考研数学三真题(完整版)

2012年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题

一、选择题:1∼8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请

将所选项前的字母填在答题纸．．．

指定位置上.(1)曲线221

x x y x +=−渐近线的条数

()

(A)0

(B)1

(C)2

(D)3

(2)设函数2()(1)(2)()x x nx y x e e e n =−−−⋯,其中n 为正整数,则(0)y ′=

()

(A)1(1)(1)!

n n −−−(B)(1)(1)!

n n −−(C)1(1)!

n n −−(D)(1)!

n n −(3)如果函数(,)f x y 在(0,0)处连续,那么下列命题正确的是

(

)

(A)若极限00

(,)

lim

x y f x y x y

→→+存在,则(,)f x y 在(0,0)处可微

(B)若极限22

00

(,)

lim

x y f x y x y

→→+存在,则(,)f x y 在(0,0)处可微(C)若

(,)f x y 在(0,0)处可微,则极限00

(,)

lim

x y f x y x y →→+存在

(D)若(,)f x y 在(0,0)处可微,则极限22

00

(,)

lim

x y f x y x y

→→+存在(4)设2

sin (1,2,3)k x K e xdx k π

==∫I 则有(

)

(A)123I I I <<(B)321

I I I <<(C)231

I I I <<(D)213

I I I <<(5)设1100C α⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠,2201C α⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠,3311C α⎛⎞⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟⎝⎠,4411C α−⎛⎞

⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠

,其中1234,,,C C C C 为任意常数，则下列向量组线性相关的为(

)(A)123

,,ααα(B)124

,,ααα(C)134

,,ααα(D)234

,,ααα(6)设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且1100010002p AP −⎛⎞

⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠.若P=（123,,ααα）

，1223(,,)ααααα=+，则1Q AQ −=(

)

(A)100020001⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠(B)

100010002⎛⎞

⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠(C)200010002⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠(D)200020001⎛⎞

⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠

(7)设随机变量X 与Y 相互独立，且分别服从参数为1与参数为4的指数分布，则{}p X Y <=(

)

(A)

1

5(B)

13

(C)

25

(D)

45

(8)将长度为1m 的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为

(

)

(A)

1

(B)

12(C)1

2

−

(D)1−二、填空题：9∼14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．

指定位置上.(9)若函数()f x 满足方程'''()()2()0f x f x f x +−=及''()()2f x f x e +=，则()f x =

(10)

2

x =

∫

(11)(2,1,1)()|z

grad xy +y

=(12)设(){},,1,0,0,0x y z x y z x y z ∑=

++=≥≥≥，则2y ds ∑

=

∫∫(13)设X 为三维单位向量，E 为三阶单位矩阵，则矩阵T E XX −的秩为(14)设A ,B ,C 是随机变量，A 与C 互不相容，()()()

11

,,23

p AB P C p AB C =

==三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

(15)

证明2

1ln cos 111)

12

x x x x x x ++≥+−<<−(16)

求函数22

2

(,)x y f x y xe +−

=的极值

(17)

求幂级数220

44321n

n n n x n ∞

=+++∑

的收敛域及和函数

(18)

已知曲线(),:(0),cos 2x f t L t y t

π=⎧≤<⎨

=⎩其中函数()f t 具有连续导数，且'(0)0,()0(0).2

f f t t π

=><<若曲线L

的切线与x 轴的交点到切点的距离恒为1，求函数()f t 的表达式，并求此曲线L 与x 轴与y 轴无边界的区域的面积。

(19)

已知L 是第一象限中从点(0,0)沿圆周22+2x y x =到点(2,0)，再沿圆周22+4x y =到点(0,2)的曲线段，计算曲线积分233d (2)d L

J x y x x x y y

=++−∫