理论力学作业-第五章 刚体动力学的基本概念

理论力学中的刚体运动与角速度的计算刚体是指具有一定形状和大小，其内部各点间相对位置不会发生改变的物体。

在理论力学研究中，刚体运动是一个重要且常见的问题，其中角速度的计算是关键的一部分。

本文将介绍刚体运动的基本概念和相关计算方法。

一、刚体运动的基本概念刚体的运动可以分为平动和转动两种形式。

平动是指刚体整体沿直线运动，而转动则是刚体围绕某个轴旋转运动。

在刚体转动的过程中，角速度是一个重要的物理量。

角速度表示刚体某一点在单位时间内绕轴旋转的角度。

通常用符号ω表示，计量单位是弧度/秒。

二、角速度的计算方法1. 定义式计算：对于旋转角速度恒定的情况，可以通过定义式计算角速度。

角速度ω等于单位时间内转过的弧长与转动所需时间的比值。

ω = Δθ / Δt其中，Δθ是转过的弧长，Δt是转动所需时间。

2. 瞬时角速度计算：在某一时刻的瞬时角速度等于通过该点的切线所确定的线速度与该点到轴的距离之比。

即，ω = v / r其中，v表示质点在切线方向上的线速度，r表示质点到该轴的距离。

3. 利用转动惯量计算：转动惯量是刚体抵抗转动的特性参数。

利用转动惯量的计算公式，可以推导出角速度的表达式。

比如，对于圆盘形刚体绕垂直于其平面并通过质心的轴转动的情况，转动惯量I和角速度的关系公式为：Iω = L其中，I表示转动惯量，L表示刚体的角动量。

三、刚体运动与角速度的应用角速度的计算在刚体运动的分析和应用中发挥着重要作用。

下面以两个实例介绍其应用。

实例一：自转的地球地球自转是一个典型的刚体运动问题。

地球自转一周的周期是24小时。

将地球看作一个近似的刚体，其转动惯量与角速度的乘积等于地球的角动量。

通过计算地球的转动惯量和已知的角动量，可以求得地球的角速度。

实例二：陀螺稳定陀螺是另一个常见的刚体运动问题。

陀螺的稳定性与其角速度密切相关。

通过计算陀螺的角速度，可以分析陀螺的稳定性，并设计出能够保持平衡的陀螺。

总结：刚体运动与角速度的计算是理论力学中的重要内容。

第五章思考题5.1虚功原理中的“虚功”二字作何解释？用虚功原理理解平衡问题，有何优点和缺点？5.2 为什么在拉格朗日方程中，a θ不包含约束反作用力？又广义坐标与广义力的含义如何？我们根据什么关系由一个量的量纲定出另一个量的量纲?5.3广义动量a p 和广义速度a q &是不是只相差一个乘数m ？为什么a p 比aq &更富有意义？ 5.4既然aq T &∂∂是广义动量，那么根据动量定理，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂αq T dt d &是否应等于广义力a θ？为什么在拉格朗日方程()14.3.5式中多出了a q T ∂∂项？你能说出它的物理意义和所代表的物理量吗？5.5为什么在拉格朗日方程只适用于完整系？如为不完整系，能否由式()13.3.5得出式()14.3.5？5.6平衡位置附近的小振动的性质，由什么来决定？为什么22s 个常数只有2s 个是独立的？5.7什么叫简正坐标？怎样去找？它的数目和力学体系的自由度之间有何关系又每一简正坐标将作怎样的运动？5.8多自由度力学体系如果还有阻尼力，那么它们在平衡位置附近的运动和无阻尼时有何不同？能否列出它们的微分方程？5.9 dL 和L d 有何区别？a q L ∂∂和aq L ∂∂有何区别？ 5.10哈密顿正则方程能适用于不完整系吗？为什么？能适用于非保守系吗？为什么？5.11哈密顿函数在什么情况下是整数？在什么情况下是总能量？