高中数学幂函数考点及经典例题题型突破

幂函数题型及解析1.（1）下列函数是幂函数的是________y=x 2，y=（）x ，y=4x 2，y=x 5+1，y=（x ﹣1）2，y=x ，y=a x （a ＞1）分析：由幂函数的定义直接进行判断知甩给的函数中是幂函数的是y=x 2和y=x ．解：由幂函数的定义知，y=x 2，y=（）x ，y=4x 2，y=x 5+1，y=（x ﹣1）2，y=x ，y=a x （a ＞1），七个函数中是幂函数的是y=x 2和y=x ，（2）①y=x 2+1； ②y=2x ； ③y=； ④y=（x ﹣1）2； ⑤y=x 5； ⑥y=x x+1分析：根据幂函数的定义，对以下函数进行判断即可．解：根据幂函数y=x α，α∈R 的定义知，①y=x 2+1不是幂函数，②y=2x 不是幂函数，③y==x ﹣2是幂函数，④y=（x ﹣1）2不是幂函数，⑤y=x 5是幂函数，⑥y=x x+1不是幂函数；综上是幂函数的为③⑤2.已知幂函数y=f （x ）的图象过点（9，）.（1）求f （x ）的解析式；（2）求f （25）的值；（3）若f （a ）=b （a ，b ＞0），则a 用b 可表示成什么？分析：（1）设出幂函数f （x ）的解析式，根据图象过点（9，），求出函数解析式；（2）根据函数的解析式求出f （25）的值；（3）根据函数的解析式求出a 与b 的关系．解：（1）设幂函数f （x ）=x t ，∵图象过点（9，），∴；即32t =3﹣1，∴，∴；（2）∵f （x ）=，∴f （25）=25-0.5===；（3）∵f （a ）=a -0.5=b ，∴a -0.5＝b ，∴a ﹣1=b 2，∴a=． 3.比较下列各组中两个值的大小（1）1.5，1.7；（2）0.71.5，0.61.5；（3）32)2.1(--，32)25.1(--；（4）（）﹣0.24与41)65(-； （5）3.10.5，3.12.3；（6）（）﹣1.5，（）﹣1.8；（7）0.62，0.63；（8）（）﹣0.3，（）﹣0.24分析：由幂函数的单调性，有的需要结合指数函数的性质，逐个题目比较可得．解：（1）∵幂函数y=53x 在（0，+∞）单调递增，∴535.1＜537.1；（2）∵幂函数y=x 1.5在（0，+∞）单调递增，∴0.71.5＞0.61.5；（3））∵幂函数y=32-x在（﹣∞，0）单调递增，∴32)2.1(--＞32)25.1(--；（4）∵0＜＜1，﹣0.24，∴（）0.24＜41)65(-；（5）3.10.5＜3.12.3；（6）（）﹣1.5＞（）﹣1.8；（7）0.62＞0.63；（8）（）﹣0.3＜（）﹣0.24 4.若函数y=（m 2+2m ﹣2）x m 为幂函数且在第一象限为增函数，求m 的值②已知幂函数y=（m 2﹣m ﹣1）x m2﹣2m ﹣3，当x ∈（0，+∞）时为减函数，求幂函数分析：根据幂函数的性质，列出不等式组，求出m 的值即可解：①∵函数y=（m 2+2m ﹣2）x m 为幂函数且在第一象限为增函数，∴m 2+2m-2=1且m ＞0；解得m=1②解：∵幂函数y=（m 2﹣m ﹣1）x m2﹣2m ﹣3，∴m 2﹣m ﹣1=1，解得m=2，或m=﹣1；又x ∈（0，+∞）时y 为减函数，∴当m=2时，m 2-2m-3=﹣3，幂函数为y=x -3，满足题意；当m=-1时，m 2-2m-3=0，幂函数为y=x 0，不满足题意；综上幂函数y=x -35.幂函数y=（m 2﹣3m+3）x m 是偶函数，求m 的值分析：根据幂函数的定义先求出m 的值，结合幂函数是偶函数进行判断即可．解：∵函数是幂函数，∴m 2﹣3m+3=1，即m 2﹣3m+2=0，则m=1或m=2，当m=1时，y=x 是奇函数，不满足条件．当m=2时，y=x 2是偶函数，满足条件，即m=26.求函数y=32-x 的定义域和值域．分析：本题考察幂函数的概念及性质，把y=32-x化为根式的形式，容易写出它的定义域和值域．解：∵函数y=32-x = ，∴x ≠0，且y ＞0；∴函数y 的定义域是{x|x ≠0}，值域是{y|y ＞0}7.求函数y=0.2﹣x2﹣3x+4的定义域、值域和单调区间．分析：根据二次函数以及指数函数的性质求出函数的单调性和值域即可．解：令f （x ）=﹣x 2﹣3x+4=﹣（x 2+3x+）+=﹣+，∴f （x ）在（﹣∞，﹣）递增，在（﹣，+∞）递减，∴函数y=0.2﹣x2﹣3x+4在（﹣∞，﹣）递减，在（﹣，+∞）递增，∴y min ==，∴函数y=0.2﹣x2﹣3x+4的定义域是R 、值域是[，+∞），在（﹣∞，﹣）递减，在（﹣，+∞）递增 8.已知幂函数y=234m m x --（m ∈Z ）的图象与y 轴有公共点，且其图象关于y 轴对称，求m 的值，并作出其图象 分析：由题意得4-3m-m 2＞0解得﹣4＜m ＜1，又因为图象关于y 轴对称，所以4﹣3m ﹣m 2必须为偶数，故m=0，﹣1，﹣2，﹣3，即可画出图象．解：由题意得4﹣3m ﹣m 2＞0，即有（m+4）（m ﹣1）＜0，解得﹣4＜m ＜1，又因为图象关于y 轴对称，所以4﹣3m ﹣m 2必须为偶数，所以m=0，﹣1，﹣2，﹣3，m=﹣3，y=x 4，m=﹣2，y=x 6，m=﹣1，y=x 6，m=0，y=x 4其图象如图：9.已知函数y=（n ∈Z ）的图象与两坐标轴都无公共点，且其图象关于y 轴对称，求n 的值，并画出函数图象．分析：由题意可得，可得幂指数n 2﹣2n ﹣3为负数，且为偶数．由于当n=1时，幂指数n2﹣2n﹣3=﹣4，满足条件，可得函数的解析式，从而得到函数的图象．解：已知函数y=（n∈Z）的图象与两坐标轴都无公共点，且其图象关于y轴对称，可得幂指数n2﹣2n ﹣3为非正数，且为偶数．由于当n=1时，幂指数n2﹣2n﹣3=﹣4，满足条件，当n=3时，n2﹣2n﹣3=0，满足条件故函数为y=x﹣4，或y=x0，它的图象如图所示：10.已知幂函数y=x m﹣2（m∈N）的图象与x，y轴都无交点，且关于y轴对称，求m的值，并画出它的图象．分析：由题意利用幂函数的性质可得m∈N，m﹣2≤0，且m﹣2为偶数，由此求得m的值．解：∵幂函数y=x m﹣2（m∈N）的图象与x，y轴都无交点，且关于y轴对称，∴①m﹣2＜0，m﹣2为偶数，故m=0，即幂函数y=x﹣2，它的图象如右图所示．或②m﹣2=0，m=2，此时y=x0，（x≠0），它的图象如图所示11.已知幂函数的图象与x轴，y轴没有交点，且关于y轴对称，求m的值分析：由幂函数的概念与该函数为偶函数的性质可知，m2﹣2m﹣3≤0且m2﹣2m﹣3为偶数，从而可得答案．解：∵幂函数y=（m∈Z）的图象与x轴，y轴没有交点，且关于y轴对称，∴m2﹣2m﹣3≤0且m2﹣2m﹣3为偶数（m∈Z），由m2﹣2m﹣3≤0得：﹣1≤m≤3，又m∈Z，∴m=﹣1，0，1，2，3．当m=﹣1时，m2﹣2m﹣3=1+2﹣3=0，为偶数，符合题意；当m=0时，m2﹣2m﹣3=﹣3，为奇数，不符合题意；当m=1时，m2﹣2m﹣3=1﹣2﹣3=﹣4，为偶数，符合题意；当m=2时，m2﹣2m﹣3=4﹣4﹣3=﹣3，为奇数，不符合题意；当m=3时，m2﹣2m﹣3=9﹣6﹣3=0，为偶数，符合题意．综上所述，m=﹣1，1，312. 已知幂函数y=x m2﹣2m﹣3（m∈Z）的图象与x、y轴都无公共交点，且图象关于原点中心对称，求m的值，并且画出它的图象．分析：由题意知，m2﹣2m﹣3＜0，且m2﹣2m﹣3为奇数，解此不等式组可得m的值．解：幂函数y=x m2﹣2m﹣3（m∈Z）的图象与x、y轴都无公共交点，且图象关于原点中心对称，∴m2﹣2m﹣3＜0，且m2﹣2m﹣3为奇数，即﹣1＜m＜3 且m2﹣2m﹣3 为奇数，∴m=0或2，∴y=x﹣3，其图象为：13.若实数m满足不等式0.642m+3＜1.253m，求实数m的取值范围分析：不等式0.642m+3＜1.253m，即为（）﹣（4m+6）＜（）3m，再由y=（）x在R上递增，得到﹣（4m+6）＜3m，解出即可．解：不等式0.642m+3＜1.253m，即为0.82（2m+3）＜（）3m，即有（）﹣（4m+6）＜（）3m，由于y=（）x在R上递增，则﹣（4m+6）＜3m，解得，m＞﹣，故实数m的取值范围是（﹣，+∞）14.已知幂函数．（1）试求该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；（2）若该函数还经过点，求m的值并求满足条件f（2﹣a）＞f（a﹣1）的实数a的取值范围．分析：（1）将指数因式分解，据指数的形式得到定义域，利用幂函数的性质知单调性（2）将点的坐标代入列出方程解得m，利用函数的单调性去掉法则f，列出不等式解得，注意定义域．解：（1）∵m2+m=m（m+1），m∈N*∴m2+m为偶数，∴x≥0，所以函数定义域为[0，+∞）由幂函数的性质知：其函数在定义域内单调递增．（2）依题意得：，∴，∴m=1（m∈N*）由已知得：，∴，故a的取值范围为：Welcome To Download !!!欢迎您的下载，资料仅供参考！。

微专题30 幂函数15种常考题型总结题型1 幂函数的概念辨析题型2 求幂函数的解析式或值题型3 根据函数是幂函数求参数值题型4 幂函数的定义域问题题型5 幂函数的值域问题题型6 幂函数的图象及应用题型7 幂函数的图象过定点问题题型8 判断幂函数的单调性题型9 判断与幂函数相关的复合函数的单调性题型10 由幂函数的单调性求参数题型11比较幂值的大小题型12 利用幂函数的单调性解不等式题型13 幂函数的奇偶性的应用题型14 幂函数的单调性和奇偶性的综合应用题型15 幂函数性质的综合应用1、幂函数的概念一般地，函数y ＝x α叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数．幂函数的特征：（1）x α的系数是1；（2）x α的底数x 是自变量；（3）x α的指数α为常数．只有满足这三个条件，才是幂函数．对于形如y ＝(2x )α，y ＝2x 5，y ＝x α＋6等的函数都不是幂函数．2、五个幂函数的图象与性质（1）在同一平面直角坐标系内函数(1)y ＝x ；(2)y ＝12x；(3)y ＝x 2；(4)y ＝x －1；(5)y ＝x 3的图象如图．注：第一象限一定有幂函数的图象，第四象限一定没有幂函数的图象．（2）五个幂函数的性质y＝xy＝x 2y ＝x 3y ＝12xy ＝x －1定义域R R R [0，＋∞){x |x ≠0}值域R [0，＋∞)R [0，＋∞){y |y ≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增在[0，＋∞)上增，在(－∞，0]上减增增在(0，＋∞)上减，在(－∞，0)上减3、一般幂函数的图象特征（1）所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)．（2）当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸．（3）当α<0时，幂函数在区间(0，＋∞)上单调递减．（4）幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y ＝x 对称．（5）在第一象限，作直线x ＝a (a >1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列．4、幂函数的判断及应用(1)判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y ＝x α(α为常数)的形式，需满足：①指数为常数，②底数为自变量，③x α的系数为1.形如y ＝(3x )α，y ＝2x α，y ＝x α＋5…形式的函数都不是幂函数．(2)若一个函数为幂函数，则该函数也必具有y ＝x α(α为常数)这一形式．5、求幂函数的定义域和值域的方法幂函数的定义域和值域要根据解析式来确定，要保证解析式有意义，值域要在定义域范围内求解．幂函数的定义域由幂指数a 确定：（1）当幂指数a 取正整数时，定义域为R ，当a 为正偶数时，值域为[0,)+¥；当a 为奇数时，值域为R ．（2）当幂指数a 取零或负整数时，定义域为(,0)(0,)-¥+¥U ，当0a =时，值域为{}1；当a 为负偶数时，值域为(0,)+¥；当a 为负奇数时，值域为{}0y y ¹．（3）当幂指数a 取分数时，可以先化为根式，再利用根式有意义求定义域和值域．6、幂函数图象的画法①确定幂函数在第一象限内的图象：先根据α的取值，确定幂函数y ＝x α在第一象限内的图象．②确定幂函数在其他象限内的图象：根据幂函数的定义域及奇偶性确定幂函数f (x )在其他象限内的图象．7、解决与幂函数有关的综合性问题的方法首先要考虑幂函数的概念，对于幂函数y ＝x α(α是常数)，由于α的取值不同，所以相应幂函数的单调性和奇偶性也不同．同时，注意分类讨论思想的应用．8、解决幂函数图象问题应把握的原则(1)依据图象高低判断幂指数的大小，相关结论为：①在(0，1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x 轴(简记为指大图低)；②在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x 轴(简记为指大图高).(2)依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y ＝x －1或y ＝12y x=或y ＝x 3)来判断．9、比较幂值大小的方法(1)若两个幂值的指数相同或可化为两个指数相同的幂值时，则可构造函数，利用幂函数的单调性比较大小．(2)若底数、指数均不同，则考虑用中间值法比较大小，这里的中间值可以是“0”或“1”．10、利用幂函数解不等式的步骤利用幂函数解不等式，实质是已知两个函数值的大小，判断自变量的大小，常与幂函数的单调性、奇偶性等综合命题．求解步骤如下：(1)确定可以利用的幂函数；(2)借助相应的幂函数的单调性，将不等式的大小关系，转化为自变量的大小关系；(3)解不等式(组)求参数范围，注意分类讨论思想的应用．题型1 幂函数的概念辨析【例1】下列函数是幂函数的是（ ）A ．31y x =B ．2x y =C ．22y x =D ．1y x -=-【答案】A【解析】由幂函数的定义,形如y x a =，R a Î叫幂函数，对A ，331y x x-==，故A 正确；B ，C ，D 均不符合.故选：A ．【变式1】下列函数中幂函数的是（ ）A ．3y x =B ．22y x =+C ．()21y x =+D ．y =【答案】D【分析】根据幂函数的定义直接得出结果.【详解】A ：函数3y x =为一次函数，故A 不符合题意；B ：函数22y x =+为二次函数，故B 不符合题意；C ：函数22(1)21y x x x =+=++为二次函数，故C 不符合题意；D ：函数12y x ==为幂函数，故D 符合题意.故选：D【变式2】现有下列函数：①3y x =；②24y x =；③51y x =+；④()21y x =-；⑤y x =，其中幂函数的个数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】C【分析】由幂函数的定义即可求解.【详解】由于幂函数的一般表达式为：(),0y x aa =¹；逐一对比可知题述中的幂函数有①3y x =；⑤y x =共两个.故选：C.题型2 求幂函数的解析式或值【例2】已知幂函数()f x 的图象过点æççè，则14f æö=ç÷èø．【答案】8【分析】设出解析式，代入点的坐标，求出()32f x x -=，再代入求值即可.【详解】令()f x x a=，由题意得2a =，即132222222a -==，解得32a =-，故()32f x x -=，则()323212284f --æö===ç÷èø．故答案为：8【变式1】函数()2227y k k x =--是幂函数，则实数k 的值是（ ）A ．4k =B ．2k =-C ．4k =或2k =-D ．4k ¹且2k ¹-【答案】C【解析】由幂函数的定义知2271k k --=，即2280k k --=，解得4k =或2k =-．故选：C【变式2】设函数()121,02,0xx x f x x ìï+>=íï£î，则()(4)f f -= ．【答案】54【分析】根据分段函数的知识求得正确答案.【详解】()442f --=，()()()144225(4)221214f f f ----==+=+=.故答案为：54【变式3】已知幂函数()f x 满足(6)4(2)f f =，则13f æöç÷èø的值为（ ）A ．2B ．14C ．14-D ．2-【答案】B【分析】设出幂函数的解析式，根据已知，求出参数的关系式，即可计算作答.【详解】依题意，设()f x x a=，则(6)634(2)2f f aa a ===，所以1111()()3334f a a ===.故选：B【变式4】若函数()log 238a y x =-+（0a >且1a ¹）的图象恒过点P ，且点P 在幂函数()f x 的图象上，则()4f = ．【答案】64【分析】先找到定点P 的坐标，通过P 点坐标求解幂函数()f x x a=的解析式，从而可求()4f ．【详解】对于函数log 238ay x =-+（），令231x -=，解得2x =，此时8y =，因此函数log 238ay x =-+（）的图象恒过定点()2,8P ，设幂函数()f x x a=，P 在幂函数()f x 的图象上，82a \=，解得3a =．()3f x x \=．则()34464==f .故答案为：64题型3 根据函数是幂函数求参数值【例3】已知幂函数()(2)n f x m x =+的图象经过点(4,2)，则m n -=（ ）A ．3-B ．52-C ．2-D ．32-【答案】D【分析】根据幂函数的定义求解即可》【详解】依题意可得21m +=,所以1m =-,又()nf x x =的图象经过点()4,2,所以42n =,解得12n =,所以13122m n -=--=-.故选：D.【变式1】己知幂函数()(1)af x k x =-×的图象过点12æççè，则()f k = .【分析】先根据幂函数的定义及所过的点求出函数解析式，进而可得出答案.【详解】因为函数()(1)a f x k x =-×是幂函数，所以11k -=，解得2k =，又幂函数()a f x x =的图象过点12æççè，所以12aæö=ç÷èø12a =，所以12()f x x =，所以()()2f k f ==【变式2】已知幂函数()f x k x a=×的图象过点()3,9，则k a +=（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】C【分析】根据幂函数的定义，求得1k =，再由()39f =，求得2a =，即可求解.【详解】由幂函数的定义，可得1k =，又由()39f =，可得39a =，解得2a =，所以3k a +=．故选：C.【变式3】“4m =”是“()22()33m f x m m x +=--是幂函数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】运用幂函数定义及集合包含关系即可求得结果.【详解】因为()()2233m f x m m x +=--是幂函数，所以2331m m --=，解得4m =或1m =-，故“4m =”是“()()2233m f x m m x +=--是幂函数”的充分不必要条件.故选：A.题型4 幂函数的定义域问题【例4】下列函数中定义域为R 的是（ ）A ．12y x =B ．54y x =C ．23y x =D ．13y x -=【答案】C【分析】将分数指数幂化为根式，再根据幂函数的图像与性质即可得到答案.【详解】12y x ==[0,)+¥，故A 错误；54y x ==[0,)+¥，故B 错误；23y x ==R ，故C 正确；13y x-=={0}x x ¹∣，故D 错误，故选：C.【变式1】函数()0=f x x 的定义域是（ ）A ．(],2-¥B ．()0,2C ．()(),00,2-¥U D ．()(],00,2-¥È【答案】C【分析】根据函数的性质，被开偶次方根的数大于等于0，分母不能为0，0的0次幂没有意义等，列出不等式组，解之即可求解.【详解】要使函数()0=f x x 有意义，则有200x x ->ìí¹î，解得：2x <且0x ¹，所以函数的定义域为(,0)(0,2)-¥U ，故选：C .【变式2】函数()112f x x x -=+的定义域为（ ）A ．(),-¥+¥B ．()(),00,¥-+¥UC ．[)0,¥+D ．()0,¥+【答案】D【分析】化简函数解析式，根据函数解析式有意义可得出关于x 的不等式组，由此可解得原函数的定义域.【详解】因为()1121f x x x x -=+=，则00x x ¹ìí³î，可得0x >，故函数()f x 的定义域为()0,¥+.故选：D.【变式3】已知幂函数()y f x =的图象过点()4,2，则()112f x -的定义域为 ．【答案】1(,)2-¥【分析】首先求幂函数的解析式，再求函数的定义域，根据复合函数的形式，求函数的定义域.【详解】∵()y f x x a==的图象过点()4,2，∴()f x =()112f x =-x 应该满足：120x ->，即12x <，∴()112f x -的定义域为1,2æö-¥ç÷èø．故答案为：1,2æö-¥ç÷èø题型5 幂函数的值域问题【例5】下列函数中，值域为()0,¥+的是（ ）A ．()f xB ．()1(0)f x x x x=+>C ．()f x =D ．()11(1)f x x x=->【答案】C【分析】根据函数的定义域、幂函数的性质、以及基本不等式可直接求得选项中各函数的值域进行判断即可.【详解】由已知()f x [)0,¥+，故A 错误；()1021x f x x x x >\=+³== ，，时，等号成立，所以()1(0)f x x x x =+>的值域是[)2,+¥，B 错误；()f x =因为定义域为()1,x ¥Î-+0> ，函数值域为(0,)+¥，故C 正确；1()1(1)f x x x =->，()10,1x Î，()11,0x -Î-，所以()()0,1f x Î，故D 错误.故选：C.【变式1】下列四个幂函数：①3y x -=；②2y x -=；③23y x -=；④32y x =的值域为同一区间的是 .（只需填写正确答案的序号）【答案】②③【解析】对于①，331y x x -==，则其值域为{}0y y ¹；对于②，221y x x-==，则其值域为{}0y y >；对于③，23y x-==，则其值域为{}0y y >，对于④，332y x ==，则其值域为{}0y y ³.综上符合题意的是②③.【变式2】在下列函数中，定义域和值域不同的是（ ）A ．13y x =B ．12y x =C ．53y x =D ．23y x =【答案】D【解析】由13y x ==x R Î,R y Î，定义域、值域相同；由12y x ==[0,)x Î+¥，[0,)y Î+¥，定义域、值域相同；由53y x ==可知，x R Î,，定义域、值域相同R y Î；由23y x ==x R Î，[0,)y Î+¥，定义域、值域不相同.故选：D【变式3】函数213324y x x =++，其中8x -…，则其值域为.【答案】[)3,+¥/()3y y ³【分析】利用换元法将函数化为2224(1)3y t t t =++=++，结合二次函数的性质即可得出结果.【详解】设13t x =，则2224(1)3y t t t =++=++.因为8x -…，所以2t -…. 当1t =-时，min 3y =.所以函数的值域为[3)+¥，.故答案为：[3)+¥，【变式4】已知函数())2()x a f x x x a ì³ï=í<ïî，若函数()f x 的值域为R ，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(1,0)-B ．(1,0]-C ．[1,0)-D ．[1,0]-【答案】D【分析】求出分段函数在各段上的函数值集合，再根据给定值域，列出不等式求解作答.【详解】函数y =[,)a +¥上单调递减，其函数值集合为(,-¥，当0a >时，2y x =的取值集合为[0,)+¥，()f x 的值域(,[0,)R -¥È+¥¹，不符合题意，当0a £时，函数2y x =在(,)a -¥上单调递减，其函数值集合为2(,)a +¥，因函数()f x 的值域为R ，则有2a ³，解得10a -££，所以实数a 的取值范围为[1,0]-.故选：D题型6 幂函数的图象及应用【例6】图中1C 、2C 、3C 为三个幂函数y x a =在第一象限内的图象，则解析式中指数a 的值依次可以是（ ）A ．12、3、1-B ．1-、3、12C ．12、1-、3D ．1-、12、3【答案】D【分析】利用特值验证即可区分出三个幂函数图象分别对应的指数a 的值.【详解】在题给坐标系中，作直线12x =，分别交曲线321,,C C C 于A 、B 、C 三点则A B C y y y <<，又1312111122822-æöæöæö=<=<=ç÷ç÷ç÷èøèøèø则点A 在幂函数3y x =图像上，点B 在幂函数12y x =图像上，点C 在幂函数1y x -=图像上，则曲线123,,C C C 对应的指数分别为11,,32-故选：D【变式1】如图的曲线是幂函数n y x =在第一象限内的图象.已知n 分别取112,,,222--四个值，与曲线1234C C C C 、、、相应的n 依次为（ ）A ．112,,,222--B ．112,2,,22--C ．11,,2,222--D ．112,,2,22--【答案】A【解析】由幂函数的单调性可知曲线1234C C C C 、、、相应的n 应为112,,,222--.故选：A【变式2】幂函数2y x -=的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】首先求出函数的定义域，即可判断函数的奇偶性，再判断函数的单调性，即可得解.【详解】幂函数()221y f x x x -===定义域为{}|0x x ¹，且()()()2211f x f x x x -===-，所以()2y f x x -==为偶函数，函数图象关于y 轴对称，又当()0,x Î+¥时()2y f x x -==单调递减，则()2y f x x -==在(),0¥-上单调递增，故符合题意的只有C.故选：C【变式3】下面给出4个幂函数的图像，则图像与函数大致对应的是（ ）A ．①3y x =，②2y x =，③12y x =，④1y x -=B ．①2y x =，②13y x =，③12y x =，④1y x -=C ．①2y x =，②3y x =，③12y x =，④1y x -=D ．①13y x =，②12y x =，③2y x =，④1y x -=【答案】A【分析】根据幂函数的图像特征，对照四个选项一一验证，即可得到答案.【详解】函数3y x =为奇函数且定义域为R ，该函数图像应与①对应；函数20y x =³，且该函数是偶函数，其图像关于y 轴对称，该函数图像应与②对应；12y x ==[)0,¥+，该函数图像应与③对应；11y x x-==，其图像应与④对应．故选：A ．【变式4】函数()54f x x =的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】()54f x x =的定义域为R ，且()()5544f x x x f x -=-==，故()54f x x =为偶函数，排除AB ，因为514>，故函数在()0,¥+上增长速度越来越快，为下凸函数，C 正确，D 错误.故选：C 【变式5】已知函数()02,0x f x x x³ï=í<ïî，若()()g x f x =-，则函数()g x 的图象是（ ）A ． B ．C ．D ．【答案】C【解析】作出函数()00x f x ³=<的图象如下图所示：因为()()g x f x =-，则将函数()f x 的图象关于x 轴对称，可得出函数()g x 的图象，如下图所示：故选：C.【变式6】【多选】函数()241f x ax x =++与()ag x x =在同一直角坐标系中的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】ABC【分析】根据各选项中二次函数图象特征确定a 的正负，再观察幂函数图象判断即得.【详解】对于A ，二次函数开口向上，则0a >，此时存在()ag x x =与图中符合，如2a =，A 可能；对于B ，二次函数开口向下，则0a <，此时存在()ag x x =与图中符合，如1a =-，B 可能；对于C ，二次函数开口向上，则0a >，此时存在()ag x x =与图中符合，如12a =，C 可能；对于D ，二次函数开口向上，则0a >，此时()ag x x =在()0,¥+为增函数，不符合，D 不可能.故选：ABC【变式7】【多选】下列幂函数中满足条件()()()121212022f x f x x x f x x ++æö<<<ç÷èø的函数是（ ）A ．()f x x =B ．()2f x x=C ．()f x =D ．()1f x x=【答案】BD【分析】由题意知,当0x >时,()f x 的图象是凹形曲线,据此分析各选项中的函数图像是否满足题意即可.【详解】由题意知,当0x >时,()f x 的图象是凹形曲线.对于A,函数()f x x =的图象是一条直线,则当120x x <<时,有()()121222f x f x x x f ++æö=ç÷èø,不满足题意；对于B,函数()2f x x =的图象是凹形曲线,则当120x x <<时,有()()121222f x f x x x f ++æö<ç÷èø,满足题意；对于C,函数()f x =,则当120x x <<时,有()()121222f x f x x x f ++æö>ç÷èø,不满足题意；对于D,在第一象限内,函数()1f x x =的图象是一条凹形曲线,则当120x x <<时,有()()121222f x f x x x f ++æö<ç÷èø,满足题意.故选:BD.题型7 幂函数的图象过定点问题【例7】函数()2y x aa =-为常数的图象过定点．【答案】()1,1-【分析】利用11a =求得正确答案.【详解】当1x =时，121y a =-=-，所以定点为()1,1-.故答案为：()1,1-【变式1】【多选】下列四个函数中过相同定点的函数有（ ）A ．2y ax a =+-B ．1a y x =+C ．11(0,1)x y a a a -=+>¹D ．log (2)1(0,1)a y x a a =-+>¹【答案】ABC【分析】根据函数解析式，结合幂指对函数的性质确定各函数所过的定点坐标，即可判断过相同定点的函数.【详解】A ：(1)2y a x =-+必过(1,2)；B ：1a y x =+，由11a =知函数必过(1,2)；C ：11(0,1)x y a a a -=+>¹，由01a =知函数必过(1,2)；D ：log (2)1(0,1)a y x a a =-+>¹，由log 10a =知函数必过(1,1)；∴A 、B 、C 过相同的定点.故选：ABC.【变式2】已知函数y x a =的图象恒过定点A ，若点A 在一次函数y mx n =+的图象上，其中0m >，0n >，则11m n+的最小值为 .【答案】4【解析】函数y x a =的图象恒过定点(1,1)A ，所以1m n += ,因为,0m n >，所以1111()()224m n m n m n m n n m +=++=++=+=，当12m n ==时，11m n+的最小值为4.【变式3】已知幂函数1()(21)a g x a x +=-的图象过函数1()(0,1)2x bf x mm m -=->¹的图象所经过的定点，则b 的值等于（ ）A ．12±B ．C ．2D ．2±【答案】B【分析】先根据幂函数定义得1a =，再确定()f x 的图像所经过的定点为1,2b æöç÷èø，代入()g x 解得b 的值.【详解】由于1()(21)a g x a x +=-为幂函数，则211a -=，解得：1a =，则2()g x x =；函数1()(0,1)2x bf x m m m -=->¹，当x b = 时，11()22b b f b a -=-=，故()f x 的图像所经过的定点为1,2b æöç÷èø，所以1()2g b =，即212b =，解得：b =,故选：B.【变式4】若函数()y f x =与()y g x =图象关于y x =对称，且()23af x x +=+，则()yg x =必过定点（ ）A ．()4,0B ．()4,1C ．()4,2D ．()4,3【答案】D【解析】()23af x x +=+ ，()()23af x x \=-+，()()33234af \=-+=，所以，函数()y f x =的图象过定点()3,4，又 函数()y f x =与()y g x =图象关于y x =对称，因此，函数()y g x =必过定点()4,3.故选：D.题型8 判断幂函数的单调性【例8】【多选】下列函数中，在区间()0,¥+单调递减的是（ ）A ．21y x =B ．()ln 1y x =+C ．1y x x=+D ．2xy -=【答案】AD【分析】由复合函数的单调性、指数函数、幂函数及对勾函数单调性判断各个选项即可.【详解】对于A 项，由幂函数性质知，221y x x-==在(0,)+¥上单调递减，故A 项正确；对于B 项，令1t x =+（0x >），则ln y t =（1t >），因为1t x =+在(0,)+¥上单调递增，ln y t =在在(1,)+¥上单调递增，所以ln(1)y x =+在(0,)+¥上单调递增，故B 项不成立；对于C 项，由对勾函数性质可知，1y x x=+在(0,1)上单调递减，在(1,)+¥上单调递增，故C 项不成立；对于D 项，因为12(2xx y -==，所以2x y -=在(0,)+¥上单调递减，故D 项正确.故选：AD.【变式1】【多选】下列函数中，满足“x "ÎR ，()()0f x f x --=，且1x "，2(,0)x Î-¥，都有1212()()0f x f x x x ->-”的是（ ）A ．()51f x x =+B ．3()f x x=-C ．4()f x x=D ．2()2022f x x =-+【答案】BD【分析】由题意得函数()f x 是偶函数，()f x 在(),0¥-上单调递增，在(0,+∞)上单调递减，然后逐个分析判断即可.【详解】由()(),0x f x f x "Î--=R ，知函数()f x 是偶函数，由()12,,0x x ¥"Î-，都有()()12120f x f x x x ->-，知()f x 在(),0¥-上单调递增，所以()f x 在(0,+∞)上单调递减.对于A ：()51f x x =+不满足为偶函数，故A 错误；对于B:()333,0,0x x f x x x x ì£=-=í->î，符合题意，故B 正确；对于C ：4()f x x=不满足为偶函数，故C 错误；对于D:()22022f x x =-+符合题意.故选：BD.题型9 判断与幂函数相关的复合函数的单调性A ．[)2,+¥B ．[)4,+¥C ．(],2-¥D ．(],0-¥【答案】B【分析】求出函数的定义域，利用复合函数的单调性即可判断.【详解】令24t x x =-,则y =由240x x -³，解得4x ³或0x £，故函数y ={0x x £或x ≥4}.又函数24t x x =-在(],0-¥上单调递减，在[)4,+¥上单调递增,y 在[)0,+¥上单调递增，则函数y =[)4,+¥上单调递增.故选：B.【变式1】函数y =的单调减区间为 ；【答案】(],5-¥-【分析】先求解原函数的定义域，然后根据复合函数单调性分析求解即可.【详解】解：令245u x x =+-，则y =y =与245u x x =+-复合而成的函数. 令2450u x x =+-³，得5x £-或1x ³.易知245u x x =+-在(],5-¥-上是减函数，在[)1,+¥上是增函数，而y =在[)0,¥+上是增函数，所以y =(],5-¥-.故答案为：(],5-¥-.【变式2】已知幂函数()f x 的图象过点æççè，则函数()22y f x x =+的单调递增区间为（ ）A ．(),2¥--B ．(),1¥--C ．(0,+∞)D ．(1,+∞)【答案】A【分析】利用待定系数法求出幂函数的解析式，然后利用复合函数的单调性得出结果．【详解】设()f x x a=，因为()f x 的图象过点æççè，所以2a=，解得12a =-，即()12f x x -=，可得()f x 在(0,+∞)上单调递减，则函数()()122222y f x x x x -=+=+=，由220x x +>，解得2x <-或0x >，则函数22y x x =+在(),2¥--上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，所以函数()22y f x x =+的单调递增区间为(),2¥--.故选：A.【变式3】【多选】已知幂函数()n f x x =的图像经过点(9,3)，则下列结论正确的有（ ）A ．()f x 为增函数B ．若120x x >>，则()()121222f x f x x x f ++æö>ç÷èøC ．()f x 为偶函数D ．若1x >，则()1f x >【答案】ABD【分析】根据幂函数经过点(9,3)，求出幂函数的解析式，利用幂函数的性质可直接判断选 项A ，C ，D 正误；对于选项B ，根据函数解析式分别表示出()()1212(),22f x f x x x f ++，再利用不等式的性质比较大小即可.【详解】解：由幂函数()n f x x =的图像经过点(9,3)，得93n =，所以12n =.12()f x x ==[0,)+¥，对于A 选项：因为102>，由幂函数的性质得A 选项正确；对于B 选项：若120x x >>，则12(2x xf +()()12221212[([]222f x f x x x x x f +++-=21204x x -=>（），所以()()122212[()][]22f x f x x xf ++>，又()()1212()0,022f x f x x x f ++=>=>，所以()()1212(22f x f x x xf ++>，故B 选项正确；对于C 选项：由于定义域不关于数字0对称，故C 选项不正确；对于D 选项：因为()f x 为增函数，若1x >，则()(1)1f x f >=，故D 选项正确；故选：ABD.题型10 由幂函数的单调性求参数【例10】已知幂函数()()12232mf x m m x -=-满足()()23f f <,则m =.【答案】13-【分析】根据幂函数的定义,得2321m m -=,解得1m =或13m =-,分别代入()f x 判断函数单调性即可.【详解】由幂函数的定义可知,2321m m -=,即23210m m --=,解得1m =或13m =-.当1m =时,()12f x x -=在()0,¥+上单调递减,不满足()()23f f <；当13m =-时,()56f x x =在()0,¥+上单调递增,满足()()23f f <.综上,13m =-.故答案为：13-.【变式1】幂函数()()2345m f x m m x -=--在()0,¥+上为减函数，则m 的值为．【答案】2-【分析】根据幂函数定义求出m 的值，再利用单调性进行检验即得.【详解】因()()2345m f x m m x -=--是幂函数，则25=1m m --，解得：3m =或2m =-.当3m =时，5()f x x =，此时函数在()0,¥+上为增函数，舍去；当2m =-时，10()f x x -=，此时函数在()0,¥+上为减函数，符合题意.故答案为：2-.【变式2】已知幂函数()1232k y k k x-=-在区间()0,¥+上是严格增函数，则k = .【答案】1【分析】根据幂函数的定义及性质得到方程（不等式）组，解得即可.【详解】因为幂函数()1232k y k k x-=-在区间()0,¥+上是严格增函数，所以221103k k k ì-=ïí->ïî，解得1k =.故答案为：1【变式3】已知2311,,,,2,33422a ìüÎ---íýîþ，若幂函数()f x x a=在区间(),0¥-上单调递增，且其图像不过坐标原点，则a = .【答案】23-【分析】根据幂函数的性质分析求解.【详解】因为幂函数图像不过坐标原点，则0a £，当23a =-，()23f x x -==在区间(),0¥-上单调递增，符合题意；当34a =-，()34-=f x x ()0,¥+，不合题意；当12a =-，()12f x x -==的定义域为()0,¥+，不合题意；综上所述：23a =-.故答案为：23-.【变式4】已知幂函数()()21mf x m m x =+-在()0,¥+上是减函数，则11mx +<的解集为（ ）A ．()0,1B ．()(),01,-¥È+¥C ．()2,0-D ．()0,2【答案】A【分析】根据()f x 是幂函数且在()0,¥+上是减函数求出m 的值，再将所求不等式两边同时平方求出x 的范围.【详解】 ()()21mf x m m x =+-是幂函数，\211m m +-=，解得1m =或2m =-，当1m =时，()f x x =不满足()f x 在()0,¥+上是减函数，当2m =-时，()2f x x -=满足()f x 在()0,¥+上是减函数，\2m =-，将不等式211x -+<的两边同时平方得，24411x x -+<，解得01x <<，\11mx +<的解集为()0,1.故选：A.【变式5】已知函数2295,1()1,1a x ax x f x x x -ì-+£=í+>î，是R 上的减函数，则a 的取值范围是（ ）A ．92,2éö÷êëøB ．94,2éö÷êëøC ．[]2,4D ．(]9,2,2æù-¥+¥çúèûU 【答案】C【分析】根据函数的单调性列不等式，由此求得a 的取值范围.【详解】依题意，()f x 在R 上单调递减，所以2291229011511a a a a -ì³ïï-<íï-´+³+ïî，解得24a ££，所以a 的取值范围是[]2,4故选：C题型11比较幂值的大小【例11】设232555322555a b c æöæöæö===ç÷ç÷ç÷èøèøèø,，，则,,a b c 大小关系是 .【答案】a c b＞＞【分析】抓住同底与同指构造函数，利用单调性比较大小.【详解】因为()25f x x =在()0,¥+单调增，所以22553255æöæö>ç÷ç÷èøèø，即a c >，因为()25xg x æö=ç÷èø在(),-¥+¥单调减，所以32552255æöæö<ç÷ç÷èøèø，即,c b >综上，a c b ＞＞.故答案为：a c b ＞＞.【变式1】设 1.3 1.4 1.40.9,0.9,0.7a b c ===，则下列不等式中正确的是（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．c<a<b【答案】B【分析】利用指数函数和幂函数的性质求解即可.【详解】设()0.9xf x =，则由指数函数()0.9xf x =在R 上单调递减，得()() 1.3 1.41.3 1.40.90.9f f a b >Þ=>=，设() 1.4h x x =，则幂函数() 1.4h x x =在()0,¥+上单调递增，得()()1.41.40.90.90.70.7h b c h ==>==，所以a b c >>.故选：B【变式2】设21log 3a =，1312b æö=ç÷èø，1213c æö=ç÷èø，则（ ）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．a b c <<D ．a c b<<【答案】D【分析】由对数函数、指数函数以及幂函数的单调性即可比较大小.【详解】2log x y = 在()0,+¥上是增函数，221log log 103a \=<=，12xy æö=ç÷èø在R 是减函数，12y x =在()0,¥+上是增函数，1113221110223b c æöæöæö=>>=>ç÷ç÷ç÷èøèøèø，a c b \<<.故选：D.题型12 利用幂函数的单调性解不等式【例12】不等式()()2233213x x +<-的解为 .【答案】24,3æö-ç÷èø【分析】根据幂函数的性质确定幂函数()23f x x =的奇偶性与单调性即可解不等式.【详解】解：幂函数()23f x x ==R ，且函数在[)0,¥+上单调递增，又()()f x f x -===，则()f x 为偶函数，所以()f x 在(),0¥-上单调递减，则由不等式()()2233213x x +<-可得213x x +<-，平方后整理得231080x x +-<，即()()3240x x -+<，解得243x -<<，则不等式的解集为24,3æö-ç÷èø.故答案为：24,3æö-ç÷èø.【变式1】实数a 满足3322(21)(1)a a --->+，则实数a 的取值集合为.【答案】1,22æöç÷èø【分析】首先分析出幂函数32y x -=的定义域和单调性，然后可解出不等式.【详解】32x y -=()0+¥，，且在定义域上单调递减，因为3322(21)(1)a a --->+，所以21010211a a a a ->ìï+>íï-<+î，解得122a <<故答案为：1,22æöç÷èø【变式2】已知幂函数14()f x x =，若(102)(1)f a f a -<+，则a 的取值范围是．【答案】(]3,5【解析】因为14()f x x =的定义域为[)0+，¥，且14()f x x =在[)0+，¥上单调递增，所以由(102)(1)f a f a -<+可得：1021102010a a a a -<+ìï-³íï+³î，解得：35a <£【变式3】已知函数21*()(N )m mf x xm +=Î.若该函数图象经过点 ，满足条件(2)(1)f a f a ->-的实数a 的取值范围是.【答案】31,2éö÷êëø【解析】由已知212m m +=22m m +=，又m 是正整数，故解得1m =，即12()f x x =，函数定义域是[0,)+¥，易知12()f x x =是增函数，所以由(2)(1)f a f a ->-得210a a ->-³，解得312a £<.【变式4】设函数1221,0(),0x x f x x x -ì-<ï=íï>î，如果()01f x >，则0x 的取值范围是 .【答案】()(),11,-¥-È+¥【分析】通过分00x <和00x >两种情况进行讨论，从而可求出0x 的取值范围.【详解】因为1221,0(),0x x f x x x -ì-<ï=íï>î，所以000211x x -<ìí->î或012001x x >ìïíï>î，解得01x <-或01x >，所以0x 的取值范围是()(),11,-¥-È+¥.故答案为：()(),11,-¥-È+¥.题型13 幂函数的奇偶性的应用【例13】已知幂函数()()2133a f x a a x +=-+为偶函数，则实数a 的值为.【答案】1【分析】根据幂函数定义和奇偶性直接求解即可.【详解】()f x 为幂函数，2331a a \-+=，解得：1a =或2a =；当1a =时，()2f x x =为偶函数，满足题意；当2a =时，()3f x x =为奇函数，不合题意；综上所述：1a =.故答案为：1.【变式1】若幂函数()()219mf x m m x =+-的图象关于y 轴对称，则m =（ ）A ．5-或4B ．5-C ．4D ．2【答案】C【分析】根据幂函数的定义与性质分析运算.【详解】若幂函数()()219mf x m m x =+-，则2191m m +-=，解得4m =或5m =-，且幂函数()f x 的图象关于y 轴对称，则m 为偶数，故4m =.故选：C ．【变式2】幂函数y ＝223m m x --（m ∈Z ）的图象如图所示，则实数m 的值为.【答案】1【分析】根据函数图象可判断单调性，进而可得2230m m --<，m 为整数，由验证是否是偶函数即可求解.【详解】有图象可知：该幂函数在()0+¥，单调递减，所以2230m m --<，解得13m -<<，m Z Î,故m 可取012，，，又因为该函数为偶函数，所以223m m --为偶数，故1m =故答案为：1题型14 幂函数的单调性和奇偶性的综合应用【例14】下列幂函数中，既在区间()0,¥+上递减，又是奇函数的是（ ）．A ．12y x=B ．13y x =C ．23y x -=D ．13y x -=【答案】D【分析】根据幂函数的奇偶性和单调性依次判断选项即可得到答案.【详解】对选项A ，12y x =在()0,¥+为增函数，故A 错误.对选项B ，13y x =在()0,¥+为增函数，故B 错误.对选项C ，23y x -=在()0,¥+为减函数，设()123321f x x x -æö==ç÷èø，定义域为{}|0x x ¹，()()()11332211f x f x x x éùæö-===êúç÷èø-êúëû，所以()f x 为偶函数，故C 错误.对选项D ，13y x -=在()0,¥+为减函数，设()11331f x x x -æö==ç÷èø，定义域为{}|0x x ¹，()()113311f x f x x x æöæö-==-=-ç÷ç÷-èøèø，所以()f x 为奇函数，故D 正确.故选：D【变式1】已知幂函数()223m m y x m N --*=Î的图象关于y 轴对称，且在()0,¥+上单调递减，则满足()()33132mma a --+<-的a 的取值范围为 .【答案】()23,1,32æö-¥-ç÷èøU 【分析】根据幂函数的单调性和奇偶性得到1m =，代入不等式得到()()1133132a a +<-，根据函数的单调性解得答案.【详解】幂函数()223m m y x m N --*=Î在()0,¥+上单调递减，故2230m m --<，解得13m -<<.*m N Î，故0m =，1，2.当0m =时 ，3y x -=不关于y 轴对称，舍去；当1m =时 ，4y x -=关于y 轴对称，满足；当2m =时 ，3y x -=不关于y 轴对称，舍去；故1m =，()()1133132a a --+<-，函数13y x -=在(),0¥-和()0,¥+上单调递减，故1320a a +>->或0132a a >+>-或1032a a +<<-，解得1a <-或2332a <<.故答案为：()23,1,32æö-¥-ç÷èøU 【变式2】若幂函数()22529m m f x x -++=的图象关于y 轴对称，()f x 解析式的幂的指数为整数, ()f x 在(),0¥-上单调递减，则m =（ ）A ．19B ．19或499C ．13-D ．13-或73【答案】D【分析】由题意知()f x 是偶函数，()f x 在(),0¥-上单调递减,可得22529m m -++为正偶数，再根据22529m m -++的范围可得答案.【详解】由题意知()f x 是偶函数，因为()f x 在(),0¥-上单调递减,所以22529m m -++为正偶数，又222534342(1)999m m m -++=--+£，∴234(1)29m --+=，解得73m =或13-．故选：D ．【变式3】函数()2223()1(03,)m m f x m m x m m --=-+££ÎZ 同时满足①对于定义域内的任意实数x ，都有()()f x f x -=；②在(0,)+¥上是减函数，则f 的值为（ ）A ．8B ．4C ．2D ．1【答案】B【分析】由m 的值依次求出223m m --的值，然后根据函数的性质确定m ，得函数解析式，计算函数值．【详解】m ÎZ ，03m ££，0,1,2,3m =，代入223m m --分别是3,4,3,0---，在定义域内()()f x f x -=，即()f x 是偶函数，因此223m m --取值4-或0，2230m m --=时，()f x 在(0,)+¥上不是减函数，只有234-=-满足，此时1m =，4()f x x -=，444f -===．故选：B ．【变式4】已知函数()333x x f x x -=+-，若2(2)(54)0f a a f a -+-<，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(4)(4)-¥-+¥U ，，B ．(41)-，C ．(1)(4)-¥-+¥U ，，D ．(14)-，【答案】B【分析】首先判断()f x 的奇偶性和单调性，由此化简不等式2(2)(54)0f a a f a -+-<，从而求得a 的取值范围.【详解】()f x 的定义域为R ，()()333x x f x x f x --=-+-=-，所以()f x 为奇函数，()3133x xf x x =+-在R 上递增，由2(2)(54)0f a a f a -+-<得()2(2)(54)45f a a f a f a -<--=-，∴2245a a a -<-，2340a a +-<，()()410a a +-<解得41a -<<.故选：B题型15 幂函数性质的综合应用【例15】已知幂函数213()(22)m f x m m x -=-+.(1)求函数()f x 的解析式；(2)求函数()f x 的定义域、值域；(3)判断()f x 的奇偶性.【答案】(1)2()f x x -=(2)定义域为()(),00,¥-+¥U ，值域为(0,)+¥(3)偶函数【分析】（1）根据幂函数的定义运算求解；（2）根据幂函数解析式求定义域和值域；（3）根据偶函数的定义分析证明.【详解】（1）函数213()(22)m f x m m x -=-+为幂函数，则2221m m -+=，解得1m =，则13132m -=-=-，所以函数2()f x x -=；（2）221()f x x x-==，令20x ¹，解得0x ¹故函数2()f x x -=的定义域为(,0)(0,)A =-¥+¥U ，∵20x >，则21()0f x x =>，故函数2()f x x -=的值域为(0,)+¥；（3）任取x A Î，22()()()f x x x f x ---=-==，所以函数()f x 是定义域上的偶函数．【变式1】已知幂函数()22()55m f x m m x -=-+的图像关于点(0,0)对称．(1)求该幂函数()f x 的解析式；(2)设函数()|()|g x f x =，在如图的坐标系中作出函数()g x 的图像；(3)直接写出函数()1g x >的解集．【答案】(1)1()f x x=(2)图像见解析(3)()()1,00,1-U 【分析】（1）利用幂函数的定义求出m 值，再结合其图像性质即可得解.（2）由（1）求出函数()g x ，再借助反比例函数与偶函数的对称性作出()g x 的图像.（3）根据（2）中图像特征写出函数()g x 的单调区间.【详解】（1）因为()22()55m f x m m x -=-+是幂函数，所以2551m m -+=，解得1m =或4m =，当1m =时，函数11()f x x x-==定义域是(,0)(0,)-¥+¥U ，易得()f x 是奇函数，图像关于原点对称，则1m =满足题意；当4m =时，函数2()f x x =，易知()f x 是R 上的偶函数，其图像关于y 轴对称，关于原点不对称；综上：幂函数()f x 的解析式是11()f x x x-==.（2）因为函数()|()1|||g f x x x ==，定义域为(,0)(0,)-¥+¥U ，且()()11g x g x x x-===-，所以()g x 是(,0)(0,)-¥+¥U 上的偶函数，当0x >时，1()g x x=在(0,)+¥上单调递减，其图像是反比例函数1y x =在第一象限的图像，作出函数()g x 在第一象限的图像，再将其关于y 翻折即可得()g x 在定义域上的图像，如图，（3）观察（2）中图像可得，()1g x >的解集为()()1,00,1-U .。

