考研数学三真题(完整版)
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2024考研(数学三)真题答案及解析完整版2024年全国硕士研究生入学考试数学(三)真题及参考答案考研数学三考什么内容?数学三在高等数学这一部分因为要求的内容相对较少,所以很多学校经济类、管理类专业在本科期间所用教材并非理工类专业通常会使用的《高等数学》同济大学版,更多的学校本科阶段的教材是中国人民大学版《微积分》。
而考数学三的同学中在实际复习过程中使用哪一本教材的都有)(函数、极限、连续、一元函数微分学、一元函数积分学、多元函数微积分学、无穷级数、常微分方程与差分方程);线性代数(行列式、矩阵、向量、线性方程组、矩阵的特征值和特征向量、二次型);概率论与数理统计(随机事件和概率、随机变量及其分布、多维随机变量及其分布、随机变量的数字特征、大数定律和中心极限定理、数理统计的基本概念、参数估计、假设检验)。
考研的考试内容有哪些一、考研公共课:政治、英语一、英语二、俄语、日语、数学一、数学二、数学三,考研公共课由国家教育部统一命题。
各科的考试时间均为3小时。
考研的政治理论课(马原22分、毛中特30分、史纲14分、思修18分、形势与政策16分)。
考研的英语满分各为100分(完型10分、阅读理解60分、小作文10分、大作文20分)。
数学(其中理工科考数一、工科考数二、经管类考数三)满分为150分。
数一的考试内容分布:高数56%(84分)、线代22%(33分)、概率22%(33分);数二的内容分布:高数78%(117分)、线代22%(33分);数三的内容分布:高数56%(84分)、线代22%(33分)、概率22%(33分)。
这些科目的考试知识点和考试范围在各科考试大纲上有详细规定,一般变动不大,因此可以参照前一年的大纲,对一些变动较大的科目,必须以新大纲为准进行复习。
二、考研专业课统考专业课:由国家教育部考试中心统一命题,科目包括:西医综合、中医综合、计算机、法硕、历史学、心理学、教育学、农学。
其中报考教育学、历史学、医学门类者,考专业基础综合(满分为300分);报考农学门类者,考农学门类公共基础(满分150分)。
考研数三真题及答案解析一、选择题 1—8小题.每小题4分,共32分.、1.当0→x 时,用)(x o 表示比x 高阶的无穷小,则下列式子中错误的是( )(A ))()(32x o x o x =⋅ (B ))()()(32x o x o x o = (C ))()()(222x o x o x o =+ (D ))()()(22x o x o x o =+【详解】由高阶无穷小的定义可知(A )(B )(C )都是正确的,对于(D )可找出反例,例如当0→x 时)()(),()(2332x o x x g x o x x x f ===+=,但)()()(x o x g x f =+而不是)(2x o 故应该选(D ).2.函数xx x x x f xln )1(1)(+-=的可去间断点的个数为( )(A )0 (B )1 (C )2 (D )3 【详解】当0ln →x x 时,x x ex xx xln ~11ln -=-,1ln ln limln )1(1lim)(lim 0==+-=→→→x x x x x x x x x f x xx x ,所以0=x 是函数)(x f 的可去间断点.21ln 2ln limln )1(1lim)(lim 011==+-=→→→xx xx xx x x x f x xx x ,所以1=x 是函数)(x f 的可去间断点. ∞=+-=+-=-→-→-→xx x x xx x x x f x x x x ln )1(ln limln )1(1lim)(lim 111,所以所以1-=x 不是函数)(x f 的可去间断点.故应该选(C ).3.设k D 是圆域{}1|),(22≤+=y x y x D 的第k 象限的部分,记⎰⎰-=kD k dxdy x y I )(,则( )(A )01>I (B )02>I (C )03>I (D )04>I 【详解】由极坐标系下二重积分的计算可知()ππππππθθθθθθθθ22122110222)1(|cos sin 31)sin (sin 31)cos (sin )(k k kk k k D k d dr r d dxdy x y I k ---+-=-=-=-=⎰⎰⎰⎰⎰所以ππ32,32,04231-====I I I I ,应该选(B ). 4.设{}n a 为正项数列,则下列选择项正确的是( ) (A )若1+>n n a a ,则∑∞=--11)1(n n n a 收敛;(B )若∑∞=--11)1(n n n a 收敛,则1+>n n a a ;(C )若∑∞=1n na收敛.则存在常数1>P ,使n p n a n ∞→lim 存在;(D )若存在常数1>P ,使n pn a n ∞→lim 存在,则∑∞=1n na收敛.【详解】由正项级数的比较审敛法,可知选项(D )正确,故应选(D).此小题的(A )(B )选项想考查的交错级数收敛的莱布尼兹条件,对于选项(A ),但少一条件0lim =∞→n n a ,显然错误.而莱布尼兹条件只是交错级数收敛的充分条件,不是必要条件,选项(B )也不正确,反例自己去构造.5.设A,B,C均为n 阶矩阵,若AB=C,且B可逆,则(A )矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价. (B )矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价. (C )矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价. (D )矩阵C 的列向量组与矩阵B 的列向量组等价.【详解】把矩阵A ,C 列分块如下:()()n n C A γγγααα,,,,,,,2121 ==,由于AB=C,则可知),,2,1(2211n i b b b n in i i i =+++=αααγ,得到矩阵C 的列向量组可用矩阵A 的列向量组线性表示.同时由于B 可逆,即1-=CB A ,同理可知矩阵A 的列向量组可用矩阵C 的列向量组线性表示,所以矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价.应该选(B ).6.矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1111a a b a a 与矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00000002b 相似的充分必要条件是(A )2,0==b a (B )0=a ,b 为任意常数 (C )0,2==b a (D )2=a ,b 为任意常数【详解】注意矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00000002b 是对角矩阵,所以矩阵A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1111a a b a a 与矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00000002b 相似的充分必要条件是两个矩阵的特征值对应相等.)22)2((111122a b b aa b aaA E -++--=---------=-λλλλλλλ从而可知b a b 2222=-,即0=a ,b 为任意常数,故选择(B ).7.设321,,X X X 是随机变量,且)3,5(~),2,0(~),1,0(~23221N X N X N X ,{}22≤≤-=i i X P P ,则(A )321P P P >> (B )312P P P >> (C )123P P P >> (D )231P P P >> 【详解】若),(~2σμN X ,则)1,0(~N X σμ-1)2(21-Φ=P ,{}1)1(212122222-Φ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-=≤≤-=X P X P P , {}())13737)1(3523535222333Φ-⎪⎭⎫⎝⎛Φ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ--Φ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤-≤--=≤≤-=X P X P P ,=-23P P 0)1(32)1(3371<Φ-<Φ-⎪⎭⎫⎝⎛Φ+.故选择(A ).8.设随机变量X 和Y 相互独立,且X 和Y 的概率分布分别为X 0 1 2 3P P1/21/41/81/8Y -1 0 1 P1/31/31/3则{}==+2Y X P ( )(A )121 (B )81 (C )61 (D )21 【详解】{}{}{}{}612412411211,30,21,12=++=-==+==+====+Y X P Y X P Y X P Y X P ,故选择(C ).二、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分. 把答案填在题中横线上)9.设曲线)(x f y =和x x y -=2在点()0,1处有切线,则=⎪⎭⎫⎝⎛+∞→2lim n n nf n . 【详解】由条件可知()1)1(',01==f f .所以2)1('22222)1(221lim 2lim -=-=-+⋅+--⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=⎪⎭⎫⎝⎛+∞→∞→f nn n f n f n n nf n n 10.设函数()y x z z ,=是由方程()xy y z x=+确定,则=∂∂)2,1(|xz. 【详解】 设()xyy z z y x F x -+=)(,,,则()1)(),,(,)ln()(,,-+=-++=x z x x y z x z y x F y y z y z z y x F ,当2,1==y x 时,0=z ,所以2ln 22|)2,1(-=∂∂xz. 11.=+⎰∞+x d x x12)1(ln . 【详解】2ln |1ln )1(1|1ln 11ln )1(ln 111112=+=+++-=+-=+∞+∞+∞+∞+∞+⎰⎰⎰x x dx x x x x x xd x d x x 12.微分方程041=+'-''y y y 的通解为.【详解】方程的特征方程为041=+-λλr,两个特征根分别为2121==λλ,所以方程通解为221)(x e x C C y +=,其中21,C C 为任意常数.13.设()ij a A =是三阶非零矩阵,A 为其行列式,ij A 为元素ij a 的代数余子式,且满足)3,2,1,(0==+j i a A ij ij ,则A =.【详解】由条件)3,2,1,(0==+j i a A ij ij 可知0*=+TA A ,其中*A 为A 的伴随矩阵,从而可知A AA A T -===-13**,所以A 可能为1-或0.但由结论⎪⎩⎪⎨⎧-<-===1)(,01)(,1)(,)(*n A r n A r n A r n A r 可知,0*=+T A A 可知*)()(A r A r =,伴随矩阵的秩只能为3,所以.1-=A14.设随机变量X 服从标准正分布)1,0(~N X ,则()=XXeE 2. 【详解】()=X Xe E 2dx ex e dx ex dx exe x x x x⎰⎰⎰∞+∞---∞+∞-+--∞+∞--+-==2)2(222)2(22222)22(2221πππ22222222)(2222e e X E e dt e dt te e t t =+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎰⎰∞+∞--∞+∞--π. 所以为22e .三、解答题15.(本题满分10分)当0→x 时,x x x 3cos 2cos cos 1-与nax 是等价无穷小,求常数n a ,. 【分析】主要是考查0→x 时常见函数的马克劳林展开式. 【详解】当→x 时,)(211cos 22x o x x +-=,)(21)()2(2112cos 2222x o x x o x x +-=+-=,)(291)()3(2113cos 2222x o x x o x x +-=+-=,所以)(7))(291))((21))((211(13cos 2cos cos 122222222x o x x o x x o x x o x x x x +=+-+-+--=-,由于x x x 3cos 2cos cos 1-与nax 是等价无穷小,所以2,7==n a . 16.(本题满分10分) 设D 是由曲线3x y =,直线a x =)0(>a 及x 轴所转成的平面图形,y x V V ,分别是D 绕x轴和y 轴旋转一周所形成的立体的体积,若y x V V =10,求a 的值. 【详解】由微元法可知πππ35320253a dx x dx y V a ax ===⎰⎰;πππ37340762)(2a dx x dx x xf V a ay ===⎰⎰;由条件y x V V =10,知77=a . 17.(本题满分10分)设平面区域D 是由曲线8,3,3=+==y x x y y x 所围成,求⎰⎰Ddxdy x 2. 【详解】341683622332222221=+=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-xx xx D D Ddy dx x dy dx x dxdy x dxdy x dxdy x . 18.(本题满分10分)设生产某产品的固定成本为6000元,可变成本为20元/件,价格函数为,100060QP -=(P 是单价,单位:元,Q 是销量,单位:件),已知产销平衡,求: (1)该的边际利润.(2)当P=50时的边际利润,并解释其经济意义. (3)使得利润最大的定价P . 【详解】(1)设利润为y ,则6000100040)206000(2--=+-=Q Q Q PQ y , 边际利润为.50040'Q y -= (2)当P=50时,Q=10000,边际利润为20.经济意义为:当P=50时,销量每增加一个,利润增加20. (3)令0'=y ,得.40100002000060,20000=-==P Q19.(本题满分10分)设函数()x f 在),0[+∞上可导,()00=f ,且2)(lim =+∞→x f x ,证明(1)存在0>a ,使得();1=a f(2)对(1)中的a ,存在),0(a ∈ξ,使得af 1)('=ξ. 【详解】证明(1)由于2)(lim =+∞→x f x ,所以存在0>X ,当X x >时,有25)(23<<x f , 又由于()x f 在),0[+∞上连续,且()00=f ,由介值定理,存在0>a ,使得();1=a f (2)函数()x f 在],0[a 上可导,由拉格朗日中值定理, 存在),0(a ∈ξ,使得aa f a f f 1)0()()('=-=ξ.20.(本题满分11分)设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=b B a A 110,011,问当b a ,为何值时,存在矩阵C ,使得B CA AC =-,并求出所有矩阵C .【详解】显然由B CA AC =-可知,如果C 存在,则必须是2阶的方阵.设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4321x xx x C , 则B CA AC =-变形为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---++-+-b ax x xx x ax x ax ax x 1103243142132,即得到线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=--=++-=+-bax x x x x ax x ax ax x 3243142132110,要使C 存在,此线性方程组必须有解,于是对方程组的增广矩阵进行初等行变换如下()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+---→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=b a a b a aa ab A 000010000001011101010111011010010|, 所以,当0,1=-=b a 时,线性方程组有解,即存在矩阵C ,使得B CA AC =-.此时,()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→00000000000011011101|b A , 所以方程组的通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100101110001214321C C x x x x x ,也就是满足B CA AC =-的矩阵C 为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++=211211C C C C C C ,其中21,C C 为任意常数.21.(本题满分11分) 设二次型23322112332211321)()(2),,(x b x b x b x a x a x a x x x f +++++=.记⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321321,b b b a a a βα.(1)证明二次型f 对应的矩阵为 TTββαα+2;(2)若βα,正交且为单位向量,证明f 在正交变换下的标准形为 22212y y +. 