试祥加讨论，有无是总能量而不为常数的情况？5.12何谓泊松括号与泊松定理？泊松定理在实际上的功用如何？5.13哈密顿原理是用什么方法运动规律的？为什么变分符号δ可置于积分号内也可移到积分号外？又全变分符号∆能否这样？5.14正则变换的目的及功用何在？又正则变换的关键何在？5.15哈密顿-雅可比理论的目的何在？试简述次理论解题时所应用的步骤.5.16正则方程()15.5.5与()10.10.5及()11.10.5之间关系如何？我们能否用一正则变换由前者得出后者？5.17在研究机械运动的力学中，刘维定理能否发挥作用？何故？5.18分析力学学完后，请把本章中的方程和原理与牛顿运动定律相比较，并加以评价.第五章思考题解答5.1 答：作.用于质点上的力在任意虚位移中做的功即为虚功，而虚位移是假想的、符合约束的、无限小的.即时位置变更，故虚功也是假想的、符合约束的、无限小的.且与过程无关的功，它与真实的功完全是两回事.从∑⋅=ii i r F W ρρδδ可知：虚功与选用的坐标系无关，这正是虚功与过程无关的反映；虚功对各虚位移中的功是线性迭加，虚功对应于虚位移的一次变分.在虚功的计算中应注意：在任意虚过程中假定隔离保持不变，这是虚位移无限小性的结果.虚功原理给出受约束质点系的平衡条件，比静力学给出的刚体平衡条件有更普遍的意义；再者，考虑到非惯性系中惯性力的虚功，利用虚功原理还可解决动力学问题，这是刚体力学的平衡条件无法比拟的；另外，利用虚功原理解理想约束下的质点系的平衡问题时，由于约束反力自动消去，可简便地球的平衡条件；最后又有广义坐标和广义力的引入得到广义虚位移原理，使之在非纯力学体系也能应用，增加了其普适性及使用过程中的灵活性.由于虚功方程中不含约束反力.故不能求出约束反力，这是虚功原理的缺点.但利用虚功原理并不是不能求出约束反力，一般如下两种方法：当刚体受到的主动力为已知时，解除某约束或某一方向的约束代之以约束反力；再者，利用拉格朗日方程未定乘数法，景观比较麻烦，但能同时求出平衡条件和约束反力.5.2 答 因拉格朗日方程是从虚功原理推出的，而徐公原理只适用于具有理想约束的力学体系虚功方程中不含约束反力，故拉格朗日方程也只适用于具有理想约束下的力学体系，αθ不含约束力；再者拉格朗日方程是从力学体系动能改变的观点讨论体系的运动，而约束反作用力不能改变体系的动能，故αθ不含约束反作用力，最后，几何约束下的力学体系其广义坐标数等于体系的自由度数，而几何约束限制力学体系的自由运动，使其自由度减小，这表明约束反作用力不对应有独立的广义坐标，故αθ不含约束反作用力.这里讨论的是完整系的拉格朗日方程，对受有几何约束的力学体系既非完整系，则必须借助拉格朗日未定乘数法对拉格朗日方程进行修正.广义坐标市确定质点或质点系完整的独立坐标，它不一定是长度，可以是角度或其他物理量，如面积、体积、电极化强度、磁化强度等.显然广义坐标不一定是长度的量纲.在完整约束下，广义坐标数等于力学体系的自由度数；广义力明威力实际上不一定有力的量纲可以是力也可以是力矩或其他物理量，如压强、场强等等，广义力还可以理解为；若让广义力对应的广义坐标作单位值的改变，且其余广义坐标不变，则广义力的数值等于外力的功由W q r F s i ni i δδθδααα==⋅∑∑==11ρρ知，ααδθq 有功的量纲，据此关系已知其中一个量的量纲则可得到另一个量的量纲.若αq 是长度，则αθ一定是力，若αθ是力矩，则αq 一定是角度，若αq 是体积，则αθ一定是压强等.5.3 答 αp 与αq &不一定只相差一个常数m ，这要由问题的性质、坐标系的选取形式及广义坐标的选用而定。