幂函数及其性质相关知识点：1.幂函数的定义一般地，函数y ＝x α叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数． 2.幂函数的性质(1). 恒过点(1，1)，且不过第四象限．(2). 当α＞0时，幂函数在(0，＋∞)上都是增函数；当α＜0时，幂函数在(0，＋∞)上都是减函数．( 3). 在第一象限内，直线x ＝1的右侧，图象由上到下，相应的指数由大变小． (4).当α为偶数，y ＝x α是偶函数；当α为奇数，y ＝x α是奇函数。

基础训练：1. 下列函数是幂函数的是( )A ．y ＝5xB ．y ＝x 5C ．y ＝5xD ．y ＝(x ＋1)32.已知函数y ＝(m 2＋2m －2)x m ＋2＋2n －3是幂函数，则m=________，n=_________. 3.已知幂函数f (x )＝x α的图象经过点(9，3)，则f (100)＝________． 4. 下列幂函数在(－∞，0)上为减函数的是( )A ．y ＝xB ．y ＝x 2C ．y ＝x 3D ．y ＝x 125. 下列函数中，定义域为R 的是( )A ．y ＝x －2B ．y ＝x 12C ．y ＝x 2D ．y ＝x －1 6. 函数y ＝x 53的图象大致是( )7. 下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( )A ．y ＝x －2B ．y ＝x－1C ．y ＝x 2D ．y ＝x 138. 函数y ＝x －2在区间[12，2]上的值域为________．9. 设α∈{－1，1，12，3}，则使y ＝x α的定义域为R 且为奇函数的所有α的值组成的集合为________．例题精析：例1.如图，图中曲线是幂函数y ＝x α在第一象限的大致图象．已知α取－2，－12，12，2四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的α的值依次为______________变式训练：幂函数y ＝x－1及直线y ＝x ，y ＝1，x ＝1将平面直角坐标系的第一象限分成八个“卦限”：①、②、③、④、⑤、⑥、⑦、⑧(如图所示)，那么幂函数y ＝x 12的图象经过的“卦限”是___________.例2．比较下列各组数的大小：(1)3－52和3.1－52； (2)－8－78和－(19)78；(3)(－23)－23和(－π6)－23； (4)4.125，3.8－23和(－1.9)－35.变式训练：用“>”或“<”填空：(1)(23)12________(34)12；(2)(－23)－1________(－35)－1；(3)(－2.1)37________(－2.2)－37.例3已知幂函数f (x )＝(t 3－t ＋1)x 12(1－4t －t 2)是偶函数，且在(0，＋∞)上为增函数，求函数解析式．变式训练：若函数f (x )＝(m 2－m －1)x －m ＋1是幂函数，且在x ∈(0，＋∞)上是减函数，求实数m 的取值范围.课后作业：1. 若幂函数f (x )的图象经过点(2，14)，则f (12)＝________．2.设α∈{－1，1，12，3}，则使幂函数y ＝x α的定义域为R 的所有α的值为_________.3. 幂函数y ＝f (x )的图象经过点(2，18)，则满足f (x )＝－27的x 值等于________．4. 函数y ＝a x －2(a ＞0且a ≠1，－1≤x ≤1)的值域是[－53，1]，则实数a ＝__________5. 比较下列各组中两个值的大小：(1)1.535与1.635； (2)0.61.3与0.71.3； (3)3.5－23与5.3－23； (4)0.18－0.3与0.15－0.3.6. 设a ＝(25)35，b ＝(25)25，c ＝(35)25，则a ，b ，c 的大小关系是_______________7. 已知函数y ＝x 23. (1)求定义域； (2)判断奇偶性；(3)已知该函数在第一象限的图象如图所示，试补全图象，并由 图象确定单调区间．8.已知幂函数y ＝x 3m －9(m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上函数值随x 的增大而减小，求满足(a ＋1)－m 3<(3－2a )－m3的a 的取值范围．9. 点(2，2)与点(－2，－12)分别在幂函数f (x )，g (x )的图象上，问当x 为何值时，有(1)f (x )>g (x )；(2)f (x )＝g (x )；(3)f (x )<g (x )?。

高中数学幂函数与对数函数的相关题型及解题思路一、幂函数的相关题型及解题思路幂函数是高中数学中的重要内容之一，其相关题型多样且涉及面广。

下面将介绍几种常见的幂函数题型及解题思路。

1. 幂函数的定义域和值域问题对于幂函数$f(x) = a^x$，其中$a>0$且$a\neq 1$，其定义域为全体实数集$(-\infty, +\infty)$。

值域则取决于$a$的取值范围。

当$a>1$时，$f(x)$的值域为$(0,+\infty)$；当$0<a<1$时，$f(x)$的值域为$(0, 1)$。

例如，对于函数$y = 2^x$，其定义域为$(-\infty, +\infty)$，值域为$(0, +\infty)$。

2. 幂函数的图像与性质幂函数的图像特点与底数$a$的取值有关。

当$a>1$时，函数图像递增且上升趋势逐渐变缓；当$0<a<1$时，函数图像递减且下降趋势逐渐变缓。

例如，对于函数$y = 2^x$，其图像在坐标系中递增且上升趋势逐渐变缓。

3. 幂函数的性质与变换幂函数具有以下性质：- 幂函数$f(x) = a^x$的导数为$f'(x) = a^x \ln a$。

- 幂函数的反函数为对数函数，即$f^{-1}(x) = \log_a x$。

例如，对于函数$y = 2^x$，其导数为$y' = 2^x \ln 2$，反函数为$y^{-1} = \log_2 x$。

二、对数函数的相关题型及解题思路对数函数是幂函数的反函数，也是高中数学中的重要内容。

下面将介绍几种常见的对数函数题型及解题思路。

1. 对数函数的定义域和值域问题对于对数函数$f(x) = \log_a x$，其中$a>0$且$a\neq 1$，其定义域为$x>0$。

值域则取决于$a$的取值范围。

当$a>1$时，$f(x)$的值域为$(-\infty, +\infty)$；当$0<a<1$时，$f(x)$的值域为$(-\infty, 0)$。

高一幂函数和应用题知识点在高中数学学习中，幂函数是一个重要的知识点。

幂函数是指形如f(x)=ax^n的函数，其中a为常数（a≠0），n为自然数。

幂函数在数学上具有广泛的应用，涉及到物理、金融、经济等多个领域。

本文将探讨高一幂函数和应用题的一些基本知识点。

一、幂函数的基本性质幂函数的定义域为实数集，且当a>0时，函数的值域也为正实数集。

当a<0时，函数的值域为负实数集。

幂函数在定义域上的图像可以根据指数n的奇偶性质进行分类。

1. 当n为奇数时，幂函数图像关于y轴对称，且图像一定经过原点。

2. 当n为偶数时，当a>0时，幂函数图像经过原点并在第一象限单调递增；当a<0时，幂函数图像关于原点对称。

幂函数的图像特点可以通过对函数进行分析和变换得到。

例如，当n为正数时，幂函数图像随指数的增大而呈现出挤压效应，即指数越大图像越“扁平”；当n为负数时，幂函数图像随指数的增大表现出拉伸效应，即指数越大图像越“细长”。

二、幂函数的应用题幂函数具有多个实际应用，下面将介绍其中的几个典型应用。

1. 物理应用物理学中，许多现象可以通过幂函数来进行建模和解释。

例如，物体自由落体过程中的速度与时间的关系可以用幂函数表示。

假设一个物体自由下落，以竖直向下的方向为正方向，物体从静止开始，自由落体公式可表示为s(t)=gt^2/2，其中s(t)表示物体与起始点之间的距离，g表示重力加速度，t表示时间。

