配凑法就是在)]([x g f 中把关于变量x 的表达式先凑成)(x g 整体的表达式，再直接把)(x g 换成x 而得)(x f 。
f(x －1x )＝x 2＋1x 2,函数f(x)的解析式
换元法就是先设t x g =)(，从中解出x （即用t 表示x ）
，再把x （关于t 的式子）直接代入)]([x g f 中消去x 得到)(t f ，最后把)(t f 中的t 直接换成x 即得)(x f ，这种代换遵循了同一函数的原则。
f(x ＋1)＝x 2
＋x,函数f(x)的解析式：
复合函数的定义域
复合函数的定义
一般地：若)(u f y =，又)(x g u =，且)(x g 值域与)(u f 定义域的交集不空，则函数)]([x g f y =叫x 的复合函数，其中)(u f y =叫外层函数，)(x g u =叫内层函数，简言之：复合函数就是：把一个函数中的自变量替换成另一个函数所得的新函数.
例如: 2()35,()1f x x g x x =+=+； 复合函数(())f g x 即把()f x 里面的x 换成()g x ，22(())3()53(1)538f g x g x x x =+=++=+
问：函数()f x 和函数(5)f x +所表示的定义域是否相同？为什么？（不相同；原因：定义域是 求x 的取值范围，这里x 和5x +所属范围相同，导致它们定义域的范围就不同了。）说明： ⑴复合函数的定义域，就是复合函数(())y f g x =中x 的取值范围。
⑵x 称为直接变量，u 称为中间变量，u 的取值范围即为()g x 的值域。
⑶))((x g f 与))((x f g 表示不同的复合函数。
设函数53)(,32)(-=+=x x g x x f ，求))(()),((x f g x g f
复合函数的定义域求法
.已知)(x f 的定义域，求复合函数()][x g f 的定义域
由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若)(x f 的定义域为()b a x ,∈，求出)]([x g f 中b x g a <<)(的解x 的范围，即为)]([x g f 的定义域。
例1. 已知()f x 的定义域为](
3,5-，求函数(32)f x -的定义域；
解：由题意得
35x -<≤
3325x ∴-<-≤ 137x -<≤ 1733
x ∴-<≤ 所以函数(32)f x -的定义域为17,33??- ???
. 已知)(x f 的定义域为]30(，
，求)2(2x x f +定义域。
若函数)(x f 的定义域是[0，1]，求)21(x f -的定义域
.已知复合函数()][x g f 的定义域，求)(x f 的定义域
方法是：若()][x g f 的定义域为()b a x ,∈，则由b x a <<确定)(x g 的范围即为)(x f 的定义域。
例2. 若函数()x f 23-的定义域为[]2,1-，求函数()x f 的定义域
解:由题意得
23x ∴-≤≤
639x ∴-≤≤
42311x ∴-≤+≤
所以函数()f x 的定义域为：[]4,11-
若)12(-x f 的定义域是[-1，1]，求函数)(x f 的定义域；
已知函数2(22)f x x -+的定义域为[]03，，求函数()f x 的定义域．
已知复合函数[()]f g x 的定义域，求[()]f h x 的定义域
结合以上一、二两类定义域的求法，我们可以得到此类解法为：可先由()][x g f 定义域求得
()x f 的定义域，再由()x f 的定义域求得()][x h f 的定义域。
例3. 已知)1(+x f 的定义域为)32[，-，求()2-x f 的定义域。
解 由)1(+x f 的定义域为)32[，-得32<≤-x ，故411<+≤-x
即得()x f 定义域为)41[，-，从而得到421<-≤-x ，所以61<≤x
故得函数()2-x f 的定义域为[)6,1
已知)3(+x f 定义域是[)5,4-，求)32(-x f 定义域．
函数定义域是，则的定义域
已知()f x 的定义域，求四则运算型函数的定义域
若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集。
