初中数学竞赛专题《换元法》

初中数学什么是换元法换元法是一种在初中数学中常用的解题方法，特别适用于一些复杂的方程或不等式的求解过程。

通过引入一个新的未知数或进行一定的代换，可以将原问题转化为更简单的形式，从而更容易求解。

下面我将为您详细介绍换元法的定义、原理以及应用方法。

一、换元法的定义换元法是指通过引入一个新的未知数或进行一定的代换，将原问题转化为更简单的形式，从而更容易求解的解题方法。

通过将问题中的变量进行替换，可以改变问题的形式，使其更易于处理。

换元法在解方程、求不等式的最值、证明等问题中都有广泛的应用。

二、换元法的原理换元法的原理是通过引入一个新的未知数或进行一定的代换，将原问题转化为更简单的形式。

新的未知数或代换的选择通常是根据问题的特点和需要来确定的。

通过合理的选择，可以使问题的形式更简单，从而更容易求解。

三、换元法的应用方法换元法的应用方法可以根据具体问题的不同而有所变化。

下面我将分别介绍在解方程、求不等式的最值以及证明中的换元法应用方法。

1. 解方程：a. 对于一元一次方程，可以通过引入新的未知数或进行代换，将其转化为更简单的形式。

例如，对于方程2x + 3 = 7，可以引入新的未知数y = 2x + 3，转化为y = 7，进而求得x的值。

b. 对于一元二次方程，可以通过引入新的未知数或进行代换，将其转化为更简单的形式。

例如，对于方程x^2 + 3x + 2 = 0，可以引入新的未知数y = x + 1，转化为y^2 + 2 = 0，进而求得x的值。

2. 求不等式的最值：a. 对于一元一次不等式，可以通过引入新的未知数或进行代换，将其转化为更简单的形式。

例如，对于不等式2x + 3 > 5，可以引入新的未知数y = 2x + 3，转化为y > 5，进而求得x的取值范围。

b. 对于一元二次不等式，可以通过引入新的未知数或进行代换，将其转化为更简单的形式。

例如，对于不等式x^2 - 4x + 3 > 0，可以引入新的未知数y = x - 2，转化为y^2 - 1 > 0，进而求得x的取值范围。

换元法在数学竞赛中的若干运用摘要：在中学数学竞赛中，换元法作为一种重要的解题方法，有着能够将数学问题化繁为简，化难为易的作用。

本文论述换元法在中学数学竞赛中的若干种运用，主要从自身换元、局部换元、整体换元、常值换元、均值换元、参数换元、比值换元及其功能分类等八个方面来论述.关键词：换元法、数学竞赛Abstract前言从往年的竞赛试题看，初中竞赛和高中竞赛题需要用到换元法来求解的问题是相当多的。

在计算题、解高次方程、解无理方程、求函数解析式、不等式的证明、数列等题型中经常能过发挥重要的作用。

通过换元法可以达到化高次为低次，化分式为整式，化无理式为有理式，化超越式为代数式的转化。

这里我仅结合数学竞赛中常出现的一些题型来谈一谈它在数学竞赛中的一些运用.1.换元法的定义及其相关概念1.1换元法的定义所谓换元法（substitution method; substitution; changing yuan）是一种设辅助元素，把题中一个（些）字母的表达式用另外的一个字母（些）字母的表达式来代替，从而达到把要求解的问题简单化，建立已知和未知的联系的方法.在解决数学竞赛试题时，有时我们直接按原始的方法去解决问题会显得比较繁琐和困难，或者原问题所给已知条件不易得出最后结果，或者所给问题不好下手，那么这时如果我们能够引人新的“元”代替旧的“元”，使得建立在“新元”基础上的条件和问题得到了化繁为简、化难为易，容易得出最后的正确结果。

这就是换元法之所在.1.2换元法的基本思想化繁为简、化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式、化不熟悉为熟悉.1.3换元法的一般步骤①构造新元②解答③求出原解转化代价代换2.换元法的分类及典例分析2.1从结构上划分2.1．1自身换元法在数学竞赛中，我们经常会遇到一些很繁杂的计算题，如果按照原始的方法去计算，如果按照原始的方法去计算，将会使计算过程变的复杂难解，甚至不能得到最后的正确结果，这时我们常会用到“自身换元法”。

第3讲换元法和待定系数法典型例题一.换元法【例1】分解因式：63-+x x2827【例2】分解因式：44222-+++-()()()a b a b a b【例3】分解因式：4444(4)++-a a【例4】分解因式：44+++-y y(1)(3)272+++-+y y y(1)(3)4(35)【例5】分解因式：33【例6】 分解因式：2222(48)3(48)2x x x x x x ++++++【例7】 证明：四个连续整数的的乘积加1是整数的平方.【例8】 分解因式：(1)(1)(3)(5)9x x x x -+++-【例9】 分解因式：22(76)(6)56x x x x -+--+.【例10】 分解因式：42199819991998x x x -+-【例11】 分解因式：24(5)(6)(10)(12)3x x x x x ++++-【例12】 分解因式：()()()()()()()b c a c a b a b c a a b c a b c b a b c b c a +-+-+-+-++-++-+-+()()c b c a a b c +--+.【例13】 分解因式：2(3)(1)(5)20x x x +-+-.【例14】 分解因式：4322212()x x x x x +++++.【例15】 分解因式：22222(21)(44)(21)x y x y xy x y x +-+----+.【例16】 分解因式：2(1)(2)(2)xy x y x y xy -++-+-.【例17】 证明：对任意自然数n ，都存在一个自然数m ，使得1mn +是一个合数.【例18】化简：2323234 (1)1x x x xx x x x+++-++++.【例19】将199551-分解成三个整数之积，且每一个因数都大于1005.二.待定系数法【例20】分解因式：43223x x x x++-+【例21】分解因式：432x x--【例22】 分解因式：432266x x x x -+-+【例23】 分解因式：432615x x x x -+-+.【例24】 421x x -+能否分解因式？【例25】 分解因式：2422(1)1a a a a ++-+.【例26】 若226541122x xy y x y m ---++可分解为两个一次式的积，求m 的值并将多项式分解因式.【例27】 已知4326134x x x kx -+++是一个完全平方式，求常数k 的值.【例28】 已知32x bx cx d +++的系数均为整数，若bd cd +为奇数.求证：此多项式不能分解为两个整系数的多项式之积.【例29】 已知关于x ，y 的二次六项式226372x axy y x y +----能分解为一次式2x by c ++与2dx ey +-的积，求a b c d e ++++的值.【例30】 已知关于y 的五次三项式554y my n -+有二次因式2()y a -（其中a ，n 均不为零）.求证：（1）n a m =；（2）54m n =.【例31】 将分式251126x x x -+-分解成部分分式.思维飞跃【例32】 设3434a b -≤-≤，5917a b ≤+≤，求7a b +的最小值和最大值。

初三换元法例题一、题目：计算下列等式的值1. 17a + 8b - 3c，其中a = 2，b = 5，c = 3。

2. 4x + 2y - 5z，其中x = 3，y = 7，z = 2。

1. 代入a = 2，b = 5，c = 3，得：17(2) + 8(5) - 3(3)= 34 + 40 - 9所以，17a + 8b - 3c 的值为74。

2. 代入x = 3，y = 7，z = 2，得：4(3) + 2(7) - 5(2)= 12 + 14 - 10所以，4x + 2y - 5z 的值为16。

二、题目：写出下列等式的换元表达式。

1. 5a + 3b - 2c，a = x + 1，b = 2y，c = z - 3。

2. 2x + 4y - 3z，x = a - 1，y = b + 2，z = c + 3。

1. 代入a = x + 1，b = 2y，c = z - 3，得：5(x + 1) + 3(2y) - 2(z - 3)= 5x + 5 + 6y - 2z + 6= 5x + 6y - 2z + 11所以，换元后的表达式为 5x + 6y - 2z + 11。

