等差数列及其前n项和练习题
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《第二节等差数列》同步练习(等差数列的前n项和公式)一、选择题1.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,且S2=10,S5=55,则过点P(n,S nn ),Q(n+2,S n+2n+2)(n∈N*)的直线的斜率为( )A.4B.3C.2D.12.[2022辽宁名校高三上联考]已知数列{a n}是等差数列,前n项和为S n,若a1+a2+a3+a4=3,a17+a18+a19+a20=5,则S20=( )A.10B.15C.20D.403.[2022四川成都七中高一下期中]已知等差数列{a n}的公差d<0,a5a7=35,a4+a8=12,前n 项和为S n,则S n的最大值为( )A.66B.72C.132D.1984.(多选)[2022湖南高三上联考]两个等差数列{a n}与{b n}的前n项和分别为S n与T n,且S2n T n =8n3n+5,则( )A.a3+a8=2b3B.当S n=2n2时,b n=6n+2C.a4+a11b4<2D.∀n∈N*,使得T n>05.(多选)[2022安徽临泉一中高二期末]已知等差数列{a n}的前n项和为S n,若S2 021>0,S2 022<0,则( )A.数列{a n}是递增数列B.|a1 012|>|a1 011|C.当S n取得最大值时,n=1 011D.S1 012<S1 0096.[2022山东潍坊高二调研]在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述:今有良马与驽马发长安至齐,齐去长安四百二十里,良马初日行九十七里,日增一十五里;驽马初日行九十二里,日减一里;良马先至齐,复还迎驽马,二马相逢.问:几日相逢?( )A.4日B.3日C.5日D.6日7.如果有穷数列a1,a2,…,a n(n∈N*)满足a i=a n-i+1(i=1,2,3,…,n),那么称该数列为“对称数列”.设{a n}是项数为2k-1(k∈N,k≥2)的“对称数列”,其中a k,a k+1,…,a2k-1是首项为50,公差为-4的等差数列,记{a n }的各项之和为S 2k -1,则S 2k -1的最大值为( ) A.622B.624C.626D.6288.(多选)[2022江苏南京高三月考]如图的形状出现在中国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中,后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球,第二层有3个球,第三层有6个球,第四层有10个球,…….设第n 层有a n 个球,从上往下n 层球的总数为S n ,则( )A.S 5=35B.a n +1-a n =nC.S n -S n -1=n(n+1)2,n ≥2 D.1a 1+1a 2+1a 3+…+1a 100=200101二、非选择题9.如图所示,八个边长为1的小正方形拼成一个长为4,宽为2的矩形,A ,B ,D ,E 均为小正方形的顶点,在线段DE 上有 2 020个不同的点P 1,P 2,…,P 2 020,且它们等分DE.记M i =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AP i ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (i =1,2,…,2 020).则M 1+M 2+…+M 2 020的值为 .10.已知数列{a n }满足2a n +1=a n +a n +2(n ∈N *),它的前n 项和为S n ,且a 3=10,S 6=72,则{a n }的通项公式a n = ;若数列{b n }满足b n =12a n -30,其前n 项和为T n ,则T n 的最小值为 .11.[2022辽宁阜新高二上期末]在等差数列{a n }中,S n 是数列{a n }的前n 项和,已知a 2=4,S 4=20.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)若b n =(-1)n·a n ,求数列{b n }的前n 项和T n .12.[2022河北唐山一中高二上月考]记S n是等差数列{a n}的前n项和,若S5=-35,S7=-21.(1)求数列{a n}的通项公式,并求S n的最小值;(2)设b n=|a n|,求数列{b n}的前n项和T n.参考答案一、选择题1.C设d为数列{a n}的公差,则{S nn }是公差为d2的等差数列.2.C由题易知S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12,S20-S16成等差数列,又S4=3,S20-S16=5,则S20=(S20-S16)+(S16-S12)+(S12-S8)+(S8-S4)+S4=(5+3)×52=20.3.A因为d<0,a5a7=35,a4+a8=a5+a7=12,所以a5=7,a7=5,则d=-1,所以a n=a7+(n-7)d=-n+12,所以a12=0,所以当n=11或12时,S n取得最大值,最大值为S11=S12=12(a1+a12)2= 12×(11+0)2=66.4.AB由S2nT n =8n3n+5,知S10T5=10(a1+a10)25(b1+b5)2=a1+a10b3=a3+a8b3=4020=2,即a3+a8=2b3,故A正确;同理可得a4+a11b4=S14T7=2813>2,故C错误;当S n=2n2时,有S2n=8n2,则T n=n(3n+5),易得b n=6n+2,故B正确;当S n=-2n2时,有S2n=-8n2,则T n=-n(3n+5)<0,则不存在n∈N*,使得T n>0,故D错误.5.BC因为S2 021=2021(a1+a2021)2=2 021a1 011>0,S2 022=2022(a1+a2022)2=1 011(a1 011+a1 012)<0,所以a1 011>0,a1 011+a1 012<0,所以a1 012<0,且|a1 012|>|a1 011|,所以数列{a n}是递减数列,且当n=1 011时,S n取得最大值,故B,C正确,A错误.又S1 012-S1 009=a1 010+a1 011+a1 012=3a1 011>0,所以S1 012>S1 009,故D错误.故选BC.6.A记良马第n日行程为a n,驽马第n日行程为b n,则由题意知数列{a n}是首项为97,公差为15的等差数列,数列{b n}是首项为92,公差为-1的等差数列,则a n=97+15(n-1)=15n+82,b n=92-(n-1)=93-n.因为数列{a n}的前n项和为n(97+15n+82)2=n(179+15n)2,数列{b n}的前n项和为n(92+93−n)2=n(185−n)2,所以n(179+15n)2+n(185−n)2=420×2,整理得n2+26n-120=0,解得n=4或n=-30(舍去),即4日相逢.7.C易知a k+a k+1+…+a2k-1=50k+k(k−1)×(−4)2=-2k2+52k,S2k-1=a1+…+a k+a k+1+…+a2k-1=2(a k+a k+1+…+a2k-1)-a k=-4k2+104k-50=-4(k-13)2+626,当k=13时,S2k-1取到最大值,且最大值为626.故选C.8.ACD因为a1=1,a2-a1=2,a3-a2=3,……,a n-a n-1=n,以上n个式子相加可得a n=1+2+3+…+n=n(n+1)2,所以S5=a1+a2+a3+a4+a5=1+3+6+10+15=35,故A正确;由递推关系可知a n+1-a n=n+1,故B 不正确;当n ≥2时,S n -S n -1=a n =n(n+1)2,故C 正确;因为1a n =2n(n+1)=2(1n−1n+1),所以1a 1+1a 2+…+1a 100=2[(1-12)+(12−13)+…+(1100−1101)]=2(1-1101)=200101,故D 正确.故选ACD.二、非选择题9.14 140 解析如图,设C 为DE 的中点,则AC =72.因为P 1,P 2,…,P 2 020等分DE ,所以AP i ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AP 2 021−i ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ .又M 1+M 2+…+M 2 020=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(AP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +…+AP 2 020⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ),令S =M 1+M 2+…+M 2 020,则2S =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(AP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +…+AP 2 020⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(AP 2 020⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AP 2 019⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +…+AP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·[(AP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AP 2 020⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+(AP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AP 2 019⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+…+(AP 2 020⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )]=(2×2 020)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =4 040×√5×72×√5=28 280,所以S =14 140.10.4n -2 -225 解析因为2a n +1=a n +a n +2,所以a n +1-a n =a n +2-a n +1,故数列{a n }为等差数列.设数列{a n }的公差为d.由a 3=10,S 6=72,得{a 1+2d =10,6a 1+15d =72,解得{a 1=2,d =4,所以a n =4n -2,所以b n =12a n -30=2n -31.令{b n ≤0,b n+1≥0,即{2n −31≤0,2(n +1)−31≥0,解得292≤n ≤312.因为n ∈N *,所以数列{b n }的前15项均为负值且第16项为正值,所以T 15最小.因为数列{b n }的首项为-29,公差为2,所以T 15=15(−29+2×15−31)2=-225,所以数列{b n }的前n 项和T n 的最小值为-225.11.(1)设首项为a 1,公差为d ,由题意知 {a 1+d =4,4a 1+4×32d =20,解得{a 1=2,d =2,故a n =2n. (2)由(1)得b n =(-1)n·a n =(-1)n·2n.当n 为偶数时,T n =(-2+4)+(-6+8)+…+[-2(n -1)+2n ]=n2·2=n ;当n 为奇数时,T n =(-2+4)+(-6+8)+…+[-2(n -2)+2(n -1)]-2n =(n -1)-2n =-n -1, 所以T n ={n,n 为偶数,−n −1,n 为奇数.12.(1)设{a n }的公差为d ,则{5a 1+5×42d =−35,7a 1+7×62d =−21,解得{a 1=−15,d =4, 所以a n =-15+4(n -1)=4n -19.由a n=4n-19≥0,得n≥194,所以当n=1,2,3,4时,a n<0,当n≥5时,a n>0,所以S n的最小值为S4=4a1+4×32d=-36.(2)由(1)知,当n≤4时,b n=|a n|=-a n;当n≥5时,b n=|a n|=a n.又S n=na1+n(n−1)2d=2n2-17n,所以当n≤4时,T n=-S n=17n-2n2,当n≥5时,T n=S n-2S4=2n2-17n-2×(-36)=2n2-17n+72,即T n={17n−2n2,n≤4, 2n2−17n+72,n≥5.。
【巩固练习】一、选择题1.已知等差数列共有10项,其中奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差是( )A .5B .4C .3D .22.已知等差数列{a n }的前三项依次为a -1,172a -,3,则该数列中第一次出现负值的项为( ) A .第9项B .第10项C .第11项D .第12项 3.已知{a n }是等差数列,a 3+a 11=40,则a 6-a 7+a 8等于( ) A .20B .48C .60D .72 4. 等差数列{a n }中,a 1=8,a 5=2,若在每相邻两项间各插入一个数,使之成等差数列,那么新的等差数列的公差是( ) A.34B .34-C .67-D .-1 5.(2015 新课标Ⅰ)已知{a n }是公差为1的等差数列,S n 为{a n }的前n 项和,若S 8=4S 4,则a 10=( ) A . 172 B .192C .10D .12 6. 已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ,且7453n n A n B n +=+,则使得n n a b 为整数的正整数n 的个数是( )A .2B .3C .4D .5二、填空题7.在等差数列{a n }中,a 3=7,a 5=a 2+6,则a 6=________. 8.若x ≠y ,数列x ,a 1,a 2,y 和x ,b 1,b 2,b 3,y 各自成等差数列,则1212a ab b --=________. 9.把20分成四个数成等差数列,使第一项与第四项的积同第二项与第三项的积的比为2∶3,则这四个数从小到大依次为____________.10.已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2-9n ,第k 项满足5<a k <8,则k =________.11.(2016 南通模拟)等差数列{}n a 中,1583,115a a a =-=,则其前n 项和n S 的最小值为 。
课时作业8 等差数列的前n 项和时间:45分钟 满分:100分课堂训练1.已知{a n }为等差数列,a 1=35,d =-2,S n =0,则n 等于( ) A .33 B .34 C .35 D .36【答案】 D【解析】 本题考查等差数列的前n 项和公式.由S n =na 1+n (n -1)2d =35n +n (n -1)2×(-2)=0,可以求出n =36.2.等差数列{a n }中,3(a 3+a 5)+2(a 7+a 10+a 13)=24,则数列前13项的和是( )A .13B .26C .52D .156 【答案】 B【解析】 3(a 3+a 5)+2(a 7+a 10+a 13)=24⇒6a 4+6a 10=24⇒a 4+a 10=4⇒S 13=13(a 1+a 13)2=13(a 4+a 10)2=13×42=26. 3.等差数列的前n 项和为S n ,S 10=20,S 20=50.则S 30=________. 【答案】 90【解析】 等差数列的片断数列和依次成等差数列. ∴S 10,S 20-S 10,S 30-S 20也成等差数列. ∴2(S 20-S 10)=(S 30-S 20)+S 10,解得S 30=90.4.等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 12=84,S 20=460,求S 28. 【分析】 (1)应用基本量法列出关于a 1和d 的方程组,解出a 1和d ,进而求得S 28;(2)因为数列不是常数列,因此S n 是关于n 的一元二次函数且常数项为零.设S n =an 2+bn ,代入条件S 12=84,S 20=460,可得a 、b ,则可求S 28;(3)由S n =d 2n 2+n (a 1-d 2)得S n n =d 2n +(a 1-d2),故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是一个等差数列,又2×20=12+28,∴2×S 2020=S 1212+S 2828,可求得S 28.【解析】 方法一:设{a n }的公差为d , 则S n =na 1+n (n -1)2d .由已知条件得:⎩⎨⎧12a 1+12×112d =84,20a 1+20×192d =460,整理得⎩⎨⎧2a 1+11d =14,2a 1+19d =46,解得⎩⎨⎧a 1=-15,d =4.所以S n =-15n +n (n -1)2×4=2n 2-17n , 所以S 28=2×282-17×28=1 092.方法二:设数列的前n 项和为S n ,则S n =an 2+bn . 因为S 12=84,S 20=460,所以⎩⎨⎧122a +12b =84,202a +20b =460,整理得⎩⎨⎧12a +b =7,20a +b =23.解之得a =2,b =-17, 所以S n =2n 2-17n ,S 28=1 092. 方法三:∵{a n }为等差数列, 所以S n =na 1+n (n -1)2d ,所以S n n =a 1-d 2+d2n ,所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列.因为12,20,28成等差数列, 所以S 1212,S 2020,S 2828成等差数列, 所以2×S 2020=S 1212+S 2828,解得S 28=1 092.【规律方法】 基本量法求出a 1和d 是解决此类问题的基本方法,应熟练掌握.根据等差数列的性质探寻其他解法,可以开阔思路,有时可以简化计算.课后作业一、选择题(每小题5分,共40分)1.已知等差数列{a n }中,a 2=7,a 4=15,则前10项的和S 10等于( )A .100B .210C .380D .400【答案】 B【解析】 d =a 4-a 24-2=15-72=4,则a 1=3,所以S 10=210.2.在等差数列{a n }中,a 2+a 5=19,S 5=40,则a 10=( ) A .27 B .24 C .29 D .48【答案】 C 【解析】由已知⎩⎨⎧2a 1+5d =19,5a 1+10d =40.解得⎩⎨⎧a 1=2,d =3.∴a 10=2+9×3=29.3.数列{a n }的前n 项和为S n =n 2+2n -1,则这个数列一定是( ) A .等差数列 B .非等差数列 C .常数列 D .等差数列或常数列 【答案】 B【解析】 当n ≥2时,a n =S n -S n -1=n 2+2n -1-[(n -1)2+2(n -1)-1]=2n +1,当n =1时a 1=S 1=2.∴a n =⎩⎨⎧2,n =1,2n +1,n ≥2,这不是等差数列.4.设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1=-11,a 4+a 6=-6,则当S n 取最小值时,n 等于( )C .8D .9【答案】 A 【解析】⎩⎨⎧a 1=-11,a 4+a 6=-6,∴⎩⎨⎧a 1=-11,d =2,∴S n =na 1+n (n -1)2d =-11n +n 2-n =n 2-12n . =(n -6)2-36. 即n =6时,S n 最小.5.一个只有有限项的等差数列,它的前5项的和为34,最后5项的和为146,所有项的和为234,则它的第7项等于( )A .22B .21C .19D .18【答案】 D【解析】 ∵a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=34, a n +a n -1+a n -2+a n -3+a n -4=146, ∴5(a 1+a n )=180,a 1+a n =36, S n =n (a 1+a n )2=n ×362=234. ∴n =13,S 13=13a 7=234.∴a 7=18.6.一个有11项的等差数列,奇数项之和为30,则它的中间项为( )A .8B .7【答案】 D【解析】 S 奇=6a 1+6×52×2d =30,a 1+5d =5,S 偶=5a 2+5×42×2d =5(a 1+5d )=25,a 中=S 奇-S 偶=30-25=5.7.若两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别是S n ,T n ,已知S n T n=7n n +3,则a 5b 5等于( ) A .7 B.23 C.278 D.214【答案】 D【解析】 a 5b 5=2a 52b 5=a 1+a 9b 1+b 9=92(a 1+a 9)92(b 1+b 9)=S 9T 9=214.8.已知数列{a n }中,a 1=-60,a n +1=a n +3,则|a 1|+|a 2|+|a 3|+…+|a 30|等于( )A .445B .765C .1 080D .1 305 【答案】 B【解析】 a n +1-a n =3,∴{a n }为等差数列. ∴a n =-60+(n -1)×3,即a n =3n -63.∴a n =0时,n =21,a n >0时,n >21,a n <0时,n <21. S ′30=|a 1|+|a 2|+|a 3|+…+|a 30|=-a 1-a 2-a 3-…-a 21+a 22+a 23+…+a 30 =-2(a 1+a 2+…+a 21)+S 30 =-2S 21+S 30 =765.二、填空题(每小题10分,共20分)9.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 6=S 3=12,则数列的通项公式a n =________.【答案】 2n【解析】 设等差数列{a n }的公差d ,则⎩⎨⎧a 1+5d =12a 1+d =4,∴⎩⎨⎧a 1=2d =2,∴a n =2n .10.等差数列共有2n +1项,所有奇数项之和为132,所有偶数项之和为120,则n 等于________.【答案】 10【解析】 ∵等差数列共有2n +1项,∴S 奇-S 偶=a n +1=S 2n +12n +1.即132-120=132+1202n +1,求得n =10.【规律方法】 利用了等差数列前n 项和的性质,比较简捷. 三、解答题(每小题20分,共40分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)11.在等差数列{a n }中,(1)已知a 6=10,S 5=5,求a 8和S 8; (2)若a 1=1,a n =-512,S n =-1 022,求d .【分析】 在等差数列中,五个重要的量,只要已知三个量,就可求出其他两个量,其中a 1和d 是两个最基本量,利用通项公式和前n 项和公式,先求出a 1和d ,然后再求前n 项和或特别的项.【解析】 (1)∵a 6=10,S 5=5,∴⎩⎨⎧a 1+5d =10,5a 1+10d =5.解方程组,得a 1=-5,d =3, ∴a 8=a 6+2d =10+2×3=16, S 8=8(a 1+a 8)2=44. (2)由S n =n (a 1+a n )2=n (-512+1)2=-1 022, 解得n =4.又由a n =a 1+(n -1)d , 即-512=1+(4-1)d , 解得d =-171.【规律方法】 一般地,等差数列的五个基本量a 1,a n ,d ,n ,S n ,知道其中任意三个量可建立方程组,求出另外两个量,即“知三求二”.我们求解这类问题的通性通法,是先列方程组求出基本量a 1和d ,然后再用公式求出其他的量.12.已知等差数列{a n },且满足a n =40-4n ,求前多少项的和最大,最大值为多少?【解析】 方法一:(二次函数法)∵a n =40-4n ,∴a 1=40-4=36, ∴S n =(a 1+a n )n 2=36+40-4n2·n =-2n 2+38n =-2[n 2-19n +(192)2]+1922=-2(n -192)2+1922.令n -192=0,则n =192=9.5,且n ∈N +, ∴当n =9或n =10时,S n 最大,∴S n 的最大值为S 9=S 10=-2(10-192)2+1922=180. 方法二:(图象法)∵a n =40-4n ,∴a 1=40-4=36, a 2=40-4×2=32,∴d =32-36=-4,S n =na 1+n (n -1)2d =36n +n (n -1)2·(-4)=-2n 2+38n , 点(n ,S n )在二次函数y =-2x 2+38x 的图象上,S n 有最大值,其对称轴为x =-382×(-2)=192=9.5,∴当n =10或9时,S n 最大.∴S n 的最大值为S 9=S 10=-2×102+38×10=180. 方法三:(通项法)∵a n =40-4n ,∴a 1=40-4=36,a 2=40-4×2=32,∴d =32-36=-4<0,数列{a n }为递减数列.令⎩⎨⎧a n ≥0,a n +1≤0,有⎩⎨⎧40-4n ≥0,40-4(n +1)≤0,∴⎩⎨⎧n ≤10,n ≥9,即9≤n ≤10.当n =9或n =10时,S n 最大.∴S n 的最大值为S 9=S 10=a 1+a 102×10=36+02×10=180. 【规律方法】 对于方法一,一定要强调n ∈N +,也就是说用函数式求最值,不能忽略定义域,另外,三种方法中都得出n =9或n =10,需注意a m =0时,S m -1=S m 同为S n 的最值.。
