高中数学椭圆经典例题(学生 +老师)

椭圆知识点一：椭圆的定义第一定义：平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和为定值)2(2121F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ； 若)(2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹不存在.知识点二：椭圆的标准方程1．当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+b y a x )0(>>b a ，其中222b a c -=2．当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+bx a y )0(>>b a ，其中222b a c -=.注意：①只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；②在椭圆的两种标准方程中，都有)0(>>b a 和222b ac -=； ③椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在x 轴上时，椭圆的焦点坐标为)0,(c ，)0,(c -； 当焦点在y 轴上时，椭圆的焦点坐标为),0(c ，),0(c - 题型一、椭圆的定义 1、方程()()10222222=++++-y x y x 化简的结果是2、若ABC ∆的两个顶点()()4,0,4,0A B -，ABC ∆的周长为18，则顶点C 的轨迹方程是3、椭圆192522=+y x 上的点M 到焦点1F 的距离为2，N 为1MF 的中点，则ON （O 为坐标原点）的值为（ ）A ．4B ．2C ．8D ．234、椭圆2212516x y +=两焦点为12F F 、，()3,1A ，点P 在椭圆上，则1PF PA +的最大值为_____，最小值为 ___ 题型二、椭圆的标准方程5、方程Ax 2+By 2=C 表示椭圆的条件是（A ）A , B 同号且A ≠B （B ）A , B 同号且C 与异号 （C ）A , B , C 同号且A ≠B （D ）不可能表示椭圆6、若方程22153x y k k +=--， （1）表示圆，则实数k 的取值是 .（2）表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是 . （3）表示焦点在y 型上的椭圆，则实数k 的取值范围是 . （4）表示椭圆，则实数k 的取值范围是 .7、椭圆2214x y m+=的焦距为2，则m = 8、已知椭圆06322=-+m y mx 的一个焦点为（0，2）求m 的值．9、已知椭圆的中心在原点，且经过点()03，P ，b a 3=，求椭圆的标准方程．10、求与椭圆224936x y +=共焦点，且过点(3,2)-的椭圆方程。

高中数学中椭圆大题的经典例题题目：已知椭圆 C：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 (a > b > 0) 的离心率为√3/3，过点 A(0,b) 和 B(a,0)的直线与原点的距离为√3/2。

(1)求椭圆 C 的方程；(2)设 P 是椭圆 C 上一点，E、F 是椭圆 C 上的两动点，如果直线 PE，PF 的斜率都存在，且满足 kPE * kPF = -2/3，试探究△OEF 的形状，并说明理由。

(3)试问：是否存在以 PE，PF 为邻边的平行四边形？如果存在，求出所有这样的平行四边形；如果不存在，说明理由。

解析：(1)由题意，离心率 e = c/a = √3/3，直线 AB 的方程为 y = -√3x + b，利用点到直线的距离公式得到 b = √3/2。

又因为 a^2 = b^2 + c^2，解得 a = √3, b = 1。

所以椭圆 C 的方程为 x^2/3 + y^2 = 1。

(2)设 P(x0,y0)，E(x1,y1)，F(x2,y2)，由 kPE * kPF = -2/3，得到 (y0 - y1)(y0 - y2) / (x0 - x1)(x0 - x2) = -2/3。

根据椭圆方程和斜率公式，化简得到 (x0^2 - 1)(x0^2 - 3) = -4(x0^2 - 1)，解得 x0^2 = 1 或 x0^2 = 3（舍去）。

所以△OEF是直角三角形。

(3)假设存在以 PE，PF 为邻边的平行四边形，则 PE // PF，即存在 m，使得 kPE = kPF = m。

联立方程求解得 m = -√5/5 或 m = √5/5。

当 m = -√5/5 时，P(-√15/3, √15/5)，E(-√15/5, √15/5)，F(-√15/5, -√15/5)，此时ΔOEF 是等腰三角形，不满足题意。

当 m = √5/5 时，P(-√15/3, -√15/5)，E(-√15/5, -√15/5)，F(-√15/5, √15/5)，此时ΔOEF 是等腰三角形，满足题意。

椭圆练习题一.选择题：１.已知椭圆上的一点P ，到椭圆一个焦点的距离为３，则P 到另一焦点距离为（ D ）A ．２B ．３C ．５D ．７２．中心在原点，焦点在横轴上，长轴长为4，短轴长为２，则椭圆方程是（ C ）A. B. C. D. ３.与椭圆9x 2+4y 2=36有相同焦点，且短轴长为4的椭圆方程是( B )A４．椭圆的一个焦点是，那么等于（ A ）A. B.C.D.５．若椭圆短轴上的两顶点与一焦点的连线互相垂直，则离心率等于( B ) A.B.C.D.６．椭圆两焦点为 ， ，P 在椭圆上，若 △的面积的最大值为12，则椭圆方程为（ B ）A.B .C .D . ７．椭圆的两个焦点是F 1(－1, 0), F 2(1, 0)，P 为椭圆上一点，且|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项，则该椭圆方程是（ C ）。

A ＋＝1B ＋＝1C ＋＝1D ＋＝1８.椭圆的两个焦点和中心，将两准线间的距离四等分，则它的焦点与短轴端点连线的夹角为( C )(A)450 (B)600 (C)900 (D)120９．椭圆上的点M 到焦点F 1的距离是2，N 是MF 1的中点，则|ON |为（ A ） A. 4 B . 2 C. 8 D .1162522=+y x 22143x y +=22134x y +=2214x y +=2214y x +=51858014520125201202522222222=+=+=+=+y x D y x C y x B y x 2255x ky -=(0,2)k 1-1512221(4,0)F -2(4,0)F 12PF F 221169x y +=221259x y +=2212516x y +=221254x y +=16x 29y 216x 212y 24x 23y 23x 24y 2221259x y +=2310．已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是 ( C )（A ）2 3 （B ）6 （C ）4 3 （D ）12二、填空题：11．方程表示焦点在轴的椭圆时，实数的取值范围_____12．过点且与椭圆有共同的焦点的椭圆的标准方程为_13．设,,△的周长是，则的顶点的轨迹方程为14．如图：从椭圆上一点向轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点，且它的长轴端点及短轴的端点的连线∥，则该椭圆的离心率等于_____________三、解答题：15.已知椭圆的对称轴为坐标轴，离心率，短轴长为，求椭圆的方程。

（教师版)椭圆标准方程典型例题例1 已知椭圆06322=-+m y mx 的一个焦点为（0,２)求m 的值．分析：把椭圆的方程化为标准方程,由2=c ,根据关系222c b a +=可求出m 的值.解:方程变形为12622=+my x ．因为焦点在y 轴上,所以62>m ,解得3>m . 又2=c ,所以2262=-m ,5=m 适合．故5=m .例2 已知椭圆的中心在原点,且经过点()03，P ,b a 3=,求椭圆的标准方程. 分析:因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况.根据题设条件,运用待定系数法，求出参数a 和b （或2a 和2b )的值，即可求得椭圆的标准方程．解:当焦点在x 轴上时,设其方程为()012222>>=+b a by a x .由椭圆过点()03，P ,知10922=+b a ．又b a 3=，代入得12=b ，92=a ，故椭圆的方程为1922=+y x ． 当焦点在y 轴上时，设其方程为()012222>>=+b a bx a y .由椭圆过点()03，P ,知10922=+ba .又b a 3=,联立解得812=a ,92=b ,故椭圆的方程为198122=+x y ．例３ ABC ∆的底边16=BC ,AC 和AB 两边上中线长之和为30,求此三角形重心G 的轨迹和顶点A 的轨迹．分析：(１)由已知可得20=+GB GC ,再利用椭圆定义求解．(２)由G 的轨迹方程G 、A 坐标的关系，利用代入法求A 的轨迹方程．解： (１）以BC 所在的直线为x 轴，BC 中点为原点建立直角坐标系.设G 点坐标为()y x ，，由20=+GB GC ，知G 点的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆,且除去轴上两点.因10=a ，8=c ，有6=b ，故其方程为()013610022≠=+y y x ． (２)设()y x A ，,()y x G ''，,则()013610022≠'='+'y y x ． ①由题意有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧='='33yy x x ，代入①，得A 的轨迹方程为()0132490022≠=+y y x ，其轨迹是椭圆（除去x 轴上两点）. 例４ 已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为354和352，过P 点作焦点所在轴的垂线,它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程． 解：设两焦点为1F 、2F ，且3541=PF ，3522=PF .从椭圆定义知52221=+=PF PF a ．即5=a . 从21PF PF >知2PF 垂直焦点所在的对称轴,所以在12FPF Rt ∆中，21sin 1221==∠PF PF F PF , 可求出621π=∠F PF ，3526cos21=⋅=πPF c ，从而310222=-=c a b .∴所求椭圆方程为1103522=+y x 或1510322=+y x ．例5 已知椭圆方程()012222>>=+b a by a x ,长轴端点为1A ,2A ，焦点为1F ，2F ,P 是椭圆上一点,θ=∠21PA A ，α=∠21PF F ．求：21PF F ∆的面积（用a 、b 、α表示）． 分析:求面积要结合余弦定理及定义求角α的两邻边，从而利用C ab S sin 21=∆求面积． 解：如图，设()y x P ，,由椭圆的对称性,不妨设P 在第一象限． 由余弦定理知： 221F F 2221PF PF +=12PF -·224cos c PF =α.① 由椭圆定义知: a PF PF 221=+ ②,则－①②2得 αcos 12221+=⋅b PF PF . 故αsin 212121PF PF S PF F ⋅=∆ ααsin cos 12212+=b 2tan 2αb =．例6 已知动圆P 过定点()03，-A ,且在定圆()64322=+-y x B ：的内部与其相内切,求动圆圆心P 的轨迹方程． 分析:关键是根据题意，列出点P 满足的关系式.解：如图所示,设动圆P 和定圆B 内切于点M ．动点P 到两定点,即定点()03，-A 和定圆圆心()03，B 距离之和恰好等于定圆半径，即8==+=+BM PB PM PB PA .∴点P 的轨迹是以A ，B 为两焦点,半长轴为4,半短轴长为73422=-=b 的椭圆的方程：171622=+y x ． 说明:本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程,求轨迹的方程.这是求轨迹方程的一种重要思想方法．例7 已知椭圆1222=+y x ， （1)求过点⎪⎭⎫ ⎝⎛2121，P 且被P 平分的弦所在直线的方程; （2)求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程;（3）过()12，A 引椭圆的割线,求截得的弦的中点的轨迹方程; （4)椭圆上有两点P 、Q ，O 为原点,且有直线OP 、OQ 斜率满足21-=⋅OQ OP k k ， 求线段PQ 中点M 的轨迹方程．分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法. 解:设弦两端点分别为()11y x M ，,()22y x N ，，线段MN 的中点()y x R ，,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+④，③，②，①，y y y x x x y x y x 222222212122222121①-②得()()()()022*******=-++-+y y y y x x x x ． 由题意知21x x ≠,则上式两端同除以21x x -，有()()0221212121=-+++x x y y y y x x ,将③④代入得022121=--+x x y y yx ．⑤（1）将21=x ，21=y 代入⑤,得212121-=--x x y y ,故所求直线方程为： 0342=-+y x . ⑥ 将⑥代入椭圆方程2222=+y x 得041662=--y y ,0416436>⨯⨯-=∆符合题意，0342=-+y x 为所求. （2)将22121=--x x y y 代入⑤得所求轨迹方程为: 04=+y x ．（椭圆内部分）(３)将212121--=--x y x x y y 代入⑤得所求轨迹方程为： 022222=--+y x y x ．（椭圆内部分）（４)由①+②得 ：()2222212221=+++y y x x ， ⑦， 将③④平方并整理得 212222124x x x x x -=+， ⑧， 212222124y y y y y -=+, ⑨将⑧⑨代入⑦得:()224424212212=-+-y y y x x x ， ⑩ 再将212121x x y y -=代入⑩式得: 221242212212=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-x x y x x x ， 即 12122=+y x . 此即为所求轨迹方程．当然，此题除了设弦端坐标的方法,还可用其它方法解决.例8 已知椭圆1422=+y x 及直线m x y +=. （1）当m 为何值时，直线与椭圆有公共点? (2）若直线被椭圆截得的弦长为5102,求直线的方程. 解：(1)把直线方程m x y +=代入椭圆方程1422=+y x 得 ()1422=++m x x ，即012522=-++m mx x .()()020*********≥+-=-⨯⨯-=∆m m m ,解得2525≤≤-m . (2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为1x ，2x ,由（1)得5221mx x -=+，51221-=m x x .根据弦长公式得 :51025145211222=-⨯-⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+m m .解得0=m .方程为x y =． 说明：处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，采用的方法与处理直线和圆的有所区别．这里解决直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式∆；解决弦长问题，一般应用弦长公式． 用弦长公式，若能合理运用韦达定理(即根与系数的关系)，可大大简化运算过程．例９ 以椭圆131222=+y x 的焦点为焦点,过直线09=+-y x l ：上一点M 作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短,点M 应在何处?并求出此时的椭圆方程．分析:椭圆的焦点容易求出，按照椭圆的定义，本题实际上就是要在已知直线上找一点,使该点到直线同侧的两已知点（即两焦点)的距离之和最小,只须利用对称就可解决．解：如图所示,椭圆131222=+y x 的焦点为()031，-F ，()032，F ． 点1F 关于直线09=+-y x l ：的对称点F 的坐标为(-９，６)，直线2FF 的方程为032=-+y x ． 解方程组⎩⎨⎧=+-=-+09032y x y x 得交点M 的坐标为（-5，4）.此时21MF MF +最小．所求椭圆的长轴:562221==+=FF MF MF a ,∴53=a ,又3=c ，∴()3635322222=-=-=c a b .因此，所求椭圆的方程为1364522=+y x .例10 已知方程13522-=-+-ky k x 表示椭圆,求k 的取值范围. 解:由⎪⎩⎪⎨⎧-≠-<-<-,35,03,05k k k k 得53<<k ，且4≠k .∴满足条件的k 的取值范围是53<<k ,且4≠k ． 说明:本题易出现如下错解:由⎩⎨⎧<-<-,03,05k k 得53<<k ，故k 的取值范围是53<<k ．出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中0>>b a 这个条件,当b a =时，并不表示椭圆．例11 已知1cos sin 22=-ααy x )0(πα≤≤表示焦点在y 轴上的椭圆，求α的取值范围. 分析：依据已知条件确定α的三角函数的大小关系．再根据三角函数的单调性，求出α的取值范围．解:方程可化为1cos 1sin 122=+ααy x .因为焦点在y 轴上，所以0sin 1cos 1>>-αα． 因此0sin >α且1tan -<α从而)43,2(ππα∈．说明:（1)由椭圆的标准方程知0sin 1>α,0cos 1>-α,这是容易忽视的地方． (２)由焦点在y 轴上，知αcos 12-=a ，αsin 12=b . (3)求α的取值范围时，应注意题目中的条件πα<≤0.例１2 求中心在原点,对称轴为坐标轴,且经过)2,3(-A 和)1,32(-B 两点的椭圆方程. 分析：由题设条件焦点在哪个轴上不明确,椭圆标准方程有两种情形，为了计算简便起见，可设其方程为122=+ny mx (0>m ，0>n ),且不必去考虑焦点在哪个坐标轴上,直接可求出方程.解：设所求椭圆方程为122=+ny mx （0>m ，0>n )．由)2,3(-A 和)1,32(-B 两点在椭圆上可得⎪⎩⎪⎨⎧=⋅+-⋅=-⋅+⋅,11)32(,1)2()3(2222n m n m 即⎩⎨⎧=+=+,112,143n m n m 所以151=m ,51=n ．故所求的椭圆方程为151522=+y x ．例13 知圆122=+y x ，从这个圆上任意一点P 向y 轴作垂线段,求线段中点M 的轨迹.分析：本题是已知一些轨迹，求动点轨迹问题.这种题目一般利用中间变量(相关点）求轨迹方程或轨迹. 解:设点M 的坐标为),(y x ,点P 的坐标为),(00y x ，则2x x =，0y y =． 因为),(00y x P 在圆122=+y x 上,所以12020=+y x ．将x x 20=,y y =0代入方程12020=+y x 得1422=+y x .所以点M 的轨迹是一个椭圆1422=+y x .说明：此题是利用相关点法求轨迹方程的方法，这种方法具体做法如下：首先设动点的坐标为),(y x ，设已知轨迹上的点的坐标为),(00y x ,然后根据题目要求,使x ，y 与0x ,0y 建立等式关系, 从而由这些等式关系求出0x 和0y 代入已知的轨迹方程,就可以求出关于x ，y 的方程, 化简后即我们所求的方程．这种方法是求轨迹方程的最基本的方法,必须掌握.例１4 已知长轴为12，短轴长为６，焦点在x 轴上的椭圆,过它对的左焦点1F 作倾斜解为3π的直线交椭圆于A ,B 两点,求弦AB 的长.分析：可以利用弦长公式]4))[(1(1212212212x x x x k x x k AB -++=-+=求得， 也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求． 解：(法1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解.2121x x k AB -+=]4))[(1(212212x x x x k -++=．因为6=a ,3=b ，所以33=c .因为焦点在x 轴上，所以椭圆方程为193622=+y x ,左焦点)0,33(-F ，从而直线方程为93+=x y ． 由直线方程与椭圆方程联立得:0836372132=⨯++x x .设1x ，2x 为方程两根，所以1337221-=+x x ，1383621⨯=x x ，3=k ， 从而1348]4))[(1(1212212212=-++=-+=x x x x k x x k AB .(法2)利用椭圆的定义及余弦定理求解．由题意可知椭圆方程为193622=+y x ，设m AF =1，n BF =1,则m AF -=122，n BF -=122． 在21F AF ∆中，3cos22112212122πF F AF F F AF AF -+=，即21362336)12(22⋅⋅⋅-⋅+=-m m m ; 所以346-=m .同理在21F BF ∆中，用余弦定理得346+=n ,所以1348=+=n m AB .（法3）利用焦半径求解.先根据直线与椭圆联立的方程0836372132=⨯++x x 求出方程的两根1x ,2x ，它们分别是A ,B 的横坐标. 再根据焦半径11ex a AF +=,21ex a BF +=,从而求出11BF AF AB +=．例1５ 椭圆192522=+y x 上的点M 到焦点1F 的距离为２,N 为1MF 的中点,则ON (O 为坐标原点)的值为A.４ B.2 Ｃ.８ Ｄ．23解:如图所示,设椭圆的另一个焦点为2F ，由椭圆第一定义得10221==+a MF MF ,所以82101012=-=-=MF MF ，又因为ON 为21F MF ∆的中位线,所以4212==MF ON ，故答案为A ．说明:(1）椭圆定义:平面内与两定点的距离之和等于常数(大于21F F )的点的轨迹叫做椭圆.(2)椭圆上的点必定适合椭圆的这一定义,即a MF MF 221=+,利用这个等式可以解决椭圆上的点与焦点的有关距离.例１6 已知椭圆13422=+y x C ：,试确定m 的取值范围,使得对于直线m x y l +=4：，椭圆C 上有不同的两点关于该直线对称．分析：若设椭圆上A ,B 两点关于直线l 对称，则已知条件等价于:(1)直线l AB ⊥；(２）弦AB 的中点M 在l 上.利用上述条件建立m 的不等式即可求得m 的取值范围. 解:(法1)设椭圆上),(11y x A ，),(22y x B 两点关于直线l 对称,直线AB 与l 交于),(00y x M 点.∵l 的斜率4=l k ,∴设直线AB 的方程为n x y +-=41．由方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=,134,4122yx n x y 消去y 得 0481681322=-+-n nx x ①。

