高二数学第一学期期中考试题及答案

2024-2025学年安徽省芜湖市安师大附中高二第一学期期中考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知a =(1,5,−1)，b =(−3,2,3)，则a−b =( )A. (−4,−3,4)B. (4,3,−4)C. (−4,3,−4)D. (4,3,4)2.如图，空间四边形OABC 中，OA =a ，OB =b ，OC =c ，点M 在OA 上，且OM =23OA ，点N 为BC 中点，则MN 等于( )A. −23a +12b +12c B. 12a +12b−12c C. 23a +23b−12cD. −23a +23b−12c3.在空间直角坐标系Oxyz 中，已知点P(1,2,5)，点Q(−1,2,−5)，则( )A. 点P 和点Q 关于x 轴对称 B. 点P 和点Q 关于y 轴对称C. 点P 和点Q 关于z 轴对称D. 点P 和点Q 关于原点中心对称4.已知直线l 的斜率的范围为[−1,1]，则直线l 的倾斜角α的取值范围为( )A. 0∘≤α≤45∘或135∘≤α≤180∘ B. 45∘≤α≤135∘C. 45∘<α<135∘D. 0∘≤α≤45∘或135∘≤α<180∘5.已知点A(−4,−2)，B(−4,2)，C(−2,2)，则△ABC 外接圆的方程为( )A. (x +3)2+y 2=5 B. x 2+(y−3)2=20C. x 2+(y +3)2=5D. (x−3)2+y 2=206.与椭圆9x 2+4y 2=36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为( )A. x 24+y 23=1 B.y 26+x 2=1 C. x 26+y 2=1D. x 28+y 25=17.已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，焦距为6.若P 为椭圆C 上一点，且△PF 1F 2的周长为16，则椭圆C 的离心率为( )A. 15B. 45C. 35D.2158.已知M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)是圆C:(x +3)2+(y−5)2=4上的两个不同的点，若|MN|=22，则|x 1−y 1|+|x 2−y 2|的取值范围为( )A. [12,20]B. [10,14]C. [8,16]D. [4 2,82]二、多选题：本题共4小题，共24分。

高二（上学期）期中考试数学试卷及答案学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．一直线过点(0,3),(3,0)-，则此直线的倾斜角为（ ）A ．45°B ．135°C ．－45°D ．－135°2．已知{}n a 是公差为d 的等差数列，n S 为其前n 项和．若3133S a =+，则d =（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．23．已知ABC 的顶点B ，C 在椭圆2213x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则ABC 的周长是（ ）A ．B ．6C ．4D ．4．设a R ∈，若直线10ax y +-=与直线10x ay ++=平行，则a 的值是（ ）A ．1B ．1,1-C ．0D ．0，15．已知直线:sin cos 1l x a y a -=，其中a 为常数且[0,2)a π∈．有以下结论：①直线l 的倾斜角为a ；①无论a 为何值，直线l 总与一定圆相切；①若直线l 与两坐标轴都相交，则与两坐标轴围成的三角形的面积不小于1；①若(,)p x y 是直线l 上的任意一点，则221x y +≥．其中正确结论的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．46．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>满足b a =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则双曲线C 的方程为（ ）A ．22145x y -= B ．221810x y -= C ．22154x y -= D ．22143x y -= 7．在平面直角坐标系xoy 中，已知点()3,1P -在圆222:22150C x y mx y m +--+-=内，动直线AB 过点P 且交圆C 于,A B 两点，若ABC 的面积的最大值为8，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(3-+B ．[]1,5C ．][(35,3-⋃+D ．][(),15,∞∞-⋃+8．已知A ，B 为圆22:2430C x y x y +--+=上的两个动点，P 为弦AB 的中点，若90ACB ∠=︒，则点P 的轨迹方程为（）A ．221(1)(2)4x y -+-=B ．22(1)(2)1x y -+-=C ．221(1)(2)4x y +++=D ．22(1)(2)1x y +++=二、多选题9．已知直线30ax y a -+-=在两坐标轴上的截距相等，则实数=a （ ）A ．1B ．1-C ．3D ．3-10．设抛物线24y x =，F 为其焦点，P 为抛物线上一点.则下列结论正确的是（ ）A ．若()1,2P ，则2PF =B ．若P 点到焦点的距离为3，则P 的坐标为(2,.C ．若()2,3A ，则PA PF +D ．过焦点F 做斜率为2的直线与抛物线相交于A ，B 两点，则6AB =11．如图，椭圆221:13+=x C y 和222:13y C x +=的交点依次为,,,.A B C D 则下列说法正确的是（ ）A ．四边形ABCD 为正方形B ．阴影部分的面积大于3.C ．阴影部分的面积小于4.D ．四边形ABCD 的外接圆方程为222x y +=12．已知圆222:22(1)2230()C x y mx m y m m m R ++-+++-=∈上存在两个点到点(0,1)A -的距离为4，则m 的可能的值为A ．1B ．1-C ．3-D ．5-三、填空题13．设()1,0F c -，()2,0F c 分别为椭圆()222210x y a b a b +=>>的左，右焦点，若直线22a x c=上存在点P ，使22PF c =，则椭圆离心率的取值范围为______.14．已知在数列{}n a 中，12a =，111n na a +=-，*n N ∈，则2021a =________．15．已知焦点为1F ，2F 的双曲线C P 为C 上一点，且满足2123PF PF =，若12PF F △的面积为C 的实轴长为________四、双空题16．抛物线2:2C y x =的焦点坐标是______；经过点()4,1P 的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，且点P 恰为AB 的中点，F 为抛物线的焦点，则AF BF +=______．五、解答题17．已知{n a }为等差数列，Sn 为其前n 项和，若1356,0a a a =+=．(1)求数列{n a }的通项公式；(2)求Sn ．18．已知A (4, 9), B (6, 3)两点，求以线段AB 为直径的圆的方程．19．已知直线10:4l mx y ++=和直线()()2:2100,0l m x ny m n +-+=>>互相垂直，求m n 的取值范围． 20．已知①ABC 的顶点A （-1，5），B （-1，-1），C （3，7）.(1)求边BC 上的高AD 所在直线的方程；(2)求边BC 上的中线AM 所在直线的方程；(3)求①ABC 的面积.21．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点M 在抛物线C 上，且M 点的纵坐标为4，52p MF =．(1)求抛物线C 的方程；(2)过点(0,4)Q -作直线交抛物线C 于,A B 两点，试问抛物线C 上是否存在定点N 使得直线NA 与NB 的斜率互为倒数？若存在求出点N 的坐标，若不存在说明理由．22．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12，以椭圆C 的四个顶点为顶点的四边形面积为 (1)求椭圆C 的方程；(2)若椭圆C 的左顶点为A ，右焦点是F ．点P 是椭圆C 上的点（异于左、右顶点），M 为线段PA 的中点，过M 作直线PF 的平行线l ．延长PF 交椭圆C 于Q ，连接AQ 交直线l 于点B ．①求证：直线l 过定点．①是否存在定点1D 、2D ，使得12BD BD +为定值，若存在，求出1D 、2D 的坐标；若不存在说明理由．参考答案：1．A【分析】根据斜率公式求得直线的斜率，得到tan 1α=，即可求解.【详解】设直线的倾斜角为α， 由斜率公式，可得03130k -==--，即tan 1α=， 因为0180α≤<，所以45α=，即此直线的倾斜角为45.故选：A.2．C【解析】根据{}n a 是公差为d 的等差数列，且3133S a =+，利用等差数列的前n 项和公式求解.【详解】因为{}n a 是公差为d 的等差数列，且3133S a =+，所以113333a d a +=+，解得1d =，故选：C3．D【分析】先由椭圆方程求出a =.【详解】由椭圆2213x y +=，得：a =由题意可得ABC 的周长为:221224AC CF F B BF a a a +++=+==.故选：D.4．A【分析】根据两直线平行则两直线斜率相等截距不相等可得答案.【详解】0a =时，两直线为10y -=、直线10x +=，显然不平行；所以0a ≠，两直线为1y ax =-+，1(1)=-+y x a， 所以1a a -=-，且11a -≠， 解得1a =．故选：A.5．C【分析】根据直线的性质及直线与圆的关系对选项一一判断即可.【详解】对于①，直线l 的倾斜角的取值范围为[0,)π，与角a 的不同，故①错误；对于①，(0,0)1=，则无论a 为何值，直线l 总与221x y +=相切，故①正确；对于①，若直线l 与两坐标轴都相交，则截距分别为1sin a ，1cos a -，则与两坐标轴围成的三角形的面积为111112sin cos sin 2a a a⋅=≥，故①正确； 对于①，由①知直线l 总与221x y +=相切，则直线l 上的点到原点的距离大于等于1，即221x y +≥，故①正确；综上所述，①①①共3个正确；故选：C6．A【分析】根据题意，结合椭圆与双曲线的几何性质，列出方程，求得,a b 的值，即可求解. 【详解】由椭圆的标准方程为221123x y +=，可得21239c =-=，即3c =， 因为双曲线C 的焦点与椭圆221123x y +=的焦点相同，所以双曲线C 中，半焦距3c =，又因为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>满足b a =，即b =，又由222+=a b c ，即229a ⎫⎪⎪⎝⎭+=，解得24a =，可得25b =， 所以双曲线C 的方程为22145x y -=. 故选：A ．7．C【分析】由题知圆心为(),1,4C m r =，进而根据三角形面积公式得ABC 面积最大时，AB =，圆心C 到直线AB 的距离为4PC ≤<即可得答案.【详解】解：圆222:22150C x y mx y m +--+-=，即圆()()22:116C x m y -+-=，即圆心为(),1,4C m r =， 所以ABC 的面积为21sin 8sin 82ABC S r ACB ACB =∠=∠≤△，当且仅当2ACB π∠=，此时ABC 为等腰直角三角形，AB =C 到直线AB 的距离为= 因为点()3,1P -在圆222:22150C x y mx y m +--+-=内，所以4PC ≤<，即4<，所以，28(3)416m ≤-+<，解得31m -≤或53m ≤<+所以，实数m 的取值范围是][(35,3-⋃+故选：C8．B【分析】在直角三角形中利用几何关系即可获解【详解】圆C 即22(1)(2)2x y -+-=,半径r =因为CA CB ⊥,所以2AB ==又P 是AB 的中点,所以112CP AB == 所以点P 的轨迹方程为22(1)(2)1x y -+-=故选：B9．BC【分析】显然0a ≠，再分30a -=与30a -≠两种情况讨论，若30a -≠，求得直线在,x y 轴上的截距，即可得到方程，解得即可；【详解】解：依题意可知0a ≠，所以当30a -=，即3a =时，直线30ax y a -+-=化为30x y -=，此时直线在两坐标轴上的截距都为0，满足题意；当30a -≠，即3a ≠时，直线30ax y a -+-=在x 轴上的截距为3a a-，在y 轴上的截距为3a -，故33a a a -=-，解得1a =-； 综上所述，实数3a =或1a =-.故选：BC10．AC【分析】由抛物线的性质依次计算各选项所求，即可得出结果.【详解】抛物线24y x =，()1,0F .对于A ，()1,2P ，2PF ，A 正确；对于B ，设(,P x ±，()22143x x -+=，2x =，P 的坐标为(2,±.B 错误；对于C,()min PA PF AF +==正确；对于D ，直线:22l y x =-，联立24y x =，得：2310x x -+=，3A B x x +=,2=5B A x x AB ++=,D 错误. 故选：AC.11．ABC【分析】根据曲线的对称性，可判定A 正确；联立方程组求得A 的坐标，求得ABCD 的面积为13S =，可判定B 正确；由直线1,1x y =±=±围成的正方形的面积可判定C 正确；由232OA =，得出圆的方程，可判定D 错误．【详解】由题意，椭圆221:13+=x C y 和222:13y C x +=，根据曲线的对称性， 可得四边形ABCD 为正方形，选项A 正确；联立方程组，求得A ，所以正方形ABCD 的面积为13S =， 所以阴影部分的面积大于3，选项B 正确：由直线1,1x y =±=±围成的正方形的面积为2=4S ，所以阴影部分的面积小于4，选项C 正确；由232OA =，所以四边形ABCD 的外接圆方程为2232x y +=，选项D 错误． 故选：ABC .12．ACD【解析】根据题意，圆()()222:12C x m y m ++-+=⎡⎤⎣⎦与圆()222:14A x y ++=相交，再由两圆圆心距大于两圆半径之差，小于两圆半径之和，列出不等式，解得即可.【详解】由题知，圆()()222:12C x m y m ++-+=⎡⎤⎣⎦与圆()222:14A x y ++=相交，所以，4242CA -<<+，即26，解得()()1,20,171m ∈--，即m 的值可以为：1或3-或5-.故选：ACD.【点睛】本题体现了转化的数学思想，解题的关键在于将问题转化为两圆相交，属于基础题. 13．0e <≤【分析】由题设易知222||a PF c c≥-，结合椭圆离心率的性质即可得离心率的取值范围. 【详解】由题设，222||2a PF c c c=≥-，则22223c e a =≤，而01e <<，所以0e <≤故答案为：0e <≤14．12##0.5 【分析】由递推关系依次求出数列的前几项，归纳出周期后可得结论．【详解】由题意12a =，211122a =-=，311112a =-=-，41121a =-=-， 所以数列{}n a 是周期数列，周期为3，所以202136732212a a a ⨯+===． 故答案为：12．15【分析】由2123PF PF =和双曲线定义可得12,46a PF a PF ==，再结合余弦定理和c e a ==122cos 3F PF ∠=，利用面积公式1212121||||sin 2PF F S PF PF F PF =∠=a =. 【详解】由题意，221123PF PF PF PF ∴=> 由双曲线定义可知，122PF PF a -=21,46a PF a PF ==∴222222221212122212||||||36164524cos 2||||4848PF PF F F a a c a c F PF PF PF a a +-+--∴∠===又122cos 3c e c F PF a ===∴∠=又1212(0,)sin F PF F PF π∠∈∴∠=122121211||||sin 2422PF F S PF PF F PF a =∠=⨯=221,a ∴=又0a a >∴=故双曲线C16． ()1,0##0.5,02⎛⎫ ⎪⎝⎭； 9. 【分析】由抛物线的解析式可知22p =，即可得出焦点坐标为1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭；过A 、B 、P 作准线的垂线且分别交准线于点M 、N 、K ，根据抛物线的定义可知AM BN AF BF +=+，由梯形的中位线的性质得出()1942212AM BN PK +==+=，进而可求出AF BF +的结果. 【详解】解：由抛物线2:2C y x =，可知22p =，则122p =， 所以抛物线2:2C y x =的焦点坐标为1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 如图，过点A 作AM 垂直于准线交准线于M ，过点B 作BN 垂直于准线交准线于N ，过点P 作PK 垂直于准线交准线于K ，由抛物线的定义可得AM BN AF BF +=+，再根据()4,1P 为线段AB 的中点，而四边形AMNB 为梯形， 由梯形的中位线可知()1942212AM BN PK +==+=， 则9AM BN +=，所以9AF BF +=. 故答案为：1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭；9. 17．(1)an ＝8﹣2n ；(2)27n S n n =-+.【分析】（1）应用等差数列通项公式求基本量，进而写出通项公式； （2）由等差数列前n 项和公式求Sn . （1）设等差数列{an }的公差为d ，由a 1＝6，a 3+a 5＝0，则6+2d +6+4d ＝0，解得d ＝﹣2， 因此an ＝a 1+（n ﹣1）d ＝8﹣2n ， 所以{an }的通项公式为an ＝8﹣2n ． （2）由题意知：()21172n n n S na d n n -=+=-+，18．(x -5)2＋(y -6)2＝10【分析】根据题意，求得圆心和半径，即可直接写出圆的标准方程.【详解】因为线段AB 为直径，所以线段AB 的中点C 为该圆的圆心，即C (5, 6)．又因为AB ，所以所求圆的半径r ＝2AB， 因此，所求圆的标准方程为(x －5)2＋(y －6)2＝10. 19．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】通过两直线垂直的充要条件得到22n m m =+，然后两边同时除以m ，使用不等式即可解决. 【详解】因为12l l ⊥，所以()()210m m n ++⨯-=，所以22n m m =+，因为0m >，所以2221m m m m n m +==+． 因为0m >，所以22m +>，所以11022m <<+，故m n 的取值范围为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭． 20．(1)x +2y -9=0 (2)4y x =-+ (3)12【分析】（1）求得BC k ，根据垂直关系可得12AD k =-，再根据点斜式求解高AD 所在直线的方程即可；（2）根据中点坐标公式，结合两点式方程求解即可；（3）根据两点式方程可得边BC 所在直线的方程，再根据点到线的距离公式可得点A 到直线BC 的距离，进而根据三角形的面积公式求解即可. （1） 因为7(1)23(1)BC k --==--，所以12AD k =-，从而边BC 上的高AD 所在直线的方程为()1512y x -=-+，即x +2y -9=0（2）因为M 是BC 的中点，所以M （1，3），从而边BC 上的中线AM 所在直线的方程为315311y x --=---，即4y x =-+ （3）由题意知，边BC 所在直线的方程为()()()()117131y x ----=----，即210,x y BC -+==所以点A 到直线BC 的距离h ==ABC 的面积1122BC h =⋅=.21．(1)24y x =(2)存在，()44，【分析】（1）利用抛物线的焦半径公式求得点M 的横坐标，进而求得p,可得答案;（2）根据题意可设直线方程，和抛物线方程联立，得到根与系数的关系式，利用直线NA 与NB 的斜率互为倒数列出等式，化简可得结论. (1)（1）0(,4)M x 设 则05||22p pMF x =+=， 02x p ∴=， 2416p ∴=，0,2p p >∴=，故C 的方程为：24y x = ；(2)假设存在定点N ，使得直线NA 与NB 的斜率互为倒数， 由题意可知，直线AB 的斜率存在，且不为零，(4)AB x m y =+设的方程为，2011220(,),(,),(,)4y A x y B x y N y ，()244x m y y x ⎧=+⎨=⎩由， 24160y my m --=得，所以{Δ>0y 1+y 2=4m y 1y 2=−16m ， 即4m <- 或0m > ，01020102222222000012010212441444444NA NB y y y y y y y y k k y y y y y y y y y y x x ----∴⋅=⋅=⋅=⋅=++---- 2001212()16y y y y y y ∴+++=，200(416)160y m y ∴-+-=恒成立，则024160160y y -=⎧⎨-=⎩ ，04y ∴=， (4,4),N ∴存在定点使得直线NA 与NB 的斜率互为倒数. 22．(1)2211612x y +=；(2)（i ）证明见解析；（ii ）存在，且()13,0D -、()21,0D -.【分析】（1）根据已知条件得出关于a 、b 、c 的方程组，解出这三个量的值，可得出椭圆C 的方程； （2）（i ）分析可知直线PQ 不与x 轴重合，设设直线PQ 的方程为2x my =+，设点()00,P x y 、()11,Q x y ，写出点M 的坐标，化简直线l 的方程，即可得出直线l 所过定点的坐标；（ii ）点(),B x y ，写出点B 的坐标，利用相关点法求出点B 的轨迹方程，可知点B 的轨迹为椭圆，求出椭圆的两个焦点坐标，结合椭圆的定义可得出结论. (1)解：由题意可得222121222c a a b a b c ⎧=⎪⎪⎪⋅⋅=⎨⎪=+⎪⎪⎩42a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩ 因此，椭圆C 的方程为2211612x y +=. (2)解：（i ）易知点()2,0F 、()4,0A -，若PQ 与x 轴重合，则P 或Q 与点A 重合，不合乎题意，设直线PQ 的方程为2x my =+，设点()00,P x y 、()11,Q x y ，点M 的坐标为004,22x y -⎛⎫⎪⎝⎭，直线MB 的方程为00422x y x m y -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭且002x my =+， 所以，直线l 的方程为1x my =-，因此，直线l 过定点()1,0-. （ii ）因为B 为AQ 的中点，则114,22x y B -⎛⎫ ⎪⎝⎭，且有221111612x y +=， 设点(),B x y ，则11422x x y y -⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得11242x x y y =+⎧⎨=⎩， 所以，()()2224211612x y ++=，即()222143x y ++=，即点B 的轨迹方程为()222143x y ++=，因为椭圆22143x y +=的两个焦点坐标分别为()1,0-、()1,0， 椭圆()222143x y ++=可由椭圆22143x y +=向左平移2个单位得到， 故椭圆()222143x y ++=的两个焦点坐标别为()3,0-、()1,0-， 故存在定点()13,0D -、()21,0D -使得124BD BD +=为定值. 【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点()00,x y ，常利用直线的点斜式方程()00y y k x x -=-或截距式y kx b =+来证明.。

南京师大附中2024—2025学年度第1学期高二年级期中考试数学试卷命题人：高二数学备课组 审阅人：高二数学备课组一．选择题1．过两点()2,4-和()4,1-的直线在x 轴上的截距为（ ）A ．145B ．145-C ．73D ．73-2．过圆225x y +=上一点()2,1M --作圆的切线l ，则直线l 的方程为（ ） A ．230x y -+=B ．250x y ++=C ．250x y --=D ．250x y +-=3．若k ∈R ，则“22k -<<”是“方程221362x y k k+=+-表示椭圆”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．若抛物线24y x =上的一点M 到坐标原点O M 到该抛物线焦点的距离为（ ） A ．5B ．3C ．2D ．15．设直线l 的方程为()sin 10x y θθ+-=∈R ，则直线l 的倾斜角α的范围是（ ） A ．()0,πB ．πππ3π,,4224⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦C ．π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．ππ,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭6．若直线上存在到曲线T 上一点的距离为d 的点，则称该直线为曲线T 的d 距离可相邻直线．已知直线:430l x y m +-=为圆()()22:2716C x y -++=的3距离可相邻直线，则m 的取值范围是（ ）A ．[]48,22-B ．[]18,8--C ．(][),4822,-∞-+∞D ．(][),188,-∞--+∞7．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，M 为双曲线右支上的一点．若M 在以12F F 为直径的圆上，且12π5π,312MF F ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，则该双曲线离心率的取值范围为（ ）A ．(B ．)+∞C ．()1D ．)18．已知A ，B 分别是椭圆2214x y +=的左、右顶点，P 是椭圆在第一象限内一点．若2PBA PAB ∠=∠，则PA PB的值是（ ）A ．5BC ．5D ．5二．多选题9．已知椭圆22:143x y C +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为椭圆C 上一点．则下列说法错误的是（ ）A ．椭圆CB ．12PF F △的周长为5C ．1290F PF ∠<︒D ．113PF ≤≤10．已知()0,2M ，()0,3N ，在下列方程表示的曲线上，存在点P 满足2MP NP =的有（ ） A ．370x -=B ．4320x y +-=C ．221x y +=D ．2222140x y x y +-+-=11．天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现：同一平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹是卡西尼卵形线．已知定点()1,0F c -，()2,0F c ，动点P 满足212PF PF a ⋅=（a ，0c >且均为常数）．设动点P 的轨迹为曲线E ．则下列说法正确的是（ ） A ．曲线C 既是轴对称图形，又是中心对称图形B ．12PF PF +的最小值为2aC ．曲线E 与x 轴可能有三个交点D ．2ca ≥时，曲线E 上存在Q 点，使得12QF QF ⊥ 三．填空题12．与双曲线2212x y -=有公共渐近线，且过点的双曲线的方程为______．13．若直线l 过抛物线24y x =的焦点．与抛物线交于A ，B 两点．且线段AB 中点的横坐标为2．则弦AB 的长为______．14．已知点()5,4P ，点F 为抛物线2:8C y x =的焦点．若以点P ，F 为焦点的椭圆与抛物线有公共点，则椭圆的离心率的最大值为______．四．解答题15．已知直线1:220l ax y +-=与直线2:220l x ay +-=．（1）当12l l ⊥时，求a 的值；（2）当12l l ∥时，求1l 与2l 之间的距离．16．已知点()1,2A ，()1,2B --，点P 满足4PA PB ⋅=． （1）求点P 的轨迹Γ的方程；（2）过点()2,0Q -分别作直线MN ，RS ，交曲线Γ于M ，N ，R ，S 四点，且MN RS ⊥，求四边形MRNS 面积的最大值与最小值．17．已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的一个焦点坐标为()2,0，离心率为23．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）设动圆22211:C x y t +=与椭圆E 交于A ，B ，C ，D 四点．动圆()222222212:C x y t t t +=≠与椭圆E 交于A '，B '，C '，D '四点．若矩形ABCD 与矩形A B C D ''''的面积相等，证明：2212t t +为定值．18．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>和抛物线()2:20E y px p =>．从两条曲线上各取两个点，将其坐标混合记录如下：(1P -，(22,P，)31P -，()49,3P ．（1）求椭圆C 和抛物线E 的方程；（2）设m 为实数，已知点()3,0T -，直线3x my =+与抛物线E 交于A ，B 两点．记直线TA ，TB 的斜率分别为1k ，2k ，判断2121m k k +是否为定值，并说明理由． 19．设a 为实数，点()2,3在双曲线2222:12x y C a a -=+上． （1）求双曲线C 的方程； （2）过点1,12P ⎛⎫⎪⎝⎭作斜率为k 的动直线l 与双曲线右支交于不同的两点M ，N ，在线段MN 上取异于点M ，N 的点H ，满足PM MHPN HN=． （ⅰ）求斜率k 的取值范围；（ⅱ）证明：点H 恒在一条定直线上．南京师大附中2024—2025学年度第1学期高二年级期中考试数学试卷命题人：高二数学备课组 审阅人：高二数学备课组一．选择题1．【答案】A【解析】直线的斜率()415246k --==---，∴直线的方程为()5426y x -=-+，即5763y x =-+， ∴直线在x 轴上的截距为145，故选A ． 2．【答案】B【解析】00525xx yy x y +=⇒--=，故选B ． 3．【答案】B【解析】方程221362x y k k +=+-表示椭圆3602021362k k k k k+>⎧⎪⇒->⇒-<<-⎨⎪+≠-⎩或12k -<<，故选B ． 4．【答案】C【解析】设点2,4y M y ⎛⎫⎪⎝⎭，由MO =()2220054y y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭， ∴24y =或220y =-（舍去），即214y x ==， ∴M 到抛物线24y x =的准线1x =-的距离()112d =--=，根据抛物线定义得选项C ．5．【答案】C【解析】当sin 0θ=时，则直线的斜率不存在，即直线的倾斜角为π2， 当sin 0θ≠时，则直线的斜率(][)1,11,sin k θ=-∈-∞-+∞，即直线倾斜角为πππ3π,,4224⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦， 综上所述，直线的倾斜角的范围为π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦．故选C ． 6．【答案】A【解析】圆C 的半径为4，直线l 上存在到圆C 上一点的距离为3的点， 故圆心()2,7C -到直线l 的距离7d ≤，即()423775m⨯+⨯--≤，解得[]48,22m ∈-，故选A ．7．【答案】D【解析】设21MF F θ∠=，则12sin MF c θ=，22cos MF c θ=， 根据双曲线定义122sin 2cos 2MF MF c c a θθ-=-=，1π4c aθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭，π5π,312θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故πππ,4126θ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭1c e a =<，故选D ． 8．【答案】C【法一】由题意知()2,0A -，()2,0B ，设()00,P x y ， 直线P A ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，则1214k k =-， 由正弦定理得sin 2cos sin PA PBAPAB PB PAB∠==∠∠， 又22tan tan tan 21tan PABPBA PAB PAB∠∠=∠=-∠，则122121k k k -=-， 联立解得2119k =，即22211cos tan 9cos PAB PAB PAB -∠=∠=∠，所以cos PAB ∠=，即5PA PB =， 【法二】设()00,P x y ，则00tan 2y PAB x ∠=+，00tan 2y PBA x ∠=--， 0000200022102tan tan 221312y y x PBA PAB PBA PAB x x y x +∠=∠⇒-=∠=∠=⇒=-⎛⎫- ⎪+⎝⎭，20144169y =5PAPB==二．多选题9．【答案】AB对于选项A ：由题意可知2a =，1c ===，∴离心率12c e a ==，故选项A 错误， 对于选项B ：由椭圆的定义1224PF PF a +==，1222F F c ==， ∴12PF F △的周长为426+=，故选项B 错误，对于选项C ：当点P 为椭圆短轴端点时，12tan23F PF c b ∠==， 又∵120902F PF ∠︒<<︒，∴12302F PF∠=︒，即1260F PF ∠=︒， ∴1290F PF ∠<︒，故选项C 正确， 对于选项D ：由椭圆的几何性质可知1a c PF a c -≤≤+，∴113PF ≤≤，故选项D 正确．10．【答案】BC【解析】()2254,39P x y x y ⎛⎫⇒=+-= ⎪⎝⎭对于A ，7233d R -=>=，所以直线与圆相离，不存在点P ； 对于B ，5232553d R -==<=，所以直线与圆相交，存在点P ； 对于C ，121252133C C R R ==+=+，所以两圆外切，存在点P ；对于D ，()()22121221116433x y C C R R -++=⇒=<-=-，所以两圆内含，不存在点P ． 11．【答案】ACD【解析】212a PF PF =⋅==对于A ，用x -代x 得222x y c ++=y 轴对称，用y -代y 得222x y c ++=x 轴对称，用x -代x ，y -代y 得222x y c ++=所以曲线C 既是中心对称图形，又是轴对称图形，所以A 正确；对于B ，当0a >时，122PF PF a +≥=，当0a =时，显然P 与1F 或2F 重合，此时122PF PF c +=，所以B 错误； 对于C ，根据对称性可得，曲线E 与x 轴可能有三个交点，所以C 正确； 对于D ，若存在点P ，使得12PF PF ⊥，则12PF PF ⊥，因为()1,PF c x y =---，()2,PF c x y =--，所以222x y c +=，由222x y c ++=22c =222c a ≥，所以D 正确．三．填空题12．【答案】2212x y -= 【解析】设所求双曲线方程为()2202x y λλ-=≠，将点代入双曲线方程得121λ=-=-，故方程为2212x y -=．13．【答案】6【解析】设A 、B 两点横坐标分别为1x ，2x ， 线段AB 中点的横坐标为2，则1222x x +=，故12426AB x x p =++=+=． 14．【答案】57【解析】由抛物线方程得()2,0F ，准线方程为2x =-， 又点()5,4P ，则25c PF ==，在抛物线上取点H ，过H 作HG 垂直直线2x =-，交直线2x =-于点G ， 过P 作PM 垂直直线1x =-，交直线1x =-于点M ，由椭圆和抛物线定义得()2527a HF HP HG HP PM =+=+≥=--=，故椭圆离心率2527c e a =≤．四．解答题15．【解析】（1）由12l l ⊥，则20a a +=，解得0a =．（2）由12l l ∥得22244a a ⎧=⎨-≠-⎩，解得1a =-，直线2l 的方程为220x y -+-=，即220x y -+=， 直线1l 的方程为220x y --=， 因此，1l 与2l 之间的距离为d ==． 16．【解析】（1）设(),P x y ，则()()41,21,2PA PB x y x y =⋅=--⋅----，故轨迹方程为229x y +=． （2）假设点O 到MN 的距离为m ，到RS 的距离为n，则12S MN RS == 因为MN RS ⊥，所以224m n +=，所以)204S m ==≤≤，所以S ⎡⎤∈⎣⎦，所以四边形MRNS 面积的最大值14，最小值17．【解析】（1） 222249253a b a b e ⎧-=⎧=⎪⎪⇒⇒⎨⎨=⎪==⎩⎪⎩椭圆22:195x y E += （2）设()33,A x y '，矩形ABCD 与矩形A B C D ''''的面积相等 ∴331144x y x y =，即22221133x y x y=∵A ，A '均在椭圆上，∴22223113515199x x x x ⎛⎫⎛⎫⨯-=⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即22139x x +=，222231135151599x x y y ⎛⎫⎛⎫+=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 故()()()()()22222222222212113313131314t t x y x y x x x x y y +=+++=+=+++=为定值． 18．【解析】（1）将四个点带入抛物线方程解得12p =-，12，2，12，故抛物线E 方程为2y x =故(1P -，)31P -为椭圆上的点22222242186141a a b b a b ⎧+=⎪⎧=⎪⎪⇒⇒⇒⎨⎨=⎪⎩⎪+=⎪⎩椭圆C 方程22184x y += （2）设()12,A x x ，()22,B x y ，则1222123303x my y y m y my y y y x =++=⎧⎧⇒--=⇒⎨⎨=-=⎩⎩()()()121222212121212666136212my my m y y m m m k k y y y y y y ++++=+=++=-为定值． 19．【解析】（1）因为点()2,3在双曲线C 上，所以22222312a a -=+，整理得42780a a +-=， 即()()22180a a -+=，解得21a =，则双曲线C 的方程为2213y x -=； （2）（ⅰ）易知直线l 的方程为112y k x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，即112y kx k =+-， 联立2211213y kx k y x ⎧=+-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，消去y 并整理得()()222132404k x k k x k k ⎛⎫-+---+= ⎪⎝⎭， 设()11,M x y ，()22,N x y ，因为直线l 与双曲线的右支有两个不同的交点M ，N ， 所以关于x 的方程()()222132404kxk k x k k ⎛⎫-+---+= ⎪⎝⎭有两个不同的正数根1x ，2x ，()()()()()()()()()22222222212434033416043202301303404k k k k k k k k k k k k k k k k k ⎧⎛⎫-+--+> ⎪⎪⎧-+->⎝⎭⎪⎪⎪⎪--<⇒-->⎨⎨⎪⎪-<⎛⎫⎪⎪⎩---+> ⎪⎪⎝⎭⎩，解得k ∈⎝则斜率k的取值范围为⎝； （ⅱ）设()00,H x y ，由（ⅰ）得()()12222233k k k k x x k k --+=-=--，()222122221144416443343k k k k k k x x k k k ⎛⎫--+-+ ⎪-+⎝⎭===---， 因为1112x a ≥=>，2112x a ≥=>，()()01020x x x x --<， 又P ，M ，N ，H 在同一直线l 上，所以111222112122112122x x PM x PN x x x ---===---，0120MH x x HN x x -=-， 由PM MH PN HN=得0112202121x x x x x x --=--，即()()()()1202012121x x x x x x --=--， 化简得()()()1201212214x x x x x x x +-=-+，所以()()202222241621333k k k k k k x k k k --⎛⎫-+-=- ⎪---⎝⎭， 整理得()()()2202234162k k k x k k k k --+=-+--，解得0832kx k -=-，即003821x k x -=- 又点()00,H x y 在直线112y k x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭上，所以()001136911223264k k y k x k k +⎛⎫=-+=+= ⎪--⎝⎭ 即00000386921386421x x y x x -+⋅-=--⋅-，故点H 恒在定直线3260x y --=上．。

