排列组合二项式定理
教学过程
一、考纲解读
该部分在高考试卷中一般是1到2个小题，分值在5-10分。主要考查两个基本原理、排列组合的基础知识和方法，考查二项式定理的基础知识及其简单应用.
在复习中要在解一些常规题型上下功夫，需要掌握基本的解题方法.在平时的复习中要能够体会计数原理在概率分布中的应用，特别是用排列组合解决的大题.
对于二项式定理，重点考查二项式定理的通项.以及二项式系数和项的系数.
二、复习预习
（1）分类加法计数原理、分步乘法计数原理
①理解分类加法计数原理和分类乘法计数原理；
②会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题.
（2）排列与组合
①理解排列、组合的概念.
②能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.
③能解决简单的实际问题.
（3）二项式定理
①能用计数原理证明二项式定理.
②会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
三、知识讲解
考点1 分类加法计数原理、分步乘法计数原理
①理解分类加法计数原理和分类乘法计数原理；
②会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题.
考点2 排列与组合
①理解排列、组合的概念.
②能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.
③能解决简单的实际问题.
考点3 二项式定理
①能用计数原理证明二项式定理.
②会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
四、例题精析
例1 [2014全国1卷] 4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率 ( )
A .18
B .38
C .58
D .78
【规范解答】解法1.选D （直接法）
4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动共有4
216=种，
周六、周日都有同学参加公益活动有两种情况：①一天一人一天三人有11428C A =种；②每天2人有22426C C =种，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为
867
168
+=； 解法2.选D （间接法）
4位同学都在周六或周日参加公益活动有2种，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为1627
168
-=；选D.
【总结与反思】 （1）本题考查古典概型，是一个古典概型与排列组合结合的问题，解题时先要判断该概率模型是不是古典概型，再要找出随机事件A 包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．是一道基础题。
（2）解题步骤：求得4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动、周六、周日都有同学参加公益活动的情况，利用古典概型概率公式求解即可．解法2更好一些，正难则反的思想来解决。 （3）近几年往往将排列组合、概率相结合考查, 都是以考查基本概念、基础知识和基本运算为主，能力要求主要是以考查分析问题和解决问题为主。
例2 [2014全国1卷] 8
()()x y x y -+的展开式中2
7
x y 的系数为 .(用数字填写答案) 【规范解答】解法1：填20-
8()x y +展开式的通项为818(0,1,
,8)r r r r T C x y r -+==，
∴7
7
7
888T C xy xy ==，62
6
2
6
7828T C x y x y ==
∴8()()x y x y -+的展开式中27x y 的项为7
262720288y x y x y xy x -=⋅-⋅，故系数为20-。 解法2：填20-
8()()x y x y -+=722))((y x y x +- 则要产生含27x y 的项必须从7)(y x +中的展开项提取7y 和52y x 这
两项，所以27x y 的系数为05
77=20C C --
【总结与反思】 本题考查二项式定理系数的性质，二项式定理的应用，考查计算能力，为容易题。解法1由题意依次求出8)(y x +中7xy ，62y x 两项的系数，求和即可．解法2中是先用平方差化简，再用二项式通项公式解决，比解决1运算题稍少一点。利用定理求展开式的特定项，其实上就是抓通项公式来求解特定项问题，这类问题在一般出现在前四题的位置，通常考查常数项、有理项的问题比较多。
例3 [2014上海卷] 为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是___________。（结果用最简分数表示） 【规范解答】
1
15
。 选择连续3天的种数为8种，则概率为
3
1081
15
C =。 【总结与反思】 考查结合排列组合知识考查古典概型的概率计算.属于容易题.
例4 [2014全国大纲卷]有6名男医生，5名女医生，从中选出2名男医生，1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选共有( )
(A)60种 (B) 70种 (C)75种 (D) 150种 【规范解答】选（C ）.（求解对照）由已知有
6名男医生从中选出2名,有1526=C 种;5名女医生,从中选出1名, 有51
5=C 种。
则6名男医生，5名女医生，从中选出2名男医生，1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选共有
751526=⋅C C （种） 选（C ）.
【总结与反思】 本题考查考生运用分步计数原理分析、解决问题的能力，考查有条件排列以及排列数公式的应用，考查考生利用排列组合知识经济实际问题的能力和逻辑推理能力。以现实生活中的情境为素材，强调数学在现实生活中的应用性，在考查数学基础知识的同时，激发考生对数学知识的学习兴趣，有利于中学数学教学。
例5[2014北京卷] 把5件不同产品摆成一排，若产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法有_______种. 【规范解答】36
先只考虑A 与产品B 相邻．此时用捆绑法，将A 和B 作为一个元素考虑，共有44A 24=种方法．而 A 和B 有2种摆放顺序，故总计242=48⨯种方法．再排除既满足A 与B 相邻，又满足A 与C 相邻的情况，此时用捆绑法，将A B C ，，作为一个元素考虑，共有33A 6=种方法，而
A B C ，，有2种可能的摆放顺序，故总计62=12⨯种方法．综上，符合题意的摆放共有481236-= 种．
【总结与反思】 分类讨论过程中如果正面很复杂,而反面情况相对较简单,我们可以从反面入手.此为,正难则反.从反面考虑.是一种常用的解题思路.
例6[2014辽宁卷6] 把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的做法种数为（ ） A ．144 B ．120 C ．72 D ．24 【规范解答】解法1 选（D ）（插空法）
第一步：3人全排，有3
3A =6种方法，第二步：3人全排形成4个空，在前3个或后3个或中间两个空中
插入椅子，有4种方法，第三步：根据乘法原理可得所求坐法种数为6×4=24种． 解法2选（D ）（直接法）
将6把椅子依次编号为1，2,3，，4,5,6，故任何两人不相邻的做法，可安排：“1,3,5,”，“1,3,6”，“1,4,6”，“2,4,6”
号位置就坐，故总数为433A =24.
【总结与反思】 （1）涉及到计数原理、排列、乘法原理等基本知识点；
（2）解法1涉及到3个步骤：3人全排，插空，求结果；解法2涉及到了：编号，排座，得结果； （3）排列、组合是高考数学考查的热点，常常和概率、期望等问题放在一起考查，单独作为考题时有出现，都属于过度类型的题目，难度一般处于中档偏易.
