图（1）补全上面的频率分布直方图（用阴影表示）；（2）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中间值作为代表，据此估计这种产品质量指标值服从正态分布Z（μ，σ2），其中μ近似为样本平均值，σ2近似为样本方差s2（组数据取中间值）；①利用该正态分布，求从该厂生产的产品中任取一件，该产品为合格品的概率；②该企业每年生产这种产品10万件，生产一件合格品利润10元，生产一件不合格品亏损20元，则该企业的年利润是多少？参考数据：＝5.1，若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ，μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ，μ+2σ）＝0.9544．20．（12分）已知椭圆C过点，两个焦点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线l交椭圆C于A，B两点，且|AB|＝6，求△AOB面积的最大值．21．（12分）已知函数f（x）＝e x﹣有两个极值点．（1）求实数a的取值范围；（2）若函数f（x）的两个极值点分别为x1，x2，求证：x1+x2＞2．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-：4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线C的极坐标方程为ρ＝，直线l的参数方程为（t为参数，0≤α＜π）．（Ⅰ）把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线C的形状；（Ⅱ）若直线l经过点（1，0），求直线l被曲线C截得的线段AB的长．[选修4-：5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝的定义域为R．（Ⅰ）求实数m的取值范围．（Ⅱ）若m的最大值为n，当正数a、b满足+＝n时，求7a+4b的最小值．2019年陕西师大附中、西安高中、高新一中、铁一中学、西工大附中等八校高考数学模拟试卷（理科）（3月份）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合A＝{1，2，3，6，9}，B＝{3x|x∈A}，C＝{x∈N|3x∈A}，则B∩C＝（）A．{1，2，3}B．{1，6，9}C．{1，6}D．{3}【分析】先分别求出集合A，B，C，由此能求出B∩C．【解答】解：∵集合A＝{1，2，3，6，9}，B＝{3x|x∈A}＝{3，6，9，18，27}，C＝{x∈N|3x∈A}＝{1，2，3}，∴B∩C＝{3}．故选：D．【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．（5分）右图是甲乙两位同学某次考试各科成绩（转化为了标准分，满分900分）的条形统计图，设甲乙两位同学成绩的平均值分别为，标准差分别为σ甲，σ乙，则（）A．B．C．D．【分析】甲比乙的各科成绩整体偏高，且相对稳定，设甲乙两位同学成绩的平均值分别为，标准差分别为σ甲，σ乙，从而得到＞，σ甲＜σ乙．【解答】解：由条形统计图得到：在这次考试各科成绩（转化为了标准分，满分900分）中， 甲比乙的各科成绩整体偏高，且相对稳定，设甲乙两位同学成绩的平均值分别为，标准差分别为σ甲，σ乙，则＞，σ甲＜σ乙．故选：A ．【点评】本题考查命题真假的判断，考查条形图、平均值、标准差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 3．（5分）1748年，瑞士著名数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式e ix ＝cos x +i sin x ，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据此公式可知，e 2i 表示的复数所对应的点在复平面中位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【分析】由已知可得e 2i ＝cos2+i sin2，再由三角函数的象限符号得答案． 【解答】解：由题意可得，e 2i ＝cos2+i sin2，∵＜2＜π，∴cos2＜0，sin2＞0，则e 2i 表示的复数所对应的点在复平面中位于第二象限． 故选：B ．【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．4．（5分）设D 为△ABC 所在平面内一点，＝3，则（ ）A ．＝﹣+B ．＝﹣C ．＝+ D ．＝+【分析】根据向量减法的几何意义便有，，而根据向量的数乘运算便可求出向量，从而找出正确选项．【解答】解：；∴；∴．故选：A．【点评】考查向量减法的几何意义，以及向量的数乘运算．5．（5分）《张丘建筑经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾，且从第二天起，每天比前一天多织相同量的布．若第一天织5尺布，现有一月（按30天计），共织390尺布”，则该女最后一天织布的尺数为（）A．18B．20C．21D．25【分析】设出等差数列的公差，由题意列式求得公差，再由等差数列的通项公式求解．【解答】解：设公差为d，由题意可得：前30项和S30＝390＝30×5+d，解得d＝．∴最后一天织的布的尺数等于5+29d＝5+29×＝21．故选：C．