高中数学幂函数考点及经典例题题型突破

幂函数、二次函数

考纲解读 1.结合函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1x ，y ＝x 1

2的图象解决简单的幂函数问题；

2.用待定系数法求二次函数解析式，结合图象解决二次函数问题；

3.用二次函数、方程、不等式之间的关系解决综合问题．

[基础梳理]

1．幂函数

(1)定义：一般地，函数y ＝x α叫作幂函数，其中底数x 是自变量，α是常数． (2)幂函数的图象比较：

2．二次函数 (1)解析式：

一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． 顶点式：f (x )＝a (x －h )2＋k (a ≠0)． 两根式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． (2)图象与性质：

(－∞，＋∞)

(－∞，＋∞)

[三基自测]

1．已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝⎛⎭⎫12，2

2，则k ＋α＝( )

A.1

2 B ．1 C.32 D ．2

答案：C

2．已知函数f (x )＝x 2＋4ax 在区间(－∞，6)内单调递减，则a 的取值范围是( ) A ．a ≥3 B ．a ≤3 C ．a <－3 D ．a ≤－3 答案：D

3．幂函数f (x )＝xa 2－10a ＋23(a ∈Z )为偶函数，且f (x )在区间(0，＋∞)上是减函数，则a 等于( )

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6 答案：C

4．(必修1·第一章复习参考题改编)若g (x )＝x 2＋ax ＋b ，则g (2)与1

2[g (1)＋g (3)]的大小关

系为________．

答案：g (2)<1

2

[g (1)＋g (3)]

5．(2017·高考全国卷Ⅰ改编)函数y ＝x 2＋1

x

的增区间为__________．

答案：⎝ ⎛⎭

⎪⎫132，＋∞

[考点例题]

考点一 幂函数的图象和性质|易错突破

[例1] (1)已知幂函数f (x )＝，若f (a ＋1)

(2)若f (x )＝

－

，则满足f (x )＜0的x 的取值范围是________．

[解析] (1)∵f (x )＝＝

1

x

(x >0)，易知x ∈(0，＋∞)时为减函数，又f (a ＋1)

⎧

a ＋1>0，10－2a >0，a ＋1>10－2a ，

解得⎩⎪⎨⎪

⎧

a >－1，a <5，

a >3，

∴3

故a 的取值范围是(3,5)． (2)令y 1＝

，y 2＝

，f (x )＜0，即为y 1＜y 2，函数y 1＝

，y 2＝

的图象如图所示，观察图象，当0＜x ＜1时，y 1＜y 2，所以满足f (x )＜0的x 的取值范围是(0,1)．

[答案] (1)(3,5) (2)(0,1) [易错提醒]

1．分不清指数函数与幂函数，比较幂值大小时，若底数相同，指数不同可考虑指数函数；若底数不同指数相同，可考虑幂函数．

2．幂函数的单调性只与指数的正、负有关，要注意幂函数定义域．

[纠错训练]

1．设12＜⎝⎛⎭⎫12b ＜⎝⎛⎭⎫12a

＜1，那么( )

A ．a a ＜a b ＜b a

B ．a a ＜b a ＜a b

C ．a b ＜a a ＜b a

D ．a b ＜b a ＜a a

解析：因为y ＝⎝⎛⎭⎫12x 是减函数，12＜⎝⎛⎭⎫12b ＜⎝⎛⎭⎫12a

＜1，所以0＜a ＜b ＜1.当0＜a ＜1时，y ＝a x 为减函数，所以a b ＜a a ，排除A ，B ；因为y ＝x a 在第一象限内为增函数，所以a a ＜b a .故选C.

答案：C

2．若(a ＋1)－

2>(3－2a )－

2，则a 的取值范围是__________． 解析：由y ＝x －2的图象关于x 轴对称知，函数y ＝x

－2

在(0，＋∞)上是减函数，在(－∞，

0)上是增函数．

因为(a ＋1)－

2>(3－2a )－

2， 所以⎩⎪⎨⎪

⎧

3－2a >0，a ＋1>0，

3－2a >a ＋1，或⎩⎪⎨⎪

⎧

3－2a <0，a ＋1<0，

3－2a

或⎩⎪⎨⎪

⎧

3－2a >0，a ＋1<0，

3－2a >－(a ＋1)，

或

⎩⎪⎨⎪

⎧

3－2a <0，a ＋1>0，－(3－2a )>a ＋1，

解得－1

3或a ∈∅或a <－1或a >4，所以a 的取值范围是(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫－1，23∪(4，＋∞)．

答案：(－∞，－1)∪⎝

⎛⎭⎫－1，2

3∪(4，＋∞)

考点二 二次函数的解析式|方法突破

[例2] 已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．

[解析] 法一：(利用一般式) 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． 由题意得⎩⎪⎨

⎪⎧

4a ＋2b ＋c ＝－1，

a －

b ＋

c ＝－1，

4ac －b 2

4a ＝8，

解得⎩⎪⎨⎪

⎧

a ＝－4，

b ＝4，

c ＝7.

∴所求二次函数为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 法二：(利用顶点式) 设f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)． ∵f (2)＝f (－1)，

∴抛物线的对称轴为x ＝2＋(－1)2＝1

2.

∴m ＝1

2.又根据题意函数有最大值8，∴n ＝8.

∴y ＝f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x －1

22＋8. ∵f (2)＝－1，

∴a ⎝⎛⎭⎫2－1

22＋8＝－1，解得a ＝－4， ∴f (x )＝－4⎝⎛⎭⎫x －1

22＋8＝－4x 2＋4x ＋7. 法三：(利用零点式)

由已知f (x )＋1＝0两根为x 1＝2，x 2＝－1， 故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)， 即f (x )＝ax 2－ax －2a －1. 又函数有最大值y max ＝8， 即4a (－2a －1)－a 2

4a

＝8.