含根式函数值域的求法

函数值域十三种求法1. 直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。

例1. 求函数x 1y =的值域解：∵0x ≠∴0x 1≠显然函数的值域是：),0()0,(+∞-∞例2. 求函数x 3y -=的值域解：∵0x ≥3x 3,0x ≤-≤-∴故函数的值域是：]3,[-∞2. 配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

例3. 求函数]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域 解：将函数配方得：4)1x (y 2+-= ∵]2,1[x -∈由二次函数的性质可知：当x=1时，4y min =，当1x -=时，8y max = 故函数的值域是：[4，8]3. 判别式法(只有定义域为整个实数集R 时才可直接用)例4. 求函数22x 1x x 1y +++=的值域 解：原函数化为关于x 的一元二次方程0x )1y (x )1y (2=-+-（1）当1y ≠时，R x ∈0)1y )(1y (4)1(2≥----=∆解得：23y 21≤≤ （2）当y=1时，0x =，而⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,211 故函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21例5. 求函数)x 2(x x y -+=的值域解：两边平方整理得：0y x )1y (2x 222=++-（1） ∵R x ∈∴0y 8)1y (42≥-+=∆ 解得：21y 21+≤≤-但此时的函数的定义域由0)x 2(x ≥-，得2x 0≤≤由0≥∆，仅保证关于x 的方程：0y x )1y (2x 222=++-在实数集R 有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由 0≥∆求出的范围可能比y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21。

可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。

∵2x 0≤≤0)x 2(x x y ≥-+=∴21y ,0y min +==∴代入方程（1）解得：]2,0[22222x 41∈-+=即当22222x 41-+=时，原函数的值域为：]21,0[+注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。

高中数学：求函数值域的方法十三种（二）五、判别式法：把函数转化成关于x 的二次方程(,)0F x y =；通过方程有实数根，判别式0∆≥，从而求得原函数的值域，形如21112222a xb xc y a x b x c ++=++（1a 、2a 不同时为零）的函数的值域，常用此方法求解。

（解析式中含有分式和根式。

）【例1】求函数2211x x y x ++=+的值域。

【解析】原函数化为关于x 的一元二次方程,由于x 取一切实数，故有（1）当时，解得：（2）当y=1时，，而故函数的值域为【例2】求函数y x =+的值域。

【解析】两边平方整理得：（1）∵∴解得：但此时的函数的定义域由，得由，仅保证关于x的方程：在实数集R 有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由求出的范围可能比y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为。

可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。

∵代入方程（1）解得：即当时，原函数的值域为：注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。

解法二：2(2)1(x 1)y x x x x =+-=+--]2,2[sin 1ππθθ-∈=-x )4sin(21cos sin 1πθθθ++=++=y 4344ππθπ≤+≤-14sin(22≤+≤-πθ原函数的值域为：【例3】已知函数222()1x ax b f x x ++=+的值域为[1，3]，求,a b 的值。

【解析】2221x ax by x ++=+22(2)04(y 2)(y b)0y x ax y b a ⇒--+-=⇒∆=---≥2244(2b)y 8b a 0y -++-≤。

由于222()1x ax bf x x ++=+的值域为[1，3]，故上式不等式的解集为{y|1≤y≤3}1221221328234y y b a b ab y y +=+=+⎧=±⎧⎪⇒⇒⎨⎨-===⎩⎪⎩【例4】求函数2212+++=x x x y 的值域。

