第四章 时间序列的分解法和趋势外推法
基本内容
一、时间序列的分解
经济时间序列的变化受到长期趋势、季节变动和不规则变动这四个因素的影响。其中：
（1） 长期趋势因素（T ）
长期趋势因素（T ）反映了经济现象在一个较长时间内的发展方向，它可以在一个相当长的时间内表现为一种近似直线的持续向上或持续向下或平稳的趋势。
（2） 季节变动因素（S ）
季节变动因素（S ）是经济现象受季节变动影响所形成的一种长度和幅度固定的周期波动。
（3） 周期变动因素（C ）
周期变动因素也称循环变动因素，它是受各种经济因素影响形成的上下起伏不定的波动。
（4） 不规则变动因素（I ）
不规则变动又称随机变动，它是受各种偶然因素影响所形成的不规则变动。
二、时间序列分解模型
时间序列Y 可以表示为以上四个因素的函数，即：
(,,,)t t t t t y f T S C I =
时间序列分解的方法有很多，较常用的模型有加法模型和乘法模型。
加法模型为：
t t t t t y T S C I =+++
乘法模型为：
t t t t t y T S C I =???
乘法模型分解的基本步骤是：
（1）运用移动平均法剔除长期趋势和周期变化，得到序列TC 。然后再用按月（季）平均法求出季节指数S 。
（2）作散点图，选择适合的曲线模型拟合序列的长期趋势，得到长期趋势T 。
（3）计算周期因素C 。用序列TC 除以T 即可得到周期变动因素C 。
（4）将时间序列的T 、S 、C 分解出来后，剩余的即为不规则变动，即：
Y I TSC
=
三、趋势外推法
当预测对象以时间变化呈现某种上升或下降趋势，没有明显的季节波动，且能找到一个合适的函数曲线反映这种变化趋势时，就可以用趋势外推法进行预测。
应用趋势外推法有两个假设条件：（1）假设事物发展过程没有跳跃式变化；（2）假定事物的发展因素也决定事物未来的发展，其条件是不变或变化不大。选择合适的趋势模型是应用趋势法的重要环节，图形识别和差分法是选择趋势模型的两种基本方法。
（1） 多项式曲线外推法模型的一般性形式为：
2012k t k y b b t b t b t =+++???+
当k=1时，为直线模型； 01t y b b t =+
当k=2时，为二次抛物线模型。 2012t y b b t b t =++
当k=3时，为三次抛物线模型。 230123t y b b t b t b t =+++
多项式曲线外推模型的参数一般是根据最小二乘法求得的。
（2） 指数模型
一般形式为：
bt t y ae =
求解指数曲线模型参数方法是现做对数变换，将其化为直线模型，然后用最小二乘法求出模型参数。
修正的指数曲线预测模型为：
t t y a bc =+
求解方法是：
时序数据最好是3的倍数。随后按时间先后把数据分为三组：Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ。 则：()()1211111n
n n IIIy IIy c IIy Iy c b IIy Iy c c a Iy b n c ???-?= ? ??-???-?=-??-????-?=-? ??-???
∑∑∑∑∑∑∑ （3） 对数曲线模型：
常见的对数曲线预测模型有： ln t y a b t =+
求解参数的方法是运用最小二乘法。
（4） 很多的经济现象都经历发生、发展到成熟的过程。到成熟期后，很难超过一个极限值而继续保持指数增长的趋势。对于这种现象的预测就因该应用生长曲线趋势外推法。其中，龚珀兹与皮尔曲线是两个最有使用价值的预测模型。
龚珀兹曲线预测模型的一般形式为：
t b t y ka =
求解上述模型参数方法是先做对数变换：
lg lg lg t y k b a =+
然后通过将时间序列分为三组而求得其参数
()()12lg lg lg lg 1lg lg lg 111lg lg lg 1n n n III y II y b II y I y b a II y I y b b k I y a n b ???-?= ?? ?-???-?=-??-????-?=-? ??-????
∑∑∑∑∑∑∑ 皮尔曲线预测模型的一般形式为：
1t bt L
y ae -=+
求解参数的方法是先做变量代换，然后应用最小二乘法。
（5） 趋势模型的选择
1）图形识别法
这种方法是通过绘制散点图来进行的，即将时间序列的数据绘制成以时间t 为横轴，时序观察值为纵轴的图形，观察并将其变化曲线与各类模型的图形进行比较，以便选择较为合适的模型。
2）差分法
利用差分法把数据修匀，使非平稳序列达到平稳序列。
一阶差分可以表示为：
1t t t y y y -'=-
二阶差分可以表示为：
1122t t t t t t y y y y y y ---''''=-=-+
紧紧依靠图形法等直观方法来选择趋势曲线模型并不总能取得较好的拟合优度。为了找出最优的拟合曲线，一般使用不同的曲线模型拟合，并比较它们的拟合标准差，标准误差最小的曲线模型为最好的拟合曲线模型。这一过程可以通过计算机很方便完成。
差分法识别标准：
【时间简“识”】 说明：本文摘自于经管之家(原人大经济论坛) 作者：胖胖小龟宝。原版请到经管之家(原人大经济论坛) 查看。 1.带你看看时间序列的简史 现在前面的话—— 时间序列作为一门统计学，经济学相结合的学科，在我们论坛，特别是五区计量经济学中是热门讨论话题。本月楼主推出新的系列专题——时间简“识”，旨在对时间序列方面进行知识扫盲（扫盲，仅仅扫盲而已……），同时也想借此吸引一些专业人士能够协助讨论和帮助大家解疑答惑。 在统计学的必修课里，时间序列估计是遭吐槽的重点科目了，其理论性强，虽然应用领域十分广泛，但往往在实际操作中会遇到很多“令人发指”的问题。所以本帖就从基础开始，为大家絮叨絮叨那些关于“时间”的故事！