第28讲 等差数列及其前n 项和一、基本概念1.等差数列的定义如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d 表示.2.等差数列的通项公式若等差数列{a n }的首项是a 1,公差是d ,则其通项公式为a n =a 1+(n -1)d .3.等差中项如果A =a +b2,那么A 叫做a 与b 的等差中项.4.等差数列的常用性质(1)通项公式的推广:a n =a m +(n -m )d (n ,m ∈N *).(2)若{a n }为等差数列,且m +n =p +q ,则a m +a n =a p +a q (m ,n ,p ,q ∈N *).例1:等差数列147369{},39,27,{}9n n a a a a a a a a ++=++=中则数列前项的和9S 等于?(3)若{a n }是等差数列,公差为d ,则a k ,a k +m ,a k +2m ,…(k ,m ∈N *)是公差为md 的等差数列. (4).如果a 1,a 2,…,a 8为各项都大于零的等差数列,公差d ≠0,则( ). A .a 1a 8>a 4a 5B .a 1a 8<a 4a 5C .a 1+a 8<a 4+a 5D .a 1a 8=a 4a 5B .解析:由a 1+a 8=a 4+a 5,∴排除C . 又a 1·a 8=a 1(a 1+7d )=a 12+7a 1d ,∴a 4·a 5=(a 1+3d )(a 1+4d )=a 12+7a 1d +12d 2>a 1·a 8.(5).已知方程(x 2-2x +m )(x 2-2x +n )=0的四个根组成一个首项为41的等差数列,则 |m -n |等于( ).A .1B .43 C .21 D .83 4.C 解析: 解法1:设a 1=41,a 2=41+d ,a 3=41+2d ,a 4=41+3d ,而方程x 2-2x +m =0中两根之和为2,x 2-2x +n =0中两根之和也为2,∴a 1+a 2+a 3+a 4=1+6d =4, ∴d =21,a 1=41,a 4=47是一个方程的两个根,a 1=43,a 3=45是另一个方程的两个根. ∴167,1615分别为m 或n , ∴|m -n |=21,故选C . 解法2:设方程的四个根为x 1,x 2,x 3,x 4,且x 1+x 2=x 3+x 4=2,x 1·x 2=m ,x 3·x 4=n . 由等差数列的性质:若γ+s =p +q ,则a γ+a s =a p +a q ,若设x 1为第一项,x 2必为第四项,则x 2=47,于是可得等差数列为41,43,45,47, ∴m =167,n =1615, ∴|m -n |=21. 5.等差数列的前n 项和公式若已知首项a 1和末项a n ,则S n =n (a 1+a n )2;若已知首项a 1和公差d ,则其前n 项和公式为S n =na 1+n (n -1)2d .例2:(2011·福建)在等差数列{a n }中,a 1=1,a 3=-3.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)若数列{a n }的前k 项和S k =-35,求k 的值.性质(1)数列S m ,S 2m -S m ,S 3m -S 2m ,…也是等差数列.例3:在等差数列{}n a 中,若481,4S S ==,则17181920a a a a +++的值为?性质(2)S 2n -1=(2n -1)a n .例4:两个等差数列{}{},,n n a b 1212...72,...3n n a a a n b b b n ++++=++++则55ab =_ __。
等差数列及其前n 项和题组训练1.已知{a n }是等差数列,且a 2+a 5+a 8+a 11=48,则a 6+a 7等于( )A .12B .16C .20D .242.数列{a n }的前n 项和S n =n (2n -1),若k -l =4(k ,l ∈N *),则a k -a l 等于( )A .4B .8C .16D .323.已知数列{a n }满足a 1=1,a n +1=ra n +r (n ∈N *,r ∈R ,r ≠0),则“r =1”是“数列{a n }为等差数列”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件4.我国南北朝时的数学著作《张邱建算经》有一道题为:“今有十等人,每等一人,宫赐金以等次差降之,上三人先入,得金四斤,持出,下三人后入得金三斤,持出,中间四人未到者,亦依次更给,问各得金几何?”则在该问题中,等级较高的一等人所得黄金比等级较低的九等人所得黄金( )A .多821斤 B .少821斤 C .多13斤 D .少13斤5.(多选)等差数列{a n }的公差为d ,前n 项和为S n ,当首项a 1和d 变化时,a 3+a 8+a 13是一个定值,则下列各数也为定值的有( )A .a 7B .a 8C .S 15D .S 166.(多选)已知{a n }为等差数列,其前n 项和为S n ,且2a 1+3a 3=S 6,则以下结论正确的是( )A .a 10=0B .S 10最小C .S 7=S 12D .S 19=07.若S n 是等差数列{a n }的前n 项和,且S 8-S 3=20,则S 11=________.8.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 1=1,S 3=a 5,a m =2 021,则m =________.9.已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n =S n -1+1(n ≥2,n ∈N *),且a 1=1,则a n =________.10.(2020·河北衡水中学模拟)已知在数列{a n }中,a 6=11,且na n -(n -1)a n +1=1,则a n =________;a 2n +143n的最小值为________.11.在数列{a n}中,a1=8,a4=2,且满足a n+2-2a n+1+a n=0(n∈N*).(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设T n=|a1|+|a2|+…+|a n|,求T n.12.(2020·沈阳模拟)已知S n是等差数列{a n}的前n项和,S2=2,S3=-6.(1)求数列{a n}的通项公式及前n项和S n;(2)是否存在正整数n,使S n,S n+2+2n,S n+3成等差数列?若存在,求出n;若不存在,请说明理由.13.已知数列{a n}是等差数列,若a9+3a11<0,a10·a11<0,且数列{a n}的前n项和S n有最大值,那么S n取得最小正值时n等于()A.20 B.17 C.19 D.2114.已知数列{a n}满足a1=2,a2=3,且a n+2-a n=1+(-1)n,n∈N*,则该数列的前9项之和为________.15.(多选)设正项等差数列{a n}满足(a1+a10)2=2a2a9+20,则()A.a2a9的最大值为10 B.a2+a9的最大值为210C.1a22+1a29的最大值为15D.a42+a49的最小值为20016.在等差数列{a n}中,a3+a4=4,a5+a7=6.(1)求{a n}的通项公式;(2)设{b n}=[a n],求数列{b n}的前10项和,其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[2.6]=2.等差数列及其前n 项和题组答案1.答案 D解析 由等差数列的性质可得a 2+a 5+a 8+a 11=2(a 6+a 7)=48,则a 6+a 7=24,故选D. 2答案 C解析 ∵S n =n (2n -1),∴数列{a n }是公差为4的等差数列,∵k -l =4,∴a k -a l =4×4=16.故选C.3.答案 A解析 当r =1时,a n +1=ra n +r ⇒a n +1=a n +1,∴数列{a n }为公差为1的等差数列,即充分性成立;∵a n +1=ra n +r ,a 1=1,∴a 2=2r ,a 3=2r 2+r ,∴若数列{a n }为等差数列,则4r =1+2r 2+r ,∴r =1或r =12, 即必要性不成立,综上,“r =1”是“数列{a n }为等差数列”的充分不必要条件,故选A. 4.答案 A解析 设十等人得金从高到低依次为a 1,a 2,…,a 10,则{a n }为等差数列,设公差为d ,则由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧a 1+a 2+a 3=4,a 8+a 9+a 10=3,∴a 2=43,a 9=1,∴d =a 9-a 27=-121, ∴a 1-a 9=-8d =821. 即等级较高一等人所得黄金比等级较低的九等人所得黄金多821斤. 5.答案 BC解析 由等差中项的性质可得a 3+a 8+a 13=3a 8为定值,则a 8为定值,S 15=15()a 1+a 152=15a 8为定值,但S 16=16()a 1+a 162=8()a 8+a 9不是定值. 故选BC.6.答案 ACD解析 2a 1+3a 3=S 6,∴2a 1+3a 1+6d =6a 1+15d ,∴a 1+9d =0,即a 10=0,A 正确;当d <0时,S n 没有最小值,B 错误;S 12-S 7=a 8+a 9+a 10+a 11+a 12=5a 10=0,∴S 12=S 7,C 正确;S 19=(a 1+a 19)×192=19a 10=0,D 正确. 故选ACD.7.答案 44解析 S 8-S 3=a 4+a 5+a 6+a 7+a 8=5a 6=20,∴a 6=4,∴S 11=11(a 1+a 11)2=11a 6=44. 8.答案 1 011解析 ∵S 3=3a 1+3d ,∴3a 1+3d =a 1+4d ,即d =2,a m =a 1+(m -1)×2=2m -1=2 021,∴m =1 011.9.答案 2n -1解析 ∵S n -S n -1=1,∴{S n }为等差数列, 又S 1=a 1=1,∴S n =n ,即S n =n 2,当n ≥2时,a n =S n -S n -1=n 2-(n -1)2=2n -1,又a 1=1满足上式,∴a n =2n -1.10.答案 2n -1 44解析 na n -(n -1)a n +1=1,所以(n +1)a n +1-na n +2=1,两式相减得na n -2na n +1+na n +2=0,所以a n +a n +2=2a n +1,所以数列{a n }为等差数列.当n =1时,由na n -(n -1)a n +1=1得a 1=1,由a 6=11,得公差d =2,所以a n =1+2(n -1)=2n -1,所以a 2n +143n =(2n -1)2+143n =4n +144n -4≥24n ·144n-4=44, 当且仅当4n =144n,即n =6时等号成立. 11解 (1)∵a n +2-2a n +1+a n =0,∴a n +2-a n +1=a n +1-a n ,∴数列{a n }是等差数列,设其公差为d ,∵a 1=8,a 4=2,∴d =a 4-a 14-1=-2, ∴a n =a 1+(n -1)d =10-2n ,n ∈N *.(2)设数列{a n }的前n 项和为S n ,则由(1)可得,S n =8n +n (n -1)2×(-2)=9n -n 2,n ∈N *. 由(1)知a n =10-2n ,令a n =0,得n =5,∴当n >5时,a n <0,则T n =|a 1|+|a 2|+…+|a n |=a 1+a 2+…+a 5-(a 6+a 7+…+a n )=S 5-(S n -S 5)=2S 5-S n=2×(9×5-25)-(9n -n 2)=n 2-9n +40;当n ≤5时,a n ≥0,则T n =|a 1|+|a 2|+…+|a n |=a 1+a 2+…+a n =9n -n 2,∴T n =⎩⎪⎨⎪⎧9n -n 2,n ≤5,n ∈N *,n 2-9n +40,n ≥6,n ∈N *. 12.解 (1)∵S 2=2,S 3=-6,∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1+d =2,3a 1+3×22d =-6,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=4,d =-6, ∴a n =4+(n -1)×(-6)=-6n +10,∴S n =4n +n (n -1)2×(-6)=-3n 2+7n . (2)假设存在n ,使S n ,S n +2+2n ,S n +3成等差数列,则2(S n +2+2n )=S n +S n +3,∴2[-3(n +2)2+7(n +2)+2n ]=-3n 2+7n +7(n +3)-3(n +3)2, 解得n =5.13.答案 C解析 因为a 9+3a 11<0,所以a 9+a 11+2a 11=a 9+a 11+a 10+a 12=2(a 11+a 10)<0 ,所以a 10+a 11<0.因为a 10·a 11<0,所以由等差数列的性质和求和公式可得a 10>0,a 11<0,又可得S 19=19a 10>0,而S 20=10(a 10+a 11)<0,进而可得S n 取得最小正值时n =19.故选C.14.答案 34解析 ∵a n +2-a n =1+(-1)n ,n ∈N *,∴当n 为奇数时,a 2n +1-a 2n -1=0,则数列{a 2n -1}是常数列,a 2n -1=a 1=2;当n 为偶数时,a 2n +2-a 2n =2,则数列{a 2n }是以a 2=3为首项,2为公差的等差数列,∴a 1+a 2+…+a 9=(a 1+a 3+…+a 9)+(a 2+a 4+…+a 8)=2×5+⎝⎛⎭⎫3×4+4×32×2=34.15.答案 ABD解析 因为正项等差数列{a n }满足(a 1+a 10)2=2a 2a 9+20,所以(a 2+a 9)2=2a 2a 9+20,即a 22+a 29=20.①a 2a 9≤a 22+a 292=202=10,当且仅当a 2=a 9=10时成立,故A 选项正确; ②由于⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2+a 922≤a 22+a 292=10,所以a 2+a 92≤10,a 2+a 9≤210,当且仅当a 2=a 9=10时成立,故B 选项正确;③1a 22+1a 29=a 22+a 29a 22·a 29=20a 22·a 29≥20⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22+a 2922=20102=15,当且仅当a 2=a 9=10时成立,所以1a 22+1a 29的最小值为15,故C 选项错误;④结合①的结论,有a 42+a 49=(a 22+a 29)2-2a 22·a 29=400-2a 22·a 29≥400-2×102=200,当且仅当a 2=a 9=10时成立,故D 选项正确.16.解 (1)设数列{a n }的公差为d ,由题意有2a 1+5d =4,a 1+5d =3,解得a 1=1,d =25, 所以{a n }的通项公式为a n =2n +35. (2)由(1)知,b n =⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n +35, 当n =1,2,3时,1≤2n +35<2,b n =1; 当n =4,5时,2<2n +35<3,b n =2; 当n =6,7,8时,3≤2n +35<4,b n =3; 当n =9,10时,4<2n +35<5,b n =4. 所以数列{b n }的前10项和为1×3+2×2+3×3+4×2=24.。
1.等差数列的定义 一般地,如果一个数列从第二项起,每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母__d __表示.2.等差数列的通项公式如果等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d ,那么它的通项公式是a n =a 1+(n -1)d .3.等差中项如果A =a +b 2,那么A 叫做a 与b 的等差中项. 4.等差数列的常用性质(1)通项公式的推广:a n =a m +(n -m )d (n ,m ∈N *).(2)若{a n }为等差数列,且k +l =m +n (k ,l ,m ,n ∈N *),则a k +a l =a m +a n .(3)若{a n }是等差数列,公差为d ,则{a 2n }也是等差数列,公差为2d .(4)若{a n },{b n }是等差数列,则{pa n +qb n }也是等差数列.(5)若{a n }是等差数列,公差为d ,则a k ,a k +m ,a k +2m ,…(k ,m ∈N *)是公差为md 的等差数列.5.等差数列的前n 项和公式设等差数列{a n }的公差为d ,其前n 项和S n =n (a 1+a n )2或S n =na 1+n (n -1)2d . 6.等差数列的前n 项和公式与函数的关系S n =d 2n 2+⎝⎛⎭⎫a 1-d 2n . 数列{a n }是等差数列⇔S n =An 2+Bn (A 、B 为常数).7.等差数列的前n 项和的最值在等差数列{a n }中,a 1>0,d <0,则S n 存在最__大__值;若a 1<0,d >0,则S n 存在最__小__值.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列.( × )(2)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *,都有2a n +1=a n +a n +2.( √ )(3)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的.( √ )(4)数列{a n }为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数.( × )(5)数列{a n }满足a n +1-a n =n ,则数列{a n }是等差数列.( × )(6)已知数列{a n }的通项公式是a n =pn +q (其中p ,q 为常数),则数列{a n }一定是等差数列.( √ )1.设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1=-11,a 4+a 6=-6,则当S n 取最小值时,n =________________________________________________________________________. 答案 6解析 设等差数列{a n }的公差为d ,∵a 1+a 9=a 4+a 6=-6,且a 1=-11,∴a 9=5,从而d =2.∴S n =-11n +n (n -1)=n 2-12n ,∴当n =6时,S n 取最小值.2.一个首项为23,公差为整数的等差数列,如果前6项均为正数,从第7项起为负数,则它的公差为________.答案 -4解析 a n =23+(n -1)d ,由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ a 6>0,a 7<0, 即⎩⎪⎨⎪⎧23+5d >0,23+6d <0,解得-235<d <-236, 又d 为整数,所以d =-4.3.在等差数列{a n }中,已知a 4+a 8=16,则该数列前11项和S 11=________.答案 88解析 S 11=11(a 1+a 11)2=11(a 4+a 8)2=88.4.设数列{a n }是等差数列,若a 3+a 4+a 5=12,则a 1+a 2+…+a 7=________.答案 28解析 ∵a 3+a 4+a 5=3a 4=12,∴a 4=4,∴a 1+a 2+…+a 7=7a 4=28.5.(2014·北京)若等差数列{a n }满足a 7+a 8+a 9>0,a 7+a 10<0,则当n =________时,{a n }的前n 项和最大.答案 8解析 因为数列{a n }是等差数列,且a 7+a 8+a 9=3a 8>0,所以a 8>0.又a 7+a 10=a 8+a 9<0,所以a 9<0.故当n =8时,其前n 项和最大.题型一 等差数列基本量的运算例1 (1)在数列{a n }中,若a 1=-2,且对任意的n ∈N *有2a n +1=1+2a n ,则数列{a n }前10项的和为________.(2)已知在等差数列{a n }中,a 2=7,a 4=15,则前10项和S 10=________.答案 (1)52 (2)210 解析 (1)由2a n +1=1+2a n 得a n +1-a n =12, 所以数列{a n }是首项为-2,公差为12的等差数列, 所以S 10=10×(-2)+10×(10-1)2×12=52. (2)因为a 2=7,a 4=15,所以d =4,a 1=3,故S 10=10×3+12×10×9×4=210. 思维升华 (1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a 1和公差d ,然后由通项公式或前n 项和公式转化为方程(组)求解.(2)等差数列的通项公式及前n 项和公式,共涉及五个量a 1,a n ,d ,n ,S n ,知其中三个就能求另外两个,体现了方程的思想.(1)(2015·课标全国Ⅱ改编)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若a 1+a 3+a 5=3,则S 5=________________________________________________________________________.(2)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足S 33-S 22=1,则数列{a n }的公差是________. 答案 (1)5 (2)2解析 (1)∵{a n }为等差数列,∴a 1+a 5=2a 3,∴a 1+a 3+a 5=3a 3=3,得a 3=1,∴S 5=5(a 1+a 5)2=5a 3=5. (2)∵S n =n (a 1+a n )2,∴S n n =a 1+a n 2,又S 33-S 22=1, 得a 1+a 32-a 1+a 22=1,即a 3-a 2=2, ∴数列{a n }的公差为2.题型二 等差数列的判定与证明例2 已知数列{a n }中,a 1=35,a n =2-1a n -1(n ≥2,n ∈N *),数列{b n }满足b n =1a n -1(n ∈N *). (1)求证:数列{b n }是等差数列;(2)求数列{a n }中的最大项和最小项,并说明理由.