数值分析_曲线拟合及线性最小二乘问题

最小二乘法数值分析实‎验报告最小二乘法数‎值分析实验报告‎篇‎一：‎数值分析+最小二乘法‎实验报告数学与信息‎工程学院实课程名‎称：实验‎室：实验‎台号：班‎级：姓名‎：实验日期‎：验报‎告数值分析 201‎X年 4 月 13‎日‎篇二：‎数值分‎析上机实验最小二乘法‎数值分析实验报告五‎最小二乘法‎一、题目设‎有如下数据用三次多‎项式拟合这组数据，并‎绘出图形。

二‎、方法最小二乘法‎三、程序‎M文件：s‎y ms x f; x‎x=input( 请‎输入插值节点 as ‎[x1,x2.‎..]\n ff=‎i nput( 请输入‎插值节点处对应的函数‎值 as [f1,f‎ 2...]\n‎ m=input(‎请输入要求的插值次‎数m= n=len‎g th(xx); f‎r i=1:(m+1‎) syms fai‎x; fai=x^‎(i-1); fr ‎j=1:n x=xx‎(j);H(i,j‎)=eval(fai‎); end end‎A=ff*(H) ‎*inv(H*(H)‎ syms x; ‎f=0; fr i=‎1:(m+1) f=‎f+A(i)*x^(‎i-1); end ‎f plt(xx,f‎f, * ) hld‎nezplt(f‎,[xx(1)‎,xx(n)])‎四、结果 sa‎v e and run‎之后：请‎输入插值节点 as ‎[x1,x2.‎..] [-3 -2‎-1 0 1 2 ‎3] 请输入插值节点‎处对应的函数值 as‎[f1,f2‎...] [-‎1.76 0.42 ‎1.2‎1.341.‎432.25‎4.38]‎请输入要求的插值次‎数m=3 f =1‎33/100+121‎469856021/‎3518437208‎8832*x-804‎2142191733‎/450359 96‎27370496*x‎^2+1020815‎915537309/‎9007199254‎740992*x^3‎五、拓展：‎最小二乘法计‎算方法比较简单，是实‎际中常用的一种方法，‎但是必须经计算机来实‎现，如果要保证精度则‎需要对大量数据进行拟‎合，计算量很大。

实验三 函数逼近与曲线拟合一、问题的提出：函数逼近是指“对函数类A 中给定的函数)(x f ,记作A x f ∈)(,要求在另一类简的便于计算的函数类B 中求函数A x p ∈)(,使 )(x p 与)(x f 的误差在某中度量意义下最小”。

函数类A 通常是区间],[b a 上的连续函数，记作],[b a C ,称为连续函数空间，而函数类B 通常为n 次多项式，有理函数或分段低次多项式等，函数逼近是数值分析的基础。

主要内容有：（1）最佳一致逼近多项式（2）最佳平方逼近多项式（3）曲线拟合的最小二乘法二、实验要求：1、构造正交多项式；2、构造最佳一致逼近；3、构造最佳平方逼近多项式；4、构造最小二乘法进行曲线拟合；5、求出近似解析表达式，打印出逼近曲线与拟合曲线，且打印出其在数据点上的偏差；6、探讨新的方法比较结果。

三、实验目的和意义:1、学习并掌握正交多项式的MATLAB 编程；2、学习并掌握最佳一致逼近的MATLAB 实验及精度比较；3、学习并掌握最佳平方逼近多项式的MATLAB 实验及精度比较；4、掌握曲线拟合的最小二乘法；5、最小二乘法也可用于求解超定线形代数方程组；6、 探索拟合函数的选择与拟合精度之间的关系；四、 算法步骤：1、正交多项式序列的生成{n ϕ（x ）}∞0：设n ϕ（x ）是],[b a 上首项系数a ≠n 0的n 次多项式，)(x ρ为],[b a 上权函数，如果多项式序列{n ϕ（x ）}∞0满足关系式⎩⎨⎧=>≠==⎰.,0,,0)()()()(),(k j A k j x d x x x kk j bak j ϕϕρϕϕ则称多项式序列{n ϕ（x ）}∞0为在],[b a 上带权)(x ρ正交，称n ϕ（x ）为],[b a 上带权)(x ρ 的n 次正交多项式。

