圆锥曲线最值与范围问题

特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就 是几何法．
• (2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确 的函数，则可首先建立起目标函数，再求这个函 数的最值，求函数最值的常用方法有配方法、判 别式法、重要不等式法及函数的单调性法等．
思考题1
•
已知点P在直线x＋y＋5＝0上，点Q
在抛物线y2＝2x上，则|PQ|的最小值等于
把y＝kx＋m代入椭圆方程，整理，得(3k2＋1)x2＋6kmx ＋3m2－3＝0.
∴x1＋x2＝3－k26＋km1，x1x2＝33mk22＋－11. ∴|AB|2＝(1＋k2)(x2－x1)2 ＝(1＋k2)33k62k＋2m122－123km2＋2－11 ＝12k2＋13k23＋k21＋21－m2＝3k2＋3k12＋91k22＋1 ＝3＋9k4＋126kk22＋1
点O到直线l的距离为 23，求△AOB面积的最大值．
【解析】 (1)设椭圆的半焦距为c，依题意ac＝ 36， a＝ 3，
∴b＝1，∴所求椭圆方程为x32＋y2＝1. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)①当AB⊥x轴时，|AB|＝ 3. 当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝kx＋m. 由已知 1|m＋| k2＝ 23，得m2＝34(k2＋1)．
(1)求点C的轨迹方程； (2)若斜率为k的直线l与点C的轨迹交于不同两点P，Q， 且满足|A→P|＝|A→Q|，试求k的取值范围．
【解析】 (1)设C(x，y)，则G(3x，3y)． 因为G→M＝λA→B(λ∈R)，所以GM∥AB. 又M是x轴上一点，则M(3x，0)． 又|M→A|＝|M→C|， 所以 3x2＋0＋12＝ 3x－x2＋y2， 整理得x32＋y2＝1(x≠0)，此即为点C的轨迹方程．
由方程①，得xA＋xB＝
2k2－2 k2
，xP＝
1 2
(xA＋xB)＝
k2k－2 2，yP＝k(xP－1)＝－2k.
所以直线EP的方程为y＋2k＝－1kx－k2k－2 2.
令y＝0，得x0＝－1－k22.
∵34<k2<1， ∴－131<x0<－3，即x0的取值范围是－131，－3. 【答案】 －131，－3
值，然而其最值很难求得，这也恰恰落入了命题
者有意设置的“圈套”之中．事实上，与抛物线 的焦点(或准线)相关的最值问题，更多的是考虑数 形结合，利用抛物线的定义进行转化，然后再利 用三点共线或三角形的三边关系加以处理．
• 探究1 圆锥曲线中最值的求法有两种： • (1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y＝kx＋1. 由yx＝2＝k4xy＋，1， 消去y，整理，得x2－4kx－4＝0. 所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4. 从而|x1－x2|＝4 k2＋1.
由y＝yx11x， y＝x－2，
解得点M的横坐标为xM＝
x12－x1y1＝
• 【答案】 (4,6)
• 探究2 求范围时注意椭圆、双曲线、抛物线的有 界性，还要注意判别式对范围的影响．
思考题3 过椭圆C：ax22＋by22＝1(a>b>0)的左顶点A
且斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B，且点B在x轴上的射
影恰好为右焦点F，若
1 3
<k<
1 2
，则椭圆离心率的取值范围为
________．
(2)①当k＝0时，l和椭圆C有两个不同交点P、Q，根据 椭圆的对称性有|A→P|＝|A→Q|.
②当k≠0时，可设l的方程为y＝源自文库x＋m， y＝kx＋m，
联立方程组x32＋y2＝1， 消去y整理，得 (1＋3k2)x2＋6kmx＋3(m2－1)＝0.① 因为直线l和椭圆C交于不同两点，
所以Δ＝(6km)2－4(1＋3k2)·3(m2－1)>0， 即1＋3k2－m2>0.② 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1，x2是方程①的两相异实 根，所以x1＋x2＝－1＋6km3k2，x1x2＝31m＋2－3k12 . 则PQ的中点N(x0，y0)的坐标是 x0＝x1＋2 x2＝－1＋3km3k2，y0＝kx0＋m＝1＋m3k2， 即N(－1＋3km3k2，1＋m3k2)．又|A→P|＝|A→Q|，
________．
【解析】 设与直线x＋y＋5＝0平行且与抛物线y2＝2x
相切的直线方程是x＋y＋m＝0，则由
x＋y＋m＝0， y2＝2x，
消去
x，得y2＋2y＋2m＝0.令Δ＝4－8m＝0，得m＝
1 2
，因此|PQ|的
最小值等于直线x＋y＋5＝0与x＋y＋
1 2
＝0间的距离，即等于
|5－12|＝9 2
当t<0时，|MN|＝2 2· 5t ＋352＋1265≥85 2.
