高一数学必修二第一单元检测试题精选

第一章 空间几何体一、选择题1．有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体可能是一个( )．主视图 左视图 俯视图 (第1题) A ．棱台 B ．棱锥 C ．棱柱 D ．正八面体2．如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是( )．A ．2＋2B ．221＋C ．22＋2 D ．2＋13．棱长都是1的三棱锥的表面积为( )．A ．3B ．23C ．33D ．434．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是( )．A ．25πB ．50πC ．125πD ．都不对 5．正方体的棱长和外接球的半径之比为( )． A ．3∶1 B ．3∶2 C ．2∶3 D ．3∶36．在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝1.5，∠ABC ＝120°，若使△ABC 绕直线BC 旋转一周，则所形成的几何体的体积是( )．A ．29πB ．27πC ．25πD ．23π7．若底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是( )．A ．130B ．140C ．150D ．1608．如图，在多面体ABCDEF 中，已知平面ABCD 是边长为3的正方形，EF ∥AB ，EF ＝23，且EF 与平面ABCD 的距离为2，则该多面体的体积为( )．A ．29 B ．5 C ．6 D ．2159．下列关于用斜二测画法画直观图的说法中，错误．．的是( )． A ．用斜二测画法画出的直观图是在平行投影下画出的空间图形B ．几何体的直观图的长、宽、高与其几何体的长、宽、高的比例相同C ．水平放置的矩形的直观图是平行四边形D ．水平放置的圆的直观图是椭圆10．如图是一个物体的三视图，则此物体的直观图是( )．(第8题)(第10题)二、填空题11．一个棱柱至少有______个面，面数最少的一个棱锥有________个顶点，顶点最少的一个棱台有________条侧棱．12．若三个球的表面积之比是1∶2∶3，则它们的体积之比是_____________．13．正方体ABCD－A1B1C1D1 中，O是上底面ABCD的中心，若正方体的棱长为a，则三棱锥O－AB1D1的体积为_____________．14．如图，E，F分别为正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是___________．(第14题)15．已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2、3、6，则这个长方体的对角线长是___________，它的体积为___________．16．一个直径为32厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球，球全部没入水中后，水面升高9厘米则此球的半径为_________厘米．三、解答题17．有一个正四棱台形状的油槽，可以装油190 L，假如它的两底面边长分别等于60 cm 和40 cm，求它的深度．18 *．已知半球内有一个内接正方体，求这个半球的体积与正方体的体积之比．[提示：过正方体的对角面作截面]19．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝22，AD＝2，求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积．(第19题)20．养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪之用)，已建的仓库的底面直径为12 m，高4 m，养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐，现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4 m(高不变)；二是高度增加4 m(底面直径不变)．(1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；(2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；(3)哪个方案更经济些？第一章 空间几何体参考答案A 组一、选择题 1．A解析：从俯视图来看，上、下底面都是正方形，但是大小不一样，可以判断可能是棱台．2．A解析：原图形为一直角梯形，其面积S ＝21(1＋2＋1)×2＝2＋2．3．A解析：因为四个面是全等的正三角形，则S 表面＝4×43＝3． 4．B解析：长方体的对角线是球的直径， l ＝2225＋4＋3＝52，2R ＝52，R ＝225，S ＝4πR 2＝50π． 5．C解析：正方体的对角线是外接球的直径． 6．D解析：V ＝V 大－V 小＝31πr 2(1＋1.5－1)＝23π．7．D解析：设底面边长是a ，底面的两条对角线分别为l 1，l 2，而21l ＝152－52，22l ＝92－52，而21l ＋22l ＝4a 2，即152－52＋92－52＝4a 2，a ＝8，S 侧面＝4×8×5＝160． 8．D解析：过点E ，F 作底面的垂面，得两个体积相等的四棱锥和一个三棱柱，V ＝2×31×43×3×2＋21×3×2×23＝215．9．B解析：斜二测画法的规则中，已知图形中平行于 x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于 y 轴的线段，长度为原来的一半．平行于 z 轴的线段的平行性和长度都不变．10．D解析：从三视图看底面为圆，且为组合体，所以选D. 二、填空题11．参考答案：5，4，3．解析：符合条件的几何体分别是：三棱柱，三棱锥，三棱台．12．参考答案：1∶22∶33．r 1∶r 2∶r 3＝1∶2∶3，31r ∶32r ∶33r ＝13∶(2)3∶(3)3＝1∶22∶33．13．参考答案：361a ．解析：画出正方体，平面AB 1D 1与对角线A 1C 的交点是对角线的三等分点， 三棱锥O －AB 1D 1的高h ＝33a ，V ＝31Sh ＝31×43×2a 2×33a ＝61a 3． 另法：三棱锥O －AB 1D 1也可以看成三棱锥A －OB 1D 1，它的高为AO ，等腰三角形OB 1D 1为底面．14．参考答案：平行四边形或线段．15．参考答案：6，6．解析：设ab ＝2，bc ＝3，ac ＝6，则V = abc ＝6，c ＝3，a ＝2，b ＝1， l ＝1＋2＋3＝6． 16．参考答案：12．解析：V ＝Sh ＝πr 2h ＝34πR 3，R ＝32764×＝12． 三、解答题 17．参考答案：V ＝31(S ＋S S ′＋S )h ，h ＝S S S S V ′＋′＋3＝6001＋4002＋60030001903×＝75．18．参考答案：如图是过正方体对角面作的截面．设半球的半径为R ，正方体的棱长为a ，则CC'＝a ，OC ＝22a ，OC'＝R ．(第18题)在Rt △C'CO 中，由勾股定理，得CC' 2＋OC 2＝OC' 2，即 a 2＋(22a )2＝R 2． ∴R ＝26a ，∴V 半球＝26πa 3，V 正方体＝a 3． ∴V 半球 ∶V 正方体＝6π∶2． 19．参考答案：S 表面＝S 下底面＋S 台侧面＋S 锥侧面＝π×52＋π×(2＋5)×5＋π×2×22 ＝(60＋42)π． V ＝V 台－V 锥 ＝31π(21r ＋r 1r 2＋22r )h －31πr 2h 1 ＝3148π．20．解：(1) 参考答案：如果按方案一，仓库的底面直径变成16 m ，则仓库的体积V 1＝31Sh ＝31×π×(216)2×4＝3256π(m 3)．如果按方案二，仓库的高变成8 m ，则仓库的体积COAV 2＝31Sh ＝31×π×(212)2×8＝3288π(m 3)．(2) 参考答案：如果按方案一，仓库的底面直径变成16 m ，半径为8 m ． 棱锥的母线长为l ＝224＋8＝45， 仓库的表面积S 1＝π×8×45＝325π(m 2)． 如果按方案二，仓库的高变成8 m ．棱锥的母线长为l ＝226＋8＝10，仓库的表面积S 2＝π×6×10＝60π(m 2)．(3) 参考答案：∵V 2＞V 1，S 2＜S 1，∴方案二比方案一更加经济些．。

高一数学必修二第一章本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ120分第Ⅰ卷 选择题一、选择题（每小题4分，共48分）．1．若M 在直线m 上，m 在平面α内，则下列表述正确的是（ ）A.α∈∈m MB. α⊂∈m MC. α⊂⊂m MD. α∈⊂m M2．下图是由哪个平面图形旋转得到的（ ） A B C D3．三个平面把空间分成７部分时，它们的交线有（ ）Ａ、１条 Ｂ、２条 Ｃ、３条 Ｄ、１或２条4．在下面四个命题中，真命题有( )①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱；②斜三棱柱的侧面一定都不是矩形；③底面为矩形的平行六面体是长方体；④侧面是正方形的正四棱柱是正方体．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．若正棱锥的底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是( )A ．三棱锥B ．四棱锥C ．五棱锥D ．六棱锥6．一个三棱锥，如果它的底面是直角三角形，那么它的三个侧面( )A ．至多只能有一个是直角三角形B ．至多只能有两个是直角三角形C ．可能都是直角三角形D ．必然都是非直角三角形7．右上图，水平放置的三角形的直观图，D ＇是A ＇B ＇边上的一点且D ＇A ＇=31 A ＇B ＇， A ＇B ＇∥Y ＇轴, C ＇D ＇∥X ＇轴，那么C ＇A ＇、C ＇B ＇、C ＇D ＇三条线段对应原图形中的线段CA 、CB 、CD 中 （ ）A ．最长的是CA ，最短的是CB B ．最长的是CB ，最短的是CAC ．最长的是CB ，最短的是CD D ．最长的是CA ，最短的是CD 8．一长方体木料，沿图①所示平面EFGH 截长方体，若AB ⊥CD 那么图②四个图形中是截面的是( )图（1）9．如图所示，甲、乙、丙是三个空间几何体的三视图，给出四个空间几何体：①长方体；②圆锥； ③三棱锥； ④圆柱，甲、乙、丙依次对应的标号正确的是 （ ）A ．④③②B ． ②①③C ． ①②③D ． ③②④10．如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是( )．A ．2＋2B ．221＋C ．22＋2D ．2＋111．各棱长均为a 的三棱锥的表面积为（ ）A ．234aB ．233aC ．232aD ．23a 12．四棱台的上、下底面均为正方形，它们的边长分别是1和2，侧棱长为2，则该四棱台的高为( ) A.62 B.32 C.12 D.22第Ⅱ卷 非选择题二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题5分，共30分）．13．一个棱柱至少有 个面，面数最少的一个棱锥有 个顶点，顶点最少的一个棱台有 条侧棱。

（完整版）高中数学必修二第一章同步练习（含答案）.docx.1.1.1 柱、锥、台、球的的结构特征练习一一、选择题1、下列命题中，正确命题的个数是（）（1 ）桌面是平面；（ 2）一个平面长 2 米，宽 3 米；（ 3）用平行四边形表示平面，只能画出平面的一部分；（4）空间图形是由空间的点、线、面所构成。

A 、 1B、2C、3D、42、下列说法正确的是（）A、水平放置的平面是大小确定的平行四边形B、平面ABCD就是四边形ABCD 的四条边围来的部分C、100 个平面重叠在一起比10 个平面重叠在一起厚D、平面是光滑的，向四周无限延展的面3、下列说法中表示平面的是（）A、水面B、屏面C、版面D、铅垂面4、下列说法中正确的是（）A、棱柱的面中，至少有两个面互相平行B、棱柱的两个互相平行的平面一定是棱柱的底面C、棱柱的一条侧棱的长叫做棱柱的高D、棱柱的侧面是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形5、长方体的三条棱长分别是AA /=1 ， AB=2 ，AD=4 ，则从 A 点出发，沿长方体的表面到C/的最短距离是（）A、5C、29D、376、若正棱锥的底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是（）A、三棱锥B、四棱锥C、五棱锥D、六棱锥]7、过球面上两点可能作出球的大圆（）A、0 个或 1 个B、有且仅有 1 个C、无数个D、一个或无数个8、一个圆柱的母线长为 5 ，底面半径为2，则圆柱的轴截面的面积为（）A、10B、20二、填空题9、用一个平面去截一个正方体，截面边数最多是----------------条。

10、正三棱台的上、下底面边长及高分别为1、 2、 2，则它的斜高是------------。

11、一个圆柱的轴截面面积为Q，则它的侧面面积是----------------。

12、若圆锥的侧面面积是其底面面积的2 倍，则这个圆锥的母线与底面所成的角为----------------，圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为----------------。

（数学2必修）第一章 空间几何体[基础训练A 组] 一、选择题1．有一个几何体的三视图如下图所示；这个几何体应是一个( )A .棱台B .棱锥C .棱柱D .都不对2．棱长都是1的三棱锥的表面积为（ ）AB. C. D. 3．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5；且它的8个顶点都在 同一球面上；则这个球的表面积是（ ）A ．25πB ．50πC ．125πD ．都不对 4．正方体的内切球和外接球的半径之比为（ ）AB2 C．2:D35．在△ABC 中；02, 1.5,120AB BC ABC ==∠=；若使绕直线BC 旋转一周；则所形成的几何体的体积是（ ）A.92π B. 72π C. 52π D. 32π 6．底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面；且侧棱长为5；它的对角线的长 分别是9和15；则这个棱柱的侧面积是（ ） A ．130 B ．140 C ．150 D ．160二、填空题1．一个棱柱至少有 _____个面；面数最少的一个棱锥有 ________个顶点； 顶点最少的一个棱台有 ________条侧棱。

主视图 左视图 俯视图2．若三个球的表面积之比是1:2:3；则它们的体积之比是_____________。

3．正方体1111ABCD A B C D - 中；O 是上底面ABCD 中心；若正方体的棱长为a ； 则三棱锥11O AB D -的体积为_____________。

4．如图；,E F 分别为正方体的面11A ADD 、面11B BCC 的中心；则四边形E BFD 1在该正方体的面上的射影可能是____________。

5．已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2、3、6；这个长方体的对角线长是___________；若长方体的共顶点的三个侧面面积分别为3,5,15；则它的体积为___________.三、解答题1．养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐（供融化高速公路上的积雪之用）；已建的仓库的底面直径为12M ；高4M ；养路处拟建一个更大的圆锥形仓库；以存放更多食盐；现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4M （高不变）；二是高度增加4M (底面直径不变)。

宁远二中高一数学必修2第一二章测试题（立体几何部分）时间2012-12 时量90分钟 满分100分 命题人 廖才春一、选择题（每小题4分，共48分）1、若一个几何体的三视图都是等腰三角形，则这个几何体可能是 （ ）A ．圆锥B ．正四棱锥C ．正三棱锥D ．正三棱台2．在一个侧置的正三棱锥容器内放入一个钢球，钢球恰与棱锥的四个面都接触，过棱锥的 一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是 （ ）A B C D3、下列说法正确的是A 、三点确定一个平面B 、四边形一定是平面图形C 、梯形一定是平面图形D 、平面α和平面β有不同在一条直线上的三个交点 4、在正方体1111ABCD A B C D -中，下列几种说法正确的是A 、11AC AD ⊥B 、11DC AB ⊥ C 、1AC 与DC 成45 角D 、11A C 与1B C 成60角5、下列命题中：（1）、平行于同一直线的两个平面平行；（2）、平行于同一平面的两个平面平行；（3）、垂直于同一直线的两直线平行；（4）、垂直于同一平面的两直线平行.其中正确的个数有A 、1B 、2C 、3D 、46、在空间四边形ABCD 各边AB BC CD DA 、、、上分别取E F G H 、、、四点，如果与EF GH 、能相交于点P ，那么 A 、点必P 在直线AC 上 B 、点P 必在直线BD 上C 、点P 必在平面ABC 内D 、点P 必在平面ABC 外 7．空间四边形ABCD 中，若AB AD AC CB CD BD =====，则AC 与BD 所成角为A 、030B 、045C 、060D 、0908、平面α与平面β平行的条件可以是（ ）A.α内有无穷多条直线与β平行；B.直线a//α,a//βC.直线a α⊂,直线b β⊂,且a//β,b//αD.α内的任何直线都与β平行9、在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体,则截去8个三棱锥后,剩下的凸多面体的体积是A 、23 B 、76 C 、45 D 、5610、正六棱台的两底边长分别为1cm,2cm,高是1cm,它的侧面积为 （ ）A ．279cm 2B ．79cm 2C ．323cm 2 D ．32cm 211．将一圆形纸片沿半径剪开为两个扇形，其圆心角之比为3∶4. 再将它们卷成两个圆锥侧 面，则两圆锥体积之比为 （ ）A ．3∶4B ．9∶16C ．27∶64D ．都不对12、将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使BD =a ，则三棱锥D —ABC 的体积为A ．63aB ．123aC ．3123a D ．3122a二、填空题（每小题4分，共16分）13、等体积的球和正方体,它们的表面积的大小关系是S 球_____S 正方体(填”大于、小于或等于”).14、正方体1111ABCD A B C D -中，平面11AB D 和平面1BC D 的位置关系为15已知直线a//平面α，平面α//平面β，则a 与β的位置关系为 .16棱台上下底面面积分别为16和81,有一平行于底面的截面面积为36,则截面戴的两棱台高 的比为班次 学号 姓名 得分二、填空题（每小题4分，共16分）13、 14、 15、16、三、解答题(共74分,要求写出主要的证明、解答过程) 17、（12）画出下列空间几何体的三视图．118. (12分)如图13-4，四棱锥P ABCD -是等边三角形，且侧面PAB 垂直于底面ABCD . ⑴证明：侧面PAB ⊥侧面PBC ； ⑵求侧棱PC 与底面ABCD 所成的角.如图，在三棱锥P-ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，AP=BP=AB，PC⊥AC.⑴求证：PC⊥AB；⑶求点C到平面APB的距离.参考答案一、CB CDB, DDDDD, DD．13、小于14、平行15. .平行或在平面内 16 2:3 17．解：（1）的三视图如下：正视图侧视图俯视图（2）的三视图如下：正视图侧视图俯视图。