【点评】本题考查了等差数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．（5分）如果对定义在R上的奇函数y＝f（x），对任意两个不相邻的实数x1，x2，所有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1），则称函数y＝f（x）为“H函数”，下列函数为H函数的是（）A．f（x）＝sin x B．f（x）＝e x C．f（x）＝x3﹣3x D．f（x）＝x|x|【分析】根据题意，不等式x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1）等价为（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，即满足条件的函数为单调递增函数，即可得“H函数”为奇函数且在R上为增函数，据此依次分析选项：综合可得答案．【解答】解：根据题意，对于所有的不相等实数x1，x2，则x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1）恒成立，则有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0恒成立，即函数f（x）是定义在R上的增函数，则“H函数”为奇函数且在R上为增函数，据此依次分析选项：对于A，f（x）＝sin x，为正弦函数，为奇函数但不是增函数，不符合题意；对于B，f（x）＝e x，为指数函数，不是奇函数，不符合题意；对于C，f（x）＝x3﹣3x，为奇函数，但在R上不是增函数，不符合题意；对于D，f（x）＝x|x|＝，为奇函数且在R上为增函数，符合题意；故选：D．【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，关键是分析“H函数”的含义，属于基础题．7．（5分）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的三视图如图所示，一只蚂蚁从顶点A出发沿该正三棱柱的表面绕行两周到达顶点A1，则该蚂蚁走过的最短路径为（）A．B．25C．D．31【分析】将三棱柱展开，得出最短距离是6个矩形对角线的连线，相当于绕三棱柱转2次的最短路径，由勾股定理求出对应的最小值．【解答】解：将正三棱柱ABC﹣A1B1C1沿侧棱展开，如图所示；在展开图中，最短距离是6个矩形对角线的连线的长度，也即为三棱柱的侧面上所求距离的最小值．由已知求得正三棱锥底面三角形的边长为＝4，所以矩形的长等于4×6＝24，宽等于7，由勾股定理求得d＝＝25．故选：B．【点评】本题考查了棱柱的结构特征与应用问题，也考查了几何体的展开与折叠，以及转化（空间问题转化为平面问题，化曲为直）的思想方法．8．（5分）将函数的图象向右平移个单位，在向上平移一个单位，得到g（x）的图象．若g （x1）g（x2）＝4，且x1，x2∈[﹣2π，2π]，则x1﹣2x2的最大值为（）A．B．C．D．【分析】由题意利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，得到g（x）的解析式，再利用正弦函数的图象的值域，求出x1，x2的值，可得x1﹣2x2的最大值．【解答】解：将函数的图象向右平移个单位，再向上平移一个单位，得到g（x）＝sin（2x﹣+）+1＝﹣cos2x+1 的图象，故g（x）的最大值为2，最小值为0，若g（x1）g（x2）＝4，则g（x1）＝g（x2）＝2，或g（x1）＝g（x2）＝﹣2（舍去）．故有g（x1）＝g（x2）＝2，即cos2x1＝cos2x2＝﹣1，又x1，x2∈[﹣2π，2π]，∴2x1，2x2∈[﹣4π，4π]，要使x1﹣2x2取得最大值，则应有2x1＝3π，2x2＝﹣3π，故x1﹣2x2取得最大值为+3π＝．故选：A．【点评】本题主要考查函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的值域，属于中档题．9．（5分）已知圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+3＝0，若等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦，则|PC|的最大值为（）A．B．C．2D．2【分析】化圆的一般方程为标准方程，从而得到圆心坐标和半径．等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦，可得|PC|的最大值为直径，即可得出结论．【解答】解：由圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+3＝0，得：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝2，∴圆心坐标C（1，2），半径r＝．∵等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦，圆中最长弦即为直径，∴|AB|的最大值为直径2，又∵△PAB为等边三角形，∴|PC|的最大值为等边三角形的高，．故选：B．【点评】本题考查圆的方程，考查学生的计算能力，确定|PC|的最大值为直径是关键．10．（5分）抛物线x2＝y在第一象限内图象上的一点（a i，2a i2）处的切线与x轴交点的横坐标记为a i+1，其中i∈N+，若a2＝32，则a2+a4+a6等于（）A．64B．42C．32D．