金融市场的布朗运动和分数布朗运动 (马金龙 )

分数布朗运动环境中交换期权的定价模型
布朗运动环境下交换期权定价模型：
一、简介
1、什么是布朗运动：布朗运动是一种在投资市场上具有概率性的运动环境，它可以解释货币市场上证券价格的变化。

2、什么是交换期权：交换期权是指受益人同另一个相关实体签订的期权合约，可以为受益人带来期限内受益权。

二、布朗运动模型
1、正态模型：主要用来描述证券价格的波动情况，如：投资组合的收益，货币市场的利率变化，外汇市场的汇率波动等，都属于正态模型。

2、风险平价法：采取的投资策略定价的主要方法之一，它的核心内容是针对该投资策略，将其成交均价和所有期权进行比较，从而最大化获取投资收益。

三、交换期权定价模型
1、模型表示：交换期权定价模型可以表示为C(t, x)，其中t为时间，x为期次，C 为此期权的定价。

2、期权价值：交换期权定价模型的期权价值由以下因素决定：a)时间价值：当期权到期时，受益人实际获得的利益；b)红利价值：持有期权的受益人所能获得的额外收益；c)可能性价值：持有期权的受益人可能得到的利益总和。

3、期权价格：交换期权定价模型更多地关注受益人在期权持有期间能够得到的收益，在决定期权价格时，还要考虑期权费用及其相关风险成本，以求得最理想的期权价格。

四、结论
交换期权在布朗运动环境下的定价模型，通过时间价值、红利价值和可能性价值来描述期权价值，并考虑期权费用及其相关风险成本，以求得最理想的期权价格，为投资者在布朗运动环境下获取最大收益提供了一种参考模型。

金融衍生品定价的文献综述作者：刘志伟来源：《现代企业》2018年第05期一、对衍生品价格波动刻画的研究综述1.分数Brown运动的研究综述。

法国数学家Louis Bachelier在其博士论文—投机理论（Théorie de spéculation）中首次用Brown运动来描述股票价格的变化，并给出了欧式买权的定价公式。

英国著名水文学家 Hurst 是研究分数 Brown 运动的先驱，他在观察尼罗河水的规律过程中提出了分数 Brown 运动。

随着金融市场的发展，大量实证研究表明： B-S 模型的初始假定与实际情形存在差异；规模效应，季节效应，尖峰厚尾等越来越多的现象已经无法用标准Brown运动驱动的模型进行解释；并且股票收益率的波动具有显著的记忆性。

由分数Brown 运动本身具有的特性可以看出，它能够更好地描述金融市场资产价格的演变过程，由此大量学者开始利用分数Brown运动描述标的资产的波动行为。

据此1968年Benoit Mandelbrot和Van Ness布朗运动模型引入金融市场：它具有自相似性、非平稳性两个重要性质，反应了许多自然现象和社会现象的内在特性，分数布朗运动有时也称为分形布朗运动、有偏的随机游走、分形时间序列、分形维纳过程等。

接着，1994年，有人实证表明用分数布朗运动来模拟股票价格的变化过程更加贴合实际。

虽然分数Brown已经从理论和实际两个层面都证明其对金融市场的描述更具有说服力，但是分数布朗运动不是半鞅且不具备马氏性，故无法用标准的布朗运动随机积分理论，即无法用传统的数学工具来处理。

面对数学上工具的缺乏，于是有学者开始相关数学工具的研究。

例如，1995年Lin建立了分数路径依赖型积分，但随后被Rogers照此积分理论建立的金融市场模型存在套利机会，似乎说明不能用分数布朗运动来描述标的资产的价格过程。

可喜的是，Duncan，Hu Yaozhong和Ksendal一种分数布朗运动的随机积分理论：Wick-Ito型随机积分并推导出该积分的公式。

金融高频数据挖掘——揭开市场波动的神秘面纱
马金龙;马非特
【期刊名称】《中国金融电脑》
【年(卷),期】2006(000)010
【摘要】科学数据是自然界客观事物特性的表征。

，现代科学领域的数据都开始以越来越精细的时问刻度来收集，在频率上向可微分方向发展，在数量上以指数级增长。

自上世纪90年代以来，随着现代计算机技术在金融交易中的广泛使用，交易系统可以实时地提供市场参与者的交易数据，包括股票、汇兑、期货及金融衍生品等，并且全部交易过程被实时地逐笔交易或逐秒记录并存储下来，这样就形成了金融高频数据（Financial High Frequency Data），达到可微程度。