(1)证明 因为a n =2-1a n -1(n ≥2,n ∈N *), b n =1a n -1(n ∈N *), 所以b n +1-b n =1a n +1-1-1a n -1=1(2-1a n)-1-1a n -1=a n a n -1-1a n -1=1. 又b 1=1a 1-1=-52. 所以数列{b n }是以-52为首项,1为公差的等差数列. (2)解 由(1)知b n =n -72, 则a n =1+1b n =1+22n -7.设f (x )=1+22x -7, 则f (x )在区间(-∞,72)和(72,+∞)上为减函数. 所以当n =3时,a n 取得最小值-1,当n =4时,a n 取得最大值3.引申探究例2中,若条件变为a 1=35,na n +1=(n +1)a n +n (n +1),探求数列{a n }的通项公式. 解 由已知可得a n +1n +1=a n n+1, 即a n +1n +1-a n n =1,又a 1=35, ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以a 11=35为首项,1为公差的等差数列, ∴a n n =35+(n -1)·1=n -25, ∴a n =n 2-25n . 思维升华 等差数列的四个判定方法(1)定义法:证明对任意正整数n 都有a n +1-a n 等于同一个常数.(2)等差中项法:证明对任意正整数n 都有2a n +1=a n +a n +2后,可递推得出a n +2-a n +1=a n +1-a n =a n -a n -1=a n -1-a n -2=…=a 2-a 1,根据定义得出数列{a n }为等差数列.(3)通项公式法:得出a n =pn +q 后,得a n +1-a n =p 对任意正整数n 恒成立,根据定义判定数列{a n }为等差数列.(4)前n 项和公式法:得出S n =An 2+Bn 后,根据S n ,a n 的关系,得出a n ,再使用定义法证明数列{a n }为等差数列.(1)若{a n }是公差为1的等差数列,则{a 2n -1+2a 2n }是________.①公差为3的等差数列 ②公差为4的等差数列③公差为6的等差数列 ④公差为9的等差数列(2)在数列{a n }中,若a 1=1,a 2=12,2a n +1=1a n +1a n +2(n ∈N *),则该数列的通项为______________. 答案 (1)③ (2)a n =1n解析 (1)∵a 2n -1+2a 2n -(a 2n -3+2a 2n -2)=(a 2n -1-a 2n -3)+2(a 2n -a 2n -2)=2+2×2=6,∴{a 2n -1+2a 2n }是公差为6的等差数列.(2)由已知式2a n +1=1a n +1a n +2可得 1a n +1-1a n =1a n +2-1a n +1,知{1a n }是首项为1a 1=1,公差为1a 2-1a 1=2-1=1的等差数列,所以1a n =n ,即a n =1n . 题型三 等差数列的性质及应用命题点1 等差数列的性质例3 (1)(2015·广东)在等差数列{a n }中,若a 3+a 4+a 5+a 6+a 7=25,则a 2+a 8=________.(2)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且S 10=10,S 20=30,则S 30=________.答案 (1)10 (2)60解析 (1)因为{a n }是等差数列,所以a 3+a 7=a 4+a 6=a 2+a 8=2a 5,a 3+a 4+a 5+a 6+a 7=5a 5=25,即a 5=5,a 2+a 8=2a 5=10.(2)∵S 10,S 20-S 10,S 30-S 20成等差数列,且S 10=10,S 20=30,S 20-S 10=20,∴S 30-30=10+2×10=30,∴S 30=60.命题点2 等差数列前n 项和的最值例4 在等差数列{a n }中,已知a 1=20,前n 项和为S n ,且S 10=S 15,求当n 取何值时,S n 取得最大值,并求出它的最大值.解 ∵a 1=20,S 10=S 15,∴10×20+10×92d =15×20+15×142d , ∴d =-53. 方法一 由a n =20+(n -1)×⎝⎛⎭⎫-53 =-53n +653. 得a 13=0.即当n ≤12时,a n >0,当n ≥14时,a n <0.∴当n =12或13时,S n 取得最大值,且最大值为S 12=S 13=12×20+12×112×⎝⎛⎭⎫-53 =130.方法二 S n =20n +n (n -1)2·⎝⎛⎭⎫-53 =-56n 2+1256n =-56⎝⎛⎭⎫n -2522+3 12524. ∵n ∈N *,∴当n =12或13时,S n 有最大值,且最大值为S 12=S 13=130.方法三 由S 10=S 15得a 11+a 12+a 13+a 14+a 15=0.∴5a 13=0,即a 13=0.∴当n =12或13时,S n 有最大值,且最大值为S 12=S 13=130. 引申探究例4中,若条件“a 1=20”改为a 1=-20,其他条件不变,求当n 取何值时,S n 取得最小值,并求出最小值.解 由S 10=S 15,得a 11+a 12+a 13+a 14+a 15=0,∴a 13=0.又a 1=-20,∴a 12<0,a 14>0,∴当n =12或13时,S n 取得最小值,最小值S 12=S 13=13(a 1+a 13)2=-130. 思维升华 (1)等差数列的性质:①项的性质:在等差数列{a n }中,a m -a n =(m -n )d ⇔a m -a n m -n=d (m ≠n ),其几何意义是点(n ,a n ),(m ,a m )所在直线的斜率等于等差数列的公差.②和的性质:在等差数列{a n }中,S n 为其前n 项和,则a .S 2n =n (a 1+a 2n )=…=n (a n +a n +1);b .S 2n -1=(2n -1)a n .(2)求等差数列前n 项和S n 最值的两种方法:①函数法:利用等差数列前n 项和的函数表达式S n =an 2+bn ,通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解.②邻项变号法:a .当a 1>0,d <0时,满足⎩⎪⎨⎪⎧ a m ≥0,a m +1≤0的项数m 使得S n 取得最大值S m ; b .当a 1<0,d >0时,满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0,a m +1≥0的项数m 使得S n 取得最小值S m . (1)等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 5+a 7=4,a 6+a 8=-2,则当S n 取最大值时,n 的值是________.(2)设数列{a n }是公差d <0的等差数列,S n 为前n 项和,若S 6=5a 1+10d ,则S n 取最大值时,n 的值为________.(3)已知等差数列{a n }的首项a 1=20,公差d =-2,则前n 项和S n 的最大值为________. 答案 (1)6 (2)5或6 (3)110解析 (1)依题意得2a 6=4,2a 7=-2,a 6=2>0,a 7=-1<0;又数列{a n }是等差数列,因此在该数列中,前6项均为正数,自第7项起以后各项均为负数,于是当S n 取最大值时,n =6.(2)由题意得S 6=6a 1+15d =5a 1+10d ,所以a 6=0,故当n =5或6时,S n 最大.(3)因为等差数列{a n }的首项a 1=20,公差d =-2,代入求和公式得,S n =na 1+n (n -1)2d =20n -n (n -1)2×2 =-n 2+21n =-⎝⎛⎭⎫n -2122+⎝⎛⎭⎫2122, 又因为n ∈N *,所以n =10或n =11时,S n 取得最大值,最大值为110.6.等差数列的前n 项和及其最值典例 (1)在等差数列{a n }中,2(a 1+a 3+a 5)+3(a 7+a 9)=54,则此数列前10项的和S 10=________.(2)在等差数列{a n }中,S 10=100,S 100=10,则S 110=________.(3)等差数列{a n }中,已知a 5>0,a 4+a 7<0,则{a n }的前n 项和S n 的最大值为________. 思维点拨 (1)求等差数列前n 项和,可以通过求解基本量a 1,d ,代入前n 项和公式计算,也可以利用等差数列的性质:a 1+a n =a 2+a n -1=…;(2)求等差数列前n 项和的最值,可以将S n 化为关于n 的二次函数,求二次函数的最值,也可以观察等差数列的符号变化趋势,找最后的非负项或非正项.解析 (1)由题意得a 3+a 8=9,所以S 10=10(a 1+a 10)2=10(a 3+a 8)2=10×92=45. (2)方法一 设数列{a n }的公差为d ,首项为a 1,则⎩⎨⎧ 10a 1+10×92d =100,100a 1+100×992d =10,解得⎩⎨⎧ a 1=1 099100,d =-1150.所以S 110=110a 1+110×1092d =-110. 方法二 因为S 100-S 10=(a 11+a 100)×902=-90, 所以a 11+a 100=-2,所以S 110=(a 1+a 110)×1102=(a 11+a 100)×1102=-110. (3)因为⎩⎪⎨⎪⎧ a 4+a 7=a 5+a 6<0,a 5>0,所以⎩⎪⎨⎪⎧a 5>0,a 6<0,所以S n 的最大值为S 5.答案 (1)45 (2)-110 (3)S 5温馨提醒 (1)利用函数思想求等差数列前n 项和S n 的最值时,要注意到n ∈N *;(2)利用等差数列的性质求S n ,突出了整体思想,减少了运算量.[方法与技巧]1.在解有关等差数列的基本量问题时,可通过列关于a 1,d 的方程组进行求解.2.证明等差数列要用定义;另外还可以用等差中项法,通项公式法,前n 项和公式法判定一个数列是否为等差数列.3.等差数列性质灵活使用,可以大大减少运算量.4.在遇到三个数成等差数列问题时,可设三个数为(1)a ,a +d ,a +2d ;(2)a -d ,a ,a +d ;(3)a -d ,a +d ,a +3d 等,可视具体情况而定.[失误与防范]1.当公差d ≠0时,等差数列的通项公式是n 的一次函数,当公差d =0时,a n 为常数.2.公差不为0的等差数列的前n 项和公式是n 的二次函数,且常数项为0.若某数列的前n 项和公式是常数项不为0的二次函数,则该数列不是等差数列,它从第二项起成等差数列.A 组 专项基础训练(时间:40分钟)1.(2015·课标全国Ⅰ改编)已知{a n }是公差为1的等差数列,S n 为{a n }的前n 项和,若S 8=4S 4,则a 10=________________________________________________________________________. 答案 192解析 ∵公差为1,∴S 8=8a 1+8×(8-1)2×1=8a 1+28,S 4=4a 1+6. ∵S 8=4S 4,∴8a 1+28=4(4a 1+6),解得a 1=12, ∴a 10=a 1+9d =12+9=192. 2.(2015·北京改编)设{a n }是等差数列,下列结论中正确的是________.①若a 1+a 2>0,则a 2+a 3>0;②若a 1+a 3<0,则a 1+a 2<0;③若0<a 1<a 2,则a 2>a 1a 3;④若a 1<0,则(a 2-a 1)(a 2-a 3)>0.答案 ③解析 设等差数列{a n }的公差为d ,若a 1+a 2>0,a 2+a 3=a 1+d +a 2+d =(a 1+a 2)+2d ,由于d 正负不确定,因而a 2+a 3符号不确定,故①错;若a 1+a 3<0,a 1+a 2=a 1+a 3-d =(a 1+a 3)-d ,由于d 正负不确定,因而a 1+a 2符号不确定,故②错;若0<a 1<a 2,可知a 1>0,d >0,a 2>0,a 3>0,所以a 22-a 1a 3=(a 1+d )2-a 1(a 1+2d )=d 2>0,所以a 2>a 1a 3,故③正确;若a 1<0,则(a 2-a 1)·(a 2-a 3)=d ·(-d )=-d 2≤0,故④错.3.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S m -1=-2,S m =0,S m +1=3,则m =________. 答案 5解析 ∵数列{a n }为等差数列,且前n 项和为S n ,∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也为等差数列. ∴S m -1m -1+S m +1m +1=2S m m ,即-2m -1+3m +1=0, 解得m =5,经检验为原方程的解.4.数列{a n }的首项为3,{b n }为等差数列,且b n =a n +1-a n (n ∈N *),若b 3=-2,b 10=12,则a 8=________.答案 3解析 设{b n }的公差为d ,∵b 10-b 3=7d =12-(-2)=14,∴d =2.∵b 3=-2,∴b 1=b 3-2d =-2-4=-6.∴b 1+b 2+…+b 7=7b 1+7×62d =7×(-6)+21×2=0.又b 1+b 2+…+b 7=(a 2-a 1)+(a 3-a 2)+…+(a 8-a 7)=a 8-a 1=a 8-3=0, ∴a 8=3.5.已知数列{a n }满足a n +1=a n -57,且a 1=5,设{a n }的前n 项和为S n ,则使得S n 取得最大值的序号n 的值为________.答案 7或8解析 由题意可知数列{a n }是首项为5,公差为-57的等差数列,所以a n =5-57(n -1)=40-5n 7,该数列前7项是正数项,第8项是0,从第9项开始是负数项,所以S n 取得最大值时,n =7或8.6.已知数列{a n }中,a 1=1且1a n +1=1a n +13(n ∈N *),则a 10=________. 答案 14解析 由已知得1a 10=1a 1+(10-1)×13=1+3=4, 故a 10=14. 7.已知递增的等差数列{a n }满足a 1=1,a 3=a 22-4,则a n =________. 答案 2n -1解析 设等差数列的公差为d ,∵a 3=a 22-4,∴1+2d =(1+d )2-4,解得d 2=4,即d =±2.由于该数列为递增数列,故d =2.∴a n =1+(n -1)×2=2n -1.8.设数列{a n }的通项公式为a n =2n -10(n ∈N *),则|a 1|+|a 2|+…+|a 15|=________. 答案 130解析 由a n =2n -10(n ∈N *)知{a n }是以-8为首项,2为公差的等差数列,又由a n =2n -10≥0得n ≥5,∴n ≤5时,a n ≤0,当n >5时,a n >0,∴|a 1|+|a 2|+…+|a 15|=-(a 1+a 2+a 3+a 4)+(a 5+a 6+…+a 15)=20+110=130.9.在等差数列{a n }中,a 1=1,a 3=-3.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)若数列{a n }的前k 项和S k =-35,求k 的值.解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ,则a n =a 1+(n -1)d .由a 1=1,a 3=-3,可得1+2d =-3,解得d =-2.从而a n =1+(n -1)×(-2)=3-2n .(2)由(1)可知a n =3-2n ,所以S n =n [1+(3-2n )]2=2n -n 2.由S k =-35,可得2k -k 2=-35,即k 2-2k -35=0,解得k =7或k =-5.又k ∈N *,故k =7.10.(2015·济南模拟)等差数列{a n }中,设S n 为其前n 项和,且a 1>0,S 3=S 11,则当n 为多少时,S n 最大?解 方法一 由S 3=S 11得3a 1+3×22d =11a 1+11×102d ,则d =-213a 1. 从而S n =d 2n 2+⎝⎛⎭⎫a 1-d 2n =-a 113(n -7)2+4913a 1, 又a 1>0,所以-a 113<0.故当n =7时,S n 最大. 方法二 由于S n =an 2+bn 是关于n 的二次函数,由S 3=S 11,可知S n =an 2+bn 的图象关于n =3+112=7对称.由方法一可知a =-a 113<0,故当n =7时,S n 最大. 方法三 由方法一可知,d =-213a 1.要使S n 最大, 则有⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0,a n +1≤0,即⎩⎨⎧ a 1+(n -1)⎝⎛⎭⎫-213a 1≥0,a 1+n ⎝⎛⎭⎫-213a 1≤0,解得6.5≤n ≤7.5,故当n =7时,S n 最大.方法四 由S 3=S 11,可得2a 1+13d =0,即(a 1+6d )+(a 1+7d )=0,故a 7+a 8=0,又由a 1>0,S 3=S 11可知d <0,所以a 7>0,a 8<0,所以当n =7时,S n 最大.B 组 专项能力提升(时间:20分钟)11.已知正项等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 12=24,则a 6·a 7的最大值为________. 答案 4解析 在等差数列{a n }中,∵S 12=6(a 6+a 7)=24,∴a 6+a 7=4,令x >0,y >0,由基本不等式可得x ·y ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x +y 22,当且仅当x =y 时“=”成立.又a 6>0,a 7>0,∴a 6·a 7≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a 6+a 722=4,当且仅当a 6=a 7=2时,“=”成立.即a 6·a 7的最大值为4.12.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 1=-3,a k +1=32,S k=-12,则正整数k =________. 答案 13解析 S k +1=S k +a k +1=-12+32=-212, 又S k +1=(k +1)(a 1+a k +1)2=(k +1)⎝⎛⎭⎫-3+322=-212,解得k =13. 13.设等差数列{a n },{b n }的前n 项和分别为S n ,T n ,若对任意自然数n 都有S n T n =2n -34n -3,则a 9b 5+b 7+a 3b 8+b 4的值为________. 答案1941 解析 ∵{a n },{b n }为等差数列,∴a 9b 5+b 7+a 3b 8+b 4=a 92b 6+a 32b 6=a 9+a 32b 6=a 6b 6. ∵S 11T 11=a 1+a 11b 1+b 11=2a 62b 6=2×11-34×11-3=1941, ∴a 6b 6=1941. 14.已知数列{a n }是首项为a ,公差为1的等差数列,b n =1+a n a n,若对任意的n ∈N *,都有b n ≥b 8成立,则实数a 的取值范围为________.答案 (-8,-7)解析 依题意得b n =1+1a n,对任意的n ∈N *,都有b n ≥b 8,即数列{b n }的最小项是第8项,于是有1a n ≥1a 8.又数列{a n }是公差为1的等差数列,因此有⎩⎪⎨⎪⎧ a 8<0,a 9>0,即⎩⎪⎨⎪⎧a +7<0,a +8>0,由此解得-8<a <-7,即实数a 的取值范围是(-8,-7).15.已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足a 3·a 4=117,a 2+a 5=22.(1)求通项a n ;(2)求S n 的最小值;(3)若数列{b n }是等差数列,且b n =S n n +c,求非零常数c . 解 (1)因为数列{a n }为等差数列,所以a 3+a 4=a 2+a 5=22.又a 3·a 4=117,所以a 3,a 4是方程x 2-22x +117=0的两实根, 又公差d >0,所以a 3<a 4,所以a 3=9,a 4=13,所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 1+2d =9,a 1+3d =13,所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 1=1,d =4.所以通项a n =4n -3.(2)由(1)知a 1=1,d =4,所以S n =na 1+n (n -1)2×d =2n 2-n =2⎝⎛⎭⎫n -142-18. 所以当n =1时,S n 最小,最小值为S 1=a 1=1.(3)由(2)知S n =2n 2-n ,所以b n =S n n +c =2n 2-n n +c, 所以b 1=11+c ,b 2=62+c ,b 3=153+c. 因为数列{b n }是等差数列,所以2b 2=b 1+b 3,即62+c ×2=11+c +153+c ,所以2c2+c=0,所以c=-1或c=0(舍去),2时,{b n}是等差数列,经验证c=-12故c=-12.。