Long long ago，有多long？估计大概7000年前吧，古埃及人把尼罗河涨落的情况逐天记录下来，这一记录也就被我们称作所谓的时间序列。记录这个河流涨落有什么意义？当时的人们并不是随手一记，而是对这个时间序列进行了长期的观察。结果，他们发现尼罗河的涨落非常有规律。掌握了尼罗河泛滥的规律，这帮助了古埃及对农耕和居所有了规划，使农业迅速发展，从而创建了埃及灿烂的史前文明。 好~~从上面那个故事我们看到了 1、时间序列的定义——按照时间的顺序把随机事件变化发展的过程记录下来就构成了一个时间序列。 2、时间序列分析的定义——对时间序列进行观察、研究，找寻它变化发展的规律，预测它将来的走势就是时间序列分析。 既然有了序列，那怎么拿来分析呢？ 时间序列分析方法分为描述性时序分析和统计时序分析。 1、描述性时序分析——通过直观的数据比较或绘图观测，寻找序列中蕴含的发展规律，这种分析方法就称为描述性时序分析 ?描述性时序分析方法具有操作简单、直观有效的特点，它通常是人们进行统计时序分析的第一步。
第七章 平稳时间序列预测法 基本内容 一、概述 1、 时间序列{}t y 取自某一个随机过程，如果此随机过程的随机特征不随时间变化，则我们称 过程是平稳的；假如该随机过程的随机特征随时间变化，则称过程是非平稳的。 2、 宽平稳时间序列的定义：设时间序列{}t y ，对于任意的t ,k 和m ，满足： ()()m t t y E y E += ()()k m t m t k t t y y y y ++++=,cov ,cov 则称{}t y 宽平稳。 3、Box-Jenkins 方法是一种理论较为完善的统计预测方法。他们的工作为实际工作者提供了对时间序列进行分析、预测，以及对ARMA 模型识别、估计和诊断的系统方法。使ARMA 模型的建立有了一套完整、正规、结构化的建模方法，并且具有统计上的完善性和牢固的理论基础。 4、ARMA 模型三种基本形式：自回归模型（AR ：Auto-regressive ），移动平均模型（MA ： Moving-Average ）和混合模型（ARMA ：Auto-regressive Moving-Average ）。 （1） 自回归模型AR(p)：如果时间序列{}t y 满足t p t p t t y y y εφφ+++=-- (11) 其中{}t ε是独立同分布的随机变量序列，且满足： ()0=t E ε，()02>=εσεt Var 则称时间序列{}t y 服从p 阶自回归模型。或者记为()k t t y y B -=φ。 平稳条件：滞后算子多项式()p p B B B φφφ++-=...11的根均在单位圆外，即 ()0=B φ的根大于1。 （2） 移动平均模型MA(q)：如果时间序列{}t y 满足q t q t t t y -----=εθεθε...11 则称时间序列{}t y 服从q 阶移动平均模型。或者记为()t t B y εθ=。 平稳条件：任何条件下都平稳。 （3） ARMA(p,q)模型：如果时间序列{}t y 满足 q t q t t p t p t t y y y -------+++=εθεθεφφ (1111) 则称时间序列{}t y 服从(p,q)阶自回归移动平均模型。或者记为()()t t B y B εθφ=。
趋势外推法（trend projection）是生产预测中常用的一种方法。这种方法是找出一系列历史数据的趋势线并外推于将来做中长期预测。该方法的原理是：给趋势型时间数列拟合以时间单位为自变量的数学模型，然后以顺延的时间单位作已知条件，外推时间数列后续趋势值。外推预测的准确程度取决于所拟合模型的拟合优度，最小二乘法以其所拟合模型的预测标准误差最小的优势成为最常用的趋势模型的拟合方法。 趋势外推法又分为以下几类：增长型趋势模型外推法（又包括：等差增长趋势模型、二级等差增长趋势模型、等比增长趋势模型等），周期波动趋势模型外推法，生命周期趋势模型法等。 一、增长趋势模型 增长趋势模型包括等差增长趋势模型、二级等差趋势模型、等比增长趋势模型等，详述如下：
（三）等比增长趋势模型 当时间数列逐期变量值以同一比率增长时，可配以指数曲线增长模型：
二、周期波动趋势模型 季节型时间数列以日历时间为波动周期；循环型时间数列波动周期往往大于一年，且不稳定。尽管两者有所区别，但都呈周期性波动，因此宜以正弦曲线为基础，经修正波幅与周期拟合波动规律。正弦曲线预测模型的一般形式为：
只要对已知数据按上述各项要求加工填入以后，求解六元一次方程组，得β0～β5，代入预测方程即可开始预测。 三、生命周期趋势模型 当时间数列变化呈前期增长缓慢、中期增长逐渐加速、后期增长逐渐平缓、末期逐渐加速负增长时，可配以生命周期趋势模型。这类曲线包括能模拟生命周期的前期、中期和后期的龚珀资曲线、罗吉斯蒂曲线（蒲尔-里得）曲线以及能模拟生命周期中后期的修正指数曲线模型。
龚珀资曲线和罗吉斯蒂曲线是拟合从前期至后期的生命周期趋势，而后者是拟合从中后期至后期的生命周期趋势。 ----摘自《市场预测方法与案例》
时间序列趋势外推法姓名：王茂林 学号：2014125104 班级：信息1411 组别：第一组
1.根据下列数据年取暖器的销售量，并对模型进行结果说明。 第一步：把数据导入excel做出能够反映数据变化趋势的散点图 ?从图可知，曲线呈现总体上升趋势，初期变化较快，随后增长比较缓慢，纵坐标在达到6000时，趋于一个固定队的值。接下来，我们通过散点图进行合理外推： 一：假设为指数曲线预测模型:
我们知道指数曲线其特点是环比发展速度为一个常数。 根据最小平方法的原理得 再求反对数，就能求出指数曲线预测模型的参数a,b的估计值。 （1）选择模型。计算序列的环比发展速度放在表格中， 从我计算的环比结果我们可以得知一个规律，就是环比发展速度的变化大体相近。因此，我可以用指数曲线预测模型来预测。 （2）建立指数曲线预测模型。 所求指数曲线预测模型为：^y=53644.47137(57129.80609)^t （3）预测。分别把t=9和t=10代入算出指数曲线预测模型。