例谈含二次根式的函数值域的常用求法含二次根式的函数值域的求法可以通过以下几种常用方法来进行。

首先，我们需要明确值域的定义：对于函数$y=f(x)$，值域是指$y$的所有可能值的集合。

1.图像法：对于二次根式函数，可以先绘制函数的图像，通过观察图像来判断值域。

例如，对于函数$y=\sqrt{x}$，当$x$取非负的实数时，$y$有意义，所以值域为非负的实数集合，即$[0,+\infty)$。

类似地，对于函数$y=\sqrt{a-x}$，可以通过绘制图像，观察$x$的取值范围，以及函数图像的上下界来确定值域的范围。

2.代数法：通过代数方法来求解函数的值域，主要利用一些基本的代数性质和不等式。

a) 对于含有单个二次根式的函数，可以利用平方的性质，将根号去掉，然后再进行值域的判断。

例如，对于函数$y=\sqrt{ax+b}$，可以通过平方等式$x=ky^2+m$来求解。

首先令$y=kx+m$，然后进行平方运算得到$x=k(y-m)^2$。

通过观察得到，当$k>0$时，函数的值域为$(m,+\infty)$；当$k<0$时，函数的值域为$(-\infty,m)$。

b) 对于含有多个二次根式的复合函数，可以通过合并根号，并运用不等式来求解值域。

例如，对于函数$y=\sqrt{x^2-4}+\sqrt{9-x}$，可以合并根号并利用不等式$x^2-4\geq 0$以及$9-x\geq 0$。

然后再利用不等式来求解函数的值域。

3.求解不等式：对于含有二次根式的函数，可以通过求解不等式来确定函数的值域。

例如，对于函数$y=\sqrt{x^2-4}$，可令$y\geq 0$，然后通过求解$x^2-4\geq 0$来确定$x$的范围。

根据不等式的求解，可以得到$x\leq -2$或$x\geq 2$。

所以该函数的值域为$(-\infty,-2]\cup[2,+\infty)$。

综上所述，含二次根式的函数值域的常用求法有图像法、代数法和求解不等式。

例谈含根式函数值域的求解方法作者：葛云云来源：《中学生数理化·自主招生》2020年第01期求函数值域是高考的重点及热点，很多问题最后都转化为求函數的值域得以解决。

其中求含根式的函数值域是特殊的一个类型，平常大家碰到的频率也较高，其求解思路多样，方法多变，下面对这一类问题的几种求解策略进行举例分析。

一、函数单调法例1 求函数的值域。

解：函数的定义域为，由复合函数的单调性可知，在定义域内是单调递减的，所以函数在定义域内是单调递增的，故其值域为。

启示：利用函数单调性求解函数问题是最常用的方法，解题时可预先判断函数的单调性，充分抓住函数的相关性质。

二、换元法例2 求函数的值域。

解：该题与例1相差一个符号，若利用单调性求其值域，会发现在定义域内，为单调递减，故函数整体的单调性不显著。

此时，可采取换元法，令t=则，所以该函数为开门向上的抛物线一部分，最小值取在对称轴t=l处，故其值域为[-1，+∞）。

启示：换元法可将含根式函数变为初等函数，而初等函数值域的求解一般较为简单，需要注意的是换元后的新函数定义域发生了变化。

三、平方法例3 求函数y=的值域。

解：先找到函数的定义域为[-1，1]，将函数两边进行平方，可得万，发现∈[O，1]，因此y2∈[2，3]，最后得到函数的值域为。

启示：该种方法适用于两个根式内x项的系数恰好互为相反数的情况，因其平方后，平方项的和可变为常数。

此外，变量x便集中在一个根式内，可有效降低分析难度，利于值域的顺利求解。

四、导数法例4 求函数y=的值域。

解：该题和例3也相差不大，为两个根式相加，若采用平方法，变量x还是没能全部集中于根号内，不利于求解值域。

此外，其单调性也不直观，可采用导数法。

函数的定义域为，对函数求导得得x∈（1/4，1]，此时函数在该区域内递减，同理可得函数在上递增。

故其值域为启示：利用导数寻找函数的单调性·通过单调性得到值域。

这种方法应该是求函数值域时万能的方法，一般川在函数较为复杂或者其单调性不显著时。

含根式函数值域的几何求法时间：2021.02.02创作：欧阳术函数值域和最大值、最小值问题是高中数学中重要的问题，其求解的方法很多，常见的解法有：观察法、配方法、均值不等式法、反函数法、换元法、判别式法、单调函数法、图解法等。

其中，利用数形结合来求函数的值域，尤其是含根式函数的值域，具有其独特的效果，它能够把满足题意的几何图形画出来，生动形象的直观图，提示和启发我们的解题思路，有时，图形式直接提供了我们寻求的答案，因此，几何法既可以使题意更加明确，又可以使运算得到简化。

例1 求函数312+-+=x x y 的最小值.解：由03≥+x 得：3-≥x .令⎩⎨⎧≥+=-≥+=)0(3)5(12v x v u x u ，消去x 得：)0,5()5(212≥-≥+=v u u v则点()v u ,在)5(212+=u v 的抛物线段上，又在直线y u v -=上，如图1，易知，当直线与抛物线相切时，－y 取最大值，取y 最小值。

联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+=y u v u v )5(212，消去u 整理得：0522=---y v v ，由△=0，图1即：0)5(24)1(2=--⨯⨯--y 解得：=y 841-.∴ 原函数的最小值为841-.评注：本题可以利用代数换元法，将含根式函数的值域问题转化为二次型函数在某区间上的值域问题，其解题过程中运算量并不大，而且不难接受理解。

因此，本题利用构造直线与抛物线进行求解，并没有真正体现出几何解法的优越性。

例2 求函数131-++-=x x y 的值域.分析：本题不能用换元法进行求解，因此，我们也来尝试利用几何解法。

解：由⎩⎨⎧≥+≥-0301x x 解得：13≤≤-x .令⎩⎨⎧≤≤+=≤≤-=)20(3)20(1v xv u x u ，消去x 得：)20,20(422≤≤≤≤=+v u v u 则点()v u ,在422=+v u 的园弧上，又在直线1++-=y u v 上， 如图2，显然OB y OA ≤+≤1 又 ∵22,2==OB OA ∴1221-≤≤y 即为原函数所求的值域。