例7[2014四川卷] 六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有( )
A ．192种
B ．216种
C ．240种
D ．288种
【规范解答】当最左端为甲时，排法有55A 种，当最左端为乙时，排法有1
4
44C A ⋅种，所以共有514544+=216A C A ⋅种.故选B .
【总结与反思】 本题考查计数原理、排列组合的应用，以及分类思想及运算能力，难度中档．
例8[2014浙江卷] 在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有 种（用数字作答）.
【规范解答】分两种情况：一种是有一人获得两张奖券，一人获得一张奖券，有C 23A 2
4＝36种；另一种是
三人各获得一张奖券，有A 34＝24种．故共有60种获奖情况．
【总结与反思】 （1）本题考查了分类加法计数原理与分步乘法计数原理以及排列组合的概念、排列数和组合数的计算等知识点．
（2）排列组合问题一般解决方法较多，但分类和分步的问题是常见的排列组合问题．本题的切入点是根据获奖人数分类,解决的步骤是先分类再分步，注意点是5张无奖的奖券是相同元素．
（3）涉及分类与整合的基本数学思想．
例9[2014重庆卷] 某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（ ）
A.72
B.120
C.144
D.3
【规范解答】先排歌舞，有33A 种不同排法，再插入小品和相声，若小品插入两边，则不合题意；若两个小品插入中间的两个空，×^×^×，则1个相声可以插入中间和两边6个位置的任意一个，有2126A A 种；若
两个小品插入2个中间位置中的1个和两边中任意一个位置，则1个相声只能插入2个中间位置中的另一
个，有224A ，由加法原理和乘法原理得，共有32123262(4)120A A A A +=。
【总结与反思】 本题考查加法原理、乘法原理、排列、组合，涉及分类讨论，属中档题。
易错提醒：排列组合问题最易多或少。如：先排2个小品，再插入1个相声，再插入3个歌舞，得213214A A A 或213234A A A ，都是错误的。正确分类是解决这类问题最常用的方法。
例10[2014福建卷] 用a 代表红球，b 代表蓝球，c 代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个篮球中取出若干个球的所有取法可由()()b a ++11的展开式ab b a +++1表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a ”表示取出一个红球，面“ab ”用表示把红球和篮球都取出来.以此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的篮球都取出或都不取出的所有取法的是
A ．()()()5
55432111c b a a a a a +++++++ B.()()
()5
54325111c b b b b b a +++++++
C. ()()()554325
111c b b b b b a +++++++ D.()()()
54325
5111c c c c c b a +++++++
【规范解答】由题意得，从5 个无区别的红球取出若干个球对应于5
4321a a a a a +++++；从 5 个无区别的蓝球中取球，且所有的蓝球都取出或都不取出对应于15
+b ；从5个有区别的黑球中取出若干个球(可分为5 类不同的黑球)对应于)1)(1)(1)(1)(1(c c c c c +++++，根据乘法原理，故选A 。
【总结与反思】 本题以“母函数”为背景，考查“母函数”在排列组合问题中的应用.主要通过新定义问题考查创新意识. 课程小结
1.排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理．
2.解决排列组合综合性问题的一般过程如下: (1).认真审题弄清要做什么事
(2).怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类．
(3).确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. (4).解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略
排列组合二项式定理 教学过程 一、考纲解读 该部分在高考试卷中一般是1到2个小题，分值在5-10分。主要考查两个基本原理、排列组合的基础知识和方法，考查二项式定理的基础知识及其简单应用. 在复习中要在解一些常规题型上下功夫，需要掌握基本的解题方法.在平时的复习中要能够体会计数原理在概率分布中的应用，特别是用排列组合解决的大题. 对于二项式定理，重点考查二项式定理的通项.以及二项式系数和项的系数. 二、复习预习 （1）分类加法计数原理、分步乘法计数原理 ①理解分类加法计数原理和分类乘法计数原理； ②会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题. （2）排列与组合 ①理解排列、组合的概念. ②能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式. ③能解决简单的实际问题. （3）二项式定理 ①能用计数原理证明二项式定理. ②会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 三、知识讲解 考点1 分类加法计数原理、分步乘法计数原理 ①理解分类加法计数原理和分类乘法计数原理； ②会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题. 考点2 排列与组合 ①理解排列、组合的概念. ②能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式. ③能解决简单的实际问题.