例4. 已知函数()x f 定义域为是],[b a ，且0>+b a ,求函数()()()m x f m x f x h -++=()0>m 的
定义域
解: ???+≤≤+-≤≤-????≤-≤≤+≤m
b x m a m b x m a b m x a b m x a ，m a m a m +<-∴>,0 m b m b +<-，又m b m a +<- 要使函数()x h 的定义域为非空集合，必须且只需m b m a -≤+，即20a b m -≤
<，这时函数()x h 的定义域为],[m b m a -+
若()f x 的定义域为[]35-，，求()()(25)x f x f x ?=-++的定义域．
设函数y=f(x)的定义域为［0，1］，q 求y=f ()31()31-++x f x 定义域。
函数定义域的类型和求法 本文介绍函数定义域的类型和求法，目的在于使学生全面认识定义域，深刻理解定义域，正确求函数的定义域。现举例说明。 一、常规型 即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。 例1 求函数的定义域。 解：要使函数有意义，则必须满足 由①解得或。③ 由②解得或④ ③和④求交集得且或x>5。 故所求函数的定义域为。 例2 求函数的定义域。 解：要使函数有意义，则必须满足 由①解得③
由②解得④ 由③和④求公共部分，得 故函数的定义域为 评注：③和④怎样求公共部分？你会吗？ 二、抽象函数型 抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。 （1）已知的定义域，求的定义域。 其解法是：已知的定义域是［a，b］求的定义域是解，即为所求的定义域。 例3 已知的定义域为［－2，2］，求的定义域。 解：令，得，即，因此，从而，故函数的定义域是。 （2）已知的定义域，求f(x)的定义域。 其解法是：已知的定义域是［a，b］，求f(x)定义域的方法是：由，求g(x)的值域，即所求f(x)的定义域。 例4 已知的定义域为［1，2］，求f(x)的定义域。
解：因为。 即函数f(x)的定义域是。 三、逆向型 即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。特别是对于已知定义域为R，求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。 例5 已知函数的定义域为R求实数m的取值范围。 分析：函数的定义域为R，表明，使一切x∈R都成立，由项的系数是m，所以应分m=0或进行讨论。 解：当m=0时，函数的定义域为R； 当时，是二次不等式，其对一切实数x都成立的充要条件是综上可知。 评注：不少学生容易忽略m=0的情况，希望通过此例解决问题。 例6 已知函数的定义域是R，求实数k的取值范围。 解：要使函数有意义，则必须≠0恒成立，因为的定义域为R，即 无实数 ①当k≠0时，恒成立，解得；
复合函数的定义域 讲解内容： 复合函数的定义域求法 讲解步骤： 第一步：函数概念及其定义域 函数的概念：设是,A B 非空数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么就称:f A B →为集合A 到集合B 的函数，记作：(),y f x x A =∈。其中x 叫自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值. 第二步：复合函数的定义 一般地：若)(u f y =，又)(x g u =，且)(x g 值域与)(u f 定义域的交集不空，则函数)]([x g f y =叫x 的复合函数，其中)(u f y =叫外层函数，)(x g u =叫内层函数，简言之：复合函数就是：把一个函数中的自变量替换成另一个函数所得的新函数. 例如: 2()35,()1f x x g x x =+=+； 复合函数(())f g x 即把()f x 里面的x 换成()g x ，22 (())3()53(1)538f g x g x x x =+=++=+ 问：函数()f x 和函数(5)f x +所表示的定义域是否相同？为什么？（不相同；原因：定义域是 求x 的取值范围，这里x 和5x +所属范围相同，导致它们定义域的范围就不同了。） 第三步：介绍复合函数的定义域求法 例1. 已知()f x 的定义域为](3,5-，求函数(32)f x -的定义域； 解：由题意得 35x -<≤ 3325x ∴-<-≤ 137x -<≤ 1 7 33x ∴-<≤ 所以函数(32)f x -的定义域为17,33? ?- ??? . 练1.已知)(x f 的定义域为]30(，，求)2(2x x f +定义域。 解 因为复合函数中内层函数值域必须包含于外层函数定义域中，即 ???≤≤->-+?≤+<13023202320222 x x x x x x x x x ，或