当我计算前三年的预测值的时候，才发现和真实值相差太远，以至于后面的数据都无法输出。算这么多，我才醒悟过来，模型开始就假设错啦，而且错的不可理喻，因为指数曲线的趋势性是递增的，而本数据的散点图是开始递增，后来增长变得缓慢，到最后趋于一个固定的值。和指数曲线的趋势性相差十万八千里。所以，模型假设不成立。 二：假设为修正指数曲线预测模型. 由于修正指数曲线预测模型的一阶差分为 是指数函数形式，因此由指数曲线预测模型的特点，可知修正指数曲线预测模型的特征是：一阶差分的环比为一个常数。接下来我们来计算本数据的一阶差分和一阶差分环比。(1) 选择预测模型。计算序列一阶差分的环比放在表中，从环比数据可以看出：一阶差分环比基本上为一个常数，而这个常数为80； 所以，可配合修正指数曲线预测模型来预测。 (2)建立修正指数曲线预测模型。
时间序列分析预测EXCEL操作 一、长期趋势(T)的测定预测方法 线性趋势→：: 用回归法 非线性趋势中的“指数曲线”：用指数函数LOGEST、增长函数GROWTH（针对指数曲线） 多阶曲线(多项式)：用回归法 （一）回归模型法-------长期趋势（线性或非线性）模型法： 具体操作过程：在EXCEL中点击“工具”→“数据分析”→“回归”→分别在“Y值输入区域”和“X值输入区域”输人数据和列序号的单元格区域一选择需要的输出项目，如“线性拟合图”。回归分析工具的输出解释： 计算结果共分为三个模块： 1）回归统计表： Multiple R（复相关系数R）：R2的平方根，又称为相关系数，它用来衡量变量xy之间相关程度的大小。R Square(复测定系数R2 )：用来说明用自变量解释因变量变差的程度，以测量同因变量y的拟合效果。Adjusted R Square (调整复测定系数R2)：仅用于多元回归才有意义，它用于衡量加入独立变量后模型的拟合程度。当有新的独立变量加入后，即使这一变量同因变量之间不相关，未经修正的R2也要增大，修正的R2仅用于比较含有同一个因变量的各种模型。 标准误差：又称为标准回归误差或叫估计标准误差，它用来衡量拟合程度的大小，也用于计算与回归有
关的其他统计量，此值越小，说明拟合程度越好。 2）方差分析表：方差分析表的主要作用是通过F检验来判断回归模型的回归效果。 3）回归参数：回归参数表是表中最后一个部分： ?Intercept：截距a ?第二、三行：a (截距) 和b (斜率)的各项指标。 ?第二列：回归系数a (截距)和b (斜率)的值。 ?第三列：回归系数的标准误差 ?第四列：根据原假设Ho：a=b=0计算的样本统计量t的值。 第五列：各个回归系数的p值(双侧) 第六列：a和b 95%的置信区间的上下限。 （二）使用指数函数LOGEST和增长函数GROWTH进行非线性预测 在Excel中，有一个专用于指数曲线回归分析的LOGEST函数，其线性化的全部计算过程都是自动完成的。如果因变量随自变量的增加而相应增加，且增加的幅度逐渐加大；或者因变量随自变量的增加而相应减少，且减少的幅度逐渐缩小，就可以断定其为指数曲线类型。 具体操作过程： 1．使用LOGEST函数计算回归统计量 ①打开“第3章时间数列分析与预测.xls”工作簿，选择“增长曲线”工作表如下图所示。 ②选择E2:F6区域，单击工具栏中的“粘贴函数”快捷键，弹出“粘贴函数”对话框，在“函数分类”中选择 “统计”，在“函数名”中选择“LOGEST”函数，则打开LOGEST对话框，如下图11.20所示。
7 平稳时间序列预测法 7.1 概述 7.2 时间序列的自相关分析 7.3 单位根检验和协整检验 7.4 ARMA模型的建模 回总目录 7.1 概述 时间序列取自某一个随机过程，则称： 一、平稳时间序列 过程是平稳的――随机过程的随机特征不随时间变化而变化过程是非平稳的――随机过程的随机特征随时间变化而变化回总目录 回本章目录 宽平稳时间序列的定义： 设时间序列 ，对于任意的t,k和m，满足： 则称宽平稳。 回总目录
回本章目录 Box-Jenkins方法是一种理论较为完善的统计预测方法。 他们的工作为实际工作者提供了对时间序列进行分析、预测，以及对ARMA模型识别、估计和诊断的系统方 法。使ARMA模型的建立有了一套完整、正规、结构 化的建模方法，并且具有统计上的完善性和牢固的理 论基础。 ARMA模型是描述平稳随机序列的最常用的一种模型； 回总目录 回本章目录 ARMA模型三种基本形式： 自回归模型（AR：Auto-regressive）； 移动平均模型（MA：Moving-Average）； 混合模型（ARMA：Auto-regressive Moving-Average）。回总目录 回本章目录 如果时间序列满足 其中是独立同分布的随机变量序列,且满足：
则称时间序列服从p阶自回归模型。 二、自回归模型 回总目录 回本章目录 自回归模型的平稳条件： 滞后算子多项式 的根均在单位圆外，即 的根大于1。 回总目录 回本章目录 如果时间序列满足 则称时间序列服从q阶移动平均模型。或者记为。 平稳条件：任何条件下都平稳。
三、移动平均模型MA(q) 回总目录 回本章目录 四、ARMA(p,q)模型 如果时间序列 满足： 则称时间序列服从(p,q)阶自回归移动平均模型。 或者记为： 回总目录 回本章目录 q=0，模型即为AR(p)； p=0，模型即为MA(q)。 ARMA(p,q)模型特殊情况： 回总目录 回本章目录 例题分析 设 ，其中A与B 为两个独立的零均值随机变量，方差为1；