1）输入函数)(x ρ和数据b a ,;2）分别求))(),(()),(,(x x x x j j j nϕϕϕ的内积； 3）按公式①)())(),(())(,()(,1)(10x x x x x x x x j n j j jj n nn ϕϕϕϕϕϕ∑-=-==计算)(x n ϕ，生成正交多项式；流程图：开始否是结束2、 最佳一致逼近多项式],[)(b a C x f ∈，若存在n n H x P ∈)(*使得n n E P f =∆),(*，则称)(*x P n 是)(x f 在],[b a 上的最佳一致逼近多项式或最小偏差逼近多项式，简称最佳逼近多项式。

最小二乘曲线拟合excel在数据分析中，曲线拟合是一个至关重要的步骤，它能够帮助我们理解数据的变化趋势和规律。

最小二乘法是一种常用的曲线拟合方法，通过最小化预测值与实际观测值之间的平方误差，找到最佳拟合曲线。

本文将详细介绍如何在Excel中实现最小二乘曲线拟合，并与其他统计软件进行比较。

一、最小二乘曲线拟合：方法与意义最小二乘法是一种数学优化技术，旨在找到最佳拟合数据的一组参数。

在曲线拟合中，最小二乘法能够找到一条曲线，使得所有数据点到曲线的垂直距离之和最小。

这种方法在统计学、经济学、工程学等多个领域有着广泛应用，能帮助我们更好地探索变量之间的关系。

二、Excel中的最小二乘曲线拟合Excel提供了一系列工具，使我们能方便地实现最小二乘曲线拟合。

以下是具体步骤：1.准备数据：首先，我们需要将数据输入到Excel表格中。

确保至少有两列数据，一列为自变量，另一列为因变量。

2.使用数据分析工具：Excel的“数据”标签中选择“数据分析”，然后选择“回归”。

在回归对话框中，选择“Y值输入区域”为因变量数据，同时设置“X值输入区域”为自变量数据。

勾选“线性拟合图”复选框。

3.查看结果：点击“确定”后，Excel会生成回归分析的结果和图表。

结果会显示拟合直线的参数（截距和斜率），同时图表上会绘制出实际数据点和拟合直线。

三、实际案例：利用Excel进行最小二乘曲线拟合假设我们有一组关于时间与速度的数据（时间作为自变量，速度作为因变量），我们想要找到一个合适的函数来描述这种关系。

我们可以按照以下步骤进行操作：1.将数据输入Excel表格中，确保两列数据对应准确。

2.打开“数据”标签中的“数据分析”工具，选择“回归”。

3.在回归对话框中，设置正确的输入区域，并勾选“线性拟合图”复选框。

4.点击“确定”，查看结果和图表。

5.分析结果，包括回归系数的值、置信区间和P值等，以判断拟合效果和是否有统计学上的显著性。

四、与其他统计软件的比较尽管Excel是一款广泛使用的办公软件，但它并不是专门用于统计分析的工具。

第一章1霍纳（Horner ）方法： n a 1-n a 2-n a ……2a 1a 0a输入=c+ n b *c c b n *1- c b *3 c b *2 c b *1n b 1-n b 2-n b 2b 1b 0bAnswer P （x ）=0b该方法用于解决多项式求值问题P （x ）=n a n x +1-n a 1-n x +2-n a 2-n x +……+2a 2x +1a x +0a2 注：p ˆ为近似值绝对误差：|ˆ|pp E p -=相对误差：|||ˆ|p pp R p -=有效数字:210|||ˆ|1d p p pp R -<-= （d 为有效数字，为满足条件的最大整数） 3 Big Oh(精度的计算)： O(h ⁿ)+O(h ⁿ)=O(h ⁿ);O(h m )+O(h n )=O(h r ) [r=min{p,q}]; O(h p )O(h q )=O(h s ) [s=q+p]; 第二章2.1 求解x=g(x)的迭代法 用迭代规则，可得到序列值｛｝。