2. 代入x = a - 1，y = b + 2，z = c + 3，得：2(a - 1) + 4(b + 2) - 3(c + 3)= 2a - 2 + 4b + 8 - 3c - 9= 2a + 4b - 3c - 3所以，换元后的表达式为 2a + 4b - 3c - 3。

三、题目：用换元法解下列问题。

1. 有一个长方形，长是x + 3，宽是x - 2，求其周长和面积。

2. 小明的体重是a - 10kg，小明增加了b kg，现在的体重是多少？1. 周长 = 2(长 + 宽) = 2(x + 3 + x - 2) = 4x + 2面积 = 长× 宽 = (x + 3)(x - 2) = x^2 + x - 6所以，长方形的周长为4x + 2，面积为x^2 + x - 6。

备战2020中考数学解题方法专题研究专题4 换元法专题【方法简介】解一些复杂的因式分解问题，常用到换元法，即对结构比较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化，明朗化，在减少多项式项数,降低多项式结构复杂程度等方面有独到作用。

换元法又称变量替换法, 是我们解题常用的方法之一。

利用换元法, 可以化繁为简, 化难为易, 从而找到解题的捷径。

【真题演练】1. 若（x2+y2﹣2）2=9，则x2+y2的值为（）A．1 B．﹣1 C．5 D．5或﹣1【解析】：设t=x2+y2（t≥0），由原方程得：（t﹣2）2=9，解得t﹣2=±3，解得t=5或t=﹣1（舍去）．故选：C．2. 用“整体法”求得方程（2x+5）2﹣4（2x+5）+3=0的解为（）A．x1=1，x2=3 B．x1=﹣2，x2=3 C．x1=﹣3，x2=﹣1 D．x1=﹣2，x2=﹣1【解析】：（2x+5）2﹣4（2x+5）+3=0，设2x+5=y，则原方程变形为y2﹣4y+3=0，解得：y1=1，y2=3，当y=1时，2x+5=1，解得：x=﹣2，当y=3时，2x+5=3，解得：x=﹣1，即原方程的解为x1=﹣2，x2=﹣1，故选：D．3. 若实数a，b满足（2a+2b）（2a+2b﹣2）﹣8=0，则a+b=．【解析】设a+b=x，则由原方程，得2x（2x﹣2）﹣8=0，整理，得4x2﹣4x﹣8=0，即x2﹣x﹣2=0，分解得：（x+1）（x﹣2）=0，解得：x1=﹣1，x2=2．则a+b的值是﹣1或2．故答案是：﹣1或2．4. 阅读下面的材料，回答问题：解方程x4﹣5x2+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x2=y，那么x4=y2，于是原方程可变为y2﹣5y+4=0 ①，解得y1=1，y2=4．当y=1时，x2=1，∴x=±1；当y=4时，x2=4，∴x=±2；∴原方程有四个根：x1=1，x2=﹣1，x3=2，x4=﹣2．（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用法达到的目的，体现了数学的转化思想．【解析】：（1）换元，降次（2）设x2+x=y，原方程可化为y2﹣4y﹣12=0，解得y1=6，y2=﹣2．由x2+x=6，得x1=﹣3，x2=2．由x2+x=﹣2，得方程x2+x+2=0，b2﹣4ac=1﹣4×2=﹣7＜0，此时方程无实根．所以原方程的解为x1=﹣3，x2=2．【名词释义】概念：换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。

初中数学竞赛专题选讲换元法一、内容提要1. 换元就是引入辅助未知数.把题中某一个（些）字母的表达式用另一个（些）字母的表达式来代换，这种解题方法，叫做换元法，又称变量代换法.2. 换元的目的是化繁为简，化难为易，沟通已知和未知的联系.例如通过换元来降次，或化分式、根式为整式等.换元的关鍵是选择适当的式子进行代换.3. 换元要注意新旧变元的取值范围的变化.要避免代换的新变量的取值范围被缩小；若新变量的取值范围扩大了，则在求解之后要加以检验.4. 解二元对称方程组，常用二元基本对称式代换.5. 倒数方程的特点是：按未知数降幂排列后，与首、末等距离的项的系数相等.例如：一元四次的倒数方程ax 4+bx 3+cx 2+bx+a=0.两边都除以x 2,得a(x 2+21x )+b(x+x 1)+c=0.设x+x 1=y, 那么x 2+21x= y 2－2,原方程可化为ay 2+by+c －2=0.对于一元五次倒数方程 ax 5+bx 4+cx 3+cx 2+bx+a=0， 必有一个根是－1.原方程可化为 (x+1)(ax 4+b 1x 3+c 1x 2+b 1x+a)=0.ax 4+b 1x 3+c 1x 2+b 1x+a=0 ，这是四次倒数方程.形如 ax 4－bx 3+cx 2＋bx+a=0 的方程，其特点是：与首、末等距离的偶数次幂项的系数相等，奇数次幂的系数是互为相反数.两边都除以x 2, 可化为a(x 2+21x)－b(x －x 1)+c=0. 设x －x 1=y, 则x 2+21x=y 2+2,原方程可化为 ay 2－by+c+2=0.二、例题例1. 解方程1112---++x x x =x.解：设11-++x x =y, 那么y 2=2x+212-x .原方程化为： y －21y 2=0 . 解得 y=0；或y=2.当y=0时， 11-++x x =0 (无解) 当y=2时，11-++x x =2，解得，x=45. 检验（略）. 例2. 解方程：x 4+(x －4)4=626.解：（用平均值24-+x x 代换，可化为双二次方程.） 设 y= x －2 ，则x=y+2.原方程化为 (y+2)4+(y －2)4=626.［((y+2)2－(y －2)2)2＋2(y+2)2(y －2)2－626=0整理，得 y 4+24y 2－297=0. (这是关于y 的双二次方程).(y 2+33)(y 2－9)=0. 当y 2+33=0时， 无实根 ；当y 2－9=0时， y=±3.即x －2=±3， ∴x=5；或x=－1. 例3. 解方程：2x 4+3x 3－16x 2+3x+2=0 .解：∵这是个倒数方程，且知x ≠0，两边除以x 2,并整理 得2(x 2+21x )+3(x+x 1)－16=0.设x+x 1=y, 则x 2+21x=y 2－2.原方程化为 2y 2+3y －20=0. 解得 y=－4；或y=25. 由y=－4得 x=－2+3；或x=－2－3. 由y=2.5得 x=2；或x=21. 例4 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++++=+++++01012124012522222y x y xy x y x y xy x 解：（这个方程组的两个方程都是二元对称方程，可用基本对称式代换.）设x+y=u, xy=v. 原方程组化为：⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++01021201222v u u v u u . 解得⎩⎨⎧-==374v u ； 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=91132v u . 即⎩⎨⎧-==+374xy y x ； 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+91132xy y x . 解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+-=33213321y x ；或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=--=33213321y x ；或⎪⎩⎪⎨⎧-=+=412412y x ；或⎪⎩⎪⎨⎧+=-=412412y x .三、练习解下列方程和方程组：（1到15题）：1. =++++)7(27x x x x 35－2x.2. (16x 2－9)2+(16x 2－9)(9x 2－16)+(9x 2－16)2=(25x 2－25)2.3. (2x+7)4+(2x+3)4=32 .4. (2x 2－x －6)4+(2x 2－x －8)4=16. 5. (2115-+x )4+(2315-+x )4=16.6.x x x x 112+++=223. 7. 2x 4－3x 3－x 2－3x+2=0. 8. ⎪⎩⎪⎨⎧=++=+++19182222xy y x y x y x 9. ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+160311122y x y x .10.563964467222+-=+-+--x x x x x x . 11. (6x+7)2(3x+4)(x=1)=6.12. ⎪⎩⎪⎨⎧=+=-++13511y x y x . 13. ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+1025y x x y y x .14. ⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=-+++01823312y xy y y x y x . 15x xx x =-+-111. 16. 分解因式： ①(x+y －2xy)(x+y －2)+(1－xy)2； ②a 4+b 4+(a+b)4.17. 已知：a+2=b －2=c ×2=d ÷2, 且a+b+c+d=1989.则a=___,b= ____,c=_____,d=____ (1989年泉州市初二数学双基赛题) 18. ［a ］表示不大于a 的最大整数，如［2］=1，［－2］=－2，那么 方程 ［3x+1］=2x －21的所有根的和是_____.(1987年全国初中数学联赛题)练习题参考答案1. 2212292. ±43±343. －254. 2,－23,4651±5.3231-32211， 6. 1 7.21,2 8.⎪⎩⎪⎨⎧+-=--=⎪⎩⎪⎨⎧--=+-=⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==727272722332y x y x y x y x 9. ⎪⎩⎪⎨⎧+-=--=⎪⎩⎪⎨⎧--=+-=⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==555555555555412124y x y x y x y x 10. 7,－1 11.－32,－3512.⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==10358y x y x 13.⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==8228y x y x 14. ⎪⎩⎪⎨⎧+=-=⎪⎩⎪⎨⎧-=+=⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧==1031041031041513y x y x y x y x 15. x=251± 16.①设x+y=a,xy=b ②设a 2+b 2=x,ab=y 17.设原式=k, k=442 18. –2可设2x －21=t, x=21t+41代入[3x+1]。

