函数定义域求法总结
一、定义域是函数y=f(x)中的自变量x 的范围。
（1）分母不为零
（2）偶次根式的被开方数非负。
（3）对数中的真数部分大于0。
（4）指数、对数的底数大于0，且不等于1
（5）y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等。
(6)0x 中x 0≠
二、抽象函数的定义域
1.已知)(x f 的定义域，求复合函数()][x g f 的定义域
由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若)(x f 的定义域为()b a x ,∈
，求出)]([x g f 中b x g a <<)(的解x 的范围，即为)]([x g f 的定义域。
2.已知复合函数()][x g f 的定义域，求)(x f 的定义域
方法是：若()][x g f 的定义域为()b a x ,∈，则由b x a <<
确定)(x g 的范围即为)(x f 的定义域。 3.已知复合函数[()]f g x 的定义域，求[()]f h x 的定义域
结合以上一、二两类定义域的求法，我们可以得到此类解法为：可先由()][x g f 定义域求得()x f 的定义域，再由()x f 的定义域求得()][x h f 的定义域。
4.已知()f x 的定义域，求四则运算型函数的定义域
若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集。
函数值域求法四种
在函数的三要素中，定义域和值域起决定作用，而值域是由定义域和对应法则共同确定。研究函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。本次课就函数值域求法归纳如下，供参考。
1.直接观察法
对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。
例1.求函数
x 1y =的值域。 解：∵0x ≠ ∴0x 1≠ 显然函数的值域是：),0()0,(+∞-∞
例2.求函数x 3y -
=的值域。 解：∵
0x ≥ 故函数的值域是：]3,[-∞
2.配方法
配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例3.求函数]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域。 解：将函数配方得：4)
1x (y 2+-=
∵]2,1[x -∈ 由二次函数的性质可知：当x=1时，4y m i n =，当1x -=时，8y m a x =
故函数的值域是：[4，8]
3.判别式法
例4.求函数22
x 1x x 1y +++=的值域。
解：原函数化为关于x 的一元二次方程
（1）当1y ≠时，R x ∈
解得：23y 2
1≤≤ （2）当y=1时，0x =，而⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,211
故函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21
例5.求函数)x 2(x x y -+
=的值域。 解：两边平方整理得：0y x )1y (2x 222=++-（1）
∵R x ∈
∴0y 8)1y (42≥-+=∆
解得：21y 21+≤≤-
但此时的函数的定义域由0)x 2(x ≥-，得2x 0≤≤ 由0≥∆，仅保证关于x 的方程：0y x )1y (2x 222=++-在实数集R 有实根，而不能
确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由0≥∆求出的范围可能
比y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21。
可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。
∵2x 0≤≤
21y ,0y min +==∴代入方程（1）
解得：]2,0[22
222x 41∈-+=
即当22222x 41-+=时，
原函数的值域为：]21,0[+
注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。
4.换元法
通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。
例6.求函数1x x y -+
=的值域。 解：令t 1x =-，)0t (≥
则1t x 2+= ∵43)21t (1t t y 22++=++= 又0t ≥，由二次函数的性质可知
当0t =时，1y m i n =
当0t →时，+∞→y
故函数的值域为),1[+∞
课堂练习
一、 求函数的定义域
1、求下列函数的定义域：
⑴33
y x =+-
⑵y =
⑶01
(21)1
11y x x =+-+-2、设函数
f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()2的定义域为___；函数f x ()-2的定义域为________； 3、若函数
(1)f x +的定义域为[]-23，，则函数(21)f x -的定义域是；函数1(2)f x +的定义域为。 4、 知函数f x ()的定义域为 [1,1]-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在，求实数m 的取值范围。
5、若函数()f x =3
442++-mx mx x 的定义域为R ,则实数m 的取值范围是 （）
A 、(－∞,+∞)
B 、(0,43]
C 、(43,+∞)
D 、[0,43) 6
、若函数()f x =R ，则实数m 的取值范围是（）
(A)04m <<(B)04m ≤≤(C)4m ≥ (D)04m <≤
7.已知函数()f x 的定义域为[]15
-，，求(35)f x -的定义域． 8.若函数)(x f y =的定义域为⎥⎦
⎤⎢⎣⎡2,21，则)(log 2x f 的定义域为。 9.已知函数2(22)f x x -+的定义域为[]03，
，求函数()f x 的定义域． 10.已知函数的定义域为，则的定义域为________。
11.函数定义域是，则
的定义域是（） A. B. C. D. 12.已知函数f(2x ）的定义域是［-1，1］，求f(log 2x)的定义域
.
13.若()f x 的定义域为[]35-，
，求()()(25)x f x f x ϕ=-++的定义域． 14.
已知函数
的定义域是，求的定义域。
