第1章离散时间信号与系统的时域分析

25
N=50
sin
3n 10
非周期序列
第1章离散时间信号与系统的时域分析
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讨论：若一个正弦信号是由连续信号抽样得到， 则抽样时间间隔Ts和连续正弦信号的周期T0之 间应是什么关系才能使所得到的抽样序列仍然 是周期序列？
设连续正弦信号：
x(t) Asin(0t )
抽样序列：
0 2 f0 T0 1/ f0 2 / 0
0
0, n 0
x(n) x(n 1) x(n 1)
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n n n
第1章离散时间信号与系统的时域分析
2.反褶(反转)
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若有序列 x，(n)用 置换n 为对 x(的n)反褶信x(号n)，此时 形以 x为(n)轴翻转得到n。 0
例
x(n)
1 2
(
1 2
)n
,
n 1
0,
n 1
x(n)
1.1.1常用序列
1.单位抽样序列 (n)
(单位样值)
(n)
1, 0,
n0 n0
(n
m)
1, 0,
nm nm
n
1
-2
-1
0
1n 2m
n
1
-2 -1 0 1 m n
任意序列可以表示成单位采样序列的移位加权和,即
x(n) x(m) (n m) m
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第1章离散时间信号与系统的时域分析
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x(n) 是由一个连续时间信号 x(t)的抽样样得到的。 若 x(t) 表示一个连续时间信号，以 TS 采样间隔对其 进行周期抽样得到离散时间信号 x(nTs )（n 取整数）。 通常，TS 为常量，所以 x(nTs ) 就记为 x(n) 。
第1章离散时间信号与系统的时域分析
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1.1离散时间信号—序列
时间为离散变量的信号称为离散时间信号， 它只在离散时间上给出函数值，是时间上不连续的 序列，常用{x(n)}表示。
许多时候为了方便，直接用x(n)来代表序列全 体{x(n)}。本书中，离散时间信号与序列将不予区
分。这里 x(n) 既指序列的第 n 个数，又指整个序列。
n
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7.周期序列
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如果存在一个最小的正整数N，满足
x(n) x(n N)
则序列 x(n)为周期性序列，N为周期。
下图为周期序列示意图
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讨论一般正弦序列的周期性
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x(n) Asin(0n )
x(n N ) Asin[0 (n N ) ] Asin(0n 0N )
前向差分和后向差分运算可相互转换，即 x(n 1) x(n)
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例 已知序列 x(n) {0,0,1，,1,1则,1,0,0}前向差x(n分) 和后向差分
如下图
x(n)
x(n)
n
n
x(n 1)
x(n 1)
n x(n) x(n 1) x(n)
n x(n) x(n) x(n 1)
01 2
m
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图解法
x(m) 1
h(m) 1
h(1 m) 1
m
h(2 m) 1
h(3 m) 1
m h(4 m)
1
h(5 m) 1
m h(6 m)
1
m
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m m m m
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y(0) 0
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y(1) 1/ 2 1 1/ 2
A
...
...
n
-A
数字角 频率
Ts 2 fTs
模拟角 频率
抽样间 隔
频率
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5.实指数序列 anu(n)
a 为实数，当 a 1时,收敛
a 1时, 发散
x(n)
x(n)
0 a 1
a 1
...
...
n
n
x(n)
x(n)
1 a 0
...
a 1
...
RN (n)
0 n N 1
1
其他n
01
Hale Waihona Puke Baidu
2
N 1 n
RN (n) u(n) u(n N)
N 1
RN (n) (n m) m0 (n) (n 1) n (N 1)
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4.正弦型序列
x(n) Asin(n0 ) 其中，0为数字频率。
x(n)
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1.2 序列的卷积和
1.2.1 卷积和的定义及计算
设序列 x(n、) h它(n)们的卷积和 定y(义n)为
y(n) x(m)h(n m) h(m)x(n m) x(n) h(n)
m
m
卷积和计算分四步：
反褶(反转)、移位、相乘、相加。
第1章离散时间信号与系统的时域分析
计算步骤
2.单位阶跃序列 u(n)
u(n)
u(n)
1, 0,
n0 n0
1
0 123
n
(n) u(n) u(n) u(n 1)
u(n) (n m) (n) (n 1) (n 2) m0
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3.矩形序列 RN (n)
1, RN (n) 0,
例 一序列的抽取和插值的过程。
x(n)
x(n)
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y1(n) x(2n)
n
n
y2 (n) x(n / 2)
n
n
x1(n) y1(n / 2)
x2 (n) y2 (2n)
n
n
作抽取运算时，每2点（每隔1点）取1点；作
插值运算时，每2点之间插入1点，插入值是0。
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z2 (n) x(n) y(n)
n y(n)
n z1(n) x(n) y(n)
n z2(n) x(n) y(n)
n
5.差分
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序列 x(n的) 一阶前向差分 定x(义n) 为 x(n) x(n 1) x(n)
一阶后向差分定义为
x(n) x(n) x(n 1)
n
n
6. 累加
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设某一序列为 x(n，) 则 x的(n累) 加序列定义为
n
y(n) x(k) k
该定义表示序列 y(n) 在 n 时刻的值等于 n 时刻x(n) 的值以及 n 时刻以前所有 x(n) 值的累加和。序列的累
加运算类似于连续信号的积分运算。
两序列的乘积指同序号 (n) 的序列值逐项 对应相乘而构成一个新的序列，表示为
z(n) x(n) y(n)
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x(n)
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例 已知序列
x(n)
1 2
(
1 2
)n
,
n 1
0,
n 1
2n, n 0
，
y(n)
n 1, n 0
求序列
z1(n) x(n) y(n)
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4）累加 计算累加
x(m)h(n m)
m
第1章离散时间信号与系统的时域分析
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例
n / 2, 1 n 3
x(n) 0,
其他n
1, h(n) 0,
0n2 其他n
求：y(n) x(n) h(n) x(m)h(n m)
m
x(n) 3/2
h(n)
1 1/2
1
0123 m
第1章离散时间信号与系统的时域分析
例 已知序列
x(n)
1 2
(
1 2
)n
,
n 1 ，则
0,
n 1
y(n)
n
x(k
)
k
n1 1 2
(
1 2
)
k
,
n 1
k
0,
n 1
x(n)
n
yy((nn))
3
2
-2
0
2
n n
z (n) x(n) y(n)
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第1章离散时间信号与系统的时域分析
y(2) 1/ 2 111 3 / 2
y(3) 1/ 2 111 3 / 2 1 3
y(4) 1/ 2 0 11 3 / 2 1 0 1 5 / 2
y(5) 3 / 2 1 3 / 2
y(n)
3
3/2 1/2
5/2 3/2
-1 0 1 2 3 4 5
n
第1章离散时间信号与系统的时域分析
取M=3,则y(n)= ？
解： y(-1)= x(-1·3) y(0)= x(0·3)
y(1)= x(1·3) …
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插值：令 y(n) x(，n /LL为) 正整数，称 是由y(n作) L倍x的(n) 插值所产生的。
分解过程如下：
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n
n
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6.复指数序列
x(n) e( j0 )n en e jon
en (cos0n j sin 0n)
0
0
Re[x(n)]
Re[x(n)]
...