金融高频数据具有海量性，如分钟数据，在10年内可以达到1000000数量级。

【总页数】5页(P31-35)
【作者】马金龙;马非特
【作者单位】中国科学院广州地球化学研究所;长沙非线性特别动力工作室
【正文语种】中文
【中图分类】TP3;F8
【相关文献】
1.揭开伊朗时尚市场的神秘面纱 [J], ;
2.揭开银行间债券市场神秘的面纱——简述银行间债券市场历史沿革，发展现状及未来展望 [J], 张睿;
3.揭开银行间债券市场神秘的面纱--简述银行间债券市场历史沿革，发展现状及未来展望 [J], 张睿
4.揭开茶饮市场的神秘面纱:针对青年群体奶茶市场的调研与分析 [J], 许庆阳;陈威;葛馨月;孙永江;李亚静
5.汽车后市场的“独角兽”——新康众揭开神秘面纱 [J],
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从金融海啸看百年来物理与金融的三次交汇马金龙马非特我们已经进入了一个“统一的时代”。

在这个时代，各个领域的界限被打破了，各种技术可以从一个领域应用到另外一个领域，并且事物在很大程度上变得越来越有交叉性。

——引自迈克尔·阿蒂亚的《二十世纪的数学》2008年由美国次级贷款引起的全球金融海啸，不仅使美国金融系统发生“多米诺骨牌”效应，多家投资银行和商业银行相继倒闭，而且还在全球引发“蝴蝶效应”，像一个无底“黑洞”正在无情地吞食着人类的财富，谁还会在这场危机中倒下我们无从猜测。

次级贷款是指还贷质量不好的贷款，是容易违约的贷款，其结构大致是这样的：美国房贷机构针对收入较低、信用记录较差的人群专门设计出的一种特别的房贷。

精明的华尔街精英将这些次级贷款进行资产证券化，即将房贷变成一种可替代的、可转换的有价工具（债券），并且进行不断分级形成形形色色的债券池，打包重组成金融衍生产品向外出售，试图通过证券化过程将风险分散、转移。

正是证券化（金融创新）刺激了次级贷款泛滥，次级贷款总共达1万多亿美元，而金融衍生产品的杠杆作用导致金融风险呈几何级数放大，仅美国政府承诺的救市资金总额已达9.9万亿美元。

金融衍生产品估值是基于牛顿经典力学范式，由一些非常复杂的金融物理模型（连续线性模型）做出来的，建立次级贷款金融产品的依据就是假设美国的房产价格总是上升的，客观地说，建模者是深知其模型风险的严重性的，但为了牟取暴利，顾不得那么多了。

又由于监管者水平落后，面对越来越复杂的金融衍生产品已无所适从，加上在关键环节又得不到有效的监管。

在监管不到位的情况下，建模者却在最大限度地增进自身效用的同时做出不利于他人的行动，过度“玩火”导致失控，给投资者造成巨大的损失和灾难。

更为严重的是，建模者（国际金融炒家）已经形成为金融利益集团。

总之，这次金融海啸的深层原因应该是道德风险与监管缺失和滞后，是建模者的道德观念的失败；另一方面，这次金融海啸实际上也暴露出目前金融物理理论和方法的弱点，面对现实非线性金融市场复杂系统，这样的模型是不可能跟踪预测到金融危机爆发的临界点的，难以预防和抵御到金融市场的风险的。

分数布朗运动下有红利支付的可转换债券定价苗杰【期刊名称】《新疆大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2013(000)001【摘要】Under the fractional brownian motion, we supposes that risk-free rate, dividend rate, anticipated returns ratio and fluctuating rate of the stock all are the definite continue function of time. By the equal qusi-martingale measure method, we discuss the pricing of the convertible bond with dividend-paying under the fractional Brownian motion and obtain pricing formula of the convertible bond.%在分数布朗运动环境下，假设股票的预期收益率、波动率、红利率和无风险利率都是时间的确定性连续函数，用通过等价概率测度变换，用拟鞅的方法，得到了分数布朗运动下有红利支付的可转换债券的定价公式。

【总页数】3页(P61-63)【作者】苗杰【作者单位】昌吉学院数学系，新疆昌吉 831100【正文语种】中文【中图分类】F830.9;O211.63【相关文献】1.分数布朗运动环境下有红利支付的欧式双向期权的定价 [J], 赵英英;胡华;马玲;马永光2.随机利率下具有红利支付的可转换债券定价 [J], 薛红;金宇寰3.分数布朗运动环境下可转换债券定价模型 [J], 李琛炜;薛红4.分数布朗运动下带违约风险的可转换债券定价模型 [J], 潘坚;周香英5.混合分数布朗运动下有交易成本和红利支付的两值期权定价 [J], 程潘红;许志宏因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