考点3 二项式定理 ①能用计数原理证明二项式定理. ②会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 四、例题精析 例1 [2014全国1卷] 4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率 ( ) A .18 B .38 C .58 D .78 【规范解答】解法1.选D （直接法） 4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动共有4 216=种， 周六、周日都有同学参加公益活动有两种情况：①一天一人一天三人有11428C A =种；②每天2人有22426C C =种，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为 867 168 +=； 解法2.选D （间接法） 4位同学都在周六或周日参加公益活动有2种，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为1627 168 -=；选D. 【总结与反思】 （1）本题考查古典概型，是一个古典概型与排列组合结合的问题，解题时先要判断该概率模型是不是古典概型，再要找出随机事件A 包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．是一道基础题。 （2）解题步骤：求得4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动、周六、周日都有同学参加公益活动的情况，利用古典概型概率公式求解即可．解法2更好一些，正难则反的思想来解决。 （3）近几年往往将排列组合、概率相结合考查, 都是以考查基本概念、基础知识和基本运算为主，能力要求主要是以考查分析问题和解决问题为主。 例2 [2014全国1卷] 8 ()()x y x y -+的展开式中2 7 x y 的系数为 .(用数字填写答案) 【规范解答】解法1：填20- 8()x y +展开式的通项为818(0,1, ,8)r r r r T C x y r -+==， ∴7 7 7 888T C xy xy ==，62 6 2 6 7828T C x y x y == ∴8()()x y x y -+的展开式中27x y 的项为7 262720288y x y x y xy x -=⋅-⋅，故系数为20-。 解法2：填20-
8、九张卡片分别写着数字0,1，2，…，8，从中取出三张排成一排组成一个三位数，如果6可以当作9使用，问 可以组成多少个三位数？ 【参考答案】可以分为两类情况： ① 若取出6，则有() 2111 82772P C C C +种方法； ②若不取6，则有1277C P 种方法． 根据分类计数原理，一共有() 2111 8277 2P C C C ++1277C P ＝602种方法． 9、从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选取5台,其中至少有原装与组装计算机各两台,则不同的取法有 种. 【参考答案】由分析，完成第一类办法还可以分成两步：第一步在原装计算机中任意选取2台，有26C 种方法； 第二步是在组装计算机任意选取3台，有35C 种方法，据乘法原理共有3 526C C ?种方法.同理，完成第二类办法中有2536C C ?种方法.据加法原理完成全部的选取过程共有+?3526 C C 3502 536=?C C 种方法. 经典例题： 例1．四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同取法共有（ ） A ．150种 B. 147种 C. 144种 D. 141种 【答案】取出的四个点不共面的情况要比取出的四个点共面的情况复杂，可采用间接法， 先不加限制任取四点，再减去四面共点的取法． 在10个点中任取4点，有4 10C 种取法，取出的4点共面有三类 第一类：共四面体的某一个面，有44 6C 种取法； 第二类：过四面体的一条棱上的三点及对棱的中点，如图中的平面ABE ，有6种取法； 第三类：过四面体的四条棱的中点，面与另外两条棱平行，如图中的平面EFGM ，共有3个． 故取4个不共面的点的不同取法共有4 10C －(44 6C ＋6＋3)＝141，因此选D 例2. 一天要排语文、数学、英语、生物、体育、班会六节课（上午四节，下午二节），要求上午第一节不排体育，
2020年高考数学（理）二轮专项复习 专题10 排列组合二项式定理 排列、组合与二项式定理是高中数学中内容相对独立的一个部分，排列、组合的知识为概率与统计中的计数问题提供了一定的方法． 这部分内容的试题有一定的综合性与灵活性，要注意与其他数学知识的联系，注意与实际生活的联系．通过对典型例题的分析，总结思维规律，提高解题能力． §10－1 排列组合 【知识要点】 1．分类计数原理与分步计数原理． 2．排列与组合． 3．组合数的性质： (1)； (2)． 【复习要求】 理解和掌握分类计数与分步计数两个原理．在应用分类计数原理时，要注意“类”与“类”之间的独立性和等效性，在应用分步计数原理时，要注意“步”与“步”之间的相关性和连续性． 熟练掌握排列数公式和组合数公式，注意题目的结构特征和联系；掌握组合数的两个性质，并应用于化简、计算和论证． 正确区别排列与组合的异同，体会解计数问题的基本方法，正确处理附加的限制条件． 【例题分析】 例1 有3封信，4个信筒． (1)把3封信都寄出，有多少种寄信方法? ⋅=-=-=m n m n m n m n A A m n m n C m n n A )!(!!,)!(!m n n m n C C -=1 1-++=m n m n m n C C C
(2)把3封信都寄出，且每个信筒中最多一封信，有多少种寄信方法? 【分析】(1)分3步完成寄出3封信的任务：第一步，寄出1封信，有4种方法；第二步，再寄出1封信，有4种方法；第三步，寄出最后1封信，有4种方法，完成任务．根据分步计数原理，共有4×4×4＝43＝64种寄信方法． (2)典型的排列问题，共有＝24种寄信方法． 例2 在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A ，B 两种作物，每种作物种植1垄，为有利于作物生长，要求A ，B 两种作物的间隔不小于6垄，则不同的种植方法共有______种． 解：设这10垄田地分别为第1垄，第2垄，…，第10垄，要求A ，B 两垄作物的间隔不少于6垄，所以第一步选垄的方式共有(1，8)，(1，9)，(1，10)，(2，9)，(2，10)，(3，10)这6种选法，第二步种植两种作物共有＝2种种植法，所以共有6×2＝12种选垄种植方法． 【评述】排列组合是解决计数问题的一种重要方法．但要注意，计数问题的基本原理是分步计数原理和分类计数原理，是最普遍使用的，不要把计数问题等同于排列组合问题． 对某些计数问题，当运用公式很难进行时，适时采取原始的分类枚举方法往往是最好的．如例2． 在具体的计数问题的解决过程中，需要决策的是，这个计数问题需要“分步”还是“分类”完成，再考虑这个计数问题是排列问题、组合问题还是一般的计数问题．如例1的两个问题． 例3 某电子表以6个数字显示时间，例如09:20:18表示9点20分18秒．则在0点到10点之间，此电子表出现6个各不相同数字来表示时间的有______次． 【分析】分步来确定电子表中的六个数字如下： 第一步：确定第一个数字，只能为0，只有1种方法； 第二步：确定第三位数字，只能为0至5中的一个数(又不能与首位相同)，所以只有5种方法； 第三步：确定第五位数字，也只能为0至5中的一个数(又不能与首位，第三位相同)，所以只有4种方法； 第四步：确定剩下三位数字，0至9共10个数字已用了3个，剩下的7个数字排列在2，4，6位共有种排法． 由分步计数原理得：1×5×4×＝4200种． 【评述】做一件事情分多步完成时，我们一般先做限制条件较大的一步，如本题中，首位受限条件最大，其次为三、五位，所以我们先排首位，再排三、五位，最后排其他位． 例4 7个同学站成一排，分别求出符合下列要求的不同排法的种数． (1)甲站在中间； 3 4A 2 2A 3 7A 3 7A