设函数g 。

如果对于所有x ，映射y=g(x)的范围满足y ， 则函数g 在内有一个不动点; 此外，设定义在内，且对于所有x ，存在正常数K<1，使得，则函数g 在内有唯一的不动点P 。

定理2.3 设有（i ）g ，g ’，（ii ）K 是一个正常数，（iii ）。

如果对于所有如果对于所有x 在这种情况下，P 成为排斥不动点，而且迭代显示出局部发散性。

. 波尔查诺二分法(二分法定理)<收敛速度较慢>试值（位）法：<条件与二分法一样但改为寻求过点(a,f(a))和(b,f(b))的割线L 与x 轴的交点(c,0)>应注意越来越小，但可能不趋近于0，所以二分法的终止判别条件不适合于试值法.牛顿—拉夫森迭代函数：)(')()(1111-----==k k k k k p f p f p p g p 其中k=1,2,……证明：用泰勒多项式证明第三章线性方程组的解法 对于给定的解线性方程组Ax=b一Gauss Elimination （高斯消元法 ）第一步Forward Elimination 第二步 BackSubstitution二LU Factorization第一步 A = LU 原方程变为LUx=y ；第二步 令Ux=y,则Ly = b 由下三角解出y ； 第三步 Ux=y,又上三角解出x ；三Iterative Methods （迭代法）2n n 22221211n n 1212111b x a x a x a b x a x a x a =+++=+++nn nn 22n 11n 2n n 22221211n n 1212111b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a =+++=+++=+++初始值四 Jacobi Method1.选择初始值2.迭代方程为五Gauss Seidel Method1.迭代方程为00201,,,n x x x 00201,,,n x x x nnk n nn k n k n n k n k nn k k kn n k k a x a x a x a bx a x a x a bx a x a x a b x )()()(1122111222121212111212111--++++++-=++-=++-=k k k kn n k k kn n k k a x a x a bx a x a x a bx )()(1112221121212111212111++++++++-=++-=2.选择初始值 判断是否能用Jacobi Method 或者GaussSeidel Method 的充分条件（绝对对角占优原则）第四章 插值与多项式逼近·第一节 泰勒级数和函数计算一些常用函数的泰勒级数展开：for all x for all x for all x -1 -1for00201,,,nx x x定理4.1（泰勒多项式逼近）设，而是固定值。

数值分析中的最小二乘法与曲线拟合数值分析是现代理论与实践密切结合的一门交叉学科，其中最小二乘法和曲线拟合是其中两个非常重要的概念。

最小二乘法是一种数学运算方法，用于求解一组方程组的未知参数，使得每个方程的误差平方和最小。

在实际应用中，最小二乘法广泛应用于数据拟合、信号处理、回归分析等领域。

在数据拟合中，最小二乘法是一种常见的方法，它可以用于拟合曲线和函数。

它通过延伸曲线以获得局部数据之间的交点，并通过在它们上进行平均化的方法来尝试匹配数据。

最小二乘法的概念为我们提供了一个理论基础，以便在一定程度上预测新的数据中对象的行为或趋势。

但是，即使在相对简单的问题中，最小二乘法可能并不是最佳选择。

曲线拟合是对一系列数据进行插值的过程，以便获得与原始数据点更准确相匹配的曲线或函数。

曲线拟合可以通过在相邻数据点之间进行插值来完成。

在曲线拟合中，只有在数据有很好的统计关系或在相邻数据点
有很好的相关性时，才会产生准确的结果。

否则，结果可能并不
准确，因为这些结果取决于数据点的数量和分布。

需要注意的是，曲线拟合和最小二乘法并不是一个可以代替另
一个的工具。

它们的适用范围不同。

曲线拟合适用于对离散数据
点进行联合分析，而最小二乘法适用于求解连续数据的线性模型。

总之，数值分析中的最小二乘法和曲线拟合是非常实用的概念，可以应用于各种领域。

它们作为现代数据分析的主要工具之一，
不断吸引着越来越多的学者和工程师投入到其中，将继续发挥重
要作用。

曲线拟合的最小二乘法姓名：学号：专业：材料工程学院：材料科学与工程学院科目：数值分析曲线拟合的最小二乘法一、目的和意义在物理实验中经常要观测两个有函数关系的物理量。