什么是时间序列预测法？ 一种历史资料延伸预测，也称历史引伸预测法。是以所能反映的社会经济现象的发展过程和规律性，进行引伸外推，预测其发展趋势的方法。 时间序列，也叫时间数列、历史复数或。它是将某种的数值，按时间先后顺序排到所形成的数列。时间序列预测法就是通过编制和分析时间序列，根据时间序列所反映出来的发展过程、方向和趋势，进行类推或延伸，借以预测下一段时间或以后若干年内可能达到的水平。其内容包括：收集与整理某种社会现象的历史资料；对这些资料进行检查鉴别，排成数列；分析时间数列，从中寻找该社会现象随时间变化而变化的规律，得出一定的模式；以此模式去预测该社会现象将来的情况。 时间序列预测法的步骤 第一步收集历史资料，加以整理，编成时间序列，并根据时间序列绘成。时间序列分析通常是把各种可能发生作用的因素进行分类，传统的分类方法是按各种因素的特点或影响效果分为四大类：(1)长期趋势；(2)季节变动；(3)；(4)不规则变动。 第二步分析时间序列。时间序列中的每一时期的数值都是由许许多多不同的因素同时发生作用后的综合结果。 第三步求时间序列的长期趋势(T)季节变动(s)和不规则变动(I)的值，并选定近似的数学模式来代表它们。对于数学模式中的诸未知参数，使用合适的技术方法求出其值。 第四步利用时间序列资料求出长期趋势、季节变动和不规则变动的数学模型后，就可以利用它来预测未来的值T和季节变动值s，在可能的情况下预测不规则变动值I。然后用以下模式计算出未来的时间序列的预测值Y： 加法模式T+S+I=Y 乘法模式T×S×I=Y 如果不规则变动的预测值难以求得，就只求和季节变动的预测值，以两者相乘之积或相加之和为时间序列的预测值。如果经济现象本身没有季节变动或不需预测分季分月的资料，则长期趋势的预测值就是时间序列的预测值，即T=Y。但要注意这个预测值只反映现象未来的发展趋势，即使很准确的在按时间顺序的观察方面所起的作用，本质上也只是一个的作用，实际值将围绕着它上下波动。 []
时间序列分析法原理及步骤 ----目标变量随决策变量随时间序列变化系统 一、认识时间序列变动特征 认识时间序列所具有的变动特征, 以便在系统预测时选择采用不同的方法 1》随机性:均匀分布、无规则分布,可能符合某统计分布(用因变量的散点图和直方图及其包含的正态分布检验随机性, 大多服从正态分布 2》平稳性:样本序列的自相关函数在某一固定水平线附近摆动, 即方差和数学期望稳定为常数 识别序列特征可利用函数 ACF :其中是的 k 阶自 协方差,且 平稳过程的自相关系数和偏自相关系数都会以某种方式衰减趋于 0, 前者测度当前序列与先前序列之间简单和常规的相关程度, 后者是在控制其它先前序列的影响后,测度当前序列与某一先前序列之间的相关程度。实际上, 预测模型大都难以满足这些条件, 现实的经济、金融、商业等序列都是非稳定的,但通过数据处理可以变换为平稳的。 二、选择模型形式和参数检验 1》自回归 AR(p模型
模型意义仅通过时间序列变量的自身历史观测值来反映有关因素对预测目标的影响和作用,不受模型变量互相独立的假设条件约束,所构成的模型可以消除普通回归预测方法中由于自变量选择、多重共线性的比你更造成的困难用 PACF 函数判别 (从 p 阶开始的所有偏自相关系数均为 0 2》移动平均 MA(q模型 识别条件
平稳时间序列的偏相关系数和自相关系数均不截尾,但较快收敛到 0, 则该时间序列可能是 ARMA(p,q模型。实际问题中,多数要用此模型。因此建模解模的主要工作时求解 p,q 和φ、θ的值,检验和的值。 模型阶数 实际应用中 p,q 一般不超过 2. 3》自回归综合移动平均 ARIMA(p,d,q模型 模型含义 模型形式类似 ARMA(p,q模型, 但数据必须经过特殊处理。特别当线性时间序列非平稳时,不能直接利用 ARMA(p,q模型,但可以利用有限阶差分使非平稳时间序列平稳化,实际应用中 d (差分次数一般不超过 2. 模型识别 平稳时间序列的偏相关系数和自相关系数均不截尾,且缓慢衰减收敛,则该时间序列可能是 ARIMA(p,d,q模型。若时间序列存在周期性波动, 则可按时间周期进
时间序列分析预测法有两个特点： ①时间序列分析预测法是根据市场过去的变化趋势预测未来的发展，它的前提是假定事物的过去会同样延续到未来。事物的现实是历史发展的结果，而事物的未来又是现实的延伸，事物的过去和未来是有联系的。市场预测的时间序列分析法，正是根据客观事物发展的这种连续规律性，运用过去的历史数据，通过统计分析，进一步推测市场未来的发展趋势。市场预测中，事物的过去会同样延续到未来，其意思是说，市场未来不会发生突然跳跃式变化，而是渐进变化的。 时间序列分析预测法的哲学依据，是唯物辩证法中的基本观点，即认为一切事物都是发展变化的，事物的发展变化在时间上具有连续性，市场现象也是这样。市场现象过去和现在的发展变化规律和发展水平，会影响到市场现象未来的发展变化规律和规模水平；市场现象未来的变化规律和水平，是市场现象过去和现在变化规律和发展水平的结果。 需要指出，由于事物的发展不仅有连续性的特点，而且又是复杂多样的。因此，在应用时间序列分析法进行市场预测时应注意市场现象未来发展变化规律和发展水平，不一定与其历史和现在的发展变化规律完全一致。随着市场现象的发展，它还会出现一些新的特点。因此，在时间序列分析预测中，决不能机械地按市场现象过去和现在的规律向外延伸。必须要研究分析市场现象变化的新特点，新表现，并且将这些新特点和新表现充分考虑在预测值内。这样才能对市场现象做出既延续其历史变化规律，又符合其现实表现的可靠的预测结果。 ②时间序列分析预测法突出了时间因素在预测中的作用，暂不考虑外界具体因素的影响。时间序列在时间序列分析预测法处于核心位置，没有时间序列，就没有这一方法的存在。虽然，预测对象的发展变化是受很多因素影响的。但是，运用时间序列分析进行量的预测，实际上将所有的影响因素归结到时间这一因素上，只承认所有影响因素的综合作用，并在未来对预测对象仍然起作用，并未去分析探讨预测对象和影响因素之间的因果关系。因此，为了求得能反映市场未来发展变化的精确预测值，在运用时间序列分析法进行预测时，必须将量的分析方法和质的分析方法结合起来，从质的方面充分研究各种因素与市场的关系，在充分分析研究影响市场变化的各种因素的基础上确定预测值。 需要指出的是，时间序列预测法因突出时间序列暂不考虑外界因素影响，因而存在着预测误差的缺陷，当遇到外界发生较大变化，往往会有较大偏差，时间序列预测法对于中短期预测的效果要比长期预测的效果好。因为客观事物，尤其是经济现象，在一个较长时间内发生外界因素变化的可能性加大，它们对市场经济现象必定要产生重大影响。如果出现这种情况，进行预测时，只考虑时间因素不考虑外界因素对预测对象的影响，其预测结果就会与实际状况严重不符。