【详解】证明:(1)()()()()()()()()()()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+++++=321321321321321321321321321321321321321321233221123322113212,,,,2,,,,,,,,,,2)()(2),,(x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x b b b b b b x x x x x x a a a a a a x x x x b x b x b x a x a x a x x x f TT TT ββααββαα所以二次型f 对应的矩阵为 TT ββαα+2. 证明(2)设=A TTββαα+2,由于0,1==αβαT 则()ααββαααββααα2222=+=+=T TT A ,所以α为矩阵对应特征值21=λ的特征向量;()ββββααβββααβ=+=+=222T T T A ,所以β为矩阵对应特征值12=λ的特征向量;而矩阵A 的秩2)()2()2()(=+≤+=T T T Tr r r A r ββααββαα,所以03=λ也是矩阵的一个特征值.故f 在正交变换下的标准形为 22212y y +. 22.(本题满分11分)设()Y X ,是二维随机变量,X 的边缘概率密度为⎩⎨⎧<<=其他,010,3)(2x x x f X ,在给定)10(<<=x x X 的条件下,Y 的条件概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=其他,0,0,3)/(32x y x y x y f XY .(1)求()Y X ,的联合概率密度()y x f ,; (2)Y 的的边缘概率密度)(y f Y .【详解】(1)()Y X ,的联合概率密度()y x f ,:()⎪⎩⎪⎨⎧<<<<=⋅=其他,00,10,9)()/(,2x y x x y x f x y f y x f X XY(2)Y 的的边缘概率密度)(y f Y :⎪⎩⎪⎨⎧<<-===⎰⎰∞+∞-其他,010,ln 99),()(212y y y dx x y dx y x f y f yY 23.(本题满分11分)设总体X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>=-其他,00,);(32x e x x f x θθθ,其中θ为为未知参数且大于零,n X X X ,21为来自总体X 的简单随机样本.(1)求θ的矩估计量; (2)求θ的极大似然估计量.【详解】(1)先求出总体的数学期望E (X )θθθ===⎰⎰∞+-∞+∞-022)()(dx e xdx x xf X E x ,令∑===n n i X n X X E 11)(,得θ的矩估计量∑=∧==ni i X n X 11θ.(2)当),2,1(0n i x i =>时,似然函数为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==-∑⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==∏∏ni i ix n i i n ni x i ex e x L 11312132)(θθθθθ, 取对数,∑∑==-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ni i n i i x xn L 11ln 31ln 2)(ln θθθ, 令0)(ln =θθd L d ,得0121=-∑=n i ix n θ, 解得的极大似然估计量为.精品 Word 可修改 欢迎下载1、最困难的事就是认识自己。
2023考研数学三真题试卷带答案解析(高清版)2024年全国硕士研究生入学考试数学(三)真题及参考答案2024年考研数学复习时间规划复习的阶段大致可以分为三个阶段:基础奠定,强化训练,模拟冲刺。
1、6月之前:夯实基础通过看老师的基础课程数,学习基础知识,有视频的可以结合视屏看,看完一节,知道里面讲的什么,公式、概念。
看完一章,结合之前做的笔记,复盘这一章的内容,主要将说明,各知识点都用在什么地方,然后刷一刷这一章的讲义。
看完一章视频或书籍之后,最后做一做三大计算+660题。
2、7-9月:强化训练方法同打基础阶段。
看完视频后做对应的习题330题。
3、10-11月20日:真题冲刺后期可以做一做近10年的真题了,从近往远做,越近的真题越要花时间研究,不懂的地方可以看看名师的知识点讲解。
真题的错题,尤其要弄懂。
4、11月20日-考前:模拟训练最后一两个星期,就需要持续的模拟考场做试卷的状态和题型,建议大家做一做模拟卷,网上就可以购买,一般12月初都出来了,挑自己喜欢的老师即可。
提示:不要看押题卷,知识点学就会后,以不变应万变。
考研必考科目政治、英语和专业课。
所有专业都会考查政治,虽然管理类联考初试不涉及,但复试会考查。
除小语种专业外,其他专业都会考查英语,主要有英语一和英语二。
考研专业分为13个学科大类,包含上百个专业,每一专业都会有自己的专业课考试。
考研初试科目:初试方式为笔试,共四个科目:两门公共课、两门业务课。
两门公共课:政治、英语一或英语二;业务课一:数学或专业基础;业务课二(分为13大类):哲学、经济学、法学、教育学、文学、历史学、理学、工学、农学、医学、军事学、管理学、艺术学等。
法硕、西医综合、中医综合、教育学、历史学、心理学、计算机、农学等属于统考专业课,其他非统考专业课都是各院校自主命题,具体考试科目请参照各大考研院校招生简章。
会计硕士(MPAcc)、图书情报硕士、工商管理硕士(MBA)、公共管理硕士(MPA)、旅游管理硕士、工程管理硕士和审计硕士只考两门,即:英语二和管理类联考综合能力。
数三考研真题及答案数学是考研数学一和数学二中的一门科目,也是许多考生最为关注的科目之一。
为了更好地备考数学,考生们普遍会通过做真题来提高自己的解题能力。
本文将为大家提供一份数学三(数三)考研真题及答案,希望对考生们的备考有所帮助。
一、选择题1. 集合A由m个不同的整数组成,集合B由n个不同的整数组成,A与B有r个公共元素。
则A与B的并集有几个元素?A. m + nB. m + n - rC. m + n + rD. m - n + r答案:B2. 设函数f(x) = x^n,其中n为大于1的正整数。
若f(2+x) = f(2-x),则x的值为多少?A. 0B. 1C. 2D. -1答案:A二、填空题1. 若f(x) = x^2 + 1,则f(a) + f(-a)的值为________。
答案:22. 设A为一个n阶方阵,若A^2 = A,则称A满足条件________。
答案:幂等矩阵三、解答题1. 解方程组:2x + 4y = 103x - 2y = 7解答:首先,将第二个方程两边同乘以2,得到方程6x - 4y = 14。
然后,将第一个方程和得到的方程相加,得到8x = 24,解得x = 3。
将x的值代入第一个方程,得到3*2 + 4y = 10,解得y = 1。
因此,方程组的解为x = 3,y = 1。
2. 求函数f(x) = e^xln(1 - x)的定义域。
解答:首先,根据指数函数的定义域可知,e^x的定义域为实数集R。
其次,根据对数函数的定义域可知,ln(1 - x)的定义域为(-∞, 1)。
因此,函数f(x) = e^xln(1 - x)的定义域为x < 1。
以上就是数学三(数三)考研真题及答案的部分内容。
希望通过这些题目的练习,考生们能够提高自己的解题能力,为考研数学的顺利通过打下坚实的基础。
祝愿所有的考生都能在考试中取得优异的成绩!。
2022年全国硕士研究生入学统一考试数学(三)试题及参考答案一、选择题:1~10题,每小题5分,共50分.1、当0→x 时,)()(x x βα、是非零无穷小量,给出以下四个命题 ① 若)(~)(x x βα,则)(~)(22x x βα; ② 若)(~)(22x x βα,则)(~)(x x βα; ③ 若)(~)(x x βα,则))(()()(x o x x αβα=-; ④ 若))(()()(x o x x αβα=-,则)(~)(x x βα. 其中正确的序号是( )A :①②;B :①④;C :①③④;D :②③④. 答案:C .解析:当0→x 时,若)(~)(x x βα,则1)()(lim 0=→x x x βα,故1)()(lim )()(lim 20220=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=→→x x x x x x βαβα,即)(~)(22x x βα,且011)()()(lim0=-=-→x x x x αβα,故))(()()(x o x x αβα=-.所以①③正确.当0→x 时,)(~)(22x x βα,则1)()(lim 220=→x x x βα,此时1)()(lim 0±=→x x x βα,而1)()(lim 0-=→x x x βα时,)(x α与)(x β不是等价无穷小,故 ②不正确.当0→x 时,若))(()()(x o x x αβα=-,1)()(lim ))(()()(lim )()(lim000==-=→→→x x x o x x x x x x x αααααβα,所以)(~)(x x βα,④正确.综上,C 为选项.2 、已知),2,1()1( =--=n nn a nnn ,则}{n a ( ) A :有最大值,有最小值; B :有最大值,没有最小值; C :没有最大值,有最小值; D :没有最大值,没有最小值. 答案:A .解析:1212,1221<-=>=a a ,又1lim =∞→n n a ,故存在0>N ,当N n >时,12a a a n <<,所以}{n a 有最大值和最小值,选项A 正确.3、设函数)(t f 连续,令⎰---=y x dt t f t y x y x F 0)()(),(,则( )A :2222y F x F y F x F ∂∂=∂∂∂∂=∂∂,; B :2222y Fx F y F x F ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂,; C :2222y F x F y F x F ∂∂=∂∂∂∂-=∂∂,; D :2222yF x F y F x F ∂∂-=∂∂∂∂-=∂∂,. 答案:C .解析:⎰⎰⎰-----=--=y x y x y x dt t tf dt t f y x dt t f t y x y x F 0)()()()()(),(,⎰⎰--=-----+=∂∂y x y x dt t f y x f y x y x f y x dt t f x F 00)()()()()()(,)(22y x f x F -=∂∂,同理⎰⎰---=--+----=∂∂y x y x dt t f y x f y x y x f y x dt t f yF00)()()()()()(,)(22y x f y F -=∂∂, 综上2222yF x F y F x F ∂∂=∂∂∂∂-=∂∂,,选项C 正确. 4、已知⎰⎰⎰+=++=+=101031021sin 12,cos 1)1ln(,)cos 1(2dx x xI dx x x I dx x x I ,则( ) A :321I I I <<; B :312I I I <<; C :231I I I <<; D :123I I I <<. 答案:A .解析:⎰⎰⎰+=++=+=1010310212sin 1,cos 1)1ln(,)cos 1(2dx xx I dx x x I dx x xI ,先比较21,I I 的大小,令)1,0()1ln(2)(∈+-=x x xx f ,此时0)0(=f ,此时0)1(211121)(<+-=+-='x x x x f ,即)(x f 单调递减,从而0)0()(=<f x f ,可得)1,0()1ln(2∈+x x x《,从而21I I <.再比较23,I I 的大小,因)1,0(,cos 12sin 1,)1ln(∈+<+<+x x x x x ,则2sin 1cos 1)1ln(x xxx +<++,从而23I I >.综上,可得A 正确.5、设A 为3阶矩阵,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ000010001,则A 的特征值为011,,-的充分必要条件是( )A :存在可逆矩阵Q P ,,使得Q P A Λ=;B :存在可逆矩阵P ,使得1-Λ=P P A ; C :存在正交矩阵Q ,使得1-Λ=Q Q A ; D :存在可逆矩阵P ,使得TP P A Λ=; 答案:B解析:3阶A 有011,,-三个不同的特征值,所以A 可以相似对角化,故存在可逆矩阵P ,使得1-Λ=P P A ;若存在可逆矩阵P ,使得1-Λ=P P A ,即A 相似与Λ,而相似矩阵具有相同的特征值,而Λ的特征值为011,,-,故A 的特征值为011,,-.因此选B . 6、设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=421,1111122b b b a a A ,则线性方程组b Ax =解的情况为( )A :无解; B: 有解; C:有无穷多解或无解 ; D: 有唯一解或无解; 答案:D .解析:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→31101110111141211111)|2222b b a a b b a a b A ((1)当1=a 或1=b 时,)|()(b A r A r ≠,方程无解(2)当1≠a 且1≠b 时,⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----+→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+→11130011110111113110111101111)|a b a b a a b b a a b A ( (i )当b a ≠时,3)|()(==b A r A r ,方程有唯一解 (ii )当b a =时,3)|(2)(==b A r A r ,,方程无解; 综述:方程有唯一解或无解,选D .7、设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=243211,11,11,11λλαλαλαλα,若向量组321,,ααα与421,,ααα等价,则λ的取值范围( )A :}1,0{ ; B:}2,|{-≠∈λλλR ;C:}2,1,|{-≠-≠∈λλλλR ; D:}1,|{-≠∈λλλR . 答案:C解析:向量组321,,ααα与421,,ααα等价的充要条件是()),,.,,(,,),,(421321421321ααααααααααααr r r ==,而),,,(),,.,,(4321421321αααααααααα,r r =()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→λλλλλλλλλλλλαααα2222431201101101111111111,,,(1)当1=λ时,()1).,,(,,),,(4321421321===ααααααααααr r r ,此时向量组等价 (2)当1≠λ时()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++---→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---+→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++→24312)1(2001110111111001101110110110111,,,λλλλλλλλλλλαααα(i )当2-=λ时,3).,,(),,(2),,(4321421321===ααααααααααr r r ,,此时向量组不等价 (ii )当1,2-=-≠λλ时,3).,,(2),,(3),,(4321421321===ααααααααααr r r ,,,此时向量组不等价(iii )当1,2-≠-≠λλ时,3).,,(),,(),,(4321421321===ααααααααααr r r ,此时向量组等价 综上,当1,2-≠-≠λλ时,向量组321,,ααα与421,,ααα等价;选C8、随机变量)4,0(~N X ,随机变量⎪⎭⎫⎝⎛31,3~B Y ,且X 与Y 不相关,则=+-)13(Y X D ( )A: 2; B: 4; C: 6; D: 10. 答案:D .解析:由题意知,0),(32)(,4)(===Y X Cov Y D X D ,; 10)(9)()3()13(=+=-=+-Y D X D Y X D Y X D ,故选D .9、设随机变量序列 ,,,21n X X X 独立同分布,且i X 的概率密度为⎩⎨⎧<-=其他11)(x xx f 则当∞→n 时,∑=n i i X n 121依概率收敛于( )A :81; B : 61; C: 31; D: 21. 答案:B .解析:61)1(2)1()()(1211222=-=-==⎰⎰⎰-+∞∞-dx x x dx x x dx x f x X E i ,从而∑∑====⎪⎭⎫ ⎝⎛n i i n i i X E n X n E 121261)(11,由辛钦大数定律可得,∑=n i i X n 121依概率收敛于⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=n i i X n E 121,从而选B .10、设二维随机变量),(Y X 的概率分布若事件}2},{max{==Y X A 与事件}1},{min{==Y X B 相互独立,则=),(Y X Cov ( )A :6.0- ; B: 36.0-; C: 0; D: 48.0. 答案:B .解析:1.0}2,1{)(,2.0)(,1.0)(=====+=Y X P AB P B P b A P ,由B A ,相互独立,故)()()(B P A P AB P =,解得4.0=b ,由分布律的性质得2.0=a ,6.0)(,2.1)(,2.0)(-==-=XY E Y E X E从而36.0)()()(),(-=-=Y E X E XY E Y X Cov ,故选B . 