《公式法因式分解》

2 2
判别下列各式是不是 完全平方式
a + 2ab + b a - 2ab + b
2 2
2
2
完全平方式的特点
：
1、必须是三项式 2、有两个平方的“项” 3、有这两平方“项”底数的2倍或-2 倍
2 2 首 2首尾 + 尾
2 2 1 a + b + 2ab 是 ( 2 2
下列各式是不是完全平方式
(a+b)(a-b) = a²- b²
整式乘法
a²- b² = (a+b)(a-b) 因式分解
平方差公式反 过来就是说： 两个数的平方 差，等于这两 个数的和与这 两个数的差的 积
将下面的多项式分解因式 1) m² - 16 2) 4x²- 9y²
m² - 16= m² - 4² =( m + 4)( m - 4) a² - b² = ( a + b)( a - b ) 4x² - 9y² =(2x)² -(3y)² =(2x+3y)(2x-3y)
(4) a2x2 －25y 2 ＝ (ax)2 －(5y)2
(5) －x2 －25y2 不能转化为平方差形式
例1.分解因式：
解：原式
解：原式
公式法因式分解关键：确定a和b；
a2 － b2= (a ＋ b) (a － b)
下列多项式能转化成（ ）２－（ 如果能，请将其转化成（ ）２－ (1) m2 －1 =m2 －12 (2)4m2 －9 =(2m)2 －32 (3)4m2 + 9 不能转化为平方差形式 (4)x2 －25y
a + 2ab + b a - 2ab + b
2 2
2
2
我们把以上两个式子 叫做完全平方式 “头” 平方, “尾” 平方, “头” “尾”两倍中间放.
(1x + 2 xy + y 是 2 2 是 (2A - 2 AB + B 2 2是 (3甲 + 2 甲乙 + 乙 2 2 是 (4 - 2 +
a -b
2
2
= ( a + b )( a - b )
2 - ( 3xy) 2 = 22 （(x+z) 2mn ） 2 2 (y+p) 2006 －2005 ==
结论： 公式中的a、b无论表示数、单项式、还是多 项式，只要被分解的多项式能转化成平方差 的形式，就能用平方差公式因式分解。
解决问题
例1：把下列各式分解因式： (1) 16a2-9b2 (2) 9(a+b)2-4(a-b)2 (3) (x+p)2-(x+q)2
)
把下列各式进行因式分解 1. a3b3-a2b-ab ab(a2b2-a-1)
2. -9x2y+3xy2-6xy -3xy(3x-y+2)
比一比
• 和老师比一比，看谁算的又快又准确！
322-312
2 8 2 7 ( )-( ) 15 15
682-672 5.52-4.52
在横线内填上适当的式子，使等式成立： （1）（x+5)(x-5)= （2）（a+b)(a-b)= （3） x2-25 = (x+5)( （4） a2-b2 = (a+b)( x2-25 a2-b2 x-5 a-b ; ; ); )。
D
）
）
D. - X² + y²
2) -4a² +1分解因式的结果应是 A. -(4a+1)(4a-1) C. -(2a +1)(2a+1) 2. 把下列各式分解因式： 1）18-2b² 2) x4 –1 B. D.
D
-( 2a –1)(2a –1) -(2a+1) (2a-1)
1)原式=2（3+b)(3-b)
D
）
）
2) -4a² +1分解因式的结果应是
D
D. - X² + y²
A. -(4a+1)(4a-1)
C. -(2a +1)(2a+1) 2. 把下列各式分解因式： 1）18-2b² 2) x4 –1
B.
D.
