高频电子线路
课程论文
论文题目：非线性电路的分析方法研究
专业：08电子信息工程本科
小组成员: DZU Joecindy
指导老师：王丽
完成时间：2011年12月22日
非线性电路的分析方法研究
【摘要】我们要将电路元件的范围及其相应的分析方法进行拓展，引入对非线性二端元件的分析和总结。非线性二端元件就是接线端自变量和接线端的函数具有非线性关系的元件。
下面我们将对非线性电路的分析方法进行研究，从而对其分类和总结。
【关键词】非线性电路 直接分析法 数值分析法 图形分析法 分段线性分析法 小信号分析法
前 言
到目前为止，我们已经学习过若干种线性元件的电路，也学习过这些元件构成的线性电路分析法。本文将就非线性问题进行分类和归纳总结。
1.直接分析法
此方法一般应用于对非线性二端元件的函数关系较简单时使用，结合并运用线性元件电路的分析方法和一些定理，同时列写出非线性的补充方程，最后通过求解数学问题并结合电路实际解答的方法。
我们首先用直接分析法求解图1.1所示的简单非线性电阻电路。假设图中非线性电阻的特性可表示为下列v-i 关系：
2,00,0
D D D D Kv v i v ⎧>=⎨≤⎩
常熟K 大于零。
D i
图1.1
该电路的求解过程：
（D v -E ）/R +D i = 0 （1.1） 补充方程： D i = K D v 2 （1.2） 注意该元件在D v 大于零的时候才能工作。如果D v ＜0 则 D i = 0
用原件的非线性v-i 关系替换式（1.1）中的D i 就得到了用节点电压表示的节点方程： （D v -E ）/R + Kv D 2 = 0 （1.3） 化简式（1.3），得到下列二次方程：
RK D v 2 + D v – E = 0
求出D v 并选择正解，即：
D v =
(1.4)
对应的i D 表达式可通过将上式替换式(1.2)得到，即：
D i
= 12K RK ⎛-+ ⎝⎭
小结：这类分析方法很有局限性，通常只适用于函数关系较简单的非线性求解问题，对于较复杂的问题，下面我们将讨论到。
2.数值分析法
当所求非线性的函数关系不是简单的函数关系时，已经不能用已有的公式去求解，这是就需要在误差精度允许的范围内，运用计算方法学的知识寻求所需的解，下面介绍常用到的计算方法：
在《电路基理论基础》一书中给出的3种方法：
① 前向欧拉法（Forward Euler method ）:
（以后本文均以(,)dy f y x dx =表示dy dx
） 1k y + = k y + h f (k y , k x )
其中h 为积分步长
② 后向欧拉法 （Backward Euler method ）
1k y + = k y + h f ( 1k y + , 1k x + )
③ 梯形法（trapezoidal method ）
1k y += k y + 0.5[f (k y , k x ) + f ( 1k y + , 1k x +) ]
也就是我们所熟悉的梯形公式
还有几种常用的计算方法：
④ 辛普森公式（Simpson ）也作抛物线公式：
1k y += k y + 16
{f ( k y , k x )+ 4f [0.5(k y + y k+1) ,0.5(k x + 1k x +)] +f (1k y + , 1k x + )} ⑤ 牛顿（Newton ）法 （也作切线迭代法）：
该公式多用于复杂的函数的求根运算，设()y f x =
1n x += n x - ()()
n n f x f x ' ⑥ 拉格朗日差值n 次型
对于无法求出具体表达式的非线性函数，在已知图像上若干点的情况时，可以用n 次多项式进行近似的拟合，我所学过的有牛顿型差值公式和拉格朗日型差值，下面只介绍拉格朗日型差值公式，牛顿型差值比较类似。
已知非线性图像上的n 个点：（o x ，0y ），（1x ，1y ），…（n x ，n y ）
011011()()()()()()(()()i i n i i i i i i i n x x x x x x x x l x x x x x x x x x -+-+----=
---- i =0,1,2 n
拉格朗日差值多项式：
0011()()()()n i i n n y l x y l x y l x y l x
ϕ=+++++ ⑦ 龙格-库塔方法（R-K 方法）
11212
11122(,)(,)n n n n n n y y k k k hf x y k hf x h y k +⎧=++⎪⎪=⎨⎪=++⎪⎩
此为二阶R-K 方法
小结：运用计算方法可以将复杂的计算和函数变成相对简单的运算。
3.图形分析法
许多非线性电路无法用直接分析法求解，而又不需要具体的数据作支持时，通常我们需要在计算机上用尝试并求误差的方法求解这样的问题。这种解法可以提供答案，但通常不能对电路的性能和设计给出深入的分析。另一方面，虽然图形法牺牲了一定的精度，但可得到对电路的深刻理解和认识。因此现在我们用图解法解答图3.1所示的电路。为了使问题具体化，我们假设E=3V ,R=500Ω,来确定R v ，D i 和D v 。
之前在第1部分中我们已经得到了式子（1.1）和（1.2），为了方便起见，进行少量变动后重写如下：
D D v
E i R
-=- （3.1） /(1)D th v V D s i I e =- （3.2） R v
D v
图3.1
为了能够用图形法求解上述方程，我们将其画在同一个坐标下，并寻求交点。假设已经获得了非线性函数的图形（如图3.2），现在最简单的方法就是将式（3.1）所示的线性表达式画在这张图上，如图3.2所示。式（3.1）的线性约束通常称为“负荷线”。
D i