金融市场的布朗运动和分数布朗运动(马金龙)[转帖2005.08.27 00:49:37]1 布朗运动及其在金融市场的应用1.1 布朗运动布朗运动指的是一种无相关性的随机行走，满足统计自相似性,即具有随机分形的特征，但其时间函数(运动轨迹)却是自仿射的。

具有以下主要特性：粒子的运动由平移及其转移所构成，显得非常没规则而且其轨迹几乎是处处没有切线；粒子之移动显然互不相关，甚至于当粒子互相接近至比其直径小的距离时也是如此；粒子越小或液体粘性越低或温度越高时，粒子的运动越活泼；粒子的成分及密度对其运动没有影响；粒子的运动永不停止。

原始意义的布朗运动(Brownian motion，BM)是Robert Brown于1827年提出，系指液体中悬浮微粒的无规则运动, 直至1877年才由J. 德耳索作出了正确的定性分析：布朗粒子的运动，实际上是由于受到周围液体分子的不平衡碰撞所引起的。

1905年，A. 爱因斯坦对这种“无规则运动”作了物理分析，成为布朗运动的动力论的先驱，并首次提出了布朗运动的数学模型。

1908年，P. 朗之万在研究布朗运动的涨落现象时, 给出了物理学中第一个随机微分方程。

1923年，诺伯特‧维纳(Norbert Wiener)提出了在布朗运动空间上定义测度与积分，从而形成了Wiener空间的概念，并对布朗运动作出了严格的数学定义，根据这一定义，布朗运动是一种独立增量过程，是一个具有连续时间参数和连续状态空间的随机过程(Stochastic Process)。

它是这样的随机过程中最简单，最重要的特例。

因而维纳过程是马尔科夫过程(Markov process)的一种特殊形式，而马尔科夫过程又是一种特殊类型的随机过程。

数学界也常把布朗运动称为维纳过程(Wiener Process)。

不久，Paul Levy及后来的研究者将布朗运动发展成目前的巨构，如稳定的Levy分布。

20世纪40年代，日本数学家伊藤清(Ito Kiyosi)发展了维纳的研究成果，建立了带有布朗运动干扰项B(t)的随机微分方程。

股价受分数布朗运动驱动的混合期权定价模型
赵巍
【期刊名称】《南京师大学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2010(033)001
【摘要】分数布朗运动由于具有自相似和长期相关等分形特性,已成为数理金融研究中更为合适的工具.本文通过假定股票价格服从几何分数布朗运动,构建了It分数Black-Scholes市场;接着在分数风险中性测度下,利用随机微分方程和拟鞅(quasi-martingale)定价方法给出了分数Black-Scholes定价模型;进而讨论了股价受分数布朗运动驱动的混合期权定价模型.研究结果表明,与标准期权价格相比,分数期权价格要同时取决于到期日和Hurst参数.
【总页数】5页(P6-10)
【作者】赵巍
【作者单位】淮海工学院商学院,江苏,连云港,222001
【正文语种】中文
【中图分类】F830.9
【相关文献】
1.混合分数布朗运动驱动的幂期权定价模型 [J], 徐峰;郑石秋
2.赋权分数布朗运动驱动的重置期权定价模型 [J], 薛益民;孙西超
3.混合分数布朗运动驱动下的欧式幂期权定价模型 [J], 邹文杰
4.股价和执行价受双分数布朗运动驱动期权定价 [J], 赵巍
5.赋权分数布朗运动驱动的混合期权定价模型 [J], 杜姗姗;朱凤鸣;李芹影;王浩;周芷薇
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布朗运动在股票定价中的应用 一、 标准布朗运动1900年,法国数学家Bachelier 独立地介绍了布朗运动,他在自己的博士论文中用此来建立股票和商品运动的模型。

布朗运动：价格集合():0S y y ≤≤+∞，若对任意非负的实数y ，t ，随机变量()()S y t S y +-独立于时刻y 及此前的所有价格，并且它是一个均值为t μ，方差为2tσ的正态随机变量，则称价格集合为漂移参数为μ，方差参数为2σ的布朗运动。