知识点拨【知识提要】1. 方程中变量的换元；2. 三角换元；3. 特殊换元。

【基本题型】1. 解超过二次的方程，或解某些特殊的根式方程；2. 证明某些不等式，或者某些量的取值范围；3. 求某些难以直接求出来表达式的值。

【解题技巧】1. 遇到可以整体代入的时候，可以考虑换元；2. 解特殊的高次方程的时候，可以考虑换元；3. 有时候甚至可以联想三角函数。

快乐热身【热身】已知若有23y x =+成立，则有恒等式2223x x ay by c ++=++成立。

求abc 的值。

【解析】分析 直接用待定系数法会很繁琐。

有没有简单一些的方法呢？解 因为23y x =+，所以32y x -=。

所以，22239232424y y y x x y -⎛⎫++=+=-+ ⎪⎝⎭。

因此，119942432abc ⎛⎫=⨯-⨯=- ⎪⎝⎭。

第五讲 换元法热身完了，我们开始今天的课程吧！例题精讲【例 1】 求1111111...++++（无穷多个）的值。

【解析】 分析 连分数化简为分数从最底下开始，但是这个是无限的，应该怎么办呢？解 设原式x =，则11x x=+，也就是说210x x --=。

解得12x +=（负根舍去）。

说明 无限连分数和无限小数一样，都是极限。

关于极限的概念，以后会学到。

【例 2】 解关于x 的一元四次方程：43210x ax bx ax ++-+=。

【解析】 分析 因为方程次数高，所以应当设法降次。

解 观察方程的系数，具有对称的特点，所以应当使用换元法。

显然0x =不是原方程的解，所以除以2x 后得到：2210a x ax b x x ++-+=。

设1y x x=-，则有220y ay b +++=。

248a b ∆=--。

⑴若0∆>，则方程的解为1y =2y =。

代回1y x x =-得到1,2x =，3,4x =。

⑵若0∆=，则方程的解为1,22a y =-，于是有1,34a x -+=，2,44a x -=。

初中数学换元法典型例题哎呀，数学这玩意儿，有时候真让人抓狂，尤其是换元法。

别紧张，今天咱就轻松聊聊这个话题，保证让你觉得数学其实也可以很有趣。

你想啊，换元法就像是一个魔法，能把复杂的数学题变得简单明了。

想象一下，原本复杂的方程，就像是一道拗口的菜，你一换材料，哎呀，立马变成了你爱吃的那种，简单又好下咽。

举个例子，想象一下，有个方程，咱们称它为“老大难”。

这时候，你要先看看，里面有没有什么可以换的部分，像是找到了那颗隐蔽的珍珠。

比如说，有个方程是x² +3x + 2 = 0。

这个方程里，你可能会觉得 x 这个家伙太难伺候，没关系，咱们可以用 y代替它，换成y² + 3y + 2 = 0，嘿嘿，突然间感觉简单多了，不是吗？再说，换元法可不是随便换换就完事。

你得选好合适的“替身”，有时候就像找对象，得找个合适的，才能事半功倍。

比如，咱们可以把 x 设为 y 1，结果一代入，方程变成了y² + 1 = 0。

哎呀，这一下直接变成了平方和，清清爽爽！你看，原本麻烦的事情，经过一番巧妙的“换元”，就轻松化解了。

再想象一下，换元法就像换了一条新路。

原本走那条蜿蜒曲折的小路，结果一不小心，咱们找到了条宽敞的马路。

比如说，咱们再来个例子，方程是x³ 3x + 2 = 0。

先把x 设成 y 1，结果你会发现，方程变得清晰了，像是在雾霭中突然看到蓝天。

只要稍微动动脑筋，神奇的事情就会发生。

换元法的魅力在于它的灵活性。

咱们可以用不同的元，像是变魔术似的，把复杂的变得简单。

就像变脸，今天是这个角色，明天换个身份，瞬间让人耳目一新。

比如把 x 设为 2y，结果一代入，你会发现，方程的结构也悄悄变了。

这种变化就像人生，今天你是学生，明天可能就是个专家，一步一个脚印，最终达成你的目标。

在解题过程中，换元法更像是一位耐心的老师，教你如何寻找解决问题的钥匙。

每当遇到棘手的题目，不妨停下来，先用换元法想一想，可能会有意想不到的收获。

因式分解的方法二——换元法参考答案知识要点：换元法是数学中的一种重要方法，在解题和证明中常常起到桥梁作用。

用换元法分解因式，是把题目中的某一部分或某几部分看成一个整体，设为一个或几个新的变元，从而使代数式的结果简单化，便于分解。

A 卷一、填空题1、分解因式：()()_______________122122=-++++x x x x .2、分解因式：()()()()_______________157531=+++++x x x x .3、（重庆市竞赛题）分解因式：()____________________199911999199922=---x x .4、（第12届“五羊杯”初二试题）分解因式：()()()_____________22333=-----y x y x . 5、（“TI 杯”初中竞赛题）若142=++y xy x ，282=++x xy y ，则y x +的值为 .二、选择题6、当1=-y x 时，42233433y xy y x y x xy x ++---的值为（ ）A 、1-B 、0C 、2D 、17、（武汉市选拔赛）若133=-x x ，则199973129234+--+x x x x 的值等于（ ）A 、1999B 、2001C 、2003D 、20058、要使()()()()m x x x x +--+-8431为完全平方式，则m 为（ ）A 、12B 、24C 、196D 、200B 卷一、填空题9、化简：()()()_______________111120022=++++++++x x x x x x x .11、（2005年第16届“希望杯”初二年级竞赛题）在有理数范围内分解因式： ()()()()________________________________________63212=+++++x x x x x二、解答题12、分解因式：（2）()13322132222-+-+-x x x x 解原式()()13211132222---+-=x x x x令y x x =-322，则原式()11112--+=y y y y 92-=()9-=y y()()9323222---=x x x x ()()()32332+--=x x x x（3）()()()91729522---+a a a （湖北省黄冈市竞赛题）解原式()()()()91723352---++=a a a a()()[]()()[]91723352---++=a a a a()()9121215222-----=a a a a 令y a a =-22，则原式()()912115---=y y224362+-=y y()()828--=y y()()8228222----=a a a a()()()827242--+-=a a a a （4）()()42424101314x x x x x ++++-（第13届“五羊杯”竞赛题）解：设y x =+14，则原式()()4221034x x y x y ++-=44221012x x y x y +--=4222x y x y --=()()222x y x y +-=()()1122424+++-=x x x x()()[]2222211x x x -+-=()()()1112222-+++-=x x x x x （5）()()()2121231-+-⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+++y x y x xy xy xy （天津市竞赛题） 解：设a y x =+，b xy =，则 原式()()()2121231--⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+++=a a b b b ()2212a b b -++=()()a b a b -+++=11()()y x xy y x xy --++++=11()()()()1111--++=y x y x （6）()()()3331252332y x y x y x ---+-（第13届“五羊杯”竞赛题） 解原式()()()[]33352332y x y x y x ---+-= ()()()()[]33323322332y x y x y x y x -+---+-= 设a y x =-32，b y x =-23，则原式()333b a b a +-+= ()b a ab +-=3()()()y x y x y x 5523323----=()()()y x y x y x 233215----=C 卷一、解答题13、（安徽省竞赛试题）证明：12000199919981997+⨯⨯⨯是一个整数的平方，并求出这个整数。