3.1 椭圆3.1.1 椭圆及其标准方程例1 已知椭圆的两个焦点坐标分别是(−2,0)，(2,0)，并且经过点(52,−32)，求它的标准方程．解：由于椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)．由椭圆的定义知c=2，2a=√(52+2)2+(−32)2+√(52−2)2+(−32)2=2√10，所以a=√10，所以b2=a2−c2=10−4=6．所以，所求椭圆的标准方程为x2 10+y26=1．例2 如图3.1-5，在圆x2+y2=4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足．当点P 在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？为什么？图3.1-5分析：点P在圆x2+y2=4上运动，点P的运动引起点M运动．我们可以由M为线段PD的中点得到点M与点P坐标之间的关系式，并由点P的坐标满足圆的方程得到点M的坐标所满足的方程．解：设点M的坐标为(x,y)，点P的坐标为(x0,y0)，则点D的坐标为(x0,0)，由点M是线段PD的中点，得x=x0，y=y02．因为点P(x0,y0)在圆x2+y2=4上，所以x02+y02=4．①把x0=x，y0=2y代入方程①，得x2+4y2=4，即x24+y2=1．所以点M的轨迹是椭圆．例3如图3.1-6，设A，B两点的坐标分别为(−5,0)，(5,0)．直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是−49，求点M的轨迹方程．图3.1-6分析：设点M的坐标为(x,y)，那么直线AM，BM的斜率就可用含x，y的关系式分别表示．由直线AM，BM的斜率之积是−49，可得出x，y之间的关系式，进而得到点M的轨迹方程．解：设点M的坐标为(x,y)，因为点A的坐标是(−5,0)，所以直线AM的斜率k AM=yx:5(x≠−5)．同理，直线BM的斜率k BM=yx;5(x≠5)．由已知，有y x:5×yx;5=−49(x≠±5)，化简，得点M的轨迹方程为x2 25+y21009=1(x≠±5)．点M的轨迹是除去(−5,0)，(5,0)两点的椭圆．练习1．如果椭圆x2100+y236=1上一点P到焦点F1的距离等于6，则点P到另一个焦点F2的距离为____【答案】14【分析】根据椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2a及椭圆x2100+y236=1上一点P到焦点F1的距离等于6，可得PF2的长.【详解】解：根据椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2a，又椭圆x2100+y236=1上一点P到焦点F1的距离等于6，∴6+|PF2|=20，故|PF2|=14，2．求适合下列条件的椭圆的标准方程．（1）a=4，b=1，焦点在x轴上；（2）a=4，c=√15，焦点在y轴上；（3）a+b=10，c=2√5．【答案】（1）x216+y2=1；（2）y216+x2=1；（3）x236+y216=1或y236+x216=1.【分析】（1）根据已知直接得出方程；（2）根据已知求得b，即可得出方程；（3）由已知联立求得a,b即可得出方程.【详解】（1）a=4，b=1，焦点在x轴上的椭圆方程为x216+y2=1；（2）由a=4，c=√15可得b2=a2−c2=1，又焦点在y轴上，所以标准方程为y216+x2=1；（3）联立{a+b=10 c=2√5a2=b2+c2，解得a=6,b=4，所以标准方程为x236+y216=1或y236+x216=1.3．已知经过椭圆x225+y216=1的右焦点F2作垂直于x轴的直线AB,交椭圆于A,B两点,F1是椭圆的左焦点.（1）求ΔAF1B的周长;（2）如果AB不垂直于x轴,ΔAF1B的周长有变化吗?为什么?【答案】（1）20；（2）不变，理由见解析【分析】根据椭圆的定义ΔAF1B的周长为|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a求解.【详解】（1）由椭圆的定义得：|AF1|+|AF2|=2a=10,|BF1|+|BF2|=2a=10，所以ΔAF1B的周长为|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=20.（2）不变，由椭圆的定义ΔAF1B的周长为|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a.只受a的影响，不受AB与x轴的位置关系影响.4．已知A，B两点的坐标分别是(−1,0)，(1,0)，直线AM，BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率的商是2，点M的轨迹是什么？为什么？【答案】点M的轨迹是直线x=−3，并去掉点(−3,0)【分析】设出点M的坐标，求出直线AM,BM斜率，由k AMk BM=2可求出.【详解】设点M的坐标为(x,y)，则k AM=yx:1(x≠−1)，k BM=yx;1(x≠1)，当y≠0时，k AMk BM =x;1x:1=2，整理得x=−3(y≠0)，所以点M的轨迹是直线x=−3，并去掉点(−3,0).3.1.2 椭圆的简单几何性质例4 求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．解：把原方程化成标准方程，得x2 52+y242=1，于是a=5，b=4，c=√25−16=3．因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是2a=10和2b=8，离心率e=ca =35，两个焦点坐标分别是F1(−3,0)和F2(3,0)，四个顶点坐标分别是A1(−5,0)，A2(5,0)，B1(0,−4)和B2(0,4)．练习5．你能用圆规作出图中椭圆焦点的位置吗？你的依据是什么？【答案】能. 依据见解析.【分析】根据椭圆中a2=b2+c2的几何表示，即原点、焦点、短轴端点构成直角三角形，且体现a2=b2+c2求解.【详解】能.如图，以点B2(或B1)为圆心, |OA2|(或|OA1|)为半径画圆弧，与x轴交于点F1,F2，则点F1,F2就是椭圆的两个焦点.依据：因为在Rt△B2OF2中，|OB2|=b,|B2F2|=|OA2|=a，所以|OF2|=c，同理有|OF1|=c.6．求下列椭圆的焦点坐标：（1）x2100+y236=1；（2）2x2+y2=8．【答案】（1）(8,0)和(−8,0)；（2）(0,2)和(0,−2)【分析】由椭圆方程得到a2，b2，根据c2=a2−b2求出c，即可得解；【详解】解：（1）因为椭圆方程为x2100+y236=1，焦点在x轴，所以a2=100，b2=36，因为c2=a2−b2，即c=√a2−b2=√100−36=8，所以椭圆的焦点坐标为(8,0)和(−8,0)（2）因为2x2+y2=8，所以y28+x24=1，焦点在y轴，所以a2=8，b2=4，因为c2=a2−b2，即c=√a2−b2=√8−4=2，所以椭圆的焦点坐标为(0,2)和(0,−2) 7．求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）焦点在x轴上，a=6，e=；（2）焦点在y轴上，c=3，e=．【答案】（1）x236+y232=1（2）y225+x216=1【详解】试题分析：（1）由离心率公式，求得c，再由a，b，c的关系，求得b，即可得到椭圆方程；（2）由离心率公式，求得a，再由a，b，c的关系，求得b，即可得到椭圆方程试题解析：（1）a=6，e=，即，解得c=2，b2=a2﹣c2=32，则椭圆的标准方程为：=1；（2）c=3，e=，即，解得，a=5，b2=a2﹣c2=25﹣9=16．则椭圆的标准方程为：=1．8．求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）经过P(−3,0)，Q(0,−2)两点；（2）长轴长等于20，离心率等于35．【答案】（1）x 29+y 24=1 （2）x 2100+y 264=1或y 2100+x 264=1.【分析】（1）设出椭圆方程,根据椭圆经过点A (−3,0),B (0,−2),得出{a =3b =2 ,代入方程即可.（2）由条件可得{2a =20c a =35 ,则可得{a =10c =6b =8 ,根据焦点所在的轴代入对应的标准方程即可. 【详解】解:（1）设椭圆方程为:x 2a 2+y 2b 2=1,因为椭圆经过点A (−3,0),B (0,−2), A (−3,0),B (0,−2)分别为左顶点和下顶点, 所以得{a =3b =2,所以椭圆标准方程为x 29+y 24=1.（2）椭圆的长轴长等于20, 离心率等于35依题意: {2a =20c a =35 ,所以{a =10c =6，由b 2=a 2−c 2=64,即b =8所以椭圆标准方程为:x 2100+y 264=1或y 2100+x 264=1.9．比较下列每组中椭圆的形状，哪一个更接近于圆？为什么？ （1）9x 2+y 2=36与x 216+y 212=1；（2）x 2+9y 2=36与x 26+y 210=1． 【答案】（1）x 216+y 212=1更接近于圆；（2）x 26+y 210=1更接近于圆.【分析】探究可得离心率e 越大，椭圆越扁；e 越小，椭圆越圆. 所以只需比较离心率的大小即可得出结果.【详解】因为椭圆的离心率e =ca =√1−(b a )2，所以e 越大，ba 越小，椭圆越扁；e 越小，ba 越大，椭圆越圆. （1）椭圆9x 2+y 2=36即x 24+y 236=1，其离心率e 1=√1−436=2√23，椭圆x 216+y 212=1的离心率e 2=√1−1216=12，因为e 2<e 1，所以椭圆x 216+y 212=1更接近于圆； （2）椭圆x 2+9y 2=36即x 236+y 24=1，其离心率e 3=√1−436=2√23，椭圆x 26+y 210=1的离心率e 4=√1−610=√105，因为e4<e3，所以椭圆x26+y210=1更接近于圆.例5 如图3.1-11，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分．过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，片门位于另一个焦点F2上．由椭圆一个焦点F1发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2．已知BC⊥F1F2，|F1B|=2.8cm，|F1F2|=4.5cm．试建立适当的平面直角坐标系，求截口BAC所在椭圆的方程（精确到0.1cm）．图3.1-11解：建立如图3.1-11所示的平面直角坐标系，设所求椭圆方程为x2 a2+y2b2=1(a>b>0)．在Rt△BF1F2中，|F2B|=√|F1B|2+|F1F2|2=√2.82+4.52．由椭圆的性质知，|F1B|+|F2B|=2a，所以a=12(|F1B|+|F2B|)=12(2.8+√2.82+4.52)≈4.1；b=√a2−c2=√4.12−2.252≈3.4．所以，所求的椭圆方程为x2 4.12+y23⋅42=1．例6 动点M(x,y)与定点F(4,0)的距离和M到定直线l:x=254的距离的比是常数45，求动点M的轨迹．解：如图3.1-12，设d是点M到直线l:x=254的距离，根据题意，动点M的轨迹就是集合。