根据两个量的许多组观测数据来确定它们的函数曲线，这就是实验数据处理中的曲线拟合问题。

这类问题通常有两种情况：一种是两个观测量x 与y 之间的函数形式已知，但一些参数未知，需要确定未知参数的最佳估计值；另一种是x 与y 之间的函数形式还不知道，需要找出它们之间的经验公式。

后一种情况常假设x 与y 之间的关系是一个待定的多项式，多项式系数就是待定的未知参数，从而可采用类似于前一种情况的处理方法。

在两个观测量中，往往总有一个量精度比另一个高得多，为简单起见把精度较高的观测量看作没有误差，并把这个观测量选作 x，而把所有的误差只认为是y的误差。

设 x 和 y 的函数关系由理论公式y＝f（x；c1，c2，……cm）（0-0-1）给出，其中 c1，c2，……cm 是 m 个要通过实验确定的参数。

对于每组观测数据（xi，yi）i＝1，2，……，N。

都对应于xy 平面上一个点。

若不存在测量误差，则这些数据点都准确落在理论曲线上。

只要选取 m 组测量值代入式（0-0-1），便得到方程组yi ＝ f （x ；c1 ，c2 ，……cm）（0-0-2）式中 i＝1，2，……，m.求 m 个方程的联立解即得 m 个参数的数值。

显然N<m 时，参数不能确定。

y 2 y 在 N>m 的情况下，式（0-0-2）成为矛盾方程组，不能直接用解方程的方法求得 m 个参数值，只能用曲线拟合的方法来处理。

设测量中不存在着系统误差，或者说已经修正，则 y 的观测值 yi 围绕着期望值 <f （x ；c1，c2，……cm）> 摆 动，其分布为正态分布，则 yi 的概率密度为p y i1 exp,式中i是分布的标准误差。

为简便起见，下面用 C 代表（c1，c2，……cm ）。

太原工业学院理学系数值计算课程设计报告题目曲线拟合的最小二乘方法姓名学号专业信息与计算科学一、问题叙述 1、基本知识回顾当已知数据量很大且含有误差时，作高次多项式的代数插值显然是不可行的。

除了可用分段插值，特别是样条插值，数据的拟合也是比较常用的。

假设给定一组数据{}mk k k y x 1),(=,设有)()()()(2211x a x a x a x f n n ϕϕϕ+++= ,其中 {}nj j x m n 1)(,=≤ϕ是给定的一组函数，),,2,1(n j a j =为待定的系数，显然我们不能要求所有的点都在函数定义的曲线上，因此其残差-=k k y γ{)()()(2211x a x a x a n n ϕϕϕ+++ }， m k ,,2,1 = 通常不为零。

T m ),,,(21γγγγ =成为残差向量。

式中函数)(x f “接近”已知的信息，应从某种意义上使残差向量尽可能小。

残差向量的2-范数为∑===mk k n a a a S S 1221)(),,,(γ它是关于特定系数),,2,1(n j a j =的函数。

极小残差向量，则要求0=∂∂ka S， n k ,,2,1 = 经过简单计算知上式等价于+=∑∑==m j j j k mj j ki x x a x y 1111)()()(ϕϕϕ+∑=m j j j k x x a 122)()(ϕϕ∑=+mj j n j k n x x a 1)()(ϕϕn k ,,2,1 =它是关于n T n R a a a a ∈=),,,(21 的线性方程组。

将它改写成矩阵形式 b Pa = ， 则其中的⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑∑∑∑======m j j n j n m j j j n mj j n j m j j j mj j n j m j j j x x x x x x x x x x x x P 1111211211111)()()()()()()()()()()()(ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ T mj j n j m j j j m j j j x y x y x y b ))(,)(,)((11211∑∑∑====ϕϕϕ最简单的是取函数)(x f 为1-n 次的多项式，即121)(-+++=n n x a x a a x f ， 其中m n <<-1。