初中数学竞赛专题选讲（初三.8）换元法一、内容提要1. 换元就是引入辅助未知数.把题中某一个（些）字母的表达式用另一个（些）字母的表达式来代换，这种解题方法，叫做换元法，又称变量代换法.2. 换元的目的是化繁为简，化难为易，沟通已知和未知的联系.例如通过换元来降次，或化分式、根式为整式等.换元的关鍵是选择适当的式子进行代换.3. 换元要注意新旧变元的取值范围的变化.要避免代换的新变量的取值范围被缩小；若新变量的取值范围扩大了，则在求解之后要加以检验.4. 解二元对称方程组，常用二元基本对称式代换.5. 倒数方程的特点是：按未知数降幂排列后，与首、末等距离的项的系数相等.例如：一元四次的倒数方程ax 4+bx 3+cx 2+bx+a=0.两边都除以x 2,得a(x 2+21x )+b(x+x 1)+c=0. 设x+x 1=y, 那么x 2+21x = y 2－2, 原方程可化为ay 2+by+c －2=0.对于一元五次倒数方程 ax 5+bx 4+cx 3+cx 2+bx+a=0， 必有一个根是－1.原方程可化为 (x+1)(ax 4+b 1x 3+c 1x 2+b 1x+a)=0.ax 4+b 1x 3+c 1x 2+b 1x+a=0 ，这是四次倒数方程.形如 ax 4－bx 3+cx 2＋bx+a=0 的方程，其特点是：与首、末等距离的偶数次幂项的系数相等，奇数次幂的系数是互为相反数.两边都除以x 2, 可化为a(x 2+21x)－b(x －x 1)+c=0. 设x －x 1=y, 则x 2+21x=y 2+2, 原方程可化为 ay 2－by+c+2=0.二、例题例1. 解方程1112---++x x x =x. 解：设11-++x x =y, 那么y 2=2x+212-x .原方程化为： y －21y 2=0 . 解得 y=0；或y=2.当y=0时，11-++x x =0 (无解) 当y=2时， 11-++x x =2，解得，x=45. 检验（略）. 例2. 解方程：x 4+(x －4)4=626.解：（用平均值24-+x x 代换，可化为双二次方程.） 设 y= x －2 ，则x=y+2.原方程化为 (y+2)4+(y －2)4=626.［((y+2)2－(y －2)2)2＋2(y+2)2(y －2)2－626=0整理，得 y 4+24y 2－297=0. (这是关于y 的双二次方程).(y 2+33)(y 2－9)=0.当y 2+33=0时， 无实根 ；当y 2－9=0时， y=±3.即x －2=±3，∴x=5；或x=－1.例3. 解方程：2x 4+3x 3－16x 2+3x+2=0 .解：∵这是个倒数方程，且知x ≠0，两边除以x 2,并整理 得2(x 2+21x )+3(x+x 1)－16=0. 设x+x 1=y, 则x 2+21x =y 2－2. 原方程化为 2y 2+3y －20=0.解得 y=－4；或y=25. 由y=－4得 x=－2+3；或x=－2－3.由y=2.5得 x=2；或x=21. 例4 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++++=+++++01012124012522222y x y xy x y x y xy x解：（这个方程组的两个方程都是二元对称方程，可用基本对称式代换.） 设x+y=u, xy=v. 原方程组化为：⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++010********v u u v u u . 解得⎩⎨⎧-==374v u ； 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=91132v u . 即⎩⎨⎧-==+374xy y x ； 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+91132xy y x . 解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+-=33213321y x ；或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=--=33213321y x ；或⎪⎩⎪⎨⎧-=+=412412y x ；或⎪⎩⎪⎨⎧+=-=412412y x .三、练习解下列方程和方程组：（1到15题）： 1. =++++)7(27x x x x 35－2x.2. (16x 2－9)2+(16x 2－9)(9x 2－16)+(9x 2－16)2=(25x 2－25)2.3. (2x+7)4+(2x+3)4=32 .4. (2x 2－x －6)4+(2x 2－x －8)4=16.5. (2115-+x )4+(2315-+x )4=16.6. x x x x 112+++=223. 7. 2x 4－3x 3－x 2－3x+2=0. 8. ⎪⎩⎪⎨⎧=++=+++19182222xy y x y x y x 9. ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+160311122y x y x . 10. 563964467222+-=+-+--x x x x x x . 11. (6x+7)2(3x+4)(x=1)=6.12. ⎪⎩⎪⎨⎧=+=-++13511y x y x . 13. ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+1025y x x y y x .14. ⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=-+++01823312y xy y y x y x . 15x xx x =-+-111. 16. 分解因式： ①(x+y －2xy)(x+y －2)+(1－xy)2； ②a 4+b 4+(a+b)4 .17. 已知：a+2=b －2=c ×2=d ÷2, 且a+b+c+d=1989.则a=___,b= ____,c=_____,d=____18. ［a ］表示不大于a 的最大整数，如［2］=1，［－2］=－2，那么 方程 ［3x+1］=2x －21 的所有根的和是_____.参考答案 1. 221229 2. ±43±34 3. －25 4. 2,－23,4651± 5.3231-32211， 6. 1 7.21,2 8.⎪⎩⎪⎨⎧+-=--=⎪⎩⎪⎨⎧--=+-=⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==727272722332y x y x y x y x 9. ⎪⎩⎪⎨⎧+-=--=⎪⎩⎪⎨⎧--=+-=⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==555555555555412124y x y x y x y x 10. 7,－111.－32,－3512.⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==10358y x y x 13.⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==8228y x y x 14. ⎪⎩⎪⎨⎧+=-=⎪⎩⎪⎨⎧-=+=⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧==1031041031041513y x y x y x y x 15. x=251± 16.①设x+y=a,xy=b ②设a 2+b 2=x,ab=y17.设原式=k, k=44218. –2可设2x －21=t, x=21t+41代入[3x+1]。