21【分析】由y＝2x2（x＞0），求出x2＝y在第一象限内图象上一点（a i，2a i2）处的切线方程是：y﹣2a i2＝4a i（x﹣a i），再由切线与x轴交点的横坐标为a i+1，知a i+1＝a i，所以{a2k}是首项为a2＝32，公比q＝的等比数列，由此能求出a2+a4+a6．【解答】解：∵y＝2x2（x＞0），∴y′＝4x，∴x2＝y在第一象限内图象上一点（a i，2a i2）处的切线方程是：y﹣2a i2＝4a i（x﹣a i），整理，得4a i x﹣y﹣2a i2＝0，∵切线与x轴交点的横坐标为a i+1，∴a i+1＝a i，∴{a2k}是首项为a2＝32，公比q＝的等比数列，∴a2+a4+a6＝32+8+2＝42．故选：B．【点评】本题考查数列与函数的综合，综合性强，难度大，容易出错．解题时要认真审题，注意导数、切线方程和等比数列性质的灵活运用．11．（5分）已知双曲线的右焦点为F2，若C的左支上存在点M，使得直线bx ﹣ay＝0是线段MF2的垂直平分线，则C的离心率为（）A．B．2C．D．5【分析】求得F2到渐近线的距离为b，OP为△MF1F2的中位线，运用中位线定理和双曲线的定义，以及离心率的公式，计算可得所求值．【解答】解：F2（c，0），直线bx﹣ay＝0是线段MF2的垂直平分线，可得F2到渐近线的距离为|F2P|＝＝b，即有|OP|＝＝a，OP为△MF1F2的中位线，可得|MF1|＝2|OP|＝2a，|MF2|＝2b，可得|MF2|﹣|MF1|＝2a，即为2b﹣2a＝2a，即b＝2a，可得e＝＝＝＝．故选：C．【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查三角形的中位线定理，考查方程思想和运算能力，属于中档题．12．（5分）已知函数，则函数g（x）＝xf（x）﹣1的零点的个数为（）A．2B．3C．4D．5【分析】由g（x）＝xf（x）﹣1＝0得f（x）＝，根据条件作出函数f（x）与h（x）＝的图象，研究两个函数的交点个数即可得到结论．【解答】解：由g（x）＝xf（x）﹣1＝0得xf（x）＝1，当x＝0时，方程xf（x）＝1不成立，即x≠0，则等价为f（x）＝，当2＜x≤4时，0＜x﹣2≤2，此时f（x）＝f（x﹣2）＝（1﹣|x﹣2﹣1|）＝﹣|x﹣3|，当4＜x≤6时，2＜x﹣2≤4，此时f（x）＝f（x﹣2）＝[﹣|x﹣2﹣3|]＝﹣|x﹣5|，作出f（x）的图象如图，则f（1）＝1，f（3）＝f（1）＝，f（5）＝f（3）＝＝，设h（x）＝，则h（1）＝1，h（3）＝，h（5）＝＞f（5），作出h（x）的图象，由图象知两个函数图象有4个交点，即函数g（x）的零点个数为4个，故选：C．【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用条件转化为两个函数图象的交点个数问题，利用数形结合是解决本题的关键．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）13．（5分）已知F是抛物线C：y＝2x2的焦点，点P（x，y）在抛物线C上，且x＝1，则|PF|＝．【分析】利用抛物线方程求出p，利用抛物线的性质列出方程求解即可．【解答】解：由y＝2x2，得x2＝，则p＝；由x＝1得y＝2，由抛物线的性质可得|PF|＝2+＝2+＝，故答案为：．【点评】本题考查抛物线的定义的应用，属于基础题．14．（5分）已知实数x，y满足约束条件，则z＝|﹣5x+y|的取值范围为[0，11]．【分析】作出约束条件表示的可行域，判断目标函数经过的点，然后求解目标函数的范围即可．【解答】解：作出实数x，y满足约束条件的可行域如图所示：作直线l0：﹣5x+y＝0，再作一组平行于l0的直线l：﹣5x+y＝z，当直线l经过点A时，z＝﹣5x+y取得最大值，由，得点A的坐标为（﹣2，0），所以z max＝﹣5×（﹣2）+0＝10．直线经过B时，目标函数取得最小值，由，解得B（2，﹣1）函数的最小值为：﹣10﹣1＝﹣11．z＝|﹣5x+y|的取值范围为：[0，11]．故答案为：[0，11]．【点评】本题考查线性规划的简单应用，考查转化思想以及数形结合的综合应用，考查计算能力．15．（5分）在的展开式中，常数项为﹣40．【分析】根据＝，按照二项式定理展开，可得在的展开式中的常数项．【解答】解：∵＝（x﹣2）＝（x6+6x4+15x2+20+15•+6•+）（x﹣2），∴常数项是20•（﹣2）＝﹣40，故答案为：﹣40．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．16．（5分）如图，已知圆柱和半径为的半球O，圆柱的下底面在半球O底面所在平面上，圆柱的上底面内接于球O，则该圆柱的体积的最大值为2π．【分析】设圆柱的底面圆半径为r，高为h，求出r与h的关系，再计算圆柱的体积V，从而求出体积V的最大值．【解答】解：设圆柱的底面圆半径为r，高为h；则h2+r2＝R2＝3；所以圆柱的体积为V＝πr2h＝π（3﹣h2）h＝π（3h﹣h3）；则V′（h）＝π（3﹣3h2），令V′（h）＝0，解得h＝1；所以h∈（0，1）时，V′（h）＞0，V（h）单调递增；h∈（1，）时，V′（h）＜0，V（h）单调递减；所以h＝1时，V（h）取得最大值为V（1）＝2π．故答案为：2π．【点评】本题考查了半球与内接圆柱的结构特征与应用问题，也考查了圆柱的体积计算问题，是中档题．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）（一）必考题：共60分.17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为，且．