2024—2025学年度第一学期期中考试高二数学试题（A ）（答案在最后）注意事项：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时问120分钟.2.答题前，考生务必将姓名、班级等个人信息填写在答题卡指定位置.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑：非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签宇笔在答题卡上各题的答题区域内作答.超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.下列选项中，与直线:571l x y +=平行的直线是（）A.10142x y += B.570x y -= C.750x y -= D.15211x y +=2.已知椭圆C ：2219x y m+=，“34m =”是“点()0,5为C 的一个焦点”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.已知曲线2216x y +=，从曲线上任意一点P 向y 轴作垂线，垂足为P'，且14PN PP'=，则点N 的轨迹方程为（）A.221169x y +=B.221916x y += C.22116x y += D.22116y x +=4.已知不全为零的实数a 、b 、c 满足2a c b +=，则直线:20l ax by c -+=被圆225x y +=所截得的线段长的最小值为（）A.B. C.D.5.已知椭圆C ：221x y m n +=的一个焦点为()7,0，且C 过点()0,24A ，则m n +=（）A.10B.49C.50D.12016.已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点为()6,0F ，点()6,5P 在C 上，则C 的离心率为（）A.32 B.23C.65D.567.直线l ：60x ay --=与圆22124360x y x y +---=的公共点个数为（）A.0B.1C.2D.1或28.已知椭圆C ：221x y m n+=（0m >，0n >）的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 是C 上一点，直线1PF ，2PF 的斜率分别为12，2-，且12PF F 是面积为4的直角三角形.则C 的方程为（）A.221169x y += B.22116x y += C.22194x y += D.221259x y +=二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.用一个平面去截一个圆柱的侧面，可以得到以下哪些图形（）A .两条平行直线B.两条相交直线C.圆D.椭圆10.设抛物线C ：214y x =的准线为l ，点P 为C 上的动点，过点P 作圆A ：228150x y x +-+=的一条切线，切点为Q ，过点P 作l 的垂线，垂足为B .则（）A.l 与圆A 相交B.当点P ，A ，B 共线时，PQ =C.2PB =时，PAB 的面积为2或6D.满足PA PB =的点P 恰有2个11.已知12,F F 分别为双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左､右焦点，过2F 的直线l 与圆222:O x y a +=相切于点M ，l 与第二象限内的渐近线交于点Q ，则（）A.双曲线C 的离心率e >B.若22::OF MF OQ QM =，则C 的渐近线方程为3y x =±C.若1MF =，则C 的渐近线方程为y =D.若224QF MF =，则C 的渐近线方程为2y x=±三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知圆2222340x y x y λ++--=与x 轴相切，则λ=__________.13.已知抛物线C ：2y ax =的焦点F 恰为圆222240x y y +--=的圆心，点P 是C 与圆的一个交点，则点P 到直线OF 的距离为__________，点F 到直线OP 的距离为__________.14.已知曲线C 是椭圆2211612x y +=被双曲线2213y x -=（0x >）所截得的部分（含端点），点P 是C 上一点，()2,0A -，()2,0B ，则PA PB -的最大值与最小值的比值是__________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.著名古希腊数学家阿基米德首次用“逼近法”的思想得到了椭圆的面积公式πS ab =，（a ，b 分别为椭圆的长半轴长和短半轴长）为后续微积分的开拓奠定了基础，已知椭圆C ：2211216x y +=.（1）求C 的面积；（2）若直线l ：2y x =+交C 于A ，B 两点，求AB .16.已知椭圆C ：2212x y +=上的左、右焦点分别为1F ，2F ，直线y x m =+与C 交于,A B 两点，若1F AB面积是2F AB 面积的3倍，求m 的值.17.已知椭圆C ：221925x y +=，直线l 过原点，且与C 相交于A ，B 两点，并与点()0,4D 构成三角形.（1）求ABD △的周长的取值范围：（2）求ABD △的面积S 的最大值.18.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的离心率为32，点31,2A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在椭圆E 上．（1）求椭圆E 的方程；（2）已知椭圆E 的右顶点为B ，过B 作直线l 与椭圆E 交于另一点C ，且||||7BC AB =，求直线l 的方程．19.若平面内的曲线C 与某正方形A 四条边的所在直线均相切，则称曲线C 为正方形A 的一条“切曲线”，正方形A 为曲线C 的一个“切立方”.（1）圆221x y +=的一个“切立方”A 的其中一条边所在直线的斜率是1，求这个“切立方”A 四条边所在直线的方程：（2）已知正方形A 的方程为2x y +=，且正方形A 为双曲线22221x y a b-=的一个“切立方”，求该双曲线的离心率e 的取值范围；（3）设函数312y x x =-的图象为曲线C ，试问曲线C 是否存在切立方，并说明理由.2024—2025学年度第一学期期中考试高二数学试题（A ）注意事项：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时问120分钟.2.答题前，考生务必将姓名、班级等个人信息填写在答题卡指定位置.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑：非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签宇笔在答题卡上各题的答题区域内作答.超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.下列选项中，与直线:571l x y +=平行的直线是（）A.10142x y +=B.570x y -= C.750x y -= D.15211x y +=【答案】D 【解析】【分析】先将直线方程化为一般式方程，然后判断12210A B A B -=是否成立，注意分析重合情况.【详解】:571:5710l x y l x y +=⇔+-=，对于A ：101425710x y x y +=⇔+-=，可知两直线重合，不符合；对于B ：()57750⨯--⨯≠，所以不平行，不符合；对于C ：()55770⨯--⨯≠，所以不平行，不符合；对于D ：5217150⨯-⨯=，1152115703x y x y +=⇔+-=，且113-≠-，所以两直线平行，符合；故选：D.2.已知椭圆C ：2219x y m+=，“34m =”是“点()0,5为C 的一个焦点”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】利用椭圆几何性质，根据焦点坐标与9,m 之间的关系式可得结论.【详解】若34m =可得221934x y +=得一个焦点坐标为()0,5，即充分性成立；若“点()0,5为C 的一个焦点”，则可得295m -=，即34m =，可知必要性成立，因此，“34m =”是“点()0,5为C 的一个焦点”的充要条件.故选：C3.已知曲线2216x y +=，从曲线上任意一点P 向y 轴作垂线，垂足为P'，且14PN PP'=，则点N 的轨迹方程为（）A.221169x y += B.221916x y += C.22116x y += D.22116y x +=【答案】B 【解析】【分析】由向量找到三点的关系，设所求点N 的坐标，由三点关系得到P 的坐标，然后代入曲线2216x y +=，得到点N 的轨迹方程.【详解】∵14PN PP'= ，∴,,'P N P 三点共线，且3''4P N PP =又∵'PP y ⊥轴，∴设(),N x y ，则()'0,P y ，4,3P x y ⎛⎫⎪⎝⎭，∵点P 在2216x y +=上，∴224163x y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即221916x y +=.故选：B.4.已知不全为零的实数a 、b 、c 满足2a c b +=，则直线:20l ax by c -+=被圆225x y +=所截得的线段长的最小值为（）A.B. C.D.【答案】B【解析】【分析】求出直线l 所过定点A 的坐标，分析可知，当OA l ⊥时，圆心到直线l 的距离最大，此时，直线l 截圆所得弦长最小，结合勾股定理即可得解.【详解】因为不全为零的实数a 、b 、c 满足2a c b +=，则直线:20l ax by c -+=的方程可化为()0ax a c y c -++=，即()()10a x y c y -+-=，由010x y y -=⎧⎨-=⎩可得1x y ==，即直线l 过定点()1,1A ，因为22115+<，即点A 在圆内，圆225x y +=的圆心为原点O ，半径为r =，当OA l ⊥时，圆心到l 的距离取最大值，且最大值为OA ==，所以，直线l 被圆截得的弦长的最小值为==故选：B.5.已知椭圆C ：221x y m n +=的一个焦点为()7,0，且C 过点()0,24A ，则m n +=（）A.10B.49C.50D.1201【答案】D 【解析】【分析】由条件知椭圆的焦点在x 轴上，半焦距长7c =，短半轴长24b =，根据,,a b c 的关系，可求,m n .【详解】椭圆C ：221x y m n +=的一个焦点为()7,0，过点()0,24A ，∴24924m n n -=⎧⎨=⎩，∴625576m n =⎧⎨=⎩，∴1201m n +=.故选：D.6.已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点为()6,0F ，点()6,5P 在C 上，则C 的离心率为（）A.32 B.23C.65D.56【答案】A 【解析】【分析】由已知列方程组求得,a b ，再由离心率公式计算．【详解】点()6,5P 在C 上，右焦点为()6,0F ，0,0a b >>，则22223625136a ba b ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩，解得4a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以离心率为6342c e a ===，故选：A ．7.直线l ：60x ay --=与圆22124360x y x y +---=的公共点个数为（）A.0 B.1 C.2D.1或2【答案】C 【解析】【分析】利用直线恒过定点，且定点在圆的内部，即可得到结论.【详解】由22124360x y x y +---=整理得：()()226276x y -+-=，可知圆22124360x y x y +---=圆心坐标为()6,2，半径为r =，再由直线l ：60x ay --=恒过点()6,0，由圆心()6,2到点()6,0的距离为2，可知2<所以点()6,0在圆的内部，即直线l 与圆一定有两个交点.故选：C.8.已知椭圆C ：221x y m n+=（0m >，0n >）的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 是C 上一点，直线1PF ，2PF 的斜率分别为12，2-，且12PF F 是面积为4的直角三角形.则C 的方程为（）A.221169x y += B.22116x y += C.22194x y += D.221259x y +=【答案】C 【解析】【分析】由直线斜率的关系得到两直线垂直，且知道直角三角形中121tan 2PF F ∠=，得到122PF PF =，由面积求出12,PF PF 的值，由椭圆定义和椭圆的性质求出,m n 的值，得到椭圆方程.【详解】∵121PF PF k k ⨯=-，∴12π2F PF ∠=，∵12112PF PF k PF ==，∴设112,PF n PF n ==，则12212112422PF F S PF PF n n n ==⋅== ，∴2n =，∴126PF PF =+=，∴9m =，∵122c F F ===，∵c ==∴4n =，∴椭圆方程为：22194x y +=.故选：C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.用一个平面去截一个圆柱的侧面，可以得到以下哪些图形（）A.两条平行直线B.两条相交直线C.圆D.椭圆【答案】CD 【解析】【分析】分平面与底面平行和平面与底面的夹角为锐角两种情况，得到图形为圆和椭圆.【详解】一个平面去截一个圆柱的侧面，若平面与底面平行，则得到的图形为圆，若平面与底面的夹角为锐角时，可以得到的图形为椭圆.故选：CD10.设抛物线C ：214y x =的准线为l ，点P 为C 上的动点，过点P 作圆A ：228150x y x +-+=的一条切线，切点为Q ，过点P 作l 的垂线，垂足为B .则（）A.l 与圆A 相交B.当点P ，A ，B共线时，PQ =C.2PB =时，PAB 的面积为2或6D.满足PA PB =的点P 恰有2个【答案】BCD 【解析】【分析】对于A ，由抛物线与圆的方程，可得准线方程与圆心半径，根据直线与圆的位置关系，可得答案；对于B ，由题意作图，求得点的坐标，根据圆的切线性质与勾股定理，可得答案；对于C ，根据抛物线的性质求得点的坐标，利用分类讨论，结合图象，可得答案；对于D ，根据抛物线的性质，求得固定线段的中垂线，联立方程求交点，可得答案.【详解】对于A ，由抛物线21:4C y x =，即24x y =，则准线:1l y =-，由圆22:8150A x y x +-+=整理可得()2241x y -+=，则圆心()4,0A ，半径=1，由圆心A 到直线=−1的距离为1r =，则圆A 与直线l 相切，故A 错误；对于B ，由题意作图如下：由,,P A B 共线，且()4,0A ，当4x =时，21444y =⨯=，则()4,4P ，()4,1B -，4PA =，PQ ===，故B 正确；对于C ，由2PB =，则令1y =，2114x =，解得2x =±，当()2,1P 时，PAB 的高为422-=，面积为1222PB ⨯⨯=，如下图：当()2,1P -时，PAB 的高为()426--=，面积为1662PB ⨯⨯=，如下图：故C 正确；对于D ，由题意可作图如下：.由抛物线21:4C y x =整理可得24x y =，则其焦点()0,1F ，易知PF PB =，由直线AF 的斜率011404k -==--，线段AF 中点12,2⎛⎫⎪⎝⎭，则线段AF 的中垂线方程为()1422y x -=-，整理可得1542y x =-，联立2154214y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，消y 可得216300x x -+=，()2164301360∆=--⨯=>，所以线段AF 的中垂线与抛物线存在两个交点，故D 正确.故选：BCD.11.已知12,F F 分别为双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左､右焦点，过2F 的直线l 与圆222:O x y a +=相切于点M ，l 与第二象限内的渐近线交于点Q ，则（）A.双曲线C 的离心率2e >B.若22::OF MF OQ QM =，则C 的渐近线方程为33y x =±C.若16MF OM =，则C 的渐近线方程为2y x=±D.若224QF MF =，则C 的渐近线方程为2y x=±【答案】AC 【解析】【分析】利用2tan a MF O b∠=可得l ak b =-，与渐近线斜率相比较即可构造不等式求得离心率e ，知A 正确；根据斜率关系可知直线OM 为双曲线C 的一条渐近线，利用2cos QOF ∠可构造方程求得B 正确；分别利用1cos MOF ∠和cos QOF ∠可构造方程求得CD 正误.【详解】对于A ，2OM MF ⊥ ，2OF c =，OM a =，2MF b ∴==，2tan a MF O b ∴∠=，l ak b∴=-，又l 与第二象限内的渐近线交于点Q ，a bb a ∴->-，即2222a bc a <=-，222c a ∴>，c e a∴=>，A 正确；对于B ，由A 知：l ak b =-，又2OM MF ⊥，OM b k a∴=，∴直线OM 即为双曲线C 的一条渐近线，22::OF MF OQ QM = ，::OQ QM c b ∴=，又222OQ QM a -=，OQ c ∴=，QM b =，2222222242cos 2c c b c b QOF c c+--∴∠==，2tan b QOF a ∠=- ，2cos a QOF c ∴∠=-，2222c b ac c -∴=-2222c b a c c-∴=-，整理可得：()2222222c b c c a ac -=--=-，2220c ac a ∴--=，()()22210e e e e ∴--=-+=，2e ∴=，2=，解得：b a =C ∴的渐近线方程为y =，B 错误；对于C ，1MF == ，22222165cos 22a c a c a MOF ac ac +--∴∠==，12tan tan b MOF MOF a ∠=-∠=- ，1cos aMOF c∴∠=-，2252c a aac c -∴=-，整理可得：22252c a a -=-，即22223c a b a =+=，222b a ∴=，ba∴=，C ∴的渐近线方程为y =，C 正确；对于D ，2244QF MF b == ，3QM b ∴=，OQ ∴=22222222cos QOF ∴∠=，2tan b QOF a ∠=- ，2cos a QOF c ∴∠=-，222ac=-，整理可得：()()22222239a b a a b -=+，422915b a b ∴=，2253b a ∴=，3b a ∴=，C ∴的渐近线方程为3y x =±，D 错误.故选：AC.【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线离心率、渐近线的求解问题，解题关键是能够利用余弦定理和渐近线斜率构造关于,,a b c 的方程，进而求得双曲线的离心率和渐近线方程.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知圆2222340x y x y λ++--=与x 轴相切，则λ=__________.【答案】98-【解析】【分析】整理圆的方程为标准式，明确圆心与半径，由切线建立方程，可得答案.【详解】由圆的方程整理可得圆()2232514216x y λ⎛⎫++-=+ ⎪⎝⎭，则圆心3,14⎛⎫- ⎪⎝⎭，半径r =，由圆与x 1=，解得98-.故答案为：98-.13.已知抛物线C ：2y ax =的焦点F 恰为圆222240x y y +--=的圆心，点P 是C 与圆的一个交点，则点P 到直线OF 的距离为__________，点F 到直线OP 的距离为__________.【答案】①.4②.22【解析】【分析】由圆标准方程得到圆心，从而知道焦点F 坐标和a 的值，写出抛物线方程后联立方程组，解得P 点坐标，根据点到直线的距离公式求得结果.【详解】∵圆的标准方程：()22215x y +-=，∴圆心为0,1，半径=5r ，∴114a =，即14a =，即抛物线C ：24x y =，0,1联立方程组22242240x y x y y ⎧=⎪⎨⎪+--=⎩，解得4y =或y =-6（∵204xy =≥舍去）∴4x =±∴()4,4P 或()4,4P -∵直线OF 与y 轴重合，∴点P 到直线OF 的距离为4，由对称性可知，无论取哪个点P ，点F 到直线OP 的距离相等，∴取()4,4P ，直线:0OP x y -=，∴点F 到直线OP的距离2d ==，故答案为：①414.已知曲线C 是椭圆2211612x y +=被双曲线2213y x -=（0x >）所截得的部分（含端点），点P 是C 上一点，()2,0A -，()2,0B ，则PA PB -的最大值与最小值的比值是__________.【答案】2【解析】【分析】由椭圆的定义，可得焦半径的和，整理所求差值为函数，利用分类讨论并结合图象，可得答案.【详解】由椭圆2211612x y +=，则4,a b ==，2c =，易知,A B 为椭圆的左右焦点，由P 为椭圆上的点，则28PA PB a +==，可得8PB PA =-，所以28PA PB PA -=-，联立22221161213x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得2249x y ⎧=⎨=⎩，当()2,3P 时，PA5=，则PA PB -取得最小值2如下图：；当()4,0P 时，PA 取得最大值()426--=，则PA PB -取得最大值4，如下图：.所以PA PB -的最大值与最小值的比值为2.故答案为：2.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.著名古希腊数学家阿基米德首次用“逼近法”的思想得到了椭圆的面积公式πS ab =，（a ，b 分别为椭圆的长半轴长和短半轴长）为后续微积分的开拓奠定了基础，已知椭圆C ：2211216x y +=.（1）求C 的面积；（2）若直线l ：2y x =+交C 于A ，B 两点，求AB.【答案】（1）（2）487【解析】【分析】（1）由椭圆C 的方程可知,a b 的值，代入椭圆的面积公式即可；（2）联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理及弦长公式求解.【小问1详解】由椭圆C 的方程可知4a =，b =所以，椭圆C的面积πS ab ==；【小问2详解】联立22112162x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得2712360x x +-=，设1122()A x y B x y ,,(,)，则12127x x +=-，12367x x =-，∴122427x x -==，所以，122424877AB x =-==.16.已知椭圆C ：2212x y +=上的左、右焦点分别为1F ，2F ，直线y x m =+与C 交于,A B 两点，若1F AB面积是2F AB 面积的3倍，求m 的值.【答案】12-【解析】【分析】根据1F AB 与2F AB 同底不等高的特点将面积比表示为高之比，结合直线与椭圆联立后所得方程的判别式∆求解出m 的值.【详解】解：将直线y x m =+与椭圆联立2212y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 可得2234220x mx m ++-=，因为直线与椭圆相交于,A B 点，则()22Δ1643220m m =-⨯->，解得m <<，设1F 到AB 的距离为1d ，2F 到AB 的距离为2d ，易知1−1,0，21,0，则1d =，2d =所以12131F AB F ABS m S m-+===+ ，解得12m =-或2-(舍去)，故12m =-.17.已知椭圆C ：221925x y +=，直线l 过原点，且与C 相交于A ，B 两点，并与点()0,4D 构成三角形.（1）求ABD △的周长的取值范围：（2）求ABD △的面积S 的最大值.【答案】（1）[)16,20（2）12【解析】【分析】（1）由椭圆定义得到ABD △的周长为10AB +，设()3cos ,5sin A θθ，[)0,2πθ∈且π3π,22θ≠，求出[)6,10AB =，求出周长的取值范围；（2）表达出2ABD A B S x x =- ，结合06A B x x <-≤，得到面积的最大值.【小问1详解】由题可得5a =，3b =，则22216c a b =-=，故4c =，所以()0,4D 为椭圆的其中一个焦点，则另一个焦点坐标为()0,4E -，连接,AE BE ，由对称性可知，DB AE =，故210AD DB AD AE a +=+==，则ABD △的周长为10AB +，设()3cos ,5sin A θθ，[)0,2πθ∈，因为,,A B D 三点构成三角形，故,,A B D 不共线，所以π3π,22θ≠，故[)0,2πθ∈且π3π,22θ≠，则222229cos 25sin 2916sin AB AO θθθ==+=+因为[)2sin0,1θ∈，故[)22916sin 6,10AB θ=+，所以ABD △的周长[)1016,20AB +∈；【小问2详解】114222ABD AOD BOD A B A B A B S S S OD x x x x x x =+=⋅-=⨯⋅-=- ，,,A B D 不共线，故06A B x x <-≤，所以(]20,12ABD A B S x x =-∈ ，S 的最大值为12.18.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的离心率为32，点31,2A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在椭圆E 上．（1）求椭圆E 的方程；（2）已知椭圆E 的右顶点为B ，过B 作直线l 与椭圆E 交于另一点C ，且7||||7BC AB =，求直线l 的方程．【答案】（1）2214x y +=（252250x y --=【解析】【分析】（1）利用给的条件列方程求得,a b 的值，进而得到椭圆的标准方程；（2）联立圆与椭圆的方程，先求得点C 的坐标，进而得到表达式，再化简即可求得．【小问1详解】由题可知2c a =，其中222c a b =-，所以12b a =,又点1,2A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在椭圆E 上，所以221314a b+=，即22131a a +=，解得224,1a b ==，所以椭圆E 的方程为2214x y +=．【小问2详解】由椭圆E 的方程2214x y +=，得(2,0)B ，所以2AB ==，设()00,C x y ，其中00[2,2),[1,1]x y ∈-∈-，因为||||17BC AB ==，所以()220021x y -+=，又点()00,C x y 在椭圆22:14x E y +=上，所以220014x y +=，联立方程组()20022002114x y x y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩，得200316160x x -+=，解得043x =或04x =（舍），当043x =时，03y =±，即4,33C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或4,33C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭．所以当C的坐标为4,33⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭时，直线l20y +-=；当C的坐标为4,33⎛⎫-⎪⎪⎝⎭时，直线l20y --=．综上，直线l的方程为20y+-=20y--=.19.若平面内的曲线C与某正方形A四条边的所在直线均相切，则称曲线C为正方形A的一条“切曲线”，正方形A为曲线C的一个“切立方”.（1）圆221x y+=的一个“切立方”A的其中一条边所在直线的斜率是1，求这个“切立方”A四条边所在直线的方程：（2）已知正方形A的方程为2x y+=，且正方形A为双曲线22221x ya b-=的一个“切立方”，求该双曲线的离心率e的取值范围；（3）设函数312y x x=-的图象为曲线C，试问曲线C是否存在切立方，并说明理由.【答案】（1）y x=±，y x=-±（2）(（3）曲线C存在切立方，理由见解析【解析】【分析】（1）根据“切立方”的定义，结合图象，找到一个“切立方”A的四条边所在直线的方程即可；（2）根据“切立方”的定义，联立2x y+=与双曲线22221x ya b-=，由于相切，则∆=，根据0∆=，即可求出双曲线的离心率e的取值范围；（3）设第一个切点为()3111,12x x x-，则切线为()23113122y x x x=--，根据函数312y x x=-的图象关于原点对称和正方形对边平行，因此可设第二条切线为()23113122y x x x=-+，同理求出第三条和第四条切线，然后验证四条切线形成的图形是否为正方形即可.【小问1详解】根据“切立方”的定义，设直线方程y x m=+，y x n=-+可得1d==，m=，1d ==，n =y x =，y x =-±；【小问2详解】由正方形A 的方程为2x y +=，则2y x =±+，由正方形A 为双曲线22221x y a b-=的一个“切立方”，则222212x y a b y x ⎧-=⎪⎨⎪=±+⎩，联立整理得22222112110x x a b b b ⎛⎫-±--= ⎪⎝⎭，则422216114Δ410b a b b ⎛⎫⎛⎫=+-+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，整理得224b a =-，即2224c a =-，由图可知2a >，则()22222224421,2c a e a a a -===-∈，所以(e ∈【小问3详解】由曲线312y x x =-，设切点为()3111,12x x x -，联立()()311131212y x x k x x y x x ⎧--=-⎪⎨=-⎪⎩，得()()331111212x x x x k x x ---=-，即2211120x x x x k ++--=，点()3111,12x x x -在曲线和直线上，整理得21312k x =-，则过该点的一条切线方程为()()()32111112312y x x x x x --=--，即()23113122y x x x =--，由函数312y x x =-为奇函数，其图象关于原点对称，因此如果曲线C 是存在“切立方”，则正方形也关于原点对称，故与第一条边平行的正方形的另一条边所在直线为：()23113122y x x x =-+，设第三个切点为()3222,12x x x -（20x >），同理可得另两条切线为()33223122y x x x =-±，若存在正方形，即()()2212333123121x x ⎧--=-⎪⎪=由此可设()10,2x ∈，22x>，3310x -=，设()33f x x =，由()1.90f >，()1.950f <，且在()1.9,1.95x ∈上，函数图象连续不间断，则由零点存在性定理可知()0f x =在()1.9,1.95x ∈上有解，因此曲线C 存在切立方.【点睛】关键点点睛：本题的第三问的关键是采用设线法，再结合对称性和零点存在性定义即可证明.。

山东省实验中学2024～2025学年第一学期期中高二数学试题 2024.11（选择性必修—检测）说明：本试卷满分150分，分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为第1页至第2页，第Ⅱ卷为第3页至第4页.试题答案请用2B 铅笔或0.5mm 签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（共58分）一、单选题（本题包括8小题，每小题5分，共40分。