小题专项训练9排列组合、二项式定理 一、选择题 1．4位顾客购买两种不同的商品，每位顾客限买其中一种商品，则不同的购买方法共有() A．8种B．12种 C．16种D．32种 【答案】C 【解析】分4步完成，每一步有两种不同的方法，故不同的购买方法有24＝16(种)．2．(2019年宁夏模拟)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有() A．36种B．24种 C．18种D．12种 【答案】A 【解析】先选出2项工作并成一项，看作共有3项工作，再分配给3名志愿者即可，所以不同的安排方式共有C24A33＝36种．故选A． 3．(2019年安徽模拟)如图，给7条线段的5个端点涂色，要求同一条线段的两个端点不能同色，现有4种不同的颜色可供选择，则不同的涂色方法种数有() A．24种B．48种 C．96种D．120种 【答案】C 【解析】按E，B，C，A，D的顺序涂色，各点可选的颜色种数分别为4,3,2,2,2，所以不同的涂色方法种数为4×3×2×2×2＝96.故选C． 4．(x－2y)8的展开式中，x6y2项的系数是() A．－56B．56 C．28D．－28 【答案】B 【解析】二项式的通项为T r＋1＝C r8x8－r·(－2y)r，令8－r＝6，即r＝2，得x6y2项的系数为C28(－2)2＝56. 5．(2018年河北唐山一模)用两个1，一个2，一个0，可组成不同四位数的个数是() A．9B．12 C．15D．16 【答案】A
【解析】分3步进行分析：①0不能放在千位，可以放在百位、十位和个位，有3种情况； ②在剩下的3个数位中任选1个，安排2，有3种情况；③最后2个数位安排2个1，有1种情况．由分步乘法可知可组成3×3×1＝9个不同四位数． 6．(2019年河南模拟)(2x2－x－1)5的展开式中x2的系数为() A．400B．120 C．80D．0 【答案】D 【解析】(2x2－x－1)5＝[(x－1)(2x＋1)]5＝(x－1)5(1＋2x)5.易求得(x－1)5的常数项为－1，(1＋2x)5的x2的系数为40；(x－1)5的x的系数为5，(1＋2x)5的x的系数为10；(x－1)5的x2的系数为－10，(1＋2x)5的常数项为1.所以(2x2－x－1)5的展开式中x2的系数为－1×40＋5×10＋(－10)×1＝0.故选D． 7．若将函数f(x)＝x5表示为f(x)＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a5(1＋x)5，其中a0，a1，a2，…，a5为实数，则a3＝() A．8B．9 C．10D．11 【答案】C 【解析】f(x)＝x5＝(1＋x－1)5，它的通项为T r＋1＝C r5(1＋x)5－r·(－1)r，T3＝C25(1＋x)3(－1)2＝10(1＋x)3，所以a3＝10. 8．(2018年北京海淀区校级模拟)从10种不同的作物种子中选出6种分别放入6个不同的瓶子中，每瓶不空，如果甲、乙两种种子都不许放入第一号瓶子内，那么不同的放法共有() A．C210A48种B．C19A59种 C．C19C58种D．C18A59种 【答案】D 【解析】分2步进行分析：①甲、乙两种种子都不许放入第一号瓶子内，将其他8种种子中任选1种，放进第一号瓶子内，有C18种情况；②在剩下的9种种子中，任选5种，安排在剩下的5个瓶子中，有A59种情况．所以一共有C18A59种不同的放法． 9．计划将排球、篮球、乒乓球3个项目的比赛安排在4个不同的体育馆举办，每个项目的比赛只能安排在一个体育馆进行，则在同一个体育馆比赛的项目不超过2个的安排方案共有() A．24种B．36种 C．42种D．60种 【答案】D 【解析】若3个项目分别安排在4个不同的场馆，则安排方案共有A34＝24(种)；若有2个项目安排在同一个场馆，另一个安排在其他场馆，则安排方案共有C23·A24＝36(种)．所以在同一个体育馆比赛的项目不超过2个的安排方案共有24＋36＝60(种)． 10．(2019年上海模拟)如图所示的阴影部分由方格纸上3个小方格组成，我们称这样的图
高考数学二轮复习专项 排列、组合、二项式定理与概率统计（含详解） 1. 袋里装有30个球，每个球上都记有1到30的一个号码, 设号码为n 的球的重量为 3443 42+-n n (克). 这些球以等可能性(不受重量, 号码的影响)从袋里取出. （Ⅰ）如果任意取出1球, 求其号码是3的倍数的概率. （Ⅱ）如果任意取出1球, 求重量不大于号其码的概率; （Ⅲ）如果同时任意取出2球, 试求它们重量相同的概率. 2. 从10个元件中（其中4个相同的甲品牌元件和6个相同的乙品牌元件）随机选出3个参加 某种性能测试. 每个甲品牌元件能通过测试的概率均为54 ，每个乙品牌元件能通过测试的概率均为53 .试求： （I ）选出的3个元件中，至少有一个甲品牌元件的概率； （II ）若选出的三个元件均为乙品牌元件，现对它们进行性能测试，求至少有两个乙品牌元件同时通过测试的概率. 3. 设在12个同类型的零件中有2个次品，抽取3次进行检验，每次任取一个，并且取出不在放回，若以ξ和η分别表示取出次品和正品的个数。 （1）求ξ的分布列，期望及方差； （2）求η的分布列，期望及方差； 4. （1）每天不超过20人排队结算的概率是多少？
（2）一周7天中，若有三天以上（含三天）出现超过15人排队结算的概率大于0.75，商场就需要增加结算窗口，请问，该商场是否需要增加结算窗口？ 5. 某售货员负责在甲、乙、丙三个柜面上售货．如果在某一小时内各柜面不需要售货员照顾的概率分别为0.9,0.8，0.7．假定各个柜面是否需要照顾相互之间没有影响，求在这个小时内：（1）只有丙柜面需要售货员照顾的概率； （2）三个柜面最多有一个需要售货员照顾的概率； （3）三个柜面至少有一个需要售货员照顾的概率． 6. 某同学上楼梯的习惯每步走1阶或2阶，现有一个11阶的楼梯，该同学从第1阶到第11阶用7步走完。 (1)求该同学恰好有连着三步都走2阶的概率； (2)记该同学连走2阶的最多步数为ζ，求随机事件ζ的分布列及其期望。 7. 甲、乙两支足球队，苦战120分钟，比分为1 ：1，现决定各派5名队员，每人射一个点球决定胜负，假设两支球队派出的队员点球命中率均为0.5. ⑴两队球员一个间隔一个出场射球，有多少种不同的出场顺序？ ⑵甲、乙两队各射完5个点球后，再次出现平局的概率是多少？ 8. 在一个盒子中，放有标号分别为1，2，3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽 得两张卡片的标号分别为x、y，记 x y x- + - =2 ξ ． （Ⅰ）求随机变量 ξ的最大值，并求事件“ξ取得最大值”的概率；（Ⅱ）求随机变量 ξ的分布列和数学期望．