二、填空题:11~16题,每题5分,共30分.11、若=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+→xx x e cot 021lim .答案:21e .解析:21tan 21lim21ln cot lim cot 00021lim e eeex e e x xxx x x xx ===⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+→→→.12、⎰=++-2024242dx x x x .答案:333ln π-. 解析:原式⎰⎰++-+++=2022024*******dx x x dx x x x ⎰⎰++-++++=20222022)3()1(1642)42(dx x x x x x d 20202|31arctan 36|)42ln(+-++=x x x 333ln π-=.13、已知函数x xe e xf sin sin )(-+=,则=''')2(πf .答案:0.解析:方法一:x xxe xex f sin sin cos cos )(--=',x x e x x e x x x f sin 2sin 2)sin (cos )sin (cos )(-++-='',)cos sin cos 2()sin (cos cos )sin (cos cos )cos sin cos 2()(sin sin 2sin 2sin x x x eex x x e x x x e x x x x f xxxx +-++--+--='''--从而01111)2(=+--='''πf . 方法二:x xe ex f sin sin )(-+=,显然)()(sin sin x f e e x f x x=+=--,故)(x f 为偶函数,且周期π2=T ,于是)(x f '为奇函数,)(x f ''为偶函数,)(x f '''为奇函数,从而0)0(='''f ,而0)0()2(='''='''f f π.14、已知⎩⎨⎧≤≤=其他,010,)(x e x f x ,则=-⎰⎰∞+∞-∞+∞-dy x y f x f dx )()( .答案:2)1(-e .解析:记}10,10|),{(≤-≤≤≤=x y x y x D ,原式⎰⎰⎰⎰-=-=Dx y x Ddxdy e e dxdy x y f x f )()(,2111)1()1(-=-==⎰⎰⎰+-e dy e e dy edx e x x xxy x.15、设A 为3阶矩阵,交换A 的第2行和第3行,再将第2列的1-倍加到第一列,得到矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=001011112B ,则1-A 的迹=-)(1A tr .答案:-1.解析:令⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100011001,010********P P ,则B AP P =21 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==--0100011111000110010010111120101000011211BP P A 0)1)(1(1011112=++-=-------=-λλλλλλE A ,解得i i -==-=321,,1λλλ 故1-A 的特征值为i i =-=-=321,,1λλλ,从而1)(1-=-A tr16、设C B A ,,为随机事件,且A 与B 互不相容,A 与C 互不相容,B 与C 相互独立,31)()()(===C P B P A P ,则=)|(C B A C B P .答案:85. 解析:()C B A P C B P C B A C B P )()|(=()98)()())(()()(95)()()()()()()()(=+=-+==-+=-+=C B P A P C B A P C B P A P C B A P C P B P C P B P BC P C P B P C B P从而85)|(=C B A C B P . 三、解答题:17~22小题,共94分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17、(本题满分10分)设函数)(x y 是微分方程x y xy +=+'221满足条件3)1(=y 的解,求曲线)(x y y =的渐近线.解:])2([)(2121C dx ex ex y dxxdxx+⎰+⎰=⎰-])2([C dx e x e x x ++=⎰-]2[C xee xx +=-xCe x -+=2,其中C 为任意常数,又3)1(=y ,得e C =,即xe x x y -+=12)(.22limlim 1=+==-+∞→+∞→xe x x y a xx x ,0lim )2(lim 1==-=-+∞→+∞→xx x e x y b ,故x y 2=为曲线)(x y y =的斜渐近线.18、(本题满分12分)设某产品的产量Q 由资本投入量x 和劳动投入量y 决定,生产函数为612112y x Q =,该产品的销售单价P 与Q 的关系为Q P 5.11160-=,若单位资本投入量和单位蓝洞投入量的价格分别为6和8,求利润最大时的产量.解:利润y x xy y x y x Q Q y x PQ L 862161392086)6.11160(86316121---=---=--=令⎪⎩⎪⎨⎧=--=--='=--=--='--------08)722320(872232006)722320(362166960612132326521612131316121y x xy xy y x L y x y y y x L yx,得驻点)64,256(, 此时38464256126=⨯⨯=Q ,在实际问题中由于驻点唯一,故利润L 在384=Q 处取到最大值. 19、(本题满分12分)已知平面区域}20,42|),{(2≤≤-≤≤-=y y x y y x D ,计算⎰⎰+-=Ddxdy y x y x I 222)(. 解:⎰⎰⎰⎰⎰⎰--+-=+-=ππϕϕπρρϕϕϕρρϕϕϕ2cos sin 20220202222)sin (cos )sin (cos )(d d d d dxdy y x y x I D⎰⎰+-=πππϕϕϕϕ2202)cos sin 21(2d d 22)12(2|)sin (2202-=+-=+-=ππππϕϕπ. 20、(本题满分12分)求幂级数∑∞=++-02)12(41)4(n nnn x n 的收敛域及和函数)(x S . 解:1)12(41)4()32(41)4(lim 22211n <++-++-+++∞→nnn n n n x n xn ,解得1||<x ,从而1=R ,收敛区间)1,1(-,当1±=x 时,∑∞=++-0)12(41)4(n nn n 收敛,故收敛域为]1,1[-. 当]1,1[-∈x ,令∑∑∞=∞=+++-=012)12(412)1()(n n n nn n n x x n x S , 令∑∑∞=+∞=≠+-=+-=0120210,12)1(112)1()(n n n n n n x n x x n x x S ,此时∑∑∞=∞=++=-='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-02201211)1(12)1(n nn n n n x x n x ,x dx x n x x n n n arctan 1112)1(0202=+=+-⎰∑∞=,故0,arctan 1)(1≠=x x xx S .∑∑∞=+∞=≠+=+=0120220,1241)12(4)(n n n n n n x n x x n x x S )(,此时2202012444114124x x x n x n n nn n n -=-=='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∑∑∞=∞=+)(,0,22ln 4412402012≠-+=-=+⎰∑∞=+x x x dx x n x x n n n )(,故0,22ln 1)(2≠-+=x xx x x S .0=x 时,2)0(=S .综上当]1,1[-∈x ,⎪⎩⎪⎨⎧=-∈-++=0,2]1,0)0,1[,22ln1arctan 1)(x x xx x x x x S ( . 21、(本题满分12分)已知二次型312322213212343),,(x x x x x x x x f +++=,(1)求正交变换Qy x =将),,(321x x x f 化为标准形; (2)证明:2)(min=≠xx x f T x . 解:(1)二次型对应矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=301040103A ,0)2()4(3010401032=---=---=-λλλλλλE A ,解得4,2321===λλλ21=λ对应特征向量满足0)2(=-x E A ,解得⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1011ξ432==λλ对应特征向量满足0)4(=-x E A ,解得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0102ξ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1013ξ321,,ξξξ已经两两正交,单位化得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=22022,010,22022321ηηη,故存在正交矩阵),,(321ηηη=Q ,当Qy x =时232221321442),,(y y y y y y f ++=.(2)2322212322232221232221222442)()()(y y y y y y y y y y y y y y f Qy Q y y f x x x f T T T Qy x T ++++=++++==== 当0≠x 时,由Qy x =得0≠y ,当0,0132≠==y y y 时,2322212322222y y y y y ++++的最小值为2,故2)(min=≠xx x f Tx . 22、(本题12分)设n X X X ,,,21 为来自均值为θ的指数分布总体X 的简单随机样本,m Y Y Y ,,,21 为来自均值为θ2的指数分布总体Y 的简单随机样本,且两样本相互独立,其中)0(>θθ是未知参数,利用样本n X X X ,,,21 ,m Y Y Y ,,,21 ,求θ的最大似然估计量θˆ,并求)ˆ(θD . 解:由题知:总体Y X ,的概率密度为,0021)(,0001)(2⎪⎩⎪⎨⎧≤>=⎪⎩⎪⎨⎧≤>=--y y ey f x x ex f y YxX θθθθ令θθθθθθθθθ21211111121211),(),(∑∑=⋅=⋅===--+=-=-==∏∏∏∏mj j ni ij iy x n m m mj y ni x m j j Y ni i Xee e ey f x fLθθθ2ln )(2ln ln 11∑∑==--+--=mj jni i yx n m m L02ln 2121=+++-=∑∑==θθθθmj jni i yx n m d L d 解得⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=∑∑==m j j n i i y x n m 11211ˆθ故θ的最大似然估计量⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=∑∑==m j j n i i Y X n m 11211ˆθ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=∑∑∑∑====m j j n i i m j j n i i Y D X D n m Y X n m D D 11211)(41)()(1211)ˆ(θ⎪⎭⎫ ⎝⎛++=)(4)()(12j i Y D m X nD n m 而224)(,)(θθ==j i Y D X D ,从而n m m n n m D +=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅++=222244)(1)ˆ(θθθθ。
且喜平常度,切忌神慌乱。
畅游题海后,金榜题君名。
考试在即,祝你成功。
2023年考研数学三真题及答案一、选择题:1~10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是最符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. 1. 已知函数(,)ln(|sin |)f x y y x y =+,则( ).A.(0,1)f x ∂∂不存在,(0,1)fy∂∂存在B.(0,1)f x ∂∂存在,(0,1)fy∂∂不存在C. (0,1)f x ∂∂存在,(0,1)fy∂∂存在D. (0,1)f x ∂∂不存在,(0,1)fy∂∂不存在【答案】A.【解析】由已知(,)ln(|sin |)f x y y x y =+,则(,1)ln(1|sin1|)f x x =+,(0,)ln f y y =.当0x >时,(,1)ln(1sin1)f x x =+,(0,1)0(,)d (,1)sin1d x f x y f x x x =∂==∂;当0x <时,(,1)ln(1sin1)f x x =-,(0,1)0(,)d (,1)sin1d x f x y f x x x =∂==-∂;所以(0,1)(,)f x y x ∂∂不存在.又(0,1)1(,)d (0,)1d y f x y f y y y=∂==∂,存在.故选A.2.函数0()(1)cos ,0x f x x x x ≤=+>⎩的一个原函数为( ).A.)ln ,0()(1)cos sin ,0x x F x x x x x ⎧≤⎪=⎨⎪+->⎩B.)ln 1,0()(1)cos sin ,0x x F x x x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪+->⎩C.)ln ,0()(1)sin cos ,0x x F x x x x x ⎧≤⎪=⎨⎪++>⎩D.)ln 1,0()(1)sin cos ,0x x F x x x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪++>⎩【答案】D.【解析】由已知0lim ()lim ()(0)1x x f x f x f +-→→===,即()f x 连续. 所以()F x 在0x =处连续且可导,排除A ,C.又0x >时,[(1)cos sin ]cos (1)sin cos (1)sin x x x x x x x x x '+-=-+-=-+, 排除B.故选D.3. 若0y ay by '''++=的通解在(,)-∞+∞上有界,则( ).A.0,0a b <>B.0,0a b >>C.0,0a b =<D.0,0a b =>【答案】D.【解析】微分方程0y ay by '''++=的特征方程为20r ar b ++=.①若240a b -<,则通解为212()e(cos sin )22a x y x C x C x -=+;②若240a b ->,则通解为2212()eea a x x y x C C ⎛⎛ -- ⎝⎭⎝⎭=+;③若240a b -=,则通解为212()()e a x y x C C x -=+.由于()y x 在(,)-∞+∞上有界,若02a ->,则①②③中x →+∞时通解无界,若02a-<,则①②③中x →-∞时通解无界,故0a =.0a =时,若0b > ,则1,2r =,通解为12()()y x C C =+,在(,)-∞+∞上有界.0a =时,若0b <,则1,2r =12()e y x C C =+,在(,)-∞+∞上无界.综上可得0a =,0b >.4. 设n n a b <,且1nn a∞=∑与1nn b∞=∑收敛,1nn a∞=∑绝对收敛是1nn b∞=∑绝对收敛的( ).A.充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既非充分又非必要条件【解析】由已知条件可知1()nn n ba ∞=-∑为收敛的正项级数,进而1()n n n b a ∞=-∑绝对收敛.设1nn a∞=∑绝对收敛,则由n n n n n n n b b a a b a a =-+≤-+与比较判别法,得1nn b∞=∑绝对收玫;设nb∞∑绝对收敛,则由n n n n n n n a a b b b a b =-+≤-+与比较判别法,得1nn a∞=∑绝对收敛.故选A.5.,A B 为可逆矩阵,E 为单位阵,*M 为M 的伴随矩阵,则*⎛⎫= ⎪⎝⎭A E O BA.****||||⎛⎫- ⎪⎝⎭A B B A O B AB.****||||⎛⎫- ⎪⎝⎭B A A B O A BC.****||||⎛⎫- ⎪⎝⎭B A B A OA BD.****|||⎛⎫- ⎪⎝⎭A B A B OB |A 【答案】B. 【解析】由于*||||||||⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭A E A E A E E O A B O O B O B O B O E OA B ,故*1||||||||-⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A E A E AB O O B O B O A B 1111||||||||----⎛⎫-⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A B O A A B O A B O B 1111||||||||||||----⎛⎫-= ⎪⎝⎭A A B A A B B O B A B ****||||⎛⎫-= ⎪⎝⎭A B A B OB A .