函数定义域几种类型及其求法 河北省承德县一中 黄淑华 一、已知函数解析式型 即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。 例1、求函数8315 22-+--=x x x y 的定义域。 解：要使函数有意义，则必须满足?????≠-+≥--0 8301522x x x 即???-≠≠-<>11535x x x x 且或 解得1135-≠-<>x x x 且或 即函数的定义域为{}1135-≠-<>x x x x 且或。 二、抽象函数型 抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能用常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的定义域，一般有两种情况。 （一）已知)(x f 的定义域，求[])(x g f 的定义域。 其解法是：已知)(x f 的定义域是],[b a 求[])(x g f 的定义域是解b x g a ≤≤)(，即为所求的定义域。 例2、已知)(x f 的定义域为]2,2[-，求)1(2-x f 的定义域。 解：22≤≤-x ，2122≤-≤-∴x ，解得33≤≤- x 即函数)1(2-x f 的定义域为{}33≤≤-x x （二）已知[])(x g f 的定义域，求)(x f 的定义域。 其解法是：已知[])(x g f 的定义域是],[b a 求)(x f 的定义域的方法是：b x a ≤≤，求)(x g 的值域，即所求)(x f 的定义域。 例3、已知)12(+x f 的定义域为]2,1[，求)(x f 的定义域。 解：21≤≤x ，422≤≤∴x ，5123≤+≤∴x 。 即函数)(x f 的定义域是{}53|≤≤x x 。
函数定义域总结 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】
定义域的求法 一、常规型 注意根号，分式，对数，幂函数，正切 2、常见的定义域 ①当f(x)是整式时，定义域为R 。 ②当f(x)是分式时，定义域为使分母不为零的x 的取值的集合。 ③偶次根式的定义域是使被开方式非负的x 的取值的集合。 ④零指数幂或负指数幂的定义域是使幂的底数不为0的x 的取值的集合。 ⑤对数式的定义域是使真数大于0且底大于0不等于1的x 的取值的集合。 ⑥正切函数y=tanx, , y=x x 1 x 1 x a log tan x 21-x 32 -x x 0 1求函数8|3x |15x 2x y 2-+--=的定义域。2 求函数2x 161x sin y -+=的定义域。 复合函数定义域的求法 （1）已知)x (f 的定义域，求)]x (g [f 的定义域。 其解法是：已知)x (f 的定义域是［a ，b ］求)]x (g [f 的定义域是解b )x (g a ≤≤，即为 所求的定义域。 测试：设函数()f x 的定义域为[]0,1，求函数()()(0)y f x a f x a a =++->的定义域。 （2）已知)]x (g [f 的定义域，求f(x)的定义域。