2. 经济应用在经济学中，幂函数可以用来描述某些经济关系。

例如，某种商品的需求量和价格之间的关系可以用幂函数表示。

假设商品的需求量与价格之间存在指数关系，需求函数可表示为D(p)=ap^(-n)，其中D(p)表示需求量，p表示价格，a和n为常数。

3. 生物应用在生物学中，幂函数可以用来描述生物体的某些特性。

例如，生物体的体重和身高之间的关系可以用幂函数表示。

假设某种动物的体重和身高存在幂函数关系，体重函数可表示为W(h)=ah^n，其中W(h)表示体重，h表示身高，a和n为常数。

高一数学复习考点题型专题讲解 第16讲 幂函数（难点）一、单选题1．已知函数()53352f x x x x =+++，若()()214f a f a +->，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．(),3-∞D ．()3,+∞【答案】A【分析】构造函数()()2g x f x =-，容易判断()g x 为奇函数，且在R 上单调递增，进而将原不等式转化为()()12g a g a >-，最后根据单调性求得答案.【解析】设()()2g x f x =-，R x ∈，则()()()()()()53533535g x x x x x x x g x -=-+-+-=-++=-，即()g x 为奇函数，容易判断()g x 在R 上单调递增（增+增），又()()214f a f a +->可化为，()()()()()22122112f a f a g a g a g a ->---⇒>--=-⎡⎤⎣⎦，所以a >1－2a ，∴ a >13． 故选：A.2．已知R α∈，则函数2()1x f x x a=+的图像不可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】根据含参函数的解析式和函数特殊值判断函数可能的图像.【解析】根据2()1x f x x a=+可知210x +>，所以当0x >时，0x α>，即()0f x >，故选项A 错误，而当α为其他值时，B,C,D 均有可能出现. 故选：A3．已知命题p ：幂函数2y x -=在(),0∞-上单调递增；命题q ：若函数()1f x +为偶函数，则()f x 的图象关于直线1x =对称．则下列命题为假命题的是（ ） A ．p q ∧B ．p q ⌝∨C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()p q ∨⌝ 【答案】C【分析】首先分别判断命题p 和命题q 的真假，然后再根据逻辑连接词“且”、“或”、“非”进行判断即可. 【解析】()2210y x x x-==?∴2y x -=是偶函数， 幂函数2y x -=在()0+∞，上单调递减， ∴2y x -=在(),0∞-上单调递增， ∴命题p 为真命题；则p ⌝为假命题；函数()1f x +为偶函数，()()11f x f x ∴+=-+()f x ∴的图象关于直线1x =对称∴命题q 为真命题；则q ⌝为假命题；又逻辑连接词“且”为“一假必假”，“或”为“一真必真”， 则对于A ，p q ∧为真命题； 对于B ，p q ⌝∨为真命题； 对于C ，()()p q ⌝∧⌝为假命题； 对于D ，()p q ∨⌝为真命题； 故选：C.4．①函数值域为[0,)+∞；②函数为偶函数；③函数在[0,)+∞上()()12120f x f x x x ->-恒成立；④若任意120,0x x ≥≥都有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭.已知函数：①121x y =-；②212xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭；③23y x =；④124y x =.其中同时满足以上四个条件的函数有（ ）个 A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】C【分析】分别作出①121xy =-；②212xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭；③23y x =；④124y x =四个函数的图象，再根据图象逐一判断四个函数是否满足①②③④四个条件即可求解.【解析】分别作出①121xy =-；②212xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭；③23y x =；④124y x =四个函数的图象：由图知，四个函数的值域都是[)0,∞+都满足①；由图知：①121xy =-；②212xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭；③23y x =图象关于y 轴对称，都是偶函数，④124y x =的定义域为[)0,∞+不关于原点对称，既不是奇函数也不是偶函数，故④124y x =不满足条件②；排除函数④124y x =； 条件③：函数在[)0,∞+上()()12120f x f x x x ->-恒成立；由函数单调性的定义可知：函数在[)0,∞+上单调递增，由四个函数图象可知，①121x y =-，③23y x =，④124y x =满足条件③，函数②212x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭不满足条件③，排除函数②212xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭；对于条件④：函数①121xy =-：如图任意120,0x x ≥≥都有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，故函数①121xy =-满足条件④，函数③23y x =：如图任意120,0x x ≥≥都有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，故函数③23y x =满足条件④，所以同时满足以上四个条件的函数有函数①121xy =-、函数③23y x =，共有2个，故选：C5．已知点（n ，8）在幂函数()(2)m f x m x =-的图象上，则函数()g x =域为（ ）A ．[0,1]B ．[2,0]-C ．[1,2]-D ．[2,1]- 【答案】D【分析】由()(2)m f x m x =-为幂函数可求m ，由点（n ，8）在幂函数()(2)m f x m x =-的图象上可求n ，再根据函数的单调性求函数()g x .【解析】由题可得m －2＝1，解得m ＝3，所以3()f x x =，则3()8,2f n n n ===，因此()g x ==[2，3]，因为函数=yy =-[2，3]上单调递减，所以函数g （x ）在[2，3]上单调递减，而g （2）＝1，g （3）＝－2，所以g （x ）的值域为[－2，1]． 故选:D.6．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()2221()232f x x a x a a =-+--，若x R ∀∈，(1)()f x f x -≤，则实数a 的取值范围为（ ）A ．11,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B．⎡⎢⎣⎦C ．11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D．⎡⎢⎣⎦ 【答案】B【分析】根据函数的解析式，分20x a ≤≤、222a x a <<和22x a ≥三种情况分类讨论，得出函数的解析式，结合函数的图象，即可求解. 【解析】由题意，当0x ≥时，()2221()232f x x a x a a =-+--， 所以当20x a ≤≤时，()2221()232f x a x a x a x =-+--=-； 当222a x a <<时，()22221()232f x x a a x a a =-+--=-； 当22x a ≥时，()22221()2332f x x a x a a x a =-+--=-. 综上，函数()2221()232f x x a x a a =-+--， 在0x ≥时的解析式等价于222222,0(),23,2x x a f x a a x a x a x a ⎧-≤≤⎪=-<<⎨⎪-≥⎩. 根据奇函数的图像关于原点对称作出函数()f x 在R 上的大致图像如图所示，观察图像可知，要使x R ∀∈，(1)()f x f x -≤，则需满足()22241a a --≤，解得a ≤≤故选：B.7．定义新运算“⊕”如下：2,,a a b a b b a b⎧⊕=⎨<⎩…，已知函数()(1)2(2)([2,2])f x x x x x =⊕-⊕∈-，则满足(2)(2)f m f m -…的实数m 的取值范围是（ ）A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．122⎡⎤⋅⎢⎥⎣⎦C ．[0.1]D ．[ 1.4]-【答案】C【解析】根据新定义，得到()f x 的表达式，判断函数()f x 在定义域的单调性，可得结果. 【解析】当21x -≤≤时，()f x =1?224x x -⨯=-；当12x <≤时，23()224f x x x x =⋅-⨯=-； 所以34,21()4,12x x f x x x --⎧=⎨-<⎩剟…，易知，()4f x x =-在[ 2.1]-单调递增，3()4f x x =-在(1,2]单调递增，且当12x -≤≤时，max ()3f x =-， 当12x <…时，max ()3f x =-，则()f x 在[ 2.2]-上单调递增， 所以(2)(2)f m f m -…得22222222m m m m -≤-≤⎧⎪-≤≤⎨⎪-≤⎩，解得01m 剟. 故选：C【点睛】本题考查对新定义的理解，以及分段函数的单调性，重点在于写出函数()f x 以及判断单调性，难点在于m 满足的不等式，属中档题.8．设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-.若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则m 的取值范围是A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】B【分析】本题为选择压轴题，考查函数平移伸缩，恒成立问题，需准确求出函数每一段解析式，分析出临界点位置，精准运算得到解决．【解析】(0,1]x ∈时，()=(1)f x x x -，(+1)= ()f x 2f x ，()2(1)f x f x ∴=-，即()f x 右移1个单位，图像变为原来的2倍．如图所示：当23x <≤时，()=4(2)=4(2)(3)f x f x x x ---，令84(2)(3)9x x --=-，整理得：2945560x x -+=，1278(37)(38)0,,33x x x x ∴--=∴==（舍），(,]x m ∴∈-∞时，8()9f x ≥-成立，即73m ≤，7,3m ⎛⎤∴∈-∞ ⎥⎝⎦，故选B ．【点睛】易错警示：图像解析式求解过程容易求反，画错示意图，画成向左侧扩大到2倍，导致题目出错，需加深对抽象函数表达式的理解，平时应加强这方面练习，提高抽象概括、数学建模能力．二、多选题9．黄同学在研究幂函数时，发现有的具有以下三个性质：①是奇函数；②值域是{y y R ∈且0}y ≠；③在(,0)-∞上是减函数则以下幂函数符合这三个性质的有（ ） A ．2()f x x =B ．()f x x = C ．1()f x x -=D ．13()f x x -= 【答案】CD【分析】通过已知三个条件，分别奇偶性、值域和单调性即可排除选项.【解析】由已知可得，此函数为奇函数，而A 选项2()f x x =为偶函数，不满足题意，排除选项；选项B ，()f x x =的值域为}{y y R ∈，且该函数在R 上单调递增，不满足题意条件，排除选项；选项C 、D 同时满足三个条件. 故选：CD.10．已知函数()f x ，()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()()321f x g x x x -=++，则下列选项中正确的是（ ） A ．()f x 和()g x 在()0,∞+上的单调性相同 B ．()f x 和()g x 在()0,∞+上的单调性相反 C ．()f x 和()g x 在(),0-∞上的单调性相同 D ．()f x 和()g x 在(),0-∞上的单调性相反 【答案】BC【分析】通过解方程组求出23()1,(),f x x g x x =+=-再判断单调性即得解.【解析】解：由题得()()32321,()()1f x g x x x f x g x x x ---=-++∴+=-++（1），又()()321f x g x x x -=++ （2），解（1）（2）得23()1,(),f x x g x x =+=-3()g x x =-在(,)-∞+∞上单调递减（因为幂函数3y x =是R 上的增函数），因为23()1,(),f x x g x x =+=-在()0,∞+上的单调性相反（()f x 单调递增()g x 单调递减），23()1,(),f x x g x x =+=-在(),0-∞上都是单调递减，故选：BC11．若函数()f x 在定义域内的某区间M 是增函数，且()f x x在M 上是减函数，则称()f x 在M 上是“弱增函数”，则下列说法正确的是（ ） A ．若()2f x x =，则不存在区间M 使()f x 为“弱增函数”B ．若()1f x x x =+，则存在区间M 使()f x 为“弱增函数”C ．若()3f x x x =+，则()f x 为R 上的“弱增函数”D ．若()()24f x x a x a =+-+在区间(]0,2上是“弱增函数”，则4a =【分析】根据“弱增函数”的定义，结合基本初等函数的性质，对四个选项一一判断，即可得到正确答案.【解析】对于A ：()2f x x =在[)0,∞+上为增函数，()==f x y x x在定义域内的任何区间上都是增函数，故不存在区间M 使()2f x x =为“弱增函数”，A 正确； 对于B ：由对勾函数的性质可知：()1f x x x =+在[)1,+∞上为增函数，()21f x y x x-==+，由幂函数的性质可知，()21f x y x x-==+在[)1,+∞上为减函数，故存在区间[)1,M =+∞使()1f x x x=+为“弱增函数”，B 正确；对于C ：()3f x x x =+为奇函数，且0x ≥时，()3f x x x =+为增函数，由奇函数的对称性可知()3f x x x =+为R 上的增函数，()21f x y x x==+为偶函数，其在0x ≥时为增函数，在0x <时为减函数，故()3f x x x =+不是R 上的“弱增函数”，C 错误；对于D ：若()()24f x x a x a =+-+在区间(]0,2上是“弱增函数”，则()()24f x x a x a =+-+在(]0,2上为增函数，所以402a --≤，解得4a ≤，又()()4f x a y x a xx==+-+在(]0,2上为减函2，则4a ≥，综上4a =.故D 正确． 故选：ABD ．12．记使得函数()269f x x x =-+在[]1,x n ∈上的值域为[]0,4的实数n 的取值范围为集合A ，过点()4,2的幂函数()g x 在区间[]1,13m m -+上的值域为集合B ，若A 是B 的必要不充分条件，则整数m 的取值可以为（ ） A ．10B ．11C ．12D ．13【分析】根据二次函数的性质可得集合A ；根据幂函数的性质可得集合B ，由集合A 是集合B 的必要不充分条件，则B 是A 的真子集，即可得出答案．【解析】函数()269f x x x =-+的对称轴为3x =，在3x =时取最小值0，故3n ≥，又1x =与5x =时函数值均为4，故5n ≤， 故n 的取值范围为[]3,5，即集合[]3,5A =； 设幂函数()ag x x =，()g x 过点()4,2，即42a =，得12a =，故()g x =[]1,13m m -+上的值域为()1m ≥，即()1B m =≥，若集合A 是集合B 的必要不充分条件，则是[]3,5的真子集，即5(3等号不能同时成立)， 解得1012m ≤≤．则整数m 的取值可以为10，11，12． 故选：ABC三、填空题13．已知函数()33x x f x -=-，则关于 的下列结论：①(0)0f =②()f x 是奇函数③()f x 在(,)-∞+∞上是单调递增函数④对任意实数a ，方程()0f x a -=都有解，其中正确的有（填写序号即可）__________．【解析】∵()33x x f x -=-，()33(33)x x x x f x ---=-=--，∴()()f x f x =--所以函数()33x x f x -=-是奇函数，由奇函数的性质，①②均正确；又1()3333xxxx f x -⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是R 上的单调递减函数，3x y =-是R 上的单调递减函数，由函数单调性的性质，所以()33x x f x -=-在R 上单调递减，③不正确；因为()f x 函数值域为R ，所以对任意实数a ，方程()0f x a -=都有解，④正确，故答案为①②④．14．已知函数()()2231m m f x m m x +-=--是幂函数，对任意的1x ，()20,x ∈+∞，且12x x ≠，满足()()12120f x f x x x ->-，若a ，R b ∈，且()()0f a f b +<，则a b +______0（填“＞”“＝”或“＜”）．【答案】＜【分析】由函数()f x 为幂函数，可得m ＝－1或m ＝2，又由题意函数()f x 在()0,∞+上单调递增，可得()3f x x =，从而根据函数()f x 的奇偶性和单调性即可求解.【解析】解：因为函数()f x 为幂函数，所以211m m --=，即220m m --=，解得m ＝－1或m ＝2．当m ＝－1时，()31f x x=；当m ＝2时，()3f x x =． 因为函数()f x 对任意的1x ，()20,x ∈+∞，且12x x ≠，满足()()12120f x f x x x ->-，所以函数()f x 在()0,∞+上单调递增， 所以()3f x x =，又()()33f x x x -=-=-，所以函数()3f x x =是奇函数，且为增函数，因为()()0f a f b +<，所以()()()f a f b f b <-=-， 所以a b <-，即0a b +<． 故答案为：＜.15．定义在R 上的函数()y f x =是减函数，且函数(1)=-y f x 的图象关于(1,0)成中心对称，若,s t 满足不等式22(2)(2)f s s f t t -≤--.则当13s ≤≤时，t s的取值范围是___________.【答案】1,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】由f (x −1)的图象相当于f (x )的图象向右平移了一个单位 又由f (x −1)的图象关于(1,0)中心对称 知f (x )的图象关于(0,0)中心对称， 即函数f (x )为奇函数， 得f (s 2−2s )⩽f (t 2−2t )，从而t 2−2t ⩽s 2−2s ,化简得(t −s )(t +s −2)⩽0， 又1⩽s ⩽3，则-1⩽2-s ⩽1，故2−s ⩽t ⩽s , 从而211t ss -剟,而211,13s ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，故t s 的取值范围是1,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.点睛：对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f ”，转化为解不等式(组)的问题，若f (x )为偶函数，则f (－x )＝f (x )＝f (|x |)． 16．对于函数1()1ax f x x +=-（a 为常数），给出下列命题： ①对任意a ∈R ，()f x 都不是奇函数；②()f x 的图像关于点(1,)a 对称；③当1a <-时，()f x 无单调递增区间；④当2a =时，对于满足条件122x x <<的所有1x ，2x 总有1221()()3()f x f x x x -<-．其中正确命题的序号为__________． 【答案】①②④【解析】①()f x 定义域为{}1x x ≠，∴()f x 不可能为奇函数，正确；②(1)11()11a x a a f x a x x -+++==+--，图像关于(1,)a 对称，正确；③当1a <-时，1()1af x a x +=+-在(,1)-∞和(1,)+∞上为增，错误；④2a =时，3()21f x x =+-在(2,)+∞上为减函数，211221123()()()3()(1)(1)x x f x f x x x x x --=<---，正确，故答案为①②④.四、解答题17．已知函数()()()()212813f x a x b x c x =-+-+-∈R . (1)如果函数()f x 为幂函数，试求实数a 、b 、c 的值；(2)如果0a >、0b >，且函数()f x 在区间1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，试求ab 的最大值.【答案】(1)5a =，8b =，1c =，或2a =，9b =，1c =. (2)18【分析】（1）根据幂函数的定义得到方程组，解得即可；（2）分2a =、2a >、02a <<三种情况讨论，结合二次函数的性质及基本不等式计算可得； (1)解：由函数()f x 的定义域为R 知，当()f x 为幂函数时，应满足()12138010a b c ⎧-=⎪⎪⎨-=⎪⎪-=⎩或()12038110a b c ⎧-=⎪⎪-=⎨⎪-=⎪⎩解得，a 、b 、c 的值分别为：5a =，8b =，1c =，或2a =，9b =，1c =. (2)解：①当2a =时，()()()81f x b x c x =-+-∈R 由题意知，08b <<，所以16ab <. ②当2a >时，函数()f x 图象的对称轴为()()3822b x a -=-，以题意得：()()38322b a -≥-，即212a b +≤所以122a b ≥+≥18ab ≤. 当且仅当3a =，6b =时取等号. ③当02a <<时，以题意得：()()381222b a -≤-，即326a b +≤，即()10263b a <≤- 又因为02a <<，所以()()()22111691169026132131633333ab a a a <≤-=--+<--+= 综上可得，ab 的最大值为18. 18．已知函数()()90f x x x x=+≠.（1）当()3,x ∈+∞时，判断并证明()f x 的单调性；（2）求不等式()()2330f x f x +≤的解集.【答案】（1）单调递增，证明见解析；（2）{}1-.【解析】（1）根据函数单调性定义，判断当123x x <<时，()()120,0?f x f x -><即可；（2）法一：根据函数()()90f x x x x=+≠得到()()233f x f x +解析式，解关于x 的二次型不等式即可.法二：根据函数为奇函数，和定义域内的单调性，将()()2330f x f x +≤转化为解()()233f x f x ≤-，分0x >，1x =-，1x <-，10x -<<讨论使得()()233f x f x ≤-成立x 时的范围为其解集.【解析】解：（1）设123x x <<，则()()()()121212121212999x x x x f x f x x x x x x x --⎛⎫⎛⎫-=+-= ⎪ ⎪⎝⎝⎭+⎭ 因为12120,90x x x x -<->， 所以()()120f x f x -<， 所以()f x 在(3,)+∞上单调递增. （2）法一：原不等式可化为2233330x x x x+++…， 即21120x x x x ⎛⎫⎛⎫+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…，所以121x x-+剟， 当0x >时，12x x+…，不合题意，舍去； 当0x <时，只需解12x x-+…，可化为2(1)0x +…，所以1x =-. 综上所述，不等式的解集为{}1-.法二：由（1）的解答过程知()f x 在(0,3)上单调递减，在()3,+∞上单调递增，又()f x 为奇函数，()()2330f x f x +≤，所以()()()2333f x f x f x ≤-=-，当0x >时，2(3)0,(3)0f x f x >-<，与上式矛盾，故舍去； 当1x =-时，上式成立；当1x <-时，2333x x >->，则()()233f x f x >-，与上式矛盾，故舍去；当10x -<<时，20333x x <<-<，则()()233f x f x >-，与上式矛盾，故舍去；综上所述，不等式的解集为{}1-. 【点睛】确定函数单调性的四种方法： （1）定义法：利用定义判断；（2）导数法：适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数；（3）图象法：由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接； （4）性质法：利用函数单调性的性质，尤其是利用复合函数“同增异减”的原则时，需先确定简单函数的单调性.19．已知函数()23111x x f x x +++=+．(1)求()f x 的解析式；(2)若对任意1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，[]0,1a ∈，不等式()212f x ma m <++恒成立，求m 的取值范围．【答案】(1)()11f x x x=-+(2)()),2-∞-⋃+∞【分析】（1）令1t x =+，则1x t =-，进而根据换元法求解即可；（2）结合函数()f x 的单调性得()max 52f x =，进而将问题转化为对任意[]0,1a ∈，不等式25122ma m <++恒成立，再求解恒成立问题即可. （1）解：令1t x =+，则1x t =-， 则()()()2131111t t f t t t t-+-+==-+，故()11f x x x=-+． （2）解：由（1）可得()11f x x x=-+．因为函数1y x =+和函数1y x =-均在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增．故()()max 522f x f ==．对任意1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，[]0,1a ∈，不等式()212f x ma m <++恒成立，即对任意[]0,1a ∈，不等式25122ma m <++恒成立，则2251,2251,22m m m ⎧<+⎪⎪⎨⎪<++⎪⎩解得m 2m <-．故m 的取值范围是()),2-∞-⋃+∞．20．已知幂函数()2122mx m m x f ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，且在定义域内单调递增. (1)求函数()f x 的解析式；(2)若函数()()()21g x f x kf x ⎡⎤=+-⎣⎦，1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，是否存在实数k ，使得()g x 的最小值为0？若存在，求出k 的值，若不存在，说明理由. 【答案】(1)()f x x = (2)存在，且32k =.【分析】（1）结合幂函数的定义、单调性求得m 的值.（2）求得()g x 的解析式，对k 进行分类讨论，结合()g x 的最小值为0来求得k 的取值范围. (1)函数()2122mx m m x f ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭是幂函数， 222131,0,2302222m m m m m m +-=+-=+-=， 解得1m =或32m =-.由于()f x 在定义域内递增，所以32m =-不符合， 当1m =时，()f x x =，符合题意. (2)()21g x x kx =+-，1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()g x 图象开口向上，对称轴为2kx =-，当122k -≤，即1k ≥-时，()g x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，11310,2422k g k ⎛⎫=+-== ⎪⎝⎭.当1,122k ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，即21k -<<-时，()222min 1102424k kk k g x g ⎛⎫=-=--=--< ⎪⎝⎭，不符合题意.当12k -≥，即2k ≤-时，()g x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减，()1112g k k =+-=≤-，不符合题意.综上所述，存在32k =使得()g x 的最小值为0.21．1.已知函数2,01,()1, 1.x x f x x x≤<⎧⎪=⎨≥⎪⎩(1)求函数()f x 的值域；(2)记()()()a F x f x f a =-，则4()F x m ≤在[0,4]x ∈上恒成立，求实数m 的取值范围． 【答案】(1)[0,2)(2)7,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】（1）分别求出()2f x x =和1()f x x=在各自区间上的值域，最后求并集即为分段函数的值域；（2）写出分段函数4()F x ，求出4()F x 的值域70,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭，然后74m ≥即可(1)当01x ≤<时，()2f x x =，在[)0,1上单调递增，所以 0()2f x ≤< 当1≥x 时，1()f x x=，在[)1,+∞上单调递减，所以0()1f x <≤ 故函数()f x 的值域为[0,2)． (2)由题意可知，412,01,41()()(4)()411,1 4.4x x F x f x f f x x x ⎧-≤<⎪⎪=-=-=⎨⎪-≤≤⎪⎩当01x ≤<时，1172444x -≤-<，则4170()244F x x ≤=-<；当14x ≤≤时，113044x ≤-≤，则430()4F x ≤≤； 所以470(),[0,4]4F x x ≤<∈，所以要使4()F x m ≤在[0,4]x ∈上恒成立，只要74m ≥即可，m 的取值范围为7,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．22．已知幂函数()()224222m m f x m m x -+=--在()0,∞+上单调递减.（1）求m 的值并写出()f x 的解析式；（2）试判断是否存在0a >，使得函数()()()211ag x a x f x =--+在(]0,2上的值域为(]1,11？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）3m =，()1f x x -=；（2）存在，6a =.【分析】（1）根据幂函数的定义及单调性，令幂的系数为1及指数为负，列出方程求出m 的值，将m 的值代入()f x 即可；（2）求出()g x 的解析式，按照1a -与0的大小关系进行分类讨论，利用()g x 的单调性列出方程组，求解即可.【解析】（1）（1）因为幂函数()2242()22m m f x m m x -+=--在(0,)+∞上单调递减，所以22221420m m m m ⎧--=⎨-+<⎩解得：3m =或1m =-(舍去)，所以1()f x x -=；（2）由（1）可得，1()f x x -=，所以()(21)1(1)1g x a x ax a x =--+=-+， 假设存在0a >，使得()g x 在(]0,2上的值域为(]1,11，①当01a <<时，10a -<，此时()g x 在(]0,2上单调递减，不符合题意；②当1a =时，()1g x =，显然不成立；③当1a >时，10a ->，()g x 在和(]0,2上单调递增， 故(2)2(1)111g a =-+=，解得6a =.综上所述，存在6a =使得()g x 在(]0,2上的值域为(]1,11.23．已知幂函数()21()22m f x m m x +=-++为偶函数.（1）求()f x 的解析式；（2）若函数()()30h x f x ax a =++-≥在区间[2,2]-上恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）2()f x x =；（2）[7,2]-.【解析】(1)由幂函数概念及偶函数性质求()f x 解析式(2)由(1)知22()()324a a h x x a =+--+，再由()0h x ≥在[2,2]-上恒成立，即()h x 的最小值恒大于等于0，应用函数思想分类讨论，求a 的范围【解析】（1）由()f x 为幂函数知2221m m -++=，得1m =或12m =-()f x 为偶函数∴当1m =时，2()f x x =，符合题意；当12m =-时，12()f x x =，不合题意，舍去所以2()f x x =（2）22()()324a a h x x a =+--+，令()h x 在[2,2]-上的最小值为()g a①当22a-<-，即4a >时，()(2)730g a h a =-=-≥，所以73a ≤ 又4a >，所以a 不存在；②当222a -≤-≤，即44a -≤≤时，2()()3024a ag a h a =-=--+≥所以62a -≤≤.又44a -≤≤，所以42a -≤≤ ③当22a ->，即4a <-时，()(2)70g a h a ==+≥ 所以7a ≥-.又4a <- 所以74a -≤<-.综上可知，a 的取值范围为[7,2]-【点睛】本题考查了幂函数，并综合了偶函数、及根据不等式恒成立求参数范围，应用了分类讨论、函数的思想，属于较难的题 24．已知函数()21ax bf x x +=+是定义在()1,1-上的奇函数，且1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭. (1)求函数()f x 的解析式；(2)判断函数()f x 在()1,1-上的单调性，并用定义证明；(3)解不等式：11022f t f t ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝+⎭+-≤.【答案】(1)()21xf x x =+； (2)函数()f x 在()1,1-上单调递增，证明见解析；(3)1,02⎛⎤- ⎥⎝⎦.【分析】（1）根据奇函数的定义可求得b 的值，再结合已知条件可求得实数a 的值，由此可得出函数()f x 的解析式；（2）判断出函数()f x 在()1,1-上是增函数，任取1x 、()21,1x ∈-且12x x <，作差()()12f x f x -，因式分解后判断()()12f x f x -的符号，即可证得结论成立；（3）由11022f t f t ⎛⎫⎛⎫++-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得1122f t f t ⎛⎫⎛⎫+<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据函数()f x 的单调性与定义域可得出关于实数t 的不等式组，由此可解得实数t 的取值范围.（1）解：因为函数()21ax bf x x +=+是定义在()1,1-上的奇函数，则()()f x f x -=-， 即2211ax b ax b x x -++=-++，可得0b =，则()21axf x x =+，所以，211222255112af a ⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则1a =，因此，()21x f x x =+. （2）证明：函数()f x 在()1,1-上是增函数，证明如下：任取1x 、()21,1x ∈-且12x x <，则()()()()221212112212222212121111x x x x x x x x f x f x x x x x +---=-=++++()()()()()()()()12211212122222121211111x x x x x x x x x x xx xx -+---==++++，因为1211x x -<<<，则120x x -<，1211x x -<<，故()()120f x f x -<，即()()12f x f x <. 因此，函数()f x 在()1,1-上是增函数. （3）解：因为函数()f x 是()1,1-上的奇函数且为增函数，由11022f t f t ⎛⎫⎛⎫++-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得111222f t f t f t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+<--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 由已知可得112211121112t t t t ⎧+<-⎪⎪⎪-<+<⎨⎪⎪-<-<⎪⎩，解得102t -<<.因此，不等式11022f t f t ⎛⎫⎛⎫++-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的解集为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭.25．已知______，且函数()22x bg x x a+=+. ①函数()()224f x x a x =+-+在定义域[]1,1b b -+上为偶函数；②函数()()0f x ax b a =+>在[1,2]上的值域为[]2,4.在①，②两个条件中，选择一个条件，将上面的题目补充完整，求出a ，b 的值，并解答本题.(1)判断()g x 的奇偶性，并证明你的结论；(2)设()2h x x c =--，对任意的1x ∈R ，总存在[]22,2x ∈-，使得()()12g x h x =成立，求实数c 的取值范围.【答案】(1)选择条件见解析，a ＝2，b ＝0；()g x 为奇函数，证明见解析；(2)77,88⎡-⎤⎢⎥⎣⎦. 【分析】（1）若选择①，利用偶函数的性质求出参数,a b ； 若选择②，利用单调性得到关于,a b 的方程，求解即可；将,a b 的值代入到()g x 的解析式中，再根据定义判断函数的奇偶性； （2）将题中条件转化为“()g x 的值域是()f x 的值域的子集”即可求解. （1） 选择①.由()()224f x x a x =+-+在[]1,1b b -+上是偶函数，得20a -=，且()()110b b -++=，所以a ＝2，b ＝0. 所以()222xg x x =+. 选择②.当0a >时，()f x ax b =+在[]1,2上单调递增，则224a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得20a b =⎧⎨=⎩，所以()222xg x x =+. ()g x 为奇函数.证明如下：()g x 的定义域为R . 因为()()222xg x g x x --==-+，所以()g x 为奇函数. （2）当0x >时，()122g x x x =+，因为224x x +≥，当且仅当22x x=，即x ＝1时等号成立，所以()104g x <≤； 当0x <时，因为()g x 为奇函数，所以()104g x -≤<；当x ＝0时，()00g =，所以()g x 的值域为11,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.因为()2h x x c =--在[]22-,上单调递减，所以函数()h x 的值域是[]22,22c c ---. 因为对任意的1x R ∈，总存在[]22,2x ∈-，使得()()12g x h x =成立，所以[]11,22,2244c c ⎡⎤-⊆---⎢⎥⎣⎦，所以12241224c c ⎧--≤-⎪⎪⎨⎪-≥⎪⎩,解得7788c -≤≤. 所以实数c 的取值范围是77,88⎡-⎤⎢⎥⎣⎦.。

考点11幂函数1、幂函数的判断及应用判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y x α=（α是常数）的形式，即满足：（1）指数为常数；（2）底数为自变量；（3）系数为1．只有同时满足这三个条件的函数才是幂函数，对于形如(2),2,6y x y x y x ααα===+等函数都不是幂函数。

2、幂函数的图象及应用（1）幂函数图象的画法①确定幂函数在第一象限内的图象：先根据α的取值，确定幂函数y x α=在第一象限内的图象．②确定幂函数在其他象限内的图象：根据幂函数的定义域及奇偶性确定幂函数f(x)在其他象限内的图象．（2）要牢记幂函数的图象，并能灵活运用．由幂函数的图象，我们知道：①所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)．②任何幂函数的图象与坐标轴最多只有一个交点（原点）；任何幂函数的图象都不经过第四象限．③当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象上抛；当0<α<1时，幂函数的图象右抛．④当α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数．⑤幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y ＝x 对称．⑥在第一象限，作直线x ＝a (a >1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列．3、解决与幂函数有关的综合性问题的方法首先要考虑幂函数的概念，对于幂函数y x α=(α∈R)，由于α的取值不同，所以相应幂函数的单调性和奇偶性也不同．同时，注意分类讨论思想的应用．考点一幂函数的定义（一）求幂函数的值或解析式1．（2022·甘肃庆阳·高一期末）已知幂函数()f x 的图象过点13,3⎛⎫⎪⎝⎭，则此函数的解析式为______．2．（2022·内蒙古·赤峰二中高一期末（文））已知点（a ，2）在幂函数()(3)b f x a x =-的图象上，则函数f （x ）的解析式是（）A ．12()f x x =B ．12()2f x x =C ．3()f x x =D ．1()f x x -=3．（2022·甘肃·甘南藏族自治州合作第一中学高一期末）幂函数()y f x =的图象经过点(14,2)，则1(4f =____.4．（2022·全国·高一课时练习）若函数()f x 是幂函数，满足(4)8(2)f f =，则1(1)3f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭_________．5．（2022·北京市第五中学高一期末）已知幂函数()a f x x =过点(28)，，若0()5f x =-，则0x =________．6．（2022·上海中学高一期末）某厂商计划投资生产甲、乙两种商品，经市场调研发现，如图所示，甲、乙商品的投资x 与利润y （单位：万元）分别满足函数关系11ay k x =与22ay k x =．(1)求1k ，1a 与2k ，2a 的值；(2)该厂商现筹集到资金20万元，如何分配生产甲、乙商品的投资，可使总利润最大？并求出总利润的最大值．（二）根据函数是幂函数求参数值7．【多选】（2022·广东茂名·高一期末）若函数()225y k k x =--是幂函数，则实数k 的值可能是（）A ．3k =B ．3k =-C ．2k =-D ．2k =8．【多选】（2022·广东·韶关市田家炳中学高一期末）如果幂函数()22233mm y m m x --=-+的图象不过原点，则实数m 的取值为（）A ．0B ．2C ．1D ．无解9．（2022·湖南郴州·高一期末）已知幂函数()f x kx α=的图象过点()2,4，则k α+=__________.考点二幂函数的定义域和值域（一）幂函数的定义域10．（2022·江苏·高一）若()342x --有意义，则实数x 的取值范围是（）A ．[)2,+∞B ．(],2-∞C ．()2,+∞D ．(),2-∞11．（2022·山西吕梁·高一期末）已知幂函数()f x 的图象过点(，则()f x 的定义域为（）A ．RB ．()0,∞+C ．[)0,∞+D ．()(),00,∞-+∞U12．（2022·黑龙江绥化·高一期末）函数4()(1)f x x =-+）A ．()1，∞+B ．(2,)-+∞C ．()()211∞-⋃+，，D ．R13．（2022·全国·高一专题练习）设α∈11,132⎧⎫-⎨⎬⎩⎭，，则使函数y ＝xα的定义域为R 的所有α的值为（）A ．1,3B ．－1,1C ．－1,3D ．－1,1,314．（2022·内蒙古·赤峰红旗中学松山分校高一期末）已知幂函数()1*4n y x n N -=∈的定义域为()0,∞+，且单调递减，则n =________.（二）幂函数的值域15．（2022·全国·高一专题练习）幂函数a y x =中a 的取值集合C 是11,0,,1,2,32⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的子集，当幂函数的值域与定义域相同时，集合C 为（）A ．11,0,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭B ．1,1,22⎧⎫⎨⎬⎩⎭C ．11,,32⎧⎫-⎨⎬⎩⎭D ．1,1,2,32⎧⎫⎨⎬⎩⎭16．（2022·全国·高一专题练习）函数213324y x x =++，其中8x - ，则其值域为___________.17．（2022·广东·广州六中高一期末）幂函数()y f x =的图象过点(，则函数()y x f x =-的值域是（）A ．(),-∞+∞B ．1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭18．（2022·上海师大附中高一期末）已知函数()()()2151Z m f x m m x m +=-+∈为幂函数，且为奇函数.(1)求m 的值，并确定()f x 的解析式；(2)令()()g x f x =，求()y g x =在1,12x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的值域.19．（2022·贵州·六盘水市第五中学高一期末）已知幂函数()()1221m f m x m x -=--在()0,∞+上为增函数.(1)求实数m 的值；(2)求函数()()2345g x f x x =--+的值域.20．（2022·湖北黄石·高一期中）已知函数())2()x a f x x x a ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，若函数()f x 的值域为R ，则实数a 的取值范围为（）A ．(1,0)-B ．(1,0]-C ．[1,0)-D ．[1,0]-考点三幂函数的图象和性质（一）幂函数的图象（1）依据图象高低判定幂指数大小21．（2022·全国·高一课时练习）图中1C ，2C ，3C 分别为幂函数1y x =α，2y x =α，3y x α=在第一象限内的图象，则1α，2α，3α依次可以是（）A ．12，3，1-B ．1-，3，12C ．12，1-，3D ．1-，12，322．（2022·全国·高一课时练习）幂函数a b c d y x y x y x y x ====，，，在第一象限的图像如图所示，则a b c d ，，，的大小关系是（）A ．a b c d >>>B ．d b c a >>>C ．d c b a>>>D ．b c d a>>>23．（2022·全国·高一课时练习）如图所示是函数mn y x =(*N m n ∈、且互质)的图象，则（）A ．m n 、是奇数且1mn<B ．m 是偶数，n 是奇数，且1m n>C ．m 是偶数，n 是奇数，且1m n<D ．m n 、是偶数，且1m n>24．（2022·四川凉山·高一期末）如图，①②③④对应四个幂函数的图像，其中①对应的幂函数是（）A ．3y x =B ．2y x =C ．y x=D ．58y x =（2）图象的识别25．（2022·全国·高一单元测试）下列四个图像中，函数34y x =的图像是（）A ．B ．C ．D ．26．（2022·上海·高一单元测试）已知幂函数的图象经过点14,2P ⎛⎫⎪⎝⎭，则该幂函数的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．27．（2022·全国·高一单元测试）如图为某体育赛事举重成绩与运动员体重之间关系的折线图，下列模型中，最能刻画举重成绩y （单位：千克）和运动员体重x （单位：千克）之间的关系的是（）A ．y =()0m >B ．y mx n =+()0m >C ．2y mx n =+()0m >D ．x y ma n =+（0m >，0a >且1a ≠）（二）幂函数的性质（1）由幂函数的单调性求参数28．（2022·广东广州·高一期末）函数()22211mm y m m x --=--是幂函数，且在()0,x ∈+∞上是减函数，则实数m =__________.29．（2022·河南开封·高一期末）已知函数()22my m m x =+幂函数，且在其定义域内为单调函数，则实数m =（）A ．12B ．1-C ．12或1-D ．12-30．（2022·云南德宏·高一期末）“当()0,x ∈+∞时，幂函数()22231mm y m m x --=--为减函数”是“1m =-或2”的（）条件A ．既不充分也不必要B ．必要不充分C ．充分不必要D ．充要31．（2022·江西省铜鼓中学高一期末）已知函数()()()2,16,(1a a x x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩）是减函数，则实数a 的取值范围是（）A ．[)7,2--B ．(),2-∞-C ．(),7-∞-D ．()7,2--（2）由幂函数的单调性解不等式32．（2022·上海中学高一期末）不等式()()2021202142x x --->-的解为______．33．（2022·海南鑫源高级中学高一期末）已知幂函数()af x x =的图象经过点(.（1）求幂函数()f x 的解析式；（2）试求满足()()13f a f a +>-的实数a 的取值范围.34（2022·上海金山·高一期末）已知幂函数()y f x =在其定义域上是严格增函数，且()22mm f x x -=（m Z ∈）.(1)求m 的值；(2)解不等式：()()32f x f x-<.（3）由幂函数的单调性比较大小35．（2022·重庆九龙坡·高一期末）已知111333332,,555a b c -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a b c<<B ．b c a<<C ．c a b<<D ．a c b<<36．（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室高一期末）幂函数()()22251mm f x m m x +-=--在区间()0,∞+上单调递增，且0a b +>，则()()f a f b +的值（）A ．恒大于0B ．恒小于0C ．等于0D ．无法判断（4）幂函数奇偶性的应用37．（2022·全国·高一课时练习）求出下列函数的定义域，并判断函数的奇偶性：（1）22()f x x x -=+；（2）23()3f x x x =+；（3）133()f x x x =+；（4）142()2f x x x -=+.38．（2022·全国·高一专题练习）已知幂函数()2()1mf x m m x =--的图象关于y 轴对称，则()f m =___________．39．（2022·重庆九龙坡·高一期末）已知幂函数()21()55m f x m m x +=-+为奇函数，则m =___________.40．（2022·山东济宁·高一期末）已知()y f x =是奇函数，当0x ≥时，()()23f x x m m =+∈R ，则()8f -=______．（5）幂函数的单调性和奇偶性的综合应用41．（2022·河南开封·高一期末）下列函数中，既是奇函数，又是增函数的是（）①1y x=-；②y =||y x x =；④3y x x =+．A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④42．（2022·云南玉溪·高一期末）幂函数22m m y x +-=()03,m m Z ≤≤∈的图象关于y 轴对称，且在(0,)+∞上是增函数，则m 的值为（）A ．0B ．2C ．3D ．2和343．（2022·重庆巫山·高一期末）若幂函数()f x 过点()2,8，则满足不等式()()310f a f a -+-≤的实数a 的取值范围是______44．（2022·湖北·高一期末）已知函数()53352f x x x x =+++，若()()214f a f a +->，则实数a 的取值范围是（）A ．1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．(),3-∞D ．()3,+∞45．（2022·黑龙江·大庆实验中学高一期末）已知幂函数()223m m y xm N --*=∈的图象关于y 轴对称，且在()0,∞+上单调递减，则满足()()33132mma a --+<-的a 的取值范围为________.（6）幂函数性质的综合应用46．（2022·全国·高一）已知幂函数a y x =（a 是常数），则（）A ．()f x 的定义域是RB ．()f x 在()0,∞+单调递增C ．()f x 过定点()1,1D ．()f x 可能过定点()1,3-47．【多选】（2022·广西玉林·高一期末）已知函数()a f x x =的图象经过点1,33⎛⎫ ⎪⎝⎭则（）A ．()f x 的图象经过点(3,9)B ．()f x 的图象关于y 轴对称C ．()f x 在(0,)+∞上单调递减D ．()f x 在(0,)+∞内的值域为(0,)+∞48．【多选】（2022·广东揭阳·高一期末）已知幂函数()y f x =的图象经过点(9,3)，则下列结论正确的有（）A ．()f x 为偶函数B ．()f x 为增函数C ．若1x >，则()1f x >D ．若210x x >>，则()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭。