-( 2a –1)(2a –1)
-(2a+1) (2a-1)
1)原式=2（3+b)(3-b)
2)原式=(x² +1)(x+1)(x-1)
完全平方公式
( a+b = a + 2ab +b ( a-b = a - 2ab + b
2
2 2
2
2
2
a + 2ab + b = ( a +b 2 2 a - 2ab + b = ( a -b
2 2
现在我们把这个公式反过来
2
2
很显然，我们可以运用以上这 个公式来分解因式了，我们把 它称为“完全平方公式”
2)原式=(x² +1)(x+1)(x-1)
因式分解的基本方法2
运用公式法
把乘法公式反过来用,可以把符合公式 特点的多项式因式分解,这种方法叫公式法. (1) 平方差公式： a2-b2=(a+b)(a-b) (2) 完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2 a2-2ab+b2=(a-b)2
平方差公式：
根据因式分解的概念，判断下列由左边到右 边的变形，哪些是因式分解，哪些不是，为 什么？ 1．(2x-1)2=4x2-4x+1 2. 3x2＋9xy－3x＝3x(x＋3y－1) 2．4x2-1-4xy+y2=(2x+1)(2x-1)-y(4x-y)
4 . a2 + a - 2 = a ( a + 12 a
复习回顾
填空： （1）（x+5）（x-5） =
x –25
2 2
2 2
； ；
2
（2）（3x+y）（3x-y）= 9x –y
（3）（3m+2n）（3m–2n）= 9m –4n ． 它们的结果有什么共同特征？ 2
(a + b)(a - b) = a - b
2
尝试将它们的结果分别写成两个因式的乘积：
（x+5 ）（x-5） __; x 2 - 25 = __________ __________
试一试
1.运用公式法分解因式:
(1) -9x2+4y2 (2) 64x2-y2z2
(3) a2(a+2b)2-4(x+y)2
(5) (x-y+z)2-(2x-3y+4z)2
(4) (a+bx)2-1
创新与应用
2、已知, x+ y =7, x-y =5,求代数式 x 2- y22y+2x 的值.
1. 若a=101,b=99,求a2-b2的值. 2. 1993-199能被200整除吗?还能被 哪些整数整除?
1 2=[ (x+y) 16
3m
)2;
(4) 25a2b2=(
]2;
)2;
2(a-b)
1 2。 ] (x+y ) 4
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做一做
你能试着把下列各式分解因式吗？
（1）a2-16 ＝a2-( 4 )2 ＝（a+4)(a-4)
（2）64-b2 ＝( 8 ) 2-b2＝（8+b)(8-b)
a2 － b2= (a ＋ b) (a － b)
2
）２的形式吗？ ）２的形式。
＝x2 －(5y)2
(5)－x2－25y2 不能转化为平方差形式
(6)－x2+25y2
=25y2－x2 =(5y)2 －x2
铺路之石
填空：
（1） 1 ＝（ 36
1 2 6 ) ;
(2) 0.81＝（
0.9
5ab
)2;
（3）9m2 ＝ (
(5) 4(a-b)2=[ (6)
在使用平方差公式分解因式时，要
注意：
先把要计算的式子与平方差公式对照, 明确哪个相当于 a , 哪个相当于 b.
牛刀小试(一）
把下列各式分解因式： 1 2 2 y ①x 16 ② 0.25m2n2 – 1
③ (2a+b)2 - (a+2b)2
④ 25(x+y)2 - 16(x-y)2
牛刀小试（二）
4. 若n是整数,证明(2n+1)2-(2n-1)2是8的倍数.
如图，在边长为6.8cm 正方形钢板上，挖去4个边 长为1.6cm的小正方形，求 剩余部分的面积。
考考你
你知道992-1能否被100整除吗？ 说说你是怎么想的？
课前小测：
1.选择题： 1)下列各式能用平方差公式分解因式的是（ A. 4X² +y² B. 4 x- (-y)² C. -4 X² -y³ （
5)— a² -2 2 =(7a+2b-5c)(-3a+2b+5c)
3.原式 -1)=4a(a+1)(a-1) 1 =4a(a²
=[2(a+b)+ 5(a-c)][2(a+b)- 5(a-c)]
巩固练习：
1.选择题： 1)下列各式能用平方差公式分解因式的是（ A. 4X² +y² B. 4 x- (-y)² C. -4 X² -y³ （
• 利用因式分解计算：
（1）2.882-1.882；
（2）782-222。
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不信难不倒你！
用你学过的方法分解因式：
4x3 - 9xy2
方法：
先考虑能否用提取公因式法，再考虑能否用 平方差公式分解因式。 结论： 多项式的因式分解要分解到不能再分解为止。
分解因式：
1.