人教版高中数学必修二第一章测试题及答案高一数学人教版必修二第一章测试题及答案一、选择题1.如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是()．答案：C．2＋2/22.棱长都是1的三棱锥的表面积为()．答案：B．2√23.长方体的一个顶点上三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是()．答案：B．50π4.正方体的棱长和外接球的半径之比为()．答案：B．3∶25.在△ABC中，AB＝2，BC＝1.5，∠ABC＝120°，若使△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是()．答案：A．π/96.若底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是()．答案：D．1607.如图，在多面体ABCDEF中，已知平面ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，EF＝3/2，且EF与平面ABCD的距离为2，则该多面体的体积为()．答案：B．58.下列关于用斜二测画法画直观图的说法中，错误的是()．答案：D．水平放置的圆的直观图是椭圆二、填空题9.若三个球的表面积之比是1∶2∶3，则它们的体积之比是1∶2∶3.10.正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是上底面ABCD的中心，若正方体的棱长为a，则三棱锥O－A1BD1的体积为a^3/6.11.已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2、3、6，则这个长方体的对角线长是√29，它的体积为√108.12.一个直径为32厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球，球全部没入水中后，水面升高9厘米则此球的半径为4厘米.三、解答题暂无。

解析：V = Sh = πr²h = πR³，其中R = 364 × 27 = 12.三、解答题13.参考答案：V = (S + SS' + S')h，其中h =14.参考答案：V = 1/3( S + SS' + S')h = 1/3 × × 75 = xxxxxxx/3.S表面积 = S下底面积 + S台侧面积 + S锥侧面积 = π×5² + π×(2+5)×5 + π×2²×2 = (60+42)π.V台= 1/3πr₁²h = 1/3π(5²+5×2+2²)×5 = 148π/3.V锥 = 1/3πr₁²h = 1/3π5²×5 = 25π/3.V = V台 - V锥= 148π/3 - 25π/3 = 123π/3 = 41π.。

高考数学必修二第一单元单元测试卷：空间几何体的直观图一、选择题.1. 如果平面图形中的两条线段平行且相等，那么在它的直观图中对应的这两条线段（）A.平行且相等B.平行不相等C.相等不平行D.既不平行也不相等2. 利用斜二测画法得到的：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形．以上结论，正确的是()A.①②B.①C.③④D.①②③④3. 如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原来图形的形状是（）A. B.C. D.4. 下列直观图是将正方体模型放置在你的水平视线的左下角而绘制的是（）A. B.C. D.5. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图是（）A. B.C. D.6. 如图是利用斜二测画法画出的△ABO的直观图，已知O′B′=4，且△ABO的面积为16，过A′作A′C′⊥x′轴，则A′C′的长为（）A.2√2B.√2C.16√2D.17. 把△ABC按斜二测画法得到△A′B′C′(如图所示)，其中B′O′=C′O′=1，A′O′=√3，2那么△ABC是一个()A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.三边互不相等的三角形二、填空题.关于斜二测画法，下列说法不正确的是________．①原图形中平行于x轴的线段，其对应线段平行于x′轴，长度不变；；②原图形中平行于y轴的线段，其对应线段平行于y′轴，长度变为原来的12③画与直角坐标系xOy对应的x′O′y′时，∠x′O′y′必须是45∘；④在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同．一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面大小一样，已知长方体的长、宽、高分别为20m，5m，10m，四棱锥的高为8m，若按1:500的比例画出它的直观图，那么直观图中长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为________．如图，正方形O′A′B′C′的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长为________．已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积为________．三、解答题.如图为一几何体的平面展开图，按图中虚线将它折叠起来，画它的直观图．参考答案与试题解析高考数学必修二第一单元单元测试卷：空间几何体的直观图一、选择题.1.【答案】A【考点】空间几何体的直观图空间中直线与直线之间的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】解：两条平行且相等的线段在直观图中保持平行且相等．故选A．2.【答案】A【考点】斜二测画法画直观图【解析】由斜二测画法规则直接判断即可．①正确；因为平行性不变，故②正确；正方形的直观图是平行四边形，③错误；因为平行于y′轴的线段长减半，平行于x′轴的线段长不变，故④错误．【解答】解：由斜二测画法规则知，①正确；平行性不变，②正确；正方形的直观图是平行四边形，③错误；因为平行于y′轴的线段长减半，平行于x′轴的线段长不变，所以菱形的直视图不再是菱形，故④错误．故选A.3.【答案】A【考点】斜二测画法画直观图【解析】此题暂无解析【解答】解：由斜二测画法可知，与y′轴平行的线段在原图中为在直观图中的2倍．故可判断A正确．故选A．4.【答案】A空间几何体的直观图【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意知应看到正方体的上面、前面和右面，由几何体直观图的画法及直观图中虚线的使用，可知选A．故选A．5.【答案】B【考点】简单空间图形的三视图【解析】此题暂无解析【解答】解：A选项中几何体的正视图与所给三视图不符，排除A；C选项中俯视图与所给三视图不符，排除C；D选项中几何体的侧视图与所给三视图不符，排除D；经验证，B选项中几何体的正视图、侧视图、俯视图与题中所给三视图均符合．故选B．6.【答案】A【考点】斜二测画法【解析】此题暂无解析【解答】解：因为A′B′ // y轴，所以在△ABO的中，AB⊥OB．又△ABO的面积为16，AB⋅OB=16．所以12所以AB=8，所以A′B′=4．如图，作A′C′⊥O′B′于点C′，所以B′C′=A′C′，所以A′C′的长为4sin45∘=2√2．故选A．7.A【考点】斜二测画法画直观图【解析】此题暂无解析【解答】解：根据斜二测画法的原则，=√3，AO⊥BC，得BC=B′C′=2，OA=2A′O′=2×√32∴ AB=AC=BC=2，∴ △ABC是等边三角形．故选A．二、填空题.【答案】③【考点】斜二测画法【解析】此题暂无解析【解答】解：画与直角坐标系xOy对应的坐标系x′O′y′时，∠x′O′y′也可以是135∘．故答案为：③．【答案】4cm，0.5cm，2cm，1.6cm【考点】空间几何体的直观图棱锥的结构特征【解析】此题暂无解析【解答】解：由比例可知长方体的长、宽、高和锥高，应分别为4cm，1cm，2cm和1.6cm，再结合直观图，图形的尺寸应为4cm，0.5cm ,2cm，1.6cm．故答案为：4cm，0.5cm，2cm，1.6cm．【答案】8cm【考点】平面图形的直观图【解析】此题暂无解析【解答】解：还原直观图为原图形，如图所示．因为O′A′=1，所以O′B′=√2，还原回原图形后，OA=O′A′=1，OB=2O′B′=2√2，根据勾股定理，OC=3，所以原图形的周长为8cm．故答案为：8cm．【答案】16或64【考点】平面图形的直观图【解析】此题暂无解析【解答】解：在直观图中，边长为4的边若与x′轴平行，则原图中正方形的边长为4，此时面积为16；若与y′轴平行，则正方形的边长为8，此时面积为64．故答案为：16或64．三、解答题.【答案】解：由题设中所给的展开图可以得出，此几何体是一个四棱锥，其底面是一个边长为2的正方形，垂直于底面的侧棱长为2，其直观图如图所示．【考点】空间几何体的直观图由三视图求体积【解析】此题暂无解析【解答】解：由题设中所给的展开图可以得出，此几何体是一个四棱锥，其底面是一个边长为2的正方形，垂直于底面的侧棱长为2，其直观图如图所示．。

第一章 空间几何体一、选择题1．有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体可能是一个( )．主视图 左视图 俯视图 (第1题)A ．棱台B ．棱锥C ．棱柱D ．正八面体2．如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是( )．A ．2＋2B ．221＋ C ．22＋2 D ．2＋13．棱长都是1的三棱锥的表面积为( )． A ．3B ．23C ．33D ．434．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是( )． A ．25πB ．50πC ．125πD ．都不对5．正方体的棱长和外接球的半径之比为( )． A ．3∶1B ．3∶2C ．2∶3D ．3∶36．若底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是( )． A ．130B ．140C ．150D ．1607．如图是一个物体的三视图，则此物体的直观图是( )．(第7题)8．已知a 、b 、c 是直线，β是平面，给出下列命题： ①若c a c b b a //,,则⊥⊥；②若c a c b b a ⊥⊥则,,//；③若b a b a //,,//则ββ⊂；④若a 与b 异面，且ββ与则b a ,//相交；⑤若a 与b 异面，则至多有一条直线与a ，b 都垂直. 其中真命题的个数是 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题9．若三个球的表面积之比是1∶2∶3，则它们的体积之比是_____________．10．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1 中，O 是上底面ABCD 的中心，若正方体的棱长为a ，则三棱锥O －AB 1D 1的体积为_____________． 11．已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2、3、6，则这个长方体的对角线长是___________，它的体积为___________．三、解答题12 ．已知半球内有一个内接正方体，求这个半球的体积与正方体的体积之比．13．如图，在四边形ABCD 中，∠DAB ＝90°，∠ADC ＝135°，AB ＝5，CD ＝22，AD ＝2，求四边形ABCD 绕AD 旋转一周所成几何体的表面积及体积．(第13题)15.S 是正三角形ABC 所在平面外的一点，如图SA ＝SB ＝SC ， 且2ASB BSC CSA π∠=∠=∠=，M 、N 分别是AB 和SC 的中点．求异面直线SM 与BN 所成的角的余弦值．B M ANCS第一章 空间几何体参考答案一、选择题 1．A解析：从俯视图来看，上、下底面都是正方形，但是大小不一样，可以判断可能是棱台． 2．A解析：原图形为一直角梯形，其面积S ＝21(1＋2＋1)×2＝2＋2． 3．A解析：因为四个面是全等的正三角形，则S 表面＝4×43＝3． 4．B解析：长方体的对角线是球的直径，l ＝2225＋4＋3＝52，2R ＝52，R ＝225，S ＝4πR 2＝50π． 5．C解析：正方体的对角线是外接球的直径． 6．D解析：设底面边长是a ，底面的两条对角线分别为l 1，l 2，而21l ＝152－52，22l ＝92－52，而21l ＋22l ＝4a 2，即152－52＋92－52＝4a 2，a ＝8，S 侧面＝4×8×5＝160．7．D解析：过点E ，F 作底面的垂面，得两个体积相等的四棱锥和一个三棱柱，V ＝2×31×43×3×2＋21×3×2×23＝215．8．D解析：从三视图看底面为圆，且为组合体，所以选D. 9.A 二、填空题10．参考答案：1∶22∶33．r 1∶r 2∶r 3＝1∶2∶3，31r ∶32r ∶33r ＝13∶(2)3∶(3)3＝1∶22∶33．11．参考答案：361a ．解析：画出正方体，平面AB 1D 1与对角线A 1C 的交点是对角线的三等分点， 三棱锥O －AB 1D 1的高h ＝33a ，V ＝31Sh ＝31×43×2a 2×33a ＝61a 3．另法：三棱锥O －AB 1D 1也可以看成三棱锥A －OB 1D 1，它的高为AO ，等腰三角形OB 1D 1为底面． 12．参考答案：6，6．解析：设ab ＝2，bc ＝3，ac ＝6，则V = abc ＝6，c ＝3，a ＝2，b ＝1，l ＝1＋2＋3＝6．三、解答题 13．参考答案：如图是过正方体对角面作的截面．设半球的半径为R ，正方体的棱长为a ，则CC'＝a ，OC ＝22a ，OC'＝R ．(第14题)在Rt △C'CO 中，由勾股定理，得CC' 2＋OC 2＝OC' 2， 即 a 2＋(22a )2＝R 2． ∴R ＝26a ，∴V 半球＝26πa 3，V 正方体＝a 3． ∴V 半球 ∶V 正方体＝6π∶2． 14．参考答案：S 表面＝S 下底面＋S 台侧面＋S 锥侧面＝π×52＋π×(2＋5)×5＋π×2×22 ＝(60＋42)π．V ＝V 台－V 锥＝31π(21r ＋r 1r 2＋22r )h －31πr 2h 1 ＝3148π． 15.证明：连结CM ，设Q 为CM 的中点，连结QN 则QN∥SM∴∠QNB 是SM 与BN 所成的角或其补角 连结BQ ，设SC ＝a ，在△BQN 中 BN ＝a 25 NQ ＝21SM ＝42a BQ ＝a 414∴COS∠QNB＝5102222=⋅-+NQ BN BQ NQ BNCO A。