综上所述，当t＝－
235 ，即k＝－
43 时，|MN|的最小值是
8 5
2. 【答案】
(1)x2＝4y
8 (2)5 2
思考题2 椭圆C：ax22＋by22＝1(a>b>0)的离心率为
36，短轴一个端点到右焦点的距离为 3. (1)求椭圆C的方程； (2)设存在斜率的直线l与椭圆C交于A，B两点，坐标原
• 例3 (2015·福建福州质检)如图所示，直线y＝m与抛 物线y2＝4x交于点A，与圆(x－1)2＋y2＝4的实线部分 交于点B，F为抛物线的焦点，则△ABF的周长的取值 范围是________．
• 【解析】 由抛物线和圆的对称性知，当A，B重 合时，三角形ABF的周长达到最小值的极限，此时， 值为4；当A为抛物线的顶点，B在x轴上时，三角 形ABF的周长达到最大值的极限，此时，值为6.故 △ABF的周长的取值范围是(4,6)．
所以A→N⊥P→Q，所以k·kAN＝k·1－＋m13＋3kk2m3＋k21＝－1.
所以m＝
1＋3k2 2
，将m＝
1＋3k2 2
代入②，得1＋3k2－
(1＋23k2)2>0(k≠0)，即k2<1，所以k∈(－1,0)∪(0,1)．
综合①②得k的取值范围是(－1,1)．
【答案】 (1)x32＋y2＝1(x≠0) (2)(－1,1)
2x1 x1－x412
＝4－8 x1. 同理，点N的横坐标xN＝4－8 x2.
所以|MN|＝ 2|xM－xN|＝ 2|4－8 x1－4－8 x2|
＝8
2|x1x2－4x1x－1＋x2x2＋16|＝8
2 k2＋1 |4k－3| .
令4k－3＝t，t≠0，则k＝t＋4 3.
当t>0时，|MN|＝2 2· 2t25＋6t ＋1>2 2；
＝3＋9k2＋12k12＋6(k≠0)
≤3＋2×132＋6＝4.
当且仅当9k2＝k12，即k＝± 33时等号成立． 当k＝0时，|AB|＝ 3，综上所述|AB|max＝2. ∴当|AB|最大时，△AOB面积取最大值
【S＝答12案×】|AB|m(a1x×)x32＋23＝y2＝231.
3 (2) 2
题型二 范围问题
4
2 .
【答案】
92 4
• 例2 (2013·浙江文)已知抛物线C的顶点为O(0,0)， 焦点为F(0,1)．
• (1)求抛物线C的方程； • (2)过点F作直线交抛物线C于A，B两点，若直线
AO，BO分别交直线l：y＝x－2于M，N两点，求 |MN|的最小值．
【解析】 (1)由题意可设抛物线C的方程为x2＝ 2py(p>0)，则p2＝1，所以抛物线C的方程为x2＝4y.
圆锥曲线中的最值与范围
专题讲解
题型一 最值问题 例1 已知P为抛物线y＝14x2上的动点，点P在x轴上的射 影为M，点A的坐标是(2,0)，则|PA|＋|PM|的最小值是 ________．
【解析】
如图，抛物线y＝
1 4
x2，即x2＝4y的焦点为
F(0,1)，记点P在抛物线的准线l：y＝－1上的投影为P′，根
【解析】 由题意知：B(c，ba2)， b2
∴k＝c＋a a＝a－a c＝1－e.又13<k<12，
∴13<1－e<12，解得12<e<23.
【答案】 (12，23)
例4 已知点G是△ABC的重心，A(0，－1)，B(0,1)，在 x轴上有一点M，满足|M→A|＝|M→C|，G→M＝λA→B(λ∈R)．
• 思考题4 已知曲线C：y2＝－4x(x>－3)，直 线l过点M(1,0)交曲线C于A，B两点，点P是AB的 中求x点0的，取EP值是范A围B的．中垂线，E点的坐标为(x0,0)，试
• 【解析】 由题意可知，直线l与x轴不垂直，可设 l：y＝k(x－1)，代入曲线C的方程，得
k2x2＋2(2－k2)x＋k2＝0(－3<x≤0)．① 设f(x)＝k2x2＋2(2－k2)x＋k2，由直线l交曲线C于A，B两 点，则必有(等价代数形式) k≠0， Δ＝42－k22－4k4>0， |k|> 23， 解之得k∈－1，－ 23∪ 23，1.
据抛物线的定义知，|PP′|＝|PF|，则|PP′|＋|PA|＝|PF|＋
|PA|≥|AF|＝ 22＋－12 ＝ 5 .所以(|PA|＋|PM|)min＝(|PA|＋
|PP′|－1)min＝ 5－1.
【答案】 5－1
• 【讲评】 一看到本题，不少同学可能会依常理 “出牌”——构造函数，将问题转化为求函数的最