《实数》知识点梳理及题型解析
—、知识归纳
（-）平方根与开平方
1. 平方根的含义
如果一个数的平方等于a ,那么这个数就叫做a的平方根。
即x2二，x叫做a的平方根。
2•平方根的性质与表示
⑴表示：正数a的平方根用土、注示，d®做正平方根，也称为算术平方根,
做a的负平方根。
⑵一个正数有两个平方根：±J?（根指数2省略）
0有一个平方根，为°,记作©「业，负数没有平方根
⑶平方与开平方互为逆运算
开平方：求一个数a的平方根的运算。
& n ° i r~ \ *
（V a ） =a 但1）
a a V 0
⑷&丁的双重非负性
8 X且yT 3 （应用较广）
例：＜x -4 + &~X-为得知x 4,# 0 =
⑸如果正数的小数点向右或者向左移动两位，它的正的平方根的小数点就相应地向右或向
左移动一位。
区分：4的平方根为 ____ 4的平若粮为____ 4_ 4幵爲后，得________
完全平方类
3.计算、诙方法｛非完全平方类
I
精确到某位小数
费若a b 0 贝|J a b
（-）立方根和开立方
1 .立方根的定义厂
如果一个数的立方等于 J呢么这个数叫做a的立方根，记作3 a
2. 立方根的性质
任何实数都有唯一确定的立方根。正数的立方根是一个正数。负数的立方根是一个负数。0的立方根是0 •
第1页共14页
3.
开立方与立方
开立方：求一个数的立方根的运算。
这说明三次根号内的负号可以移到根号衙。
* 0的平方根和立方根都是0本身。
（三）推广：n 次方根
1 ■如果一个数的n 次方（n 是大于1的整数）等于 a,这个数就叫辎勺n 次方根。
当n 为奇数时，这个数叫縱勺奇次方根。 当n 为偶数时，这个数叫縱勺偶次方根。
土厂
2 .正数的偶次方根有两个：
n a ; 0的偶次方根为0 : n 0 0 ；负数没有偶次方根。
正数的奇次方根为正。0的奇次方根为0。负数的奇次方根为负。
（四）实数
1.
实数：有理数和无理数统称实数 实数的分类：
2.
实数和数轴上的点的对应条
实数和数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点表示 数轴上的每一个点都可以表示一个实数•
在数轴上表示无理数通常有两种情况：
/
① 尺规可作的无理数，如 ^2
② 尺规不可作的无理数，只能近似地表示，女口 H , 1.010010001……
思考：
（1） - a
彳—定是负数吗？ 一 a —定是正数吗？
（2） 大家都知道〃是一个无理数，那么
1在哪两个整数之间？
/~
（3） ^5的整数部分为a,小数部分为b,则
十 -------------
（4） 判断下面的语句对不对？并说明判断的理由
① 无限小数都是无理数； ② 无理数都是无限小数； ③ 带根号的数都是无理数；
（a 取任何数）
① 按属性分类：
rtttt-o
I 分歎I 正分数
I 负分敷 rIE5E«tt 1负
无理数
实数
② 按符号分类
riEtt*
再有理曲正分数
件实歎肛无理数 莎有锐负分数
〔负实呛无理数
a a
④有理数都是实数，实数不都是有理数；
⑤实数都是无理数，无理数都是实数；
ZrA- -nr- -T"
2ft 14 页
⑥ 实数的绝对值都是非负实数； ⑦ 有理数都可以表示成分数的形式。
3.
实数大小比较的方法 —、平方法：
比较丄和7?的大小
2
二、根号法： 比较2离口 3力的大小 三、求差法*
比较梟」和1
的大小
2
4•实数的三个非负性燎质
⑴在实数范围内，正数和零统称弭负数。 ⑵非负数有三种形式
① 任何一个实数a 的绝对值是非负数，即2 0； ② 任何一个实数日的平方是非负数，即 > ③ 任何非负数的算术平方根是非负数，即。
（3）非负数具有以下性质
① 非负数有最小值零； ② 非负数之和仍是非负数；
③ 几个非负数之和等手则每个非负数都等于
芈巴-(3运-2省)(3血+ 2石)
v3 -1
例3•计算:
二、题型解析
题型一、有关概念的钢
例4 •下面几个数：1.23
1.010010001 ,
-W064
• 3H
22
7厉
,其中, 无理数的个数有
A 、 【变式 1 1]
A 、
C 、
C 、3 09说法中正确的是（
81
的平方根是士 3
=±1
B 、 2
D 、 4
B 、 D 、
1的立方根是± 1
-后
是的平方根的相反数
址算嬰题
（26 =a
例2.设则下列结论正确的是（
4.5“ <
5.0
题型二、 5.0 B.
c.
5.5 6.0
6.0 D.