高一数学复习考点知识与题型专题讲解3．3 幂函数【考点梳理】知识点一幂函数的概念一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．知识点二五个幂函数的图象与性质1．在同一平面直角坐标系内函数(1)y＝x；(2)y＝12x；(3)y＝x2；(4)y＝x－1；(5)y＝x3的图象如图．2．五个幂函数的性质y＝x y＝x2y＝x312y xy＝x－1定义域R R R[0，＋∞){x|x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增在[0，＋∞) 上增，增增在(0，＋∞)上减，在(－∞，0] 上减在(－∞，0)上减知识点三 一般幂函数的图象特征1．所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)．2．当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸． 3．当α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数．4．幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y ＝x 对称．5．在第一象限，作直线x ＝a (a >1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列．【题型归纳】题型一：幂函数的定义1．（2020·江苏省平潮高级中学高一月考）如果幂函数()22233m m y m m x --=-+的图象不过原点，则实数m 的取值为（ ） A ．1B ．2C ．1或2D ．无解2．（2021·云南省玉溪第一中学高一月考）已知幂函数()y f x =的图象过点()33，，则该函数的解析式为（ ）A ．2y x =B ．2y x =C ．3y x =D ．y x =3．（2020·江苏镇江市·）已知幂函数()2()33m f x m m x =--在区间()0,∞+上是单调递增函数，则实数m 的值是（ ）A ．-1或4B ．4C ．-1D ．1或4题型二：幂函数的值域问题4．（2021·全国高一课时练习）已知幂函数()f x x α=的图像过点(8,4)，则()f x x α= 的值域是（ ）A ．(),0-∞B ．()(),00,-∞⋃+∞C ．()0,∞+D ．[)0,+∞5．（2020·湖南衡阳市·高一月考）函数2y x -=在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是（ ）A ．14B ．14-C ．4D ．4-6．（2018·南京市第三高级中学高一期中）以下函数12y x =，2y x =，23y x =，1y x -=中，值域为[0,)+∞的函数共（ ）个 A ．1B ．2C ．3D ．4题型三：幂函数的定点和图像问题7．（2021·高邮市临泽中学高一月考）已知幂函数1()(21)a g x a x +=-的图象过函数1()(0,1)2x b f x m m m -=->≠的图象所经过的定点，则b 的值等于（ ）A ．12±B ．22±C ．2D ．2± 8．（2020·南宁市银海三美学校高一月考）函数23y x =的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．9．（2019·宁都县宁师中学高一月考）已知函数y ＝x a ，y ＝x b ，y ＝x c 的图象如图所示，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c <b <aB ．a <b <cC ．b <c <aD ．c <a <b题型四：幂函数的单调性问题（比较大小、解不等式、参数）10．（2021·江西宜春市·高安中学高一月考）已知 1.13a =， 1.14b =，0.93c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c a b <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．b c a <<11．（2020·江苏省平潮高级中学高一月考）幂函数223a a y x --=是奇函数，且在()0+∞，是减函数，则整数a 的值是（ ） A ．0B ．0或2C ．2D ．0或1或212．（2020·江西鹰潭一中）已知幂函数12()f x x =，若()()132f a f a +<-，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[)1,3-B ．21,3⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．[)1,0-D ．21,3⎛⎤- ⎥⎝⎦题型五：幂函数的奇偶性问题13．（2020·江西南昌市·南昌十中高一月考）已知幂函数y ＝f (x )经过点(3，3)，则f (x )（ ）A ．是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数B ．是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数C ．是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数D ．是非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数14．（2021·吴县中学）有四个幂函数：①()2f x x -=；②()1f x x -=；③()3f x x =；④()3f x x =，某向学研究了其中的一个函数，并给出这个函数的三个性质：（1）()f x 为偶函数；（2）()f x 的值域为()(),00,-∞⋃+∞；（3）()f x 在(),0-∞上是增函数.如果给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是（ ） A ．①B ．②C ．③D ．④15．（2020·乌苏市第一中学高一月考）已知112,1,,,1,2,322α⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭，若幂函数()f x x α=为偶函数，且在(0,)+∞上递减，则a =（ ） A ．1-，12-B ．1，3C ．2-D ．12，2【双基达标】一、单选题16．（2021·镇远县文德民族中学校高一月考）已知幂函数()()21f x m x =-，则实数m 等于（ ）A ．2B ．1C ．0D ．任意实数17．（2020·南京市第十三中学高一月考）函数 85y x =的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．18．（2021·全国高一课时练习）下列结论中，正确的是（ ） A ．幂函数的图象都经过点(0，0)，(1，1) B ．幂函数的图象可以出现在第四象限C ．当幂指数α取1，3，12时，幂函数y ＝x α是增函数 D ．当α＝－1时，幂函数y ＝x α在其整个定义域上是减函数19．（2021·全国高一单元测试）已知幂函数()f x 的图象过点1(2,)2，则f （4）的值是（ ） A ．64B ．42C ．24D ．1420．（2021·全国高一专题练习）函数()()()102121f x x x -=-+-的定义域是（ ） A ．(],1-∞B ．11,,122⎛⎫⎛⎫-∞⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．(),1-∞-D ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭21．（2021·全国高一课前预习）已知幂函数()3m f x x -=(m ∈N *)为奇函数，且在区间(0，＋∞)上是减函数，则m 等于（ ） A ．1B ．2C ．1或2D ．322．（2021·全国）幂函数()f x 满足：对任意12x x R ∈、，当且仅当12x x =时，有12()()f x f x =，则(1)(0)(1)f f f -++=（ ）. A ．1-B ．0C ．1D ．223．（2021·全国）下列比较大小中正确的是（ ）.A ．0.50.532()()23<B ．1123()()35---<-C ．3377( 2.1)( 2.2)--<-D ．443311()()23-<24．（2019·云南昭通市第一中学高一月考）已知函数()f x x =，若(1)(102)f a f a+<-，则a 的取值范围是（ ）A ．(0,5)B ．(5,)+∞C ．[1,3)-D ．(3,5)25．（2021·全国）幂函数1y x -=，及直线,1,1y x y x ===将直角坐标系第一象限分成八个“卦限： I, II, III,IV, V, VI, VII, VIII （如图所示），那么，而函数13y x -=的图象在第一象限中经过的“卦限”是（ ）A ．IV,VII B ． IV,VIII C ． III, VIII D ． III, VII 【高分突破】一：单选题26．（2021·全国高一课前预习）幂函数2266()(33)m m f x m m x -+=-+在(0,)+∞上单调递增，则m的值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．1或227．（2021·浙江）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ） A ．()y x x R =-∈B ．3()y x x x R =--∈ C ．1()()2x y x R =∈D ．1y x=-(x R ∈，且0)x ≠28．（2021·全国高一课时练习）点(,8)m 在幂函数()(1)n f x m x =-的图象上，则函数()g x n x x m =-+-的值域为（ ）A ．0,2⎡⎤⎣⎦B ．1,2⎡⎤⎣⎦C ．2,2⎡⎤⎣⎦D ．[]2,329．（2021·全国高一课时练习）如图，①②③④对应四个幂函数的图像，其中②对应的幂函数是（ ）A ．3y x =B ．2y x =C ．y x =D ．y x =30．（2021·全国高一课时练习）已知幂函数()()2133m f x m m x +=-+的图象关于原点对称，则满足()()132m ma a +>-成立的实数a 的取值范围为（ ）A ．22,33⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．22,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．22,3⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．2,43⎛⎫ ⎪⎝⎭31．（2021·全国高一课时练习）设11,,1,2,32α⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭则“()f x x α=的图象经过()1,1--”是“()f x x α=为奇函数”的（ ）A ．充分不必要件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件32．（2021·浙江高一期末）已知实数a ，b 满足等式35a b =，给出下列五个关系式：①1b a <<；②1a b <<-；③01b a <<<；④10a b -<<<；⑤a b =，其中，可能成立的关系式有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．5个33．（2021·全国高一单元测试）已知函数1a y ax b =-+-是幂函数，直线20(0,0)mx ny m n -+=>>过点(,)a b ，则11n m ++的取值范围是（ ） A ．11,,333⎫⎫⎛⎛-∞⋃ ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭B ．(1,3)C ．1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,33⎛⎫ ⎪⎝⎭二、多选题34．（2021·全国高一课时练习）下列关于幂函数y x α=的性质，描述正确的有（ ） A ．当1α=-时函数在其定义域上是减函数B ．当0α=时函数图象是一条直线 C ．当2α=时函数是偶函数D ．当3α=时函数在其定义域上是增函数35．（2021·全国高一课时练习）已知函数()21m m y m x -=-为幂函数，则该函数为（ ） A ．奇函数B ．偶函数C ．区间()0,∞+上的增函数D ．区间()0,∞+上的减函数36．（2021·全国高一课时练习）已知幂函数223()(1)m m f x m m x +-=--，对任意12,(0,)x x ∈+∞，且12x x ≠，都满足1212()()0f x f x x x ->-，若,a b ∈R 且()()0f a f b +<，则下列结论可能成立的有（ ）A ．0a b +> 且0ab <B ．0a b +< 且0ab <C ．0a b +< 且0ab >D ．以上都可能37．（2021·全国高一专题练习）已知幂函数9()5m f x m x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列结论正确的有（ ）A ．()13216f -=B ．()f x 的定义域是RC ．()f x 是偶函数D ．不等式()()12f x f -≥的解集是[)(]1,11,3-38．（2020·江苏常州市·常州高级中学高一期中）若函数()f x 同时满足：①对于定义域上的任意x ，恒有()()0f x f x +-=；②对于定义城上的任意1x ，2x ，当12x x ≠时，恒有()()12120f x f x x x -<-，则称函数()f x 为“理想函数”．下列四个函数中，能被称为“理想函数”的有（ ） A ．()2121x f x x -=+B ．()3f x x =-C ．()f x x =-D ．()22,0,,0x x f x x x ⎧-≥=⎨<⎩三、填空题39．（2021·湖南邵阳市·高一期末）已知幂函数()y f x =的图象过点()2,2，则()5f =______.40．（2021·雄县第二高级中学高一期末）已知幂函数()f x 过定点18,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，且满足()()2150f a f ++->，则a 的范围为________．41．（2021·全国高一课时练习）不等式()()1133312a a -<+的解集为______42．（2021·上海上外浦东附中高一期末）已知幂函数()223()m m f x x m Z --=∈的图像关于y 轴对称，与x 轴及y 轴均无交点，则由m 的值构成的集合是__________．43．（2021·全国高一单元测试）已知112,1,,1,,2,322k ⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭，若幂函数()kf x x =为奇函数，且在()0,∞+上单调递减，则k =______．四、解答题44．（2021·全国高一课时练习）已知函数()()21212223m f x m m xn -=+-+-是幂函数，求2m n -的值．45．（2021·全国高一课时练习）已知函数()()()()1221a a f x a a x -+=--是幂函数()a R ∈，且()()12f f <.（1）求函数()f x 的解析式；（2）试判断是否存在实数b ，使得函数()()32g x f x bx =-+在区间[]1,1-上的最大值为6，若存在，求出b 的值；若不存在，请说明理由.46．（2021·全国高一专题练习）已知幂函数()()1222mf x m m x =--在()0,∞+上单调递减．（1）求实数m 的值．（2）若实数a 满足条件()()132f a f a ->+，求a 的取值范围．47．（2021·江西省乐平中学高一开学考试）已知幂函数()()()22322k k f x m m x k -=-+∈Z 是偶函数，且在()0,∞+上单调递增. （1）求函数()f x 的解析式；（2）若()()212f x f x -<-，求x 的取值范围： （3）若实数()*,,a b a b ∈R 满足237a b m +=，求3211a b +++的最小值.【答案详解】1．C 【详解】由幂函数的定义得m 2-3m +3=1，解得m =1或m =2；当m =1时，m 2-m -2=-2，函数为y =x -2，其图象不过原点，满足条件； 当m =2时，m 2-m -2=0，函数为y =x 0，其图象不过原点，满足条件. 综上所述，m =1或m =2. 故选：C. 2．D 【详解】设()f x x α=，依题意()13332f αα==⇒=，所以()f x x =. 故选：D 3．B 【详解】幂函数()2()33mf x m m x =--在(0,)+∞上是增函数则2331m m m ⎧--=⎨>⎩ ，解得4m = 故选：B 4．D【详解】幂函数()f x x α=的图像过点(8,4)，84α∴=，解得23α=，2332(0)f x x x ∴==≥，∴()f x 的值域是[)0,+∞. 故选：D. 5．A 【详解】∵函数2y x -=在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，∴2min 124y -==， 故选：A. 6．C 【详解】函数12y x x ==，其定义域为[0,)+∞，值域为[0,)+∞； 函数2y x =的定义域为R ，值域为[0,)+∞； 函数2323y x x ==，20x ≥Q ，∴函数值域为[0,)+∞；函数331y x x -==，值域为(,0)(0,)-∞+∞． ∴值域为[0,)+∞的函数共3个．故选：C. 7．B 【详解】由于1()(21)a g x a x +=-为幂函数，则211a -=，解得：1a =，则2()g x x =； 函数1()(0,1)2x b f x m m m -=->≠，当x b = 时，11()22b b f b a -=-=，故()f x 的图像所经过的定点为1,2b ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以1()2g b =，即212b =，解得：22b =±, 故选：B. 8．C 【详解】首先由分数指数幂运算公式可知()21233x x ⎛⎫=⎪⎝⎭，则()()23y f x x ==，()()f x f x -=，且函数的定义域为R ，所以函数是偶函数，关于y 轴对称，故排除AD ，因为2013<<，所以23y x =在第一象限的增加比较缓慢，故排除B ， 故选：C 9．A试题：由幂函数图像特征知，1a >，01b <<，0c <，所以选A ． 10．A 【详解】由题意，构造函数 1.13,x y y x ==，由指数函数和幂函数的性质， 可知两个函数在(0,)+∞单调递增；由于0.9 1.10.9 1.133c a <∴<∴<；由于 1.1 1.13434a b <∴<∴<；综上：c a b << 故选：A 11．B由于幂函数223a a y x --=是奇函数，且在(0,)+∞是减函数，故2230a a --<，且223a a --是奇数，且a 是整数，13a -<<∴，a Z ∈，当0a =时，2233a a --=-，是奇数，； 当1a =时，2234a a --=-，不是奇数； 当2a =时，2233a a --=-，是奇数； 故0a =或2． 故答选：B 12．B 【详解】因为幂函数()12f x x =是增函数，且定义域为[)0,+∞，由()()132f a f a +<-得13210320a aa a +<-⎧⎪+≥⎨⎪-≥⎩，解得213a -≤<.所以实数a 的取值范围是21,3⎡⎫-⎪⎢⎣⎭故选：B 13．D 【详解】设幂函数的解析式为y x α=， 将点()3,3的坐标代入解析式得33α=，解得12α=， ∴12y x =，函数的定义域为[)0,+∞,是非奇非偶函数，且在()0,+∞上是增函数，14．A 【详解】对于①，函数()2f x x -=为偶函数，且()2210f x x x -==>，该函数的值域为()0,∞+， 函数()2f x x -=在()0,∞+上为减函数，该函数在(),0-∞上为增函数，①满足条件；对于②，函数()11x x f x -==为奇函数，且()10f x x=≠，该函数的值域为()(),00,-∞⋃+∞， 函数()f x 在(),0-∞上为减函数，②不满足条件；对于③，函数()3f x x =的定义域为R ，且()()33f x x x f x -=-=-=-，该函数为奇函数， 当0x ≥时，()30f x x =≥；当0x <时，()30f x x =<，则函数()f x 的值域为R ， 函数()3f x x =在()0,∞+上为增函数，该函数在(),0-∞上也为增函数，③不满足条件；对于④，函数()3f x x =为奇函数，且函数()3f x x =的值域为R ，该函数在(),0-∞上为增函数，④不满足条件. 故选：A. 15．C 【详解】112,1,,,1,2,322α⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭若幂函数()f x x α=为偶函数，且在(0,)+∞上递减，则0α<且2,k k Z α=∈， 所以2a =-. 故选：C 16．A因为函数()()21f x m x =-为幂函数，所以m -1=1，则m =2.故选：A. 17．A 【详解】由幂函数85y x =可知: 85y x =是定义域为R 的偶函数，在(0,+∞)上单调递增，且当x >1时,函数值增长的比较快. 故选：A 18．C 【详解】当幂指数α＝－1时，幂函数y ＝x －1的图象不经过原点，故A 错误；因为所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，且y ＝x α(α∈R)>0，所以幂函数的图象不可能出现在第四象限，故B 错误； 当α>0时，y ＝x α是增函数，故C 正确；当α＝－1时，y ＝x －1在区间(－∞，0)，(0，＋∞)上是减函数，但在整个定义域上不是减函数，故D 错误． 故选：C. 19．D 【详解】幂函数()a f x x =的图象过点1(2,)2，122a ∴=，解得1a =-，1()f x x∴=， f ∴（4）14=， 故选：D . 20．B 【详解】因为()()()()121121211f x x x x x-=-+-=+--， 则有10210x x ->⎧⎨-≠⎩，解得1x <且12x ≠，因此()f x 的定义域是11,,122⎛⎫⎛⎫-∞⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 故选：B. 21．B 【详解】因为()3m f x x -=在(0，＋∞)上是减函数，所以m －3<0,所以m <3. 又因为m ∈N *，所以1m =或2.又因为()3m f x x -=是奇函数，所以m －3是奇数， 所以m ＝2. 故选：B. 22．B 【详解】设()a f x x =，由已知，函数()f x 的定义域为R ，∴0a >，又∵对任意12x x R ∈、，当且仅当12x x =时，有12()()f x f x =，即y 与x 一一对应，()f x 必定不是偶函数，∴必定为奇函数，∴答案为0，故选：B. 23．C 【详解】A 选项，0.5y x =在[0)+∞，上是递增函数，0.50.523()()32<，错， B 选项，1y x -=在()0-∞，上是递减函数，1123()()35--->-，错， C 选项，37y x =在()0-∞，上是递增函数， 337721( 2.1)()10-=-，33775( 2.2)()11--=-，3377( 2.1)( 2.2)--<-，对，D 选项，43y x =在[0)+∞，上是递增函数， 443311()()22-=，443311()()23>，443311()()23->，错，故选：C ． 24．C 【详解】()f x x =的定义域为[)0,+∞，且在[)0,+∞单调递增，所以(1)(102)f a f a +<-可化为：1010201102a a a a +≥⎧⎪-≥⎨⎪+<-⎩，解得：13x -≤<. 故a 的取值范围是[1,3)-. 故选：C 25．B【详解】对于幂函数13y x -=，因为103-< ，所以13y x -=在第一象限单调递减， 根据幂函数的性质可知：在直线1x =的左侧，幂函数的指数越大越接近y 轴 ，因为113->-，所以13y x -=的图象比1y x -=的图象更接近y 轴 ，所以进过第IV 卦限， 在直线1x =的右侧，幂函数的指数越小越接近x 轴，因为1103-<-<， 所以13y x -=的图象位于1y x -=和1y =之间，所以经过VIII 卦限，所有函数13y x -=的图象在第一象限中经过的“卦限”是IV,VIII ， 故选：B 26．A 【详解】解：幂函数2266()(33)m m f x m m x -+=-+在(0,)+∞上单调递增，2331m m ∴-+=，且2660m m -+>，解2331m m -+=得1m =或2m =，当1m =时26610m m -+=>符合题意； 当2m =时26620m m -+=-<不符合题意； 故选：A ． 27．B 【详解】解：对于A 选项，()()f x x x f x -=--=-=，为偶函数，故错误；对于B 选项，()()()()33f x x x x x f x -=----=+=-，为奇函数，且函数3,y x y x =-=-均为减函数，故3()y x x x R =--∈为减函数，故正确； 对于C 选项，指数函数没有奇偶性，故错误；对于D 选项，函数为奇函数，在定义域上没有单调性，故错误.故选：B28．B【详解】解：因为点(,8)m 在幂函数()(1)n f x m x =-的图象上，所以11m -=，即2m =，()()228n f m f ===，所以3n =， 故()32g x x x =-+-，[]2,3x ∈， ()()22()12321256g x x x x x =+--=+-+-， 因为[]2,3x ∈，所以21560,4x x ⎡⎤-+-∈⎢⎥⎣⎦， 所以[]2()1,2g x ∈， 所以函数()g x n x x m =-+-的值域为1,2⎡⎤⎣⎦.故选：B.29．C【详解】 解：由图知：①表示y x =，②表示y x =，③表示2y x =，④表示3y x =.故选：C.30．D【详解】由题意得：2331m m -+=，得1m =或2m =当1m =时，2()f x x =图象关于y 轴对称，不成立；当2m =时，3()f x x =是奇函数，成立；所以不等式转化为22(1)(32)a a +>-，即231480a a -+<，解得243a <<.故选：D31．C【详解】 由11,,1,2,32α⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，由()f x x α=的图像经过()1,1--，则α的值为11,3-，，此时()f x x α=为奇函数. 又当()f x x α=为奇函数时，则α的值为11,3-，，此时()f x x α=的图象经过()1,1--. 所以“()f x x α=的图象经过()1,1--”是“()f x x α=为奇函数”的充要条件故选：C32．C【详解】在同一坐标系中画出函数3y x =和5y x =的图像，如图所示：数形结合可知，在（1）处1a b <<-；在（2）处10b a -<<<；在（3）处01a b <<<； 在（4）处1b a <<；在1a b ==或1a b ==-也满足，故①②⑤对故选：C.33．D【详解】由1a y ax b =-+-是幂函数，知：1,1a b =-=，又(,)a b 在20mx ny -+=上，∴2m n +=，即20n m =->，则1341111n m m m m +-==-+++且02m <<， ∴11(,3)13n m +∈+. 故选：D.34．CD【详解】对于A 选项，1y x =，在(,0)-∞和(0,)+∞上递减，不能说在定义域上递减，故A 选项错误．对于B 选项，0y x =，0x ≠，图像是：直线1y =并且除掉点(0,1)，故B 选项错误． 对于C 选项，2y x =，定义域为R ，是偶函数，所以C 选项正确．对于D 选项，3y x =，函数在其定义域上是增函数，所以D 选项正确．故选：CD35．BC【详解】由()21m m y m x -=-为幂函数，得11m -=，即m =2，则该函数为2y x =，故该函数为偶函数，且在区间()0,∞+上是增函数，故选：BC .36．BC【详解】因为223()(1)m m f x m m x +-=--为幂函数，所以211m m --=，解得：m =2或m =-1.因为任意12,(0,)x x ∈+∞，且12x x ≠，都满足1212()()0f x f x x x ->-， 不妨设12x x >，则有12())0(f x f x ->，所以()y f x =为增函数，所以m =2，此时3()f x x =因为()33()()f x x x f x -=-=-=-，所以3()f x x =为奇函数.因为,a b ∈R 且()()0f a f b +<，所以()()f a f b <-.因为()y f x =为增函数，所以a b <-，所以0a b +<.故BC 正确.故选：BC37．ACD【详解】 因为函数是幂函数，所以915m +=，得45m =-，即()45f x x -=， ()()()45451322216f --⎡⎤-=-=-=⎣⎦，故A 正确；函数的定义域是{}0x x ≠，故B 不正确； ()()f x f x -=，所以函数是偶函数，故C 正确；函数()45f x x -=在()0,∞+是减函数，不等式()()12f x f -≥等价于12x -≤，解得：212x -≤-≤，且10x -≠，得13x -≤≤，且1x ≠，即不等式的解集是[)(]1,11,3-，故D 正确.故选：ACD38．BCD【详解】对于①对于定义域内的任意x ，恒有()()0f x f x +-=，即()()f x f x -=-，所以()f x 是奇函数；对于②对于定义域内的任意1x ，2x ，当12x x ≠时，恒有()()12120f x f x x x -<-， ()f x 在定义域内是减函数； 对于A ：()2121x f x x -=+，()113f =，()13f -=，故不是奇函数，所以不是“理想函数”； 对于 B ：()3f x x =-是奇函数，且是减函数，所以是“理想函数”；对于C ：()f x x =-是奇函数，并且在R 上是减函数，所以是“理想函数”；对于D ：()22,0,0x x f x x x x x ⎧-≥==-⎨<⎩，()||()f x x x f x -==-， 所以()22,0,0x x f x x x ⎧-≥=⎨<⎩是奇函数； 根据二次函数的单调性，()f x 在(,0)-∞，(0,)+∞都是减函数，且在0x =处连续，所以()22,0,0x x f x x x ⎧-≥=⎨<⎩在R 上是减函数， 所以是“理想函数”.故选：BCD.39．5【详解】设()f x x α=，则()12222f αα==⇒=， 所以()(),55f x x f ==. 故答案为：540．()22-，【详解】设幂函数()y f x x α==，其图象过点18,2⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以182α=，即3122α-=，解得：13α=-，所以()13f x x -=， 因为()()()13f x x f x --=-=-，所以()13f x x -=为奇函数，且在()0-∞，和()0+∞，上单调递减， 所以()()2150f a f ++->可化为()()()2155f a f f +>--=， 可得215a +<，解得：22a -<<，所以a 的范围为()22-，， 故答案为：()22-，． 41．()4,-+∞【详解】 解：因为幂函数13y x =在R 上为增函数，()()1133312a a -<+， 所以312a a -<+，解得4a >-，所以不等式的解集为()4,-+∞，故答案为：()4,-+∞42．{}1,1,3-【详解】由幂函数()f x 与x 轴及y 轴均无交点，得2230m m -≤-，解得13m -≤≤，又m Z ∈，即{}1,0,1,2,3m ∈-，()223()m m f x x m Z --=∈的图像关于y 轴对称， 即函数为偶函数，故223m m --为偶数， 所以{}1,1,3m ∈-，故答案为：{}1,1,3-.43．1-【详解】由题意知，幂函数()k f x x =在(0)+∞，上单调递减， 则k 为负数，则k =-2，-1，12-，又由函数()k f x x =为奇函数，则k =-1，故答案为：-144．-6【详解】因为()()21212223m f x m m x n -=+-+-是幂函数，所以22221,10,230,m m m n ⎧+-=⎪-≠⎨⎪-=⎩，解得3,3,2m n =-⎧⎪⎨=⎪⎩， 所以323262m n -=--⨯=-．45．（1）()2f x x =；（2）存在，2b =±. 解：因为函数()()()()1221a a f x a a x -+=--是幂函数，所以211a a --=，解得2a =或1a =-，当2a =时，()4f x x -=，则()()12f f >，故不符题意，当1a =-时，()2f x x =，则()()12f f <，符合题意，所以()2f x x =；（2）由（1）得 ()()()22232233g x f x bx x bx x b b =-+=-++=--++， 函数图像开口向下，对称轴为：x b =，当1b ≤-时，函数()g x 在区间[]1,1-上递减，则()()11236max g x g b =-=--+=，解得2b =-，符合题意； 当1b ≥时，函数()g x 在区间[]1,1-上递增，则()()11236max g x g b ==-++=，解得2b =，符合题意；当11b -<<时，()()22236max g x g b b b ==-++=，解得3b =±，不符题意， 综上所述，存在实数2b =±满足题意.46．（1）1m =-；（2）32,,123⎛⎫⎛⎫-∞-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【详解】解：（1）()f x 是幂函数，2221m m ∴--=，解得：3m =或1m =-， 3m =时，()13f x x =在(0,)+∞上单调递增，1m =-时，()1f x x=在(0,)+∞递减， 故1m =-；（2）若实数a 满足条件()()132f a f a ->+，则10320a a ->⎧⎨+<⎩或10320132a a a a ->⎧⎪+>⎨⎪-<+⎩或10320132a a a a-<⎧⎪+<⎨⎪-<+⎩，解得：32a <-或213a -<<，故a 的取值范围是32,,123⎛⎫⎛⎫-∞-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 47．（1）2()f x x =；（2）(1,1)-；（3）2．【详解】（1）()f x 是幂函数，则2221m m -+=，1m =，又()f x 是偶函数，所以23(3)k k k k -=-是偶数，()f x 在(0,)+∞上单调递增，则230k k ->，03k <<，所以1k =或2． 所以2()f x x =；（2）由（1）偶函数()f x 在[0,)+∞上递增， (21)(2)f x f x -<-22(21)(2)212f x f x x x ⇔-<-⇔-<-11x ⇔-<<． 所以x 的范围是(1,1)-．（3）由（1）237a b +=，2(1)3(1)12a b +++=，0,0a b >>， []3213219(1)2(1)2(1)3(1)121112111211b a a b a b a b a b ++⎛⎫⎛⎫+=++++=++ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭ 19(1)4(1)12221211b a a b ⎛⎫++≥+⨯= ⎪ ⎪++⎝⎭，当且仅当9(1)4(1)11b a a b ++=++，即2,1a b ==时等号成立． 所以3211a b +++的最小值是2．。