其解法是：已知)]x (g [f 的定义域是［a ，b ］，求f(x)定义域的方法是：由b x a ≤≤， 求g(x)的值域，即所求f(x)的定义域。 测试：已知函数(1)f x +的定义域为[]2,3-，求函数f(x)的定义域。 （2）已知)]x (g [f 的定义域，求f(t(x))的定义域。 其解法是：已知)]x (g [f 的定义域是［a ，b ］，求f(x)定义域的方法是：由b x a ≤≤， 求g(x)的值域，也就是t(x)的值域，求出t(x)的定义域 测试、已知函数(1)f x +的定义域为[]2,3-，求函数(21)y f x =-的定义域。 三、逆向型 即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。特别是对于已知定义域为 R ，求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。 例1 已知函数8m m x 6m x y 2++-=的定义域为R 求实数m 的取值范围。 例2 已知函数3 kx 4kx 7kx )x (f 2+++= 的定义域是R ，求实数k 的取值范围。 四 参数型 对于含参数的函数，求定义域时，必须对分母分类讨论。 例6 已知)x (f 的定义域为［0，1］，求函数)a x (f )a x (f )x (F -++=的定义域。 解：因为)x (f 的定义域为［0，1］，即1x 0≤≤。故函数)x (F 的定义域为下列不等式 组的解集： ???≤-≤≤+≤1a x 01a x 0，即???+≤≤-≤≤-a 1x a a 1x a 即两个区间［－a ，1－a ］与［a ，1+a ］的交集，比较两个区间左、右端点，知
先介绍几个名词：（能理解最好，如果感觉这些名词有点晕，你可以跳过） 【定义域】：就是初中我们所学的，函数y=f(x)的自变量x的取值范围；【值域】：函数y=f(x)的因变量y的取值范围； 【显函数】：俗称常见函数，函数解析式是明确的，例如：y=f(x)=2x2+3x-5； 【隐函数】：俗称抽象函数，函数解析式是不明确的，就用y=f(x)表示，具体f(x)是什么内容是隐藏的； 【复合函数】：如果说y=f(x)是一个简单的抽象函数，那么把自变量x 用一个函数g(x)来代替，就称y=f(g(x))为复合的抽象函数，习惯上称y=f(t)是外函数，t=g(x)为内函数。 讲解之前提醒很关键的一句：凡是函数的定义域，永远是指自变量x 的取值范围。 【题型一】已知抽象函数y=f(x)的定义域[m,n]，如何求复合抽象函数y=f(g(x))的定义域？ 思路分析：本题型是已知y=f(x)的自变量x的范围，求y=f(g(x))的自变量x的范围，其中的关键是，后者的g(x)相当于前者的x。 解决策略：求不等式m≤g(x)≤n的解集，即为y=f(g(x))的定义域【例题1】已知函数y=f(x)的定义域[0,3]，求函数y=f(3+2x)的定义域. 解：令t=3+2x，∵y=f(x)的定义域[0,3]，∴y=f(t)的定义域也为[0,3]，
即t=3+2x∈[0,3]， 关于抽象复合函数定义域的求法 说明：内函数g(x)=3+2x，通过令t=3+2x做了一个换元，此处换元不能写为令x=3+2x。原因是y=f(x)中的x与 y=f(3+2x)的x虽然长得一样，但是意义不同，如果令x=3+2x，则等号两边的x就是一模一样了，x只能为-3了。 【题型二】已知复合抽象函数y=f(g(x))定义域[m,n]，如何求抽象函数y=f(x)的的定义域？ 思路分析：本题型是已知y=f(g(x))的自变量x的范围，求y=f(x)的自变量x的范围，其中的关键是，前者的 g(x)相当于后者的x。 解决策略：求内函数t=g(x)在区间[m,n]的值域（t的取值范围），即为y=f(x)的定义域 【例题2】已知函数y=f(2x-1)的定义域[0,3]，求函数y=f(x)的定义域. 解：∵y=f(2x-1)的定义域[0,3]，∴0≤x≤3，令t=2x-1，∴t=2x-1∈[-1,5] 故，函数y=f(t)的定义域为t∈[-1,5]， 故，函数y=f(x)的定义域为x∈[-1,5] 说明：函数y=f(x)与y=f(t)是同一个函数，与单个自变量是x还是t 无关。另外，题型二是题型一的逆向题目。
高一的函数定义域的求法 . 已知f(x),求f[g(x)],例如已知f(x)的定义域为（1，2），求f (2x+5)的定义域： 已知f[g(x)],求f(x),例如已知f(2x+5)的定义域为（1，2），求f(x)的定义域： 已知f(x),求f[g(x)],例如已知f(x)=x+1，求f(2x+5)的解析式：已知f[g(x)],求f(x),例如已知f(2x+5)=x+1,求f(x)的解析式： 已知函数y=f(x+1)定义域是[-2,3],则y=f(2x-1)的定义域是