每小题只有一个选项符合题意）1.已知空间向量，，，若，，共面，则实数（ ）A.1B.2C.3D.42.“”是“直线与直线平行”的（ ）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.给出下列说法，其中不正确的是（）A.若，则，与空间中其它任何向量都不能构成空间的一个基底向量B.若，则点是线段的中点C.若，则，，，四点共面D.若平面，的法向量分别为，，且，则3.若三条直线，，不能围成三角形，则实数的取值最多有（ ）A.2个B.3个C.4个D.5个4.实数，满足，则的最小值为（ ）A. B.7C. D.36.若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）A.()1,2,0a = ()0,1,1b =- ()2,3,c m = a b cm =1m =-()1:2310l mx m y +++=2:30l x my ++=a b ∥a b c2PM PA PB =+M AB 2OA OB OC OD =+-A B C D αβ()12,1,1n =- ()21,,1n t =-αβ⊥3t =1:43l x y +=2:0l x y +=3:2l x my -=m x y 2222x y x y +=-3x y -+3+:20l kx y --=:1C x =-k k >5k <≤k <<1k <≤7.在三棱锥中，为的重心，，，，，，若交平面于点，且，则的最小值为（ ）A.B.C.1D.8.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上且位于第一象限，圆与线段的延长线，线段以及轴均相切，的内切圆为圆.若圆与圆外切，且圆与圆的面积之比为4，则的离心率为（ ）A.C.二.多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.）9.下列说法正确的是（）A.若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大B.圆与直线必有两个交点C.在轴、轴上的截距分别为，的直线方程为D.设，，若直线与线段有交点，则实数的取值范围是10.已知椭圆的离心率为，长轴长为6，，分别是椭圆的左、右焦点，是一个定点，是椭圆上的动点，则下列说法正确的是（ ）A.焦距为2B.椭圆的标准方程为P ABC -G ABC △PD PA λ= PE PB μ= 12PF PC =λ()0,1μ∈PG DEF M 12PM PG =λμ+122343()2222:10x y C a b a b+=>>1F 2F P C 1O 1F P 2PF x 12PF F △2O 1O 2O 1O 2O C 123522:4O x y +=10mx y m +--=x y a b 1x y a b+=()2,2A -()1,1B :10l ax y ++=AB a (]322⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭，，()2222:10x y E a b a b +=>>23F F '()1,1A P E E 22195x y +=C.D.的最大值为11.立体几何中有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数24，棱长为的半正多面体，它所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得的，下列结论正确的有（）A.平面B.，，，四点共面C.点到平面的距离为D.若为线段上的动点，则直线与直线所成角的余弦值范围为第Ⅱ卷（非选择题，共92分）三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分.）12.已知直线的倾斜角，则直线的斜率的取值范围为______.13.如图，已知点，，从点射出的光线经直线反射后再射到直线上，最后经直线反射后又回到点，则光线所经过的路程是______.14.杭州第19届亚运会的主会场——杭州奥体中心体育场，又称“大莲花”（如图1所示）.会场造型取意于杭州丝绸纹理与纺织体系，建筑体态源于钱塘江水的动态，其简笔画如图2所示.一同学初学简笔画，先AF '=PA PF +6AG ⊥BCDG A F C D B ACD E BC DE AF 12⎡⎢⎣l 2,43ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭l ()8,0A ()0,4B -()3,0P AB OB OB P画了一个椭圆与圆弧的线稿，如图3所示.若椭圆的方程为，下顶点为，为坐标原点，为圆上任意一点，满足，则点的坐标为______；若为椭圆上一动点，当取最大值时，点恰好有两个，则的取值范围为______.图1 图2 图3四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.（13分）已知两直线和的交点为.（1）直线过点且与直线平行，求直线的一般式方程；（2）圆过点且与相切于点，求圆的一般方程.16.（15分）已知椭圆，且过点.（1）求椭圆的方程；（2）若斜率为的直线与椭圆交于，两点，且点在第一象限，点，分别为椭圆的右顶点和上顶点，求四边形面积的最大值.17.（15分）在梯形中，，，，为的中点，线段与交于点（如图1）.将沿折起到位置，使得（如图2）.图1 图2（1）求证：平面平面；（2）线段上是否存在点，使得与平面的值；若不存在，请说明理由.E()222210x ya ba b+=>>10,2A⎛⎫-⎪⎝⎭O P C2PO PA=C Q QC Q a1:20l x y++=2:3210l x y-+=Pl P310x y++=lC()1,01l P C()2222:10x yC a ba b+=>>⎛⎝C12l C M N M A B CAMBN SABCD AB CD∥3BADπ∠=224AB AD CD===P AB AC DP O ACD△AC ACD'△D O OP'⊥D AC'⊥ABCPD'Q CQ BCD'PQPD'18.（17分）已知直线，半径为2的圆与相切，圆心在轴上且在直线的右上方.（1）求圆的方程；（2）直线与圆交于不同的，两点，且，求直线的斜率；（3）过点的直线与圆交于，两点（在轴上方），问在轴正半轴上是否存在定点，使得轴平分？若存在，请求出点的坐标：若不存在，请说明理由.19.（17分）已知点，是平面内不同的两点，若点满足（，且），则点的轨迹是以有序点对为“稳点”的-阿波罗尼斯圆.若点满足，则点的轨迹是以为“稳点”的-卡西尼卵形线.已知在平面直角坐标系中，，.（1）若以为“稳点”的-阿波罗尼斯圆的方程为，求，，的值；（2）在（1）的条件下，若点在以为“稳点”的5-卡西尼卵形线上，求（为原点）的取值范围；（3）卡西尼卵形线是中心对称图形，且只有1个对称中心，若，，求证：不存在实数，，使得以—阿波罗尼斯圆与—卡西尼卵形线都关于同一个点对称.:40l x ++=C l C x l C 2y kx =-C M N 120MCN ︒∠=2y kx =-()0,1M C A B A x y N y ANB ∠N A B P PAPBλ=0λ>1λ≠P (),A B λQ ()0QA QB μμ⋅=>Q (),A B μ()2,0A -()(),2B a b a ≠-(),A B λ221240x y x +-+=a b λQ (),A B OQ O 0b =λ=a μ(),A B μ山东省实验中学2024～2025学年第一学期期中高二数学试题参考答案 2024.11选择题1234567891011ABCBDDCCBDBCDABD填空题12..13.，.解答题15.【答案】（1）（2）.【详解】（1）直线与直线平行，故设直线为，……1分联立方程组，解得.直线和的交点.……3分又直线过点，则，解得，即直线的方程为.……5分（2）设所求圆的标准方程为，的斜率为，故直线的斜率为1，由题意可得，……8分解得，……11分故所求圆的方程为.(()1,-∞-+∞ ,20,3⎛⎫-⎪⎝⎭a >340x y ++=221140333x y x y +++-=l 310x y ++=l 130x y C ++=203210x y x y ++=⎧⎨-+=⎩11x y =-⎧⎨=-⎩∴1:20l x y ++=2:3210l x y -+=()1,1P --l P 1130C --+=14C =l 340x y ++=()()222x a y b r -+-=1:20l x y ++=1-CP ()()()()2222221110111a b r a b r b a ⎧--+--=⎪⎪-+-=⎨⎪+⎪=+⎩216162518a b r ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩2211256618x y ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化为一般式：.……13分16.【答案】（1）（2）【详解】（1）由椭圆，解得，……2分由椭圆过点，得，联立解得，，……4分所以椭圆的方程为.……5分（2）由题意可设，点在第一象限，，……6分设，，点，到直线的距离分别为，，由，消可得，，，……8分10分，，直线的一般式方程：，，，，……12分14分当时，有最大值为……15分17.【答案】（1）证明见解析（2）存在，【详解】（1）证明：在梯形中，，22114333x y x y+++-=2214xy+=2222:1x yCa b+==2a b= C⎛⎝221314a b+=2a=1b=C2214xy+=1:2l y x m=+M11m∴-<<()11,M x y()22,N x y A B l1d2d221412xyy x m⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩y222220x mx m++-=122x x m∴+=-21222x x m=-MN∴===()2,0A()0,1B l220x y m-+=1d∴=2d=12d d∴+=()121122AMN BMNS S S MN d d∴=+=⋅+==△△m=S13ABCD AB CD∥，，为的中点，，，，……1分是正三角形，四边形为菱形，，，……3分，，又，，平面，平面，……5分平面，平面平面.……6分（2）存在，，理由如下：……8分平面，，，，两两互相垂直，如图，以点为坐标原点，，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系.则，，，，，，设平面的一个法向量为，则，即，令，则，，，……11分设，，，， (12)分设与平面所成角为，则，即，，解得，224AB AD CD ===3BAD π∠=P AB CD PB ∴∥CD PB =BC DP =ADP ∴△DPBC AC BC ∴⊥AC DP ⊥AC D O ⊥' D O OP '⊥AC OP O = AC OP ⊂ABC D O ∴'⊥ABC D O ⊂' D AC '∴D AC '⊥ABC 13PQ PD '=D O ⊥' BAC OP AC ⊥OA ∴OP OD 'O OA OP OD 'x y z ()C ()2,0B ()0,0,1D '()0,1,0P )2,1BD ∴'=- )CD '=CBD '(),,n x y z =00n BD n CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩'' 200y z z -+=+=⎪⎩1x =0y =z =(1,0,n ∴=()01PQ PD λλ'=≤≤)CP =()0,1,1PD =-'),CQ CP PQ CP PD λλλ∴=+=+=- CQ BCD 'θsin cos ,CQ n CQ n CQ n θ⋅====23720λλ-+=01λ≤≤ 13λ=线段上存在点，且，使得与平面……15分18.【答案】（1）（2）（3）【详解】（1）设圆心，则，……2分解得或（舍），故圆的方程为.……4分（2）由题意可知圆心到直线的距离为，……6分，解得.……8分（3）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，，由得，……10分，……12分若轴平分，则，即，即，即，即，即，……14分当时，上式恒成立，即；……15分当直线的斜率不存在或斜率为0时，易知满足题意；综上，当点的坐标为时，轴平分.……17分19.【答案】（1），，（2）（3）证明见解析【详解】（1）因为以为“稳点”的—阿波罗尼斯圆的方程为，设是该圆上任意一点，则，……1分所以，……3分∴PD 'Q 13PQ PD '=CQ BCD '224x y +=k =()0,4N ()(),04C a a >-422a +=0a =8a =-C 224x y +=C 2y kx =-2sin 301︒=1=k =AB AB ()10y kx k =+≠()()0,0N t t >()11,A x y ()22,B x y 224,1x y y kx ⎧+=⎨=+⎩()221230k x kx ++-=12221k x x k -∴+=+12231x x k -=+y ANB ∠AN BN k k =-12120y t y t x x --+=1212110kx t kx tx x +-+-+=()()1212210kx x t x x +-+=()()22126011t k k k k -⨯--+=++40k kt -+=4t =()0,4N AB ()0,4N N ()0,4y ANB ∠2a =0b =λ=[]1,3(),A B λ221240x y x +-+=(),P x y 22124x y x +=-()()()()22222222222222244162212224PA x y x y x x x y ax by a b a x by a bx a y b PB+++++===+--++--+-+-+-因为为常数，所以，，且，……5分所以，，.……6分（2）解：由（1）知，，设，由，所以，……7分，整理得，即，所以，……9分，……10分由，得，即的取值范围是.……12分（3）证明：若，则以—阿波罗尼斯圆的方程为，整理得，该圆关于点对称.……15分由点，关于点对称及，可得—卡西尼卵形线关于点对称，令，解得，与矛盾，所以不存在实数，，使得以—阿波罗尼斯圆与—卡西尼卵形线都关于同一个点对称……17分22PA PB2λ2240a b -+=0b =2a ≠-2a =0b =λ==()2,0A -()2,0B (),Q x y 5QA QB ⋅=5=()222242516x y x ++=+2240y x =--≥42890x x --≤()()22190x x +-≤209x ≤≤OQ ==209x ≤≤13OQ ≤≤OQ []1,30b =(),A B ()()222222x y x a y ⎡⎤++=-+⎣⎦()22244240x y a x a +-++-=()22,0a +()2,0A -(),0B a 2,02a -⎛⎫⎪⎝⎭QA QB μ⋅=μ2,02a -⎛⎫⎪⎝⎭2222a a -+=2a =-2a ≠=-a μ(),A B μ。

厦门六中2023-2024学年第一学期高二期中考试数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，只有一项符合题目要求，每小题5分，共40分）1.两条平行直线1l ：3450x y +-=与2l：6850x y +-=之间的距离是（）A.0B.2C.1D.122.焦点在y 轴上，且长轴长与短轴长之比为2:1，焦距为）A.2214x y += B.2212x y += C.2212y x += D.2214y x +=3.从M(0，2，1)出发的光线，经平面xOy 反射后到达点N(2，0，2)，则光线所行走的路程为()A.3B.4C.D.4.已知椭圆2211612x y +=上一点M 到左焦点1F 的距离为6，N 是1MF 的中点，则ON =（）．A.1B.2C.3D.45.已知O 为空间任意一点，,,,A B C P 满足任意三点不共线，但四点共面，且BP mOA OB OC =++，则m 的值为（）A.1- B.2C.2- D.3-6.在ABC 中，(2,0),(2,0),(,)B C A x y -，给出ABC 满足的条件，就能得到动点A 的轨迹方程，下表给出了一些条件及方程：条件方程①ABC 周长为1021:25C y =②ABC 面积为10222:4(0)C x y y +=≠③ABC 中，90A ∠=︒223:1(0)95x y C y +=≠则满足条件①、②、③的点A 轨迹方程按顺序分别是（）A.3C 、1C 、2C B.2C 、1C 、3C C.1C 、3C 、2C D.3C 、2C 、1C 7.已知点(2,0)A -，点(4,0)B ，点P 在圆22(3)(4)20x y -+-=上，则使得PA PB ⊥的点P 的个数为（）A.0B.1C.2D.38.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，点1F ，2F 是椭圆的左、右焦点，点A 是椭圆上一点，12AF F △的内切圆的圆心为M ，若12320MF MF MA ++=，则椭圆的离心率为（）A.15B.14C.13D.12二、多项选择题（本大题共4小题，每题全部选对得5分，选对但不全的得2分，有错选的得0分，共20分）9.已知直线l 的倾斜角为120︒，且直线l 经过点(1,2)-，则下列结论中正确的是（）A.直线l 的一个方向向量为a =B.直线l 在x 轴上的截距等于3C.直线l 与直线0x -=垂直D.点(1,0)-到直线l 上的点的最短距离是110.在空间直角坐标系O xyz -中，O 是坐标原点，()0,1,0A ，()1,2,1B -，()1,3,1C -，下列选项中，正确的有（）A.AB BC ⊥B.平面ABC 的一个法向量是()1,0,1 C.ABC 的面积是322D.点O 到直线AB 的距离是6311.已知椭圆C ：221259x y +=，1F ，2F 分别为它的左右焦点，若点P 是椭圆上异于长轴端点的一个动点，()1,1M ，下列结论中正确的有（）A.12F PF △的周长为15B.过椭圆C 上一点94,5⎛⎫ ⎪⎝⎭的切线方程为45250x y +-=C.1PM PF +的最大值为12D.若M 是直线l 与椭圆C 相交弦AB 的中点，则l 方程为：925340x y +-=12.已知圆22:(1)(2)2C x y -+-=，点M 是直线:1l y x =--上的动点，过点M 作圆C 的两条切线，切点分别为,A B ，则下列说法正确的是（）A.四边形ACBM 面积的最小值为B.ACB ∠的最小值为120︒C.若PQ 是圆C 的一条直径，则MP MQ ⋅的最小值为7D.直线AB 恒过定点13,22⎛⎫⎪⎝⎭三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知方程22153x y k k +=+-表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围为________．14.已知点M 在椭圆221189x y +=上运动，点N 在圆22(3)1x y -+=上运动，则MN 的最大值为__________．15.已知“经过点()000P x y z ，，且法向量为()e A B C =，，的平面的方程是A （x ﹣0x ）+B （y ﹣0y ）+C （z ﹣0z ）＝0”．现知道平面α的方程为x 2z 1+=，则过()1,2,3M 与()3,2,4N 的直线与平面α所成角的余弦值是16.古希腊数学家阿波罗尼奥斯发现：平面上到两定点A ，B 距离之比()0,1λλλ>≠是常数的点的轨迹是一个圆心在直线以AB 上的圆，该圆简称为阿氏圆．根据以上信息，解决下面的问题：在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是正方体的表面11ADD A （包括边界）上的动点，若动点P 满足2PA PD =，则点P 所形成的阿氏圆的半径为______；三棱锥P ACD -体积的最大值是______．四、解答题：共70分．解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.如图，已知平行四边形ABCD 的三个顶点的坐标为()1,4A -，()2,1B --，()2,3C .（1）求平行四边形ABCD 的顶点D 的坐标；（2）在ACD 中，求CD 边上的高线所在直线方程.18.已知圆心为C 的圆经过()0,3A ，()1,2B 两点，且圆心C 在直线:0l x y +=上．（1）求圆C 的标准方程；（2）求与直线AB 平行且与圆C 相切的直线方程．19.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，点D 是1BC 的中点，1AC =，12BC CC ==，190∠=︒ACC ，160∠=∠=︒ACB BCC ，设CA a = ，CB b = ，1CC c =.（1）用a ，b ，c 表示AB ，1A D；（2）求异面直线AB 与1A D 所成角的余弦值.20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点为(2,0)A -，焦距为2．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点A 的直线l 与椭圆C 的另一个交点为点M ，与圆22:4O x y +=的另一个交点为点N ，是否存在直线l 使得||||AM MN =？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．21.如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB =，AF t =，M 是线段EF 的中点.（1）若1t =，求二面角A DF B --的大小；（2）若线段AC 上总存在一点P ，使得PF BE ⊥，求t 的最大值.22.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的焦距为2c ，左、右焦点分别是1F ，2F ，其离心率为2，圆221:()1F x c y ++=与圆222:()9F x c y -+=相交，两圆交点在椭圆E 上．（1）求椭圆E 的方程；（2）过x 轴上一点()1,0F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，过A ，B 分别作直线2:l x a =的垂线，垂足为M ，N 两点，证明：直线AN ，BM 交于一定点，并求出该定点坐标．厦门六中2023-2024学年第一学期高二期中考试数学试卷答案1.D 【分析】根据平行直线间的距离公式求解即可.【详解】直线1l ：3450x y +-=即68100x y +-=，故1l 与2l ：6850x y +-=的距离为12d ==.2.D 【分析】根据椭圆的标准方程，结合题干列出方程，即可.【详解】因为焦点在y 轴上，故设椭圆方程为22221y xa b +=，则222232c a b ⎛=-== ⎝⎭，且2a b =，解得：224,1a b ==，所以椭圆的标准方程为2214y x +=.3.C 【分析】由对称性先求出M(0，2，1)关于平面xOy 的对称点()0,2,1P -，然后利用空间两点间的距离公式计算即可．【详解】由对称性M(0，2，1)关于平面xOy 的对称点()0,2,1P -,则光线所走过的路程为PN ==，故选C ．【点睛】本题主要考查对称性及空间两点间的距离公式，属基础题．4.A 【分析】由椭圆的定义得22MF =，进而根据中位线定理得2112ON MF ==.【详解】解：由椭圆方程2211612x y +=得2222216,12,4a b c ab ===-=，即4,2a bc ===，因为由椭圆的定义得1228MF MF a +==，16MF =，所以22MF =，因为N 是1MF 的中点，O 是12F F 的中点，所以2112ON MF ==.5.C 【分析】借助空间向量的线性运算及四点共面的充要条件即可判断选项.【详解】因为O 为空间任意一点，BP mOA OB OC =++，所以OP OB mOA OB OC -=++，所以2OP mOA OB OC =++，因为A ，B ，C ，P 满足任意三点不共线，但四点共面，所以211m ++=，解得2m =-．6.A 【分析】题目中给出了ABC 的两个顶点B 、C 的坐标，当给出周长时，可得到A 到B 、C 两点的距离和为定值，且定值大于BC 的距离，可知A 的轨迹为椭圆除去x 轴上的两点；当ABC 的面积为定值10时，可得A 到x 轴的距离为定值5，从而可得A 的轨迹是两条直线；当ABC 中，90A ∠=︒时，可知A 到原点的距离为定值2，从而得到A 的轨迹是圆除去与x 轴的两个交点．【详解】解：如图，在平面直角坐标系中(2,0)B - ，(2,0)C ．若①ABC 周长为10，则||||64||AB AC BC +=>=，A ∴的轨迹为以B 、C 为焦点，长轴长为6的椭圆，方程为：221(0)95x y y +=≠；若②ABC 面积为10，设A 到BC 所在直线距离为d ，则1||102BC d ⨯⨯=，即14102d ⨯=，5d =．||5y ∴=，225y =．A ∴的轨迹方程为：225y =；若③ABC 中，90A ∠=︒，则||2OA =，即2=，224()0x y y +=≠．∴满足条件①、②、③的点A 轨迹方程按顺序分别是3C 、1C 、2C ．7.C 【分析】利用PA PB ⊥求出点P 的轨迹方程为22(1)9x y -+=，再根据圆心距与两圆的半径的和的大小关系可得两圆相交，从而可得结果.【详解】因为点(2,0)A -，点(4,0)B ，且PA PB ⊥，所以点P 的轨迹是以AB 为直径的圆，圆心(1,0)C ，半径为3，其方程为22(1)9x y -+=，==，两圆的半径和为3+，因为3+>，所以两圆相交，所以满足条件的点P 的个数为2，8.A 【分析】取线段1AF 的中点N ，由已知条件得出2OM MN =，从而,,O M N 三点共线，且2OM MN = ，则1136M N A y y y r ===，再利用12126AF F MF F S S = ，即可求出离心率.【详解】不妨设点A 在x 轴上方，设点A 的纵坐标为A y ，设点M 的纵坐标为M y ，12AF F △的内切圆半径为r ，取线段1AF 的中点N ，设点N 的纵坐标为N y ，因为12320MF MF MA ++=，所以()()1212MF MF MF MA +=-+ ，所以42MO MN =- ，即2OM MN =，所以,,O M N 三点共线，且2OM MN = ，则1136M N A y y y r ===，12121212121211,622AF F A MF F M AF F MF F S y F F S y F F S S =⋅⋅=⋅∴= ，()121212121212AF F MF F MF A MAF S S S S r F F AF AF =++=++ ()()1222r c a r c a =+=+，121211222MF F M S y F F r c rc =⋅=⨯= ，所以()6r c a rc +=，5a c =，则椭圆的离心率为15e =.【点睛】方法点睛：椭圆离心率的三种求法：（1）若给定椭圆的方程，则根据焦点位置确定22,a b ，求出,a c 的值，利用公式c e a =直接求解．（2）求椭圆的离心率时，若不能直接求得ca的值，通常由已知寻求,,a b c 的关系式，再与222a c b -=组成方程组，消去b 得只含,a c 的方程，再化成关于e 的方程求解．（3）求离心率时要充分利用题设条件中的几何特征构建方程求解，从而达到简化运算的目的．9.CD 【分析】根据直线的倾斜角、斜率、方向向量、截距、直线垂直、点到直线的距离等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】直线l 的倾斜角为120︒，斜率为tan120︒=所以直线l 的一个方向向量为(1,，所以A 选项错误.直线l 的方程为)21,2y x y -=+=+-令0y =得2333x ==，所以B 选项错误.直线0x -=的斜率为33=，313=-，所以直线l与直线0x -=垂直，所以C 选项正确.直线l的方程为2y =+-，即20y +=，点()1,0-20y ++=1=，所以D 选项正确.10.BCD 【分析】根据空间向量数量积的坐标表示公式，结合法向量的定义、点到线的距离公式逐一判断即可.【详解】()()1,1,1,2,1,2AB BC =-=-.A ：因为21230AB BC ⋅=-+-=-≠，所以,AB BC 不互相垂直，因此本选项不正确；B ：设()1,0,1m =，则110,220AB m BC m ⋅=-+=⋅=-+= ，而AB BC B ⋂=，,AB BC ⊂平面ABC ，所以m ⊥平面ABC ，所以本选项正确；C ：cos BA BC ABC BA BC ⋅∠====⋅，sin ABC ∠=，所以点()0,1,0A 到BC的距离为sin d AB ABC =⋅∠=，所以ABC的面积是1132222BC d ⋅⋅==，所以本选项正确；D ：()0,1,0AO =- ，()1,1,1AB =-，cos 3AO AB OAB AO AB⋅∠===⋅ ，sin3OAB∠===所以点()0,1,0A到BC 的距离为66sin133h OA OAB=⋅∠=⨯=，所以本选项正确，11.BD【分析】A.由12F PF△的周长为22a c+求解判断；B.利用验证法判断； C.122PM PF PM PF a+=-+求解判断；D.利用点差法求解判断；【详解】由椭圆C：221259x y+=，得a=5，b=3，c=4，A.12F PF△的周长为11222218PF PF F F a c+==++，故错误；B.易知点94,5⎛⎫⎪⎝⎭在直线45250x y+-=上，也在椭圆C：221259x y+=上，联立，消去y得28160x x-+=，因为Δ0=，所以直线与椭圆相切，故正确；C.1222210PM PF PM PF a MF a+=-+£+=+当2,,P M F共线时，等号成立，故错误；D.设直线l与椭圆C相交于()()1122,,,A x yB x y，联立2211222212591259x yx y⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得()()12121212992525x xy ykx x y y+-==-=--+，则直线方程为91(1)25y x-=--，即925340x y+-=，故正确；12.ABD【分析】四边形ACBM面积2ACBM MACS S MA MC===，求出MC的最小值可判断A；由cos MAC MC∠=结合MC的最小值可得MAC∠的范围，即可判断B；利用平面向量数量积的运算性质以及MC的最小值可判断C；设点(,)M m n，求出直线AB的方程，可求得直线AB恒过定点的坐标，可判断D．【详解】对于A，圆心为()1,2C，半径为r=，由圆的几何性质可知，,MA AC MB BC⊥⊥，,MA MB AC BC==，所以MA==，四边形ACBM面积2ACBM MAC S S MA AC === ，当MC l ⊥时，MC取最小值，且min MC ==则四边形ACBM=，故A 正确；对于B ，在直角MAC △中，2cos AC MAC MCMC∠==，由min MC =，得1cos 2MAC ∠≤=，则60MAC ∠≥︒，而2MAC ACB ∠=∠，则ACB ∠的最小值为120︒，故B 正确；对于C ，易知C 为PQ 的中点，()()()()MP MQ MC CP MC CQ MC CP MC CP ⋅=++=+- ．．2222MC CP MC =-=- ，由min MC =，得MP MQ ⋅的最小值为6，故C 错误；对于D ，设点(),M m n ，则1n m =--，线段MC 的中点为12(,)22m n E ++，()()222221212||12224m n m n EC -+-++⎛⎫⎛⎫=-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以，以MC 为直径的圆E 的方程为222212(1)(2)(()224m n m n x y ++-+--+-=，即圆E 的方程为22(1)(2)20x y m x n y m n +-+-+++=，将圆E 的方程与圆C 的方程作差可得()()12320m x n y m n -+----=，即()()1350m x m y m --+++=，故直线AB 的方程为()()1350m x m y m --+++=，变形可得()()1350m x y x y -+-+-=，由10350x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，可得1232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以直线AB 恒过定点13(,)22，故D 正确．13.【分析】根据椭圆的标准方程的形式，列出不等式组，即可求解.【详解】根据题意，要使方程22153x y k k +=+-表示焦点在x 轴上的椭圆，则满足503053k k k k +>⎧⎪->⎨⎪+>-⎩，解得13k -<<，即实数k 的取值范围为()1,3-.故答案为：()1,3-14.【分析】根据条件得1MN MC ≤+，将MN 的最大值转化为MC 的最大值，设00(,)M x y ，结合22001189x y +=消去0y 化简，结合0x 的范围求解答案.【详解】设圆22(3)1x y -+=的圆心为()3,0C ，半径1r =，则1MN MC r MC ≤+=+，N 在MC 延长线上时取等号，设00(,)M x y ，则22001189x y +=，得220092x y =-，0322x -≤≤，所以222200000012(3)9618(6)62222x x MC x x x =-+-=-+=-=-，当032x =-时，MC 取最大值32+，所以MN 的最大值432+故答案为：432+15.【分析】由定义可得：平面的法向量分别为：n =（1，0，2），直线的方向向量为()2,0,1MN = ，再利用向量的数量积公式可得两个向量的夹角的余弦值，从而得到结果．【详解】解：由定义可得：平面21x z +=的法向量为n =（1，0，2），又()1,2,3M ，()3,2,4N ，所以()2,0,1MN =所以直线与平面α所成角的正弦值：4sin =cos 5MN n MN n MN n θ⋅==uuu r ruuu r r uuu r r ＜，＞，所以直线与平面α1631255-=．故答案为：35．16.【分析】以D 为坐标原点，DA 为x 轴建立平面直角坐标系，设(,)P x y ，利用2PA PD =，求出点P 的轨迹方程，即可得到点P 所形成的阿氏圆的半径；求出3DP 即为三棱锥P ACD -最大的高，然后利用三棱锥的体积公式求解即可．【详解】解：以D 为坐标原点，DA 为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则(1,0)A ，(0,0)D ，设(,)P x y ，因为2PA PD =2222(1)2x y x y -+=+，整理得22212()()33x y ++=，∴点P 所形成的阿氏圆的半径为23；则当P 到AD 距离最大时，三棱锥P ACD -的体积最大，结合图形可知当P 在1DD 上，即3DP 为三棱锥P ACD -最大的高，33DP ===则三棱锥P ACD -体积的最大值是311111332318ACD S DP ⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=．故答案为：23；18．17.【分析】（1）先求出线段AC 中点M 坐标，再利用平行四边形的性质得M 为线段BD 中点，从而利用中点坐标公式列方程组求解即可；（2）通过直线垂直求出高线的斜率，代入点斜式直线公式求解即可.【小问1详解】设线段AC 中点为M ，则M 点坐标为17,22⎛⎫⎪⎝⎭，设点D 坐标为(),x y ，由平行四边形性质得M 为线段BD 中点，有21221722x y -+⎧=⎪⎪⎨-+⎪=⎪⎩，解得38x y =⎧⎨=⎩，所以()3,8D；【小问2详解】因为直线CD 的斜率为83532k -==-，所以CD 边上的高线所在直线的斜率为15-，又()1,4A -，故CD 边上的高线所在直线的方程为14(1)5y x -=-+，即为5190x y +-=.18.【分析】（1）求出线段AB 的中垂线方程与直线l 的方程联立方程组求得圆心坐标，再求出半径即得圆标准方程，也可用一般方程求解．（2）设出直线方程，由圆心到切线的距离等于半径求得参数值，得切线方程．【小问1详解】,A B 的中点为15,22⎛⎫⎪⎝⎭，1AB k =-，所以线段AB 的中垂线方程为20x y -+=，由垂径定理可知，圆心C 在线段AB 的垂直平分线上，所以它的坐标是方程组0,20x y x y +=⎧⎨-+=⎩的解，解之得1,1,x y =-⎧⎨=⎩所以圆心C 的坐标是()1,1-，圆的半径r AC ==，所以圆C 的标准方程是()()22115x y ++-=．【小问2详解】设所求直线方程为0x y b ++=，圆心C 到直线0x y b ++=的距离d ==，所以b =b =0x y +=．19.【分析】（1）根据空间向量的线性运算法则计算；（2）用空间向量法求解．【详解】（1）三棱柱111ABC A B C -中，点D 是1BC 的中点，AB CB CA b a =-=-，1111111111()2222A D A C C D CA CB a CB CC a b c =+=-+=-+-=-+- ，（2）1a = ，2b c == ，12cos601a b ⋅=⨯⨯︒= ，12cos900a c ⋅=⨯︒= ，22cos602b c ⋅=⨯︒=，AB ====，11A D ==== ，221111111()()222222AB A D b a a b c a b b b c a a b a c⋅=-⋅-+-=-⋅+-⋅+-⋅+⋅111211022=-+-+-+=，111132cos ,6AB A D AB A D AB A D⋅<>==．所以异面直线AB 与1A D所成角的余弦值是6．20.【分析】（1）据题意有2a =，1c =，则通过计算可得椭圆C 的标准方程；（2）可先假设直线l 存在，可设直线l 的斜率为k ，则直线:(2)l y k x =+．根据||||AM MN =及圆的性质可知OM 垂直平分AN ．再根据点到直线的距离公式可得OM 的关于k 的表达式，再解Rt AMO ∆可得AM 的关于k 的表达式．然后联立直线与椭圆方程，消去y 整理可得一元二次方程，根据韦达定理有21221643k x x k +=-+，21224(43)43k x x k -⋅=+．根据弦长公式可得AM 的关于k 的另一个表达式．根据存在性则两个表达式相等，如果k 值存在则直线存在；如果没有k 值则直线不存在．【详解】（1）由题意，可知2a =，1c =．则24a =，222413b a c =-=-=．∴椭圆C 的标准方程为22143x y +=．（2）由题意，假设存在直线l 使得||||AM MN =，可设直线l 的斜率为k ．则直线:(2)l y k x =+．||||AM MN = ，即点M 为线段AN 中点，∴根据圆的性质，可知OM AN ⊥，且OM 平分AN ．根据题意画图如下：则||OM ==．在Rt AMO ∆中，AM ==联立直线l 与椭圆C 方程，可得：22(2)143y k x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y ，整理得2222(43)164(43)0k x k x k +++-=．则△42225616(43)(43)1440k k k =-+-=>．21221643k x x k +=-+，21224(43)43k x x k -⋅=+．||AM ==243k =+．∴212143k =+，整理，得2230k +=．很明显矛盾，故直线l 不存在．【点睛】本题考查直线、圆和椭圆三者综合的问题、弦长公式的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力．21.【分析】（1）以C 为原点建立如图所示空间直角坐标系，求出平面ADF 和平面BDF 的法向量，即可由法向量求出夹角；（2）设CP CA λ= ，求出,PF BE ，利用0PF BE ⋅= 求出()2210t λ--+=，即可得出t 的最大值.【详解】（1）正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，则可得,,CD CB CE 两两垂直，则可以C 为原点建立如图所示空间直角坐标系，若1t =，则()))2,0,2,0,0,2,2,1B DF,则)2,2,0BD =，()2,1DF =，可知平面ADF 的一个法向量为()1,0,0n =r，设平面BDF 的法向量为(),,m x y z =，则由00m DF m BD ⎧⋅=⎨⋅=⎩ ，可知20220z +==，不妨令1x =，则1y =，2z =-，即(1,1,2m =，设二面角A DF B --的平面角为θ，因为θ为锐角，所以11cos cos ,122n m θ=<>==⨯ ，所以二面角A DF B --的大小为3π.（2）)()()2,2,0,0,0,0,0,0,AC E t ，则)2,2,0CA =，因为点P 在线段AC 上，设CP CA λ=，其中[]0,1λ∈，则)22,0CP λλ=，从而P 点坐标为)22,0λλ，于是)2222,PF t λλ=，而()0,2,BE t =，则由PF BE ⊥可知0PF BE ⋅=，即()2210t λ--+=，所以()2212t λ=-≤，解得2t ≤t 2.【点睛】方法点睛：此题考查立体几何中的证明和计算问题，利用空间向量解决二面角的大小和探索性的问题，解题更加简便.22.【分析】（1）由圆221:()1F x c y ++=与圆222:()9F x c y -+=相交，两圆交点在椭圆E 上，求得2a =，结合离心率及,,a b c 的关系求得,,a b c ，即得答案；（2）考虑直线AB 斜率是否存在，是否为0．当直线AB 的斜率存在且不为0时，设出直线方程并和椭圆方程联立，得到根与系数的关系，写出,AN BM 的方程，联立化简整理即可证明结论.【小问1详解】圆221:()1F x c y ++=与圆222:()9F x c y -+=的圆心分别为12(,0),(,0)F c F c -，半径分别为1和3，由圆221:()1F x c y ++=与圆222:()9F x c y -+=相交，两圆交点在椭圆E 上，可知：2134a =+=，得2a =，又222a b c =+，32c e a ==，解得1b =，c =所以椭圆E 的方程为：2214x y +=．【小问2详解】设l 与x 轴交于点Q ，则()4,0Q，当AB 的斜率为0时，显然不适合题意；当AB 的斜率不存在时，直线AB 为1x =，四边形AMNB 为矩形，AN ∴，BM 交于线段FQ 的中点5,02⎛⎫⎪⎝⎭，当直线AB 的斜率存在且不为0时，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB 为()1y k x =-，联立()22141x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得()2222418440k x k x k +-+-=，()()4222Δ644414448160k k k k k =-+-=+>⇒∈R ，2122841k x x k ∴+=+，21224441k x x k -⋅=+，设()14,M y ，()24,N y ，则()2121:44y y AN y x y x -=-+-，()2112:44y yBM y x y x -=-+-，联立AN ，BM 的方程，得()()212121124444y y y y x y x y x x ---+=-+--，将()111y k x =-，()221y k x =-代入整理得22122122441616541882841k x x k x k x x k --⋅-+===+--+．将52x =代入AN 的方程，得()()()212122111153414224k x k x y y y y k x x x ----⎛⎫=-+=-⋅+- ⎪--⎝⎭()()()()()()212112121132145282424kx kx k x x k x x kx x kx x --+--+-⋅-==--()222218445284141024k k k k kk k x -⋅--++==-，综上，直线AN 、BM 交于定点5,02⎛⎫⎪⎝⎭．【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.。