4.2.2等差数列的前n项和公式第1课时等差数列前n项和及其性质基础过关练题组一求等差数列的前n项和1.已知等差数列{a n}满足a1=1,a m=99,d=2,则其前m项和S m等于()A.2300B.2400C.2600D.25002.在-20与40之间插入8个数,使这10个数成等差数列,则这10个数的和为()A.200B.100C.90D.703.设S n是等差数列{a n}的前n项和,已知a2=3,a6=11,则S7等于()A.13B.35C.49D.634.(2020安徽合肥高三第一次教学质量检测)已知等差数列{a n}的前n 项和为S n,a1=-3,2a4+3a7=9,则S7等于()A.21B.1C.-42D.05.若数列{a n}为等差数列,S n为其前n项和,且a1=2a5-1,则S17等于()A.-17B.-172C.172D.176.(2019湖南师大附中高二上期中)在等差数列{a n}中,若a5,a7是方程x2-2x-6=0的两个根,则数列{a n}的前11项的和为()A.22B.-33C.-11D.117.已知等差数列{a n}.(1)若a6=10,a8=16,求S5;(2)若a2+a4=48,求S5.5题组二等差数列前n项和的性质8.设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9等于()A.63B.45C.36D.279.在等差数列{a n}中,S n是其前n项和,且S2011=S2018,S k=S2008,则正整数k为()A.2019B.2020C.2021D.202210.含2n+1项的等差数列,其奇数项的和与偶数项的和之比为()A.2n+1n B.n+1nC.n-1n D.n+12n11.已知等差数列{a n},{b n}的前n项和分别为S n,T n,若S nT n =3n2n+5,则a8b8=()A.87B.4837C.97D.1213题组三等差数列前n项和的应用12.数列{a n}为等差数列,它的前n项和为S n,若S n=(n+1)2+λ,则λ的值是()A.-2B.-1C.0D.113.(2020山东济南一中高二上期中)已知等差数列{a n}的前9项和为27,a10=8,则a100=()A.100B.99C.98D.9714.(2020山东青岛高二上期末)已知数列{a n}的前n项和为S n,若a n+1=a n+2,S5=25,n∈N*,则a5=()A.7B.5C.9D.315.(2020天津一中高二上期中)已知等差数列前3项的和为34,后3项的和为146,所有项的和为390,则这个数列的项数为()A.13B.12C.11D.1016.若数列{a n}的前n项和S n=2n2-3n(n∈N*),则a1+a7等于()A.11B.15C.17D.2217.(2019湖南怀化三中高二上期中)已知{a n}是首项为a1,公差为d的等差数列,S n是其前n项和,且S5=5,S6=-3.求数列{a n}的通项公式及S n.能力提升练题组一求等差数列的前n项和1.(2020湖南郴州高二上期中,)已知数列{a n}是等差数列且a n>0,设其前n项和为S n.若a1+a9=a52,则S9=()A.36B.18C.27D.92.(2020江西九江一中高二上期中,)等差数列{a n}的前n项和为S n,若a2+a7+a12=30,则S13等于()A.130B.65C.70D.753.(2019湖北黄冈高一下期末,)如图,将若干个点摆成三角形图案,每条边(包括两个端点)有n(n≥2,n∈N*)个点,相应的图案中点的总数记为a n,则a2+a3+a4+…+a n等于()A.3n 22B.n(n+1)2C.3n(n-1)2D.n(n-1)24.(2020安徽阜阳高二上期末,)已知数列{a n}中,a1=1,a2=2,对任意正整数n,a n+2-a n=2+cos nπ,S n为{a n}的前n项和,则S100=.题组二等差数列前n项和的性质5.()已知数列{a n},{b n}均为等差数列,其前n项和分别记为A n,B n,满足A nB n =4n+12n+3,则a5b7的值为(深度解析)A.2117B.3729C.5329D.41316.()设等差数列{a n}的前n项和为S n,且S m=-2,S m+1=0,S m+2=3,则m=.7.(2019河北沧州一中高二期中,)在等差数列{a n}中,前m(m为奇数)项的和为135,其中偶数项之和为63,且a m-a1=14,则a100=.题组三等差数列前n项和的应用8.(2020河北正定中学高二期末,)设S n是等差数列{a n}的前n项和,若a5a3=59,则S9S5等于()A.1B.-1C.2D.129.(2019陕西西安一中高二上月考,)设S n(S n≠0,n∈N*)是数列{a n}的前n项和,且a1=-1,a n+1=S n·S n+1,则S n等于()A.nB.-nC.1n D.-1n10.()若数列{a n}的前n项和S n=n2-4n+2(n∈N*),则|a1|+|a2|+…+|a10|等于()A.15B.35C.66D.10011.(2020天津耀华中学高二上期中,)数列{a n}满足a n=1+2+3+…+nn (n∈N*),则数列{1a n a n+1}的前n项和为()A.nn+2B.2nn+2C.nn+1D.2nn+112.()已知数列{a n}的前n项和S n=n2+2n-1(n∈N*),则a1+a3+a5+…+a25=.13.()已知等差数列的前三项依次为a,3,5a,前n项和为S n,且S k=121.(1)求a及k的值;(2)设数列{b n}的通项公式为b n=S nn,求{b n}的前n项和T n.14.()在数列{a n}中,a1=8,a4=2,且满足a n+2-2a n+1+a n=0(n∈N*).(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设T n=|a1|+|a2|+…+|a n|,求T n.深度解析答案全解全析 基础过关练1.D 解法一:由a m =a 1+(m-1)d,得99=1+(m-1)×2,解得m=50, 所以S m =S 50=50×1+50×492×2=2 500.解法二:同解法一,得m=50, 所以S m =S 50=50(a 1+a 50)2=50×(1+99)2=2 500.故选D.2.B 设该等差数列为{a n },其前n 项和为S n ,则由题意可知,a 1=-20,a 10=40,所以S 10=10×(-20+40)2=100.3.C 由题意得,S 7=7(a 1+a 7)2=7(a 2+a 6)2=7×(3+11)2=49. 4.D 设等差数列{a n }的公差为d,则2a 4+3a 7=2(-3+3d)+3(-3+6d)=9,解得d=1,∴S 7=7a 1+7×62×d=7×(-3)+7×3×1=0,故选D.5.D 设等差数列{a n }的公差为d,∵a 1=2a 5-1,∴a 1=2(a 1+4d)-1,∴a 1+8d=1,即a 9=1,∴S 17=17×(a 1+a 17)2=17a 9=17.故选D.6.D 在等差数列{a n }中,若a 5,a 7是方程x 2-2x-6=0的两个根,则a 5+a 7=2, ∴a 6=12(a 5+a 7)=1,∴数列{a n }的前11项的和为11×(a 1+a 11)2=11a 6=11×1=11.故选D.7.解析 设等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d. (1)∵a 6=10,a 8=16,∴{a 1+5d =10,a 1+7d =16,解得{a 1=-5,d =3. ∴S 5=5a 1+5×42d=5.(2)解法一:∵a 2+a 4=a 1+d+a 1+3d=485,∴a 1+2d=245.∴S 5=5a 1+5×42d=5a 1+10d=5(a 1+2d)=5×245=24.解法二:∵a 2+a 4=a 1+a 5,∴a 1+a 5=485, ∴S 5=5(a 1+a 5)2=52×485=24.8.B 由等差数列前n 项和的性质可知,S 3,S 6-S 3,S 9-S 6构成等差数列,所以S 3+(S 9-S 6)=2(S 6-S 3),即S 9=3S 6-3S 3,又S 3=9,S 6=36,所以S 9=3×36-3×9=81,所以a 7+a 8+a 9=S 9-S 6=81-36=45.9.C 因为等差数列的前n 项和S n 是关于n 的二次函数,所以由二次函数图象的对称性及S 2 011=S 2 018,S k =S 2 008,可得2 011+2 0182=2 008+k2,解得k=2 021,故选C.10.B 设该等差数列为{a n },其首项为a 1,前n 项和为S n ,则S 奇=(n+1)(a 1+a 2n+1)2,S 偶=n(a 2+a 2n )2,∵a 1+a 2n+1=a 2+a 2n ,∴S 奇S 偶=n+1n.11.C 由等差数列的性质知a 8b 8=15(a 1+a 15)215(b 1+b 15)2=S 15T 15=3×152×15+5=4535=97.故选C.12.B ∵等差数列前n 项和S n 的形式为S n =An 2+Bn(A,B 为常数),且S n =(n+1)2+λ=n 2+2n+1+λ,∴λ=-1.13.C 设等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d,由等差数列{a n }的前9项和为27,a 10=8,得{9a 1+9×82d =9a 1+36d =27,a 1+(10-1)d =a 1+9d =8,解得{a 1=-1,d =1.故a 100=a 1+99d=98.故选C.14.C ∵a n+1=a n +2,即a n+1-a n =2,∴{a n }是公差为2的等差数列,设其首项为a 1, 则S 5=5a 1+5×42×2=25,解得a 1=1,∴a 5=1+(5-1)×2=9.15.A 设该等差数列为{a n },其前n 项和为S n .由题意得,a 1+a 2+a 3=34,a n-2+a n-1+a n =146,∴(a 1+a 2+a 3)+(a n-2+a n-1+a n )=(a 1+a n )+(a 2+a n-1)+(a 3+a n-2)=3(a 1+a n )=34+146,∴a 1+a n =60. 又S n =n(a 1+a n )2,∴390=n×602,解得n=13,故选A.16.D 由S n =2n 2-3n(n ∈N *)可知,数列{a n }为等差数列,所以S 7=7×(a 1+a 7)2=2×72-3×7,解得a 1+a 7=22,故选D.17.解析 由S 5=5,S 6=-3,得{5a 1+5×42d =5,6a 1+6×52d =-3,解得{a 1=7,d =-3, ∴a n =7+(n-1)×(-3)=-3n+10(n ∈N *),S n =n[7+(-3n+10)]2=-32n 2+172n(n ∈N *).能力提升练1.B 由a 1+a 9=a 52得,2a 5=a 52,又a n >0,∴a 5=2,∴S 9=9(a 1+a 9)2=9×2a 52=18,故选B.2.A 解法一:设等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d,则a 2+a 7+a 12=(a 1+d)+(a 1+6d)+(a 1+11d)=3a 1+18d=30,∴a 1+6d=10. ∴S 13=13a 1+13×122d=13(a 1+6d)=13×10=130,故选A.解法二:设等差数列{a n }的首项为a 1,∵a 2+a 7+a 12=30,∴3a 7 =30,即a 7 =10,∴S 13=13(a 1+a 13)2=13×2a 72=13a 7=130.故选A.3.C 由题图可知,a 2=3,a 3=6,a 4=9,a 5=12,依此类推,n 每增加1,图案中的点数增加3,所以相应图案中的点数构成首项为a 2=3,公差为3的等差数列,所以a n =3+(n-2)×3=3n-3,n ≥2,n ∈N *, 所以a 2+a 3+a 4+…+a n =(n -1)(3+3n -3)2=3n(n -1)2.故选C.4.答案 5 050解析 当n 为奇数时,a n+2-a n =1,即数列{a n }的奇数项是以1为首项,1为公差的等差数列;当n 为偶数时,a n+2-a n =3,即数列{a n }的偶数项是以2为首项,3为公差的等差数列,所以S 100=(a 1+a 3+…+a 99)+(a 2+a 4+…+a 100)=(50×1+50×492)+50×2+50×492×3=5 050.5.B 由等差数列前n 项和的特征及An B n =4n+12n+3,可设A n =kn(4n+1),B n =kn(2n+3). ∴a 5=A 5-A 4=5×(4×5+1)k-4×(4×4+1)k=37k,b 7=B 7-B 6=7×(2×7+3)k-6×(2×6+3)k=29k. ∴a5b 7=37k 29k =3729.故选B.解题模板易错警示 等差数列{a n }的前n 项和的表示形式为S n =an 2+bn(a,b 为常数),解题时可采用这种形式简化运算.本题要注意A n B n中有比例系数k,防止遗漏导致错误. 6.答案 4解析 因为S n 是等差数列{a n }的前n 项和,所以数列{Sn n }是等差数列,所以Sm m +S m+2m+2=2S m+1m+1,即-2m +3m+2=0,解得m=4.7.答案 101解析 设等差数列{a n }的公差为d,前n 项和为S n ,由题意可知,S m =135,前m 项中偶数项之和S 偶=63,∴S 奇=135-63=72,∴S 奇-S 偶=a 1+(m -1)d 2=2a 1+(m -1)d 2=a 1+a m2=72-63=9.∵S m =m(a 1+a m )2=135,∴m=15,又∵a m -a 1=14,a m =a 1+(m-1)d, ∴a 1=2,d=a m -a 1m -1=14m -1=1,∴a 100=a 1+99d=101. 8.AS 9S 5=92(a 1+a 9)52(a 1+a 5)=92×2a 552×2a 3=9a 55a 3=95·a 5a 3=1.故选A.9.D ∵a n+1=S n+1-S n ,∴S n+1-S n =S n+1·S n , 又∵S n ≠0,∴1S n+1-1S n=-1.又S 1=a 1=-1,∴1S 1=-1,∴数列{1Sn}是以-1为首项,-1为公差的等差数列,∴1S n=-1+(n-1)×(-1)=-n,∴S n =-1n.故选D.10.C 由S n =n 2-4n+2①得,当n=1时,a 1=S 1=1-4+2=-1,当n ≥2时,S n-1=(n-1)2-4(n-1)+2②,①-②得,a n =2n-5(n ≥2,n ∈N *),经检验,当n=1时,不符合a n =2n-5,∴a n ={-1,n =1,2n -5,n ≥2,n ∈N *.∴|a 1|=1,|a 2|=1,a 3=1,令a n >0,则2n-5>0, ∴n ≥3.∴|a 1|+|a 2|+…+|a 10|=1+1+a 3+…+a 10=2+(S 10-S 2)=2+[(102-4×10+2)-(22-4×2+2)]=66.故选C. 11.B 依题意得,a n =n(1+n)2n=n+12, ∴1a n a n+1=4(n+1)(n+2)=4(1n+1-1n+2).∴1a 1a 2+1a 2a 3+…+1a n a n+1=4(12-13)+(13-14)+…+1n+1-1n+2=4(12-1n+2)=2nn+2,故选B. 12.答案 350解析 当n=1时,a 1=S 1=12+2×1-1=2; 当n ≥2时,a n =S n -S n-1=2n+1, 经检验,当n=1时,不符合上式, ∴a n ={2,n =1,2n +1,n ≥2,n ∈N *,因此{a n }除第1项外,其余项构成以a 2=5为首项,2为公差的等差数列,从而a 3,a 5,…,a 25是以a 3=7为首项,4为公差的等差数列, ∴a 1+a 3+a 5+…+a 25 =a 1+(12a 3+12×112×4)=350.13.解析 (1)设该等差数列为{a n },首项为a 1,公差为d,则a 1=a,a 2=3,a 3=5a. 由已知得a+5a=6,得a=1, ∴a 1=1,a 2=3,a 3=5, ∴d=2,∴S k=ka1+k(k-1)2·d=k+k(k-1)2×2=k2.由S k=k2=121,得k=11(负值舍去).∴a=1,k=11.(2)由(1)得S n=n2,则b n=S nn=n,∴b n+1-b n=1,又b1=S11=1,∴数列{b n}是首项为1,公差为1的等差数列,∴T n=n 2+n 2.14.解析(1)∵a n+2-2a n+1+a n=0,∴a n+2-a n+1=a n+1-a n,∴数列{a n}是等差数列,设其公差为d,∵a1=8,a4=2,∴d=a4-a14-1=-2,∴a n=a1+(n-1)d=10-2n,n∈N*.(2)设数列{a n}的前n项和为S n,则由(1)可得,S n=8n+n(n-1)2×(-2)=9n-n2,n∈N*.由(1)知a n=10-2n,令a n=0,得n=5.∴当n>5时,a n<0,则T n=|a1|+|a2|+…+|a n|=a1+a2+…+a5-(a6+a7+…+a n)=S5-(S n-S5)=2S5-S n=2×(9×5-25)-(9n-n2)=n2-9n+40;当n ≤5时,a n ≥0, 则T n =|a 1|+|a 2|+…+|a n | =a 1+a 2+…+a n =9n-n 2.∴T n ={9n -n 2,n ≤5,n ∈N *,n 2-9n +40,n ≥6,n ∈N *.解题反思 求数列{|a n |}的前n 项和,关键在于分清哪些项为非负的,哪些项为负的,最终应化为去掉绝对值符号后的数列进行求和. 如果数列{a n }为等差数列,S n 为其前n 项和,T n =|a 1|+|a 2|+…+|a n |,那么有: (1)若a 1>0,d<0,则存在k ∈N *,使得a k ≥0,a k+1<0, 从而有T n ={S n (n ≤k),2S k -S n (n >k);(2)若a 1<0,d>0,则存在k ∈N *,使得a k ≤0,a k+1>0, 从而有T n ={-S n (n ≤k),S n -2S k (n >k).。
等差数列前N项和测试题一、单选题(共11题;共22分)1.(2020高一下·太和期末)一个等差数列共有2n+1项,其奇数项的和为512,偶数项的和为480,则中间项的值为()A. 30B. 31C. 32D. 332.(2020高一下·太和期末)等差数列的前n项和为,且,则()A. 8B. 9C. 10D. 113.(2020高一下·温州期末)等差数列中,,,是数列的前n项和,则()A. B. C. D.4.数列中,已知且则()A. 19B. 21C. 99D. 1015.(2020高一下·七台河期末)等差数列的首项为1,公差不为0,若成等比数列,则的前6项的和为()A. -24B. 3C. 8D. 116.(2020高一下·七台河期末)已知是公差为1的等差数列,为的前n项和.若,则()A. 10B. 12C.D.7.(2020高一下·鹤岗期末)设为等差数列的前n项和,若,,则()A. -12B. -10C. 10D. 128.(2020高一下·鹤岗期末)已知是等差数列的前n项和,,设为数列的前n项和,则()A. 2014B. -2014C. 2015D. -20159.(2020高一下·哈尔滨期末)若一个等差数列的前3项和为24,最后3项的和为126,所有项的和为275,则这个数列共有()A. 13项B. 12项C. 11项D. 10项10.(2020高一下·台州期末)已知等差数列的前n项和为,若,,,则()A. B. C. D.11.(2020高一下·广东月考)等差数列中,若,且,为前n项和,则中最大的是()A. B. C. D.二、填空题(共8题;共10分)12.(2020高一下·湖州期末)设公差为d的等差数列的前n项和为,若,,则________,取最小值时,n=________.13.(2020高一下·上海期末)已知等差数列满足:,,数列的前n项和为,则的取值范围是________.14.(2020高一下·上海期末)等差数列的前项和为,,则________.15.(2020高一下·上海期末)已知为等差数列, , 前n项和取得最大值时n的值为________.16.(2020高一下·南宁期末)已知为等差数列的前n项和,且,,则________.17.(2020高一下·黑龙江期末)已知为等差数列,其公差为2,且是与的等比中项,为前n项和,则的值为________.18.(2020高一下·金华月考)已知数列满足:,其前n项和为,则________,当取得最小值时,n的值为________.19.(2020高一下·尚义期中)设等差数列的前n项和为.若,,则正整数________.三、解答题(共6题;共55分)20.(2020高一下·六安期末)记为等差数列的前n项和,已知.(1)若,求的通项公式;(2)若,求使得的n的取值范围.21.(2020高一下·徐汇期末)设等差数列的前n项和为,若,,. (1)求常数k的值;(2)求的前n项和.22.在公差为d的等差数列中,已知,且成等比数列,为数列的前n 项和.(1)求;(2)若,求的最大值.23.(2020高一下·台州期末)已知等差数列中,为其前n项和,,.(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)记,,求数列的前n项和.24.(2020高一下·尚义期中)已知等差数列的前n项和为,且,.(1)求数列的通项公式;(2)设,求数列的前n项和.25.(2020高一下·崇礼期中)已知等差数列的前项和为,,,.(1)求数列的通项公式;(2)设,求数列的前n项和.答案解析部分一、单选题1.【答案】C【解析】【解答】中间项为.因为,,所以.故答案为:C.【分析】利用等差数列前n项和公式,对奇数项的和、偶数项的和列式.通过等差数列的性质,都转化为的形式,然后两式相减,可得到的值.2.【答案】B【解析】【解答】∵等差数列的前n项和为,且,解得故答案为:B.【分析】利用已知条件结合等差数列通项公式和前n项和公式,建立关于等差数列首项和公差的方程组,从而求出首项和公差,进而用等差数列通项公式求出等差数列第八项的值。
等差数列求和练习[A 组 基础巩固]1.等差数列{a n }中,d =2,a n =11,S n =35,则a 1等于( )A .5或7B .3或5C .7或-1D .3或-1解析:由题意,得⎩⎪⎨⎪⎧ a n =11,S n =35,即⎩⎨⎧ a 1+2(n -1)=11,na 1+n (n -1)2×2=35.解得⎩⎪⎨⎪⎧ n =5,a 1=3,或⎩⎪⎨⎪⎧n =7,a 1=-1.答案:D2.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 2=4,S 4=20,则该数列的公差d 为( )A .7B .6C .3D .2 解析:由S 2=4,S 4=20,得2a 1+d =4,4a 1+6d =20,解得d =3.答案:C3.已知等差数列{a n }满足a 2+a 4=4,a 3+a 5=10,则它的前10项的和S 10等于( )A .138B .135C .95D .23解析:由a 2+a 4=4,a 3+a 5=10,可知d =3,a 1=-4.∴S 10=-40+10×92×3=95. 答案:C4.若等差数列{a n }的前5项和S 5=25,且a 2=3,则a 7等于( )A .12B .13C .14D .15解析:由S 5=5a 3=25,∴a 3=5.∴d =a 3-a 2=5-3=2.∴a 7=a 2+5d =3+10=13.答案:B5.已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2-9n ,第k 项满足5<a k <8,则k 等于( )A .9B .8C .7D .6解析:当n =1时,a 1=S 1=-8;当n ≥2时,a n =S n -S n -1=(n 2-9n )-[(n -1) 2-9(n -1)]=2n -10.综上可得数列{a n }的通项公式a n =2n -10.所以a k =2k -10.令5<2k -10<8,解得k =8.答案:B6.已知数列{a n }中,a 1=1,a n =a n -1+12(n ≥2),则数列{a n }的前9项和等于________. 解析:∵n ≥2时,a n =a n -1+12,且a 1=1,所以数列{a n }是以1为首项,以12为公差的等差数列,所以S 9=9×1+9×82×12=9+18=27. 答案:277.等差数列{a n }中,若a 10=10,a 19=100,前n 项和S n =0,则n =________.解析:⎩⎪⎨⎪⎧a 1+9d =10a 1+18d =100,∴d =10,a 1=-80. ∴S n =-80n +n (n -1)2×10=0, ∴-80n +5n (n -1)=0,n =17.答案:178.等差数列{a n }中,a 2+a 7+a 12=24,则S 13=________.解析:因为a 1+a 13=a 2+a 12=2a 7,又a 2+a 7+a 12=24,所以a 7=8.所以S 13=13(a 1+a 13)2=13×8=104. 答案:1049.在等差数列{a n }中:(1)已知a 5+a 10=58,a 4+a 9=50,求S 10;(2)已知S 7=42,S n =510,a n -3=45,求n .解析:(1)由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧ a 5+a 10=2a 1+13d =58,a 4+a 9=2a 1+11d =50,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=3,d =4. ∴S 10=10a 1+10×(10-1)2d =10×3+10×92×4=210. (2)S 7=7(a 1+a 7)2=7a 4=42, ∴a 4=6.∴S n =n (a 1+a n )2=n (a 4+a n -3)2=n (6+45)2=510. ∴n =20.10.在等差数列{a n }中,a 10=18,前5项的和S 5=-15,(1)求数列{a n }的通项公式;(2)求数列{a n }的前n 项和的最小值,并指出何时取得最小值.解析:(1)设{a n }的首项,公差分别为a 1,d . 则⎩⎪⎨⎪⎧a 1+9d =18,5a 1+52×4×d =-15, 解得a 1=-9,d =3,∴a n =3n -12.(2)S n =n (a 1+a n )2=12(3n 2-21n ) =32⎝⎛⎭⎫n -722-1478, ∴当n =3或4时,前n 项的和取得最小值为-18.[B 组 能力提升]1.S n 是等差数列{a n }的前n 项和,a 3+a 6+a 12为一个常数,则下列也是常数的是( )A .S 17B .S 15C .S 13D .S 7 解析:∵a 3+a 6+a 12为常数,∴a 2+a 7+a 12=3a 7为常数,∴a 7为常数.又S 13=13a 7,∴S 13为常数.答案:C2.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,S m -1=-2,S m =0,S m +1=3,则m =( )A .3B .4C .5D .6解析:a m =S m -S m -1=2,a m +1=S m +1-S m =3,∴d =a m +1-a m =1,由S m =(a 1+a m )m 2=0, 知a 1=-a m =-2,a m =-2+(m -1)=2,解得m =5.答案:C3.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若a 5a 3=59,则S 9S 5等于________. 解析:由等差数列的性质,a 5a 3=2a 52a 3=a 1+a 9a 1+a 5=59, ∴S 9S 5=92(a 1+a 9)52(a 1+a 5)=95×59=1. 答案:14.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知前6项和为36,最后6项和为180,S n =324(n >6),则数列的项数n =________,a 9+a 10=________.解析:由题意,可知a 1+a 2+…+a 6=36 ①,a n +a n -1+a n -2+…+a n -5=180 ②,由①+②,得(a 1+a n )+(a 2+a n -1)+…+(a 6+a n -5)=6(a 1+a n )=216,∴a 1+a n =36.又S n =n (a 1+a n )2=324,∴18n =324,∴n =18,∴a 1+a 18=36,∴a 9+a 10=a 1+a 18=36. 答案:18 365.等差数列{a n }的前n 项和S n =-32n 2+2052n ,求数列{|a n |}的前n 项和T n . 解析:a 1=S 1=101,当n ≥2时,a n =S n -S n -1=-32n 2+2052n -⎣⎡ -32(n -1)2+ ⎦⎤2052(n -1)=-3n +104,a 1=S 1=101也适合上式,所以a n =-3n +104,令a n =0,n =3423,故n ≥35时,a n <0,n ≤34时,a n >0,所以对数列{|a n |},n ≤34时,T n =|a 1|+|a 2|+…+|a n |=a 1+a 2+…+a n =-32n 2+2052n ,当n ≥35时,T n =|a 1|+|a 2|+…+|a 34|+|a 35|+…+|a n |=a 1+a 2+…+a 34-a 35-…-a n=2(a 1+a 2+…+a 34)-(a 1+a 2+…+a n )=2S 34-S n =32n 2-2052n +3 502, 所以T n=⎩⎨⎧ -32n 2+2052n (n ≤34),32n 2-2052n +3 502(n ≥35).6.设{a n }为等差数列,S n 为数列{a n }的前n 项和,已知S 7=7,S 15=75,T n 为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和,求T n .解析:设等差数列{a n }的公差为d ,则S n =na 1+12n (n -1)d , ∵S 7=7,S 15=75,∴⎩⎪⎨⎪⎧ 7a 1+21d =7,15a 1+105d =75,即⎩⎪⎨⎪⎧ a 1+3d =1,a 1+7d =5,解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1=-2,d =1,∴S n n =a 1+12(n -1)d =-2+12(n -1), ∵S n +1n +1-S n n =12, ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列,其首项为-2,公差为12, ∴T n =n ×(-2)+n ·(n -1)2×12=14n 2-94n .。
