云南省 云南民族中学2020届 高三适应性月考卷(五)数学 (理)试题(含解析)

2020届云南省民族中学高三适应性考试数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|0}2xM x x =≤-，2{|3,}N y y x x R ==-+∈，则M N =I （ ） A ．(0,2) B ．(2,3) C ．[0,2) D ．(0,3] 2.在复平面内，设1z i =+（i 是虚数单位），则2||z z-=（ ） A ． 0 B ． 2 C ．2 D ．43.已知23,0()(),0x x x f x g x x ⎧+≥=⎨<⎩为奇函数，则((1))f g -=（ ）A ． -28B ． -8C ． -4D ． 44.若ABC ∆的内角,,A B C 所对的边,,a b c 满足22()4a b c +-=，且060C =，则ab 的值为（ ） A ．43 B ．843- C. 1 D ．235.如图1的程序框图中，123,,x x x 为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，p 为该题的最终得分，当16x =，29x =，8.5p =时，3x 等于（ ） A ． 7 B ． 8 C. 10 D ．116.如图2，网格纸上正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）A．133B．143C.153D．1637.已知不等式组11x yx yy+≤⎧⎪-≥-⎨⎪≥⎩，表示的平面区域为M，若直线3y kx k=-与平面区域M有公共点，则k的取值范围是（）A．1[0,]3B．1[,0]3- C.1(,]3-∞ D．1(,)3-∞8.已知非零向量,a br r满足||4||b a=r r，且(2)a a b⊥+r r r，则ar与br的夹角为（）A．3πB．2πC.56πD．23π9.在数列{}na中，11a=，121n na a+=+，则10a=（）A．1023 B． 1024 C. 1025 D．51110.函数2cos(2)3y xπ=-的图象向左平移6π个单位，所得图象对应的函数是（）A．值域为[0,2]的奇函数 B．值域为[0,1]的奇函数C. 值域为[0,2]的偶函数 D．值域为[0,1]的偶函数11.已知椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF x⊥轴，若:5:3AB BF=，则椭圆的离心率是（）A．14B．13C.12D．2312.设函数()f x为偶函数，且(1)(1)f x f x+=-，当[0,1]x∈时，2()f x x=，231()2g x x-=-，则函数()()()F x f x g x=-的零点的个数为（）A．3 B． 4 C. 6 D．8第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.计算定积分121||x x dx --=⎰．14.已知{}n a 是等比数列，22a =，516a =，则12231n n a a a a a a ++++=L ．15.已知抛物线22y x =，点P 为抛物线上任意一点，P 在y 轴上的射影为Q ，点(2,3)M ，则PQ 与PM 的长度之和的最小值为 ．16.设()|lg |||f x x =，若0a b <<，且()()f a f b =，则22a b +的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）已知ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，且22,b c 是关于x 的一元二次方程22()0x a bc x m -++=的两根．（1）求角A 的大小；（2）若3a =，设B θ=，ABC ∆的周长为y ，求()y f θ=的最大值． 18. （本小题满分12分）某校,,,A B C D 四门课外选修课的学生人数如下表，现用分层抽样的方法从中选取15人参加学校的座谈会．（1）应分别从,,,A B C D 四门课中各抽取多少名学生；（2）从抽取的15名学生中再随机抽取2人，求这2人的选修课恰好不同的概率；（3）若从,C D 两门课中抽取的学生中再随机抽取3人，用X 表示其中选修C 的人数，求X 的分布列和数学期望．19. （本小题满分12分）如图3，三棱柱111ABC A B C -中，BC ⊥平面11AAC C ，12BC CA AA ===，160CAA ∠=o ．（1）求证：11AC A B ⊥；（2）求直线1A B 与平面1BAC 所成角的正弦值．20. （本小题满分12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，点(0,3)B 为短轴的一个端点，260OF B ∠=o ．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）如图4，过右焦点2F 且斜率为(0)k k ≠的直线l 与椭圆C 相交于E ，F 两点，A 为椭圆的右焦点，直线,AE AF 分别交直线3x =于点,M N ，线段MN 的中点为P ，记直线2PF 的斜率为'k ，求证：'k k •为定值．21. （本小题满分12分）已知函数()(2)xf x ax e =-在1x =处取得极值． （1）求a 值；（2）求函数()f x 在[,1]m m +上的最小值；（3）求证：对任意12,[0,2]x x ∈，都有12|()()|f x f x e -≤．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 过点P ，倾斜角为34π，在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为ρθ=． （1）求l 的参数方程和圆C 的直角坐标方程； （2）设直线l 与圆C 交于点,A B ，求||||PA PB +． 23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()|2|||,f x x x a x R =-+-∈．（1）求证：当8a =-时，不等式lg ()1f x ≥成立；（2）若关于x 的不等式()f x a ≥在R 上恒成立，求实数a 的取值范围．2020届云南省民族中学高三适应性考试数学（理）试题参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）【解析】1．{|02}M x x =<≤，{|3}N y y =≤，[0,2)M N =I ∴，故选C ． 2．由题知，22(1i)1i 1i 2i 1iz z -=-+=---=-+，所以22z z -=，故选C ．3．(1)(1)f g -=-∵，而(1)(1)4f f -=-=-，(1)4g -=-∴，即(4)(4)28f f -=-=-，故选A ． 4．依题意得：22()4a b c +-=①，2222cos60a b c ab ab +-=︒=②，①−②得43ab =，故选A． 5．本题代入数据验证较为合理，显然满足8.5p =的可能为6118.52+=或988.52+=．若311x =，不满足3132||||x x x x -<-，则111x =，计算119102p +==，不满足题意；而若38x =，不满足3132||||x x x x -<-，则18x =，计算898.52p +==，满足题意，故选B ． 6．由三视图可知该几何体为底部是长方体、顶部为正四棱锥的组合体，故选B ．7．如图1所示，画出可行域，直线3y kx k =-过定点(3，0)，由数形结合，知该直线的斜率的最大值为0k =，最小值为011303k -==--，故选B ．8．||4||b a =r r ∵，且(2)a a b +r r r ⊥，(2)0a a b +=r r rg ∴，220a a b +=r r r g ∴， 222||4||cos 0a a a b +=r r r r ∴<,>，1cos ,2a b =-r r ∴<>，2π,3a b =r r <>，故选D ． 9．112(1)n n a a ++=+，12n n a +=∴，即21n n a =-，1010211023a =-=∴，故选A ．10．22π1cos 4π3cos 232x y x ⎛⎫+- ⎪⎛⎫⎝⎭=-= ⎪⎝⎭，左移π6个单位为11cos 422y x =+为偶函数，值域为[0,1]，故选D ． 11．不妨设5AB =，3BF =，则4AF =，22224,3,,a c bab c a +=⎧⎪⎪=⎨⎪⎪+=⎩∴可得14e =，故选A ．12．()f x ∵为偶函数，且(1)(1)f x f x +=-，(1)(1)f x f x --=-∴，()f x ∴为周期函数，周期为2，()g x 为偶函数，可得()f x ，()g x 的图象如图2：()()f x g x =∴有6个根，()()()F x f x g x =-∴有6个零点．故选C ．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）题号 13 14 1516 答案12(41)3n- 3512-(2,)+∞【解析】13．11222110||d ()d ()d x x x x x x x x x ---=-+-=⎰⎰⎰01322310111113223x x x x -⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．14．因为{}n a 是等比数列，22a =，516a =，112a q ==∴，，12231n n a a a a a a ++++=∴ (2)12(14)22242424(41)143n n n--++++==--g g g …． 15．设抛物线的焦点为F ，则1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭，根据题意得12PM PQ PM PF +=+-，所以PM PQ +的最小值为135122MF --=． 16．如图3，0a b <<∵，()()f a f b =，lg()lg()a b -=--∴，lg()lg()0a b -+-=∴，1ab =∴，2222a b ab +>=∴．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）在△ABC 中，依题意有：222b c a bc +=+， ………………………（2分）2221cos 22b c a A bc +-==∴．又(0π)A ∈，，π3A =∴．…………………………………………………………（6分）即π2336y θ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭． ……………………………………………………（10分）由2π03θ<<得：ππ5π666θ<+<，∴当ππ62θ+=，即π3θ=时，max 33y = ……………………………………（12分）18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）应分别从A ，B ，C ，D 四门课中各抽取的学生人数为2，3，4，6人．………………………………………………………………………………（2分）（Ⅱ）这2人的选修课恰好不同的概率为：22223624222215151515C C C C 1C C C C P =----……………………………………………………（4分）1621=． ………………………………………………………………………………（6分）（Ⅲ）根据题意知：0,1,2,3X =．…………………………………………（8分）36310C 20(0)C 120P X ===，1246310C C 60(1)C 120P X ===， 2146310C C 36(2)C 120P X ===，34310C 4(3)C 120P X ===． ……………………………（10分）Ｘ的分布列为：X 0 1 2 3 P201206012036120412020603646()01231201201201205E X =⨯+⨯+⨯+⨯=∴． …………………………（12分）19．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：如图4，连接1CA ． ………………（1分） 1CA AA =∵，∴四边形11AA C C 为菱形，11AC CA ∴⊥． ……………………………………（2分） 11BC AA C C ⊥∵平面，1AC BC ∴⊥， ……………（3分）又1BC CA C =I ∵， ………………………………………………………………（4分） 11AC BCA ∴⊥平面， ………………………………………………………………（5分） 11AC A B ∴⊥．………………………………………………………………………（6分）（Ⅱ）解：如图，建立空间直角坐标系C −xyz ，……………………………………（7分）则(0,0,2)B ，1(3,1,0)A ，(3,1,0)A -，1(0,2,0)C ， 1(3,1,2)BA =-u u u r ∴，(3,1,2)BA =--u u u r ，1(0,2,2)BC =-u u u u r． ………………（8分）设(,,)n x y z =r是平面1BAC 的一个法向量，则 10,0n BA n BC ⎧=⎪⎨=⎪⎩r u u u r g r u u u ur g ⇒320,220.y z y z ⎧--=⎪⎨-=⎪⎩ 令1y =，则1z =，3x = (3,1,1)n =r∴，………………………………………………………………（10分）11110cos ,||||58n BA n BA n BA ===r u u u rr u u u r g r g g ∴<>．∴直线1A B 与平面1BAC 10． ……………………………（12分）20．（本小题满分12分）（Ⅰ）解：由条件知2a =，b =，……………………………………………（2分）故所求椭圆C 的标准方程为22143x y +=． ……………………………………（4分）（Ⅱ）证明：设过点2(1,0)F 的直线l 的方程为：(1)y k x =-．………………（5分）由22(1),143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩可得：2222(43)84120k x k x k +-+-=，……………………（6分）因为点2(10)F ，在椭圆内，所以直线l 和椭圆相交，即0∆>恒成立． 设点11()E x y ，，22()F x y ，，则2122843k x x k +=+，212241243k x x k -=+．…………………………………………（7分）因为直线AE 的方程为：11(2)2yy x x =--，直线AF 的方程为：22(2)2y y x x =--， ………………………………………（8分）令3x =，可得113,2y M x ⎛⎫ ⎪-⎝⎭，223,2y N x ⎛⎫⎪-⎝⎭，所以点P 的坐标为121213,222y y x x ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭．………………………………………（9分）直线2PF 的斜率为12121022231y y x x k ⎛⎫+- ⎪--⎝⎭'=-12121422yy x x ⎛⎫=+ ⎪--⎝⎭12211212122()142()4x y x y y y x x x x +-+=-++g 1212121223()4142()4kx x k x x k x x x x -++=-++g …………………………………………………（10分）222222224128234134343412844244343k k k k k k k k k kk k --+++==---+++g g g g ，所以k k 'g 为定值34-．…………………………………………………………（12分）21．（本小题满分12分）（Ⅰ） 解：()e (2)e (2)e x x x f x a ax ax a '=+-=+-， 由已知得(1)0f '=，即1(22)e 0a -=，解得1a =． 当1a =时，在1x =处函数()(2)e x f x x =-取得极小值， 所以1a =． ………………………………………………………………………（4分） （Ⅱ）解：()(2)e x f x x =-，()e +(2)e (1)e x x x f x x x '=-=-．所以函数()f x 在(1)-∞，上递减，在(1)+∞，上递增． 当1m ≥时，()f x 在[1]m m +，上单调递增，min ()()f x f m =(2)e m m =-； 当01m <<时，11m m <<+，()f x 在[1]m ，上单调递减，在[11]m +，上单调递增，min ()(1)e f x f ==-； 当0m ≤时，+11m ≤，()f x 在[1]m m +，上单调递减，1min ()(1)(1)e m f x f m m +=+=-．综上，()f x 在[,1]m m +上的最小值min 1(2)e ,1,()e,01,(1)e ,0.m m m m f x m m m +⎧-⎪=-<<⎨⎪-⎩≥≤ ……………（8分）（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）知()(2)e x f x x =-，()e +(2)e (1)e x x x f x x x '=-=-，令()0f x '=，得1x =，因为(0)2f =-，(1)e f =-，(2)0f =．所以max ()0f x =，min ()e f x =-，所以，对任意12[02]x x ∈，，，都有12max min |()()|()()e f x f x f x f x --=≤． ……………………………………（12分）22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标与参数方程】解：（Ⅰ）根据题意得l的参数方程为：2,(),xty⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数，………………………………………………………（3分）圆C的直角坐标方程为：220x y+-=．………………………………（5分）（Ⅱ）将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程得：2220⎛⎫⎫⎫++-=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎭⎭，即：210t-+=．…………………………………………………………（7分）设12t t，为此方程的两根，则12t t+=，121t t=，12,0t t>∴，12||||PA PB t t+=+=∴……………………………………………………（10分）23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】（Ⅰ）证明：当8a=-时，()|2||8|,f x x x x=-++∈R，()|2||8|10f x x x=-++∴≥，lg()lg101f x=∴≥，lg()1f x∴≥．………………………………………………………………………（5分）（Ⅱ）解：(),f x a x∈R∵≥时恒成立，2|||,x x a a x-+-∈R∴|≥时恒成立．2||||2|,x x a a x-+--∈R∵|≥，2|a a-∴|≥．1a∴≤．…………………………………………………………………………（10分）。

云南省2020届高三数学适应性考试试题 理（A 卷）本试题卷共23题(含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟.注意事项：1。

答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3。

填空题和解答题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4。

选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5。

考试结束后，请将答题卡上交。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合2{|0}A x xx =+≤，{|ln(21)}B x y x ==+，则AB =（ ）A ．1(,0]2-B ．1[,0]2- C ．1[0,)2D ．1[1,]2--2．已知i 是虚数单位，复数2(12i)-的共轭复数虚部为（ ）A ．4iB ．3C ．4D ．4-3．已知向量(3,2)=a ，(1,1)=-b ,若()λ+⊥a b b ，则实数λ=（ ）A ．12-B ．12C ．1-D ．14．已知(1)nx +的展开式的各项系数和为32，则展开式中4x 的系数为( ）A ．5B ．10C ．15D ．205．已知命题:0p x ∀≥，1xe≥或sin 1x ≤，则p ⌝为（ )A ．0x ∃<，1xe <且sin 1x > B ．0x ∃<，1xe≥或sin 1x ≤ C ．0x ∃≥，1xe<且sin 1x > D ．0x ∃≥，1xe<或sin 1x >6．已知函数()f x 满足(1)(1)f x f x -=+，当(,1]x ∈-∞时，函数()f x 单调递减，设41lo ()g 2a f =，13lo ()g 3b f =，3lo (9)gc f =,则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．c b a <<7．已知一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为（ ）A。