故选B.. 6.222123121323(,,)()()4()f x x x x x x x x x =+++--的规范形为A.2212y y +B.2212y y -C.2221234y y y +-D.222123y y y +-【答案】B 【解析】222123121323(,,)()()4()f x x x x x x x x x =+++--222123121323233228x x x x x x x x x =--+++,二次型的矩阵为211134143⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A ,211210||134(7)131143141λλλλλλλ---=--=+-----A E210(7)210(7)(3)0141λλλλλλ-=+-=-+-=-, 1233,7,0λλλ==-=,故规范形为2212y y -,故选B.7.已知向量组121212212,1,5,03191⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααββ ,若γ 既可由12,αα 线性表示,又可由12,ββ线性表示,则=γ( )A.33,4k k R ⎛⎫⎪∈ ⎪ ⎪⎝⎭ B. 35,10k k R ⎛⎫ ⎪∈ ⎪ ⎪⎝⎭C. 11,2k k R -⎛⎫ ⎪∈ ⎪ ⎪⎝⎭D. 15,8k k R ⎛⎫⎪∈ ⎪ ⎪⎝⎭【答案】D.【解析】设11223142k k k k =+=+γααββ,则11223142k k k k +--=0ααββ,对关于1234,,,k k k k 的方程组的系数矩阵作初等变换化为最简形,121212211003(,,,)2150010131910011--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--=-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭A ααββ,解得T T T T 1234(,,,)(3,1,1,1)(3,1,1,0)(33,1,1,)k k k k C C C C C =--+-=--+-,故=γ11221211(33)(1)5(1)5,8(1)8C k k C C C k k R C -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+=-+-=-=∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭αααα.8.设X 服从参数为1的泊松分布,则(|()|)E X E X -=( ).A.1eB.12C.2eD.1【答案】C.【解析】方法一:由已知可得,1e {}(0,1,2,)!P X k k k -===L ,()1E X =,故111100|1|(1)(|()|)(|1|)e e e e!!k k k k E X E X E X k k ∞∞----==---=-==++∑∑12=2e (1)eE X -+-=. 故选C.方法二:由于0e !k xk x k ∞==∑,于是1111e 1(1)!(1)!k k x k k x x x k x k x +∞∞==--==++∑∑于是 1121111e 1(1)e 1(1)!(1)!(1)!k k k x x k k k kx x x x x k k x k x x -+∞∞∞==='''⎛⎫⎛⎫⎛⎫---+==== ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑. 由已知可得,1e {}(0,1,2,)!P X k k k -===L ,()1E X =,故 111(1)(|()|)(|1|)e e !k k E X E X E X k ∞--=--=-=+∑111=e e (1)!k k k ∞--=++∑1121(1)e 1=e e x x x x --=-++112e e e --=+=. 111(|()|)(||)[e ()]e ()1e E X E X E Y E Y E X ----==+=+-=.故选C.9.设12,,,n X X X L 为来自总体21(,)N μσ的简单随机样本,12,,,m Y Y Y L 为来自总体22(,2)N μσ的简单随机样本,且两样本相互独立,记11ni i X X n ==∑,11m i i Y Y m ==∑,22111()1n i i S X X n ==--∑,22211()1m i i S Y Y m ==--∑,则( ) A. 2122(,)S F n m S : B. 2122(1,1)S F n m S --: C. 21222(,)S F n m S : D. 21222(1,1)S F n m S --: 【答案】D.【解析】由两样本相互独立可得212(1)n S σ-与222(1)2m S σ-相互独立,且 2212(1)(1)n S n χσ--:,2222(1)(1)2m S m χσ--:, 因此2122122222(1)(1)2(1,1)(1)(1)2n S n S F n m m S S m σσ--=----:,故选D.10. 已知总体X 服从正态分布2(,)N μσ,其中0σ>为未知参数,1X ,2X 为来自总体X的简单随机样本,记12ˆ||a X X σ=-,若µ()E σσ=,则a =( ).A.2B.2【答案】A.【解析】由与1X ,2X 为来自总体X 的简单随机样本,1X ,2X 相互独立,且21(,)X N μσ:,22(,)X N μσ:,因而212~(0,2)X X N σ-,令12Y X X =-,所以Y 的概率密度为2222()ey Y f y σ-⋅=,所以22222240(||)|ed 2ed y y E Y y y y σσ--+∞+∞⋅-∞===⎰⎰,由12ˆ()(||)E aE X X σσ=-=,即(||)aE Y a σ==,解得a =A.二、填空题:11~16小题,每小题5分,共30分.请将答案写在答题纸指定位置上.11.求极限211lim 2sincos x x x x x →∞⎛⎫--= ⎪⎝⎭____________. 【答案】23. 【解析】1220sin 2cos 11lim 2sincos limx tx t tt t x x x x t=→∞→--⎛⎫-- ⎪⎝⎭222230000sin 111cos sin 2limlimlim lim t t t t t ttt t t t t t t →→→→---=+=+1126=+ 23=. 12.已知函数(,)f x y 满足22d d d (,)x y y xf x y x y -=+,且(1,1)4f π=,则f =____________.【答案】3π. 【解析】由已知22(,)f x y y x x y ∂-=∂+,22(,)f x y xy x y ∂=∂+,则 22(,)d arctan ()y x f x y x y x y yϕ-==-++⎰, 所以22(,)()f x y xy y x yϕ∂'=+∂+,即()0y ϕ'=,()y C ϕ=, 从而(,)arctanxf x y C y=-+,又(1,1)4f π=,解得2C π=,故(,)arctan2x f x y yπ=-,arctan 233f ππ=-=.13.20(2)!nn x n ∞==∑____________.【答案】e e 2x x-+.【解析】令20()(2)!nn x S x n ∞==∑,则(0)1S =,且211()(21)!n n x S x n -∞='=-∑,(0)0S '=, 22210()()(22)!(2)!n nn n x x S x S x n n -∞∞==''===-∑∑,从而可得微分方程()()0S x S x ''-=,解得12()e e x xS x C C -=+,又(0)1S =,(0)0S '=,解得1212C C ==,故 20e e ()(2)!2n x xn x S x n -∞=+==∑. 14.某公司在t 时刻的资产为()f t ,则从0时刻到t 时刻的平均资产等于()f t t t-,假设()f t 连续且(0)0f =,则()f t =____________.【答案】2(e 1)t t --.【解析】由已知可得()d ()tf t t f t t tt=-⎰,整理变形20()d ()t f t t f t t =-⎰,等式两边求导()()2f t f t t '=-,即()()2f t f t t '-=,解得一阶线性微分方程通解为()2(1)e t f t t C =-++,又(0)0f =,解得2C =,故()2(e 1)tf t t =--.15. 13123123121,0,20,2ax x x ax x x x ax ax bx +=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪+=⎩ 有解,其中,a b 为常数,若0111412a a a= ,则11120a a ab =________. 【答案】8【解析】方程组有解,则0111101110||12211012001202a a a a a a a ab aa b ==-+=A ,故111280a a ab =.16. 设随机变量X 与Y 相互独立,且()1,X B p :,()2,Y B p :,(0,1)p ∈则X Y+与XY -的相关系数为____________.【答案】13-【解析】由题意可得,()(1)D X p p =-,()2(1)D Y p p =-,又由X 与Y 相互独立可知,()()()D X Y D X D Y ±=+,故(,)X Y X Y ρ+-==()()(1)2(1)1()()(1)2(1)3D X D Y p p p p D X D Y p p p p ----===-+-+-三、解答题:17~22小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本题满分10分)已知函数()y y x =满足2e ln(1)cos 0xa y y x yb ++-++=,且(0)0,(0)0y y '==.(1)求,a b 的值;(2)判断0x =是否为函数()y y x =的极值点.【解】(1)将(0)0y =代入2e ln(1)cos 0x a y y x y b ++-++=得0a b +=. 方程2e ln(1)cos 0x a y y x y b ++-++=两边对x 求导得1e 2cos ln(1)sin 01x a yy y y x y y x'''++-++⋅=+, 将(0)0y '=代入上式得10a -=,解得1,1a b ==-.(2)由(1)知1e 2cos ln(1)sin 01xyy y y x y y x'''++-++⋅=+,上式两边再对x 求导得 22111e 2()2cos sin sin ln(1)cos ln(1)sin (1)11x y yy y y y y y x y y y x y y x x x ⎡⎤''''''''+++++⋅+++⋅++⋅⎢⎥+++⎣⎦将(0)0,(0)0y y '==代入上式得(0)2y ''=-,所以0x =是函数()y y x =的极大值点.18.(本题满分12分)已知平面区域(,)|01D x y y x ⎧⎫=≤≤≥⎨⎬⎩⎭, (1)求平面区域D 的面积S .(2)求平面区域D 绕x 一周所形成得旋转体的体积 【解】(1)222144sec 1d d tan sec sin t S x t t t t tππππ+∞===⎰⎰⎰222244sin 1d d cos sin 1cos t t t tt ππππ==--⎰⎰241cos 11ln2cos 12t t ππ-==+. (2) 222211111d d 1(1)14V x x x x x x ππππ+∞+∞⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎰⎰. 19.(本题满分12分)已知22{(,)|(1)1}D x y x y =-+≤,求1|d d Dx y -⎰⎰.【解】令22221{(,)|(1)1,1}D x y x y x y =-+≤+≤,则|1|d d Dx y ⎰⎰)(111d d 1d d D D D x y x y -=+⎰⎰⎰⎰)(11d d 21d d DD x y x y =+⎰⎰⎰⎰2cos 122232cos 234327d d 2d d 39ππθππθππρρθπρρθ---=-+=⎰⎰⎰⎰20.(本题满分12分)设函数()f x 在[,]a a -上有二阶连续导数.(1)证明:若(0)0f =,存在(,)a a ξ∈-,使得21()[()()]f f a f a aξ''=+-; (2)若()f x 在(,)a a -上存在极值,证明:存在(,)a a η∈-,使得21|()||()()|2f f a f a a η''≥--. 【证明】(1)将()f x 在00x =处展开为22()()()(0)(0)(0)2!2!f x f x f x f f x f x δδ''''''=++=+,其中δ介于0与x 之间.分别令x a =-和x a =,则21()()(0)()2!f a f a f a ξ'''-=-+,10a ξ-<<,22()()(0)()2!f a f a f a ξ'''=+,20a ξ<<,两式相加可得212()()()()2f f f a f a a ξξ''''+-+=,又函数()f x 在[,]a a -上有二阶连续导数,由介值定理知存在ξ∈12[,](,)a a ξξ⊂-,使得12()()()2f f f ξξξ''''+=,即21()[()()]f f a f a a ξ=-+. (2)设()f x 在0x 处取得极值,则0()0f x '=.将()f x 在0x 处展开为22000000()()()()()()()()()2!2!f x x f x x f x f x f x x x f x δδ''''--'=+-+=+, 其中δ介于0x 与x 之间.分别令x a =-和x a =,则2100()()()()2!f a x f a f x η''+-=+,10a x η-<<, 2200()()()()2!f a x f a f x η''-=+,02x a η<<, 两式相减可得222010()()()()()()22f a x f a x f a f a ηη''''-+--=-, 所以222010()()()()|()()|22f a x f a x f a f a ηη''''-+--=-221020|()|()|()|()22f a x f a x ηη''''+-≤+220012|()|[()()](|()|max(|()|,|()|))2f a x a x f f f ηηηη''''''''≤++-= 2200|()|[()()]2|()|2f a x a x a f ηη''''≤++-=,即21|()||()()|2f f a f a aη''≥--.21.(本题满分12分)设矩阵A 满足对任意的123,,x x x 均有112321233232x x x x x x x x x x x ++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A . (1)求A(2)求可逆矩阵P 与对角阵Λ,使得1-=P AP Λ.【解】(1)由112321233232x x x x x x x x x x x ++⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A ,得112233*********x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭A , 即方程组123111211011x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪--=⎢⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎝⎭⎣⎦0A 对任意的123,,x x x 均成立,故111211011⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A . (2)111101||211(2)20011011λλλλλλλλ---=--=+-----A E ,(2)(2)(1)0λλλ=-+-+=,特征值为1232,2,1λλλ=-==-.3111002211011011000⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A E ,1011⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭α;1111042231013013000--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A E ,2431⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α;211201************⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+=→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A E ,3102-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α,令123041(,,)130112-⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭P ααα ,则1200020001--⎛⎫⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭P AP Λ.22.(本题满分12分)设随机变量X 的概率密度函数为2e (),(1e )xx f x x =-∞<<+∞+,令e X Y =. (1)求X 的分布函数; (2)求Y 的概率密度函数; (3)判断Y 的数学期望是否存在.【解】(1)设X 的分布函数为()X F x ,由分布函数的定义可得2e 1(){}()d d 1,(1e )1et xxX t t F x P X x f x x t x -∞-∞=≤===--∞<<+∞++⎰⎰. (2)设Y 的分布函数为()Y F y ,概率密度为()Y f y ,由分布函数的定义可得(){}{e }X Y F y P Y y P y =≤=≤,当0y ≤时,()0Y F y =; 当0y >时,1(){}{ln }(ln )11Y X F y P Y y P X y F y y=≤=≤==-+. 综上,00,()110.1Y y F y y y ≤⎧⎪=⎨->⎪+⎩,, 故Y 的概率密度函数200,()10.(1)Y y f y y y ≤⎧⎪=⎨>⎪+⎩,,(3)由(2)知,220011()()d d d (1)(1)Y yy E Y yf y y y y y y +∞+∞+∞-∞+-===++⎰⎰⎰20011d d 1(1)y y y y +∞+∞=-++⎰⎰ 01ln(1)=1y y +∞⎡⎤=+++∞⎢⎥+⎣⎦, 故Y 的数学期望不存在.。