沪教版（上海）高中数学度高三数学二轮复习 排列组合专题之 排列组合、二项式定理② 教学目标 （1）掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题． （2）理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题． （3）理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题．（4）掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题． 知识梳理 1：分类计数原理和分步计数原理 （1）分类计数原理（加法原理）： 做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有m n种不同的方法。那么完成这件事共有N=m1+m2+…+m n种不同的方法。 (2) 分步计数原理（乘法原理）： 做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m 1种不同的方法，做第二步有m 2 种不同的方 法，……，做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事有N=m1×m2×…×m n 种不同的方法。2：排列的计算： 从n个不同元素中任取m个元素的排列的个数P m n =n（n－1）（n－2）…（n－m+1）= )! ( ! m n n - . P n n =n（n－1）（n－2）…3·2·1=n!. 规定0！=1 3：组合的计算：从n个不同元素中任取m个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一 个组合，组合的个数叫组合数，用C m n 表示. 组合数公式C m n = ! )! ( ! m m n n - . 组合数的两个性质：
（1）C m n =C m n n -；（2）C m n 1+=C m n +C 1-m n （口诀：上取大，下加一。证明方法：1.公式法。2.构造模型，从n+1个球中取出m 个球）. 4. 二项式定理： 1.概念 二项式定理：n n n r r n r n 1n 1n n 0n n b C b a C b a C a C )b a (+++++=+-- 通项公式r r n r n r b a C T -+=1 ，r=0，1，2，…，n 2.二项式系数的性质： （1）对称性，在展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即 n n 0n C C =， r n n r n 2n n 2n 1n n 1n C C ,,C C ,C C ---=== ； （2）增减性与最大值：在二项式展开式中，二项式系数先增后减，且在中间取得最大值，当n 是偶数时， 中间一项2 n n C 最大；当n 是奇数时，中间两项2 1n n C -，2 1n n C +相等，且为最大值； （3） +++=+++=++++5 n 3n 1n 4n 2n 0n n n n 2n 1n 0n C C C C C C ,2C C C C 5.常用方法： 在处理排列组合问题时遵循以下原则： （1）特殊元素优先安排（2）合理分类与准确分步（3）排列、组合混合问题先选后排（4）相邻问题捆绑处理（5）不相邻问题插空处理；（6）定序问题排除法处理；（7）分排问题直排处理；（8）“小集团”排列问题先整体后局部；（9）构造模型；（10）正难则反，等价转化. 二项式定理的应用： （1）求某些多项式系数的和； （2）证明一些简单的组合恒等式,； （3）证明整除性。①求数的末位；②数的整除性 其中，注意区分系数与二项式系数，理解二项式定理为恒等式，正确采用赋值求解。 典例精讲 类型一：会根据两个原理解决有关分配决策的问题（要正确区分分类和分步） 例1. （★★）5位高中毕业生，准备报考3所高等院校，每人报且只报一所，不同的报名方法共有（ ） A. 15种 B. 8种 C. 53种 D. 35种 【答案】D 【解析】本题考查分步计数原理，每位考生都有三种选择，所以3×3×3×3×3=35 巩固练习： 1. （★★）四名医生分配到三所医院工作，每所医院至少一名，则不同的分配方案有_______种． 【答案】36
一、选择题46) (的系数为x－2)的展开式中x1．[2015·洛阳统考](x＋1)(15 B ．－100 ．－A220 D．C．35 A 答案 r6r6x2)(2)－展开式的通项T＝C解析由二项式定理可得，(x－6r1＋－33422r3＋x，∴(－2)＝60C(－2)＝－160，x的系数为，∴x(的系数为C6646100. 60＝－的系数为－160＋1)(x－2)的展开式中x类选修门，BA类选修课2某校开设2．[2015·郑州质量预测(二)]门．若要求两类课程中各至少选一门，则门，一位同学从中选3课3) 不同的选法共有( 6种B．．3种A 种D．18C．9种 C 答案3从里边选出类选修课，A3门B类选修课，由题知有解析2门3类选修门3B10门的选法有C＝种．两类课程都有的对立事件是选了5C. 种．所以选＝910课，这种情况只有1种．满足题意的选法有－11??232＋－x展开式中的常数项为([2015·3．唐山一模]) ??2x??12
．－B 8 ．－A． C．－20 D．20 C 答案 111??????2－－6r3r66rrr－2x－x＋－x(－＝解析∵C x·1)＝＝C，∴T?????? 266r1xxx＋??????2r33(－1)C＝－20. 0，得r＝3，∴常数项为，令6－2r＝64．[2015·陕西质检(二)]若足球比赛的计分规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，则一个队打了14场比赛共得19分的情况种数为() A．4 B．5 D．7 C．6 A 答案，则z，平的场数为y，负的场数为解析设胜的场数为x14＋z＝x＋y??z10；当z＝1时，x＝3，y＝x，两式相减得2－z＝5.当?19y＝3x＋??＝3时，x＝4，y＝7；当z＝5时，x＝5，y＝4；当z ＝7时，x＝6，y＝1.故选A. 72＋…＋ax＋ax)(1－2x)＋＝a5．[2015·江西八校联考]若(1＋x2018，则a＋a＋…＋aax的值是() 7812A．－2 B．－3 D ．－131 C．125
