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《数字信号处理技术》PPT课件

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《数字信号处理教程》课件

《数字信号处理教程》课件
数字信号处理教程
欢迎来到《数字信号处理教程》PPT课件！本教程将介绍数字信号处理的基本 概念、采样与量化、时域和频域的分析方法等内容，让您全面了解这一重要 领域。
信号处理的基本概念
了解什么是信号和信号处理，掌握信号的基本性质和特点，以及信号处理的 应用领域。
采样与量化
学习信号的。
时域和频域的分析方法
探索时域和频域的不同分析方法，如时域图像和频谱图的应用。
傅里叶级数和傅里叶变换
了解傅里叶级数和傅里叶变换的原理和应用，掌握频域分析的关键技术。
连续时间系统和离散时间系统
掌握连续时间系统和离散时间系统的基本概念和区别，以及它们在信号处理 中的作用。
差分方程和传输函数
学习差分方程和传输函数的概念和计算方法，掌握数字滤波器的设计和分析。
离散时间傅里叶变换
了解离散时间傅里叶变换的原理和应用，掌握时频分析和滤波器设计方法。

数字信号处理ppt课件

数字信号处理ppt课件
23
三.自相关函数与 自协方差函数的性质
24
性质1 :相关函数与协方差函数的关系
Cxx m rxx m mx 2
Cxy m rxy m m*xmy
当 mx 0
Cxx m rxx m Cxy m rxy m
25
性质2：均方值、方差与相关函数和协方差函数
rxx
0
E
xn
2
Cxx 0 rxx 0 mx 2
五、功率谱密度
44
维纳——辛钦定理
1． 复频域
rxx
(m)
1
2
j
c Sxx (z)zm1dz,
Sxx
(z)
m
rxx
(m)z
m
C (Rx , Rx )
45
2. 频域
{ rxx(m)
1
2
Pxx (e j )e jm d
2
Pxx (e j ) rxx (m)e jm
m
46
3．性质
实平稳随机信号 rxx m rxx m
rxx m E x x n1 n1m
x1x2 p x1 , x2 ; m dx1dx2
18
自协方差函数
Cxx (m) E (xn1 mx )*(xn2 mx ) E (xn1 mx )*(xn1m mx )
rxx m mx 2
19
对于均值为零的随机过程 rxx m Cxx m
①偶函数
Pxx e j Pxx e j
②实函数
Pxx e j Pxx e j
③极点互为倒数出现
Sxx
z
Sxx
1 z
47
④功率谱在单位圆上的积分等于平均功率
E
x2

数字信号处理器原理及应用PPT全套课件

数字信号处理器原理及应用PPT全套课件

(1) 对密集的乘法运算的支持
GPP不是设计来做密集乘法任务的，即使 是一些现代的GPP，也要求多个指令周期来做 一次乘法。而DSP处理器使用专门的硬件来实 现单周期乘法。DSP处理器还增加了累加器寄 存器来处理多个乘积的和。累加器寄存器通常 比其他寄存器宽，增加称为结果bits的额外 bits来避免溢出。 同时，为了充分体现专门的乘法-累加硬件 的好处，几乎所有的DSP的指令集都包含有显 式的MAC指令。
实时性
高频信号的处理
可以处理包括微波毫米波乃 按照奈准则的要求， 至光波信号 受S/H、A/D和处理速 度的限制
3、一个硬件系统适用于不同的软件
4、数字信号处理的实现
(1) 在通用的微机上用软件实现。 (2)用单片机来实现。
(3)利用专门用于信号处理的可编程DSP来实现。
(4)利用特殊用途的DSP芯片来实现。 (5)用FPGA开发ASIC芯片实现数字信号处理算法。
传统上，GPP使用冯.诺依曼存储器结构。这种结构中， 只有一个存储器空间通过一组总线（一个地址总线和一 个数据总线）连接到处理器核。通常，做一次乘法会发 生4次存储器访问，用掉至少四个指令周期。 大多数DSP采用了哈佛结构，将存储器空间划分成两个， 分别存储程序和数据。它们有两组总线连接到处理器核， 允许同时对它们进行访问。这种安排将处理器存贮器的 带宽加倍，更重要的是同时为处理器核提供数据与指令。 在这种布局下，DSP得以实现单周期的MAC指令。 还有一个问题，即现在典型的高性能GPP实际上已包含 两个片内高速缓存，一个是数据，一个是指令，它们直 接连接到处理器核，以加快运行时的访问速度。从物理 上说，这种片内的双存储器和总线的结构几乎与哈佛结 构的一样了。然而从逻辑上说，两者还是有重要的区别。