用布朗运动建立的股票或商品价格运动的模型存在一些缺陷，比如：1、既然股票价格是一个正态随机变量，那它在理论上就可以取负值，但这与实际实不符的。

2、在布朗运动的模型里，假定无论初始价格为何值，固定时间长度的价格差具有相同的正态分布。

这个假设不太合理，比如一支股票从$20跌到$15的概率一般不会与另一支股票在相同时间内从$10跌到$5的概率相同。

二、 几何布朗运动用()(0)S y y ≤≤+∞表示y 时刻某证券的价格，若对任何非负实数y ，t （1）随机变量()/()S y t S y +独立于y 时刻及此前的所有价格； （2）ln(()/())S y t S y +是均值为t μ，方差为2t σ的正态随机变量；则称价格集合服从漂移参数为μ，波动参数为σ的几何布朗运动。

如果证券价格遵循几何布朗运动，那么一旦μ，σ的值确定了，影响未来价格概率分布的只是现在的价格，而与历史价格无关。

涉及未来时刻t 以后的价格与当前价格比值的所有概率都与当前价格无关。

比如一种证券在一个月之后增长一倍的概率与该证券现在的价格是$10还是$20是没有关系的。

若随机变量Y 为以t 为参数的对数正态分布的随机变量，则2/2()E Y e μσ+=。

若已知证券的价格为(0)S ，时刻t 价格的期望值仅依赖于几何布朗运动的漂移参数和波动参数，即对于()S t 我们有2(/2)[()](0)t E S t S e μσ+=。