高中数学中椭圆的经典结论（一）1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b+=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b+=. 7. 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2F PF S b γ∆=.8. 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是椭圆22221x y a b+=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a⋅=-， 即0202y a x b K AB -=。

12. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b+=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程22002222x x y y x y a b a b+=+.高中数学中椭圆的经典结论（二） 1. 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞o ）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交椭圆于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22221x y a b -=.2. 过椭圆22221x y a b+= (a ＞0, b ＞0)上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点，则直线BC 有定向且2020BC b x k a y =（常数）. 3. 若P 为椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1, F 2是焦点, 12PF F α∠=, 21PF F β∠=，则tan t 22a c co a c αβ-=+. 4. 设椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,P （异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF 1F 2中，记12F PF α∠=, 12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有sin sin sin c e aαβγ==+.5. 若椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为L ，则当0＜e 1时，可在椭圆上求一点P ，使得PF 1是P 到对应准线距离d 与PF 2的比例中项.6. P 为椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为椭圆内一定点，则2112||||||2||a AF PA PF a AF -≤+≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线时，等号成立.7. 椭圆220022()()1x x y y a b --+=与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是2222200()A a B b Ax By C +≥++.8. 已知椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0），O 为坐标原点，P 、Q 为椭圆上两动点，且OP OQ ⊥.则（1）22221111||||OP OQ a b+=+; （2）|OP|2+|OQ|2的最大值为22224a b a b +; （3）OPQ S ∆的最小值是2222a b a b+.。

1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=.6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=外 ，则过0P 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=.7. 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PF S b γ∆=.8. 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB -=。

12. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程22002222x x y y x y a b a b +=+.1. 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞o ）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交椭圆于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22221x y a b-=.2. 过椭圆22221x y a b+= (a ＞0, b ＞0)上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点，则直线BC 有定向且2020BC b x k a y =（常数）.3. 若P 为椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1, F 2是焦点,12PF F α∠=, 21PF F β∠=，则tan t 22a c co a c αβ-=+.4. 设椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,P （异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF 1F 2中，记12F PF α∠= , 12PF F β∠= ,12F F P γ∠=，则有sin sin sin ce aαβγ==+.5. 若椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为L ，则当0＜e 1时，可在椭圆上求一点P ，使得PF 1是P 到对应准线距离d 与PF 2的比例中项.6. P 为椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为椭圆内一定点，则2112||||||2||a AF PA PF a AF -≤+≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线时，等号成立.7. 椭圆220022()()1x x y y a b--+=与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是2222200()A a B b Ax By C +≥++.8. 已知椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0），O 为坐标原点，P 、Q 为椭圆上两动点，且OP OQ ⊥.则（1）22221111||||OP OQ a b+=+; （2）|OP|2+|OQ|2的最大值为22224a ba b +; （3）OPQ S ∆的最小值是2222a b a b +.。

3.1.2 椭圆的简单几何性质(精讲)考点一离心率【例1】(1)(2021·四川高二期末(文))椭圆()222210x ya ba b+=>>的左右焦点分别是1F，2F，以2F为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点P，若直线1PF恰好与圆2F相切于点P，则椭圆的离心率为( )．A B C1D(2)(2021·黄冈天有高级中学高二月考)已知12,F F是椭圆的两个焦点，过1F且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于,A B两点，若2ABF是等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率是( )A B．2C1D【答案】(1)C(2)C【解析】(1)由题意2PF c=，12PF PF⊥，所以1PF===，所以122PF PF c a++=，所以离心率为1cea=．故选：C．(2)不妨设椭圆方程为()222210x ya ba b+=>>，焦点()()12,0,,0F c F c-，离心率为e，将x c =代入22221c y a b +=可得2b y a =±，所以22bAB a =,又2ABF 是等腰直角三角形，所以212224bAB F F c a===，所以22b c a =即2220c a ac -+=，所以2210e e +-=，解得1e =(负值舍去).故选：C. 【一隅三反】1．(2021·河北石家庄二中高一期末)若焦点在x 轴上的椭圆 22116x y m +=+m = A ．31 B ．28 C ．25 D ．23【答案】D【解析】焦点在x 轴上，所以221,6a m b =+= 所以2165c m m =+-=-离心率e =，所以2225314c m e a m -===+解方程得m=23 所以选D2．(2021·江苏高二期末)设1F ，2F 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的两个焦点，点P 在C 上，且1122,,PF F F PF 成等比数列，则C 的离心率的最大值为( ) A ．12 B ．23C ．34D ．1【答案】A【解析】设()2120F F c c =>，122PF PF a +=， 因为1122,,PF F F PF 成等比数列， 所以2212124F F PF PF c =⨯=，由12PF PF +≥2a ≥ 即12c e a =≤，当且仅当12PF PF =等号成立， 所以椭圆C 的离心率最大值为12. 故选：A.3．(2021·全国高二课时练习)在Rt ABC 中，1AB AC ==，如果一个椭圆通过A ､B 两点，它的一个焦点为点C ，另一个焦点在AB 上，则这个椭圆的离心率e =( )A B 1C 1D -【答案】D【解析】设另一个焦点为F ，如图所示，∵||||1AB AC ==，||BC42AB AC BC a ++==a =，设FA x =，则12x a +=，12x a -=，∴x =2214c +=，c =c e a ==故选:D.考点二 点与椭圆的位置关系【例2】(1)(2021·广西平果二中(理))点(1,1)与椭圆22132x y +=的位置关系为( )A ．在椭圆上B ．在椭圆内C ．在椭圆外D ．不能确定(2)(【新教材精创】3.1.2 椭圆的简单几何性质(2) 导学案-人教A 版高中数学选择性必修第一册)若点(),1P a 在椭圆22123x y +=的外部，则a 的取值范围为( )A ．⎛ ⎝⎭B ．,⎫⎛+∞⋃-∞⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭C ．4,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．4,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【答案】(1)B(2)B【解析】(1)1151326+=<，可知点(1,1)在椭圆内．故选：B.(2)因为点(),1P a 在椭圆22123x y +=的外部，所以221123a +>，即243a >，解得a >a <.故选：B. 【一隅三反】1．(2021·安徽定远二中)点()1,0.7P 与椭圆2212x y +=的位置关系为( )A ．在椭圆内B ．在椭圆上C ．在椭圆外D ．不能确定【答案】A【解析】2210.70.9912+=<，所以，点P 在椭圆2212x y +=内.故选：A.2．(2021·甘肃省民乐县第一中学高三二模(理))若直线9mx ny +=和圆229x y +=没有交点，则过点(,)m n 的直线与椭圆221916x y +=的交点个数为( )A ．1个B ．至多一个C ．2个D ．0个【答案】C【解析】因为直线9mx ny +=和圆229x y +=没有交点， 3>，即229m n +<，所以2222191699m n m n +≤+<，即点(,)m n 在椭圆221916x y +=内， 所以过点(,)m n 的直线与椭圆221916x y +=的交点个数为2个. 故选：C考点三 直线与椭圆的位置关系【例3】(2021·安徽省泗县第一中学)已知椭圆的长轴长是(，. (1)求这个椭圆的标准方程；(2)如果直线y x m =+与这个椭圆交于两不同的点，求m 的取值范围.【答案】(1)2213x y +=；(2)22m -<<.【解析】(1)由已知得2a =c = 解得a =2321b ∴=-=，∴椭圆的标准方程为2213x y +=． (2)由2213y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，解方程组并整理得2246330x mx m ++-=， 有两个不同的交点∴222(6)44(33)12(4)0m m m ∆=-⨯⨯-=-->．解不等式得22m -<<． m ∴的取值范围(2,2)-．【一隅三反】1．(2021·上海市长征中学)设直线与椭圆的方程分别为 2y x b =+与2217525x y +=，问b 为何值时，(1)直线与椭圆有一个公共点； (2)直线与椭圆有两个公共点； (3)直线与椭圆无公共点.【答案】(1)b =±(2)b -<(3)b <-b >【解析】设直线与椭圆的方程分别为 2y x b =+与2217525x y +=，问b 为何值时， 由22217525y x b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2213172530x bx b ++=-.(1)当()()22124133075b b =--∆⨯⨯=，即b =±(2)当()()22124133075b b =--∆⨯⨯>，即b -<(3)()()22124133075b b =--∆⨯⨯<即b <-b >时直线与椭圆无公共点.2．(2021·广东高二期末)在平面直角坐标系xOy 中，已知点P到两点(M N 的距离之和等于4，设点P 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程.(2)若直线2y kx =+与曲线C 有公共点，求实数k 的取值范围. 【答案】(1)2214x y +=；(2)|k k k ⎧⎪≤≥⎨⎪⎪⎩⎭.【解析】(1)由己知得4PM PN MN +=>=由椭圆定义可知，轨迹C 是以M ，N为焦点，焦距长2c =24a =的椭圆. 所以222431b a c =-=-=，所以曲线C 的方程是2214x y +=.(2)由22214y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()221416120k x kx +++=. ()()22216412146448k k k ∆=-⨯⨯+=-，因为直线2y kx =+与曲线C 有公共点， 所以0∆≥，即264480k -≥，解得k ≤k ≥故实数k的取值范围是|k k k ⎧⎪≤≥⎨⎪⎪⎩⎭.3．(2021·莆田第十五中学高二期末)直线0x y m --=与椭圆2219xy +=有且仅有一个公共点，求m 的值.【答案】m =【解析】将直线方程0x y m --=代入椭圆方程2219x y +=， 消去x 得到：2210290y my m -++=，令0∆=，即()22441090m m -⨯-=解得m =考点四 弦长【例4-1】(2021·全国高二课时练习)直线x －y ＋1＝0被椭圆23x ＋y 2＝1所截得的弦长|AB |等于( )A．2BC．D．【答案】A【解析】由2210,1,3x y x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩得交点为(0,1)，31(,)22--，则|AB |故选：A.【例4-2】(2021·陕西高二期末(理))已知椭圆()2222:10y x E a b a b +=>>的焦距为⎫⎪⎪⎝⎭在椭圆E 上．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)设直线1y kx =+与椭圆E 交于M 、N 两点，O 为坐标原点，求OMN 面积的取值范围． 【答案】(1)2214y x +=；(2)⎛ ⎝⎦. 【解析】(1)因为焦距为2c =c =因为点⎫⎪⎪⎝⎭在椭圆E 上，所以221314a b +=，联立222221314c a b a b c ⎧=⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎩，解得24a =，21b =，椭圆E 的标准方程为2214y x +=. (2)设()11,M x y ，()22,N x y ，联立22141y x y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，整理得()224230k x kx ++-=，0∆>，则12224k x x k +=-+，12234x x k =-+，原点到直线1y kx =+，则MON △的面积12S ==令t =t ≥，22211t S t t t==++，令1y t t =+，则221t y t-'=，函数1yt t =+在)+∞上单调递增，故1t t +≥，201t t <≤+OMN 面积的取值范围为⎛ ⎝⎦. 【一隅三反】1．(2021·安徽省泗县第一中学高二开学考试(理))已知椭圆的长轴长是()，).(1)求这个椭圆的标准方程；(2)如果直线y x m =+与这个椭圆交于A ､B两不同的点，若2AB =，求m 的值. 【答案】(1)2213x y +=；(2)1m =±.【解析】(1)由已知得2a =a =c =2221b a c =-=所以椭圆的标准方程2213x y +=(2)由2213y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消除y 得2246330x mx m ++-= 因为有两个不同的交点，所以()222(6)44(33)1240m m m ∆=-⨯⨯-=-->得m 的取值范围为()2,2- 由韦达定理得：126342m m x x --+== ，212334m x x -=所以2AB ==解得1m =±2．(2021·四川高二期末(文))已知椭圆1C 以直线0x my +=所过的定点为一个焦点，且短轴长为4． (1)求椭圆1C 的标准方程；(2)过点()1,0C 的直线l 与椭圆1C 交于A ，B 两个不同的点，求OAB 面积的最大值． 【答案】(1)22194x y +=；【解析】(1)直线0x my +过定点)，即椭圆的一个焦点为)，依题意：椭圆1C 的半焦距c =2b =，长半轴长a 有2229a b c =+=， 所以椭圆1C 的标准方程为22194x y +=； (2)显然点()1,0C 在椭圆内部，即直线l 与椭圆必有两个不同的交点， 由题意得直线l 不垂直于y 轴，设直线l 的方程为1x ky =+，由2214936x ky x y =+⎧⎨+=⎩消去x 整理得()22498320k y ky ++-=, 设()11,A x y ，()22,B x y ，则122849k y y k -+=+，1223249y y k -=+, 从而有1212111||||222△△△OAB AOC BOC S S S OC y OC y y y =+=⋅⋅+⋅⋅=-421k =++121=，t 1()4f t t t=+在)+∞单调递增， 则t 0k=时，14t t =+≥=于是有129AOB S ≤△0k =时等号成立， 所以OAB 3．(2021·重庆字水中学高二期末)已知椭圆22:1y E x m +=的下焦点为1F 、上焦点为2F ，其离心率e =过焦点2F 且与x 轴不垂直的直线l 交椭圆于A 、B 两点 (1)求实数m 的值；(2)求ABO (O 为原点)面积的最大值． 【答案】(1)2m =；【解析】(1)由题意可得：21b =，2a m =，可得1b =，a =因为c e a ==c = 因为222a b c =+，所以12mm =+，可得2m =，(2)由(1)知：椭圆22:12y E x +=，上焦点()20,1F ，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线:l 1y kx =+， 由22112y kx y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得：()222210k x kx ++-=，所以12222k x x k -+=+，12212-=+x x k ，所以()()()()222222121212222222442248842222k k k k x x x x x x k k k k ++-+⎛⎫-=+-=+== ⎪++⎝⎭++，可得：12x x -=所以12211122ABOSx x OF =⨯-⨯==≤即0k =时等号成立，所以ABO (O 为原点)面积的最大值为2. 考点五 中点弦与点差法【例5】(1)(2021·全国高二专题练习)已知椭圆2219x y +=，过点11,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭的直线与椭圆相交于A 、B 两点，且弦AB 被点P 平分，则直线AB 的方程为( ) A ．950x y +-= B ．940x y --= C ．950x y +-=D ．940x y -+=(2)(2021·南京市中华中学高二期中)已知椭圆C ：22221x y a b +=(0a b >>)的左焦点为F ，过点F的直线0x y -与椭圆C 相交于不同的两点A ，B ，若P 为线段AB 的中点，O 为坐标原点，直线OP 的斜率为12-，则椭圆C 的方程为( )A ．22132x y +=B ．2214x y +=C ．22142x y +=D ．22163x y +=【答案】(1)C(2)D【解析】(1)设点()11,A x y 、()22,B x y ，由已知可得121211x x y y +=⎧⎨+=⎩， 因为点A 、B 都在椭圆上，则221122221919x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式作差可得()()()()1212121209x x x x y y y y -++-+=，即()121209x x y y -+-=， 所以，直线AB 的斜率为121219AB y y k x x -==--，因此，直线AB 的方程为111292y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，即950x y +-=. 故选：C.(2)直线0x y -过点F ，令0y =则x =()F，即c =设()()1122,,,A x y B x y ，则2222112222221,1x y x y a b a b +=+=，两式相减并化简得2121221212y y y y b a x x x x +--=⋅+-，所以222222111222b b a b a a ⎛⎫-=-⋅⇒=⇒= ⎪⎝⎭，22223,c a b b b a =-====所以椭圆C 的方程为22163x y +=.故选：D 【一隅三反】1．(2021·浙江嘉兴·高二期中)已知点P Q M ，，是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>上的三点，坐标原点O 是PQM的重心，若点M ⎫⎪⎪⎝⎭，直线PQ 的斜率恒为12-，则椭圆C 的离心率为( ) ABCD【答案】D【解析】设()()1122,,,P x y Q x y，又,M ⎫⎪⎪⎝⎭由原点O 是PQM的重心，得1212220,033x x y y ++==，即1212,x x y y +=+=， 又P Q ，是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上的点，2222112222221,1x y x y a b a b∴+=+=， 作差可得：()()()()1212121222x x x x y y y y a b -+-+=-，即()()2212122121212b b x x y y x x a y y ⎛⎫⋅ ⎪+-=-=-=-+⎝⎭，即12b a =，∴c e a===， 故选：D2．(2021·河南新乡·高二期末(理))已知椭圆()2222:10x y G a b a b+=>>的右焦点为()F ，过点F 的直线交椭圆于A 、B 两点．若AB的中点坐标为，则G 的方程为( )A ．2213214+=x yB ．2213820+=x yC ．2214830+=x yD ．2213618x y +=【答案】D【解析】设点()11,A x y 、()22,B x y ，则22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两个等式作差得22221212220x x y y a b --+=， 整理可得2221222212y y b x x a-=--， 设线段AB的中点为M，即2121221212AB OMy y y y b k k x x x x a-+⋅=⋅=--+，另一方面12AB MFk k ==，1OM k =-，所以，()2211122b a -=⨯-=-，所以，22222182c a b a b ⎧=-=⎨=⎩，解得223618a b ⎧=⎨=⎩， 因此，椭圆G 的方程为2213618x y +=.故选：D.3．(2021·江苏)已知椭圆C 的方程为2214x y +=，直线AB 与椭圆C 交于A ，B 点，且线段AB 的中点坐标为1(1,)2，则直线AB 的方程为( )A ．3220x y --=B ．4230--=x yC ．2230x y +-=D ．+220x y -=【答案】D【解析】设,A B 两点的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ，则有221122221414x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得12121212()()()()04x x x x y y y y -++-+=， ∴121212124()y y x xx x y y -+=--+． 又12122,1x x y y +=+=， ∴121221412y y x x -=-=--⨯，即直线AB 的斜率为12-， ∴直线AB 的方程为11(1)22y x -=--，即+220x y -=． 故选：D.4．(2021·河北辛集中学高二期中)过椭圆216x ＋24y ＝1内一点M (2，1)引一条弦，使弦被M 点平分．(1)求此弦所在的直线方程； (2)求此弦长．【答案】(1)x ＋2y －4＝0；【解析】(1)设所求直线方程为y －1＝k (x －2)．代入椭圆方程并整理，得 (4k 2＋1)x 2－8(2k 2－k )x ＋4(2k －1)2－16＝0，① 又设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1，x 2是方程的两个根，于是x 1＋x 2＝228(2)41k k k -+.又M 为AB 的中点，∴122x x +＝224(2)41k k k -+＝2，解得k ＝－12，直线方程为11(2)2y x -=--，即x ＋2y －4＝0.(2)由(1)将k ＝－12代入①得，x 2－4x ＝0， ∴120,4x x ==， ∴|AB |12|x x -＝考点六 最值【例6】(1)(2021·浙江高二期末)点P 、Q 分别在圆(222x y +=和椭圆2214x y +=上，则P 、Q 两点间的最大距离是( )A ．B ．C ．D ．(2)(2021·江苏高二开学考试)已知椭圆22:194x y C +=的右顶点为2A ，直线:l x m =与椭圆C 相交于A ，B 两点，当2∠AA B 为钝角时，m 的取值范围是( )． A ．150,13⎛⎫⎪⎝⎭B ．15,313⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1515,00,1313⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．15153,,31313⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】(1)C(2)B【解析】(1)圆(222x y +=的圆心为(C ，半径为r =设点(),Q x y ，则2244x y =-且11y -≤≤，CQ ==，当且仅当3y =-时，等号成立，所以，max max PQ CQ r =+=故选：C.(2)易知33m -<<，x m=代入22194x y +=得y =±AB =由对称性知2AA B 是等腰三角形，AB 是底，设AB 与x 轴交点为M ，如图， 2∠AA B 为钝角，则24AA M π∠>，∴2AM MA >，即3m >-，解得15313m <<．故选：B ．【一隅三反】1．(【新东方】高中数学20210429—004【2020】【高二上】)已知P 为椭圆22221x y a b+=上一点，12,F F 是焦点，12F PF ∠取最大值时的余弦值为13，则此椭圆的离心率为_______．【解析】依题意12122,2PF PF a F F c +==，222a b c =+，当12F PF ∠取最大值时，即12cos F PF ∠最小，即12cos F PF ∠的最小值为13.而()222221212121212121224cos 22PF PF PF PF c PF PF F F F PF PF PF PF PF +-⋅-+-∠==⋅⋅222121212424212a PF PF c b PF PF PF PF -⋅-==-⋅⋅， 而()2122124PF PF PF PF a +⋅≤=，当且仅当12PF PF a ==时等号成立，故21222cos 1b F PF a∠≥-，当且仅当12PF PF a ==时等号成立，所以12cos F PF ∠的最小值为222113b a -=，即2223ba =，故c e a ===2．(2021·重庆西南大学附中高二期末)已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左､右焦点为1F ､2F ，离心率为12，过2F 的直线l 交C于A ､B 两点，若1AF B △的周长为8.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若椭圆上存在两点关于直线4y x m =+对称，求m 的取值范围.【答案】(1)22143x y +=；(2)m <<【解析】(1)1AF B △周长为8，即48a =，2a ∴=.又因为12e =，1c ∴=，b =椭圆方程22143x y C +=：，(2)设椭圆上两点11(,)A x y ，22(,)B x y 关于4y x m =+对称，则AB 的方程为14y x t =-+，由2214143y x t x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y 有：2213816480x tx t -+-= 由22(8)413(1648)0.t t ∆=--⨯⨯->得213,4t <① 又1212128124,()213413t tx x y y x x t +=+=-++=因为AB 的中点在直线4y x m =+上，所以1212422y y x x m ++=+，即12441313t tm =⨯+ 所以1340m t +=②，由①②得：2413m <，即m <<。