数字信号处理课件--数字信号处理(1)

数字信号处理课件--数字信号处理(1)
CT s (CT x) jy
(CT x)2 y2 。 (CT x)2 y2
所以对于 S 平面上左半平面的点 x 0 ，映射为 Z 平面上单位圆内 1的点；右半平面的点 x 0 ，映射为 Z 平面上单位圆外 1 的点。
而 S 平面虚轴 x 0 ，映射为 Z 平面上单位圆上 1 的点。
， 其中； si 为
使用变换关系式得：
N
Ai
H (z) H (s) | s s | a
1 T ssi 1esiT z1
i1
1 T i ssi 1esiT z 1
T
N i 1
1
Ai e siT
z 1
ROC :| z || esiT |
由变换关系式得到的数字系统是否为因果、稳定系统？需要讨论 Z 域 和 S 域的映射关系。
的周期化，所以在设计模拟滤波器时应该使得 s 2（s 为数字系
统的采样角频率）的幅度频率特性足够小，以满足混叠误差要求。
2021/5/27
数字信号处理
8
例：已知数字系统采样频率为 500Hz。要求所设计的低通数字滤波器的 3dB 截止 频率为 50Hz。求一个二阶数字低通滤波器的实现方案。
解：[1] 根据题义，数字滤波器设计指标为：截止频率 50Hz；阶数 k=2；采样
换
s
CT
1 1
z 1 z 1
得数字滤波器系统函数
H (z) 。这样两次变换畸变抵消，可以保证数字滤波器在指定的特征频率
所以，用冲击响应不变法所得到的数字滤波器也是因果稳定的。
2021/5/27
数字信号处理
6
6.5.4 冲击响应不变法设计步骤
1、按照给定的数字滤波器的设计指标，利用模拟滤波器设计技术设

《数字信号处理原理》PPT课件

《数字信号处理原理》PPT课件

•Digital signal and image filtering
•Cochlear implants
•Seismic analysis
•Antilock brakes
•Text recognition
•Signal and image compression
•Speech recognition
•Encryption
•Satellite image analysis
•Motor control
•Digital mapping
•Remote medical monitoring
•Cellular telephones
•Smart appliances
•Digital cameras
•Home security
Upper Saddle River, New Jersey 07458
All rights reserved.
FIGURE 1-4 Four frames from high-speed video sequence. “ Vision Research, Inc., Wayne, NJ., USA.
Joyce Van de Vegte Fundamentals of Digital Signal Processing
ppt课件
11
Copyright ©2002 by Pearson Education, Inc.
Upper Saddle River, New Jersey 07458
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Joyce Van de Vegte Fundamentals of Digital Signal Processing

数字信号处理DigitalSignalProcessingppt课件

数字信号处理DigitalSignalProcessingppt课件
处理系统中集成了几十万甚至更多的晶体 管，而模拟信号处理系统中大量使用的是 电阻、电容、电感等无源器件，随着系统 的复杂性增加这一矛盾会更加突出。
17
5. 数字信号处理的应用领域
▪ 语音处理
▪ 语音信号分析 ▪ 语音合成 ▪ 语音识别 ▪ 语音增强 ▪ 语音编码
▪ 图像处理：恢复，增强，去噪，压缩 ▪ 通信：信源编码，信道编码 ，多路复用，数据压缩 ▪ 电视 ：高清晰度电视，可视电话，视频会议 ▪ 雷达：对目标探测，定位，成像
统，其性能取决于运算程序和乘法器的各系数，这些均存 储在数字系统中，只要改变运算程序或系数，即可改变系 统的特性参数，比改变模拟系统方便得多。
15
▪ 可以实现模拟系统很难达到的指标或特性：例如：
有限长单位脉冲响应数字滤波器可以实现严格的线性相位； 在数字信号处理中可以将信号存储起来，用延迟的方法实 现非因果系统，从而提高了系统的性能指标；数据压缩方 法可以大大地减少信息传输中的信道容量。
▪ 由一维走向多维，像高分辨率彩色电视、雷达、
石油勘探等多维信号处理的应用领域已与数字信 号处理结下了不解之缘。
22
各种数字信号处理系统均几经更新换代：在
图像处理方面，图像数据压缩是多媒体通信、影 碟机(VCD或DVD)和高清晰度电视(HDTV)的关键 技术。国际上先后制定的标准H.261、JPEG、 MPEG—1和MPEG—2中均使用了离散余弦变换 (DCT)算法。近年来发展起来的小波(Wavelet)变 换也是一种具有高压缩比和快速运算特点的崭新 压缩技术，应用前景十分广阔，可望成为新一代 压缩技术的标准。
5
▪ 信息科学
▪ 信息科学是研究信息的获取、传输、处理和利 用的一门科学。
▪ 信号