高一数学必修2第一章综合测试题（附答案）第一章综合检测题时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．如下图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是()A．①是棱台B．②是圆台C．③是棱锥D．④不是棱柱2．若一个三角形，采用斜二测画法作出其直观图，则其直观图的面积是原三角形面积的()A.12倍B．2倍C.24倍D.22倍3．(2012•湖南卷)某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是()4．已知某几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是()A．长方体B．圆柱C．四棱锥D．四棱台5．正方体的体积是64，则其表面积是()A．64B．16C．96D．无法确定6．圆锥的高扩大到原来的2倍，底面半径缩短到原来的12，则圆锥的体积()A．缩小到原来的一半B．扩大到原来的2倍C．不变D．缩小到原来的167．三个球的半径之比为1:2:3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的()A．1倍B．2倍C.95倍D.74倍8．(2011～2012•浙江龙岩一模)有一个几何体的三视图及其尺寸如下图(单位：cm)，则该几何体的表面积为()A．12πcm2B．15πcm2C．24πcm2D．36πcm29．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为()A．7B．6C．5D．310．如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现．我们来重温这个伟大发现．圆柱的体积与球的体积之比和圆柱的表面积与球的表面积之比分别为()A.32，1B.23，1C.32，32D.23，3211．(2011－2012•广东惠州一模)某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为5的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为5的等腰三角形．则该几何体的体积为()A．24B．80C．64D．24012．如果用表示1个立方体，用表示两个立方体叠加，用表示3个立方体叠加，那么图中由7个立方体摆成的几何体，从正前方观察，可画出平面图形是()二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．圆台的底半径为1和2，母线长为3，则此圆台的体积为________．14．(2011－2012•北京东城区高三第一学期期末检测)一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为____________________________________________________________ _________．15．圆柱的侧面展开图是边长为6π和4π的矩形，则圆柱的表面积为________．16．(2011－2012•安徽皖南八校联考)一个几何体的三视图及其尺寸如下图所示，其中主视图是直角三角形，侧视图是半圆，俯视图是等腰三角形，则这个几何体的表面积是________．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)画出如图所示几何体的三视图．18．(本题满分12分)圆柱的高是8cm，表面积是130πcm2，求它的底面圆半径和体积．19．(本题满分12分)如下图所示是一个空间几何体的三视图，试用斜二测画法画出它的直观图(尺寸不限)．20．(本题满分12分)如图所示，设计一个四棱锥形冷水塔塔顶，四棱锥的底面是正方形，侧面是全等的等腰三角形，已知底面边长为2m，高为7m，制造这个塔顶需要多少铁板？21．(本题满分12分)如下图，在底面半径为2、母线长为4的圆锥中内接一个高为3的圆柱，求圆柱的表面积．22．(本题满分12分)如图所示(单位：cm)，四边形ABCD是直角梯形，求图中阴影部分绕AB旋转一周所成几何体的表面积和体积．详解答案1答案]C解析]图①不是由棱锥截来的，所以①不是棱台；图②上、下两个面不平行，所以②不是圆台；图④前、后两个面平行，其他面是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边平行，所以④是棱柱；很明显③是棱锥．2答案]C解析]设△ABC的边AB上的高为CD，以D为原点，DA为x轴建系，由斜二测画法规则作出直观图△A′B′C′，则A′B′＝AB，C′D′＝12CD.S△A′B′C′＝12A′B′•C′D′sin45°＝24(12AB•CD)＝24S△ABC.3答案]D解析]本题是组合体的三视图问题，由几何体的正视图和侧视图均如图1所示知，原图下面图为圆柱或直四棱柱，上面是圆柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱，A，B，C都可能是该几何体的俯视图，D不可能是该几何体的俯视图，因为它的正视图上面应为如图的矩形．点评]本题主要考查空间几何体的三视图，考查空间想象能力．是近年高考中的热点题型．4答案]A解析]该几何体是长方体，如图所示．5答案]C解析]由于正方体的体积是64，则其棱长为4，所以其表面积为6×42＝96.6答案]A解析]V＝13π12r2×2h＝16πr2h，故选A.答案]C7解析]设最小球的半径为r，则另两个球的半径分别为2r、3r，所以各球的表面积分别为4πr2,16πr2,36πr2，所以36πr24πr2＋16πr2＝95.8答案]C解析]由三视图可知该几何体是圆锥，S表＝S侧＋S底＝πrl＋πr2＝π×3×5＋π×32＝24π(cm2)，故选C.9答案]A解析]设圆台较小底面圆的半径为r，由题意，另一底面圆的半径R＝3r. ∴S侧＝π(r＋R)l＝π(r＋3r)×3＝84π，解得r＝7.10答案]C解析]设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R，∴V圆柱＝πR2×2R＝2πR3，V球＝43πR3.∴V圆柱V球＝2πR343πR3＝32，S圆柱＝2πR×2R＋2×πR2＝6πR2，S球＝4πR2.∴S圆柱S球＝6πR24πR2＝32.11答案]B解析]该几何体的四棱锥，高等于5，底面是长、宽分别为8、6的矩形，则底面积S＝6×8＝48，则该几何体的体积V＝13Sh＝13×48×5＝80.12答案]B解析]画出该几何体的正视图为，其上层有两个立方体，下层中间有三个立方体，两侧各一个立方体，故B项满足条件．13答案]1423π解析]圆台高h＝32－－＝22，∴体积V＝π3(r2＋R2＋Rr)h＝1423π.14答案]36解析]该几何体是底面是直角梯形的直四棱柱，如图所示，底面是梯形ABCD，高h＝6，则其体积V＝Sh＝＋＝36.答案]24π2＋8π或24π2＋18π15解析]圆柱的侧面积S侧＝6π×4π＝24π2.(1)以边长为6π的边为轴时，4π为圆柱底面圆周长，所以2πr＝4π，即r＝2.所以S底＝4π，所以S表＝24π2＋8π.(2)以4π所在边为轴时，6π为圆柱底面圆周长，所以2πr＝6，即r＝3.所以S底＝9π，所以S表＝24π2＋18π.16答案]2(1＋3)π＋42解析]此几何体是半个圆锥，直观图如下图所示，先求出圆锥的侧面积S圆锥侧＝πrl＝π×2×23＝43π，S底＝π×22＝4π，S△SAB＝12×4×22＝42，所以S表＝43π2＋4π2＋42＝2(1＋3)π＋42.17解析]该几何体的上面是一个圆柱，下面是一个四棱柱，其三视图如图所示．18解析]设圆柱的底面圆半径为rcm，∴S圆柱表＝2π•r•8＋2πr2＝130π.∴r＝5(cm)，即圆柱的底面圆半径为5cm.则圆柱的体积V＝πr2h＝π×52×8＝200π(cm3)．19解析]由三视图可知该几何体是一个正三棱台．画法：(1)如图①所示，作出两个同心的正三角形，并在一个水平放置的平面内画出它们的直观图；(2)建立z′轴，把里面的正三角形向上平移高的大小；(3)连接两正三角形相应顶点，并擦去辅助线，被遮的线段用虚线表示，如图②所示，即得到要画的正三棱台．20解析]如图所示，连接AC和BD交于O，连接SO.作SP⊥AB，连接OP.在Rt△SOP中，SO＝7(m)，OP＝12BC＝1(m)，所以SP＝22(m)，则△SAB的面积是12×2×22＝22(m2)．所以四棱锥的侧面积是4×22＝82(m2)，即制造这个塔顶需要82m2铁板．21解析]设圆柱的底面半径为r，高为h′.圆锥的高h＝42－22＝23，又∵h′＝3，∴h′＝12h.∴r2＝23－323，∴r＝1.∴S表面积＝2S底＋S侧＝2πr2＋2πrh′＝2π＋2π×3＝2(1＋3)π.22解析]由题意，知所成几何体的表面积等于圆台下底面积＋圆台的侧面积＋半球面面积．又S半球面＝12×4π×22＝8π(cm2)，S圆台侧＝π(2＋－＋42＝35π(cm2)，S圆台下底＝π×52＝25π(cm2)，即该几何全的表面积为8π＋35π＋25π＝68π(cm2)．又V圆台＝π3×(22＋2×5＋52)×4＝52π(cm3)，V半球＝12×4π3×23＝16π3(cm3)．所以该几何体的体积为V圆台－V半球＝52π－16π3＝140π3(cm3)．。

高一数学必修 2 第一二章测试题试卷满分： 150 分考试时间： 120 分钟班级 ___________ 姓名 __________ 学号 _________分数 ___________第Ⅰ卷一、选择题（每题 5 分，共 60 分）1、线段 AB 在平面、、由线段 AB 的长短而定 D、以上都不对2、以下说法正确的选项是A、三点确立一个平面B、四边形必定是平面图形C、梯形必定是平面图形D、平面和平面有不一样在一条直线上的三个交点3、垂直于同一条直线的两条直线必定A、平行B、订交C、异面D、以上都有可能4、在正方体中，以下几种说法正确的选项是DC成 45角D、ACA 、AC1 成 60 角、、AC1与 11与BC5、若直线 l∥平面，直线，则 l 与 a 的地点关系是A、l ∥ aB、l 与 a 异面C、l 与 a 订交D、l 与 a 没有公共点6、以下命题中：（1）、平行于同向来线的两个平面平行；（2）、平行于同一平面的两个平面平行；（3）、垂直于同向来线的两直线平行；（4）、垂直于同一平面的两直线平行 .此中正确的个数有A、 1 B 、2C、3 D 、 47、在空间四边形 ABCD 各边 AB 、BC、 CD、 DA 上分别取 E、 F、 G、H 四点，假如与 EF、GH 能订交于点 P，那么A、点必 P 在直线 AC 上B、点 P 必在直线 BD 上C、点 P 必在平面 ABCD、点 P 必在平面 ABC 外8、a，b，c 表示直线， M 表示平面，给出以下四个命题：①若a∥ M ，b∥M ，则 a∥b；②若， a∥b，则 a∥M ；③若 a⊥c，b⊥c，则 a∥b；④若 a⊥M ，b⊥M ，则 a∥b.此中正确命题的个数有A、0 个B、1 个C、2 个D、3 个9、一个棱柱是正四棱柱的条件是A 、底面是正方形，有两个侧面是矩形B、底面是正方形，有两个侧面垂直于底面C、底面是菱形，且有一个极点处的三条棱两两垂直D、每个侧面都是全等矩形的四棱柱10、在棱长为 1 的正方体上，分别用过共极点的三条棱中点的平面截该正方体,则截去 8 个三棱锥后 ,剩下的凸多面体的体积是第1页(共6页)A、2745B、C、D、 365611、已知二面角的平面角是锐角，、D、23454 分，共 16 分）二、填空题（每题A、13、等体积的球和正方体 ,它们的表面积的大小关系是S 球_____S 正方体(填”大于、小于或等于” ).CD14、正方体和平面 BC1D 的地点关系为 11D1 中，平面 AB15、已知 PA 垂直平行四边形 ABCD 所在平面，若，平行则四边形ABCABCD 必定是 D1．(注：填上你以为正确的一种条件即可，不用考虑全部可能的情况 .)16、如图，在直四棱柱A1B1C1 D1 － ABCD 中，当底面四边形ABCD 知足条件_________时，有 A1 B ⊥ B1第Ⅱ卷一、选择题（每题 5 分，共 60 分）二、填空题（每题 4 分，共 16 分）13、14、 15、16、三、解答题 (共 74 分 ,要求写出主要的证明、解答过程)17、已知圆台的上下底面半径分别是 2、5,且侧面面积等于两底面面积之和 ,求该圆台的母线长 .(10 分)第 2 页(共6页)18、已知 E、F、G、H 为空间四边形 ABCD 的边 AB 、BC、CD、DA 上的点，且ＥＨ∥ＦＧ．求证： EH∥BD. (12 分)19、已知中，面ABC，，求证：面SBC．(12分 )S20、一块边长为 10cm 的正方形铁片按如下图的暗影部分裁下,而后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器,试成立容器的容积V 与 x 的函数关系式 ,并求出函数的定义域 . (12 分 )第3页(共6页)AEB F HDC ACB21、已知正方体C1O∥面 AB1D1 ；（ 2，O 是底）ACA1ABCD对角线的交点. DC求证：（１）面 AB1D1 ．(14 分)A22、已知△BCD 中，∠ BCD=90°，BC=CD=1 ，AB ⊥平面 BCD ，∠ ADB=60°，E、F 分别是 AC 、AD 上的动点，且（Ⅰ）求证：无论λ为什么值，总有平面 BEF⊥平面 ABC ；（Ⅱ）当λ为什么值时，平面 BEF⊥平面 ACD ？ (14 分)第 4 页(共6页)1BDCBABD高一数学必修 2 立体几何测试题参照答案一、选择题（每题 5 分，共 60 分）ACDDD BCBDD DB 二、填空题（每题 4 分，共 16 分）13、小于14、平行15、菱形16、对角线 AC11 与 B1D1 相互垂直三、解答题（共 74分 ,要求写出主要的证明、解答过程）17、解 :设圆台的母线长为 l, 则圆台的上底面面积为S2 上圆台的上底面面积为 S 下因此圆台的底面面积为上下于是又圆台的侧面积S侧即297为所求 .18、证明：面BCD，面BCD面 BCD又面 BCD，面面，、证明：又面面又面 SBC20、解 :如图 ,设所截等腰三角形的底边边长为xcm.在中12xcm,因此分于是分第 5 页(共6页) 1 分3 分5 分6 分8 分9 分10 分 6 分12分1分4分 7分 10分 12分3分依题意函数的定义域为21、证明：（ 1）连接 AC11，设连接AO1 ，是正方体分是平行四边形又且O1,O 分别是 AC11,AC 的中点，是平面 AB1D1 ，且行面 AB1D1四边分形面AB1D1（ 2）面又，面A1C1C即同理可证，又面 AB1D122、证明：（Ⅰ）∵ AB ⊥平面 BCD，∴AB ⊥ CD，∵ CD⊥ BC 且 AB∩BC=B ，∴ CD⊥平面ABC.又∴无论λ为什么值，恒有EF∥ CD，∴ EF⊥平面 ABC ，为什么值恒有平面BEF⊥平面 ABC.（Ⅱ）由（Ⅰ）知， BE⊥EF，又平面 BEF⊥平面 ACD ，∴ BE⊥平面ACD ，∴ BE⊥ AC.BC=CD=1 ，∠ BCD=90°，∠ ADB=60°，∴平面BEF,∴无论λ∵由 AB2=AE· AC得7,故当7 时，平面 BEF⊥平面 ACD.第6页(共6页)4分 6分 7分 9分分 12分 14分 3分 6分 9分 11分 13分 14分11。