三、等差数列的前n 项和1.等差数列前n 项和公式n a 通项公式得到)★ 21()22n d dS n a n =+-(以n 为变量,体现二次函数) 2n S An Bn =+(简化写法,不含常数项的二次函数)2.和的有关性质等差数列{}n a ,公差为d ,前n 项和为n S ,那么: (1){}n S n也成等差数列,其首项与{}n a 首项相同,公差是{}n a 公差的12.(2)等差数列{}n b ,前n 项和为n T (21(21)n n S n a -=-).★ (3)数列232,,,k k k k k S S S S S --是等差数列,公差为2k d .★(4)S 奇表示奇数项的和,S 偶表示偶数项的和,则有:①当项数为偶数2n 时,S S nd -=偶奇,1nn S a S a +=奇偶; ②当项数为奇数21n -时,n S S a -=奇偶,1S nS n =-奇偶.3.和与函数的关系及和的最值 21()22n d dS n a n =+-简写为2()n S An Bn n =+∈*N ,可以把(,)n n S 看作是二次函数图像上孤立的点,因此可以用二次函数的性质来研究和的性质,比如对称和求最值.练习题:D.9答案解析:11 | 1312 | 1313 | 13当12n <时,n S 很明显都是小于0的 故n S 取到最小正数时的n 为12. 答案:1231解析:由1020S S =知对称轴为15n =,故最大值为前15项之和. 答案:A 32解析:41434442S a d ⨯=+=,81878562S a d ⨯=+=两式联立解得114a =,2d =- 故2(1)14(2)152n n n S n n n -=+⨯-=-+ 对称轴为7.5,故当7n =或8n =时取最大值27715756S =-+⨯=.答案:最大值为7856S S ==33解析:根据对称性,由67S S =可知58S S =,49S S = 由中间到两端以此减小,所以985S S S <=,C 选项错误. 答案:C34解析:由条件可知函数零点在18与19之间,又函数过原点则对称轴应介于182与192之间,即大于9小于9.5 数列的下标只能取正整数,离对称轴最近的正整数为9,故9S 最大. 答案:C数学浪子整理制作,侵权必究。
等差数列与前n项和练习试题(可编辑修改word版)第1 讲等差数列及其前n 项和⼀、填空题1.在等差数列{a n}中,a3+a7=37,则a2+a4+a6+a8=.2.设等差数列{a }的前n 项和为S ,若S4 -S3=1,则公差为.n n12 93.在等差数列{a n}中,a1>0,S4=S9,则S n取最⼤值时,n=.4.在等差数列{a n}中,若a1+a4+a7=39,a3+a6+a9=27,则S9=. 5.设等差数列{a n}的公差为正数,若a1+a2+a3=15,a1a2a3=80,则a11+a12+a13=.6.已知数列{a n}的前n 项和为S n=2n2+pn,a7=11.若a k+a k+1>12,则正整数k 的最⼩值为.7.已知数列{a n}满⾜递推关系式a n=2a n+2n-1(n∈N*),且a n+λ为等差数{ 2n }+1列,则λ的值是.8.已知数列{a n}为等差数列,S n为其前n 项和,a7-a5=4,a11=21,S k=9,则k=.10.已知f(x)是定义在R 上不恒为零的函数,对于任意的x,y∈R,都有f(x·y)=xf(y)+yf(x)成⽴.数列{a n}满⾜a n=f(2n)(n∈N*),且a1=2.则数列的通项公式a n=.⼆、解答题1.已知等差数列{a n}的前三项为a-1,4,2a,记前n 项和为S n.(1)设S k=2 550,求a 和k 的值;(2)设b n=S n,求b +b +b +…+b 的值.3 7 114n-1n12.已知数列{a n}的通项公式为a n=2n,若a3,a5分别为等差数列{b n}的第3 项和第5 项,试求数列{b n}的通项公式及前n 项和S n.13.在等差数列{a n}中,公差d>0,前n 项和为S n,a2·a3=45,a1+a5=18.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)令b n=S n(n∈N*),是否存在⼀个⾮零常数c,使数列{b n}也为等差数列?n+c若存在,求出c 的值;若不存在,请说明理由.第2 讲等⽐数列及其前n 项和⼀、填空题1.设数列{a n2}前n项和为S n,a1=t,a2=t2,S n+2-(t+1)S n+1+tS n=0,则{a n}是数列,通项a n=.解析由S n+2-(t+1)S n+1+tS n=0,得S n+2-S n+1=t(S n+1-S n),所以a n+2=ta,所以a n+2=t,⼜a2=t,n+1a n+1 a1所以{a n}成等⽐数列,且a n=t·t n-1=t n.答案等⽐t n2.等⽐数列{a }的前n 项和为S 8a +a =0,则S6=.n n, 2 5S34 2 2 2 8 8 解∵8a 2+a 5=8a 1q +a 1q 4=a 1q (8+q 3)=0 ∴q =-2∴S 6=1-q 6=1+q 3=-7.S 3 1-q 3 答案-73. 数列{a n }为正项等⽐数列,若 a 2=2,且 a n +a n +1=6a n -1(n ∈N ,n ≥2),则此数列的前 4 项和 S 4= .解析由 a 1q =2,a 1q n -1+a 1q n =6a 1q n -2,得 q n -1+q n =6q n -2,所以 q 2+q =6.⼜ q >0,所以 q =2,a 1=1.所以 S =a 11-q 4=1-24=15.1-q 1-2答案 154. 已知等⽐数列{a n }的前 n 项和 S n =t ·5n -2-1,则实数 t 的值为.5解析∵a 1=S 1=1t -1,a 2=S 2-S 1=4t ,a 3=S 3-S 2=4t ,∴由{a n }是等⽐数 5 5 5 列知 4t 2= 1t 1 ×4t ,显然 t≠0,所以 t =5.(5 ) (5- )5答案 55. 已知各项都为正数的等⽐数列{a n }中,a 2·a 4=4,a 1+a 2+a 3=14,则满⾜ a n ·a n +1·a n +2≥1的最⼤正整数 n 的值为.8解析由等⽐数列的性质,得 4=a 2·a 4=a 32(a 3>0),所以 a 3=2,所以 a 1+a 2=14-a 3=12,于是由Error!解得Error!所以 a n =8·(1)n -1=(1)n -4. 于是由 a n ·a n +1·a n +2=a n +3 1=(1)3(n -3)=(1)n -3≥1,得 n -3≤1,即 n ≤4.33答案 46.在等⽐数列{a n }中,a n >0,若 a 1·a 2·…·a 7·a 8=16,则 a 4+a 5 的最⼩值为.解析由已知 a 1a 2·…·a 7a 8=(a 4a 5)4=16,所以 a 4a 5=2,⼜ a 4+a 5≥2 a 4a 5=2 2(当且仅当 a 4=a 5=答案 2 2时取等号).所以 a 4+a 5 的最⼩值为 2 2.7. 已知递增的等⽐数列{a }中,a +a =3,a ·a =2,则a 13=.n 2 8 3 7a 10解析∵{a n }是递增的等⽐数列,∴a 3a 7=a 2a 8=2,⼜∵a 2+a 8=3,∴a 2,a 8 是⽅程 x 2-3x +2=0 的两根,则 a 2=1,a 8=2,∴q 6= a 8=2,∴q 3=a 22,∴a 13=q 3= 2.a 10答案8. 设 1=a 1≤a 2≤…≤a 7,其中 a 1,a 3,a 5,a 7 成公⽐为 q 的等⽐数列,a 2,a 4,a 6成公差为 1 的等差数列,则 q 的最⼩值为.解析由题意知 a 3=q ,a 5=q 2,a 7=q 3 且 q ≥1,a 4=a 2+1,a 6=a 2+2 且a 2≥1,那么有 q 2≥2 且 q 3≥3.故 q ≥3 3,即 q 的最⼩值为3 3. 答案⼆、解答题11.在等差数列{a n }中,a 2+a 7=-23,a 3+a 8=-29.(1) 求数列{a n }的通项公式;(2) 设数列{a n +b n }是⾸项为 1,公⽐为 c 的等⽐数列,求{b n }的前 n 项和 S n .解 (1)设等差数列{a n }的公差是 d .依题意 a 3+a 8-(a 2+a 7)=2d =-6,从⽽ d =-3.22nn由 a 2+a 7=2a 1+7d =-23,解得 a 1=-1. 所以数列{a n }的通项公式为 a n =-3n +2.(2)由数列{a n +b n }是⾸项为 1,公⽐为 c 的等⽐数列,得 a n +b n =c n -1,即-3n +2+b n =c n -1,所以 b n =3n -2+c n -1.所以 S n =[1+4+7+…+(3n -2)]+(1+c +c 2+…+c n -1) =n3n -1+(1+c +c 2+…+c n -1). 2从⽽当 c =1 时,S =n 3n -1+n =3n 2+n . 2 2当 c ≠1 时,S n =n3n -1+1-c n . 2 1-c12. 设各项均为正数的等⽐数列{a n }的前 n 项和为 S n ,S 4=1,S 8=17.(1)求数列{a n }的通项公式;( 2)是否存在最⼩的正整数 m ,使得 n ≥m 时,a n >2 011恒成⽴?若存在,求15出 m ;若不存在,请说明理由.解 (1)设{a }的公⽐为 q ,由 S =1,S =17 知 q ≠1,所以得a1q 4-1=1, n48a 1q 8-1=17. q-1q -1相除得q 8-1=17,解得 q 4=16.所以 q =2 或 q =-2(舍去). q 4-1由 q =2 可得 a = 1 ,所以 a =2n -1.1n15 15 (2)由 a =2n -1>2 011,得 2n -1>2 011,⽽ 210<2 011<211,所以 n -1≥11, 1515即 n ≥12.2 011恒成⽴.因此,存在最⼩的正整数m=12,使得n≥m 时,a n>1513.已知公差⼤于零的等差数列{a n}的前n项和为S n,且满⾜a2·a4=65,a1+a5=18.(1)求数列{a n}的通项公式a n.(2)若1<i<21,a1,a i,a21是某等⽐数列的连续三项,求i 的值;(3)是否存在常数k,使得数列{S n+kn}为等差数列?若存在,求出常数k;若不存在,请说明理由.解(1)因为a1+a5=a2+a4=18,⼜a2·a4=65,所以a2,a4是⽅程x2-18x+65=0 的两个根.⼜公差d>0,所以a2<a4.所以a2=5,a4=13. 所以Error!解得a1=1,d=4.所以a n=4n-3.(2)由1<i<21,a1,a i,a21是某等⽐数列的连续三项,所以a1·a21=a2i,即1·81=(4i-3)2,解得i=3.(3)由(1)知,S n=n·1+n n-1·4=2n2-n.2假设存在常数k,使数列{ S n+kn}为等差数列,由等差数列通项公式,可设S n+kn=an+b,得2n2+(k-1)n=an2+2abn+b 恒成⽴,可得a=2,b=0,k=1.所以存在k=1 使得{ S n+kn}为等差数列.第3 讲等差数列、等⽐数列与数列求和⼀、填空题1.设{a n}是公差不为0 的等差数列,a1=2 且a1,a3,a6成等⽐数列,则{a n}的前 n 项和 S n = .解析由题意设等差数列公差为 d ,则 a 1=2,a 3=2+2d ,a 6=2+5d .⼜∵a 1,a 3,a 6 成等⽐数列,∴a 32=a 1a 6,即(2+2d )2=2(2+5d ),整理得 2d 2-d =0.∵ d ≠0,∴d =1,∴S =na +n n -1d =n 2+7n .n 12 2 4 4答案 n 24 42. 数列{a n }的通项公式a n=1,若前 n 项的和为 10,则项数为.n + n +1解析∵a n =答案 1201= n + n +1n +1- n ,∴S n = n +1-1=10,∴n =120.3. 已知等差数列{a n }的前 n 项和为 S n ,a 5=5,S 5=15,则数列{ 1}的前 100a n a n +1项和为.解析∵a =5,S =15,∴5a 1+a 5=15,即 a =1.5512 ∴d =a 5-a 1=1,∴a =n .∴ 1 =1 =1- 1 .设数列 1 的前5-1n 项和为 T n .na n a n +1 n n +1 nn +1{a n a n +1}∴T 100=(1-1)+(1+…+(1 )=1- 1 =100.2 3 答案 100101100 101 101 1014.已知数列{a n },{b n }都是等差数列,a 1=5,b 1=7,且 a 20+b 20=60.则{a n +b n } 的前 20 项的和为.解析由题意知{a n +b n }也为等差数列,所以{a n +b n }的前 20 项和为:S 20= 20a 1+b 1+a 20+b 20=20 × 5+7+60=720.2 22 -- 1c d n22 1 an a n+1答案7205.已知等⽐数列{a n}的前n项和S n=2n-1,则a12+a2+…+a n2=.解析当n=1 时,a1=S1=1,当n≥2 时,a n=S n-S n-1=2n-1-(2n-1-1)=2n-1,⼜∵a1=1 适合上式.∴a n=2n-1,∴a n2=4n-1.∴数列{a n2}是以a21=1 为⾸项,以4 为公⽐的等⽐数列.∴a12+a2+…+a n2=1·1-4n=1(4n-1).答案1(4n-1)31-4 36.定义运算:|a b|=ad-bc,若数列{a}满⾜|a1 1|=1 且| 3 3 |=12(n∈N*),则a3=,数列{a n}的通项公式为a n=.解析由题意得a1-1=1,3a n+1-3a n=12 即a1=2,a n+1-a n=4.∴{a n}是以2 为⾸项,4 为公差的等差数列,∴a n=2+4(n-1)=4n-2,a3=4×3-2=10.答案10 4n-27.在等⽐数列{a n}中,a1=1,a4=-4,则公⽐q=;|a1|+|a2|+…+|a n|=2.解析∵a 4=q3=-8,∴q=-2.∴a =1·(-2)n-1,na1 21n1-2∴|a n|=2n-2,∴|a1|+|a2|+…+|a n|=2 =2n-1-1.1-2 2 答案-2 2n-1-128.已知S n是等差数列{a n}的前n 项和,且S11=35+S6,则S17的值为.解析因S11=35+S6,得11a1+11 × 10d=35+6a1+6 × 5d,即a1+8d=2 27,所以S17=17a1+17 × 16d=17(a1+8d)=17×7=119.2答案1199.等差数列{a n}的公差不为零,a4=7,a1,a2,a5成等⽐数列,数列{T n}满⾜条件T n=a2+a4+a8+…+a2n,则T n=.解析设{a n}的公差为d≠0,由a1,a2,a5成等⽐数列,得a2=a1a5,即(7-2d)2=(7-3d)(7+d)所以d=2 或d=0(舍去).所以a n=7+(n-4)×2=2n-1.⼜a2n=2·2n-1=2n+1-1,故T n=(22-1)+(23-1)+(24-1)+…+(2n+1-1)=(22+23+…+2n+1)-n=2n+2-n-4.答案2n+2-n-410.数列{a n}的通项公式a n=2n-1,如果b n=2n,那么{b n}的前n 项和a n+a n+1为.解析b n=2n n=2n+1-1-2n-1,a n+a n+1所以b1+b2+…+b n=22-1-2-1+23-1-22-1+…+-2n-1=2n+1-1-1.答案⼆、解答题2n+1-1-111.已知{a n}为等差数列,且a3=-6,a6=0.2n+1-1n (1) 求{a n }的通项公式;(2) 若等⽐数列{b n }满⾜ b 1=-8,b 2=a 1+a 2+a 3,求{b n }的前 n 项和公式.解 (1)设等差数列{a n }的公差为 d . 因为 a 3=-6,a 6=0,所以Error!解得 a 1=-10,d =2. 所以 a n =-10+(n -1)·2=2n -12. (2)设等⽐数列{b n }的公⽐为 q .因为 b 2=a 1+a 2+a 3=-24,b 1=-8,所以-8q =-24,即 q =3. 所以{b }的前 n 项和公式为 S =b 1 1-q n =4(1-3n ).n n 1-q13.记公差 d ≠0 的等差数列{a n }的前 n 项和为 S n ,已知 a 1=2+ 2,S 3=12+3(1) 求数列{a n }的通项公式 a n 及前 n 项和 S n .(2) 已知等⽐数列{b nk },b n + 2=a n ,n 1=1,n 2=3,求 n k .(3) 问数列{a n }中是否存在互不相同的三项构成等⽐数列,说明理由.解 (1)因为 a 1=2+所以 d =2.2,S 3=3a 1+3d =12+3 2,所以 a n =a 1+(n -1)d =2n + 2,S =n a 1+a n =n 2+( 22+1)n . (2) 因为 b n =a n -所以 bn k =2n k .2=2n ,2.⼜因为数列{bn }的⾸项bn =b =2,公⽐q=b 3=3,k 1 1b1 所以bn k=2·3k-1.所以2n k=2·3k-1,则n k=3k-1.(3)假设存在三项a r,a s,a t成等⽐数列,则a2s=a r·a t,即有(2s+2)2=(2r+2)(2t+2),整理得(rt-s2) 2=2s-r-t.若rt-s2≠0,则2=2s-r-t,rt-s2因为r,s,t∈N*,所以2s-r-t是有理数,这与rt-s22为⽆理数⽭盾;若rt-s2=0,则2s-r-t=0,从⽽可得r=s=t,这与r综上可知,不存在满⾜题意的三项a r,a s,a t.。
2.3.1 等差数列的前n 项和公式一、 选择题1、设数列{}n a 的前n 项和2n S n =,则8a 的值为( )A 、15B 、16C 、49D 、642、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若244,20S S ==,则数列{}n a 的公差d 等于( )A 、2B 、3C 、6D 、73、在等差数列{}n a 中,,35,11,2===n n S a d 则1a 等于( )A 、5或7B 、3或5C 、7或 1-D 、3或1-4、设{},200100,,7|*<<∈==m N n n m m M 且则集合M 中所有元素的和为( )A 、2100B 、2101C 、2105D 、2107 5、若数列{}n a 为等差数列,公差为21,且,145100=S 则10042...a a a +++的值为( ) A 、60 B 、85 C 、2145 D 、其他值6、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若14611,6a a a =-+=-,则当n S 取最小值时,n 等于( )A 、6 B 、7 C 、8 D 、97、已知等差数列{}n a 中22383829a a a a ++=,且0,n a <则10S 为( )A 、9-B 、11-C 、13-D 、-158、已知数列{}n a 是公差为d 的等差数列,n S 是前n 项和,且有987S S S <=,则下列说法不正确的是( )A 、910S S <B 、0d <C 、7S 与8S 均有n S 的最大值D 、80a =9、已知数列{}n a 的前n 项和29n S n n =-,第k 项满足58k a <<,则k 等于( )A 、9 B 、8 C 、7 D 、610、设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,若11,a =公差22,24k k d S S +=-=,则k 等于( )A 、8 B 、7 C 、6 D 、二、填空题11、等差数列{}n a 中,365,1a a =-=,此数列的通项公式为_______________,设n S 是数列{}n a 的前n 和,则8S 等于________________12、设数列{}n a 的首项17a =-,且满足()*12n n a a n N+=+∈,则1217...a a a +++=____________13、已知数列{}n a 的前n 项和()211,2,3,...n S n n =+=,则其通项公式n a =____________14、已知数列{}n a ,其前n 项和21n S n n =++,则89101112a a a a a ++++=_____________15、设n S 是数列{}n a 的前n 和,若363,24S S ==,则9a =_____________16、在项数为21n +的等差数列中,所有的奇数项的和为165,所有的偶数项的和为150,则n 的值为______________三、简答题17、已知等差数列{}n a 中,(1)已知3,20,65,;n n d a S n ===求(2)已知111a =-,求21;S(3)已知113,n a n =-求n S .18、已知等差数列{}n a 中,374616,0a a a a =-+=,求{}n a 的前n 项和n S .19、有一等差数列共有偶数项,它的奇数项之和与偶数项之和分别是24和30,若最后一项与第一项之差为212,试求此数列的首项、公差和项数.四、探究与拓展20、已知公差大于零的等差数列{}n a 的前n 项和n S ,且满足:3425117,22.a a a a =+=(1)求数列{}n a 的通项公式;n a(2)若数列{}n b 是等差数列,且,n n S b n c=+求非零常数c .第五课时 等差数列的前n 项和公式1-5 AADCB 6-10 ADABD 11、211n a n =- 816S =- 12、153 13、2,121,1n n a n n =⎧=⎨->⎩ 14、100 15、15 16、108、(1)11n = (2)2121S =- (3)()()11n n S n n S n n =-=--或9、首项为32,公差为32,项数为8 10、(1)43n a n =- (2)12-。