突破15 幂函数重难突破一、基础知识【知识点一、幂函数】 1．幂函数的概念一般地，函数(y x αα=是常数）叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数．2．幂函数的结构特征幂函数的解析式是一个幂的形式，且需满足： （1）指数为常数； （2）底数为自变量； （3）系数为1．3．幂函数与指数函数的区别与联系函数 解析式相同点不同点指数函数 (0,1)x y a a a =>≠且右边都是幂的形式指数是自变量，底数是常数幂函数()y x αα=∈R底数是_______，指数是_______【知识点二、幂函数的图象与性质】 1．几个常见幂函数的图象与性质函数y x =2y x =3y x =12y x =1y x=图象定义域 R R R [0,)+∞ {|0}x x ≠ 值域 R[0,)+∞R[0,)+∞{|0}y y ≠奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性 在R 上单调递增在(,0)-∞上单调递减；在[0,)+∞上单调递增在R 上单调递增在[0,)+∞上单调递增在(,0)-∞和(0,)+∞上单调递减 过定点过定点(0,0),(1,1)过定点(1,1)【注】幂函数(y x αα=是常数）中，α的取值不一样，对应的幂函数的定义域不一样．注意α是正分数或负分数（正整数或负整数）时的不同．2．幂函数(y x αα=是常数）的指数对图象的影响（1）当_______时，函数图象与坐标轴没有交点，类似于1y x -=的图象，且在第一象限内，逆时针方向指数在增大；（2）当_______时，函数图象向x 轴弯曲，类似于y x =的图象；（3）当_______时，函数图象向y 轴弯曲，类似于2y x =的图象，而且逆时针方向指数在增大．具体如下：αα>10<α<1α<0图象特殊点 过（0，0），（1，1） 过（0，0），（1，1）过（1，1） 凹凸性 下凸 上凸 下凸 单调性 递增 递增递减举例y =x 212y x =1y x -=、12y x -=3．常用结论（1）幂函数在_______ 上都有定义． （2）幂函数的图象均过定点_______．（3）当0α>时，幂函数的图象均过定点(0,0),(1,1)，且在(0,)+∞上单调_______． （4）当0α<时，幂函数的图象均过定点(1,1)，且在(0,)+∞上单调_______． （5）幂函数在第四象限无图象．知识参考答案： 一、3．自变量常数二、2．（1）0α< （2）01α<< （3）1α> 3．（1） (0,)+∞（2） (1,1)（3） 递增（4） 递减二、题型分析1．K 重点——幂函数的定义判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y x α=（α是常数）的形式，即满足：（1）指数为常数；（2）底数为自变量；（3）系数为1． 【例1】已知幂函数()f x 的图象过点（2， 41），试求该函数的解析式． 【答案】2y x -=．【名师点睛】虽然幂函数y x α=（α是常数）和指数函数(0,1)xy a a a =>≠都具有幂的形式，但幂函数以幂的底数x 为自变量，指数α为常数；指数函数以幂的底数a 为常数，指数x 为自变量．当遇到一个有关幂的形式的问题时，要先看自变量所在的位置，然后决定是用幂函数的知识解决，还是用指数函数的知识解决．【变式训练1】（2019春•闵行区校级月考）已知函数()f x 是幂函数，且2f （4）(16)f =，则()f x 的解析式是 ．【分析】设f （x ）＝x α，根据条件建立方程求出α的值即可． 【答案】解：设f （x ）＝x α， ∵2f （4）＝f （16）， ∴2×4α＝16α，即＝2，则4α＝2，α＝，即f （x ）＝x ， 故答案为：f （x ）＝x【点睛】本题主要考查幂函数解析式的求解，利用待定系数法建立方程是解决本题的关键．【变式训练2】（2018秋•道里区校级月考）已知幂函数2242()(1)m m f x m x --=+在(0,)+∞上单调递减，则函数()f x 的解析式为 ．【分析】利用幂函数的性质直接求解． 【答案】解：∵幂函数f （x ）＝（m +1）2在（0，+∞）上单调递减，∴，解得m ＝0，∴函数f （x ）的解析式为f （x ）＝x ﹣2．故答案为：f （x ）＝x ﹣2．【点睛】本题考查函数解析式的求法，考查幂函数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．【变式训练3】已知幂函数22(29)()(919)()m m f x m m x m Z --=-+∈的图象不过原点，则()f x 的解析式为 ．【分析】由幂函数f （x ）＝（m 2﹣9m +19）（m ∈Z ）的图象不过原点，列举方程组，求出m ，由此能求出f （x ）的解析式．【答案】解：∵幂函数f （x ）＝（m 2﹣9m +19）（m ∈Z ）的图象不过原点，∴，解得m ＝3，∴f （x ）＝x ﹣6．故答案为：f （x ）＝x ﹣6．【点睛】本题考查函数的解析式的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 2．幂函数的图象要牢记幂函数的图象，并能灵活运用．由幂函数的图象，我们知道：（1）当α的值在（0，1）上时，幂函数中指数越大，函数图象越接近x 轴（简记为“指大图低”）；当α的值在（1，+∞）上时，幂函数中指数越大，函数图象越远离x 轴．（2）任何幂函数的图象与坐标轴最多只有一个交点（原点）；任何幂函数的图象都不经过第四象限． 【例2】已知函数ay x =，by x =，cy x =的图象如图所示，则实数,,a b c 的大小关系为A ．c b a <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c a b <<【答案】A【名师点睛】本题也可采用特殊值法，如取2x =，结合图象可知222a b c >>，又函数2xy =是增函数，于是a b c >>．【变式训练1】（2019秋•涪城区校级月考）幂函数a y x =，b y x =，c y x =的图象如图所示，则实数a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a b c >>B ．c b a >>C ．a c b >>D ．b a c >>【分析】利用幂函数图象和单调性即可得出．【答案】解：由幂函数图象和单调性可知：a ＞1，0＜b ＜1，c ＜0． ∴a ＞b ＞c ．故选：A ．【点睛】本题考查了幂函数图象和单调性，属于基础题．【变式训练2】已知幂函数n y x =，m y x =，p y x =的图象如图，则( )A ．m n p >>B ．m p n >>C ．n p m >>D ．p n m >>【分析】根据幂函数的图象特征：在区间（1，+∞）上，幂函数的指数越大，图象越远离x 轴，结合图象即可得到答案．【答案】解：因为在区间（1，+∞）上，幂函数的指数越大，图象越远离x 轴， 所以由图象可得：n ＞p ＞m ，故选：C ．【点睛】本题考查幂函数图象的特征，以及数形结合思想，属于基础题． 【变式训练3】（2019•开福区校级模拟）如图，函数1y x=、y x =、1y =的图象和直线1x =将平面直 角坐标系的第一象限分成八个部分：①②③④⑤⑥⑦⑧．则函数1y x=的图象经过的部分是( )A ．④⑦B ．④⑧C ．③⑦D ．③⑧【分析】根据幂函数的图象和性质即可得到结论． 【答案】解：∵y ＝＝，幂指数，∴函数在第一象限内单调递减， 当x ＞1时，函数y ＝x a 为增函数，则此时＞x ﹣1，即函数y ＝的图象经过的部分是④⑧，故选：B ．【点睛】本题主要考查幂函数的图象和性质，根据幂函数的性质和指数函数的性质是解决本题的关键． 3．幂函数性质的应用（1）幂函数的单调性主要用来比较指数相同、底数不同的幂的值的大小，这时需要注意幂函数的定义域和利用幂函数的奇偶性进行转化；（2）与幂函数有关的综合性问题一般是利用单调性、奇偶性以及函数图象求函数值域、不等式解集等． 【例3】如图，幂函数()37m y xm -=∈N 的图象关于y 轴对称，且与x 轴，y 轴均无交点，求此函数的解析式及不等式(2)16f x +<的解集．【答案】函数的解析式是4y x -=，不等式的解集为53(,)(,)22-∞--+∞．【名师点睛】解决与幂函数有关的综合性问题时，一定要考虑幂函数的概念．对于幂函数y x α=（α是常数），由于α的取值不同，所以相应幂函数的单调性和奇偶性也不同．4．幂函数单调性的应用（1）注意利用幂函数的性质比较幂值大小的方法步骤． 第一步，根据指数分清正负；第二步，正数区分大于1与小于1的情况，a >1，α>0时，a α>1；0<a <1，α>0时，0<a α<1；a >1，α<0时，0<a α<1；0<a <1，α<0时，a α>1；第三步，构造幂函数应用幂函数单调性，特别注意含字母时，要注意底数不在同一单调区间内的情形． （2）给定一组数值，比较大小的步骤．第一步：区分正负．一种情形是幂函数或指数函数值即幂式确定符号；另一种情形是对数式确定符号，要根据各自的性质进行．第二步：正数通常还要区分大于1还是小于1．第三步：同底的幂，用指数函数单调性；同指数的幂用幂函数单调性；同底的对数用对数函数单调性． 第四步：对于底数与指数均不相同的幂，或底数与真数均不相同的对数值大小的比较，通常是找一中间值过渡或化同底（化同指）、或放缩、有时作商（或作差）、或指对互化，对数式有时还用换底公式作变换等等．【例4】设525352)52(,)52(,)53(===c b a ，则c b a ,,的大小关系是A ．a >c >bB ．a >b >cC ．c >a >bD ．b >c >a【答案】A【名师点睛】同底数的两个数比较大小，考虑用指数函数的单调性；同指数的两个数比较大小，考虑用幂函数的单调性，有时需要取中间量．【变式训练1】（2019秋•武邑县校级期中）若120.5a =，130.5b =，140.5c =，则a ，b ，c 的大小关系为()A ．a b c >>B ．a b c <<C ．a c b <<D ．a c b >>【分析】利用指数函数的单调性进行判断．【答案】解：构造函数f （x ）＝0.5x ，因为函数f （x ）＝0.5x ，为单调递减函数．且，所以，即，所以a ＜b ＜c ．故选：B ．【点睛】本题主要考查指数幂的大小比较，构造指数函数利用指数函数的单调性是解决本题的关键． 【变式训练2】（2019秋•开封校级期中）下列大小关系，正确的是( ) A ． 3.3 4.50.990.99< B ．23log 0.8log π< C ． 5.2 5.20.530.35<D ．0.3 3.11.70.9<【分析】结合函数y ＝0.99x ，y ＝x 5.2，等指数函数、对数函数和幂函数的单调性判断各函数值的大小或与0和1的大小，从而比较大小．【答案】解：对于A ：考察指数函数y ＝0.99x ，由于0.99＜1，故它在R 上是减函数， ∵3.3＜4.5，∴0.993.3＞0.994.5 故A 错；对于B ：考察对数函数log 2x ，由于2＞1，故它在（0，+∞）上是增函数， ∴log 20.8＜log 21＝0，而log 3π＞log 31＝0，∴log 20.8＜log 3π 故B 正确；对于C ：考察幂函数y ＝x 5.2，由于5.2＞0，故它在（0，+∞）上是增函数， ∵0.53＞0.35，∴0.535.2＞0.355.2故C 错；对于D ：考考察指数函数y ＝1.7x ，由于1.7＞1，故它在R 上是增函数， ∴1.70.3＞1.70＝1，考考察指数函数y ＝0.9x ，由于0.9＜1，故它在R 上是减函数， 0.93.1＜0.90＝1，故1.70.3＞0.93.1故D 错； 故选：B ．【点睛】本题是幂函数、指数函数与对数函数的单调性的简单应用，在比较指数（对数）式的大小时，若是同底的，一般直接借助于指数（对数）函数的单调性，若不同底数，也不同指（真）数，一般与1（0）比较大小．【变式训练3已知432a =，254b =，1325c =，则( ) A ．b a c << B ．a b c << C ．b c a <<D ．c a b <<【分析】a ＝＝，b ＝，c ＝＝，结合幂函数的单调性，可比较a ，b ，c ，进而得到答案．【答案】解：∵a ＝＝， b ＝＝（22）＝＜＜a ， c ＝＝＞＝＝a ，综上可得：b ＜a ＜c ， 故选：A ．【点睛】本题考查的知识点是指数函数的单调性，幂函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．【变式训练4】（2019秋•青阳县校级期中）若221333111(),(),()252a b c ===，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．a b c <<B ．c a b <<C ．b c a <<D ．b a c <<【分析】由在第一象限内是增函数，知．由是减函数，知．由此可知a 、b 、c 的大小关系．【答案】解：∵在第一象限内是增函数，∴，∵是减函数，∴，所以b ＜a ＜c ． 故选：D ．【点睛】本题考查指数函数和幂函数的性质及其应用，解题时要合理运用指数函数和对数函数的单调性． 5．求出参数后，忽略检验致错【例5】已知幂函数13()n y x n *-=∈N 的定义域为(0,)+∞，且单调递减，则n =_______． 【错解】因为幂函数13()n y xn *-=∈N 的定义域为(0,)+∞，且单调递减，所以103n <-，解得3n <．又因为n *∈N ，所以1n =或2．【错因分析】错解中对求出的n 的值没有代回题目中进行检验，造成多解．【正解】因为幂函数13()n y x n *-=∈N 的定义域为(0,)+∞，且单调递减，所以103n <-，解得3n <．又因为n *∈N ，所以1n =或2．当1n =时，12y x -=，其定义域为(0,)+∞，且函数单调递减，符合题意； 当2n =时，1y x -=，其定义域是{|0}x x ≠，不符合题意，舍去．综上，得1n =．【名师点睛】根据题目条件及幂函数的定义求出参数的值后，一定要把参数的值代回题目中进行检验，看是否满足题意，否则容易造成多解或错解．【变式训练1】（2019秋•葫芦岛期末）幂函数2()(1)m g x m m x =--的图象关于y 轴对称． （1）求()g x 的解析式；（2）若函数()()21f x g x ax =-+在[1x ∈-，2]上单调递增，求a 的取值范围．【分析】（1）由幂函数g （x ）＝（m 2﹣m ﹣1）x m 的图象关于y 轴对称，列出方程组，能求出m ． （2）由函数f （x ）＝g （x ）﹣2ax +1＝x 2﹣2ax +1，其对称轴为x ＝a 在x ∈[﹣1，2]上单调递增，能求出a 的取值范围．【答案】解：（1）幂函数g （x ）＝（m 2﹣m ﹣1）x m 的图象关于y 轴对称， ∴，解得m ＝2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）函数f （x ）＝g （x ）﹣2ax +1＝x 2﹣2ax +1， 其对称轴为x ＝a 在x ∈[﹣1，2]上单调递增， ∴a ≤﹣1，故a 的取值范围是（﹣∞，﹣1]．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）【点睛】本题考查函数的解析式的求法，考查实数的取值范围的求法，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．【变式训练1】（2019秋•连江县校级期中）已知幂函数93*()()m f x x m N -=∈的图象关于原点对称，且在R 上单调递增．（1）求()f x 表达式；（2）求满足(1)(34)0f a f a ++-<的a 的取值范围．【分析】（1）由题意可得9﹣3m ＞0，解不等式可得m 的整数解，结合题意可得m ，即有函数的解析式； （2）由（1）可得奇函数f （x ）在R 上单调递增，原不等式可化为a +1＜4﹣3a ，解不等式即可得到所求范围．【答案】解：（1）幂函数f （x ）＝x 9﹣3m （m ∈N *）的图象关于原点对称， 且在R 上单调递增， 可得9﹣3m ＞0， 解得m ＜3，m ∈N *， 可得m ＝1，2，若m ＝1，则f （x ）＝x 6的图象不关于原点对称，舍去； 若m ＝2，则f （x ）＝x 3的图象关于原点对称， 且在R 上单调递增，成立． 则f （x ）＝x 3；（2）由（1）可得奇函数f （x ）在R 上单调递增， f （a +1）+f （3a ﹣4）＜0，可得f （a +1）＜﹣f （3a ﹣4）＝f （4﹣3a ）， 即为a +1＜4﹣3a ， 解得a ＜．【点睛】本题考查幂函数的解析式的求法，以及函数的奇偶性和单调性的判断和运用：解不等式，考查运算能力，属于中档题．【变式训练2】（2019秋•静宁县校级期中）已知函数()f x 是幂函数，()f x 在(,0)-∞上是减函数，且3((2))8f f =（1）求函数()f x 的解析式（2）判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由（3）若函数23()[()]()g x f x ax a R -=-∈在[1，2]上的最小值为14-，求实数a 的值．【分析】（1）用待定系数法求得幂函数f （x ）的解析式； （2）根据奇偶性的定义判断函数f （x ）是定义域上的奇函数；（3）求出函数g （x ）的解析式，讨论a 的取值范围，利用g （x ）在区间[1，2]上的最小值求出a 的值． 【答案】解：（1）设幂函数f （x ）＝x α，α为常数；∴f（）＝＝，∴f（f（））＝＝8，∴＝3，解得α＝±3；又f（x）在（﹣∞，0）上是减函数，∴α＝﹣3，∴f（x）＝x﹣3；（2）函数f（x）＝x﹣3，定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）；任取x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），则f（﹣x）＝（﹣x）﹣3＝﹣x﹣3＝﹣f（x），∴函数f（x）是定义域（﹣∞，0）∪（0，+∞）的奇函数；（3）函数g（x）＝[f（x）]﹣ax＝x2﹣ax（a∈R）；则函数g（x）＝x2﹣ax的对称轴为x＝，当＜1，即a＜2时，函数g（x）在区间[1，2]上单调递增，g（x）的最小值为g（1）＝1﹣a＝﹣，解得a＝，满足题意；当1≤≤2，即2≤a≤4时，函数g（x）在区间[1，2]上的最小值为g（）＝﹣＝﹣a2＝﹣，解得a＝±1（不合题意，舍去）；当＞2，即a＞4时，函数g（x）在区间[1，2]上单调递减，g（x）的最小值为g（2）＝4﹣2a＝﹣，解得a＝（不合题意，舍去）；综上，a＝．【点睛】本题考查了幂函数的定义与应用问题，也考查了函数的奇偶性和单调性、最值的应用问题，是中档题．三、课后作业1．如果幂函数f（x）=xα的图象经过点139⎛⎫⎪⎝⎭，，则α=A ．–2B ．2C ．12-D ．12【答案】A2．若幂函数f （x ）的图象经过点（4，12），则f （14）的值是 A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】C【解析】设幂函数f （x ）=x α，其图象过点（4，12），∴4α=12，解得α=–12，∴f （x ）=12x -，∴f （14）=1214-⎛⎫⎪⎝⎭=2．故选C ．3．幂函数的图象经过点333⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，，则f （2）的值等于A ．4B ．14C ．2D ．22【答案】D【解析】幂函数f （x ）=x n的图象经过点333⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，可得3n =33，解得n =–12，则f （2）=21222-=，故选D ． 4．函数()21f x x=的单调递增区间为 A ．（–∞，0] B ．[0，+∞）C ．（0，+∞）D ．（–∞，0）【答案】D5．若幂函数y =f （x ）经过点333⎛ ⎝⎭，，则此函数在定义域上是A ．增函数B ．减函数C ．偶函数D ．奇函数【答案】B【解析】幂函数y =f （x ）是经过点3⎛ ⎝⎭，设幂函数为y =x α，将点代入可得3α，得到12α=-，此时函数12y x -=是（0，+∞）的减函数．故选B ．6．若函数f （x ）=（m 2–m –1）x m 是幂函数，且图象与坐标轴无交点，则f （x ） A ．是偶函数B ．是奇函数C ．是单调递减函数D ．在定义域内有最小值【答案】B【解析】幂函数f （x ）=（m 2–m –1）x m 的图象与坐标轴无交点，可得m 2–m –1=1，且m ≤0，解得m =–1，则函数f （x ）=x –1．是奇函数，在定义域上不是减函数，且无最值．故选B ．7．幂函数f （x ）=x α的图象经过点(3，则实数α=___________． 【答案】12【解析】∵幂函数f （x ）=x a 的图象经过点（3），∴（3）a a =12，故答案为：12． 8．幂函数y =f （x ）的图象经过点144⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则14f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为___________． 【答案】4【解析】根据题意，设幂函数f （x ）=x a ，幂函数y =f （x ）的图象经过点144⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则有14=4a，则a =–1，则f （x ）=x –1，14f ⎛⎫⎪⎝⎭=（14）–1=4；故答案为：4． 9．已知幂函数f （x ）经过点（2，8），则f （3）=___________． 【答案】27【解析】设f （x ）=x n ，由题意可得2n =8，解得n =3，则f （x ）=x 3，f （3）=33=27，故答案为：27． 10．函数()322(6)f x x x =--的单调递减区间为A ．122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，B ．132⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，C ．12⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，D ．12⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦，【答案】A【解析】由题意，得26012x xx⎧--≥⎪⎨-≥-⎪-⎩，解得–12≤x≤2，故选A．11．已知点18a⎛⎫⎪⎝⎭，在幂函数f（x）=（a–1）x b的图象上，则函数f（x）是A．定义域内的减函数B．奇函数C．偶函数D．定义域内的增函数【答案】B【解析】点（a，18）在幂函数f（x）=（a–1）x b的图象上，∴a–1=1，解得a=2，故2b=18，解得b=–3，∴f（x）=x–3，∴函数f（x）是定义域上的奇函数，且在每一个区间内是减函数．故选B．12．已知点（a，12）在幂函数f（x）=（a–1）x b的图象上，则函数f（x）是A．奇函数B．偶函数C．定义域内的减函数D．定义域内的增函数【答案】A【解析】点12a⎛⎫⎪⎝⎭，在幂函数f（x）=（a–1）x b的图象上，∴a–1=1，解得a=2，又2b=12，解得b=–1，∴f（x）=x–1，∴函数f（x）是定义域上的奇函数，且在每一个区间内是减函数．故选A．学科&网13．已知幂函数f（x）=x a的图象经过函数g（x）=a x–2–12（a>0且a≠1）的图象所过的定点，则幂函数f（x）不具有的特性是A．在定义域内有单调递减区间B．图象过定点（1，1）C．是奇函数D．其定义域是R【答案】D14．若函数f（x）=（m+2）x a是幂函数，且其图象过点（2，4），则函数g（x）=log a（x+m）的单调增区间为A ．（–2，+∞）B ．（1，+∞）C ．（–1，+∞）D ．（2，+∞）【答案】B【解析】由题意得：m +2=1，解得：m =–1，故f （x ）=x a ，将（2，4）代入函数的解析式得：2a =4，解得：a =2，故g （x ）=log a （x +m ）=log 2（x –1），令x –1>0，解得：x >1，故g （x ）在（1，+∞）递增，故选B ． 15．已知函数()12f x x=，则A ．存在x 0∈R ，使得f （x ）<0B ．对于任意x ∈[0，+∞），f （x ）≥0C ．存在x 1，x 2∈[0，+∞），使得()()12120f x f x x x -<-D ．对于任意x 1∈[0，+∞），∃x 2∈[0，+∞）使得f （x 1）>f （x 2） 【答案】B【解析】由函数()12f x x=，知，在A 中，f （x ）≥0恒成立，故A 错误；在B 中，∀x [（0，+∞），f （x ）≥0，故B 正确；在C 中，∃x 1，x 2∈[0，+∞），使得()()1212f x f x x x -->0，故C 错误；在D 中，当x 1=0时，不存在x 2∈[0，+∞）使得f （x 1）>f （x 2），故D 不成立．故选B ． 16．已知幂函数()22422m my m m x +=--的图象关于原点对称且与x 轴、y 轴均无交点，则整数m 的值为___________． 【答案】–1【解析】()22422m my m m x+=--为幂函数，∴m 2–2m –2=1，解得m =–1或m =3；当m =–1时，函数y =x –3的图象关于原点对称且与x 轴、y 轴均无交点，当m =3时，函数y =x 21的图象关于原点对称，与x 轴、y 轴有交点，综上整数m 的值为–1．故答案为：–1．17．幂函数f （x ）=（t 3–t +1）x 3t +1是奇函数，则f （2）=___________． 【答案】2【解析】函数f （x ）=（t 3–t +1）x 3t +1是幂函数，∴t 3–t +1=1，解得t =0或t =±1；当t =0时，f （x ）=x 是奇函数，满足题意；当t =1时，f （x ）=x 4是偶函数，不满足题意；当t =–1时，f （x ）=x –2是偶函数，不满足题意．综上，f （x ）=x ；∴f （2）=2．故答案为：2．18．已知33255()(3)m m m +≤-，求实数m 的取值范围． 【答案】m ∈[–3，1]19．已知幂函数f （x ）=x 21()mm -+（m ∈N *）的图象经过点(22，．（1）试求m 的值，并写出该幂函数的解析式；（2）试求满足f （1+a ）>f （3a a 的取值范围． 【答案】（1）m =1，f （x ）x x ∈[0，+∞）；（2）（1，9]． 【解析】（1）∵幂函数f （x ）的图象经过点(22，， 21()22mm -+=，即m 2+m =2，解得m =1或m =–2， ∵m ∈N *，故m =1，故f （x ）x ，x ∈[0，+∞）； （2）∵f （x ）在[0，+∞）递增， 由f （1+a ）>f （3a得103013a a a a+≥⎧⎪≥⎨⎪+>⎩， 解得1<a ≤9，故a 的范围是（1，9]．20．已知幂函数f （x ）=（m 3–m +1）x ()21182m m --的图象与x 轴和y 轴都无交点．（1）求f （x ）的解析式；（2）解不等式f（x+1）>f（x–2）．【答案】（1）f（x）=x–4；（2）{x|x<12，x≠0}．【解析】（1）因为f（x）是幂函数，所以m3–m+1=1，解得m∈{0，±1}，又f（x）的图象与x轴和y轴都无交点，经检验只有当m=1时符合题意，此时f（x）=x–4；（2）f（x）=x–4是偶函数且在（0，+∞）递减，所以要使f（x+1）>f（x–2）成立，学科&网只需|x+1|<|x–2|，解得x<12，又f（x）的定义域为{x|x≠0}，所以不等式的解集为{x|x<12，x≠0}．21．已知f（x）=（m2–m–1）x–5m–1是幂函数，且在区间（0，+∞）上单调递增．（1）求m的值；（2）解不等式f（x–2）>16．【答案】（1）m=–1；（2）x>4或x<0．22．已知幂函数f（x）=xα（α∈R），且1222f⎛⎫=⎪⎝⎭．（1）求函数f（x）的解析式；（2）证明函数f（x）在定义域上是增函数．【答案】（1）()f x x =；（2）证明详见解析．【解析】（1）由12()22α=，得12α=，所以()f x x =；（2）函数f （x ）的定义域是[0，+∞）， 设任意的x 2>x 1≥0，则()()21212121x x f x f x x x x x --=-=+，∵212100x x x x -+＞，＞， ∴f （x 2）>f （x 1），函数f （x ）在定义域上是增函数．23．（2018•上海）已知α∈{–2，–1，–1122，，1，2，3}，若幂函数f （x ）=x α为奇函数，且在（0，+∞）上递减，则α=__________． 【答案】–1。