布朗运动、伊藤引理、bs 公式
布朗运动、伊藤引理、BS公式
布朗运动是一种随机过程，它的特点是在任意时刻，它的位置都是随机的。

这种运动在金融领域中有着广泛的应用，比如用来模拟股票价格的波动。

布朗运动的数学模型是随机微分方程，其中的随机项是一个随机变量，它的值在每个时间步长内都是随机的。

伊藤引理是一种用来计算随机微分方程的方法。

它是由日本数学家伊藤清创立的，因此得名。

伊藤引理的核心思想是将随机微分方程中的随机项看作是一个随机过程，然后利用布朗运动的性质来计算它的微分。

这种方法可以用来计算很多金融衍生品的价格，比如期权、期货等。

BS公式是一种用来计算欧式期权价格的公式，它是由布莱克和斯科尔斯提出的。

这个公式的核心思想是将期权的价格看作是一个投资组合的价值，这个投资组合包括了股票和借贷资金。

通过对这个投资组合的分析，可以得到欧式期权的价格公式。

这个公式在金融领域中有着广泛的应用，它可以用来计算股票期权、货币期权等各种类型的期权价格。

布朗运动、伊藤引理、BS公式是金融领域中非常重要的概念。

它们的应用范围非常广泛，可以用来计算各种金融衍生品的价格，比如期权、期货等。

同时，它们也是金融工程师必须掌握的基本知识，
只有掌握了这些知识，才能在金融市场中取得成功。

布朗运动在股票定价中的应用 一、 标准布朗运动1900年,法国数学家Bachelier 独立地介绍了布朗运动,他在自己的博士论文中用此来建立股票和商品运动的模型.布朗运动：价格集合():0S y y ≤≤+∞,若对任意非负的实数y ,t ,随机变量()()S y t S y +-独立于时刻y 与此前的所有价格,并且它是一个均值为t μ,方差为2tσ的正态随机变量,则称价格集合为漂移参数为μ,方差参数为2σ的布朗运动.用布朗运动建立的股票或商品价格运动的模型存在一些缺陷,比如：1、既然股票价格是一个正态随机变量,那它在理论上就可以取负值,但这与实际实不符的.2、在布朗运动的模型里,假定无论初始价格为何值,固定时间长度的价格差具有相同的正态分布.这个假设不太合理,比如一支股票从$20跌到$15的概率一般不会与另一支股票在相同时间内从$10跌到$5的概率相同. 二、 几何布朗运动用()(0)S y y ≤≤+∞表示y 时刻某证券的价格,若对任何非负实数y ,t 〔1〕随机变量()/()S y t S y +独立于y 时刻与此前的所有价格； 〔2〕ln(()/())S y t S y +是均值为t μ,方差为2t σ的正态随机变量；则称价格集合服从漂移参数为μ,波动参数为σ的几何布朗运动.如果证券价格遵循几何布朗运动,那么一旦μ,σ的值确定了,影响未来价格概率分布的只是现在的价格,而与历史价格无关.涉与未来时刻t 以后的价格与当前价格比值的所有概率都与当前价格无关.比如一种证券在一个月之后增长一倍的概率与该证券现在的价格是$10还是$20是没有关系的.若随机变量Y 为以t 为参数的对数正态分布的随机变量,则2/2()E Y e μσ+=.若已知证券的价格为(0)S ,时刻t 价格的期望值仅依赖于几何布朗运动的漂移参数和波动参数,即对于()S t 我们有2(/2)[()](0)t E S t S e μσ+=.用∆表示一个小的时间增量,并假定,在每个∆时间单位内,证券的价格或者以概率p 增长u 倍,或者以概率(1)p -倍下跌d 倍,其中u e =d e -=1(12p =+.当∆取得越来越小时,价格的变化就越来越频繁,相应的价格集就近似为一个几何布朗运动.下证当∆取得越来越小时,上述简单过程趋近于几何布朗运动.首先定义变量i Y ,若i ∆时的价格上涨,则令1i Y =,否则令0i Y =.证券价格在前n 次变化过程中上涨的次数为1n i i Y =∑,下跌的次数为1ni i n Y =-∑,所以在时刻n ∆的证券价格()S n ∆可以表示为：11()=(0)n n n Y Y i i i i S n S ud-∑∑==∆.将上述形式整理一下,1()=(0)()n Y i i n uS n S d d∑=∆,若令/n t =∆,则上述方程可以改写为/1/()=()(0)t Y i i t S t ud S d∆∑=∆,两边取对数,得：//11()ln()ln ln()(0)t i S t t u d Y Y i i S d σ∆∆===+=∑∆.既然/1()ln()(0)S t Y i S σ∆==,则随着∆趋于0,合式/1t Y i i ∆∑=越来越接近正态随机变量,所以ln(()/(0))S t S 是一个正态随机变量并且,/1()(ln())()2(0)12(12S t tE E pY i S t tσμ∆===+⨯∆∆⨯⨯=∆.现在求方差,由于/1()ln()(0)S t Y i S σ∆==,所以/1202()(ln())4()(0)4(1)S t Var Var Y i S tp p tσσσ∆=∆→==∆-∆−−−→. 当∆变得越来越小时,ln(()/(0))S t S 〔同理可知ln(()/())S t y S y +〕就变成均值为t μ,方差为2t σ的正态随机变量.又因为前后价格的变化是独立的且每次改变时都以同样的概率增加或者减少,所以()/()S t y S y +独立于时刻y 以前的价格变化.所以当∆趋近于0时,几何布朗运动的两个条件都满足,这证明该模型确实变成了一个几何布朗运动. 三、 分数布朗运动大多数股票市场中的现象都体现了尖峰厚尾、自相似和长期相关等分型特征,这导致了大量由布朗运动驱动的定价模型不符合真实的市场.资本市场提出分数布朗运动过程,已经成为弥补上述模型最简单的方法.分数布朗运动是布朗运动的推广.布朗运动指的是无相关性的随机游动,而分数布朗运动的特征是具有持久性和长期记忆性.下面我们就来讨论股票价格是如何基于分数布朗运动进行演化的. 设随机量R i (ω)={1 ω="字“”−1 ω=“花”,考虑时间段0t T ≤≤,细分[0,]T ,令/t T N ∆=,(0,1,2)n n t n N t =∆=,从而有分割010n T t t t =<<<=,定义随机量()()Hi i t R R ω∆=∆以与序列(0,1,2)k k S ∆=： 00S ∆=,11()kkHii ki i t S R R ∆∆====∆∑∑,当[0,]T 上定义有偏的随机游走()t S ∆：实际上()t S ∆是由k S ∆经过线性插值形成的路径.下面我们引进原生资产价格的相对值*t S ：*t t tS S B =,其中t B 为贴现因子,即对于一张在0t =时刻面值为1的股票,若股价平均变化幅度为μ,则它在时刻t 的期望价值为t t e B μ=.事实上,设t ∏是一种风险资产股票的期望价值,(1)t tt t t t tB t B ρμρ+∆+∆===+∆∏∏∏, 对于*t S ,在[,]t t ∆时段,二叉树模型可以表示为 设1ud =,令()(),HHt t ude e σσρρ-∆∆==,其中σ为常数,它表示原生资产价格的波动率. 对于鞅测度Q ：{,}u d q q ,有1()()2H d o q t =+∆, 因此如果忽略()Ht ∆的高阶无穷小量,在[,]t t ∆时间段内原生资产的相对价格的变动,上扬和下跌具有同样的概率1/2,而它的回报因此不计t ∆的高阶小量,我们有*t *()()H t t tS S R t S σω+∆-=∆,由泰勒展开,不计t ∆的高阶小量,经过整理可以得到:*22*1ln()()()()2H H t ttS R t t S σωσ+∆=-∆∆, 根据定义*01S =,01B =,因此在对[0,]T 分割以后,在每一个分点k t t =,*2*2*1111ln ln ()2kk H i i kk i i i S S R t S σσ∆==-==-∑∑,即2*211ln ln ln ()2k H k i k kk k i S S t B R t μσσ∆==+=+-∑, 把它用线性插值连成路径,并记作^()t S ∆,那么,22^1ln ()()()2H t t t t S S μσσ∆∆=-+,令0t ∆→,其中()t S ∆的极限为()H t B ,用()S t 记^()t S ∆的极限函数,我们有：221ln ()()()2H H S t t t t B μσσ=-+,即2201()exp(())()2H H S t t t t S B μσσ=-+,这表示股票价格演化是一个连续随机过程,它的对数用分数布朗运动来刻画.由上式可得：()()()()H dS t S t dt S t d t B μσ=+.下面对一些模型参数进行求解.漂移率μ表示的是经过一段时间后,股价的平均变化幅度,以年为单位来计量,用比率的形式来表示,即0[]S t E S μ∆∆=,波动率σ反映的是相对回报率的不确定性,有220(1)[]()HS t E t S μσ--∆=∆.假设我们得到在一段较长时间[0,]T 内的股价数据记录,这段区间由n 个长度相等的子区间t ∆组成.再假设我们知道每个子区间末的股价,将股价表示为：i S =第i 个子区间的股价,样本观测值为1n -个.具体步骤如下：第一步,计算下列时间序列值：1(012n)i i iS I U S +==，，，, 第二步,计算11(1)n i i UU n =-=-∑, 2211[](1)1n i i n S U U n =-=--∑-, 这里U -和2S 是来自市场实际数据12,,,n S S S 变化率样本均值和样本方差.第三步,解方程t U μ-=∆和222()H t S σ=∆,得到U t μ-=∆和()H S t σ=∆,从而得到μ和σ的值.我们根据实际的数据利用经典的/R S 分析法得出H 的值,然后模拟分数布朗运动,利用上述公式求出μ和σ的值；最后根据()h St t B Sμσ∆=∆+∆用蒙特卡洛模拟模拟出股票价格的变动.。