初中换元法解题技巧和方法总结嘿，同学们！今天咱就来讲讲初中数学里超有用的换元法解题技巧和方法。

咱先想想啊，有时候数学题就像一团乱麻，直接去解那可真是让人头疼。

但换元法呢，就像是一把神奇的剪刀，咔嚓一下，把这团乱麻剪成一段段好处理的小线头。

比如说，遇到那种式子特别长、特别复杂的方程或者代数式，换元法就派上大用场啦！咱可以把其中的一部分看成一个整体，给它换个“新名字”，这样不就简单多了嘛。

就好比你有个特别难记的朋友名字，你给他起个好记的外号，那下次提起他不就容易多了嘛。

举个例子哈，看到一个式子，里面有个部分一直重复出现，那咱就把它设成一个字母，比如设成 t。

然后呢，原来复杂的式子瞬间就变得清晰明了啦！换元法还能帮我们化繁为简呢！有些题目看上去超级复杂，各种式子纠缠在一起，让人摸不着头脑。

但用了换元法，把复杂的部分一替换，哇，就像拨开云雾见青天一样。

咱再想想，这换元法是不是就像给题目做了一次整容手术呀，把那些难看的、复杂的部分整得漂漂亮亮、简简单单的。

还有啊，换元法也能让我们的解题思路更加清晰。

就好像走在迷宫里，突然找到了一条明确的路。

同学们可别小瞧了这换元法哦，它能解决好多难题呢！有时候你苦思冥想半天都没头绪的题，用换元法一试，说不定就迎刃而解啦！那怎么用好换元法呢？这可得细心啦！首先得找对可以换元的部分，这就需要我们有一双敏锐的眼睛，能从复杂的式子中发现那个关键的部分。

然后呢，换元之后要记得把新的式子整理清楚，可别换了之后更乱啦！最后，解出答案后，还要记得把换的元换回来哦，不然可就闹笑话啦！总之呢，换元法是我们初中数学的一个好帮手，大家一定要好好掌握它呀！它能让我们在数学的海洋里畅游得更轻松、更愉快！相信大家只要多练习，多尝试，一定能把换元法用得炉火纯青，到时候什么难题都不怕啦！加油吧，同学们！。

《换元法》专题班级 姓名一个今天胜过两个明天。

1. 用换元法解方程4)3(5322=---xx x x 时,令32-x x = y,于是原方程变为 . A.y 2-5y+4=0 B.y 2-5y-4=0 C.y 2-4y-5=0 D.y 2+4y-5=02. 用换元法解方程4)3(5322=---x x x x 时,令23x x -= y ,于是原方程变为 . A.5y 2-4y+1=0 B.5y 2-4y-1=0 C.-5y 2-4y-1=0 D. -5y 2-4y-1=0 3. 用换元法解方程(1+x x )2-5(1+x x )+6=0时，设1+x x=y ，则原方程化为关于y 的方程是 .A.y 2+5y+6=0B.y 2-5y+6=0C.y 2+5y-6=0D.y 2-5y-6=04.用换元法解分式0213122=+---x xx x ,并设xx y 12-=,那么原方程化为 A.0232=+-y y B.0232=-+y y C.0322=+-y y D.0322=-+y y5.用换元法解方程41122=-++x x x x ,设y x x =-1,则原方程变形为 A.42=+y y B.22=+y y C.62=+y y D.42=-y y6.用换元法解方程21⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x -⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 33=-2时,如果设x -x1=y ,那么原方程可化为 A.y 2+3y +2=0 B.y 2-3y -2=0C.y 2+3y -2=0D.y 2-3y +2=07.方程02112=---⎪⎭⎫⎝⎛-x x x x 的解为 8.在方程x 2＋xx 312-＝3x －4中，如果设y ＝x 2－3x ，那么原方程可化为关于y 的整式方程是________．9.解方程132-+x x ＋312+-x x ＝25时，设y ＝132-+x x ，则原方程化成整式方程是________．例：已知(x 2+y 2+1)(x 2+y 2+3)=8，则x 2+y 2的值为（ ）A ．-5或1B ．1C ．5D ．5或-1分析：解题时把x 2+y 2当成一个整体来考虑，再运用因式分解法就比较简单 解答：设x 2+y 2=t ，t ≥0，则原方程变形得 (t+1)(t+3)=8，化简得： (t+5)(t-1)=0， 解得：t 1=-5，t 2=1 又t≥0 ∴t=1∴x 2+y 2的值为只能是1． 故选B ．1.解方程06)1(5)1(222=+---x x x x2.解方程：21⎪⎭⎫⎝⎛+x x －15+x x ＋6＝03.解方程：x x +-23＝5－()x x -+324．4.解方程x 2＋21x －3⎪⎭⎫⎝⎛+x x 1＝2．5.解方程x 2＋21x －3⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 1＋4＝0． 6.解方程：2()2011x x x x +-=--。