理论力学的基本概念与原理理论力学是物理学的重要分支，它研究物体的运动规律和力的作用原理。

本文将介绍理论力学的基本概念与原理，包括质点与刚体的运动、牛顿三大定律、动能定理和动量守恒定律。

一、质点与刚体的运动在理论力学中，质点与刚体被认为是物体的简化模型。

质点是不具有大小和形状的点，刚体则是一个不变形的物体。

质点的运动可以用坐标表示，而刚体的运动则包括平动和转动。

二、牛顿三大定律牛顿三大定律是理论力学的基石，它们描述了物体的运动规律和力的作用原理。

1. 第一定律：也称为惯性定律，它表明物体在不受力作用时将保持静止或匀速直线运动。

2. 第二定律：也称为动力学定律，它表明物体的加速度与作用在物体上的力成正比，与物体的质量成反比。

即F=ma，其中F表示作用力，m表示物体的质量，a表示物体的加速度。

3. 第三定律：也称为作用-反作用定律，它表明任何两个物体之间都会相互施加大小相等、方向相反的作用力。

三、动能定理动能定理描述了力对物体进行功的过程。

根据动能定理，物体的变动动能等于作用在物体上的合外力所做的功。

动能定理可以用公式表示为：W=ΔKE，其中W表示外力所做的功，ΔKE表示物体动能的变化量。

四、动量守恒定律动量守恒定律是理论力学中的一个重要原理，它描述了系统的总动量在没有外力作用时将保持不变。

根据动量守恒定律，一个系统中各个物体的动量之和在碰撞或相互作用前后保持不变。

综上所述，理论力学的基本概念与原理包括质点与刚体的运动、牛顿三大定律、动能定理和动量守恒定律。

通过研究这些基本概念和原理，我们能够更好地理解和描述物体的运动规律和力的作用原理。

理论力学在解决力学问题、预测物体运动、设计工程等方面具有重要的应用价值。

希望本文对读者理解和掌握理论力学有所帮助。

第二篇动力学第五章刚体动力学的基本概念第二篇动力学第五章刚体动力学的基本概念一、目的要求1．深入地理解力、刚体、平衡和约束等重要概念。

2．静力学公理（或力的基本性质）是静力学的理论基础，要求深入理解。

3.能正确地将力沿坐标轴分解和求力在坐标轴上的投影，对合力投影定理有清晰的理解。

4. 理解力对点之矩的概念，并能熟练地计算。

5．深入理解力偶和力偶矩的概念，明确力偶的性质和力偶的等效条件。

6．明确和掌握约束的基本特征及约束反力的画法。

7．熟练而正确地对单个物体与物体系统进行受力分析，画出受力图。

二、基本内容1．重要概念1）平衡：物体机械运动的一种特殊状态。

在静力学中，若物体相对于地面保持静止或作匀速直线平动，则称物体处于平衡。

2）刚体：在力作用下不变形的物体。

刚体是静力学中的理想化力学模型。

3）约束：对非自由体的运动所加的限制条件。

在刚体静力学中指限制研究对象运动的物体。

约束对非自由体施加的力称为约束反力。

约束反力的方向总是与约束所能阻碍的物体的运动或运动趋势的方向相反。

4）力：物体之间的相互机械作用。

其作用效果可使物体的运动状态发生改变和使物体产生变形。

前者称为力的运动效应或外效应，后者称为力的变形效应或内效应，理论力学只研究力的外效应。

力对物体作用的效应取决于力的大小、方向、作用点这三个要素，且满足平行四边形法则，故力是定位矢量。

5）力的分类：集中力、分布力；主动力、约束反力6）力系：同时作用于物体上的一群力称为力系。

按其作用线所在的位置，力系可以分为平面力系和空间力系，按其作用线的相互关系，力系分为共线力系、平行力系、汇交力系和任意力系等等。

7）等效力系：分别作用于同一刚体上的两组力系，如果它们对该刚体的作用效果完全相同，则此两组力系互为等效力系。

8）平衡力系：若物体在某力系作用下保持平衡，则称此力系为平衡力系。

9）力的合成与分解：若力系与一个力FR 等效，则力FR 称为力系的合力，而力系中的各力称为合力FR 的分力。

第五张 刚体力学平动中见彼此,转动中见分高低.运动美会让你感受到制造的乐趣.走过这遭,或许会有曾经沧海难为水的感叹.别忘了,坐标变换将为你迷津救渡,同时亦会略显身手.【要点分析与总结】1 刚体的运动（1）刚体内的任一点的速度、加速度（A 为基点）A r υυω'=+⨯()()A d r a a r dtωωω'⨯'=++⨯⨯ （2）刚体内的瞬心S ：()21s A A r r ωυω=+⨯〈析〉ω为基点转动的矢量和，12ωωω=++A r r r '=+dr dtυ=*A A A dr dr d r r r dt dt dt υωυω''''=+=++⨯=+⨯ ()A d r d d a dt dt dtωυυ'⨯==++()r ωω'⨯⨯ 值得注意的是：有转动时r '与r ω'⨯的微分，引入了r ω'⨯与()r ωω'⨯⨯项。