一实验名称：实验五最小二乘拟合法二.实验题目：在某化学反应中，测得某物质的浓度y(单位：%)随时间t(单位：min)的变化数据如表。

理论上已知y和t的关系为Y=ae b/t,其中a>0和b<0为待定系数，上式两端取对数lny=lna+b/t.做变量替换z=lny,x=1/t,并记A=lna,B=b,则有z=A+Bx.根据所测数据，利用最小二乘直线拟合法确定A和B，进而给出y和t的关系。

三.实验目的：（1）要求我们掌握逐次最小二乘拟合法的原理和运用方法。

（2）培养编程和上机调试能力。

四.基础理论：要求会熟练运用C语言中的基本数学函数和逐次超松弛迭代法的具体操作思路。

五.实验环境：必须要有一台PC机，并且装有winXP，win7及以上版本的操作系统，还必须有Visual C++6.0或其他编程软件。

六实验过程：理解题意，然后试着在草稿纸上写出伪代码，接着再用C语言编译，接着要在编程环境中调试。

在实验过程中，经常遇到一些棘手的问题，需要通过百度才能够解决，最后还是很艰难的把代码都做好，最后写成实验报告。

七．实验完整代码：#include<stdio.h>#include<math.h>void main(){int i,n;doubletx,ty,x[16],y[16],sum_x=0,sum_y=0,sum_x2=0,sum_xy=0,D,a,b, A,B;for(i=0;i<16;i++){scanf("f%f",&tx,&ty);x[i]=1/tx,y[i]=log(ty);}for(i=0;i<15;i++){sum_x=sum_x+x[i];sum_x2=sum_x2+x[i]*x[i];sum_y=sum_y+y[i];sum_xy=sum_xy+x[i]*y[i];}D=sum_x2*15-sum_x*sum_x;a=(n*sum_xy-sum_x*sum_y)/D;b=(sum_x2*sum_y-sum_x*sum_xy)/D;A=log(a);B=b;printf("A=%.6f B= %.6f\n");}八实验结果：y=11.343e-1.057/t.。

数值分析曲线拟合的最小二乘法实验报告数值分析曲线拟合的最小二乘法实验报告篇一：数值分析设计曲线拟合的最小二乘法曲线拟合的最小二乘法一、目的和意义在科学实验的统计方法研究中，往往要从一组实验数据?xi,yi??i?0,1,2,?,m?中，寻找自变量x与因变量y之间的函数关系y?F?x?。

由于观测数据往往不准确，因此不要求y?F?x?经过所有点?xi,yi?，而只要求在给定点xi上误差而只要求所在所有给定点xi上的误差?i?F(xi)?yi ?i?0,1,2,?,m?按某种标准最小。

若记????0,?1,?2,?,?m?，就是要求向量?的范数如果用最大范数，计算上困难较大，通常采用欧式范数?最小。

2T 作为误差度量的标准。

F?x?的函数类型往往与实验的物理背景以及数据的实际分布有关，它一般含有某些待定参数。

如果F?x?是所有待定参数的线性函数，那么相应的问题称为线性最小二乘问题，否则称为非线性最小二乘问题。

最小二乘法还是实验数据参数估计的重要工具。

这是因为这种方法比其他方法更容易理解，即使在其他方法失效的情况下，用最小二乘法还能提供解答，而且从统计学的观点分析，用该方法求得各项估计具有最优统计特征，因此这一方法也是系统识别的重要基础。

线性最小二乘问题可以借助多元微分学知识通过求解法方程组得到解答。

用最小二乘法求拟合曲线时，首先要确定S?x?的形式。

这不单纯是数学问题，还与所研究问题的运动规律以及所得观测数据?xi,yi?有关；通常要从问题的运动规律以及给定数据描图，确定S?x?的形式，并通过实际计算选出较好的结果。

为了使问题的提法更有一般性，通常把最小二乘法中的? 22 都考虑为加权平方和22 ? ????xi???S?xi??f?xi??? i?0 m 2 这里??xi??0是?a,b?上的加权函数，它表示不同点?xi,f?xi?处的数据比重不同。