2023年全国硕士研究生招生考试(数学三)试题及答案解析1.已知函数,ln sin f x y y x y ,则A. 0,1fx 不存在,0,1f y 存在.B. 0,1fx 存在,0,1f y 不存在.C. 0,1fx ,0,1f y均存在.D. 0,1fx ,0,1f y均不存在.x 0,2.函数f (x )(x 1)cos x ,x 0的一个原函数为 x ),x 0,A.F (x )(x 1)cos x sin x ,x 0. x ) 1,x 0,B.F (x )(x 1)cos x sin x ,x 0. x ),x 0,C.F (x )(x 1)sin x cos x ,x 0. x ) 1,x 0,D.F (x )(x 1)sin x cos x ,x 0.上有界,则B.a 0,b 0.D.a 0,b 0.3.若微分方程y ay by 0的解在 ,A.a 0,b 0.C.a 0,b 0.4.已知a n b nn 1n 1,2, ,若级数n 1an与n 1bn均收敛,则“n 1an绝对收敛”是“bn绝B.充分不必要条件.D.既不充分也不必要条件.对收敛”的A.充分必要条件.C.必要不充分条件.5.设,A B 为n 阶可逆矩阵,E 为n 阶单位矩阵, M 为矩阵M 的伴随矩阵,则=A E OB A..A B B A O B A B..B A A B O A B C..B A B A OA B D..A B A B OB A 6二次型f x 1,x 2,x 3 x 1 x 22x 1 x 324 x 2 x 32的规范形为A.y 12y 22B.y 12y 22C.y 12y 224y 32D.y 12y 22y 322311 12 2 15 09 17.已知向量α1 ,α2 ,β1 ,β2 ,若γ既可由α1,α2线性表示,也可由β1,β2线性表示,则γ 34 3A.k,k R50 3 B.k1 ,k R1 2 1 C.k,k R1 D.k 58,k R8.设随机变量X 服从参数为1的泊松分布,则EA.1eB.12C.X EX2eD.19.设X 1,X 2, ,X n 为来自总体N1,2的简单随机样本,Y 1,Y 2, ,Ym为来自总体N 2,2 2 的简单随机样本,且两样本相互独立,记111111n m n m i i n m n m i 1i 1X X i ,Y Y i ,S 12 X i X 2,S 22Y i Y1 1 2,则A. 2122,S F n m S B. 21221,1S F n m S C. 21222,S F n m S D. 212221,1S F n m S 10.设X 1,X 2为来自总体N,2的简单随机样本,其中 0 是未知参数.记a X 1 X 2,若E,则aA.2B.2二、填空题1111.l x x x i mx 22 x sin cos _______.2πx d y y d x x y 12.已知函数f (x ,y )满足d f (x ,y ),f 1,1 24则f .!=2nx 2nn 013. .14.设某公司在t 时刻的资产为f (t ),从0时刻到t 时刻的平均资产等于f (t )tt ,假设f (t )连续且f (0)=0,则f (t )=1231230,20x ax x x ax 15.已知线性方程组 x ax 1 bx 2 2,有解,其中a ,b 为常数,若a110a211a 4,则1a 112aa b 0.16.设随机变量X 与Y 相互独立,且X B 1,p ,Y B 2,p ,p 0,1 ,则X +Y 与X Y .的相关系数为三、解答题17.已知可导函数y =y (x )满足ae x y 2 y ln(1 x )cos y b 0,且y (0) 0,y '(0) 0.(1)求a ,b 的值;(2)判断x 0是否为y (x )的极值点.18.已知平面区域D ={(x,y )|0 y x 1}.(1)求D 的面积;(2)求D 绕x 轴旋转所成旋转体的体积.D1|d x d y .19.已知平面区域D {(x ,y )|(x 1)2 y 2 1}.计算二重积分 |20.(12分)设函数f (x )在[-a ,a ]上具有2阶连续导数,证明:1a(1)若f (0)=0,则存在 a ,a ,使得f ''( )2[f (a ) f ( a )];(2)若f(x )在(-a ,a )内取得极值,则存在 a ,a 使得1.2f ''a2f (a ) f ( a )12x 1x 2x 3x 1x 2x 3x21.设矩阵A 满足对任意x 1,x 2,x 3均有A2 . x x3 x 2 x 3(1)求A ;(2)求可逆矩阵P 与对角矩阵 ,使得P 1AP Λ.xx22.设随机变量变量X 的概率密度为f x 1 e e 2, x ,令Y e x.(1)求X 的分布函数;(2)求Y 的概率密度;(3)Y的期望是否存在?2023年全国硕士研究生入学统一考试数学三答案一、选择题1.A2.D3.C4.A5.D6.B7.D8.C9.D10.A空题11、二、填23π12、113、e x2+2e −x14、f (t )=2(1-t )-2e t 15、816、p (p-1)将y (0) 0代入ae x2yy y1 1xcos y ln(1 x )(sin y )y 0得a 0 1 0,所以a 1b 1 1xcos y ln(1 x )sin y y 0(2)由e x2yy y1两边对x 求导,得:(1)将(0,0)代入得a b 01e x 2 y 22yy y(1 1x )2cos y 11xsin ysin y y ln(1 x ) 2sin yy cos y y 01 x代入,得1 y (0) 1 0,y (0) 2 0,x 0为极大值.17【解析】2141tan ttan t xsec t (1)24se tan c tsec 2tdt 4t dt2csc tdt1)21(2)11 1x 2 x 2dx 112 1 1x 2 x dx 4)dx (1 18【解析】D 1 {(x ,y ∣)x 2 y 2 1,(x 1)2 y 2 1 )x 2 y 2 1,(x 1)2 y 2 1D 2 (x ,y∣D 1D 2d x d y1 1d x d y原式=161310829D 12cos2d 1 1 r r d r 1πd x d y 2 6d 1 r r d r 2其中 19【解析】π2π022259182D 2DD 1D 1d x d y 2cos1 1 1 r 1 r d r1 π d x d yd x d yd x d y d所以4439π原式=.1 x 22f【解析】(1)f (x ) f (0) f (0)x 1 22f 112f a 2,f ( a ) f (0)( a ) a 2,其中 1 a ,0 ,则f (a ) f(0)a2 0,a .12 1 2 f ( a ) f (a )ff a 212 1 2 ff 2f (a )a f ( a ) f , 1, 2 a ,a ,由介值定理可知平均值 即证(2)x 0 0设f (x )在x =x 0处取得极值即x 0 ( a a ),f22x 0( )ff (x ) f x 0 f x x 0 x x 020代入x a ,x a21f f ( a ) f x 0 a x 02(1), 1 a ,x 02n 1f f (a ) f x 0a x 02(2), 2 x 0,a(2)-(1)得222100()()22f f f a f a a x a x222100|()()|22f f f a f a a x a x2200()()22f f a x a x 2200()2f a x a x 220()222f a x220()f a x2()2f a ,12 ()max f f f 其中,,a a 21()|()()|2f f a f a a. 21.【解析】12123311111011x x x xx x2(1)由题可知,A 11.2011 111A (2)|A E | (2 )(2)( 1) 01232,1,2A 中1 A 中对应的线性无关特征向量1(4,3,1).T 2 A 中对应的线性无关特征向量21,0,12T3 A 中对应的线性无关特征向量3(0,1,1)123,,p 1212P AP22.【解析】xf (t )dt ( x )(1)F (x ) txt e 2dte121 1xt d e te1t x1 e 11 1e x(2) 当0y 时22111()(ln )(1)(1)Y X y f y f y y y y y 210(1)()0 Y y y f y其它 (3) 20d (1)EY y y y,2(1)y y 1y ,所以期望不存在.。
2023 考研数学三真题及解析一、选择题:1~10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是最符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.1.已知函数 f( ,x y ) = ln ( y + x sin y ),则( ).(A )()0,1f x ∂∂不存在,()0,1fy∂∂存在(B )()0,1f x∂∂存在,()0,1fy ∂∂不存在(C )()0,1f x∂∂()0,1f y∂∂均存在(D )()0,1f x∂∂()0,1f y∂∂均不存在【答案】(A )【解析】 本题考查具体点偏导数的存在性,直接用定义处理,()0,10f =()()()()0,1000ln 1sin1sin1,10,1sin1,0lim lim limsin1,0x x x x x f x f x fx x x x x +−→→→+ −→∂=== ∂−→ 故()0,1f x∂∂不存在()()()0,1110,0,1ln lim lim 111y y f y f f y y y y →→−∂===∂−−,()0,1f y∂∂存在,选(A )2.函数() 0,()1cos ,0.x f x x x x ≤=+>的一个原函数是( )(A)), 0,()(1)cos sin ,0.x x F x x x x x −≤= +−>(B))1, 0,()(1)cos sin ,0.x x F x x x x x +≤=+−>(C)), 0,()(1)sin cos ,0.x x F x x x x x −≤= ++>(D))1, 0,()(1)sin cos ,0.x x F x x x x x +≤=++> 【答案】(D) .【分析】本题主要考查原函数的概念,分段函数不定积分的求法以及函数可导与连续的关系.【详解】由于当0x <时,)1()lnF xx x C==+∫当0x >时,()()2()1cos d 1sin cos F x x x x x x x C =+=+++∫由于()F x 在0x =处可导性,故()F x 在0x =处必连续因此,有00lim ()lim ()x x F x F x −+→→=,即 121C C =+.取20C =得)1, 0,()(1)sin cos ,0.x x F x x x x x −+≤= ++> 应选(D) .【评注】此题考查分段函数的不定积分,属于常规题,与2016年真题的完全类似,在《真题精讲班》系统讲解过. 原题为已知函数2(1),1,()ln , 1.x x f x x x −< = ≥则()f x 的一个原函数是( )(A) 2(1),1,()(ln 1), 1.x x F x x x x −<= −≥ (B) 2(1),1,()(ln 1)1, 1.x x F x x x x −<=+−≥ (C) 2(1),1,()(ln 1)1, 1.x x F x x x x −<= ++≥ (D) 2(1),1,()(ln 1)1, 1.x x F x x x x −<= −+≥3.若微分方程0y ay by ′′′++=的解在(,)−∞+∞上有界,则( )(A )00a b <>, (B )00a b >>, (C )00a b =>, (D )00a b =<, 【答案】(C )【解析】特征方程为20r ar b ++=,解得1,2r =.记24a b ∆=−当0∆>时,方程的通解为1212()e e r x r x yx c c ⋅⋅=+,当12,c c 不全为零时()y x 在(,)−∞+∞上无界.当12,c c 不全为零时()y x 在(,)−∞+∞上无界.当0∆=时,1202ar r −=<=,方程的通解为1112()e e r x r x yx c c x =+,当12,c c 不全为零时()y x 在(,)−∞+∞上无界.当0∆<时,1,22a r i β=−±,方程的通解为()212()e cos sin axy x c x c x ββ−=+. 只有当0a =,且240a b ∆=−<,即0b >时,lim ()lim ()0x x y x y x →+∞→−∞==,此时方程的解在(,)−∞+∞上有界. 故选(C )【评注】此题关于x →+∞方向的讨论,在《基础班》习题课上讲解过,见《基础班》习题课第八讲《常微分方程》第15题.4.已知()1,2,n n a b n <=,若1nn a∞=∑与1n n b ∞=∑均收敛.则1nn a∞=∑绝对收敛是1n n b ∞=∑绝对收敛的( )(A )充分必要条件 (B )充分不必要条件 (C )必要不充分条件(D )既非充分也非必要条件 【答案】(A ) 【解析】由题设条件知()1nn n ba ∞=−∑为收敛的正项级数,故()1n n n b a ∞=−∑也是绝对收敛的若1nn a∞=∑绝对收敛,则n n n n n n n b b a a b a a =−+≤−+,由比较判别法知,1n n b ∞=∑绝对收敛;若1n n b ∞=∑绝对收敛,则则nn n n n n n aa b b a b b =−+≤−+,由比较判别法知,1n n a ∞=∑绝对收敛;故应选(A )【评注】本题考查正项级数的比较判别法,及基本不等式放缩.关于上述不等式《基础班》第一讲在讲解数列极限定义时就反复强调过.5.设A,B 分别为n 阶可逆矩阵,E 是n 阶单位矩阵,*M 为M 的伴随矩阵,则AE OB 为( ) (A )*****−A B B A O A B (B )****− A B A B OB A(C )****−B A B A OA B (D )****−B A A B OA B 【答案】(D )【解析】由分块矩阵求逆与行列式的公式,结合1∗−=A A A 得11111∗−−−−− −==A E A E A E E A A AB B O B O B O B O B ∗∗∗∗−=B O A A A B B 选(D )【评注】这钟类型的题在02年,09年均考过完全类似的题,《基础班》第二讲也讲过,原题为【例1】设,A B ∗∗分别为n 阶可逆矩阵,A B 对应的伴随矩阵,∗∗=A O C O B6.二次型()()()222123121323(,,)4f x x x x x x x x x =+++−−的规范形为( ). (A )2212y y + (B )2212y y −(C )222123y y y −−(D )222123y y y +−【答案】(B )【详解】因为123(,,)f x x x 222123121323233228x x x x x x x x x =−−+++方法1.二次型的矩阵为 211134143 =− −A , 由()()211134730143λλλλλλλ−−−−=−+−=+−=−−+E A ,得特征值为0,7,3−,故选(B )方法2.()222123123121323,,233228f x x x x x x x x x x x x =−−+++()()()22232322211232323233842x x x x x x x x x x x x ++=+++−−−+ 222222322332323126616222x x x x x x x x x x x +++++−=+−()22231237222x x x x x +=+−− 故所求规范形为()2212312,,f x x x y y =−【评注】本题考查二次型的规范形,与考查正负惯性指数是同一类题,在《基础班》《强化班》均讲过. 《解题模板班》类似例题为【11】设123123(,,),(,,)T T a a a b b b αβ==,,αβ线性无关,则二次型123112233112233(,,)()()f x x x a x a x a x b x b x b x =++++的规范型为( ).(A)21y (B) 2212y y + (C) 2212y y − (D) 222123y y y ++7.已知向量12121,,1222150390,1====ααββ,若γ既可由12,αα表示,也由与12,ββ表示,则=γ( ).(A )334k (B )3510k(C )112k − (D )158k【答案】(D ) 【解析】由题意可设11212212x y x y +==+γααββ,只需求出21,x x 即可即解方程组112112220x y y x +−−=ααββ()121212211003,,2150010131910011,−−−−=−→− −−ααββ 得()()2211,,1,3,,1,1TTx k x y y =−−,k 为任意常数11221212133215318x k k k k k x+=−+=−+=−=γαααα,故选(D )【评注】1.此题与《强化班》讲义第三讲练习第12题完全类似,原题为【12】(1)设21,αα,21,ββ均是三维列向量,且21,αα线性无关, 21,ββ线性无关,证明存在非零向量ξ,使得ξ既可由21,αα线性表出,又可由21,ββ线性表出.(2)当 =4311α,=5522α:1231β= − ,2343β−=−时,求所有既可由21,αα线性表出,又可21,ββ线性表出的向量。