考点06二次函数与幂函数【命题趋势】此知识点也是高考中的常考知识点，注意：（1）了解幂函数的概念.（2）结合函数12321,,,y x y x y x y y x x=====的图象，了解它们的变化情况.【重要考向】一、求二次函数和幂函数的解析式二、幂函数的图像与性质的应用三、二次函数的图像与性质的应用二次函数与幂函数的解析式1．幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如y ＝x α的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数．(2)常见的五种幂函数的图象和性质比较函数y ＝xy ＝x 2y ＝x 3y ＝12xy ＝x－1图象性质定义域R R R {x |x ≥0}{x |x ≠0}值域R {y |y ≥0}R {y |y ≥0}{y |y ≠0}奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在R 上单调递增在(－∞，0]上单调递减；在(0，＋∞)上单调递增在R 上单调递增在[0，＋∞)上单调递增在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减公共点(1,1)2．二次函数的概念形如2()(0)f x ax bx c a =++≠的函数叫做二次函数.3．表示形式(1)一般式：f (x )=ax 2＋bx ＋c (a ≠0).(2)顶点式：f (x )=a (x −h )2＋k (a ≠0)，其中(h ，k )为抛物线的顶点坐标.(3)两根式：f (x )=a (x −x 1)(x −x 2)(a ≠0)，其中x 1，x 2是抛物线与x 轴交点的横坐标.【巧学妙记】1.已知二次函数f (x )＝x 2－bx ＋c 满足f (0)＝3，对∀x ∈R ，都有f (1＋x )＝f (1－x )成立，则f (x )的解析式为________________．【答案】f (x )＝x 2－2x ＋3解析由f (0)＝3，得c ＝3，又f (1＋x )＝f (1－x )，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，∴b2＝1，∴b ＝2，∴f (x )＝x 2－2x ＋3.2.已知二次函数f (x )与x 轴的两个交点坐标为(0,0)和(－2,0)且有最小值－1，则f (x )＝________.【答案】x 2＋2x解析设函数的解析式为f (x )＝ax (x ＋2)(a ≠0)，所以f (x )＝ax 2＋2ax ，由4a ×0－4a 24a ＝－1，得a ＝1，所以f (x )＝x 2＋2x .3.若函数()f x 是幂函数，且满足()()432f f =，则12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．13B ．3C ．13-D ．−3【答案】A【解析】由题意可设()(f x x αα=为常数），因为满足()()432f f =，所以432αα=，所以2log 3α=，所以()2log 3f x x =，所以2log 311223f -⎛⎫== ⎪⎝⎭.故选A ．幂函数的图像与性质①α的正负：当α>0时，图象过原点，在第一象限的图象上升；当α<0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立．②幂函数的指数与图象特征的关系当α≠0，1时，幂函数y =x α在第一象限的图象特征如下：αα>10<α<1α<0图象特殊点过(0，0)，(1，1)过(0，0)，(1，1)过(1，1)凹凸性下凸上凸下凸单调性递增递增递减举例y =x 212y x =1y x -=、12y x-=【巧学妙记】4.若四个幂函数y ＝x a ，y ＝x b ，y ＝x c ，y ＝x d 在同一坐标系中的图象如图所示，则a ，b ，c ，d 的大小关系是()A ．d >c >b >aB ．a >b >c >dC ．d >c >a >bD ．a >b >d >c 【答案】B【解析】由幂函数的图象可知，在(0,1)上幂函数的指数越大，函数图象越接近x 轴，由题图知a >b >c >d ，故选B.5.已知幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)23n nx －(n ∈Z )的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为()A ．－3B ．1C ．2D ．1或2【答案】B【解析】由于f (x )为幂函数，所以n 2＋2n －2＝1，解得n ＝1或n ＝－3，经检验只有n ＝1符合题意，故选B.6.若(a＋1)13－<(3－2a)13－，则实数a的取值范围是____________．【答案】(－∞，－1)【解析】不等式(a＋1)13－<(3－2a)13－等价于a＋1>3－2a>0或3－2a<a＋1<0或a＋1<0<3－2a，解得a<－1或23<a<32.二次函数图像与性质的应用函数解析式2()(0)f x ax bx c a=++>2()(0)f x ax bx c a=++<图象(抛物线)定义域R值域24[,)4ac ba-+∞24(,]4ac ba--∞对称性函数图象关于直线2bxa=-对称顶点坐标24(,)24b ac ba a--奇偶性当b=0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数单调性在(,]2ba-∞-上是减函数；在[,)2ba-+∞上是增函数.在(,]2ba-∞-上是增函数；在[,)2ba-+∞上是减函数.最值当2bxa=-时，2min4()4ac bf xa-=当2bxa=-时，2max4()4ac bf xa-=【巧学妙记】7.一次函数y ＝ax ＋b (a ≠0)与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在同一坐标系中的图象大致是()【答案】C【解析】若a >0，则一次函数y ＝ax ＋b 为增函数，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向上，故可排除A ；若a <0，一次函数y ＝ax ＋b 为减函数，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向下，故可排除D ；对于选项B ，看直线可知a >0，b >0，从而－b2a<0，而二次函数的对称轴在y 轴的右侧，故应排除B ，选C.8.函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a 的取值范围是()A ．[－3,0)B ．(－∞，－3]C ．[－2,0]D ．[－3,0]【答案】D【解析】当a ＝0时，f (x )＝－3x ＋1在[－1，＋∞)上单调递减，满足题意．当a ≠0时，f (x )的对称轴为x ＝3－a2a，由f (x )在[－1，＋∞)－1，解得－3≤a <0.综上，a 的取值范围为[－3,0]．9.已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在区间[－1,2]上有最大值4，求实数a 的值．解f (x )＝a (x ＋1)2＋1－a .(1)当a ＝0时，函数f (x )在区间[－1,2]上的值为常数1，不符合题意，舍去；(2)当a >0时，函数f (x )在区间[－1,2]上是增函数，最大值为f (2)＝8a ＋1＝4，解得a ＝38；(3)当a <0时，函数f (x )在区间[－1,2]上是减函数，最大值为f (－1)＝1－a ＝4，解得a ＝－3.综上可知，a 的值为38或－3.10.已知二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1，若不等式f (x )>2x ＋m 在区间[－1,1]上恒成立，则实数m 的取值范围为____________．【答案】(－∞，－1)【解析】设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝1，得c ＝1，又f (x ＋1)－f (x )＝2x ，得2ax ＋a ＋b ＝2x ，所以a ＝1，b ＝－1，所以f (x )＝x 2－x ＋1.f (x )>2x ＋m 在区间[－1,1]上恒成立，即x 2－3x ＋1－m >0在[－1,1]上恒成立，令g (x )＝x 2－3x ＋1－m －54－m ，x ∈[－1,1]，g (x )在[－1,1]上单调递减，所以g (x )min ＝g (1)＝1－3＋1－m >0，所以m <－1.1.已知[1,1]a ∈-时不等式2(4)420x a x a +-+->恒成立，则x 的取值范围为（）A.(－∞，2)∪(3，＋∞)B.(－∞，1)∪(2，＋∞)C.(－∞，1)∪(3，＋∞)D.(1，3)2.设函数()21f x mx mx =--，若对于[]1,3x ∈，()2f x m >-+恒成立，则实数m 的取值范围（）A.()3,+∞ B.3,7⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C.(),3-∞ D.3,7⎛⎫+∞⎪⎝⎭3.已知函数2()2()f x x ax a R =-+∈在区间[1,+∞)上单调递增，则a 的取值范围为（）A.(2,+∞)B.[2,+∞)C.(－∞,2)D.(－∞,2]4.函数()22f x x ax =++在()3,+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是（）A.6a =- B.6a ≥- C.6a >- D.6a ≤-5.已知幂函数a y k x =⋅的图象过点(4,2)，则k a +等于（）A.32B.3C.12D.26.若幂函数f (x )的图象过点21,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则函数()()x f x g x e =的递增区间为（）A.()0,2 B.()(),02,-∞+∞ C.()2,0- D.()(),20,-∞-+∞ 7.若四个幂函数a y x =，b y x =，c y x =，d y x =在同一坐标系中的部分图象如图，则a 、b 、c 、d 的大小关系正确的是（）A.1a b >>B.1a b >>C.0b c>> D.0d c>>8.已知幂函数()y f x =的图象过点13(,)33，则3log (81)f 的值为（）A.12B.12-C.2D.2-9.（多选题）已知点2(1)A ，在函数()3f x ax =的图象上，则过点A 的曲线():C y f x =的切线方程是（）A.640x y --=B.470x y -+=C.470x y -+=D.3210x y -+=二、填空题10.已知函数()223f x x ax =-++在区间(),4-∞上是增函数，则实数a 的取值范围是______.11.已知直线1y =与曲线2y x x a =-+有四个交点，则a 的取值范围是___________.12.已知函数23()(1)m f x m m x +=+-是幂函数，且该函数是偶函数，则m 的值是____13.幂函数()24222m y m m x --=--在(0,+∞)上为增函数，则实数m =_______.14.已知幂函数223()()m m f x x m Z +-=∈是奇函数，且()51f <，则m 的值为___________.一、单选题1．（2013·浙江高考真题（文））已知a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若f (0)＝f （4）>f （1），则（）A ．a >0，4a ＋b ＝0B ．a <0，4a ＋b ＝0C ．a >0，2a ＋b ＝0D ．a <0，2a ＋b ＝02．（2007·湖南高考真题（文））函数244 1(){431x x f x x x x -≤=-+>，，的图象和函数2()log g x x =的图象的交点个数是A ．1B ．2C ．3D ．43．（2008·江西高考真题（文））已知函数2()2(4)4f x x m x m =+-+-，()g x mx =，若对于任一实数x ，()f x 与()g x 的值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是A ．[4,4]-B ．(4,4)-C ．(,4)-∞D ．(,4)-∞-4．（2011·上海高考真题（文））下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,)+∞上单调递减的函数为（）A ．2y x-=B ．1y x-=C ．2y x=D ．13y x=二、填空题5．（2017·北京高考真题（文））已知0x ≥,0y ≥,且1x y +=,则22x y +的取值范围是_____.6．（2012·山东高考真题（文））若函数()(0,1)x f x a a a =>≠在［－1，2］上的最大值为4，最小值为m ，且函数()(14g x m x =-在[0,)+∞上是增函数，则a ＝______.三、解答题7．（2014·辽宁高考真题（文））设函数()211f x x x =-+-，2()1681g x x x =-+，记()1f x ≤的解集为M ，()4g x ≤的解集为N.（1）求M ；（2）当x M N ∈⋂时，证明：221()[()]4x f x x f x +≤.一、单选题1．（2021·北京高三二模）下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递增的是（）A ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．1y x -=C ．2(1)y x =-D ．ln y x=2．（2021·新疆高三其他模拟（文））若实数m ，n 满足m n >，且0mn ≠，则下列选项正确的是（）A ．330m n ->B ．1122m n⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()lg 0m n ->D ．11m n<3．（2021·全国高三月考（文））已知()f x 为二次函数，且()()21f x x f x '=+-，则()f x =（）A ．221x x -+B ．221x x ++C ．2221x x -+D ．2221x x +-4．（2021·江西新余市·高三二模（文））已知a ，b 是区间[0,4]上的任意实数，则函数2()1f x ax bx =-+在[2,)+∞上单调递增的概率为（）A ．18B ．38C ．58D ．785．（2021·全国高一课时练习）已知函数()()2ln 23f x x x =--+，则()f x 的增区间为（）A ．（–∞，–1）B ．（–3，–1）C ．[–1，+∞）D ．[–1，1）6．（2021·安徽合肥市·合肥一中高三其他模拟（文））若120x x <<，则下列函数①()f x x =；②2()f x x =；③3()f x x =；④()f x x =；⑤1()f x x=满足条件()()()121221()022f x f x x x f x x ++>>的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．（2021·江西高三二模（文））设ln 2a =，0.1b =，0.1c =，则下列关系中正确的是（）A ．b a c>>B ．c b a>>C ．c a b>>D ．b c a>>8．（2021·江西高三其他模拟（文））已知函数1a y ax b =-+-是幂函数，直线20(0,0)mx ny m n -+=>>过点(,)a b ，则11n m ++的取值范围是（）A ．11,,333⎫⎫⎛⎛-∞⋃ ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭B ．(1,3)C ．1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,33⎛⎫ ⎪⎝⎭二、多选题9．（2021·全国高一课时练习）有如下命题，其中真命题的标号为（）A ．若幂函数()y f x =的图象过点12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()132f >B ．函数()(110x f x aa -=+>且)1a ≠的图象恒过定点()1,2C ．函数()21f x x =-在()0,∞+上单调递减D ．若函数()224f x x x =-+在区间[]0,m 上的最大值为4，最小值为3，则实数m 的取值范围是[]1,2三、填空题10．（2021·全国高一课时练习）已知偶函数()24a af x x -=在()0∞+，上是减函数，则整数a 的值是________．11．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中高二月考（文））已知2()31f x ax x =-+，若对任意的[1,1]a ∈-，总有()0f x ≥，则x 的范围是______．12．（2021·千阳县中学高三其他模拟（文））给出以下几个不等式：①0.30.70.40.1<；②45log 3log 4<；③131sin sin 223<；④16181816<．其中不等式中成立序号为______．四、解答题13．（2020·上海高一专题练习）幂函数273235()(1)t t f x t t x +-=-+是偶函数，且在(0,)+∞上为增函数，求函数解析式.参考答案跟踪训练1.【答案】：C 【分析】根据题意，转化为关于a 的函数()2(2)44f a x a x x =-+-+，得出()0f a >对于任意[1,1]a ∈-恒成立，即可求解.【详解】由题意，因为[1,1]a ∈-时不等式2(4)420x a x a +-+->恒成立，可转化为关于a 的函数()2(2)44f a x a x x =-+-+，则()0f a >对于任意[1,1]a ∈-恒成立，则满足()()2215601320f x x f x x ⎧-=-+>⎪⎨=-+>⎪⎩，解得1x <或3x >，即x 的取值范围为(,1)(3,)-∞+∞ .故选：C.【点睛】本题主要考查了不等式的恒成立问题，其中解答中根据条件转化为关于a 的函数，结合其图象特征，列出不等式组是解答的关键，着重考查转化思想，以及运算与求解能力.2.【答案】：A 【分析】由题意变量分离转为231m x x >-+在[]1,3x ∈上恒成立，只需2max31m x x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭->，求出最大值即可得到实数m 的取值范围.【详解】由题意，()2f x m >-+可得212mx mx m ->-+-，即()213m x x +>-，当[]1,3x ∈时，[]211,7x x -+∈，所以231m x x >-+在[]1,3x ∈上恒成立，只需2max31m x x ⎛⎫⎪+⎝⎭->，当1x =时21x x -+有最小值为1，则231x x -+有最大值为3，则3m >，实数m 的取值范围是()3,+∞，故选：A【点睛】本题考查不等式恒成立问题的解决方法，常用变量分离转为求函数的最值问题，属于基础题.3.【答案】：D 【分析】直接根据二次函数性质，由对称轴和区间的位置关系即可得解.【详解】依题意对称轴12ax =≤，解得2a ≤，故选：D ．【点睛】本题主要考查了二次函数的单调性，属于基础题.4.【答案】：B 【分析】根据函数()22f x x ax =++在()3,+∞上单调递增，则根据函数的图象知：对称轴必在x=3的左边，列出不等式求解即可．【详解】∵函数()22f x x ax =++在()3,+∞上单调递增，x=2a -∴32a-≤，即6a ≥-故选B【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的对称轴的求法与应用，属于基础题．5.【答案】：A 【分析】根据题意，由幂函数的定义可得1k =，将点(4,2)的坐标代入解析式，计算可得α的值，相加即可得答案．【详解】解：根据题意，函数y k x α=⋅为幂函数，则1k =，若其图象过点(4,2)，则有24α=，解可得12α=，则32k α+=；故选：A ．【点睛】本题考查幂函数的定义以及解析式的求法，注意幂函数解析式的形式，属于基础题．6.【答案】：A 【分析】设()f x x α=，代入点求出α，再求出()g x 的导数()g x '，令()0g x '>，即可求出()g x 的递增区间.【详解】设()f x x α=，代入点1,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则2122α⎛= ⎝⎭，解得2α=，()2x x g x e∴=，则()2222()x x x xx x xe x e g x e e --'==，令()0g x '>，解得02x <<，∴函数()g x 的递增区间为()0,2.故选：A.【点睛】本题考查待定系数法求幂函数解析式，考查利用导数求函数的单调区间，属于基础题.7.【答案】：B 【分析】根据幂函数的图象与性质，即可求解，得到答案.【详解】由幂函数的图象与性质，在第一象限内，在1x =的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数依次增大，可得100a b c d >>>>>>.故选：B.【点睛】本题主要考查了幂函数的图象与性质的应用，其中熟记幂函数在第一象限的图象与性质是解答的关键，属于基础题.8.【答案】：C 【分析】设幂函数的解析式为()()f x x R αα=∈，根据幂函数的图象过点13()33，求得()12f x x =，结合对数的运算性质，即可求解.【详解】由题意，设幂函数的解析式为()()f x x R αα=∈，根据幂函数的图象过点13()33，可得31(33α=，解得12α=，即()12f x x =，所以12333log (81)log 81log 92f ===.故选：C .9.【答案】AD 【分析】先根据点2(1)A ，在函数()3f x ax =的图象上，可求出a ，再设出切点()00,P x y ，求出在点P处的切线方程，然后根据点A 在切线上，即可解出．【详解】因为点2(1)A ，在函数()3f x ax =的图象上，所以2a =．设切点()00,P x y ，则由()32f x x =得，()26f x x '=，即206k x =，所以在点P 处的切线方程为：()3200026y x x x x -=-，即230064y x x x =-．而点2(1)A ，在切线上，∴2300264x x =-，即()()()()222000002111210x x x x x ---=-+=，解得01x =或012x =-，∴切线方程为：640x y --=和3210x y -+=．故选：AD ．【点睛】本题主要考查过某点的曲线的切线方程的求法，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．二、填空题10.【答案】：[)4,+∞【分析】求出二次函数的对称轴方程，根据二次函数的单调区间，确定对称轴与区间的关系，即可求解.【详解】()223f x x ax =-++对称轴方程为x a =，()f x 在区间(),4-∞上是增函数，所以4a ≥.故答案为:[)4,+∞.【点睛】本题考查函数的单调性求参数，熟练掌握初等简单函数的性质是解题的关键，属于基础题.11.【答案】：514a <<【分析】直线1y =与曲线2y x x a =-+有四个交点等价于方程21x x a =-+有四个解，即满足y a =和21y x x =-++有四个交点，画出函数图象即可求出.【详解】直线1y =与曲线2y x x a =-+有四个交点等价于方程21x x a =-+有四个解，则21a x x =-++，满足y a =和21y x x =-++有四个交点，画出函数图象如下，观察图象可知，要使y a =和21y x x =-++有四个交点，需满足514a <<故答案为：514a <<.【点睛】本题考查利用函数图象求参数，属于基础题.12.【答案】：1【分析】由幂函数的定义可得211m m +-=，解出方程，最后根据该函数是偶函数确定m 的值.【详解】∵函数23()(1)m f x m m x +=+-是幂函数，∴211m m +-=，解得2m =-或1m =，又∵该函数是偶函数，当2m =-时，函数()f x x =是奇函数，当1m =时，函数4()f x x =是偶函数，即m 的值是1，故答案为1.【点睛】本题主要考查幂函数的定义与简单性质，函数奇偶性的判断，属于基本知识的考查．13.【答案】：－1【分析】利用幂函数定义和单调性可得2221m m --=且420m -->，联立求解即可.【详解】由幂函数定义得2221m m --=，解得：3m =或1m =-因为在()24222m y m m x--=--()0+∞，上为增函数，所以420m -->，即12m <-，所以1m =-故答案为：1-【点睛】本题考查了幂函数定义和单调性，属于基础题.14.【答案】：0【分析】由(5)1f <和m Z ∈，可确定1m =-或0m =，由()f x 是奇函数，可舍掉1m =-，即可得到本题答案.【详解】因为22323(5)5123012m m f m m m +-=<⇒+-<⇒-<<，又因为m Z ∈，所以1m =-或0m =，当1m =-时，2232m m +-=-，不符合题意，舍去；当0m =时，2233m m +-=-，符合题意.故答案为：0真题再现1．A 【分析】由已知得f (x )的图象的对称轴为x ＝2且f (x )先减后增，可得选项.【详解】由f (0)＝f （4），得f (x )＝ax 2＋bx ＋c 图象的对称轴为x ＝－2ba＝2，∴4a ＋b ＝0，又f (0)>f （1），f （4）>f （1），∴f (x )先减后增，于是a >0，故选：A.【点睛】本题考查二次函数的对称轴，单调性，属于基础题.2．C 【详解】试题分析：解：在同一坐标系中画出函数的图象和函数g （x ）=log 2x 的图象，如下图所示：由函数图象得，两个函数图象共有3个交点，故选C.考点：1.函数的图象与图象变化；2.零点个数．3．C 【详解】当2160m ∆=-<时，显然成立当4,(0)(0)0m f g ===时，显然不成立；当24,()2(2),()4m f x x g x x =-=+=-显然成立；当4m <-时12120,0x x x x +，则()0f x =两根为负，结论成立故4m <,故选C.4．A 【详解】试题分析：由偶函数定义知，仅A,C 为偶函数，C.2y x =在区间(0,)+∞上单调递增函数，故选A ．考点：本题主要考查奇函数的概念、函数单调性、幂函数的性质．点评：函数奇偶性判定问题，应首先考虑函数的定义域是否关于原点对称．5．1[,1]2【详解】试题分析：22222(1)221,[0,1]x y x x x x x +=+-=-+∈，所以当01x =或时，取最大值1；当12x =时，取最小值12.因此22x y +的取值范围为1[,1]2.【名师点睛】本题考查了转化与化归的能力，除了像本题的方法，即转化为二次函数求取值范围，也可以转化为几何关系求取值范围，即0,0x y ≥≥，1x y +=表示线段，那么22x y+的几何意义就是线段上的点到原点距离的平方，这样会更加简单.6．14【详解】当1a >时，有214,a a m -==，此时12,2a m ==，此时()g x =不合题意.若01a <<，则124,a a m -==，故11,416a m ==，检验知符合题意7．（1）4|03M x x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭；（2）详见解析.【详解】试题分析：（1）由所给的不等式可得当1x ≥时，由()331f x x =-≤，或当1x <时，由()11f x x =-≤，分别求得它们的解集，再取并集，即得所求．（2）由4g x ≤（），求得N ，可得3{|0}4M N x x ⋂=≤≤．当x ∈M∩N 时，f （x ）=1-x ，不等式的左边化为211()42x --，显然它小于或等于14，要证的不等式得证．（1）33,[1,)(){1,(,1)x x f x x x -∈+∞=-∈-∞当1x ≥时，由()331f x x =-≤得43x ≤，故413x ≤≤；当1x <时，由()11f x x =-≤得0x ≥，故01x ≤<；所以()1f x ≤的解集为4{|0}3M x x =≤≤.（2）由2()16814g x x x =-+≤得2116()4,4x -≤解得1344x -≤≤，因此13{|}44N x x =-≤≤，故3{|0}4M N x x ⋂=≤≤.当x M N ∈⋂时，()1f x x =-，于是22()[()]()[()]x f x x f x xf x x f x +=+2111()(1)()424xf x x x x ==-=--≤.考点：1.其他不等式的解法；2.交集及其运算．模拟检测1．D【分析】根据基本初等函数的性质依次判断选项即可.【详解】对于A 选项：指数函数12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，底数112<，所以函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在(,)-∞+∞上单调递减；对于B 选项：幂函数1y x -=，10-<，所以幂函数1y x -=在(0,)+∞上单调递减；对于C 选项：二次函数2(1)y x =-，对称轴为1x =，所以二次函数2(1)y x =-在(0,1)上单调递减，在(1)+∞，上单调递增；对于D 选项：对数函数ln y x =，底数1e >，所以对数函数ln y x =在(0,)+∞上单调递增.故选：D.【点睛】本题主要考查基本初等函数的单调性，基本初等函数的函数性质是整个高中数学知识的奠基，和很多专题知识都有交融，是整个数学学习的基础.2．A【分析】利用幂函数、指数函数单调性和对数的运算可求解.【详解】解：∵函数3y x =，在R x ∈时单调递增，且m n >，∴330m n ->，故A 正确；∵函数1()2xy =，在R x ∈时单调递减，且m n >，∴11(()22m n <，故B 错误；当11,2m n ==时，()1lg lg 02m n -=<，故C 错误；当,11m n ==-时，1111m n=>=-，故D 错误；故选：A.3．B【分析】设()()20f x ax bx c a =++≠，根据已知条件可得出关于a 、b 、c 的方程组，解出这三个未知数的值，即可得出函数()f x 的解析式.【详解】设()()20f x ax bx c a =++≠，则()2f x ax b '=+，由()()21f x x f x '=+-可得()2221ax bx c x ax b ++=++-，所以，121a b a c b =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，解得121a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，因此，()221f x x x =++.故选：B.4．D【分析】利用函数单调性求得a ，b 关系，结合几何概型即可求解．【详解】因为a ，b 是区间[0,4]上的任意实数，则函数2()1f x ax bx =-+在[2,)+∞上单调递增所以242≤⇒≤b b a a如图所示阴影部分：则所要求的概率为14414147244168⨯-⨯⨯===⨯P 故选：D5．B【分析】先求出函数的定义域，然后由复合函数的单调性可得出答案.【详解】由2230x x --+>，得31x -<<，当31x -<<-时，函数223y x x =--+单调递增，所以函数2()ln(23)f x x x =--+单调递增；当11x -<<时，函数223y x x =--+单调递减，所以所以函数2()ln(23)f x x x =--+单调递减，故选：B.6．D【分析】条件121221()()(0)22x x f x f x f x x ++⎛⎫≤>> ⎪⎝⎭表明函数应是上凹函数或者是一次函数，结合幂函数的图象可作答．【详解】只有上凹函数或者是一次函数才满足题中条件，所以只有①②③⑤满足.故选：D.7．D【分析】利用指对函数的性质，结合中间量比较大小【详解】ln 2ln 1a e =<=Q，0.10.101b c =>=>=，b c a ∴>>．故选：D8．D【分析】由幂函数的性质求参数a 、b ，根据点在直线上得2m n +=，有14111n m m +=-++且02m <<，进而可求11n m ++的取值范围.【详解】由1a y ax b =-+-是幂函数，知：1,1a b =-=，又(,)a b 在20mx ny -+=上，∴2m n +=，即20n m =->，则1341111n m m m m +-==-+++且02m <<，∴11(,3)13n m +∈+.故选：D.【点睛】关键点点睛：根据幂函数的性质求参数，再由点在线上确定m 、n 的数量关系，进而结合目标式，应用分式型函数的性质求范围.9．BD【分析】由()f x 所过点可求得幂函数()f x 解析式，由此得到()132f <，知A 错误；由()12f =恒成立可知()f x 过定点()1,2，知B 正确；由二次函数的性质可知C 错误；由二次函数的最值可确定自变量的范围，即可确定m 的范围，知D 正确.【详解】对于A ，令()f x x α=，则122α=，解得：1α=-，()1f x x -∴=，()11332f ∴=<，A 错误；对于B ，令10x -=，即1x =时，()1112f =+=，()f x ∴恒过定点()1,2，B 正确；对于C ，()f x 为开口方向向上，对称轴为0x =的二次函数，()f x ∴在()0,∞+上单调递增，C 错误；对于D ，令()4f x =，解得：0x =或2x =；又()()min 13f x f ==，∴实数m 的取值范围为[]1,2，D 正确.故选：BD.10．2【分析】由()24aa f x x -=在()0+∞，上是减函数，可得04a <<，进而可得结果.【详解】因为()24a a f x x -=在()0+∞，上是减函数，所以240a a -<，解得04a <<，又函数为偶函数，且a Z ∈，当1a =时，()-3f x x =为奇函数当2a =时，()4f x x -=为偶函数当3a =时，()3f x x -=为奇函数；所以2a =故答案为：211．31331322x +-+-≤≤【分析】把函数f (x )视为关于参数a 的一次型函数，在端点-1，1处的函数值不小于0，建立不等式组求解即得.【详解】令g (a )=x 2·a -3x +1，则g (a )是一次型函数，它在闭区间上图象为线段，则在闭区间上函数值不小于0，即对应图象不在x 轴下方，只需端点不在x 轴下方即可，22310[1,1],()0[1,1],()0310x x a f x a g a x x ⎧-+≥∴∀∈-≥⇔∀∈-≥⇔⎨--+≥⎩，解2310x x -+≥得：352x ≤或352x ≥，解2310x x --+≥得：31331322x --+≤≤，所以有3322x +-+-≤≤.答案为：3322x +-+-≤≤【点睛】在参数范围给定的含该参数的函数问题中，转换“主”、“辅”变元的位置是解题的关键.12．②③④【分析】利用幂函数的单调性可判断①的正误；利用对数函数的单调性结合作差法、基本不等式可判断②的正误；利用函数()sin x f x x=的单调性可判断③的正误；利用对数函数()ln x g x x=可判断④的正误.【详解】对于①，()()0.10.10.330.170.10.40.40.0640.10.0000001==>=，①错误；对于②，()()22245ln 3ln 5ln 4ln 3ln 5ln 4ln 3ln 42log 3log 4ln 4ln 5ln 4ln 5ln 4ln 5+⎛⎫- ⎪-⎝⎭-=-=<(()22ln 40ln 4ln 5-=<，所以，45log 3log 4<，②正确；对于③，令()sin x f x x =，其中()0,1x ∈，则()2cos sin x x x f x x -'=，令()cos sin h x x x x =-，其中()0,1x ∈，则()sin 0h x x x '=-<，所以，函数()h x 在()0,1上单调递减，当()0,1x ∈时，()0h x <，则()0f x '<，所以，函数()f x 在()0,1上单调递减，因为110132<<<，则1123f f ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即112sin 3sin 23<，故131sin sin 223<，③正确；对于④，设()ln x g x x =，其中0x >，则()21ln x g x x-'=，当x e >时，()0g x '<，即函数()g x 在(),e +∞上单调递减，所以，()()1618g g >，即ln16ln181618>，所以，1816ln16ln18>，因此，16181816<，④正确.故答案为：②③④.【点睛】思路点睛：解答比较函数值大小问题，常见的思路有两个：（1）判断各个数值所在的区间；（2）利用函数的单调性直接解答.数值比较多的比较大小问题也也可以利用两种方法的综合应用.13．25()f x x =或85()f x x =.【分析】根据幂函数的定义和性质得到关于t 满足的式子，即可求得t 的值.【详解】因为幂函数273235()(1)t t f x t t x +-=-+是偶函数，且在(0,)+∞上为增函数，所以322117320732t t t t t t ⎧-+=⎪+->⎨⎪+-⎩是偶数，解得1t =或1t =-，当1t =时，25()f x x =，当1t =-时，85()f x x =.【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关幂函数的问题，能够正确解题的关键是熟练掌握幂函数的定义和幂函数的性质.。

第08讲：幂函数期末高频考点突破高频考点梳理考点一：.幂函数(1)定义：一般地，函数y ＝x α叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数． (2)幂函数的图象比较考点二：五个幂函数的性质知识点三 一般幂函数的图象特征1．所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)．2．当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸．3．当α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数．4．幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y ＝x 对称．5．在第一象限，作直线x ＝a (a >1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列．高频题型归纳题型一：幂函数的定义1．（2022·河南新乡·高一期末）已知幂函数()()2311mf x m x =-在()0,∞+上单调递减，则()4f =（ ）A ．2B ．16C ．12D ．1162．（2022·贵州毕节·高一期末）若幂函数()122()44a f x a a x -=--在(0,)+∞上单调递增，则=a （ ）A ．1B ．6C ．2D ．1-3．（2022·江苏淮安·高一期末）已知函数f （x ）=（3m -2）xm +2（m ∈R ）是幂函数，则函数g （x ）=log a （x -m ）+1（a >0，且a ≠1）的图象所过定点P 的坐标是（ ） A ．（2，1） B ．（0，2） C ．（1，2）D ．（-1，2）题型二：幂函数的定点和图像问题4．（2021·山东滨州·高一期末）已知幂函数1234,,,a b c dy x y x y x y x ==== 在第一象限的图象如图所示，则（ ）A ．a b c d >>>B ．>>>b c d aC ．d b c a >>>D ．>>>c b d a5．（2020·浙江杭州·高一期末）给出幂函数：∈ ()f x x =；∈2()f x x =；∈3()f x x =；∈ ()f x =∈1()f x x=.其中满足条件121221()()(0)22x x f x f x f x x ++⎛⎫>>> ⎪⎝⎭的函数的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．46．（2021·江苏·扬中市第二高级中学高一期末）已知幂函数1()(21)a g x a x +=-的图象过函数1()(0,1)2x b f x m m m -=->≠的图象所经过的定点，则b 的值等于（ ）A ．12±B ．C ．2D ．2±题型三：幂函数的单调性问题（比较大小、解不等式、参数）7．（2022·江西省铜鼓中学高一期末）已知函数()()()2,16,(1a a x x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩）是减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[)7,2--B ．(),2-∞-C ．(),7-∞-D ．()7,2--8．（2022·云南丽江·高一期末）已知函数()333x xf x x -=+-，若2(2)(54)0f a a f a -+-<，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(4)(4)-∞-+∞，， B ．(41)-，C ．(1)(4)-∞-+∞，， D ．(14)-，9．（2022·四川凉山·高一期末）设120.7a =，120.8b =，31log 2c =，则（ ） A ．c b a <<B ．c<a<bC ．a b c <<D ．b a c <<题型四：幂函数的奇偶性问题10．（2022·江西·景德镇一中高一期末）已知函数()1()31xmf x m R =+∈+为奇函数，则下列叙述错误的是（ ） A ．2m =- B ．函数()f x 在定义域上是单调增函数 C ．()(1,1)f x ∈-D ．函数13()()F x f x x =-所有零点之和大于零11．（2020·四川凉山·高一期末）下列函数中在区间()0,∞+上是减函数，并且在定义域上为偶函数的是（ ）A ．25y x -=B ．52y x -=C ．52y x =D ．25y x =12．（2019·陕西渭南·高一期末）已知幂函数()f x x α=的图像过点，则下列说法正确的是 A ．()f x 是奇函数，且在(0,)+∞上单调递增 B ．()f x 是偶函数，且在(0,)+∞上单调递减C ．()f x 既不是奇函数也不是偶函数，且在(0,)+∞上单调递增D ．()f x 既不是奇函数也不是偶函数，且在(0,)+∞上单调递减题型五：幂函数的综合问题13．（2022·湖北武汉·高一期末）已知幂函数()()2253mf x m m x =-+的定义域为全体实数R.(1)求()f x 的解析式；(2)若()31f x x k >+-在[]1,1-上恒成立，求实数k 的取值范围.14．（2021·上海中学高一期末）已知幂函数()()232Z m m f x x m +-=∈的图像关于y 轴对称，且(2)(3)f f <．(1)求m 的值；(2)已知()log (()3)a g x af x x =-（0a >且1a ≠）在区间[2,3]上是严格增函数，求实数a 的取值范围．15．（2022·上海师大附中高一期末）已知函数()()()2151Z m f x m m x m +=-+∈为幂函数，且为奇函数.(1)求m 的值，并确定()f x 的解析式；(2)令()()g x f x =+yg x 在1,12x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的值域.16．（2022·辽宁·大连二十四中高一期末）已知幂函数()()22421mm g x m x -+=-在()0,∞+上单调递增，设函数()()()10g x f x x x-=≠. (1)求m 的值； (2)若函数()()lg 21y g x ax =-+的值域为R ，求a 的取值范围；(3)方程()2213021xxf k ⎛⎫ ⎪-+-= ⎪-⎝⎭有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围.17．（2022·四川巴中·高一期末）已知()()21af x a a x =--（a 是常数）为幂函数，且在第一象限单调递增．(1)讨论()()22f x xg x x++=在区间()0,∞+的单调性，并证之；(2)求不等式()()22mf x m x >+-的解集．参考答案：1．D【分析】根据题意列出方程组，求得m 的值，即得函数解析式，代入求值可得答案.【详解】由题意得23111m m ⎧-=⎨<⎩，解得2m =-，所以()2f x x -=，故()1416f =, 故选：D 2．D【分析】根据幂函数的系数等于1，以及x 的指数位置大于0即可求解. 【详解】∈幂函数()122()44a f x a a x-=--在(0,)+∞上单调递增，∈2441102⎧--=⎪⎨->⎪⎩a a a ，解得1a =-， 故选：D ． 3．A【分析】根据幂函数的定义，结合对数函数的性质进行求解即可. 【详解】解：∈函数f （x ）=（3m -2）xm +2（m ∈R ）是幂函数， ∈3m -2=1，∈m =1， ∈g （x ）=log a （x -1）+1，令x -1=1得x =2，此时g （2）=log a 1+1=1， ∈函数g （x ）的图象所过定点P 的坐标是（2，1）， 故选：A ． 4．B【解析】取2x =，结合图象得出2222d a c b <<<，最后由指数函数的性质得出大小关系. 【详解】由图象可知，当2x =时，2222d a c b <<<，则a d c b <<< 故选：B 5．A【分析】条件121221()()(0)22x x f x f x f x x ++⎛⎫>>> ⎪⎝⎭表明函数应是上凸函数，结合幂函数的图象可作答． 【详解】如图，只有上凸函数才满足题中条件，在第一象限内，函数 ()f x x =是一条直线，函数2()f x x =，3()f x x =和1()f x x=的图像是凹形曲线，而函数 ()f x =∈满足，其他4个都不满足.故选：A.【点睛】本题考查幂函数的图像与性质，121221()()(0)22x x f x f x f x x ++⎛⎫>>> ⎪⎝⎭表示的是上凸函数，所以准确理解121221()()(0)22x x f x f x f x x ++⎛⎫>>> ⎪⎝⎭表示的几何意义是解答本题的关键. 6．B【分析】先根据幂函数定义得1a =，再确定()f x 的图像所经过的定点为1,2b ⎛⎫⎪⎝⎭，代入()g x 解得b 的值.【详解】由于1()(21)a g x a x +=-为幂函数，则211a -=，解得：1a =，则2()g x x =； 函数1()(0,1)2x b f x m m m -=->≠，当x b = 时，11()22b bf b a -=-=，故()f x 的图像所经过的定点为1,2b ⎛⎫⎪⎝⎭，所以1()2g b =，即212b =，解得：b = 故选：B. 7．A【分析】由分段函数()f x 是减函数及幂函数的单调性，可得()2001621a a a a ⎧+<⎪<⎨⎪-≤+⨯⎩，解不等式组即可得答案.【详解】解：因为函数()()()2,16,(1a a x x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩）是减函数，所以()2001621a a a a ⎧+<⎪<⎨⎪-≤+⨯⎩，解得72a -≤<-，所以实数a 的取值范围是[)7,2--， 故选：A. 8．B【分析】首先判断()f x 的奇偶性和单调性，由此化简不等式2(2)(54)0f a a f a -+-<，从而求得a 的取值范围.【详解】()f x 的定义域为R ，()()333x xf x x f x --=-+-=-，所以()f x 为奇函数，()3133x xf x x =+-在R 上递增， 由2(2)(54)0f a a f a -+-<得()2(2)(54)45f a a f a f a -<--=-，∈2245a a a -<-，2340a a +-<，()()410a a +-< 解得41a -<<. 故选：B 9．B【分析】根据函数单调性和中间值比较函数值大小.【详解】因为12y x =在[)0,∞+上单调递增，0.70.8<，所以121200780..b a <=<=，而331log log 102c =<=，故c<a<b .故选：B 10．D【分析】根据()f x 是奇函数，求得参数m 的值，再求该函数的单调性、值域、以及零点，即可求得判断和选择.【详解】因为()1()31x mf x m R =+∈+为奇函数，且其定义域为R ，故()00=f ， 即102m+=，解得2m =-，又当2m =-时，()2131x f x =-+，因为()()22131122031313131x x x x x f x f x -⎛⎫+-=-+-=-+= ⎪++++⎝⎭， 又()f x 定义域为R ，故()f x 为R 上的奇函数，故A 正确；因为3x y =是单调增函数，231xy =+为单调减函数，故()f x 为单调增函数，故B 正确； 又()2131x f x =-+，30x >，则()()()2311,0,2,1,131xxf x +>∈∈-+，故C 正确； 又13y x =的定义域为R ，且为奇函数，()f x 也为奇函数，故()F x 的零点之和为零，故D 错误； 综上所述，正确的是ABC . 故选：D . 11．A【解析】将各选项中的幂函数的解析式化为根式，进而判断各幂函数的奇偶性及其在区间()0,∞+上的单调性，由此可得出结论.【详解】对于A 选项，幂函数25y x -==在区间()0,∞+上是减函数，在定义域上为偶函数；对于B 选项，幂函数52y x-==()0,∞+上是减函数，在定义域上为非奇非偶函数；对于C 选项，幂函数52y x ==()0,∞+上是增函数，在定义域上是非奇非偶函数；对于D 选项，幂函数25y x ==()0,∞+上是增函数，在定义域上是偶函数. 故选：A.【点睛】本题考查幂函数单调性与奇偶性的判断，解题时要将分数指数幂化为根式，考查推理能力，属于基础题. 12．C【分析】求出幂函数的解析式，从而判断函数的奇偶性和单调性，得出正确选项．【详解】∈幂函数y ＝x α的图象过点（2，=2α，解得α12=，故f （x ）=故f （x ）既不是奇函数也不是偶函数，且在（0，+∞）上是增函数， 故选C ．【点睛】本题考查了幂函数的定义及解析式，求解析式常用待定系数法，考查函数的单调性和奇偶性问题，是一道基础题．13．(1)()2f x x =(2)(,1)-∞-【分析】（1）根据幂函数的定义可得22531m m -+=，结合幂函数的定义域可确定m 的值，即得函数解析式;（2）将()31f x x k >+-在[]1,1-上恒成立转化为函数()231g x x x k =-+-在[]1,1-上的最小值大于0，结合二次函数的性质可得不等式，解得答案．【详解】（1）∈()f x 是幂函数，∈22531m m -+=，∈12m =或2. 当12m =时，()12f x x =，此时不满足()f x 的定义域为全体实数R ，∈m ＝2,∈()2f x x =.（2）()31f x x k >+-即2310x x k -+->，要使此不等式在[]1,1-上恒成立，令()231g x x x k =-+-,只需使函数()231g x x x k =-+-在[]1,1-上的最小值大于0. ∈()231g x x x k =-+-图象的对称轴为32x =，故()g x 在[]1,1-上单调递减， ∈()()min 11g x g k ==--， 由10k -->，得1k <-，∈实数k 的取值范围是(,1)-∞-. 14．(1)1(2)3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据(2)(3)f f <得到2320m m +->，再结合m ∈Z 得到0m =或1m =，最后利用对称性得到1m =；（2）根据复合函数的单调性分1a >和01a <<两种情况讨论求a 的范围即可.【详解】（1）由(2)(3)f f <，知2320m m +->，得312m -<<，又m ∈Z ， 所以0m =或1m =，当0m =时，3()f x x =，图像不关于y 轴对称，舍； 当1m =时，2()f x x =，图像关于y 轴对称， 所以m 的值为1，2()f x x =；（2）2()log (3)a g x ax x =-，由复合函数的单调性，知∈1a >时，23ax x -严格增，且2min (3)0ax x ->，所以322a≤且460a ->， 解得32a >， ∈01a <<时，23ax x -严格减，且2min (3)0ax x ->， 所以332a≥且990a ->，无解， 综上，实数a 的取值范围是3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．15．(1)0,()f x x =；(2)112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）根据幂函数的定义及函数奇偶性的定义即可求解； （2）由（1），得()g x x =，利用换元法得到21()2t g t t -=+，t ⎡∈⎣，再根据二次函数的性质即可求解.【详解】（1）因为函数()()()2151Z m f x m m x m +=-+∈为幂函数，所以2511m m -+=，解得0m =或5m =， 当0m =时，函数()f x x =是奇函数，符合题意，当5m =时，函数()6f x x =是偶函数，不符合题意，综上所述，m 的值为0，函数()f x 的解析式为()f x x =. （2）由（1）知，()f x x =，所以()()g x f x x ==+令t =212t x -=，11,0123,02x x t -≤≤∴≤+≤∴≤≤ 所以2211()222t t g t t t -=+=+-，t ⎡∈⎣， 根据二次函数的性质知，()g t 的对称轴为11122t =-=-⨯，开口向上，所以()g t 在⎡⎣上单调递增；所以2min011()(0)0222g t g ==+-=-，2max 1()122g t g ===所以函数()g x 在1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的值域为112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.解得15t -≤≤． 41．(1)0(2){1a a ≥或}1a ≤- (3)()0,∞+【分析】（1）根据幂函数的定义可得答案； （2）根据对数复合函数的值域可得答案； （3）原方程化为()()2213221210x x k k --+-++=，令21x t =-，可得()232210t k t k -+++=有两个实数解1t ，2t ，原方程有三个不同的实数解，则101t <<，21t >，或101t <<，21t =，记()()23221h x t k t k =-+++，结合二次函数根的分布可得答案. (1)因为幂函数()()22421mm g x m x -+=-在()0,+∞上单调递增，()2211420m m m ⎧-=⎪⎨-+>⎪⎩解得0m =. (2)由（1）()2g x x =，()2lg 21y x ax =-+的值域R ，Δ0≥即2440a -≥， 得1a ≥或1a ≤-，所以{1a a ≥或}1a ≤-； (3)原方程化为()()2213221210x x k k --+-++=，令21x t =-，则()0,t ∈+∞，()232210t k t k -+++=有两个实数解1t ，2t ，原方程有三个不同的实数解，则101t <<，21t >，或101t <<，21t =，记()()23221h x t k t k =-+++，则()()0210 10⎧=+>⎪⎨=-<⎪⎩h k h k ，解得0k >， 或()()0210 1032012h k h k k ⎧⎪=+>⎪=-=⎨⎪+⎪<<⎩，无解. 综上k 的取值范围是()0,+∞.43．(1)()g x在(上单调递减，在)+∞上单调递增；证明见解析.(2)答案见解析.【分析】(1)由()f x 为幂函数，求出其解析式，得到()g x 的解析式，再由定义法得到其单调性.(2)由题意即求解不等式()2220mx m x -++>，分0,0,0m m m >=<三种情况进行分类讨论求解即可.(1)由()()21af x a a x =--（a 是常数）为幂函数，则211a a --=，解得2a =或1a =-当1a =-时，()11x xf x -==在第一象限单调递减，不满足条件.11 当2a =时，()2f x x =，满足在第一象限单调递增 所以()2f x x =，则()()2222222f x x x x g x x x x x ++++===++()g x在(上单调递减，在)+∞上单调递增. 证明：任取()12,0,x x ∈+∞，且设12x x <则()()2121212222g x g x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()1221212112222x x x x x x x x x x -⎛⎫=-+-=-+⎪⎝⎭()()1221211212221x x x x x x x x x x ⎛⎫-=--=-⋅⎪⎝⎭由()12,0,x x ∈+∞，且12x x <，则120x x >，210x x ->当(12,x x ∈时，122x x <，则1220x x -<，则()()210g x g x -<即(12,x x ∈时，()()21g x g x <，所以()g x 单调递减.当)12,x x ∈+∞时，122x x >，则1220x x ->，则()()210g x g x ->即)12,x x ∈+∞时，()()21g x g x >，所以()g x 单调递增. 所以()g x在(上单调递减，在)+∞上单调递增.(2)不等式()()22mf x m x >+-，即()2220mx m x -++> （1）当0m =时，即220x -<，则1x <.当0m ≠时，不等式()2220mx m x -++>可化为：()()210mx x --> （2）当0m <，由不等式()()210mx x -->可得21x m <<（3）当0m >时，若m>2，则21m <，由()()210mx x -->可得1x >或2x m< 若2m =，则不等式()()210mx x -->化为()210x ->，则1x ≠ 若02m <<，则21m >，由()()210mx x -->可得1x <或2x m >综上所述：当m>2时，不等式的解集为1x x ⎧⎨⎩或2x m ⎫<⎬⎭当2m =时，不等式的解集为{}|1x x ≠当02m <<时，不等式的解集为|1x x ⎧<⎨⎩或2x m ⎫>⎬⎭当0m =时，不等式的解集为{}|1x x <当0m <时，不等式的解集为2|1x x m ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭。