2.2.5《解一元二次方程—换元法》典例解析与同步训练【知识要点】1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的．【典例解析】例1．用适当方法解下列方程：（1）2x2﹣5x﹣3=0（2）16（x+5）2﹣9=0（3）（x2+x）2+（x2+x）=6．例题分析：本题考查了一元二次方程的几种解法：①公式法；②直接开平方法；③换元法（1）用公式法解一元二次方程，先找a，b，c；再求△；再代入公式求解即可；（2）用直接开平方法解一元二次方程，先将方程化为（x+5）2=，直接开方即可；（3）设t=x2+x，将原方程转化为一元二次方程，求解即可．解：（1）∵a=2，b=﹣5，c=﹣3，△=b2﹣4ac=（﹣5）2﹣4×2×（﹣3）=25+24=49，∴x===，∴x1=3，x2=﹣；（2）整理得，（x+5）2=，开方得，x+5=±，即x1=﹣4，x2=﹣5，（3）设t=x2+x，将原方程转化为t2+t=6，因式分解得，（t﹣2）（t+3）=0，解得t1=2，t2=﹣3．∴x2+x=2或x2+x=﹣3（△＜0，无解），∴原方程的解为x1=1，x2=﹣2．例2．解方程：（1）（x+3）（x﹣1）=5（2）．例题分析：本题主要考查了解一元二次方程的方法和解分式方程．解一元二次方程时，要注意选择合适的解题方法，这样才会达到事半功倍的效果．还要注意换元思想的应用．（1）先去括号，将方程化为一般式，然后再运用二次三项式的因式分解法进行求解．（2）先设x2﹣x=y，采用换元法，然后解方程即可．解：（1）x2+2x﹣8=0，（x+4）（x﹣2）=0∴x1=﹣4，x2=2．（2）设x2﹣x=y∴原方程化为y﹣=1∴y2﹣2=y∴y2﹣y﹣2=0∴（y+1）（y﹣2）=0∴y1=﹣1，y2=2∴x2﹣x=﹣1或x2﹣x=2解x2﹣x=﹣1知：此方程无实数根．解x2﹣x=2知x1=2，x2=﹣1；∴原方程的解为：x1=2，x2=﹣1．例3．解下列方程：（1）2x2+5x﹣3=0（2）（3﹣x）2+x2=9（3）2（x﹣3）2=x（x﹣3）（4）（x﹣1）2﹣5（x﹣1）+6=0例题分析：本题考查了解一元二次方程的方法，当把方程通过移项把等式的右边化为0后，方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的式子的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．（1）方程左边可以利用十字相乘法进行因式分解，因此应用因式分解法解答．（2）先移项，然后把x2﹣9因式分解为（x+3）（x﹣3），然后再提取公因式，因式分解即可．（3）先移项，然后用提取公因式法对左边进行因式分解即可．（4）把（x﹣1）看作是一个整体，然后套用公式a2±2ab+b2=（a±b）2，进行进一步分解，故用因式分解法解答．解：（1）因式分解，得（2x﹣1）（x+3）=0，所以2x﹣1=0或x+3=0，解得，x=或x=﹣3；（2）移项得，（3﹣x）2+x2﹣9=0，变形得，（x﹣3）2+（x+3）（x﹣3）=0，因式分解，得（x﹣3）[（x﹣3）+（x+3）]=0，解得，x=3或x=0；（3）移项得，2（x﹣3）2﹣x（x﹣3）=0，因式分解得，（x﹣3）[2（x﹣3）﹣x]=0，解得x=3或x=6；（4）化简得：（x﹣1﹣2）（x﹣1﹣3）=0即（x﹣3）（x﹣4）=0解得x=3或x=4．例4．阅读下面材料：解答问题为解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4=0，我们可以将（x2﹣1）看作一个整体，然后设x2﹣1=y，那么原方程可化为y2﹣5y+4=0，解得y1=1，y2=4．当y=1时，x2﹣1=1，∴x2=2，∴x=±；当y=4时，x2﹣1=4，∴x2=5，∴x=±，故原方程的解为x1=，x2=﹣，x3=，x4=﹣．上述解题方法叫做换元法；请利用换元法解方程．（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12=0．例题分析：此题考查了学生学以致用的能力，解题的关键是掌握换元思想．先把x2﹣x看作一个整体，设x2﹣x=y，代入得到新方程y2﹣4y﹣12=0，利用求根公式可以求解．解：设x2﹣x=y，那么原方程可化为y2﹣4y﹣12=0（2分）解得y1=6，y2=﹣2（4分）当y=6时，x2﹣x=6即x2﹣x﹣6=0∴x1=3，x2=﹣2（6分）当y=﹣2时，x2﹣x=﹣2即x2﹣x+2=0∵△=（﹣1）2﹣4×1×2＜0∴方程无实数解（8分）∴原方程的解为：x1=3，x2=﹣2．（9分）例5．阅读下面的材料，回答问题：解方程x4﹣5x2+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x2=y，那么x4=y2，于是原方程可变为y2﹣5y+4=0 ①，解得y1=1，y2=4．当y=1时，x2=1，∴x=±1；当y=4时，x2=4，∴x=±2；∴原方程有四个根：x1=1，x2=﹣1，x3=2，x4=﹣2．（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想．（2）解方程（x2+x）2﹣4（x2+x）﹣12=0．例题分析：应用换元法，把关于x的方程转化为关于y的方程，这样书写简便且形象直观，并且把方程化繁为简化难为易，解起来更方便．（1）本题主要是利用换元法降次来达到把一元四次方程转化为一元二次方程，来求解，然后再解这个一元二次方程．（2）利用题中给出的方法先把x2+x当成一个整体y来计算，求出y的值，再解一元二次方程．解：（1）换元，降次（2）设x2+x=y，原方程可化为y2﹣4y﹣12=0，解得y1=6，y2=﹣2．由x2+x=6，得x1=﹣3，x2=2．由x2+x=﹣2，得方程x2+x+2=0，b2﹣4ac=1﹣4×2=﹣7＜0，此时方程无解．所以原方程的解为x1=﹣3，x2=2．【同步训练】一．选择题（共10小题）1．解方程（x﹣1）2﹣5（x﹣1）+4=0时，我们可以将x﹣1看成一个整体，设x﹣1=y，则原方程可化为y2﹣5y+4=0，解得y1=1，y2=4．当y=1时，即x﹣1=1，解得x=2；当y=4时，即x﹣1=4，解得x=5，所以原方程的解为：x1=2，x2=5．则利用这种方法求得方程（2x+5）2﹣4（2x+5）+3=0的解为（）A．x1=1，x2=3 B．x1=﹣2，x2=3 C．x1=﹣3，x2=﹣1 D．x1=﹣1，x2=﹣22．用换元法解方程（x2+x）2+（x2+x）=6时，如果设x2+x=y，那么原方程可变形为（）A．y2+y﹣6=0 B．y2﹣y﹣6=0 C．y2﹣y+6=0 D．y2+y+6=03．用换元法解方程（x2+x）2+2（x2+x）﹣1=0，若设y=x2+x，则原方程可变形为（）A．y2+2y+1=0 B．y2﹣2y+1=0 C．y2+2y﹣1=0 D．y2﹣2y﹣1=04．已知实数x满足x2+=0，那么x+的值是（）A．1或﹣2 B．﹣1或2 C．1 D．﹣25．方程（x2﹣3）2﹣5（3﹣x2）+2=0，如果设x2﹣3=y，那么原方程可变形为（）A．y2﹣5y+2=0 B．y2+5y﹣2=0 C．y2﹣5y﹣2=0 D．y2+5y+2=06．若实数x，y满足x2﹣2xy+y2+x﹣y﹣6=0，则x﹣y的值是（）A．﹣2或3 B．2或﹣3 C．﹣1或6 D．1或﹣67．已知（x2+y2+1）（x2+y2+3）=8，则x2+y2的值为（）A．﹣5或1 B．1 C．5 D．5或﹣18．如果（x+2y）2+3（x+2y）﹣4=0，那么x+2y的值为（）A．1 B．﹣4 C．1或﹣4 D．﹣1或39．正整数x，y满足（2x﹣5）（2y﹣5）=25，则x+y的值是（）A．10 B．18 C．26 D．10或1810．若（a2+b2）（a2+b2﹣2）=8，则a2+b2=（）A．﹣2 B．4 C．4或﹣2 D．﹣4或2二．填空题（共5小题）11．已知，关于x的方程x2+=1，那么x++1的值为_________ ．12．解方程（x2﹣5）2﹣x2+3=0时，令x2﹣5=y，则原方程变为_________ ．13．若a2﹣2ab+b2+2（a﹣b）+1=0，则a﹣b= _________ ．14．用换元法解方程：（x2﹣x）2﹣5（x2﹣x）+6=0，如果设x2﹣x=y，那么原方程变为_________ ．15．在解方程（x2﹣1）2﹣2x2﹣1=0时，通过换元并整理得方程y2﹣2y﹣3=0，则y=_________ ．三．解答题（共4小题）16．解方程：（x2﹣2x）2+（x2﹣2x）﹣2=017．如果a为不等于±2的整数，证明方程x4+ax+1=0没有有理根．18．对于有理数x，用[x]表示不大于x的最大整数，请解方程．19．用适当方法解下列方程（1）（2y﹣1）2=（2）x﹣=5x（﹣x）（3）（x﹣3）2+（x+4）2﹣（x﹣5）2=17x+24（4）（2x+1）2+3（2x+1）﹣4=0参考答案一．选择题（共10小题）1．解：（2x+5）2﹣4（2x+5）+3=0，设y=2x+5，方程可以变为 y2﹣4y+3=0，∴y1=1，y2=3，当y=1时，即2x+5=1，解得x=﹣2；当y=3时，即2x+5=3，解得x=﹣1，所以原方程的解为：x1=﹣2，x2=﹣1．故选D．2．解：把x2+x整体代换为y，y2+y=6，即y2+y﹣6=0．故选A．3．解：设y=x2+x，得y2+2y﹣1=0．故选C．4．解：∵x2+=0∴∴[（x+）+2][（x+）﹣1]=0∴x+=1或﹣2．∵x+=1无解，∴x+=﹣2．故选D．5．解：∵x2﹣3=y∴3﹣x2=﹣y所以y2+5y+2=0．故选D．6．解：设x﹣y=m，则原方程可化为：m2+m﹣6=0，解得x1=2，x2=﹣3；故选B7．解：原方程变形得，（x2+y2）2+4（x2+y2）﹣5=0，（x2+y2+5）（x2+y2﹣1）=0，又∵x2+y2的值是非负数，∴x2+y2的值为只能是1．故选B．8．解：∵x、y为正整数，∴或或或解得，x=5，y=5，或x=3，y=15，∴x+y=10或18．故选D．10．解：设a2+b2=x，则有：x（x﹣2）=8即x2﹣2x﹣8=0，解得x1=﹣2，x2=4；∵a2+b2≥0，故a2+b2=x2=4；故选B二．填空题（共5小题）11．解：原方程可化为x2+（）2+2x•+2（x+）+1=2+2x•（x++1）2=4x++1=±2．12．解：∵x2﹣5=y，∴x2=5+y，∴（x2﹣5）2﹣x2+3=y2﹣y﹣5+3=y2﹣y﹣2=0，故本题的答案是y2﹣y﹣2=0．13．解：设t=a﹣b，则原方程可化为：t2+2t+1=0，整理得：（t+1）2=0，解得：t=﹣1．∴a﹣b=﹣1．14．解：根据题意x2﹣x=y，把原方程中的x2﹣x换成y，所以原方程变化为：y2﹣5y+6=015．解：方程整理，得（x2﹣1）2﹣2（x2﹣1）﹣3=0故y=x2﹣1三．解答题（共4小题）16．解：设y=x2﹣2x原方程可变为：y2+y﹣2=0解方程得y=﹣2或1所以x2﹣2x=﹣2或1．当x2﹣2x=﹣2时，△＜0，没实数根，当x2﹣2x=1时，解得x=1±．∴原方程的根是x1=1+，x2=1﹣．17．证明：若a=2或者﹣2，方程有有理根，当=2时，有理根x=﹣1；等于﹣2时，有理根x=1．这个根据配方法得来．x4±2x+1=0，即x4﹣x2+x2±2x+1=x2（x+1）（x﹣1）+（x±1）2=0，此等式有公因式，可得x=±1．而由题意知：a≠±2，即x≠±1．则有a=﹣=﹣x3﹣，其中x≠±1．a为整数，而a=﹣x3﹣，若x为整数且x≠±1，那么x3为整数，为小数，整数与小数之和或者差，皆为小数，故x不能是整数．若x为分数，那么设x=，其中c、b互质且为整数，b≠0．那么﹣x3﹣=﹣=﹣．由此代数式知：因为c、b互质，故此代数式的值不为整数．故当x为整数或者分数时，a为整数均不能成立．故当a为整数时，方程没有有理根．18．解：因为方程左边的第1、3项都是整数，所以3y是整数．注意到，代入方程，得到，．所以是整数，3y是10的倍数．令3y=10k，k是整数，代入得，其中，对于有理数x，x=x﹣[x]．所以有，．当k取不同整数时，的情况如下表：=0＜﹣=1=k的可能值是﹣1和3，相应的和y=10．代入验算得到或y=10．故答案：或y=10．19．解：（1）方程原式两边同乘以2得（2y﹣1）2=，∴2y﹣1=±，y=±；（2）移项、提取公因式得（x﹣）（5x+1）=0，解得x1=，x2=﹣；（3）去括号、移项、合并同类项得（x+3）（x﹣8）=0，解得x1=﹣3，x2=8；（4）解方程（2x+1）2+3（2x+1）﹣4=0可以用换元法和配方法，设2x+1为y，得y2+3y﹣4=0，利用配方法得（y+）2=4+，y+=±，得y=1或﹣4，设2x+1为y，则x1=0，x2=﹣．。