时间序列分解算法和d ecompose函数实现 李思亮 55531469@https://www.doczj.com/doc/308638415.html, 目录 时间序列分解算法和decompose函数实现 (1) 1 数据读入并生成时间序列 (2) 2 数据可视化 (4) 3 时间序列分解 (7)
在时间序列分析的过程中，往往需要对时间序列作出初步分析，本文主要采用R语言作为分析平台，从数据的读入，可视化图，分解（decompose）为趋势项，季节项，随机波动等角度对数据开展分析的几个案例。最后对分解算法作出初步描述并探讨其预测预报中的潜在应用。本文的数据和部分内容主要采用https://www.doczj.com/doc/308638415.html,/en/latest/中的内容，感兴趣的读者可以参考。 1 数据读入并生成时间序列 对于数据分析来讲，数据读入是一个比较关键的步骤。常用的数据读入函数有scan，read.table 等。下面列举了几种常见的数据。 首先是https://www.doczj.com/doc/308638415.html,/tsdldata/misc/kings.dat，中包含了英国国王的寿命从William开始，数据来源（Hipel and Mcleod, 1994）。 > kings <- scan("https://www.doczj.com/doc/308638415.html,/tsdldata/misc/kings.dat",skip=3) Read 42 items > kings [1] 60 43 67 50 56 42 50 65 68 43 65 34 47 34 49 41 13 35 53 56 16 43 69 59 48 59 86 55 68 51 33 49 67 77 81 67 71 81 68 70 77 56 上述例子中，读入了连续42个公国国王的寿命并将其赋给变量‘kings’ 如果我们希望对读入数据开展分析，下一步就是将其转化为时间序列对象（时间序列类），R提供了很多函数用于分析时间序列类数据。可以使用ts函数将变量转化为时间序列类。 > kingsts <- ts(kings) > kingsts Time Series: Start = 1 End = 42 Frequency = 1 [1] 60 43 67 50 56 42 50 65 68 43 65 34 47 34 49 41 13 35 53 56 16 43 69 59 48 59 86 55 68 51 33 49 67 77 81 67 71 81 68 70 77 56 对于上述数据操作的好处是将数据转化为特定的“时间序列类”便于我们使用R中的函数分析数据。 有时候我们会按照一定的时间周期来收集数据，这个周期可能是季度，月，日，小时，分。在大数据时代，有些情况下的数据是按照秒来采集收集。这种情况下，我们需要对数据的周期或频率进行设置。这里采用ts函数中的frequency参数可以实现这种功能。比方说，若按1年为一个周期，我们的月度时间
直线趋势外推法预测报告 某超市1995——2014年销售额如表，用直线趋势外推法预测2015年销售额（利用EXCEL软件预测）。 表一某超市1995——2014年销售额 年份销售额 1995 80 1996 81 1997 85 1998 84 1999 90 2000 92 2001 95 2002 89 2003 92 2004 99 2005 102 2006 110 2007 120 2008 140 2009 150 2010 155 2011 180 2012 175 2013 180 2014 200 一、将表1数据,按年份序号录入EXCEL工作表，形如表2 表2 年份序号及销售额表 年份销售额 -19 80 -17 81 -15 85 -13 84 -11 90 -9 92 -7 95 -5 89 -3 92
-1 99 1 102 3 110 5 120 7 140 9 150 11 155 13 180 15 175 17 180 19 200 二、使用“图表向导”绘制散点图，判断数列趋势 图1 销售额散点图 如图1所示，该公司九个年份的利润值基本围绕一条直线上下波动，可以认为数列呈直线趋势变动，因此配合直线趋势模型。 三、估算两个参数值 利用EXCEL软件中的“工具——数据分析——回归”求得两个参数值如表3所示。 表3 系数表
将的值带入理论模型：，得直线趋势模型： Y = 119.95 + 3.13*X 四、预测 依时间数列推算，到2015年，年份序号为21，即t=21，则2015年该公司利润预测值为： Y = 119.95 + 3.13*21 即该公司2015年利润预测值为189.46。
什么是时间序列分解法 时间序列分解法是数年来一直非常有用的方法,这种方法包括谱分析、时间序列分析和傅立叶级数分析等。 时间序列分解模型 时间序列y可以表示为以上四个因素的函数，即： Y t = f(T t,S t,C t,I t) 时间序列分解的方法有很多，较常用的模型有加法模型和乘法模型。 加法模型为：Y t = T t + S t + C t + I t 乘法模型为： 时间序列的分解方法 （1）运用移动平均法剔除长期趋势和周期变化，得到序列TC。然后再用按月（季）平均法求出季节指数S。 （2）做散点图，选择适合的曲线模型拟合序列的长期趋势，得到长期趋势T。 （3）计算周期因素C。用序列TC除以T即可得到周期变动因素C。 （4）将时间序列的T、S、C分解出来后，剩余的即为不规则变动，即：
时间序列的模式 时间序列一般包括四类因素，长期趋势因素、季节变动因素、循环变动因素和不规则变动因素。四种因素的组合形式一般有以下几类, 其中记Xt为时间序列的全变动；Tt为长期趋势；St为季节变动；Ct为循环变动；It为不规则变动，它总是存在着的。 1）乘法模式，其中， a) X t与T t有相同的量纲，S t为季节指数，C t为循环指数，两者皆为比例数； b) c) I t是独立随机变量序列，服从正态分布。 2）加法模式X t = T t + S t + C t + I t 这种形式要求满足条件： a) X t，T t，S t，C t，I t均有相同的量纲； b) ,k为季节性周期长度； c) I t是独立随机变量序列，服从正态分布。 3) 混合模式