高中数学圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)经典习题1.已知圆$x^2+y^2-6x-7=0$与抛物线$y^2=2px(p>0)$的准线相切，则抛物线方程为$y^2=8x$。

2.与双曲线$2x^2-2y^2=1$有公共焦点，离心率互为倒数的椭圆方程为$\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{16}=1$。

3.方程$k-\dfrac{35}{k}+\dfrac{x^2}{y^2}=1$表示双曲线，则$m$的取值范围是$(-\infty,-7)\cup(0,7)$。

4.经过点$M(3,-2),N(-2,3)$的椭圆的标准方程是$\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{9}=1$。

5.与双曲线$x^2-y^2=53$有公共渐近线且焦距为8的双曲线方程为$\dfrac{x^2}{16}-\dfrac{y^2}{9}=1$。

6.过点$P(-2,4)$的抛物线的标准方程为$y=\dfrac{1}{8}(x+2)^2$。

7.以$\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{y^2}{12}=-1$的上焦点为顶点，下顶点为焦点的椭圆方程为$\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{48}=1$。

重点二：1.椭圆$16x+25y=400$的焦点为$F_1,F_2$，直线$AB$过$F_1$，则$\triangle ABF_2$的周长为$10$。

2.动圆的圆心在抛物线$y^2=8x$上，且动圆恒与直线$x+2=0$相切，则动圆必过定点$(-1,2)$。

3.椭圆$\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{9}=1$上的一点$M$到左焦点$F_1$的距离为$2$，$N$是$MF_1$的中点，则$ON=\dfrac{4}{3}$。

4.设椭圆$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$和双曲线$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$有公共焦点$F_1,F_2$，点$P$是两曲线的一个公共点，则$\cos\angleF_1PF_2=\dfrac{3}{5}$。

