matlab数值分析插值

y1 y2 ... yn




• 这个线性方程组的系数矩阵记为V，也被称为范德
尔蒙（Vandermonde）矩阵，该矩阵的各个元素
为
vk, j

xn j k
• 上述范德尔蒙矩阵的各列，有时也按相反的顺序 排列，但在MATLAB中，多项式系数向量，通常 按从高次幂到低次幂排列。
于n+1的多项式，使其图形经过这些点。
很容易看出，数据点的数目n+1也是多项式系数 的个数。尽管，一些首项的系数可能是零，但多项式 的次数实际上也小于n。同样，这个多项式，有多种 不同的公式表达，但它们都对应同一个直线图形。
这样的多项式称为插值多项式，它可以准确的 重新计算出初始给定的数据：
P(xk ) yk , k 1,..., n
(6)
(2)
(2)
(6)
• 一个多项式通常不用拉格朗日形式表示，它更 常见的写成类似
x3 2x 5
• 的形式。其中简单的x的次方项称为单项式， 而多项式的这种形式称为使用幂形式的多项式。
• 插值多项式使用幂形式表示为
P(x) c1xn1 c2xn2 ... cn1x cn

x xk xk 1 xk
• 的线性组合得到，其系数分别为yk和yk+1，即
L1(x) yklk (x) yk1lk1(x)
• 显然， lk（x）及lk+1（x）也是线性插值多项式， 在节点xk及xk+1上满足条件
lk (xk ) 1, lk (xk1) 0;
lk1(xk ) 0, lk1(xk1) 1
表示插值多项式的最紧凑的方式是拉格朗日形式
P(x)
k
(
jk
x xk
xj xj
)
yk
例如，考虑下面一组数据
x=0:3;
y=[-5 -6 -1 16];
输入命令
disp([x;y])
其输出为
0
1
2
3
-5 -6 -1 16
这些数据的拉格朗日形式的多项式插值为
P(x) (x 1)(x 2)(x 3) (5) x(x 2)(x 3) (6) x(x 1)(x 3) (1) x(x 1)(x 2) (16)
L1(x)
yk
yk1 yk xk1 xk
(x xk )
(点斜式)
L1(x)
xk1 x xk1 xk
yk

x xk xk1 xk
yk 1
(两点式)
• 由两点式可以看出，L1（x）是由两个线性函数
lk (x)

xk1 x xk1 xk
, lk1(x)
•wenku.baidu.com
x0<x1<…<xn
上满足条件
1,k
j;
lj (xk ) 0,k j. ( j,k 0,1,...,n)
(2)
• 就称这n+1个n次多项式l0(x), l1(x),…, ln(x)为节点 x0，x1，…，xn上的n次插值基函数。
• 用类似的推导方法，可得到n次插值基函数为
lk
• 我们称函数lk（x）与lk+1（x）为线性插值基函数。
• 这种用插值基函数表示的方法推广到一般情形，以 下讨论如何构造通过n+1个节点x0<x1<…<xn的n次 插值多项式Ln（x），假定它满足条件
Ln (xj ) yj ,( j 0,1,..., n)
(1)
• 若n次多项式lj（x）（j=0,1,…,n）在n+1个节点
• 其中的系数，原则上可以通过求解下面的线性代 数方程组得到。


x1n x2n
1 1
xn2 1
...
xn2 2
...
... ... ...
xnn1
xn2 n
...
x1 x2 ... xn
1 1 1 1




c1 c2 ... cn




• 3.1 插值多项式 • 3.2 分段线性插值 • 3.3 分段三次埃米特插值 • 3.4 保形分段三次插值 • 3.5 三次样条 • 3.6 pchiptx，splinetx • 3.7interpgui
3.1插值多项式
平面上的任意两点（x1，y1）和（x2，y2）,只 要x1≠x2,就为以确定一个关于x的一次多项式, 其图形经过这两点。对于这个多项式，有多种 不同的公式表达，但它们都对应同一个直线图 形。
v=interp（x，y，u） 前两个参数，x和y，是长度相同的向量，它们定义了插值 点。第三个参数u，为要计算函数值的范围上的点组成的 向量。输出向量v和u长度相等， 其分量v（k）=interp（x，y，u（k））。 第一个这样的插值函数是polyinterp，它基于拉格朗日形式。
两个点时，假定给定区间[xk,xk+1]及端点函数值 yk=f（xk），yk+1=f（xk+1），要求线性插值多项式 L1（x），使它满足
L1（xk）=yk，L1（xk+1）=yk+1
y=L1（x）的几何意义就是通过两点(xk，yk)与
（xk+1 ，yk+1) 的直线， L1（x）的表达式可由几何意义 直接给出
(x)

(x x0 )...(x (xk x0 )...(xk

xk1)(x xk1)...(x xk 1)(xk xk 1)...(xk
xn ) xn )
(k 0,1,..., n)
• 显然它满足条件（1）式。于是满足条件（1）的插 值多项式Ln（x）可表示为
• MATLAB中的函数vander可生成范德尔蒙矩阵， 例如对于前面的那组数据，
V=vander(x)
生成
V=
0
0
0
1
1
1
1
1
8
4
2
1
27
9
3
1
然后，输入命令
c=V\y'
计算出插值系数
c=
1.0000
0.0000
-2.0000
-5.0000
能实现各种插值算法的MATLAB函数 它们都采用下面的调用格式
n
Ln (x) yklk (x) (3)
0
• 由lk（x）的定义知
n
Ln (x j ) yklk (x j ) y j
0
( j 0,1,..., n)
• 形如（3）式的插值多项式Ln（x）称为拉格朗日插 值多项式。
则对于平面上有着不同xk值的n+1个点,（xk， yk）， k=0，1, …,n,存在唯一一个关于x的次数小