试卷及解2024考研数学(三)真题析一、选择题:1~10小题,每小题5分,共50分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.1.设函数21()lim1nn xf x nx →∞+=+,则()f x A.在1x =,1x =-处都连续.B.在1x =处连续,在1x =-处不连续.C.在1x =,1x =-处都不连续.D.在1x =处不连续,在1x =-处连续.1.【答案】D【解析】当21 1lim11nn xx x nx →∞+<=++时,,当211lim01nn xx nx →∞+>=+时,,当21,lim01n x n →∞==+时,当01lim01n x n→∞=-=+时,,故()1,11,0,x x f x +-<<⎧=⎨⎩其他.故在1x =-时,连续;1x =时不连续.选D.2.设sin d a k aI x x π+=⎰,k 为整数,则I 的值A.只与a 有关B.只与k 有关C.与,a k 均有关D.与,a k 均无关2.【答案】B 【解析】π|sin |d a k a I x x+=⎰ππ0|sin |d sin d 2.k x x k x x k ===⎰⎰选B.3.设(,)f x y 是连续函数,则12sin 6d (,)d xx f x y y ππ=⎰⎰A.1arcsin 126d (,)d .yy f x y x π⎰⎰B.121arcsin 2d (,)d .yy f x y x π⎰⎰C.1arcsin 206d (,)d .yy f x y x π⎰⎰D.122arcsin d (,)d .yy f x y x π⎰⎰3.【答案】A【解析】11arcsin 21sin 266d (,)d d (,)d .yxx f x y y y f x y x πππ==⎰⎰⎰⎰选A.4.幂级数nnn a x∞=∑的和函数为ln(2)x +,则20nn na∞==∑A.16-B.13-C.16D.134.【答案】A【解析】()112ln 2ln 1ln 2ln 2(1)2nn n x x x n ∞-=⎛⎫⎪⎛⎫⎝⎭+=++=+- ⎪⎝⎭∑23462222ln 222346x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=+-+-+ ⎪⎝⎭224680246357320234111 2322242111 2221114182 .138361624nn naa a a a ∞==+++++⎛⎫=-+⋅--+ ⎪⋅⋅⎝⎭⎡⎤=-+++⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥=-=-=-⨯=-⎢⎢⎥-⎣⋅⎦∑ 5.设二次型()T123,,f x x x =x Ax 在正交变换下可化成22212323y y y -+,则二次型f 的矩阵A 的行列式与迹分别为.6,2A --.6,2B -.6,2C -.6,2D 5.【答案】C【解析】()T123,,f x x x =x Ax 正交变换下化为22212323y y y -+⇒A 的特征值为1,2,3-()()()1236,tr 1232⇒=⋅-⋅=-=+-+=A A .6.设A 为3阶矩阵,100010101⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,P 若T 2200020a c c b c c +⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,P AP 则=AA.0000.00c a b ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭ B.0000.00b c a ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭C.0000.00a b c ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭D.0000.00c b a ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭6.【答案】C【解析】()3T 212010000, 010120101a c c b c c +⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且AP B P E P 故()()()11112233T11T (1)(1)----⎡⎤==⎣⎦PA B P E B E 11131313131T3T131(1)(1)(1)(1)(1)(1)---⎡⎤==---⎣⎦E BE E E BE E 0 10120100100010001001000120101101a c c b c c -+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪⎪= ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 0001001000000010010002010110100 a b b c c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪== ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.7.设矩阵131,2112ij a b b aM +⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 表示A 的行j 列元素的余子式,若1||2=-A .且2122230M M M -+-=.则3.02A a a ==-或3.02B a a ==或1.12C b b ==-或1.12D b b =-=或7.【答案】B【解析】120101322211111222112121bba bbbba a a-+===A 1211(1)122a b +⎛⎫=-⋅- ⎪⎝⎭111(21)22b a ⎛⎫=-⋅--=-⎪⎝⎭11(21)22b a ⎛⎫⇒--=⎪⎝⎭12122b ab a ⇒--+=又2122232122230M M M A A A =-+-=++13131111111101111201a b a b a b a b +++====+-=,1b a ⇒=+代入(1)中,得11(1)2022a a a a ++--+=0a ⇒=或312ab =⇒=或52.8.设随机变量X 的概率密度为()()61,01,0,x x x f x ⎧-<<=⎨⎩其他,则X 的三阶中心矩()3E X EX -=A.132-B.0C.116D.128.【答案】B 【解析】1211116(1)d 6634122EX x x x ⎛⎫=-=⋅-=⨯= ⎪⎝⎭⎰3311321021211116(1)d 6d 022 22 x t E X x x x xt t t t --=⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--+⋅-⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰⎰令.9.随机变量,X Y 相互独立,且~(0,2),~(1,1)X N Y N -,设{}{}122,21p P X Y p P X Y =>=->,则121A.2p p >>211B.2p p >>121C.2p p <<211D.2p p <<9.【答案】B【解析】(2)2011E X Y EX EY -=-=+=,(2)44219D X Y DX DY -=+=⨯+=,所以2~(1,9)X Y N -;(2)2022E X Y EX EY -=-=+=,(2)4246D X Y DX DY -=+=+=,所以2~(2,6)X Y N -;121011113333X Y p P ΦΦ---⎧⎫⎛⎫⎛⎫=>=--=⎨⎬ ⎪ ⎪⎩⎭⎝⎭⎝⎭21p P ΦΦ⎛⎛=>=--= ⎝⎝,所以2112p p >>,故选B.10.设随机变量,X Y 相互独立,且均服从参数为λ的指数分布,令Z X Y =-,则下列随机变量中与Z 同分布的是A.X Y + B.2X Y+C.2X D.X10.【答案】D【解析】X 与Y 的联合概率密度为2()e ,0,0(,)()()0,x y Y X x y f x y f x f y λλ-+⎧>>=⋅=⎨⎩其他设Z 的分布函数为()Z F z ,则{}{}()Z F z P Z z P X Y z=≤=-≤1当0z <时,()0Z F z =;2当0z ≥时,{}{}()20Z F z P z X Y z P X Y z =-≤-≤=≤-≤02e d e d y z y x yy x λλλλ+∞+--=⎰⎰.()()02202e e e d 2e d 2e e d 1e .y y y z y z y z y y yλλλλλλλλλλ+∞---++∞+∞----=-=-=-⎰⎰⎰所以()1Z E ,从而Z 与X 服从相同的分布,选D.二、填空题:11~16小题,每小题5分,共30分.11.当0x →时,()2221sin d 1cos xt tt t++⎰与k x 是同阶无穷小,则k =.11.【答案】3【解析】当0x →时,()22221sin ~1cos 2x xx x++,则()223201sin d ~1cos xt tt Ax t++⎰.从而3k =.12.4225d 34x x x +∞=+-⎰.12.【答案】1πln 328-【解析】()()42222255d d 3414x x x x x x +∞+∞=+--+⎰⎰222211d d 14x x x x +∞+∞=--+⎰⎰222111d d 114x x x x x +∞+∞⎛⎫=-- ⎪-++⎝⎭⎰⎰222111ln arctan 2122x x x +∞+∞⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭111ππ1π0ln ln 32322428⎛⎫⎛⎫=---=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.13.函数()324,2961224f x y x x y x y =--++的极值点是.13.【答案】()1,1【解析】23618120,24240,x y f x x f y ⎧'=-+=⎪⎨'=-+=⎪⎩解得(1,1) ,(2,1).1218xx A f x ''==-,0xy B f ''==,272yy C f y ''==-,代入(1,1)得24320,6AC B A -=>=-,故(1,1)是极大值点,(1,1)23f =.代入(2,1)得24320AC B -=-<,不是极值.14.某产品的价格函数是250.25,20,350.75,20Q Q p Q Q -≤⎧=⎨->⎩(p 为单价,单位:万元;Q 为产量,单位:件),总成本函数为215050.25C Q Q =++(万元),则经营该产品可获得的最大利润为(万元).14.【答案】50【解析】()()()22(250.25)15050.25,20,350.7515050.25,20.Q Q Q Q Q L PQ C Q Q Q Q Q ⎧--++≤⎪=-=⎨--++>⎪⎩整理得:220.5(20)50,20,(15)75,20.Q Q L Q Q ⎧--+≤=⎨--+>⎩所以20Q =时,50L =为最大利润.15.设A 为3阶矩阵,*A 为的A 伴随矩阵,E 为3阶单位矩阵,若(2)1,()2r r -==E A E +A ,则*A =.15.【答案】16【解析】() 132r <-=E A ,() 23r =<E +A ⇒A 有特征值2,1-.又()3222r λ-=-⇒=E A 有 2个线性无关的特征向量2λ⇒=至少有两重根.()311r λ-=⇒=-E +A 有1个线性无关特征向量1λ⇒=-至少有一重根.又A 为3阶⇒A 的特征值为22,1-,,故()*122214,||16n -=⋅⋅-=-===A A A A .16.设随机试验每次成功的概率为p ,现进行3次独立重复试验,在至少成功1次的条件下,3次试验全部成功的概率为413,则p =.16.【答案】23p =【解析】A :全成功,B :至少成功一次.()33()()4()()1(1)13P AB P A p P A B P B P B p ====--,331344(1)p p =--整理得(32)(3602)3p p p p -+=⇒=.三、解答题:17~22小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设平面有界区域D 位于第一象限由曲线1,33xy xy ==与直线1,3y x =3y x =围成,计算()1d d Dx y x y +-⎰⎰.17.【解】令yu xy v x==,,(1)x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩(2)12x xuv J y y v uv∂∂∂∂==∂∂∂∂故3113331d 1d 2u v v⎛=+⋅ ⎝⎰⎰原式38ln 3=.18.设函数(,)z z x y =由方程2e ln(1)0xz y z +-+=确定,求22(0,0)22z z x y ⎛⎫∂∂+ ⎪∂∂⎝⎭.18.【解】将0y =代入得e xz =-,则22e xz x ∂=-∂,代()220,001z x x∂=⇒=-∂.将0x =代入得()21ln 1z y z+=+,得()222ln 11z yz zz y z y∂∂=++⋅∂+∂.代0,0,1x y z ===-得()0,0ln2zy ∂=∂.又22222122 211z z z y z z z z z y y z y z y y ⎡⎤⎛⎫∂∂⋅⎢⎥ ⎪+∂∂∂∂⎝⎭⎢=⋅+⋅+⋅⎢⎥∂+∂+∂∂⎢⎥⎣⎦,代0,0,1,ln2zx y z y∂===-=∂得()220,02ln2z y ∂=-∂.故原式为12ln2--.19.设0t >,平面有界区域D 由曲线-2e xy x =与直线x t =,2x t =及x 轴围成,D 的面积为()S t ,求()S t 的最大值.19.【解】()22ed txt S t x x -=⎰,()()42424e e e 4e t t t t S t t t t ---=-=-'则,42 4e e 0ln2.t t t ---=⇒=令()() 0ln20;ln20.t S t t S t <<'>><'当时,当时,故ln2t =时,()S t 取最大值,有()ln 4ln 4222ln 2ln 21113 ln2e d e ln2.221664x x x S x x x ---⎛⎫==-+=+ ⎪⎝⎭⎰20.设函数()f x 具有2阶导数,且()()()01, 1.f f f x ''''=≤证明:(1)当()0,1x ∈时,()()()()()1011;2x x f x f x f x ----≤(2)()()()1011d .212f f f x x +-≤⎰20.证明:(1)()12()(0)(0)2f f x f f x x ξ'''=++①()()22()(1)(1)1(1)2f f x f f x x ξ'''=+-+-②()1x x⋅-+⋅①②()()()()()12221()(0)(1)(1)(0)1(1)1(1)22f f f x f x f x f x x f x x x x x x ξξ''''''⇒=-++-+-+--+,21111()(0)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1).222 2f x f x f x x x x x x x x x x x ----+-=-+-=- (2)[]02111(1)1()(0)(1)(1)d ()d (0)(1)22x f x f x f x x f x x f f ----=-⋅-⋅⎰⎰1100(0)(1)(1)1()d d .22 12f f x x f x x x +-=-=⎰⎰ 21.设矩阵11011103,2126--⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭A 1012111,2322a a ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭B 向量023⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,α10.1⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭β(1)证明:方程组=Ax α的解均为方程组=Bx β的解;(2)若方程组=Ax α与方程组=Bx β不同解,求a 的值.21.证明:(1)(,)1⎛⎫⇒= ⎪-⎝⎭=0x x A A αα(,)1⎛⎫⇒= ⎪-⎝⎭=0x Bx βB β又11010110101103202042212630328310121011311110000232210121a a a a ----⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫=→⎪⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭A αB β1101011010010210102100220001100011000000000000000022000000a a ----⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪→→⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故()3r r ⎛⎫== ⎪⎝⎭A αB βA ,α.