高考数学一轮复习---幂函数知识点与题型一、基础知识1．幂函数的概念一般地，形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．幂函数的特征(1)自变量x处在幂底数的位置，幂指数α为常数；(2)xα的系数为1；(3)只有一项．2．五种常见幂函数的图象与性质R R R{x|x≥0}{x|x≠0}二、常用结论对于形如f(x)＝x nm(其中m∈N*，n∈Z，m与n互质)的幂函数：(1)当n为偶数时，f(x)为偶函数，图象关于y轴对称；(2)当m，n都为奇数时，f(x)为奇函数，图象关于原点对称；(3)当m为偶数时，x>0(或x≥0)，f(x)是非奇非偶函数，图象只在第一象限(或第一象限及原点处)．三、考点解析考点一幂函数的图象与性质例、(1)幂函数y＝f(x)的图象经过点(3，33)，则f(x)是()A．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数B．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数C．奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数D．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数(2)已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)x23－n n(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为()A．－3B．1 C．2 D．1或2[解题技法]幂函数y＝xα的主要性质及解题策略：(1)幂函数在(0，＋∞)内都有定义，幂函数的图象都过定点(1,1)．(2)当α>0时，幂函数的图象经过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)内单调递增；当α<0时，幂函数的图象经过点(1,1)，且在(0，＋∞)内单调递减．(3)当α为奇数时，幂函数为奇函数；当α为偶数时，幂函数为偶函数．(4)幂函数的性质因幂指数大于零、等于零或小于零而不同，解题中要善于根据幂指数的符号和其他性质确定幂函数的解析式、参数取值等．跟踪训练1.下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的为()A．y＝x－4B．y＝x－1 C．y＝x2D．y＝x 1 32.已知当x∈(0,1)时，函数y＝x p的图象在直线y＝x的上方，则p的取值范围是________．考点二比较幂值大小例、若a＝3221⎪⎭⎫⎝⎛，b＝3251⎪⎭⎫⎝⎛，c＝3121⎪⎭⎫⎝⎛，则a，b，c的大小关系是()A．a<b<c B．c<a<b C．b<c<a D．b<a<c 跟踪训练1．若a＝5253⎪⎭⎫⎝⎛，b＝5352⎪⎭⎫⎝⎛，c＝5252⎪⎭⎫⎝⎛，则a，b，c的大小关系是()A．a>b>c B．a>c>b C．c>a>b D．b>c>a2．若(a＋1)12<(3－2a)12，则实数a的取值范围是________．课后作业1．若幂函数y ＝f (x )的图象过点(4,2)，则f (8)的值为( )A ．4 B.2 C ．22 D ．1 2．若幂函数f (x )＝x k 在(0，＋∞)上是减函数，则k 可能是( )A ．1B ．2 C.12 D ．－13．已知幂函数f (x )＝(m 2－3m ＋3)x m＋1为偶函数，则m ＝( )A ．1B ．2C ．1或2D ．3 4．已知幂函数f (x )的图象过点⎪⎭⎫⎝⎛412，，则函数g (x )＝f (x )＋x 24的最小值为( )A ．1B ．2C ．4D ．6 5．幂函数y ＝x |m －1|与y ＝x23－m m (m ∈Z)在(0，＋∞)上都是增函数，则满足条件的整数m 的值为( )A ．0B ．1和2C ．2D ．0和3 6．已知a ＝345，b ＝425，c ＝1215，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．b <a <cB ．a <b <cC ．c <b <aD ．c <a <b 7．设x ＝0.20.3，y ＝0.30.2，z ＝0.30.3，则x ，y ，z 的大小关系为( )A ．x <z <yB ．y <x <zC ．y <z <xD ．z <y <x 8．已知幂函数f (x )＝(m －1)2x242－＋m m 在(0，＋∞)上单调递增，函数g (x )＝2x －k ，当x ∈[1,2)时，记f (x )，g (x )的值域分别为集合A ，B ，若A ∪B ＝A ，则实数k 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．[0,1) C ．(0,1] D ．[0,1]9．若f (x )是幂函数，且满足f (9)f (3)＝2，则)91(f ＝________.10．已知函数f (x )＝(m 2－m －5)x m 是幂函数，且在(0，＋∞)上为增函数，则实数m 的值是________． 11．当0＜x ＜1时，f (x )＝x 2，g (x )＝x 12，h (x )＝x －2，则f (x )，g (x )，h (x )的大小关系是________________． 12．已知幂函数f (x )＝x 12-，若f (a ＋1)<f (10－2a )，则a 的取值范围是________．13．已知幂函数f (x )＝x()21－＋m m (m ∈N *)的图象经过点(2，2)．(1)试确定m 的值；(2)求满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围．。

根据幂函数的特殊形式知识点及题型归纳
总结
幂函数是一种特殊形式的函数，其表达式可以写成 f(x) = a * x^n 的形式，其中 a 和 n 是常数。

在研究幂函数时，我们需要掌握以下知识点和题型。

知识点
1.幂函数的定义：幂函数是由 a * x^n 的形式表示的函数，其中
a 和 n 是常数。

2.幂函数的图像：幂函数的图像可以分为两种情况，当 n 是正数时，图像呈现上升趋势；当 n 是负数时，图像呈现下降趋势。

3.幂函数的特殊情况：当 n = 0 时，幂函数化简为常数函数；当 n = 1 时，幂函数化简为一次函数。

4.幂函数的定义域和值域：对于 a * x^n，当 n 是偶数时，定义域为全体实数；当 n 是奇数时，定义域为全体实数，值域为正实数或负实数取决于 a 的正负。

题型归纳
1.求幂函数的值：给定一个幂函数的表达式和 x 的值，求函数
的值。

2.求幂函数的图像：给定一个幂函数的表达式和定义域，画出
函数的图像。

3.求幂函数的定义域和值域：给定一个幂函数的表达式，求函
数的定义域和值域。

4.幂函数的性质相关问题：例如，给定一个幂函数的表达式和
一组条件，判断函数的性质，如单调性、奇偶性等。

以上是关于根据幂函数的特殊形式的知识点及题型的归纳总结。

通过掌握这些内容，我们可以更好地理解和解答与幂函数相关的问题。

第 11 讲：幂函数及常考题型总结题型一：幂函数的定义与图象1.已知幂函数y=f(x)的图象过点(8,m)和(9,3)，则实数m的值为()A.2B.12C.3D.222.如果幂函数y=(m2-3m+3)x m2-m-1的图象不过原点，则m的值是.3.若幂函数f(x)=(m2-4m+4)x m-2在(0，+∞)上单调递增，则m=()A.3B.1或3C.4D.4或64.已知幂函数f(x)=(n2+2n-2)x n2-3n(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0,+∞)上是减函数，则n的值为()A.-3B.1C.2D.1或2，若幂函数f(x)=xα为奇函数，且在(0,+∞)上单调递减，则5.已知α∈-2，-1，-12，12，1，2，3α=.6.图中C 1、C 2、C 3为三个幂函数y =x α在第一象限内的图象，则解析式中指数α的值依次可以是()A.12、3、-1 B.-1、3、12C.12、-1、3D.-1、12、37.图中曲线是幂函数y =x n 在第一象限的图象．已知n 取±2，±12四个值，则相应于曲线c 1、c 2、c 3、c 4的n 依次为()A.-2，-12，12，2 B.2，12，-12，-2C.-12，-2，2，12D.2，12，-2，-128.如图，①②③④对应四个幂函数的图像，其中①对应的幂函数是()A.y =x 3B.y =x 2C.y =xD.y =x58Oxy11C 1C 2C 3Oxyc 1c 2c 3c 4Oxy①②③④9.函数y =x 13的图象是()A.Oxy11B.Oxy11C.Oxy11D.Oxy1110.如图所示是函数y =x m n(m ，n 均为正整数且m ，n 互质)的图象，则()A.m ，n 是奇数且mn<1B.m 是偶数，n 是奇数，且m n <1C.m 是偶数，n 是奇数，且mn>1D.m ，n 是奇数，且mn >111.幂函数f (x )=3x -2，则()A.f (x )的图象过点(-1,1)B.f (x )的图象过点8,14C.f (x )为奇函数D.f (x )为偶函数y =xmny =xxy12.已知幂函数f(x)的图像经过点2,22，则下列命题正确的是()A.f(x)为偶函数B.f(x)的值域是(0,+∞)C.若0<x1<x2，则fx1+x22<f(x1)+f(x2)2D.g(x)=f(x+1)-f(x)是(0,+∞)上的增函数题型二：比较大小13.已知(5-2m)12<(m-1)12，则m的取值范围是()A.(2,+∞)B.2,52C.(-∞,2)D.[1，2)14.设a=34 12,b=43 14,c=23 34，则a，b，c的大小顺序是()A.c<a<bB.c<b<aC.a<c<bD.b<c<a15.(2010•安徽)设a=35 25，b=25 35，c=25 25，则a，b，c的大小关系是()A.a>c>bB.a>b>cC.c>a>bD.b>c>a16.(2016•新课标Ⅲ)已知a=243，b=425，c=2513，则()A.b<a<cB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b17.下列比较大小正确的是()A.π-43>3-13>2-23B.3-13>π-43>2-23C.3-13>2-23>π-43D.2-23>3-13>π-4318.已知函数f (x )=(m 2-m -1)x m 3-1是幂函数，对任意的x 1，x 2∈(0,+∞)且x 1≠x 2，满足f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2>0，若a ，b ∈R ，a +b <0，则f (a )+f (b )的值()A.恒大于0B.恒小于0C.等于0D.无法判断19.已知幂函数y =x m 2-2m -3(m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0,+∞)上是减函数，则满足(a +1)-m 3<(3-2a )-m 3的a 的取值范围为()A.(-∞,-1)∪23,32B.-1,23C.(-∞,-1)∪32,+∞ D.23,+∞巩固强化1.已知幂函数f(x)=(a2-2a-2)⋅x a在区间(0,+∞)上是单调递增函数，则a的值为()A.3B.-1C.-3D.12.设α∈{-1,1,2,12,3}，则使函数y=xα为奇函数且在(0,+∞)为增函数的所有α的值为()A.1，3B.-1，1，2C.12，1，3D.-1，1，33.函数y=x32的图象是()A.O xyB.O xyC.O xyD.O xy。

幂函数知识点及题型归纳总结知识点精讲一、幂函数的定义一般地，函数()y x R αα=∈叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数.注：判断一个函数是否为幂函数，关键是看其系数是否为1，底数是否为变量x .二、幂函数的图像幂函数的图像一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四项县内，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图像如果与坐标轴相交，则交点一定是原点. 当11,2,3,,12α=-时，在同一坐标系内的函数图像如图2-18所示.三、幂函数的性质当0α>时，幂函数y x α=在(0,)+∞上是增函数，当1α>时，函数图像是向下凸的；当01α<<时，图像是向上凸的，恒过点(0,0)(1,1)和；当0α<时，幂函数y x α=在(0,)+∞上是减函数.幂函数y x α=的图像恒过点(1,1).题型归纳及思路提示题型1 幂函数的定义及其图像思路提示确定幂函数y x α=的定义域，当α为分数时，可转化为根式考虑，是否为偶次根式，或为则被开方式非负.当0α≤时，底数是非零的.例2.68函数2223()(1)a a f x a a x --=--为幂函数（a 为常数），且在(0,)+∞上是减函数，则a =______. 分析根据幂函数的定义及单调性求解a .解析依题意，得2211230a a a a ⎧--=⎪⎨--<⎪⎩，解得2a =. 变式1 函数32204(42)(1)y mx x m x mx -=++++-+的定义域为R ，求实数m 的取值范围.变式2 幂函数()y f x =的图像经过点1(2,)8--，则满足()27f x =的x 的值是______.. 变式3 设11,1,,32a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，则使函数y x α=为奇函数且定义域为R 的所有α的值为（ ） .1,3A .1,1B - .1,3C - .1,1,3D -题型2 幂函数性质的综合应用思路提示紧扣幂函数y x α=的定义、图像、性质，特别注意它的单调性在不等式中的作用，这里注意α为奇数时，x α为奇函数，α为偶数时，x α为偶函数.例2.69已知幂函数223()()m m f x x m Z --=∈为偶函数，且在区间(0,)+∞上是减函数.（1）求函数()f x 的解析式；（2）求满足33(1)(32)mma a --+<-的a 的取值范围.分析利用函数()f x 在区间(0,)+∞上是减函数且为偶函数求m ，从而得到()f x 的解析式.解析（1）因为幂函数在区间(0,)+∞上是减函数，所以2230m m --<得 13,m m Z -<<∈又，当0m =时，2233m m --=-；当1m =时，2234m m --=-；当2m =时，2233m m --=-.又因为()f x 为偶函数，所以4()f x x -=.（2）由1m =得1133(1)(32)a a --+<-. 即113311132a a ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭又13y x =在R 上单调递增，故11132a a <+-，整理得 (1)(32)(23)0a a a +--<，解得23132a a <-<<或，如图所示.故a 的取值范围为23(,1)(,)32-∞-. 评注突破点为由单调性得m 的取值范围，进而验证满足偶函数的值，若从偶函数的条件入手，则不易向下转化.分类讨论时，确定分类标准，做到不重不漏.变式1 已知函数2()f x x =，设函数[]()()(21)()1g x qf f x q f x =-+-+，问是否存在实数(0)q q <，使()g x 在区间(],4-∞-上是减函数，且在区间(4,0)-上是增函数？若存在，求出q ；若不存在，请说明理由.最有效训练题1.下列函数中，既是偶函数又在(,0)-∞上是增函数的是（ ）43.A y x =32.B y x = 2.C y x -= 14.D y x = 2.幂函数2232()m m y x m Z --=∈的图像如图2-20所示，则m 的值为（ ）.1A .2B .3C.4D3.幂函数()f x 的图像经过点11(,)42A ，则它在点A 处的切线方程为（ ） .4410A x y ++= .4410B x y -+= .20C x y -=.20D x y += 4.若幂函数()f x 的图像经过点13,9⎛⎫⎪⎝⎭则其定义域为（ ）{}.,0A x x R x ∈> {}.,0B x x R x ∈< {}.,0C x x R x ∈≠ .D R 5.设232555322,,555a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是（ ） .Aa c b >>.B a b c >> .C c a b >> .Db c a >> 6.设1112,1,,,,1,2,3232a ⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭，则使y x α=为奇函数且在(0,)+∞上单调递减的α值的个数为（ ） .1A .2B .3C .4D7.已知幂函数()y f x =的图像过点(2,2)，则(8)f 的值为_______.8.已知幂函数265()()m m f x x m Z -+=∈为奇函数，且在区间(0,)+∞上是减函数，则()f x 的解析式为32 231- 图 2-19_______.9.已知函数12()f x x =，且(21)(3)f x f x -<，则x 的取值范围是_______.10.设函数()1()f x x Q αα=+∈的定义域为[][],,b a a b --，其中0a b <<，若函数()f x 在区间[],a b 上的最大值为6，最小值为3，则()f x 在[],b a --上的最大值与最小值的和为_______.11.已知函数12()f x x =，给出下列命题：①若1()1x f x >>则；②若120x x <<，则2121()()f x f x x x ->-；③若120x x <<，则2112()()x f x x f x <；④若120x x <<，则1212()()22f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭. 其中，所有正确命题的序号是_______.12.点在幂函数()f x 的图像上，点12,4⎛⎫- ⎪⎝⎭在幂函数()g x 的图像上，问当x 为何值时有： (1)()()(2)()()(3)()()f xg x f x g x f x g x >=<。

【考点预测】1.高中数学53个题型归纳与方法技巧总结篇专题08幂函数与二次函数幂函数的定义一般地，()a y x a R =∈(a 为有理数)的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数.2.幂函数的特征：同时满足一下三个条件才是幂函数①a x 的系数为1；②a x 的底数是自变量；③指数为常数.(3)幂函数的图象和性质3.常见的幂函数图像及性质：函数y x=2y x =3y x =12y x=1y x -=图象定义域R R R {|0}x x ≥{|0}x x ≠值域R {|0}y y ≥R {|0}y y ≥{|0}y y ≠奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性在R上单调递增在(0)-∞，上单调递减，在(0+)∞，上单调递增在R 上单调递增在[0+)∞，上单调递增在(0)-∞，和(0+)∞，上单调递减公共点(11)，4.二次函数解析式的三种形式（1）一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠；（2）顶点式：2()()(0)f x a x m n a =-+≠；其中，(,)m n 为抛物线顶点坐标，x m =为对称轴方程.（3）零点式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠，其中，12,x x 是抛物线与x 轴交点的横坐标.5．二次函数的图像二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图像是一条抛物线，对称轴方程为2bx a=-，顶点坐标为24(,)24b ac b a a--.（1）单调性与最值①当0a >时，如图所示，抛物线开口向上，函数在(,2b a -∞-上递减，在[,)2ba-+∞上递增，当2b x a =-时，2min 4()4ac b f x a-=；②当0a <时，如图所示，抛物线开口向下，函数在(,]2ba -∞-上递增，在[,)2b a -+∞上递减，当2b x a =-时，；2max 4()4ac b f x a-=.（2）与x 轴相交的弦长当240b ac ∆=->时，二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图像与x 轴有两个交点11(,0)M x 和22(,0)M x ，1212||||M M x x =-==.6.二次函数在闭区间上的最值闭区间上二次函数最值的取得一定是在区间端点或顶点处.对二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠，当0a >时，()f x 在区间[,]p q 上的最大值是M ，最小值是m ，令02p qx +=：（1）若2bp a-≤，则(),()m f p M f q ==；（2）若02b p x a <-<，则(()2bm f M f q a =-=；（3）若02b x q a ≤-<，则(),()2bm f M f p a=-=；（4）若2bq a-≥，则(),()m f q M f p ==.【方法技巧与总结】1.幂函数()a y x a R =∈在第一象限内图象的画法如下：①当0a <时，其图象可类似1y x -=画出；②当01a <<时，其图象可类似12y x =画出；③当1a >时，其图象可类似2y x =画出．2．实系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的实根符号与系数之间的关系（1）方程有两个不等正根12,x x ⇔212124000b ac b x x a c x x a ⎧⎪∆=->⎪⎪+=->⎨⎪⎪=>⎪⎩（2）方程有两个不等负根12,x x ⇔212124000b ac b x x a c x x a ⎧⎪∆=->⎪⎪+=-<⎨⎪⎪=>⎪⎩（3）方程有一正根和一负根，设两根为12,x x ⇔120cx x a=<3.一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的分布问题一般情况下需要从以下4个方面考虑：（1）开口方向；（2）判别式；（3）对称轴2bx a=-与区间端点的关系；（4）区间端点函数值的正负.设12,x x 为实系数方程20(0)ax bx c a ++=>的两根，则一元二次20(0)ax bx c a ++=>的根的分布与其限定条件如表所示.根的分布图像限定条件12m x x <<02()0b m a f m ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩12x m x <<()0f m <y（1）要熟练掌握二次函数在某区间上的最值或值域的求法，特别是含参数的两类问题——动轴定区间和定轴动区间，解法是抓住“三点一轴”，三点指的是区间两个端点和区间中点，一轴指对称轴.即注意对对称轴与区间的不同位置关系加以分类讨论，往往分成：①轴处在区间的左侧；②轴处在区间的右侧；③轴穿过区间内部（部分题目还需讨论轴与区间中点的位置关系），从而对参数值的范围进行讨论.（2）对于二次方程实根分布问题，要抓住四点，即开口方向、判别式、对称轴位置及区间端点函数值正负.【题型归纳目录】题型一：幂函数的定义及其图像题型二：幂函数性质的综合应用题型三：二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的实根分布及条件题型四：二次函数“动轴定区间”、“定轴动区间”问题【典例例题】题型一：幂函数的定义及其图像例1．（2022·全国·高三专题练习）幂函数()()22121m f x m m x -=-+在()0,∞+上为增函数，则实数m 的值为（）A ．2-B ．0或2C ．0D ．2例2．（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数pq y x =（p ，q ∈Z 且p ，q 互质）的图象关于y 轴对称，如图所示，则（）A ．p ，q 均为奇数，且0p q >B ．q 为偶数，p 为奇数，且0p q <C ．q 为奇数，p 为偶数，且0p q >D ．q 为奇数，p 为偶数，且0p q<例3．（2022·海南·文昌中学高三阶段练习）已知幂函数()()a f x x a R =∈过点A （4，2），则f （14）=___________.例4．（2022·黑龙江·哈九中高三开学考试（文））已知幂函数()f x 的图象过点()8,2--，且()()13f a f a +≤--，则a 的取值范围是______．例5．（2022·全国·高三专题练习）如图是幂函数i y x α=（αi ＞0，i ＝1，2，3，4，5）在第一象限内的图象，其中α1＝3，α2＝2，α3＝1，412α=，513α=，已知它们具有性质：①都经过点（0，0）和（1，1）；②在第一象限都是增函数．请你根据图象写出它们在（1，+∞）上的另外一个共同性质：___________．例6．（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数223()m m y f x x --==（m ∈Z ）在(0,)+∞是严格减函数，且为偶函数.（1）求()y f x =的解析式；（2）讨论函数5()(2)()y af x a x f x =+-⋅的奇偶性，并说明理由.【方法技巧与总结】确定幂函数y x α=的定义域，当α为分数时，可转化为根式考虑，是否为偶次根式，或为则被开方式非负.当0α≤时，底数是非零的.题型二：幂函数性质的综合应用例7．（2022·河北石家庄·高三期末）已知实数a ，b 满足3e e 1a a a -+=+，3e e 1b b b -+=-，则a b +=（）A ．-2B ．0C ．1D ．2例8．（2022·四川眉山·三模（文））下列结论正确的是（）A．2<B．2<C．2log <D．2<例9．（2022·广西·高三阶段练习（理））已知函数32,2()(1),2x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩，若关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根，则实数k 的取值范围为（）A ．()0,1B ．(),1-∞C ．(]0,1D ．()0,∞+例10．（2022·浙江·模拟预测）已知0a >，函数()(0)xa f x x a x =->的图象不可能是（）A ．B ．C ．D ．例11．（2022·全国·高三专题练习）不等式()10112200221210x x x -++-≤的解集为：_________．例12．（2022·上海市实验学校高三阶段练习）若函数()()()3,a f x m x m a =+∈R 是幂函数，且其图象过点(，则函数()()2log 3ag x xmx =+-的单调递增区间为___________.例13．（2020·四川·泸州老窖天府中学高二期中（理））已知函数()12e ,021,0x x f x x x x -⎧>⎪=⎨--+≤⎪⎩，若方程2()()20f x bf x ++=有8个相异的实数根，则实数b 的取值范围是_________________________．例14．（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数()()224222mm f x m m x-+=--在()0,∞+上单调递减.（1）求m 的值并写出()f x 的解析式；（2）试判断是否存在0a >，使得函数()()()211ag x a x f x =--+在(]0,2上的值域为(]1,11？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.【方法技巧与总结】紧扣幂函数y x α=的定义、图像、性质，特别注意它的单调性在不等式中的作用，这里注意α为奇数时，x α为奇函数，α为偶数时，x α为偶函数.题型三：二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的实根分布及条件例15．（2022·河南·焦作市第一中学高二期中（文））设p ：二次函数()()210f x ax ax a =++≠的图象恒在x轴的上方，q ：关于x 的方程22210x ax a -+-=的两根都大于－1，则p 是q 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件例16．（2022·重庆·模拟预测）已知二次函数24y x x a =-+的两个零点都在区间()1,+∞内，则a 的取值范围是（）A ．(),4-∞B ．()3,+∞C ．()3,4D ．(),3-∞例17．（2022·江西省丰城中学高一开学考试）函数()3x f x =且()218f a +=，函数()34ax x g x =-.(1)求()g x 的解析式；(2)若关于x 的方程()80xg x m -⋅=在区间[]22-,上有实数根，求实数m 的取值范围.例18．（2022·湖北·高一期末）已知函数()2sin 1f x x =-，[0,]x π∈．(1)求()f x 的最大值及()f x 取最大值时x 的值；(2)设实数a R ∈，求方程23[()]2()10f x af x -+=存在8个不等的实数根时a 的取值范围．【方法技巧与总结】结合二次函数2()f x ax bx c =++的图像分析实根分布，得到其限定条件，列出关于参数的不等式，从而解不等式求参数的范围.题型四：二次函数“动轴定区间”、“定轴动区间”问题例19．（2022·全国·高三专题练习）已知2()(0)f x ax bx c a =++>，()(())g x f f x =，若()g x 的值域为[2，)+∞，()f x 的值域为[k ，)+∞，则实数k 的最大值为（）A ．0B ．1C ．2D ．4例20．（2022·全国·高三专题练习）已知值域为[1,)-+∞的二次函数()f x 满足(1)(1)f x f x -+=--，且方程()0f x =的两个实根12,x x 满足122x x -=．(1)求()f x 的表达式；(2)函数()()g x f x kx =-在区间[2,2]-上的最大值为(2)f ，最小值为(2)f -，求实数k 的取值范围．例21．（2022·贵州毕节·高一期末）已知函数2()2(0)f x x ax a =->．(1)当3a =时，解关于x 的不等式5()7f x -<<；(2)函数()y f x =在[],2t t +上的最大值为0，最小值是4-，求实数a 和t 的值．例22．（2022·全国·高三专题练习）问题：是否存在二次函数2()(0,,)f x ax bx c a b c R =++≠∈同时满足下列条件：(0)3f =，()f x 的最大值为4，____？若存在，求出()f x 的解析式；若不存在，请说明理由.在①(1)(1)f x f x +=-对任意x ∈R 都成立，②函数(2)y f x =+的图像关于y 轴对称，③函数()f x 的单调递减区间是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭这三个条件中任选一个，补充在上面问题中作答.例23．（2022·全国·高三专题练习）已知二次函数()f x 满足(1)(3)3,(1)1f f f -===-．（1）求()f x 的解析式；（2）若()f x 在[1,1]a a -+上有最小值1-，最大值(1)f a +，求a 的取值范围．例24．（2022·全国·高三专题练习）设函数2()1f x ax bx =++（,a b ∈R ），满足(1)0f -=，且对任意实数x 均有()0f x ≥.(1)求()f x 的解析式；(2)当11,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，若()()g x f x kx =-是单调函数，求实数k 的取值范围.【方法技巧与总结】“动轴定区间”、“定轴动区间”型二次函数最值的方法：（1）根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论；（2）根据二次函数的单调性，分别讨论参数在不同取值下的最值，必要时需要结合区间端点对应的函数值进行分析；（3）将分类讨论的结果整合得到最终结果.【过关测试】一、单选题1．（2022·全国·高三阶段练习）已知函数()2f x a x bx c =++，其中0a >，()00f <，0a b c ++=，则（）A ．()0,1x ∀∈，都有()0f x >B ．()0,1x ∀∈，都有()0f x <C ．()00,1x ∃∈，使得()00f x =D ．()00,1x ∃∈，使得()00f x >2．（2022·北京·二模）下列函数中，与函数3y x =的奇偶性相同，且在()0,+∞上有相同单调性的是（）A ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．ln y x =C ．sin y x=D ．y x x=3．（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数()()()222nf x n n x n Z =+-∈在()0,∞+上是减函数，则n 的值为（）A ．1或3-B ．1C ．1-D ．3-4．（2022·全国·高三专题练习（理））设11,,1,2,32α⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，则使函数y x α=的定义域为R ，且该函数为奇函数的α值为（）A ．1或3B ．1-或1C ．1-或3D ．1-、1或35．（2022·全国·高三专题练习（理））已知幂函数()f x x α=的图像过点(8,4)，则()f x x α=的值域是（）A ．(),0-∞B ．()(),00,-∞⋃+∞C ．()0,∞+D ．[)0,+∞6．（2022·北京·高三专题练习）设x R ∈，[]x 表示不超过x 的最大整数．若存在实数t ，使得[]1t =，2[]2t =，…，[]n t n =同时成立，则正整数n 的最大值是A ．3B ．4C ．5D ．67．（2022·全国·高三专题练习）若幂函数()mn f x x =(m ，n ∈N *，m ，n 互质)的图像如图所示，则（）A ．m ，n 是奇数，且mn<1B ．m 是偶数，n 是奇数，且m n >1C ．m 是偶数，n 是奇数，且m n <1D ．m 是奇数，n 是偶数，且m n>18．（2022·全国·高三专题练习）已知3,0()3,0x xx f x e x x x ⎧⎪=⎨⎪-<⎩ ，若关于x 的方程22()()10f x k f x ⋅--=有5个不同的实根，则实数k 的取值范围为（）A ．72(,)2e e--B ．72](,2e e --C ．72(,(,)2e e-∞--+∞ D ．72(,(,2)e e-∞--+∞二、多选题9．（2022·全国·高三专题练习）若函数244y x x =--的定义域为[)0,a ，值域为[]8,4--，则正整数a 的值可能是（）A ．2B ．3C ．4D ．510．（2022·全国·高三专题练习）已知函数2()3232x x f x =-⋅+，定义域为M ，值域为[1,2]，则下列说法中一定正确的是（）A ．[]30,log 2M =B ．(]3,log 2M ⊆-∞C ．3log 2M∈D ．0M∈11．（2022·广东揭阳·高三期末）已知函数()3f x x x =+，实数,m n 满足不等式()()2320f m n f n -+->，则（）A ．e e m n >B ．11n n m m +>+C ．()ln 0m n ->D ．20212021m n <12．（2022·全国·高三专题练习）设点(),x y 满足()55340x y x x y ++++=．则点(),x y （）A ．只有有限个B ．有无限多个C ．位于同一条直线上D ．位于同一条抛物线上三、填空题13．（2022·内蒙古赤峰·模拟预测（文））写出一个同时具有下列性质①②③的函数()f x =______．①()()f x f x -=；②当()0,x ∞∈+时，()0f x >；③()()()1212f xx f x f x =⋅；14．（2022·全国·高三专题练习（文））已知α∈112,1,,,1,2,322⎧⎫---⎨⎬⎩⎭.若幂函数f (x )＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则α＝______.15．（2022·广东肇庆·模拟预测）已知函数21()2f x x ax =++，()lng x x =-，用min{,}m n 表示m ，n 中的最小值，设函数()min{(),()}(0)h x f x g x x =>，若()h x 恰有3个零点，则实数a 的取值范围是___________.16．（2022·全国·高三专题练习）93,42M ⎛⎫⎪⎝⎭是幂函数()a f x x 图象上的点，将()f x 的图象向上平移32个单位长度，得到函数()y g x =的图象，若点(,)n T n m （*n ∈N ，且2n ）在()g x 的图象上，则239M T M T M T +++=______.四、解答题17．（2022·全国·高三专题练习）解不等式3381050(1)1x x x x +-->++．18．（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数()()2144m f x m m x+=+-在区间()0,+∞上单调递增.（1）求()f x 的解析式；（2）用定义法证明函数()()()43m g x f x x+=+在区间()0,2上单调递减.19．（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数()2242()22m m f x m m x -+=--在(0,)+∞上单调递减.（1）求m 的值并写出()f x 的解析式；（2）试判断是否存在0a >，使得函数()(21)1()ag x a x f x =--+在[1,2]-上的值域为[4,11]-？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.20．（2022·全国·高三专题练习）已知二次函数()()2,f x x ax b a b R =++∈.(1)当6a =-时，函数()f x 定义域和值域都是[1，2b，求b 的值；(2)若函数()f x 在区间()0,1上与x 轴有两个不同的交点，求()1b a b ++的取值范围.21．（2022·全国·高三专题练习）已知函数24()3f x x x a =-++，a R ∈(1)若函数()y f x =在[1-，1]上存在零点，求a 的取值范围；(2)设函数()52g x bx b =+-，b R ∈，当0a =时，若对任意的1[1x ∈，4]，总存在2[1x ∈，4]，使得12()()f x g x =，求b 的取值范围．22．（2022·全国·高三专题练习）已知函数222()()m m f x x m Z -++=∈为偶函数，且(3)(2)f f >.（1）求m 的值，并确定()f x 的解析式；（2）若()log [()5](0,a g x f x ax a =-+>且1a ≠）,是否存在实数a ，使得()g x 在区间[1,2]上为减函数.。