（1）求角A的大小；（2）求△ABC的面积的最大值．【分析】（1）直接利用三角函数关系式的恒等变变换和余弦定理和正弦定理的应用求出结果．（2）利用（1）的结论和余弦定理及基本不等式的应用求出结果．【解答】解：（1）在△ABC的内角A，B，C的对边分别为，且．整理得：（a+b）（sin A﹣sin B）＝（c﹣b）sin C，利用正弦定理得：a2﹣b2＝c2﹣bc，即：，由于：0＜A＜π，解得：A＝．（2）由于，所以：a2＝b2+c2﹣2bc cos A，整理得：12＝b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc＝bc，所以：＝3．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦定理和余弦定理及三角形面积公式，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．18．（12分）如图1，等边△ABC中，AC＝4，D是边AC上的点（不与A，C重合），过点D作DE∥BC交AB 于点E，沿DE将△ADE向上折起，使得平面ADE⊥平面BCDE，如图2所示．（1）若异面直线BE与AC垂直，确定图1中点D的位置；（2）证明：无论点D的位置如何，二面角D﹣AE﹣B的余弦值都为定值，并求出这个定值．【分析】（1）取DE中点O，BC中点F，连结OA，OF，以O为原点，OE、OF、OA所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出图1中点D在靠近点A的三等分点处．（2）求出平面ADE的法向量和平面ABE的法向量，利用向量法能证明无论点D的位置如何，二面角D﹣AE﹣B的余弦值都为定值．【解答】解：（1）在图2中，取DE中点O，BC中点F，连结OA，OF，以O为原点，OE、OF、OA所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设OA＝x，则OF＝2﹣x，OE＝，∴B（2，2﹣x，0），E（，0，0），A（0，0，x），C（﹣2，2﹣x，0），＝（﹣2，2﹣x，﹣x），＝（﹣2，x﹣2，0），∵异面直线BE与AC垂直，∴＝+8＝0，解得x＝（舍）或x＝＝，∴＝，∴图1中点D在靠近点A的三等分点处．证明：（2）平面ADE的法向量＝（0，1，0），＝（，0，﹣x），＝（﹣2，x﹣2，0），设平面ABE的法向量＝（a，b，c），则，取a＝1，得＝（1，，），设二面角D﹣AE﹣B的平面角为θ，则cosθ＝＝＝，∴无论点D的位置如何，二面角D﹣AE﹣B的余弦值都为定值．【点评】本题考查空间中点的位置的确定，考查二面角的余弦值为定值的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算能力，考查数形结合思想，是中档题．19．（12分）从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值．由测量表得到如下频率分布直方图（1）补全上面的频率分布直方图（用阴影表示）；（2）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中间值作为代表，据此估计这种产品质量指标值服从正态分布Z（μ，σ2），其中μ近似为样本平均值，σ2近似为样本方差s2（组数据取中间值）；①利用该正态分布，求从该厂生产的产品中任取一件，该产品为合格品的概率；②该企业每年生产这种产品10万件，生产一件合格品利润10元，生产一件不合格品亏损20元，则该企业的年利润是多少？参考数据：＝5.1，若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ，μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ，μ+2σ）＝0.9544．【分析】（1）由频率分布图求出[95，105）的频率，由此能作出补全频率分布直方图；（2）求出质量指标值的样本平均数、质量指标值的样本方差；（3）运用离散型随机变量的期望和方差公式，即可求出；①由（2）知Z～N（100，104），从而求出P（79.6＜Z＜120.4），注意运用所给数据；②设这种产品每件利润为随机变量E（X），即可求得EX．【解答】解：（1）由频率分布直方图得：[95，105）的频率为：1﹣（0.006+0.026+0.022+0.008）×10＝0.038，补全上面的频率分布直方图（用阴影表示）：质量指标值的样本平均数为：＝80×0.06+90×0.26+100×0.38+110×0.22+120×0.08＝100．质量指标值的样本方差为S2＝（﹣20）2×0.06+（﹣10）2×0.26+0×0.38+102×0.22+202×0.08＝104．（3）①由（2）知Z～N（100，104），从而P（79.6＜Z＜120.4）＝P（100﹣2×10.2＜Z＜100+2×10.2）＝0.9544；②由①知一件产品的质量指标值位于区间（79.6，120.4）的概率为0.9544，该企业的年利润是EX＝100000[0.9544×10﹣（1﹣0.9544）×20]＝863200．【点评】本题考查频率分布直方图的作法，考查平均数、方差的求法，以及正态分布的特点及概率求解，考查运算能力，属于中档题．20．（12分）已知椭圆C过点，两个焦点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线l交椭圆C于A，B两点，且|AB|＝6，求△AOB面积的最大值．