2019年考研数学二真题及答案解析

2019全国研究生招生考试数学二真题及答案解析一、选择题1.当0→x 时，若x x tan -与k x 是同阶无穷小，则=k2.）（π202≤≤+=x x cos x sin x y的拐点A.⎪⎭⎫⎝⎛2,2ππ B.()2,0C.()2,πD.⎪⎭⎫⎝⎛-23,23ππ 3.下列反常积分收敛的是（） A.dx xe x⎰+∞-0B.dx xe x ⎰+∞-02C.dx xx⎰+∞+021arctan D.dx x x ⎰+∞+0214.c ,b ,a ,x C C y ce by y a y x -x x 则的通解为已知e )e (21++==+'+''的值为（ ）5.已知积分区域⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤+=2πy x |y ,x D ）（，dxdy y x I D ⎰⎰+=221，dxdy y x I D⎰⎰+=222sin，(dxdy y x I D)cos 1223⎰⎰+-=，试比较321,,I I I 的大小A.123I I I <<B.321I I I <<C.312I I I <<D.132I I I <<6.已知)()(x g x f 是二阶可导且在a x =处连续，请问)()(x g x f 相切于a 且曲率相等是0)()()(lim2=--→a x x g x f ax 的什么条件？A.充分非必要条件B.充分必要条件C.必要非充分条件D.既非充分又非必要条件7.设A 是四阶矩阵，*A 是A 的伴随矩阵，若线性方程组0=Ax 的基础解系中只有2个向量，则*A 的秩是8.设A 是3阶实对称矩阵，E 是3阶单位矩阵，若E A A 22=+，且4=A ，则二次型Ax x T 的规范形为A.232221y y y ++B.232221y y y -+C.232221y y y --D.232221y y y ---二、填空题 9.2lim(2)x xx x →∞+=10.曲线sin 1cos x t t y t=-⎧⎨=-⎩在32t π=对应点处切线在y 轴上的截距为11.设函数()f u 可导，2()y z yf x =，则2z zxy x y∂∂+=∂∂12. 设函数ln cos 6y x x π=≤≤（0）的弧长为 13. 已知函数2sin ()xtt f x xdt t=⎰，则10()f x dx =⎰14.已知矩阵110021*******034A -⎛⎫ ⎪-- ⎪= ⎪-- ⎪⎝⎭，ij A 表示A 中(,)i j 元的代数余子式，则1112A A -=三、解答题：15~23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本题满分10分）已知函数⎩⎨⎧≤+>=010)(2x xe x x x f x x ，求的极值并求)()(x f x 'f16.（本题满分10分）求不定积分.dx x x x x ⎰++-+)1()1(6322 17.（本题满分10分）)(x y y =是微分方程2221'x e xxy y =-满足条件e y =)1(的特解.（1）求)(x y（2）设平面区域{})x (y y ,x y ,D ≤≤≤≤=021x ）（，求D 绕轴旋转一周所得旋转体的体积.18.（本题满分10分） 已知平面区域D 满足()(){}4322yyx|y ,x ≤+，求.dxdy yx yx D⎰⎰++2219.（本题满分10分）x x f S ,N n x n sin e )(-+=∈是的图像与x 轴所谓图形的面积，求n S ，并求.S n n ∞→lim 20.（本题满分11分）已知函数)(y ,x u 满足,yux u y u x u 033222222=∂∂+∂∂+∂∂-∂∂求b ,a 的值，使得在变换by ax y ,x v y ,x u +=)e ()(下，上述等式可化为)(y ,x v 不含一阶偏导数的等式.21.（本题满分11分）已知函数),(y x f 在[]1,0上具有二阶导数，且⎰===11)(,1)1(,0)0(dx x f f f ，证明：x（1）存在)1,0(∈ξ，使得0)('=ξf ；（2）存在)1,0(∈η，使得2)(''-<ξf . 22.（本题满分11分）已知向量组（Ⅰ）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=4111α，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=4012α，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+=32123a α，（Ⅱ）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+=3111a β，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=a 1202β，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+=33123a β，若向量组（Ⅰ）和向量组（Ⅱ）等价，求a 的取值，并将β用321,,ααα线性表示. 23.（本题满分11分）已知矩阵相似与⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=y B x A 0001001220022122 （1）求y x ,，（2）求可逆矩阵,P 使得B AP P =-12019年全国硕士研究生入学统一考试数学试题解析（数学二）15.解：当0x >时，()()()()()22ln 2ln 22ln 2=2ln 2x x x x x x f x xe e x x x '''===++. 当0x <时，()()()e 1e e 1e x x x xf x x x x ''=+=+=+.当=0x 时，()01f =，()22ln 000112ln 0lim lim lim x x x x x x x e x xf x x x ++++→→→--'====-∞，()00110lim lim 1x xx x xe f e x ---→→+-'===. 故()()()22ln 2 0=1e 0x xx x x f x x x ⎧+>⎪'⎨+<⎪⎩. 令()=0f x '，得112,1x e x -==-.（1）当()()()10,,0,x e f x f x -'∈<单调递减， 当()()()1,0,x e f x f x -'∈∞>，+单调递增，故()211=ef ee -⎛⎫ ⎪⎝⎭为极小值. （2）当()()()0,0,x f x f x '∈>-1，单调递增， 当()()()10,,0,x e f x f x -'∈<单调递减， 故()0=1f 为极大值.（3）当()()(),1,0,x f x f x '∈-∞-<单调递减， 当()()()0,0,x f x f x '∈>-1，单调递增， 故()11=1f e ---+为极小值.16.17. 18. 19.20.解：()(),,ax byu x y v x y e+=2222222222ax byax by ax byax by ax by ax by ax by ax byax by ax by ax by ax byu v e ave x xu v e bve y yu v v v e a e a e a ve x x x x u v v v e b e b e b ve y y y y++++++++++++∂∂=+∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂∂=+++∂∂∂∂∂∂∂∂=+++∂∂∂∂，带入得430340a b +=⎧⎨-=⎩，解得3434a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.21.22.解：（1）当210a -≠，即1a ≠±时，()()123123,,3,,,3r r αααβββ==，此时两个向量组必然等价，且3123=+βααα-.（2）当=1a 时，()123123111101,,,,,011022000000αααβββ⎡⎤⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥⎣⎦此时两个向量组等价，()()3123=232+k k k βααα-++-.（3）当=1a -时，()123123111101,,,,,011022000220αααβββ⎡⎤⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦.此时两个向量组不等价.23.（1）A 与B 相似，则()()tr A tr B =，A B =，即41482x y x y -=+⎧⎨-=-⎩，解得32x y =⎧⎨=-⎩（2）A 的特征值与对应的特征向量分别为1=2λ，11=20α⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭；2=1λ-，22=10α-⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎝⎭；3=2λ-，31=24α-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.所以存在()1123=P ααα,,，使得111212P AP -⎡⎤⎢⎥=Λ=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦. B 的特征值与对应的特征向量分别为1=2λ，11=00ξ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎝⎭；2=1λ-，21=30ξ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭；3=2λ-，30=01ξ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.所以存在()2123=P ξξξ,,，使得122212P AP -⎡⎤⎢⎥=Λ=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦. 所以112211=P AP P AP --=Λ，即1112112B P P APP P AP ---== 其中112111212004P PP --⎡⎤⎢⎥==--⎢⎥⎢⎥⎣⎦.。