2023-2024学年度第一学期高二年级期中考试数学试卷姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题（每题5分）磁波在空气中的传播速度约为0.3km/μs ，1海里 1.852km =），则点P 的坐标（单位：海里）为（）A ．135322,77⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭B ．903211,77⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭C ．3217,3⎛⎫± ⎪⎝⎭D ．()45,162±二、多选题（每题5分）9．古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262年至前190年）与欧几里得、阿基米德齐名，著有《圆锥曲线论》八卷．他发现平面内到两个定点的距离之比为定值()1λλ≠的点所形成的图形是圆．后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆．已知在平面直角坐标系xOy 中，()()1,0,1,0A B -．点P 满足12PA PB=，设点P 所构成的曲线为E ，下列结论正确的是（）A ．曲线E 的圆心坐标为5,03⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．443PB ≤≤C ．曲线E 的周长为πD ．曲线E 上的点到直线10x y +-=的最小距离为()4213-10．已知曲线C 的方程为222113x y m m +=--（1m ≠±且3m ≠），则下列结论正确的是（）A ．当2m =时，曲线C 是焦距为4的双曲线B ．当4m =时，曲线C 是离心率为22的椭圆C ．曲线C 可能是一个圆D ．当3m =-时，曲线C 是渐近线方程为320x y ±=的双曲线11．已知点()1,1A ，点P 是双曲线22:197x y C -=左支上的动点，Q 是圆221:(4)4D x y ++=上的动点，则（）A ．C 的实轴长为6B ．C 的渐近线为377y x =±C ．PQ 的最小值为12D ．PA PD -的最小值为610-三、填空题（每题5分）四、解答题2023-2024学年度第一学期高二年级期中考试数学试卷参考答案一、单选题（每题5分）由图可知，直线l的斜率故直线l的斜率的取值范围为故选：D．3．B）()11,M x y ，()22,N x y ，抛物线当直线l 的斜率等于0时，不存在两个交点，不符合题意；当直线l 的斜率不等于0时，不妨设过抛物线焦点的直线联立抛物线方程可得241y x x ty ⎧=⎨=+⎩。

2024∼2025学年度第一学期期中学业水平诊断高二数学注意事项：1、本试题满分150分，考试时间为120分钟，2、答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题卡上，3．使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰．超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．1．在空间直角坐标系中，点关于面对称的点的坐标为（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知直线和直线平行，则实数m 的值为（ ）A ．0B ．C ．1D ．或13．在三棱锥中，点M 在线段上，且，N 为中点，设，，，则（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知直线的一个方向向量为且过点，则的方程为（ ）A ．B ．C ．D ．5．正四棱柱中，，E ，F ，G 分别是，，的中点，则直线与所成角的余弦值为（ ）ABCD6．过点的直线与曲线）A ．B ．C ．D ．7．在平行六面体中，底面是正方形，，，，M 是棱的中点，与平面交于点H ，则线段的长度为（ ）O xyz -()2,3,1P -xOy ()2,3,1--()2,3,1--()2,3,1---()2,3,1--210x my m ++-=10mx y ++=1-1-A BCD -AB 2AM MB = CD AB a = AC b =AD c = MN =111322a b c-- 111322a b c -++ 211322a b c--211322a b c-++()3,2-()2,12310x y ++=2370x y +-=3280x y +-=3240x y ++=1111ABCD A B C D -12AA AB =1CC BD 11A B 1C G EF ()1,2--y =22,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦[)22,00,3⎛⎤- ⎥⎝⎦422,0,33⎡⎫⎛⎤--⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦322,0,43⎡⎫⎛⎤--⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦ABCD A B C D '-'''ABCD 60A AB A AD ''∠=∠=︒2AB =4AA '=A B ''A C 'AMD 'A H 'ABCD8．过直线上一点P 作圆的切线，，切点为A ，B ，当最小时，直线的方程为（ ）A ．B ．C ．D ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。

2024～2025学年度第一学期期中考试高二级数学试题班别： 学号： 姓名： 成绩：一、单选题：本大题共8小题，共40分.1．在简单随机抽样中，某一个个体被抽到的可能性（ ）A ．与第几次抽样有关，第一次抽到的可能性大一些B ．与第几次抽样无关，每次抽到的可能性都相等C ．与第几次抽样有关，最后一次抽到的可能性要大些D ．与第几次抽样无关，每次都是等可能抽取，但各次抽取的可能性不一定2．某烟花爆竹厂从20万件同类产品中随机抽取了100件进行质检，发现其中有5件不合格，那么请你估计该厂这20万件产品中不合格产品约有（ ）A ．1万件B ．18万件C ．19万件D ．20万件3的倾斜角为，在轴上的截距为，则（ ）A ．，B ．，C ．，D ．，4．如图，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）A ．B ．C ．D ．5．给定组数，则错误的是（ ）A ．中位数为3BC ．众数为2和3D ．第85百分位数为46．已知向量，，从6张大小相同分别标有号码的卡片中，有放回地抽取两张，、分别表示第一次、第二次抽取的卡片上的号码，则满足的概率是（ ）A ．B ．C ．D．10y ++=αy b 5π6α=1b =2π3α=1b =-2π3α=1b =5π6α=1b =-1111ABCD A B C D -M 11AC 11B D AB a =AD b = 1AA c =BM11+22a b c-+ 1122a b c++1122a b c--+ 1122a b c-+ 5,4,3,5,3,2,2,3,1,2(),a x y =()1,2b =- 1,2,3,4,5,6x y 0a b ⋅>1123415167．设，若点在线段上，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．8．在空间直角坐标系Oxyz 中，，，，点H 在平面ABC 内，则当点O 与H 间的距离取最小值时，点H 的坐标是（ ）A ．B ．C ．D ．二、多选题：本大题共3小题，共18分.9．如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据所给图作出以下判断，正确的是（ ）A ．图（1）的平均数=中位数=众数B ．图（2）的众数<中位数<平均数C ．图（2）的众数<平均数<中位数D ．图（3）的平均数<中位数<众数10．下列事件中，是相互独立事件的是（ ）A ．一枚硬币掷两次，“第一次为正面”，“第二次为反面”B ．袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸两球，“第一次摸到白球”，“第二次摸到白球”C ．掷一枚骰子，“出现点数为奇数”，“出现点数为3或4”D ．掷一枚骰子，“出现点数为奇数”，“出现点数为偶数”11．如图，在棱长为2的正方体中，为线段上的动点，则（ ）A ．当时，B ．直线与所成的角不可能是C ．若，则二面角D ．当时，点到平面的距离为三、填空题：本大题共3小题，共15分.()()2,3,1,2A B -(),P x y AB 1y x+[]2,3-()2,3-][(),23,∞∞--⋃+()(),23,-∞-⋃+∞(1,1,1)A (0,1,0)B (0,0,1)C 211,,333⎛⎫⎪⎝⎭211,,333⎛⎫- ⎪⎝⎭111,,333⎛⎫- ⎪⎝⎭111,,333⎛⎫-- ⎪⎝⎭,A B A =B =A =B =A =B =A =B =1111ABCD A B C D -P 1BC 12B P PC =AP =1AP BD π61113B P BC = 11B A P B --12B P PC =1D 1A BP 2312．经过两点的直线的方向向量为,则 .13．如图，在平行六面体中，，，则 ．14．由1， 2， 3， …，1000这1000个正整数构成集合，先从集合中随机取一个数，取出后把放回集合，然后再从集合中随机取出一个数，则的概率为 ．四、解答题：本大题共5小题，共77分.15．（本小题13分）已知的顶点分别为，，.(1)求边的中线所在直线的方程；(2)求边的垂直平分线的方程.16．（本小题15分）为鼓励青年大学生积极参与暑期社会实践，某高校今年暑假组织返乡大学生积极参与了当地的暑假社区儿童托管服务.现抽样调查了其中100名大学生，统计他们参加社区托管活动的时间（单位：小时），并将统计数据制成如图所示的频率分布直方图.另外，根据参加社区托管活动的时间从长到短按3：4：3的比例分别被评为优秀､良好､合格.(1)求的值，并估计该校学生在暑假中参加社区托管活动的时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；(2)试估计至少参加多少小时的社区托管活动，方可以被评为优秀.17．（本小题15分）(0,2),(1,0)A B -(1,)k k =1111ABCD A B C D -12,3,4AD AB AA ===90BAD ∠=︒1160A AB A AD ∠=∠= 1AC =A A a aA A b 13a b >ABC V (2,4)A (7,1)B -(6,1)C -BC AD BC DE m如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面 是的中点，作交于点．(1)求证：平面；(2)求证：平面；(3)求平面与平面的夹角的大小．18．（本小题17分）甲、乙、丙三人结伴去游乐园玩射击游戏，其中甲射击一次击中目标的概率为，甲、乙两人各射击一次且都击中目标的概率为，乙、丙两人各射击一次且都击中目标的概率为，且任意两次射击互不影响．(1)分别计算乙，丙两人各射击一次击中目标的概率；(2)求甲、乙、丙各射击一次恰有一人击中目标的概率；(3)若乙想击中目标的概率不低于，乙至少需要射击多少次？（参考数据：，）19．（本小题17分）在空间直角坐标系中，已知向量，点.若直线以为方向向量且经过点，则直线的标准式方程可表示为；若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程表示为.(1)已知直线的标准式方程为，平面，求直线与平面所成角的余弦值；(2)已知平面的点法式方程可表示为，平面外一点，求点到平面的距离；(3)（i ）若集合，记集合中所有点构成的几何体为，求几何体的体积：（ii ）若集合.记集合中所有点构成的几何体为，求几何体相邻两个面（有公共棱）所成二面角的大小.P ABCD -ABCD PD ⊥,,ABCD PD DC E =PC EF PB ⊥PB F //PA EDB PB ⊥EFD CPB PBD 12161999100lg 20.3010≈lg30.4771≈O xyz -(),,u a b c =()0000,,P x y z l u0P l ()0000x x y y z z abc a b c---==≠αu0P α()()()0000a x x b y y c z z -+-+-=l 1111x z -+==1α50y z +-+=l 1α2α2310x y z ++-=()1,2,1P P 2α{(,,)|||||2,||1}M x y z x y z =+≤≤M S S {(,,)|||||2,||||2,||||2}N x y z x y y z z x =+≤+≤+≤N T T高二级数学答案一、单选题：本大题共8小题，共40分.1．在简单随机抽样中，某一个个体被抽到的可能性（ ）A ．与第几次抽样有关，第一次抽到的可能性大一些B ．与第几次抽样无关，每次抽到的可能性都相等C ．与第几次抽样有关，最后一次抽到的可能性要大些D ．与第几次抽样无关，每次都是等可能抽取，但各次抽取的可能性不一定2．某烟花爆竹厂从20万件同类产品中随机抽取了100件进行质检，发现其中有5件不合格，那么请你估计该厂这20万件产品中不合格产品约有（ ）A ．1万件B ．18万件C ．19万件D ．20万件3的倾斜角为，在轴上的截距为，则（ ）A ．，B ．，C ．，D ．，4．如图，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）A ．B ．C ．D ．5．给定组数，则错误的是（ ）A ．中位数为3BC ．众数为2和3D ．第85百分位数为46．已知向量，，从6张大小相同分别标有号码的卡片中，有放回地抽取两张，、分别表示第一次、第二次抽取的卡片上的号码，则满足的概率是（ ）A ．B ．C ．D．10y ++=αy b 5π6α=1b =2π3α=1b =-2π3α=1b =5π6α=1b =-1111ABCD A B C D -M 11AC 11B D AB a =AD b = 1AA c =BM11+22a b c-+ 1122a b c++1122a b c--+ 1122a b c-+ 5,4,3,5,3,2,2,3,1,2(),a x y =()1,2b =- 1,2,3,4,5,6x y 0a b ⋅>1123415167．设，若点在线段上，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．8．在空间直角坐标系Oxyz 中，，，，点H 在平面ABC 内，则当点O 与H 间的距离取最小值时，点H 的坐标是（ ）A ．B ．C ．D ．二、多选题：本大题共3小题，共18分.9．如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据所给图作出以下判断，正确的是（ ）()()2,3,1,2A B -(),P x y AB 1y x+[]2,3-()2,3-][(),23,∞∞--⋃+()(),23,-∞-⋃+∞(1,1,1)A (0,1,0)B (0,0,1)C 211,,333⎛⎫⎪⎝⎭211,,333⎛⎫- ⎪⎝⎭111,,333⎛⎫- ⎪⎝⎭111,,333⎛⎫-- ⎪⎝⎭A ．图（1）的平均数=中位数=众数B ．图（2）的众数<中位数<平均数C ．图（2）的众数<平均数<中位数D ．图（3）的平均数<中位数<众数10．下列事件中，是相互独立事件的是（ ）A ．一枚硬币掷两次，“第一次为正面”，“第二次为反面”B ．袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸两球，“第一次摸到白球”，“第二次摸到白球”C ．掷一枚骰子，“出现点数为奇数”，“出现点数为3或4”D ．掷一枚骰子，“出现点数为奇数”，“出现点数为偶数”11．如图，在棱长为2的正方体中，为线段上的动点，则（ ）,A B A =B =A =B =A =B =A =B =1111ABCD A B C D -P 1BCA ．当时，B ．直线与所成的角不可能是C ．若，则二面角D ．当时，点到平面的距离为三、填空题：本大题共3小题，共15分.12．经过两点的直线的方向向量为,则 2 .13．如图，在平行六面体中， ，，则 7 ．14．由1， 2， 3， …，1000这1000个正整数构成集合，先从集合中随机取一个数，取出后把放回集合，然后再从集合中随机取出一个数，则的概率为 ．四、解答题：本大题共5小题，共77分.15．（本小题13分）已知的顶点分别为，，.(1)求边的中线所在直线的方程；(2)求边的垂直平分线的方程.12B P PC=AP =1AP BD π61113B P BC =11B A P B --12B P PC =1D 1A BP 23(0,2),(1,0)A B -(1,)k k =1111ABCD A B C D -12,3,4AD AB AA === 90BAD ∠=︒1160A AB A AD ∠=∠= 1AC =A A a aA A b 13a b >16672000ABC V (2,4)A (7,1)B -(6,1)C -BC AD BC DE16．（本小题15分）为鼓励青年大学生积极参与暑期社会实践，某高校今年暑假组织返乡大学生积极参与了当地的暑假社区儿童托管服务.现抽样调查了其中100名大学生，统计他们参加社区托管活动的时间（单位：小时），并将统计数据制成如图所示的频率分布直方图.另外，根据参加社区托管活动的时间从长到短按3：4：3的比例分别被评为优秀､良好､合格.(1)求的值，并估计该校学生在暑假中参加社区托管活动的时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；(2)试估计至少参加多少小时的社区托管活动，方可以被评为优秀.解：（1）由题意得，，解得.........4分因为，............8分所以可以估计该校学生在暑假中参加社区托管活动的时间的平均数约为38.25小时. (9)分（2）由题意得，因为，那么第70百分位数位于之间.m ()0.020.030.040.0651m ++++⨯=0.05m =()0.0227.50.0432.50.0637.50.0542.50.0347.5538.25⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=()0.0350.15,0.030.0550.4⨯=+⨯=40~45设第70百分位数为，则，解得.………………14分故至少参加42小时的社会实践活动，方可被评为优秀. ……………15分17．（本小题15分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面 是的中点，作交于点．(1)求证：平面；(2)求证：平面；(3)求平面与平面的夹角的大小．证明：（1）在四棱锥中，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，设，则，…………1分，设平面的法向量为，则，令，得，…………3分则，而平面，所以平面.…………5分（2）由（1）知，，由，得，又，且平面，所以平面.…………9分（3）解：由（1）知，，且，设平面的法向量为，则，取，得，…………11分x ()450.050.15x -⨯=42x =P ABCD -ABCD PD ⊥,,ABCD PD DC E =PC EF PB ⊥PB F //PA EDB PB ⊥EFD CPB PBD P ABCD -D ,,DA DC DP ,,x y z 2DC =()()()()2,0,0,2,2,0,0,0,2,0,1,1A B P E ()()()2,0,2,2,2,0,0,1,1PA DB DE =-==EDB ()111,,m x y z =11112200DB m x y DE m y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 11y =-()1,1,1m =- 220PA m ⋅=-=PA ⊄EDB //PA EDB ()2,2,2PB =-0220PB DE ⋅=+-=PB ED ⊥EF PB ⊥,,EF DE E EF ED =⊂ EFD PB ⊥EFD ()0,2,0C ()()2,0,0,0,2,2CB PC ==-CPB ()222,,n x y z = 22220220CB n x PC n y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩21y =()0,1,1n =18．（本小题17分）甲、乙、丙三人结伴去游乐园玩射击游戏，其中甲射击一次击中目标的概率为，甲、乙两人各射击一次且都击中目标的概率为，乙、丙两人各射击一次且都击中目标的概率为，且任意两次射击互不影响．(1)分别计算乙，丙两人各射击一次击中目标的概率；(2)求甲、乙、丙各射击一次恰有一人击中目标的概率；(3)若乙想击中目标的概率不低于，乙至少需要射击多少次？（参考数据：，）12161999100lg 20.3010≈lg30.4771≈19．（本小题17分）在空间直角坐标系中，已知向量，点.若直线以为方向向量且经过点，则直线的标准式方程可表示为；若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程表示为.(1)已知直线的标准式方程为，平面，求直线与平面所成角的余弦值；(2)已知平面的点法式方程可表示为，平面外一点，求点到平面的距离；(3)（i ）若集合，记集合中所有点构成的几何体为，求几何体的体积：（ii ）若集合.记集合中所有点构成的几何体为，求几何体相邻两个面（有公共棱）所成二面角的大小.O xyz -(),,u a b c =()0000,,P x y z l u 0P l ()0000x x y y z z abc a b c---==≠αu 0P α()()()0000a x x b y y c z z -+-+-=l 1111x z -+==1α50y z +-+=l 1α2α2310x y z ++-=()1,2,1P P 2α{(,,)|||||2,||1}M x y z x y z =+≤≤M S S {(,,)|||||2,||||2,||||2}N x y z x y y z z x =+≤+≤+≤N T T的正方形，高为2的长方体，的图象是一个完全对称的图象，所以我们只需讨论第一卦限的相邻两个平面的二面角即可，|||2}z x +≤。