若函数y=f（x）的定义域为[-2，2]，则求函数y=f（x+1）+f （x-1）的定义域． 若函数y=f(x)的定义域为〔-1，1〕，求函数y=f(x+1/4)·f(x-1/4)的定义域 若函数y=f(x)的定义域是0,2，则函数g(x)=f(2x)/x-1的定义域是多少？
若函数y=f[x]的定义域是【－２，４】，则函数g[x]=f[x]+f[-x]的定义域是多少？ 若函数y=f(x)的定义域是0,2，则函数g(x)=f(2x)/x-1的定义域是多少？
1、这类题，就是把g(x)看成一个整体y，f(x)和f(y)的定义域是一样的，得出y的围后再求解x的定义域。 f(x)的定义域是（1，2）,令y=2x+5,则f(2x+5)=f(y) ,y的定义域是（1，2），所以1<2x+5<2 1<2x+5<2 -2 高中常见的四种函数的定义域求法 定义域的范围是指使得函数有意义的x 的范围，如果一个函数是由若干个基本函数构成，只需要把每个基本函数有意义的时候x 范围求解出来，最终求这几个基本函数的x 的范围的交集即可，高中常见的四种函数的定义域求法一一讲解下。 一、母版题 （1）求 x y =的定义域范围. 解题思路：平方根具有双重非负性，所以定义域范围x ≥0. （2）求 x 1y =的定义域范围. 解题思路：分母等于0时，式子无意义，故分母不等于0，所以定义域范围x ≠0. （3）求 0x y ）（=的定义域范围. 解题思路：00无意义，所以定义域范围x ≠0. （4）求 log x a y =的定义域范围. 解题思路：对数函数真数必须大于0，所以定义域范围x ＞0. 以上四种是最常见的定义域求解题目，主要可以归纳为四句话： 1. 平方根具有双重非负性. 2. 分数分母不等于0. 3. 0的0次方无意义. 4. 对数函数真数务必大于0. 二、子版题（母版题＋形式变化） 主要是整体化原则的应用，x y =、x 1 y =、0x y ）（=、log x a y =这四个基本函数里的x 是一个整体，可以为任意函数，只需要这个整体满足：平方根具有双重非负性，分数分母不 等于0，0的0次方无意义.对数函数真数务必大于0. 1. 二次根式型函数x y =求定义域 （1）求 x -1y =的定义域范围. 解题思路：只需要把1-x 当做一个整体，要使得二次根式有意义，内部整体大于等于0，所以只需要1-x ≥0（按照一元一次不等式思路求x 范围）.求出x 范围即为定义域范围。 （2）求 23y 2+-=x x 的定义域范围. 解题思路：只需要把232+-x x 当做一个整体，要使得二次根式有意义， 内部整体大于等于0，所以只需要232+-x x ≥0（按照一元二次不等式 的解题思路，求x 范围）.求出x 范围即为定义域范围。 2. 反比例型函数分数型函数x 1y =求定义域 （1）求 1-x 1y =的定义域范围. 解题思路：只需要把x-1当做一个整体，要使该式子得有意义，分母不为0即可，所以只需要x-1≠0（按照一元一次不等式的解题思路， 函数定义域、值域求法总结 一.求函数的定义域需要从这几个方面入手： （1）分母不为零 （2）偶次根式的被开方数非负。 （3）对数中的真数部分大于0。 （4）指数、对数的底数大于0，且不等于1 （5）y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等。 ( 6 )0x 中x 0≠ 二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。 常用的求值域的方法： （1）直接法 （2）图象法（数形结合） （3）函数单调性法 （4）配方法 （5）换元法 （包括三角换元）（6）反函数法（逆求法） （7）分离常数法 （8）判别式法 （9）复合函数法 （10）不等式法 （11）平方法等等 这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。 