随机过程在金融领域的作用14王颖浅谈布朗运动在金融领域的应用悬浮微粒永不停息地做无规则运动的现象叫做布朗运动例如，在显微镜下观察悬浮在水中的藤黄粉、花粉微粒，或在无风情形观察空气中的烟粒、尘埃时都会看到这种运动。

温度越高，运动越激烈。

它是1827年植物学家R.布朗首先发现的。

作布朗运动的粒子非常微小，直径约1~10微米，在周围液体或气体分子的碰撞下，产生一种涨落不定的净作用力，导致微粒的布朗运动。

如果布朗粒子相互碰撞的机会很少，可以看成是巨大分子组成的理想气体，则在重力场中达到热平衡后，其数密度按高度的分布应遵循玻耳兹曼分布。

.佩兰的实验证实了这一点，并由此相当精确地测定了阿伏伽德罗常量及一系列与微粒有关的数据。

1905年A.爱因斯坦根据扩散方程建立了布朗运动的统计理论。

布朗运动的发现、实验研究和理论分析间接地证实了分子的无规则热运动，对于气体动理论的建立以及确认物质结构的原子性具有重要意义，并且推动统计物理学特别是涨落理论的发展。

由于布朗运动代表一种随机涨落现象，它的理论对于仪表测量精度限制的研究以及高倍放大电讯电路中背景噪声的研究等有广泛应用。

这是1826年英国植物学家布朗（1773-1858）用显微镜观察悬浮在水中的花粉时发现的。

后来把悬浮微粒的这种运动叫做布朗运动。

不只是花粉和小炭粒，对于液体中各种不同的悬浮微粒，都可以观察到布朗运动。

布朗的发现是一个新奇的现象，它的原因是什么人们是迷惑不解的。

在布朗之后，这一问题一再被提出，为此有许多学者进行过长期的研究。

一些早期的研究者简单地把它归结为热或电等外界因素引起的。

最早隐约指向合理解释的是维纳(1826——1896)，1863年他提出布朗运动起源于分子的振动，他还公布了首次对微粒速度与粒度关系的观察结果。

不过他的分子模型还不是现代的模型，他看到的实际上是微粒的位移，并不是振动。

到了70——80年代，一些学者明确地把布朗运动归结为液体分子撞击微粒的结果，这些学者有卡蓬内尔、德尔索和梯瑞昂，还有耐格里。

分数布郎运动环境中期权定价模型的研究的开题报告一、研究背景和意义随着金融市场的日益发展以及金融产品的不断创新，期权作为一种金融衍生品，其在金融市场上的应用日益广泛。