根式函数最值求法大放送雷亚庆(江苏省南京市大厂高级中学㊀２１００４４)摘㊀要:根式函数最值的求解对学生而言是比较困难的.本文介绍了几类根式函数特别是双根式函数的最值的求法.关键词:根式函数ꎻ单调性ꎻ换元ꎻ平方ꎻ几何意义ꎻ数量积ꎻ分子有理化中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２０)１９－００６７－０２收稿日期:２０２０－０４－０５作者简介:雷亚庆(１９７２－)ꎬ男ꎬ中学高级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀含根式函数的最值问题具有灵活性强㊁难度大的特点ꎬ很多同学望而生畏ꎬ往往不知道从哪入手ꎬ尤其是双根式函数更是难点.实际上根式函数没有想象的那么可怕ꎬ只要我们认真分析题意ꎬ注意条件的应用ꎬ养成正确的解题习惯ꎬ即可找到合理恰当的解法ꎬ使此类问题顺利加以解决ꎬ下分类举例说明.㊀㊀一㊁利用函数单调性例１㊀求函数ｙ＝ｘ－１＋ｘ＋１的值域.解析㊀易求得函数ｙ＝ｘ－１＋ｘ＋１定义域为[１ꎬ＋¥)ꎬ由于函数ｙ＝ｘ－１和ｙ＝ｘ＋１在[１ꎬ＋¥)为增函数ꎬ所以ｙ＝ｘ－１＋ｘ＋１在[１ꎬ＋¥)上单调递增.当ｘ＝１时ꎬｙ取得最小值２.所以函数ｙ＝ｘ－１＋ｘ＋１的值域为[２ꎬ＋¥)例２㊀(重庆高考)ｆ(ｘ)＝５ｘ２－２ｘ＋２ｘ－５ｘ＋４的最小值.解㊀定义域为(－¥ꎬ０]ɣ[４ꎬ＋¥)ꎬ显然函数在(－¥ꎬ０]上单调递减ꎬ在[４ꎬ＋¥)上单调递增.因此ｆ(ｘ)ｍｉｎ＝ｍｉｎｆ(０)ꎬｆ(４){}＝ｆ(０)＝４.㊀㊀二㊁利用换元去根号１.换元消去根号例３㊀(２００６年江苏改编)求函数ｙ＝１－ｘ２＋１－ｘ＋ｘ＋１的最大值.解㊀求得定义域为:ｘ－１ɤｘɤ１{}.设ｔ＝１＋ｘ＋１－ｘꎬ所以ｔ２＝２＋２１－ｘ２ɪ[２ꎬ４].所以ｔ的取值范围是[２ꎬ２].由ｔ２＝２＋２１－ｘ２得１－ｘ２＝１２ｔ２－１ꎬ所以ｙ＝１２ｔ２＋ｔ－１(２ɤｔɤ２).因为ｙ＝１２ｔ２＋ｔ－１在[２ꎬ２]上单调递增ꎬ所以当ｔ＝２即ｘ＝０时函数有最大值３.２.三角换元化掉根号例４㊀求ｙ＝ｘ－４＋１５－３ｘ的值域.分析㊀求根式函数的值域是一个难点ꎬ特别是双根式函数ꎬ实际上如果我们养成解决函数问题先明确定义域的好习惯的话ꎬ就会发现隐藏的解题信息ꎬ利用三角代换ꎬ就可以把根式函数转换为三角函数问题处理.解㊀由已知得:４ɤｘɤ５所以可设ｘ＝４＋ｃｏｓ２θ(０ɤθɤπ２).ʑｙ＝ｘ－４＋１５－３ｘ＝ｃｏｓ２θ＋３ｓｉｎ２θ＝ｃｏｓθ＋３ｓｉｎθ＝２ｓｉｎ(θ＋π６)(０ɤθɤπ２).ȵ０ɤθɤπ２ꎬʑπ６ɤθ＋π６ɤ２π３ꎬʑ１２ɤｓｉｎ(θ＋π６)ɤ１ꎬʑ函数的值域为[１ꎬ２].７６㊀㊀三㊁利用平方去根号例５㊀求ｙ＝ｘ－１＋２－ｘ的值域.