【分析】（1）由已知可设椭圆方程为（a＞b＞0），且c＝，再由椭圆定义求得a，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；（2）当直线AB的斜率不存在时，设直线方程为x＝m，由弦长求得m，可得三角形AOB的面积；当直线AB 的斜率存在时，设直线方程为y＝kx+m，联立直线方程与椭圆方程，结合根与系数的关系及弦长可得m与k 的关系，再由点到直线的距离公式求出原点O到AB的距离，代入三角形面积公式，化简后利用二次函数求最值，则答案可求．【解答】解：（1）由题意，设椭圆方程为（a＞b＞0），且c＝，2a＝＝12，则a＝6，∴b2＝a2﹣c2＝12．∴椭圆C的标准方程为；（2）当直线AB的斜率不存在时，设直线方程为x＝m，得|AB|＝，由|AB|＝＝6，解得m＝±3，此时；当直线AB的斜率存在时，设直线方程为y＝kx+m，联立，得（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣36＝0．△＝36k2m2﹣4（3k2+1）（3m2﹣36）＝432k2﹣12m2+144．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，．由|AB|＝＝6，整理得：，原点O到AB的距离d＝．∴＝＝＝．当时，△AOB面积有最大值为＜9．综上，△AOB面积的最大值为9．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．21．（12分）已知函数f（x）＝e x﹣有两个极值点．（1）求实数a的取值范围；（2）若函数f（x）的两个极值点分别为x1，x2，求证：x1+x2＞2．【分析】（1）f′（x）＝e x﹣ax．函数f（x）＝e x﹣有两个极值点⇔f′（x）＝e x﹣ax＝0有两个实数根．x＝0时不满足上述方程，方程化为：a＝，令g（x）＝，（x≠0）．利用导数已经其单调性即可得出．（2）由（1）可知：a＞e时，函数f（x）有两个极值点分别为x1，x2，不妨设x1＜x2．x1+x2＞2⇔x2＞2﹣x1＞1⇔＞，由＝，因此即证明：＞．构造函数h（x）＝﹣，0＜x＜1，2﹣x＞1．利用导数已经其单调性即可得出．【解答】（1）解：f′（x）＝e x﹣ax．∵函数f（x）＝e x﹣有两个极值点．∴f′（x）＝e x﹣ax＝0有两个实数根．x＝0时不满足上述方程，方程化为：a＝，令g（x）＝，（x≠0）．g′（x）＝，可得：x＜0时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减；0＜x＜1时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减；x＞1时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增．a＞e时，方程f′（x）＝e x﹣ax＝0有两个实数根．∴实数a的取值范围是（e，+∞）．（2）证明：由（1）可知：a＞e时，函数f（x）有两个极值点分别为x1，x2，不妨设x1＜x2．证明：x1+x2＞2⇔x2＞2﹣x1＞1⇔＞，由＝，因此即证明：＞．构造函数h（x）＝﹣，0＜x＜1，2﹣x＞1．h′（x）＝﹣＝（x﹣1），令函数u（x）＝，（0＜x）．u′（x）＝．可得函数u（x）在（0，1）内单调递减，于是函数v（x）＝﹣在（0，1）内单调递减．v（x）≥v（1）＝0．∴x＝1时，函数h（x）取得极小值即最小值，h（1）＝0．∴h（x）＞h（1）＝0．∴＞．因此x1+x2＞2成立．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-：4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线C的极坐标方程为ρ＝，直线l的参数方程为（t为参数，0≤α＜π）．（Ⅰ）把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线C的形状；（Ⅱ）若直线l经过点（1，0），求直线l被曲线C截得的线段AB的长．【分析】（1）利用即可得出直角坐标方程；（2）直线l的参数方程（t为参数，0≤α＜π）．可得l经过点（0，1）；若直线l经过点（1，0），得到，得到直线l新的参数方程为（t为参数）．代入抛物线方程可得t+2＝0，设A、B对应的参数分别为t1，t2，利用|AB|＝即可得出．【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程ρ＝化为ρ2sin2θ＝4ρcosθ，得到曲线C的直角坐标方程为y2＝4x，故曲线C是顶点为O（0，0），焦点为F（1，0）的抛物线；（2）直线l的参数方程为（t为参数，0≤α＜π）．故l经过点（0，1）；若直线l经过点（1，0），则，∴直线l的参数方程为（t为参数）．代入y2＝4x，得t+2＝0设A、B对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2＝﹣6，t1t2＝2．|AB|＝|t1﹣t2|＝＝＝8．【点评】本题考查了极坐标方程和直角坐标方程的转换、直线的参数方程及其应用，考查了计算能力，属于中档题．．[选修4-：5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝的定义域为R．（Ⅰ）求实数m的取值范围．（Ⅱ）若m的最大值为n，当正数a、b满足+＝n时，求7a+4b的最小值．