《椭圆》方程典型例题20例典型例题一例1 椭圆的一个顶点为()02，A ，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置．解：（1）当()02，A 为长轴端点时，2=a ，1=b ， 椭圆的标准方程为：11422=+y x ； （2）当()02，A 为短轴端点时，2=b ，4=a ， 椭圆的标准方程为：116422=+y x ； 说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况．典型例题二例2 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率．解：31222⨯⨯=c a c ∴223a c =， ∴3331-=e ． 说明：求椭圆的离心率问题，通常有两种处理方法，一是求a ，求c ，再求比．二是列含a 和c 的齐次方程，再化含e 的方程，解方程即可．典型例题三 例3 已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与直线01=-+y x 交于A 、B 两点，M 为AB 中点，OM 的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程．解：由题意，设椭圆方程为1222=+y ax ，由⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+101222y ax y x ，得()021222=-+x a x a ， ∴222112a a x x x M +=+=，2111a x y M M +=-=，4112===ax y k M M OM ，∴42=a ， ∴1422=+y x 为所求． 说明：（1）此题求椭圆方程采用的是待定系数法；（2）直线与曲线的综合问题，经常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题．典型例题四例4椭圆192522=+y x 上不同三点()11y x A ，，⎪⎭⎫⎝⎛594，B ，()22y x C ，与焦点()04，F 的距离成等差数列．（1）求证821=+x x ；（2）若线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点为T ，求直线BT 的斜率k ． 证明：（1）由椭圆方程知5=a ，3=b ，4=c ． 由圆锥曲线的统一定义知：ac x ca AF =-12， ∴ 11545x ex a AF -=-=．同理 2545x CF -=．∵ BF CF AF 2=+，且59=BF ， ∴ 51854554521=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x ，即 821=+x x ．（2）因为线段AC 的中点为⎪⎭⎫⎝⎛+2421y y ，，所以它的垂直平分线方程为()42212121---=+-x y y x x y y y ． 又∵点T 在x 轴上，设其坐标为()00，x ，代入上式，得 ()212221024x x y y x --=-又∵点()11y x A ，，()22y x B ，都在椭圆上，∴ ()212125259x y -=()222225259x y -= ∴ ()()21212221259x x x x y y -+-=-．将此式代入①，并利用821=+x x 的结论得 253640-=-x ∴ 4540590=--=x k BT．典型例题五例5 已知椭圆13422=+yx ，1F 、2F 为两焦点，问能否在椭圆上找一点M ，使M 到左准线l 的距离MN 是1MF 与2MF 的等比中项？若存在，则求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解：假设M 存在，设()11y x M ，，由已知条件得2=a ，3=b ，∴1=c ，21=e ． ∵左准线l 的方程是4-=x ， ∴14x MN +=． 又由焦半径公式知：111212x ex a MF -=-=， 112212x ex a MF +=+=．∵212MF MF MN ⋅=，∴()⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+11212122124x x x ．整理得048325121=++x x ．解之得41-=x 或5121-=x ． ① 另一方面221≤≤-x ． ②则①与②矛盾，所以满足条件的点M 不存在． 说明：（1）利用焦半径公式解常可简化解题过程．（2）本例是存在性问题，解决存在性问题，一般用分析法，即假设存在，根据已知条件进行推理和运算．进而根据推理得到的结果，再作判断．（3）本例也可设()θθsin 3cos 2，M 存在，推出矛盾结论（读者自己完成）．典型例题六例6 已知椭圆1222=+y x ，求过点⎪⎭⎫⎝⎛2121，P 且被P 平分的弦所在的直线方程．分析一：已知一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为k ，利用条件求k ． 解法一：设所求直线的斜率为k ，则直线方程为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-2121x k y ．代入椭圆方程，并整理得()()0232122212222=+-+--+k k x k kx k ．由韦达定理得22212122k kk x x +-=+．∵P 是弦中点，∴121=+x x ．故得21-=k ．所以所求直线方程为0342=-+y x ．分析二：设弦两端坐标为()11y x ，、()22y x ，，列关于1x 、2x 、1y 、2y 的方程组，从而求斜率：2121x x y y --． 解法二：设过⎪⎭⎫⎝⎛2121，P 的直线与椭圆交于()11y x A ，、()22y x B ，，则由题意得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+④1.③1②12①12212122222121y y x x y x y x ，，， ①－②得0222212221=-+-y y x x ． ⑤ 将③、④代入⑤得212121-=--x x y y ，即直线的斜率为21-． 所求直线方程为0342=-+y x ．说明：（1）有关弦中点的问题，主要有三种类型：过定点且被定点平分的弦；平行弦的中点轨迹；过定点的弦中点轨迹．（2）解法二是“点差法”，解决有关弦中点问题的题较方便，要点是巧代斜率．（3）有关弦及弦中点问题常用的方法是：“韦达定理应用”及“点差法”．有关二次曲线问题也适用．典型例题七例7 求适合条件的椭圆的标准方程．（1）长轴长是短轴长的2倍，且过点()62-，； （2）在x 轴上的一个焦点与短轴两端点的联机互相垂直，且焦距为6．分析：当方程有两种形式时，应分别求解，如（1）题中由12222=+b y a x 求出1482=a ，372=b ，在得方程13714822=+y x 后，不能依此写出另一方程13714822=+x y ．解：（1）设椭圆的标准方程为12222=+b y a x 或12222=+bx a y ．由已知b a 2=． ①又过点()62-，，因此有 ()1622222=-+b a 或()1262222=+-ba ． ② 由①、②，得1482=a ，372=b 或522=a ，132=b ．故所求的方程为13714822=+y x 或1135222=+x y ．（2）设方程为12222=+b y a x ．由已知，3=c ，3==c b ，所以182=a ．故所求方程为191822=+y x ． 说明：根据条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”．关键在于焦点的位置是否确定，若不能确定，应设方程12222=+b y a x 或12222=+bx a y ．典型例题八例8 椭圆1121622=+y x 的右焦点为F ，过点()31，A ，点M 在椭圆上，当MF AM 2+为最小值时，求点M 的坐标．分析：本题的关键是求出离心率21=e ，把MF 2转化为M 到右准线的距离，从而得最小值．一般地，求MF eAM 1+均可用此法． 解：由已知：4=a ，2=c ．所以21=e ，右准线8=x l ：．过A 作l AQ ⊥，垂足为Q ，交椭圆于M ，故MF MQ 2=．显然MF AM 2+的最小值为AQ ，即M 为所求点，因此3=M y ，且M 在椭圆上．故32=M x ．所以()332，M ．说明：本题关键在于未知式MF AM 2+中的“2”的处理．事实上，如图，21=e ，即MF 是M 到右准线的距离的一半，即图中的MQ ，问题转化为求椭圆上一点M ，使M 到A 的距离与到右准线距离之和取最小值．典型例题九 例9 求椭圆1322=+y x 上的点到直线06=+-y x 的距离的最小值．分析：先写出椭圆的参数方程，由点到直线的距离建立三角函数关系式，求出距离的最小值．解：椭圆的参数方程为⎩⎨⎧==.sin cos 3θθy x ，设椭圆上的点的坐标为()θθsin cos 3，，则点到直线的距离为263sin 226sin cos 3+⎪⎭⎫⎝⎛-=+-=θπθθd ． 当13sin -=⎪⎭⎫⎝⎛-θπ时，22=最小值d ．说明：当直接设点的坐标不易解决问题时，可建立曲线的参数方程．典型例题十 例10设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x 轴上，离心率23=e ，已知点⎪⎭⎫ ⎝⎛230，P 到这个椭圆上的点的最远距离是7，求这个椭圆的方程，并求椭圆上的点P 的距离等于7的点的坐标．分析：本题考查椭圆的性质、距离公式、最大值以及分析问题的能力，在求d 的最大值时，要注意讨论b 的取值范围．此题可以用椭圆的标准方程，也可用椭圆的参数方程，要善于应用不等式、平面几何、三角等知识解决一些综合性问题，从而加强等价转换、形数结合的思想，提高逻辑推理能力．解法一：设所求椭圆的直角坐标方程是12222=+b y a x ，其中0>>b a 待定．由222222221ab a b a ac e -=-==可得 2143112=-=-=e a b ，即b a 2=． 设椭圆上的点()y x ，到点P 的距离是d ，则4931232222222+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=y y b y a y x d 34213493342222++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+--=b y y y b其中b y b ≤≤-． 如果21<b ，则当b y -=时，2d （从而d ）有最大值． 由题设得()22237⎪⎭⎫ ⎝⎛+=b ，由此得21237>-=b ，与21<b 矛盾．因此必有21≥b 成立，于是当21-=y 时，2d （从而d ）有最大值． 由题设得()34722+=b，可得1=b ，2=a ．∴所求椭圆方程是11422=+y x ． 由21-=y 及求得的椭圆方程可得，椭圆上的点⎪⎭⎫ ⎝⎛--213，，点⎪⎭⎫ ⎝⎛-213，到点⎪⎭⎫⎝⎛230，P 的距离是7．解法二：根据题设条件，可取椭圆的参数方程是⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x ，其中0>>b a ，待定，πθ20≤≤，θ为参数．由22222221⎪⎭⎫⎝⎛-=-==a b a b a a c e 可得 2143112=-=-=e a b ，即b a 2=． 设椭圆上的点()y x ，到点⎪⎭⎫⎝⎛230，P 的距离为d ，则22222223sin cos 23⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=θθb a y x d49sin 3sin 34222+--=θθb b b 3421sin 3222++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=b b b θ如果121>b ，即21<b ，则当1sin -=θ时，2d （从而d ）有最大值．由题设得()22237⎪⎭⎫ ⎝⎛+=b ，由此得21237>-=b ，与21<b 矛盾，因此必有121≤b成立． 于是当b21sin -=θ时2d （从而d ）有最大值． 由题设知()34722+=b，∴1=b ，2=a ．∴所求椭圆的参数方程是⎩⎨⎧==θθsin cos 2y x ．由21sin -=θ，23cos ±=θ，可得椭圆上的是⎪⎭⎫ ⎝⎛--213，，⎪⎭⎫ ⎝⎛-213，．典型例题十一例11 设x ，R ∈y ，x y x 63222=+，求x y x 222++的最大值和最小值．分析：本题的关键是利用形数结合，观察方程x y x 63222=+与椭圆方程的结构一致．设m x y x =++222，显然它表示一个圆，由此可以画出图形，考虑椭圆及圆的位置关系求得最值．解：由x y x 63222=+，得123492322=+⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x 可见它表示一个椭圆，其中心在⎪⎭⎫⎝⎛023，点，焦点在x 轴上，且过（0，0）点和（3，0）点．设m x y x =++222，则 ()1122+=++m y x它表示一个圆，其圆心为（－1，0）半径为()11->+m m ．在同一坐标系中作出椭圆及圆，如图所示．观察图形可知，当圆过（0，0）点时，半径最小，即11=+m ，此时0=m ；当圆过（3，0）点时，半径最大，即41=+m ，∴15=m ．∴x y x 222++的最小值为0，最大值为15．典型例题十二例12 已知椭圆()012222>>=+b a by a x C ：，A 、B 是其长轴的两个端点．（1）过一个焦点F 作垂直于长轴的弦P P '，求证：不论a 、b 如何变化，120≠∠APB ．（2）如果椭圆上存在一个点Q ，使 120=∠AQB ，求C 的离心率e 的取值范围．分析：本题从已知条件出发，两问都应从APB ∠和AQB ∠的正切值出发做出估计，因此要从点的坐标、斜率入手．本题的第（2）问中，其关键是根据什么去列出离心率e 满足的不等式，只能是椭圆的固有性质：a x ≤，b y ≤，根据120=∠AQB 得到32222-=-+a y x ay ，将22222y ba a x -=代入，消去x ，用a 、b 、c 表示y ，以便利用b y ≤列出不等式．这里要求思路清楚，计算准确，一气呵成．解：（1）设()0，c F ，()0，a A -，()0，a B ． ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⇒⎩⎨⎧=+=a b c P b a y a x b c x 2222222， 于是()a c a b k AP+=2，()a c ab k BP -=2．∵APB ∠是AP 到BP 的角．∴()()()2222242221tan ca a c ab ac a b a c a b APB -=-++--=∠ ∵22c a > ∴2tan -<∠APB故3tan -≠∠APB ∴ 120≠∠APB ． （2）设()y x Q ，，则a x y k QA +=，ax y k QB -=． 由于对称性，不妨设0>y ，于是AQB ∠是QA 到QB 的角．∴22222221tan a y x ay a x y a x ya x y AQB -+=-++--=∠∵ 120=∠AQB ， ∴32222-=-+ay x ay整理得()023222=+-+ay a y x∵22222y ba a x -=∴0213222=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-ay y b a∵0≠y ， ∴2232c ab y = ∵b y ≤， ∴b c ab ≤2232 232c ab ≤，()222234c c a a ≤-∴04444224≥-+a c a c ，044324≥-+e e ∴232≥e 或22-≤e （舍），∴136<≤e ．典型例题十三例13 已知椭圆19822=++y k x 的离心率21=e ，求k 的值． 分析：分两种情况进行讨论．解：当椭圆的焦点在x 轴上时，82+=k a ，92=b ，得12-=k c ．由21=e ，得4=k ．当椭圆的焦点在y 轴上时，92=a ，82+=k b ，得k c -=12．由21=e ，得4191=-k ，即45-=k ． ∴满足条件的4=k 或45-=k ．说明：本题易出现漏解．排除错误的办法是：因为8+k 与9的大小关系不定，所以椭圆的焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上．故必须进行讨论．典型例题十四例14 已知椭圆142222=+by b x 上一点P 到右焦点2F 的距离为b )1(>b ，求P 到左准线的距离．分析：利用椭圆的两个定义，或利用第二定义和椭圆两准线的距离求解．解法一：由142222=+by b x ，得b a 2=，b c 3=，23=e ．由椭圆定义，b a PF PF 4221==+，得b b b PF b PF 34421=-=-=． 由椭圆第二定义，e d PF =11，1d 为P 到左准线的距离，∴b ePF d 3211==，即P 到左准线的距离为b 32． 解法二：∵e d PF =22，2d 为P 到右准线的距离，23==a c e ， ∴b ePF d 33222==．又椭圆两准线的距离为b c a 33822=⋅． ∴P 到左准线的距离为b b b 32332338=-． 说明：运用椭圆的第二定义时，要注意焦点和准线的同侧性．否则就会产生误解．椭圆有两个定义，是从不同的角度反映椭圆的特征，解题时要灵活选择，运用自如．一般地，如遇到动点到两个定点的问题，用椭圆第一定义；如果遇到动点到定直线的距离问题，则用椭圆的第二定义．典型例题十五例15 设椭圆⎩⎨⎧==.sin 32,cos 4ααy x (α为参数)上一点P 与x 轴正向所成角3π=∠POx ，求P 点坐标．分析：利用参数α与POx ∠之间的关系求解．解：设)sin 32,cos 4(ααP ，由P 与x 轴正向所成角为3π， ∴ααπcos 4sin 323tan=，即2tan =α．而0sin >α，0cos >α，由此得到55cos =α，552sin =α， ∴P 点坐标为)5154,554(．典型例题十六例16 设),(00y x P 是离心率为e 的椭圆12222=+by a x )0(>>b a 上的一点，P 到左焦点1F 和右焦点2F 的距离分别为1r 和2r ，求证：01ex a r +=，02ex a r -=． 分析：本题考查椭圆的两个定义，利用椭圆第二定义，可将椭圆上点到焦点的距离转化为点到相应准线距离．解：P 点到椭圆的左准线c a x l 2-=：的距离，ca x PQ 20+=，由椭圆第二定义，e PQPF =1，∴01ex a PQ e r +==，由椭圆第一定义，0122ex a r a r -=-=．说明：本题求证的是椭圆的焦半径公式，在解决与椭圆的焦半径（或焦点弦）的有关问题时，有着广泛的应用．请写出椭圆焦点在y 轴上的焦半径公式．典型例题十七例17 已知椭圆15922=+y x 内有一点)1,1(A ，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，点P 是椭圆上一点．(1) 求1PF PA +的最大值、最小值及对应的点P 坐标；(2) 求223PF PA +的最小值及对应的点P 的坐标． 分析：本题考查椭圆中的最值问题，通常探求变量的最值有两种方法：一是目标函数当，即代数方法．二是数形结合，即几何方法．本题若按先建立目标函数，再求最值，则不易解决；若抓住椭圆的定义，转化目标，运用数形结合，就能简捷求解．解：(1)如上图，62=a ，)0,2(2F ，22=AF ，设P 是椭圆上任一点，由6221==+a PF PF ，22AF PF PA -≥，∴26222211-=-=-+≥+AF a AF PF PF PF PA ，等号仅当22AF PF PA -=时成立，此时P 、A 、2F 共线．由22AF PF PA +≤，∴26222211+=+=++≤+AF a AF PF PF PF PA ，等号仅当22AF PF PA +=时成立，此时P 、A 、2F 共线．建立A 、2F 的直线方程02=-+y x ，解方程组⎩⎨⎧=+=-+4595,0222y x y x 得两交点 )2141575,2141579(1+-P 、)2141575,2141579(2-+P ． 综上所述，P 点与1P 重合时，1PF PA +取最小值26-，P 点与2P 重合时，2PF PA +取最大值26+．(2)如下图，设P 是椭圆上任一点，作PQ 垂直椭圆右准线，Q 为垂足，由3=a ，2=c ，∴32=e ．由椭圆第二定义知322==e PQ PF ，∴223PF PQ =，∴PQ PA PF PA +=+223，要使其和最小需有A 、P 、Q 共线，即求A 到右准线距离．右准线方程为29=x ．∴A 到右准线距离为27．此时P 点纵坐标与A 点纵坐标相同为1，代入椭圆得满足条件的点P 坐标)1,556(． 说明：求21PF ePA +的最小值，就是用第二定义转化后，过A 向相应准线作垂线段．巧用焦点半径2PF 与点准距PQ 互化是解决有关问题的重要手段．典型例题十八例18 (1)写出椭圆14922=+y x 的参数方程； (2)求椭圆内接矩形的最大面积．分析：本题考查椭圆的参数方程及其应用．为简化运算和减少未知数的个数，常用椭圆的参数方程表示曲线上一点坐标，所求问题便化归为三角问题．解：(1) ⎩⎨⎧==θθsin 2cos 3y x )(R ∈θ．(2)设椭圆内接矩形面积为S ，由对称性知，矩形的邻边分别平行于x 轴和y轴，设)sin 2,cos 3(θθ为矩形在第一象限的顶点，)20(π<θ<，则122sin 12sin 2cos 34≤=⨯⨯=θθθS 故椭圆内接矩形的最大面积为12．说明：通过椭圆参数方程，转化为三角函数的最值问题，一般地，与圆锥曲线有关的最值问题，用参数方程形式较简便．典型例题十九 例19 已知1F ，2F 是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，且︒=∠6021PF F ．(1)求椭圆离心率的取值范围；(2)求证21F PF ∆的面积与椭圆短轴长有关． 分析：不失一般性，可以设椭圆方程为12222=+b y a x （0>>b a ），),(11y x P （01>y ）． 思路一：根据题设容易想到两条直线的夹角公式，即3160tan 1212=+-=︒PF PF PF PF K K K K ，设),(11y x P ，)0,(1c F -，)0,(2c F ，化简可得03233212121=--+c cy y x ．又1221221=+by a x ，两方程联立消去21x 得0323412212=-+b cy b y c ，由],0(1b y ∈，可以确定离心率的取值范围；解出1y 可以求出21F PF ∆的面积，但这一过程很繁．思路二：利用焦半径公式11ex a PF +=，12ex a PF -=，在21F PF ∆中运用余弦定理，求1x ，再利用],[1a a x -∈，可以确定离心率e 的取值范围，将1x 代入椭圆方程中求1y ，便可求出21F PF ∆的面积．思路三：利用正弦定理、余弦定理，结合a PF PF 221=+求解．解：(法1)设椭圆方程为12222=+by a x （0>>b a ），),(11y x P ，)0,(1c F -，)0,(2c F ，0>c ，则11ex a PF +=，12ex a PF -=． 在21F PF ∆中，由余弦定理得))((24)()(2160cos 1122121ex a ex a c ex a ex a -+--++==︒， 解得2222134ea c x -=． (1)∵],0(221a x ∈，∴2222340a ea c <-≤，即0422≥-a c ． ∴21≥=a c e ． 故椭圆离心率的取范围是)1,21[∈e ．(2)将2222134ea c x -=代入12222=+b y a x 得 24213c b y =，即cb y 321=．∴22213332212121b cb c y F F S F PF =⋅⋅=⋅=∆． 即21F PF ∆的面积只与椭圆的短轴长有关．(法2)设m PF =1，n PF =2，α=∠12FPF ，β=∠21F PF ， 则︒=+120βα．(1)在21F PF ∆中，由正弦定理得︒==60sin 2sin sin cn m βα． ∴︒=++60sin 2sin sin cn m βα∵a n m 2=+， ∴︒=+60sin 2sin sin 2ca βα，∴2cos 2sin 260sin sin sin 60sin βαβαβα-+︒=+︒==a c e 212cos21≥-=βα．当且仅当βα=时等号成立．故椭圆离心率的取值范围是)1,21[∈e ．(2)在21F PF ∆中，由余弦定理得：︒-+=60cos 2)2(222mn n m cmn n m -+=22 mn n m 3)(2-+=∵a n m 2=+，∴mn a c 34422-=，即22234)(34b c a mn =-=．∴23360sin 2121b mn S F PF =︒=∆． 即21F PF ∆的面积与椭圆短轴长有关．说明：椭圆上的一点P 与两个焦点1F ，2F 构成的三角形为椭圆的焦点三角形，涉及有关焦点三角形问题，通常运用三角形的边角关系定理．解题中通过变形，使之出现21PF PF +的结构，这样就可以应用椭圆的定义，从而可得到有关a ，c 的关系式，使问题找到解决思路．典型例题二十例20 椭圆12222=+by a x )0(>>b a 与x 轴正向交于点A ，若这个椭圆上总存在点P ，使AP OP ⊥(O 为坐标原点)，求其离心率e 的取值范围．分析：∵O 、A 为定点，P 为动点，可以P 点坐标作为参数，把AP OP ⊥，转化为P 点坐标的一个等量关系，再利用坐标的范围建立关于a 、b 、c 的一个不等式，转化为关于e 的不等式．为减少参数，易考虑运用椭圆参数方程．解：设椭圆的参数方程是⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x )0(>>b a ，则椭圆上的点)sin ,cos (θθb a P ，)0,(a A ， ∵AP OP ⊥，∴1cos sin cos sin -=-⋅aa b a b θθθθ，即0cos cos )(22222=+--b a b a θθ，解得1cos =θ或222cos b a b -=θ，∵1cos 1<<-θ ∴1cos =θ（舍去），11222<-<-b a b ，又222c a b -= ∴2022<<ca ，∴22>e ，又10<<e ，∴122<<e ． 说明：若已知椭圆离心率范围)1,22(，求证在椭圆上总存在点P 使AP OP ⊥．如何证明？。

