高考总复习 概率与统计

第十模块 概率与统计 第四十八讲 随机抽样､用样本估计 总体､变量间的相互关系､统计案例
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1.样本及抽样的定义
(1)在数理统计中称研究对象的全体为总体,组成总体的每一 个基本单元为个体,从总体中抽取若干个个体x1,x2,…,xn, 这样的n个个体x1,x2,…,xn称为大小为n(容量为n)的一个 样本.
方程为 yˆabx,则
我们将这个方程叫做回归直线方程,a,b叫做回归系数,相应 的直线叫做回归直线.
(2)最小二乘法 使离差平方和Q=(y1-bx1-a)2+(y2-bx2-a)2+…+(yn-bxn-a)2为
最小的方法,叫做最小二乘法.
7.回归分析
n
xi yi nxy
(1)回归直线方程
y
=bx+a中,
(3)总体密度曲线 如果样本容量不断增大,分组的组距不断缩小,则频率分布直
方图实际上越来越接近于总体在各小组内所取值的个数与 总数比值的大小,它可以用一光滑曲线来描绘,这条光滑曲 线就叫做总体密度曲线. (4)茎叶图表示数据有两个突出的优点,其一是统计图上没有 原始数据的损失,所有信息都可以从这个茎叶图中得到,其 二是在比赛时随时记录,方便记录与表示.
1.(2010·重庆)某单位有职工750人,其中青年职工350人,中 年职工250人,老年职工150人,为了了解该单位职工的健康 情况,用分层抽样的方法从中抽取样本.若样本中的青年职 工为7人,则样本容量为( )
A.7
B.15
C.25
D.35
解析:设样本容量为n,则依题意有 3 5 0 750
总体中所有个体的平均数叫做总体平均数.
样本中所有个体的平均数叫做样本平均数,如果在n个数据中
,x1出现了f1次,x2出现f2次,…,xk出现fk次(这里
f1+f2+…+fk=n),那么 x 1 叫做这n个数的加权平均数n .
(x1f1+x2f2+…+xkfk),
2样本方差,标准差设样本的元素为x1,x2,,xn,样本的
(2)抽样:抽样是为了获取总体的信息,特别在客观实际中对 总体的全部个体逐一进行研究,有的是不适宜､不可能或不 必要的.因此,抽样调查是获取总体信息的重要方法.
2.随机抽样 (1)简单随机抽样:从一个总体中通过逐个抽取的方法从中抽
取一个样本,且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等,这 样的抽样称为简单随机抽样.这样抽出的样本称为简单随 机样本.简单随机抽样的基本方法有抽签法和随机数表法.
平均数为x,定义s2
1 n[(x1
x)2
(x2
x)2
(xn x)2],
s
1 n[(x1
x)2
(x2
x)2
(xn x)2],其中s2表示样本
方差,s表示样本标准差.
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5.两个变量的相关关系 (1)当自变量的取值一定时,因变量的取值带有随机性,这两
个变量之间的关系叫做相关关系. 如果一个变量的值由小变大时,另一个变量的值也在由小到
大,这种相关称为正相关;反之,如果一个变量的值由小变 大时,另一个变量的值在由大到小,这种关系称为负相关. 变量间的这种关系与函数关系不同,它是一种非确定关系.
(2)散点图:表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图 形叫做散点图.
6.回归直线方程
(1)一般地,设x和y是具有相关关系的两个变量,且对应于n个 观测值的n个点大致分布在一条直线的附近,若所求的直线
b
i1 n
xi2
2
nx
, a y bˆx,
i1
上述方程对应的直线叫做回归直线,而对两个变量所进行的
上述统计分析叫做线性回归分析.
相关系数
n
xi yi nxy
r
i1
xi2
2
nx
n
yi2
n
2
y
i1
i1
用相关系数来描述线性相关关系的强弱.当r>0时,两个变量 正相关;当r<0时,两个变量负相关,r的绝对值越接近1,表 明两个变量的线性相关性越强,r的绝对值接近于0,表明两 个变量之间几乎不存在线性相关关系.通常当|r|大于r0.05 时,认为两个变量有很强的线性相关关系,因而求回归直线 方程才有意义.
(2)系统抽样:系统抽样被称为等距抽样或机械抽样.它按照 时间或空间的等距间隔抽取样本,即将总体分成几个部分, 然后按照预先定出的规则,从每一部分抽取一个个体,得到 所需要的样本,这种抽样称为系统抽样.系统抽样与简单随 机抽样的联系在于:将总体均分后的每一部分进行抽样时, 采用的是简单随机抽样.
(3)分层抽样:当总体中一部分个体与另一部分个体有明显 的差异且易于区别时,常将相近的个体归成一组,然后按照 各部分所占的比例进行抽样,这种抽样称为分层抽样.其中 所分成的各部分称为层.分层抽样时,每一个个体被抽到的 概率都是相等的.
(2)2×2列联表
一般地,假设有两个分类变量X和Y,它们的值域分别为{x1,x2} 和{y1,y2},其样本频数列联表(称为2×2列联表)为
n(adbc)2
K2= (ab)(cd)(ac)(bd)
用它的大小
可以决定是否拒绝原来的统计假设H0,如果K2值较大,就拒
绝H0,即拒绝事件A与B无关.
考点陪练
3.频率分布表､频率分布直方图与茎叶图 (1)频率分布
样本中所有数据(或者数据组)的频数和样本容量的比,就是 该数据的频率.所有数据(或者数据组)的频率的分布变化 规律叫做频率分布,可以用频率分布表､频率分布直方图､ 频率分布折线图､茎叶图等来表示.
(2)频率分布折线图:连接频率分布直方图中各小长方形上端 的中点,就得到频率分布折线图.
数据点和它在回归直线上相应位置的差异(y1- y
i)是随机
误差效应,称e
y i=yi-
n
i为残差,将所得值平方后加起
来,用数学符号表 示为 y
(yi-
i)2称为残差平
方和,它代表了随i 1机误差的效应.
8.独立性检验 (1)分类变量的定义 如果某种变量的不同“值”表示个体所属的不同类别,像这
样的变量称为分类变量.
4.用样本的数字特征估计总体的数字特征 (1)众数,中位数,平均数 在一组数据中,出现次数最多的数据叫做这组数据的众数. 将一组数据按大小依次排列,把处在中间位置的一个数据(或
中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数.
如果n个数,x1,x2,…,xn,那么
x1 n
(x1+x2+…+xn)叫做这n个数的平均数.