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1、当→x 0时，若−x x tan 与x k是同阶无穷小，则=k A. 1. B. 2.C. 3. D.4.【答案】C【解析】−−x x x 3tan ~3，所以选C.2、设函数=+−y x x x x 22sin 2cos ()π3π的拐点 A. 22(,).ππB.(0,2).C.−,2).π( D. −22(,).π3π3【答案】C.【解析】令=−=''y x x sin 0，可得=x π，因此拐点坐标为（，）−2π. 3、下列反常积分发散的是A. ⎰−+∞x xx e d 0B. ⎰−+∞x xx e d 02C.⎰++∞x x x1d arctan 02D.⎰++∞x x x 1d 02【答案】D 【解析】⎰+=+=+∞+∞+∞x x x x 12d ln(1)1022，其他的都收敛，选D. 4、已知微分方程x ce =by +y ¢a +y ¢¢的通解为x e +x -e )x 2C +1C (=y ，则a 、b 、c 依次为A 、1,0,1B 、 1,0,2C 、2,1,3D 、2,1,4【答案】 D.【解析】由通解形式知，==−λλ112，故特征方程为（）+++λλλ1=21=022，所以==a b 2,1，又由于=y x e 是+='''y y y ce x +2的特解，代入得=c 4.5、已知积分区域=+D x y x y2{(,)|}π，⎰⎰=I x y d 1，2019全国硕士研究生考研数学二真题及答案解析(官方）2d DI x y =⎰⎰，3(1d DI x y =−⎰⎰，试比较123,,I I I 的大小A. 321I I I <<B. 123I I I <<C. 213I I I << D. 231I I I <<【答案】C【解析】在区域D上2220,4x y π≤+≤∴≤，进而213.I I I <<6、已知(),()f x g x 的二阶导数在x a =处连续，则2()g()lim0()x af x x x a →−=−是曲线(),()y f x y g x ==在x a =处相切及曲率相等的A.充分非必要条件.B.充分必要条件.C.必要非充分条件.D.既非充分又非必要条件.【答案】A【解析】充分性:利用洛必达法则,有2()g()()g ()()g ()limlim lim 0.()2()2x ax a x a f x x f x x f x x x a x a →→→''''''−−−===−−从而有()(),()(),()()f a g a f a g a f a g a ''''''===,即相切,曲率也相等. 反之不成立,这是因为曲率322(1)y K y ''='+,其分子部分带有绝对值,因此()()f a g a ''''=或()()f a g a ''''=−;选A.7、设A 是四阶矩阵，*A 是A 的伴随矩阵，若线性方程组Ax =0的基础解系中只有2个向量，则*A 的秩是（） A.0 B.1 C.2D.3【答案】 A.【解析】由于方程组基础解系中只有2个向量，则()2r A =，()3r A <，()0r A *=.8、设A 是3阶实对称矩阵，E 是3阶单位矩阵. 若22+=A A E ，且4=A ，则二次型T x Ax 规范形为A. 222123.y y y ++ B. 222123.y y y +−C. 222123.y y y −− D. 222123.y y y −−−【答案】C【解答】由22+=A A E ，可知矩阵的特征值满足方程220λλ+−=，解得，1λ=或2λ=−. 再由4=A ，可知1231,2λλλ===−，所以规范形为222123.y y y −−故答案选C.二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分． 9. 2lim(2)x xx x →+=___________.【解析】022lim ln(2)lim(2)ex x x x xxx x →+→+=其中000221lim ln(2)2lim 2lim(12ln 2)2(1ln 2)x xx x x x x x x x→→→+−+==+=+所以222ln 22lim(2)e4x xx x e +→+==10.曲线sin 1cos x t t y t=−⎧⎨=−⎩在32t π=对应点处切线在y 轴上的截距___________.【解析】d sin d 1cos y tx t=−当32t π=时，3d 1,1,12d yx y xπ=+==−所以在32t π=对应点处切线方程为322y x π=−++所以切线在y 轴上的截距为322π+11.设函数()f u 可导，2()y z yf x=，则2z zx y x y ∂∂+=∂∂___________.【解析】223222()()()z y y y y yf f x x x x x∂''=−=−∂2222222()()()()()z y y y y y y f yf f f y x x x x x x ∂''=+=+∂所以22()z z y x y yf x y x∂∂+=∂∂12.设函数ln cos (0)6y x xπ=的弧长为___________.【解析】弧长61d cos s x x x xπ===⎰6011ln |tan |ln 3cos 2x x π=+==13.已知函数21sin ()d xt f x xt t=⎰，则10()d f x x =⎰___________.【解析】设21sin ()d xt F x t t=⎰，则1100()d ()d f x x xF x x=⎰⎰112212000111()d [()]d ()222F x x x F x x F x ==−⎰⎰211220011sin ()d d 22x x F x x x xx '=−=−⎰⎰122100111sin d cos (cos11)244x x x x =−==−⎰14.已知矩阵1100211132210034−⎛⎫ ⎪−− ⎪= ⎪−− ⎪⎝⎭A ，ij A 表示||A 中(,)i j 元的代数余子式，则1112A A −=___________.【解析】11121100100021112111||3221312100340034A A −−−−−−−===−−−A 1111111210104034034−−−−=−==−三、解答题：15～23小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15、（本题满分10分）已知2,0,()e 1,0,xx x x f x x x ⎧>⎪=⎨+⎪⎩求()f x '，并求()f x 的极值.解:0x >时,2ln 2ln (0)(e)e (2ln 2)x xx x f x ''==+;0x <时,()(1)e x f x x '=+;又2ln 00()(0)e 1(0)lim lim0x x x x f x f f x x+++→→−−'==−002ln lim lim 2ln x x x xx x++→→===−∞, 所以(0)f '不存在,因此22(1ln ),0,()(1)e ,0.xxx x x f x x x ⎧+>⎪'=⎨+<⎪⎩令()0f x '=,得驻点1311,ex x =−=;另外()f x 还有一个不可导点20x =; 又(,1)−∞−为单调递减区间,(1,0)−为单调递增区间,1(0,)e 为单调递减区间,1(,)e+∞为单调递增区间;因此有极小值1(1)1e f −=−和极小值2e 1()e ef −=,极大值(0)1f =.16、（本题满分10分） 求不定积分2236d .(1)(1)x x x x x +−++⎰解:2222362321d []d (1)(1)1(1)1x x x xx x x x x x x ++=−++−++−−++⎰⎰ 232ln 1ln(1)1x x x C x =−−−++++−17、（本题满分10分）()y y x =是微分方程22e x y xy '−=满足(1)y =.（1）求()y x ；（2）设平面区域{(,}|12,0()}D x y x y y x =，求D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.