云南民族中学2020届高考适应性月考卷（五）理科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 DDCAADBCCACD【解析】1．∵{|0}A x x =≤，{|1}B x x =≥，∴{|01}A B x x x =U ≤或≥，在数轴上表示如图1，∴(){|01}U A B x x =<<U ð，故选D ． 2．由题图知复数3i z =+，∴3i (3i)(1i)42i 2i 1i 1i (1i)(1i)2z ++--====-+++-，∴表示复数1iz+的点为H ，故选D ．3．由折线图，知月跑步平均里程的中位数为5月份对应的里程数，月跑步平均里程不是逐月增加的，月跑步平均里程高峰期大致在9，10月份，故A ，B ，D 错，故选C ．4．逆用二项式定理得112233C 2C 2C 2C 2C (12)3729n n n n n n n n n +++++=+==…，即633n =，所以6n =，所以12360C C C C 2C 64163n n n n n n ++++=-=-=…，故选A ．5．因为直线3b y x a =+与双曲线的渐近线by x a=平行，所以它与双曲线只有1个交点，故选A ．6．由π1cos 33α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，知π1sin 63α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以2ππ7cos 212sin 369αα⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选D ．7．由题意可得3a =，6b =，2h =，可得12(363366)1263A =⨯⨯+⨯+⨯=⨯，21V =，故程序输出V 的值为21，故选B ．8．如图2所示，由球心作平面ABC 的垂线，则垂足为BC 的中点M ．又1522AM BC ==，1162OM AA ==，所以球O 的半径R OA ==22513622⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故选C ．9．设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，显然1q ≠且0q >，因为423S S =，所以41(1)1a q q--图1图2213(1)1a q q-=-，解得22q =，因为32a =，所以4273228a a q ==⨯=，故选C ．10．设圆上任一点为00()Q x y ，，PQ 的中点为()M x y ，，则004222x x y y +⎧=⎪⎪⎨-+⎪=⎪⎩，，解得00242 2.x x y y =-⎧⎨=+⎩，因为点Q 在圆224x y +=上，所以2204x y +=，即22(24)(22)4x y -++=，化简得22(2)(1)1x y -++=，故选A ．11．因为函数2()2x f x a x =--在区间(1，2)上单调递增，又函数2()2x f x a x=--的一个零点在区间(1，2)内，则有(1)(2)0f f <g ，所以()(41)0a a ---<，即(3)0a a -<，所以03a <<，故选C ．12．由椭圆方程2211612x y +=，可得24c =，所以12||24F F c ==，而1221F F PF PF =-u u u u r u u u u r u u u r ，所以12||F F u u u u r 21||PF PF =-u u u u r u u u r，两边同时平方，得222121122||||2||F F PF PF PF PF =-+u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u u r g ，所以2212||||PF PF +u u u r u u u u r21212||2161834F F PF PF =+=+=u u u u r u u u r u u u u rg ，根据椭圆定义，得12||||28PF PF a +==，222121212(||||)||||2||||64PF PF PF PF PF PF +=++=g ，所以12342||||64PF PF +=g ，所以12||||15PF PF =g ，故选D ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）题号131415 16答案14214n n -2122⎧⎫⎪⎪-⎨⎬⎪⎪⎩⎭，，③④【解析】 13．答案：14．如图3，作出不等式组对应的区域为△BCD ，由题意知1B x =，2C x =，由21y x y x =-+⎧⎨=-⎩，，得12D y =，所以BCD S =△111()224C B x x ⨯-⨯=． 14．答案：214n S n n =-．设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，由259112a a a =-⎧⎨+=-⎩，，得图311112122a d a d +=-⎧⎨+=-⎩，，解得1132a d =-⎧⎨=⎩，，∴152n a n =-+，214n S n n =-． 15．答案：212⎧⎪-⎨⎪⎪⎩⎭，，．由题意知，若0x ≤，则122x =，解得1x =-；若0x >，则21|log |2x =，解得122x =或122x -=，故x 的集合为2122⎧⎪-⎨⎪⎪⎩⎭，，．16．答案：③④．A ，M ，1C 三点共面，且在平面11AD C B 中，但11C AD C B ∉平面，1C AM ∉，因此直线AM 与CC 1是异面直线，同理AM 与BN 也是异面直线，①②错；M ，B ，B 1三点共面，且在平面MBB 1中，但N ∉平面MBB 1，1B MB ∉，因此直线BN 与MB 1是异面直线，③正确；连接D 1C ，因为1D C MN ∥，所以直线MN 与AC 所成的角就是D 1C 与AC 所成的角，且角为60°，所以④正确．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）解：（1）2()sin 23cos 132xf x x ωω=++1cos sin 23132xx ωω+=++πsin 312sin 13x x x ωωω⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭．又函数()f x 的最小正周期为π， 因此2ππω=，∴2ω=，故π()2sin 213f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．令πππ2π22π()232k x k k -++∈Z ≤≤，得5ππππ()1212k x k k -+∈Z ≤≤， 即函数()f x 的单调递增区间为5ππππ()1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，．………………（6分）（2）由题意可知π()2sin 2()3h x x ϕ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦，又()h x 为奇函数，则π2π3k ϕ+=， ∴ππ()26k k ϕ=-∈Z ．∵0ϕ>，∴当1k =时，φ取最小值π3． ………………………………（12分）18．（本小题满分12分）解：（1）解法一：甲的平均成绩为180********835x ++++==；乙的平均成绩为29076759282835x ++++==，甲的成绩方差522111()50.85i i s x x ==-=∑；乙的成绩方差为522211()48.85i i s x x ==-=∑；由于12x x =，2212s s >，乙的成绩较稳定，派乙参赛比较合适，故选乙合适．…………………………………………………………（6分）解法二：派甲参赛比较合适，理由如下：从统计的角度看，甲获得85以上(含85分)的概率135P =， 乙获得85分以上(含85分)的概率225P =， 因为12P P >，故派甲参赛比较合适．……………………………………（6分）（2）5道备选题中学生乙会的3道分别记为a ，b ， c ，不会的2道分别记为E ，F ． 方案一：学生乙从5道备选题中任意抽出1道的结果有a ，b ，c ，E ，F ，共5种， 抽中会的备选题的结果有a ，b ，c ，共3种，所以学生乙可参加复赛的概率135P =； 方案二：学生乙从5道备选题中任意抽出3道的结果有()a b c ，，，()a b E ，，，()a b F ，，，()a c E ，，，()a c F ，，，()a E F ，，，()b c E ，，，()b c F ，，，()b E F ，，，()c E F ，，，共10种，抽中至少2道会的备选题的结果有()a b c ，，，()a b E ，，，()a b F ，，，()a c E ，，，()a c F ，，，()b c E ，，，()b c F ，，，共7种， 所以学生乙可参加复赛的概率2710P =， 因为12P P <，所以学生乙选方案二进入复赛的可能性更大． ………………（12分）19．（本小题满分12分）（1）证明：因为AD ⊥平面BCD ，BC ⊂平面BCD ，所以AD BC ⊥．又因为AC BC ⊥，AC AD A =I ，所以BC ⊥平面ACD ，BC ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面ACD ． ………（5分）（2）由已知可得3CD ， 如图4所示建立空间直角坐标系，由已知(000)C ，，，(020)B ，，，(301)A ，，，(300)D ，，， 3112E ⎫⎪⎪⎝⎭，，． 有3112CE ⎫=⎪⎪⎝⎭u u u r ，，，(301)CA =u u ur ，，，(300)CD =u u u r ，，， 设平面ACE 的法向量为111()n x y z =r，，，有00n CA n CE ⎧⎪⎨=⎪⎩=g g u u u r r u u u r r ，，11111303102x z x y z +=++=⎧⎪⎨⎪，， 令11x =，得(103)n =r，，，设平面CED 的法向量为222()m x y z =r，，， 有222230031002x m CD m CE y z ⎧⎧⎪===+⎪⎨⎨⎪⎩+=⎪u u u u r g u r g r u u u r ，，，， 令21y =，得(012)m =-u r，，， 所以二面角A CE D --的余弦值||||2315cos |25|n m n m θ===r r g ur g u r ．………………（12分）20．（本小题满分12分）解：（1）由题知3c =，又12||||2OP OF OP OF -+-=u u u r u u u r u u u r u u u u r即12||||62F P F P +=u u u r u u u u r∴12||||622PF PF a +=， ∴32a =图4∴2229b a c =-=，∴所求为221189x y +=．…………………………………………………………（5分）（2）由椭圆定义知22||||||4AF BF AB a ++=，又222||||||AB AF BF =+，得4||423AB a ==∵直线l 的方程为3x my =-，∴由223218x my x y =-⎧⎨+=⎩，，得22(2)690m y my +--=， ∴12262m y y m +=+，12292y y m =-+， ∴221212||1()4AB my y y y ++-2222636122m m m m ⎛⎫=++ ⎪++⎝⎭262(1)42m +==∴21m =， ∴1m =±，∴直线l 的方程为3x y =±-， 即30x y -+=或30x y ++=． …………………………………………（12分）21．（本小题满分12分）解：（1）2()1af x x'=-，由导数的几何意义得(2)3f '=，于是8a =-， 由切点(2(2))P f ，在直线31y x =+上，得27b -+=，9b =， 所以函数的解析式为8()9f x x x=-+． ……………………………（4分）（2）2()1a f x x '=-，当0a ≤时，显然2()10af x x '=->，这时函数()f x 在(0)-∞，，(0)+∞，内是增函数， 当0a >时，由方程()0f x '=，得x a = 当()()x a a ∈-∞+∞U ，，时，()0f x '>， 当(0)(0)x a a ∈-U ，，时，()0f x '<， 函数在区间()a -∞，，()a +∞，内是增函数，在区间(0)a ，，(0)a ，内是减函数．………………………………………………………………（8分）（3）由（2）知，()f x 在114⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值为14f ⎛⎫⎪⎝⎭与(1)f 的较大的一个， 不等式()10f x ≤在114⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上恒成立，当且仅当(1)10394411094f b a f b a ⎧⎧-⎪⎪⇒⎨⎨⎛⎫ ⎪⎪⎪-⎩⎝⎭⎩≤，≤，≤≤， 对于任意的122a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，成立，所以74b ≤． ………………………………………………………………（12分）22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（1）由题知直线l 过点(23)P ，，(01)Q ，， ∴1l PQ k k ==，∴直线l 的直角坐标方程为1y x -=，即10x y -+=， ∴直线l 的极坐标方程为cos sin 10ρθρθ-+=．…………………………（5分）（2）点M 的直角坐标为(01)，，曲线C 的直角坐标方程为22230x y x ++-=， 把cos 1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩，代入曲线C 的直角坐标方程，化简得22(sin cos )20t t αα++-=， 点M 是曲线C 截直线l 所得线段的中点， 则l ，即sin cos 0αα+=， 化简可得tan 1α=-， 所以直线l 的斜率为1-．……………………………………………………（10分）23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】 （1）解：∵()|1||2|f x x x =--+， ∴()0f x ≥即|1||2|x x -+≥， ∴22(1)(2)x x -+≥，化简得12x -≤， ∴()0f x ≥的解集为12⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦，．……………………………………………（5分）（2）证明：∵222m n +=，又222m n mn +≥， ∴1mn ≤，又m ，n 为正实数，∴01mn <≤， ∴2m n mn +≥ ∴()2m n mn mn +≥， 即2m n mn +≥显然成立． ………………………………………………（10分）（或用三角代换求证）。

2020届云南师大附中高考适应性月考数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{1,}A y y x x R ==+∈，集合2{1,}B y y x x R ==-+∈，则A B =（ ）A ．{(0,1)}B ．{1}C ．φD ．{0} 2. 已知复数11iz i+=-，则z =（ ） A ．2 BC ．4 D3.已知平面向量,a b 的夹角为045，(1,1)a =，1b =，则a b +=（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D 4.将函数()sin(2)3f x x π=+的图象向左平移6π个单位，所得的图象所对应的函数解析式是（ ）A ．sin 2y x =B ．cos 2y x = C. 2sin(2)3y x π=+D ．sin(2)6y x π=- 5.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2813a a +=，735S =，则8a =（ ） A ．8 B ．9 C.10 D ．116.已知点(,)P x y 在不等式组20020x y x y y -≥⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩，表示的平面区域上运动，则z x y =+的最大值是（ ）A ．4B ．3 C.2 D ．17.从某社区随机选取5名女士，其身高和体重的数据如下表所示：根据上表可得回归直线方程0.6y x a =+，据此得出a 的值为（ ） A ．43.6 B ．-43.6 C.33.6 D ．-33.68.若直线20ax by +-=（0,0a b >>）始终平分圆22222x y x y +--=的周长，则112a b+的最小值为（ ） A ．3224- B ．3222- C. 3222+ D ．3224+ 9.函数()sin lg f x x x =-的零点个数是（ ） A ．2 B ．3 C.4 D ．510.已知,,,,,a b c A B C 分别是ABC ∆的三条边及相对三个角，满足::cos :cos :cos a b c A B C =，则ABC ∆的形状是（ ）A ．等腰三角形B ．等边三角形 C.直角三角形 D ．等腰直角三角形 11.已知正三棱锥S ABC -及其正视图如图 所示，则其外接球的半径为（ ）A ．33 B ．433 C. 536 D ．73612.定义在R 上的偶函数()f x ，当0x ≥时，32()ln(1)xf x e x x =+++，且()()f x t f x +>在(1,)x ∈-+∞上恒成立，则关于x 的方程(21)f x t +=的根的个数叙述正确的是（ ） A ．有两个 B ．有一个 C.没有 D ．上述情况都有可能第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 121()x x+展开式中常数项是 ．14.执行如图所示的程序框图后，输出的结果是 ．（结果用分数表示）15.已知双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）的右焦点为F ，过F 作x 轴的垂线，与双曲线在第一象限内的交点为M ，与双曲线的渐近线在第一象限的交点为N ，满足MN MF =，则双曲线离心率的值是 ．16.设O 是ABC ∆的三边垂直平分线的交点，H 是ABC ∆的三边中线的交点，,,a b c 分别为角,,A B C 的对应的边，已知22240b b c -+=，则AH AO •的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列{}n a 满足11a =，123n n a a +=+（*n N ∈）. （1）求证：数列{3}n a +是等比数列；（2）若{}n b 满足(21)(3)n n b n a =-+，求数列{}n b 的前n 项和n S .18. 某班级体育课举行了一次“投篮比赛”活动，为了了解本次投篮比赛学生总体情况，从中抽取了甲乙两个小组样本分数的茎叶图如图所示.甲 乙（1）分别求出甲乙两个小组成绩的平均数与方差，并判断哪一个小组的成绩更稳定：（２）从甲组成绩不低于60分的同学中，任意抽取3名同学，设ξ表示所抽取的3名同学中得分在[60,70)的学生个数，求ξ的分布列及其数学期望.19. 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1AC 与平面11A ADD 及平面ABCD 所成角分别为030，045，,M N 分别为1AC 与1A D 的中点，且1MN =. （1）求证：MN ⊥平面11A ADD ；（2）求二面角1A AC D --的平面角的正弦值.20. 已知椭圆:C 22221x y a b+=（0,0a b >>）的两个顶点分别为(,0)A a -，(,0)B a ，点P 为椭圆上异于,A B 的点，设直线PA 的斜率为1k ，直线PB 的斜率为2k ，1212k k =-. （1）求椭圆C 的离心率；（2）若1b =，设直线l 与x 轴交于点(1,0)D -，与椭圆交于,M N 两点，求OMN ∆的面积的最大值.21. 设函数2()ln f x x x b x =++（1）若函数()f x 在1[,)2+∞上单调递增，求b 的取值范围； （2）求证：当1n ≥时，5ln ln(1)ln 24n n -+<-请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的参数方程为：2cos 3sin x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为：13x ty t =+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），点(1,0)P ，直线l 与曲线C 交于,A B 两点.（1）分别写出曲线C 在直角坐标系下的标准方程和直线l 在直角坐标系下的一般方程； （2）求11PA PB+的值. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()12f x x x =++-.（1）请写出函数()f x 在每段区间上的解析式，并在图中的直角坐标系中作出函数()f x 的图象； （2）若不等式2122x x a a ++-≥+对任意的实数x 恒成立，求实数a 的取值范围.2020届云南师大附中高考适应性月考数学（理）试题答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）11．由三视图知：三棱锥S ABC-是底面边长为的正三棱锥，设其外接球的半径为R，则有：22)4R R=-+，解得：R=，故选D．12．由题意知：32()e ln(1)xf x x x=+++在(0)+∞，上单调递增，()()f x t f x+>在(1)x∈-+∞，上恒成立，必有2t≥，则(21)f x t+=的根有2个，故选A．13．36122112121C Crrr r rrT xx--+⎛⎫==⎪⎝⎭，3602r-=，解得：4r=，代入得常数项为495．14．该程序执行的是11111111112913248102132481045S⎛⎫=+++=-+-++-=⎪⨯⨯⨯⎝⎭．15．由已知：22||||b bc bFM MNa a a==-，，由||||FM MN=知：22bc ba a=，2c b e==∴，∴．16．2211()3322b cAH AO AB AC AO⎛⎫=+=+⎪⎝⎭，又22240b b c-+=，代入得：AH AO=2221421(4)3226b b bb b⎛⎫-+=-⎪⎝⎭，又22240c b b=-+>，所以02b<<，代入得AH AO的取值范围为23⎛⎫⎪⎝⎭，．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：因为123n n a a +=+，所以132(3)n n a a ++=+， 而11a =，故数列{3}n a +是首项为4，公比为2的等比数列．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得数列{3}n a +是首项为4，公比为2的等比数列，即132n n a ++=，因此123n n a +=-． 所以1(21)2n n b n +=-，2311232(21)2n n S n +=⨯+⨯++-⨯，① 34221232(21)2n n S n +=⨯+⨯++-⨯，②①−②有231222(22)(21)2n n n S n ++-=+++--⨯，所以2(23)212n n S n +=-+．18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）5160626371748182688x +++++++==甲， 5862646669717381688x +++++++==乙，222222222(5168)(6068)(6268)(6368)(7168)(7468)(8168)(8268)8s -+-+-+-+-+-+-+-=甲103=，222222222(5868)(6268)(6468)(6668)(6968)(7168)(7368)(8168)8s -+-+-+-+-+-+-+-=乙45=，所以乙组的成绩更稳定．（Ⅱ）由题意知ξ服从参数为3，3，7的超几何分布，即(337)H ξ，，，ξ的取值可能为：0，1，2，3， 3437C 4(0)C 35P ξ===，214337C C 18(1)C 35P ξ===，124337C C 12(2)C 35P ξ===，3337C 1(3)C 35P ξ===，ξ的分布列为：ξ0 1 2 3 P43518351235135ξ的数学期望：339()77E ξ⨯==． 19．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：在长方体1111ABCD A B C D -中，因为11M N A C A D ，分别为，的中点，所以MN 为1A CD △的中位线， 所以MN ∥CD ，又因为CD ⊥平面11A ADD ， 所以MN ⊥平面11A ADD ．（Ⅱ）解：在长方体1111ABCD A B C D -中，因为CD ⊥平面11A ADD ， 所以1CA D ∠为1A C 与平面11A ADD 所成的角， 即1CA D ∠=30︒，又因为1A A ⊥平面ABCD ，所以1A CA ∠为1A C 与平面ABCD 所成的角， 即145A CA ∠=︒，所以1MN =，2CD =，14A C =，1A A =AC =，如图2，分别以AB ，AD ，1AA 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系A xyz -，∴A(0，0，0)，D(0，2，0)，1(22C ，，，1(00A ，，，C(2，2，0)，B(2，0，0)， 在正方形ABCD 中，BD ⊥AC ，∴BD 是平面1A AC 的法向量，(220)BD =-，，. 设平面1A CD 的法向量为()n x y z =，，，由(200)DC =，，，1(02DA =-，，，所以有202220x y z =⎧⎪⎨-+=⎪⎩，， ∴02x y z =⎧⎪⎨=⎪⎩，，取z=1，得平面1A CD 的一个法向量为(021)n =，，. 设二面角1A A C D --的大小为α，则223|cos |3223α==.∴36sin =α．20．解：（Ⅰ）00()P x y 设，，代入椭圆的方程有：2200221x y a b +=，整理得：2222002()b y x a a =--，又10y k x a=+，20y k x a=-，所以201222012y k k x a ==--，212212b k k a =-=-联立两个方程有，22c e a =解得：．（Ⅱ）由（Ⅰ）知222a b =，又1b =，所以椭圆C 的方程为22121x y +=.设直线l 的方程为：1x my =-，代入椭圆的方程有：22(2)210m y my +--=，设1122()()M x y N x y ，，，， 1212222122m y y y y m m -+==++由韦达定理：，，121||||2OMNS OD y y =-===△所以，(1)t t =≥，则有221m t =-，代入上式有1OMNS t ==△，当且仅当1t =，即0m =时等号成立， 所以OMN △．21．（Ⅰ）解：22()21b x x bf x x x x ++'=++=，当0b ≥时，在12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，上()0f x '≥恒成立，所以()f x 在12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，上单调递增成立， 当0b <时，由220x x b ++=，解得x =易知，()f x在0⎛ ⎝上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增，12≤，解得1b -≥． 综上所述，1b -≥．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，当1b =-时，()f x 在12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，上单调递增， 对任意1n ≥，有112n n +≥成立，所以112n f f n ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭≥，代入()f x 有23ln ln 21114n n n n n n ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭≥，整理得：2223ln 2ln (1)41n n n n n +⎛⎫-- ⎪++⎝⎭≥. 22．解：（Ⅰ）曲线C 的标准方程为：22143x y +=， 直线l0y -=．（Ⅱ）将直线l的参数方程化为标准方程：112()x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，为参数，， 代入椭圆方程得：254120t t +-=，解得12625t t ==-，，所以12114||11||||||3PA PB t t +=+=．23．解：（Ⅰ）12(1)()3(12)21(2)x x f x x x x -<-⎧⎪=-⎨⎪->⎩，≤≤，，函数的图象如图所示．（Ⅱ）由（Ⅰ）知()f x 的最小值是min ()3f x =，所以要使不等式2|1||2|2x x a a ++-+≥恒 成立，有232a a +≥，解之得[31]a ∈-，．。