等差数列及其前n 项和题型一:等差数列的基本运算例1.已知数列{}n a ,{}n b 都是等差数列,且112a b −=,221a b −=,则55a b −=_______例2.《九章算术》是我国秦汉时期一部杰出的数学著作,书中第三章“衰分”有如下问题:“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士,凡五人,共出百钱.欲令高爵出少,以次渐多,问各几何?”意思是:“有大夫、不更、簪裏、上造、公士(爵位依次变低)5个人共出100钱,按照爵位从高到低每人所出钱数成递增等差数列,这5个人各出多少钱?”在这个问题中,若不更出17钱,则公士出的钱数为_______________例3.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若2422a a +=,438S =,则6S =___________ 例4.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若12443S S S =+,55a =,则10a =____________ 例5.已知等差数列{}n a 中,1732,4,n a a a S ==为数列{}n a 的前n 项和,则10S =_________ 题型二:等差数列的判定与证明例1.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,14a =,28a =,且2124n n n S S S ++−+=. (1)求证:数列{}n a 是等差数列;(2)若m a ,m S ,114m a +成等比数列,求正整数m .例2.已知首项为2的数列{}n a 满足111,22,n n n a n a a n +⎧+⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数,记212,−==n n n n b a c a .(1)求证:数列{}n b 是等差数列,并求其通项公式;(2)求数列1⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭n n b c 的前10项和10S .例3.记数列{}n a 的前n 项和为n S ,17a =−,26a =−,()11N ,R n n a ka n k *+=+∈∈.证明数列{}n a 为等差数列,并求通项公式n a ;例4.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足:()*21N n na S n n=+∈,求证:数列{}n a 为等差数列;题型三:等差数列的性质例1.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且51013218a a a ++=,则18S =_________ 例2.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若12m S −=−,0m S =,13m S +=,则m =_______ 例3.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若12663a a a ++=,则5S =___________ 例4.设公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知()9353m S a a a =++,则m =___ 例5.已知等差数列{}n a 中,5a ,17a 是方程26210x x −−=的两根,则{}n a 的前21项的和为_____ 题型四:等差数列前n 项和的性质例1.已知项数为n 的等差数列{}n a 的前6项和10,最后6项和110,所有项和为360,则n =__ 例2.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,若93S π=,则()72cos S S −=_______例3.两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 、n T ,且523n n S n T n +=+,则220715a a b b ++=___ 例4.等差数列{}n a 满足1n a ≠且0n a ≠,1211a a +=,若()21xf x x =−,则()()()()12321f a f a f a f a ⋅⋅=_______________例5.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若22,6n n S S ==,则4n S =___________ 例6.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若20212020120212020S S =+且13a =,则__________n a =____________n S =例7.设等差数列{}n a 与等差数列{}n b 的前n 项和分别为n S ,n T .若对于任意的正整数n 都有2131n n S n T n +=−,则89a b =____________例8.设等差数列{}n a 与等差数列{}n b 的前n 项和分别为n S ,n T ,若对任意自然数n 都有2343n n S n T n −=−,则935784a a b b b b +++的值为____________ 例9.已知数列{}n a ,{}n b 均为等差数列,其前n 项和分别为n A ,n B ,且21n n A nB n =+,则使n na b λ≥恒成立的实数λ的最大值为_______________题型五:等差数列前n 项和的最值例1.已知数列{}n a 为等差数列,其前n 项和为n S ,且111010a a +<.若n S 存在最大值,则满足0n S >的n 的最大值为_______.例2.设公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若11a =,21179d −<<−,则当n S 取最大值时,n 的值为_______.例3.等差数列{}n a 中, n S 是它的前 n 项之和,且 67S S <, 78S S >,则:①数列的 公差0d <; ②9S 一定小于 6S ; ③ 7a 是各项中最大的一项;④ 7S 一定是 n S 中的最大 值.其中正确的是______________(填入你认为正确的所有序号).例4.首项为正数的等差数列,前n 项和为n S ,且38S S =,当n =_____时,n S 取到最大值. 例5.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知100S =,1525S =,则n n S +的最小值为_____.例6.在数列{}n a 中,()*2122,23,19,n n n a a n a a S +−=∈=−=−N 为{}n a 的前n 项和,则n S 的最小值为______.例7.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若20210S >,20220S <,则使得前n 项和n S 取得最大值时n 的值为_____________例8.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,()()11n n n S nS n N *++<∈.若871a a <−,则( ) A .n S 的最大值是8S B .n S 的最小值是8S C .n S 的最大值是7S D .n S 的最小值是7S 例9.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且78S S >,8910S S S =<,则下面结论错误的是( ) A .90a =B .1514S S >C .0d <D .8S 与9S 均为n S 的最小值例10.等差数列{}n a 中,已知70a >,2100a a +<,则{}n a 的前n 项和n S 的最小值为____ 例11.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若10a >,512S S =,则当n S 取得最大值时,n 的值为___ 例12.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若n N *∀∈,7n S S ≤,则数列{}n a 的通项公式可能是() A .315n a n =−B .173n a n =−C .7n a n =−D .152n a n =−例13.已知n S 是等差数列{}n a 前n 项和,38a =−,62a =−,当n S 取得最小值时n =____. 例14.知等差数列{}n a 的公差是d ,且891036a a a ++=,则1a d 的最大值为________. 例15.记n S 为数列{}n a 的前n 项和.已知221nn S n a n+=+. (1)证明:{}n a 是等差数列;(2)若479,,a a a 成等比数列,求n S 的最小值.例16.已知数列{}n a ,()1,2n x a +=−,()1,n y a =,且x y ⊥,32a +是2a 与4a 的等差中项. (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)若12132log n n b a =+,12n n S b b b =++⋅⋅⋅+,求n S 的最大值.例17.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,已知1310a a +=,80S =. (1)求{}n a 的通项公式;(2)求n S ,并求n S 的最大值.。
等差数列的前n 项和基础练习题一、选择题1.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,已知a 2=3,a 6=11,则S 7等于( )A .13B .35C .49D .632.等差数列{a n }中,S 10=4S 5,则a 1d等于( ) A.12B .2 C.14 D .43.已知等差数列{a n }中,a 23+a 28+2a 3a 8=9,且a n <0,则S 10为( ) A .-9B .-11C .-13D .-154.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 3=9,S 6=36.则a 7+a 8+a 9等于( )A .63B .45C .36D .275.在小于100的自然数中,所有被7除余2的数之和为( )A .765B .665C .763D .6636.一个等差数列的项数为2n ,若a 1+a 3+…+a 2n -1=90,a 2+a 4+…+a 2n =72,且a 1-a 2n =33,则该数列的公差是( )A .3B .-3C .-2D .-17.已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2,则a n 等于( )A .nB .n 2C .2n +1D .2n -18.数列{a n }为等差数列,它的前n 项和为S n ,若S n =(n +1)2+λ,则λ的值是( )A .-2B .-1C .0D .19.已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2-9n ,第k 项满足5<a k <8,则k 为( )A .9B .8C .7D .610.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若S 3S 6=13,则S 6S 12等于( ) 311111.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若a 5a 3=59,则S 9S 5等于( ) A .1B .-1C .2 D.1212.设{a n }是等差数列,S n 是其前n 项和,且S 5<S 6,S 6=S 7>S 8,则下列结论错误的是( )A .d <0B .a 7=0C .S 9>S 5D .S 6与S 7均为S n 的最大值二、填空题13.设S n 为等差数列{a n }的前n 项和,若S 3=3,S 6=24,则a 9=________.14.两个等差数列{a n },{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ,已知S n T n =7n +2n +3,则a 5b 5的值是________.15.在项数为2n +1的等差数列中,所有奇数项的和为165,所有偶数项的和为150,则n 的值为________.16.等差数列{a n }的前m 项和为30,前2m 项和为100,则数列{a n }的前3m 项的和S 3m 的值是________.三、解答题17.在等差数列{a n }中,已知d =2,a n =11,S n =35,求a 1和n .18.设{a n }为等差数列,S n 为数列{a n }的前n 项和,已知S 7=7,S 15=75,T n 为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和,求T n .19.已知两个等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ,且A n B n =7n +45n +3,则使得a n b n为整数的正整数n 的个数为?20.设等差数列{a n }满足a 3=5,a 10=-9.(1)求{a n }的通项公式;(2)求{a n }的前n 项和S n 及使得S n 最大的序号n 的值.21.已知等差数列{a n}中,记S n是它的前n项和,若S2=16,S4=24,求数列{|a n|}的前n项和T n. 22.设等差数列{a n}的前n项和为S n,已知a3=12,且S12>0,S13<0.(1)求公差d的范围;(2)问前几项的和最大,并说明理由.参考答案与解析一、选择题1.C解析 S 7=7(a 1+a 7)2=7(a 2+a 6)2=49. 2.A解析 由题意得:10a 1+12×10×9d =4(5a 1+12×5×4d ), ∴10a 1+45d =20a 1+40d ,∴10a 1=5d ,∴a 1d =12. 3.D解析 由a 23+a 28+2a 3a 8=9得(a 3+a 8)2=9,∵a n <0,∴a 3+a 8=-3,∴S 10=10(a 1+a 10)2=10(a 3+a 8)2=10×(-3)2=-15. 4.B解析 数列{a n }为等差数列,则S 3,S 6-S 3,S 9-S 6为等差数列,即2(S 6-S 3)=S 3+(S 9-S 6), ∵S 3=9,S 6-S 3=27,则S 9-S 6=45.∴a 7+a 8+a 9=S 9-S 6=45.5.B解析 ∵a 1=2,d =7,2+(n -1)×7<100,∴n <15,∴n =14,S 14=14×2+12×14×13×7=665. 6.B解析 由⎩⎨⎧a 1+a 3+…+a 2n -1=na 1+n (n -1)2×(2d )=90,a 2+a 4+…+a 2n =na 2+n (n -1)2×(2d )=72,得nd =-18.又a 1-a 2n =-(2n -1)d =33,所以d =-3.7. D8. B解析 等差数列前n 项和S n 的形式为:S n =an 2+bn ,∴λ=-1.解析 由a n =⎩⎪⎨⎪⎧S 1, n =1S n -S n -1, n ≥2,∴a n =2n -10;由5<2k -10<8,得7.5<k <9,∴k =8.10.A解析 方法一S 3S 6=3a 1+3d 6a 1+15d =13⇒a 1=2d , S 6S 12=6a 1+15d 12a 1+66d =12d +15d 24d +66d =310. 方法二 由S 3S 6=13,得S 6=3S 3.S 3,S 6-S 3,S 9-S 6,S 12-S 9仍然是等差数列,公差为(S 6-S 3)-S 3=S 3,从而S 9-S 6=S 3+2S 3=3S 3⇒S 9=6S 3,S 12-S 9=S 3+3S 3=4S 3⇒S 12=10S 3,所以S 6S 12=310.11.A解析 由等差数列的性质,a 5a 3=2a 52a 3=a 1+a 9a 1+a 5=59,∴S 9S 5=92(a 1+a 9)52(a 1+a 5)=95×59=1. 12.C解析 由S 5<S 6,得a 6=S 6-S 5>0.又S 6=S 7⇒a 7=0,所以d <0.由S 7>S 8⇒a 8<0,因此,S 9-S 5=a 6+a 7+a 8+a 9=2(a 7+a 8)<0即S 9<S 5. 二、填空题13.15解析 设等差数列的公差为d ,则S 3=3a 1+3×22d =3a 1+3d =3,即a 1+d =1, S 6=6a 1+6×52d =6a 1+15d =24,即2a 1+5d =8. 由⎩⎪⎨⎪⎧ a 1+d =1,2a 1+5d =8,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=-1,d =2.故a 9=a 1+8d =-1+8×2=15.14.6512解析a 5b 5=9(a 1+a 9)9(b 1+b 9)=S 9T 9=6512.15.10解析 S 奇=(n +1)(a 1+a 2n +1)2=165, S 偶=n (a 2+a 2n )2=150. ∵a 1+a 2n +1=a 2+a 2n ,∴n +1n =165150=1110,∴n =10.解析 方法一 在等差数列中,S m ,S 2m -S m ,S 3m -S 2m 成等差数列.∴30,70,S 3m -100成等差数列.∴2×70=30+(S 3m -100),∴S 3m =210.方法二 在等差数列中,S m m ,S 2m 2m ,S 3m 3m 成等差数列,∴2S 2m 2m =S m m +S 3m 3m. 即S 3m =3(S 2m -S m )=3×(100-30)=210.三、解答题17.解 由⎩⎪⎨⎪⎧ a n =a 1+(n -1)d ,S n =na 1+n (n -1)2d ,得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1+2(n -1)=11,na 1+n (n -1)2×2=35, 解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧ n =5a 1=3或⎩⎪⎨⎪⎧n =7,a 1=-1.18.解 设等差数列{a n }的公差为d ,则S n =na 1+12n (n -1)d , ∵S 7=7,S 15=75,∴⎩⎪⎨⎪⎧ 7a 1+21d =715a 1+105d =75, 即⎩⎪⎨⎪⎧ a 1+3d =1a 1+7d =5,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=-2d =1, ∴S n n =a 1+12(n -1)d =-2+12(n -1), ∵S n +1n +1-S n n =12, ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列,其首项为-2,公差为12, ∴T n =n ×(-2)+n (n -1)2×12=14n 2-94n .19.解析a nb n =A 2n -1B 2n -1=14n +382n +2=7n +19n +1 =7(n +1)+12n +1=7+12n +1, ∴n =1,2,3,5,11.20.解 (1)由a n =a 1+(n -1)d 及a 3=5,a 10=-9得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1+2d =5,a 1+9d =-9,可解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=9,d =-2, 所以数列{a n }的通项公式为a n =11-2n .(2)由(1)知,S n =na 1+n (n -1)2d =10n -n 2. 因为S n =-(n -5)2+25,所以当n =5时,S n 取得最大值.21.解 由S 2=16,S 4=24,得⎩⎨⎧ 2a 1+2×12d =16,4a 1+4×32d =24.即⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1+d =16,2a 1+3d =12. 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=9,d =-2. 所以等差数列{a n }的通项公式为a n =11-2n (n ∈N *).(1)当n ≤5时,T n =|a 1|+|a 2|+…+|a n |=a 1+a 2+…+a n =S n =-n 2+10n .(2)当n ≥6时,T n =|a 1|+|a 2|+…+|a n |=a 1+a 2+…+a 5-a 6-a 7-…-a n =2S 5-S n =2×(-52+10×5)-(-n 2+10n )=n 2-10n +50,故T n =⎩⎪⎨⎪⎧-n 2+10n (n ≤5),n 2-10n +50 (n ≥6).22.解 (1)根据题意,有:⎩⎨⎧12a 1+12×112d >0,13a 1+13×122d <0,a 1+2d =12,整理得:⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1+11d >0,a 1+6d <0,a 1+2d =12.解之得:-247<d <-3. (2)∵d <0,而S 13=13(a 1+a 13)2=13a 7<0,∴a 7<0. 又S 12=12(a 1+a 12)2=6(a 1+a 12)=6(a 6+a 7)>0, ∴a 6>0.∴数列{a n }的前6项和S 6最大.。
1、等差数列{a n }前n 项和公式: n S = n a n 2a 1+=d n n n a 2)1(1-+=d n n na n 2)1(--。
等差数列的前n 项之和公式可变形为,若令A =,B =a 1-,则=An 2+Bn.在解决等差数列问题时,如已知,a 1,a n ,d ,,n 中任意三个,可求其余两个。
2、等差数列{a n }前n 项和的性质性质1:S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n , …也在等差数列,公差为n 2d性质2:(1)若项数为偶数2n,则 S 2n =n(a 1+a 2n )=n(a n +a n+1) (a n ,a n+1为中间两项),此时有:S 偶-S 奇= nd , 性质3:(2)若项数为奇数2n -1,则 S 2n-1=(2n - 1)a n (a n 为中间项), 此时有:S 奇-S 偶= a n ,1-n n s =偶奇s 性质4:数列{nn s }为等差数列 性质5:若数列{a n }与{b n }都是等差数列,且前n 项的和分别为S n 和T n ,则2121n n n n a S b T --= 典型例题:热点考向1:等差数列的基本量(a 1,a n ,d ,,n 中任意三个,可求其余两个)例1、在等差数列{n a }中,已知81248,168S S ==,求1,a 和d 已知6510,5a S ==,求8a 和8S训练: 1、在等差数列{}n a 中,已知102030,50a a ==.(1)求通项公式{}n a ;(2)若242n S =,求n .2.在等差数列{}n a 中,n S 为数列{}n a 的前n 项和,已知7157,75S S ==,n T 为数列{n S n }的前n 项和,求n T 3、已知等差数列的前n 项之和记为S n ,S 10=10 ,S 30=70,则S 40等于 。
4. 已知是等差数列,且满足,则等于________。