a) X t与T t，C t，I t有相同的量纲，St是季节指数，为比例数； b) c) I t是独立随机变量序列，服从正态分布。 时间序列分解法试图从时间序列中区分出这四种潜在的因素，特别是长期趋势因素(T)、季节变动因素(S)和循环变动因素(C)。显然，并非每一个预测对象中都存在着T、S、C这三种趋势，可能是其中的一种或两种。一个具体的时间序列究竟由哪几类变动组合，采取哪种组合形式，应根据所掌握的资料、时间序列及研究目的来确定。 时间序列分解法各因素的确定 分解法的基础是容易理解而且直观的。不过最重要的是它为预测和检验提供了独特和非常有用的资料。我们用一个例题来说明各个因素分解的步骤。 设有某产品十二年（91年－02年）的季度销售额数据。见表4.3中的第二列，共有48个数据。如果将这些数据画在图上（图.1），可以看出有明显的长期趋势和季节变动。利用分解法，假设这48个数据可表示为 。这里X t是这些原始数据，通过分析原始数据X来确定T、C、S（剩下的为I）。
趋势外推预测法 摘要：电力负荷预测是电力系统规划的重要组成部分，也是电力系统经济运行的基础，任何时候，电力负荷预测对电力系统规划和运行都极其重要。近年来，随着我国电力供需矛盾的突出及电力工业市场化营运机制的推进，电力负荷预测的准确性有待进一步提高；然而，由于社会运转速度的不断加快和信息量的膨胀，使准确的负荷预测变得愈加困难。 关键字：电力；负荷预测；预测方法；趋势外推。 负荷预测方法可分为确定性负荷预测方法和不确定性负荷预测方法。确定性负荷预测方法是把电力负荷预测用一个或者一组方程来描述，电力负荷与变量之间有明确的一一对应的关系。其中又可分为经验技术预测法、经典技术预测法、经济模型预测法、时间序列预测法、相关系数预测法和饱和曲线预测法等。不确定性预测方法基于类比对应等关系进行推理预测的，包括灰色理论预测法、专家系统法、模糊预测法、神经网络法、小波分析预测法等。 常用到的确定性负荷预测方法主要有：回归分析法；时间序列预测法；趋势外推预测法。本文主要介绍和分析趋势外推预测法。 一、回归分析法 回归分析法就是通过对历史数据的分析、研究，并考虑和电力负荷有关的各种影响因素，建立起适当的回归预测模型，用数理统计中的回归分析方法对变量的观测数据统计分析，从而预测未来的电力负荷。回归预测模型可以是线性的也可以是非线性的，可以是一元的也可以是多元的，其中一元线性回归预测是最基本的、最简单的预测方法。 回归分析法适用于中、短期预测，它的预测精度依赖于模型的准确性和影响因子（如国民生产总值、工农业生产总值、人口、气候等）预测值的准确度，该方法只能预测出综合用电负荷的发展水平，无法预测出各供电区的负荷发展水平，无法进行具体的电网建设规划。 二、时间序列法 时间序列预测方法就是根据到目前为止的历史资料数据，即时间序列所呈现出来的发展趋势和规律，设法建立一个数学模型，在该数学模型的基础上用数学方法进行延伸、外推，预测出今后各时期的指标值。时间序列法主要有移动平均法、指数平滑法等，其中指数平滑法是一种较为重要的方法，该方法是采取渐消记忆的方式，利用逐步衰减的不等权平均办法，用以往的历史数据的指数加权组
第四章 预 测 在本章当中我们讨论预测的一般概念和方法，然后分析利用),(q p ARMA 模型进行预测的问题。 §4.1 预期原理 利用各种条件对某个变量下一个时点或者时间阶段内取值的判断是预测的重要情形。为此，需要了解如何确定预测值和度量预测的精度。 4.1.1 基于条件预期的预测 假设我们可以观察到一组随机变量t X 的样本值，然后利用这些数据预测随机变量1+t Y 的值。特别地，一个最为简单的情形就是利用t Y 的前m 个样本值预测1+t Y ，此时t X 可以描述为： 假设*|1t t Y +表示根据t X 对于1+t Y 做出的预测。那么如何度量预测效果呢？通常情况下，我们利用损失函数来度量预测效果的优劣。假设预测值与真实值之间的偏离作为损失，则简单的二次损失函数可以表示为(该度量也称为预测的均方误差)： 定理4.1 使得预测均方误差达到最小的预测是给定t X 时，对1 +t Y 的条件数学期望，即： 证明：假设基于t X 对1+t Y 的任意预测值为： 则此预测的均方误差为： 对上式均方误差进行分解，可以得到： 其中交叉项的数学期望为(利用数学期望的叠代法则)： 因此均方误差为： 为了使得均方误差达到最小，则有： 此时最优预测的均方误差为： 211*|1)]|([)(t t t t t X Y E Y E Y MSE +++-= End 我们以后经常使用条件数学期望作为随机变量的预测值。 4.1.2 基于线性投影的预测 由于上述条件数学期望比较难以确定，因此将预测函数的范围限制在线性函数当中，我们考虑下述线性预测： 如此预测的选取是所有预测变量的线性组合，预测的优劣则体现在系数向量的选择上。 定义4.1 如果我们可以求出一个系数向量值α，使得预测误差)(1t t X Y α'-+与t X 不相关： 则称预测t X α'为1+t Y 基于t X 的线性投影。 定理4.2 在所有线性预测当中，线性投影预测具有最小的均方误差。
在随机时间序列分析中，为简便起见，我们假定时间序列主要由趋势项（T）、季节项 （S）和随机项（R）构成。 # 读入数据，画曲线图 > sales <- read.csv(file = "sales.csv",header = TRUE) > head(sales) > plot(sales$t,sales$Y,type = "l") 观察这幅图形，可以看出有明显的长期趋势和季节变动。 利用分解法，假设这48个数据可表示为：，Yt代表实际销售额