第一章综合测评题时间：120分钟 满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1．下列命题中，正确的是( ) A ．有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱 B ．侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥 C ．侧面都是矩形的直四棱柱是长方体D ．底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱2．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的表面积与侧面积的比是( ) A.1＋2π2π B.1＋4π4π C.1＋2ππD.1＋4π2π3．有下列四种说法：①平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线相交于一点；②空间图形经过中心投影后，直线变成直线，但平行线可能变成相交的直线；③空间几何体在平行投影与中心投影下有不同的表现方式．其中正确的命题有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个4．长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中截去一角B 1－A 1BC 1，则它的体积是长方体体积的( ) A.14 B.16 C.112D.1185．底面是边长为4的正方形，侧棱长都为25的四棱锥的侧面积和体积依次为( ) A ．24，643 B ．8，3233 C ．32，643 D ．32，32336．若圆台两底面周长的比是14，过高的中点作平行于底面的平面，则圆台被分成两部分的体积比是( )A.12B.14C ．1 D.391297．(2012·新课标全国卷)平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为( )A.6π B ．43π C ．46πD ．63π8．如图所示，梯形A 1B 1C 1D 1是一平面图形ABCD 的直观图(斜二测)，若A 1D 1∥O 1y 1，A 1B 1∥C 1D 1，A 1B 1=23C 1D 1=2，A 1D 1=1，则四边形ABCD 的面积是( )A ．10B ．5C ．5 2D ．10 29．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A.13B.23C ．1D ．210．一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的表面积(单位：cm 2)为( )A ．48＋12 2B ．48＋24 2C ．36＋12 2D ．36＋24 211．等边三角形的边长为a ，它绕其一边所在的直线旋转一周，则所得旋转体的体积为( )A.14πa 3 B.18πa 3 C.12πa 3D.16πa 312．已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A ．8 B.203 C.173D.143二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．已知OA 为球O 的半径，过OA 的中点M 且垂直于OA 的平面截球面得到圆M ，若圆M 的面积为3π，则球O 的表面积等于________．14．把边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折起形成三棱锥C －ABD ，其正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为________．15．一个母线长为2的圆锥侧面展开图为一个半圆，则此圆锥的体积为________．16．一个正四棱柱(底面是正方形，各个侧面均为矩形)的各个顶点都在一个直径为2cm 的球面上，如果正四棱柱的底面边长为1cm ，那么该棱柱的表面积为________cm 2.三、解答题(本大题共6小题，共70分，17题10分，18～22题，每题12分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．画出下图中三个图形的指定三视图之一．18．如图所示，为一建筑物的三视图，现需将其外壁用油漆刷一遍，已知每平方米用漆0.2 kg，问需要油漆多少千克？(尺寸如图所示，单位：m，π取3.14，结果精确到0.01 kg)19．已知四棱锥P－ABCD，其三视图和直观图如图，求该四棱锥的体积．20．一几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位：m)．(1)试画出它的直观图；(2)求它的表面积和体积．21．正三棱锥的高为1，底面边长为26，内有一个球与它的四个面都相切，求：(1)棱锥的表面积；(2)内切球的表面积与体积．22．如图，一个圆锥的底面半径为2cm，高为6cm，在其中有一个高为x cm的内接圆柱．(1)试用x表示圆柱的侧面积；(2)当x为何值时，圆柱的侧面积最大？第一章综合测评题（答案）1、解析：认识棱柱一般要从侧棱与底面的垂直与否和底面多边形的形状两方面去分析，故A ，C 都不够准确，B 中对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明，故也不正确．答案：D2、解析：利用侧面展开图与底面圆的联系解题．设底面圆半径为r ，母线即高为h ，则h ＝2πr ，所以S 表S 侧＝2πr 2＋2πrh 2πrh ＝r ＋h h ＝r ＋2πr 2πr ＝1＋2π2π.故选A.答案：A3、解析：本题考查中心投影与平行投影的有关概念及性质．利用中心投影与平行投影的概念判断，①③正确；利用中心投影与平行投影的性质判断，②也正确．故正确的命题有3个．故选C.答案：C4、解析：VB 1－A 1BC 1＝VC 1－A 1B 1B ＝13·S △A 1B 1B ·B 1C 1＝13×12S 四边形AA 1B 1B ×B 1C 1＝16VABCD －A 1B 1C 1D 1.答案：B 5、解析：如图，O 为正方形ABCD 的中心，VO 为四棱锥的高，E 为边BC 中点，所以VE ⊥BC .由BC ＝AB ＝4，VB ＝VC ＝25可得VE ＝4，VO ＝23，∴S 侧＝4S △VBC ＝32，V ＝13S 正方形ABCD ·VO ＝3233.答案：D 6、解析：圆台的轴截面如图，∵圆台的两底面周长之比为1:4，∴两底面半径之比1:4.设上底面半径为r ，则下底面半径为4r .∴经过高的中点与底面平行的截面半径为52r .∴圆台被分成两部分的体积比为 13πr 2＋πr 2·π·254r 2＋π·254r 213π·254r 2＋π·254r 2·π·16r 2＋π·16r 2＝39129. 答案：D7、解析：设球O 的半径为R ，则R ＝ 12＋(2)2＝3，故V 球＝43πR 3＝43π.答案：B 8、解析：四边形ABCD 是直角梯形，其中AD ＝2，AB ＝2，CD ＝3，所以四边形ABCD 的面积为12·(2＋3)×2＝5.答案：B9、解析：由三视图可知，该空间几何体是底面为直角三角形的直三棱柱，三棱柱的底面直角三角形的直角边长分别为1和2，三棱柱的高为2，所以该几何体的体积V ＝12×1×2×2＝1.答案：C10、解析：由三视图知，该几何体可看做由两个全等的小三棱锥侧面重合放置而成．每个小三棱锥的高为4，底面是腰长为32、底边长为6的等腰三角形，斜高为5，所以每个三棱锥的底面积为12×3×6＝9，侧面积为12×5×6＝15或12×4×32＝62，所以组合体的表面积为9×2＋15×2＋62×2＝48＋12 2.答案：A11、解析：所得的旋转体为以等边三角形的高为底面半径的两个相同底的圆锥，每个圆锥的高都为a2，∴V ＝2×13×π×⎝⎛⎭⎫32a 2·a 2＝14πa 3.答案：A12、解析：几何体是正方体截去一个三棱台， V ＝23－13·⎝⎛⎭⎫12＋2＋ 2×12×2＝173. 答案：C13、解析：设球半径为R ，圆M 的半径为r ，则πr 2＝3π，即r 2＝3， 由题得R 2－⎝⎛⎭⎫R 22＝3，所以R 2＝4⇒4πR 2＝16π. 答案：16π14、解析：由题意可知，侧视图为等腰直角三角形，腰长为22，故其面积为12×⎝⎛⎭⎫222＝14. 答案：1415、解析：由题意可知，圆锥的底面周长为2πr ＝12·2π×2，得r ＝1.∴圆锥的高h ＝22－12＝3，∴圆锥的体积V ＝13×π×12×3＝33π.答案：33π16、解析：设正四棱柱的高为a cm，则22＝12＋12＋a2，∴a＝ 2.∴S表面积＝1×1×2＋4×1×2＝(2＋42)(cm2)．答案：2＋4 217、解：如图所示．18、解：由三视图知建筑物为一组合体，自上而下分别是圆锥和四棱柱，并且圆锥的底面半径为3 m，母线长5 m，四棱柱的高为4 m，底面是边长为3 m的正方形．∴圆锥的表面积为πr2＋πrl＝3.14×32＋3.14×3×5＝28.26＋47.1＝75.36(m2)．四棱柱的一个底面积为32＝9(m2)，四棱柱的侧面积为4×4×3＝48(m2)．∴建筑物的外壁面积为75.36－9＋48＝114.36(m2)．∴需要油漆114.36×0.2＝22.872≈22.87(kg)．19、解：由三视图知底面ABCD为矩形，AB＝2，BC＝4，顶点P在面ABCD内的射影为BC中点E，即棱锥的高为2，则体积V P －ABCD ＝13S 矩形ABCD ×PE ＝13×2×4×2＝163. 20、解：(1)直观图如图所示．(2)解法一：由三视图可知该几何体是长方体被截去一个角得到的，且该几何体的体积是以A 1A 、A 1D 1、A 1B 1为棱的长方体的体积的34.在直角梯形AA 1B 1B 中，作BE ⊥A 1B 1，则四边形AA 1EB 是正方形，∴AA 1＝BE ＝1. 在Rt △BEB 1中，BE ＝1，EB 1＝1，∴BB 1＝ 2.∴几何体的表面积S ＝S 正方形AA 1D 1D ＋2S 梯形AA 1B 1B ＋S 矩形BB 1C 1C ＋S 正方形ABCD ＋S 矩形A 1B 1C 1D 1＝1＋2×12(1＋2)×1＋1×2＋1＋1×2＝(7＋2)(m 2)． ∴几何体的体积V ＝34×1×2×1＝32(m 3)． ∴该几何体的表面积为(7＋2)m 2，体积为32m 3. 解法二：几何体也可以看作是以AA 1B 1B 为底面的直四棱柱，其表面积求法同解法一， V 直四棱柱D 1C 1CD －A 1B 1BA ＝Sh ＝32×1＝32(m 3)． 21、解：(1)底面正三角形中心到一边的距离为13×32×26＝2， 则正棱锥侧面的斜高为12＋(2)2＝ 3.∴S 侧＝3×12×26×3＝9 2. ∴S 表＝S 侧＋S 底＝92＋12×32×(26)2 ＝92＋6 3.(2)如图所示，设正三棱锥P －ABC 的内切球球心为O ，连接OP 、OA 、OB 、OC ，而O 点到三棱锥的四个面的距离都为球的半径r . ∴V P －ABC ＝V O －P AB ＋V O －PBC ＋V O －P AC ＋V O －ABC ＝13·S 侧·r ＋13·S △ABC·r ＝13·S 表·r ＝(32＋23)r . 又V P －ABC ＝13×12×32×(26)2×1＝23， ∴(32＋23)r ＝23，得r ＝2332＋23＝23(32－23)18－12＝6－2. ∴S 内切球＝4π(6－2)2＝(40－166)π.V 内切球＝43π(6－2)3＝83(96－22)π. 22、解：设圆柱的底面半径为r .由题意知，r 2＝6－x 6，∴r ＝2－13x . (1)S 圆柱侧＝2πr ·x ＝2π·⎝⎛⎭⎫2－13x ·x＝－2π3x 2＋4πx ＝－2π3(x －3)2＋6π(0<x <6)． (2)当x ＝3时，圆柱的侧面积最大．。

必修二第一章训练卷空间几何体（一）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）1．已知某空间几何体的三视图如图所示，则此几何体为（）A．圆台B．四棱锥C．四棱柱D．四棱台2．如图，△O′A′B′是水平放置的△OAB的直观图，则△OAB的面积为（）A．6B．32C．62D．123．已知一个底面是菱形的直棱柱的侧棱长为5，菱形的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是（）A．3034B．6034C．3034135+D．1354．半径为R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（）A．3324RπB．338RπC．3525RπD．358Rπ5．已知圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积分别为V1和V2，则V1：V2＝（）A．1：3B．1：1C．2：1D．3：16．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如下图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A．163πB．193πC．1912πD．43π7．一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是（）A．8πB．6πC．4πD．π8．如图是一个空间几何体的三视图，如果直角三角形的直角边长均为1，那么这个几何体的体积为（）A．1B．12C．13D．169．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（）A．14斛B．22斛C．36斛D．66斛10．正三棱柱有一个半径为3cm的内切球，则此棱柱的体积是（）A．393cm B．354cm C．327cm D．3183cm11．如图，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）A．1727B．59C．1027D．1312．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为（）A．3500cm3πB．3cm3866πC．3cm31372πD．3cm32048π二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）①三棱锥；②四棱锥；③三棱柱；④四棱柱；⑤圆锥；⑥圆柱．14．用斜二测画法画边长为2的正三角形的直观图时，如果在已知图形中取的x轴和正三角形的一边平行，则这个正三角形的直观图的面积是__________________．15．棱锥的高为16，底面积为512，平行于底面的截面面积为50，则截得的棱台的高为__________________．16．如图是一个组合几何体的三视图，则该几何体的体积是__________________．三、解答题（本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．(10分)把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是1:4，母线长为10cm．求圆锥的母线长．18．(12分)如图是一个几何体的正视图和俯视图．（1）试判断该几何体是什么几何体？（2）画出其侧视图，并求该平面图形的面积；（3）求出该几何体的体积．19．(12分)如下图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢出杯子吗？请用你的计算数据说明理由．20．(12分)已知某几何体的侧视图与其正视图相同，相关的尺寸如图所示，求这个几何体的体积．21．(12分)如图所示，设计一个四棱锥形冷水塔塔顶，四棱锥的底面是正方形，侧面是全等的等腰三角形，已知底面边长为2m，高为7m，制造这个塔顶需要多少铁板？22．(12分)如图，正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为a，连接A′C′，A′D，A′B，BD，BC′，C′D，得到一个三棱锥．求：（1）三棱锥A′－BC′D的表面积与正方体表面积的比值；（2）三棱锥A′－BC′D的体积．2018-2019学年必修二第一章训练卷空间几何体（一）答 案一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的） 1．【答案】D【解析】由几何体的三视图可得，该几何体为四棱台．故选D ． 2．【答案】D【解析】△OAB 是直角三角形，OA ＝6，OB ＝4，∠AOB ＝90°，∴164122OAB S =⨯⨯=△．故选D ．3．【答案】A【解析】由菱形的对角线长分别是9和15，得菱形的边长为22915334222⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则这个菱柱的侧面积为3434530342⨯⨯=．故选A ． 4．【答案】A【解析】依题意，得圆锥的底面周长为πR ，母线长为R ，则底面半径为2R，高为32R ，所以圆锥的体积2313332224R R R ⎛⎫⨯π⨯⨯=π ⎪⎝⎭．故选A ． 5．【答案】D【解析】()121::3:13V V Sh Sh ⎛⎫== ⎪⎝⎭．故选D ．6．【答案】B【解析】设球半径是R ，依题意知，该三棱柱是一个底面边长为2，侧棱长为1的正三棱柱，记上，下底面的中心分别是O 1，O ，易知球心是线段O 1O 的中点，于是222123192312R ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此所求球的表面积是2191944123R ππ=π⨯=， 故选B ． 7．【答案】C【解析】设正方体的棱长为a ，则a 3＝8，所以a ＝2，而此正方体内的球直径为2，所以S 表＝4πr 2＝4π．故选C ． 8．【答案】C【解析】该几何体的直观图为如图所示的四棱锥P －ABCD ，且P A ＝AB ＝AD ＝1，P A ⊥AB ，P A ⊥AD ，四边形ABCD 为正方形，则2111133V =⨯⨯=，故选C ．9．【答案】B【解析】设圆锥底面半径为r ，则12384r ⨯⨯=，∴163r =，所以米堆的体积为21116320354339⎛⎫⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，故堆放的米约为320 1.62229÷≈，故选B ． 10．【答案】B【解析】由题意知棱柱的高为23cm ，底面正三角形的内切圆的半径为3cm ，∴底面正三角形的边长为6cm ，正三棱柱的底面面积为293cm ，∴此三棱柱的体积()3932354cm V =⨯=．故选B ． 11．【答案】C【解析】由零件的三视图可知，该几何体为两个圆柱组合而成，如图所示．切削掉部分的体积V 1＝π×32×6-π×22×4-π×32×2＝20π(cm 3)， 原来毛坯体积V 2＝π×32×6＝54π(cm 3)．故所求比值为1220105427V V π==π．故选C ． 12．【答案】A【解析】设球的半径为R ，则由题知球被正方体上面截得圆的半径为4， 球心到截面圆的距离为R －2，则R 2＝(R －2)2＋42，解得R ＝5．∴球的体积为3345500cm33π⨯π=．故选A．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）13．【答案】①②③⑤【解析】三棱锥的三视图中含有三角形，∴正视图有可能是三角形，满足条件．四棱锥的三视图中含有三角形，满足条件．三棱柱的三视图中含有三角形，满足条件．四棱柱的三视图中都为四边形，不满足条件．圆锥的三视图中含有三角形，满足条件．圆柱的三视图中不含有三角形，不满足条件．故答案为①②③⑤．14．【答案】6 415．【答案】11【解析】设棱台的高为x，则有2165016512x-⎛⎫=⎪⎝⎭，解之，得x＝11．16．【答案】36＋128π【解析】由三视图可知该组合几何体下面是一个圆柱，上面是一个三棱柱，故所求体积为134616836128 2V=⨯⨯⨯+π⨯=+π．三、解答题（本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．【答案】403cm．【解析】如图，设圆锥母线长为l，则1014ll-=，所以cm403l=．18．【答案】（1）正六棱锥；（2）见解析，232a；（3）332a．【解析】（1）由该几何体的正视图和俯视图可知该几何体是一个正六棱锥．（2）该几何体的侧视图如图．其中AB＝AC，AD⊥BC，且BC的长是俯视图正六边形对边的距离，即3BC a=，AD是正六棱锥的高，即3AD a=，所以该平面图形的面积为2133322a a a=．（3）设这个正六棱锥的底面积是S，体积为V，则223336S==，所以231333332V a a==．19．【答案】不会，见解析．【解析】因为()33314144134cm2323V R=⨯π=⨯⨯π⨯≈半球，()22311412201cm33V r h=π=π⨯⨯≈圆锥，134<201，所以V半球<V圆锥，所以，冰淇淋融化了，不会溢出杯子．20．【答案】74Vπ=．【解析】由三视图可知，该几何体是大圆柱内挖掉了小圆柱，两个圆柱高均为1，底面是半径为2和32的同心圆，故该几何体的体积为23741124Vπ⎛⎫=π⨯-π⨯=⎪⎝⎭．21．【答案】282m．【解析】如图所示，连接AC和BD交于O，连接SO．作SP⊥AB，连接OP．在Rt△SOP中，)7mSO=，()11m2OP BC==，所以)2mSP=，则△SAB的面积是)2122222m2⨯⨯．所以四棱锥的侧面积是)242282m⨯=，即制造这个塔顶需要282铁板．22．【答案】（13；（2）33a．【解析】（1）∵ABCD－A′B′C′D′是正方体，∴2A B A C A D BC BD C D a''''''======，∴三棱锥A′－BC′D的表面积为213422232a a a⨯=．而正方体的表面积为6a2，故三棱锥A′－BC′D的表面积与正方体表面积的比值为2233a=．（2）三棱锥A′－ABD，C′－BCD，D－A′D′C′，B－A′B′C′是完全一样的．故V三棱锥A′－BC′D＝V正方体－4V三棱锥A′－ABD＝332114323aa a a-⨯⨯⨯=．。