专题7.2 等差数列及其前n 项和(真题测试)一、单选题1.(2022·全国·高考真题)图1是中国古代建筑中的举架结构,,,,AA BB CC DD ''''是桁,相邻桁的水平距离称为步,垂直距离称为举,图2是某古代建筑屋顶截面的示意图.其中1111,,,DD CC BB AA 是举,1111,,,OD DC CB BA 是相等的步,相邻桁的举步之比分别为11111231111,0.5,,DD CC BB AAk k k OD DC CB BA ====.已知123,,k k k 成公差为0.1的等差数列,且直线OA 的斜率为0.725,则3k =( )A .0.75B .0.8C .0.85D .0.9【答案】D 【解析】 【分析】设11111OD DC CB BA ====,则可得关于3k 的方程,求出其解后可得正确的选项. 【详解】设11111OD DC CB BA ====,则111213,,CC k BB k AA k ===, 依题意,有31320.2,0.1k k k k -=-=,且111111110.725DD CC BB AA OD DC CB BA +++=+++,所以30.530.30.7254k +-=,故30.9k =,故选:D2.(2021·北京·高考真题)《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出,中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗,通用规格有五种.这五种规格党旗的长12345,,,,a a a a a (单位:cm)成等差数列,对应的宽为12345,,,,b b b b b (单位: cm),且长与宽之比都相等,已知1288a =,596=a ,1192b =,则3b =A .64 B .96C .128D .160【答案】C 【解析】 【分析】设等差数列{}n a 公差为d ,求得48d =-,得到3192a =,结合党旗长与宽之比都相等和1192b =,列出方程,即可求解. 【详解】由题意,五种规格党旗的长12345,,,,a a a a a (单位:cm)成等差数列,设公差为d , 因为1288a =,596=a ,可得519628848513a a d --===--, 可得3288(31)(48)192a =+-⨯-=, 又由长与宽之比都相等,且1192b =,可得3113a ab b =,所以3131192192=128288a b b a ⋅⨯==. 故选:C.3.(2020·全国·高考真题(理))北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所,分上、中、下三层,上层中心有一块圆形石板(称为天心石),环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环,向外每环依次增加9块,下一层的第一环比上一层的最后一环多9块,向外每环依次也增加9块,已知每层环数相同,且下层比中层多729块,则三层共有扇面形石板(不含天心石)( )A .3699块B .3474块C .3402块D .3339块 【答案】C 【解析】 【分析】第n 环天石心块数为n a ,第一层共有n 环,则{}n a 是以9为首项,9为公差的等差数列,设n S 为{}n a 的前n 项和,由题意可得322729n n n n S S S S -=-+,解方程即可得到n ,进一步得到3n S . 【详解】设第n 环天石心块数为n a ,第一层共有n 环,则{}n a 是以9为首项,9为公差的等差数列,9(1)99n a n n =+-⨯=, 设n S 为{}n a 的前n 项和,则第一层、第二层、第三层的块数分 别为232,,n n n n n S S S S S --,因为下层比中层多729块, 所以322729n n n n S S S S -=-+, 即3(927)2(918)2(918)(99)7292222n n n n n n n n ++++-=-+ 即29729n =,解得9n =, 所以32727(9927)34022n S S +⨯===.故选:C4.(2022·吉林·东北师大附中模拟预测(理))数列{}n a 为等差数列,前n 项的和为n S ,若10110a <,101110120a a +>,则当0n S <时,n 的最大值为( )A .1011B .1012C .2021D .2022【答案】C 【解析】 【分析】分析数列{}n a 的单调性,计算2021S 、2022S ,即可得出结论. 【详解】因为10110a <,101110120a a +>,则10120a >,故数列{}n a 为递增数列, 因为()12021202110112021202102a a S a +==<,()()120222022101110122022101102a a S a a +==+>,且当1012n ≥时,10120n a a ≥>,所以,当2022n ≥时,20220n S S ≥>, 所以,满足当0n S <时,n 的最大值为2021.故选:C.5.(2022·北京·高考真题)设{}n a 是公差不为0的无穷等差数列,则“{}n a 为递增数列”是“存在正整数0N ,当0n N >时,0n a >”的( ) A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ,则0d ≠,利用等差数列的通项公式结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ,则0d ≠,记[]x 为不超过x 的最大整数. 若{}n a 为单调递增数列,则0d >,若10a ≥,则当2n ≥时,10n a a >≥;若10a <,则()11n a a n d +-=, 由()110n a a n d =+->可得11a n d >-,取1011a N d ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦,则当0n N >时,0n a >, 所以,“{}n a 是递增数列”⇒“存在正整数0N ,当0n N >时,0n a >”; 若存在正整数0N ,当0n N >时,0n a >,取N k *∈且0k N >,0k a >, 假设0d <,令()0n k a a n k d =+-<可得k a n k d >-,且k ak k d->, 当1k a n k d ⎡⎤>-+⎢⎥⎣⎦时,0n a <,与题设矛盾,假设不成立,则0d >,即数列{}n a 是递增数列.所以,“{}n a 是递增数列”⇐“存在正整数0N ,当0n N >时,0n a >”.所以,“{}n a 是递增数列”是“存在正整数0N ,当0n N >时,0n a >”的充分必要条件. 故选:C.6.(2021·北京·高考真题)已知{}n a 是各项均为整数的递增数列,且13a ≥,若12100n a a a ++⋅⋅⋅+=,则n 的最大值为( ) A .9B .10C .11D .12【答案】C 【解析】【分析】使数列首项、递增幅度均最小,结合等差数列的通项及求和公式求得n 可能的最大值,然后构造数列满足条件,即得到n 的最大值. 【详解】若要使n 尽可能的大,则,递增幅度要尽可能小, 不妨设数列是首项为3,公差为1的等差数列,其前n 项和为,则,,所以11n ≤. 对于,,取数列各项为(1,2,10)n =⋯,1125a =,则1211100a a a ++⋅⋅⋅+=, 所以n 的最大值为11. 故选:C .7.(2022·海南海口·二模)设公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知()9353m S a a a =++,则m =( ) A .9 B .8C .7D .6【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的前n 项和的性质及等差数列通项公式化简可得. 【详解】因为()9353m S a a a =++,又959S a =, 所以()53593m a a a a =++,所以3553m a a a a ++=,即352m a a a +=,设等差数列{}n a 的公差为d ,则1112(1)2(4)a d a m d a d +++-=+, 所以(+1)8m d d =,又0d ≠,所以18m +=, 所以7m =. 故选:C.8.(2023·全国·高三专题练习)等差数列{}n a 的首项为正数,其前n 项和为n S .现有下列命题,其中是假命题的有( )A .若n S 有最大值,则数列{}n a 的公差小于0B .若6130a a +=,则使0n S >的最大的n 为18C .若90a >,9100a a +<,则{}n S 中9S 最大D .若90a >,9100a a +<,则数列{}n a 中的最小项是第9项 【答案】B 【解析】 【分析】由n S 有最大值可判断A ;由6139100a a a a +=+=,可得90a >,100a <,利用91018182+=⨯a a S 可判断BC ; 90a >,9100a a +<得90a >,991010a a a a =<-=,可判断D. 【详解】对于选项A ,∵n S 有最大值,∴ 等差数列{}n a 一定有负数项, ∴等差数列{}n a 为递减数列,故公差小于0,故选项A 正确; 对于选项B ,∵6139100a a a a +=+=,且10a >, ∴90a >,100a <, ∴179=170S a >,910181802a a S +=⨯=, 则使0n S >的最大的n 为17,故选项B 错误;对于选项C ,∵90a >,9100a a +<,∴90a >,100a <, 故{}n S 中9S 最大,故选项C 正确;对于选项D ,∵90a >,9100a a +<, ∴90a >,991010a a a a =<-=,故数列{}n a 中的最小项是第9项,故选项D 正确. 故选:B. 二、多选题9.(2023·全国·高三专题练习)已知等差数列{an }的公差为d ,前n 项和为Sn ,且91011S S S =<,则( ) A .d <0 B .a 10=0 C .S 18<0 D .S 8<S 9【答案】BC 【解析】 【分析】由91011S S S =<,得100,0d a >= ,判断出A,B 选项,再结合90a <,11818118910918()9()9()92a a S a a a a a +==+=+=判断C 选项,再根据等式性质判断D 选项 【详解】910S S = ,101090a S S ∴=-= ,所以B 正确又1011S S < ,111110100a S S a d ∴=-=+> ,0d ∴> ,所以A 错误 1090,0,0a d a =>∴<11818118910918()9()9()902a a S a a a a a +==+=+=<,故C 正确 9989890,,a S S a S S <=+∴> ,故D 错误故选:BC10.(2022·江苏·南京市宁海中学模拟预测)定义11222n nn a a a H n-+++=为数列{}n a 的“优值”.已知某数列{}n a 的“优值”2nn H =,前n 项和为n S ,下列关于数列{}n a 的描述正确的有( )A .数列{}n a 为等差数列B .数列{}n a 为递增数列C .2022202520222S = D .2S ,4S ,6S 成等差数列 【答案】ABC 【解析】【分析】由新定义可得112222n n n a a a n -++⋯+=⋅,利用该递推关系求出数列{}n a 的通项公式,然后逐一核对四个选项得答案. 【详解】 由已知可得112222n n nn a a a H n-+++==,所以112222n n n a a a n -+++=⋅,①所以2n ≥时,()211212212n n n a a a n ---+++=-⋅,②得2n ≥时,()()111221212n n n n n a n n n ---=⋅--⋅=+⋅,即2n ≥时,1n a n =+,当1n =时,由①知12a =,满足1n a n =+.所以数列{}n a 是首项为2,公差为1的等差数列,故A 正确,B 正确, 所以()32n n n S +=,所以32n S n n +=故2022202520222S =,故C 正确. 25S =,414S =,627S =,2S ,4S ,6S 不是等差数列,故D 错误,故选:ABC .11.(2022·江苏·南京市江宁高级中学模拟预测)已知两个等差数列{}n a 和{}n b ,其公差分别为1d 和2d ,其前n 项和分别为n S 和n T ,则下列说法正确的是( )A .若为等差数列,则112d a =B .若{}n n S T +为等差数列,则120d d +=C .若{}n n a b 为等差数列,则120d d ==D .若*n b N ∈,则{}n b a 也为等差数列,且公差为12d d 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A ,利用对于B ,利用()2211332S T S T S T +=+++化简可得答案; 对于C ,利用2211332a b a b a b =+化简可得答案;对于D ,根据112n n b b a a d d +-=可得答案. 【详解】对于A ,因为为等差数列,所以即 化简得()21120d a -=,所以112d a =,故A 正确;对于B ,因为{}n n S T +为等差数列,所以()2211332S T S T S T +=+++, 所以()11121111122223333a d b d a b a d b d +++=+++++, 所以120d d +=,故B 正确;对于C ,因为{}n n a b 为等差数列,所以2211332a b a b a b =+, 所以11121111122()()(2)(2)a d b d a b a d b d ++=+++, 化简得120d d =,所以10d =或20d =,故C 不正确;对于D ,因为11(1)n a a n d =+-,且*n b N ∈,所以11(1)n b n a a b d =+-()112111a b n d d =++--⎡⎤⎣⎦,所以()()1111211n b a a b d n d d =+-+-,所以()()()11111211112111n n b b a a a b d nd d a b d n d d +-=+-+-----12d d =, 所以{}n b a 也为等差数列,且公差为12d d ,故D 正确. 故选:ABD12.(2022·福建南平·三模)如图,在平面直角坐标系中的一系列格点(),i i i A x y ,其中1,2,3,,,i n =⋅⋅⋅⋅⋅⋅且,i i x y ∈Z .记n n n a x y =+,如()11,0A 记为11a =,()21,1A -记为20a =,()30,1A -记为31,a =-⋅⋅⋅,以此类推;设数列{}n a 的前n 项和为n S .则( )A .202242a =B .202287S =-C .82n a n =D .()245312n n n n S ++=【答案】ABD 【解析】 【分析】由图观察可知第n 圈的8n 个点对应的这8n 项的和为0,则2440n n S +=,同时第n 圈的最后一个点对应坐标为(),n n ,设2022a 在第k 圈,则k 圈共有()41k k +个数,可判断前22圈共有2024个数,2024a 所在点的坐标为()22,22,向前推导,则可判断A ,B 选项;当2n =时,16a 所在点的坐标为()2,2--,即可判断C 选项;借助2440n n S +=与图可知22222244144245454544n n n n n nn n n n n n S S S a a a++++++++=-=+++,即n 项之和,对应点的坐标为()1,+n n ,()1,1n n +-,…,()1,1n +,即可求解判断D 选项.【详解】由题,第一圈从点()1,0到点()1,1共8个点,由对称性可知81280S a a a =+++=;第二圈从点()2,1到点()2,2共16个点,由对称性可知248910240S S a a a -=+++=,即 240S =,以此类推,可得第n 圈的8n 个点对应的这8n 项的和为0,即()214482n nn n SS ++⨯==,设2022a 在第k 圈,则()()888168412k k k kk ++++==+,由此可知前22圈共有2024个数,故20240S =,则()2022202420242023S S a a =-+,2024a 所在点的坐标为()22,22,则2024222244a =+=,2023a 所在点的坐标为()21,22,则2023212243a =+=,2022a 所在点的坐标为()20,22,则2022202242a =+=,故A 正确;()()20222024202420230444387S S a a =-+=-+=-,故B 正确;8a 所在点的坐标为()1,1,则8112a =+=,16a 所在点的坐标为()2,2--,则16224a =--=-,故C 错误;22222244144245454544n n n n n nn n n n n n S S S aaa++++++++=-=+++,对应点的坐标为()1,+n n ,()1,1n n +-,…,()1,1n +,所以()()()()()245111112122n n S n n n n n n n n +=+++++-++++=+++++()()2123122n n n n n ++++==,故D 正确.故选:ABD 三、填空题13.(2019·全国·高考真题(理))记Sn 为等差数列{an }的前n 项和,12103a a a =≠,,则105S S =___________. 【答案】4. 【解析】 【分析】根据已知求出1a 和d 的关系,再结合等差数列前n 项和公式求得结果. 【详解】因213a a =,所以113a d a +=,即12a d =,所以105S S =11111091010024542552a d a a a d ⨯+==⨯+. 14.(2019·江苏·高考真题)已知数列*{}()n a n ∈N 是等差数列,n S 是其前n 项和.若25890,27a a a S +==,则8S 的值是_____.【答案】16. 【解析】 【分析】由题意首先求得首项和公差,然后求解前8项和即可.【详解】由题意可得:()()()25811191470989272a a a a d a d a d S a d ⎧+=++++=⎪⎨⨯=+=⎪⎩, 解得:152a d =-⎧⎨=⎩,则8187840282162S a d ⨯=+=-+⨯=. 15.(2021·福建省华安县第一中学高三期中)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,11a =,121n n a a n +=++(*n ∈N ),则99a 的值为________,99S 的值为________. 【答案】 99 4950 【解析】 【分析】利用数列的递推关系可知数列{}n a 的奇数项是首项为1,公差为2的等差数列,偶数项是首项为2,公差为2的等差数列,利用等差数列的通项公式和前n 项和公式即可求解. 【详解】将1n =代入121n n a a n +=++得2312a =-=, 由121n n a a n +=++①得123n n a a n +++=+2②, ②-①得22n n a a +-=,所以数列{}n a 的奇数项、偶数项都是以2为公差的等差数列,()991501299a =+-⨯=, ()()991359924698S a a a a a a a a =+++++++++ 5049494815022492495022⨯⨯=⨯+⨯+⨯+⨯=, 故答案为:99 ; 4950.16.(2020·海南·高考真题)将数列{2n –1}与{3n –2}的公共项从小到大排列得到数列{an },则{an }的前n 项和为________. 【答案】232n n - 【解析】 【分析】首先判断出数列{}21n -与{}32n -项的特征,从而判断出两个数列公共项所构成新数列的首项以及公差,利用等差数列的求和公式求得结果. 【详解】因为数列{}21n -是以1为首项,以2为公差的等差数列, 数列{}32n -是以1首项,以3为公差的等差数列,所以这两个数列的公共项所构成的新数列{}n a 是以1为首项,以6为公差的等差数列,所以{}n a 的前n 项和为2(1)16322n n n n n -⋅+⋅=-, 故答案为:232n n -. 四、解答题17.(2023·全国·高三专题练习)已知数列{}n a 中,11a =,当2n ≥时,11n n n n a a a a ---=⋅.求证:数列1{}na 是等差数列.【答案】证明见解析 【解析】 【分析】利用定义法证明出数列1{}na 是等差数列.【详解】当2n ≥时,11n n n n a a a a ---=⋅,因11a =,显然0n a ≠,否则10n a -=,由此可得10a =,矛盾, 两边同时除以1n n a a -⋅,得1111n n a a --=,而11a =1, 所以数列1{}na 是以1为首项,1为公差的等差数列.18.(2019·北京·高考真题(文))设{n a }是等差数列,a 1=–10,且a 2+10,a 3+8,a 4+6成等比数列.(Ⅰ)求{na }的通项公式;(Ⅱ)记{na }的前n 项和为Sn ,求Sn 的最小值.【答案】(Ⅰ)212n a n =-;(Ⅱ)30-. 【解析】 【分析】(Ⅰ)由题意首先求得数列的公差,然后利用等差数列通项公式可得{}n a 的通项公式;(Ⅱ)首先求得n S 的表达式,然后结合二次函数的性质可得其最小值. 【详解】(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d ,因为234+10+8+6a a a ,,成等比数列,所以2324(+8)(+10)(+6)a a a =,即2(22)(34)d d d -=-,解得2d =,所以102(1)212n a n n =-+-=-.(Ⅱ)由(Ⅰ)知212n a n =-, 所以22102121112111()224n n S n n n n -+-=⨯=-=--;当5n =或者6n =时,n S 取到最小值30-.19.(2016·全国·高考真题(文))等差数列{n a }中,34574,6a a a a +=+=. (Ⅰ)求{n a }的通项公式;(Ⅱ) 设[]n n b a =,求数列{}n b 的前10项和,其中[]x 表示不超过x 的最大整数,如[0.9]=0,[2.6]=2. 【答案】(Ⅰ)235n n a +=;(Ⅱ)24. 【解析】 【详解】试题分析:(Ⅰ) 根据等差数列的通项公式及已知条件求1a ,d ,从而求得n a ;(Ⅱ)由(Ⅰ)求n b ,再求数列{}n b 的前10项和.试题解析:(Ⅰ)设数列{}n a 的公差为d ,由题意有112+54,+53a d a d ==. 解得121,5a d ==.所以{}n a 的通项公式为235n n a +=. (Ⅱ)由(Ⅰ)知235n n b +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦. 当n=1,2,3时,2312,15n n b +≤<=; 当n=4,5时,2323,25n n b +≤<=; 当n=6,7,8时,2334,35n n b +≤<=;当n=9,10时,2345,45n n b +≤<=. 所以数列{}n b 的前10项和为1322334224⨯+⨯+⨯+⨯=.20.(2022·全国·高考真题)记n S 为数列{}n a 的前n 项和,已知11,n n S a a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭是公差为13的等差数列.(1)求{}n a 的通项公式; (2)证明:121112na a a +++<.【答案】(1)()12n n n a +=(2)见解析 【解析】 【分析】(1)利用等差数列的通项公式求得()121133n n S n n a +=+-=,得到()23n n n a S +=,利用和与项的关系得到当2n ≥时,()()112133n n n n n n a n a a S S --++=-=-,进而得:111n n a n a n -+=-,利用累乘法求得()12n n n a +=,检验对于1n =也成立,得到{}n a 的通项公式()12n n n a +=; (2)由(1)的结论,利用裂项求和法得到121111211n a a a n ⎛⎫+++=- ⎪+⎝⎭,进而证得.