2024-2025学年度第一学期期中试卷高二数学（答案在最后）2024年11月本试卷共4页，共150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题，共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.直线的倾斜角是23π，则斜率是（）A.33-B.33C.D.【答案】C 【解析】【分析】由直线的倾斜角与斜率的关系即得.【详解】∵直线的倾斜角是23π，∴直线的斜率为2tan tan()tan 333ππππ=-=-=故选：C.2.已知点P 在椭圆22132x y +=上，点()11,0F ，()21,0F -，则12PF PF +=（）A.2B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】根据题意由椭圆标准方程以及椭圆定义即可得出结果.【详解】由椭圆方程为22132x y +=可知1a c ==，则()11,0F ，()21,0F -即为椭圆的左、右焦点，由椭圆定义可得122PF PF a +==.故选：C3.已知圆222610x y x y +-++=关于直线0x y m ++=对称，则实数m =（）A.－2B.－1C.1D.2【答案】D 【解析】【分析】根据圆关于直线对称即圆心在直线上得到答案.【详解】将222610x y x y +-++=化成标准方程为()()22139x y -++=，圆心为()1,3-，半径为3，因为圆222610x y x y +-++=关于直线0x y m ++=对称，所以圆心()1,3-在直线上，即130m -+=，解得2m =.故选：D.4.以点()2,1A 为圆心，且与x 轴相切的圆的标准方程为（）A.()()22211x y -+-= B.()()22214x y -+-=C.()()22211x y +++= D.()()22214x y +++=【答案】A 【解析】【分析】根据圆心和半径可得圆的方程.【详解】以点()2,1A 为圆心，且与x 轴相切的圆的半径为1．故圆的标准方程是()()22211x y -+-=．故选:A ．5.已知Q 为直线:210l x y ++=上的动点，点P 满足()1,3QP =-，记P 的轨迹为E ，则（）A.E的圆 B.E 是一条与l 相交的直线C.E 上的点到l D.E 是两条平行直线【答案】C 【解析】【分析】设(),P x y ，由()1,3QP =-可得Q 点坐标，由Q 在直线上，故可将点代入坐标，即可得P 轨迹E ，结合选项即可得出正确答案.【详解】设(),P x y ，由()1,3QP =-，则()1,3Q x y -+，由Q 在直线:210l x y ++=上，故()12310x y -+++=，化简得260x y ++=，即P 的轨迹为E 为直线且与直线l 平行，E 上的点到l的距离d ==，故A 、B 、D 错误，C 正确.故选：C .6.如图，三棱锥D-ABC 中，DC ⊥平面ABC ，DC=1，且 为边长等于2的正三角形，则DA 与平面DBC所成角的正弦值为A.5B.5C.5D.25【答案】B 【解析】【分析】先过A 点作出高线，利用等体积法先求高线，再计算线面角．【详解】过点A 作垂直于平面BCD 的直线，垂足为O ，利用等体积法求解AO ．011131V DC S 60221V AO S 33233D ABC ABC A BCD BCD sin --=⨯=⨯⨯⨯⨯===⨯，由此解得AO =，DA 与平面DBC 所成角为ADO ∠，所以15sin ADO 5AO AD ∠==,故选B 【点睛】本题考查了等体积法和线面角的基本求法，综合性强，在三棱锥中求高线，利用等体积法是一种常见处理手段，计算线面角，先找线面角，要找线面角必找垂线，而求解垂线的基本方法为等体积法或者点到平面的距离公式．7.点M 是直线250x y -+=上的动点，O 是坐标原点，则以OM 为直径的圆经过定点（）．A.(0,0)和(1,1)-B.(0,0)和(2,2)-C.(0,0)和(1,2)-D.(0,0)和(2,1)-【答案】D 【解析】【分析】过点O 作OP 垂直于直线250x y -+=，根据圆的性质可得以OM 为直径的圆过定点O 和P ，得解.【详解】如图，过点O 作OP 垂直于直线250x y -+=，垂足为P ，则以OM 为直径的圆过定点O 和P ，易知直线OP 的方程为12y x =-，联立25012x y y x -+=⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得21x y =-⎧⎨=⎩，即()2,1P -.所以以OM 为直径的圆经过定点()0,0和()2,1-.故选：D.8.“3m =”是“椭圆2214x y m+=的离心率为12”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据椭圆2214x y m+=的离心率为12求出m ，进而求得答案.【详解】椭圆2214x y m +=的离心率为12，当04m <<时，4122=，得3m =；当4m >时，12=，得163m =．即“3m =”是“椭圆2214x y m+=的离心率为12”的充分不必要条件．故选：A.9.布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖，在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1），把三片这样的达·芬奇方砖形成图2的组合，这个组合表达了图3所示的几何体．若图3中每个正方体的棱长为1，则点P 到平面QGC 的距离是（）A.12B.22C.32D.1【答案】B 【解析】【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，结合向量法求解点到面的距离，即可得到结果.【详解】建立如图所示空间直角坐标系，则()()()()0,2,0,0,0,2,1,0,2,2,0,1C G Q P ，则()()()1,0,0,0,2,2,2,2,1GQ GC CP ==-=-，设平面QGC 的一个法向量为(),,n x y z =，则0220GQ n x GC n y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，取1z =，得()0,1,1n = ，所以点P 到平面QGC 的距离是22n CP n ⋅== .故选：B10.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点M 为棱AB 的中点，点P 在正方形11BCC B 的边界及其内部运动．以下四个结论中错误的是（）A.存在点P满足1PM PD +=B.存在点P 满足1π2D PM ∠=C.满足1AP D M ⊥的点P 的轨迹长度为π4D.满足1MP D M ⊥的点P的轨迹长度为4【答案】C 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量解决此题，对于A ，利用两个特殊点求出1PM PD +的值，在此范围内即可；对于B ，利用向量垂直数量积等于零解方程即可求P 点坐标；对于C ，D 利用向量垂直数量积等于零可求P 点的轨迹方程，根据图形找到P 点的轨迹求长度即可．【详解】如图所示，建立空间直角坐标系，则(1A ,0,0)，1(0D ,0,1)，1(1,,0)2M ，1(0C ,1,1)，动点P 设为(P x ,1,)z ，对于A ，点M 关于平面11BCB C 的对称点为13(1,,0)2M ，当动点P 在点1M时，此时1min 11()2PM PD D M +===<，当动点P 在点1C时，此时111135122PM PD C D C M +=+=+=>，所以存在点P满足1PM PD +=，所以A 正确；对于B ，1(1,,)2PM x z =--- ，1(,1,1)PD x z =--- ，若1π2D PM ∠=，则11(1)(1)02PM PD x x z z ⋅=--+--= ，化简得：2211()(022x z -+-=，解得1212x z ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即11(,1,)22P ，满足题意，所以B 正确；对于C ，(1,1,)AP x z =- ，11(1,,1)2D M =- ，若1AP D M ⊥，则11102AP D M x z ⋅=-+-= ，即12z x =-，取BC 中点E ，1BB 中点F ，则点P 的轨迹为线段EF ，长度为22，所以C 错误；对于D ，1(1,,)2MP x z =- ，11(1,,1)2D M =- ，若1MP D M ⊥，则11104MP D M x z ⋅=-+-= ，即34z x =-，取BF 中点H ，BE 中点K ，则点P 的轨迹为线段HK ，长度为24，所以D 正确．故选：C ．第二部分（非选择题，共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11.椭圆22194x y +=的离心率是_________．【答案】53【解析】【分析】利用标准方程，求出a ，b ，然后求解c ，即可求解离心率．【详解】椭圆22194x y +=的长半轴为a ＝3，短半轴为b ＝2，则半焦距为c ==．所以椭圆的离心率为：e 53c a ==．故答案为53．【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，离心率的求法，是基础题．12.已知直线1l ：()210m x y +++=，2l ：()5210x m y +-+=．若12l l ∥，则实数m 的值为______．【答案】－3【解析】【分析】根据两直线平行的条件列式求解即可.【详解】若12l l ∥，则()()2250m m +--=，解得3m =或3m =-，当3m =时，直线1l ：510x y ++=与2l ：5310x y ++=重合，不符合题意；当3m =-时，直线1l ：10x y -++=与2l ：5510x y -+=，符合题意，综上，3m =-故答案为：－3.13.在正三棱柱111ABC A B C -中，2AB =，1AA =，则异面直线1AB 与1BC 所成角的大小为______．【答案】π2【解析】【分析】利用异面直线夹角的向量求法建立空间直角坐标系计算可得结果.【详解】分别取11,BC B C 的中点1,O O ，连接1,AO OO ，由正三柱性质可知11,,AO BC OO BC AO OO ⊥⊥⊥，以O 为坐标原点，1,,OA OB OO 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如下图所示：由2AB =，12AA =可得)()((113,0,0,0,1,0,0,1,2,0,1,2AB BC -，所以((113,1,2,0,2AB BC ==-，又111111022cos ,066AB BC AB BC AB BC ⋅===⨯，且[]11,0,πAB BC ∈ ；所以11π,2AB BC = .故答案为：π214.已知点P 是圆()2211x y -+=上的动点，直线1l ：3470x y -+=，2l ：340x y m -+=，记P 到直线1l ，2l 的距离分别为1d ，2d （若P 在直线上，则记距离为0），（1）1d 的最大值为______；（2）若当点P 在圆上运动时，12d d +为定值，则m 的取值范围是______．【答案】①.3②.(],8∞--【解析】【分析】（1）根据圆上点到直线的距离最大值为圆心到直线的距离加半径求解即可；（2）根据12d d +为定值，分析得到圆的位置，结合直线与圆的位置关系求解.【详解】（1）圆()2211x y -+=，圆心 th ，半径为1，圆心到直线1l 的距离()2231407234d ⨯-⨯+==+-，所以P 到直线1l 的距离1d 的最大值为13d +=；（2）当7m =时，两直线重合，不符题意；当7m ≠时，直线1l ，2l 平行，若当点P 在圆上运动时，12d d +为定值，所以圆在两平行线之间，此时直线2l 与圆相离，所以()223140134m d ⨯-⨯+=≥+-，解得2m ≥或8m ≤-，又因为当2m ≥时，直线1l ，2l 在圆同侧，不符合题意，所以8m ≤-，故答案为：3，(],8∞--.15.伯努利双纽线（简称双纽线）是瑞士数学家伯努利（1654-1705）在1694年提出的．伯努利将椭圆的定义作了类比处理，指出是到两个定点距离之积为定值的点的轨迹是双纽线．在平面直角坐标系xOy 中，到定点(),0A a -，(),0B a 的距离之积为()20a a >的点的轨迹C 就是伯努利双纽线，C 的方程为()()2222222x y a x y +=-，其形状类似于符号∞，若点()00,P x y 是轨迹C 上一点，给出下列四个结论：①曲线C 关于原点中心对称；②00y x ≤恒成立；③曲线C 2a ；④当0x a =时，0y 取得最大值或最小值．其中所有正确结论的序号是______．【答案】①②③【解析】【分析】根据曲线的方程，结合对称性的判定方法，联立方程组，以及不等式和三角形面积，逐项判定，即可求解.【详解】在曲线C 上任取一点(),M x y ，关于原点的对称点为(),M x y '--，代入曲线C 的方程，可知M '在曲线C 上，所以曲线C 关于原点中心对称，故①正确；因为点()00,P x y 是轨迹C 上一点，所以()()22222200002x y a x y +=-，因为()222000x y +≥，所以()()222222000020x y a x y +=-≥，即2200y x ≤，所以00y x ≤，故②正确；因为()()()22222222222x y a x x y y a +=-+≤，所以2222x y a +≤，≤，所以曲线C ，故③正确；因为()00,P x y ，所以12121212011||||sin ||||22PF F S PF PF F PF F F y =⋅⋅∠=⋅ ，又212||||PF PF a ⋅=，所以2120sin 2||a F PF a y ∠=⋅，即012||sin 22a a y F PF =∠≤，所以022a a y -≤≤，当12π2F PF ∠=时等号成立，故④错误，故答案为：①②③【点睛】方法点睛：本题考查曲线的轨迹及其性质的问题，同时需要结合解三角形的方法对所给信息进行辨析.三、解答题共6小题，共85分．解答题应写出文字说明、验算步骤或证明过程．16.已知直线l ：()()211510x y λλλ++---=，R λ∈．（1）当直线l 与直线20x y +=垂直时，求λ的值；（2）设直线l 恒过定点P ，求P 的坐标；（3）若对任意的实数λ，直线l 与圆()2220x y r r +=>总有公共点，直接写出r 的取值范围．【答案】（1）14λ=（2）()2,1P（3）r ≥【解析】【分析】（1）根据直线与直线垂直关系列方程即可求得λ的值；（2）将直线方程转化为()1250x y x y λ--++-=，列方程组解得定点坐标即可；（3）根据直线与圆位置关系结合点与圆位置关系求解即可.【小问1详解】当直线l ：()()211510x y λλλ++---=与直线20x y +=垂直时，可得()()21112410λλλ+⨯+-⨯=-=，解得14λ=；【小问2详解】直线l ：()()211510x y λλλ++---=方程整理得()1250x y x y λ--++-=，令10,250x y x y --=⎧⎨+-=⎩，解得2,1,x y =⎧⎨=⎩即直线l 恒过定点()2,1P ；【小问3详解】对任意的实数λ，直线l 与圆()2220x y rr +=>总有公共点，则直线l 恒过定点()2,1P 在圆上或者圆内，则OP r =≤，即r ≥17.已知C 经过点()0,2A -，()3,1B ，并且圆心C 在直线28y x =-上，（1）求C 的方程；（2）设过点()2,0P 的直线l 与C 交于M ，N 两点，若MN =l 的方程．【答案】（1）()()22329x y -++=（2）2x =或3460x y +-=．【解析】【分析】（1）根据圆的几何性质确定线段AB 的垂直平分线方程，从而联立直线可得圆心坐标，根据圆的定义得半径，从而得圆的方程；（2）根据直线与圆相交弦长公式，分直线斜率存在与不存在两种情况验证求解直线方程即可.【小问1详解】因为()0,2A -，()3,1B ，则1AB k =，且线段AB 中点为31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，则线段AB 的垂直平分线的斜率为1-，故其方程为1322y x ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭，即10x y +-=，由圆的对称性知点C 在AB 的垂直平分线上，因此联立10,28,x y y x +-=⎧⎨=-⎩解得3,2,x y =⎧⎨=-⎩即点()3,2C -，又因为3r AC ==，所以圆C ：()()22329x y -++=．【小问2详解】圆心()3,2C -，半径3r =当1l 的斜率不存在时，1l ：2x =，则圆心C 到直线1l 的距离为1d =，此时相交弦长MN ==当1l 的斜率存在时，设1l ：()2y k x =-，即20kx y k --=，因为相交弦长MN ==所以C 到1l的距离为1d ==，解得34k =-，此时，直线1l ：3460x y +-=，综上，直线1l 的方程为2x =或3460x y +-=．18.已知椭圆C ：()222210+=>>x y a b a b的左、右焦点分别为()1F和)2F ，长轴长为4．（1）求椭圆C 的方程；（2）设P 为椭圆C 上一点，()1,0M ．若存在实数λ使得12PF PF PM λ+=，求λ的取值范围．【答案】（1）2214x y +=（2）4,3⎡⎢⎣．【解析】【分析】（1）根据椭圆,,a b c 的关系列方程组求得,,a b c 的值，即可得椭圆方程；（2）根据椭圆的定义可得124PF PF +=，再根据两点距离公式结合点在椭圆上求解PM 的取值范围，即可得所求.【小问1详解】由题知22224,,c a a b c ⎧=⎪=⎨⎪=+⎩解得2,1,a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩所以，C 的方程为2214x y +=．【小问2详解】由椭圆的定义可知124PF PF +=，设点 h t h ，其中220014x y +=，则220014x y =-，所以()222020200033421224433PM x y x x x ⎛⎫=-+=-+=-+ ⎪⎝⎭，因为022x -≤≤，所以2293PM ≤≤，即633PM ≤≤当且仅当043x =时，63PM =，02x =-时，3PM =，因为12PF PF PM λ+=，则12PF PF PM λ+=，所以4,3λ⎡∈⎢⎣．综上所述，λ的取值范围是4,3⎡⎢⎣．19.如图，在三棱台111ABC A B C -中，若1A A ⊥平面1,,2ABC AB AC AB AC AA ⊥===，111,A C N =为AB 中点，M 为棱BC 上一动点（不包含端点）.（1）若M 为BC 的中点，求证：1//A N 平面1C MA .（2）是否存在点M ，使得平面1C MA 与平面11ACC A 所成角的余弦值为66？若存在，求出BM 长度；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）23【解析】【分析】（1）利用三角形中位线定理，结合平行四边形的判定定理和性质、线面平行的判定定理进行证明即可；（2）利用空间向量夹角公式进行求解即可.【小问1详解】连接NM ，因为N 为AB 中点，M 为BC 的中点，所以1//,2NM AC NM AC =，因为111ABC A B C -是正三棱台，111,2A C AC ==，所以11111//,2AC AC AC AC =，于是有11111//,2NM A C NM A C =，因此四边形11NMC A 是平行四边形，所以111//,A N C M A N ⊄平面1C MA ，1C M ⊂平面1C MA ，所以1//A N 平面1C MA【小问2详解】假设存在点M ，使得平面1C MA 与平面11ACC A 所成角的余弦值为66，因为1A A ⊥平面,,ABC AB AC ⊂平面ABC ，所以11,A A AB AA AC ⊥⊥，而AB AC ⊥，所以建立如图所示的空间直角坐标系，()()()()()10,0,0,0,1,2,2,0,0,0,2,0,,,A C B C M x y z ，设()()()()()0,12,,2,2,022,2,0BM BC x y z M λλλλλ=∈⇒-=-⇒-，设平面1C MA 的法向量为(),,m a b c =，()()1220,1,2,0,,2,AC AM λλ=-=，所以有()1202,2,112220m AC b c m m AM a b λλλλ⎧⋅=+=⎪⎛⎫⇒=-⎨ ⎪-⎝⎭⋅=-+=⎪⎩，因为1A A AB ⊥，AB AC ⊥，11,,AA AC A AA AC A == ，所以AB ⊥平面11ACC A ，所以平面11ACC A 的法向量为()2,0,0AB =，所以41cos ,66m AB m AB m ABλ⋅==⇒⋅ ，解得13λ=，1λ=-舍去，即42,,033M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，223BM ==，即BM 长度为223.20.平面直角坐标系xOy 中，点M 到点()0,1F 的距离比它到x 轴的距离多1，记点M 的轨迹为C ．（1）求轨迹C 的方程；（2）设斜率为k 的直线l 过定点()1,0P ，若直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点，求实数k 的取值范围．【答案】（1）24,00,0y y x y ≥⎧=⎨<⎩（2）[)0,1．【解析】【分析】（1）根据题意列出等量关系并整理即可得出轨迹C 的方程；（2）分情况将曲线C 与直线方程联立，根据方程根的个数求得实数k 的取值范围．【小问1详解】设点 t1y =+，两边平方，并整理得24,0220,0y y x y y y ≥⎧=+=⎨<⎩,所以轨迹C 的方程为24,00,0y y x y ≥⎧=⎨<⎩.【小问2详解】易知直线():1l y k x =-，当0y ≥时，如下图所示：联立()214y k x x y⎧=-⎨=⎩，消去y 得2440x kx k -+=，21616k k ∆=-，当0∆=，即0k =或1k =时，有且仅有一个公共点且满足题意；当0∆<，即01k <<时，无公共点；当0y <时，令0x =，yk =-，当0k ≤时，无公共点；当0k >时，有一个公共点；综合以上可知当01k ≤<时，有且仅有一个公共点，故k 的取值范围是[)0,1．21.用一个矩形铁皮制作成一个直角圆形弯管（如图1）：将该矩形铁皮围成一个圆柱体（如图2），再用一个与圆柱底面所成45︒的平面截圆柱，将圆柱截成两段，再将这两段重新拼接就可以得到直角圆形弯管．现使用长为2π，宽为π的矩形铁皮制作一个直角圆形弯管，当得到的直角圆形弯管的体积最大时（不计拼接损耗部分），解答下列问题．（1）求该直角圆形弯管的体积；（2）已知在制造直角圆形弯管时截得的截口是一个椭圆，求该椭圆的离心率；（3）如图3，若将圆柱被截开的一段的侧面沿着圆柱的一条母线剪开，并展成平面图形（如图4），证明：该截口展开形成的图形恰好是某正弦型函数的部分图象，并指出该正弦型函数的最小正周期与振幅．【答案】（1）2π（2）22（3）证明见解析，最小正周期为2π，振幅为1【解析】【分析】（1）易知直角圆形弯管的体积即为切割前圆管体积，且当矩形的长或宽作为圆柱的高时，体积最大，分别求两种情况的体积；（2）根据圆柱截面的性质可得a =，即可得离心率；（3）以椭圆的短轴所在直线在底面的投影为x 轴建立平面直角坐标系，设对于底面圆上一点()cos ,sin P αα，则()1,0与P 所连接的弧长为α，假设短轴对应的高度为0，可得点P 对应到椭圆上的点的高度，即可得截口展开形成的图形的函数，进而可得最小正周期与振幅.【小问1详解】易知直角圆形弯管的体积即为切割前圆管体积，且当矩形的长或宽作为圆柱的高时，体积最大，当矩形的长作为圆柱的高时，圆柱体的底面圆周长为π，则底面半径为12，高为2π，体积为221π2ππ22⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭；当矩形的宽作为圆柱的高时，圆柱体的底面圆周长为2π，则底面半径为1，高为π，体积为222ππ1ππ2⨯=>；所以体积为2π；【小问2详解】设该椭圆为()222210+=>>x y a b a b，因此22a b =，即a =，所以22c e a ===；【小问3详解】以椭圆的短轴所在直线在底面的投影为x 轴建立平面直角坐标系，设对于底面圆上一点()cos ,sin P αα，则()1,0与P 所连接的弧长为α，假设短轴对应的高度为0，则点P 对应到椭圆上的点的高度为sin tan 45sin αα︒=，所以，截口展开形成的图形的函数解析式为sin y x =，最小正周期为2π，振幅为1.。

2024-2025学年第一学期高二数学期中考试2024.11（答案在最后）一、单选题（每小题4分，共40分）1.已知α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，下列说法正确的是（）A.若//αβ，l α⊂，m β⊂，则//l mB.若αβ⊥，l α⊂，则l β⊥C.若l α⊥，αβ⊥，则//l βD.若l α∥，m α⊥，则l m⊥【答案】D 【解析】【分析】根据空间中直线与平面，以及平面与平面的关系，即可结合选项逐一求解.【详解】对于A ，若//αβ，l α⊂，m β⊂，则//l m 或者l m ,异面，故A 错误，对于B ，若αβ⊥，l α⊂，且l 与α，β的交线垂直，才有l β⊥，否则l 与β不一定垂直，故B 错误，对于C ，若l α⊥，αβ⊥，则//l β或者l β⊂，故C 错误，对于D ，若l α∥，m α⊥，则l m ⊥，D 正确，故选：D2.下列可使非零向量,,a b c构成空间的一组基底的条件是（）A.,,a b c两两垂直B.b cλ=C.a mb nc=+ D.0a b c ++= 【答案】A 【解析】【分析】由基底定义和共面定理即可逐一判断选项A 、B 、C 、D 得解.【详解】由基底定义可知只有非零向量,,a b c不共面时才能构成空间中的一组基底.对于A ，因为非零向量,,a b c 两两垂直，所以非零向量,,a b c不共面，可构成空间的一组基底，故A 正确；对于B ，b c λ= ，则,b c 共线，由向量特性可知空间中任意两个向量是共面的，所以a 与,b c 共面，故B错误；对于C ，由共面定理可知非零向量,,a b c共面，故C 错误；对于D ，0a b c ++=即a b c =--，故由共面定理可知非零向量,,a b c共面，故D 错误.故选：A.3.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，则点B 到直线1AC 的距离为（）A.23B.33C.3D.223【答案】C 【解析】【分析】利用解直角三角形可求点B 到直线AC 1的距离.【详解】如图，连接1BC ，由正方体的性质可得1BC =1AB BC ⊥，故B 到1AC 的63=，故选：C.4.已知直线l 的方向向量为()1,2,4v =- ，平面α的法向量为(),1,2n x =-，若直线l 与平面α垂直，则实数x 的值为（）A.10-B.10C.12-D.12【答案】D 【解析】【分析】根据线面垂直得到()1,2,4v =- 与(),1,2n x =- 平行，设v kn =r r ，得到方程组，求出12x =.【详解】直线l 与平面α垂直，故()1,2,4v =- 与(),1,2n x =-平行，设v kn =r r ，即1224kx k k =⎧⎪=⎨⎪-=-⎩，解得12x =.故选：D5.《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵111ABC A B C -中，,M N 分别是111,AC BB 的中点，G 是MN 的中点，若1AG xAB y AA z AC =++，则x y z ++=（）A.1B.12C.32D.34【答案】C 【解析】【分析】连接,AM AN ，由()111312244AG AM AN AB AA AC =+=++，即可求出答案.【详解】连接,AM AN如下图：由于G 是MN 的中点，()12AG AM AN=+∴11111222AA AC AB AA ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭1131244AB AA AC =++.根据题意知1AG xAB y AA z AC =++ .32x y z ∴++=.故选：C.6.已知直线1:3470l x y -+=与直线()2:6110l x m y m -++-=平行，则1l 与2l 之间的距离为（）A.2B.3C.4D.5【答案】A 【解析】【分析】根据两条直线平行，求出m 值，再应用平行线间的距离公式求值即可.【详解】因为直线1:3470l x y -+=与直线()2:6110l x m y m -++-=平行，所以6(1)1=347m m -+-≠-，解之得7m =.于是直线2:6860l x y --=，即2:3430l x y --=，所以1l 与2l2=.故选：A7.若直线y kx =与圆()2221x y -+=的两个交点关于直线20x y b ++=对称，则k ，b 的直线分别为（）A.12k =，4b =- B.12k =-，4b =C.12k =，4b = D.12k =-，4b =-【答案】A 【解析】【分析】由圆的对称性可得20x y b ++=过圆的圆心且直线y kx =与直线20x y b ++=垂直，从而可求出,k b .【详解】因为直线y kx =与圆()2221x y -+=的两个交点关于直线20x y b ++=对称，故直线y kx =与直线20x y b ++=垂直，且直线20x y b ++=过圆心()2,0，所以()21k ⨯-=-，2200b ⨯++=，所以12k =，4b =-.故选：A【点睛】本题考查直线方程的求法，注意根据圆的对称性来探求两条直线的位置关系以及它们满足的某些性质，本题属于基础题.8.已知圆()()22:349C x y -+-=，直线l 过点()2,3P ，则直线l 被圆C 截得的弦长的最小值为（）A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】先判断出()2,3P 与圆的位置关系，然后根据圆心到直线l 的距离的最大值求解出弦长的最小值.【详解】直线l 恒过定点()2,3P ，圆()()22:349C x y -+-=的圆心为()3,4C ，半径为3r =，又()()222233429PC=-+-=<，即P 在圆内，当CP l ⊥时，圆心C 到直线l 的距离最大为d PC =，此时，直线l 被圆C 截得的弦长最小，最小值为=．故选：A .9.已知圆C 的方程为22(2)x y a +-=，则“2a >”是“函数y x =的图象与圆C 有四个公共点”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】找出||y x =与圆有四个公共点的等价条件，据此结合充分条件、必要条件概念判断即可.【详解】由圆C 的方程为22(2)x y a +-=可得圆心()0,2，半径r =，若圆与函数y x =相交，则圆心到直线y x =的距离d ==<即2a >，若函数y x =的图象与圆C 有四个公共点，则原点在圆的外部，即220(02)a +->，解得4a <，综上函数y x =的图象与圆C 有四个公共点则24a <<，所以“2a >”是“函数y x =的图象与圆C 有四个公共点”的必要不充分条件，故选：B10.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A 、B 的距离之比为定值(1)λλ≠的点所形成的图形是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy 中，(2,0)A -，(4,0)B .点P 满足||1||2PA PB =，设点P 所构成的曲线为C ，下列结论不正确的是（）A.C 的方程为22(4)16x y ++=B.在C 上存在点D ，使得D 到点(1,1)的距离为3C.在C 上存在点M ，使得||2||MO MA =D.C 上的点到直线34130x y --=的最小距离为1【答案】C 【解析】【分析】对A ：设点 th ，由两点的距离公式代入化简判断；对B ：根据两点间的距离公式求得点(1,1)到圆上的点的距离的取值范围，由此分析判断；对C ：设点 th ，求点M 的轨迹方程，结合两圆的位置关系分析判断；对D ：结合点到直线的距离公式求得C 上的点到直线34130x y --=的最大距离，由此分析判断.【详解】对A ：设点 th ，∵12PA PB =12=，整理得()22416x y ++=，故C 的方程为()22416x y ++=，故A 正确；对B ：()22416x y ++=的圆心()14,0C -，半径为14r =，∵点(1,1)到圆心()14,0C -的距离1d==，则圆上一点到点(1,1)的距离的取值范围为[]1111,4d r d r ⎤-+=⎦，而)34∈，故在C 上存在点D ，使得D 到点(1,1)的距离为9，故B 正确；对C ：设点 th ，∵2MO MA ==，整理得2281639x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，∴点M 的轨迹方程为2281639x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，是以28,03C ⎛⎫- ⎪⎝⎭为圆心，半径243r =的圆，又12124833C C r r =<=-，则两圆内含，没有公共点，∴在C 上不存在点M ，使得2MO MA =，C 不正确；对D ：∵圆心()14,0C -到直线34130x y --=的距离为25d ==，∴C 上的点到直线34130x y --=的最小距离为211d r -=，故D 正确；故选：C.【点睛】思路点睛：利用点与圆的位置关系来判定B ，利用圆与圆的位置关系来判定C ，结合数形思想即可.二、填空题（每小题5分，共25分）11.已知圆锥的母线与底面所成角为45 ，高为1.则该圆锥的体积为________.【答案】1π3##π3【解析】【分析】根据圆锥的结构特征，圆锥底面半径、高、母线长构成一个直角三角形，从而求出圆锥底面半径，再利用锥体的体积公式即可求解.【详解】因为圆锥底面半径OA 、高PO 、母线PA 构成一个Rt PAO △，又45PAO ∠= ，1PO =，所以底面圆半径1OA =，则该圆锥的体积22111π×π11π333V OA PO =⨯⨯=⨯⨯⨯=，故答案为：1π3.12.已知平面α的一个法向量为(2,3,5)n =，点(1,3,0)A --是平面α上的一点，则点(3,4,1)P --到平面α的距离为__________.【答案】3819【解析】【分析】利用空间向量法可得出点P 到平面α的距离为PA nd n⋅= ，即可求解.【详解】由题意可知()2,1,1PA =-，根据点P 到平面α的距离为19PA nd n⋅==.故答案为：381913.过两条直线1:30l x y -+=与2:20l x y +=的交点，倾斜角为π3的直线方程为____________（用一般式表示）20y -++=【解析】【分析】联立两方程求出交点坐标，再由点斜式写出直线方程，然后化为一般形式即可；【详解】由题意可得12:30:20l x y l x y -+=⎧⎨+=⎩，解得交点坐标为()1,2-，又所求直线的倾斜角为π3，故斜率为πtan 3=所以直线方程为)21y x -=+，20y -++=.14.已知某隧道内设双行线公路，车辆只能在道路中心线一侧行驶，隧道截面是半径为4米的半圆，若行驶车辆的宽度为2.5米，则车辆的最大高度为______________米．【答案】392【解析】【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，得出半圆方程，设(2.5,0)A ，求出A 点处半圆的高度即可得．【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，O 是圆心， 2.5OA =，半圆方程为2216x y +=（0y ≥）(2.5,0)A ，B 在半圆上，且BA ⊥x 轴，则2216 2.59.75B y =-=，2B y =，故答案为：2．15.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 在线段1BC （不包含端点）上运动，则下列结论正确的是______.（填序号）①正方体1111ABCD A B C D -的外接球表面积为48π；②异面直线1A M 与1AD 所成角的取值范围是,32ππ⎛⎤⎥⎝⎦；③直线1//A M 平面1ACD ；④三棱锥1D AMC -的体积随着点M 的运动而变化.【答案】②③【解析】【分析】由正方体的对角线即为外接球的直径求得球表面积判断①，由异面直线所成角的定义确定1A M 与1BC 的夹角范围判断②，根据线面平面平行的判定定理判断③，换度后由三棱锥体积公式判断④．【详解】正方体对角线长为，即这外接球直径，因此球半径为r =2412ππ==S r ，①错；正方体中AB 与11C D 平行且相等，11ABC D 是平行四边形，11//AD BC ，11A BC V 是正三角形，1A M 与1BC 的夹角（锐角或直角）的范围是[,32ππ，因此②正确；由②上知11//BC AD ，而1BC ⊄平面1ACD ，1AD ⊂平面1ACD ，所以1//BC 平面1ACD ，同理1//A B 平面1ACD ，又11A B BC B ⋂=，11,A B BC ⊂平面11A BC ，所以平面11//A BC 平面1ACD ，而1A M ⊂平面11A BC ，所以1//A M 平面1ACD ，③正确；由1//BC 平面1ACD ，因此M 到平面1ACD 的距离不变，所以11D AMC M ACD V V --=不变，④错．故答案为：②③．三、解答题（共85分）16.已知ABC V 顶点()1,2A 、()3,1B --、()3,3C -．（1）求线段BC 的中点及其所在直线的斜率；（2）求线段BC 的垂直平分线1l 的方程；（3）若直线2l 过点A ，且2l 的纵截距是横截距的2倍，求直线2l 的方程．【答案】（1）中点为()0,2-，13-（2）320x y --=；（3）2y x =或240x y +-=.【解析】【分析】（1）根据中点坐标公式和斜率公式求解；（2）根据（1）中结果结合两直线垂直的斜率关系，得出中垂线斜率，然后利用点斜式方程求解；（3）分类讨论直线是否过原点结合截距式方程即可求解【小问1详解】由()3,1B --、()3,3C -，可知BC 中点为()0,2-，且()()311333BC k ---==---，【小问2详解】由（1）可得13BC k =-，BC 垂直平分线斜率1k 满足11BC k k ⋅=-，即13k =，又BC 的垂直平分线过(0,2)-，所以边BC 的垂直平分线1l 的方程为()()230y x --=-，即320x y --=；【小问3详解】当直线2l 过坐标原点时，2221k ==，此时直线2:2l y x =，符合题意；当直线2l 不过坐标原点时，由题意设直线方程为12x y a a +=，由2l 过点()1,2A ，则1212a a +=，解得2a =，所以直线2l 方程为124x y +=，即240x y +-=，综上所述，直线2l 的方程为2y x =或240x y +-=.17.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 经过点()1,0A 和点()1,2B -，且圆心在直线220x y -+=上.（1）求圆C 的标准方程；（2）若直线3x ay =+被圆C 截得弦长为a 的值.【答案】（1）()2214x y ++=（2）a =【解析】【分析】（1）先求线段AB 的垂直平分线所在直线的方程，进而求圆心和半径，即可得方程；（2）由垂径定理可得圆心到直线的距离1d =，利用点到直线的距离公式运算求解.【小问1详解】因为()1,0A ，()1,2B -的中点为()0,1E ，且直线AB 的斜率20111AB k -==---，则线段AB 的垂直平分线所在直线的方程为1y x =+，联立方程1220y x x y =+⎧⎨-+=⎩，解得10x y =-⎧⎨=⎩，即圆心()1,0C -，2r CA ==，所以，圆C 的方程为()2214x y ++=.【小问2详解】因为直线3x ay =+被曲线C截得弦长为，则圆心到直线的距离1d ==，由点到直线的距离公式可得1=，解得a =18.已知圆22:68210C x y x y +--+=，直线l 过点()1,0A .（1）求圆C 的圆心坐标及半径长；（2）若直线l 与圆C 相切，求直线l 的方程；（3）设直线l 与圆C 相切于点B ，求 R .【答案】（1）圆心坐标为 th ，半径长为2.（2）1x =或3430x y --=.（3）4.【解析】【分析】（1）将圆化为标准方程即可求出圆心坐标以及半径长；（2）讨论直线l 的斜率不存在与存在两种情况，不存在时设出直线方程kx y k 0--=根据点到直线距离公式求解即可；（3）根据两点间距离公式求出AC 长，再根据勾股定理求解即可.【小问1详解】圆C 方程可化为:()()22344x y -+-=，圆心坐标为 th ，半径长为2.【小问2详解】①当直线l 的斜率不存在时，方程为 ，圆心 th 到直线l 距离为2，满足题意．②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程是h ，即kx y k 0--=.由圆心()34，到直线l2=，解得34k =，此时直线l 的方程为3430x y --=.综上，直线l 的方程为 或3430x y --=.【小问3详解】∵圆C 的圆心坐标为 th ，()1,0A ，∴()()22314025AC =-+-=.如图，由相切得，AB BC ⊥，2BC =，∴222044AB AC BC =-=-=.19.如图所示，在几何体ABCDEFG 中，四边形ABCD 和ABFE 均为边长为2的正方形，//AD EG ，AE ⊥底面ABCD ，M 、N 分别为DG 、EF 的中点，1EG =.（1）求证：//MN 平面CFG ；（2）求直线AN 与平面CFG 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）53【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，求得直线MN 的方向向量31,,12MN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，求得平面CFG 的法向量1n ，然后利用10n MN ⋅= ，证明1MN n ⊥ ，从而得出//MN 平面CFG ；（2）求得直线AN 的方向向量()1,0,2AN = ，由（1）知平面CFG 的法向量1n ，结合线面角的向量公式即可得解.【小问1详解】因为四边形ABCD 为正方形，AE ⊥底面ABCD ，所以AB ，AD ，AE 两两相互垂直，如图，以A 为原点，分别以AB ，AD ，AE 方向为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系A xyz -，由题意可得 t t ，()2,0,0B ，()2,2,0C ，()0,2,0D ，()0,0,2E ，()2,0,2F ，()0,1,2G ，30,,12M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()1,0,2N ，则()0,2,2CF =- ，()2,1,2CG =-- ，31,,12MN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 设平面CFG 的一个法向量为 th t ，则11n CF n CG⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩ ，故11·=0·=0n CF n CG ⎧⎪⎨⎪⎩ ，即11111220220y z x y z -+=⎧⎨--+=⎩，则111112y z x z =⎧⎪⎨=⎪⎩，令12z =，得()11,2,2n = ，所以()1331,2,21,,111221022n MN ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅-=⨯+⨯-+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1MN n ⊥ ，又MN ⊄平面CFG ，所以//MN 平面CFG .【小问2详解】由（1）得直线AN 的一个方向向量为()1,0,2AN = ，平面CFG 的一个法向量为()11,2,2n = ，设直线AN 与平面CFG 所成角为θ，则111sin cos,3n ANn ANn ANθ⋅=====⋅，所以直线AN与平面CFG 所成角的正弦值为53.20.如图，已知等腰梯形ABCD中，//AD BC，122AB AD BC===，E是BC的中点，AE BD M=，将BAE沿着AE翻折成1B AE△，使1B M⊥平面AECD.（1）求证：CD⊥平面1B DM；（2）求平面1B MD与平面1B AD夹角的余弦值；（3）在线段1B C上是否存在点P，使得//MP平面1B AD，若存在，求出11B PB C的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）155（3）存在，1112B PB C=.【解析】【分析】（1）作出辅助线，得到四边形ABED是菱形，AE BD⊥，得到1,AE B M AE DM⊥⊥，证明出AE⊥平面1B DM，再证明出四边形AECD是平行四边形，故//AE CD，所以CD⊥平面1B DM；（2）证明出1,,AE B M DM两两垂直，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出两平面的法向量，利用面面角的余弦向量公式求出平面1B MD与平面1B AD夹角余弦值；（3）假设线段1B C上存在点P，使得//MP平面1B AD，作出辅助线，得到A M P Q，，，四点共面，四边形AMPQ为平行四边形，所以12PQ AM CD==，所以P是1B C的中点，求出11B PB C.【小问1详解】如图，在梯形ABCD 中，连接DE ，因为E 是BC 的中点，所以12BE BC =，又122AD BC ==，所以AD BE =，又因为//AD BE ，所以四边形ABED是平行四边形，因为AB AD =，所以四边形ABED 是菱形，从而AE BD ⊥，BAE 沿着AE 翻折成1B AE △后，有1,AE B M AE DM⊥⊥又11,,B M DM M B M DM =⊂ 平面1B DM ，所以AE ⊥平面1B DM ，由题意，易知//,AD CE AD CE =，所以四边形AECD 是平行四边形，故//AE CD ，所以CD ⊥平面1B DM .【小问2详解】因为1B M ⊥平面AECD ，DM ⊂平面AECD ，则有1B M DM ⊥，由（1）知1,AE B M AE DM ⊥⊥，故1,,AE B M DM 两两垂直，以M 为坐标原点，1,,ME MD MB 所在直线分别为,,x y z轴，建立空间直角坐标系，因为AB BE AE ==，所以ABE 为等边三角形，同理ADE V 也为等边三角形，则(()()1,1,0,0,0,B A D -，设平面1B AD 的一个法向量为 tht ，则()()()(1,,0,,0m AD x y z x m B D x y z ⎧⋅=⋅=+=⎪⎨⋅=⋅=-=⎪⎩ ，令1y =得1x z ==，故()m = ，又平面1B MD 的一个法向量为()1,0,0n = ，则cos ,5m n m n m n ⋅==⋅ ，故平面1B MD 与平面1B AD 夹角的余弦值为5；【小问3详解】假设线段1B C 上存在点P ，使得//MP 平面1B AD ，过点P 作PQ CD∥交1B D 于Q ，连接MP AQ ，，如图所示：所以////AM CD PQ ，所以A M P Q ，，，四点共面，又因为//MP 平面1B AD ，所以//MP AQ ，所以四边形AMPQ 为平行四边形，所以12PQ AM CD ==，所以P 是1B C 的中点，故在线段1B C 上存在点P ，使得//MP 平面1B AD ，且1112B P B C =.21.“曼哈顿几何”也叫“出租车几何”，是在19世纪由赫尔曼·闵可夫斯基提出来的．如图是抽象的城市路网，其中线段AB 是欧式空间中定义的两点最短距离，但在城市路网中，我们只能走有路的地方，不能“穿墙”而过，所以在“曼哈顿几何”中，这两点最短距离用(),d A B 表示，又称“曼哈顿距离”，即(),d A B AC CB =+，因此“曼哈顿两点间距离公式”：若()11,A x y ，()22,B x y ，则()2121,d A B x x y y =-+-（1）①点()A 3,5，()2,1B -，求(),d A B 的值．②求圆心在原点，半径为1的“曼哈顿单位圆”方程．（2）已知点()10B ,，直线220x y -+=，求B 点到直线的“曼哈顿距离”最小值；（3）设三维空间4个点为(),,i i i i A x y z =，1,2,3,4i =，且i x ，i y ，{}0,1i z ∈．设其中所有两点“曼哈顿距离”的平均值即d ，求d 最大值，并列举最值成立时的一组坐标．【答案】（1）①7；②1x y +=；（2）2；（3）2，()10,0,0A ，()21,0,1A ，()31,1,0A ，()40,1,1A .【解析】【分析】（1）①②根据“曼哈顿距离”的定义求解即可；（2）设直线220x y -+=上任意一点坐标为()11,22C x x +，然后表示(),d C B ，分类讨论求(),d C B 的最小值；（3）将i A 的所有情况看做正方体的八个顶点，列举出不同情况的d ，即可得到d 的最小值.【小问1详解】①(),32517d A B =-++=；②设“曼哈顿单位圆”上点的坐标为(),x y ，则001x y -+-=，即1x y +=.【小问2详解】设直线220x y -+=上任意一点坐标为()11,22C x x +，则()11,122d C B x x =-++，当11x <-时，()1,31d C B x =--，此时(),2d C B >；当111x -≤≤时，()1,3d C B x =+，此时(),2d C B ≥；当11x >时，()1,31d C B x =+，此时(),4d C B >，综上所述，(),d C B 的最小值为2.【小问3详解】如图，A B C D E F G H ''''''''-为正方体，边长为1，则i A 对应正方体的八个顶点，当四个点在同一个面上时，（i ）例如：,,,A B C D ''''，此时121121463d +++++==；（ii ）例如：,,,A E G C ''''，此时23113226d +++++==；当四个点不在同一个平面时，（iii ）例如：,,,A C H D ''''，此时22222226d +++++==；（iiii ）例如：,,,A B E D ''''，此时221112563d +++++==；（iiiii ）例如：,,,A B E H ''''，此时112231563d +++++==；（iiiiii ）例如：,,,A B E G ''''，此时1223121166d +++++==；综上所述，d 的最大值为2，例如：()10,0,0A ，()21,0,1A ，()31,1,0A ，()40,1,1A .。