高中数学椭圆专题一．相关知识点1．椭圆的概念平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫椭圆。

这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。

集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数}。

(1)若a＞c，则集合P为椭圆；(2)若a＝c，则集合P为线段；(3)若a＜c，则集合P为空集。

2．椭圆的标准方程和几何性质3．椭圆中常用的4个结论(1)设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)上任意一点P(x，y)，则当x＝0时，|OP|有最小值b，这时P在短轴端点处；当x＝±a时，|OP|有最大值a，这时P在长轴端点处。

(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a是斜边长，a2＝b2＋c2。

(3)已知过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为4a。

(4)若P为椭圆上任一点，F为其焦点，则a－c≤|PF|≤a＋c。

一、细品教材1．(选修1－1P34例1改编)若F1(3,0)，F2(－3,0)，点P到F1，F2距离之和为10，则P点的轨迹方程是()A.x225＋y216＝1 B.x2100＋y29＝1 C.y225＋x216＝1 D.x225＋y216＝1或y225＋x216＝12．(选修1－1P42A组T6改编)设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是()A.22 B.2－12C．2－ 2 D.2－1走进教材答案1．A; 2．D 二、双基查验1．设P是椭圆x24＋y29＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于()A．4B．8 C．6 D．182．方程x25－m＋y2m＋3＝1表示椭圆，则m的范围是()A．(－3,5) B．(－5,3) C．(－3,1)∪(1,5) D．(－5,1)∪(1,3)3．椭圆x 29＋y 24＋k ＝1的离心率为45，则k 的值为( )A ．－21B ．21C ．－1925或21 D.1925或214．已知椭圆的一个焦点为F (1,0)，离心率为12，则椭圆的标准方程为________。

学生姓名 性别 男 年级 高二 学科 数学 授课教师上课时间 2014年12月13日第（ ）次课 共（ ）次课课时： 课时教学课题椭圆教学目标教学重点与难点选修2-1椭圆知识点一：椭圆的定义 平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数()，这个动点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.注意：若，则动点的轨迹为线段；若，则动点的轨迹无图形.讲练结合一.椭圆的定义 １．方程()()10222222=++++-y x y x 化简的结果是2．若ABC ∆的两个顶点()()4,0,4,0A B -，ABC ∆的周长为18，则顶点C 的轨迹方程是3.已知椭圆22169x y ＋=1上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3,则P 到另一焦点距离为知识点二：椭圆的标准方程1．当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；2．当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；注意：1．只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；2．在椭圆的两种标准方程中，都有和；3．椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，。

讲练结合二．利用标准方程确定参数1.若方程25x k -+23y k -=1（1）表示圆，则实数k 的取值是 .（2）表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是 . （3）表示焦点在y 型上的椭圆，则实数k 的取值范围是 . （4）表示椭圆，则实数k 的取值范围是 .2.椭圆22425100x y +=的长轴长等于 ，短轴长等于 , 顶点坐标是 ,焦点的坐标是 ,焦距是 ，离心率等于 ,3．椭圆2214x y m+=的焦距为2，则m = 。