高三二轮专题复习 排列组合与二项式定理定时训练 一、单选题 1．将1，2，3，a ，b 这5个元素自左向右排成一行，要求字母a ，b 都不能排在两端，则不同的排法共有（ ） A ．108种 B ．72种 C ．36种 D ．18种 2．某校高一学生进行演讲比赛，原有5名同学参加比赛，后又增加两名同学参赛，如果保持原来5名同学比赛顺序不变，那么不同的比赛顺序有（ ） A ．12种 B ．30种 C ．36种 D ．42种 3．从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有（ ） A ．140种 B ．420种 C ．80种 D ．70种 4．设有编号为1，2，3，4，5的5个小球和编号为1，2，3，4，5的5个盒子，现将这5个小球放入5个盒子中．每个盒子内投入1个球，并且至多有1个球的编号与盒子的编号是相同的，则有（ ）投放方法 A ．45种 B ．53种 C ．96种 D ．89种 5．某学校社会实践小组共有5名成员，该小组计划前往该地区三个红色教育基地进行“学党史，颂党恩，跟党走”的主题宣讲志愿服务.若每名成员只去一个基地，每个基地至少有一名成员前往，且甲，乙两名成员前往同一基地，则不同的分配方案共（ ）有 A ．18种 B ．36种 C ．72种 D ．144种 6．有6个座位连成一排，安排三人就座，三个空位两两不相邻的不同坐法有（ ）种 A ．12 B ．24 C ．36 D ．48 7．已知有5个不同的小球，现将这5个球全部放入到标有编号1、2、3、4、5的五个盒子中，若装有小球的盒子的编号之和恰为11，则不同的放球方法种数为（ ） A ．150 B ．240 C ．390 D ．1440 8．现定义cos sin i e i θθθ=+，其中i 为虚数单位，e 为自然对数的底数，R θ∈，且实数指数 幂的运算性质对i e θ都适用，若0523244555cos cos sin cos sin a C C C θθθθθ=-+， 1432355555cos sin cos sin sin b C C C θθθθθ=-+，那么复数a bi +等于（ ） A ．cos5sin5i θθ+ B ．cos5sin5i θθ- C ．sin5cos5i θθ+ D ．sin5cos5i θθ- 二、多选题
强化训练3 排列、组合、二项式定理 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的) 1．[2022·山东泰安模拟](x －1x )22 展开式中的常数项为( ) A ．C 11 22 B ．－C 11 22 C ．C 12 22 D ．－C 12 22 2．3名男生2名女生站成一排照相，则2名女生相邻且都不站在最左端的不同的站法共有( ) A ．72种 B ．64种 C ．48种 D ．36种 3．六名志愿者到北京、延庆、张家口三个赛区参加活动，若每个赛区两名志愿者，则安排方式共有( ) A ．15种 B ．90种 C ．540种 D ．720种 4．[2022·湖南益阳一模]为迎接新年到来，某中学2022年“唱响时代强音，放飞青春梦想”元旦文艺晚会如期举行．校文娱组委员会要在原定排好的8个学生节目中增加2个教师节目，若保持原来的8个节目的出场顺序不变，则不同排法的种数为( ) A ．36 B ．45 C ．72 D ．90 5．[2022·山东德州二模]已知a >0，二项式(x ＋a x 2)6 的展开式中所有项的系数和为64，则展开式中的常数项为( ) A ．36 B ．30 C ．15 D ．10 6．[2022·山东淄博一模]若(1－x )8 ＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2 ＋…＋a 8(1＋x )8 ，则a 6 ＝( ) A ．－448 B ．－112 C ．112 D ．448 7．[2022·河北沧州二模](x －2x －1)5 的展开式中的常数项为( ) A ．－81 B ．－80 C ．80 D ．161
第十章： 排列、组合、二项式定理及概率 一、知识点汇总 1、两个计数原理： ①分类计数原理（加法原理）：一步到位 ②分步计数原理（乘法原理）：多步完成 2、排列：与所选元素顺序有关。 个数相乘 共排列数：m m n m n n n n A )1()2)(1(+---= 123)2)(1(⨯⨯--= n n n A n n 3、组合：与所选元素顺序无关。 组合数：m m m n m n A A C = 210810C C C C m n n m n ==-如：性质： 常用方法： （1）捆绑法：相邻问题。 例：5个同学站一排照相，要求甲乙必须相邻，则不同的排法有：4422 A A 种。 （2）插空法：不相邻问题。 例：某文艺晚会需排一节目单，其中独唱节目5个，舞蹈节目4个，要求 舞蹈不能相邻，有多少种排法？ 4655A A （3）优限法：特殊位置或特殊元素。 例：由0,1,2,3组成没有重复数字的三位数，共有多少个？ 2313A A • 4、概率： 发生的总数）为事件为总数，其中A m n n m A P (,)(= 5、二项式定理： n n n m m n m n n n n n n n n b a C b a C b a C b a C b a C b a 02221100)(++++++=+--- ①展开式：共1+n 项；*②通项：m m n m n m b a C T -+=1； *③二项式系数：m n C ；*④系数： 化简完后未知数前面的常数； *⑤二项式系数和：n n n n n n C C C C 2210=+++ ； *⑥系数和：设未知数为1，进行计算。
3.排列、组合与二项式定理 考向1两个计数原理的应用 1.(2022·河南许昌质检)中国古代的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”主要指德育;“乐”主要指美育;“射”和“御”就是体育和劳动;“书”指各种历史文化知识;“数”即数学.某校国学社团利用周日开展“六艺”课程讲座活动,每艺安排一节,上午三节,下午三节.一天课程讲座排课有要求:“数”必须排在上午,“射”和“御”两门课程排在下午且相邻,则“六艺”课程讲座不同排课顺序共有() A.36种 B.72种 C.108种 D.144种 2.(2022·河南洛阳一模)某医学院将6名研究生安排到本市四家核酸检测定点医院进行调研,要求每家医院至少去1人,至多去2人,且其中甲、乙二人必须去同一家医院,则不同的安排方法有() A.72种 B.96种 C.144种 D.288种 3.(2022·山东潍坊一模)从4名男生,2名女生中选3人分别担任冬季两项、单板滑雪、轮椅冰壶志愿者,且至多有1名女生被选中,则不同的方案共有() A.72种 B.84种 C.96种 D.124种 4.(2020·新高考Ⅰ·3)6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者,每名同学只去1个场馆,甲场馆安排1名,乙场馆安排2名,丙场馆安排3名,则不同的安排方法共有() A.120种 B.90种 C.60种 D.30种 5.(2022·安徽高考冲刺)甲、乙、丙、丁4人坐成一排拍照,要求甲、乙两人位于丙的同侧,则共有 种不同的坐法. 考向2排列组合在实际问题中的应用 6.(2022·河南郑州质检)为了落实五育并举,全面发展学生素质.学校准备组建书法、音乐、美术、体育社团.现将5名同学分配到这4个社团进行培训,每名同学只分配到1个社团,每个社团至少分配1名同学,则不同的分配方案共有() A.60种 B.120种 C.240种 D.480种 7.(2022·新高考Ⅱ,5)甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演,若甲不站在两端,丙和丁相邻的不同排列方式有() A.12种 B.24种 C.36种 D.48种 8.(2022·河南名校联盟一模)志愿团安排去甲、乙、丙、丁四个地点慰问的先后顺序,一位志愿者说:不能先去甲,甲最远;另一位志愿者说:不能最后去丁,丁离得最近.他们共有多少种不同的安排方法() A.14 B.12 C.24 D.28 9.某学校社团将举办革命歌曲展演.现从《歌唱祖国》《英雄赞歌》《唱支山歌给党听》《毛主席派人来》 4首独唱歌曲和《没有共产党就没有新中国》《我和我的祖国》 2首合唱歌曲中共选出4首歌曲安排演出,要求最后一首歌曲必须是合唱,则不同的安排方法共有() A.14 B.48 C.72 D.120 10.某交通岗共有3人,从周一到周日的7天中,每天安排1人值班,每人至少值2天,其不同的排法共有() A.5 040种 B.1 260种