解(1)2d d 2()e [e e d ]x x xx xy x x C −⎰⎰=+⎰2222e ()e )x x x C C =+=+;又由(0)y =得0C =,最终有22()e x y x =.(2)所求体积22222211πe )d πe d x x V x x x==⎰⎰2241ππe (e e)22x ==−.18、已知平面区域D 满足2234,()xy x y y +，求d x y ⎰⎰.解:由xy 可知区域D 关于y 轴对称,在极坐标系中,π3π44θ;将cos ,sin x r y r θθ==代入2234()x y y +得2sin r θ;由奇偶对称性,有2πsin 2π04sin d d 2d d r x y x y r r r==⎰⎰⎰⎰⎰⎰θθθππ52222ππ44sin d (1cos )dcos 120==−−=⎰⎰θθθθ19、设n 为正整数，记n S 为曲线e sin (0π)xy x x n −=与x 轴所围图形的面积，求n S ，并求lim n n S →∞.解:设在区间[π,(1)π]k k +(0,1,2,,1)k n =−L 上所围的面积记为k u ,则(1)π(1)πππe |sin |d (1)e sin d k k x kx k k k u x x x x ++−−==−⎰⎰;记e sin d x I x x −=⎰,则e d cos (e cos cos de )x x x I x x x −−−=−=−−⎰⎰e cos e dsin e cos (e sin sin de )x x x x x x x x x x −−−−−=−−=−−−⎰⎰e (cos sin )x x x I −=−+−,所以1e (cos sin )2xI x x C −=−++;因此(1)π(1)πππ11(1)()e (cos sin )(e e )22k kk k k k k u x x +−−+−=−−+=+;(这里需要注意cos π(1)kk =−)因此π(1)π1ππ111e e e 221e n n n k n k k k S u −−+−−−==−==+=+−∑∑; π(1)πππππ1e e 1e 11lim lim21e 21e 2e 1n n n n S −−+−−−→∞→∞−=+=+=+−−−20、已知函数(,)u x y 满足222222330u u u u x y x y∂∂∂∂−++=∂∂∂∂，求,a b 的值，使得在变换(,)(,)e ax by u x y v x y +=下，上述等式可化为(,)v x y 不含一阶偏导数的等式.解:e e ax byax by x u v va x++∂'=+∂, 222e e e e ax by ax by ax byax by xx x x u v v a v a va x++++∂''''=+++∂2e 2ee ax by ax byax by xx x v av a v +++'''=++同理,可得ee ax by ax by y u v bv y++∂'=+∂,222e 2e e ax by ax by ax by yy y u v bv b v y +++∂'''=++∂; 将所求偏导数代入原方程,有22e [22(43)(34)(2233)]0ax by xx yy x y v v a v b v a b a b v +''''''−+++−+−++=,从而430,340a b +=−=,因此33,44a b =−=. 21、已知函数(,)f x y 在[0,1]上具有二阶导数，且1(0)0,(1)1,()d 1f f f x x ===⎰，证明：（1）存在(0,1)ξ∈，使得()0f ξ'=； （2）存在(0,1)η∈，使得()2f η''<−. 证明:(1)由积分中值定理可知,存在(0,1)c ∈,使得1()d (10)()f x x f c =−⎰,即()1f c =.因此()(1)1f c f ==,由罗尔定理知存在(,1)((0,1))c ∈⊂ξ,使得()0f ξ'=.(2)设2()()F x f x x =+,则有2(0)0,()1,(1)2F F c c F ==+=;由拉格朗日中值定理可得:存在1(0,)c ∈η,使得21()(0)1()0F c F c F c c −+'==−η;存在2(,1)c ∈η,使得22(1)()1()111F F c c F c c c−−'===+−−η;对于函数()F x ',由拉格朗然中值定理同样可得,存在12(,((0,1))∈⊂ηηη,使得22121212111(1)1()()()0c c F F c c F ++−−''−''===<−−−ηηηηηηηηη, 即()20f ''+<η;结论得证.22.已知向量组（Ⅰ）232111=1=0,=2443a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦1ααα，，（Ⅱ）21231011,2,3,313a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+−+⎣⎦⎣⎦⎣⎦βββ，若向量组（Ⅰ）和向量组（Ⅱ）等价，求a 的取值，并将3β用23,,1ααα线性表示.【解析】令123(,,)=A ααα,123(,,)=B βββ，所以，21a =−A ，22(1)a =−B . 因向量组I 与II 等价，故()()(,)r r r ==A B A B ，对矩阵(,)A B 作初等行变换.因为2222111101111101(,)102123011022.443313001111a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=→− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++−+−−−−⎝⎭⎝⎭A B 当1a =时，()()(,)2r r r ===A B A B ；当1a =−时，()()2r r ==A B ，但(,)3r =A B ；当1a ≠±时，()()(,)3r r r ===A B A B . 综上，只需1a ≠−即可. 因为对列向量组构成的矩阵作初等行变换，不改变线性关系.①当1a =时，12331023(,,,)01120000⎛⎫ ⎪→−− ⎪ ⎪⎝⎭αααβ，故3112233x x x =++βααα的等价方程组为132332,2.x x x x =−⎧⎨=−+⎩故3123(3)(2)k k k =−+−++βααα（k 为任意常数）；②当1a ≠±时，12331001(,,,)01010011⎛⎫⎪→− ⎪ ⎪⎝⎭αααβ，所以3123=−+βααα.23.已知矩阵22122002x −−⎡⎤⎢⎥=−⎢⎥⎢⎥−⎣⎦A 与21001000y ⎡⎤⎢⎥=−⎢⎥⎢⎥⎣⎦B 相似， （Ⅰ）求,x y ；（Ⅱ）求可逆矩阵P 使得1−P AP =B 解:(1)相似矩阵有相同的特征值,因此有2221,,x y −+−=−+⎧⎪⎨=⎪⎩A B 又2(42)x =−−A ,2y =−B ,所以3,2x y ==−. (2)易知B 的特征值为2,1,2−−;因此2102001000r⎛⎫⎪−⎯⎯→ ⎪ ⎪⎝⎭A E ,取T 1(1,2,0)ξ=−,120001000r⎛⎫ ⎪⎯⎯→ ⎪ ⎪⎝⎭A+E ,取T 2(2,1,0)ξ=−,4012021000r⎛⎫ ⎪⎯⎯→− ⎪ ⎪⎝⎭A+E ,取T3(1,2,4)ξ=−令1123(,,)P ξξξ=,则有111200010002P AP −⎛⎫⎪=− ⎪ ⎪−⎝⎭;同理可得,对于矩阵B ,有矩阵2110030001P −⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,122200010002P BP −⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪−⎝⎭,所以111122P AP P BP −−=,即112112B P P APP −−=,所以112111212004P PP −−−−⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭.。