1高一数学必修2第一章单元测试题1．如下图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是( )A．①是棱台 B．②是圆台 C．③是棱锥 D．④不是棱柱2．若一个三角形，采用斜二测画法作出其直观图，则其直观图的面积是原三角形面积的( )A.12倍 B．2倍 C.24倍 D.22倍 3．某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是()4．已知某几何体的三视图如右图所示，那么这个几何体是( )A．长方体 B．圆柱 C．四棱锥 D．四棱台5．正方体的体积是64，则其表面积是( ) A．64 B．16 C．96 D．无法确定6．圆锥的高扩大到原来的2倍，底面半径缩短到原来的12，则圆锥的体积( )A．缩小到原来的一半 B．扩大到原来的2倍C．不变 D．缩小到原来的167．三个球的半径之比为1:2:3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的( )2A．1倍 B．2倍 C.95倍 D.74倍 8．有一个几何体的三视图及其尺寸如下图(单位：cm)，则该几何体的表面积为( )A．12πcm 2B．15πcm 2C．24πcm 2 D．36πcm 29．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为( )A．7 B．6 C．5 D．310．如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现．我们来重温这个伟大发现．圆柱的体积与球的体积之比和圆柱的表面积与球的表面积之比分别为( )A.32，1B.23，1C.32，32D.23，3211．某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为5的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为5的等腰三角形．则该几何体的体积为( )3A．24 B．80C．64D．24012．如果用表示1个立方体，用表示两个立方体叠加，用表示3个立方体叠加，那么图中由7个立方体摆成的几何体，从正前方观察，可画出平面图形是()4姓名：座位号：一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．圆台的底半径为1和2，母线长为3，则此圆台的体积为________．14．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为___________________。