高二年级上学期期中考试数学试卷一、单项选择题（每小题5分；共40分；请将正确选项填到答题栏里面去） 1、设,0<<b a 则下列不等式中不．成立的是 Ab a 11> B ab a 11>- C b a -> D b a ->- 2、原点O 和点A （1；1）在直线x+y=a 两侧；则a 的取值范围是A a ＜0或 a ＞2B 0＜a ＜2C a=0或 a=2D 0≤a ≤23、在⊿ABC 中；已知ba c b a 2222+=+；则∠C= A 300 B 1500 C 450 D 13504、等差数列}a {n 中；已知前15项的和90S 15=；则8a 等于 A245 B 12 C 445 D 6 5、若a ；b ；c 成等比数列；m 是a ；b 的等差中项；n 是b ；c 的等差中项；则=+ncm a A 4 B 3 C 2 D 16、等比数列{a n }中；a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n =2n －1；则a 12＋a 22＋a 32＋…+a n 2等于A 2)12(-nB )12(31-nC 14-nD )14(31-n7、若c b a 、、成等比数列；则关于x 的方程02=++c bx ax A 必有两个不等实根B 必有两个相等实根C 必无实根D 以上三种情况均有可能8、下列结论正确的是A 当2lg 1lg ,10≥+≠>xx x x 时且 B 21,≥+>x x x 时当C 21,2的最小值为时当x x x +≥D 无最大值时当xx x 1,20-≤<二、填空题（每小题5分；共30分；请将正确选项填到答题栏里面去）9、若0＜a ＜b 且a +b=1则 21； a ； 2a b ； 22b a +；中的最大的是 ．10、若x 、y ∈R +； x +4y =20；则xy 的最大值为 ．11、飞机沿水平方向飞行；在A 处测得正前下方地面目标C 得俯角为30°；向前飞行10000米；到达B 处；此时测得目标C 的俯角为75°；这时飞机与地面目标的水平距离为12、实数x 、y 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-≥02200y x y x y ；则13+-=x y k 的取值范围为 .13、数列 121； 241； 381； 4161； 5321； …； n n 21； 的前n 项之和等于 ．14、设.11120,0的最小值，求且yx y x y x +=+>> ．试 卷 答 题 栏 班级______姓名__________分数_________二、填空题：（每小题5分；共30分）9、 10、 11、12、 13、． 14、三、解答题15、在⊿ABC 中；已知030,1,3===B b c .（Ⅰ）求出角C 和A ； （Ⅱ）求⊿ABC 的面积S ；16、已知等差数列{}n a 的首项为a ；公差为b ；且不等式2)6x 3ax (log 22>+- 的解集为{}1|x x x b <>或 ．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S 公式 ；（Ⅱ）求数列{11+⋅n n a a }的前n 项和T n17、解关于x的不等式ax2－2(a＋1)x＋4＜0．18、某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱；已知生产甲种棉纱1吨需耗一级子棉2吨、二级子棉1吨；生产乙种棉纱需耗一级子棉1吨、二级子棉2吨；每1吨甲种棉纱的利润是600元；每1吨乙种棉纱的利润是900元；工厂在生产这两种棉纱的计划中要求消耗一级子棉不超过300吨、二级子棉不超过250吨．甲、乙两种棉纱应各生产多少(精确到吨)；能使利润总额最大?19、设,4,221==a a 数列}{n b 满足：,1n n n a a b -=+ .221+=+n n b b （Ⅰ）求证数列}2{+n b 是等比数列(要指出首项与公比)； （Ⅱ）求数列}{n a 的通项公式.20、（Ⅰ）设不等式2x －1＞m (x 2－1)对满足22≤≤-m 的一切实数m 的取值都成立；求x 的取值范围；（7分）（Ⅱ）是否存在m 使得不等式2x －1＞m (x 2－1)对满足22≤≤-x 的实数x 的取值都成立．（7分）高二年级期中考试数学试卷参考答案二、填空题：（每小题5分；共30分）9、 22b a + 10、 25 11、5000米12、-3≤K ≤31- 13、n n n 21222-++ 14、3+22 15、（1）bcB C =sin sin；23sin =C 000030,120,90,60,,====∴>>A C A C B C b c 此时或者此时（2）S=0.5bcsinA=43,23 16、解 ：（Ⅰ）∵不等式2)6x 3ax (log 22>+-可转化为02x 3ax 2>+-；所给条件表明：02x 3ax 2>+-的解集为{}b x or 1x |x ><；根据不等式解集的意义 可知：方程02x 3ax 2=+-的两根为1x 1=、b x 2=． 利用韦达定理不难得出2b ,1a ==．由此知1n 2)1n (21a n -=-+=；2n s n =（Ⅱ）令)121121(21)12()12(111+--=+⋅-=⋅=+n n n n a a b n n n则⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=++++=12112171515131)3111(21321n n b b b b T n n =⎪⎭⎫⎝⎛+-121121n17、解：当a ＝0时；不等式的解为x ＞2； 当a ≠0时；分解因式a (x －a2)(x －2)＜0当a ＜0时；原不等式等价于(x －a2)(x －2)＞0；不等式的解为x ＞2或x ＜a2；当0＜a ＜1时；2＜a2；不等式的解为2＜x ＜a2；当a ＞1时；a2＜2；不等式的解为a2＜x ＜2；当a ＝1时；不等式的解为 Φ 。

江苏省扬州中学2024-2025学年第一学期期中试卷 高 二 数 学 2024.11一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．圆()()22232x y +++=的圆心和半径分别是（ ） A ．()2,3-，1B ．()2,3-，3C ．()2,3--，D ．()2.3-，2．经过两点(2,7)A ，(4,6)B 的直线的斜率为（ ） A ．12- B ．2-C ．12D ．23．椭圆的焦点为12,,F F P 为椭圆上一点，若13PF =，则2PF =（ ）A ．4B ．3C ．5D ．74．已知双曲线22:1y C x m -=的离心率大于实轴长，则m 的取值范围是（ ）A ．(3,)+∞B．)+∞C ．(0,3)D．5．两平行直线320mx y --=与4670x y --=之间的距离为（ ） ABCD6．已知圆22:330C x y mx y +-++=关于直线:0l mx y m +-=对称，则实数m =（ ） A ．1或3-B ．1C ．3D ．1-或37．已知抛物线 的焦点为F ，若抛物线上一点M 满足 ， ，则p =（ ） A ．3B ．4C ．6D ．88．如图，双曲线2218y x -=的左右焦点分别为1F 、2F ，过1F 的直线l 与该双曲线的两支分别交于A 、B 两点（A 在线段1F B 上），⊙1O 与⊙2O 分别为12AF F △与2ABF △的内切圆，其半径分别为1r 、2r ，则12r r 的取值范围是（ ） A ．1132⎛⎫ ⎪⎝⎭， B ．1233⎛⎫ ⎪⎝⎭， C ．1223⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ． ，二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9．下列说法正确的是（ ）A ．若0abc ≠，且直线0ax by c ++=不经过第二象限，则0ab >，0bc <.B ．方程()()21250x y λλ++--=（R λ∈）表示的直线都经过点()2,1.C ．m ∈R ，直线220m x y ++=不可能与y 轴垂直.D ．直线3310x y +-=的横、纵截距相等.10．已知曲线:44C x x y y =-．点1F ，2(0,F ，则以下说法正确的是（ ）A ．曲线C 关于原点对称B ．曲线C 存在点P ，使得124PF PF -= C ．直线2y x =与曲线C 没有交点D ．点Q 是曲线C 上在第三象限内的一点，过点Q 向2y x =±作垂线，垂足分别为A ，B ，则45QA QB ⋅=.11．已知集合(){}22,(cos )(sin )4,0πP x y x y θθθ=-+-=≤≤∣.由集合P 中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如美丽的“水滴”.给出下列结论，正确的有（ ）A ．白色“水滴”区域（含边界）任意两点间距离的最大值为1+B ．在阴影部分任取一点M ，则M 到坐标轴的距离小于等于3.C ．阴影部分的面积为8π.D ．阴影部分的内外边界曲线长为8π.三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12．若双曲线()222210,0y x a b a b -=>>的离心率为2，则其两条渐近线所成的锐角的大小为 .13．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为 、 ，过点2F 的直线交椭圆于A 、B 两点，若1AB F B ⊥，14sin 5F AB ∠=，则该椭圆的离心率为 . 14．已知(),P a b 为曲线 上的动点，则223a b a b --++的最大值为 .四、解答题:本题共5小题，共77分.解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知 的顶点坐标是()()()2,0,6,2,2,3,A B C M --为AB 的中点. (1)求中线CM 的方程；(2)求经过点B 且与直线AC 平行的直线方程.16．已知双曲线的离心率为()5,,03F c 为双曲线的右焦点，且点F 到直线2a x c=的距离为165. (1)求双曲线C 的方程；(2)若点()12,0A ，点P 为双曲线C 左支上一点，求PA PF +的最小值.17．已知()6,2A m +，()24,8B m +是抛物线C ：()221y px p =>上的两点．(1)求抛物线C 的方程；(2)若斜率为()0k k ≠的直线l 经过C 的焦点，且与C 交于P ，Q 两点，求2PQ k +的最小值．18．椭圆C 与椭圆1C ：2212x y +=有相同的焦点，且经过点31,2Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭.(1)求椭圆C 的方程；(2)椭圆C 的右焦点为B ，设动直线l 与坐标轴不垂直，l 与椭圆C 交于不同的M ，N 两点，且直线BM 和BN 的斜率互为相反数.①证明：动直线l 恒过x 轴上的某个定点，并求出该定点的坐标. ②求 面积的最大值.19．定义：M 是圆C 上一动点，N 是圆C 外一点，记MN 的最大值为m ，MN 的最小值为n ，若2m n =，则称N 为圆C 的“黄金点”；若G 同时是圆E 和圆F 的“黄金点”，则称G 为圆“E F -”的“钻石点”.已知圆A ：()()221113x y +++=，P 为圆A 的“黄金点” (1)求点P 所在曲线的方程.(2)已知圆B ：()()22221x y -+-=，P ，Q 均为圆“A B -”的“钻石点”. ①求直线PQ 的方程.②若圆H 是以线段PQ 为直径的圆，直线l ：13y kx =+与圆H 交于I ，J 两点，对于任意的实数k ，在y 轴上是否存在一点W ，使得y 轴平分IWJ ∠？若存在，求出点W 的坐标；若不存在，请说明理由.江苏省扬州中学2024-2025学年第一学期期中试卷 高二数学（参考答案） 2024.118．【详解】设11222,,6,2,2AF m BA p F F AF m BF m p ====+=+-，，，()()11224m r S m S p m p r +∴==+.在 12AF F 与 2AF B 中：122cos cos F AF F AB ∠=-∠， 即()()()()()2222222262222224m m m p m p m p m m m pm++-++-+-=-⇒=⋅⋅+⋅+⋅-，32212324444444m m r m mp m m m r p mp m m m++-∴===+++--， 当//l 双曲线的斜率为正的渐近线时，m 取最大，此时p →+∞，404m m ∴-=⇒=， 当l 与x 轴重合时，m 取最小，此时2m =，经上述分析得：()2,4m ∈，1212,23r r ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭.故选：C. 10．【详解】当0,0x y ≥>时，曲线22:44x y =-，即2214y x -=；当0,0x y ≥<时，曲线22:44C x y =--，即2214y x +=-；不存在；0,0x y ≤≥时，曲线22:44C x y -=-，即2214y x +=；0,0x y <≤时，曲线22:44C x y -=--，即2214y x -=；画出图形如右：对于A ，由图可得A 错误，故A 错误；对于B ，方程2214y x -=是以12,F F 为上下焦点的双曲线，当0,0x y ≥>时，曲线C 存在点P ，使得214PF PF -=，故B 错误；对于C ，一三象限曲线的渐近线方程为2y x =，所以直线2y x =与曲线C 没有交点，故C 正确； 对于D ，设()00,Q x y ，设点A 在直线2y x =上，点B 在直线2y x =-， 则由点到直线的距离公式可得QA QB所以220045x y QA QB -⋅==，又点Q 是曲线C 上在第三象限内的一点， 代入曲线方程可得22004455x y QA QB -⋅==，故D 正确；故选：CD.11．【详解】对于A ，由于22(cos )(sin )4x y θθ-+-=，令0x =时，整理得[]32sin 0,2y yθ=-∈，解得[1][3,3]y ∈-，“水滴”图形与y 轴相交，最高点记为A ，则点A 的坐标为，点(0,1)B -，白色“水滴”区域（含边界）任意两点间距离的最大值为||1AB =A 正确；对于B ，由于22(cos )(sin )4x y θθ-+-=，整理得：2cos cos 2sin sin x y αθαθ=+⎧⎨=+⎩，所以2cos cos ,2sin sin )(M αθαθ++，所以M 到坐标轴的距离为||2cos cos αθ+或|2sin sin |αθ+， 因为cos [1,1],sin [0,1]θθ∈-∈，所以2cos cos ||2cos ||cos |213|αθαθ+≤+≤+=，|2sin sin ||2sin ||sin |213αθαθ+≤+≤+=， 所以M 到坐标轴的距离小于等于3，故B 正确；对于C ，由于22(cos )(sin )4x y θθ-+-=，令0y =时，整理得[]32cos 2,2y yθ=-∈-， 解得[3,1][1,3]x ∈--，因为22(cos )(sin )4x y -+-=θθ表示以()cos ,sin Q θθ为圆心，半径为2r =的圆， 则13r OQ OP OQ r =-≤≤+=，且0πθ≤≤，则()cos ,sin Q θθ在x 轴上以及x 轴上方，故白色“水滴”的下半部分的边界为以O 为圆心，半径为1的半圆，阴影的上半部分的外边界是以O 为圆心，半径为3的半圆，根据对称可知：白色“水滴”在第一象限的边界是以以()1,0M -为圆心，半径为2的圆弧， 设()1,0N ，则2AN AM MN ===，即 所对的圆心角为π3，同理所在圆的半径为2，所对的圆心角为π3，阴影部分在第四象限的外边界为以()1,0N 为圆心，半径为2的圆弧，设()()3,0,3,0G H -，可得π1,3ON OD OND ==∠=， 所对的圆心角为2π3， 同理 所在圆的半径为2，所对的圆心角为2π3，故白色“水滴”图形由一个等腰三角形，两个全等的弓形，和一个半圆组成，所以它的面积是212π111π2π1222326S S S S ⎛=++=⨯⨯+⨯+⨯⎝弓形半圆x 轴上方的半圆（包含阴影和水滴的上半部分）的面积为219π3π22⨯=，第四象限的阴影和水滴部分面积可以看作是一个直角三角形和一个扇形的面积的和，且等于2114π21π323⨯⨯+=所以阴影部分的面积为941116π2(πππ2363+-+=+C 错误；对于D ，x 轴上方的阴影部分的内外边界曲线长为1π4132π3223πππ2333⨯⨯+⨯⨯=+=，x 轴下方的阴影部分的内外边界曲线长为111112π1(2π2π2)2π2233⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯=，所以阴影部分的内外边界曲线长为13π11π8π33+=，故D 正确.故选：ABD.12．π3 13【详解】如图，设14BF t =，因为1AB F B ⊥，14sin 5F AB ∠=，所以15,3AF t AB t ==．由椭圆定义可知，21212=25,224AF a AF a t BF a BF a t =--=-=-，由22493AB AF BF a t t =+=-=，可得13t a =，所以1242,33BF a BF a ==．在 中，由2221212||||||F F BF BF =+，可得222424()()33a a c =+，即得2295c a =，故得c e a ==.14．9+【详解】曲线1y =()()22141x y y +-=≥，由于(),P a b 在曲线上，令()2cos ,0π12sin a b θθθ=⎧≤≤⎨=+⎩， 则()()222232cos 12sin 32cos 12sin a b a b θθθθ--++=---+++2cos 2sin 454sin 42sin 2cos 54sin θθθθθθ=--++=+-++()96sin 2cos 9θθθϕ=+-=+-，（其中sinϕcos ϕ=π0,2ϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭），[][]0,π,πθθϕϕϕ∈∴-∈--，又π,02ϕ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，ππ,π2ϕ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，∴当π2θϕ-=时223a b a b --++取得最大值9+15．【详解】（1）因为()()2,0,6,2A B -，所以()4,1M -， 故CM 的方程是143124y x +-=+--，即2350x y +-=； （2）因为直线AC 的斜率303224AC k -==---， 所以经过点B 且与直线AC 平行的直线方程为()3264y x +=--，即34100x y +-=. 16．【详解】（1）由题意知253165c a a c c ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得35a c =⎧⎨=⎩，则4b =， 所以双曲线C 的方程为221916x y -=.（2）记双曲线C 的左焦点为0F ，则()05,0F -， 可得0026PA PF PA PF a PA PF +=++=++，当0,,P F A 三点共线时，0PA PF +最小，且最小值为017AF =.故PA PF +的最小值为17623+=.17．【详解】（1）∵()6,2A m +，()24,8B m +是抛物线C ：()221y px p =>上的两点， ()()22212,848m p m p⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，则()()22842m m +=+，整理得216m =，解得4m =±， 当4m =-时，()21224p m =+=，解得113p =<，不合题意； 当4m =时，()212236p m =+=，解得31p =>．故抛物线C 方程为 ．（2）由（1）知C 的焦点为3,02⎛⎫⎪⎝⎭，故直线l 的方程为32y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，联立2632y xy k x ⎧=⎪⎨⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭⎩，得()222293604k x k x k -++=，必有0∆>， 设()11,P x y ，()22,Q x y ，则212236k x x k ++=， 2122236636k PQ x x p k k +=++=+=+，222666PQ k k k +=++≥+226k k =，即2k =所以2PQ k +的最小值为6+18．【详解】（1）椭圆1C ：2212x y +=的焦点坐标为()1,0±，所以椭圆C 的焦点坐标也为()1,0±，即得焦距为22c =，∵椭圆C 过点31,2Q ⎛⎫⎪⎝⎭，24a ==，2a =，b = 椭圆的标准方程为22143x y +=.（2）①设直线l ：x my t =+（0m ≠），由223412x my t x y =+⎧⎨+=⎩，得()2223463120m y mty t +++-=， 设 ， ，所以122634mt y y m +=-+，212231234t y y m -=+， 所以()()()()1221121212111111MF NF y x y x y yk k x x x x -+-+=+=----()()()()1221121111y my t y my t x x +-++-=--， 因为直线BM 和BN 的斜率互为相反数，所以0MB NB k k =+，所以()()()()12211211011y my t y my t x x +-++-=--，所以()()1221110y my t y my t +-++-=，所以()()1212210my y t y y +-+=.即()22231262103434t mtm t m m --⨯+-⨯=++，所以()640m t -=，因为0m ≠，所以4t =，所以动直线l 恒过x 轴上的定点()4,0T ②由①知，1222434m y y m +=-+，1223634y m =+且()()22Δ24434360m m =-+⋅>，即24m >， 又224==令240n m =->，则24m n =+，（当且仅当316n =时取“＝”）.19．【详解】（1）因为点P 为圆A 的“黄金点”，所以2PA PA ⎛= ⎝⎭，即PA 所以点P 的轨迹是以A P 所在曲线的方程为()()2211 3.x y +++= （2）①因为P 为圆B 的“黄金点”，则()121PB PB +=-所以||3PB =，即点P 在圆()()22229x y -+-=上， 则P 是圆()()22113x y +++=和()()22229x y -+-=的交点. 因为P ，Q 均为圆“A B -”的“钻石点”，所以直线PQ 即为圆()()22113x y +++=和()()22229x y -+-=的公共弦所在直线， 两圆方程相减可得0x y +=，故直线PQ 的方程为0x y +=. ②设22(1)(1)3x y +++=的圆心为(11),S --()()22229x y -+-=的圆心为(2,2)T ，半径为3.直线ST 的方程为y x =，得PQ 的中点坐标为(0,0)，点S 到直线0x y +== 则12PQ ==，所以圆H 的方程为221x y +=.假设y 轴上存在点(0),W t 满足题意，设()()1122,,,I x y J x y ，120x x ≠. 若y 轴平分IWJ ∠，则0IM JW k k +=，即12120y t y tx x --+=， 整理得()()21120.x y t x y t -+-=又11223,113y kx y kx =+=+，所以代入上式可得211211)33(()0x kx t x kx t +-++-=，整理得()12121203kx x t x x ⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭①，由22131y kx x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩可得()22281039k x kx ++-=， 所以，代入①并整理得2203k kt -+=，此式对任意的k 都成立，所以3t =. 故y 轴上存在点()0,3W ，使得y 轴平分IWJ ∠.。