2019年数学二真题及答案解析——一、选择题：1～8 小题，每小题4 分，共32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答．题．纸．指定位置上.（1）当x →0 时，若x −tan x 与x k是同阶无穷小，则k =（A ）1.（B ）2.（C ）3.（D ）4.【答案】C【解析】33311tan (())~,33x x x x x o x x -=-++-故 3.k =（2）设函数3sin 2cos 22y x x x x ππ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的拐点坐标为（A ）,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭（B ）()0,2.（C ）(),2π-（D ）33,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C【解析】'sin cos 2sin cos sin y x x x x x x x=+-=-''cos sin cos sin y x x x x x x=--=-令''00y x x π===得或当''0;''0x y x y πππ>><<时当时，，故(,-2)为拐点（3）下列反常积分发散的是（）（A ）xxe dx +∞-⎰（B ）2x xe dx +∞-⎰（C ）2arctan 1x dx x +∞+⎰（D ）201xdx x +∞+⎰【答案】（D ）【解析】（A ）1,.xx xx xe dx xde xee dx +∞+∞+∞----+∞=-=-+=⎰⎰⎰收敛.（B ）2220011,.22x x xe dx e dx +∞+∞--==⎰⎰收敛（C ）[]2220arctan 1arctan 128x dx x x π+∞+∞==+⎰，收敛.（D ）22001ln(1).12x dx x x +∞+∞=+=+∞+⎰发散综上，故选（D ）（4）已知微分方程xy ay by ce '''++=的通解为12(),xx y C C x ee -=++则,,a b c 依次为（）（A ）1,0,1（B ）1,0,2（C ）2,1,3（D ）2,1,4【答案】D 【解析】()221012,1;2, 4.x x r ar b r a b e y y y ce c -++=+=='''++==由题干分析出为特征方程的二重根,即=0故又为的解代入方程得（5）【答案】【解析】（6）已知(),()f x g x 二阶可导且在x a =处连续，则(),()f x g x 在a 点相切且曲率相等是2()()lim0()x af xg x x a →-=-的（）（A ）充分非必要条件（B ）充分必要条件（C ）必要非充分条件（D ）既非充分也非必要条件【答案】（C ）【解析】因2()()lim0()x af xg x x a →-=-，则[][]221[()()]()()()()()()2lim0()x af ag a f a g a x a f a g a x a x a →''''''-+--+--=-，故()()0()()0()()0f a g a f a g a f a g a -=⎧⎪''-=⎨⎪''''-=⎩由此可得(),()f x g x 在a 点相切且曲率相等。