定义域的求法 1、直接定义域问题 例1 求下列函数的定义域： ① 2 1 )(-=x x f ；② 23)(+=x x f ；③ x x x f -+ +=211)( 解：①∵x-2=0，即x=2时，分式 2 1 -x 无意义， 而2≠x 时，分式 21 -x 有意义，∴这个函数的定义域是{}2|≠x x . ②∵3x+2<0，即x<-32 时，根式23+x 无意义， 而023≥+x ，即3 2 -≥x 时，根式23+x 才有意义， ∴这个函数的定义域是{x |3 2 -≥x }. ③∵当0201≠-≥+x x 且，即1-≥x 且2≠x 时，根式1+x 和分式x -21 同时有意义， ∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x } 另解：要使函数有意义，必须： ? ??≠-≥+0201x x ? ???≠-≥21 x x 例2 求下列函数的定义域： ①14)(2 --= x x f ②2 14 3)(2-+--= x x x x f ③= )(x f x 11111++ ④x x x x f -+= 0)1()( ⑤3 7 3132+++-=x x y 解：①要使函数有意义，必须：142 ≥-x 即： 33≤≤-x ∴函数14)(2--= x x f 的定义域为： [3,3-] ②要使函数有意义，必须：???≠-≠-≤≥?? ??≠-+≥--131 40210432x x x x x x x 且或 4133≥-≤<-- 函数定义域的类型及求法 、已知解析式型(所有同学一定要会的) 即给出函数的解析式的定义域求袪，苴解袪是由解析式有意义列出关于自变量的不等 式或不等式组■解此不等式(或组)即得原函数的定义域° Jx 1 - 2x - 1^ 例求函数p 二 _ 的定文域. I - 15 >0 f Y > 5或丫 < -3 解*要使函数有意5C 则必须满足］ ' - 即J ”工+引―8工0 ［工疋5且工工―11 解得r > §或斗< 且里工一11 即口数的定义域为{工r > 5或藍丈-3且工上-11 } o 二、含参问题(很重要) 例乳已知函数$ = J 沁亍一6沁一澈十8的定义境为E 求实数战的取值范围° 分析；函数的定文域为R ，表明他：-6林亠用十S 乙0 ,使一切工E R 都成立，由厂 项的系數是刖，所以应分刪=0或旳黑0进行讨论d 解.讨论. ① 当也二0时，函数的定义域为R ; ② 当用=0时，mx ■ - 6)KX + M ? -F X > 0杲二次不等式，其对一切实数X 都成立的充 综上可知；0 ￡ m 玉1 ° 三、抽象函数(复合函数)的定义域 1已知f(x)的定义域，求f g(x)的定义域 其解法是：若f (x)的定义域为a < x < b ，则在f g(x)中，a < g(x) < b ，从中解得x 的取值范 要条件是. 围即为f g(x)的定义域. 例1 已知函数f(x)的定义域为1,，求f(3x 5)的定义域. 分析：该函数是由u 3x 5和f(u)构成的复合函数，其中x是自变量，u是中间变量，由于f(x)与f (u)是同一个函数，因此这里是已知 1 < u < 5，即K 3x 5 < 5，求x的取值范围. 4 10 解：Q f(x)的定义域为1,， 1 < 3x 5 < 5，4< x < 10. 3 3 故函数f(3x 5)的定义域为-,10. 3 3 2、已知f g(x)的定义域，求f (x)的定义域 其解法是：若f g(x)的定义域为m < x< n，则由m< x < n确定的g(x)的范围即为f (x)的定义域. 2 例2已知函数f(x 2x 2)的定义域为0,3，求函数f(x)的定义域. 分析：令u x2 2x 2，则f(x2 2x 2) f(u)， 由于f(u)与f(x)是同一函数，因此u的取值范围即为f(x)的定义域. 解：由0 < x < 3，得 1 < x2 2x 2 < 5 . 令u x2 2x 2，贝y f (x2 2x 2) f (u)，1< u < 5 . 故f (x)的定义域为1，. 3，已知f g(x)的定义域，求f[h(x)]的定义域 其解法是：若f g(x)的定义域为m < x < n，则由m < x < n确定的g(x)的取值范围即为h(x) 的取值范围，由h(x)的取值范围即可求出f[h(x)]的定义域x的取值范围。 例2 已知函数f(x 1)的定义域为1，，求f(3x 5)的定义域. 分析：令u x 1,t 3x 5，则f(x 1) f(u), f(3x 5) f(t)， f (u), f (t)表示的是同一函数，故u的取值范围与t相同。 