(1)∵11a =,∴111S a ==,∴111S a =, 又∵n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为13的等差数列,∴()121133n n S n n a +=+-=,∴()23n n n a S +=, ∴当2n ≥时,()1113n n n a S --+=,∴()()112133n n n n n n a n a a S S --++=-=-,整理得:()()111n n n a n a --=+, 即111n n a n a n -+=-, ∴31211221n n n n n a a a a a a a a a a ---=⨯⨯⨯⋯⨯⨯()1341112212n n n n n n ++=⨯⨯⨯⋯⨯⨯=--,显然对于1n =也成立, ∴{}n a 的通项公式()12n n n a +=; (2)()12112,11n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭∴12111na a a +++1111112121222311n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 21.(2022·安徽·合肥一中模拟预测(文))已知()f x =数列{}na 的前n 项和为n S ,点11,+⎛⎫- ⎪⎝⎭n n n P a a 在曲线()y f x =上(n N +∈)且11a =,0n a >.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)数列{}n b 的前n 项和为n T ,且满足212211683++=+--n nn n T Tn n a a ,确定1b 的值使得数列{}n b 是等差数列.【答案】(1)*N =∈n a n (2)1 【解析】 【分析】(1)根据点11,+⎛⎫- ⎪⎝⎭n n n P a a 在曲线()y f x =上(n N +∈),得到11+n a 212141+-=n n a a ,利用等差数列的定义求解; (2)由(1)化简得到114143+-=+-n n T Tn n ,利用等差数列的定义得到()()1431=-+-n T n T n ,再利用数列通项与前n 项和的关系求解. (1)解:因为()f x =11,+⎛⎫- ⎪⎝⎭n n n P a a 在曲线()y f x =上(n N +∈),所以11+=n a 212141+-=n n a a ,所以21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项,以4为公差的等差数列,所以()2114143=+-=-n n n a,即*N =∈n a n ; (2)由(1)知:212211683++=+--n nn n T Tn n a a ,即为()()()()143414341+-=++-+n n n T n T n n ,整理得:114143+-=+-n n T Tn n , 所以数列43⎧⎫⎨⎬-⎩⎭n T n 是以1T 为首项,以1为公差的等差数列, 则1143=+--nT T n n ,即()()1431=-+-n T n T n , 当2n ≥时,114811-=-=+-n n n b T T b n , 若{}n b 是等差数列,则1b 适合上式, 令1n =,得1143=-b b ,解得11b =.22.(2021·全国·高考真题)已知数列{}n a 满足11a =,11,,2,.n n na n a a n ++⎧=⎨+⎩为奇数为偶数 (1)记2n n b a =,写出1b ,2b ,并求数列{}n b 的通项公式; (2)求{}n a 的前20项和.【答案】(1)122,5,31n b b b n ===-;(2)300. 【解析】 【分析】(1)方法一:由题意结合递推关系式确定数列{}n b 的特征,然后求和其通项公式即可; (2)方法二:分组求和,结合等差数列前n 项和公式即可求得数列的前20项和. 【详解】解:(1)[方法一]【最优解】:显然2n 为偶数,则21222212,1n n n n a a a a +++=+=+, 所以2223n n a a +=+,即13n n b b +=+,且121+12b a a ===, 所以{}n b 是以2为首项,3为公差的等差数列, 于是122,5,31n b b b n ===-.[方法二]:奇偶分类讨论由题意知1231,2,4a a a ===,所以122432,15b a b a a ====+=. 由11n n a a +-=(n 为奇数)及12n n a a +-=(n 为偶数)可知, 数列从第一项起,若n 为奇数,则其后一项减去该项的差为1, 若n 为偶数,则其后一项减去该项的差为2.所以*23()n n a a n N +-=∈,则()11331n b b n n =+-⨯=-.[方法三]:累加法由题意知数列{}n a 满足*113(1)1,()22nn n a a a n +-==++∈N . 所以11213(1)11222b a a -==++=+=, 322433223(1)3(1)11212352222b a a a a a --==++=+=+++=++=+=,则222121222111()()()121221+n n n n n n b a a a a a a a a a ---==-+-+-+=+++++++12(1)131n n n =+-+=-⨯.所以122,5b b ==,数列{}n b 的通项公式31n b n =-. (2)[方法一]:奇偶分类讨论 20123201351924620++++++++()()S a a a a a a a a a a a a =+=+++1231012310(1111)b b b b b b b b =-+-+-++-+++++110()102103002b b +⨯=⨯-=. [方法二]:分组求和由题意知数列{}n a 满足12212121,1,2n n n n a a a a a -+==+=+, 所以2122123n n n a a a +-=+=+.所以数列{}n a 的奇数项是以1为首项,3为公差的等差数列;同理,由2221213n n n a a a ++=+=+知数列{}n a 的偶数项是以2为首项,3为公差的等差数列. 从而数列{}n a 的前20项和为: 201351924260()()S a a a a a a a a =+++++++++1091091013102330022⨯⨯=⨯+⨯+⨯+⨯=.【整体点评】 (1)方法一:由题意讨论{}n b 的性质为最一般的思路和最优的解法;方法二:利用递推关系式分类讨论奇偶两种情况,然后利用递推关系式确定数列的性质; 方法三:写出数列{}n a 的通项公式,然后累加求数列{}n b 的通项公式,是一种更加灵活的思路. (2)方法一:由通项公式分奇偶的情况求解前n 项和是一种常规的方法;方法二:分组求和是常见的数列求和的一种方法,结合等差数列前n 项和公式和分组的方法进行求和是一种不错的选择.。
第1讲 等差数列及其前n 项和一、填空题1.在等差数列{a n }中,a 3+a 7=37,则a 2+a 4+a 6+a 8=________. 2.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 412-S 39=1,则公差为________. 3.在等差数列{a n }中,a 1>0,S 4=S 9,则S n 取最大值时,n =________. 4.在等差数列{a n }中,若a 1+a 4+a 7=39,a 3+a 6+a 9=27,则S 9=________. 5.设等差数列{a n }的公差为正数,若a 1+a 2+a 3=15,a 1a 2a 3=80,则a 11+a 12+a 13=________.6.已知数列{a n }的前n 项和为S n =2n 2+pn ,a 7=11.若a k +a k +1>12,则正整数k 的最小值为________.7.已知数列{a n }满足递推关系式a n +1=2a n +2n-1(n ∈N *),且⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n +λ2n 为等差数列,则λ的值是________.8.已知数列{a n }为等差数列,S n 为其前n 项和,a 7-a 5=4,a 11=21,S k =9,则k =________.10.已知f (x )是定义在R 上不恒为零的函数,对于任意的x ,y ∈R ,都有f (x ·y )=xf (y )+yf (x )成立.数列{a n }满足a n =f (2n )(n ∈N *),且a 1=2.则数列的通项公式a n =________. 二、解答题11.已知等差数列{a n }的前三项为a -1,4,2a ,记前n 项和为S n .(1)设S k =2 550,求a 和k 的值;(2)设b n =S nn ,求b 3+b 7+b 11+…+b 4n -1的值.12.已知数列{a n}的通项公式为a n=2n,若a3,a5分别为等差数列{b n}的第3项和第5项,试求数列{b n}的通项公式及前n项和S n.13.在等差数列{a n}中,公差d>0,前n项和为S n,a2·a3=45,a1+a5=18.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)令b n=S nn+c(n∈N*),是否存在一个非零常数c,使数列{b n}也为等差数列?若存在,求出c的值;若不存在,请说明理由.第2讲 等比数列及其前n 项和一、填空题1.设数列{a 2n }前n 项和为S n ,a 1=t ,a 2=t 2,S n +2-(t +1)S n +1+tS n =0,则{a n }是________数列,通项a n =________.解析 由S n +2-(t +1)S n +1+tS n =0,得S n +2-S n +1=t (S n +1-S n ),所以a n +2=ta n +1,所以a n +2a n +1=t ,又a 2a 1=t ,所以{a n }成等比数列,且a n =t ·t n -1=t n . 答案 等比 t n2.等比数列{a n }的前n 项和为S n,8a 2+a 5=0,则S 6S 3=________.解 ∵8a 2+a 5=8a 1q +a 1q 4=a 1q (8+q 3)=0 ∴q =-2∴S 6S 3=1-q 61-q3=1+q 3=-7. 答案 -73.数列{a n }为正项等比数列,若a 2=2,且a n +a n +1=6a n -1(n ∈N ,n ≥2),则此数列的前4项和S 4=________.解析 由a 1q =2,a 1q n -1+a 1q n =6a 1q n -2,得q n -1+q n =6q n -2,所以q 2+q =6.又q >0,所以q =2,a 1=1. 所以S 4=a 1(1-q 4)1-q =1-241-2=15.答案 154.已知等比数列{a n }的前n 项和S n =t ·5n -2-15,则实数t 的值为________.解析 ∵a 1=S 1=15t -15,a 2=S 2-S 1=45t ,a 3=S 3-S 2=4t ,∴由{a n }是等比数列知⎝ ⎛⎭⎪⎫45t 2=⎝ ⎛⎭⎪⎫15t -15×4t ,显然t ≠0,所以t =5.答案 55.已知各项都为正数的等比数列{a n }中,a 2·a 4=4,a 1+a 2+a 3=14,则满足a n ·a n+1·a n +2≥18的最大正整数n 的值为________.解析 由等比数列的性质,得4=a 2·a 4=a 23(a 3>0),所以a 3=2,所以a 1+a 2=14-a 3=12,于是由⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2=2,a 1()1+q =12,解得⎩⎨⎧a 1=8,q =12,所以a n =8·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n -1=⎝ ⎛⎭⎪⎫12n -4. 于是由a n ·a n +1·a n +2=a 3n +1=⎝⎛⎭⎪⎫123(n -3)=⎝ ⎛⎭⎪⎫18n -3≥18,得n -3≤1,即n ≤4. 答案 46.在等比数列{a n }中,a n >0,若a 1·a 2·…·a 7·a 8=16,则a 4+a 5的最小值为________. 解析 由已知a 1a 2·…·a 7a 8=(a 4a 5)4=16,所以a 4a 5=2,又a 4+a 5≥2a 4a 5=22(当且仅当a 4=a 5=2时取等号).所以a 4+a 5的最小值为2 2. 答案 2 27.已知递增的等比数列{a n }中,a 2+a 8=3,a 3·a 7=2,则a 13a 10=________.解析 ∵{a n }是递增的等比数列,∴a 3a 7=a 2a 8=2, 又∵a 2+a 8=3,∴a 2,a 8是方程x 2-3x +2=0的两根,则a 2=1,a 8=2, ∴q 6=a 8a 2=2,∴q 3=2,∴a 13a 10=q 3= 2.答案 28.设1=a 1≤a 2≤…≤a 7,其中a 1,a 3,a 5,a 7成公比为q 的等比数列,a 2,a 4,a 6成公差为1的等差数列,则q 的最小值为________.解析 由题意知a 3=q ,a 5=q 2,a 7=q 3且q ≥1,a 4=a 2+1,a 6=a 2+2且a 2≥1,那么有q 2≥2且q 3≥3.故q ≥33,即q 的最小值为33. 答案33二、解答题11.在等差数列{a n }中,a 2+a 7=-23,a 3+a 8=-29.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)设数列{a n +b n }是首项为1,公比为c 的等比数列,求{b n }的前n 项和S n . 解 (1)设等差数列{a n }的公差是d .依题意a 3+a 8-(a 2+a 7)=2d =-6,从而d =-3. 由a 2+a 7=2a 1+7d =-23,解得a 1=-1. 所以数列{a n }的通项公式为a n =-3n +2.(2)由数列{a n +b n }是首项为1,公比为c 的等比数列, 得a n +b n =c n -1,即-3n +2+b n =c n -1, 所以b n =3n -2+c n -1.所以S n =[1+4+7+…+(3n -2)]+(1+c +c 2+…+c n -1) =n (3n -1)2+(1+c +c 2+…+c n -1).从而当c =1时,S n =n (3n -1)2+n =3n 2+n2.当c ≠1时,S n =n (3n -1)2+1-c n1-c.12.设各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ,S 4=1,S 8=17.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)是否存在最小的正整数m ,使得n ≥m 时,a n >2 01115恒成立?若存在,求出m ;若不存在,请说明理由.解 (1)设{a n }的公比为q ,由S 4=1,S 8=17知q ≠1,所以得a 1(q 4-1)q -1=1,a 1(q 8-1)q -1=17. 相除得q 8-1q 4-1=17,解得q 4=16.所以q =2或q =-2(舍去).由q =2可得a 1=115,所以a n =2n -115.(2)由a n =2n -115>2 01115,得2n -1>2 011,而210<2 011<211,所以n -1≥11,即n ≥12.因此,存在最小的正整数m =12,使得n ≥m 时,a n >2 01115恒成立. 13.已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足a 2·a 4=65,a 1+a 5=18.(1)求数列{a n }的通项公式a n .(2)若1<i <21,a 1,a i ,a 21是某等比数列的连续三项,求i 的值;(3)是否存在常数k ,使得数列{S n +kn }为等差数列?若存在,求出常数k ;若不存在,请说明理由.解 (1)因为a 1+a 5=a 2+a 4=18,又a 2·a 4=65, 所以a 2,a 4是方程x 2-18x +65=0的两个根. 又公差d >0,所以a 2<a 4.所以a 2=5,a 4=13. 所以⎩⎨⎧a 1+d =5,a 1+3d =13,解得a 1=1,d =4.所以a n =4n -3.(2)由1<i <21,a 1,a i ,a 21是某等比数列的连续三项,所以a 1·a 21=a 2i ,即1·81=(4i -3)2,解得i =3. (3)由(1)知,S n =n ·1+n (n -1)2·4=2n 2-n . 假设存在常数k ,使数列{S n +kn }为等差数列,由等差数列通项公式,可设S n +kn =an +b ,得2n 2+(k -1)n =an 2+2abn +b 恒成立,可得a =2,b =0,k =1.所以存在k =1使得{S n +kn }为等差数列.第3讲 等差数列、等比数列与数列求和一、填空题1.设{a n }是公差不为0的等差数列,a 1=2且a 1,a 3,a 6成等比数列,则{a n }的前n 项和S n =________.解析 由题意设等差数列公差为d ,则a 1=2,a 3=2+2d ,a 6=2+5d .又∵a 1,a 3,a 6成等比数列,∴a 23=a 1a 6,即(2+2d )2=2(2+5d ),整理得2d 2-d =0.∵d ≠0,∴d =12,∴S n =na 1+n (n -1)2d =n 24+74n . 答案 n 24+74n2.数列{a n }的通项公式a n =1n +n +1,若前n 项的和为10,则项数为________.解析 ∵a n =1n +n +1=n +1-n ,∴S n =n +1-1=10,∴n =120.答案 1203.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 5=5,S 5=15,则数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n a n +1的前100项和为________.解析 ∵a 5=5,S 5=15,∴5(a 1+a 5)2=15,即a 1=1.∴d =a 5-a 15-1=1,∴a n =n .∴1a n a n +1=1n (n +1)=1n -1n +1.设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n +1的前n 项和为T n .∴T 100=⎝ ⎛⎭⎪⎫1-12+⎝ ⎛⎭⎪⎫12-13+…+⎝ ⎛⎭⎪⎫1100-1101=1-1101=100101.答案 1001014.已知数列{a n },{b n }都是等差数列,a 1=5,b 1=7,且a 20+b 20=60.则{a n +b n }的前20项的和为________.解析 由题意知{a n +b n }也为等差数列,所以{a n +b n }的前20项和为:S 20=20(a 1+b 1+a 20+b 20)2=20×(5+7+60)2=720.答案 7205.已知等比数列{a n }的前n 项和S n =2n -1,则a 21+a 22+…+a 2n =________.解析 当n =1时,a 1=S 1=1,当n ≥2时,a n =S n -S n -1=2n -1-(2n -1-1)=2n -1,又∵a 1=1适合上式.∴a n =2n -1,∴a 2n =4n -1. ∴数列{a 2n }是以a 21=1为首项,以4为公比的等比数列.∴a 21+a 22+…+a 2n =1·(1-4n )1-4=13(4n -1). 答案 13(4n -1) 6.定义运算:⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd =ad -bc ,若数列{a n }满足⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 1 122 1=1且⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 3 a n a n +1=12(n ∈N *),则a 3=________,数列{a n }的通项公式为a n =________. 解析 由题意得a 1-1=1,3a n +1-3a n =12即a 1=2,a n +1-a n =4. ∴{a n }是以2为首项,4为公差的等差数列, ∴a n =2+4(n -1)=4n -2,a 3=4×3-2=10. 答案 10 4n -27.在等比数列{a n }中,a 1=12,a 4=-4,则公比q =________;|a 1|+|a 2|+…+|a n |=________.解析 ∵a 4a 1=q 3=-8,∴q =-2.∴a n =12·(-2)n -1,∴|a n |=2n -2,∴|a 1|+|a 2|+…+|a n |=12(1-2n )1-2=2n -1-12.答案 -2 2n -1-128.已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和,且S 11=35+S 6,则S 17的值为________.解析 因S 11=35+S 6,得11a 1+11×102d =35+6a 1+6×52d ,即a 1+8d =7,所以S 17=17a 1+17×162d =17(a 1+8d )=17×7=119. 答案 1199.等差数列{a n }的公差不为零,a 4=7,a 1,a 2,a 5成等比数列,数列{T n }满足条件T n =a 2+a 4+a 8+…+a 2n ,则T n =________.解析 设{a n }的公差为d ≠0,由a 1,a 2,a 5成等比数列,得a 22=a 1a 5,即(7-2d )2=(7-3d )(7+d )所以d =2或d =0(舍去).所以a n =7+(n -4)×2=2n -1.又a 2n =2·2n -1=2n +1-1, 故T n =(22-1)+(23-1)+(24-1)+…+(2n +1-1) =(22+23+…+2n +1)-n =2n +2-n -4. 答案 2n +2-n -410.数列{a n }的通项公式a n =2n-1,如果b n =2n a n +a n +1,那么{b n }的前n 项和为________. 解析 b n =2na n +a n +1=2n2n -1+2n +1-1=2n +1-1-2n -1, 所以b 1+b 2+…+b n =22-1-2-1+23-1-22-1+…+2n +1-1-2n -1=2n +1-1-1.答案 2n +1-1-1二、解答题11.已知{a n }为等差数列,且a 3=-6,a 6=0.(1)求{a n }的通项公式;(2)若等比数列{b n }满足b 1=-8,b 2=a 1+a 2+a 3,求{b n }的前n 项和公式. 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d . 因为a 3=-6,a 6=0,所以⎩⎨⎧a 1+2d =-6,a 1+5d =0.解得a 1=-10,d =2.所以a n =-10+(n -1)·2=2n -12. (2)设等比数列{b n }的公比为q . 因为b 2=a 1+a 2+a 3=-24,b 1=-8, 所以-8q =-24,即q =3.所以{b n }的前n 项和公式为S n =b 1(1-q n )1-q=4(1-3n ).13. 记公差d ≠0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 1=2+2,S 3=12+3 2.(1)求数列{a n }的通项公式a n 及前n 项和S n .(2)已知等比数列{b nk },b n +2=a n ,n 1=1,n 2=3,求n k .(3)问数列{a n }中是否存在互不相同的三项构成等比数列,说明理由. 解 (1)因为a 1=2+2,S 3=3a 1+3d =12+32, 所以d =2.所以a n =a 1+(n -1)d =2n +2, S n =n (a 1+a n )2=n 2+(2+1)n .(2)因为b n =a n -2=2n , 所以bn k =2n k .又因为数列{bn k }的首项bn 1=b 1=2,公比q =b 3b 1=3,等差数列及其前n 项和练习题11 / 11 所以bn k =2·3k -1.所以2n k =2·3k -1,则n k =3k -1.(3)假设存在三项a r ,a s ,a t 成等比数列,则a 2s =a r ·a t , 即有(2s +2)2=(2r +2)(2t +2), 整理得(rt -s 2)2=2s -r -t . 若rt -s 2≠0,则2=2s -r -trt -s 2,因为r ,s ,t ∈N *,所以2s -r -trt -s 2是有理数,这与2为无理数矛盾;若rt -s 2=0,则2s -r -t =0,从而可得r =s =t ,这与r <s <t 矛盾. 综上可知,不存在满足题意的三项a r ,a s ,a t .。