云南民族中学2020届高考适应性月考卷（五）理科综合参考答案一、选择题：本题共13小题，每小题6分。

二、选择题：本题共8小题，每小题6分。

在每小题给出的四个选项中，第14~18题只有一项符合题目要求；第19~21题有多项符合题目要求，全部选对的给6分，选对但不全的给3分，有选错的给0分。

1．叶绿体内膜不能进行光合作用，不能产生A TP，于类囊体薄膜上进行光合作用的光反应产生ATP，B错误。

2．有丝分裂过程中不会出现基因重组，B错误。

3．肺炎双球菌转化实验和噬菌体侵染细菌实验可证明DNA是遗传物质。

不能证明DNA是主要的遗传物质，A错误。

4．子一代中基因型为BB、Bb个体的数目及比例依次为500、1000和1/3、2/3。

5．不同浓度的生长素对同一植物相同器官的作用效果可能相同。

6．调查蚜虫、跳蝻的种群密度宜采用样方法。

7．水晶的主要成分为二氧化硅，故A错误。

黄铜为合金，不是化合物，故C错误。

丝绸的主要成分为蛋白质，故D错误。

8．HF在标况下为液体，故A错误。

Fe在高温下与水反应生成Fe3O4，0.3mol Fe失电子数应为0.8N A，故B错误。

标准状况压下，1.12L N2与1.12L NH3均为0.05mol，其中每个分子均有三个共价键，但N2分子中为非极性共价键，故C错误。

葡萄糖为五羟基醛，0.1mol分子共0.5mol羟基，故D正确。

9．CH3CH2Cl应由CH2=CH2和HCl发生加成反应来制取，故A错误。

同分异构数目超过3种，故B错误。

两平面有两个交点，可能相交或共平面，故C正确。

硝酸应为浓硝酸，温度也不一定是制取硝基苯的温度，故D错误。

10．SO3与H2O反应是一个非氧化还原反应，所以不能设计为原电池发电，故B错误。

11．a管进NH3不伸入溶液中防倒吸，b管进CO2伸入溶液中充分反应，稀硫酸吸收尾气，故A正确。

干燥管进气应为粗进细出，故B错误。

b管进NH3伸入溶液中会倒吸，故C错误。

2020届云南省名校高考适应性月考统一考试数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}2=680A x N x x ∈-+≤，集合{}=28x B x ≥，则A ∩B ＝（）A ．{3，4}B ．{2，3，4}C ．{2，3}D ．{4} 【答案】A【解析】直接计算出A 、B 两集合，就能求出答案【详解】集合{}2,3,4A =，{|B x x =≥}3，所以{}3,4A B =I .选A ．【点睛】集合的交集运算.属于简单题2．设复数z 满足()1+2i z =，则复平面内z 表示的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】D【解析】由复数的四则运算求出z ，就能判别相应选项.【详解】因为(1i)2z +=，所以22(1i)1i 1i (1i)(1i)z -===-++-，则复平面内表示z 的点位于第四象限.选D ． 【点睛】复数四则运算，属于简单题.3．已知正项等比数列{}n a 中，234a a a ⋅=,若331S =，则n a ＝（）A ．2•5nB ．2•-15nC ．5nD ．-15n 【答案】D【解析】考查等比数列的定义，通过234a a a ⋅=,331S =就可以求出数列通项公式.【详解】 由234·a a a =得23111·a q a q a q =，即211a a =，解得11a =.又因为3S =12331a a a ++=，即2131q q ++=，解得5q =，所以15n n a -=.选D ．考查等比数列定义，属于简单题.4．设a ＝0.60.6，b ＝log 0.61.5，c ＝1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a【答案】C【解析】这是三个不同类型的数字，所以和中间值0和1比较大小，从而得到,,a b c 的大小关系.【详解】解析：因为0.6000.60.61a <=<<，0.60.6log 1.5log 10b =<<，0.601.5 1.51c =>>，所以b a c <<，选C .【点睛】本题考查了指数和对数比较大小，一般同类型的数按单调性比较大小，或是和中间值0，1比较大小. 5．若平面单位向量a r ，b r ，c r 不共线且两两所成角相等，则a b c ++r r r =（）AB ．3C ．0D ．1 【答案】C【解析】首先判断向量两两所成的角为120o ，再根据a b c ++=r r r .【详解】 解析：设向量,a b r r 两两所成的角为θ ，则平面不共线向量a r ，b r ，c r 的位置关系只有一种，即两两所成的角为120o ，所以120θ=o .a b c ++===r r r 当120θ=o 时，0a b c ++=r r ，选C .【点睛】本题考查了向量数量积的运算，本题的关键是确定向量两两所成的角是120o ，意在考查向量数量积求模的基本知识.6．棱长为4的正方体的所有棱与球O 相切，则球的半径为（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】考查几何体与球相切的问题，常见的有外接、内切和本题的棱相切.因为球O 与正方体的所有棱相切，所以该球的直径等于正方体的面对角线长.设球的半径为R ，则2R =R =选C .【点睛】考查几何体与球相切的问题，常见的有外接、内切和本题的棱相切.多画图找关系.7．函数()2cos f x x x =⋅在22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，的图象大致是()n n A. B.C. D.【答案】C【解析】分析：利用函数的奇偶性，排除选项，再取特殊值判断即可.详解：由于()()f x f x -=，故函数为偶函数,排除,A B 两个选项. 当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()22cos sin f x x x x x -'=，令22cos sin 0x x x x -=，可得tan 2x x =，方程的解4x π>，即函数的极大值点4x π>，排除D.故选C ：.点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．8．为计算11111123499100S =-+-++-…，设计了下面的程序框图，则在空白框中应填入A ．1i i =+B ．2i i =+C ．3i i =+D ．4i i =+【答案】B【解析】分析：根据程序框图可知先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减.因此累加量为隔项. 详解：由11111123499100S =-+-+⋯+-得程序框图先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减.因此在空白框中应填入2i i =+，选B.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.9．下边茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中有一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是（ ）A ．45B ．25C ．910D ．710【答案】A【解析】试题分析：记其中被污损的数字为x ，由题知甲的5次综合测评的平均成绩是1(80290389210)905⨯⨯+⨯+++++=，乙的5次综合测评的平均成绩是1442(8039023379)55x x +⨯⨯+⨯+++++=，令442905x +>，解得8x <，即x 的取值可以是07~，因此甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是84105=. 【考点】茎叶图和古典概型的求法.10．古希腊数学家阿波罗尼奧斯（约公元前262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k （k ＞0，k ≠1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，设A （﹣3，0），B （3，0），动点M 满足MA MB ｜｜｜｜＝2，则动点M 的轨迹方程为（） A ．（x ﹣5）2+y 2＝16B ．x 2+（y ﹣5）2＝9C ．（x +5）2+y 2＝16D ．x 2+（y +5）2＝9 【答案】A【解析】首先设(),M x y ，代入两点间的距离求MA 和MB ，最后整理方程.【详解】解析：设(),M x y ，由2MA MB =，得()()2222343x y x y ++=-+，可得：（x +3）2+y 2＝4（x ﹣3）2+4y 2，即x 2﹣10x +y 2+9＝0整理得()22516x y -+=，故动点M 的轨迹方程为()22516x y -+=.选A .【点睛】本题考查了轨迹方程的求解方法，其中属于直接法，一般轨迹方程的求解有1.直接法，2.代入法，3.定义法，4.参数法. 11．设函数222cos ()2()x x e f x x e ππ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭=+的最大值为M ，最小值为m ，则()20191M m +-的值是（） A ．1B ．2C ．22019D ．32019【答案】A【解析】将函数()f x 构造为()f x =奇函数+常数形函数.【详解】22222cos (e)sin 2e 2()1e e x x x x f x x x πππ⎛⎫-++ ⎪+⎝⎭==+++，设22sin 2e ()e x x g x x π+=+，则()g x 为奇函数，故max min ()()0g x g x +=，则2M m +=，所以2019(1)1M m +-=.选A .【点睛】一般像这种较为复杂函数求最大值与最小值和相关问题，常会考虑函数本身或者能否构建成奇偶函数相关问题.12．棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别是AB ，AD ，B 1C 1的中点，那么正方体内过E ，F ，G 的截面面积为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】正方体截面的考查，可以通过正方体的结构画图可以完成【详解】的正六边形，其面积为26＝.选B .【点睛】通过正方体的机构特征，多画图，将三点所构成的平面去和正方体的棱判断交点位置.二、填空题13．曲线y ＝x 2+lnx 在点（1，1）处的切线方程为_____．【答案】320x y --=【解析】首先求1x =处的导数，再根据切线公式()()000y y f x x x '-=-求切线方程.【详解】 解析：12y x x'=+，在点（1，1）处的切线斜率为3，所以切线方程为320x y --=. 【点睛】本题考查了导数的几何意义求切线方程，属于简单题型.14．在公差为3的等差数列{a n }中，a 1，a 3，a 11成等比数列，则数列{a n }的前n 项和S n ＝_____ 【答案】232n n + 【解析】考查等差数列的定义，通过指定的三项的等量关系及公差的值求出1a ，从而能完成本题.【详解】由题意得23111·a a a =，即()()21116?30a a a +=+，解得12a =，所以31n a n =-，所以()21322n n a a n n n S ++==. 【点睛】考查利用等差数列的定义求其通项公式，进而求前n 项和.15．甲队和乙队进行乒乓球决赛，采取七局四胜制（当一队贏得四局胜利时，该队获胜，决赛结束）根据前期比赛成绩，甲队每局取胜的概率为0.8．且各局比赛结果相互独立，则甲队以4：1获胜的概率是_____ 【答案】10243125【解析】直接利用二项分布公式的，但是要注意实际问题4:1不能简单的二项分布.【详解】甲队以4∶1获胜时共进行了5局比赛，其中甲队在前4局中获胜3局，第5局必胜，则概率314144C 555P ⎛⎫=⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭=10243125. 【点睛】本题属于易错题，高考中就出现过，4:1获胜是需要前4场3胜一负，并且第五场赢下.16．已知双曲线2222:1?(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，双曲线C 与过原点的直线相交于A 、B 两点，连接AF ，BF ．若6AF =，8BF =，3cos 5BAF ∠=，则该双曲线的离心率为 ． 【答案】5e =【解析】试题分析：6AF =，8BF =，3cos 5BAF ∠=，由余弦定理可求得10AB =，90BFA ∠=︒，将A ，B 两点分别与双曲线另一焦点连接，可以得到矩形，结合矩形性质可知，210c =，利用双曲线定义，2862a =-=，所以离心率5e =．【考点】双曲线的定义，双曲线的离心率，余弦定理．三、解答题17．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若23cos 3cos cos 0a B b B A c +-=（1）求cos B ;（2）若2,3sin 2sin AB A B ==,求△ABC 的面积．【答案】（1）1cos 3B =（2）9【解析】本题考查了三角形中正余弦定理的应用.(1)通过条件用正弦定理，将所有边的形式化成角的形式.(2)将条件中3sin 2sin A B =化成边的关系，最后选择余弦定理求另外边，最后再用面积公式.【详解】解：（1）23cos 3cos cos 3cos (cos cos )0a B b B A c B a B b A c +-=+-=，由正弦定理，有3cos (sin cos cos sin )sin 0B A B A B C +-=，即3cos sin sin 0B C C -=，所以1cos 3B =.（2）因为1cos 3B =，所以sin 3B =.又3sin 2sin A B =，所以32a b =.根据余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得43a =，2b =，所以ABC △的面积为1sin 2S ac B ==. 【点睛】 本题单一的考查了正余弦定理，属于简单题.18．如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝BC ＝2，P 为AB 边上一动点，PD ∥BC 交AC 于点D ，现将△PDA 沿PD 翻折至△PDA 1，E 是A 1C 的中点．（1）若P 为AB 的中点证明：DE ∥平面PBA 1．（2）若平面PDA 1⊥平面PDA ，且DE ⊥平面CBA 1，求二面角P ﹣A 1D ﹣C 的正弦值．【答案】（1）详见解析（2）3【解析】（1）通过线线平行去得到线面平行，这也是线面平行证明中十分重要的手段.（2）利用空间向量求二面角的平面角的正弦值，向量法做题，一定要细心运算.【详解】（1）证明：取1A B 的中点F ，连接EF ，PF .因为P 为AB 的中点且//PD BC ,所以PD 是△ABC 的中位线.所以PD //BC ，且PD ＝12BC . 又因为E 是1A C 的中点,且1A B 的中点为F ,所以EF 是△1A BC 的中位线,所以EF //BC ，且EF ＝12BC ,所以PD 与EF 平行且相等, 所以四边形PDEF 是平行四边形,所以//DE PF .因为PF ⊂平面1PBA ，DE ⊄平面1PBA ，所以//DE 平面1PBA .（2）解：因为DE ⊥平面1CBA ，所以1DE A C ⊥.又因为E 是1A C 的中点，所以1A D DC DA ==，即D 是AC 的中点.由//PD BC 可得，P 是AB 的中点.在ABC △中,90B =o ∠，//PD BC ，PDA V 沿PD 翻折至1PDA V ，且平面1PDA ⊥平面PDA ， 利用面面垂直的性质可得1PA ⊥平面PBCD ，以点P 为原点建立坐标系如图所示，则1(0,0,1)A ，(0,1,0)D ，(1,2,0)C -，1(0,1,1)A D =-u u u u r ，(1,1,0)CD =-u u u r . 设平面1A DC 的法向量为(,,)n x y z =r， 有10,·0,(1,1,1)0·0x y n CD n y z n A D ⎧-==⎧⎪⇒⇒=⎨⎨-==⎪⎩⎩u u u v r r u u u u v r ， 容易得到平面1A PD 的法向量(1,0,0)m =r，设二面角1P A D C --的大小为θ，有cos cos ,n m θ===r r ，所以sin 3θ=. 【点睛】证明线面平行，一般三种途径:找线线平行、找面面平行、利用空间向量，第一种方法用的较多. 利用空间向量求相关夹角或者距离问题，运算要格外注意.19．某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照题目要求独立完成.规定：至少正确完成其中2道题的便可通过.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是23，且每题正确完成与否互不影响. （1）分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列及数学期望；（2）请分析比较甲、乙两人谁面试通过的可能性大？【答案】（1)详见解析；（2)甲获得面试通过的可能性大【解析】试题分析：（1）确定甲、乙两人正确完成面试题数的取值，求出相应的概率，即可得到分布列，并计算其数学期望；（2）确定Dξ＜Dη，即可比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性大．试题解析：（1）设甲正确完成面试的题数为ξ，则ξ的取值分别为1，2，3()124236115C C P c ξ===；()214236325C C P c ξ===；()304236135C C P c ξ===；应聘者甲正确完成题数ξ的分布列为()1311232555E ξ=⨯+⨯+⨯=设乙正确完成面试的题数为η，则η取值分别为0，1，2，3()()3120133112160;13273327P C P C ηη⎛⎫⎛⎫⎛⎫====== ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()()2323332112282,33327327P C P C ηη⎛⎫⎛⎫⎛⎫====== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 应聘者乙正确完成题数η的分布列为：()161280123227272727E η=⨯+⨯+⨯+⨯=. （或∵23,3B η⎛⎫~ ⎪⎝⎭∴()2323E η=⨯=） （2）因为()()()()22213121222325555D ξ=-⨯+-⨯+-⨯=， ()()213D np p η=-=所以()()D D ξη<综上所述，从做对题数的数学期望考查，两人水平相当；从做对题数的方差考查，甲较稳定；从至少完成2道题的概率考查，甲获得面试通过的可能性大 20．已知点M （x ，y=（1）求点M 的轨迹E 的方程；（2）设过点N （﹣1，0）的直线l 与曲线E 交于A ，B 两点，若△OAB 的面积为23（O 为坐标原点）．求直线l 的方程．【答案】（1）2212x y +=（2）10x y -+=或10x y ++=【解析】（1）根据几何意义可知，点M 满足动点M 到定点()()1,0,1,0-的距离和为2>，所以点M 满足椭圆的定义，写出轨迹方程；（2）首先分直线l 与x 轴垂直和x 轴不垂直两种情况讨论，当斜率存在时，()1y k x =+与椭圆方程联立，设交点()11,A x y ，()22,B x y ，根据条件可知1212123S y y =⨯⨯-=43=，利用根与系数的关系求k ，即得直线l 的方程. 【详解】解：（1）由已知，动点M 到点()1,0P -，()1,0Q 的距离之和为且PQ <M 的轨迹为椭圆.而a =1c =，所以1b =，所以动点M 的轨迹E 的方程为2212x y +=.（2）当直线l与x 轴垂直时，1,A ⎛-⎝⎭，B ⎛- ⎝⎭，此时AB =则112OAB S ==V ，不满足条件． 当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为()1y k x =+，由()221,12y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩得()2222124220k x k x k +++-=， 所以2122412k x x k +=-+，21222212k x x k -=+.而121211·22OAB S ON y y y y =-=-V ， 由23OABS =V 得1243y y -=.12y y -=又所以()22222441612912k k k k +=++，则4220k k +-=，所以1k =±， 所以直线l 的方程为10x y -+=或10x y ++=． 【点睛】本题考查了定义法求曲线方程和直线与圆锥曲线的位置关系的综合问题，意在考查转化与化归和逻辑推理和计算能力的考查， 直线与椭圆相交时，时常把两个曲线方程联立，消去x 或y 建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系. 21．已知函数f （x ）＝ax ﹣cosx ，a ≠0．（1）若函数f （x ）为单调函数，求a 的取值范围； （2）若x ∈[0，2π]，求：当a ≥23π时，函数f （x ）仅有一个零点． 【答案】（1）1a ≤-或1a ≥（2）详见解析【解析】（1）首先求函数的导数，()sin f x a x '=+，当函数单调递增时()0f x '≥恒成立，当函数单调递减时，()0f x '≤恒成立；（2）根据（1）可知当1a ≥时，函数单调递增，根据零点存在性定理可知只有一个交点，当01a <<时，可得函数存在两个极值点，1233,22x x ππππ<<<<，根据单调性可判断，()111cos f x ax x =-是极大值，()222cos f x ax x =-是极小值，因为()010f =-<，()10f x >，若函数只有一个零点，只需满足()20f x >，即可求得a 的取值范围. 【详解】（1）解：由()cos f x ax x =-，可得()sin f x a x =+',x R ∈. 因为1sin 1x -≤≤，所以当1a ≥时，()sin 0f x a x '=+≥，()f x 为R 上的单调增函数； 当1a ≤-时，()sin 0f x a x '=+≤，()f x 为R 上的单调减函数. 综上，若函数()f x 为单调函数，则1a ≤-或1a ≥.（2）证明：当1a ≥时，由（1）可知()f x 为R 上的单调增函数. 又()01f =-，022a f ππ⎛⎫=>⎪⎝⎭所以函数()f x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭有且仅有一个零点，满足题意. 当01a <<时，令()sin 0f x a x '=+=，则sin x a =-.由于02πx ≤≤，所以1sin 1x -≤≤， 从而必有1x ，[]20,2πx ∈，使1sin x a =-，且2sin x a =-. 不妨设12x x <，且有13ππ2x <<，23π2π2x <<， 所以当()10,x x ∈时，()sin 0f x a x '=+>，()f x 为增函数； 当()12,x x x ∈时，()sin 0f x a x '=+<，()f x 为减函数； 当()2,2πx x ∈时，()sin 0f x a x '=+>，()f x 为增函数.从而函数()f x 的极大值为()111cos f x ax x =-，极小值为()222cos f x ax x =-. 因为13ππ2x <<，所以1cos 0x <，从而极大值()111cos 0f x ax x =->. 又()01f =-，要使函数()f x 仅有一个零点，则极小值()222cos 0f x ax x =->， 所以()22222cos 0f x ax x ax ax =-==>，即a >.21x <，23π2π2x <<， 所以当23πa ≥时，函数()f x 仅有一个零点. 【点睛】本题考查了利用函数的单调性和零点问题求参数的取值范围，利用导数研究函数的单调性，极值和最值，以及零点存在的问题，考查学生逻辑推理和转化的思想，本题的第二问是一个证明题，可转化为已知函数有一个零点求参数的取值范围.22．在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．直线l 的极坐标方程为ρcosθρsinθ＝3． （1）求直线l 的直角坐标方程；（2）求曲线C 上的点到直线l 距离的最大值． 【答案】（1）30x +-=（2）3【解析】（1）根据转化公式可知cos ,sin x y ρθρθ==，代入求得直线的直角坐标方程；（2）设曲线上的任意一点的坐标为),sin θθ，代入点到直线的距离d =，利用三角函数的范围求得d 的最大值. 【详解】解：（1）直线l的直角坐标方程为30x +-=. （2）设曲线C上点的坐标为),sin θθ，则曲线C 上的点到直线l 的距离d ==sin 14πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，d 取得最大值，所以max d = 【点睛】本题考查了直线的极坐标方程和直角坐标方程的转化，以及考查坐标变换和点到直线的距离公式，利用三角函数求函数的最值，属于简单题型.23．已知a ，b ，c ，d 为正数，且满足abcd ＝1，证明： （1）（a +b ）（b +c ）（c +d ）（d +a ）≥16； （2）22221111a b c d ab bc cd ad+++≤+++． 【答案】（1）详见解析（2）详见解析【解析】（1）利用基本不等式，a b +≥，b c +≥，c d +≥，d a +≥四个式子相乘即可得到正确结果；（2）首先等式左边变形为1111abcd cd ad ab bc ab bc cd ad ⎛⎫+++=+++ ⎪⎝⎭，再利用基本不等式证明. 【详解】证明：（1）因为a b c d ,,,为正数，所以a b +≥，b c +≥，c d +≥d a +≥（当且仅当a b c d ===时等号同时成立），所以()()()()16a b b c c d d a abcd ++++≥=. 又1abcd =，所以()()()()16a b b c c d d a ++++≥(当且仅当a =b =c =d 时等号成立). (2)因为1abcd =，所以11111111abcd cd ad ab bc ab bc cd ad ab bc cd ad ⎛⎫+++=+++=+++ ⎪⎝⎭. 又()()()()()22222222222222222a b c da b b c c d d a ab bc cd da +++=+++++++≥+++(当且仅当a b c d ===时等号成立)，所以()2222111122a b c d ab bc cd ad ⎛⎫+++≥+++⎪⎝⎭， 即22221111a b c d ab bc cd ad+++≤+++(当且仅当a =b =c =d 时等号成立). 【点睛】本题考查了不等式的证明，重点考查了基本不等式的应用，意在考查等价转化思想和逻辑推理能力.。