数字信号处理-第一章离散时间信号与系统ppt课件

数字信号处理-第一章离散时间信号与系统ppt课件

1
n0
δ(n)和u(n)间的关系为u(n)0
n0
(n )u (n ) u (n 1 )
u (n ) (n m ) (n ) (n 1 ) (n 2 )
令n-m=k代m 0 入上式，得(1-6)式
n
u(n) (k)
问：上两实的区别是什么？
k
实际系统一般无n<0的情况,但理论分析需要,故 实际信号可用理想信号乘阶跃序列来分析
如果y(n)=T[x(n)]满足比例性和可加性，则 该系统是增量线性系统。
.
24
1.2.2移不变系统
系统的输出随输入的位移而位移，则该系统为移 不变系统。
即若输入x(n)产生输出y(n)，则输入x(n-m)产生 输出 y(n-m)
表达：移不变系统 y(n)T[x(n)]
则
y(nm )T [x(nm )]
１、交换律 卷积和与卷积序列的次序无关，有
y(n)=x(n)*h(n)=h(n)*x(n)
即：把单位冲击响应h(n)作为输入，将输入x(n) 作为系统单位冲击响应，其输出相同。
x(n) h(n) y(n) = h(n)
x(n)
y(n)
.
30
２、结合律（串联）
x(n)*h1(n)*h2(n)=[x(n)*h1(n)]*h2(n) =x(n)*[h1(n)*h2(n)]=［x(n)*h２(n)］*h１(n)
证明：
x(n)*[h1(n)h2(n)] x(m)[h1(nm)h2(nm)] m
x(m)h1(nm) x(m)h2(nm)
m
m
x(n)*h1(n)x(n)*h2(n)
x(n)
h1(n)
h2(n)
y(n)

数字信号处理课件.ppt

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4）实指数序列 x(n) anu(n) a 为实数
5）复指数序列 x(n) e( j0 )n en e j0n
en cos(0n) jen sin(0n) 0 为数字域频率
例：
x(n)=0.9
ne
j 3
n
6）正弦序列
x(n) Asin(0n )
模拟正弦信号：
xa (t) Asin(t )
后向差分：
x(n) x(n) x(n 1)
x(n) x(n 1)
x(n) x(n 1)
7）时间尺度变换
x(mn)
抽取
x(n) xa (t) tnT x(mn) xa (t) tmnT
x(n)
x( n ) 插值 m
2 1 0 -1 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
n 2 1 0 -1 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
若采样从n = 0 开始，可用x向量表示序 列 x(n) (注意：Matlab数组的下标是从1开始)
n为整数
1、序列的运算
移位 翻褶 和 积 累加 差分 时间尺度变换 卷积和 相关 能量
1）移位
序列x(n)，当m>0时 x(n-m)：延时/右移m位 x(n+m)：超前/左移m位
n
举例说明卷积过程
n -2, y(n)=0
n=-1
n=0
n=1
y(-1)=8
y(0)=6+4=10
y(1)=4+3+6=13
n=5
n=6
n=7
y(5)=-1+1=0
y(6)=0.5
y(n)=0, n 7
y(n)
两序列卷积的长度：