解：Q f(x)的定义域为1，，即K x < 5 0 < x 1 < 6。 函数定义域的类型及求法 一、已知解析式型（所有同学一定要会的） 二、含参问题（很重要） 三、抽象函数（复合函数）的定义域 1已知()f x 的定义域，求[]()f g x 的定义域 其解法是：若()f x 的定义域为a x b ≤≤，则在[]()f g x 中，()a g x b ≤≤，从中解得x 的取值范围即为[] ()f g x 的定义域． 例1 已知函数()f x 的定义域为[]15-，，求(35)f x -的定义域． 分析：该函数是由35u x =-和()f u 构成的复合函数，其中x 是自变量，u 是中间变量，由于()f x 与()f u 是同一个函数，因此这里是已知15u -≤≤，即1355x --≤≤，求x 的取值范围． 解：()f x 的定义域为[]15-，，1355x ∴--≤≤，41033x ∴≤≤． 故函数(35)f x -的定义域为41033?????? ，． 2、已知[]()f g x 的定义域，求()f x 的定义域 其解法是：若[]()f g x 的定义域为m x n ≤≤，则由m x n ≤≤确定的()g x 的范围即为()f x 的定义域． 例2 已知函数2(22)f x x -+的定义域为[] 03，，求函数()f x 的定义域． 分析：令222u x x =-+，则2(22)()f x x f u -+=， 由于()f u 与()f x 是同一函数，因此u 的取值范围即为()f x 的定义域． 解：由03x ≤≤，得21225x x -+≤≤． 令222u x x =-+，则2(22)()f x x f u -+=，15u ≤≤． 故()f x 的定义域为[]15，． 3，已知[]()f g x 的定义域，求[()]f h x 的定义域 其解法是：若[]()f g x 的定义域为m x n ≤≤，则由m x n ≤≤确定的()g x 的取值范围即为()h x 的取值范围，由()h x 的取值范围即可求出 [()]f h x 的定义域x 的取值范围。 例2 已知函数(1)f x +的定义域为[]15-，，求(35)f x -的定义域． 分析：令1,35u x t x =+=-，则(1)(),(35)()f x f u f x f t +=-=， (),()f u f t 表示的是同一函数，故u 的取值范围与t 相同。 解：()f x 的定义域为[]15-，，即15x ∴-≤≤016x ∴+≤≤。 056x ∴-≤3≤ 配凑法就是在)]([x g f 中把关于变量x 的表达式先凑成)(x g 整体的表达式，再直接把)(x g 换成x 而得)(x f 。 f(x －1x )＝x 2＋1x 2,函数f(x)的解析式 换元法就是先设t x g =)(，从中解出x （即用t 表示x ），再把x （关于t 的式子）直接代入)]([x g f 中消去x 得到)(t f ，最后把)(t f 中的t 直接换成x 即得)(x f ，这种代换遵循了同一函数的原则。 f(x ＋1)＝x 2 ＋x,函数f(x)的解析式： 复合函数的定义域 复合函数的定义 一般地：若)(u f y =，又)(x g u =，且)(x g 值域与)(u f 定义域的交集不空，则函数)]([x g f y =叫x 的复合函数，其中)(u f y =叫外层函数，)(x g u =叫内层函数，简言之：复合函数就是：把一个函数中的自变量替换成另一个函数所得的新函数. 例如: 2()35,()1f x x g x x =+=+； 复合函数(())f g x 即把()f x 里面的x 换成()g x ， 22(())3()53(1)538f g x g x x x =+=++=+ 问：函数()f x 和函数(5)f x +所表示的定义域是否相同？为什么？（不相同；原因：定义域是 求x 的取值范围，这里x 和5x +所属范围相同，导致它们定义域的范围就不同了。）说明： ⑴复合函数的定义域，就是复合函数(())y f g x =中x 的取值范围。 ⑵x 称为直接变量，u 称为中间变量，u 的取值范围即为()g x 的值域。 ⑶))((x g f 与))((x f g 表示不同的复合函数。 设函数53)(,32)(-=+=x x g x x f ，求))(()),((x f g x g f 复合函数的定义域求法 .