度。 长期趋势的分解 用时间回归法，在同一图中画出趋势项目、季节项和随机项的数据图，如下： decompose()函数主要用来做季节指数分解，figure项即指季节指数。同时也返回原始数据，以及MA算法的结果；trend趋势项使用光滑移动平均法求得，它包含了长期趋势T 和周期变动因素C，之前用回归法求得长期趋势T，利用此函数的返回值Trend即可求得周期变动因素C；Random即为不规则变动。 此函数的基本结构： Additive: xt = Trend + Seasonal + Random Multiplicative: xt = Trend * Seasonal * Random > sales1 <- ts(sales[,2],start = 1,frequency = 4) # 季节变动趋势分解 > m <- decompose(sales1,type = "multiplicative") > plot(m) > m$x Qtr1 Qtr2 Qtr3 Qtr4 2003 3017.60 3043.54 2094.35 2809.84 2004 3274.80 3163.28 2114.31 3024.57 2005 3327.48 3493.48 2439.93 3490.79 2006 3685.08 3661.23 2378.43 3459.55 2007 3849.63 3701.18 2642.38 3585.52 2008 4078.66 3907.06 2828.46 4089.50 2009 4339.61 4148.60 2916.45 4084.64 2010 4242.42 3997.58 2881.01 4036.23 2011 4360.33 4360.53 3172.18 4223.76 2012 4690.48 4694.48 3342.35 4577.63 2013 4965.46 5026.05 3470.14 4525.94 2014 5258.71 5189.58 3596.76 3881.60
实验四平稳时间序列模型预测 一、实验目的 1、掌握平稳时间序列分析模型的分析方法和步骤 2、会求平稳时间序列的自相关函数和偏相关函数 3、掌握模型类别和阶数的确定 二、实验设备 计算机、Matlab软件 三、实验内容与步骤 已知平稳时间序列{}一个长为50的样本数据如下表：number Zi 1-10289 285 289 286 288 287 288 292 291 291 11-20292 296 297 301 304 304 303 307 299 296 21-30293 301 293 301 295 284 286 286 287 284 31-40282 278 281 278 277 279 278 270 268 272 41-50273 279 279 280 275 271 277 278 279 285 51-60301 295 281 278 278 270 286 288 279 279
每个同学以自己的学号为起点，循环计数50重新排序，如：学号为3的学生样本数据为：Z3,Z4……Z50,Z1,Z2,编程计算，并打印下列： 1、 2、 3、利用递推公式计算样本的偏相关系数 4、 5、确定模型的类别和阶数 四、实验原理 平稳时间序列的模型估计与预测原理 样本自协方差函数： 样本自相关函数： 样本偏相关函数 3、利用与的拖尾和截尾性质判定类型和阶数 五、实验报告要求 1、写出详细的计算步骤及设计原理； 2、按实验内容的要求打印图形； 3、附上程序和必要的注解。 六．实验过程 function y = experiment4 close all;clc; % r = [];p1 = [];p = []; % Fai = [];FAI = []; %学号21
（一）趋势外推法 趋势外推法是利用惯性的原理，对企业人力资源需求总量进行预测。 根据调研结果，A企业人员总量的数据见表1—3，其中t表示年份，为自变量；L表示人员总数，为因变量。 1．定性分析 （1）根据近些年来的企业人力资源管理所采取的减员增效策略，可以作出“短期内该企业的人数将持续降低，至少将保持持平的发展状态”的推断； （2）实际上，企业人数不可能一直下降到0，因为在现实的生产条件下，企业要保证生产产品的销售量，赚取利润，还必须具备一定规模的员工人数，而不可能是“无人工厂”或采用“机器人”的生产模式。因此，做函数拟合的曲线不应具有一直向下的趋势。 2．函数拟合 将上表输入到SPSS，选用9种函数对企业员工总数的趋势做出拟合，见表1—4． （1）对数函数，其函数形式为：L＝b。+ b１·ln（t） （2）双曲线，其函数形式为：L＝b。+ b１／t （3）二次函数，其函数形式为：L＝bo+ b１·t+ b2·t ２ （4）三次函数拟合，其函数形式为：L＝b。+ b１·t+ b2·t ２+ b3·t 3 （5）复合模型，其函数形式为：L＝b。×b１t （6）幂指数，其函数形式为：L＝b。t o b１ （7）S曲线拟合，其函数形式为：L＝e（bo+b１） （8）生长模型，其函数形式为：L＝e（bo+b１·t） （9）指数函数，其函数形式为：L＝b。·e b1·t 上述公式中，L为人员总数，t为时间变量，b。为系数。通过SPSS分析，上述9种函数做拟合的结果如表1－4所示。 表1—4 曲线拟合结果表 3．模型筛选
根据表1－5所反映的信息，可以判断，在时间序列曲线估计的9种模型中，所有模型的F值都大于10，其显著度p都基本接近O，这说明用这些曲线做人数估计拟合是符合要求的，也就是说可以选用这些曲线做拟合。 表1—5各个模型的显著性、判定系数及标准误差值表 观察表1－5第二列的数据，发现双曲线与S曲线模型的R。比较小，而一般情况下，R。>0．8才认为有效，所以这两种曲线应舍弃。另外，还能从表中发现复合函数、生长模型和指数函数这三个模型的预测结果是完全相同的，这就是说，它们的判定系数、显著性以及标准误差值也是完全相同的，这三个函数只取一个就可以了。因此保留对数函数、二次函数、三次函数、复合模型、幂指数模型。
时间序列的分解预测