4．椭圆5522=+ky x 的一个焦点是)2,0(，那么=k 。

讲练结合三．待定系数法求椭圆标准方程1．若椭圆经过点(4,0)-，(0,3)-，则该椭圆的标准方程为 。

椭圆考纲解读 1.利用椭圆的定义、几何性质求椭圆方程；2.利用椭圆的几何性质研究直线与椭圆的关系．[基础梳理]1．椭圆的定义(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫作椭圆．这两个定点叫作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距．(2)集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.①当2a>|F1F2|时，M点的轨迹为椭圆；②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹为线段F1F2；③当2a<|F1F2|时，M点的轨迹不存在．2．椭圆的标准方程和几何性质x2y2y2x2[三基自测]1．已知椭圆x2m－2＋y210－m＝1的焦点在x轴上，焦距为4，则m等于()A．8B．7C ．6D ．5答案：A2．已知椭圆x 225＋y 216＝1上一点P 到椭圆一个焦点F 1的距离为3，则P 到另一个焦点F 2的距离为( )A ．2B ．3C ．5D ．7答案：D3．已知椭圆的一个焦点为F (1,0)，离心率为12，则椭圆的标准方程为________．答案：x 24＋y 23＝14．过椭圆x 225＋y 216＝1的右焦点F 2作直线交椭圆于A 、B 两点，则△AF 1B 的周长为________．答案：205．(2017·高考全国卷Ⅰ改编)A 、B 是椭圆x 23＋y 2m ＝1长轴的两个端点，M 为短轴的一个端点，且∠AMB ＝120°，求m 值．答案：1或9考点一 椭圆的定义及应用|思维突破[例1] (1)已知圆(x ＋2)2＋y 2＝36的圆心为M ，设A 为圆上任一点，N (2,0)，线段AN 的垂直平分线交MA 于点P ，则动点P 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线 (2)设P 是椭圆x 225＋y 29＝1上一点，M ，N 分别是两圆：(x ＋4)2＋y 2＝1和(x －4)2＋y 2＝1上的点，则|PM |＋|PN |的最小值、最大值分别为( )A ．9,12B ．8,11C ．8,12D ．10,12(3)F 1，F 2是椭圆x 29＋y 27＝1的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠AF 1F 2＝45°，则△AF 1F 2的面积为( )A ．7 B.74 C.72D.752[解析] (1)点P 在线段AN 的垂直平分线上， 故|P A |＝|PN |.又AM 是圆的半径，∴|PM |＋|PN |＝|PM |＋|P A |＝|AM |＝6>|MN |， 由椭圆定义知，点P 的轨迹是椭圆．(2)如图所示，因为到两个圆心恰好是椭圆的焦点，由椭圆的定义可知|PF 1|＋|PF 2|＝10，易知|PM |＋|PN |＝(|PM |＋|MF 1|)＋(|PN |＋|NF 2|)－2，则其最小值为|PF 1|＋|PF 2|－2＝8，最大值为|PF 1|＋|PF 2|＋2＝12，故选C.(3)由题意得a ＝3，b ＝7，c ＝2，∴F 1F 2＝22，AF 1＋AF 2＝6.∵AF 22＝AF 21＋F 1F 22－2AF 1·F 1F 2cos 45°＝AF 21－4AF 1＋8，∴(6－AF 1)2＝AF 21－4AF 1＋8.∴AF 1＝72.∴S ＝12×72×22×22＝72.[答案] (1)B (2)C (3)C [思维升华]椭圆定义应用技巧思路应用 解读求方程 条件转化后满足椭圆定义，直接求轨迹方程求焦点三角形 求焦点三角形周长或面积，根据椭圆定义、正余弦定理，其中|PF 1|＋|PF 2|＝2a .平方是常用技巧求最值 利用|PF 1|＋|PF 2|＝2a 为定值，利用基本不等式求|PF 1|·|PF 2|最值或利用三角形求最值．如a ＋c 、a －c[跟踪训练]1．已知圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，圆C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( )A.x 264－y 248＝1 B.x 248＋y 264＝1 C.x 248－y 264＝1 D.x 264＋y 248＝1 解析：设圆M 的半径为r ，则|MC 1|＋|MC 2|＝(13－r )＋(3＋r )＝16，∴M 的轨迹是以C 1，C 2为焦点的椭圆，且2a ＝16,2c ＝8，故所求的轨迹方程为x 264＋y 248＝1.答案：D2．椭圆C ：x 2a 2＋y 2＝1(a >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2、P 为椭圆上异于端点的任意一点，PF 1，PF 2的中点分别为M ，N .O 为坐标原点，四边形OMPN 的周长为23，则△PF 1F 2的周长是( )A ．2(2＋3) B.2＋23 C.2＋ 3D ．4＋23解析：因为O ，M 分别为F 1F 2和PF 1的中点，所以OM ∥PF 2，且|OM |＝12|PF 2|，同理，ON ∥PF 1，且|ON |＝12|PF 1|，所以四边形OMPN 为平行四边形，由题意知，|OM |＋|ON |＝3，故|PF 1|＋|PF 2|＝23，即2a ＝23，a ＝3，由a 2＝b 2＋c 2知c 2＝a 2－b 2＝2，c ＝2，所以|F 1F 2|＝2c ＝22，故△PF 1F 2的周长为2a ＋2c ＝23＋22，选A.答案：A3．已知F 是椭圆5x 2＋9y 2＝45的左焦点，P 是此椭圆上的动点，A (1,1)是一定点．则|P A |＋|PF |的最大值为________，最小值为________．解析：如图所示，设椭圆右焦点为F 1，则|PF |＋|PF 1|＝6. 所以|P A |＋|PF |＝|P A |－|PF 1|＋6.利用－|AF 1|≤|P A |－|PF 1|≤|AF 1|(当P ，A ，F 1共线时等号成立)． 所以|P A |＋|PF |≤6＋2， |P A |＋|PF |≥6－ 2.故|P A |＋|PF |的最大值为6＋2，最小值为6－ 2. 答案：6＋2 6－2考点二 椭圆的标准方程及应用|方法突破[例2] (1)△ABC 的两个顶点为A (－4,0)，B (4,0)，周长为18，则C 点轨迹为( ) A.x 225＋y 29＝1(y ≠0) B.y 225＋x 29＝1(y ≠0) C.x 216＋y 29＝1(y ≠0) D.y 216＋x 29＝1(y ≠0) (2)已知椭圆C 1：x 24＋y 2＝1，椭圆C 2以C 1的长轴为短轴，且与C 1有相同的离心率．求椭圆C 2的方程．[解析] (1)(定义法)由A ，B 坐标可知|AB |＝8，由△ABC 的周长为18可知AC ＋BC ＝10，由椭圆的定义可知，点C 在焦点为A (4,0)，B (－4,0)，长半轴长为5的椭圆上运动，则椭圆方程为x 225＋y 29＝1，当点C 在横轴上时，点A ，B ，C 共线，不能构成三角形，所以y ≠0，所以点C 的轨迹方程为x 225＋y 29＝1(y ≠0)．(2)法一：(待定系数法)：由已知可设椭圆C 2的方程为y 2a 2＋x 24＝1(a >2)，其离心率为32，故a 2－4a ＝32，解得a ＝4，故椭圆C 2的方程为y 216＋x 24＝1.法二：(椭圆系法)：因椭圆C 2与C 1有相同的离心率，且焦点在y 轴上，故设C 2：y 24＋x 2＝k (k >0)，即y 24k ＋x 2k＝1. 又2k ＝2×2，故k ＝4， 故C 2的方程为y 216＋x 24＝1.[答案] (1)A [方法提升]求椭圆标准方程的方法[母题变式]1．本例(1)变为：一个椭圆的中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，P (2，3)是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则椭圆的方程为( )A.x 28＋y 26＝1 B.x 216＋y 26＝1 C.x 24＋y 22＝1 D.x 28＋y 24＝1 解析：设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．由点P (2，3)在椭圆上知4a 2＋3b 2＝1.又|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|，即2a ＝2×2c ，c a ＝12，又c 2＝a 2－b 2，联立⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋3b 2＝1，c 2＝a 2－b 2，c a ＝12.得a 2＝8，b 2＝6，故椭圆方程为x 28＋y 26＝1. 答案：A2．本例(2)变为：与椭圆x 24＋y 23＝1有相同离心率且经过点(2，－3)，求椭圆方程．解析：法一：因为e ＝ca ＝a 2－b 2a ＝1－b 2a2＝1－34＝12，若焦点在x 轴上，设所求椭圆方程为x 2m 2＋y 2n2＝1(m >n >0)，则1－⎝⎛⎭⎫n m 2＝14.从而⎝⎛⎭⎫n m 2＝34，n m ＝32. 又4m 2＋3n2＝1，所以m 2＝8，n 2＝6. 所以方程为x 28＋y 26＝1.若焦点在y 轴上，设方程为y 2h 2＋x 2k 2＝1(h >k >0)，则3h 2＋4k 2＝1，且k h ＝32， 解得h 2＝253，k 2＝254.故所求方程为y 2253＋x 2254＝1.法二：若焦点在x 轴上，设所求椭圆方程为 x 24＋y 23＝t (t >0)，将点(2，－3)代入，得 t ＝224＋(－3)23＝2.故所求方程为x 28＋y 26＝1. 若焦点在y 轴上，设方程为y 24＋x 23＝λ(λ>0)，代入点(2，－3)，得λ＝2512，故所求方程为y 2253＋x 2254＝1.考点三 椭圆的几何性质|模型突破角度1 求离心率(或范围)[例3] (1)若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点F 是抛物线y 2＝4x 的焦点，两曲线的一个交点为P ，且|PF |＝4，则该椭圆的离心率为( )A.7－23B.2＋13C.23D.12(2)已知F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，若椭圆C 上存在点P ，使得线段PF 1的中垂线恰好经过焦点F 2，则椭圆C 离心率的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫23，1B.⎣⎡⎦⎤13，22 C.⎣⎡⎭⎫13，1D.⎝⎛⎦⎤0，13 (3)已知F 1(－c,0)，F 2(c,0)为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 在椭圆上且满足PF 1→·PF 2→＝c 2，则此椭圆离心率的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫33，1B.⎣⎡⎦⎤33，22 C.⎣⎡⎦⎤13，12D.⎝⎛⎭⎫0，22 [解析] (1)(直接法)设P (x ，y )，由题意，得F (1,0)，|PF |＝x ＋1＝4，所以x ＝3，y 2＝12，则9a 2＋12b2＝1，且a 2－ 1＝b 2，解得a 2＝11＋47，即a ＝7＋2，则该椭圆的离心率e ＝c a ＝17＋2＝7－23.故选A.(2)(几何法)如图所示，∵线段PF 1的中垂线经过F 2，∴PF 2＝F 1F 2＝2c ，即椭圆上存在一点P ，使得PF 2＝2c . ∴a －c ≤2c ≤a ＋c .∴e ＝c a ∈⎣⎡⎭⎫13，1.故选C. (3)(直接法)设P (x ，y )，则x 2a 2＋y 2b 2＝1，y 2＝b 2－b 2a 2x 2，－a ≤x ≤a ，PF 1→＝(－c －x ，－y )，PF 2→＝(c －x ，－y )．所以PF 1→·PF 2→＝x 2－c 2＋y 2＝⎝⎛⎭⎫1－b 2a 2x 2＋b 2－c 2＝c 2a 2x 2＋b 2－c 2.因为－a ≤x ≤a ，所以b 2－c 2≤PF 1→·PF 2→≤b 2. 所以b 2－c 2≤c 2≤b 2.所以2c 2≤a 2≤3c 2. 所以33≤c a ≤22.故选B. [答案] (1)A (2)C (3)B [模型解法][高考类题]1．(2016·高考全国卷Ⅰ)直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为( )A.13B.12C.23D.34解析：|OB |为椭圆中心到l 的距离，设l 与椭圆交于顶点A 和焦点F ，则|OA |·|OF |＝|AF |·|OB |，即bc ＝a ·b 2，所以e ＝c a ＝12.故选B.答案：B角度2 根据椭圆性质求值或范围[例4] (1)已知点P 是椭圆x 216＋y 28＝1(x ≠0，y ≠0)上的一动点，F 1，F 2为椭圆的两个焦点，O 是坐标原点，若M 是∠F 1PF 2的平分线上的一点，且F 1M →·PM →＝0，则|OM →|的取值范围为( )A ．[0,3)B ．(0,22)C ．[22，3)D ．[0,4)(2)(2018·合肥质检)如图，焦点在x 轴上的椭圆x 24＋y 2b 2＝1的离心率e ＝12，F ，A 分别是椭圆的一个焦点和顶点，P 是椭圆上任意一点．则PF →·P A →的最大值为________．[解析] (1)由题意得c ＝22，当点P 在椭圆的短轴端点处时，M 与点O 重合，|OM →|取得最小值0；当点P 在椭圆的长轴端点处时，点M 与F 1重合，|OM →|取得最大值22，由于x ≠0，y ≠0，故|OM →|的取值范围是(0,22)．(2)设P 点坐标为(x 0，y 0)．由题意知a ＝2， ∵e ＝c a ＝12，c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝3.故所求椭圆方程为x 24＋y 23＝1.∴－2≤x 0≤2，－3≤y 0≤ 3.∵F (－1,0)，A (2,0)，PF →＝(－1－x 0，－y 0)， P A →＝(2－x 0，－y 0)，∴PF →·P A →＝x 20－x 0－2＋y 20＝14x 20－x 0＋1＝14(x 0－2)2. 即当x 0＝－2时，PF →·P A →取得最大值4. [答案] (1)B (2)4 [模型解法][高考类题]2．(2017·高考全国卷Ⅰ)设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2m ＝1长轴的两个端点．若C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则m 的取值范围是( )A ．(0,1]∪[9，＋∞)B ．(0，3]∪[9，＋∞)C ．(0,1]∪[4，＋∞)D ．(0，3]∪[4，＋∞)解析：依题意得，⎩⎪⎨⎪⎧3m ≥tan ∠AMB 20<m <3或⎩⎪⎨⎪⎧ m 3≥tan ∠AMB 2m >3，所以⎩⎪⎨⎪⎧3m ≥tan 60°0<m <3或⎩⎪⎨⎪⎧m 3≥tan 60°m >3，解得0<m ≤1或m ≥9.故选A. 答案：A3．(2014·高考福建卷)设P ，Q 分别为圆x 2＋(y －6)2＝2和椭圆x 210＋y 2＝1上的点，则P ，Q 两点间的最大距离是( )A ．5 2 B.46＋2 C ．7＋ 2D ．62 解析：设圆的圆心为C ，则C (0,6)，半径为r ＝2，点C 到椭圆上的点Q (10cos α，sin α)的距离|CQ |＝(10cos α)2＋(sin α－6)2＝46－9sin 2α－12sin α＝50－9(sin α＋23)2≤50＝52，当且仅当sin α＝－23时取等号，所以|PQ |≤|CQ |＋r ＝52＋2＝62，即P ，Q 两点间的最大距离是62，故选D.答案：D考点四 直线与椭圆的综合问题|方法突破[例5] (1)(2018·新乡模拟)已知椭圆x 22＋y 2＝1，则斜率为2的平行弦中点的轨迹方程为________．(2)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A ，B ，且长轴长为8，T 为椭圆上任意一点，直线TA ，TB 的斜率之积为－34.①求椭圆C 的方程；②设O 为坐标原点，过点M (0,2)的动直线与椭圆C 交于P ，Q 两点，求OP →·OQ →＋MP →·MQ →的取值范围．[解析] (1)设弦的两端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，中点为M (x 0，y 0)，则有x 212＋y 21＝1，x 222＋y 22＝1. 两式作差，得(x 2－x 1)(x 2＋x 1)2＋(y 2－y 1)(y 2＋y 1)＝0.因为x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0，y 2－y 1x 2－x 1＝k AB ，代入后求得k AB ＝－x 02y 0. 即2＝－x 02y 0，所以x 0＋4y 0＝0.故所求的轨迹方程为x ＋4y ＝0，将x ＋4y ＝0代入x 22＋y 2＝1得：x 22＋⎝⎛⎭⎫－x 42＝1，解得x＝±43，又中点在椭圆内，所以－43<x <43.(2)①设T (x ，y )，由题意知A (－4,0)，B (4,0)，设直线TA 的斜率为k 1，直线TB 的斜率为k 2，则k 1＝y x ＋4，k 2＝y x －4.由k 1k 2＝－34，得y x ＋4·y x －4＝－34，整理得x 216＋y 212＝1.故椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.②当直线PQ 的斜率存在时，设直线PQ 的方程为y ＝kx ＋2，点P ，Q 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，直线PQ 与椭圆方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧x 216＋y 212＝1y ＝kx ＋2，消去y ，得(4k 2＋3)x 2＋16kx －32＝0.所以x 1＋x 2＝－16k 4k 2＋3，x 1x 2＝－324k 2＋3.从而，OP →·OQ →＋MP →·MQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＋[x 1x 2＋(y 1－2)(y 2－2)]＝2(1＋k 2)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4＝－80k 2－524k 2＋3＝－20＋84k 2＋3.所以－20<OP →·OQ →＋MP →·MQ →≤－523.当直线PQ 的斜率不存在时，OP →·OQ →＋MP →·MQ →的值为－20. 综上，OP →·OQ →＋MP →·MQ →的取值范围为[－20，－523]．[答案] (1)x ＋4y ＝0⎝⎛⎭⎫－43<x <4 3 [方法提升][跟踪训练]1．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交椭圆于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )A.x 245＋y 236＝1 B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝1 解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入椭圆方程得⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，x 22a 2＋y22b 2＝1，两式相减得x 21－x 22a 2＋y 21－y 22b2＝0，∴x 1＋x 2a 2＋y 1－y 2x 1－x 2·y 1＋y 2b 2＝0.∵x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－2，k AB ＝－1－01－3＝12， ∴2a 2＋12×－2b 2＝0，即a 2＝2b 2. 又c ＝3＝a 2－b 2，∴a 2＝18，b 2＝9. ∴椭圆E 的方程为x 218＋y 29＝1.故选D.答案：D2．(2018·林州模拟)已知椭圆E ：x 24＋y 22＝1，直线l 交椭圆于A ，B 两点，若AB 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫12，－1，则l 的方程为( ) A ．2x ＋y ＝0 B ．x －2y －52＝0C ．2x －y －2＝0D ．x －4y －92＝0解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 214＋y 212＝1，x 224＋y 222＝1，两式作差并化简整理得y 1－y 2x 1－x 2＝－12·x 1＋x 2y 1＋y 2，而x 1＋x 2＝1，y 1＋y 2＝－2，所以y 1－y 2x 1－x 2＝14，直线l 的方程为y ＋1＝14⎝⎛⎭⎫x －12，即x －4y －92＝0.故选D.答案：D3．(2018·河北三市联考)已知离心率为63的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点为F ，过F且与x 轴垂直的直线与椭圆交于A 、B 两点，|AB |＝233. (1)求此椭圆的方程；(2)已知直线y ＝kx ＋2与椭圆交于C 、D 两点，若以线段CD 为直径的圆过点E (－1,0)，求k 的值．解析：(1)设焦距为2c ， ∵e ＝c a ＝63，a 2＝b 2＋c 2，∴b a ＝33， 由|AB |＝233，易知b 2a ＝33，∴b ＝1，a ＝3， ∴椭圆方程为x 23＋y 2＝1.(2)将y ＝kx ＋2代入椭圆方程，得(1＋3k 2)x 2＋12kx ＋9＝0，又直线与椭圆有两个交点，所以Δ＝(12k )2－36(1＋3k 2)>0，解得k 2>1.设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－12k 1＋3k 2，x 1x 2＝91＋3k 2， 若以CD 为直径的圆过E 点，则EC →·ED →＝0，即(x 1＋1)(x 2＋1)＋y 1y 2＝0，而y 1y 2＝(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝k 2x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4，则(x 1＋1)(x 2＋1)＋y 1y 2＝(k 2＋1)x 1x 2＋(2k ＋1)(x 1＋x 2)＋5＝9(k 2＋1)1＋3k 2－12k (2k ＋1)1＋3k 2＋5＝0， 解得k ＝76，满足k 2>1.1.[考点二、三、四](2016·高考全国卷Ⅲ)已知O 为坐标原点， F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( )A.13 B.12 C.23D.34解析：法一：设点M (－c ，y 0)，OE 的中点为N ，则直线AM 的斜率k ＝y 0a －c ，从而直线AM 的方程为y ＝y 0a －c (x ＋a )，令x ＝0，得点E 的纵坐标y E ＝ay 0a －c.同理，OE 的中点N 的纵坐标y N ＝ay 0a ＋c.因为2y N ＝y E ，所以2a ＋c ＝1a －c，即2a －2c ＝a ＋c ，所以e ＝c a ＝13.故选A.法二：如图，设OE 的中点为N ，由题意知|AF |＝a －c ，|BF |＝a ＋c ，|OF |＝c ，|OA |＝|OB |＝a ，∵PF ∥y 轴，∴|MF ||OE |＝|AF ||AO |＝a －c a ，|MF ||ON |＝|BF ||OB |＝a ＋ca， 又∵|MF ||OE |＝|MF |2|ON |，即a －c a ＝a ＋c 2a ，∴a ＝3c ，故e ＝c a ＝13.答案：A2.[考点一、二、三](2015·高考全国卷Ⅰ)已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为12，E的右焦点与抛物线C ：y 2＝8x 的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB |＝( )A ．3B ．6C ．9D ．12解析：抛物线C ：y 2＝8x 的焦点坐标为(2,0)，准线方程为x ＝－2.从而椭圆E 的半焦距c ＝2.可设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，因为离心率e ＝c a ＝12，所以a ＝4，所以b 2＝a 2－c 2＝12.由题意知|AB |＝2b 2a ＝2×124＝6.故选B. 答案：B。