解析㊀求得定义域为[１ꎬ２].把ｙ＝ｘ－１＋２－ｘ两边平方得ｙ２＝１＋２(ｘ－１)(２－ｘ)＝１＋－ｘ２＋３ｘ－２(１ɤｘɤ２).因为ｘɪ[１ꎬ２]时ꎬｇ(ｘ)＝－ｘ２＋３ｘ－２ɪ[０ꎬ１４]ꎬ所以ｙ２ɪ[１ꎬ３２].又因为ｙȡ０ꎬ所以ｙɪ[１ꎬ６２].㊀㊀四㊁利用几何意义１.构造距离例６㊀求函数ｙ＝ｘ２＋２ｘ＋２＋ｘ２－４ｘ＋１３的最小值.解㊀ｙ＝ｘ２＋２ｘ＋２＋ｘ２－４ｘ＋１３＝(ｘ＋１)２＋(０－１)２＋(ｘ－２)２＋(０－３)２.设点Ｐ(ｘꎬ０)ꎬＡ(－１ꎬ１)ꎬＢ(２ꎬ３)ꎬ问题转化为:在ｘ轴上找一点Ｐꎬ使ＰＡ＋ＰＢ最小作点Ａ关于ｘ轴对称的点Ａᶄ(－１ꎬ－１)ꎬ显然当点Ｐ为直线ＡᶄＢ与ｘ轴交点时ＰＡ＋ＰＢ有最小值即ＡᶄＢ＝５.２.构造斜率例８㊀求函数ｙ＝２ｘ－ｘ２ｘ＋１的值域.解㊀ｙ＝２ｘ－ｘ２ｘ＋１＝１－(ｘ－１)２ｘ－(－１).构造定点Ａ(－１ꎬ０)ꎬ动点Ｐ(ｘꎬ１－(ｘ－１)２)ꎬ其中动点Ｐ在曲线ｙ＝１－(ｘ－１)２即半圆(ｘ－１)２＋ｙ２＝１(ｙȡ０)上如图２.问题转化为求直线ＰＡ的斜率的最值ꎬ由图２可知０ɤｋＰＡɤ３３.所以函数ｙ＝２ｘ－ｘ２ｘ＋１的值域为[０ꎬ３３].㊀㊀五㊁利用向量数量积的性质例９㊀求函数ｙ＝５ｘ－１＋１０－ｘ的最大值.解㊀设ａ＝(５ꎬ１)ꎬｂ＝(ｘ－１ꎬ１０－ｘ)ꎬ则有ｙ＝ａ ｂ且ａ＝２６ꎬｂ＝３.由向量数量积的性质可知:ａ ｂɤａｂ＝３２６ꎬ当且仅当向量ａꎬｂ共线同向时取 ＝ 号.所以函数ｙ＝５ｘ－１＋１０－ｘ的最大值为３２６.㊀㊀六㊁利用分子有理化例１０㊀求函数ｙ＝ｘ＋１－ｘ－１的值域.解㊀ｙ＝ｘ＋１－ｘ－１＝(ｘ＋１－ｘ－１)(ｘ＋１＋ｘ－１)ｘ＋１＋ｘ－１＝２ｘ＋１＋ｘ－１.由例１可知ｘ＋１＋ｘ－１ɤ２ꎬ所以２ｘ＋１＋ｘ－１ɪ(０ꎬ２].即函数ｙ＝ｘ＋１－ｘ－１的值域为(０ꎬ２]㊀㊀七㊁构造对偶式求解例１１㊀求函数ｙ＝ｘ－４＋２９－ｘ的最值.解析㊀设ｚ＝ｘ－４－２９－ｘ(４ɤｘɤ２９)ꎬ则ｙ２＋ｚ２＝５０ꎬ即ｙ２＝５０－ｚ２.因为函数ｚ＝ｘ－４－２９－ｘ在[４ꎬ２９]上单调递增ꎬ㊀所以当４ɤｘɤ２９时ꎬｚɪ[－５ꎬ５]ꎬ所以ｙ２＝５０－ｚ２ɪ[２５ꎬ５０].又因为ｙ＝ｘ－４＋２９－ｘȡ０ꎬ所以ｙɪ[５ꎬ５２].即函数值域为[５ꎬ５２].总之ꎬ解决根式函数的最值问题时ꎬ我们要养成良好的审题和解题习惯.如审题要注意挖掘目标函数的结构和隐含信息ꎬ解函数题时一定养成先求定义域的好习惯ꎬ只要这样我们就可以通过换元ꎬ构造ꎬ把问题转化为我们熟悉的函数最值模型ꎬ从而使问题得以解决.㊀㊀㊀参考文献:[１]雷亚庆.巧用函数奇偶性解决函数零点问题[Ｊ].数理化解题研究ꎬ２０１８(１９):３５－３６.[责任编辑:李㊀璟]８６。