2 刚体的动量，角动量，动能 （1）动量：c P m υ=（2）角动量： x x xx xy xz i i i y yxyy yz y zx zyzz z z L J J J L r m L J J J J J J J L ωυωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎪=⨯===-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑式中：转动惯量()()()222222xx yy zz J y z dmJ z x dm J x y dm ⎧=+⎪⎪=+⎨⎪=+⎪⎩⎰⎰⎰惯量积xx yy zz J xydm J yzdm J zxdm ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩⎰⎰⎰且c c cL r m L υ'=⨯+* l e 方向（以l 为轴）的转动惯量：(),,l l J e J e J ααβγβγ⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭222222xx yy zz yz zx xy J J J J J J αβγβγγααβ=++---（,,αβγ别离为l e 与,,x y z 轴夹角的余弦） * 惯量主轴惯量主轴能够是对称轴或对称面的法线若X 轴为惯量主轴，那么含X 的惯量积为0，即: 0==xy xz J J 若,,x y z 轴均为惯量主轴，那么:xx yy zz L J i J j J k =++ 〈析〉成立的坐标轴轴应尽可能的是惯量主轴，如此会降低解题繁度。

考研理论力学知识点梳理理论力学作为计算力学的基础学科，是研究物体运动状态和运动规律的学科。

它包括刚体力学、连续体力学和流体力学等内容。

在考研中，理论力学是一个重要的科目，掌握其中的知识点对于考生来说至关重要。

本文将对考研理论力学的知识点进行梳理和总结。

一、刚体力学刚体是一个可以看作是集合在一起并且彼此不能改变相对位置的质点的系统。

在刚体力学中，主要有以下几个知识点需要掌握：1. 平面运动和空间运动：- 平面运动包括平面内运动和平面外运动，分别可以通过平面极坐标和空间直角坐标进行描述。

- 空间运动则需要通过空间直角坐标进行描述，包括平动、转动和一般运动三种情况。

2. 刚体的运动学关系：- 刚体的位移、速度、加速度之间存在一些重要的关系，如刚体的加速度等于刚体的角加速度与刚体中心的半径之积。

3. 刚体的动力学关系：- 刚体的动力学关系可以通过牛顿第二定律进行描述，即物体所受合外力等于物体的质量乘以加速度。

4. 刚体的静力学关系：- 刚体的静力学关系包括平衡条件和稳定条件，通过受力分析和力矩的平衡条件可以求解刚体的平衡问题。

二、连续体力学连续体力学是研究连续介质（如弹性体、流体等）内部相互作用和响应的学科。

在连续体力学中，需要掌握以下几个知识点：1. 物质描述和空间描述：- 物质描述是以质点的某一点或一组点为参考，通过观测质点在任意时刻的位置来描述运动状态。

- 空间描述则是以空间中某个点为参考，通过观测该点与周围点之间的变形和位移来描述运动状态。

2. 连续介质的性质：- 连续介质的性质包括连续性、物质存在性以及物质划分的单元等。

3. 连续介质的运动规律：- 连续介质的运动规律可以通过质点的导数来表示，如速度场的梯度代表速度场的变化率。

4. 连续介质的动力学方程：- 连续介质的动力学方程包括质量守恒、动量守恒和能量守恒三个方程，通过这些方程可以求解介质的运动问题。

三、流体力学流体力学是研究流体（包括液体和气体）的运动规律和力学性质的学科。

理论力学中的基本概念和原理解析理论力学是研究物体运动的规律和力的作用的学科，它是物理学的基础和核心之一。

在理论力学中，有许多基本概念和原理，它们是我们理解和解释物体运动的重要工具。