2019年数学（二）真题解析一、选择题（1）【答案】（C）.【解】方法一由lim工_向工=恤1_sec咯=_£得工_tan〜_£工3（工一°）,工LO3z33故工一tan x为3阶无穷小量，即k=3,应选（C）.方法二由tan x—x+£工3+o（j:3）得z—tan x~----x3（z—0）,«J o故％=3,应选（C）.（2）【答案】（E）.【解】y f=x cos x一sin x，夕〃=—x sin x?令夕〃=——x sin x=0得工=。

9工=7T,当z€（-J,O）时，/<0,当工e（0,7T）时V0,则（0,2）不是拐点；当工G（冗，2兀）时，j/'>0,故（兀，一2）为拐点，应选（E）.（3）【答案】（D）.【解】方法一r+°°f+8由x e_r d jc=r（2）=1得x e_r dj?收敛；J o J0f+°°212I+°°1r+°°2由|x djr=----e~x=百得|x（£z收敛；Z I o/J oarctan x.1..,I+，"x2/曰f+°°arctan x.比心---------dx=—-（arctan jc）2==得------ckz收敛，1+/2I o8Jo1+_z2—~dx发散，应选（D）.方法二qr r+8nr由lim x•--------7=1且q=1W1得广义积分-----dr发散9应选（D）.l+81+工2Jo1+X（4）【答案】（D）.【解】微分方程：/'+ay r+by的特征方程为A2+«A+6=0,由y=（Ci+C2x）e_J+e"为微分方程的通解可知，特征根为入i=入2=—1,则a=2,b=l；再由_y*=e"为微分方程y"+ay r-V by=ce J的特解得c=4,应选（D）.（5）【答案】（A）.【解】由/$0时，sin/£/得sin y2W Jx2y2，从而I2V4；/~2~~I F/~~2~~i F/~2~~i F tv i r^r~\_r。

2019年考研数学（二）真题及完全解析（Word 版）一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. 1、当0x →时，若tan x x -与k x 是 同阶无穷小量，则k =（ ）A 、 1.B 、2.C 、 3.D 、 4.【答案】C . 【解析】因为3tan ~3x x x --，所以3k =，选 C .2、曲线3sin 2cos y x x x x ππ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭ －２２的拐点是（ ） A 、,ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭　２２ . B 、()0,2 . C 、(),2π- . D 、33,ππ⎛⎫⎪⎝⎭　２２. 【答案】C . 【解析】cos sin y x x x '=- ，sin y x x ''=-，令 sin 0y x x ''=-=，解得0x =或x π=。

当x π>时，0y ''>；当x π<时，0y ''<，所以(),2π-　是拐点。

故选 C .3、下列反常积分发散的是（ ）A 、0xxe dx +∞-⎰. B 、2x xe dx +∞-⎰. C 、20tan 1arx x dx x +∞+⎰. D 、201x dx x+∞+⎰. 【答案】D . 【解析】A 、1xxx x xe dx xde xee dx +∞+∞+∞+∞----=-=-+=⎰⎰⎰，收敛；B 、222001122x x xedx e dx +∞+∞--==⎰⎰，收敛；C 、22200tan 1arctan 128arx x dx x x π+∞+∞==+⎰，收敛；D 、2222000111(1)ln(1)1212x dx d x x x x +∞+∞+∞=+=+=+∞++⎰⎰，发散，故选D 。

4、已知微分方程的x y ay byce '''++=通解为12()x x y C C x e e -=++，则,,a b c 依次为（ ）A 、 1,0,1.B 、 1,0,2.C 、2,1,3.D 、2,1,4. 【答案】D .【解析】 由题设可知1r =-是特征方程20r ar b ++=的二重根，即特征方程为2(1)0r +=，所以2,1ab ==　。