精品课程数字信号处理PPT课件06

精品课程数字信号处理PPT课件06

n0
lim X (z) x(0)
z
初值定理把 X (z) 在 z 足够大时的动态特性与 x(n) 的初值联系在一起。
第2章 z变换
8. 因果序列的终值定理
若因果序列 x(n) 0, n 0 X z Z x n x nzn n0
且 X (z) 的极点除在z=1可以有一个一阶极点外，其余极点都在单位圆内
x(1) x() 0 x()
lim x(n) x() lim(z 1)X (z)
n
z 1
第2章 z变换 9. 时域卷积定理
时域卷积对应z变换相乘
X (z) Z x(n)
Rx1 z Rx2
H(z) Z h(n)
Rh1 z Rh2
则 Z x(n)*h(n) X (z)H(z)
Z[nm x(n)]
z
d dz
m
X
(z)
第2章 z变换
例2.13 求序列 nanu n 的z变换。
解
Z
anu(n)
z
z
a
,
za
Z
nanu(n)
z
d
z z dz
a
z
zaz (z a)2
(z
za a)2
za
第2章 z变换 4. 序列指数加权（z域尺度变换）
若序列 x(n) 的z变换为
Z x(n) X (z), Rx1 z Rx2
若有 X (z) Z x(n) Y(z) Z y(n)
Rx1 z Rx2
Ry1 z Ry2
Rx1Ry1 1, Rx2Ry2 1
则
x(n) y*(n) 1
n
2 j
c
X
(v)Y
*

