数列题型与解题方法归纳总结

知识框架掌握了数列的基本知识，特别是等差、等比数列的定义、通项公

数列

数列

的概念

两个基

本数列

数列的分类

数列的通项公式-函数角度理解

数列的递推关系

f =

『等差数列的定义a n

I等差数列的通项公式

等差数列

等差数列的求和公式

等差数列的性质a n

A

等比数列的定义

等比数列

-a n」=d(n 亠2)

=a i (n - 1)d

a n

S n

■ am

=2佝a n) = na i 豊“儿

=ap a q(m n = p q)

引=q(n_2) a n A

等比数列的通项公式a n

=a i q n°

a i - a n q

等比数列的求和公式S n

等比数列的性质

i —q

n a i(q =i)

a n a m = a p a q (m • n = p - q)

a i(1 -q n) =-rq-(q")

式、求和公式及性质，掌握了典型题型的解法和数学思想法的应用

就有可能在高考中顺利地解决数列问题。

一、典型题的技巧解法

i、求通项公式

(i)观察法。(2)由递推公式求通项。

对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等

差数列或等比数列问题。

'公式法

分组求和错位相减

求和

裂项求和

倒序相加求和

累加累积

•归纳猜想证明

分期付款

数列的应用一八

I其他

数列

求和

(i)递推式为a n+i =a n+d 及a n+i =qa n(d，q 为常数) 例

i、已知｛a n｝满足a n+i =a n+2 ，而且a i=i。求a n。

例i、解•••a n+i-a n=2为常数「｛a n｝是首项为i，公差为2的等差数列

• Gn=i+2 ( n-i ) 即a n=2n-i

i

例2、已知｛a n｝满足a n i a n，而a i=2，求a“ = ?

命 1 2

解是常数

亚2

是以2为首项，公比为+的等卜嗷列

sLi

2

a n+i =a n +f (n )以n=1 , 2,•••,( n-1 )代入，可得n-1个等式累加而求 a n 。

⑶递推式为a n+1 =pa n +q (p , q 为常数)

例 4、｛a *｝中，a 1 = 1 ,对于 n > 1 (n € N )有a n 二 3a n_< 2,求a *.

--a n+1 -a n =4 3

n-1

-a n+1 =3a n +2 - - 3a n +2-a n =4 ・3

(n-1 ),代入得(n-1 )个等式累加，即(a 2-a 1) +

(a 3-a 2)+ ••+ (a n -a n-1)

★ 说明 只要和f ( 1) +f (2) + ••卄(n-1 )是可求的，就可以由

解法 由已知递推式得 a n+1 =3a n +2 , a n =3a n-1 +2。两式相减： a n+1 -a n =3

(2)递推式为 a n+i =a n +f (n ) (a n -a n-1 )

1 已知｛a n ｝

中a 「i , =可* 4 2彳， 4n -1 求a n .

因此数列｛a n+1 -a n ｝是公比为3的等比数列，其首项为a 2-a 1 = (3X 1+2 )

解：由已知可知a n 1 -a n

1

(2n 1)(2n _1)

1 2n 1

-1=4

a n =2 3n-1 -1

解法

上法得｛a n+1 -a n ｝是公比为 3的等比数列，于是有：

a 2-a 1

=4 ,

=-[Cl--)

2L K 37

1 _____ 1

2u-3~2^-\

a 3-a 2=4 3, a 4-a 3=4 32，…，a n -a n-1 =4 3n 2,

二

a

1

丄)=忙^

2n 「1

4n -2

n-1

a n -ai =4 (1 + 3 +罗 + …+字7)

等 式 累 加

「•an=2 3n-1-1

⑷递推式为a n+i =p a n+q n (p , q为常数)

【例5】己知｛aj中，知二了弘+i = 〒纭+ (-)叫求耳略解在砧二扫+(扌厂啲两边乘以严得

则S+i=W»+l,于是可得

(CL + P = p

:P解得Q, »a * P = -q 想

于是｛a n+1- aa n｝是公比为B的等比数列，就转化为前面的类型

2 1

【例6】已知数列｛脸沖，日］二1, a2 =2,知二〒％+1 +乔,

a n

2 2

b n ! -b n (6 -b n/) 由上题的解法，得：5=3-2(—)" /•

3 3

_ b n 3(1 ) n 2( 1)n

a

n 二厂

％)_2(3)

★说明对于递推式a莎pRn+『，可两边除以(严，得量=

4* +二引辅助数列叽，(心L得也斗⑴后用

q q q q a q q 分析

=p

=-q

2 i

解在仏=j a n+l +勺兀两边减去W 得

(5)递推式为a n pa n i qa n

1思路：设a n pa n i ' qa n ,可以变形为