1..【分析】 本题属基本题型，幂指函数的求导（或微分）问题可化为指数函数求导或取对数后转化为隐函数求导.【详解】 方法一： x x y )sin 1(+==)sin 1ln(x x e +，于是]sin 1cos )sin 1[ln()sin 1ln(x xx x e y x x +⋅++⋅='+，从而π=x dy=.)(dx dx y ππ-='方法二： 两边取对数，)sin 1ln(ln x x y +=，对x 求导，得 x xx x y ys i n 1c o s )s i n 1l n (1+++='， 于是]sin 1cos )sin 1[ln()sin 1(x xx x x y x +⋅++⋅+='，故π=x dy=.)(dx dx y ππ-='【评注】 幂指函数的求导问题，既不能单纯作为指数函数对待，也不能单纯作为幂函数，而直接运用相应的求导公式.2..【分析】 本题属基本题型，直接用斜渐近线方程公式进行计算即可.【详解】 因为a=,1)1(lim )(lim23=+=+∞→+∞→x x x x x f x x[]23)1(lim)(lim 2323=-+=-=+∞→+∞→xxx ax x f b x x ，于是所求斜渐近线方程为.23+=x y 【评注】 如何求垂直渐近线、水平渐近线和斜渐近线，是基本要求，应熟练掌握。

这里应注意两点：1）当存在水平渐近线时，不需要再求斜渐近线；2）若当∞→x 时，极限x x f a x )(lim∞→=不存在，则应进一步讨论+∞→x 或-∞→x 的情形，即在右或左侧是否存在斜渐近线，本题定义域为x>0，所以只考虑+∞→x 的情形. 3..【分析】 作三角代换求积分即可. 【详解】 令t x sin =，则=--⎰1221)2(x xxdx⎰-202cos )sin 2(cos sin πdt t t tt=.4)arctan(cos cos 1cos 20202πππ=-=+-⎰t tt d【评注】 本题为广义积分，但仍可以与普通积分一样对待作变量代换等. 4...【分析】直接套用一阶线性微分方程)()(x Q y x P y =+'的通解公式：⎰+⎰⎰=-])([)()(C dx e x Q e y dxx P dx x P ，再由初始条件确定任意常数即可. 【详解】 原方程等价为x y x y ln 2=+'，于是通解为⎰⎰+⋅=+⎰⋅⎰=-]ln [1]ln [2222C xdx x x C dx ex ey dxx dxx=2191ln 31x C x x x +-， 由91)1(-=y 得C=0，故所求解为.91ln 31x x x y -=【评注】 本题虽属基本题型，但在用相关公式时应注意先化为标准型. 另外，本题也可如下求解：原方程可化为x x xy y x ln 222=+'，即 x x y x ln ][22='，两边积分得Cx x x xdx x y x +-==⎰332291ln 31ln ，再代入初始条件即可得所求解为.91ln 31x x x y -=5…【分析】 题设相当于已知1)()(lim0=→x x x αβ，由此确定k 即可.【详解】 由题设，200cos arcsin 1lim )()(lim kx xx x x x x x -+=→→αβ=)cos arcsin 1(cos 1arcsin lim20x x x kx x x x x ++-+→=k 21143cos 1arcsin lim 20==-+→k x x x x x ，得.43=k【评注】 无穷小量比较问题是历年考查较多的部分，本质上，这类问题均转化为极限的计算.6…【分析】 将B 写成用A 右乘另一矩阵的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可.【详解】 由题设，有)93,42,(321321321ααααααααα++++++=B=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡941321111),,(321ααα， 于是有 .221941321111=⨯=⋅=A B【评注】 本题相当于矩阵B 的列向量组可由矩阵A 的列向量组线性表示，关键是将其转化为用矩阵乘积形式表示。

2019年考研数学（二）真题及完全解析（Word 版）一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. 1、当0x →时，若tan x x -与 kx 是 同阶无穷小量，则k=（ ）A 、 1.B 、2.C 、 3.D 、 4.【答案】C .【解析】因为 3tan ~3x x x --，所以3k =，选 C .2、曲线3sin 2cos y x x x x ππ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭ －２２的拐点是（ ） A 、,ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭　２２ . B 、()0,2 . C 、(),2π- . D 、33,ππ⎛⎫⎪⎝⎭　２２. 【答案】C . 【解析】cos sin y x x x '=- ，sin y x x ''=-，令 sin 0y x x ''=-=，解得0x =或x π=。

当x π>时，0y ''>；当x π<时，0y ''<，所以(),2π-　是拐点。

故选 C . 3、下列反常积分发散的是（ ）A 、0xxe dx +∞-⎰. B 、 2x xe dx +∞-⎰. C 、 20tan 1arx x dx x +∞+⎰. D 、201x dx x+∞+⎰. 【答案】D . 【解析】A 、1xxx x xe dx xde xee dx +∞+∞+∞+∞----=-=-+=⎰⎰⎰，收敛；B 、222001122x x xedx e dx +∞+∞--==⎰⎰，收敛；C 、22200tan 1arctan 128arx x dx x x π+∞+∞==+⎰，收敛；D 、2222000111(1)ln(1)1212x dx d x x x x +∞+∞+∞=+=+=+∞++⎰⎰，发散，故选D 。

4、已知微分方程的x y ay byce '''++=通解为12()x x y C C x e e -=++，则,,a b c 依次为（ ）A 、 1,0,1.B 、 1,0,2.C 、2,1,3.D 、2,1,4. 【答案】D .【解析】 由题设可知1r =-是特征方程20r ar b ++=的二重根，即特征方程为2(1)0r +=，所以2,1ab ==　。

2019年考研（数学二）真题试卷(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．当x→0，x—tanx与xk是同阶无穷小，求k( )A．1B．2C．3D．4正确答案：C解析：因x—tanx～，若要x—tanx与xk是同阶无穷小，则k=3，故选C．2．y=xsinx+2cosx[x∈]的拐点坐标是( )A．B．(0，2)C．(π，—2)D．正确答案：B解析：y′=sinx+xcosx—2sinx，y″= —xsinx，令y″=0得x=0，x=π，又因为y″′= —sinx—xcox，将上述两点代入y″′(π)≠0，所以(π，—2)是拐点．3．下列反常积分发散的是( )A．∫0+∞xe—xdxB．∫0+∞xe—x2dxC．D．正确答案：D解析：对A：∫0+∞xe—xdx=∫0+∞xd(—e—x)= —xe—x｜0+∞+∫0+∞e —xdx= —e—x｜0+∞=1；对B：∫0+∞xe—x2dx=；4．已知微分方程y″+ay′+by=cex的通解为y=(C1+C2x)e—x+ex，则a，b，c依次为( )A．1，0，1B．1，0，2C．2，1，3D．2，1，4正确答案：D解析：由条件知特征根为λ1=λ2= —1，特征方程为(λ—λ1)(λ—λ2)=λ2+2λ+1=0，故a=2，b=1，而y*=e*为特解，代入得c=4，故选D．5．已知平面区域D={(x，y)｜｜x｜+｜y｜≤}，，试比较I1，I2，I3的大小( )A．I3＜I2＜I1B．I1＜I2＜I3C．I2＜I1＜I3D．I2＜I3＜I1正确答案：A解析：因为，所以I2＜I1，I3＜I1．所以I3＜I2，所以I3＜I2＜I1，故选A．6．已知f(x)，g(x)二阶导数且在x=a处连续，请问f(x)，g(x)相切于a且曲率相等是=0的什么条件?( )A．充分非必要条件B．充分必要条件C．必要非充分条件D．既非充分又非必要条件正确答案：B解析：必要性：f(x)，g(x)相切于a，则f(a)=g(a)，f′(a)=g′(a)，f(x)与g(x)相切于点a，且曲率相等，故选B．7．设A是四阶矩阵，A*是A的伴随矩阵，若线性方程Ax=0的基础解系中只有2个向量，则A*的秩是( )A．0B．1C．2D．3正确答案：A解析：因为Ax=0的基础解系中只有2个向量，∴4—r(A)=2，则r(A)=2∴r(A*)=0，故选A．8．设A是三阶实对称矩阵，E是三阶单位矩阵，若A2+A=2E．且｜A｜=4，则二次型xTAx规范形为( )A．y12+y22+y32B．y12+y22—y32C．y12—y22—y32D．—y12—y22—y32正确答案：C解析：设λ为A的特征值，由A2+A=2E得λ2+λ=2，解得λ= —2或1，所以A的特征值是1或—2．又∵｜A｜=4，所以A的三个特征值为1，—2，—2，∴二次型xTAx的规范形为y12—y22—y32，故选C．填空题9．= _______．正确答案：4e2解析：10．曲线对应点处切线在y轴上的截距为________．正确答案：解析：11．设函数f(u)可导，z== ________．正确答案：解析：12．设函数y=lncosx的弧长为________．正确答案：解析：13．已知函数f(x)=，则∫01f(x)dx=________．正确答案：解析：14．已知矩阵A=，Aij表示｜A｜中(i，j)元的代数余子式，则A11—A12= ________．正确答案：—4解析：A11—A12=== —4．解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