数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项符合要求.）1．已知集合{}2230A x Z x x =∈--<，则A 的真子集的个数为（） A ．5B ．6C ．7D ．82．设i 是虚数单位，若复数()1az i a R i=+∈+是实数，则a 的值为（） A ．2-B ．1-C ．1D ．23． 命题“0||,2≥+∈∀x x R x ”的否定是（） A ．0||,2<+∈∀x x R x B ．0||,2≤+∈∀x x R x C ．0||,2000<+∈∃x x R x D ．0||,2000≥+∈∃x x R x 4．已知sin 5α=，则44sin cos αα-的值为（） A ．35-B ．15-C ．51D ．535．设变量,x y 满足约束条件2030230x x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则目标函数6z x y =+的最大值为（）A ．3B ．4C ．18D ．406．已知双曲线()2222100x y C a b a b-=：＞，＞的焦距为(1,2)-，则此双曲线的方程为（）A ．2214x y -=B ．2214y x -=C ．221416x y -=D ．221164x y -=7．已知,a b 为不共线的两个单位向量，且a 在b 上的投影为12-，则|2|a b -=() ABCD8．中国古代数学名著《九章算术》中,将底面是直角三角形的直棱柱称为“堑堵”。

已知某“堑堵”的正视图和俯视图如下图所示,则该“堑堵”的左视图的面积为（） A 2722B ．182C ．183D ．1869．法国有个名人叫做布莱尔·帕斯卡，他认识两个赌徒，这两个赌徒向他提出一个问题，他们说，他们下赌金之后，约定谁先赢满5局，谁就获得全部赌金700法郎，赌了半天，甲赢了4局，乙赢了3局，时间很晚了，他们都不想再赌下去了.假设每局两赌徒输赢的概率各占12，每局输赢相互独立，那么这700法郎如何分配比较合理（） A ．甲400法郎，乙300法郎 B ．甲500法郎，乙200法郎 C ．甲525法郎，乙175法郎D ．甲350法郎，乙350法郎10．已知函数()22cos 2sin 266f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．则关于它有关性质的说法中不正确的是（） A ．周期为π B ．将其图象向右平移6π个单位,所得图象关于y 轴对称 C ．对称中心为3(,)1222k ππ+（k Z ∈） D ．0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减11．已知函数22log ,1()1,1x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩，则()(1)f x f x <+的解集是（） A ．(1,)-+∞B ．(1,1)-C ．1(,)2-+∞D ．1(,1)2-12．上，下两面为平行矩形的六面体ABCD EFGH -有外接球，且26AB =22AD =15EH =5EF =，平面ABCD 与平面EFGH 间的距离为1，则该六面体外接球的体积为（）A ．12πB ．24πC ．36πD ．48π第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.） 13．若曲线ln y x x P =上点处的切线平行于直线210,x y P -+=则点的坐标是_______．14．设常数a R ∈，若52a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中第二项的系数为10-，则a =_______． 15．直线l 过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F ，交抛物线C 于点A （点A 在x 轴上方），过点A 作直线2px =-的垂线，垂足为M ，若垂足M 恰好在线段AF 的垂直平分线上，则直线l 的斜率为_______．16．ABC ∆是等边三角形，点D 在边AC 的延长线上，且3AD CD =，BD =CD =______；sin ABD ∠=______.三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）17．（本小题满分12分）为了调查某社区居民每天参加健身的时间，某机构在该社区随机采访男性、女性各50名，其中每人每天的健身时间不少于1小时称为“健身族”，否则称其为"非健身族”，调查结果如下：（1）若居民每人每天的平均健身时间不低于70分钟，则称该社区为“健身社区”.已知被随机采访的男性健身族，男性非健身族，女性健身族，女性非健身族每人每天的平均健分时间分別是1.2小时，0.8小时，1.5小时，0.7小时，试估计该社区可否称为“健身社区”？ （2）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过5%的情况下认为“健身族”与“性别”有关？参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+=+.参考数据：()20P K k ≥0.50 0.40 0.25 0.05 0.025 0.0100k0.455 0.708 1.321 3.840 5.024 6.63518．（本小题满分12分）已知数列{}n a 是等比数列，24a =，32a +是2a 和4a 的等差中项． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设22log 1n n b a =-，求数列{}n n a b 的前n 项和n T ． 19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60,2,ABC PA PB AB ∠=︒===点N 为AB的中点，平面PAB ⊥平面ABCD . （1）证明：AB PC ⊥；（2）设点M 在线段PD 上，且//PB 平面MNC ，求二面角M NC P --的大小.20.（本小题满分12分）设2()ln f x x ax bx =++（其中,a b 为常数且0a ≠）在1x =处取得极值.（1）当1a =时，求()f x 的单调区间；（2）已知()f x 在(0,]e 上的最大值为1，求实数a 的值21．（本小题满分12分）已知A ，B 是椭圆C ：22132x y +=上的两点，线段AB 的中点在直线1x =-上.（1）当直线AB 的斜率k 存在时，求实数k 的取值范围；（2）设F 是椭圆C 的左焦点，若椭圆C 上存在一点P ，使FA FB PF +=，求FA FB -的值.请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.注意所做题目的题号必须与所涂题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题.如果多做，则按所做的第一题计分.22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】在数学中，有多种方程都可以表示心型曲线，其中有著名的笛卡尔心型曲线.如图，在直角坐标系中，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系。