传统的期权定价方法大多基于欧式期权的条件，但在现实市场应用中，美式期权更加常见，而且与其它金融产品的联动性也更加明显。

因此，对于美式期权定价的研究具有重要的理论和实践意义。

分数布朗运动（Fractional Brownian Motion，FBM）是一种能够模拟具有长期记忆性的随机过程的数学模型，相比于布朗运动模型，FBM模型更能反映现实市场上的价格漂移和波动性。

因此，将分数布朗运动模型应用于期权定价中，不仅能更为准确地反映价格波动性的特征，还能提高期权定价的精度。

二、研究目的本文旨在探究分数布朗运动环境下的美式期权定价模型，具体目标为：1. 构建分数布朗运动下的美式期权定价模型，分析其特点和优势；2. 基于该模型，建立相应的数学模型，探讨模型在不同市场条件下的适用性和精度；3. 通过实证分析，验证所提出的模型的可行性和有效性。

三、研究内容和方法1. 研究分数布朗运动的基本理论和性质，掌握其在金融市场中的应用；2. 系统回顾已有的美式期权定价模型的研究成果，对各种常用的美式期权定价方法进行介绍和比较分析；3. 基于分数布朗运动，构建美式期权定价模型，采用偏微分方程（Partial Differential Equation，PDE）方法解析模型，并计算得到相应的定价公式；4. 利用数值方法，如蒙特卡罗方法和有限差分法，对所提出的模型进行求解和分析，验证所提出的模型在不同市场情况下的适用性和定价精度；5. 最后，通过实证分析，采用实际市场数据验证所提出的美式期权定价模型的有效性和优越性。

四、预期结论和意义1. 基于分数布朗运动的美式期权定价模型能够更为准确地反映现实市场中的价格波动特征，提高期权定价的精度；2. 所提出的美式期权定价模型在不同市场条件下的适用性和精度均得到验证，具有一定的实用价值；3. 本文的研究结果能够为实践中的期权定价和风险控制提供理论支持和参考依据。

基于布朗运动的金融市场波动性研究一、引言金融市场波动性一直是金融领域的研究热点问题，波动性作为金融市场的重要成分影响着资产定价、风险管理、市场监管等方方面面。

而布朗运动及其改进模型中，基于随机游走的思想具有一定的适用性，被广泛应用于金融市场的波动性建模。

本文将首先介绍布朗运动的基本思想及其改进模型；然后探讨基于布朗运动的金融市场波动性研究以及该领域的一些前沿研究成果。

二、布朗运动与其改进模型1.布朗运动的基本思想布朗运动是指在任意给定时间段内，其路径是连续的、时间连续的一种随机过程，即小时间段内的随机波动趋向于正态分布。

布朗运动具有无记忆性、独立增量等性质，其最重要的性质是连续性与概率可测性。

由于其对于平稳性的理解与建模，成为量化金融学中不可缺少的工具。

2.份时布朗运动随着金融市场交易时间的变化，将时光等分，提出了份时布朗运动模型（Fractional Brownian Motion, fBm）， fBm将布朗运动中的H值，展现为随机对数变化率的形式，指数越小，越“持久”，越能告诉我们价格“记忆”长短。

其在金融时间序列预测、交易计算、风险控制方面具有较强优势。

3.维纳过程维纳过程是布朗运动的一种推广，同样具有连续性和概率可测性，但路径处处可导，被广泛应用于期权定价与衍生品定价中。

三、基于布朗运动的金融市场波动性研究1.随机波动率模型金融市场中存在着波动率聚集现象，即波动率本身不是稳定的，而可能是高估或低估的。

随机波动率模型（Stochastic Volatility Model, SVM）是基于随机波动率思想建立的模型，其中研究波动率的动态性，对标的资产收益率的方差进行各自的建模，并将它们联系起来，建立了较为准确的金融市场波动性模型。

2.GARCH模型广义自回归条件异方差模型（Generalized Autoregressive Conditional Heteroscedasticity Model, GARCH）作为传统方法，将进行基于过去收益率方差的建模，具有全球应用、建模过程清晰以及在实际操作中的实操性，已经成为金融市场中应用最多的波动性模型。

浅谈布朗运动冯涛青海民族学院 电子工程与信息科学系 810007摘 要：布朗运动作为具有连续时间参数和连续状态空间的一个随机过程,是一个最基本、最简单同时又是最重要的随机过程。