x ⎰ ⎰ 2 2019 年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）试题及答案解析一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1、当 x → 0 时，若 x - tan x 与 x k是同阶无穷小，则k = A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.【答案】C3 【解析】 x - tan x ~ - ，所以选C. 32、设函数 y = x sin x + 2 cos x (- π x 3π) 的拐点π πA. ( , ).2 22 2 B. (0, 2). C. (π, -2).【答案】C.D. (3π , - 3π). 2 2【解析】令 y '' = -x sin x = 0 ，可得 x = π ，因此拐点坐标为（π，- 2）. 3、下列反常积分发散的是A.+∞x e - xd xB.+∞x e - x 2d x 0 C. +∞ arctan x d xD. +∞ x d x⎰0 【答案】D 1+ x 2⎰1+ x 2+∞【解析】xd x = +∞ln(x 2 +1)= +∞ ，其他的都收敛，选D. 0 1+ x 2 04、已知微分方程 y '' + ay ' + by = ce x 的通解为 y = (C A 、1,0,1B 、 1,0, 2C 、2,1, 3D 、2,1, 4【答案】 D.+ C x )e- x+ e x ，则 a 、b 、c 依次为 【解析】由通解形式知， λ = λ = -1 ， 故特征方程为（λ +1）2=λ 2+ 2λ +1=0 ， 所以12a = 2,b = 1 ，又由于 y = e x 是 y '+2 y ' + y = ce x 的特解，代入得c = 4 .5 、 已 知 积 分 区 域D = {(x , y ) | x + y， I 1 = ⎰⎰D x 2 + y 2 d x d y ，2 π} 21 ⎰ 1D1 2 31 2 3 1 2 3I 2 = ⎰⎰D x d y ， I 3 = ⎰⎰ (1-x d y ，试比较 I , I , I 的大小A. I 3 < I 2 < I 1C. I 2 < I 1 < I 3B. I 1 < I 2 < I 3D. I 2 < I 3 < I 1【答案】C【解析】在区域D 上0 ≤ x2+ y 2≤ π2 4,∴，进而 I 2 < I 1 < I 3.6 、已知 f (x ), g (x ) 的 二 阶导 数 在 x = a 处 连 续， 则 limx →af (x ) - g(x )(x - a )2= 0 是曲线y = f (x ), y = g (x ) 在 x = a 处相切及曲率相等的A. 充分非必要条件.B. 充分必要条件.C. 必要非充分条件.D. 既非充分又非必要条件. 【答案】A【解析】充分性:利用洛必达法则,有limf (x ) - g(x ) = lim f '(x ) -g '(x ) = lim f '(x ) - g '(x ) = 0.x →a(x - a )2 x →a 2(x - a ) x →a 2从而有 f (a ) = g (a ), f '(a ) = g '(a ), f '(a ) = g '(a ) ,即相切,曲率也相等. 反之不成立,这是因为曲率 K =f '(a ) = -g '(a ) ;选 A.3(1+ y '2 )2,其分子部分带有绝对值,因此 f '(a ) = g '(a ) 或7、设 A 是四阶矩阵， A *是 A 的伴随矩阵，若线性方程组 Ax = 0 的基础解系中只有 2 个向量，则 A *的秩是（ ） A.0 B.1 C.2D.3【答案】 A.【解析】由于方程组基础解系中只有 2 个向量，则r ( A ) = 2 ， r ( A ) < 3 ， r ( A *) = 0 .8、设 A 是3 阶实对称矩阵， E 是3 阶单位矩阵. 若 A 2+ A = 2E ，且 A = 4 ，则二次型x T Ax 规范形为A. y 2 + y 2 + y 2.B. y 2 + y 2 - y 2. y ''1 2 3 1 2 3⎩ C. y 2 - y 2 - y 2. D. - y 2 - y 2 - y 2.【答案】C【解答】由 A 2+ A = 2E ，可知矩阵的特征值满足方程 λ 2+ λ - 2 = 0 ，解得， λ = 1 或λ = -2 . 再由 A = 4 ，可知λ = 1, λ = λ = -2 ，所以规范形为 y 2 - y 2 - y 2 . 故答案选C.123123二、填空题：9～14 小题，每小题 4 分，共 24 分． 29. lim(x + 2x) x= .x →02 2 x x lim ln(x +2 ) 【解析】lim(x + 2 ) x = e x →0 xx →02 x x + 2x -1 x其中lim ln(x + 2 ) = 2 l im = 2 lim(1+ 2 ln 2) = 2(1+ ln 2)x →0 x x →0 xx →02所以lim(x + 2x) x= e2+2ln 2= 4e 2x →0⎧x = t - sin t 310. 曲线 ⎨y = 1- cos t 在t = 2 π 对应点处切线在 y 轴上的截距 .【解析】d y= d x sin t 1- cos t 当t = 3 π 时， x = 3 π +1, y = 1, d y= -12 2 d x所以在t = 3 π 对应点处切线方程为 y = -x + 3π + 22 2所以切线在 y 轴上的截距为 3π + 22 y 2 ∂z ∂z11. 设函数 f (u ) 可导， z = yf ( x )，则2x ∂x + y ∂y= .∂z 【解析】 =' y 2- y 2= - y 3 ' y 2∂x yf ( )( x x 2) f ( ) x 2 x∂z = y 2' y 2 2 y y 2 2 y 2 ' y 2f ( ) + yf ∂y x ( )( x ) = f ( ) + x x xf ( )x∂z ∂z y 2 所以2x ∂x + y ∂y = yf ( x)12. 设函数 y = ln cos x (0 xπ) 的弧长为.66 ⎝ ⎭ ⎩πππ 1【解析】弧长 s =⎰61+ ( y ')2d x = ⎰61+ tan 2x d x = ⎰ 6d x0 cos x= ln |1 cos xπ+ tan x | = ln 0= 1 ln 3 2xsin t 2113. 已知函数 f (x ) = x⎰1td t ，则⎰0 f (x )d x =.xsin t 211【解析】设 F (x ) =⎰1td t ，则⎰0 f (x )d x = ⎰0 xF (x )d x = 1 1 F (x )d x 2 = 1 [x 2F (x )] 1 - 11 x 2d F (x )2 ⎰22 ⎰0= - 1 ⎰1 x 2 F '(x )d x = - 1 ⎰1 x 2 sin x 2 d x2 0 2 0 x = - 1 1 x sin x 2d x = 1 cos x 21 = 1 (cos1-1)2 ⎰04 04⎛ 1 -1 0 0 ⎫ -2 1 -11 ⎪14. 已知矩阵 A =⎪ ， A 表示 | A | 中 (i , j ) 元的代数余子式， 则3 -2 2 -1⎪ ij0 0 3 4 ⎪A 11 - A 12 = .1 -1 0 0 1 0 0 0 -2 1-1 1-2 -1 -1 1【解析】 A 11 - A 12 =| A |= 3-2 2 -1 =3 1 2 -1 0 03 4 03 4-1 -1 1 -1 -1 1= 1 2 -1 = 0 1 0 = -4 0 3 4 0 3 4三、解答题：15～23 小题，共 94 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15、（本题满分 10 分）⎧⎪x 2 x , x > 0, 已知 f (x ) = ⎨⎪x e x +1, x 0, 求 f '(x ) ，并求 f (x ) 的极值.解: x > 0 时, f '(0) = (e2 x ln x)' = e 2 x ln x (2 ln x + 2) ;x < 0 时, f '(x ) = (x +1)e x ;3e xe + ⎩ ⎰ ⎰' f (x ) - f (0)e 2 x ln x -1又 f (0) = lim x →0+x - 0 = limx →0+x= lim 2x ln x = lim 2 l n x = -∞ ,x →0+xx →0+所以 f '(0) 不存在,因此'⎪⎧2x 2 x(1+ ln x ),x > 0,f (x ) = ⎨⎪(x +1)e x , x < 0. 令 f '(x ) = 0 ,得驻点 x = -1, x = 1;另外 f (x ) 还有一个不可导点 x = 0 ;1 3 e2又(-∞, -1) 为单调递减区间, (-1, 0) 为单调递增区间, (0, 1) 为单调递减区间, (1, +∞) 为单e e 1 1- 2 调递增区间;因此有极小值 f (-1) = 1- 和极小值 f ( ) = e e ,极大值 f (0) = 1.e e16、（本题满分 10 分） 3x + 6求不定积分(x -1)2(x 2+ x +1) d x .3x + 6232x +1解:⎰ (x -1)2(x 2+ x +1) d x = ⎰[- x -1 + (x -1)2+ x 2+ x + ]d x117、（本题满分 10 分）= -2 ln x -1 -3x -1+ ln(x 2 + x +1) + Cy = y (x ) 是微分方程 y ' - xy =x 2e 2 满足 y (1) = 的特解.