一、选择题1．已知正方体1111ABCD A B C D -，E 、F 分别是正方形1111D C B A 和11ADD A 的中心，则EF 和BD 所成的角的大小是（ ） A ．30B ．45C ．60D ．902．已知AB 是平面α外的一条直线，则下列命题中真命题的个数是（ ） ①在α内存在无数多条直线与直线AB 平行； ②在α内存在无数多条直线与直线AB 垂直； ③在α内存在无数多条直线与直线AB 异面； ④一定存在过AB 且与α垂直的平面β. A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB AD ==，12AA =，M 为棱1DD 上的一点．当1A M MC +取得最小值时，1B M 的长为（ ）A 3B 6C ．23D ．264．已知三棱柱111ABC A B C -的所有顶点都在球O 的表面上，侧棱1AA ⊥底面111A B C ，底面111A B C △是正三角形，1AB 与底面111A B C 所成的角是45°.若正三棱柱111ABC A B C -的体积是3O 的表面积是（ ） A ．28π3B ．14π3C ．56π3D ．7π 35．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 是1CC 的中点，则点1C 到平面EBD 的距离为（ ） A ．34B 6C 5D 226．在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是棱C 1D 1，B 1C 1的中点，P 是上底面A 1B 1C 1D 1内一点，若AP ∥平面BDEF ，则线段AP 长度的取值范围是（ ）A ．[322，5] B ．[5，22]C ．[324，6] D ．[6，22]7．如图为某几何体的三视图，正视图、左视图和俯视图均为等腰直角三角形，则该几何体的表面积是（ ）A ．23+B ．223+C ．63+D ．6 8．三个平面将空间分成n 个部分，则n 不可能是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．89．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1A B 上的动点，则下列结论错误的是（ ）A ．1DC PC ⊥B ．异面直线AD 与PC 不可能垂直 C ．1D PC ∠不可能是直角或者钝角 D ．1APD ∠的取值范围是,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭ 10．已知四面体ABCD 中，二面角A BC D --的大小为60，且2AB =，4CD =，120CBD ∠=，则四面体ABCD 体积的最大值是（ ）A 43B 23C ．83D ．4311．已知长方体1111ABCD A B C D -的顶点A ，B ，C ，D ，在球O 的表面上，顶点1A ，1B ，1C ，1D ，在过球心O 的一个平面上，若6AB =，8AD =，14AA =，则球O 的表面积为（ ） A ．169πB ．161πC ．164πD ．265π12．如图，长、宽、高分别为2、1、1的长方体木块上有一只小虫从顶点A 出发沿着长方体的外表面爬到顶点B ，则它爬行的最短路程是（ ）A ．10B ．5C ．22D ．3二、填空题13．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，22AB =，3BC =，4PA =，4ABC π∠=，则该三棱锥的外接球体积为___________.14．如图，在三棱台111ABC A B C -中，11190,4,22ACB AC BC A B CC ∠=︒====，平面11AA B B ⊥平面ABC ，则该三棱台外接球的表面积为___________.15．在正三棱锥A BCD -中，5AB AC AD ===，6BC BD CD ===.点M 是线段BC 上的点，且2BM MC =.点P 是棱AC 上的动点，直线PM 与平面BCD 所成角为θ，则sin θ的最大值为______.16．如图，在长方体1111ABCDA B C D ﹣中，O 是11B D 的中点，P 是线段AC 上一点，且直线1PA 交平面11AB D 于点M ．给出下列结论：①A ，M ，O 三点共线；②A ，M ，O ，1A 不共面；③A ，M ，C ，O 共面；④B ，1B ，O ，M 共面．其中正确结论的序号为______．17．如下图所示，三棱锥P ABC -外接球的半径为1，且PA 过球心，PAB △围绕棱PA 旋转60︒后恰好与PAC △重合.若3PB =，则三棱锥P ABC -的体积为_____________.18．如图在长方形ABCD 中，AB 6=，BC 2=．E 为线段DC 上一动点，现将△AED 沿AE 折起．使点D 在面ABC 上的射影K 在直线AE 上，当E 从D 运动到C ．则K 所形成轨迹的长度为_____．19．若三棱锥S ABC -的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形，23AB =，7SA SB SC ===，则该三棱锥的外接球的表面积为__________． 20．棱长为a 的正四面体的外接球的表面积为______．三、解答题21．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为2的菱形，60BCD ∠=，已知2PB PD ==，6PA =，E 为PA 的中点.（1）求证：PC BD ⊥；（2）求二面角B PC E --的余弦值； （3）求三棱锥P BCE -的体积.22．将棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -沿平面11A BCD 截去一半（如图1所示）得到如图2所示的几何体，点E ，F 分别是BC ，DC 的中点.（Ⅰ）证明：EF ⊥平面1A AC ； （Ⅱ）求三棱锥1A D EF -的体积.23．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，PA PD =，3BAD π∠=，E 是线段AD 的中点，连结BE ．（1）求证：BE PA ⊥；（2）求二面角A PD C --的余弦值；（3）在线段PB 上是否存在点F ，使得//EF 平面PCD ？若存在，求出PFPB的值；若不存在，说明理由．24．如图，已知三棱锥P ABC -﹐PC AB ⊥，ABC 是边长为33PB =60PBC ∠=，点F 为线段AP 的中点．（1）证明：PC ⊥平面ABC ；（2）求直线BF 与平面PAC 所成角的大小．25．如图，在直角梯形ABED 中，//BE AD ，DE AD ⊥，BC AD ⊥，4AB =，23BE =.将矩形BEDC 沿BC 翻折，使得平面ABC ⊥平面BCDE .（1）若BC BE =，证明：平面ABD ⊥平面ACE ；（2）当三棱锥A BCE -的体积最大时，求平面ADE 与平面ABC 所成的锐二面角的余弦值.26．我市论语广场准备设置一些多面体形或球形的石凳供市民休息，如图（1）的多面体石凳是由图（2）的正方体石块截去八个相同的四面体得到，且该石凳的体积是3160dm 3.（Ⅰ）求正方体石块的棱长；（Ⅱ）若将图（2）的正方体石块打磨成一个球形的石凳，求此球形石凳的最大体积.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】作出图形，连接1AD 、11B D 、1AB ，推导出1//EF AB ，11//BD B D ，可得出异面直线EF 和BD 所成的角为11AB D ∠，分析11AB D 的形状，即可得出结果. 【详解】如下图所示，连接1AD 、11B D 、1AB ，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，则11112AD AB B D ===， 所以，11AB D 为等边三角形，则1160AB D ∠=，因为E 、F 分别是正方形1111D C B A 和11ADD A 的中心，则E 、F 分别是11B D 、1AD 的中点，所以，1//EF AB ，在正方体1111ABCD A B C D -中，11//BB DD 且11BB DD =， 所以，四边形11BB D D 为平行四边形，则11//BD B D ， 所以，异面直线EF 和BD 所成的角为1160AB D ∠=. 故选：C. 【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： （1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形； （4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．2．C解析：C 【分析】根据线面平行，线面垂直，异面直线等有关结论和定义即可判断． 【详解】对于A ，若直线AB 与平面α相交，则在α内不存在直线与直线AB 平行，错误； 对于B ，若直线AB 与平面α相交且不垂直，设AB M α=，过平面α外直线AB 上一点P 作PC α⊥，垂足为C ，则在平面α内过点C 一定可以作一条直线CD ，使得CD CM ⊥，所以CD AB ⊥，而在平面α内，与直线CD 平行的直线有无数条，所以在α内存在无数多条直线与直线AB 垂直，若直线AB 与平面α垂直，显然在α内存在无数多条直线与直线AB 垂直，当直线AB 与平面α平行时，显然可知在α内存在无数多条直线与直线AB 垂直，正确；对于C ，若直线AB 与平面α相交，设AB M α=，根据异面直线的判定定理，在平面α内，不过点M 的直线与直线AB 异面，所以在α内存在无数多条直线与直线AB 异面，当直线AB 与平面α平行时，显然可知在α内存在无数多条直线与直线AB 异面，正确； 对于D ，若直线AB 与平面α相交且不垂直，设AB M α=，过平面α外直线AB 上一点P 作PC α⊥，垂足为C ，所以平面ABC 与平面α垂直，若直线AB 与平面α垂直，则过直线AB 的所有平面都与平面α垂直，当直线AB 与平面α平行时，在直线AB 上取一点P 作PC α⊥，垂足为C ，所以平面ABC 与平面α垂直，正确． 故真命题的个数是3个． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查线面平行，线面垂直，异面直线等有关结论和定义的理解和应用，熟记定义，定理和有关结论是解题的关键，属于中档题．3．A解析：A 【分析】本题首先可通过将侧面11CDD C 绕1DD 逆时针转90展开得出当1A 、M 、2C 共线时1A M MC +取得最小值，此时M 为1DD 的中点，然后根据11B A ⊥平面11A D DA 得出111B A A M ⊥，最后根据1M B =即可得出结果.【详解】如图，将侧面11CDD C 绕1DD 逆时针转90展开，与侧面11ADD A 共面，连接12A C ，易知当1A 、M 、2C 共线时，1A M MC +取得最小值， 因为1AB AD ==，12AA =，所以M 为1DD 的中点，12A M = 因为11B A ⊥平面11A D DA ，1A M ⊂平面11A D DA ，所以111B A A M ⊥， 则222211111(2)3M B A A M B =+=+=故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题考查根据线面垂直判断线线垂直，能否根据题意得出当M 为1DD 的中点时1A M MC +取得最小值是解决本题的关键，考查计算能力，考查数形结合思想，是中档题.4．A解析：A 【分析】首先得到11AB A ∠是1AB 与底面111A B C 所成的角，再通过三棱柱的体积得到三棱柱的底面等边三角形的边长，最后通过球的半径，球心到底面距离，底面外接圆半径的关系计算． 【详解】因为侧棱1AA ⊥底面111A B C ，则11AB A ∠是1AB 与底面111A B C 所成的角，则1145AB A ∠=︒． 故由11111tan tan 451AA AB A A B ∠=︒==，得111AA A B =． 设111AA A B a ==，则111313323224ABC A B C a V a a -=⨯⨯⨯==三棱柱 解得2a =．所以球O 的半径22232722233R ⎛⎫⎛⎫+⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝=⎭，所以球O 的表面积22728π4π4π33S R ⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭． 故选：A ． 【点睛】解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的关系和数量关系，选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系)，达到空间问题平面化的目的．5．B解析：B 【分析】利用等体积法11C EBD D C EB V V --=，设点1C 到平面EBD 的距离为d ，利用三棱锥的体积公式代入面积即求得d . 【详解】如图，利用等体积法，11C EBD D C EB V V --=，设点1C 到平面EBD 的距离为d ，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，故22,5BD BE ED ===，如图，2215232h ED BD ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭11223622EBDSBD h =⨯⨯=⨯= 又点D 到平面1C EB 的距离，即D 到平面11C CBB 的距离，为CD =2，111212EBC S=⨯⨯=， 由11C EBD D C EB V V --=得，1161233d =⨯⨯，故636d ==. 故选：B.【点睛】方法点睛：空间中求点到平面的距离的常见方法：（1）定义法：直接作垂线，求垂线段长；（2）等体积法：利用三棱锥换底求体积，结合两个面积和另一个高求未知高，即得距离；（3）向量法：过点的一个斜线段对应的向量a，平面法向量n，则a n dn⋅=.6．A解析：A【分析】分别取棱A1B1、A1D1的中点M、N，连接MN，可证平面AMN∥平面BDEF，得P点在线段MN上．由此可判断当P在MN的中点时，AP最小；当P与M或N重合时，AP最大．然后求解直角三角形得答案．【详解】如图所示，分别取棱A1B1、A1D1的中点M、N，连接MN，连接B1D1，∵M、N、E、F为所在棱的中点，∴MN∥B1D1，EF∥B1D1，∴MN∥EF，又MN⊄平面BDEF，EF⊂平面BDEF，∴MN∥平面BDEF；连接NF，由NF∥A1B1，NF＝A1B1，A1B1∥AB，A1B1＝AB，可得NF∥AB，NF＝AB，则四边形ANFB为平行四边形，则AN∥FB，而AN⊄平面BDEF，FB⊂平面BDEF，则AN∥平面BDEF．又AN∩NM＝N，∴平面AMN∥平面BDEF．又P是上底面A1B1C1D1内一点，且AP∥平面BDEF，∴P点在线段MN上．在Rt△AA1M中，AM===同理，在Rt△AA1N中，求得AN=△AMN为等腰三角形．当P在MN的中点时，AP，当P与M或N重合时，AP∴线段AP长度的取值范围是2⎡⎢⎣．故选：A．【点睛】本题主要考查了空间中点、线、面间的距离问题，其中解答中通过构造平行平面寻找得到点P 的位置是解答的关键，意在考查空间想象能力与运算能力，属于中档试题.7．A解析：A 【分析】由三视图可知原几何体是三棱锥，平面ACD ⊥平面ABC ，ACD ACB ≅底面是等腰直角三角形，底为2AC =，高为1BE =，ABD BCD ≅是边长为2的等边三角形，计算四个三角形面积之和即可求解. 【详解】由三视图可知原几何体是三棱锥：底面ACB △是等腰直角三角形，底2AC =，高1BE =，平面ACD ⊥平面ABC ，ACD ACB ≅，由三视图知ACB △中，2AC =，ACB △是等腰直角三角形，所以2AB BC ==ACD △是等腰直角三角形，2AD CD ==，2AC =，222BD BE DE =+=所以等腰直角三角形ACB △的面积为12112⨯⨯=， 等腰直角三角形ACD △的面积为12112⨯⨯=，等边ABD △的面积为()233242⨯=， 等边BCD △的面积为()2332⨯=， 所以该几何体的表面积是331123+++=+， 故选：A.8．A解析：A 【分析】三个平面不重合，先按其中平行的平面的个数分类：三个平面两两平行，两个平面平行，没有平行的平面(两两相交)，对两两相交的情况，再根据三条交线互相平行，重合，交于一点，分别讨论. 【详解】按照三个平面中平行的个数来分类：（1）三个平面两两平行，如图1，可将空间分成4部分；（2）两个平面平行，第三个平面与这两个平行平面相交，如图2，可将空间分成6部分；（3）三个平面中没有平行的平面：（i ）三个平面两两相交且交线互相平行，如图3，可将空间分成7部分； （ii ）三个平面两两相交且三条交线交于一点，如图4，可将空间分成8部分.（iii ）三个平面两两相交且交线重合，如图5，可将空间分成6部分；综上，可以为4，6，7，8部分，不能为5部分， 故选：A.9．D解析：D 【分析】在正方体中根据线面垂直可判断A ，根据异面直线所成角可判断B ，由余弦定理可判断CD. 【详解】 如图，设正方体棱长为2，在正方体中易知1DC ⊥平面11A BCD ，P 为线段1A B 上的动点，则PC ⊂平面11A BCD ,所以1DC PC ⊥，故A 正确；因为异面直线AD 与PC 所成的角即为BC 与PC 所成的角，在Rt PBC 中不可能BC 与PC 垂直，所以异面直线AD 与PC 不可能垂直，故B 正确；由正方体棱长为2，则222222211114480D P PC D C A P BP A P BP +-=+++-=+>，所以由余弦定理知1cos 0D PC ∠>，即1D PC ∠不可能是直角或者钝角，故C 正确；设1(0A P x x =≤≤，则2214D P x =+，222422cos44AP x x x π=+-⨯=+-，由余弦定理，2222111112cos =22AP D P AD x AP D P A PD P AP D ∠=+--⋅⋅，当x <1cos 0APD ∠<，所以1APD ∠为钝角，故D 错误.故选：D 【点睛】关键点点睛：判断正方体中的角的范围时，可选择合适三角形，利用正方体中数量关系，位置关系，使用余弦定理，即可判断三角形形状或角的范围，属于中档题.10．D解析：D 【分析】在BCD △中，利用余弦定理和基本不等式可得163BC BD ⋅≤，由三角形的面积公式可得3BCDS≤，由二面角A BC D --的大小为60，可得A 到平面BCD 的最大距离为2sin 603h ==ABCD 体积的最大值.【详解】在BCD △中，由余弦定理可得2222cos120CD BC BD BC BD =+-⋅22BC BD BC BD =++⋅因为222BC BD BC BD +≥，所以23CD BC BD ≥⋅， 所以163BC BD ⋅≤，当且仅当BC BD =时等号成立，1116sin1202232BCDSBC BD =⋅≤⨯⨯= 因为二面角A BC D --的大小为60，所以点A 到平面BCD的最大距离为2sin603h == 所以114333A BCD BCDV S h -=⋅≤=，所以四面体ABCD 体积的最大值是43， 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是利用余弦定理和基本不等式、三角形面积公式求出BCD S △最大值，再由二面角求出高的最大值.11．C解析：C 【分析】把两个这样的长方体叠放在一起，构成一个长宽高分别为6，8，8的长方体，则球O 就是该长方体的外接球，根据长方体外接球的直径等于体对角线的长，求出直径，即可得出球的表面积. 【详解】 如下图所示：把两个这样的长方体叠放在一起，构成一个长宽高分别为6，8，8的长方体，则球O 就是该长方体的外接球，根据长方体的结构特征可得，其外接球直径等于体对角线的长， 所以球O 的半径R 满足2222688164R =++=， 所以球O 的表面积24164S R ππ==. 故选：C.【点睛】关键点点睛：本题主要考查几何体外接球的表面积，熟记长方体结构特征，其外接球的球心和半径与长方体的关系，以及球的表面积公式，是解决此类问题的关键.12．C解析：C 【分析】小虫有两种爬法，一种是从点A 沿着侧面ACGF 和上底面BHFG 爬行，另一种是从点A 沿着侧面ACGF 和侧面BDCG 爬行，将两种情况下的两个面延展为一个面，计算出平面图形的对角线长，比较大小后可得结果. 【详解】由于长方体ACDE FGBH -的长、宽、高分别为2、1、1，则小虫从点A 沿着侧面AEHF 和上底面FHBG 爬行，以及小虫从点A 沿着侧面ACGF 和侧面BDCG 爬行，这两条线路的最短路程相等.①若小虫从点A 沿着侧面ACGF 和上底面BHFG 爬行，将侧面ACGF 和上底面BHFG 延展为一个平面，如下图所示：则2AC BC ==，最短路程为2222AB AC BC =+=；②若小虫从点A 沿着侧面ACGF 和侧面BDCG 爬行，将面ACGF 和侧面BDCG 延展为一个平面，如下图所示：则3AD AC CD =+=，1BD =，最短路程为2210AB AD BD =+.因为2210<，因此，小虫爬行的最短路程为22 故选：C. 【点睛】方法点睛：（1）计算多面体或旋转体的表面上折线段的最值问题时，一般采用转化的方法进行，即将侧面展开化为平面图形，即“化折为直”或“化曲为直”来解决，要熟练掌握多面体与旋转体的侧面展开图的形状；（2）对于几何体内部折线段长的最值，可采用转化法，转化为两点间的距离，结合勾股定理求解.二、填空题13．【分析】利用余弦定理求得利用正弦定理计算出的外接圆直径可计算出三棱锥的外接球半径然后利用球体体积公式可求得结果【详解】如下图所示圆柱的底面圆直径为圆柱的母线长为则的中点到圆柱底面圆上每点的距离都相等解析：13263π【分析】利用余弦定理求得AC，利用正弦定理计算出ABC的外接圆直径2r，可计算出三棱锥P ABC-的外接球半径R，然后利用球体体积公式可求得结果.【详解】如下图所示，圆柱12O O的底面圆直径为2r，圆柱的母线长为h，则12O O的中点O到圆柱底面圆上每点的距离都相等，所以，圆柱12O O的外接球直径为()2222R r h=+.本题中，作出ABC的外接圆2O，由于PA⊥平面ABC，可将三棱锥P ABC-放在圆柱12O O中，在ABC中，22AB=3BC=，4ABCπ∠=，由余弦定理可得222cos5AC AB BC AB BC ABC+-⋅∠=，由正弦定理可知，ABC的外接圆直径为5210sin2ACrABC===∠则三棱锥P ABC-的外接球直径为()222226R PA r=+=262R=，因此，三棱锥P ABC -的外接球的体积为334433V R ππ==⨯=⎝⎭.故答案为：3. 【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径； ③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.14．【分析】取与中点根据平面平面可知平面球心必在直线上设球心为D 则可求得球心恰好为点O 从而求得外接球的半径代入球的表面积公式计算【详解】在三棱台中可得都是等腰三角形四边形为等腰梯形即如图取与中点连接则可 解析：32π【分析】取AB 与11A B 中点,O O '，根据平面11AA B B ⊥平面ABC ，可知'⊥O O 平面ABC ，球心必在直线O O '上，设球心为D ，则()22221O D O O OC O D O C ''''-+=+，可求得球心恰好为点O ，从而求得外接球的半径R ，代入球的表面积公式计算. 【详解】在三棱台111ABC A B C -中，11190,4,ACB AC BC A B CC ∠=︒====111,A A C C B B 都是等腰三角形，11112A C B C ==，四边形11A ABB 为等腰梯形即11AA BB =，如图，取AB 与11A B 中点,O O '，连接1,,CO OO C O ''，则可得1CO C O '==O O AB '⊥，又平面11AA B B ⊥平面ABC ，两面交线为AB ，所以'⊥O O 平面ABC .因为OA OB OC ==,111O A O B O C '''==,面//ABC 面111A B C ,所以球心必在直线O O '上.所以在直角梯形1C O OC '中可求得O O '=由题意可知，该三棱台外接球的外接球的球心必在直线O O '上，设球的半径为R ，球心为D ，则()22221O D O O OC O D O C ''''-+=+，得O D '=O ，所以球的半径为2432ππ=. 故答案为：32π【点睛】方法点睛：定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助面面垂直的性质，找到线面垂直，则球心一定在垂线上，再根据到其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.15．【分析】证明直线与平面所成角中当此为二面角的平面角时最大即可得【详解】先证一个命题：平面内所有直线与平面所成的角中当此角为二面角的平面角时最大如图平面于点于是上任一点则而则平面又平面∴是二面角的平面 13 【分析】证明直线PM 与平面BCD 所成角中当此为二面角的平面角时最大即可得． 【详解】先证一个命题：平面ABC 内所有直线与平面BCD 所成的角中，当此角为二面角的平面角时最大．如图AO ⊥平面BCD 于点O ，OE BC ⊥于E ，Q 是BC 上任一点， 则AO BC ⊥，而AOOE O =，则BC ⊥平面OAE ，又AE ⊂平面OAE ，∴AEO∠是二面角A BC D --的平面角，而AQO 是直线AQ 与平面ABCD 所成的角，显然sin AOAEO AE∠=，sin AO AQO AQ ∠=，又AQ AE ≥，∴sin sin sin AQO AEO ∠≤∠，,AEO AQO ∠∠都是锐角，∴AQO AEO ∠≤∠，,Q E 重合时等号成立．由此可知平面ABC 内所有直线与平面BCD 所成的角中，当此角为二面角的平面角时最大． 由已知3636EO ==22534AE -=，2213AO AE EO - 13sin 4AEO ∠=， ∴直线PM 与平面BCD 所成角最大值等于AEO ∠， ∴sin θ13．故答案为：134． 【点睛】结论点睛：在二面角A BC D --（为锐二面角）中，AEO ∠是A BC D --二面角的平面角，Q 是棱BC 上任一点，则AQ 与平面BCD 所成角中最大值为二面角的平面角，AQ 与平面BCD 内过Q 点的直线（实际上是所有直线）所成角中最大值为直线AQ 与平面BCD 所成的角．16．①③【分析】由公理1判断①正确；由公理2判断②错误③正确用反证法可得④错误【详解】∵连接∵是的中点∴平面与平面有公共点与则平面平面对于①平面则平面又平面则即三点共线故①正确；对于②在平面内由①知∴平解析：①③【分析】由公理1判断①正确；由公理2判断②错误③正确，用反证法可得④错误.【详解】∵连接11A C ，∵O 是11B D 的中点，∴11O A C ∈．平面11AB D 与平面11AAC C 有公共点A 与O ，则平面11AAC C 平面11AB D AO =．对于①，1M PA ∈，1PA ⊂平面11AAC C ，则M ∈平面11AAC C ，又M ∈平面11AB D ，则M AO ∈，即A ，M ，O 三点共线，故①正确；对于②，A ，O ，1A 在平面11AAC C 内，由①知M AO ∈，∴O ∈平面11AAC C ， 即A ，M ，O ，1A 共面，故②错误；对于③，A ，O ，C 在平面11AAC C 内，由①知M AO ∈，∴O ∈平面11AA C CA ， 则A ，M ，C ，O 共面11AAC C ，故③正确；对于④，连接BD ，则B ，1B ，O 都在平面11BB D D 上，若M ∈平面11BB D D ，则直线OM ⊂平面11BB D D ，∴A ∈面11BB D D ，显然A ∉面11BB D D 的，故④错误．∴正确命题的序号是①③．故答案为：①③．【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查空间中的直线与平面、平面与平面的位置关系，考查空间想象能力与思维能力，是中档题.17．【分析】作于可证得平面得得等边三角形利用是球的直径得然后计算出再应用棱锥体积公式计算体积【详解】∵围绕棱旋转后恰好与重合∴作于连接则∴又过球心∴而∴同理由得平面∴故答案为：【点睛】易错点睛：本题考查 解析：38【分析】作BH PA ⊥于H ，可证得PA ⊥平面BCH ，得60BHC ∠=︒，得等边三角形BCH ，利用PA 是球的直径，得PB AB ⊥，然后计算出BH ，再应用棱锥体积公式计算体积．【详解】∵PAB △围绕棱PA 旋转60︒后恰好与PAC △重合，∴PAB PAC ≅△△，作BH PA ⊥于H ，连接CH ，则,CH PA CH BH ⊥=，60BHC ∠=︒，∴BC BH CH ==．又PA 过球心，∴PB AB ⊥，而2,3PA PB ==，∴1AB =，同理1AC =，313PB AB BH PA ⋅⨯===，223333344216BCH S BH ⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭△， 由BH PA ⊥，CH PA ⊥，CHBH H =，得PA ⊥平面BCH ， ∴11333233168P ABC BCH V S PA -=⋅=⨯⨯=△ 故答案为：38．【点睛】易错点睛：本题考查求棱锥的体积，解题关键是作BH PA ⊥于H ，利用旋转重合，得PA ⊥平面BCH ，这样只要计算出BCH 的面积，即可得体积，这样作图可以得出60BHC ∠=︒，为旋转所形成的二面角的平面角，这里容易出错在误认为旋转60︒，即为60CAB ∠=︒．旋转60︒是旋转形成的二面角为60︒．应用作出二面角的平面角． 18．【分析】由题意分析可得可知K 所形成轨迹为一个圆弧求出圆心角再求弧长即可【详解】由题意D′K ⊥AE 所以K 的轨迹是以AD′为直径的一段圆弧D′K 设AD′的中点为O ∵长方形ABCD′中ABBC ∴∠D′AC 解析：23π 【分析】 由题意分析可得DK AE ⊥可知K 所形成轨迹为一个圆弧,求出圆心角再求弧长即可.【详解】由题意,D ′K ⊥AE ,所以K 的轨迹是以AD ′为直径的一段圆弧D ′K ,设AD ′的中点为O , ∵长方形ABCD ′中,AB 6=,BC 2=, ∴∠D ′AC ＝60°,∴∠D ′OK ＝120°23π=, ∴K 所形成轨迹的长度为2223ππ⨯=,2 【点睛】 本题主要考查了空间中的轨迹问题,主要是找到定量关系分析轨迹,属于中等题型. 19．【详解】取的中点由题意可得：所以面ABC 所以球心在直线上所以得所以解析：494π 【详解】取AB 的中点，由题意可得：2222,3,SD DC SD DC SC ==+=，所以,SD AB SD DC ⊥⊥，SD ⊥面ABC. 所以球心在直线SD 上，所以()2232R R =+-，得74R =， 所以24944S R ππ==． 20．【分析】由正四面体性质可知球心在棱锥高线上利用勾股定理可求出半径R 即可求出球的面积【详解】正四面体的棱长为：底面三角形的高：棱锥的高为：设外接球半径为R 解得所以外接球的表面积为：；故答案为：【点睛】 解析：232a π 【分析】由正四面体性质可知，球心在棱锥高线上，利用勾股定理可求出半径R ，即可求出球的面积.【详解】正四面体的棱长为：a ， 底面三角形的高：3322a a =， 22236()323a a a -⨯⨯=， 设外接球半径为R ，222)()33R a R a =-+，解得4R a =，所以外接球的表面积为：22342a ππ⎫⨯=⎪⎪⎝⎭； 故答案为：232a π． 【点睛】本题考查球的表面积的求法，解题的关键是根据球心的位置，在正四面体中求出球的半径． 三、解答题21．（1）证明见解析；（2；（3）12. 【分析】（1）连接AC 交BD 于点O ，连接PO ，推导出BD ⊥平面PAC ，进而可得出PC BD ⊥；（2）过点O 在平面PAC 内作OF PC ⊥，垂足为点F ，连接BF ，推导出OFB ∠为二面角B PC E --的平面角，计算出OF 、BF ，可计算出cos OFB ∠，即可得解； （3）计算出PCE 的面积，利用锥体的体积公式可得出13P BCE B PCE PCE V V S OB --==⋅△，即可得解. 【详解】证明：（1）连接AC 交BD 于O 点，连接PO ，∵四边形ABCD 是菱形，AC BD ∴⊥，则O 是BD 的中点，PB PD =，PO BD ∴⊥，又AC PO O =，AC 、OP ⊂平面PAC ，BD ∴⊥平面PAC ，又PC ⊂平面PAC ，PC BD ∴⊥；（2）由（1）知BO ⊥平面PAC ，PC ⊂平面PAC ，则OB PC ⊥，过O 在平面PAC 内作OF PC ⊥于F ，连接BF ，由OB OF O ⋂=，则PC ⊥平面OBF ，BF ⊂平面OBF ，得BF PC ⊥，故OFB ∠为二面角B PC E --的平面角， 四边形ABCD 是菱形，60BAD ∠=，ABD ∴为等边三角形，2BD AB AD ∴===，112OB BD ∴==，223OC OA AB OB ==-= OB ⊥平面PAC ，OP ⊂平面PAC ，OP OB ∴⊥，223OP PB OB ∴-= 3OA =3OP =6PA =222OP PA OA +∴=，即OA OP ⊥，即PO AC ⊥，3366PO OC OF PC ⋅⨯∴===，222261012BF BO OF ⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭， 故615cos 510OF OFB BF ∠===，即二面角B PC E --的余弦值是155； （3）E 为PA 的中点，11333222PCE PAC POA S S S ∴====△△△， 又OB ⊥平面PAC ，113113322P BCE B PCE PCE V V S OB --∴==⋅=⨯⨯=△. 【点睛】方法点睛：求二面角常用的方法：（1）几何法：二面角的大小常用它的平面角来度量，平面角的作法常见的有： ①定义法；②垂面法，注意利用等腰三角形的性质；（2）空间向量法：分别求出两个平面的法向量，然后通过两个平面法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求二面角是锐角还是钝角.22．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）1.【分析】（Ⅰ）由BD AC ⊥和1A A BD ⊥，利用线面垂直的判定定理证得BD ⊥平面1A AC ，然后再由//BD EF 证明.（Ⅱ）由1D D ⊥平面ABCD ，则1D D 是三棱锥1D AEF -在平面AEF 上的高，然后利用等体积法11A D EF D AEF V V --=求解.【详解】（Ⅰ）如图所示：连接BD ，易知BD AC ⊥，因为1A A ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以1A A BD ⊥，又1A AAC A =， 所以BD ⊥平面1A AC .在CBD 中，点E ，F 分别是BC ，DC 的中点，所以//BD EF .所以EF ⊥平面1A AC .（Ⅱ）∵1D D ⊥平面ABCD ，∴1D D 是三棱锥1D AEF -在平面AEF 上的高，且12D D =.∵点E ，F 分别是BC ，DC 的中点，∴1DF CF CE BE ====. ∴2111322222AEF S AD DF CF CE AB BE =-⋅⋅-⋅⋅-⋅⋅=△. ∴11111321332A D EFD AEF AEF V V S D D --==⋅⋅=⨯⨯=△. 【点睛】方法点睛：(1)证明直线和平面垂直的常用方法：①线面垂直的定义；②判定定理；③垂直于平面的传递性(a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α)；④面面平行的性质(a ⊥α，α∥β⇒a ⊥β)；⑤面面垂直的性质．(2)证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想．23．（1）证明见解析；（2）77-；（3）存在；12PF PB =． 【分析】（1）首先证明BE AD ⊥，再由面面垂直的性质定理可得BE ⊥平面PAD ，即证.（2）连结PE ，以E 为坐标原点，EP ，EA ，EB 为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，。