?二、计算方法在某冶炼过程中，根据统计数据的含碳量与时间关系，试求含碳量y与时间t的拟合曲线。

常用数值分析方法常用数值分析方法指的是应用数值计算方法研究和解决实际问题的一类方法。

它涉及到计算机科学、数学、算法及相关工程应用等多个领域的交叉应用，被广泛应用于科学研究、工程设计、经济分析、物理模拟、天气预测等领域。

以下是常用的数值分析方法的介绍。

1.插值法：插值法是通过已知数值点的函数值来推导任意点的函数值。

其中最常用的方法是拉格朗日插值法和牛顿插值法。

插值法在数值计算、图像处理、信号处理等领域有广泛应用。

2.数值微分与积分：数值微分和积分方法是通过一系列近似计算来求解微分和积分问题，常用的方法有数值微分公式、数值积分公式和龙格-库塔方法等。

这些方法在工程数学、物理学、金融学等领域得到了广泛应用。

3.非线性方程求解：非线性方程求解方法用于求解形如f(x)=0的非线性方程，在科学计算和工程设计中具有重要作用。

常用的方法有二分法、牛顿法、割线法、迭代法等。

4.数值优化：数值优化方法是求解最优化问题的一种方法，常用的算法有梯度下降法、共轭梯度法、拟牛顿法、模拟退火算法、遗传算法等。

这些方法被广泛应用于机器学习、数据挖掘、工程设计等领域。

5.差分方程与差分法：差分方程是运用差分近似的数值方法来求解常微分方程的一种方法。

常用的差分法有向前差分法、向后差分法、中心差分法等。

差分法在数值模拟、物理仿真等领域有广泛应用。

6.线性代数方程组的数值解法：数值解线性代数方程组是数值分析中的经典问题之一、常用的算法有高斯消元法、LU分解法、迭代法（如雅可比法、高斯-赛德尔法、稀疏矩阵迭代法）等。

7.数值逼近与最小二乘拟合：数值逼近和最小二乘拟合方法是通过一系列近似计算来拟合和逼近已知的数据集。

常用的方法有多项式拟合、最小二乘法、曲线拟合、样条插值等。

这些方法在数据分析、信号处理、模糊识别等方面有广泛应用。

8.数值统计：数值统计方法是通过数值计算和统计学方法来处理和分析实际数据。

常用的方法有假设检验、参数估计、方差分析、回归分析等。

数值分析上机作业实验报告专业：建筑与土木工程姓名：学号：联系电话：课题四 曲线拟合的最小二乘法一、问题提出从随机的数据中找出其规律性，给出其近似表达式的问题，在生产实践和科学实验中大量存在，通常利用数据的最小二乘法求得拟合曲线。

在某冶炼过程中，根据统计数据的含碳量与时间关系，试求含碳量 y 与时间t 的拟合曲线。

二、要求1 、用最小二乘法进行曲线拟合；2 、近似解析表达式为()t ϕ=a 1t+a 2t 2+a 3t 33 、打印出拟合函数()t ϕ，并打印出()tj ϕ与()y tj 的误差，j=1,2...，12：4 、另外选取一个近似表达式，尝试拟合效果的比较；5 、* 绘制出曲线拟合图﹡。

三、目的和意义1 、掌握曲线拟合的最小二乘法；2 、最小二乘法亦可用于解超定线代数方程组；3 、探索拟合函数的选择与拟合精度间的关系。

四、实验结果：1.用最小二乘法做出的曲线拟合为三次多项式a1= -0.0052 ，a2= 0.2634 ，a3= 0.0178。

()tϕ= (-0.0052) t+ (0.2634) t2 + (0.0178) t3三次多项式的误差平方和=0.2583。

图形为：图形上红线表示拟合曲线，*表示实验所给的点。

源代码为：x=[0,5,10,15,20,25,30,35,40,45,50,55];y=[0,1.27,2.16,2.86,3.44,3.87,4.15,4.37,4.51,4.58,4.02,4.64]; a1=polyfit(x,y,3) %三次多项式拟合%b1= polyval(a1,x)r1= sum((y-b1).^2) %三次多项式误差平方和%plot(x,y,'*') %用*画出x,y图像%hold onplot(x,b1, 'r') %用红色线画出x,b1图像%（说明本程序调用了MATLAB中的函数polyfit、polyval、plot）2.另外选取几个近似表达式：主要选取6次、9次和12次的拟合表达式。