... ...
0
n
0
Im[x(n)]
...
... ...
0
n
Im[x(n)] 0
11 /79
...
n
...
x(n) x(t) tnTs Asin(0nTs ) Asin(0n )
0
0Ts
2
f0Ts
2
Ts T0
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当 2 T0 为整数或有理数时，x(n)为周期序列。 0 Ts
令：T0 N ，N，k为互为素数的正整数 Ts k
即：NTs kT0 ，N个抽样间隔应等于k个连续正弦信 号周期
1 2
(
1 2
)n
,
n 1
0,
n 1
中的x(自n) 变量 ，定义n 的波形相当x(于n)将 的波
x(n)
n x(n)
n
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3 序列的加减
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两序列的加、减指同序号 (n)的序列值逐项对应 相加、减而构成一个新的序列，表示为
z(n) x(n) y(n)
4 乘积
7 时间尺度变换
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序列的尺度变换类似于连续时间信号的时域伸缩 变换，包括抽取和插值两类。
抽取：令 y(n) x(Mn)，M为正整数，称 y(n)是由 x(n) 作M倍的抽取所产生的，即从 x(n) 中每隔M-1点取1
点。
第1章离散时间信号与系统的时域分析
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其分解过程见下例 如图所示，
项依次x(延n) 时 （右移）位m；而 则指 逐x(n项依m)次
超前x(n)（左移）位，当 m=1时称为单位延时m 。这里
为整数。
m
第1章离散时间信号与系统的时域分析
例
x(n)
1 2
(
1 2
)n
,
0,
n 1 n 1
x(n
1)
1
4
(
1 2
)n
,
n
2
0, n 2
x(n
1)
(
1 2
)n
,
n
第1章离散时间信号与系统的时域分析
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第1章离散时间信号与系统的时域分析
1.1 离散时间信号—序列 1.2序列的卷积和 1.3线性移不变系统 1.4线性常系数差分方程 1.5连续信号的抽样 1.6离散线性相关
第1章离散时间信号与系统的时域分析
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内容提要
本章首先介绍了离散时间信号的基本概念、常 用序列和基本运算；其次介绍了序列的卷积和及其 求解方法；然后着重讨论了线性移不变系统的特性 和差分方程的时域解法；最后介绍了相关函数的基 本概念，讨论了相关函数和线性卷积的关系。
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列表法
3
例 已知
x(n)
2 1
0
(n 0)
(n ，1)
(n 2) (other)
2 n 1
h(n)
求13
n0 n 1
4 n 2
5 n 3
y(n) x(n)*h(n)
h(1) h(0) h(1) h(2) h(3)
23145
x(0) 3 6 9 3 12 15 x(1) 2 4 6 2 8 10 x(2) 1 2 3 1 4 5
1）变量置换
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把离散信号 x和(n) 的h变n量 ，都n用m置换，作出
的波形x(。m)和h(m) 2）反转
以 m为对0 称轴，将 反h转(m，) 得到 。 h(m)
3）移位
把 h(移m位) ，变为 h。(n m，) 把n 0向右移h位(；m) ， 把 向左n 移0位。 h(m)
第1章离散时间信号与系统的时域分析
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x(n其) 他表示方法：
•数的集合{·}的形式 例如： x(n) {0,0,1,1,1,1,0,0}
•表达式 例如： x(n) 2n
•图形 例如： 图中横坐标n表示离 散的时间坐标，且 仅在n为整数时才有 意义；纵坐标代表 信号样点的值。
第1章离散时间信号与系统的时域分析
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第1章离散时间信号与系统的时域分析
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例：
x(n) sin( 3 2 n)
14
0
3 14
2
2 14 N T0 0 3 k T
当14T 3T0时，x(n)为周期为14的周期序列
第1章离散时间信号与系统的时域分析
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1.1.2 序列的基本运算
1.移位
设某一序列 x，(n当) 为正m时， 指x(原n 序m列) 逐
要使x(n N ) x(n)，即x(n)为周期为N的周期序列
则要求0 N
2 k，即N
2 0
k，N，k为整数，
且k的取值保证N是最小的正整数
第1章离散时间信号与系统的时域分析
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sin[0 (n N )] sin 0n
0N 2 k N 2 k 0
sin
n
10
N=20
sin
3 n