第一章综合测评题时间：120分钟 满分:1５0分一、选择题(本大题共1２小题，每小题5分,共6０分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）1.下列命题中,正确的是( ) Ａ.有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱 B.侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥 C ．侧面都是矩形的直四棱柱是长方体D.底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱2.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的表面积与侧面积的比是( ） A.1＋2π2πB.错误!C.错误! ﻩＤ.错误!3.有下列四种说法：①平行投影的投影线互相平行,中心投影的投影线相交于一点；②空间图形经过中心投影后，直线变成直线，但平行线可能变成相交的直线;③空间几何体在平行投影与中心投影下有不同的表现方式．其中正确的命题有( ）A ．1个 Ｂ.２个 C.3个D.0个4.长方体ＡB ＣD －A 1Ｂ1C 1D １中截去一角B 1－Ａ１ＢＣ1，则它的体积是长方体体积的（ )A ．错误! B.错误! C ．错误! ﻩD.错误!5．底面是边长为4的正方形,侧棱长都为25的四棱锥的侧面积和体积依次为( ） Ａ.２4,错误! B ．8，错误! C.32，错误! D.32,错误! 6.若圆台两底面周长的比是14,过高的中点作平行于底面的平面,则圆台被分成两部分的体积比是（ )A.错误! B ．错误! C.1D.错误!7.（２012·新课标全国卷）平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为错误!,则此球的体积为( ）A.＼r （６)π Ｂ.4错误!π C.4错误!π D.6错误!π8．如图所示，梯形A １B 1C 1D １是一平面图形ＡBC Ｄ的直观图(斜二测),若A 1D 1∥Ｏ１ｙ1，A 1B １∥C 1D 1，Ａ1Ｂ１=＼f(2，３)C １D 1=2，A 1D １=1，则四边形ＡBCD 的面积是( )A.1０ ﻩB.5C ．5＼r(2) ﻩD ．1０错误!9.若某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( )A.＼f(1，３)B.23C ．１D.210.一个棱锥的三视图如图,则该棱锥的表面积(单位：cm 2)为（ )A ．４8＋１2 2B ．4８＋２4错误! C.36＋１2错误! D.36＋24错误! 11．等边三角形的边长为a ,它绕其一边所在的直线旋转一周,则所得旋转体的体积为( )A.错误!πa 3 B.错误!πa 3 Ｃ.错误!πa 3Ｄ.错误!πa 312．已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是(）Ａ.8 Ｂ．错误! C.错误!ﻩD.错误!二、填空题（本大题共4小题，每小题５分，共2０分．把答案填在题中横线上)13．已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆Ｍ，若圆M的面积为3π，则球O的表面积等于____＿＿__.14.把边长为1的正方形ＡＢCD沿对角线BD折起形成三棱锥C－ABD，其正视图与俯视图如图所示,则其侧视图的面积为__＿_＿___．１5．一个母线长为2的圆锥侧面展开图为一个半圆,则此圆锥的体积为＿＿______．16.一个正四棱柱（底面是正方形,各个侧面均为矩形)的各个顶点都在一个直径为2cm的球面上，如果正四棱柱的底面边长为１cm，那么该棱柱的表面积为＿＿___＿__cｍ2.三、解答题(本大题共６小题，共70分，17题10分，１8～２2题，每题1２分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17.画出下图中三个图形的指定三视图之一.18．如图所示，为一建筑物的三视图，现需将其外壁用油漆刷一遍,已知每平方米用漆0.２kg,问需要油漆多少千克?（尺寸如图所示,单位：m，π取3.1４，结果精确到０.01 kｇ)19.已知四棱锥P-ABCD,其三视图和直观图如图，求该四棱锥的体积.2０.一几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位:ｍ).(１)试画出它的直观图;(2)求它的表面积和体积.２1.正三棱锥的高为1，底面边长为2＼r(６)，内有一个球与它的四个面都相切, 求:(1)棱锥的表面积；（2)内切球的表面积与体积.22.如图，一个圆锥的底面半径为2cｍ,高为6ｃm，在其中有一个高为x cm的内接圆柱．（1)试用ｘ表示圆柱的侧面积;(2)当x为何值时，圆柱的侧面积最大？第一章综合测评题(答案)1、解析:认识棱柱一般要从侧棱与底面的垂直与否和底面多边形的形状两方面去分析，故A，Ｃ都不够准确,B中对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明，故也不正确.答案：D2、解析：利用侧面展开图与底面圆的联系解题.设底面圆半径为r,母线即高为h，则ｈ＝2πr，所以错误!＝错误!＝错误!＝错误!=错误!.故选A．答案：Ａ3、解析:本题考查中心投影与平行投影的有关概念及性质.利用中心投影与平行投影的概念判断，①③正确;利用中心投影与平行投影的性质判断,②也正确.故正确的命题有3个．故选C.答案：C４、解析:VB1-Ａ1ＢC1＝VC1-A１B1B＝＼f(1,3)·S△A１B1B·Ｂ1Ｃ1=13×1２Ｓ四边形ＡA1Ｂ1B×B1Ｃ1＝错误!VABCD－A１B1C1D1．答案:B５、解析:如图,O为正方形ABCD的中心，VO为四棱锥的高，E为边ＢC中点,所以VE⊥BC．由BC＝AB=４，VB=ＶＣ＝２错误!可得ＶE=４,VO=2错误!，∴S侧＝4S△VＢC＝32，Ｖ＝错误!Ｓ正方形ABＣＤ·ＶO=错误!．答案:D6、解析:圆台的轴截面如图,∵圆台的两底面周长之比为1:４，∴两底面半径之比1：４.设上底面半径为r ,则下底面半径为4r .∴经过高的中点与底面平行的截面半径为５2ｒ.∴圆台被分成两部分的体积比为 错误!=错误!． 答案：D7、解析：设球O 的半径为Ｒ,则R ＝ 错误!=错误!,故V 球=错误!πＲ3=4错误!π. 答案：B 8、解析：四边形AB ＣD 是直角梯形,其中AD =2，AB ＝2，CD =3,所以四边形ＡＢC Ｄ的面积为＼ｆ(1,２)·(2+3)×2=5． 答案:B9、解析：由三视图可知,该空间几何体是底面为直角三角形的直三棱柱,三棱柱的底面直角三角形的直角边长分别为１和2,三棱柱的高为错误!,所以该几何体的体积V ＝错误!×1×错误!×错误!=1．答案：C10、解析:由三视图知,该几何体可看做由两个全等的小三棱锥侧面重合放置而成．每个小三棱锥的高为４，底面是腰长为3错误!、底边长为6的等腰三角形，斜高为5,所以每个三棱锥的底面积为错误!×3×６=９,侧面积为错误!×5×6＝15或错误!×４×3错误!=６错误!,所以组合体的表面积为９×2＋15×2+6错误!×2＝48＋1２错误!.答案：A１1、解析：所得的旋转体为以等边三角形的高为底面半径的两个相同底的圆锥,每个圆锥的高都为ａ2,∴V ＝2×错误!×π×错误!2·错误!=错误!πa ３. 答案：A12、解析:几何体是正方体截去一个三棱台, V ＝23－＼f(1,3)·错误!×2=错误!． 答案：C13、解析:设球半径为R ，圆M 的半径为r ,则πｒ2＝３π,即r 2=3, 由题得R 2-错误!2=3，所以R 2=４⇒4πＲ2＝16π. 答案：16π14、解析：由题意可知，侧视图为等腰直角三角形，腰长为错误!，故其面积为错误!×错误!2＝错误!.答案：错误!15、解析：由题意可知,圆锥的底面周长为２πr ＝12·2π×2,得r ＝1.∴圆锥的高h ＝错误!=错误!,∴圆锥的体积Ｖ=错误!×π×12×错误!=错误!π. 答案:33π16、解析:设正四棱柱的高为a ｃｍ,则22＝12＋12＋a 2， ∴a ＝2．∴S 表面积=１×1×2+4×1×2=（2+４＼ｒ(２）)(cm ２）． 答案:２+４ 217、解：如图所示．1８、解:由三视图知建筑物为一组合体,自上而下分别是圆锥和四棱柱,并且圆锥的底面半径为3m，母线长5ｍ，四棱柱的高为4m,底面是边长为3 m的正方形．∴圆锥的表面积为πr２＋πｒl=3.1４×3２+3.14×３×5＝28.２6+47．1=７5.３6(m2）．四棱柱的一个底面积为３2=9(m2)，四棱柱的侧面积为4×4×３＝４8(m２)．∴建筑物的外壁面积为75．3６－9+48＝114.３6（m２)．∴需要油漆１14.36×0.2=22.8７2≈22.８7（kg)．19、解：由三视图知底面AＢCD为矩形，AＢ=2，ＢC=4，顶点P在面AＢCＤ内的射影为BC中点E，即棱锥的高为2，则体积V P－ABCD＝＼ｆ(1,3)S矩形ABCD×ＰE=错误!×2×４×2＝错误!.２0、解:(1)直观图如图所示.(2)解法一：由三视图可知该几何体是长方体被截去一个角得到的,且该几何体的体积是以A 1Ａ、Ａ１D 1、A 1B １为棱的长方体的体积的错误!.在直角梯形AA 1B 1B 中,作ＢE ⊥A １B １,则四边形ＡA １E Ｂ是正方形，∴AA 1=B Ｅ=１. 在Rt △BEB 1中，BE ＝1，E Ｂ1＝1,∴ＢB １＝错误!．∴几何体的表面积S ＝S 正方形ＡA1D 1D +2S 梯形ＡA 1B 1Ｂ＋Ｓ矩形ＢB 1C １C ＋S 正方形ＡBCD +Ｓ矩形A 1B 1Ｃ1Ｄ1=1＋2×错误!(1＋2)×1+1×错误!+1+1×２=(7＋错误!)(ｍ2）．∴几何体的体积V ＝＼f （３,4)×1×2×1=错误!(ｍ3).∴该几何体的表面积为(7+＼r(2))ｍ2，体积为3２m 3. 解法二:几何体也可以看作是以AA 1B 1B 为底面的直四棱柱，其表面积求法同解法一,V 直四棱柱Ｄ1C 1ＣD -A １B 1BA ＝Sh ＝32×１＝３2（ｍ3). 21、解:(1)底面正三角形中心到一边的距离为1３×错误!×2错误!＝错误!， 则正棱锥侧面的斜高为＼r （12+(＼r(２))2)=＼r(3).∴Ｓ侧＝3×错误!×2错误!×错误!＝9错误!．∴Ｓ表＝S 侧＋S 底=9２＋＼f(1,２）×错误!×(2错误!)2＝9２＋6错误!.(2)如图所示，设正三棱锥Ｐ-ABC 的内切球球心为O ,连接OP 、ＯA 、OB 、OC ,而Ｏ点到三棱锥的四个面的距离都为球的半径r .∴V P －A ＢC =V O －P AB +ＶO -PBC ＋V O －P A Ｃ+V O -ＡBC =错误!·S 侧·ｒ+错误!·S △ＡBC ·r=错误!·Ｓ表·r =（３错误!＋2错误!)r .又V Ｐ-ABC ＝＼f(1，3）×错误!×错误!×(2错误!）２×1＝2错误!，∴(32＋2错误!）r =2错误!,得r ＝错误!=错误!=错误!-2.∴S 内切球=4π(6－2)2=(40－16错误!)π.Ｖ内切球＝错误!π(错误!-2)3＝错误!(9错误!-２2）π．22、解:设圆柱的底面半径为r .由题意知，错误!＝错误!,∴r ＝2-错误!x ．（1)S 圆柱侧=2πr ·x =2π·错误!·x=－2π3ｘ2＋4πx =－＼f(２π，３)(x -3)２＋6π(０<x <6）． (２)当ｘ＝3时,圆柱的侧面积最大.。

