北师大版《数学》（八年级上册）知识点总结
第一章 勾股定理
1、勾股定理
（1）直角三角形两直角边
a ，
b 的平方和等于斜边c
的平方，即2
2
2
c b a =+
（2）勾股定理的验证：测量、数格子、拼图法、面积法，如青朱出入图、五巧板、玄图、总统证法……（通过面积的不同表示方法得到验证，也叫等面积法或等积法）
（3）勾股定理的适用范围：仅限于直角三角形
2、勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系2
22c b a =+，
那么这个三角形是直角三角形。
#
3、勾股数：满足2
22c b a =+的三个正整数a ，b ，
c ，称为勾股数。
常见的勾股数有：（6,8,10）（3,4,5）（5,12，,13）
（9,12,15）（7,24,25）（9,40,41）……
规律：（1），短直角边为奇数，另一条直角边与斜边
是两个连续的自然数，两边之和是短直角边的平方。即当a 为奇数且a ＜b 时，如果b+c=a 2
那么a,b,c 就是一组勾股数.如（3,4,5）（5,12，,13）（7,24,25）（9,40,41）……
（2）大于2的任意偶数，2n(n ＞1)都可构成一组勾股数分别是：2n,n 2-1,n 2+1
如：（6,8,10）（8,15,17）（10,24,26）……
4、常见题型应用：
（1）已知任意两条边的长度，求第三边/斜边上
的高线/周长/面积……
（2）已知任意一条的边长以及另外两条边长之间的关系，求各边的长度找最长边；b.比较长边的平方与另外两条较短边的平方和之间的大小关系；c.确定形状
~
（4）构建直角三角形解题
例1. 已知直角三角形的两直角边之比为3：4，斜边为10。求直角三角形的两直角边。
解：设两直角边为3x ，4x ，由题意知：
()()34100916100251004222222x x x x x x +=+===，，， ∴x=2，则3x=6，4x=8，故两直角边为6，8。
中考突破
（1）中考典题
例. 如图（1）所示，一个梯子AB 长米，顶端A 靠在墙AC 上，这时梯子下端B 与墙角C 距离为米，梯子滑动后停在DE 位置上，如图（2）所示，测得得BD=米，求梯子顶端A 下落了多少米
]
A A
E
C B C B
D （1） （2）
思维入门指导：梯子顶端A 下落的距离为AE ，即
求AE 的长。已知AB 和BC ，根据勾股定理可求AC ，只要求出EC 即可。
解：在Rt △ACB 中，AC 2=AB 2-BC 2=， ∴AC=2 ∵BD=，∴CD=2
在中，Rt ECD EC ED CD ∆22222252225=-=-=.. ∴EC=
∴=-=-=AE AC EC 21505.. —
答：梯子顶端下滑了米。
点拨：要考虑梯子的长度不变。
例 5. 如图所示的一块地，AD=12m ，CD=9m ，∠
ADC=90°，AB=39m ，BC=36m ，求这块地的面积。
A
D
C B
思维入门指导：求面积时一般要把不规则图形分割成规则图形，若连结BD ，似乎不得要领，连结，求出即可。AC S S ABC ACD ∆∆-
解：连结AC ，在Rt △ADC 中，
在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。（|a|≥0）。零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|= -a ，则a ≤0。
3、倒数
如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。
4、数轴
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。
解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。
5、估算
、
利用非负数解题的常见类型
例1.
已知，求的值。x y x y -+-=-53022
|| 解
：
x y x y -≥-≥-+-=5030530，，且||||
∴-=-=x y 5030，|| ∴-=-=x y 5030， ∴==x y 53，
∴-=-=x y 2225619 点拨：利用算术平方根，绝对值非负性解题。
^
三、平方根、算数平方根和立方根
1、算术平方根：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根。特别地，0的算术平方根是0。
表示方法：记作“a ”，读作根号a 。 性质：正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
2、平方根：一般地，如果一个数x 的平方等于a ，即x 2
=a ，那么这个数x 就叫做a 的平方根（或二次方根）。 表示方法：正数a 的平方根记做“a ±”，读作“正、
负根号a ”。
性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
开平方：求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方。
(
注意a 的双重非负性：被开方数与结果均为非
负数。即a ≥0， 3、立方根
一般地，如果一个数x 的立方等于a ，即x 3=a 那么这个数x 就叫做a 的立方根（或三次方根）。
表示方法：记作3a
性质：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。
注意：33a a -=-，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
四、实数大小的比较
1、实数比较大小：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；数轴上的两个点所表示的数，右边的总比左边的大；两个负数，绝对值大的反而小。
|
2、实数大小比较的几种常用方法
（1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。
（2）求差比较：设a 、b 是实数，
,0b a b a >⇔>- ,0b a b a =⇔=-
b a b a <⇔<-0
（3）求商比较法：设a 、b 是两正实数， ;1;1;1b a b
a
b a b a b a b a <⇔<=⇔=>⇔> ￥
（4）绝对值比较法：设
a 、
b 是两负实数，则
b a b a <⇔>。
（5）平方法：设a 、b 是两负实数，则
b a b a <⇔>22。
（6）倒数法：设a 、b 是同正,如果1/a ＞1/b ，则a ＜b;同负，如果1/a ＞1/b ，则a ＞b