预测是时间序列分析的重要目的之一 A 分解预测法就是依据时间序列的结构模型将序列中的各种非随机成分分离出来，分别进行预测，最后将各部分预测值合成总的预测值。这种方法直观易懂并可以提供较多有用的信息，从不同的方面把握数据的变化特征。 B
1 2 3 对原时间序列进行（周期长度）期中心化移动平均，求得反映长期趋势和循环变动的移动平均序列； t t T C N t Y 假定时间数列包含长期趋势、季节变动、循环变动和不规则变动四种成分，以乘法模型为例，分解预测法基本步骤是： t Y t T t S t C 将原时间序列各观测值除以相应的中心化移动平均值，得到剔除长期趋势和循环变动后的时间序列； t I 计算剔除长期趋势和循环变动后的时间序列的同期（同月或季度等）平均值，消除不规则影响，得到未调整的季节指数和调整后的季节指数，反映季节变动； t I t S
4 5 6 从反映长期趋势和循环变动的移动平均序列中分离出,长期趋势值得到循环变动指数；t T t t T C t C 对反映长期趋势和循环变动的移动平均序列用时间回归法建立合适的趋势模型，得到长期趋势值； t t T C t T 合成预测值 ??t l t l t l t l Y T S C ++++=其中由第（4）步建立的趋势模型得到，可用同期季节指数代替,可用用半定量化方法预测，即根据分离出的循环变动指数的变 化趋势，主观判断取值的大小。 t l S +t l C +t C t l C +?t l T +
B A 在选择某种特定的方法进行预测时，需要评价该方法的预测效果或准确性。 预测精度用于确定一种预测方法如何能很好地再现已经得到的时间序列数据。 C 对于已知数据，通过选择最佳精度的方法，我们希望增加未来时期更好预测的可能性。
一、实验课题 趋势外推法 二、实验目的与意义 学会利用修正指数曲线模型,指数曲线模型，皮尔曲线模型对数据进行分析解答 三、实验过程记录与结果分析 1，根据下列资料，用修正指数曲线模型预测2008年取暖器的销售量，并说明其最高限度。 表1-1 年份 销售量（台） 1999 46000 2000 49000 2001 51400 2002 53320 2003 54856 2004 56085 2005 57088 2006 57900 2007 58563 第一步，选择模型。 首先绘制散点图，初步确定模型。 010000 2000030000400005000060000700000 2 4 6 8 1012 系列2 1999——2007年取暖器的销售量散点图 由散点图可以初步确定选用修正指数曲线预测模型)10,0(<<<+=∧ c b bc a y t t 来进行预测。 其次，进行一阶差的一阶比率计算表（如表1-2所示） 表1-2 热水器销售量一阶差的一阶比率计算表 y i 46000 49000 51400 53320 54856 56085 57088 57900 58563 一阶差分 3000 2400 1920 1536 1229 1003 812 663 一阶差的差分比率 0.8 0.8 0.8 0.8008 0.8161 0.8096 0.8165
由表1-2可知y i 的一阶差的一阶比率大致相等。所以，结合散点图分析，最后确定选用修正指数曲线模型进行预测比较适宜。 第二步，求模型参数（如表1-3所示） 表1-3 修正指数曲线模型参数计算表 年份 时序(t) 销售量（y i ) 1999 0 46000 2000 1 49000 2001 2 51400 ∑Ⅰy - 146400 2002 3 53320 2003 4 54856 2004 5 56085 ∑Ⅱy - 164261 2005 6 57088 2006 7 57900 2007 8 58563 ∑Ⅲy - 173551 n c 1 )Ⅰy -Ⅱy Ⅱy -Ⅲy (∑∑∑∑==0.8042 15186-1(c 1 -c Ⅰy) -Ⅱy (2 n =-∑∑=） b 77.61206)11 c b -Ⅰy (1n =--∑=c n a t t bc a y +=∧ 所以93.59069 2008=∧ y 2008年取暖器的销售量为59069.93台。 2，指数曲线预测模型为： )0(>=∧ a ae y bt t 对函数模型bt t ae y =做线性变换得： bt a y t +=ln ln 令a A y Y t t ln ,ln ==，则：
时间序列数据平稳性检验实验指导 一、实验目的： 理解经济时间序列存在的不平稳性，掌握对时间序列平稳性检验的步骤和各种方法，认识利用不平稳的序列进行建模所造成的影响。 二、基本概念： 如果一个随机过程的均值和方差在时间过程上都是常数，并且在任何两时期的协方差值仅依赖于该两个时期间的间隔，而不依赖于计算这个协方差的实际时间，就称它是宽平稳的。 时序图 ADF检验 PP检验 三、实验内容及要求： 1、实验内容： 用Eviews5.1来分析1964年到1999年中国纱产量的时间序列，主要内容： （1）、通过时序图看时间序列的平稳性，这个方法很直观，但比较粗糙； （2）、通过计算序列的自相关和偏自相关系数，根据平稳时间序列的性质观察其平稳性；（3）、进行纯随机性检验； （4）、平稳性的ADF检验； （5）、平稳性的pp检验。 2、实验要求： （1）理解不平稳的含义和影响； （2）熟悉对序列平稳化处理的各种方法； （2）对相应过程会熟练软件操作，对软件分析结果进行分析。 四、实验指导 （1）、绘制时间序列图 时序图可以大致看出序列的平稳性，平稳序列的时序图应该显示出序列始终围绕一个常数值波动，且波动的范围不大。如果观察序列的时序图显示出该序列有明显的趋势或周期，那它通常不是平稳序列，现以1964-1999年中国纱年产量序列（单位：万吨）来说明。 在EVIEWS中建立工作文件，在“Workfile structure type”栏中选择“Dated-regular frequency”，在右边的“Date specification”中输入起始年1964，终止年1999，点击ok则建立了工作文件。找到中国纱年产量序列的excel文件并导入命名该序列为sha，见图1-2。 图1-1 建立工作文件