换元法 知识定位很多时候，我们遇到的问题直观比较复杂，在这种情况下把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。

换元法又称辅助元素法、变量代换法。

通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。

或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。

换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。

知识梳理知识梳理1：换元法在因式分解中的运用利用换元法分解因式，就是将多项式中的某一部分用一个新字母（元）来代替，进行变量替换，将问题转化，从而起到化繁为简、化隐为显、化难为易的作用。

知识梳理2：换元法在解方程中的运用换元法在解方程中是一种常用的方法，特别是解特殊方程中经常能产生事半功倍的 效果，下面介绍解特殊方程时应用换元法的几种常见的方法。

例题精讲【试题来源】【题目】分解因式：()()a a a a a 22216112++-++【答案】【解析】直接换元设a m 21+=，则原式=+-+()()m a m a a 6122=-+=--=+-+-=-+-m am a m a m a a a a a a a a 22222256231213311()()()()()()【知识点】换元法【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】分解因式：()()()a b b c c a ----24 【答案】【解析】双元换元设b c m c a n -=-=，则a b m n -=-+()，原式=-+-[()]m n mn 24=-=---=+-()[()()]()m n b c c a a b c 2222【知识点】换元法【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】分解因式：()()()a b ab a b ab +-+-+-2212【答案】【解析】和积换元设a b m ab n +==，原式=--+-()()()m n m n 2212=---+=--=+--=--()()()()()()m n m n m n a b ab a b 22222211111【知识点】换元法【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】分解因式：()()()ab a b ab a b --+---1222 【答案】【解析】和差换元设a b ab m n +-=+22--=-a b m n则m ab n a b ab =-=+--11， 原式=-+-m m n m n 2()()=--=m m n n 2222()=+--=--()()()a b ab a b 111222【知识点】换元法【适用场合】当堂练习题【难度系数】3【试题来源】【题目】分解因式：a a a 42200320022003+++【答案】【解析】常值换元设2003=m ，则20021=-m ，原式=++-+a ma m a m 421()=-+++()()a a m a a 421=++-+=++-+()()()()a a a a m a a a a 2222112003【知识点】换元法【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】分解因式： ()()()()x m x m x m x m m +++++2344 【答案】【解析】均值换元 原式=+++++()()x mx m x mx m m 222245456 设n x mx m x mx m =+++++1254562222[()()] =++x mx m 2255则原式=-++()()n m n m m 224==++n x mx m 222255()【知识点】换元法 【适用场合】当堂例题【难度系数】4【试题来源】【题目】分解因式：291492432a a a a -+-+【答案】【解析】倒数换元 原式=-+-+a a a a a 222291492()=+-++a a a a a 222219114[()()] 设a a m +=1，则原式=--+a m m 2222914[()]=-+=--a m m a m m 2222910225()()()=+-+-=-+-+=---a a a a a a a a a a a a 222212225212521221()()()()()()()【知识点】换元法【适用场合】阶段测验【难度系数】3【试题来源】【题目】分解因式：()()()a b b c c a abc ++++【答案】【解析】变形后换元原式=++-++-++-+()()()a b c c a b c a a b c b abc设a b c m ++=，则原式=---+()()()m c m a m b abc =-+++++-+=-+++=++++m a b c m ab bc ca m abc abcm m m ab bc ca mab bc ca a b c 3232()()()()()·【知识点】换元法【适用场合】课后两周练习【难度系数】3【试题来源】【题目】分解因式： ()()()a a a 212472----【答案】【解析】整体换元原式=+----[()()][()()]a a a a 141272 =---+-()()a a a a 22343272设a a m 232-+=，则原式=--()m m 672=--=-+=-+--++=+--+m m m m a a a a a a a a 222267212632123262538()()()()()()()【知识点】换元法【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3【试题来源】【题目】分解因式： ()12323+++-m m m m【答案】【解析】局部换元设12++=m m a ，则原式=+-()a m m 323 =++-=++-=++-=++-=++++++a am m m a am m m a am m m aa a m m m m m m m m m 23632333233343223422121211()()()()()【知识点】换元法【适用场合】课后两周练习【难度系数】3【试题来源】【题目】解方程：x 4+(x －4)4=626.【答案】x=5；或x=－1.【解析】（用平均值24-+x x 代换，可化为双二次方程.） 设 y= x －2 ，则x=y+2.原方程化为 (y+2)4+(y －2)4=626.［((y+2)2－(y －2)2)2＋2(y+2)2(y －2)2－626=0整理，得 y 4+24y 2－297=0. (这是关于y 的双二次方程).(y 2+33)(y 2－9)=0.当y 2+33=0时， 无实根 ；当y 2－9=0时， y=±3.即x －2=±3，∴x=5；或x=－1.【知识点】换元法【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3【试题来源】【题目】解方程：2x 4+3x 3－16x 2+3x+2=0 .【答案】x=－2+3；x=－2－3； x=2；或x=21. 【解析】∵这是个倒数方程，且知x ≠0， 两边除以x 2,并整理 得2(x 2+21x )+3(x+x 1)－16=0. 设x+x 1=y, 则x 2+21x =y 2－2. 原方程化为 2y 2+3y －20=0.解得 y=－4；或y=25.由y=－4得 x=－2+3；或x=－2－3.由y=2.5得 x=2；或x=21. 【知识点】换元法【适用场合】课后两周练习【难度系数】3【试题来源】【题目】 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++++=+++++01012124012522222y x y xy x y x y xy x 【答案】⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+-=33213321y x ；或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=--=33213321y x ；或⎪⎩⎪⎨⎧-=+=412412y x ；或⎪⎩⎪⎨⎧+=-=412412y x . 【解析】（这个方程组的两个方程都是二元对称方程，可用基本对称式代换.）设x+y=u, xy=v. 原方程组化为：⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++010********v u u v u u . 解得⎩⎨⎧-==374v u ； 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=91132v u . 即⎩⎨⎧-==+374xy y x ； 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+91132xy y x . 解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+-=33213321y x ；或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=--=33213321y x ；或⎪⎩⎪⎨⎧-=+=412412y x ；或⎪⎩⎪⎨⎧+=-=412412y x .【知识点】换元法【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3【试题来源】 【题目】解方程=++++)7(27x x x x 35－2x. 【答案】【解析】7=x x t ++则原式变为2t 420t +-=，解得t = -7 或 6【知识点】换元法【适用场合】课后两周练习【难度系数】3【试题来源】【题目】解方程(16x 2－9)2+(16x 2－9)(9x 2－16)+(9x 2－16)2=(25x 2－25)2. 【答案】【解析】可以换元令16x 2－9 = a ，9x 2－16 = b ，25x 2－25 = a + b 则原式变为 ()222a ab b a b++=+化简得ab = 0即【知识点】换元法【适用场合】阶段测验【难度系数】3【试题来源】【题目】解方程(2115-+x )4+(2315-+x )4=16.【答案】1，3【解析】【知识点】换元法【适用场合】阶段测验【难度系数】3【试题来源】【题目】解方程x x x x 112+++=223.【答案】无实数解【解析】x x x x 112+++=223 即111x x x x +++=223.令1x x + = t原方程变为1t t +=223.【知识点】换元法【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3【试题来源】【题目】解方程组【答案】【解析】【知识点】换元法【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3【试题来源】【题目】［a ］表示不大于a 的最大整数，如［2］=1，［－2］=－2， 那么 方程 ［3x+1］=2x －21 的所有根的和是_____.【答案】-2【解析】【知识点】换元法【适用场合】课后一个月练习【难度系数】4【试题来源】 【题目】解方程1112---++x x x =x. 【答案】45 【解析】设11-++x x =y, 那么y 2=2x+212-x . 原方程化为： y －21y 2=0 . 解得 y=0；或y=2.当y=0时，11-++x x =0 (无解) 当y=2时， 11-++x x =2，解得，x=45. 检验（略）. 【知识点】换元法【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3。