《数字信号处理》课件

《数字信号处理》课件

05
数字信号处理中的窗函 数
窗函数概述
窗函数定义
窗函数是一种在一定时间 范围内取值的函数，其取 值范围通常在0到1之间。
窗函数作用
在数字信号处理中，窗函 数常被用于截取信号的某 一部分，以便于分析信号 的局部特性。
窗函数特点
窗函数具有紧支撑性，即 其取值范围有限，且在时 间轴上覆盖整个分析区间 。
离散信号与系统
离散信号的定义与表示
离散信号是时间或空间上取值离散的信号，通常用序列表示。
离散系统的定义与分类
离散系统是指系统中的状态变量或输出变量在离散时间点上变化的 系统，分类包括线性时不变系统和线性时变系统等。
离散系统的描述方法
离散系统可以用差分方程、状态方程、传递函数等数学模型进行描 述。
Z变换与离散时间傅里叶变换（DTFT）
1 2 3
Z变换的定义与性质
Z变换是离散信号的一种数学处理方法，通过对 序列进行数学变换，可以分析信号的频域特性。
DTFT的定义与性质
DTFT是离散时间信号的频域表示，通过DTFT可 以分析信号的频域特性，了解信号在不同频率下 的表现。
Z变换与DTFT的关系
Z变换和DTFT在某些情况下可以相互转换，它们 在分析离散信号的频域特性方面具有重要作用。
窗函数的类型与性质
矩形窗
矩形窗在时间轴上均匀取值，频域表现为 sinc函数。
汉宁窗
汉宁窗在时间轴上呈锯齿波形状，频域表现 为双曲线函数。
高斯窗
高斯窗在时间轴上呈高斯分布，频域表现为 高斯函数。
海明窗
海明窗在时间轴上呈三角波形状，频域表现 为三角函数。
窗函数在数字信号处理中的应用
信号截断
通过使用窗函数对信号进行截 断，可以分析信号的局部特性
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为便于数学处理，对截断信号做周期延拓，得到虚拟的 无限长信号。
§14.4 信号的截断、能量泄露
周期延拓后的信号与真实信号是不同的，下面从数学的角 度来看这种处理带来的误差情况。
设有余弦信号x(t)，用矩形窗函数w(t)与其相乘，得到截 断信号：y(t) =x(t)w(t)
将截断信号谱 XT(ω)与原始信号谱X(ω)相比较可知，它已 不是原来的两条谱线，而是两段振荡的连续谱. 原来集中在f0处
a) 多种多样的工业用计算机。
§14.1 数字信号处理概述
2) 计算机软硬件技术发展的有力推动
b) 灵活、方便的计算机虚拟仪器开发系统
§14.1 数字信号处理概述
案例：铁路机车FSK信号检测与分析
京广线计划提速到200公里/小时 合作任务：机车状态信号识别(频率解调)
§14.2 模数(A/D)和数模(D/A)
§14.3 采样定理
2 采样定理
A/D采样前的抗混迭滤波：
对象
物理信号
传 感 器
电信号
放 大 调 制
电信号
A/D 转换
数字信号
展开
放大
低通滤波 (0~Fs/2)
§14.3 采样定理
用计算机进行测试信号处理时，不可能对无限长的 信号进行测量和运算，而是取其有限的时间片段进行分析， 这个过程称信号截断。
1、数字信号处理的主要研究内容
数字信号处理主要研究用数字序列来表示测试信号，并 用数学公式和运算来对这些数字序列进行处理。内容包括数字 波形分析、幅值分析、频谱分析和数字滤波。
A
X(0)
X(1)
0
t
X(2)
E
1 N
X
i
X(3)
X(4)
§14.1 数字信号处理概述
2、测试信号数字化处理的基本步骤
对象
的能量被分散到两个较宽的频带中去了，这种现象称之为频谱 能量泄漏。
§14.4 信号的截断、能量泄露 周期延拓信号与真实信号是不同的：
能量泄漏误差
§14.4 信号的截断、能量泄露 克服方法之一：信号整周期截断
§14.4 信号的截断、能量泄露
克服方法之二：窗函数
为了减少频谱能量泄漏，可采用不同的截取函数对信号 进行截断，截断函数称为窗函数，简称为窗。泄漏与窗函数频 谱的两侧旁瓣有关，如果两侧瓣的高度趋于零，而使能量相对 集中在主瓣，就可以较为接近于真实的频谱。
Ts 0 Ts
X ()
t
m 0 m
P( )
t s 0 s X s ()
1 Ts
t s 0 s
§14.3 采样定理 1 频混现象
（a）采样频率等于信号频率，正弦信号离散后得到直流信号
（b）采样频率等于信号频率的2倍，正弦信号离散后得到三角波信号
（c）采样频率小于信号频率的2倍，正弦信号离散后得到更低频 率的正弦信号
汉与宁矩窗形又窗称对升比余，弦汉窗宁，窗其主时瓣域加表宽达并式降为低：，旁瓣则显著减小。
汉发加相宁，宽应窗汉，的的宁频窗旁窗率谱瓣优分为衰于辨：减矩力速形下w窗降度t。。也 但较T1 0快汉12 。宁 12比窗co主较sTt瓣可 加知t ，宽t T从，T 减相小当泄于漏分观析点带出宽
w sinT 1 sinT sinT 2
§14.5 DFT与FFT
§14.5 DFT与FFT
四对傅立叶级数和傅立叶变换对在理论上有重要 的意义，但在实际中往往难以实现，尤其在数字计算 机上实现是不太现实的，例如计算机无法处理连续的 周期的信号。因此我们需要的是一种在时域和频域都 离散、非周期的一对傅立叶变换对，这就是离散傅立 叶变换，简称（DFT）。
(1) 把连续信号(包括时域、频域)改造为离散数据； (2) 把计算范围收缩到一个有限区间； (3) 实现正、逆博里叶变换运算。 在这种条件下所构成的变换对称为离散傅里叶变换对。 其特点是：在时域和频域中都只取有限个离散数据，这些 数据分别构成周期性的离散时间函数和频率函数。