即(,)1⎛⎫= ⎪-⎝⎭0x A α的解是(,)1⎛⎫= ⎪-⎝⎭0B βx 的解.即=Ax α的解是=Bx β的解(2)=Ax α与方程组=Bx β不同解,即=Ax α与=Bx β不等价又=Ax α的解是=Bx β的解,故=Bx β的解不是=Ax α的解.即(,)3r r ⎛⎫≠=⎪⎝⎭A αB βB β,故1012110121,1110011312322103063a a a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→--→---- ⎪ ⎪⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭B β101211012101021010210113100110a a a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭故10a -=即1a =.22.X 服从[]0,θ上的均匀分布,()0θ∈+∞,为未知参数,12,,,n X X X 为总体X 的简单随机样本,记为(){}()12max ,,,,.n c n n X X X X T cX == (1)求c 使得();c E T θ=(2)记()()2,c h c E T θ=-求c 使得()f c 最小.22.【解】(1){}()()12max ,n n n E cX cEX cE X X X θ⎡⎤===⎣⎦ 10()0X x f x θθ⎧<<⎪⎨⎪⎩其他00(),01,X x x F x x x θθθ<⎧⎪⎪=<⎨⎪⎪⎩ {}()120,0max ~(),01,,n n n n X x xX X X F x x x θθθ<⎧⎪⎪=<⎨⎪⎪⎩ ()10()0. X n n n n xx f x θθ-⎧⋅<<⎪=⎨⎪⎩其他{}1110,1max ,d 1n n n n nnx n E X X x x n θθθθθθ-+==⋅+⎰1nn θ=+,所以1n c n+=.(2)()2222()22c c c ch c E T T ET E ET θθθθ=+-=++()()()()222n n E cX E cX θθ=+-()()2222n n c EX c EX θθ=+-因为()221201d 2n n n n n nx n EX x x x n θθθθ-+=⋅=+⎰22nn θ=⋅+()11001d 11n n n n n nxn nEX x x x n n θθθθθ-+=⋅⋅=⋅=++⎰所以22222 ()21221=21n n nc n h c c c c n n n n θθθθθ⎛⎫=+-⋅+-⋅ ⎪++++⎝⎭令2()1221n n f x x x n n =+-++,22()021n n f x x n n '=-=++解得21n x n +=+,即21n c n +=+时,()h c 取最小值.。
2024年全国硕士研究生入学统一考试数学(三)试题考试时间:180分钟,满分:150分一、选择题:1~10小题,每小题5分,共50分,下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1)已知函数f (x) = lim ,则( )【答案】D(2)积分+k πsin x dx ( )【答案】Bπ(3)交换积分次序∫π2dx i1n x f (x, y)dy 则( )6【答案】A(4)已知ln(2 + x) = a n x n ,则na2n = ( )(A)−(B)−(C)(D)【答案】A(5)设二次型在正交变换下的标准型为f (x1, x2, x3 ) = y12−2y22+ 3y32,则( )【答案】C(行列式为-6,迹为2)(6)【答案】C(7)【答案】C(a = 0, a = )(8)E[(X −Ex)3 ] = ( )【答案】0(9)【答案】B (p2 > p1> )(10)设随机变量X, Y 相互独立,且均服从参数为λ的指数分布,令Z = X −Y ,则下列随机变量与Z 同分布的是( )(A)X + Y (B)(C)2X (D)X【答案】D二、填空题:11~16小题,每小题5分,共30分,请将答案写在答题纸指定位置上.(11)【答案】3(12)=【答案】ln 3 −n→∞1 + nx n(13)函数f (x , y ) = 2x 3 − 9x 2 − 6y 4 +12x + 24y 的极值点是 【答案】 (1,1) (14)【答案】 (15)【答案】 (16)【答案】50162 3三、解答题:17~22 小题,共 70 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明 过程或演算步骤.(17)(本题满分 10 分)1 1 已知区域D 是第一象限内的有界区域,它由xy = , xy = 3, y = x , y = 3x 围成, 3 3计算(1+ x − y )dxdy D【答案】 ln 3(18)(本题满分 12 分)∂2 z ∂ 2 z 已知z = z (x , y ) 由方程z + e x + y ln(1+ z 2 ) = 0确定,求 ∂ 2x + ∂ 2 y (0,0)【答案】 −1− 2ln 2(19)(本题满分 12 分)已知t > 0 ,曲线 y = xe −2x 与x = t , x = 2t 及x 轴所围的面积为S (t ) ,求S (t ) 的最大值ln 2 3【答案】 + 16 64(20)(本题满分 12 分)设函数f (x ) 有 2 阶导数,f ′(0) = f ′(1) , f ′′(x ) ≤ 1(1)当x ∈ (0,1) 时,f (x ) − f (0)(1− x ) − f (1)x ≤ (2) ∫01f (x )dx − ≤【答案】(1)泰勒公式展开(2)分部积分或泰勒公式(21)(本题满分 12 分)【答案】(1) Ax = α 是Bx = β的解 (2) a = 1(22)(本题满分 12 分)设总体X 服从[0,θ] 上的均匀分布,X 1, X 2, , X n 为总体的简单随机样本,记X(n) = max{X1, X2, , Xn} ,Tc= cX(n)(1)求c ,使得E(Tc) = θ(2)记h(c) = E(Tc−θ)2 = θ,求c ,使得h(c) 最小【答案】(1)c = (2)c =参考答案一、选择题:1~10小题,每小题5分,共50分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是最符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。
考研数学3真题及答案考研数学一直是考生们备战考研的重点之一。
为了更好地帮助考生备考,我们整理了一份考研数学3的真题及答案,希望对大家有所帮助。
一、选择题部分1. 题目设A、B、C三个事件相互独立,且P(A)=0.3,P(B)=0.4,P(C)=0.5,则P(AB'C')=()。
A. 0.1B. 0.12C. 0.21D. 0.282. 答案解析由于A、B、C三个事件相互独立,所以P(AB'C')=P(A)P(B')P(C')。
又因为P(B')=1-P(B)=1-0.4=0.6,P(C')=1-P(C)=1-0.5=0.5,所以P(AB'C')=0.3×0.6×0.5=0.09。
所以答案为A. 0.1。
二、填空题部分1. 题目若函数y=f(x)在区间[0,1]上可导,且f(0)=1,满足方程y'=f(x)+∫[0,1](x²t+eˣ)·f(t)dt,则f(x)=()。
2. 答案解析根据题目中的方程,可以得到f'(x)=f(x)+∫[0,1](x²t+eˣ)·f(t)dt。
化简上述方程得到f'(x)-f(x)=∫[0,1](x²t+eˣ)·f(t)dt。
根据常微分方程的解法,可以得到f(x)=eˣ∫[0,1](x²t+eˣ)·f(t)dt。
所以答案为f(x)=eˣ∫[0,1](x²t+eˣ)·f(t)dt。
三、解答题部分1. 题目已知函数y=f(x)满足微分方程dy/dx=2x²+1/3y³,且曲线上存在点(1,1),求通过该点的特解。
2. 答案解析根据题目中的微分方程可以得到dy/dx=2x²+1/3y³。
将上述方程重新整理得到3y³dy=(6x²+3)dx。
考研高数三试题及答案一、选择题(每题5分,共20分)1. 求极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\) 的值是:A. 0B. 1C. \(\infty\)D. -1答案:B2. 设函数 \(f(x) = x^3 - 3x\),求导数 \(f'(x)\):A. \(3x^2 - 3\)B. \(x^2 - 3\)C. \(3x^2 + 3\)D. \(x^3 - 3\)答案:A3. 以下哪个选项是函数 \(y = \ln(x^2 + 1)\) 的原函数:A. \(x^2 + 1\)B. \(2x\)C. \(x\ln(x^2 + 1)\)D. \(\frac{x}{x^2 + 1}\)答案:C4. 计算定积分 \(\int_{0}^{1} x^2 dx\) 的值:A. \(\frac{1}{3}\)B. \(\frac{1}{2}\)C. \(\frac{1}{4}\)D. \(\frac{1}{6}\)答案:D二、填空题(每题5分,共20分)1. 函数 \(f(x) = e^x\) 的导数是 \(f'(x) = ______\)。
答案:\(e^x\)2. 计算行列式 \(\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix}\) 的值是 ______。
答案:-23. 函数 \(y = \sin x\) 在区间 \([0, \pi]\) 上的最小值是______。
答案:04. 求函数 \(y = \ln x\) 的反函数是 ______。
答案:\(e^x\)三、解答题(每题10分,共60分)1. 求函数 \(y = x^3 - 6x^2 + 9x + 1\) 的极值点。
解:首先求导数 \(y' = 3x^2 - 12x + 9\),令 \(y' = 0\) 得到\(x = 1\) 或 \(x = 3\)。
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题:1∼8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸...指定位置上.(1)曲线221x x y x +=−渐近线的条数()(A)0(B)1(C)2(D)3(2)设函数2()(1)(2)()x x nx y x e e e n =−−−⋯,其中n 为正整数,则(0)y ′=()(A)1(1)(1)!n n −−−(B)(1)(1)!n n −−(C)1(1)!n n −−(D)(1)!n n −(3)如果函数(,)f x y 在(0,0)处连续,那么下列命题正确的是()(A)若极限00(,)limx y f x y x y→→+存在,则(,)f x y 在(0,0)处可微(B)若极限2200(,)limx y f x y x y→→+存在,则(,)f x y 在(0,0)处可微(C)若(,)f x y 在(0,0)处可微,则极限00(,)limx y f x y x y →→+存在(D)若(,)f x y 在(0,0)处可微,则极限2200(,)limx y f x y x y→→+存在(4)设2sin (1,2,3)k x K e xdx k π==∫I 则有()(A)123I I I <<(B)321I I I <<(C)231I I I <<(D)213I I I <<(5)设1100C α⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠,2201C α⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠,3311C α⎛⎞⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟⎝⎠,4411C α−⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠,其中1234,,,C C C C 为任意常数,则下列向量组线性相关的为()(A)123,,ααα(B)124,,ααα(C)134,,ααα(D)234,,ααα(6)设A 为3阶矩阵,P 为3阶可逆矩阵,且1100010002p AP −⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠.若P=(123,,ααα),1223(,,)ααααα=+,则1Q AQ −=()(A)100020001⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠(B)100010002⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠(C)200010002⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠(D)200020001⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠(7)设随机变量X 与Y 相互独立,且分别服从参数为1与参数为4的指数分布,则{}p X Y <=()(A)15(B)13(C)25(D)45(8)将长度为1m 的木棒随机地截成两段,则两段长度的相关系数为()(A)1(B)12(C)12−(D)1−二、填空题:9∼14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸...指定位置上.(9)若函数()f x 满足方程'''()()2()0f x f x f x +−=及''()()2f x f x e +=,则()f x =(10)2x =∫(11)(2,1,1)()|zgrad xy +y=(12)设(){},,1,0,0,0x y z x y z x y z ∑=++=≥≥≥,则2y ds ∑=∫∫(13)设X 为三维单位向量,E 为三阶单位矩阵,则矩阵T E XX −的秩为(14)设A ,B ,C 是随机变量,A 与C 互不相容,()()()11,,23p AB P C p AB C ===三、解答题:15~23小题,共94分.请将解答写在答题纸...指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)证明21ln cos 111)12x x x x x x ++≥+−<<−(16)求函数222(,)x y f x y xe +−=的极值(17)求幂级数22044321nn n n x n ∞=+++∑的收敛域及和函数(18)已知曲线(),:(0),cos 2x f t L t y tπ=⎧≤<⎨=⎩其中函数()f t 具有连续导数,且'(0)0,()0(0).2f f t t π=><<若曲线L的切线与x 轴的交点到切点的距离恒为1,求函数()f t 的表达式,并求此曲线L 与x 轴与y 轴无边界的区域的面积。
(19)已知L 是第一象限中从点(0,0)沿圆周22+2x y x =到点(2,0),再沿圆周22+4x y =到点(0,2)的曲线段,计算曲线积分233d (2)d LJ x y x x x y y=++−∫(20)(本题满分分)设10010101,00100010a a A a aβ⎡⎤⎛⎞⎜⎟⎢⎥−⎜⎟⎢⎥==⎜⎟⎢⎥⎜⎟⎢⎥⎣⎦⎝⎠(I)计算行列式;A (II)当实数a 为何值时,方程组Ax β=有无穷多解,并求其通解。
(21)已知1010111001A a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥−⎢⎥−⎣⎦,二次型123(,,)()T T f x x x x A A x =的秩为2(1)求实数a 的值;(2)求正交变换x Qy =将f 化为标准型.(22)设二维离散型随机变量X 、Y 的概率分布为12141410132112112(Ⅰ)求{}2P X Y =;(Ⅱ)求Cov(,)X Y Y −.(23)设随机变量X 与Y 相互独立且分别服从正态分布2(,)N u σ与2(,2)N u σ,其中σ是未知参数且0σ>。
设.Z X Y =−(1)求Z 的概率密度2(,);f z σ(2)设12,,,n z z z ⋯为来自总体Z 的简单随机样本,求2σ的最大似然估计量2σ⌢(3)证明2σ⌢为2σ的无偏估计量数一参考答案一、选择题12345678C C B D C B A D二、填空题9、x e ;10、2π;11、{}1,1,1;12、13、2;14、34三、解答题(15)证明:令()21ln cos 112x x f x x x x +=+−−−,()f x 是偶函数()212ln sin 11x x f x x x x x +′=+−−−−()00f ′=()()()222221411cos 1111x x f x x x x x −+′′=++−−+−−()()222244cos 12011x x x =−−≥−>−−所以()()00f x f ≥=即证得:()21ln cos 11112x x x x x x ++≥+−<<−(16)解:()()()()()2222222222222,10,0x yx y x y x y fx y e xex ex xf x y xe y y+++−−−+−⎧∂=+−=−=⎪∂⎪⎨∂⎪=−=⎪∂⎩得驻点()()121,0,1,0P P −()()()()()()()()22222222222222222222,21,1,1x y x y x y x y f x y xe e x x x f x y e x y x y f x y xe y y++−−+−+−⎧∂=−+−−⎪∂⎪⎪∂⎪=−−⎨∂∂⎪⎪∂⎪=−∂⎪⎩根据判断极值的第二充分条件,把()11,0,P −代入二阶偏导数B=0,A>0,C>0,所以()11,0,P −为极小值点,极小值为()121,0f e−−=−把()21,0P 代入二阶偏导数B=0,A<0,C<0,所以()21,0P 为极大值点,极大值为()121,0f e−=(17)解:(Ⅰ)收敛域22(1)122222211443()4432(1)121lim lim lim 4(1)4(1)3()214(1)4(1)32(1)1n n n n n n n n n x a x n n n n R x xn n a x n n n xn ++→∞→∞→∞+−++⋅+++++===⋅⋅=+++++++++⋅++令21x <,得11x −<<,当1x =±时,技术发散。
