2019年考研数学二真题及答案解析

2019年研究生统一入学考试数学（二）

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.

1.当

时，若

与是同阶无穷小，则k=（ ）。A.1

B.2

C.3

D.4

2.设函数的拐点（ ）。

A.

B.C.

D 3.

下列反常积分发散的是（ ）。A.B.

C.

D.4.已知微分方程

的通解为

，则、、、依次序为（ ）。A.1，0，1

B.1，0，2

C.2，1，3

D.2，1，4

5.已知区域

，，，

，试比较

的大小（ ）。A.B.

C.

D.C

C

D

D

A

6.

已知是二阶可导且在

处连续，请问

相切于

且曲率相等是

的什么条件？

A.充分非必要条件

B.充分必要条件

C.必要非充分条件

D.即非充分又非必要条件

7.设A是四阶矩阵，

是A的伴随矩阵，若线性方程组

的基础解系中只有2个向量，则的秩是（ ）。

A.0

B.1

C.2

D.3

8.设A是3阶实对称矩阵，E是3阶单位矩阵。若

，且

，则

规范形为（ ）。

A.

B.C.

D.

二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.

9.

。10

.

曲线

在

对应点处切线在y轴上的截距

。11

.设函数

可导，，则。

12.已知函数的弧长为。

13.已知函数，则。

14.已知矩阵，表示中元的代数余子式，则。

三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.本题为多选，计算步骤符合采分点即可得分。

15.已知求，并求的极值。

当x>0时，

当x<0时，

A

A C

故，而在x=0附近时，当x>0，，单调递减；当x<0，

，单调递增；故在x=0处取极大值

16.求不定积分。

17.是微分方程满足的特解。

（1）求；

由于则可以得出，两边同时积分可

以得

由于，代入得c=0，故

（2）设平面区域求D绕x轴旋转一周的体积；

由体积公式得

18.已知平面区域D满足，，求。

极坐标方程为，由于对称性

=

=

19.，是的图像与x轴所围成图形的面积，求，并求。

采分点1：

；记

，则

所以

)

因此

(这里需要注意下

采分点 2：因此

；

采分点 3：

20.

已知函数

满足，求a，b的值，使得在变换

下，

上述等式可化为

不含一阶偏导数的等式。

满足

，求

，的值，使得在变换

采分点 1：

已知函数

之下，上述等式可化为函数

的不含一阶偏导数的等式。

代入已知条件

采分点 6：

根据已知条件，上式不含一阶偏导，故，

即，

21.已知函数在上具有二阶导数，且，，，证明：

（1）存在，使得；

采分点 1：设在处取得最大值，则由条件，，

可知，于是，

采分点 2：由费马引理得

（2）存在，使得。

采分点1：若不存在，使得，则对任何，有，由拉格朗日中值定理得，

，C介于x与之间，

采分点 2：不妨设，，积分得，于是

，

采分点 3：这与相矛盾，故存在，使得。

22. 已知向量组（I），，，（II），，，若向量组（I）和向量组（II）等价，求的取值，并将用，，线性表示。

采分点 1：

(1)若 ，则

踩分点 2：.此时向量组（I）与（II）等价，令

，，则

此时

，

采分点 3：(2)若 ，则

向量组（I）与（II）不等价。

(3)若则

此时

23.已知矩阵与相似， （I）求x，y；

因为A与B相似，则

（II）求可逆矩阵P使得

，，

，

，

，

时，

时，

时，

故