2024-2025学年天立教育高二数学第一学期期中测试卷本试卷共4页，19题.全卷满分150分，考试用时120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列关于函数()f x 的图象中，可以直观判断方程()20f x -=在(0)∞－，上有解的是A. B. C. D.2.要得到函数π2sin(24y x =+的图象，只需将函数2sin y x =的图象上所有点（）A.向左平移8π个单位长度，再把横坐标缩短为原来的12倍（纵坐标不变）B.向左平移4π个单位长度，再把横坐标缩短为原来的12倍（纵坐标不变）C.向左平移8π个单位长度，再把横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）D.向左平移4π个单位长度，再把横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）3.“2a b +<-，且1ab >”是“1a <-，且1b <-”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.为加强学生音乐素养的培育，东莞市某高中举行“校园十大歌手”比赛，比赛现场有7名评委给选手评分，另外，学校也提前发起了网络评分，学生们可以在网络上给选手评分，场内数百名学生均参与网络评分．某选手参加比赛后，现场评委的评分表和该选手网络得分的条形图如下图所示：评委序号①②③④⑤⑥⑦评分108989109记现场评委评分的平均分为1x ，网络评分的平均分为2x ，所有评委与场外学生评分的平均数为x ，那么下列选项正确的是（）A.122x x x +< B.122x x x +=C.122x x x +>D.x 与122x x +关系不确定5.已知函数()2xf x x =-，方程()()=f x f x -有三个解123,,x x x ，则()123f x x x ++=（）A.0B.1C.2D.36.若0.6a =，sin 0.6b =，tan 0.6c =，则（）A.c a b>> B.a b c>> C.a c b>> D.b c a >>7.如图，在平面内放置两个相同的直角三角板，其中30A ∠=︒，且B ，C ，D 三点共线，则下列结论不．成立．．的是（）A.CD =B.0CA CE ⋅=C.AB与DE共线D.CA CB CE CD⋅=⋅8.在正方体1111ABCD A B C D -中，M 为棱1BB 的中点，平面1A DM 将该正方体分成两部分，其体积分别为1V ，2V ，()12V V <，则12V V =（）A.519B.13C.717D.12二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列命题正确的是（）A.若a b >，则11a b< B.若0a b <<，则22a b >C.若22ac bc >，则a b> D.若4ab =，则4a b +≥10.甲乙两台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床的正品率是0.8，乙机床的正品率为0.9，分别从它们制造的产品中任意抽取一件，则（）A.两件都是次品的概率为0.02B.事件“至多有一件正品”与事件“至少有一件正品”是互斥事件C.恰有一件正品的概率为0.26D.事件“两件都是次品”与事件“至少有一件正品”是对立事件11.如图，点M 是正方体1111ABCD A B C D -中的线段1A D 上的一个动点，则下列结论正确的是（）A.存在点M ，使//CM 平面11A BCB.点M 存在无数个位置满足1CM AD ⊥C.若正方体的棱长为1，三棱锥1B C MD -的体积最大值13D.存在点M ，使异面直线1C M 与AB 所成的角是30o 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.圆锥和圆柱的底面半径、高都是R ，则圆锥的表面积和圆柱的表面积之比为_______．13.若实数,x y 满足22x y +=，则224x y +的最小值为______；24x y +的最小值为________．14.函数()2221f x ax x a =+-+在[1，3]上有且只有一个零点，则a 的取值范围是__________.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.求值：（1）4839(log 3log 3)(log 2log 2)++；（2）31log 529-.16.如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别是11,DD BD BB ，的中点，（1）求证：EF CF ⊥;（2）求点G 到平面EFC 的距离.17.心理学研究表明，学生在课堂上各时段的接受能力不同.上课开始时，学生的兴趣高昂，接受能力渐强，随后有一段不太长的时间，学生的接受能力保持较理想的状态；渐渐地学生的注意力开始分散，接受能力渐弱并趋于稳定.设上课开始x 分钟时，学生的接受能力为()f x （()f x 值越大，表示接受能力越强），f x （）与x 的函数关系为：()20.1 2.644,01060,10153105,152530,2540x x x x f x x x x ⎧-++<≤⎪<≤⎪=⎨-+<≤⎪⎪<≤⎩．（1）上课开始后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多少时间？（2）若一个数学难题，需要56及以上的接受能力（即()56f x ≥）以及12分钟时间才能讲述完，则老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲述完这个难题？18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 2的正方形，PA BD ⊥．（1）求证：=PB PD ；（2）若,E F 分别为,PC AB 的中点，⊥EF 平面PCD ，求直线PB 与平面PCD所成角的大小．19.已知函数2()(2)2f x ax a x =-++，(R)a ∈.（1）当2a =-时，()ln ()g x f x =，则不等式()(21)g x g x <-的解集；（2）若存在0m >使关于x 的方程1(||)1f x m m=++有四个不同的实根，求实数a 的取值范围天立教育2024-2025学年高二第一学期期中测试数学试卷（备选卷）本试卷共4页，19题.全卷满分150分，考试用时120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列关于函数()f x 的图象中，可以直观判断方程()20f x -=在(0)∞－，上有解的是A. B. C. D.【答案】D 【解析】【详解】方程f （x ）-2=0在（-∞，0）上有解，∴函数y=f （x ）与y=2在（-∞，0）上有交点，分别观察直线y=2与函数f （x ）的图象在（-∞，0）上交点的情况，选项A ，B ，C 无交点，D 有交点，故选D点睛：这个题目考查了方程有解的问题，把函数的零点转化为方程的解，再把方程的解转化为函数图象的交点，特别是利用分离参数法转化为动直线与函数图象交点问题，要求图像的画法要准确．2.要得到函数π2sin(24y x =+的图象，只需将函数2sin y x =的图象上所有点（）A.向左平移8π个单位长度，再把横坐标缩短为原来的12倍（纵坐标不变）B.向左平移4π个单位长度，再把横坐标缩短为原来的12倍（纵坐标不变）C.向左平移8π个单位长度，再把横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）D.向左平移4π个单位长度，再把横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）【答案】B 【解析】【分析】根据三角函数的变换规则判断可得；【详解】解：将函数2sin y x =的图象上所有点向左平移4π个单位长度得到函数2sin(4y x π=+的图象，再将2sin(4y x π=+的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍（纵坐标不变）得到函数π2sin(2)4y x =+的图象，∴要得到函数π2sin(2)4y x =+的图象，只需将函数2sin y x =的图象上所有点向左平移4π个单位长度，再把横坐标缩短为原来的12倍（纵坐标不变），故选：B ．3.“2a b +<-，且1ab >”是“1a <-，且1b <-”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据题意，利用不等式的基本性质，结合充分、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】若1a <-，且1b <-，根据不等式的加法和乘法法则可得2a b +<-，且1ab >，即必要性成立；当13,2=-=-a b ，满足2a b +<-，且1ab >，但是112b =->-，故充分性不成立，所以“2a b +<-，且1ab >”是“1a <-，且1b <-”的必要不充分条件.故选：B4.为加强学生音乐素养的培育，东莞市某高中举行“校园十大歌手”比赛，比赛现场有7名评委给选手评分，另外，学校也提前发起了网络评分，学生们可以在网络上给选手评分，场内数百名学生均参与网络评分．某选手参加比赛后，现场评委的评分表和该选手网络得分的条形图如下图所示：评委序号①②③④⑤⑥⑦评分108989109记现场评委评分的平均分为1x ，网络评分的平均分为2x ，所有评委与场外学生评分的平均数为x ，那么下列选项正确的是（）A.122x x x +< B.122x x x +=C.122x x x +>D.x 与122x x +关系不确定【答案】C 【解析】【分析】根据表格数据及频率直方图求1x 、2x ，若场外学生有a 人可得639.37ax a +=+且100a >，即可比较122x x x +的大小关系.【详解】由题设，110898910997x ++++++==，270.180.190.2100.69.3x =⨯+⨯+⨯+⨯=，∴129.152x x +=，若场外学生有a 人，则639.3 2.19.377a x a a +==-++，又100a >，∴9.15x >，即122x x x +>.故选：C5.已知函数()2xf x x =-，方程()()=f x f x -有三个解123,,x x x ，则()123f x x x ++=（）A.0B.1C.2D.3【答案】B 【解析】【分析】变换得到2202x x x ---=，设()222xxg x x --=-，确定函数为奇函数，得到130x x +=，20x =，计算得到答案.【详解】()2xf x x =-，()()=f x f x -，即22x x x x --=+，即2202x x x ---=，设()222xxg x x --=-，函数定义域为R ，()()222x x g x x g x -+==---，函数()g x 为奇函数，()00g =，不妨取123x x x <<，则130x x +=，20x =，()()12301f x x x f ++==.故选：B.6.若0.6a =，sin 0.6b =，tan 0.6c =，则（）A.c a b >>B.a b c>> C.a c b>> D.b c a>>【答案】A 【解析】【分析】设扇形OBC 的面积为1S ，由三角函数线结合1OBC OBD S S S << 得到答案.【详解】画出π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的三角函数线，如下：则sin AC θ= ，tan BD θ=， BCθ=，设扇形OBC 的面积为1S ，则112S θ=，1111sin ,tan 2222OBC OBD S OB AC S OB BD θθ=⋅⋅==⋅= ，又1OBC OBD S S S << ，故111sin tan 222θθθ<<，所以sin tan <<θθθ，π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，因为π0.60,2⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 0.60.6tan 0.6<<.所以c a b >>.故选：A7.如图，在平面内放置两个相同的直角三角板，其中30A ∠=︒，且B ，C ，D 三点共线，则下列结论不．成立．．的是（）A.CD =B.0CA CE ⋅=C.AB 与DE共线D.CA CB CE CD⋅=⋅ 【答案】D 【解析】【分析】根据直角三角形的性质、向量的线性运算，即可判定.【详解】设BC DE m ==，∠A =30°，且,,B C D 三点共线，则CD AB ==，2AC EC m ==，60ACB CED ∠=∠=︒，90ACE ∠=︒，所以,·0,//CD CA CE AB DE ==.故A 、B 、C 成立，D 不成立.故选：D8.在正方体1111ABCD A B C D -中，M 为棱1BB 的中点，平面1A DM 将该正方体分成两部分，其体积分别为1V ，2V ，()12V V <，则12V V =（）A.519B.13C.717D.12【答案】C 【解析】【分析】如图，取BC 的中点N ，连接1,,MN ND B C ，则可得梯形1MNDA 为平面1A DM 所在的截面，则1V 为三棱台1BMN AA D -的体积，设正方体的棱长为2，先求出1V ，从而可求出2V ，进而可求出12V V的值【详解】如图，取BC 的中点N ，连接1,,MN ND B C ，因为M 为棱1BB 的中点，所以MN ∥1B C ，112MN B C =，因为11A B ∥CD ,11A B CD =，所以四边形11A B CD 为平行四边形，所以1B C ∥1A D ，11B C A D =，所以MN ∥1A D ，112MN A D =，所以梯形1MNDA 为平面1A DM 所在的截面，则1V 为三棱台1BMN AA D -的体积，不妨设正方体的棱长为2，则正方体的体积为8，因为111111,222222BMN AA D S S =⨯⨯==⨯⨯= ，所以111(3BMN AA D S V S AB =++⋅ 117212323⎛⎫=⨯++⨯= ⎪⎝⎭,所以217178833V V =-=-=，所以12717V V =，故选：C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列命题正确的是（）A.若a b >，则11a b <B.若0a b <<，则22a b >C.若22ac bc >，则a b> D.若4ab =，则4a b +≥【答案】BC【解析】【分析】根据不等式性质，结合特值法对每个选项逐一分析即可.【详解】A ：不妨取1,1a b ==-，满足a b >，但1111a b =>=-，故错误；B ：因为()()22a b a b a b -=+-，由0a b <<，故可得220a b ->，即22a b >，故正确；C ：因为22ac bc >，不等式两边同除以不为零的常数2c ，即可得a b >，故正确；D ：不妨取1,4a b =-=-，满足4ab =，但54a b +=-<，故错误.综上所述，正确的选项是：BC.故选：BC.10.甲乙两台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床的正品率是0.8，乙机床的正品率为0.9，分别从它们制造的产品中任意抽取一件，则（）A.两件都是次品的概率为0.02B.事件“至多有一件正品”与事件“至少有一件正品”是互斥事件C.恰有一件正品的概率为0.26D.事件“两件都是次品”与事件“至少有一件正品”是对立事件【答案】ACD【解析】【分析】运用互斥事件、对立事件的定义可判断B 项、D 项，运用概率的加法公式及相互独立事件的概率公式计算可判断A 项、C 项.【详解】对于A ，若取出的两件都是次品，其概率()()10.810.90.20.10.02P =-⨯-=⨯=，故A 项正确；对于B ，事件“至多有一件正品”包含有两件次品、一件正品和一件次品，“至少有一件正品”包含有两件正品、一件正品和一件次品，所以两个事件不是互斥事件，故B 项错误；对于C ，恰有一件正品，其概率()()0.810.910.80.90.080.180.26P =⨯-+-⨯=+=，故C 项正确；对于D ，“至少有一件正品”包含有两件正品、一件正品和一件次品，所以事件“两件都是次品”与事件“至少有一件正品”是对立事件，故D 项正确；故选：ACD .11.如图，点M 是正方体1111ABCD A B C D -中的线段1A D 上的一个动点，则下列结论正确的是（）A.存在点M ，使//CM 平面11A BC B.点M 存在无数个位置满足1CM AD ⊥C.若正方体的棱长为1，三棱锥1B C MD -的体积最大值13D.存在点M ，使异面直线1C M 与AB 所成的角是30o【答案】ABC【解析】【分析】取1A D 的中点为M ，则可证明//CM 平面11A BC ，又可证明1AD ⊥平面1A DC ，从而可判断B 的正误，通过计算可判断CD 的正误.【详解】连接1AD ，取1AD 与1A D 的交点为M ，连接11,B C BC ，它们的交点为N ，连接1111,,A N A C A B .由正方体1111ABCD A B C D -可得1111//,=,A B CD A B CD 故四边形11A B CD 为平行四边形，故11//A D B C ，11=A D B C .由正方形11A D DC 为正方形可得M 为1A D 的中点，同理N 为1B C 的中点，故11//,=,A M NC A M NC 所以四边形1A NCM 为平行四边形，故1//A N CM ，因为CM ⊄平面11A C B ，1A N ⊂平面11A C B ，故//CM 平面11A C B ，故A 正确.由正方体1111ABCD A B C D -可得11A B ⊥平面11A ADD ，而1AD ⊂平面11A ADD ，故111A B AD ⊥，由正方形11A D DA 可得11A D AD ⊥，而1111A B A D A = ，故1AD ⊥平面11A B CD ，无论M 在1A D 何处，总有CM ⊂平面11A B CD ，故1AD CM ⊥，故B 成立.当M 变化时，B 到平面1MDC 的距离为定值，当M 与1A 重合时，三棱锥1B C MD -的体积最大，此时113111141411323B C MD C BDC V V --=-⨯=-⨯⨯⨯⨯=，故C 正确.设正方体的棱长为1，因为11//AB C D ，故异面直线1C M 与AB 所成的角即为11MC D ∠或其补角，在直角三角形11D C M中，112D M ≤≤,，故11111tan ,12D M MC D D C ⎤∠=∈⎥⎣⎦，故不存在点M ，使异面直线1C M 与AB 所成的角是30o.故选：ABC.【点睛】思路点睛：对于与立体几何中的动点的恒成立线线关系问题，一般可转化为线面关系的判定问题，而与动点相关的最值或范围问题，则通过极端位置对应的值来讨论.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.圆锥和圆柱的底面半径、高都是R ，则圆锥的表面积和圆柱的表面积之比为_______．【答案】14+【解析】【分析】根据题意分别计算圆锥和圆柱的表面积，然后计算比值即可.【详解】由图得：圆锥的表面积是由底面和侧面构成，则221(1S R R R πππ=+⨯⨯=+，圆柱的表面积是由上下底面和侧面构成，则222224S R R R R πππ=+⨯=,所以圆锥的表面积和圆柱的表面积之比:(212211244R S S R ππ++==,故答案为：14+.【点睛】圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．13.若实数,x y 满足22x y +=，则224x y +的最小值为______；24x y +的最小值为________．【答案】①.2②.4【解析】【分析】利用基本不等式的变形22222a b a b ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭可直接求得224x y +的最小值；根据a b +≥可求得24x y +的最小值.【详解】22242122x y x y ++⎛⎫≥= ⎪⎝⎭（当且仅当2x y =时取等号），224x y ∴+的最小值为2；20x > ，40y >，224224x y x y ∴+=+≥（当且仅当222x y =，即2x y =时取等号），24x y ∴+的最小值为4.故答案为：2；4.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：一正二定三相等.（1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.14.函数()2221f x ax x a =+-+在[1，3]上有且只有一个零点，则a 的取值范围是__________.【答案】(,1][3,)-∞-⋃+∞【解析】【分析】讨论二次函数的对称轴与区间的位置关系，即可得答案；【详解】当0a >时，对称轴10x a=-<，原函数在[1，3]上有且只有一个零点，则(1)30(3)770f a f a =-≤⎧⎨=+≥⎩，得3a ≥；当0a <时，由于()0210f a =-+>，要使原函数在[1，3]上有且只有一个零点，则(1)30(3)770f a f a =-≥⎧⎨=+≤⎩得1a ≤-；当0a =时，()21f x x =+在[1，3]上没有零点.综上所述：a 的取值范围是][,(),13∞-⋃+∞-.故答案为：][,(),13∞-⋃+∞-.【点睛】本题考查根据二次函数零点个数求参数值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.求值：（1）4839(log 3log 3)(log 2log 2)++；（2）31log 529-.【答案】（1）54；（2）325．【解析】【分析】（1）利用对数换底公式及对数性质计算得解.（2）利用指数运算及指数与对数互化关系计算即得.【小问1详解】32248393223log 2log 3log 3(log 3log 3)(log 2log 2)()(log 2)log 4log 8log 9++=++322323log 2log 3log 3535()(log 2)log 3log 2232624=++=⋅⋅=.【小问2详解】31log 529-33331log 2(log 5)1log 25252333325--====.16.如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别是11,DD BD BB ，的中点，（1）求证：EF CF ⊥;（2）求点G 到平面EFC 的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）263.【解析】【分析】（1）以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得对应点的坐标和EF ，CF 的坐标，根据数量积的结果，即可证明；（2）求得平面EFC 的法向量和CG 的坐标，以及CG在法向量上的投影向量的模长，即可求得结果.【小问1详解】建立以D 为原点，分别以DA ，DC ，DD 1为x ，y ，z 轴的空间直角坐标系如下所示：则()()()()0,0,1,1,1,0,0,2,0,2,2,1E F C G ，()()1,1,1,1,1,0,EF CF =-=- ()()1111100EF CF ⋅=⨯+⨯-+-⨯= ，则EF CF ⊥ ，故EF CF ⊥.【小问2详解】因为()0,2,1CE =- ，设平面CEF 的法向量为n (,,)x y z =，则有,,n CE n CF ⊥⊥ 故00n CE n CF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即200y z x y -+=⎧⎨-=⎩，令1y =，则1,2x z ==，即()1,1,2n = ，又()2,0,1CG = ，所以点G 到平面CEF的距离3CG n d n ⋅= .17.心理学研究表明，学生在课堂上各时段的接受能力不同.上课开始时，学生的兴趣高昂，接受能力渐强，随后有一段不太长的时间，学生的接受能力保持较理想的状态；渐渐地学生的注意力开始分散，接受能力渐弱并趋于稳定.设上课开始x 分钟时，学生的接受能力为()f x （()f x 值越大，表示接受能力越强），f x （）与x 的函数关系为：()20.1 2.644,01060,10153105,152530,2540x x x x f x x x x ⎧-++<≤⎪<≤⎪=⎨-+<≤⎪⎪<≤⎩．（1）上课开始后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多少时间？（2）若一个数学难题，需要56及以上的接受能力（即()56f x ≥）以及12分钟时间才能讲述完，则老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲述完这个难题？【答案】（1）开始10分钟接受能力最强，且能维持5分钟；（2）不能.【解析】【分析】（1）分别求出各段的最大值即可得解；（2）分段求解不等式()56f x ≥即可得解.【小问1详解】由题意可知，当010x <≤时，()()20.11360.9f x x =--+，所以当10x =时，的最大值为60，因为当1015x <≤时，()60f x =，当1525x <≤时，()()1560f x f <=，当2540x <≤时，()30f x =.所以开讲后10分钟接受能力最强，且能维持5分钟.【小问2详解】当010x <≤时，()20.1 2.64456f x x x =-++≥，解得610x ≤≤，当1015x <≤时，()6056f x =>，满足要求，当1525x <≤时，310556x -+≥，解得115163x <≤，故111661033-=分钟12<分钟，老师不能在所需接受能力的状态下讲完这个难题．18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 的正方形，PA BD ⊥．（1）求证：=PB PD ；（2）若,E F 分别为,PC AB 的中点，⊥EF 平面PCD ，求直线PB 与平面PCD 所成角的大小．【答案】（1）详见解析；（2）6π.【分析】（1）利用线面垂直的判定定理，先证出BD ⊥平面PAC ，利用线面垂直的性质定理得BD PO ⊥，在PBD △中再证明=PB PD ；（2）先证明,,AB AP AD 两两垂直，从而建立空间直角坐标系，求出平面PCD 的法向量，再求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值，最后确定角.【详解】（1）连接,AC BD ，,AC BD 交于点O ，因为底面ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥且O 为BD 的中点.又,,PA BD PA AC A ⊥⋂=所以BD ⊥平面PAC ，由于PO ⊂平面PAC ,故BD PO ⊥.又BO DO =,故=PB PD .（2）设PD 的中点为Q ,连接,AQ EQ ,EQ //CD ，12EQ CD =,所以AFEQ 为平行四边形，EF //AQ ，因为⊥EF 平面PCD ，所以AQ ⊥平面PCD ，所以AQ PD ⊥,PD 的中点为Q ,所以AP AD ==.由AQ ⊥平面PCD ，又可得AQ CD ⊥，又AD CD ⊥，又AQ AD A= 所以CD ⊥平面PAD所以CD PA ⊥,又BD PA ⊥,所以PA ⊥平面ABCD由题意,,,AB AP AD 两两垂直，,以A 为坐标原点,向量,,AB AD AP的方向为x 轴,y 轴,z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -,则(0,0,0),(0,),(0,(0,0,22A B Q D P(0,,),22AQ PB == AQ 为平面PCD 的一个法向量.设直线PB 与平面PCD 所成角为θ，1sin 2PB AQ PB AQθ⋅==⋅ 所以直线PB 与平面PCD 所成角为6π.19.已知函数2()(2)2f x ax a x =-++，(R)a ∈.（1）当2a =-时，()ln ()g x f x =，则不等式()(21)g x g x <-的解集；（2）若存在0m >使关于x 的方程1(||)1f x m m =++有四个不同的实根，求实数a 的取值范围.【答案】（1）1|13x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭（2）(,4-∞--【解析】【分析】（1）根据题意得到()2()ln 22g x x =-+，然后结合函数的单调性解不等式即可；（2）先令11t m m =++，再根据0m >，得到3t ≥，再将21(2)21a x a x m m-++=++有四个不同的实根可转化为2(2)20ax a x t -++-=有两个不等正根，再根据根与系数的关系列出不等式即可解出实数a 的取值范围.【小问1详解】根据题意，当2a =-时()222f x x =-+，所以()2()ln ()ln 22g x f x x ==-+.令2220x -+>，解得11x -<<，所以()2()ln 22g x x =-+的定义域为−1,1，因为()222f x x =-+在()1,0-单调递增，在0,1单调递减，函数ln y x =为增函数，根据复合函数的单调性可知()2()ln 22g x x =-+在()1,0-单调递增，在0,1单调递减，因为()(21)g x g x <-，所以0211x x ≤-<<，解得113x <<，所以不等式()(21)g x g x <-的解集为1|13x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭.【小问2详解】令11t m m=++，因为0m >，所以1113t m m =++≥=，当且仅当1m =时等号成立.因为1(||)1f x m m =++，所以2(2)2a x a x t -++=，即2(2)20a x a x t -++-=有四个不同的实根，令()2(2)2h x a x a x t =-++-，可知ℎ为偶函数，图象关于y 轴对称，所以2(2)20a x a x t -++-=有四个不同的实根可转化为2(2)20ax a x t -++-=有两个不等正根，所以1212Δ000x x x x >⎧⎪+>⎨⎪>⎩，即()()224202020a a t a a t a⎧⎪+-->⎪+⎪>⎨⎪-⎪>⎪⎩，由2020a a t a+⎧>⎪⎪⎨-⎪>⎪⎩可得2a <-，因为()()22420a a t +-->，即存在[)3,t ∞∈+，使不等式()24280at a a ++->成立，故()243280a a a ⨯++->，即2840a a ++>，解得4a <--4a >-+，故实数a的取值范围为(,4∞---。