4x3 - 4x
2. x4-y4
例1.把下列各式分解因式
（1）16a² -1
解：1）16a² -1=(4a)² -1
( 2 ) 4x² - m² n²
(3)
9 —
25
=(Biblioteka Baidua+1)(4a-1)
x²-
1 — 16
y²
解：2） 4x² - m² n²
( 4 ) –9x² +4
=(2x)² - (mn)²
=（2x+mn)(2x-mn)
例2.把下列各式因式分解 解：
1)( x + z )² - ( y + z )²
4.原式=[(x+y+z)+(x-y-z)]
×[(x+y+z)- (x-y-z)]
解： 2)4( a + b)² - 25(a - c)² =2 x ( 2 y + 2 z) 1.原式=[(x+z)+(y+z)][(x+z)-(y+z)] =4 x ( y + z ) 3)4a³ 4a 解： =(x+y+2z)(x-y) 2. 原式=[2(a+b)]² -[5(a-c)]² 解： 4)(x + y + z)² - (x – y – z )²
把下列各式分解因式：
1 ）a2－82 = (a+8) (a －8) 看（1 谁 2 －y2 =(4x+y) (4x －y) （ 2 ） 16x 2 快 1 2 又 (3) 3 － y + 4x2=(2x + 1 y) (2x － 1 y) 9 对 3 3
(4) 4 4k2 －25m2n2 =(2k+5mn) (2k －5mn)
解：1.
4x3-4x=4x(x2-1)=x(x+1)(x-1)
2.x4-y4=(x2+y2) (x2-y2)=(x2+y2)(x+y)(x-y)
结论： 分解因式的一般步骤：一提、二套 多项式的因式分解要分解到不能再分解为止。
a2 - b2=(a+b)(a - b)
注意点：
1.运用平方差公式分解因式的关键是要把分解的 多项式看成两个数的平方差，尤其当系数是分数 或小数时，要正确化为两数的平方差。 2.公式 a² - b² = (a+b)(a-b)中的字母 a , b可 以是数，也可以是单项式或多项式，要注意“整 体”“换元”思想的运用。 3.当要分解的多项式是两个多项式的平方时，分 解成的两个因式要进行去括号化简，若有同类项， 要进行合并，直至分解到不能再分解为止。
a -b 将多项式
2
2
进行因式分解
2 2
(a + b)(a - b) = a - b
整式乘法
2 2
a - b = (a + b)(a - b)
因式分解
整式乘法公式的逆向变形得到分解因式的方法。 这种分解因式的方法称为运用公式法。
说一说 找特征
a b ▲
2
（１）公式左边：
2
= (a + b )( a b) ▲ ▲
（是被分解的多项式）
★被分解的多项式含有两项，且这两项异号， 并且能写成（ ）２－（ ）２的形式。
(2) 公式右边:
（是分解因式的结果）
★分解的结果是两个底数的和乘以两个底数 的差的形式。
试一试 写一写
下列多项式能转化成（ ）２－（ ）２的形式吗？如果 能，请将其转化成（ ）２－（ ）２的形式。 (1) m2 －81 = m2 －92 (2) 1 －16b2 (3) 4m2+9 = 12－(4b)2 不能转化为平方差形式
9 x 2 - y 2 = __________ __________ _; 9m - 4n = __________ __________ .
2 2
（3x+y）（3x-y）
（3m+2n）（3m–2n）
分解因式注意事项：
• 首项是否为负； • 分解是否彻底； • 结果是否最简；
探究新知 谈谈你的感受。
学习目标
• 1 知识与技能：掌握使用公式法进行因式分 解的方法，并能熟练使用公式法进行因式分 解； • 2 过程与方法：通过知识的迁移经历运用平 方差公式和完全平方公式分解因式的过程； • 3 情感态度与价值观：在应用公式法分解因 式的过程中让学生体验换元思想，同时增强 学生的观察能力和归纳总结的能力。