高三数学《幂函数》知识梳理与题型战法第二章 函数2.6.1幂函数（题型战法）知识梳理一 幂函数的概念一般地，函数y x α=称为幂函数，其中α为常数.注意：幂函数中底数是自变量，而指数函数中指数为自变量.二 幂函数的图像与性质（1）五个常见幂函数的图像： 如右图所示（2）五个常见幂函数的性质： 函数 性质 y ＝x12y x =y ＝x 2 y ＝x 3 1y x −=定义域 R [)0+∞， R R ()(),00,−∞+∞U 值域 R [)0+∞， [)0+∞， R ()(),00,−∞+∞U奇偶性奇非奇非偶偶奇奇单调性 R 上增[)0+∞，上增 (－∞，0)上减 [0，＋∞)上增R 上增(－∞，0)上减 (0，＋∞)上减公共点（1）所有的幂函数在区间()0+∞，上都有定义，因此在第一象限内都有图像，并且图像都过点()1,1.（2）如果0α>，幂函数图像过原点，并且在[)0+∞，上是增函数 （3）如果0α<，幂函数图像过原点，并且在[)0+∞，上是减函数 题型战法题型战法一 幂函数的概念典例1．下列函数是幂函数的是（ ） A ．2y x = B ．21y x =− C ．3y x = D ．2x y =【答案】C 【解析】 【分析】由幂函数定义可直接得到结果. 【详解】形如y x α=的函数为幂函数，则3y x =为幂函数. 故选：C.变式1-1．下列函数是幂函数的是（ ） A ．22y x = B ．1y x −=− C ．31y x =D ．2x y =【答案】C 【解析】 【分析】根据幂函数的定义判断. 【详解】形如y x α=（α为常数且R α∈）为幂函数， 所以，函数331=xy x −=为幂函数，函数22y x =、1y x −=−、2x y =均不是幂函数. 故选：C.变式1-2．已知幂函数()y f x =的图象过点()2,8，则()2f −的值为（ ） A ．8 B ．8− C ．4 D ．4−【答案】B 【解析】 【分析】设()af x x =，由已知条件求出a 的值，可得出函数()f x 的解析式，由此可求得()2f −的值. 【详解】设()a f x x =，由()228a f ==，可得3a =，则()3f x x =，因此，()()3228f −=−=−.故选：B.变式1-3．已知幂函数()22233m m y m m x −−=−+的图象不过原点，则实数m 的取值为（ ）A ．1B ．2C ．-2D ．1或2【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，可知系数为1，指数应小于0，由此列出不等式组，解得答案. 【详解】由题意可知：2233120m m m m ⎧−+=⎨−−<⎩， 解得1m = ,经经验，符合题意， 故选：A.变式1-4．已知幂函数()(,)f x kx k R R αα=∈∈的图象过点1(2，则k α+等于（ ） A ．12 B ．1 C ．32D ．2【答案】A 【解析】 【分析】根据幂函数的定义，结合代入法进行求解即可. 【详解】因为()f x 是幂函数，所以1k =，又因为函数()f x 的图象过点1(2，所以1211()2222ααα−==⇒=−，因此12k α+=，故选：A题型战法二 幂函数的图像典例2．函数y = ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】根据幂函数的性质判断函数值、增长特点，即可确定大致图象. 【详解】由0y =≥，排除B 、D ，根据对应幂函数的性质，第一象限增速逐渐变慢，排除C. 故选：A.变式2-1．已知幂函数()f x ()9,3，则函数()f x 的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】设出函数的解析式，根据幂函数()y f x =的图象过点(9,3)，构造方程求出指数的值，再结合函数的解析式研究其性质即可得到图象． 【详解】设幂函数的解析式为()f x x α=， ∵幂函数()y f x =的图象过点(9,3)， ∴39α=， 解得12α=∴()y f x ==[0,)+∞，且是增函数，当01x <<时，其图象在直线y x =的上方．对照选项可知C 满足题意． 故选:C ．变式2-2．如图，①②③④对应四个幂函数的图像，其中①对应的幂函数是（ ）A ．3y x =B ．2y x =C ．y x =D ．58y x =【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图象求出幂函数的指数取值范围，得到正确答案. 【详解】根据函数图象可得：①对应的幂函数y x α=在[)0,∞+上单调递增，且增长速度越来越慢，故()0,1α∈，故D 选项符合要求. 故选：D变式2-3．图中C 1、C 2、C 3为三个幂函数y x α=在第一象限内的图象，则解析式中指数α的值依次可以是（ ）A ．12、3、1− B ．1−、3、12C ．12、1−、3D ．1−、12、3【答案】D 【解析】 【分析】根据幂函数y x α=在第一象限内的图象性质，结合选项即可得出指数α的可能取值． 【详解】由幂函数y x α=在第一象限内的图象，结合幂函数的性质， 可得：图中C 1对应的0α<，C 2对应的01α<<，C 3对应的1α>， 结合选项知，指数α的值依次可以是11,,32−． 故选：D.变式2-4．已知幂函数()f x x α=和()g x x β=，其中0αβ>>，则有下列说法： ①()f x 和()g x 图象都过点()1,1； ②()f x 和()g x 图象都过点(1,1)−；③在区间[1,)+∞上，增长速度更快的是()f x ； ④在区间[1,)+∞上，增长速度更快的是()g x . 则其中正确命题的序号是（ ） A ．①③ B ．②③C ．①④D ．②④【答案】A 【解析】 【分析】由幂函数的性质进行分析判断即可 【详解】幂函数的图象过定点(1,1)，①正确，在区间[1,)+∞上，α越大y x α=增长速度更快，③正确， 故选：A.题型战法三 幂函数的定义域典例3．下列幂函数中，定义域为R 的是（ ） A ．1y x −= B ．12y x −=C ．13y x =D ．12y x =【答案】C 【解析】 【分析】直接根据幂函数的定义域可直接判断，偶次根式被开方式必须大于等于0才有意义，分式则必须分母不为0 【详解】对选项A ，则有：0x ≠ 对选项B ，则有：0x > 对选项C ，定义域为：R 对选项D ，则有：0x ≥故答案选：C变式3-1．若()342x −−有意义，则实数x 的取值范围是（ ）A ．[)2,+∞B ．(],2−∞C ．()2,+∞D ．(),2−∞【答案】C 【解析】 【分析】将分式指数幂化为根式，结合根式的性质可得出关于实数x 的不等式，即可解得实数x 的取值范围. 【详解】由负分数指数幂的意义可知，()342x −−所以20x −>，即2x >，因此x 的取值范围是()2,+∞． 故选：C.变式3-2．函数()()()102121f x x x −=−+−的定义域是（ ）A ．(],1−∞B ．11,,122⎛⎫⎛⎫−∞⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．(),1−∞−D ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】根据函数解析式有意义可得出关于实数x 的不等式组，由此可解得函数()f x 的定义域. 【详解】因为()()()()1212121f x x x x −=−+−−， 则有10210x x −>⎧⎨−≠⎩，解得1x <且12x ≠，因此()f x 的定义域是11,,122⎛⎫⎛⎫−∞⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选：B.变式3-3．5个幂函数：①2y x -=；②45y x =；③54y x =；④23y x =；⑤45y x −=.其中定义域为R 的是（ ） A ．只有①② B ．只有②③ C ．只有②④ D ．只有④⑤【答案】C 【解析】 【分析】分别写出所给函数的定义域，然后作出判断即可. 【详解】①2y x -=的定义域为(,0)(0,)−∞+∞， ②45y x =的定义域为R ， ③54y x =的定义域为(0,)+∞， ④23y x =的定义域为R ，⑤45y x −=的定义域为(,0)(0,)−∞+∞，故选：C . 【点睛】本题考查幂函数的定义，侧重考查对基础知识的理解和掌握，属于基础题. 变式3-4．若函数()12f x x −=则函数y ＝f (4 x －3)的定义域是( )A ．(－∞，＋∞)B ．3,4⎛⎫−∞ ⎪⎝⎭C ．3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．3,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】 先求出()43f x −=，根据幂函数的定义域求解即可. 【详解】 幂函数()12f x x−==()43y f x =−=, 所以430x −>，所以34x >，所以函数()43y f x =−的定义域是3,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，故选D.【点睛】本题主要考函数的定义域、不等式的解法，属于简单题.定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数()f x 的定义域为[],a b ，则函数()()f g x 的定义域由不等式()a g x b ≤≤求出.题型战法四 幂函数的值域典例4．函数2y x -=在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是（ ）A ．14B ．14−C ．4D ．4−【答案】A 【解析】 【分析】由于函数2y x -=在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，从而可求出其最小值【详解】∵函数2y x -=在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，∴2min 124y −==，故选：A. 【点睛】此题考查由函数的单调性求最值，属于基础题变式4-1．在下列函数中，定义域和值域不同的是（ ） A ．13y x = B ．12y x =C ．53y x =D ．23y x =【答案】D 【解析】 【分析】把幂函数写成根式的形式即可求出定义域及值域，逐项分析即可得解. 【详解】由13y x ==x ∈R ,y R ∈，定义域、值域相同； 由12y x ==[0,)x ∈+∞，[0,)y ∈+∞，定义域、值域相同； 由53y x ==x ∈R ,，定义域、值域相同y R ∈； 由23y x ==x ∈R ，[0,)y ∈+∞，定义域、值域不相同. 故选：D变式4-2．幂函数()y f x =的图象过点(，则函数()y x f x =−的值域是（ ） A ．(),−∞+∞ B ．1,4⎛⎫−∞ ⎪⎝⎭C ．1,4⎡⎫−+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,4⎛⎫−+∞ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】设()af x x =，带点计算可得()12f x x =，得到12y x x =−，令12t x =转化为二次函数的值域求解即可. 【详解】设()af x x =，代入点(得2a =12a ∴=， ()12f x x ∴=则12y x x =−，令12t x =，0t ≥22111244t t t y ⎛⎫=−−≥− ⎪⎝⎭∴=−函数()y x f x =−的值域是1,4⎡⎫−+∞⎪⎢⎣⎭. 故选：C.变式4-3．已知函数f (x )={3x −2,x ⩽1,x 12,1<x ⩽4,则函数()f x 值域是（ ）A ．(],2−∞B ．(]2,2−C ．(]1,4D ．(],4∞−【答案】B 【解析】 【分析】结合分段函数的单调性来求得()f x 的值域. 【详解】当1x …吋，32x y =−单调递增，值域为(]2,1−；当14x <…时，12y x =单调递增，值域为(]1,2，故函数值域为(]2,2−. 故选：B变式4-4．已知幂函数()f x x α=的图象过点1(2,)2，则函数()f x 的值域为 A ．(,0)−∞ B ．(0,)+∞ C ．(,0)(0,)−∞⋃+∞ D ．(,)−∞+∞【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：()f x x α=的图象过点1(2,)2()11212a a f x x −∴=∴=−∴=，值域为(,0)(0,)−∞⋃+∞考点：幂函数值域题型战法五 幂函数的单调性典例5．下列函数在(0,)+∞上为减函数的是（ ）A ．yB ．1y x=C ．2y x =D ．y x =【答案】B 【解析】 【分析】依据幂函数的性质去判断各选项的单调性即可解决. 【详解】选项A ：由12>可得12y x =(0,)+∞上单调递增.不符合要求，排除；选项B ：由10−<可得11y x x−==在(0,)+∞上单调递减.符合要求，可选；选项C ：由20>可得2y x =在(0,)+∞上单调递增.不符合要求，排除； 选项D ：由10>可得y x =在(0,)+∞上单调递增.不符合要求，排除. 故选：B变式5-1．已知函数()122()43f x x x =−+的增区间为（ ） A ．(3,)+∞ B ．(2,)+∞ C ．(,2)−∞ D ．(,1)−∞【答案】A 【解析】先求得函数的定义域，再令243t x x =−+，结合12y t =的单调性，利用复合函数的单调性求解. 【详解】 由2430x x −+≥， 解得3x ≥或1x ≤，因为243t x x =−+在(,1]−∞递减，在[3,)+∞递增， 又因为12y t =在[0,)+∞递增， 所以()f x 增区间为(3,)+∞ 故选：A变式5-2．已知函数()()()2,16,(1aa x x f x x x ⎧+≤=⎨−>⎩）是减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)7,2−− B ．(),2−∞−C ．(),7−∞−D ．()7,2−−【答案】A 【解析】 【分析】由分段函数()f x 是减函数及幂函数的单调性，可得()2001621a a a a ⎧+<⎪<⎨⎪−≤+⨯⎩，解不等式组即可得答案. 【详解】解：因为函数()()()2,16,(1aa x x f x x x ⎧+≤=⎨−>⎩）是减函数，所以()2001621a a a a ⎧+<⎪<⎨⎪−≤+⨯⎩，解得72a −≤<−，所以实数a 的取值范围是[)7,2−−， 故选：A.变式5-3．已知幂函数()()22244m mf x m m x −=−+在()0,∞+上是增函数，则实数m 的值为（ ） A ．1或3− B ．3 C ．1− D ．1−或3【答案】B 【解析】 【分析】由函数是幂函数，解得3m =或1m =，再代入原函数，由函数在()0,∞+上是增函数确定最后的m 值. 【详解】∵函数是幂函数，则2441m m −+=，∴3m =或1m =.当3m =时()3f x x =在()0,∞+上是增函数，符合题意；当1m =时()1f x x −=在()0,∞+上是减函数，不合题意.故选：B.变式5-4．已知幂函数()()282mf x m m x =−在()0,∞+上为增函数，则()4f =（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】A 【解析】 【分析】由于幂函数在在()0,∞+上为增函数，所以可得282100m m m ⎧−−=⎨>⎩，求出m 的值，从而可求出幂函数的解析式，进而可求得答案 【详解】由题意得282100m m m ⎧−−=⎨>⎩，得12m =，则()12f x x ==()42f =． 故选：A题型战法六 幂函数的奇偶性典例6．下列函数是奇函数的为（ ） A ．2x y = B ．1y x −= C ．12log y x =D ．2y x =【答案】B 【解析】 【分析】奇函数应该满足()()f x f x =−−，且定义域关于原点对称，对选项一一判断即可． 【详解】奇函数应该满足()()f x f x =−−，22x x −≠−，12log y x=的定义域为()0,∞+显然A,C,不成立，当0x ≠时，有()11x x −−=−−，所以1y x −=为奇函数， 由()22x x −=可知，2y x =为偶函数. 故选：B ．变式6-1．下列函数中，值域是[)0,∞+且为偶函数的是（ ）A ．2y x -=B ．e e x x y −=+C ．lg y x =D ．23y x =【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和值域确定正确选项. 【详解】2y x -=的值域为()0,∞+，不符合题意，A 选项错误.e e 2x x y −=≥=+，当0x =时等号成立，不符合题意，B 选项错误.lg y x =的定义域为()0,∞+，是非奇非偶函数，不符合题意，C 选项错误.令()23f x x =，其定义域为R ，()()()2233f x x x f x =−=−=，所以()f x 是偶函数， 且230x ≥，即()f x 的值域为[)0,∞+，符合题意，D 选项正确. 故选：D变式6-2．下列函数中，既是奇函数又是定义域内的增函数为（ ） A ．tan y x = B ．2log y x = C ．2y x= D ．3y x =【答案】D 【解析】 【分析】根据初等函数的性质及奇函数的定义结合反例逐项判断后可得正确的选项. 【详解】对于A ，tan y x =的定义域为|,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭，而233ππ>，但2tan tan 33ππ=，故tan y x =在定义域上不是增函数，故A 错误.对于B ，2log y x =的定义域为()0,+∞，它不关于原点对称，故该函数不是奇函数， 故B 错误.对于C ，因为21>时，2221<，故2y x=在定义域上不是增函数，故C 错误. 对于D ，因为3y x =为幂函数且幂指数为3，故其定义域为R ，且为增函数，而()33−=−x x ，故3y x =为奇函数，符合. 故选：D.变式6-3．设1,1,22α⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭，使函数y x α=的定义域是R ，且为偶函数的所有α的值是（ ） A ．2 B ．1，2 C ．12，2 D ．12，1，2【答案】A 【解析】 【分析】把1,1,22α=分别代入验证即可. 【详解】当12α=时，y x α==[)0,∞+，故12α≠； 当1α=时，y x x α==，定义域为R ，但是为奇函数，故1α≠； 当2α=时，2y x x α==，定义域为R ，为偶函数，故2α=. 故选：A变式6-4．已知幂函数()()2133a f x a a x +=−+为偶函数，则实数a 的值为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．1或2【答案】C 【解析】 【分析】由题意利用幂函数的定义和性质，得出结论． 【详解】幂函数()()2133a f x a a x +=−+为偶函数，2331a a ∴−+=，且1a +为偶数，则实数1a =， 故选：C题型战法七 比较大小与解不等式典例7．设0.2 1.20.21.2,0.9,0.3a b c −===，则a ，b ，c 大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c a b >> D ．c b a >>【答案】C 【解析】 【分析】利用有理指数幂和幂函数的单调性分别求得a ，b ，c 的范围即可得答案． 【详解】200. 1.211.2a >==， 1.200.90.91b =<=，b a ∴<，又0.2y x =在(0,)+∞上单调递增，0.20.20.2101 1.20.3()3a −∴<=<=，b ac ∴<<，故选：C ．变式7-1．0.20.21210.5,log ,0.43a b c ===，则（ ） A ．a c b >> B ．b c a >> C ．b a c >> D ．c a b >>【答案】C 【解析】 【分析】利用幂函数的单调性判断a b >，再利用对数函数的单调性、对数的换底公式即可求解． 【详解】幂函数0.2y x =在(0,)+∞上单调递增，00.20.20.50.50.4∴>>，1a c ∴>>，1221log log 313b ==>， b ac ∴>>，故选：C ．变式7-2．设120.7a =，120.8b =，31log 2c =，则（ ） A ．c b a << B ．c a b <<C ．a b c <<D ．b a c <<【答案】B【分析】根据函数单调性和中间值比较函数值大小. 【详解】因为12y x =在[)0,∞+上单调递增，0.70.8<，所以121200780..b a <=<=，而331log log 102c =<=，故c a b <<. 故选：B变式7-3．已知1122(52)(1)m m −<−，则m 的取值范围是（ ） A ．(2,+∞) B ．52,2⎛⎤⎥⎝⎦C ．(),2−∞D ．[)1,2【答案】B 【解析】由幂函数的性质，可得0521m m ≤−<−，解不等式组可得答案 【详解】解：因为1122(52)(1)m m −<−， 所以0521m m ≤−<−， 解得522m <≤， 故选：B变式7-4．若1122(1)(32)a a +<−，则实数a 的取值范围是（ ） A ．31,2⎡⎤−⎢⎥⎣⎦B ．21,3⎡⎫−⎪⎢⎣⎭C ．2,3⎛⎫−∞ ⎪⎝⎭D ．3,2⎛⎤−∞ ⎥⎝⎦【答案】B 【解析】首先利用幂函数的单调性得到10320132a a a a +≥⎧⎪−≥⎨⎪+<−⎩，再解不等式组即可.【详解】因为1122(1)(32)a a +<−，所以10320132a a a a+≥⎧⎪−≥⎨⎪+<−⎩，解得213a −≤<.。

突破3.3 幂函数（重难点突破）一、知识结构思维导图二、学法指导与考点梳理重难点一幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数.(2)常见的5种幂函数的图象(3)幂函数的性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减.三、重难点题型突破重难点1 求幂函数的解析式幂函数的解析式是一个幂的形式，且需满足： (1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.例1．已知幂函数()y f x =的图象过点1(,22，则4log (2)f 的值为（ ） A ．14-B ．14C ．2-D ．2【答案】B【解析】设幂函数的表达式为()nf x x =，则12n⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得12n =， 所以()12f x x=，则()11224421111log 2log 2log 22224f ===⨯=.故答案为B.【点睛】本题考查了幂函数，以及对数的运算，属于基础题． 例2.（2020·河北衡水中学调研）幂函数()221()21m f x m m x -=-+在()0,∞上为增函数，则实数m 的值为（ ） A ．0 B ．1C ．1或2D ．2【答案】D 【解析】由题意()f x 为幂函数，所以2211m m -+=，解得0m =或2m =. 因为()f x 在()0,∞上为增函数，所以210m ->，即12m >，所以2m =. 故选D.例3.（2020·陕西省高二期末（文））若函数()223()1m m f x m m x+-=--是幂函数且在(0,)+∞是递减的，则m =（ ）A ．-1B ．2C ．-1或2D ．3【答案】A 【解析】函数()223()1m m f x m m x+-=--是幂函数且在(0,)+∞是递减的，则221130m m m m ⎧--=⎨+-<⎩，解得1m =-． 故选：A ．【变式训练1】.（2020·河南省实验中学模拟）幂函数y ＝f (x )经过点(3，3)，则f (x )是( )A ．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数B ．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数C ．奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数D ．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 【答案】D【解析】设幂函数的解析式为y ＝x α，将(3，3)代入解析式得3α＝3，解得α＝12，∴y ＝x 12，其是非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数．故选D ．【变式训练2】.(2020·四川成都模拟)已知幂函数f (x )＝x α，当x >1时，恒有f (x )<x ，则α的取值范围是( )A ．(0，1)B ．(－∞，1)C ．(0，＋∞)D ．(－∞，0)【答案】B【解析】当x >1时，恒有f (x )<x ，即当x >1时，函数f (x )＝x α的图象在y ＝x 的图象的下方，作出幂函数f (x )＝x α在第一象限的图象，由图象可知(图略)α<1时满足题意．故选B重难点2 幂函数的图像及其性质的应用 (二) 幂函数的图像及其性质的应用1．幂函数y =x α的图象与性质，由于α值的不同而比较复杂，一般从两个方面考查： ①α的正负：当α>0时，图象过原点，在第一象限的图象上升；当α<0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立． ②幂函数的指数与图象特征的关系当α≠0，1时，幂函数y =x α在第一象限的图象特征如下：2．利用幂函数的单调性比较幂值大小的技巧：结合幂值的特点利用指数幂的运算性质化成同指数幂，选择适当的幂函数，借助其单调性进行比较.例4.（2020·山东临沂一中质检）幂函数y ＝x (m ∈Z)的图象如图所示，则m 的值为( )2-2-3m mA ．－1B ．0C ．1D ．2【答案】C【解析】从图象上看，由于图象不过原点，且在第一象限下降，故m 2－2m －3＜0，即－1＜m ＜3；又从图象看，函数是偶函数，故m 2－2m －3为负偶数，将m ＝0,1,2分别代入，可知当m ＝1时，m 2－2m －3＝－4，满足要求．例5．有四个幂函数：①()1f x x -=；②()2f x x -=；③()3f x x =；④()13f x x =.某同学研究了其中的一个函数，他给出这个函数的三个性质：（1）偶函数；（2）值域是{y y ∈R ，且}0y ≠；（3）在(),0-∞上是增函数.如果他给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是（ ） A ．① B ．② C ．③ D ．④【答案】B【解析】①()1f x x -=只满足值域是{y y ∈R ，且}0y ≠；③()3f x x =只满足在(),0-∞上是增函数；④()13f x x =只满足在(),0-∞上是增函数；②()2f x x -=是偶函数，在(),0-∞上是增函数，但其值域是{}0y y >.故选：B.【点睛】本小题主要考查幂函数的单调性、值域和奇偶性，考查分析与推理的能力，属于基础题.【变式训练1】．已知点(2,8)在幂函数()nf x x =的图象上，设,(ln ),a f b f c f π===⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．b a c <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．a c b <<【答案】D【解析】由已知得：82n =，解得：3n =，所以3()f x x =，因为13<，12<，ln ln 1e π>=，又03266--==<，所以ln 32π<< 由3()f x x =在R上递增，可得：(ln )f f f π<<⎝⎭⎝⎭，所以a c b <<.、ln π三个数的大小时，引入中间变量1，这是比较大小的常用方法. 重难点3 复合函数例6．（2018·全国高一课时练习）已知函数f (x )＝a ＋b x (b ＞0，b ≠1)的图像过点(1,4)和点(2,16)．(1)求f (x )的表达式．(2)解不等式231()2x f x -⎛⎫>⎪⎝⎭(3)当x ∈(－3,4]时，求函数g (x )＝log 2f (x )＋x 2－6的值域． 【答案】（1）f (x )＝4x .（2）(－1,3)．(3)[－7,18]．【解析】解：(1)由题知24,16,a b a b =+⎧⎨=+⎩所以0,4,a b =⎧⎨=⎩或7,3,a b =⎧⎨=-⎩(舍去)． 所以f (x )＝4x .(2)因为4x＞12⎛⎫⎪⎝⎭3－x2，所以22x＞2x2－3.所以2x＞x2－3.所以x2－2x－3＜0.所以－1＜x＜3.所以不等式的解集为(－1,3)．(3)g(x)＝log24x＋x2－6＝log222x＋x2－6＝2x＋x2－6＝(x＋1)2－7.因为－1∈(－3,4]，所以g(x)min＝－7，当x＝4时，g(x)max＝18.所以值域为[－7,18]．例7．（2017·全国高一课时练习）已知函数f(x)=x2−x＋k，且log2f(a)=2，f(log2a)=k，a＞0，且a≠1.（1）求a，k的值；（2）当x为何值时，f(log a x)有最小值？求出该最小值．【答案】（1）；（2）时，f(log a x)有最小值.【解析】（1）因为，所以，又a＞0，且a≠1，所以.（2）f(log a x)=f(log2x)=(log2x)2−log2x＋2=(log2x−)2＋.所以当log 2x=，即时，f(log a x)有最小值.【变式训练1】．（2019·江苏省金陵中学高一期中）若函数满足.（1）求的值及的解析式；（2）试判断是否存在正数，使函数在区间 上的取值范围为区间 ?若存在，求出正数的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）或，；（2）存在.【解析】(1)∵，∴．故，解得. 又∵，∴或.当或时，，∴.(2) 存在，求解如下：假设存在满足题设，由(1)知，，∵，∴两个最值点只能在和处取得， ()()22kk f x x k N -++=∈()()23f f <k ()f x q ()()()121g x qf x q x =-+-[]1,2-174,8⎡⎤-⎢⎥⎣⎦q 0k =1k =()2f x x =2q()()23f f <22213k k -++⎛⎫<⎪⎝⎭220k k -++>12k -<<k Z ∈0k =1k =0k =1k =222k k -++=()2f x x =2q 0q >()()[]2211,1,2g x qx q x x =-+-+∈-()21g =-1x =-212q x q-=，， 而， ∴，即，此时，故符合题意．()123g q -=-2214124q q g q q ⎛⎫-+=⎪⎝⎭()()224121411230244q q q g g q q q q -⎛⎫-+--=-+=≥ ⎪⎝⎭()()min 1234g x g q =-=-=-2q()2max411748q g x q +==2q四、课堂定时训练（45分钟）1．若幕函数()f x 的图像经过点1,42⎛⎫⎪⎝⎭，则该函数的图像（ ） A ．关于x 轴对称 B ．关于y 轴对称 C ．关于原点对称 D ．关于直线y x =对称 【答案】B【解析】设()f x x α=，依题意可得1()42α=，解得2α=-，所以2()f x x -=，因为22()()()f x x x f x ---=-==，所以()f x 为偶函数，其图象关于y 轴对称.故选：B.2．幂函数()y f x =图象过点11(,)42，则[(9)]f f =（ ）A B ．3 C ．13D 【答案】A【解析】设()y f x x α==，因为幂函数()y f x =图象过点11(,)42，所以有11()24α=，解得12α=，所以12()y f x x ===，因为(9)3f ==，所以[(9)](3)f f f ==故选：A3．幂函数()y f x =的图象经过点，则()f x 是（ ） A ．偶函数，且在(0,)+∞上是增函数B ．偶函数，且在(0,)+∞上是减函数C ．奇函数，且在(0,)+∞上是减函数D ．非奇非偶函数，且在(0,)+∞上是增函数【答案】D【解析】设幂函数()af x x =，因为图象经过点，所以3a =，12a =. 故()12f x x =，因为0x ≥，所以()f x 为非奇非偶函数，且在(0,)+∞上是增函数.故选：D4．已知函数是幂函数且是上的增函数，则的值为( ) A ．2 B ．－1C ．－1或2D ．0【答案】B 【解析】由题意得， 故选：B.5．满足的实数m 的取值范围是（ ）.A ．B ．C ．D ． 【答案】D 【解析】幂函数在为减函数，且函数值为正，在为减函数，且函数值为负，等价于，()253()1m f x m m x --=--(0,)+∞m 211,530,1m m m m --=-->∴=-1133(1)(32)m m --+<-23,32⎛⎫⎪⎝⎭23,1,32⎛⎫⎛⎫-∞⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭23(,1),32⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭13y x-=(0,)+∞(,0)-∞1133(1)(32)m m --+<-或或， 解得或或， 所以不等式的解集为. 故选：D.6．若幂函数的图像过点，则不等式的解集为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】设幂函数的解析式为，∵幂函数的图象过点，∴，∴，∴，∴的定义域为，且单调递增， ∵等价于，解得，∴的解集为.故选：D .7．（2020·黑龙江省鹤岗一中高二期末（文））幂函数()2f x x -=的单调增区间为______.320132m m m ->⎧⎨+>-⎩10132m m m +<⎧⎨+>-⎩32010m m ->⎧⎨+<⎩2332m <<m ∈∅1m <-23(,1),32⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭()f x (4,2)()2()f x f x <(,0)(1,)-∞⋃+∞(0,1)(,0)-∞(1,)+∞()f x x α=()f x (4,2)24α=12α=12()f x x =()f x [0,)+∞()2()f x f x <20x x x ≥⎧⎨>⎩1x >()2()f x f x<(1,)+∞【答案】(),0-∞ 【解析】因为幂函数()2f x x -=在()0,∞+是减函数，又因为函数()221f x x x -==是偶函数，所以函数在(),0-∞是增函数. 故答案为：(),0-∞8．（2020·上海高一课时练习）函数3y x -=在区间[2,0)-上的值域为__________．【答案】1(,]8-∞- 【解析】因为幂函数3y x -=在区间[2,0)-上为减函数，所以当2x =-时，函数取得最大值18-，又当0x →时，y →-∞，所以函数3y x -=在区间[2,0)-上的值域为1(,]8-∞-.故答案为：1(,]8-∞-.9．（2020·浙江省高二期中）幂函数()f x 的图像经过点(4,2)P ，则(9)f =_______. 【答案】3 【解析】设幂函数()f x x α=，()f x 图像经过点(4,2)P ，42α∴=，12α∴=， ()12f x x ∴=， ()12993f ∴==.故答案为：310．（2020·上海高一课时练习）函数()f x 既是幂函数又是二次函数，则()f x =_________；函数()g x 既是幂函数又是反比例函数，则()g x =_________．【答案】2x 1x - 【解析】因为()f x 是幂函数，所以设()f x x α=（α为常数），又因为()f x 又是二次函数，所以2α=，即2()f x x =因为()g x 是幂函数，所以设()g x x β=（β为常数），又因为()g x 又是反比例函数，所以1β=-，即1()g x x -=故答案为：2x ；1x -11．（2020·全国高一课时练习）已知幂函数2223(1)m m y m m x --=--⋅，求此幂函数的解析式，并指出其定义域.【答案】3y x -=或0y x =，{|0}x x ≠. 【解析】2223(1)m m y m m x--=--为函数，211m m ∴--=，解得2m =或1m =-.当2m =时，2233m m --=-，则3y x -=，且有0x ≠；当1m =-时，2230m m --=，则0y x =，且有0x ≠.故所求幂函数的解析式为3y x -=或0y x =，它们的定义域都是{|0}x x ≠.。