关键词： 布朗运动、马尔科夫随机函数；性质及推导；应用On the Brownian motion Abstract ：Brownian motion as a continuous time parameter and the continuous state space of a random process, is a most basic, simple at the same time is the most important stochastic process.Keywords ：Brownian motion, Markov random function; the nature and derivation; Application一、关于布朗运动的性质及推导。

标准布朗运动的定义是一个随机函数()()X t t T ∈，它是维纳随机函数。

它有如下的一些重要性质。

（1）、它是高斯随机函数。

（2）、它是马尔科夫随机函数。

它的转移概率密度是：{}(,)()()f t s y x P X t y X s x y ∂--=≤=∂21/222()2()exp 2()y x t s t s πσσ-⎡⎤-⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦-⎣⎦可以看出它对空间和时间都是均匀的。

（3）、如()(0)X t t ≤是标准布朗运动，则下列各个随机函数也是标准布朗运动。

1）、21()(/)X t cX t c = （c ＞0为常数，t ≥0）2）、2()()()X t X t h X h =+- （h ＞0为常数，t ≥0）3）、13()(0)()0(0)tX t t X t t -⎧>=⎨=⎩ （4）、标准布朗运动的协方差函数2(,)min(,)C s t s t σ=。

布朗运动在金融中的应用
布朗运动是一种随机漫步过程，它在金融中有广泛应用。

这种运动本质上是一种无规律的趋势变化，其随机性使得它能够被用来描述股票、商品和货币等金融工具价格的变化。

布朗运动在金融中被广泛应用于期权定价、风险管理和投资组合优化等方面。

在期权定价方面，布朗运动被用来确定期权的价格和波动率。

在风险管理方面，它可以用来计算投资组合的风险和波动性。

在投资组合优化方面，它可以用来优化投资组合的收益和风险。

除了这些应用，布朗运动还被用于计算股票和证券价格的波动性，以及衡量市场的不确定性。

在这种情况下，布朗运动可以被用来预测未来的价格趋势并帮助投资者做出决策。

总之，布朗运动在金融中的应用非常广泛，它可以帮助投资者更好地了解市场波动和价格变化，并采取相应的投资策略。

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股价的布朗运动结论：价格运动一般按时间变动的平方根改变1827年英国植物学家布朗（1773-1858）用显微镜观察悬浮在水中的花粉时发现，小颗粒的花粉在水中呈现出“之”型的不规则运动。

我们现在知道这种运动叫做布朗运动。

那么，布朗运动到底是怎么产生的呢？这些粒子是自发的运动还是受到周围分子的不平衡的碰撞而导致的运动？答案是后者，但理论上的解释却并不容易。

1905年，大科学家爱因斯坦在写了一篇被广泛引用的论文，才从理论上解释了布朗运动，他的研究也成为分子运动论和统计力学发展的基础，那一年爱因斯坦还写了另外两篇更著名的论文，一篇是狭义相对论，一篇是光电效应（提出了量子概念）。

有趣的是爱因斯坦提出这个理论，并不清楚这个理论一定与布朗运动有关，法国人佩兰（perrin）为此做了几年的实验，终于证明爱因斯坦的公式是对的，他因此获得了1926年的诺贝尔物理学奖。

不过在爱因斯坦的论文发表之前，还有一个人也从理论上对随机运动进行了研究，1900年，法国数学家巴契里耶完成了自已的博士论文“投机理论”，这篇论文是历史上第一次有人尝试使用严谨的数学工具研究并解释股市的运动，巴契里耶所推导的公式也领先于爱因斯坦的研究，他认为市场价格同时反映过去、现在和将来，但这些事件与价格变动却没有明显的关系。

股价就象液体的中花粉受到周围投资者买卖的碰撞而呈现出的波动，波动的范围与时间的平方根成正比。

巴契里耶原创性的研究可以说是财务学的鼻祖，尽管他生前并没有太大名气，就是这篇论文也未能得到最优评级，而且论文原稿还遗失了，直到20世纪50年代才被另一个统计学家意外地发现。

股价随机波动的过程由于随机波动是股票市场中极其普遍的现象，所以在此单独对此进行一下说明。

股价的随机波动被称为维纳过程，其是马尔科夫随机过程的一种特殊形式。

物理学中把它用来描绘某个粒子受到大量小分子碰撞的运动，有时也称为布朗运动（Brownian Motion)。

布朗运动，有时又称布朗噪声，是一种物理现象，该现象是由英国生物学家Brown于1827年观察花粉微粒在液面上的“无规则运动”而提出。