初中数学换元法数学中的换元法指通过一个一次或多次函数变换将原方程转化成更易解的方程的方法。

它在初中数学中主要应用于简化复杂的代数式和解方程，主要有以下几种类型。

1. 代数式的化简当出现一次多项式和一个二次多项式相乘时，可以使用一个新的变量，将二次项的系数给去掉。

例如：x^2 + 6x = (x+3)^2-92. 解一元一次方程组对于一元一次方程组，也可以使用换元法进行求解，通过将其中一个方程的某一变量项代入到另一个方程中，从而消去一部分未知数。

例如：\begin{cases} x-y=3\\ 2x+y=7\end{cases}，可将第一个方程中的 y 用 3-x 表示，代入第二个方程，得到 x=2，进而求出 y=-1。

3. 解一元二次方程对于一元二次方程，可以通过变换将其化为一元一次方程。

例如：x^2-5x+4=0，令 x=y-\dfrac{b}{2a}，代入原方程即可求解 y，再通过还原变量得到 x。

4. 解三角函数方程对于某些三角函数方程，可以通过一些简单的代数变换将其转化为其他类型的方程，例如：\sin^2 x - \sin x -2=0，令 y=\sin x，则原方程变为 y^2-y-2=(y+1)(y-2)=0，解得 y=-1 或 y=2，进而求出 x。

5. 解根式方程对于一些含有根式的方程，可以通过换元法将其化为一元二次方程，例如：\sqrt{2x+5}-\sqrt{x+1}=1，令 y=\sqrt{x+1}，则原方程变为\sqrt{2y^2+3}-y=1，化为 2y^2-2y-2=0，解得 y=1+\sqrt{2} 或y=1-\sqrt{2}，进而求出 x。

初中换元法经典例题
初中数学中的换元法是一种常用的解题方法，用于将复杂的代
数式转化为简单的形式，从而更容易解决问题。

下面是一个经典的
例题，我们来看一下如何运用换元法解决它。

例题，已知函数 $y = x^3 2x^2 + x$，求函数 $y$ 的最小值。

解题步骤如下：
1. 首先，我们观察到函数 $y$ 是一个三次函数，我们想要求
它的最小值。

根据函数的图像特点，最小值通常出现在函数的拐点处，即导数为零的点。

2. 我们对函数 $y$ 求导数，得到 $y' = 3x^2 4x + 1$。

然后，我们令导数等于零，解方程 $3x^2 4x + 1 = 0$。

3. 接下来，我们需要解这个二次方程。

可以使用因式分解、配
方法或求根公式等方法。

假设方程的解为 $x_1$ 和 $x_2$。

4. 然后，我们将求得的解 $x_1$ 和 $x_2$ 代入原函数 $y =
x^3 2x^2 + x$ 中，得到对应的函数值 $y_1$ 和 $y_2$。

5. 最后，我们比较 $y_1$、$y_2$ 和函数在拐点处的函数值，即 $y$ 的最小值就是其中的最小值。

通过以上步骤，我们可以得到函数 $y$ 的最小值。

需要注意的是，这只是换元法解题的一个例子，实际上，换元法还可以应用于其他类型的问题，如解方程、求极值等。

在解题过程中，我们需要灵活运用换元法，并结合具体问题的特点来选择合适的代换，以达到简化问题、求解的目的。

希望以上回答能满足你的需求。

如果你还有其他问题，欢迎继续提问。

初中换元法经典例题初中数学中，换元法是一种常用的解题方法，用于将复杂的表达式转化为简单的形式，从而更容易进行计算或求解。

下面是一个经典的例题，我将从多个角度给出详细的解答。

例题，求解方程 $2x^2 5x + 3 = 0$。

解答：1. 角度一，直接使用求根公式。

这个方程是一个二次方程，我们可以直接使用求根公式来解。

求根公式为 $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 4ac}}{2a}$，其中 $a = 2$，$b = -5$，$c = 3$。

代入公式计算可得：$x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 4 \cdot 2 \cdot 3}}{2 \cdot 2}$。

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 24}}{4}$。

$x = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{4}$。

$x = \frac{5 \pm 1}{4}$。

解得 $x_1 = 1$，$x_2 = \frac{3}{2}$。

2. 角度二，使用换元法。

我们可以使用换元法将这个方程转化为一个更简单的形式。

设$y = 2x^2 5x + 3$，则原方程可以表示为 $y = 0$。

现在我们需要找到一个合适的变量替换，使得方程变得简单。

我们可以尝试令 $u = x \frac{1}{2}$，即 $x = u + \frac{1}{2}$。

将 $x$ 替换为$u + \frac{1}{2}$，得到：$y = 2(u + \frac{1}{2})^2 5(u + \frac{1}{2}) + 3$。

$y = 2(u^2 + u + \frac{1}{4}) 5u \frac{5}{2} + 3$。

$y = 2u^2 + u \frac{1}{2}$。

现在方程变为 $2u^2 + u \frac{1}{2} = 0$，我们可以使用求根公式来解这个一元二次方程。

求根公式为 $u = \frac{-b \pm\sqrt{b^2 4ac}}{2a}$，其中 $a = 2$，$b = 1$，$c = -\frac{1}{2}$。