单元综合测试一(第一章综合测试)时间：120分钟分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共50分)一、选择题(每小题5分，共50分)1．下列几何体是柱体的是(B)解析：A中的侧棱不平行，所以A不是柱体，C是圆锥，D是球体，B是棱柱．2．已知圆锥的表面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为(C)A．120°B．150°C．180°D．240°解析：设圆锥底面半径为r，母线为l，则πrl＋πr2＝3πr2，得l＝2r，所以展开图扇形半径为2r，弧长为2πr，所以展开图是半圆，所以扇形的圆心角为180°，故选C.3．将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体(D) A．由一个圆台、两个圆锥构成B．由两个圆台、一个圆锥构成C．由一个圆柱、一个圆锥构成D．由一个圆柱、两个圆锥构成解析：把等腰梯形分割成两个直角三角形和一个矩形，由旋转体的定义可确定所得的几何体．等腰梯形绕着不同的边所在直线旋转一周后，得到的几何体不同，要加以细致地分析．若绕着它的较短的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体应是圆柱两端各挖去一个圆锥；而绕着较长底边所在直线旋转一周，得到的几何体是圆柱外加两个圆锥．4．若一个正四棱锥的左视图是一个边长为2的正三角形(如图)，则该正四棱锥的体积是(C)A ．1 B. 3 C.433D ．2 3 解析：如图，据条件可得几何体为底面边长为2的正方形，侧面是等腰三角形，斜高为2，棱锥是高为22－12的正四棱锥，故其体积V ＝13×4×22－12＝433.故选C.5．已知直线a 和平面α，β，α∩β＝l ，a ⃘α，a ⃘β，且a 在α，β内的射影分别为直线b 和c ，则b 和c 的位置关系是( D )A ．相交或平行B ．相交或异面C ．平行或异面D ．相交、平行或异面解析：由题意，若a ∥l ，则利用线面平行的判定，可知a ∥α，a ∥β，从而a 在α，β内的射影直线b 和c 平行；若a ∩l ＝A ，则a 在α，β内的射影直线b 和c 相交于点A ；若a ∩α＝A ，a ∩β＝B ，且直线a 和l 垂直，则a 在α，β内的射影直线b 和c 相交，否则直线b 和c 异面．综上所述，b 和c 的位置关系是相交、平行或异面，故选D.6．在四面体ABCD 中，下列条件不能得出AB ⊥CD 的是( D ) A ．AB ⊥BC 且AB ⊥BD B ．AD ⊥BC 且AC ⊥BD C ．AC ＝AD 且BC ＝BD D ．AC ⊥BC 且AD ⊥BD解析：①∵AB ⊥BD ，AB ⊥BC ，BD ∩BC ＝B ，∴AB ⊥平面BCD ，∵CD 平面BCD ，∴AB ⊥CD ，②设A 在平面BCD 射影为O ，AO ⊥平面BCD ，∵AD⊥BC，AC⊥BD，∴O为△BCD的垂心．连接BO，则BO⊥CD，AO⊥CD，∴CD⊥平面ABO.∵AB平面ABO.∴AB⊥CD，③取CD中点G，连接BG，AG，∵AC＝AD且BC＝BD，∴CD⊥BG，CD⊥AG，∵BG∩AG＝G，∴CD⊥平面ABG，∵AB平面ABG，∴AB⊥CD，综上选项A，B，C能够得出AB⊥CD，故选D.7．一几何体的三视图如图所示，若主视图和左视图都是等腰直角三角形，直角边长为1，则该几何体外接球的表面积为(B)A．4πB．3πC．2πD．π解析：由主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，得到这是一个四棱锥，如图．底面是一个边长是1的正方形，一条侧棱AE与底面垂直，可将此四棱锥放到一个棱长为1的正方体内，可知，此正方体与所研究的四棱锥有共同的外接球，∴四棱锥的外接球即是边长为1的正方体的外接球，外接球的直径是AC，根据直角三角形的勾股定理知AC＝1＋1＋1＝3，∴外接球的表面积是4×π×(32)2＝3π，故选B.8．如图，已知圆柱体底面圆的半径为2πcm ，高为2cm ，AB ，CD 分别是两底面的直径，AD ，BC 是母线．若一只小虫从A 点出发，从侧面爬行到C 点，则小虫爬行的最短路线的长度是( C )A.233 cm B ．2 3 cmC ．2 2 cmD ．4 cm解析：如图，在圆柱侧面展开图中，线段AC 1的长度即为所求．在Rt △AB 1C 1中，AB 1＝π·2π＝2 cm ，B 1C 1＝2 cm ，∴AC 1＝22cm ，故选C.9．已知圆锥的底面圆周及顶点均在球面上，若圆锥的轴截面为正三角形，则圆锥的体积与球的体积之比为( D )A ．2732B ．38C ．3316 D ．932解析：设球的半径为R ，圆锥的高为h ，底面圆的半径为r ，则圆锥的母线长为2r ，结合图形(图略)可得2r ＝2R cos30°＝3R ，所以，r ＝32R ，圆锥的高为h ＝(2r )2－r 2＝3r ＝3×32R ＝32R ，所以，圆锥的体积为13πr 2h ＝13π×⎝⎛⎭⎫32R 2×32R ＝3πR 38，因此，圆锥的体积与球的体积之比为3πR 384πR 33＝38×34＝932. 10．如图，三棱锥S －ABC 中，∠SBA ＝∠SCA ＝90°，△ABC 是斜边AB ＝a 的等腰直角三角形，则以下结论中：①异面直线SB 与AC 所成的角为90°； ②直线SB ⊥平面ABC ； ③平面SBC ⊥平面SAC ； ④点C 到平面SAB 的距离是12a .其中正确的个数是( D ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：由题意知AC ⊥平面SBC ，故AC ⊥SB ，故①正确；再根据SB ⊥AC 、SB ⊥AB ，可得SB ⊥平面ABC ，平面SBC ⊥平面SAC ，故②③正确； 取AB 的中点E ，连接CE ，可证得CE ⊥平面SAB ，故CE 的长度即为C 到平面SAB 的距离为12a ，④正确，故选D.第Ⅱ卷(非选择题，共100分) 二、填空题(每小题5分，共25分)11．若圆锥的侧面积为3π，底面积为π，则该圆锥的体积为223π.解析：根据题意，圆锥的底面积为π，则其底面半径是1，底面周长为2π，又12×2πl ＝3π，∴圆锥的母线为3，则圆锥的高32－12＝22，所以圆锥的体积13π×12×22＝223π.故答案为：223π.12．如图，正方形DABC 的边长为2，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积为8 2.解析：根据题意，画出图形，如图所示：把该平面图形的直观图还原为原来的图形，如图所示：∴四边形A ′B ′C ′D ′是平行四边形，且A ′D ′＝AD ＝2，B ′D ′＝2BD ＝42，∴平行四边形A ′B ′C ′D ′的面积是A ′D ′·B ′D ′＝2×42＝8 2.13．在四面体ABCD 中，已知棱AC 的长为2，其余各棱长都为1，则二面角A －CD －B 的余弦值为33. 解析：取AC 的中点E ，取CD 的中点F (图略)，则EF ＝12，BE ＝22，BF ＝32，结合图形知二面角A －CD －B 的余弦值cos θ＝EF BF ＝33.14．半径为R 的半球，一正方体的四个顶点在半球的底面上，其余四个顶点在半球的球面上，则该正方体的表面积为4R 2.解析：如图，作出半球沿正方体对角面的轴截面，设正方体的棱长为a ， 则a 2＋⎝⎛⎭⎫22a 2＝R 2，所以a 2＝23R 2，所以S ＝6×a 2＝4R 2.15．如图是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，则圆柱的体积与球的体积之比和圆柱的表面积与球的表面积之比分别为32，32.解析：设球的半径为R ，则圆柱的底面半径为R ，高为2R ，所以V 圆柱＝πR 2×2R ＝2πR 3， V 球＝43πR 3，所以V 圆柱V 球＝2πR 343πR 3＝32，S 圆柱＝2πR ×2R ＋2×πR 2＝6πR 2，S 球＝4πR 2，所以S 圆柱S 球＝6πR 24πR 2＝32. 三、解答题(本题共6小题，共75分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)16．(本题满分12分)某几何体的三视图如图，其中俯视图的内外均为正方形，边长分别为2和4，几何体的高为3，求此几何体的表面积和体积．解：依题意得侧面的高 h ′＝(2－1)2＋32＝10，S ＝S 上底＋S 下底＋S 侧面＝22＋42＋4×12×(2＋4)×10＝20＋1210，所以几何体的表面积为20＋1210. 体积V ＝13(42＋22＋2×4)×3＝28.17．(本题满分12分)在如图所示的几何体中，四边形ABED 是矩形，四边形ADGC 是梯形，AD ⊥平面DEFG ，EF ∥DG ，∠EDG ＝120°.AB ＝AC ＝FE ＝1，DG ＝2.(1)求证：AE ∥平面BFGC ； (2)求证：FG ⊥平面ADF .证明：(1)如图，连接CF，AE.∵AC∥DG，EF∥DG，∴AC∥EF，又AC＝EF，∴四边形AEFC是平行四边形，∴AE∥FC，又A E⃘平面BFGC，FC平面BFGC，∴AE∥平面BFGC；(2)如图，连接DF，AF，作DG的中点为H，连接EH，∵EF∥DH，EF＝DH＝ED＝1，∴四边形DEFH为菱形，∵EF∥HG，EF＝HG，∴四边形EFGH为平行四边形，∴FG∥EH，∴FG⊥DF，∵AD⊥平面DEFG，∴AD⊥FG，∵FG⊥DF，AD∩DF＝D，∴FG⊥平面ADF.18．(本题满分12分)一个圆台的母线长为12，两底面面积分别为4π，25π.(1)求这个圆台的高及截得此圆台的圆锥的母线长；(2)求这个圆台的侧面积与体积．解：(1)圆台的轴截面是等腰梯形ABCD (如图)．由已知可得上底半径O 1A ＝2，下底半径OB ＝5.又∵腰长为12，∴高AM ＝122－(5－2)2＝315，∴设截得此圆台的圆锥的母线长为x ， 则由△SAO 1∽△SBO 可得 25＝x －12x，解得x ＝20. 所以截得此圆台的圆锥的母线长为20；(2)大圆锥的底面周长为2×5π＝10π，小圆锥的底面周长为2×2π＝4π，这个圆台的侧面积＝大圆锥侧面积－小圆锥的侧面积＝12×10π×20－12×4π×(20－12)＝84π.所求圆台的体积为13×(4π＋4π×25π＋25π)×315＝3915π.19．(本题满分12分)某机器零件是如图所示的几何体(实心)，零件下面是边长为10 cm 的正方体，上面是底面直径为4 cm ，高为10 cm 的圆柱．(1)求该零件的表面积；(2)若电镀这种零件需要用锌，已知每平方米用锌0.11 kg，问制造1 000个这样的零件，需要锌多少千克？(注：π取3.14)解：(1)零件的表面积S＝6×10×10＋4×3.14×10＝725.6(cm2)＝0.072 56m2.该零件的表面积为0.072 56m2.(2)电镀1 000个这种零件需要用的锌为0.072 56×0.11×1 000＝7.981 6(kg)．所以制造1 000个这样的零件，需要锌7.981 6千克．20．(本题满分13分)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是BC，CC1的中点．(1)证明：平面AEF⊥平面B1BCC1；(2)若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°，求三棱锥F－AEC的体积．解：(1)证明：如图，因为三棱柱ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱，所以AE ⊥BB 1.又E 是正三角形ABC 的边BC 的中点，所以AE ⊥BC .因此AE ⊥平面B 1BCC 1.而AE 平面AEF ，所以平面AEF ⊥平面B 1BCC 1.(2)如图，设AB 的中点为D ，连接A 1D ，CD .因为△ABC 是正三角形，所以CD ⊥AB .又三棱柱ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱，所以CD ⊥AA 1.因此CD ⊥平面A 1ABB 1，于是∠CA 1D 为直线A 1C 与平面A 1ABB 1所成的角．由题设，∠CA 1D ＝45°，所以A 1D ＝CD ＝32AB ＝ 3. 在Rt △AA 1D 中，AA 1＝A 1D 2－AD 2＝3－1＝2，所以FC ＝12AA 1＝22. 故三棱锥F －AEC 的体积V ＝13S △AEC ·FC ＝13×32×22＝612. 21．(本题满分14分)在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，AB ＝2，BC ＝a ，又侧棱P A ⊥底面ABCD .(1)当a 为何值时，BD ⊥平面P AC ？试证明你的结论；(2)当a ＝4时，求证：BC 边上存在一点M ，使得PM ⊥DM ；(3)若在BC 边上至少存在一点M ，使PM ⊥DM ，求a 的取值X 围．解：(1)当a ＝2时，ABCD 为正方形，则BD ⊥AC ，证明如下：又因为P A ⊥底面ABCD ，BD 平面ABCD ，所以BD ⊥P A ，又因为P A ∩AC ＝A ，所以BD ⊥平面P AC .故当a ＝2时，BD ⊥平面P AC .(2)证明：当a ＝4时，取BC 边的中点M ，AD 边的中点N ，连接AM ，DM ，MN ，如图所示．因为四边形ABMN和四边形DCMN都是正方形，所以∠AMD＝∠AMN＋∠DMN＝45°＋45°＝90°，即DM⊥AM，又因为P A⊥底面ABCD，所以P A⊥DM，又AM∩P A＝A，所以DM⊥平面P AM，得PM⊥DM，故当a＝4时，BC边的中点M使得PM⊥DM.(3)假设BC边上存在点M，使得PM⊥DM，因为P A⊥底面ABCD，所以，M点应是以AD 为直径的圆和BC边的交点，则AD≥2AB，即a≥4为所求．。