【分析】（1）由函数定义域为R，可得|x+1|+|x﹣3|﹣m≥0恒成立，设函数g（x）＝|x+1|+|x﹣3|，利用绝对值不等式的性质求出其最小值即可；（2）由（1）知n＝4，变形7a+4b＝，利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：（1）∵函数定义域为R，∴|x+1|+|x﹣3|﹣m≥0恒成立，设函数g（x）＝|x+1|+|x﹣3|，则m不大于函数g（x）的最小值，又|x+1|+|x﹣3|≥|（x+1）﹣（x﹣3）|＝4，即g（x）的最小值为4，∴m≤4．（2）由（1）知n＝4，∴7a+4b＝＝＝，当且仅当a+2b＝3a+b，即b＝2a＝时取等号．∴7a+4b的最小值为．【点评】本题考查了函数的定义域、绝对值不等式的性质、基本不等式的性质、“乘1法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。

2015届模拟考试3 ------理科数学试题（满分150分，考试时间120分钟）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题（12´×5=60´）1.设全集U=｛1,2,3,4,5,6,7｝，M=｛2,3,4,6｝，N=｛1,4,5｝，则｛1,5｝=（ ） A.M ∩NB.M ∪NC.(C U M)∩ND.M ∩(C U N)2.如果复数i bi212+-的实部和虚部互为相反数，则实数b =（ ） A.-32 B.-43 C.43 D.323.设a ，b ∈R ，则2()0a a b a b ->>是的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不必要也不充分条件4.在△ABC 中，A 、B 、C 的对边为a 、b 、c ，若asinA+bsinB-csinC=3asinB ，则角C=（ ）A.65π B.3π C.4π D.6π 5.当a 为任意实数时，直线(a -1)x -y+a+1=0恒过定点C ，则以点C 为圆心，5为半径的圆的方程为（ ）A.x 2+y 2-2x -4y=0B.x 2+y 2+2x -4y=0C.x 2+y 2-2x+4y=0D.x 2+y 2+2x+4y=06.右图是y=sin(ωx+φ) (ω>0,|φ|<2π)在区间[-6π,65π]上的图象为了得到y=sin2x 的图象，只需要将此图象（ ）A.向左平移3π个单位 B.向右平移3π个单位 C.向左平移6π个单位D.向右平移6π个单位7.如图，AB 是半圆O 的直径，P 是半圆AB 上的任意一点，M 、N 是AB 上关于O 点对称的两点，若|AB|=6，|MN|=4，则·=（ ）A.3B.5C.7D.138.如图所示，在正方形OABC 中任取一点，则该点落在阴影部分的概率为（ ）A.71 B.61 C.51 D.41P正视图9.已知定义在R 上的函数f(x)的导函数为f ´(x)，对任意x ∈R 恒有f(x)>f ´(x)， a=3f(ln2)，b=2f(ln3)，则有（ ） A. a>bB. a=bC. a<bD. a ，b 大小关系不能判断10.设斜率为22的直线与椭圆22a x +22by =1(a>b>0)交于不同的两点，且这两个交点在x 轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（ ）A.31 B.21 C.33 D.22 11.已知数列｛a n ｝满足a n+1=a n -a n-1(n ∈N +且n ≥2)，若a 1=1，a 2=3，S n =a 1+a 2+…+a n ，则下列结论中正确的是（ ）A.a 2015=1, S 2015=2B.a 2015=-3, S 2015=2C.a 2015=-1, S 2015=2D.a 2015=3, S 2015=212.设函数y=f(x)在区间(a,b)上的导函数为f ´(x)，f ´(x)在区间(a,b)上的导函数为f ″(x)，如果在区间(a,b)上恒有f ″(x)<0，则称函数f(x)是区间(a,b)上的“凸函数”，若f(x)=121x 4-61mx 3-23x 2， 当|m|≤2时是区间(a,b)上的凸函数，则b -a 的最大值为（ ）A.4B.3C.2D.1第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（5´×4=20´）13.在一次演讲比赛中，6位评委对一位选手打分的茎叶图，如右图所示，若去掉 一个最高分和一个最低分后，得到一组数据x i (i=1,2,3,4)，在如图所示的程序框图中，x 是这四个数的平均数，则输出的V 的值为14.设某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为 15.过直线x+y-22=0上一点P 作圆x 2+y 2=1的两条切线，若两条切线的夹角为60°，则点P 的坐标为16.曲线y=xxsin 在点M （π,0）处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为7 7 8 8 0 2 49 1D(不含三角形边界).若点P(x,y)是区域D 内的任意一点，则x+4y 的取值范围 为三、解答题（12´×5+10´=70´）17.在锐角△ABC 中，A 、B 、C 的对边为a 、b 、c ，已知sin(A -B)=cosC. (1)若a=32，b=10，求c 边长；(2) 若b Ac C a cos cos -=22，求角A 、C.18.如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为菱形且∠DAB=60°，O 为AD 中点.