1. 直接观察法对于一些比较简单的函数，通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域例1. 求函数的值域。

解：∵∴显然函数的值域是：2. 配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

例2. 求函数的值域。

解：将函数配方得：∵由二次函数的性质可知：当x=1时，，当x=-1时，故函数的值域是：[4，8]3. 判别式法例3. 求函数的值域。

解：两边平方整理得：（1）∵∴解得：但此时的函数的定义域由，得由，仅保证关于x的方程：在实数集R有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由求出的范围可能比y的实际范围大，故不能确定此函数的值域为。

可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。

∵∴∴代入方程（1）解得：即当时，原函数的值域为：注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。

4. 反函数法直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。

例4. 求函数值域。

解：由原函数式可得：则其反函数为：，其定义域为：故所求函数的值域为：5. 函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。

例5. 求函数的值域。

解：由原函数式可得：，可化为：即∵∴即解得：故函数的值域为6. 函数单调性法例6. 求函数的值域。

解：令则在[2，10]上都是增函数所以在[2，10]上是增函数当x=2时，当x=10时，故所求函数的值域为：例7. 求函数的值域。

解：原函数可化为：令，显然在上为无上界的增函数所以，在上也为无上界的增函数所以当x=1时，有最小值，原函数有最大值显然y>0，故原函数的值域为7. 换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作例8. 求函数的值域。

求函数值域的十种方法一．直接法（察看法）：对于一些比较简单的函数，其值域可经过察看获得。

例 1．求函数y x1的值域。

【分析】∵ x0 ，∴x11，∴函数 y x1的值域为[1,) 。

【练习】1．求以下函数的值域：① y 3x 2( 1 x 1) ；② f ( x)2 4 x ；x；○4y21,0,1,2 。

③ y x 1 1 ， xx1【参照答案】① [ 1,5]；② [2,)；③ (,1)(1,) ；{1,0,3} 。

4二．配方法：合用于二次函数及能经过换元法等转变为二次函数的题型。

形如F (x) af 2 ( x) bf ( x) c 的函数的值域问题，均可使用配方法。

例 2．求函数y x24x 2（ x[ 1,1] ）的值域。

【分析】y x24x 2( x2)2 6 。

∵ 1 x 1 ，∴ 3 x2 1 ，∴1 (x2)29，∴ 3(x 2)2 6 5 ，∴ 3 y 5。

∴函数 y x24x 2 （ x[ 1,1]）的值域为 [3,5]。

例 3 ．求函数y2x24x( x0, 4 ) 的值域。

【分析】本题中含有二次函数可利用配方法求解，为便于计算不如设：f (x)x2 4 x( f (x)0) 配方得： f (x)(x2)24(x0, 4 ) 利用二次函数的有关知识得f (x)0, 4，从而得出： y0,2 。

说明：在求解值域 (最值 ) 时，碰到分式、根式、对数式等种类时要注意函数自己定义域的限制，本题为：f ( x)0 。

例 4 ．若x 2 y4, x0, y0，试求 lg x lg y 的最大值。

【剖析与解】 本题可当作第一象限内动点P(x, y) 在直线 x 2 y 4 上滑动时函数 lg x lg y lg xy 的最大值。

利用两点(4,0) ， (0,2) 确立一条直线，作出图象易得：x (0,4), y (0,2), 而 lg x lg y lg xy lg[ y(4 2y)] lg[ 2( y 1)2 2] ，y=1 时， lg xlg y 取最大值 lg 2 。

函数值域求法十一种在函数的三要素中，定义域和值域起决定作用，而值域是由定义域和对应法则共同确定。

研究函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。

确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。

对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。

本文就函数值域求法归纳如下，供参考。

1. 直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。

例1. 求函数x1y =的值域。

解：∵0x ≠ ∴0x1≠ 显然函数的值域是：),0()0,(+∞-∞例2. 求函数x 3y -=的值域。

解：∵0x ≥3x 3,0x ≤-≤-∴ 故函数的值域是：]3,[-∞2. 配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

例3. 求函数]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域。

解：将函数配方得：4)1x (y 2+-= ∵]2,1[x -∈由二次函数的性质可知：当x=1时，4y min =，当1x -=时，8y max = 故函数的值域是：[4，8]3. 判别式法例4. 求函数22x1x x 1y +++=的值域。

解：原函数化为关于x 的一元二次方程 0x )1y (x )1y (2=-+- （1）当1y ≠时，R x ∈0)1y )(1y (4)1(2≥----=∆解得：23y 21≤≤（2）当y=1时，0x =，而⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,211故函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21例5. 求函数)x 2(x x y -+=的值域。