2020年高考（理科）数学三诊（5月份）一模试卷一、选择题（共12小题）1．已知集合A ＝{x |x ＜﹣1或x ＞2}，B ＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，则A ∩B ＝（ ） A ．{﹣3，﹣2} B ．{2，3}C ．{﹣3，﹣2，3}D ．{﹣3，﹣2，2，3}2．若复数z 满足（1+2i ）z ＝5i ，则z ＝（ ） A ．2+iB ．2﹣iC ．﹣2+iD ．﹣2﹣i3．在正项等比数列{a n }中，若a 1＝1，a 3＝a 2+2，S n 为其前n 项的和，则S 6s 3=（ ）A ．6B ．9C ．12D ．154．若夹角为120°的向量a →与b →满足|a →+b →|＝|b →|＝2，则|a →|＝（ ）A ．1B ．2C ．2√3D ．45．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．6π7B ．πC ．7π6D ．2π6．执行如图所示的程序框图，则输出的T ＝（ ）A．32B．127C．53D．857．已知圆C：（x﹣1）2+y2＝r2（r＞1）与x轴负半轴的交点为M，过点M且斜率为2的直线1与圆C的另一个交点为N，若MN的中点P恰好落在y轴上，则|MN|＝（）A．52B．√52C．54D．√548．若直线y＝x与曲线y＝lnx+ax相切，则a＝（）A．1eB．−1e C．1e−1D．1−1e9．抛物线上任意两点A、B处的切线交于点P，称△PAB为“阿基米德三角形”．当线段AB经过抛物线焦点F时，△PAB具有以下特征：①P点必在抛物线的准线上；②△PAB为直角三角形，且PA⊥PB③PF⊥AB．若经过抛物线y2＝4x焦点的一条弦为AB，阿基米德三角形为△PAB，且点P的纵坐标为4，则直线AB的方程为（）A．x﹣2y﹣1＝0B．2x+y﹣2＝0C．x+2y﹣1＝0D．2x﹣y﹣2＝0 10．已知函数f（x）＝x3+3x，若对任意t∈[﹣1，1]不等式f（2t2﹣m）+f（t）≥0恒成立，则实数m的取值范围是（）A．m≤1B．m≤−12C．m≤−14D．m≤−1811．已知正四棱锥P﹣ABCD的高为2，AB=2√2，过该棱锥高的中点且平行于底面ABCD 的平面截该正四棱锥所得截面为A1B1C1D1，若底面ABCD与截面A1B1C1D1的顶点在同一球面上，则该球的表面积为（）A．20πB．20π3C．4πD．4π312．如图，某公园内有一个半圆形湖面，O 为圆心，半径为1千米，现规划在△OCD 区域种荷花，在△OBD 区域修建水上项目．若∠AOC ＝∠COD ，且使四边形OCDB 面积最大，则cos ∠AOC ＝（ ）A ．√17−18B ．√33−18C ．√17−16D ．√33−16二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分） 13．能说明命题“∀x ∈R 且x ≠0，x +1x≥2”是假命题的x 的值可以是 ．（写出一个即可）14．已知F 是双曲线M ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，点P 在M 上，O 为坐标原点，若|OP|=2b ，∠POF =π3，则M 的离心率为 ．15．河图洛书是中国古代流传下来的神秘图案，被誉为“宇宙魔方”，九宫格源于河图洛书．如图是由9个单位正方形（边长为1个单位的正方形）组成的九宫格，一个质点从A 点沿单位正方形的边以最短路径运动到B 点，共有C 63种不同的路线，则在这些路线中，该质点经过p 点的概率为 ．16．定义域为R 的偶函数f （x ）满足f （1+x ）+f （1﹣x ）＝0，当x ∈[0，1）时，f(x)=sin πx2，给出下列四个结论： ①|f （x ）|＜1；②若f （x 1）+f （x 2）＝0，则x 1+x 2＝0③函数f （x ）在（0，4）内有且仅有3个零点；④若x 1＜x 2＜x 3，且f （x 1）＝f （x 2）＝f （x 3），则x 3﹣x 1的最小值为4． 其中，正确结论的序号是 ．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1，底面ABC为等边三角形，侧棱AA1⊥平面ABC，D为CC1中点，AA1＝2AB，AB1和A1B交于点O．（1）证明：OD∥平面ABC；（2）求AB与平面A1BD所成角的正弦值．18．2020年1月，教育部《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》印发，自2020年起，在部分高校开展基础学科招生改革试点（也称“强基计划”）．强基计划聚焦高端芯片与软件、智能科技、新材料、先进制造和国家安全等关键领域以及国家人才紧缺的人文社会科学领域，选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生．新材料产业是重要的战略性新兴产业，如图是我国2011﹣2019年中国新材料产业市场规模及增长趋势图．其中柱状图表示新材料产业市场规模（单位：万亿元），折线图表示新材料产业市场规模年增长率（%）．（1）求从2012年至2019年，每年新材料产业市场规模年增长量的平均数（精确到0.1）；（2）从2015年至2019年中随机挑选两年，求两年中至少有一﹣年新材料产业市场规模年增长率超过20%的概率；（3）由图判断，从哪年开始连续三年的新材料产业市场规模的方差最大．（结论不要求证明）19．△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin2B+sin2C＝sin2A+sin B sin C．（1）求A；（2）从三个条件：①a=√3②b=√3③△ABC的面积为√3中任选一个作为已知条件，求△ABC周长的取值范围．20．已知函数f(x)=ax−(a+2)lnx−2x(a＞0)．（1）讨论f（x）的单调性；（2）设g（x）＝f（x）﹣lna，若g（x）存在两个极值点x1，x2，求g（x1）+g（x2）的最小值．21．椭圆规是画椭圆的一种工具，如图1所示，在十字形滑槽上各有一个活动滑标M，N，有一根旋杆将两个滑标连成一体，|MN|＝4，D为旋杆上的一点，且在M，N两点之间，且|ND|＝3|MD|，当滑标M在滑槽EF内作往复运动，滑标N在滑槽GH内随之运动时，将笔尖放置于D处可画出椭圆，记该椭圆为C．如图2所示，设EF与GH交于点O，以EF所在的直线为x轴，以GH所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．（1）求椭圆C的方程；（2）设A1，A2是椭圆C的左、右顶点，点P为直线x＝6上的动点，直线A1P，A2P分别交椭圆于Q，R两点，求四边形A1QA2R面积的最大值．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．并用铅笔在答题卡选考题区域内把所选的题号涂黑．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4--4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为{x=12−√22t，y=32+√22t（t为参数），以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l的极坐标方程；（2）设动点M的极坐标为（ρ，θ），射线OM与直线l相交于点A，且满足|OA|•|OM|＝4，求点M轨迹的极坐标方程．[选修4--5：不等式选讲]23．已知f（x）＝2|x+1|+|x﹣1|．（1）解不等式f（x）≤4；（2）设f（x）的最小值为m，实数a，b，c满足a2+b2+c2＝m，证明：|a+b+c|≤√6．参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A ＝{x |x ＜﹣1或x ＞2}，B ＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，则A ∩B ＝（ ） A ．{﹣3，﹣2} B ．{2，3}C ．{﹣3，﹣2，3}D ．{﹣3，﹣2，2，3}【分析】利用交集定义直接求解．解：∵集合A ＝{x |x ＜﹣1或x ＞2}，B ＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}， ∴A ∩B ＝{﹣3，﹣2，3}． 故选：C ．【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．若复数z 满足（1+2i ）z ＝5i ，则z ＝（ ） A ．2+iB ．2﹣iC ．﹣2+iD ．﹣2﹣i【分析】通过分母实数化，求出z 即可． 解：∵z 满足（1+2i ）z ＝5i ， ∴z =5i1+2i =5i(1−2i)(1+2i)(1−2i)=2+i 故选：A ．【点评】本题考查了复数的运算，熟练掌握运算性质是解题的关键，本题是一道基础题． 3．在正项等比数列{a n }中，若a 1＝1，a 3＝a 2+2，S n 为其前n 项的和，则S 6s 3=（ ）A ．6B ．9C ．12D ．15【分析】先由a 1＝1，a 3＝a 2+2求出公比q ，再利用前n 项的和公式求出结果．解：设正项等比数列{a n }的公比为q ，则 q ＞0．∵a 1＝1，a 3＝a 2+2，∴q 2＝q +2⇒q ＝2． ∴S 6s 3=1−q 61−q 3=1+q 3＝9，故选：B ．【点评】本题主要考查等比数列的基本量的运算，属于基础题．4．若夹角为120°的向量a →与b →满足|a →+b →|＝|b →|＝2，则|a →|＝（ ）A ．1B ．2C ．2√3D ．4【分析】根据向量数量积的应用，把|a →+b →|＝2两边平方，转化成模平方和数量积，利用已知即可得到结论．解：∵|a +b |＝2，∴a 2+2a •b +b 2＝4，即|a |2+4|a |cos120°+4＝4，则|a |＝2，或|a |＝0（舍）， 故选：B ．【点评】点评：本题考查了数量积运算性质、向量与模的转化，考查了计算能力，属于基础题．5．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．6π7B ．πC ．7π6D ．2π【分析】由三视图还原原几何体，该几何体是组合体，下方为圆锥，圆锥的高是2，底面半径为1，上方为一个半球去掉右前方的四分之一，半球的半径为1，再由圆锥与球的体积公式求解．解：由三视图还原原几何体如图，该几何体是组合体，下方为圆锥，圆锥的高是2，底面半径为1， 上方为一个半球去掉右前方的四分之一，半球的半径为1， 则该几何体的体积为13×π×12×2+38×43×π×13=7π6．故选：C ．【点评】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．6．执行如图所示的程序框图，则输出的T＝（）A．32B．127C．53D．85【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量T的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解：模拟程序的运行，可得k＝1，S＝0，T＝0，S＝1满足条件S＜15，执行循环体，T＝1，k＝2，S＝3满足条件S＜15，执行循环体，T=43，k＝3，S＝6满足条件S＜15，执行循环体，T=32，k＝4，S＝10满足条件S＜15，执行循环体，T=85，k＝5，S＝15此时，不满足条件S＜15，退出循环，输出T的值为8 5．故选：D．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．7．已知圆C：（x﹣1）2+y2＝r2（r＞1）与x轴负半轴的交点为M，过点M且斜率为2的直线1与圆C的另一个交点为N，若MN的中点P恰好落在y轴上，则|MN|＝（）A．52B．√52C．54D．√54【分析】由题意画出图形，求出M 的坐标，写出直线l 的方程，与圆的方程联立求得N 点横坐标，再由中点坐标公式求得r ，进一步求出M 与N 的坐标，则答案可求． 解：取y ＝0，可得x ＝1﹣r 或x ＝1+r ， 由题意可得，M （1﹣r ，0）， 设直线l 的方程为y ＝2（x +r ﹣1），联立{y =2(x +r −1)(x −1)2+y 2=r 2，得5x 2+（8r ﹣10）x +3r 2﹣8r +4＝0． 由x M +x N ＝1﹣r +x N =10−8r 5，得x N =5−3r5． 由MN 的中点P 恰好落在y 轴上，得1﹣r ++x N ＝0，即r =54． ∴M （−14，0），N （14，1），则|MN |=√(14−(−14))2+12=√52．故选：B ．【点评】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法，考查运算能力，是中档题．8．若直线y ＝x 与曲线y ＝lnx +ax 相切，则a ＝（ ） A ．1eB ．−1eC ．1e−1D ．1−1e【分析】先设切点，再对曲线求导，然后令导数等于1，然后结合x ＝lnx +ax ，即可求出a 的值．解：设切点为（x ，y ）， 由题意y′=1x+a ． ∴{lnx +ax =x 1x +a =1，解得a =1−1e ．故选：D ．【点评】本题考查导数的几何意义，利用切点满足的两个条件列方程组是本题的总体思路．属于基础题．9．抛物线上任意两点A 、B 处的切线交于点P ，称△PAB 为“阿基米德三角形”．当线段AB 经过抛物线焦点F 时，△PAB 具有以下特征：①P 点必在抛物线的准线上；②△PAB 为直角三角形，且PA ⊥PB ③PF ⊥AB ． 若经过抛物线y 2＝4x 焦点的一条弦为AB ，阿基米德三角形为△PAB ，且点P 的纵坐标为4，则直线AB 的方程为（ ） A ．x ﹣2y ﹣1＝0B ．2x +y ﹣2＝0C ．x +2y ﹣1＝0D ．2x ﹣y ﹣2＝0【分析】由△PAB 为“阿基米德三角形”，且线段AB 经过抛物线y 2＝4x 焦点，可得：P 点必在抛物线的准线上，可求出点P （﹣1，4），从而得到直线PF 的斜率为﹣2， 又PF ⊥AB ，所以直线AB 的斜率为12，再利用点斜式即可求出直线AB 的方程．解：由题意可知，抛物线y 2＝4x 的焦点F 的坐标为（1，0），准线方程为：x ＝﹣1， 由△PAB 为“阿基米德三角形”，且线段AB 经过抛物线y 2＝4x 焦点，可得：P 点必在抛物线的准线上， ∴点P （﹣1，4）， ∴直线PF 的斜率为：4−0−1−1=−2，又∵PF ⊥AB ，∴直线AB 的斜率为12，∴直线AB 的方程为：y ﹣0=12(x −1)，即x ﹣2y ﹣1＝0， 故选：A ．【点评】本题主要考查了抛物线的定义，以及抛物线的性质，是中档题．10．已知函数f （x ）＝x 3+3x ，若对任意t ∈[﹣1，1]不等式f （2t 2﹣m ）+f （t ）≥0恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．m ≤1B ．m ≤−12C ．m ≤−14D ．m ≤−18【分析】函数f （x ）＝x 3+3x ，判断其奇偶性．不等式f （2t 2﹣m ）+f （t ）≥0，化为：f （2t 2﹣m ）≥﹣f （t ）＝f （﹣t ），利用其单调性及其二次函数的单调性即可得出． 解：函数f （x ）＝x 3+3x ，f （﹣x ）＝﹣x 3﹣3x ＝﹣f （x ），∴函数f （x ）为R 上的奇函数． f ′（x ）＝3x 2+3＞0，∴函数f （x ）为R 上的增函数．不等式f （2t 2﹣m ）+f （t ）≥0，化为：f （2t 2﹣m ）≥﹣f （t ）＝f （﹣t ），∴2t2﹣m≥﹣t，化为：m≤2t2+t，t∈[﹣1，1]．令g（t）＝2t2+t＝2(t+14)2−18，t∈[﹣1，1]．∴t=−14时，函数g（t）取得最小值，g（−14）=−18．则实数m的取值范围是m≤−1 8．故选：D．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、函数的奇偶性、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．已知正四棱锥P﹣ABCD的高为2，AB=2√2，过该棱锥高的中点且平行于底面ABCD 的平面截该正四棱锥所得截面为A1B1C1D1，若底面ABCD与截面A1B1C1D1的顶点在同一球面上，则该球的表面积为（）A．20πB．20π3C．4πD．4π3【分析】如图（见解答部分）：根据正四棱锥，球心必在高线上，并且底面边长和高，可知对角面PAC是等腰直角三角形，当截面过高的中点时，截面的对角线长可求，再设球心为O，在两个直角三角形△OAM，△A1ON利用勾股定理，列出方程，可以解出半径R，则表面积可求．解：因为正四棱锥P﹣ABCD，所以底面是正方形，结合高为2，AB=2√2，设底面对角线交点为M，所以AC＝4，AM＝2，故PM＝AM＝CM＝2，所以△PAC是等腰直角三角形．因为截面A1B1C1D1过PM的中点N，所以N为截面正方形A1B1C1D1的中心，且PM⊥截面A1B1C1D1．∴PN＝MN＝A1N＝1，设球心为O，球的半径为R，则A1O＝AO＝R．在直角三角形A1ON中，ON=√A1O2−A1N2=√R2−1，∴OM=1−ON=1−√R2−1．在直角三角形APM中，OA2＝AM2+OM2，即R2=4+(1−√R2−1)2，解得R2＝5，故S＝4πR2＝20π．故选：A．【点评】本题考查球的表面积的计算以及正四棱锥的性质．根据对角面是等腰直角三角形，和含有R的两个直角三角形列方程是本题的关键．属于中档题．12．如图，某公园内有一个半圆形湖面，O为圆心，半径为1千米，现规划在△OCD区域种荷花，在△OBD区域修建水上项目．若∠AOC＝∠COD，且使四边形OCDB面积最大，则cos∠AOC＝（）A．√17−18B．√33−18C．√17−16D．√33−16【分析】设∠AOC＝∠COD＝θ（0＜θ＜π2），利用三角形面积公式可得S=12(sin2θ+sinθ)，利用导数结合复合函数的单调性求最值，即可得到使四边形OCDB面积最大时cos∠AOC的值．解：设∠AOC＝∠COD＝θ（0＜θ＜π2），∵OC＝OB＝OD＝1，∴四边形OCDB面积S=12×1×1×sinθ+12×1×1×sin(π−2θ)=12(sin2θ+sinθ)．则S′=12(2cos2θ+cosθ)=12(4cos 2θ+cosθ−2)．由S ′＝0，得4cos 2θ+cos θ﹣2＝0，解得cos θ=−√33−18（舍）或cos θ=√33−18，即θ＝arccos √33−18．又cos θ在（0，π2）上单调递减， ∴当θ∈（0，arccos √33−18），即cos θ∈（√33−18，1）时，S =12(4cos 2θ+cosθ−2)单调递减， 当θ∈（arccos √33−18，π2），即cos θ∈（0，√33−18）时，S =12(4cos 2θ+cosθ−2)单调递增，∴当cos ∠AOC =√33−18时，四边形OCDB 的面积最大．故选：B ．【点评】本题考查函数的最值及其几何意义，考查函数模型的选择及其应用，训练了利用导数求最值，是中档题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分） 13．能说明命题“∀x ∈R 且x ≠0，x +1x≥2”是假命题的x 的值可以是 ﹣1，（任意负数均可以） ．（写出一个即可）【分析】全称命题的否定只需举出一个反例即可．例如x ＝﹣1，带入． 解：当x ＞0时，x +1x≥2，当且仅当x =1取等号， 当x ＜0时，x +1x≤−2，当且仅当x =−1取等号， ∴只需x 取值为负数，即可．例如x ＝﹣1时x +1x=−2 【点评】本题考察了，全称命题的真假，基本不等式应用（也可以利用对勾函数图象来解决），属于基础题． 14．已知F 是双曲线M ：x 2a −y 2b =1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，点P 在M 上，O 为坐标原点，若|OP|=2b ，∠POF =π3，则M 的离心率为 √5 ．【分析】设P 的坐标，求出OP →，OF →的坐标，由∠POF =π3，所以cos ∠POF =12=OP →⋅OF →|OP →|⋅|OF →|=x 0⋅c2b⋅c，求出P 的横坐标，代入x 02+y 02＝4b 2进而求出纵坐标，再将P 坐标代入双曲线的方程可得a ，b 的关系，由a ，b ，c 之间的关系求出离心率． 解：设P （x 0，y 0）由题意可得x 0＞0，设y 0＞0，OP →=（x 0，y 0），由题意|OP |＝2b ，可得x 02+y 02＝4b 2，OF →=（c ，0），由∠POF =π3，所以cos ∠POF =12=OP →⋅OF→|OP →|⋅|OF →|=x 0⋅c 2b⋅c ，可得x 0＝b ，y 02＝3b 2，y 0＞0，将P 点的坐标代入双曲线的方程可得：b 2a −3＝1，所以b 2＝4a 2，所以双曲线的离心率e =√c 2a 2=√a 2+b 2a2=√5，故答案为：√5．【点评】本题考查双曲线的性质，及数量积的应用，属于中档题．15．河图洛书是中国古代流传下来的神秘图案，被誉为“宇宙魔方”，九宫格源于河图洛书．如图是由9个单位正方形（边长为1个单位的正方形）组成的九宫格，一个质点从A 点沿单位正方形的边以最短路径运动到B 点，共有C 63种不同的路线，则在这些路线中，该质点经过p 点的概率为35．【分析】共有n =C 63=20种不同的路线，其中该质点经过p 点包含的基本事件有m ＝6×2＝12种，由此能求出该质点经过p 点的概率．解：一个质点从A 点沿单位正方形的边以最短路径运动到B 点，共有n =C 63=20种不同的路线，则在这些路线中，该质点经过p 点包含的基本事件有m ＝6×2＝12种， 该质点经过p 点的概率为P =m n=1220=35． 故答案为：35．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16．定义域为R 的偶函数f （x ）满足f （1+x ）+f （1﹣x ）＝0，当x ∈[0，1）时，f(x)=sin πx2，给出下列四个结论： ①|f （x ）|＜1；②若f （x 1）+f （x 2）＝0，则x 1+x 2＝0③函数f （x ）在（0，4）内有且仅有3个零点；④若x 1＜x 2＜x 3，且f （x 1）＝f （x 2）＝f （x 3），则x 3﹣x 1的最小值为4． 其中，正确结论的序号是 ①③ ．【分析】由f （1+x ）+f （1﹣x ）＝0可知，f （x ）关于点（1，0）对称，另外令x ＝1，可得f （1）＝0，再结合f （x ）为偶函数，且当x ∈[0，1）时，f(x)=sin πx2，可以作出函数的图象，然后逐一判断每个选项即可．解：∵f （1+x ）+f （1﹣x ）＝0，∴函数f （x ）关于点（1，0）对称， 令x ＝1，则f （1）+f （1）＝0，∴f （1）＝0，又∵f （x ）为偶函数，且当x ∈[0，1）时，f(x)=sin πx2，∴可作出函数f （x ）的图象如下所示，①﹣1＜f （x ）＜1，∴|f （x ）|＜1，即①正确；②取x 1＝﹣1，x 2＝2，满足f （x 1）+f （x 2）＝0，但x 1+x 2＝1≠0，即②错误； ③函数f （x ）在（0，4）内的零点为x ＝1，2，3，有且仅有3个零点，即③正确；④取x1＝﹣1，x2＝0，x3＝1，则f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝0，但x3﹣x1＝2＜4，即④错误．∴正确的是①③．故答案为：①③．【点评】本题考查函数的图象与性质，分析出函数的对称性和作出函数图象是解题的关键，考查学生的作图能力和分析能力，属于中档题．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1，底面ABC为等边三角形，侧棱AA1⊥平面ABC，D为CC1中点，AA1＝2AB，AB1和A1B交于点O．（1）证明：OD∥平面ABC；（2）求AB与平面A1BD所成角的正弦值．【分析】（1）取AB中点E，先利用中位线的性质可证BO∥BB1且EO=12BB1，再由已知条件可得CD=12CC1=12BB1且CD∥BB1，进而得到EO=∥CD，则四边形EODC为平行四边形，故OD∥EC，由此得证OD∥平面ABC；（2）建立空间直角坐标系，求出直线AB的方向向量以及平面A1BD的法向量，利用向量的夹角夹角公式即可得到所求正弦值．解：（1）取AB中点E，连接CE，OE，在四边形BODC中，E为AB中点，O为AB1中点，∴BO为△ABB1的中位线，故BO∥BB1且EO=12BB1，∵D为CC1中点，∴CD=12CC1=12BB1且CD∥BB1，∴EO=∥CD，∴四边形EODC为平行四边形，∴OD ∥EC ，且BC 在平面ABC 内， ∴OD ∥平面ABC ；（2）取BC 中点F ，根据已知条件建立如图所示的空间直角坐标系，设AB ＝2，则AA 1=4，B(1，0，0)，A(0，0，√3)，A 1(0，4，√3)，D(−1，2，0)， ∴BA →=(−1，0，√3)，BD →=(−2，2，0)，BA 1→=(−1，4，√3)，设平面A 1BD 的一个法向量为n →=(x ，y ，z)，则{n →⋅BD →=−2x +2y =0n →⋅BA 1→=−x +4y +√3z =0，可取n →=(1，1，−√3)，设AB 与平面A 1BD 所成角为θ，则sinθ=|BA →⋅n →||BA →||n →|=|−1−3|1+3×1+1+3=2√55，即AB 与平面A 1BD 所成角的正弦值为2√55．【点评】本题考查线面平行的判定以及利用空间向量研究线面角问题，考查推理能力及计算能力，属于中档题．18．2020年1月，教育部《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》印发，自2020年起，在部分高校开展基础学科招生改革试点（也称“强基计划”）．强基计划聚焦高端芯片与软件、智能科技、新材料、先进制造和国家安全等关键领域以及国家人才紧缺的人文社会科学领域，选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生．新材料产业是重要的战略性新兴产业，如图是我国2011﹣2019年中国新材料产业市场规模及增长趋势图．其中柱状图表示新材料产业市场规模（单位：万亿元），折线图表示新材料产业市场规模年增长率（%）．（1）求从2012年至2019年，每年新材料产业市场规模年增长量的平均数（精确到0.1）；（2）从2015年至2019年中随机挑选两年，求两年中至少有一﹣年新材料产业市场规模年增长率超过20%的概率；（3）由图判断，从哪年开始连续三年的新材料产业市场规模的方差最大．（结论不要求证明）【分析】（1）从2012年起，每年新材料产业市场规模的年增加值依次为0.3，0.2，0.3，0.5，0.6，0.4，0.8，0.6，（单位：万亿元），由此能求出年增加的平均数．（2）设A表示事件“从2015年至2019年中随机挑选两个，两年中至少有一年新材料产业市场规模增长率超过20%”，利用对立事件概率计算公式能求出两年中至少有一﹣年新材料产业市场规模年增长率超过20%的概率．（3）从2017年开始连续三年的新材料产业市场规模的方差最大．解：（1）从2012年起，每年新材料产业市场规模的年增加值依次为：0.3，0.2，0.3，0.5，0.6，0.4，0.8，0.6，（单位：万亿元），∴年增加的平均数为：0.3+0.2+0.3+0.5+0.6+0.4+0.8+0.68=0.5万亿元．（2）设A表示事件“从2015年至2019年中随机挑选两个，两年中至少有一年新材料产业市场规模增长率超过20%”，依题意P（A）＝1−C22C52=910．（3）从2017年开始连续三年的新材料产业市场规模的方差最大．【点评】本题考查平均数、概率、方差的求法，考查折线图、条形统计图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19．△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin2B+sin2C＝sin2A+sin B sin C．（1）求A ；（2）从三个条件：①a =√3②b =√3③△ABC 的面积为√3中任选一个作为已知条件，求△ABC 周长的取值范围．【分析】（1）由已知利用正弦定理可得b 2+c 2﹣a 2＝bc ，由余弦定理求出cos A ，结合A 的范围可得A 的值．（2）由题意，分类讨论，利用正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，基本不等式，正弦函数的图象和性质等知识即可求解． 解：（1）∵sin 2B +sin 2C ＝sin 2A +sin B sin C ， ∴由正弦定理可得：b 2+c 2﹣a 2＝bc ，∴由余弦定理可得：cos A =b 2+c 2−a 22bc =12，∵A ∈（0，π）， ∴A =π3．（2）若选择①a =√3， 因为A =π3，a =√3，由正弦定理b sinB=c sinC=a sinA=2，则△ABC 的周长l ＝a +b +c ＝2sin B +2sin C +√3=2sin B +2sin （2π3−B ）+√3=3sin B +√3cos B +√3=2√3sin （B +π6）+√3， 因为B ∈（0，2π3），所以π6＜B +π6＜5π6，12＜sin （B +π6）≤1，即△ABC 周长的取值范围是（2√3，3√3），②b =√3，因为A =π3，b =√3，由正弦定理可得a =32sinB ，c =√3sinC sinB=√3sin(2π3−B)sinB=3cosB 2sinB +√32，可得△ABC 的周长l ＝a +b +c =32sinB +3cosB 2sinB +3√32=6cos 2B 24sin B 2cos B 2+3√32=32tan B 2+3√32， 因为B ∈（0，2π3），所以0＜B 2＜π3，所以0＜tan B2＜√3，即△ABC 周长的取值范围是（2√3，+∞），若选择③△ABC 的面积为√3，因为A =π3，S △ABC =12bc sin A =√34bc =√3，可得bc ＝4，由余弦定理可得a 2＝b 2+c 2﹣bc＝（b +c ）2﹣3bc ＝（b +c ）2﹣12，即△ABC 的周长l ＝a +b +c =√(a +b)2−12+b +c ，因为b+c≥2√bc=4，当且仅当b＝c＝2时等号成立，所以l≥√42−12+4＝6，即△ABC 的周长的取值范围是[6，+∞）．【点评】本题考查三角形周长取值范围的求法，考查余弦定理、三角形面积等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．20．已知函数f(x)=ax−(a+2)lnx−2x(a＞0)．（1）讨论f（x）的单调性；（2）设g（x）＝f（x）﹣lna，若g（x）存在两个极值点x1，x2，求g（x1）+g（x2）的最小值．【分析】（1）求导，令f′（x）＝0得x＝1或x=2a，接下来分0＜a＜2，a＝2及a＞2讨论即可；（2）依题意，可得g(x1)+g(x2)=(a+2)ln a2−2lna，设h(x)=(x+2)ln x2−2lnx，利用导数求h（x）的最小值即可得出答案．解：（1）f′(x)=a−a+2x+2x2=ax2−(a+2)x+2x2=(x−1)(ax−2)x2(x＞0)，因为a＞0，由f′（x）＝0得x＝1或x=2 a，①若0＜a＜2，则2a＞1，由f′（x）＜0得1＜x＜2a；由f′（x）＞0得0＜x＜1或x＞2a，∴若0＜a＜2，则f（x）在（0，1）递增，在(1，2a)递减，在(2a，+∞)递增；②若a＝2，则2a =1，f′(x)=2(x−1)2x2≥0，f（x）在定义域（0，+∞）递增；③若a＞2，则2a＜1，由f′（x）＜0得2a＜x＜1；由f′（x）＞0得0＜x＜2a或x＞1，∴若a＞2，则f（x）在(0，2a)递增，在(2a，1)递减，在（1，+∞）递增；（2）由g（x）＝f（x）﹣lna得g′（x）＝f′（x），由（1）知，g（x）有两个极值点时，a＞0且a≠2，不妨设x1=1，x2=2a，g(x1)=g(1)= a−2−lna，g(x2)=g(2a)=2−a+(a+2)ln a2−lna，∴g(x1)+g(x2)=(a+2)ln a2−2lna，设h(x)=(x+2)ln x2−2lnx，则h′（x）＝lnx﹣ln2+1，由h′（x）＜0得0＜x＜2e，h（x）在(0，2e)上单调递减，由h′（x）＞0得x＞2e，h（x）在(2e，+∞)上单调递增，∴x＞0时，h(x)min=h(2e)=−2e−2ln2，∴当a＞0且a≠2时，g（x1）+g（x2）的最小值为−2e−2ln2．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查分类讨论思想及运算求解能力，属于中档题．21．椭圆规是画椭圆的一种工具，如图1所示，在十字形滑槽上各有一个活动滑标M，N，有一根旋杆将两个滑标连成一体，|MN|＝4，D为旋杆上的一点，且在M，N两点之间，且|ND|＝3|MD|，当滑标M在滑槽EF内作往复运动，滑标N在滑槽GH内随之运动时，将笔尖放置于D处可画出椭圆，记该椭圆为C．如图2所示，设EF与GH交于点O，以EF所在的直线为x轴，以GH所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．（1）求椭圆C的方程；（2）设A1，A2是椭圆C的左、右顶点，点P为直线x＝6上的动点，直线A1P，A2P分别交椭圆于Q，R两点，求四边形A1QA2R面积的最大值．【分析】（1）由|MN|的值及|ND|＝3|MD|，可得|MD|，|ND|的值，由题意可得椭圆的长半轴及短半轴长，进而求出椭圆的方程；（2）由（1）可得A1，A2电子版，由题意设P的坐标，进而求出直线A1P，直线A2P的方程，与椭圆联立分别求出Q，R的坐标，进而求出四边形的面积的表达式，换元由均值不等式可得P的坐标．解：（1）由|MN|＝4，D为旋杆上的一点，且在M，N两点之间，且|ND|＝3|MD|，可得|MD|＝1，|ND|＝3所以椭圆的长半轴a为3，短半轴b为1，所以椭圆的方程为：x 29+y 2＝1；（2）由对称性设P （6，t ），其中t ＞0，则直线A 1P 的方程为：y =t 9（x +3），直线A 2P 的方程为：y =t 3（x ﹣3），设Q （x 1，y 1），R （x 2，y 2），由{x 29+y 2=1y =t9(x +3)消x 可得（9+t 2）y 2﹣6ty ＝0，由于y A 1=0，所以y 1=4t9+t 2， 由{x 29+y 2=1y =t3(x −3)消x 可得（1+t 2）y 2+2ty ＝0，由于yA 2=0，所以y 2=−−2t1+t 2， 所以四边形A 1QA 2R 的面积为S =12|A 1A 2|•|y 1﹣y 2|=12⋅6⋅(6t 9+t 2+2t1+t 2) =24t(3+t 2)(9+t 2)(1+t 2)=24t 2+3t+4tt 2+3， 由于t ＞0，设m =t 2+3t≥2√3，又y ＝m +4m 在[2√3，+∞），所以y ＝m +4m ≥8√33，故S =24m+4m≤3√3， 当且仅当m ＝2√3，即t =√3时，四边形A 1QA 2R 的面积的最大值为3√3．【点评】本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合和均值不等式的应用，属于中档题． 一、选择题22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =12−√22t ，y =32+√22t （t 为参数），以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求直线l 的极坐标方程；（2）设动点M 的极坐标为（ρ，θ），射线OM 与直线l 相交于点A ，且满足|OA |•|OM |＝4，求点M 轨迹的极坐标方程．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． （2）利用极径的应用求出结果．解：（1）直线l 的参数方程为{x =12−√22t ，y =32+√22t （t 为参数），转换为直角坐标方程为x +y﹣2＝0．转换为极坐标方程为ρcos θ+ρsin θ+2＝0．（2）设动点M 的极坐标为（ρ，θ），射线OM 与直线l 相交于点A ，且满足|OA |•|OM |＝4，所以A （4ρ，θ），所以4ρ(sinθ+cosθ)=2，转换为ρ＝2sin θ+2cos θ（ρ＞0）．【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． [选修4--5：不等式选讲] 23．已知f （x ）＝2|x +1|+|x ﹣1|． （1）解不等式f （x ）≤4；（2）设f （x ）的最小值为m ，实数a ，b ，c 满足a 2+b 2+c 2＝m ，证明：|a +b +c|≤√6． 【分析】（1）利用绝对值的意义，写出分段函数，即可求不等式f （x ）≤4的解集； （2）利用绝对值不等式，求出m ，再利用柯西不等式进行证明．解：（1）f （x ）={−3x −1，x ≤−1x +3，−1＜x ＜13x +1，x ≥1，∴不等式f （x ）≤4等价于{x ≤−1−3x −1≤4或{−1＜x ＜1x +3≤4或{x ≥13x +1≤4，解得−53≤x ≤﹣1或﹣1＜x ＜1或x ＝1，∴不等式的解集为[−53，1]；（2）由（1）可知，f （x ）在（﹣∞，﹣1]递减，在（﹣1，+∞）递增， ∴f （x ）的最小值为f （﹣1）＝2， ∴m ＝2， 即a 2+b 2+c 2＝2，根据柯西不等式得（a +b +c ）2≤（12+12+12）（a 2+b 2+c 2）＝6， 故|a +b +c|≤√6．【点评】本题考查不等式的解法，考查柯西不等式证明不等式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。