（1） 求 y (x ) ；（2） 设平面区域 D = {(x , y }|1 x 2, 0 y y (x )} ，求 D 绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积.x 2解(1) y (x ) = e ⎰x d x[ e ⎰- x d x⋅1e 2 d x + C ] 2x 2= e 2 (⎰ x 2 d x + C ) = e 2(+ C ) ;又由 y (0) = 得C = 0 ,最终有2 x 2 x x 1 1sin 2 θ 2⎰π⎰πn n1 1(2)所求体积y (x ) = x 2 x e 2.V = ⎰ π( x 2x e 2 )2 d x = π⎰2x e x 2 d x= π e x 2 2 1 = π (e 4- e) . 218、已知平面区域 D 满足 xy ,(x 2+ y 2 )3y 4，求 ⎰⎰x d y .解:由 x y 可知区域 D 关于 y 轴对称,在极坐标系中,π θ3π;将 x = r cos θ , y = r sin θ代入(x 2+ y 2 )3由奇偶对称性,有44y 4 得 r ;x + yyπsin 2 θr sin θ ⎰⎰D x d y = ⎰⎰x d y = 2 2 d θ 04r d r rππ 43 2 = 2 sin 5 θ d θ = - 2 (1- cos 2 θ )2 dcos θ =1204419、设n 为正整数，记 S 为曲线 y = e - xsin x (0求lim S . n →∞x n π) 与 x 轴所围图形的面积，求 S n ，并解:设在区间[k π,(k +1)π] (k = 0,1, 2,L , n -1) 上所围的面积记为u k ,则u k =(k +1) π e - x| sin x | d x = (-1)kk π(k +1) π e - xsin x d x ;k π记 I = ⎰e- xsin x d x ,则 I = -⎰e - x d cos x = -(e - x cos x - ⎰ cos x de - x )= -e - x cos x - ⎰e - x dsin x = -e - x cos x - (e - x sin x - ⎰sin x de - x ) = -e - x (cos x + sin x ) - I ,所以 I = - 1e - x(cos x + sin x ) + C ;2因此u k= (-1)k(-1 )e -k (cos x + sin x )2 (k +1) πk π= 1(e -(k +1) π + e -k π ) ; 2(这里需要注意cos k π = (-1)k)x 2+ y 2x 2 + y 2x 2+ y 2⎰π ⎰⎰2⎰xx x 1因此n -11n-k π1 e -π - e -(n +1) πS n = ∑u k = 2 + ∑e = 2 + 1- e -π ;k =0k =11 e -π - e -(n +1) π1e -π 1 1 lim S n = + lim -π= + -π = + π n →∞2 n →∞ 1- e2 1- e 2 e -120 、已知函数 u (x , y ) 满足 2 ∂2u ∂x 2∂2u 2 ∂y 2 + 3 ∂u ∂x + 3 ∂u∂y = 0 ，求 a , b 的值， 使得在变换u (x , y ) = v (x , y )e ax +by 下，上述等式可化为v (x , y ) 不含一阶偏导数的等式.解: ∂u = v 'e ax +by + va e ax +by ,∂x ∂2u =x ' ax +by' ax +by ' ax +by2 ax +by ∂x 2v xx e + v x a e + v x a e + va e= v ' eax +by + 2av 'e ax +by + a 2v e ax +by∂u'ax +by ax +by ∂2u' ax +by ' ax +by 2 ax +by同理,可得 ∂y = v y e + bv e , ∂y 2= v yye + 2bv y e + b v e ;将所求偏导数代入原方程,有eax +by[2v ' - 2v ' + (4a + 3)v ' + (3 - 4b )v ' + (2a 2 - 2b 2+ 3a + 3b )v ] = 0 , xx yy x y从而4a + 3 = 0, 3 - 4b = 0 ,因此a = - 3 , b = 3.4 4121、已知函数 f (x , y ) 在[0,1] 上具有二阶导数，且 f (0) = 0, f (1) = 1, ⎰f (x )d x = 1 ，证明：（1）存在ξ ∈(0,1) ，使得 f '(ξ ) = 0 ；（2）存在η ∈(0,1) ，使得 f ''(η) < -2 .证明:(1)由积分中值定理可知,存在c ∈(0,1) ,使得⎰f (x )d x = (1- 0) f (c ) ,即 f (c ) = 1 .因此 f (c ) = f (1) = 1,由罗尔定理知存在ξ ∈(c ,1)(⊂ (0,1)) ,使得 f '(ξ ) = 0 .(2)设 F (x ) = f (x ) + x 2,则有 F (0) = 0, F (c ) = 1+ c 2, F (1) = 2 ;由拉格朗日中值定理可得:存在η ∈(0, c ) ,使得 F '(η = F (c ) - F (0) =c 2 +11 1 ) c - 0 c ;存在η ∈(c ,1) ,使得 F '(η = F (1) - F (c ) = 1- c 2 = +2 2 ) 1- c 1- c1 c ;-⎝ ⎭⎝ ⎭对于函数 F '(x ) ,由拉格朗然中值定理同样可得,存在η ∈ (η1,η2 (⊂ (0,1)) ,使得c 2 +1 1'' F '(η ) - F '(η ) (c +1) - 1- cc F (η) = 2 1 = = < 0 ,η2 -η1 η2 -η1 η2 -η1即 f ''(η) + 2 < 0 ;结论得证.⎡1 ⎤ ⎡1⎤ ⎡ 1 ⎤22. 已知向量组（Ⅰ） α = ⎢1 ⎥，α = ⎢0⎥ , α = ⎢ 2 ⎥，1 ⎢ ⎥ ⎢⎣4⎥⎦2 ⎢ ⎥ ⎢⎣4⎥⎦3 ⎢ ⎥⎢⎣a 2+ 3⎥⎦⎡ 1 ⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎡ 1 ⎤（Ⅱ） β = ⎢ 1 ⎥ , β = ⎢ 2 ⎥ , β =⎢ 3 ⎥ , ，若向量组（Ⅰ）和向量组（Ⅱ）等价，1 ⎢ ⎥2 ⎢⎥ 3 ⎢ ⎥ ⎢⎣a + 3⎦⎥ ⎣⎢1- a ⎦⎥ ⎢⎣a 2+ 3⎥⎦求a 的取值，并将β3 用α1 , α2 , α3 线性表示.【解析】令 A = (α , α , α ) , B = ( β , β , β ) ，所以， A = 1- a 2 ， B = 2(a 2-1) .123123因向量组 I 与 II 等价，故r ( A ) = r (B ) = r ( A , B ) ，对矩阵( A , B ) 作初等行变换.因为⎛ 1 1 1 1 0 1 ⎫ ⎛ 1 1 1 1 0 1 ⎫ ( A , B ) =1 02 1 23 ⎪ → 0 -1 1 0 2 2 ⎪.⎪ ⎪ 4 4 a 2 + 3 a + 3 1- a a 2 + 3⎪ 0 0 a 2 -1 a -1 1- a a 2 -1⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭当 a = 1时，r ( A ) = r (B ) = r ( A , B ) = 2 ；当a = -1 时，r ( A ) = r (B ) = 2 ，但r ( A , B ) = 3 ； 当 a ≠ ±1时， r ( A ) = r (B ) = r ( A , B ) = 3 . 综上，只需a ≠ -1即可. 因为对列向量组构成的矩阵作初等行变换，不改变线性关系.⎛ 1 0 2 3 ⎫ ①当a = 1时，(α , α , α , β ) → 0 1 -1 -2 ⎪，故 β = x α + x α + x α 的等价方程1 2 3 3 ⎪ 0 0 0 0 ⎪ 3 1 1 2 2 3 3⎧ x 1 = 3 - 2x 3 , 组为 故 β = (3 - k )α + (-2 + k )α + k α （ k 为任意常数）； ⎨x = -2 + x . 3 1 2 3⎩ 23⎛ 1 0 0 1 ⎫ ②当a ≠ ±1时，(α , α , α , β ) →0 1 0 -1⎪ ，所以 β = α - α + α . 1 2 3 3 ⎪ 0 0 1 1 ⎪ 3 1 2 3⎩⎝ ⎭⎝ ⎭⎝ ⎭ ⎝ ⎭⎡-2 -2 1 ⎤ ⎡2 1 0⎤ 23.已知矩阵 A = ⎢ 2 x -2⎥ 与B = ⎢0 -1 0⎥ 相似， ⎢ ⎥ ⎢ ⎥（Ⅰ）求 x , y ；⎢⎣ 0 0 -2⎥⎦ ⎢⎣0 0 y ⎥⎦（Ⅱ）求可逆矩阵P 使得P -1AP = B⎧⎪-2 + x - 2 = 2 -1+ y ,解:(1)相似矩阵有相同的特征值,因此有⎨⎪ A = B ,又 A = -2(4 - 2x ) , B = -2 y ,所以 x = 3, y = -2 . (2)易知 B 的特征值为2, -1, -2 ;因此⎛ 2 1 0 ⎫ A - 2E ↓r↓→0 0 1 ⎪ ,取ξ = (-1, 2, 0)T ,⎪1 0 0 0 ⎪ ⎛ 12 0 ⎫ A+ E ↓r↓→0 0 1 ⎪ ,取ξ = (-2,1, 0)T ,⎪2 0 0 0 ⎪ ⎛ 4 0 1 ⎫ A+ 2E ↓r↓→0 2 -1⎪ ,取ξ = (-1, 2, 4)T⎪ 0 0 0 ⎪3⎛ 2 0 0 ⎫ 令 P = (ξ ,ξ ,ξ ) ,则有 P -1AP = 0 -1 0 ⎪;1 123 1 1 ⎪ 0 0 -2⎝ ⎭⎛ 1 -1 0 ⎫ ⎛ 2 0 0 ⎫ 同理可得,对于矩阵 B ,有矩阵 P = 0 3 0 ⎪ , P -1BP = 0 -1 0 ⎪ ,所以2 ⎪ 2 2 ⎪ 0 0 1 ⎪ 0 0 -2 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ P -1 AP = P -1BP ,即 B = P P -1 APP -1 ,所以11222 11 2⎛ -1 -1-1⎫ P = PP-1 =2 1 2 ⎪ . 1 2⎪ 0 0 4 ⎪。