解：两边平方整理得：0y x )1y (2x 222=++-（1） ∵R x ∈∴0y 8)1y (42≥-+=∆解得：21y 21+≤≤-但此时的函数的定义域由0)x 2(x ≥-，得2x 0≤≤由0≥∆，仅保证关于x 的方程：0y x )1y (2x 222=++-在实数集R 有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由 0≥∆求出的范围可能比y的实际范围大，故不能确定此函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21。

根式函数值域分析根式函数是指函数中含有根号形式的式子，形如f(x) = √(ax+b)，其中a和b为任意实数。

根式函数在数学中是一个重要的函数类型，它在各个领域的应用广泛，并且在高中数学课程中也有相应的学习内容。

本文将对根式函数的值域进行分析，包括值域的定义、求值域的方法和一些典型的例子，以帮助读者更好地理解和掌握根式函数的性质。

一、值域的定义值域是函数在定义域上所有可能的函数值所组成的集合。

对于根式函数来说，值域就是函数的输出值的集合。

根式函数的值域通常是由函数的定义域和函数的性质决定的。

二、求值域的方法对于根式函数f(x) = √(ax+b)，我们可以采用以下方法来求解其值域：1.确定定义域首先要确定函数的定义域，也就是使得根式内的表达式非负的变量的取值范围。

对于f(x) = √(ax+b)来说，当ax+b≥0时，函数有意义，所以要求ax+b≥0，解得x≥-b/a。

因此，函数的定义域为D = (-b/a,+∞)。

2.确定值域的上界我们需要找到函数的最大值或者一个上界，这样就确定了值域的上界。

对于根式函数f(x) = √(ax+b)，我们可以看出，函数的值随着x的增大而增大，而且函数不会无限增大。

当x→+∞时，ax+b也会趋近于正无穷大，此时根式函数的函数值也趋近于正无穷大。

因此，可以确定根式函数的值域的上界为正无穷大。

3.确定值域的下界确定值域的下界需要考虑到函数的性质以及定义域的限制。

对于根式函数f(x) = √(ax+b)，我们可以观察到，当x→-b/a时，ax+b趋近于0，此时根式函数的函数值也趋近于0。

因此，我们可以确定根式函数的值域的下界为0。

综上所述，根式函数f(x) = √(ax+b)的值域为[0, +∞)。

三、典型例子1.例子1：考虑函数f(x)=√x，其中x为非负实数。

我们可以观察到，当x增大时，函数的值也增大，且函数可以取到任意非负实数。

因此，根式函数f(x)=√x的值域为[0,+∞)。

函数值域求法十五种在函数的三要素中，定义域和值域起决定作用，而值域是由定义域和对应法则共同确定。

研究函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。

确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。

对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。

本文就函数值域求法归纳如下，供参考。

基本知识1.定义：因变量y的取值范围叫做函数的值域（或函数值的集合）。

2.函数值域常见的求解思路：⑴划归为几类常见函数，利用这些函数的图象和性质求解。

⑵反解函数，将自变量x用函数y的代数式形式表示出来，利用定义域建立函数y的不等式，解不等式即可获解。

⑶可以从方程的角度理解函数的值域，从方程的角度讲，函数的值域即为使关于x的方程y=f(x)在定义域内有解的y得取值范围。

特别地，若函数可看成关于x的一元二次方程，则可通过一元二次方程在函数定义域内有解的条件，利用判别式求出函数的值域。

⑷可以用函数的单调性求值域。

⑸其他。

1. 直接观察法对于一些比较简单的函数，通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域例1. 求函数的值域。

解：∵∴显然函数的值域是：2. 配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

例2. 求函数的值域。

解：将函数配方得：∵由二次函数的性质可知：当x=1时，，当x=-1时，故函数的值域是：[4，8]3. 判别式法例3. 求函数的值域。

解：两边平方整理得：（1）∵∴解得：但此时的函数的定义域由，得由，仅保证关于x的方程：在实数集R有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由求出的范围可能比y的实际范围大，故不能确定此函数的值域为。

可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。

∵∴∴代入方程（1）解得：即当时，原函数的值域为：注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。

函数习题课(I) 函数定义域和值域的求法一、求函数定义域的方法(一) 直接法求定义域关注一些特殊函数的定义域或关注一些特殊的取值，从而使得函数有意义，直接限制自变量的取值范围。

一般需要关注的解题要点：（1）分母不为零 （2）偶次根式的被开方数非负。

（3）对数中的真数部分大于0。

（4）指数、对数的底数大于0，且不等于1（5）y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等。

( 6 )0x 中x 0≠例1 求下列函数定义域①21)(-=x x f ②xx x f -++=211)( ③0)32(2)3lg()(-++-=x x x x f ④2143)(2-+--=x x x x f ⑤373132+++-=x x y(二)解题时要关注定义域函数的三要素是定义域，值域和对应关系。