科数学试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】求解分式不等式可得：，求解二次不等式可得：，所以，故选C．2. 复数，则复数的虚部是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意可得：，则复数的虚部是故选A．3. 为了让大家更好地了解我市的天气变化情况，我市气象局公布了近年来我市每月的日平均最高气温与日平均最低气温，现绘成雷达图如图所示，下列叙述不正确的是（）A. 各月的平均最高气温都不高于25度B. 七月的平均温差比一月的平均温差小C. 平均最高气温低于20度的月份有5个D. 六月、七月、八月、九月的平均温差都不高于10度【答案】C【解析】由雷达图可知平均最高气温低于20度的月份有一月、二月、十一月、十二月共四个，选项C的说法是错误的.故选C．4. 为了配合创建全国文明城市的活动，我校现从4名男教师和5名女教师中，选取3人，组成创文明志愿者小组，若男女至少各有一人，则不同的选法共有（）A. 140种B. 70种C. 35种D. 84种【答案】B【解析】分两类：（1）2男1女，有种；（2）1男2女，有种，所以共有+种，故选B．点睛：分类加法计数原理与分步乘法计数原理是解决排列组合问题的基础并贯穿始终．(1)分类加法计数原理中，完成一件事的方法属于其中一类并且只属于其中一类．(2)分步乘法计数原理中，各个步骤相互依存，步与步之间的方法“相互独立，分步完成”．5. 在等差数列中，若，则数列的前15项的和为（）A. 15B. 25C. 35D. 45【答案】A【解析】设等差数列的公差为，首项为，则：,故，故选A．6. 已知抛物线：的焦点为，过点且倾斜角为的直线交曲线于，两点，则弦的中点到轴的距离为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意知过点的直线方程为，联立方程消去得：.设，，则，所以弦的中点的横坐标为，故到轴的距离为，故选D．7. 若三棱锥的三视图如图，正视图和侧视图均为等腰直角三角形，俯视图为边长为2的正方形，则该三棱锥的最长棱的棱长为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】结合三视图可知几何体为如图所示三棱锥A−BCD，三棱锥在边长为2的正方体中，可知正方体体对角线AC即为三棱锥最长的棱，且，故选B．点睛：三视图的长度特征：“长对正、宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高、正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽．若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法．8. 规定：对任意的各位数字不全相同的三位数，若将各位数字按照从大到小、从左到右的顺序排列得到的三位数，称为原三位数的“和谐数”；若将各位数字按照从小到大、从左到右的顺序排列得到的三位数，称为原三位数的“新时代数”.如图，若输入的，则输出的为（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C【解析】由题意知：输入的，则程序运行如下：当时，，，，当时，，，，当时，，，，当时，，，，此时程序结束，输出，故选C．9. 已知函数，若，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，知为上的偶函数，且当时，,为增函数，故等价于不等式，解得的取值范围为，故选A．点睛：对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题，若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．10. 如图，函数的图象为折线，则不等式的解集是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如下图，由，需满足函数的图象不在函数图象的下方，令，所以，则在上单调递减，在上单调递增，且当时，，，，而由图可知函数则，由题意可知，不等式的解集为，故选B．11. 已知半径为5的球被两平行的平面所截，两截面圆的半径分别为3和4，则分别以两截面为上下底的圆台的侧面积为（）A. B.C. 或D. 或【答案】C【解析】分类讨论：（1）当两截面圆在球心的同侧时，如下图，则为大截面圆的直径，为小截面圆的直径，梯形为圆台的轴截面，由题意知，，，则圆台的高为，，所以圆台的侧面积为.（2）当两截面圆在球心的异侧时，如下图，则为大截面圆的直径，为小截面圆的直径，梯形为圆台的轴截面，由题意知，，，则圆台的高为，，所以圆台的侧面积为，综上所述，故选C．12. 已知椭圆：的右焦点为，过点的两条互相垂直的直线，，与椭圆相交于点，，与椭圆相交于点，，则下列叙述不正确的是（）A. 存在直线，使得值为7B. 存在直线，使得值为C. 四边形的面积存在最大值，且最大值为6D. 四边形的面积存在最小值，且最小值为【答案】D【解析】当直线，一个斜率为零一个斜率不存在时，可得即为长轴，为通径，则，则A是正确的；由于，所以，又，故当不存在或，，故，综上所述C选项正确，排除ABC选项，故选D．点睛：解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 若，满足约束条件则的最小值为__________.【答案】【解析】由题意可知，线性区域是如图的阴影部分，由，则为直线的截距，由图可知，当时，取到最小值.14. 已知为数列的前项和，，当时，，则__________.【答案】【解析】由，且，所以，两式做差可得：，所以是以首项为，公比为的等比数列，则，所以.15. 在中，，，点为外接圆的圆心，则__________.【答案】【解析】如图，由是外接圆的圆心，取的中点，取的中点，连接，，所以．16. 在中，为上一点，且，，为的角平分线，则面积的最大值为__________.【答案】【解析】如图，由于为的角平分线，且，，由角平分线定理知：，令，，由两边之和大于第三边，两边之差小于第三边知：，在中，由余弦定理知：，所以：，当且仅当，即时取等号，所以面积的最大值为3.点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知函数.（1）求函数的最小正周期及在区间的值域；（2）在中，，，所对的边分别是，，，，，，求的面积.【答案】(1)最小正周期，在区间的值域为. (2).【解析】试题分析：(1)整理函数的解析式，据此可得函数的最小正周期，在区间的值域为.(2)由题意结合(1)的结论和余弦定理可得的面积是.试题解析：（1），`所以的最小正周期，，，，所以函数在区间的值域为.（2）由得，又，，，由及余弦定理得：，，又，代入上式解得，的面积.18. 随着我国经济的快速发展，民用汽车的保有量也迅速增长.机动车保有量的发展影响到环境质量、交通安全、道路建设等诸多方面.在我国，尤其是大中型城市，机动车已成为城市空气污染的重要来源.因此，合理预测机动车保有量是未来进行机动车污染防治规划、道路发展规划等的重要前提.从2012年到2016年，根据“云南省某市国民经济和社会发展统计公报”中公布的数据，该市机动车保有量数据如表所示.（1）在图所给的坐标系中作出数据对应的散点图；（2）建立机动车保有量关于年份代码的回归方程；（3）按照当前的变化趋势，预测2017年该市机动车保有量.附注：回归直线方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，.【答案】(1)答案见解析；(2).(3)245万辆.【解析】试题分析：(1)结合所给的数据绘制散点图即可；(2)结合所给的数据计算可得回归方程为.(3)结合线性回归方程的预测作用可得2017年该市机动车保有量是245万辆. 试题解析：（1）数据对应的散点图如图所示.（2），，，所以回归直线方程为.（3）代入2017年的年份代码，得，所以按照当前的变化趋势，2017年该市机动车保有量为245万辆.点睛：一是回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的线性回归方程才有实际意义，否则，求出的线性回归方程毫无意义．二是根据回归方程进行预报，仅是一个预报值，而不是真实发生的值．19. 如图，在三棱柱中，，顶点在底面上的射影恰为的中点，，.（1）证明：；（2）若点为的中点，求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】试题分析：(1)由题意结合几何关系可得平面，结合面面垂直的性质有.(2)建立空间直角坐标系，结合半平面的法向量可得二面角的余弦值是.试题解析：（1）证明：因为顶点在底面上的射影恰为AC的中点M，所以，又，所以，又因为，而，且，所以平面，又因为，所以.（2）解：如图所示，以为原点，建立空间直角坐标系，则，于是，求得平面的一个法向量为，由，求得平面的一个法向量为，则，所以二面角的余弦值为.点睛：(1)求解本题要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算．(2)设m，n分别为平面α，β的法向量，则二面角θ与<m，n>互补或相等.求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．20. 椭圆：的离心率为，过其右焦点与长轴垂直的直线与椭圆在第一象限相交于点，.（1）求椭圆的标准方程；（2）设椭圆的左顶点为，右顶点为，点是椭圆上的动点，且点与点，不重合，直线与直线相交于点，直线与直线相交于点，求证：以线段为直径的圆恒过定点.【答案】(1). (2)证明见解析.【解析】试题分析：(1)由题意可得，则椭圆C的标准方程为.(2)由题意可得，结合题意可得圆的方程为，则以线段ST为直径的圆恒过定点.试题解析：（1）解：，又，联立解得：，所以椭圆C的标准方程为.（2）证明：设直线AP的斜率为k，则直线AP的方程为，联立得.，整理得：，故，又，(分别为直线P A，PB的斜率)，所以，所以直线PB的方程为：，联立得，所以以ST为直径的圆的方程为：，令，解得：，所以以线段ST为直径的圆恒过定点.21. 已知函数.（1）求的单调区间；（2）若在上恒成立，求正整数的最小值.【答案】(1)的单调递增区间为，单调递减区间为.(2)1.【解析】试题分析：(1)由题意求导可得，据此可得的单调递增区间为，单调递减区间为.试题解析：（1）函数的定义域为，由于在上是减函数，所以当时，；当时，.所以的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）由在上恒成立，整理得：在上恒成立即可.令，当时，，以及在上，得在上恒成立，由（1）知的单调递增区间为，单调递减区间为.所以有，即恒成立，所以正整数k的最小值为1.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 已知抛物线的方程为，以抛物线的焦点为极点，以轴在点右侧部分为极轴建立极坐标系.（1）求抛物线的极坐标方程；（2），是曲线上的两个点，若，求的最大值.【答案】(1).(2).【解析】试题分析：(1)结合抛物线的直角坐标方程转化为极坐标方程可得抛物线的极坐标方程是；(2)结合(1)中的结论和三角函数的性质可得的最大值为.试题解析：（1）由抛物线的定义得：，即：.（2）由（1）得：，当且仅当时等号成立，故的最大值为.23. 已知函数.（1）求不等式的解集；（2）当取何值时，恒成立.【答案】(1).(2).【解析】试题分析：(1)由题意分类讨论可得不等式的解集为；(2)原问题等价于，将函数的解析式整理为可得.试题解析：（1）由有：，所以，即或或解得不等式的解集为.（2）由恒成立得即可.由（1）得函数的定义域为，所以有所以，即.。