§14.5 DFT与FFT 各种信号的傅立叶级数与傅立叶变换对(1)
§14.2 模数(A/D)和数模(D/A) D/A转换器的技术指标
(3) 转换速度 转换速度是指完成一次D/A转换所用的时间。转换时
间越长，转换速度就越低。
§14.2 模数(A/D)和数模(D/A) A/D、D/A转换过程中的量化误差实验：
§14.3 采样定理
一、信号采样
采样是将采样脉冲序列p(t)与信号x(t)相乘，取离散点x(nt) 值的过程。
b) A/D转换器的转换误差通常以输出误差的最大值 形式给出，它表示实际输出数字量和理论上应得到的数字 量之间的差别，通常规定应小于＋1/2LSB。
§14.2 模数(A/D)和数模(D/A)
2、D/A转换过程和原理
D/A转换器是把数字信号转换为电压或电流信号的装置。
D/A转换器一般先通过T型电阻网络将数字信号转换为模 拟电脉冲信号，然后通过零阶保持电路将其转换为阶梯状的连 续电信号。只要采样间隔足够密，就可以精确的复现原信号。 为减小零阶保持电路带来的电噪声，还可以在其后接一个低通 滤波器。
§14.3 采样定理
2 采样定理
为保证采样后信号能真实地保留原始模拟信号信息，信 号采样频率必须至少为原信号中最高频率成分的2倍。这是采 样的基本法则，称为采样定理，亦称仙农定理。
fs ＞ 2 fm
ax
§14.3 采样定理
2 采样定理
注意：满足采样定理，只保证不发生频率混叠，而不能保 证采样信号能真实地反映原信号x(t)。工程实际中采样频率通 常大于信号中最高频率成分的3~5倍。
§14.4 信号的截断、能量泄露
1. 矩形窗
矩形窗属于时间变量的零次幂窗，函数形式为
wt
1 0
/T
t T t T
相应的窗谱为：
优缺点点：：主旁瓣瓣比较较高集，中并w有负旁 瓣2s，in导致T变换中带进了高频干扰和
泄漏，甚至出现负谱现象。 T
矩形窗使用最多，习惯上不加窗就是使信号通过了矩形窗
(2) 转换精度
转换精度定义为实际输出与期望输出之比。以全程的 百分比或最大输出电压的百分比表示。理论上D/A转换器的 最大误差为最低位的1/2，10位D/A转换器的分辨率为1/210， 约为0.1%，它的精度为0.05%。如10位D/A转换器的满程 输出为10V，则它的最大输出误差为10V× 0.0005=5mV。
§14.4 信号的截断、能量泄露
2. 三角窗
三角窗亦称费杰(Fejer)窗，是幂
t T
三角窗与矩形窗比较0 ，主瓣宽t约等T 于矩形窗的两倍，
但旁相瓣应小的，窗而谱且为无：负旁瓣。
w sin T/ 22
T/ 2
§14.4 信号的截断、能量泄露
3. 汉宁(Hanning)窗
物理信号
传 感 器
电信号
放 大 调 制
电信号
A/D 转换
数字信号
物理信号
控制
显 示
计
电信号 D/A转
算
换
机
§14.1 数字信号处理概述
3、数字信号处理的优势
1) 用数学计算和计算机显示代替复杂的电路和机械 结构
E x2t 1 N x2n N n0
§14.1 数字信号处理概述
2) 计算机软硬件技术发展的有力推动
傅立叶级数
傅立叶变换
时域
~
~
x(n)
a e jk (2 / N )n k
k(N )
时域是离散周期的
x(n) 1 X (e j )e jnd
2 2
时域是离散非周期的
频域
~
ak
1
~
x(n)e jk (2 / N )n
N n(N)
频域是离散周期的
X (e j ) x(n)e jn n
频域是连续周期的
1、A/D转换
模拟信号
采样
0,1,2,3,2,
1,…
量化
数字信号
采样――利用采样脉冲序列，从信号中抽取一系列离散 值，使之成为采样信号x(nTs)的过程。
Ts称为采样间隔，或采样周期，1/Ts = fs 称为采样频 率。 由于后续的量化过程需要一定的时间τ，对于随时间变 化的模拟输入信号，要求瞬时采样值在时间τ内保持不变， 这样才能保证转换的正确性和转换精度，这个过程就是采样 保持。正是有了采样保持，实际上采样后的信号是阶梯形的 连续函数。
T 2 T
T
§14.5 DFT与FFT
1、离散傅立叶变换
离散傅里叶变换(Discrete Fourier Transform)一词是 为适应计算机作傅里叶变换运算而引出的一个专用名词。
对信号x(t)进行傅里叶变换(FT)或逆傅里叶变换(IFT) 运算时，无论在时域或在频域都需要进行包括(-∞，＋∞) 区间的积分运算，若在计算机上实现这一运算，则必须做 到：
4位A/D: XXXX
X(1) 0101 X(2) 0011 X(3) 0000
§14.2 模数(A/D)和数模(D/A)
2) A/D转换器的技术指标
(1) 分辨率 用输出二进制数码的位数表示。位数越多，量化误差越 小，分辨力越高。常用有8位、10位、12位、16位等。
(2) 转换速度 指完成一次转换所用的时间，如:1ms(1kHz)； 10us(10 0kHz)
§14.2 模数(A/D)和数模(D/A) 量化―把采样信号经过舍入或截尾的方法变为只有有限个有效
数字的数，称为量化。
5
4
x(1)=5 x(5)=4
3
x(2)=4 x(6)=5
x(3)=0 x(7)=1
2
x(4)=0 x(8)=0
1
00
1
2
3