其中定义域是规定函数自变量取值范围的关键，是题目限制条件的体现。

由于常常被忽略，因此是命题人常将隐含条件设计于其中。

若想正确地解决函数相关问题，必须在解题时关注定义域，把它明确地写出来。

例2 已知函数)91(log 2)(3≤≤+=x x x f ，求函数[])()(22x f x f +的最大值。

例3 求函数x x x f a 2log )(2-= )10(≠>a a 且的单调增区间。

(三)有关抽象函数的定义域问题抽象函数的自变量始终是x(或其他字母)，但是由于对应法则所作用的x 形式不同(如x+2,x 2 等)，于是就有了有关抽象函数的定义域问题。

解决抽象函数的定义域问题需要紧紧抓住一点：括号里面的所有代数式的取值范围是相同的。

例4 已知函数)(x f 的定义域为[0,2]，求)12(+x f 的定义域。

例5 已知函数)12(+x f 的定义域为(-1,5]，求)(x f 的定义域。

例6 已知函数)1(+x f 的定义域为[0,2]，求)3(2x x f +的定义域。

二、求函数值域的方法(一)层层分析法(直接法)这种方法适合值域明显的复合函数或多个值域明显的函数相加减得到的函数求值域。

探索探索与与研研究究函数问题的考查形式多种多样，其命题方式也各不相同.其中,函数值域问题具有较强的综合性，侧重于考查函数的解析式、定义域、值域、图象、性质等.有些函数的值域问题较为复杂，其中含有根式、三角函数式、对数式，需采用换元法来求解.下面结合实例，重点探究一下如何运用换元法来求这三类函数的值域.一、求含有根式的函数的值域若函数的解析式中含有根式，我们通常无法直接根据基本初等函数的性质和复合函数的性质来求得函数的值域，需利用换元法，将根号下的式子用一个新变量替换，把函数式转化为关于新变量的函数式，根据函数的定义域求得新变量的取值范围，再根据基本初等函数的性质和复合函数的性质来求函数的值域.例1.求函数f ()x =2x -5+13-2x 的值域.解：令t =13-2x ()t ≥0，可得x =13-t 22，由f ()x =2x -5+13-2x 可得f ()t =-t 2+t +8=-æèöøt -122+334，∵当t ∈éëöø12,+∞时，函数f ()t 单调递减；当t ∈éëùû0，12时，函数f ()t 单调递增，∴当t =12时，f ()t 取最大值334，∴函数f ()x 的值域为æèùû-∞,334.令t =13-2x ，可通过换元，去掉根号，将函数式转化为关于t 的二次函数式，利用二次函数的性质即可求得函数的最值，从而得到函数的值域.一般地，若函数的最大值为M 、最小值为m ，则函数的值域为[m ,M ]，因此，只要求得函数的最值，即可得到函数的值域.例2.求函数f ()x =x +1-x 2的值域.解：令sin t =x ，可得1-x 2=1-sin 2t =cos t ，由f ()x =x +1-x 2可得f ()t =sin t +cos t =2sin æèöøt +π4，∵1-x 2≥0，-1≤x ≤1，∴t ∈[]0,2k π，∴t +π4∈éëùûπ4,π4+2k π，∴f ()t ∈[]-2,2，∴函数f ()x 的值域为[]-2,2.由y =1-x 2可得x 2+y 2=1，于是联想到sin 2x +cos 2x =1，便令sin t =x ，使得1-x 2=cos t ，以便去掉根号.这样函数式就可转化为三角函数式，根据正弦函数的有界性即可求得函数的值域.例3.求函数f ()x =1-x +3+x 的值域.解：令2sin α=1-x ，2cos α=3+x ，可得f ()α=2sin α+2cos α=22sin æèöøα+π4，∵α∈éëùû0，π2，∴α+π4∈éëùûπ4，3π4，此时函数单调递增，∴当α+π4=π4时，函数f ()α取最小值2；当α+π4=3π4时，函数f ()α取最大值22，∴函数f ()x 的值域为[]2,22.解答本题，需通过三角换元去掉根号，将问题转化为三角函数最值问题来求解.可见，求含有根式的函数的值域，关键在于将根号下的式子合理换元，去掉根号，将问题转化为常规的函数最值问题来求解，这样才能化难为易.二、求三角函数的值域求三角函数的值域，常需用利用正弦、余弦、正切函数的单调性和有界性.而对于含有高次幂、同时含有不同函数名称的复杂三角函数值域问题，往往需要运用换元法来求解.通常需首先利用三角函数的诱导公式、两角的和差公式、辅助角公式、二倍角公式等将函数式化简；然后选取合适的部分进行换元，将问题转化为简单的正弦、余弦、正切函数的最值问题来求解.例4.已知函数f ()x =sin x +cos x +3sin x cos x ，则陈铤53探索探索与与研研究究函数f()x的值域为解：令t=sin x+可得t2=1+2由f()x=sin x可得f()t=32t2则当t∈éë-2,当t∈éëùû-13,2所以当t=-13当t=2时，故函数f()x式化简，例5.求函数f(解：令t=sin x∴由f()x=cos2f()t=-t2-2t∵t=sin x∈[∴当t∈[]-1,1∴当t=-1取最小值1，∴函数f()x引入变量t，性质来解题.换元，三、关，较为复杂，用新变量替换，.在求含有对数式的函数值（0，+∞），底数求函数f()x=ln2x-2ln x+3的x+3可得)t-12+2，∈[]0,3，f()t单调递减；f()t单调递增，)取最大值6；2，[]2,6.需令t=ln x，将函数式转利用二次函数的性质来解f()x=log2()x2-2x+9，则函数9=()x-12+8≥8，)2x+9可得f()t=log2t，28=3，)+∞，[)3,+∞.为了便于求解，需将对数函通过换元，将问题转化为简单这样便能快速求得问题的需重点研究新旧运用换元法求解函数的选取合适再快速求得（作者单位：江苏省启东中学）54。