理科数学参考答案·第1页（共7页）云南师大附中2020届高考适应性月考卷（五）理科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案B C B D C D B A B D C B 【解析】1．{11}{|13}{1}A B x x A B =-=-<<= ，，，，故选B ．2．cos152sin(1530)=︒+︒=︒+︒=原式，故选C ．3．121i 1i 1i 1111i 01i 222222z z z OP OQ OP OQ +-+⎛⎫⎛⎫======-= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，∴，，，，，故选B ． 4．24111051244410910(4)3954832a a a d a S a a d d +=+==-⎧⎧⨯⇒=⨯-+⨯=⎨⎨=+==⎩⎩，，，，故选D ． 5．常数项333361C ()20201ax a a x ⎛⎫=-=-=-⇒= ⎪⎝⎭，故选C ． 6．(0)sin 21f =<，且()()f x f x -=，函数为偶函数，故选D ．7．25210C 2C 9P ==，故选B ． 8．通过作图，观察图象可知，1a =，所以ln 22ln 2221(ln 2)(2)e 2e e e 2e e 2e 2f f -+-+=+=⨯+=+，故选A ．9．由题，ππ1()2sin 223g x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，图象如图1，由图可知，||PQ 取到的最小可能为12||||PQ PQ ，，因为1||PQ =2||4PQ =，所以最小值为4，故选B ． 10．因为OA OB OC OD R ====，所以A 正确；当AC BD ⊥，A ，C 各在所在圆弧的中点，此时三棱锥的底面BCD 的面积和高均处于最大位置，此时体积为111211233⨯⨯⨯⨯=，所以B 正确；AB 与CD 显然异面，用反证法证明他们不垂直．若AB CD ⊥，过A 作BD 的垂线，垂足为E ，因为为直二面角，所以AE ⊥平面BCD ，所以AE CD ⊥，所以CD ABD ⊥平面，所以CD BD ⊥，这与CD BC ⊥矛盾，所以AB 与CD 不垂直，所以正确，故选D ．图1理科数学参考答案·第2页（共7页）11．有如下两种情况：（1）0ba >>； （2）0ab >>．图2 （1）如图2甲，可求出A ，B 的坐标分别为222222a ab a c abc AB c c a b b a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，，，，所以22112222AOB BOF AOF abc ab S SS c c ab e b a c=-=⨯-⨯=⇒=-△△△；同理可得当0a b >>时，满足条件的离心率2e =，故选C ． 12．设B D βα∠=∠=，，则在2916234cos 2524cos ABC AC ββ=+-⨯⨯=-中，△，在22536256cos 6160cos ACD AC αα=+-⨯⨯=-中，△，5cos 2cos 3αβ-=∴，ABCD ABC S S =+△ 1134sin 56sin 3(5sin 2sin )22ACD S βααβ=⨯⨯+⨯⨯=+△，令5cos 2cos M N αβ=-=， 5sin 2sin αβ+，22222920cos()92020cos()M N N N αβαβ+=-+=+⇒=-+，所以当παβ+=，即33cos cos 77αβ==-，时，N ，所以面积的最大值为故选B ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 题号13 14 15 16 答案 答案不唯一，满足条件即可．例如：(2123)--，，， 34或35 26y x = 8【解析】 13．答案不唯一，满足条件即可．例如：(2123).--，，，14．(|120)1(2)0.0228P X X P X μσ>=-<+=，则成绩在120分以上的人数有15000.0228⨯34.2=，所以34或35均可．15．过抛物线的焦点且平行于y 轴的直线与抛物线交于22p p A p B p ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，所围成的面积为33222202222633323p p x x x p p ⎫⎛⎫===⨯==⇒=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭⎰，所以抛物线的方程为26y x =．理科数学参考答案·第3页（共7页）16．2222222221221log 4200log 4log 1000log 23log 10log 3320320n ⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≤，因为2log 10= 211210log 1lg 20.320=<<，所以22218log 320n n +⇒≤的最大值为8． 三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）解：（1）40{}n n a a =，为常数列；1110{}n n n n b b b ->-=，，是首项为10，公差为10的等差数列；11120.4n n n c c c ->==，，，所以{}n c 是首项为0.4，公比为2的等比数列．………………………………………（4分）所以1100.42n n n b n c -==⨯，．……………………………………………………………（6分）（2）设投资10天三种投资方案的总收益为101010A B C ，，，由（1）知：101010101090.4(12)400101010550409.2212A B C ⨯-==⨯+⨯===-；；， 因为101010B C A >>，所以应该选择方案二．…………………………………………（12分）18．（本小题满分12分）解：（1）由表格可知2013，2014，2015，2016，2017，2018年的增长率分别如下： 826592821109213311013813326%12%20%21%4%658292110133-----=====；；；；； 15413812%138-=， 所以2013年的增长率最高，达到了26%．……………………………………………（6分）（2）由表格可计算出：7721177443516()287i i i i i t y t y t t =====-=∑∑，，， 77435167477471515450.57287b a -⨯⨯===-⨯= ，，…………………………………（8分） y 关于t 的回归直线方程为 1550.57y t =+．…………………………………………（10分） 令149.431550.572009.9615t t +>⇒>=． 所以根据回归方程可预测，我国发明专利申请量将在2021年突破200万件．………………………………………………………………………………………（12分）理科数学参考答案·第4页（共7页）19．（本小题满分12分）（1）证明：设BF 的中点为H ，AC BD O = ，连接HG ，HO ．因为G 是BE 的中点，所以12HG EF AO HG EF AO ==∥∥，， 所以四边形AGHO 是平行四边形，所以AG HO ∥，又因为HO ⊂平面BDF ，AG ⊄平面BDF ， 所以AG ∥平面BDF ．……………………………………………………………………（6分） （2）解：因为菱形ABCD 和矩形ACFE 所在平面互相垂直，所以可建立如图3的空间直角 坐标系，设OA a OB b ==，，则(00)(00)(0)(00)A a B b E a a D b -，，，，，，，，，，，，()(00)(200)BE b a a AE a BD b === ，，，，，，，，．设平面ABE 与平面BDE 的法向量分别为11112222()()n x y z n x y z == ，，，，，， 则11112112000000n BE bx ay az n BE az n AE n BD ⎧⎧=++==⎧⎪⎪⇒⎨⎨⎨===⎩⎪⎪⎩⎩ ，，，，2222020bx ay az bx ++=⎧⇒⎨=⎩，， 令12121(0)(011)x a y n a b n ==⇒=-=- ，，，，，，，……………………………………（9分）12cos n n = 〈，〉．……………………………………………………………（10分）33tan 544a ABOb =⇒=⇒∠=，……………………………………（11分） 所以32244tan tan 297116ABC ABO ⨯∠=∠==-．…………………………………………（12分） 20．（本小题满分12分）证明：（1）因为00()P x y ，在椭圆上，所以2200221x y a b+=，所以P 也在直线上．……（1分） 联立直线和椭圆方程图3理科数学参考答案·第5页（共7页）222220222222222224420000000222222221()201x y a b b x x y a b a y a y b x x a b x x b a a y x x y y b x a y a b ab ⎧⎧-+=⎪=⎪⎪⇒⇒+-+-=⎨⎨⎪⎪+=+=⎩⎪⎩，， ………………………………………………………………………………………（3分）因为P 在椭圆上，所以222222222222220000200a y b x a b a b x a b x x a b x +=⇒-+=⇒∆=⇒所以直线l 与椭圆相切，又因为l C P = ，所以直线l 是椭圆在点P 处的切线．……………………………………………………（6分） （2）设2F 关于直线l 的对称点为211()F x y '，，则22F F '，的中点在直线l 上，直线22F F '与l 垂直， 即22210120201210221x c a b b x y a y b x y x c a y +⎧-⎪=⎪⎪⎨⎪-⨯=-⎪-⎪⎩ ……………………………………………………………（8分）244242000142420022200142420022()a b x a y c b x c x a y b x a b y a x c y a y b x ⎧+-=⎪+⎪⇒⎨-⎪=⎪+⎩，， ……………………………………………………（10分） 212222200000014224222222221000000()()()()F F b y a x c b y a x c y a x c y k x c b x a y c b x a b c b x c a c x a c x c'---====+++--+- 120002000()()()PF y a x c y k a x c x c x c-===-++， 所以21F P F '，，三点共线，所以从2F 发出的光线2F P 经直线l 反射后经过1F ．…………………………………（12分）（注：此题证明方法较多，请酌情给分）21．（本小题满分12分）（1）证明：令12()ln ()2h x x h x x x '==-=， 所以()h x 在(04)，上单调递增，在(4)+∞，上单调递减，理科数学参考答案·第6页（共7页）所以()h x 的最大值为(4)ln 422(ln 21)0h =-=-<，即()0h x <，所以(0)x ∀∈+∞，，都有ln x <．……………………………………………………（4分） （2）解：()(01)x a f x a x x a =->>，，ln ln ()0ln ln x a a x f x a x x a a x a x =⇔=⇔=⇔=， 所以()f x 的零点个数等于方程ln ln x a x a =解的个数． 令2ln 1ln ln ()()()x x a g x g x g a x x a-'=⇒==， 所以()g x 在(0e)，上单调递增，在(e )+∞，上单调递减，又因为(1)0g =，且由（1）知，ln ()0x x g x x <=→+∞→当时，， 所以e a =时，()()g x g a =有且只有一个解，所以若函数e ()e ()e x f x a f x x ==-有且只有一个零点，则，此时，…………………（8分） e e 11e 1()e ()e e e(e )x x x f x x f x x x ---'=-⇒=-=-， 令e 1(e 1)()1(e 1)ln ()1x x x x x x xϕϕ---'=---=-=，则， 所以()x ϕ在(0e 1)-，上单调递减，在(e 1)-+∞，上单调递增，(1)(e)0ϕϕ==，所以(01)()0(1e)()0(e )()0x x x x x x ϕϕϕ∈>∈<∈+∞>，，；，时，；，，， 即1e 1(01)1(e 1)ln e ()0x x x x x f x --'∈->-⇔>>，，，即， 同理可得：当(1e)()0(e )()0x f x x f x ''∈<∈+∞>，时，；当，时，，所以1x =和e x =分别是函数()f x 的极大值点和极小值点．所以e a =时，()f x 的极大值为e −1，极小值为0．…………………………………（12分） 22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（1）因为直线的倾斜角为30°，经过时间t 后，小虫爬行的距离为2t ，其所在位置为(1)t -+，所以该射线的参数方程为1(0)x t t y t ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩为参数，≥，． ………………………………………………………………………………………（5分）理科数学参考答案·第7页（共7页）（2）曲线C 1的直角坐标方程为22100x y x +-=；将射线的参数方程带入曲线C 1的方程，得24110t -+=，设t 1，t 2分别为小虫爬入和爬出的时间，则1212114t t t t =+=，，逗留时间214(min)t t -==，所以小虫在圆内逗留的时间为4min ．…………………………………………………（10分） 23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】 解：如图4，（1）22x y x y OD OC +-==，，CD =5分） （2）由（1）知，()2a b CD OD a b +=≥，时取等号， 所以2221224a b a b ++⎛⎫= ⎪⎝⎭， 22441112482a b a b a b +⎛⎫⇒+== ⎪⎝⎭≥≥≥当时取到等号， 所以44a b +的最小值为18．……………………………………………………………（10分） 图4。