(1)若PA=PD ，求证：平面POB ⊥平面PAD ；(2)若平面PAD ⊥平面ABCD ，且PA=PD=AD=2，试问在线段PC 上是否存在点M ，使二面角M —BO —C 的大小为60°，如存在，求PCPM的值，如不存在，说明理由. 19.为了保护环境，某市设立了若干个自行车自动租赁点，规定租车时间不超过一小时不收费，一小时以上不超过两小时收费一元，两小时以上，不超过三小时收费两元(不足一小时，按一小时计)，甲、乙两人各租车一辆，甲、乙租车时间不超过一小时的概率为21、41，一小时以上，不超过两小时的概率为41、21，且两人租车时间都不会超过三小时(甲、乙两人租车时间相互独立).(1)求甲、乙两人所付租车费相等的概率；(2)设两人租车费用之和为ξ，求ξ的分布列及数学期望.20.已知圆C 的圆心在坐标原点O ，且与直线1l ：x-2y+35=0相切，点A 为圆上一动点， AM ⊥x 轴，垂足为M ，动点N 满足ON =33OA +(1-33)OM ，设动点N 轨迹为曲线C 1. (1)求曲线C 1的方程；(2)直线l 与直线1l 垂直且与曲线C 1交于B 、D 两点，求△OBD 面积的最大值. 21.已知函数f(x)=lnx -a(1-x1) (a ∈R). (1)求f(x)的单调区间； (2)若f(x)的最小值为0，求a ；(3)在(2)的条件下，设数列{a n }满足a 1=1, a n+1=f(a n )–lna n +2， 记[x]表示不大于x 的最大整数 (如[3.1]=3)，o求S n =[a 1]+[a 2]+…+[a n ].请考生在第22、23、24三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分. 22.（选修4—1:几何证明选讲）如图，梯形ABCD 内接于⊙O ，AD ∥BC ，过点C 作⊙O 的切线交BD 的延长线于点P 交AD 的延长线于点E.(1)求证：AB 2=DE ·BC ；(2)若BD=9，AB=6，BC=9，求切线PC 的长. 23.（选修4—4:坐标系与参数方程） 在直角坐标系中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧+==ααsin 22cos 2y x (α为参数)，M 是曲线C 1上的动点，P 点满足OP =2OM ，P 点轨迹为曲线C 2. (1)求C 2的参数方程；(2)在以O 点为极点，Ox 轴正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ=3π与曲线C 1、C 2异于极点的交点分别为A 、B ，求|AB|. 24.（选修4—5，:不等式选讲）(1)证明柯西不等式：(a 2+b 2)(c 2+d 2)≥(ac+bd)2；(2)若a,b ∈R +且a+b=1，用柯西不等式求13+a +13+b 的最大值.P2015届模拟考试数学3（理）参考答案一、选择题：(5′×12=60′) CAADB DBBAD BA 二、填空题：(5′×4=20′) 13.2014.24π15.(2,2)16.(0,4)三、解答题：（12′×5+10′=70′）17.解：(1)由sin(A-B)=cosC 可得sin(A-B)=sin(2π-C) ∵△ABC 是锐角三角形 ∴A-B=2π-C …………………………………….2分即A-B+C=2π∵A+B+C=π ∴B=4π……………………………………………………..4分又∵b 2=a 2+c 2—2accosB a=32 b=10∴c 2-6c+8=0 ∴c=2或c=4 当c=2时，b 2+c 2-a 2=-4<0 ∴A 为钝角与已知矛盾 ∴c ≠2 ∴c=4 …………………………………………6分(2)∵B=4π ∴C=43π-Ab Ac C a cos cos -=BAC C A sin cos sin cos sin -=2sin(A-C)=2sin(2A-43π)=22∴sin(2A-43π)= 21∵A ∈(0,2π) ∴2A-43π∈(-43π,4π)∴2A-43π=6π ∴A=2411π …………………………………………………10分 ∴C=43π-2411π=247π ……………………………………………………………12分18.解：(1)∵PA=PD O 为AD 中点 ∴PO ⊥AD又∵ABCD 为菱形且∠DAB=60° ∴OB ⊥AD ∵PO ∩OB=O ∴AD ⊥面POB∵AD ⊂面PAD ∴面POB ⊥面PAD分 (2)∵面PAD ⊥面ABCD 且面PAD ∩面ABCD=AD ∴PO ⊥面ABCD 以O 为坐标原点，分别以OA 、OB 、OP 为x 、y 、z 轴 建立空间直角坐标系∴O(0,0,0)、P(0,0,3)、B(0,3,0)、C(-2,3,0) 设=λ(0<λ<1) ∴M(-2λ,3λ, 3(1-λ)) ∵平面CBO 的法向量为n 1=(0,0,3)设平面MOB 的法向量为n 2=(x,y,z) ………………………………………………10分∴⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0022n n OM 取n 2=(λλ233-,0,3)∵二面角M —BO —C 的大小为60° ||||2121n n ⋅21解得λ=31∴存在M 点使二面角M —BO —C 等于60°，且PC PM =31…………………………12分 19.