2024-2025年度第一学期北京育才高二数学期中考试试卷（答案在最后）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1.圆2221x y y ++=的半径为A.1 B.C.2D.4【答案】B 【解析】【详解】试题分析：由题意得，圆2221x y y ++=，可化为22(1)2x y ++=，所以R =B ．考点：圆的标准方程．2.椭圆221178x y +=的焦点坐标为（）A.(5,0)，(5,0)-B.(3,0)，(3,0)-C.(0,5)，(0,5)-D.(0,3)，(0,3)-【答案】B 【解析】【分析】根据椭圆的标准方程，求得,,a b c 的值，即可求得椭圆的焦点坐标，得到答案.【详解】由题意，椭圆221178x y +=，可得2217,8a b ==，则3c ==，所以椭圆的焦点坐标为(3,0)和(3,,0)-.故选：B.3.圆221:4C x y +=与圆222:(3)1C x y -+=的位置关系为（）A.外离B.外切C.相交D.内切【答案】B 【解析】【分析】根据圆心距与半径的关系判断.【详解】由题意，圆221:4C x y +=，则圆心()10,0C ，半径12r =，圆222:(3)1C x y -+=，则圆心()23,0C ,半径21r =，所以两圆圆心距1212||3C C r r ==+，所以两圆外切.故选：B.4.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，O 是底面ABCD 的中心，E ，F 分别是1,CC AD 的中点，那么异面直线OE 和1FD 所成角的余弦值等于（） A.105B.155C.45D.23【答案】B 【解析】【分析】取BC 的中点G ，连接GC 1，则GC 1//FD 1，再取GC 的中点H ，连接HE 、OH ，则∠OEH 为异面直线所成的角，在△OEH 中，利用余弦定理可得结论．【详解】取BC 的中点G ．连接GC 1，则GC 1//FD 1，再取GC 的中点H ，连接HE 、OH ，如图所示，∵E 是CC 1的中点，∴GC 1//EH ，∴∠OEH 为异面直线OE 和1FD 所成的角．在△OEH中，OE =HE＝11522GC ==，OH ＝52．由余弦定理，可得cos ∠OEH＝2221525OE EH OH OE EH+-==⋅．故选：B【点睛】本题考查异面直线所成的角，考查余弦定理的运用，解题的关键是作出异面直线所成的角，属于中档题．5.圆22(2)5x y ++=关于原点()0,0O 对称的圆的方程为（）A .22(2)5x y ++= B.22(2)5x y +-=C.22(2)5x y -+=D.22(2)5x y ++=【答案】C 【解析】【分析】先求出圆心关于原点的对称点，从而可求出所求圆的方程.【详解】圆22(2)5x y ++=的圆心为(2,0)-，因为点(2,0)-关于原点()0,0O 对称点为(2,0)，所以圆22(2)5x y ++=关于原点()0,0O 对称的圆的方程为22(2)5x y -+=，故选：C.6.如果方程221x ky +=表示焦点在x 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围（）A.−∞,1 B.()1,+∞ C.()0,1 D.()(),01,-∞⋃+∞【答案】B 【解析】【分析】由椭圆的标准方程，明确,a b 的取值，根据焦点的位置，设不等式，可得答案.【详解】由方程221x ky +=，则=1a，=b k，即101k <<，可得1k >.故选：B.7.已知点P 是圆22:(3)1C x y -+=上一点，则点P 到直线:3460l x y ++=的距离的最小值为（）A.0B.1C.2D.3【答案】C 【解析】【分析】首先求出圆心到直线的距离，再减去半径，即可求解.【详解】圆22:(3)1C x y -+=的圆心为()3,0，半径为1，3=，所以点P 到直线:3460l x y ++=的距离的最小值为312-=.故选：C.8.“1a =”是“直线()110ax a y +--=与直线()110a x ay -++=垂直”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据两直线垂直可构造方程求得a 的值，由推出关系可得结论.【详解】由两直线垂直可得：()()110a a a a -+-=，解得：0a =或1a =；10a a =⇒= 或1a =，0a =或11a a ==¿，∴“1a =”是“直线()110ax a y +--=与直线()110a x ay -++=垂直”的充分不必要条件.故选：A .9.已知直线x y a +=与圆224x y +=交于,A B 两点，且OA OB OA OB +=-（其中O 为坐标原点），则实数a 的值为A.2 B.C.2或2- D.或【答案】C 【解析】【详解】分析：利用OA ⊥OB ，OA=OB ，可得出三角形AOB 为等腰直角三角形，由圆的标准方程得到圆心坐标与半径R ，可得出AB ，求出AB 的长，圆心到直线y=﹣x+a 的距离为AB 的一半，利用点到直线的距离公式列出关于a 的方程，求出方程的解即可得到实数a 的值．详解：∵OA ⊥OB ，OA=OB ，∴△AOB 为等腰直角三角形，又圆心坐标为（0，0），半径R=2，∴=∴圆心到直线y=﹣x+a 的距离d=12，∴|a|=2，∴a=±2．故答案为C ．点睛：这个题目考查的是直线和圆的位置关系，一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理和垂径定理.10.在空间直角坐标系O xyz -中，已知()1,2,2a =- ，(),,a b x y z += ，其中2221x y z ++=，则b 的最大值为（）A.3B.1+C.D.4【答案】D 【解析】【分析】根据题意，求得()1,2,2b x y z =--+，根据其几何意义，代入计算，即可得到结果.【详解】因为()1,2,2a =- ，(),,a b x y z +=，则()1,2,2b x y z =--+ ，且2221x y z ++=，其中点(),,x y z 可以看作球心在原点，半径为1的球上的点所以b =()1,2,2-距离，最大值为球心到点()1,2,2-的距离再加球的半径，14=.故选：D二、填空题：本大题共5题，每小题6，共25分11.写出一个圆心在直线0x y -=上，且经过原点的圆的方程：______．【答案】22(1)(1)2x y -+-=（答案不唯一）【解析】【分析】利用圆心在直线0x y -=上设圆心坐标为(,)C a a ，由于圆过原点，得半径0)r a =≠，对a 赋值，可得一个符合条件的圆的方程.【详解】解：因为圆心在直线0x y -=，则设圆心坐标为(,)C a a 又圆经过原点则圆的半径为r OC ===，且0a ≠故取1a =，得圆心为(1,1)C ，半径r =所以圆的方程为：22(1)(1)2x y -+-=.故答案为：22(1)(1)2x y -+-=（答案不唯一）12.过点()1,4A -的直线将()()22231x y -+-=的面积分为相等的两部分，求直线方程______.【答案】3110x y +-=【解析】【分析】根据圆的对称性先判定直线过圆心，利用两点式计算直线方程即可.【详解】因为直线将()()22231x y -+-=的面积分为相等的两部分，所以该直线过圆心()2,3，由两点式知该直线方程为3231104312y x x y --=⇒+-=---.故答案为：3110x y +-=13.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为CD 的中点，则直线1A E 与平面ABCD 所成角的正切值为______.【答案】255##255【解析】【分析】连接AE ，利用正方体的特征及线面角的定义计算即可.【详解】连接AE ，易知1AA ⊥底面ABCD ，所以1AEA ∠为所求角，不妨设正方体棱长为2，则112255,tan 55AA AE AEA AE =∠===.故答案为：25514.已知点()2,2A --，点P 在圆22:20C x y x ++=上，则AP 的取值范围是______；若AP 与圆C 相切，求切线AP 的方程______.【答案】①.1⎤-+⎦②.2x =-或3420x y --=【解析】【分析】利用点与圆的位置关系计算可得第一空；利用直线与圆的位置关系结合点到直线的距离公式分类讨论计算即可得第二空.【详解】易知点A 在圆C 外，且()2222:2011C x y x x y ++=⇒++=，即圆心()1,0C -，半径1r =，AC =，则AC r AP AC r -≤≤+，即1AP ⎤∈⎦；若直线AP 斜率不存在，即:2AP l x =-，此时圆心C 到直线AP 的距离等于半径，满足题意；若直线AP 斜率存在，不妨设其方程为：()22y k x =+-，则圆心C 到直线AP的距离()22112d k k ==⇒+=-，解之得34k =，此时直线AP 方程为3420x y --=.故答案为：1⎤-⎦；2x =-或3420x y --=15.数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面.一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物，曲线C ：()3222216x y x y +=恰好是四叶玫瑰线.给出下列结论：①曲线C 经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C 上任意一点到坐标原点O 的距离都不超过2；③曲线C 围成区域的面积大于4π；④方程()()32222160x y x y xy +=<表示的曲线C 在第二象限和第四象限其中正确结论的序号是______.【答案】②④【解析】【分析】利用基本不等式得224x y +≤，可判断②；224x y +=和()3222216x y x y +=联立解得222x y ==可判断①③；由图可判断④.【详解】作出圆224x y +=和四叶玫瑰线()3222216x y x y +=的图示如下图所示：()2223222216162x y xyx y ⎛⎫++=≤ ⎪⎝⎭，解得224x y +≤（当且仅当2x y ==时取等号），则②正确；将224x y +=和()3222216x y x y +=联立，解得222x y ==，即224x y +=与曲线C 相切于点，(，(，，则①和③都错误；由0xy <，得④正确.综上，正确命题为：②④.故答案为：②④【点睛】本题考查曲线与方程的应用，根据方程，判断曲线的性质及结论，考查学生逻辑推理能力，是一道有一定难度的题.三、解答题：本大题共6小题，共85分.16.在平面直角坐标系中，已知()3,7A -，()2,2B ，()5,1C ，线段AC 的中点为M .（1）求过点M 与直线BC 平行的直线方程；（2）求△ABC 的面积.【答案】（1）3130x y +-=（2）5【解析】【分析】（1）由点()3,7A -，()5,1C 求出AC 的中点坐标()1,4M 和BC 的斜率，进而求出方程，（2）由（1）可知BC 的斜率求出BC 的直线方程，再点A 到直线BC 的距离，根据面积公式，求出结果.【小问1详解】∵()3,7A -，()5,1C ，∴AC 的中点坐标()1,4M ，又直线BC 的斜率121523k -==--，∴过M 点和直线BC 平行的直线方程为()1413y x -=--，即3130x y +-=.【小问2详解】由（1）可知BC 的斜率13k =-，直线BC 的方程为()1223y x -=--，即380x y +-=，∴点A 到直线BC 的距离d ==，又B 、C 两点间距离BC ==∴△ABC 的面积11522S BC d =⨯⨯==.17.已知圆C 过原点O 和点()1,3A ，圆心在x 轴上.（1）求圆C 的方程；（2）直线l 经过点()1,1，且l 被圆C 截得的弦长为6，求直线l 的方程.【答案】（1）22(5)25x y -+=（2）1x =或15870x y --=【解析】【分析】（1）设圆C 的圆心坐标为(),0a ，由已知列出方程，求得a ，进而求得半径，即可得出结果；（2）设出直线方程，利用垂径定理，列方程求出直线的斜率即可得出结果.【小问1详解】设圆C 的圆心坐标为(),0a .=5a =从而圆C 的半径为5r ==，所以圆C 的方程为22(5)25x y -+=.【小问2详解】依题意，圆C 的圆心到直线l 的距离为4，显然直线1x =符合题意.当直线l 的斜率存在时，设其方程为()11y k x -=-，即10kx y k --+=4=解得158k =，所以直线l 的方程为15870x y --=综上，直线l 的方程为1x =或15870x y --=.18.如图，四边形ABCD 为梯形，//AB CD ，四边形ADEF 为平行四边形.（1）求证：//CE 平面ABF ；（2）若AB ⊥平面ADEF ，AF AD ⊥，1AF AD CD ===，2AB =，求：（ⅰ）二面角A BF C --的余弦值；（ⅱ）点D 到平面BCF 的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）66；66【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质与判定结合线面平行的判定证明即可；（2）根据题意判定线线垂直，构造合适的空间直角坐标系，利用面面夹角及点面距离公式计算即可.【小问1详解】过C 作//CG AD 交AB 于G 点，因为//AB CD ，所以四边形ADCG 为平行四边形，则CG AD =，又四边形ADEF 为平行四边形，所以,//AD EF AD EF =，所以,//EF GC EF GC =，则四边形CEFG 为平行四边形，即//CE FG ，易知FG ⊂平面ABF ，CE ⊄平面ABF ，所以//CE 平面ABF ；【小问2详解】因为AB ⊥平面ADEF ，,AD AF ⊂平面ADEF ，所以,AB AD AB AF ⊥⊥，又AF AD ⊥，所以,AD AB AF ,三条线两两垂直，即可以以A为中心建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()2,0,0,0,0,1,1,1,0B F C ，所以()()1,1,0,1,1,1CB CF =-=-- ，设平面BCF 的一个法向量为(),,n x y z = ，则00n CB x y n CF x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩ ，令11,2x y z =⇒==，即()1,1,2n = ，（ⅰ）易知平面ABF 的一个法向量为()0,1,0AD = ，二面角A BF C --的一个平面角为锐角，设二面角A BF C --的一个平面角为α，则6cos 6AD n AD n α⋅===⋅ ；（ⅱ）易知 1, , ，则点D 到平面BCF的距离66DC n d n ⋅=== .19.已知椭圆2222:1x y C a b +=（0a b >>）的右焦点为()2,0F，且过点(，直线l 过点F 且交椭圆C 于A 、B 两点.（1）求椭圆C 的方程；（2）若线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点为1,02M ⎛⎫ ⎪⎝⎭.（ⅰ）求直线l 的方程.（ⅱ）若点()4,0P -，求ABP 的面积.【答案】（1）22184x y +=；（2）20x -=或20x +-=；【解析】【分析】（1）根据椭圆的性质并代入所过点坐标计算即可；（2）（ⅰ）先排除直线l 斜率不存在的情况，设其点斜式方程，联立椭圆方程结合韦达定理、直线垂直的斜率积计算即可；（ⅱ）由上的结论及弦长公式、点到直线的距离公式计算即可.【小问1详解】根据题意有222222421a b ab ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解之得224,8b a ==，所以椭圆C 的方程22184x y +=；【小问2详解】（ⅰ）显然若l 斜率不存在，其垂直平分线与横轴重合，不符合题意；不妨设直线l 的方程为()2y k x =-，AB 的中点为C ，设()()()112200,,,,,A x y B x y C x y ，l 与椭圆方程联立有222280y kx k x y =-⎧⎨+-=⎩，整理得()2222128880k x k x k +-+-=，则212221228128812k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩，所以2120002242,221212x x k k x y k x k k k+===⋅-=-++，易知20204111612CM y k k k k k x ⋅=-⇒⋅=-=---，解之得2k =±，即()222y x =±-，整理得直线l的方程为20x --=或20x +-=；（ⅱ）由弦长公式可知12 AB x=-==2211121211kk++===++，由直线的对称性知点P到两条直线l的距离相同，即d==，所以ABP的面积为1122d AB=⨯=.20.如图，在长方体1111ABCD A B C D-中，1AD=，12AB AA==，,,H F M分别是棱11C D，1BB，11B C 的中点.（1）判断直线1A M与平面1B HF的位置关系，并证明你的结论；（2）求直线HF与平面1A MD所成角的正弦值；（3）在线段HF上是否存在一点Q，使得点Q到平面11A BCD，若存在，求出HQHF的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）相交但不垂直，证明见解析；（2）73；（3）不存在，理由见解析.【解析】【分析】（1）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算线面夹角即可；（2）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算线面夹角即可；（3）假设存在点Q ，利用空间向量研究点面距离计算参数即可.【小问1详解】如图建立空间直角坐标系，则()()()()1111,0,2,1,2,2,,2,2,0,1,2,1,2,12A B M H F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()()111,2,0,0,0,1,1,1,12A M FB HF ⎛⎫=-==- ⎪⎝⎭，设平面1B HF 的一个法向量为 ,䗘,䔹，则100m FB z m HF x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+-=⎪⎩ ，取11,0x y z =⇒=-=，即 1,−1, ，则11155342cos ,34A M m A M m A M m ⋅===⋅ ，连接1A M 与1B H 交于N 点，即直线1A M 与平面1B HF 相交于N 点，则直线1A M 与平面1B HF 的位置关系为相交，直线与平面的夹角的正弦值53434；【小问2详解】由上知()111,0,2,,2,22DA DM ⎛⎫== ⎪⎝⎭，设平面1A MD 的一个法向量为 ,h, ，则12012202n DA a c n DM a b c ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=++=⎪⎩，取41,2a b c =⇒==-，即()4,1,2n =- ，设直线HF 与平面1A MD 所成角为α，则7sin cos ,3HF n HF n HF nα⋅====⋅ ，即直线HF 与平面1A MD所成角的正弦值为3；【小问3详解】设存在Q 满足题意，不妨设[]()0,1HQ HFλλ=∈，则(),,HQ HF λλλλ==- ，易知()()10,2,2,1,0,0A B CB =-= ，设平面11A BCD 的一个法向量为(),,p r s t = ，则12200p A B s t p CB r ⎧⋅=-=⎪⎨⋅==⎪⎩ ，取10,1s r t =⇒==，即()0,1,1p = ，而()11,1,D Q D H HQ λλλ=+=+- ，所以点Q 到平面11A BCD的距离是1D Q p d p ⋅==≠ ，所以不存在.21.在平面直角坐标系xOy 中，O为坐标原点，)M，已知平行四边形OMNP 两条对角线的长度之和等于4．（1）求动点P 的轨迹方程；（2）过)M 作互相垂直的两条直线1l 、2l ，1l 与动点P 的轨迹交于A 、B ，2l 与动点P 的轨迹交于点C 、D ，AB 、CD 的中点分别为E 、F ；证明：直线EF 恒过定点，并求出定点坐标；（3）在（2）的条件下，求四边形ACBD 面积的最小值．【答案】（1）221(0)4x y y +=≠（2）证明见解析，定点43(5（3）3225．【解析】【分析】(1)根据几何位置关系可得14PM PM +=，再根据椭圆定义求解；(2)利用韦达定理表示出,E F 坐标，从而表示出EF 的直线方程即可求解；(3)利用韦达定理表示出弦长,AB CD ，进而可表示面积，利用二次函数的性质可求面积的最小值.【小问1详解】取点1(M ，则有1M O PN ∥，所以四边形1M ONP 是平行四边形，所以1PM ON =，因为4PM ON +=，所以14PM PM +=，所以动点P 的轨迹为椭圆（左右顶点除外），所以24a =，c =，所以2221b a c =-=，所以动点P 的轨迹方程为221(0)4x y y +=≠．【小问2详解】当1l 垂直于x 轴时，AB 的中点E ，直线2l 为x 轴，与椭圆221(0)4x y y +=≠，无交点，不合题意，当直线1l 不垂直于x 轴时，不妨设直线1l 的方程为(0)y k x k =≠，11(,)A x y ，22(,)B x y ，由22(44y k x x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，得2222(14)1240k x x k +-+-=，所以△22222()4(41)(124)16(1)0k k k =--+-=+>，所以21228341x x k +=+，212212441k x x k -=+，所以31212228323()1414y y k x x k k-+=+-=-=++，所以222433(,)4141E k k ++，因为12l l ⊥，以1k -代替k ，得22433(,)44F k k ++，所以直线EF 的斜率为22222335441(1)4(1)4343441EFk k k k k k k k +==≠±-++，所以直线EF的方程为22225(1)414(1)41k y x k k k k +=-≠±+-+，由椭圆的对称性得，若存在这样的定点必在x 轴上，令0y =，则22225()414(1)41k x k k k =-+-+，所以22221)5(41)5(14)5k x k k ++===++，所以直线EF 恒过定点43(5，当1k =±时，433()55E ，433()55F ，所以直线EF 恒过定点43(5，综上所述，直线EF 恒过定点43(5．【小问3详解】由（2）得21228341x x k +=+，212212441k x x k -=+，所以||AB =224(1)41k k +==+，同理可得224(1)||4k CD k +=+，所以四边形ACBD 的面积222218(1)||||2(41)(4)k S AB CD k k +==++，令21t k =+，则1t >，所以2222288889933(43)(3)4994()34t t S t t t t t t t t ====-++--++-+⋅+，因为1t >，所以303t<<，当332t =，即1k =±时，23325()344t t -+⋅+≤，所以min 3225S =，所以四边形ACBD 的面积最小值为3225．。

高二上学期期中考试数学试题本卷分Ⅰ（选择题）、Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中Ⅰ卷1至2页，第二卷2至4页，共150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、单选题：本题共12个小题，每小题5分1．“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．有下列四个命题：（1）“若，则，互为倒数”的逆命题；（2）“面积相等的三角形全等”的否命题；（3）“若，则有实数解”的逆否命题；（4）“若，则”的逆否命题.其中真命题为（）A．（1）（2）B．（2）（3）C．（4）D．（1）（2）（3）3．若则为（）A．等边三角形 B．等腰直角三角形C．有一个内角为30°的直角三角形 D．有一个内角为30°的等腰三角形4．已知.若“”是真命题，则实数a的取值范围是A．(1，+∞)B．(－∞，3)C．(1，3)D．5．的内角，，的对边分别为，，，若，，，则的面积为A．B．C．D．6．已知中，，则等于（）A．B．或C．D．或7．等差数列的前项和为，若，则等于（）A．58B．54C．56D．528．已知等比数列中，，，则（）A．2B．C．D．49．已知，则z=22x+y的最小值是A．1 B．16 C．8 D．410．若关于的不等式的解集为，则的取值范围是（）A．B．C．D．11．当ａ＞０，关于代数式，下列说法正确的是（）A．有最小值无最大值B．有最大值无最小值C．有最小值也有最大值D．无最小值也无最大值12．在△ABC中，AB＝2，C＝，则AC＋BC的最大值为A．B．3C．4D．2第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：共4个小题，每小题5分，共20分13．命题的否定是______________．14．已知的三边长构成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为，则这个三角形的周长为________.15．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，当n≥2时，a n＋2S n－1＝n，则S2 017的值____ ___ 16．已知变量满足约束条件若目标函数的最小值为2，则的最小值为__________．三、解答题：共6题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

延庆区2024-2025学年第一学期期中试卷高二数学2024.11本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回.第一部分（选择题共40分）一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知向量且，那么（ ）A. B.6C.9D.183.在空间直角坐标系中，点关于坐标平面的对称点为（）A. B. C. D.4.设分别是空间中直线的方向向量，则直线所成角的大小为（ ）A. B. C. D.5.过和两点的直线的倾斜角是（）A. B.1 C. D.6.“”是“直线与平行”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.在平行六面体中，，点在上，且，则（ ）1i +()()1,2,1,3,,a b x y =-= a ∥b b = ()1,2,3P xOy ()1,2,3-()1,2,3-()1,2,3--()1,2,3-()()120,1,1,1,0,1v v ==- 12,l l 12,l l π65π6π32π3()2,0-()0,21-3π4π41a =1:20l ax y +-=()2:2120l x a y +++=1111ABCD A B C D -1,,AA a AB b AD c === P 1AC 1:1:2A P PC =AP =A. B.C. D.8.已知正方体的棱长为为的中点，则到平面的距离为（ ）9.在正方体中，点是线段上任意一点，则与平面所成角的正弦值不可能是（ ）A. B.10.已知点，直线，若直线上至少存在三个，使得为直角三角形，直线倾斜角的取值范围是（ ）211333a b c ++ 122333a b c ++ 112333a b c -++ 122333a b c -- 1111ABCD A B C D -2,E 1BB 1B 11A D E 1111ABCD A B C D -E 11A C AE ABCD 1323()()0,1,0,1A B -:2l y kx =-l M MAB V lA. B.C. D.第二部分（非选择题共110分）二､填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.复数，则__________.12.已知点，点在线段上，且，则点坐标为__________.13.若平面，平面的法向量为，平面的法向量为，写出平面的一个法向量__________.14.已知点，直线与线段无交点，则直线在轴上的截距为__________；的取值范围是__________.15.如图：在直三棱柱中，，.记，给出下列四个结论：①存在，使得任意，都有；②对于任意点，都不存在点，使得平面平面；③的最小值为3；④当取最小时，过点作三棱柱的截面，则截面周长为.其中，所有正确结论的序号是__________.三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.（本小题13分）已知的顶点坐标为.π5π0,,π66⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦πππ2π,,3223⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦πππ3π,,4224⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦πππ5π,,6226⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦5i 12iz =-z =()()1,1,4,1,4,2A B -C AB 2AC CB =C αβ⊥α()11,2,3n = β()2,,0n x y = β()()1,3,1,4A B -:2l y ax =-AB l y a 111ABC A B C -13,90AB BB BC ABC ∠==== 1,(01,01)CH xCB CP yCB x y ==<≤≤≤ (),f x y AH HP =+H P AH HP ⊥H P AHP ⊥11A B C (),f x y (),f x y ,,A H P 5ABC V ()()()1,52,14,3A B C ---､､（1）求过点且与直线平行的直线的方程；（2）求边上的中线所在直线的方程；（3）求边上的高所在直线的方程.17.（本小题14分）如图，在三棱柱中，底面是的中点，且.（1）求证：平面；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值；（3）若，求平面与平面所成角的余弦值.18.（本小题14分）设的内角对应的边分别为，且.（1）求角的大小；（2）从下列三个条件中选择一组作为已知，使存在且唯一，并求的面积.条件①：；条件②：；条件③：.注：如果选择的条件使不存在或不唯一，第（2）问得0分.19.（本小题14分）已知函数，且的图像过点.（1）求函数的最小正周期和单调递减区间；（2）若函数在上与直线有交点，求实数的取值范围；（3）设函数，记函数在上的最大值为，求的最小B AC BC AB 111ABC A B C -1CC ⊥,ABC D 11A C 12AC BC CC ===1BC ∥1AB D AC BC ⊥1CC 1AB D AC BC ⊥1AB D 11ACC A ABC V ,,A B C ,,a bc sin cos b A B =B ABC V ABC V 3,sin 2sin b C A ==5b a ==b C ==ABC V ()22sin cos 2cos f x a x x x =+()f x π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭()f x ()f x π,12m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦3y =m ()()()g x f x t t =-∈R ()g x π11π,612⎡⎤⎢⎥⎣⎦()M t ()M t值及此时的值.20.（本小题15分）如图，已知四棱锥中，底面是边长为4的正方形，平面是正三角形，分别为的中点.（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离；（3）线段上是否存在点，使得三棱锥的值；若不存在，说明理由.21.（本小题15分）给定正整数，设集合.对于集合中的任意元素和，记.设，且集合，对于中任意元素，若则称具有性质.（1）判断集合是否具有性质，集合是否具有性质；（直接写出答案，结论不需要证明）（2）判断是否存在具有性质的集合，并加以证明；（3）若集合具有性质，证明：.t P ABCD -ABCD CD ⊥,PAD PAD V ,,,E F G O ,,,PC PD BC AD PO ⊥ABCD A EFG PC M M EFG -PM PC 2n ≥(){}{}12,,,,0,1,1,2,,n k M t t t t k n αα==∈= ∣M ()12,,,n x x x β= ()12,,,n y y y γ= 1122n n x y x y x y βγ⋅=+++ A M ⊆(){}12,,,,1,2,,i i i i in A t t t i n αα=== ∣A ,i j αα,,1,,i j p i j i j αα=⎧⋅=⎨≠⎩A (),T n p ()()(){}1,1,0,1,0,1,0,1,1A =()3,2T ()()()(){}1,1,0,0,1,0,1,0,0,1,1,0,1,0,0,1B =()4,2T ()4,T p A A (),T n p ()121,2,,j j nj t t t p j n +++==延庆区2024-2025学年第一学期期中考试高二数学参考答案及评分标准2024.11一､选择题（共10小题，每小题4分，共40分）1.D2.A3.B4.C5.D6.C7.A8.B9.A 10.B二､填空题（共5小题，每小题5分，共25分）12. 13.（不唯一，共线即可）14.，（注：第一问3分，第二问2分）15.①③④（注：对一个2分，两个3分，有选错0分）三､解答题（共6小题，共85分）16.（共13分）解：（1）直线的斜率过点且与直线平行的直线的斜率为过点且与直线平行的直线方程为（2）设边的中点为，因为，所以点的坐标为，即，所以边的中线所在直线方程为()1,3,0()2,1,0-2-()6,5-AC 532145AC k -==---B AC 25-B AC ()21225905y x x y +=-+⇒++=BC D ()()2,14,3B C --､D 2413,22-+-+⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,1D 51211AD k -==---BC ()121230y x x y -=--⇒+-=（3）因为，所以边的高线所在直线的斜率为，因此边的高线所在直线方程为.17.（共14分）（1）证明：连接，设，连接，由为三棱柱，得.又是的中点，所以是的中位线，.平面平面，平面；（2）解：底面，以为原点，的方向分别为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则，，设平面的法向量为由，得；15621AB k --==-+AB 16-AB ()13462206y x x y -=--⇒+-=1A B 11A B AB E ⋂=DE 111ABC A B C -1A E BE =D 11A C DE 11ΔA BC 1BC ∴∥DE 1BC ⊄ 1,AB D DE ⊂1AB D 1BC ∴∥1AB D 1CC ⊥ ,ABC AC BC ⊥C 1,,CA CB CC ,,x y z ()()()0,0,0,2,0,0,0,2,0C A B ()()()()1112,0,2,0,2,2,0,0,2,1,0,2A B C D ()()()110,0,2,2,2,2,1,0,2CC AB AD ==-=- 1AB D (),,n x y z =12220220n AB x y z n AD x z ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ()2,1,1n =设直线与平面所成角为.则.直线与平面.（3）设平面与平面所成角为为锐角，平面的法向量为，，平面与平面.18.（共14分）解：（1），由正弦定理得，在中，，，.（2）若选①，由余弦定理，得，解得若选③，1CC 1AB Dθ111sin cos ,n CC n CC n CC θ⋅=<>== ∴1CC 1AB D 1AB D 11ACC A ,αα11ACC A ()0,1,0m =cos cos ,n m n m n m α⋅=<>== 1AB D 11ACC A sin cos b A B =sin sin a b A B =sin sin cos B A A B =ABC V sin 0,tan A B ≠=()0,πB ∈ π3B ∴=sin 2sin ,2C A c a== 2222cos b a c ac B =+-222944cos a a a B =+-a c ==1sin 2S ac B ∴==b C == ()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+=由正弦定理可得：选择②，面积公式2分；余弦定理2分.不超过4分.19.（共14分）解：（1）由题意，，解得，，，的最小正周期；的单调减区间为（2）函数在区间上与直线有交点所以，函数在区间上的最大值为3，又因为所以，解得.实数的取值范围是.（3）当时，取最大值4c =1sin 2S bc A ==2πππ3sin 2cos 206364f a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-=+⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭a =()22cos f x x x ∴=+cos21x x =++π2sin 216x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭()f x 2ππ2T ==()f x π2ππ,π,63k k k z ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦()f x π,12m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦3y =()f x π,12m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ππ20,266x m ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦ππ262m +≥π6m ≥∴m π,6∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭()()ππ11πππ2sin 21,,,2,2π661262g x f x t x t x x ⎛⎫⎡⎤⎡⎤=-=++-∈+∈ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦ππ262x +=()f x t -3t -当时，取最小值所以，当时，当时，所以，当时，20.（共15分）（1）证明：因为是正三角形，是的中点，所以.又因为平面平面，平面，所以面；解：（2）因为两两互相垂直.以点为原点，的方向分别为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系.则，设平面的法向量为，由，得，点到平面的距离π3π262x +=()f x t -1t --1t ≤()3M t t=-1t >()1M t t =+1t =min ()2M t =PAD V O AD PO AD ⊥CD ⊥,PAD PO ⊂,PADCD PO ⊥,,AD CD D CD AD ⋂=⊂ABCD PO ⊥ABCD ,,OA OG OP O ,,OA OG OP,,x y z ()()()()()(0,0,0,2,0,0,2,4,0,2,4,0,2,0,0,0,0,O A B C D P --((()1,,,0,4,0,E F G --()((0,2,0,1,2,,1,4,EF EG FG =-==EFG (),,n x y z =2020n EF y n EG x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ )n = (3,AE =- A EFG AE n d n ⋅==（3）设所以点到面的距离为定值解得：或.21.（共15分）（1）集合具有性质，集合B 不具有性质.（2）当时，集合A 中的元素个数为4.由题设.假设集合A 具有性质，则①当时，，矛盾.②当时，，不具有性质，矛盾.③当时，.因为和至多一个在A 中；和至多一个在A 中；和至多一个在A 中，故集合A 中的元素个数小于4，矛盾.④当时，，不具有性质，矛盾.⑤当时，，矛盾.综上，不存在具有性质的集合.11,0,,122PM PC λλ⎡⎫⎛⎤=∈⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦()()2,4,,12,4M EM λλλλ-=-- M EFG 2PF n d nλ⋅== cos ,||||EF EG EF EG EF EG ⋅<>=== 1sin ,22EFG S EF EG EF EG =<>=V 11sin ,36M EFGEFG V S h EF EG EF EG h -==<>=V 14PM PC λ==34A ()3,2T ()4,2T 4n ={}0,1,2,3,4p ∈()4,T p 0p =(){}0,0,0,0A =1p =()()()(){}1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1A =()4,1T 2p =()()()()()(){}1,1,0,0,1,0,1,0,1,0,0,1,0,1,1,0,0,1,0,1,0,0,1,1A ⊆()1,1,0,0()0,0,1,1()1,0,1,0()0,1,0,1()1,0,0,1()0,1,1,03p =()()()(){}1,1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,1A =()4,3T 4p =(){}1,1,1,1A =()4,T p A（3）记，则.若，则，矛盾.若，则，矛盾.故.假设存在使得，不妨设，即.当时，有或成立.所以中分量为1的个数至多有.当时，不妨设.因为，所以的各分量有个1，不妨设.由时，可知，中至多有1个1，即的前个分量中，至多含有个1.又，则的前个分量中，含有个1，矛盾.所以.因为，所以.所以.()121,2,,j j j nj c t t t j n =+++= 12n c c c np +++= 0p =(){}0,0,,0A = 1p =(){}1,0,0,,0A = 2p ≥j 1j c p +…1j =11c p +…1c n =0j c =()12,3,,j c j n == 12,,,n ααα ()1212n n n n np +-=-<…11p c n +<…11211,111,0p n t t t t +===== n n p αα⋅=n αp 23,11n n n p t t t +==== i j ≠1i j αα⋅={}121,2,3,,1,,,,q q p q q p t t t +∀∈+ 121,,,p ααα+ 1p +121p p p ++=+()11,2,,1i n i p αα⋅==+ 121,,,p ααα+ 1p +()()1122p p p +++=+()1,2,,j c p j n = …12n c c c np +++= ()1,2,,j c p j n == ()121,2,,j j nj t t t p j n +++==。