解题宝典由于函数的解析式中含有根式，所以含有根式的函数值域问题一般比较复杂.如何处理根式，将问题转化为常规的函数值域问题是解题的关键.其实处理根式的方法有很多，如平方、三角代换、求导、借助向量等.下面介绍求含有根式的函数值域的几种方法.一、平方法当遇到根式时，很多同学的第一个想法是对其平方以去掉根号.在求含有根式的函数值域时，我们可以采用平方法，先对函数式进行平方，通过恒等变形将其转化为常规的函数式，再根据函数的图象和性质求得函数的值域.例1.求函数y =1-x +x +3的值域.解：由y =1-x +x +3可知函数的定义域为[]-3,1，则y 2=4+2-x 2-2x +3，而f ()x =-x 2-2x +3为二次函数，又f ()x =-()x +12+4，当x ∈[]-3,1时，f ()x ∈[]0,4，则y max =M =22，y min =m =2，所以y ∈[]2,22.这里通过平方，将函数式转化为只含有一个根式的式子，而根号下的式子为二次函数，借助二次函数的性质，便可求得根号下式子的值域，进而求得原函数的值域.二、三角代换法三角代换法是将函数式中的变量用三角函数替换，借助三角函数的有界性求得函数值域的方法.运用三角代换法，可将含根式函数的值域问题转化为三角函数的值域问题.例2.求函数f ()x =x +4-x 2的值域.解：由题意可知函数的定义域为x ∈[]-2,2，设x =2sin t ，t ∈éëùû-π2，π2，则y =2sin t +2cos t =22sin æèöøt +π4.而t +π4∈éëùû-π4，3π4,所以sin æèöøt +π4∈éëêùûú,故y ∈[]-2,22，即函数f ()x =x +4-x 2的值域为y ∈[]-2,22.我们由4-x 2联想到4sin 2x +4cos 2x =4，于是令x =2sin t ，通过三角代换，将问题转化为三角函数的值域问题.运用三角代换法求含有根式的函数的值域，需重点关注三角函数的定义域.三、导数法若含有根式的函数在某个区间上可导，便可利用导数法求出函数在该区间上的极值，再将极值与函数的端点值比较，便可确定函数的值域.利用导数法求含有根式的函数的值域，需熟记求导法则：(x α)′=αx α-1以及y x ′=y u ′·u x ′，在求出导函数后根据导函数与0之间的关系判断函数的单调性.例3.求函数y =2x +4-x +3的值域.解：由题意可得{2x +4≥0，x +3≥0，∴x ≥-2，∴函数y =2x +4-x +3]+∞，y ′=12x +4-12x +3=x +3-2x +42x +4∙x +3，又∵2x +3-2x +4=2x +82x +3+2x +4，∴当x ≥-2时，y ′>0，函数y =2x +4-x +3在()-2，+∞上是增函数；又∵f ()-2=-1，∴y =2x +4-x +3的值域为()-1,+∞.函数解析中含有两个根式，较为复杂，需先求出函数的定义域，再对函数进行求导，确定函数的单调性，进而得到函数的极值和最值.含有根式的函数值域问题具有较强的灵活性和特殊性，侧重于考查同学们生的应变能力.因此，在求此类函数的值域时，同学们要熟记初等函数的性质以及求导法则，对根式进行合理的变形，灵活利用初等函数、三角函数、导函数的性质来解题.（作者单位：江苏省泰州实验中学）39Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。