本文将对理论力学中的一些基本概念和原理进行解析。

1. 质点和刚体在理论力学中，我们通常将物体简化为质点或刚体来进行研究。

质点是指物体的质量集中在一个点上，忽略物体的大小和形状。

刚体是指物体内部各点之间的相对位置保持不变，不发生形变。

2. 运动的描述为了描述物体的运动，我们需要引入坐标系和参考系。

坐标系是用来描述物体位置的系统，常见的有直角坐标系和极坐标系。

参考系是用来描述物体相对于其他物体的运动的系统，常见的有惯性参考系和非惯性参考系。

3. 牛顿定律牛顿定律是理论力学的基石，它描述了物体受力和运动之间的关系。

牛顿第一定律，也称为惯性定律，指出物体在没有外力作用时保持静止或匀速直线运动。

牛顿第二定律，也称为动力学定律，指出物体受力与加速度之间的关系，力等于质量乘以加速度。

牛顿第三定律，也称为作用-反作用定律，指出任何作用力都会有一个相等大小、方向相反的反作用力。

4. 动能和势能在理论力学中，我们还引入了动能和势能的概念。

动能是物体由于运动而具有的能量，它与物体的质量和速度有关。

势能是物体由于位置而具有的能量，它与物体的位置和力的性质有关。

在物体运动过程中，动能和势能可以相互转化。

5. 动量和角动量动量是物体运动的量度，它等于物体的质量乘以速度。

根据牛顿第二定律，力等于质量乘以加速度，所以力也可以理解为动量的变化率。

角动量是物体绕某一轴旋转时的量度，它等于物体的质量乘以角速度。

6. 能量守恒和动量守恒在理论力学中，能量守恒和动量守恒是非常重要的原理。

能量守恒指出在一个孤立系统中，能量的总量保持不变，只能从一种形式转化为另一种形式。

动量守恒指出在一个孤立系统中，动量的总量保持不变，只能在物体之间相互转移。

7. 平衡和稳定性在理论力学中，我们还研究物体的平衡和稳定性。

什么是理论力学中的刚体动力学？在我们探索理论力学的广袤领域时，刚体动力学就像一座神秘而重要的城堡，等待着我们去揭开它的面纱。

那么，究竟什么是理论力学中的刚体动力学呢？简单来说，刚体动力学研究的是刚体在力的作用下的运动规律。

刚体，就是在运动中和受力作用后，形状和大小都不发生改变的物体。

想象一下一块坚硬无比的金属块，无论我们怎么对它施加力，它都不会像面团一样变形，这就是刚体的概念。

在日常生活中，我们能看到很多刚体动力学的例子。

比如一辆飞驰的汽车，车轮的转动、车身的前进，都受到刚体动力学的支配。

再比如旋转的摩天轮，每个轿厢都可以看作是一个刚体，其运动轨迹和速度的变化都遵循着刚体动力学的原理。

刚体动力学中，有几个关键的概念和定律。

首先是力，力是改变物体运动状态的原因。

当一个力作用在刚体上时，会产生加速度，使刚体的运动状态发生改变。

比如推动一个静止的箱子，箱子会在推力的作用下开始移动。

其次是力矩。

力矩是力使物体绕着某个轴转动的趋势。

当一个力不通过物体的质心时，就会产生力矩，导致物体发生转动。

比如用扳手拧螺丝，就是通过施加力矩来使螺丝转动。

然后是转动惯量。

它类似于质量在平动中的作用，是衡量刚体绕轴转动时惯性大小的物理量。

不同形状和质量分布的刚体，转动惯量是不同的。

例如，一个质量分布离轴较远的圆盘，其转动惯量就比质量分布靠近轴的圆盘要大。

牛顿运动定律在刚体动力学中也有相应的扩展。

牛顿第一定律指出，刚体在没有受到外力或所受合外力为零时，将保持静止或匀速直线运动状态。

而牛顿第二定律则表明，刚体所受的合外力等于其质量与加速度的乘积。

对于转动的刚体，也有类似的定律，合外力矩等于转动惯量与角加速度的乘积。

在解决刚体动力学问题时，我们通常需要建立合适的坐标系。

常见的有直角坐标系和极坐标系。

通过对刚体的受力分析，列出相应的运动方程，然后求解这些方程，就可以得到刚体的运动状态，比如速度、加速度、角速度、角加速度等。

让我们通过一个简单的例子来感受一下刚体动力学的应用。