20届高考适应性月考卷（五）数学（理）试题（解析版）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 设集合A={x|0＜x＜2}，集合B={x|x²3x+2=0}，则A∩B=（）A. {1}B. {2}C. {1, 2}D. ∅2. 已知复数z满足|z|=1，则|z1|的最小值为（）A. 0B. 1C. √2D. 23. 设函数f(x)=x²+2ax+a²1（a为常数），若f(x)在区间（1，1）上单调递增，则实数a的取值范围是（）A. [1, 1]B. [2, 2]C. [√2, √2]D. R4. 在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=3，b=4，cosC=1/2，则sinB的值为（）A. 1/2B. 3/5C. 4/5D. 3/45. 已知等差数列{an}的公差为2，若a1+a3+a5=12，则a4的值为（）A. 6B. 8C. 10D. 126. 设平面向量a=(2，1)，b=(1，2)，则向量a与向量b的夹角为（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°7. 若函数f(x)=lnxa x²在（0，+∞）上单调递减，则实数a的取值范围是（）A. (0, +∞)B. (∞, 0]C. (∞, 1]D. (0, 1]8. 在平面直角坐标系中，直线y=kx+1与圆x²+y²=4相切，则实数k的值为（）A. 1B. 1C. √3D. √39. 已知数列{an}的通项公式为an=(n+1)/n，则数列的前n项和为（）A. n+1B. nC. n1D. 110. 设函数f(x)=e^xx1，则f(x)在区间（0，+∞）上的零点个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11. 已知函数f(x)=x²+2x+1，则f(x)的最小值为______。

2020届云南省昆明市民族中学高三上学期10月适应性月考数学试题一、单选题1．已知集合{}1,2,3A =，{}21,B y y x x A ==+∈，则A B =（ ）A.{}1,3,5,7B.{}1,2,3C.{}1,2,3,4D.{}1,2,3,5,7【答案】D【解析】先求得集合{}3,5,7B =，再根据集合的并集运算，即可求解. 【详解】由题意，集合{}1,2,3A =，{}{}21,3,5,7B y y x x A ==+∈=， 所以{}1,2,3,5,7A B =.故选D. 【点睛】本题主要考查了集合的表示，以及集合的并集运算，其中解答中正确求解集合B ，以及集合并集运算是解答的概念，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 2．设()12z i i -=+，则在复平面内z 对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】D【解析】根复数的运算，化简得132iz +=，再根据共轭复数的概念，即可求解. 【详解】由复数()12z i i -=+，则21312i i z i ++==-，所以1313222i z i -==-， 所以复平面内z 对应的点13(,)22-位于第四象限.故选D. 【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及共轭复数的概念，其中解答中熟记复数的运算法则，3．对于非零向量,a b ，“//a b ”是“0a b +=”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】根据共线向量的条件，以及充分条件和必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由题意，向量0a b +=，则a b =-，所以//a b ， 又由向量//a b ，则0a b +=不一定成立， “//a b ”是“0a b +=”的必要不充分条件， 故选B. 【点睛】本题主要考查了共线向量的概念，以及充分条件和必要条件的判定，其中解答中熟记共线向量的条件，以及充分条件和必要条件的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.4．（2013•江西）总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（ ）7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481 A ．08 B ．07 C ．02 D ．01 【答案】D【解析】试题分析：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字开始向右读，依次为65，72，08，02，63，14，07，02，43，69，97，28，01，98，…，其中08，02，14，07，01符合条件，故可得结论．解：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字开始向右读，第一个数为65，不符合条件，第二个数为72，不符合条件， 第三个数为08，符合条件，以下符合条件依次为：08，02，14，07，01， 故第5个数为01．点评：本题主要考查简单随机抽样．在随机数表中每个数出现在每个位置的概率是一样的，所以每个数被抽到的概率是一样的． 5．已知等比数列{}n a 满足114a =,()35441a a a =-,则2a =（ ） A ．2 B ．1C ．12D ．18【答案】C【解析】试题分析：由题意可得()235444412a a a a a ==-⇒=,所以34182a q q a ==⇒=,故2112a a q ==,选C. 【考点】本题主要考查等比数列性质及基本运算.6．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中x 的值是A ．2B ．92C ．32D ．3【答案】D【解析】根据三视图判断几何体为四棱锥，再利用体积公式求高x 即可． 【详解】根据三视图判断几何体为四棱锥，其直观图，如下图： 所以11223332V x x +=⨯⨯⨯=⇒=．故选：D ．由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．7．过点()3,1作圆()()22224x y -+-=的弦，其中最短弦的长为（ ）A.22B.1C.2D.2【答案】A【解析】要使得弦长最短，得到直线过点(3,1)P 且与PC 垂直，利用圆的弦长公式，即可求解. 【详解】由题意，圆()()22224x y -+-=，可得圆心坐标为()2,2C ，又由点(3,1)P ，则2PC =，要使得弦长最短，则直线过点(3,1)P 且与PC 垂直，此时最短弦长为()2222222-=.故选A.【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中合理利用圆的性质是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于基础题. 8．如图的程序，当输入3x =-时，程序运行的结果为（ ）A.5y =B.76y =C.22y =D.2y =-【答案】C【解析】正确理解条件分支结构的算法语句的计算功能，代入3x =-，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，运行上述程序，可得当输入3x =-时，得到其运算结果为()233522y =⨯--=.故选C. 【点睛】本题主要考查了条件分支结构的算法语句的结果输出问题，其中解答中正确理解条件分支结构的算法语句的计算功能是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 9．已知直三棱柱111ABC A B C -的底面为直角三角形，且两直角边长分别为1和23，此三棱柱的高为3，则该三棱柱的外接球的体积为（ ） A.83πB.163πC.323πD.643π【答案】C【解析】将直三棱柱111ABC A B C -补成为长方体，求得长方体的体对角线长，得到球的半径，利用球的体积公式，即可求解. 【详解】由题意，将直三棱柱111ABC A B C -补成为长方体，如图所示， 则该长方体的体对角线为()()22223314++=，设长方体的外接球的半径为R ，则24R =，2R =， 所以该长方体的外接球的体积343233V R ππ==， 故选C.【点睛】本题主要考查了组合体的结构特征，以及球的体积的计算，其中解答中把直三棱柱补成一个长方体，求得球的半径是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于基础题.10．已知函数()1xg x e =-的图象如图所示，则函数()y g x '=图象大致为（ ）A. B.C. D.【答案】C【解析】先利用绝对值的定义将函数()g x 的解析式写成分段式，求导，得到导函数()g x '，进而判断图像形状。

民族中学2021届高三数学适应性月考〔五〕试卷理〔扫描版〕创作人：历恰面日期：2020年1月1日民族中学2021届高考适应性月考卷〔五〕理科数学参考答案第一卷〔选择题，一共60分〕一、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分〕【解析】1．A ={0，1，2，3，4，5，6}，B ={|0x x <或者3}x >，{456}A B =，，，应选B ．2．21i 31i 2i 55z +==++，所以23155Z ⎛⎫⎪⎝⎭，在第一象限，应选A ． 3．B 选项里面11a<，解得1a >或者0a <，应选B ． 4．一元二次方程2540x x -+=，解得11x =，24x =，所以1314a a ==，，那么公比2q =，所以21n n S =-，应选B ．5．11222+222S =⨯⨯⨯，应选B ．6．22()()()()()DE DF OE OD OF OD OE OD OE OD OE OD =--=---=--=22(31)8--=-，应选D ．7．1011=0+11p S =+==，，k =2，2<5？是；14123133p S =+==+=，，k =3，3<5？是； 413336+362p S =+===，，k =4，4<5？是； 31864102105p S =+==+=，，k =5，5<5？否，∴85S =，应选C ． 8．求得交点()A k k ，，(2)B k k -，，(00)C ，，∴2A z k =，B z k =-，0C z =，∵0k ＞， ∴max 212z k ==，∴6k =，∴min 6z k =-=-，应选B ．9．在空间四边形ABCD 中，取AC 的中点为O ，连接OB ，OD ，那么60BOD ∠=︒，R =OA =OB =OC =OD =2，V =323π，应选D ． 10．F (1，0)，准线为x =-1，设准线与x 轴的交点为H ，在△AHF 中，HF =2，AFH PAF ∠=∠60=︒，又AP =PF ，那么△PAF 为等边三角形，PF =AF =4，应选B ．11．ln 1=0ln =1x ax x ax -+⇔-，令12ln 1y x y ax ==-，，直线21y ax =-过定点(01)-，，设直线21y ax =-与1y 的切点为00(ln )x x ，，由于11y x'=，所以切线斜率0000ln 1111x a x a x x +====，∴，，当(01)a ∈，时，直线21y ax =-与1y 的图象有2个交点，应选C ．12．由()()()()f x g x f x g x ''<得2()()()()()0()()f x f x g x f x g x g x g x '''⎡⎤-=<⎢⎥⎣⎦，即()()x f x y a g x ==为R 上的减函数，所以01a <<，由(1)(1)5(1)(1)2f f g g -+=-，得152a a -+=，即22520a a -+=，解得2a =或者12a =，又01a <<，所以12a =，故()1()2xf xg x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，数列()()()f n n g n ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭*N 即1()2nn ⎧⎫⎪⎪⎛⎫∈⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭*N ，其前n 项和为111221*********nn ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=-= ⎪⎝⎭-，整理得11264n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得6n =，应选B ．第二卷〔非选择题，一共90分〕二、填空题〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分〕【解析】13．由17n +=，得n =6，应用二项式定理，得展开式的常数项为4422561C ()15T x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭．14．由，得1111212222f ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，于是511122222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．15．由2y x =，得0)y x x =≥，那么面积为1312320212111()d 33333A S S x x x x x Ω⎛⎫===-=-= ⎪⎝⎭⎰，，于是概率为13A S S Ω=．16．由函数32115()33212f x x x x =-+-，得2()3f x x x '=-+，那么()21f x x ''=-，令()0f x ''=，得12x =，代回原函数，得112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故对称中心为112⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 三、解答题〔一共70分．解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤〕 17．〔本小题满分是12分〕解：〔Ⅰ〕由余弦定理，得2222cos AB AC BC AC BC ACB =+-⋅⋅∠1259253492⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，那么7km AB =．…………………………………………〔6分〕〔Ⅱ〕由三角形中线性质定理，得1()2CD CA CB =+，平方得222211119()(2)(25539)4444CD CA CB CA CA CB CB =+=+⋅+=-⨯+=， 于是191942CD CD ===．………………………………………………………〔12分〕18．〔本小题满分是12分〕 〔Ⅰ〕证明：连接AC ，∵四边形ABCD 为平行四边形，且E 为BD 的中点， ∴AC ∩BD =E ，∴E 为AC 的中点． 又∵F 为PC 的中点，∴EF 是△PAC 的中位线，∴EF ∥PA ． 又∵PA ⊂平面ADP ，EF ⊄平面ADP ，∴EF ∥平面ADP ．…………………………………〔4分〕 〔Ⅱ〕解：如图1，连接AM 和DM ，∵PD ⊥平面ABCD ， ∴PD ⊥AD ，且PD ⊥BD ，又∵AD ⊥BD ，PD BD D =，∴AD ⊥平面PDB ，又∵MD ⊂平面PDB ， ∴AD ⊥MD ， 又∵AD ⊥BD ，∴∠MDB 是二面角M AD B --的平面角，∴∠MDB =45°．…………………………〔8分〕 在△PDB 中，∵PD ⊥BD ，PD =BD ，∠MDB =45°，∴M 是PB 的中点，∴2λ=．…………………………………………………………〔12分〕19．〔本小题满分是12分〕解：〔Ⅰ〕甲、乙两班数学样本成绩的中位数分别是72分、70分．………………〔2分〕 〔Ⅱ〕901+804+70660650240190==7120x ⨯⨯⨯+⨯+⨯+⨯+甲，902+803+705605503402100==7020x ⨯⨯⨯+⨯+⨯+⨯+乙，∴甲、乙两班数学样本成绩的平均值分别是71分、70分．…………………………〔6分〕〔III 〕ξ的可能取值为0、1、2、3、4，甲、乙两班各有5个优秀成绩，故从甲班中抽取一个成绩是优秀成绩的概率为14，从乙班中抽取一个成绩是优秀成绩的概率也为14，4381(0)4256P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，图13121327(1)2C 4464P ξ⎛⎫⎛⎫===⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 22221122131327(2)2+C C 4444128P ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 221221133(3)2C C 44464P ξ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭， 411(4)4256P ξ⎛⎫===⎪⎝⎭， ∴ξ的分布列为：……………………………………………………………………………………〔11分〕8110854121()012341256256256256256E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．……………………………〔12分〕20．〔本小题满分是12分〕解：〔Ⅰ〕在12AF F △中，由1260F AF ∠=︒，12AF AF a ==， 得12AF F △是等边三角形，那么2a c =， 于是椭圆C 的离心率12c e a ==．………………………………………………………〔4分〕〔Ⅱ〕由12c e a ==，得2a c =，那么b =，于是椭圆C ：2222143x y c c +=．又由右焦点2(0)F c ，及斜率tan 451k =︒=，得直线l y x c =-：． 联立，得2223412y x c x y c =-⎧⎨+=⎩，，消去y ，得227880x cx c --=． 运用韦达定理，得212128877x x c x x c +==-，．…………………………………………〔8分〕设1122()()M x y N x y ，，，，且1(0)F c -，， 那么111122()()MF NF c x y c x y ⋅=------，，21212121212()()()()()()22c x c x y y c x c x x c x c x x c =+++=+++--=+222162277c c c =-+=-，而112MF NF ⋅=-，即2227c -=-，于是27c c ==，．所求椭圆C 的方程为2212821x y +=．……………………………………………………〔12分〕21．〔本小题满分是12分〕〔Ⅰ〕解：函数()f x 的单调递减区间为(1)-∞-，，单调递增区间为[10)-，，(0)+∞，．……………………………………………………………………………………〔2分〕〔Ⅱ〕证明：由()g x 有意义知12x ≥，所以()ln f x x =，令()()()h x g x f x =-，1()h x x'=，因为22121(1)0x x x x x⇔⇔-⇔-≥≥成1x 成立，所以()0h x '≥，即()()()h x g x f x =-在12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，上是增函数．所以min 11111()ln ln 2022222h x h ⎛⎫==--=->-= ⎪⎝⎭，所以()()g x f x >，即曲线()f x 与()g x 12没有公一共点．…………………………………………〔6分〕〔Ⅲ〕解：当120x x <<或者210x x >>时，12()()f x f x ''≠，故120x x <<．当10x <时，函数()f x 的图象在点11(,())x f x 处的切线方程为211(2)y x x a -++= 11(22)()x x x +-，即211(22)y x x x a =+-+．当20x >时，函数()f x 的图象在点22(,())x f x 处的切线方程为2221ln ()y x x x x -=-，即221ln 1y x x x =⋅+-，两切线重合的充要条件是12221122ln 1x x x x a ⎧=+⎪⎨⎪-=-+⎩，①，②由①及120x x <<，知110x -<<．由①②得，2111ln122a x x =+-+211ln(22)1x x =-+-． 设21111()ln(22)1(10)h x x x x =-+--<<，那么1111()201h x x x '=-<+． 所以，1()h x 在(10)-，上是减函数，那么1()(0)ln 21h x h >=--，所以ln 21a >--． 又当1(10)x ∈-，且趋近于1-时，1()h x 无限增大，所以a 的取值范围是(ln 21)--+∞，．故当函数()f x 的图象在点A 、B 处的切线重合时，a 的取值范围是(ln 21)--+∞，．……………………………………………………………………………………〔12分〕22．〔本小题满分是10分〕【选修4−1：几何证明选讲】证明：〔Ⅰ〕如图2，∵AD ∥BC ，∴∠ADB =∠DBC 〔两直线平行内错角相等〕， 又∵∠ADB =∠ACB 〔同弧所对圆周角相等〕， ∴∠DBC =∠ACB ． 在△ABC 和△DCB 中，∵∠BAC =∠CDB 〔同弧所对圆周角相等〕，BC = BC ，∠DBC =∠ACB 〔已证〕，∴△ABC ≌△DCB ．………………………………………………………………………〔5分〕图2〔Ⅱ〕在△AED 和△BAC 中， ∵AC ∥ED 〔〕，AD ∥BC 〔〕，∴∠ADE =∠BCA ， ∠EAD =∠ABC ， ∴△AED ∽△BAC ，∴AE DEAB AC=， ∴AE AC AB DE ⋅=⋅． 又由〔Ⅰ〕知△ABC ≌△DCB ， ∴AB =DC ，AC =BD ，∴DE ·DC ＝AE ·BD ．……………………………………………………………………〔10分〕23．〔本小题满分是10分〕【选修4−4：坐标系与参数方程】解：〔Ⅰ〕依题意可得直线l 的直角坐标方程为120x --=，曲线C 的普通方程为221273x y +=．………………………………………………………〔4分〕〔Ⅱ〕设)P θθ，那么点P 到直线l 的间隔d cos 16θπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，min 3d =． ……………………………………………………………………………………〔10分〕24．〔本小题满分是10分〕【选修4−5：不等式选讲】〔Ⅰ〕解：因为(3)f x k x +=-，所以(3)0f x +≥等价于x k ≤，由x k ≤有解，得0k ≥，且其解集为{}x k x k -≤≤．又(3)0f x +≥的解集为[11]-，，故k =1．……………………………………………〔5分〕 〔Ⅱ〕证明：由〔Ⅰ〕知1a +12b +13c=1，又a ，b ，c ∈R ＋，由柯西不等式得 211123(23)923a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++= ⎪⎝⎭≥．………………………………………………………………………………………〔10分〕。