椭圆的参数方程（北京习题集）（教师版）一．选择题（共3小题）1．（2012•西城区二模）椭圆3cos (5sin x y ϕϕϕ=⎧⎨=⎩是参数）的离心率是( ) A ．35B ．45C ．925D ．16252．（2003•朝阳区一模）已知椭圆()3,26x cos P y sin θπθθθ=⎧=⎨=⎩为参数点是时对应的点，则直线OP 的倾斜角为(O 为坐标原点）( )A ．B ．6π C ． D ．3．（2003•崇文区一模）方程2cos (3sin .x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数）所表示的曲线必经过点( ) A ．(0,2) B ．(1,3) C ．(2,3) D ．(2,0)二．填空题（共6小题）4．（2013•海淀区校级模拟）已知椭圆cos :()2sin x C R y θθθ=⎧∈⎨=⎩经过点1(,)2m ，则m = ，离心率e ． 5．（2011•西城区一模）已知椭圆cos :()2sin x C R y θθθ=⎧∈⎨=⎩经过点1(,)2m ，则m = ，离心率e = ．6．（2010春•东城区期末）已知224936x y +=，那么2x 的最大值为 ．7．（2010•顺义区一模）已知椭圆5cos (3sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数），将其化为直角坐标方程是 ．离心率e = ．8．（2009春•朝阳区期末）参数方程3cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩，(θ为参数）化为普通方程是 ．9．（2006秋•西城区期末）椭圆5cos ,(4sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数）的标准方程是 ，它的一个焦点到其相应准线的距离是 ．三．解答题（共1小题）10．（2014•海淀区校级模拟）若动点(,)P x y 在曲线2221(0)4x y b b+=>上变化，则22x y +的最大值为多少．椭圆的参数方程（北京习题集）（教师版）参考答案与试题解析一．选择题（共3小题）1．（2012•西城区二模）椭圆3cos (5sin x y ϕϕϕ=⎧⎨=⎩是参数）的离心率是( ) A ．35B ．45C ．925D ．1625【分析】把椭圆的参数化为普通方程为221925x y +=，求出a 、b 、c 的值，再根据离心率等于ce a=求得结果．【解答】解：椭圆3cos (5sin x y ϕϕϕ=⎧⎨=⎩是参数）消去参数化为普通方程为221925x y +=，5a ∴=，3b =，4c ∴=，45c e a ∴==， 故选：B ．【点评】本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法，本题主要考查椭圆的标准方程，以及简单性质的应用，属于基础题．2．（2003•朝阳区一模）已知椭圆()3,26x cos P y sin θπθθθ=⎧=⎨=⎩为参数点是时对应的点，则直线OP 的倾斜角为(O 为坐标原点）( ) A． B ．6π C． D．【分析】由条件求得点P 1)，设直线OP 的倾斜角为θ，可得OP的斜率为tan θ=．再由0θπ<，可得θ 的值．【解答】解：已知椭圆()3,26x cos P y sin θπθθθ=⎧=⎨=⎩为参数点是时对应的点，则点P 的坐标为(3cos 6π，2sin )6π，即点P 1)．设直线OP 的倾斜角为θ，故OP的斜率为tan θ==． 再由0θπ<，可得θ= 故选：A ．【点评】本题主要考查椭圆的参数方程，直线的倾斜角和斜率，属于中档题．3．（2003•崇文区一模）方程2cos (3sin .x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数）所表示的曲线必经过点( ) A ．(0,2) B ．(1,3) C ．(2,3) D ．(2,0)【分析】把方程2cos (3sin .x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数）消去参数化为普通方程为22149x y +=，从而得出结论．【解答】解：把方程2cos (3sin .x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数）消去参数化为普通方程为22149x y +=，显然方程表示的图象经过点(2,0)， 故选：D ．【点评】本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法，图象过定点问题，属于中档题． 二．填空题（共6小题）4．（2013•海淀区校级模拟）已知椭圆cos :()2sin x C R y θθθ=⎧∈⎨=⎩经过点1(,)2m ，则m = ，离心率e ．【分析】利用三角函数的平方关系，将参数方程化成标准方程得2214y x +=．由此不难根据椭圆的有关公式求出椭圆的离心率，再将点1(,)2m 代入椭圆方程，解之即可得到实数m 的值．【解答】解：由椭圆cos :2sin x C y θθ=⎧⎨=⎩，得cos x θ=，sin 2yθ=22cos sin 1θθ+=，22()12yx ∴+=，所以椭圆C 的方程为2214y x +=点1(,)2m 在椭圆上，∴221()214m +=，解之得m =24a =，21b =，c ∴所以椭圆的离心率e故答案为：【点评】本题给出椭圆的参数方程，求椭圆的离心率和椭圆上点的坐标，着重考查了参数方程与普通方程的互化和椭圆的简单几何性质等知识，属于基础题．5．（2011•西城区一模）已知椭圆cos :()2sin x C R y θθθ=⎧∈⎨=⎩经过点1(,)2m ，则m = ，离心率e = ．【分析】先把参数方程化为普通方程，求出a 、b 、c 、的值，可得e 的值；把点1(,)2m 代入椭圆的方程，求出m 值．【解答】解：椭圆cos :()2sin x C R y θθθ=⎧∈⎨=⎩即 2214y x +=，2a ∴=，1b =，c =，c e a ∴=把点1(,)2m 代入椭圆的方程可得，21116m +=，m =，故答案为：．【点评】本题考查把参数方程化为普通方程的方法，椭圆的简单性质的应用，属于中档题．6．（2010春•东城区期末）已知224936x y +=，那么2x 的最大值为【分析】根据椭圆的方程可设3cos x θ=，2sin y θ=，则由 26cos x θ=-sin θ=sin(3πθ-)43，得到2x 的最大值．【解答】解：224936x y += 即22194x y +=，设3cos x θ=，2sin y θ=，则26cos x θ=-sin θ= 1cos sin )2θθ-= sin(3πθ-)，故2x 的最大值等于故答案为：【点评】本题考查椭圆的参数方程，两角差的正弦公式，正弦函数的值域，得到2x =sin(3πθ-)，是解题的关键7．（2010•顺义区一模）已知椭圆5cos (3sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数），将其化为直角坐标方程是 221259x y += ．离心率e = ． 【分析】利用同角三角函数的关系消去参数θ得到椭圆的直角坐标方程，再根据离心率的定义直接可求得．【解答】解：消去参数θ，可得221259x y +=5a ∴=，3b =，4c =45c e a ==， 故答案为221259x y +=，45．【点评】本题主要考查了椭圆的参数方程，以及椭圆的简单性质，属于基础题．8．（2009春•朝阳区期末）参数方程3cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩，(θ为参数）化为普通方程是 221916x y += ．【分析】由参数方程解出1cos 31sin 4x y θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，利用22cos sin 1θθ+=化简，即得所求椭圆的普通方程．【解答】解：由参数方程3cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩，得1cos 31sin 4x yθθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩22cos sin 1θθ+=，2211()()134x y ∴+=，化简得221916x y +=，即为椭圆的普通方程 故答案为：221916x y +=【点评】本题给出椭圆的参数方程，求它的普通方程．着重考查了同角三角函数的关系和椭圆的参数方程与普通方程互化等知识，属于基础题．9．（2006秋•西城区期末）椭圆5cos ,(4sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数）的标准方程是 2212516x y += ，它的一个焦点到其相应准线的距离是 ．【分析】由题意将椭圆先化为一般方程坐标，然后再计算它的一个焦点到其相应准线的距离． 【解答】解：椭圆5cos ,(4sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数），∴cos 5x θ=，sin 4yθ=，将方程两边平方相加， ∴2212516x y +=，5a ∴=，4b =，3c = ∴相应准线方程为：2253a x c ==， 焦点为(3,0)，∴它的一个焦点到其相应准线的距离是：2516333-=． 故答案为：2212516x y +=，163．【点评】此题考查椭圆方程的性质及焦点的坐标公式和参数方程与普通方程的区别和联系，两者要会互相转化，根据实际情况选择不同的方程进行求解，这也是每年高考必考的热点问题． 三．解答题（共1小题）10．（2014•海淀区校级模拟）若动点(,)P x y 在曲线2221(0)4x y b b+=>上变化，则22x y +的最大值为多少．【分析】利用三角换元，设点(2cos ,sin )P b θθ，22224cos 2sin 4sin 2sin 4x y b b θθθθ+=+=-++，再利用换元法，设sin t θ=，(11)t -，从而转化为二次函数的值域问题，由于对称轴4bt =，故进行分类讨论．【解答】解：设点(2cos ,sin )P b θθ，22224cos 2sin 4sin 2sin 4x y b b θθθθ+=+=-++ 令22T x y =+，sin t θ=，(11)t -，2424T t bt =-++，(0)b >，对称轴4b t = 当14b>，即4b >时，1t =时，2max T b =； 当014b<，即04b <时，24|44max b t b T T ===+∴224,04(2)42,4maxb b x y b b ⎧+<⎪+=⎨⎪>⎩【点评】本题以曲线为载体，考查代数式的最值，考查换元思想，解题的关键是利用二次函数的最值研究方法进行分类讨论．。

椭圆1.已知椭圆C ：22143x y +=的右焦点为F ，P 为椭圆C 上一动点，定点A (2，4)，则|PA |－|PF |的最小值为________．2．（多选题）已知椭圆E ：x 236＋y 220＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，定点A (1，4)，若点P 是椭圆E 上的动点，则|PA |＋|PF 1|的值可能为()A ．7B ．10C ．17D ．193.已知P 为椭圆2212516x y +=上的一点，若M ，N 分别是圆22(3)2x y ++=和22(3)1x y -+=上的点，则||||PM PN +的最大值为________．4.已知12,F F 是椭圆22143x y +=的左、右焦点，P 在椭圆上运动，求1211PF PF +的最小值为___．5.设F 1，F 2为椭圆y 29＋x 24＝1的两个焦点，P 为椭圆上任一点，已知P ，F 1，F 2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF 1|>|PF 2|，则|PF 1||PF 2|的值为________．6.（多选题）已知椭圆C ：221169x y +=的左，右焦点为F 1，F 2，点P 为椭圆C 上的动点（P 不在x 轴上），则（）A ．椭圆C 的焦点在x 轴上B ．△PF 1F 2的周长为C ．|PF 1|的取值范围为[94，4）D ．tan ∠F 1PF 2的最大值为7.已知点P 是椭圆x 216＋y 24＝1上一点，其左、右焦点分别为F 1，F 2，若△F 1PF 2外接圆的半径为4，则△F 1PF 2的面积是()A.433B ．43C ．4 D.433或438.已知椭圆C :22143x y +=焦点为1F ，2F ，第一象限点P 在C 上，且1294PF PF ⋅= ，则12PF F △内切圆半径为_________.9.设椭圆2214x y +=的左、右焦点分别为12,F F ，M 是椭圆上异于长轴端点的一点，212F MF θ=∠，12MF F △的内心为I ，则||cos MI θ=（）A ．2B ．12C ．2D ．2210.椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>左右焦点分别为1F ，2F ，P 为C 上除左右端点外一点，若121cos 2PF F ∠=，211cos 3PF F ∠=，则椭圆C 的离心率为（）ABCD 11.设点F 1，F 2分别为椭圆C ：x 29＋y 25＝1的左、右焦点，点P 为椭圆C 上任意一点，则使得PF 1→·PF 2→＝2成立的点P 的个数为()A ．0B ．1C ．2D ．412.P 为椭圆22198x y +=上任意一点，AB 为圆()22:11C x y -+=的任意一条直径，则PA PB ⋅ 取值范围是____________．13.（多选题）如图，已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是E 上异于顶点的一动点，圆I （圆心为I ）与12PF F △的三边1PF ，12F F ，2PF 分别切于点A ，B ，C ，延长PI 交x 轴于点D ，作1DH PF ⊥交1PF 于点H ，则（）．A ．12PF PF +为定值B ．12PF PF ⋅为定值C ．PA 为定值D ．PH 为定值14.已知椭圆2222:+=1(>>0)x y C a b a b的两个焦点为12,F F ，过1F 的直线与C 交于,A B 两点.若113AF F B =，2112=2,AF BF AF F 的面积为315，则a 的值为（）A ．4B ．3C ．5D ．6。