命题点17 排列、组合与二项式定理 小题突破 一、单项选择题 1．[2022·新高考Ⅱ卷]甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有( ) A ．12种 B ．24种 C ．36种 D ．48种 2．[2022·广东惠州一模]现有3名学生报名参加校园文化活动的3个项目，每人须报1项且只报1项，则恰有2名学生报同一项目的报名方法有( ) A ．36种 B ．18种 C ．9种 D ．6种 3．[2020新高考Ⅰ卷]6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有( ) A ．120种 B ．90种 C ．60种 D ．30种 4．[2021·全国乙卷] 将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有( ) A ．60种 B ．120种 C ．240种 D ．480种 5．[2022·山东临沂一模]公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率π的范围是：3.141 592 6<π<3.141 592 7，为纪念祖冲之在圆周率方面的成就，把3.141 592 6称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就．某教师为帮助同学们了解“祖率”，让同学们把小数点后的7位数字1，4，1，5，9，2，6进行随机排列，整数部分3不变，那么可以得到大于3.14的不同数字的个数为( ) A ．720 B ．1 440 C ．2 280 D ．4 080 6．[2022·辽宁葫芦岛一模](2x －1x )6的展开式中的常数项为( ) A ．－120 B ．120 C ．－60 D ．60 7．[2022·山东枣庄三模]在(x 2－2x ＋y )6的展开式中，含x 5y 2项的系数为( ) A ．－480 B ．480 C ．－240 D ．240 8．[2022·河北唐山三模](1＋x 2)(x －1x )4的展开式中x 2的系数为( ) A ．－4 B ．－2 C ．2 D ．10 9．[2022·福建漳州一模]已知二项式(ax ＋y )5(a ∈R )的展开式的所有项的系数和为32，则(x 2－a x )10的展开式中常数项为( ) A ．45 B ．－45 C ．1 D ．－1
专题八 概率与统计 第一讲 排列组合与二项式定理 习题2 1.某中学话剧社的6个演员站成一排照相，高一、高二和高三年级均有2个演员，则高一与高二两个年级中仅有一个年级的同学相邻的站法种数为( ) A.48 B.144 C.288 D.576 2.有5名同学站成一排拍毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两名同学不能相邻，则不同的站法有( ) A.8种 B.16种 C.32种 D.48种 3.若用0,1,2,3,4,5这6个数字组成无重复数字且奇数数字互不相邻的六位数，则这样的六位数共有多少个( ) A.120 B.132 C.144 D.156 4.已知集合A ，若对任意x A ∈，有1A x ∈，就称A 是具有“伙伴关系”的集合.在集合111,0,,,1,2,3,432M ⎧=-⎫⎨⎬⎩⎭ 的所有非空子集中，具有“伙伴关系”的集合的个数为( ) A.15 B.16 C.82 D.52 5.从10名排球队员中选出7人参加比赛，则不同的选法种数为( ) A.150 B.120 C.160 D.110 （多项选择题） 6.现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，则以下说法错误的是( ) A.若每人都安排一项工作，则不同的方法数为45 B.若每项工作至少有1人参加，则不同的方法数为4154A C C.如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排1人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为() 3122325335C C C C A + D.每项工作至少有1人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工 作，则不同安排方案的种数是1233433233C C A C A + 7.若n x ⎛- ⎝的展开式中最中间的一项是52-( ) A.12a = B.展开式中所有项的二项式系数之和为64 C.展开式中的所有项的系数和为164 D.展开式中的常数项为1516 8.某班同学准备参加学校在假期里组织的“社区服务”、“进敬老院”、“参观工厂”、“民俗调查”、“环保宣传”五个项目的社会实践活动，每天只安排一项活动，并要求在周一至周五内完成．
专题检测〔八〕 排列组合与二项式定理〔“12+4〞提速练〕 一、选择题 1．设M ，N 是两个非空集合，定义M ⊗N ＝{(a ，b )|a∈M ，b ∈N }，假设P ＝{0，1，2，3}，Q ＝{1，2，3，4，5}，那么P ⊗Q 中元素个数是( ) A ．4 B ．9 C ．20 D ．24 2．从8名女生和4名男生中，抽取3名学生参加某档电视节目，如果按性别比例分层抽样，那么不同抽取方法数为( ) A ．224 B ．112 C ．56 D ．28 3．(2021·四川高考)设i 为虚数单位，那么(x ＋i)6展开式中含x 4项为( ) A ．－15x 4 B ．15x 4 C ．－20i x 4 D ．20i x 4 4．假设从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同数，其和为偶数，那么不同取法共有( ) A ．60种 B ．63种 C ．65种 D ．66种 5．(2021·南昌一模)甲、乙两人从4门课程中各选修2门，那么甲、乙所选课程中至少有1门不一样选法共有( ) A ．30种 B ．36种 C ．60种 D ．72种 6．(x ＋2)15＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a 15(1－x )15，那么a 13值为( ) A ．945 B ．－945 C ．1 024 D ．－1 024 7．某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目演出顺序，那么同类节目不相邻排法种数是( ) A ．72 B ．168 C ．144 D ．120 9．假设⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x 2n 展开式中只有第六项二项式系数最大，那么展开式中常数项是( ) A ．360 B ．180 C ．90 D ．45 10．(2021·全国丙卷)定义“标准01数列〞{a n }如下：{ a n }共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意k ≤2m ，a 1，a 2，…，a k 中0个数不少于1个数．假设m ＝4，那么不同“标准01数列〞共有( ) A ．18个 B ．16个 C ．14个 D ．12个 11．假设(1－2x )2 016＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 016 x 2 016，那么a 12＋a 222＋…＋a 2 016 22 016值为( ) A ．2 B ．0 C ．－1 D ．－2 12．(2021·河北五校联考)现有16张不同卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张．不同取法种数为( ) A ．232 B ．252 C ．472 D ．484 二、填空题