所以,收敛域为(1,1)−(Ⅱ)设222222000443(21)22()[(21)](1)212121n n n nn n n n n n S x x n x x x n n n ∞∞∞===++++===++<+++∑∑∑令210()(21)nn S x n x ∞−=+∑,2202()21nn S x x n ∞−=+∑因为22112()(21)(1)1xxnn n n xS t dt n t dt x x x∞∞+===+==<−∑∑∫∫所以212221()()(1)1(1)x x S x x x x +′==<−−因为21202()21n n xS x x n ∞+−=+∑所以22221[()]222(1)1nn n n xS x xx x x∞∞−−′===⋅<−∑∑所以22001111[()]2()ln (1)1111xx x xtS t dt dt dt x t t t x+′=⋅=+=<−+−−∫∫∫即201()ln1xx xS x x +=−,故21()ln 1x xS x x+=−当0x ≠时,211()ln1xS x x x+=−当0x =时,12(0)1,(0)2S S ==所以,22212111ln (1,0)(0,1)()()()(1)130x xx S x S x S x x x xx ⎧+++∈−∪⎪=+=−−⎨⎪=⎩(18)解:曲线L 在任一处(,)x y 的切线斜率为sin ()dy tdx f t −=′,过该点(,)x y 处的切线为sin cos (())()tY t X f t f t −−=−′。
令0Y =得()cot ()X f t t f t ′=+。
由于曲线L 与x 轴和y 轴的交点到切点的距离恒为1.故有22[()cot ()()]cos 1f t t f t f t t ′+−+=,又因为'()0(0)2f t t π><<所以sin ()cot tf t t′=,两边同时取不定积分可得()ln sec tan sin f t t t t C =+−+,又由于(0)0f =,所以C=0故函数()ln sec tan sin f t t t t=+−此曲线L 与x 轴和y 轴所围成的无边界的区域的面积为:2cos ()4S tf t dt ππ′==∫(19)解:补充曲线1L 沿y 轴由点(2,0)到点(0,0),D 为曲线L 和1L 围城的区域。
由格林公式可得原式=1123233d (2)d 3d (2)d L L L x y x x x y y x y x x x y y+++−−++−∫∫=1122(313)(2)12DL DL xx d y dy d ydyσσ+−−−=+∫∫∫∫∫∫22222001121244222ydy y ππππ=⋅⋅−⋅⋅−=−=−∫(20)解:(I)4141001000010=101(1)10100100101001a a a a A a a a a a a a+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=×+×−=−⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦(II)对方程组Ax β=的增广矩阵初等行变换:2321001100110010101010101010010001000100010001001aaa a a a a a a a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−−⎣⎦⎣⎦⎣⎦421001010100100001a a a a a a ⎡⎤⎢⎥−⎢⎥→⎢⎥⎢⎥−−−⎣⎦可知,要使方程组Ax β=有无穷多解,则有410a −=且20a a −−=,可知1a =−此时,方程组Ax β=的增广矩阵变为11001011010011000000−⎡⎤⎢⎥−−⎢⎥⎢⎥−⎢⎥⎣⎦,进一步化为最简形得10010010110011000000−⎡⎤⎢⎥−−⎢⎥⎢⎥−⎢⎥⎣⎦可知导出组的基础解系为1111⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠,非齐次方程的特解为0100⎛⎞⎜⎟−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠,故其通解为10111010k ⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟−⎜⎟⎜⎟+⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠(21)解:(1)由二次型的秩为2,知()2T r A A =,故()()2T r A r A A ==对矩阵A 初等变换得101101101101011011011011100010010010*********a a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−−⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦因()2r A =,所以1a =−(2)令202022224T B A A ⎛⎞⎜⎟==⎜⎟⎜⎟⎝⎠202202102022(2)22(2)122(2)(6)022*******E B λλλλλλλλλλλλλλ−−−−−−=−−=−−−−=−−−−=−−=−−−−−−−所以B的特征值为1230,2,6λλλ===对于10λ=,解1()0E B X λ−=得对应的特征向量为1(1,1,1)T α=−对于22λ=,解2()0E B X λ−=得对应的特征向量为2(1,1,0)T α=−对于36λ=,解3()0E B X λ−=得对应的特征向量为3(1,1,2)T α=将123,,ααα单位化可得1211111,1,1102ηηη⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎟⎟⎟==−=⎟⎟⎟⎟⎟⎟−⎠⎠⎠正交矩阵0Q ⎛⎜⎜⎜=⎜⎜⎜⎜⎝,则026TQ AQ ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠因此,作正交变换x Qy =,二次型的标准形为2223()()26T T T f x x A A x y Ay y y ===+(22)解:X 012P 1/21/31/6Y 012P 1/31/31/3XY 0124P7/121/31/12(Ⅰ){}{}{}1120,02,1044P X Y P X Y P X Y ====+===+=(Ⅱ)cov(,)cov(,)cov(,)X Y Y X Y Y Y −=−cov(,)X Y EXY EXEY =−,其中22251,1,,33EX EX EY EY ====2245()199DX EX EX =−=−=2252()133DY EY EY =−=−=,23EXY =所以,22cov(,)0,cov(,),cov(,),033XY X Y Y Y DY X Y Y ρ===−=−=(23)解:(1)因为2(,)X N u σ∼,2(,2)Y N u σ∼,且X 与Y 相互独立,故2(0,3)Z X Y σ=−∼所以Z 的概率密度为2226(,)()z fz z σσ−−∞<<∞(2)最大似然函数为2222611()(;)),(1,2,,)i z n ni i i i L f z z i n σσσ−===∏=∏−∞<<∞=⋯两边取对数,得222211ln ()[ln ]26ni i Z L σσσ==−−−∑两边求导得222222222211ln ()11[][3]()26()6()n ni i i i Z d L n Z d σσσσσσ===−+=−+∑∑令22ln ()0()d L d σσ=,得22113n ii Z n σ==∑所以2σ的最大似然估计量22113n ii Z n σ==∑⌢(3)证明:22222111111()()[()(())]3333n n n i i i i i i E E Z D Z E Z n n n σσσ=====+==∑∑∑⌢所以2σ⌢为2σ的无偏估计量2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:1∼8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸...指定位置上.(1)曲线221x x y x +=−的渐近线条数()(A)0(B)1(C)2(D)3(2)设函数2()=(1)(2)()x x nx f x e e e n −−−⋯其中n 为正整数,则'(0)f =()(A)1(1)(1)!n n −−−(B)(1)(1)!n n −−(C)1(1)!n n −−(3)设1230(1,2,3),n n n a n S a a a a >==+++⋯⋯,则数列{}n S 有界是数列{}n a 收敛的()(A)充分必要条件(B)充分非必要条件(C)必要非充分条件(D)非充分也非必要(4)设2sin d (1,2,3),k x k I e x x k π==∫则有()(A)123I I I <<(B)321I I I <<(C)231I I I <<(D)213I I I <<(5)设函数(,f x y )为可微函数,且对任意的,x y 都有,,0,0,x y x y x y∂∂><∂∂()()则使不等式1122(,)(,)f x y f x y >成立的一个充分条件是()(A)1212,x x y y ><(B)1212,x x y y >>(C)1212,x x y y <<(D)1212,x x y y <>(6)设区域D 由曲线sin ,,12y x x y π==±=围成,则5(1)d d Dx y x y −=∫∫()(A)π(B)2(C)-2(D)-π(7)设1100C α⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠,2201C α⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠,3311C α⎛⎞⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟⎝⎠,4411C α−⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠,1C ,2C ,3C ,4C 均为任意常数,则下列数列组相关的是()(A)1α,2α,3α(B)1α,2α,4α(C)2α,3α,4α(D)1α,3α,4α(8)设A 为3阶矩阵,P 为3阶可逆矩阵,且1100010002P AP −⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠,若()123,,P ααα=,()1223+,,Q αααα=,则1Q AQ −=()(A)100020001⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠(B)100010002⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠(C)200020001⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠(D)200020001⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠二、填空题:9∼14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸...指定位置上.(9)设()y y x =是由方程21yx y e −+=所确定的隐函数,则220x d yd x ==.(10)22222111lim 12n n n n n n →∞⎛⎞+++=⎜⎟+++⎝⎠⋯.(11)设1ln ,z f x y ⎛⎞=+⎜⎟⎝⎠其中函数()f u 可微,则2z z x y x y ∂∂+=∂∂.(12)微分方程()2d 3d 0y x x y y +−=满足条件11x y ==的解为y =.(13)曲线()20y x x x =+<上曲率为2的点的坐标是.(14)设A 为3阶矩阵,=3A ,*A 为A 伴随矩阵,若交换A 的第1行与第2行得矩阵B ,则*BA =.三、解答题:15~23小题,共94分.请将解答写在答题纸...指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分10分)已知函数()11sin x f x x x+=−,记()0lim x a f x →=,(I)求a 的值;(II)若0x →当时,()f x a −与k x 是同阶无穷小,求常数k 的值.(16)求函数()222,x y f x y xe +−=的极值.(17)过(0,1)点作曲线:L y lnx =的切线,切点为A ,又L 与x 轴交于B 点,区域D 由L 与直线AB 围城,求区域D 的面积及D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.(18)计算二重积分d Dxy σ∫∫,其中区域D 为曲线()1cos 0r θθπ=+≤≤与极轴围成.(19)已知函数()f x 满足方程()()2()0f x f x f x ′′′+−=及()()2x f x f x e ′′+=,(I)求的表达式;(II)求曲线220()()d xy f x f t t =−∫的拐点(0)f ′(20)证明21ln cos 112x x x x x ++≥+−,(11)x −<<.(21)(I)证明方程1x x x ++=⋯n n-1+()1n >的整数,在区间1,12⎛⎞⎜⎟⎝⎠内有且仅有一个实根;(II)记(I)中的实根为n x ,证明lim n n x →∞存在,并求此极限.(22)设100010001001a a A a a ⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠,1100β⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠(I )计算行列式A ;(II)当实数a 为何值时,方程组Ax β=有无穷多解,并求其通解.(23)已知1010111001A a a⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟−⎜⎟−⎝⎠,二次型()()123,,T T f x x x x A A x =的秩为2,(I )求实数a 的值;(II )求正交变换x Qy =将f 化为标准形.数二参考答案一、选择题12345678CC AD D D C B二、填空题9、21x x e +;10、4π;11、0;12、2x y =;13、()1,0−;14、27−三、解答题15、解:(I )()00011sin lim limlim 011sin sin sin x x x x x x xa f x x x x x x→→→+−==−=+=+=(II )()00011sin sin lim lim 1lim sin sin sin x x x x x x x x f x a x x x x x →→→+−−⎛⎞⎛⎞−=−−=+⎡⎤⎜⎟⎜⎟⎣⎦⎝⎠⎝⎠()()3001sin 16lim lim sin sin x x x x x x x x x x→→−+⎛⎞==⎜⎟⎝⎠()300161sin lim lim 6x x x f x a x x x x →→−⎡⎤==⎢⎣⎦,所以k=116、解:()()()()()2222222222222,10,0x y x y xy x y fx y e xe x e x xf x y xe y y+++−−−+−⎧∂=+−=−=⎪∂⎪⎨∂⎪=−=⎪∂⎩得驻点()()121,0,1,0P P −()()()()()()()()22222222222222222222,21,1,1x y x y x y x y f x y xe e x x x f x y e x y x y f x y xe y y++−−+−+−⎧∂=−+−−⎪∂⎪⎪∂⎪=−−⎨∂∂⎪⎪∂⎪=−∂⎪⎩根据判断极值的第二充分条件,把()11,0,P −代入二阶偏导数B=0,A>0,C>0,所以()11,0,P −为极小值点,极小值为()121,0f e−−=−把()21,0P 代入二阶偏导数B=0,A<0,C<0,所以()21,0P 为极大值点,极大值为()121,0f e−=(17)解:1y x ′=,设切点坐标(),ln o o x x ,切线方程为()1ln o o oy x x x x −=−又切线过点(0,1),所以2o x e =,故切线方程为211y x e =+切线与x 轴交点为B ()2,0e −所围面积()222011y A e e y dy e ⎡⎤=−−=−⎣⎦∫旋转体体积()()2222221122ln 333e V e e xdx e πππ⎡⎤=−−−=+⎣⎦∫(18)解:()()1cos 014401d cos sin 1116cos sin 1cos 14415Dxy d d d t t dt πθπσθρθρθρρθθθθ+−= =+=+=∫∫∫∫∫∫(19)解:(I )'''()()2()0f x f x f x +−=对应的特征方程为220r r +−=,r=-2,r=1所以()212x xf x C e C e −=+把()212x x f x C e C e −=+代入''()()2x f x f x e +=,得到()x f x e =(II)同理,当x<0时,0y ′′<可知(0,0)点是曲线唯一的拐点。