解：设甲、乙两人租车时间不超过一小时分别为事件A 1，A 2 超过一小时，不超过两小时为事件A 2，B 2 超过二小时，不超过三小时为事件A 3，B 3 ∴P(A 1)=21 P(A 2)=41 P(A 3)=1-21-41=41 P(B 1)=41 P(B 2)=21P(B 3)=1-41-21=41………………………………………2分 (1)设两人所付车费相等为事件C∴P(C)=P(A 1B 1+A 2B 2+A 3B 3)=P(A 1)P(B 1)+P(A 2)P(B 2)+P(A 3)P(B 3)=165………………6分 (2)∵ξ=0,1,2,3,4 ………………………………………………………………………7分 P(ξ=0)=P(A 1B 1)=81 P(ξ=1)=P(A 1B 2+A 2B 1)=165 P(ξ=2)=P(A 1B 3+A 2B 2+A 3B 1)=165 z xyP(ξ=3)=P(A 2B 3+A 3B 2)=163 P(ξ=4)=P(A 3B 3)=161 ∴分布列为∴E ξ=1⨯16+2⨯16+3⨯16+4⨯16=4……………………………………………12分20.解：(1)设动点N(x,y)，A(x 0,y 0) ∵AM ⊥x 轴 ∴M(x 0,0) 设圆C 的方程为x 2+y 2=r 2由题意得r=553=3∴圆C 的方程为x 2+y 2=9 …………2分又∵=33+(1-33) ∴⎪⎩⎪⎨⎧==0033y y x x ∴⎪⎩⎪⎨⎧==y y x x 300 ∵x 20+y 20=9 ∴x 2+3y 2=9 ∴N 点的轨迹方程为92x +32y =1 (6)分(2)由题意可设直线l 的方程2x+y+m=0 (0)m ≠⎪⎩⎪⎨⎧=+=++139222y x m y x 得13x 2+12mx+3m 2-9=0 ∵直线和曲线C 1交于相异两点，∴Δ=144m 2-4×13×(3m 2-9)>0 ∴m 2<39 ………8分∴│BD │=21k +·|x 1-x 2|=5·13124682m -=133117522m -⋅又∵O 点到直线l 的距离为5||m∴S △OBD =21·5||m ·133117522m -⋅=13)3117(22m m -=13)39(322m m - (10)分∵3m 2(39-m 2)≤43[m 2+(39-m 2)2]=23394⨯ （当且仅当2392m =时取等号） ∴S △OBD ≤132339⨯=233 ∴△OBD 面积的最大值为233 ……………………12分21.解：(1)由已知得f(x)定义域为(0,+∞) …………………………………………………1分∵f ´(x)=xax x a x -=-21 当a ≤0时，f ´(x)>0 ∴f(x)的增区间是(0,+∞)，无减区间. 当a>0时，x ∈(0,a)时，f ´(x)<0x ∈(a,+∞)时，f ´(x)>0∴f(x)的单调增区间为(a,+∞)，单调减区间为(0,a) ………………………………4分 (2)由(1)知当a ≤0时，f(x)无最小值当a>0时，f(x)min =f(a)=lna-a+1=0 ∴a=1 ……………………………………6分 (3)∵a=1 ∴f(x)=lnx+x 1-1 ∴a n+1=f(a n )-lna n +2=na 1+1 ………………7分 ∵a 1=1 ∴a 2=2 a 3=23 a 4=35下面证明当n ≥3时，a n ∈(1,2) 1°当n=3时，a 3=21∴a 3∈(1,2) 2°设n a ∈(1,2) ∴21<na 1<1 ∴1n a +∈(1,2) 综合1°，2°可知当n ≥3时，n a ∈(1,2) …………………………………………10分∴[a 1]=1 [a 2]=2 [a 3]=[a 4]=…=[a n ]=1 ∴ 1 =1+1 2n n S n n ⎧=⎨≥⎩ ..……………12分注意：以下三题只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分. 22.解：(1)∵AD ∥BC ∴AB=CD ∴AB=CD ，∠EDC=∠DCB又∵CP 是⊙O 的切线 ∴∠ECD=∠DBC ∴△CDE ∽△BCD ∴BC DC =DCDE∴DC 2=DE ·BC ∴AB 2=DE ·BC ………………5分P(2)由(1)知DE=BCAB 2=4 ∵DE ∥BC ∴△PDE ∽△PBC∴PB PD =BC DE =94 ∵PB-PD=DB=9 ∴PD=536 PB=581∴PC 2=PB ·PD=22554 ∴PC=554 …………………………………………10分23.解：(1)设P(x,y)，则由已知条件可得：M(2x ,2y ) ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==ααsin 222cos 22y x∵曲线c 2的参数方程为⎩⎨⎧+==ααsin 44cos 4y x (α为参数) ……………………………5分(2)∵曲线C 1的极坐标方程为ρ=4sin θ曲线C 2的极坐标方程为ρ=8sin θ ……………………………………………8分 ∴直线θ=3π与曲线C 1交点A 的极径ρ1=4sin 3π=23 与曲线C 2交点B 的极径ρ2=8sin 3π=43 ∴|AB|=23…….10分24.解：(1)证明：(a 2+b 2)(c 2+d 2)-(ac+bd)2=(ad-bc)2≥0∴(a 2+b 2)(c 2+d 2)≥(ac+bd)2……………………………………………………5分(2)由柯西不等式可得(12+12)[(13+a )2+(13+b )2]≥(13+a +13+b )2∵a+b=1 ∴(13+a +13+b )2≤10 ∴(13+a +13+b )max =10 ………10分。