专题能力训练19 排列、组合与二项式定理 能力突破训练 1.某电视台的一个综艺栏目对含甲、乙在内的六个不同节目排演出顺序,第一个节目只能排甲或乙,最后一个节目不能排甲,则不同的排法共有() A.192种 B.216种 C.240种 D.288种 2.已知的展开式的各项系数和为32,则展开式中x4的系数为() A.5 B.40 C.20 D.10 3.已知(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为() A.212 B.211 C.210 D.29 4.若的展开式中含有常数项,则n的最小值等于() A.3 B.4 C.5 D.6 5.展开式中的常数项为() A.-8 B.-12 C.-20 D.20 6.某学校组织演讲比赛,准备从甲、乙等八名同学中选派四名同学参加,要求甲、乙两名同学至少有一人参加,且若甲、乙同时参加时,他们的演讲顺序不能相邻,那么不同的演讲顺序的种数为() A.1 860 B.1 320 C.1 140 D.1 020 7.若二项式(3-x)n(n∈N*)中所有项的系数之和为a,所有项的系数的绝对值之和为b,则的最小 值为() A.2 B. C. D. 8.(2017辽宁抚顺一模)在某市记者招待会上,需要接受本市甲、乙两家电视台记者的提问,两家电视台均有记者5人,主持人需要从这10名记者中选出4名记者提问,且这4人中,既有甲电视台记者,又有乙电视台记者,且甲电视台的记者不可以连续提问,则不同的提问方式的种数为() A.1 200 B.2 400 C.3 000 D.3 600 9.在(1+x)6(1+y)4的展开式中,记x m y n项的系数为f(m,n),则f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=() A.45 B.60 C.120 D.210 10.(2017湖北孝感第一次联考)已知二项式的展开式中含x3的系数为-,则 的值为() A. B.
专题08 排列组合二项式定理 一、单选题 1.张、王夫妇各带一个小孩儿到上海迪士尼乐园游玩，购票后依次入园，为安全起见，首尾一定要 排两位爸爸，另外两个小孩要排在一起，则这 6个人的入园顺序的排法种数是（ ） 校的不同分配方法有（ D.- 3 个歌曲节目，要求歌曲节目一定排在首尾，另外 2个舞蹈节目一定要排在一起，则这 同编排种数为 A. 48 B. 36 C. 24 D. 12 5 .用数字0, 1, 2, 3, 4, 5可以组成没有重复数字的四位奇数的个数是( A. 72 B, 144 C, 150 D. 180 6 .石家庄春雨小区有 3个不同的住户家里供暖出现问题，负责该小区供暖的供热公司共有 4名水暖 工，现要求这4名水暖工都要分配出去，且每个住户家里都要有人去检查，则分配方案共有（ 8. （1 ax ）（1 X ） 6 的展开式中，x 3 项的系数为-10,则实数a 的值为（ ） A. - B. 2 C. 2 D.- 3 3 9 .今有某种产品50个，其中一级品45个，二级品5个，从中取3个，出现二级品的概率是 10 .如图，用四种不同的颜色给图中的 A, B, C, D, E, F, G 七个点涂色，要求每个点涂一种颜色, A. 12 B. 24 C. 36 D. 48 2.将甲、乙、丙、丁四人分配到 A 、 C 三所学校任教，每所学校至少安排 1人, 则甲不去A 学 A. 18 种 B. 24 种 C. 32种 D. 36种 3. 3男2女共5名同学站成一排合影，则 2名女生相邻且不站两端的概率为（ 4.元旦晚会期间，高三二班的学生准备了 6个参赛节目，其中有 2个舞蹈节目, 个小品节目，2 6个节目的不 A. 12 B. 24 C. 36 D. 72 7 •若 m 3 5 nxdx ，则二项式 2x m 的展开式中的常数项为（ A. 6 B. 12 C. 60 D. 120 A. C 3 C 30 B. C C 52 C 3 C 3 C. 1 C 5 C 30 D. C 5c 45 C 5 c 45 C 50
第1讲 排列、组合、二项式定理 「考情研析」 1.高考中主要考查两个计数原理、排列、组合的简单应用，有时会与概率相结合，以选择题、填空题为主． 2.二项式定理主要考查通项公式、二项式系数等知识，近几年也与函数、不等式、数列交汇，值得关注. 核心知识回顾 1．排列 排列数公式：A m n ＝n (n －1)…(n －m ＋1)＝□ 01n ！(n －m )！ (m ≤n ，m ，n ∈N * )． 2．组合 (1)组合数公式：C m n ＝A m n A m m ＝□01n (n －1)…(n －m ＋1)m (m －1)…1＝□02n ！m ！(n －m )！ (m ≤n ，m ，n ∈N * )，由于 0！＝1，所以C 0 n ＝1. (2)组合数的性质 3．二项式定理 (1)二项展开式 (a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b 1 ＋…＋□01C k n a n －k b k ＋…＋C n n b n (n ∈N *)． 通项：T k ＋1＝□02C k n a n －k b k (k ＝0,1,2，…，n )． (2)二项式系数的有关性质 ①二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C 1 n ＋C 3 n ＋C 5 n ＋…＝C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝□ 032n －1； ②若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ， 则f (x )展开式中的各项系数和为f (1)， 奇数项系数和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝ f (1)＋f (－1) 2 ， 偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝□ 04f (1)－f (－1)2. 热点考向探究 考向1 两个计数原理 例 1 (1)(2019·哈尔滨市第六中学高三第二次模拟)2020年东京夏季奥运会将设置4×100米男女混合泳接力这一新的比赛项目，比赛的规则是：每个参赛国家派出2男2女共