已知)(x f 的定义域，求复合函数()][x g f 的定义域 由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若)(x f 的定义域为()b a x ,∈，求出)]([x g f 中b x g a <<)(的解x 的范围，即为)]([x g f 的定义域。 高中函数定义域和值域的求法总结 一、常规型 即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。 例1 求函数8 |3x |15 x 2x y 2-+--= 的定义域。 解：要使函数有意义，则必须满足 ?? ?≠-+≥--②① 8|3x |015x 2x 2 由①解得 3x -≤或5x ≥。 ③ 由②解得 5x ≠或11x -≠ ④ ③和④求交集得3x -≤且11x -≠或x>5。 故所求函数的定义域为}5x |x {}11x 3x |x {>-≠-≤ 且。 例2 求函数2 x 161 x sin y -+=的定义域。 解：要使函数有意义，则必须满足 ? ??>-≥②①0x 160 x sin 2 由①解得Z k k 2x k 2∈π+π≤≤π， ③ 由②解得4x 4<<- ④ 由③和④求公共部分，得 π≤<π-≤<-x 0x 4或 故函数的定义域为]0(]4(ππ--，， 评注：③和④怎样求公共部分？你会吗？ 二、抽象函数型 抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。 （1）已知)x (f 的定义域，求)]x (g [f 的定义域。 （2）其解法是：已知)x (f 的定义域是［a ，b ］求)]x (g [f 的定义域是解b )x (g a ≤≤，即为所求的定义域。 例3 已知)x (f 的定义域为［－2，2］，求)1x (f 2-的定义域。 解：令21x 22≤-≤-，得3x 12≤≤-，即3x 02≤≤，因此3|x |0≤≤，从而 3x 3≤≤-，故函数的定义域是}3x 3|x {≤≤-。 （2）已知)]x (g [f 的定义域，求f(x)的定义域。 其解法是：已知)]x (g [f 的定义域是［a ，b ］，求f(x)定义域的方法是：由b x a ≤≤，求 g(x)的值域，即所求f(x)的定义域。 例4 已知)1x 2(f +的定义域为［1，2］，求f(x)的定义域。 解：因为51x 234x 222x 1≤+≤≤≤≤≤，，。 即函数f(x)的定义域是}5x 3|x {≤≤。 三、逆向型 即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。特别是对于已知定义域为R ，求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。 例5 已知函数8m m x 6m x y 2++-=的定义域为R 求实数m 的取值范围。 分析：函数的定义域为R ，表明0m 8mx 6mx 2≥++-，使一切x ∈R 都成立，由2x 项 复合函数定义域的常见求法 一、复合函数的概念 假如y 是u 的函数，而u 是x 的函数，即y = f ( u ), u = g ( x ) ,那么y 关于x 的函数y = f [g ( x ) ]叫做函数f 与 g 的复合函数，u 叫做中间变量。 注意：复合函数并不是一类新的函数，它只是反映某些函数在结构方面的某种特点，因此，依照复合函数结构，将它折成几个简单的函数时，应从外到里一层一层地拆，注意不要漏层。 另外，在研究有关复合函数的咨询题时，要注意复合函数的存在条件，即当且仅当g ( x )的值域与f ( u )的定义域的交集非空时，它们的复合函数才有意义，否那么如此的复合函数不存在。 例：f ( x + 1 ) = (x + 1)2 能够拆成y = f ( u ) = u 2 , u = g ( x ) , g ( x ) = x + 1 ,即能够看成f ( u ) = u 2 与g ( x ) = x + 1 两个函数复合而成。 二、求复合函数的定义域： 〔1〕假设f(x)的定义域为a ≤ x ≤ b,那么f [ g ( x ) ] 中的a ≤ g ( x ) ≤ b ，从中解得x 的范畴，即为f [g ( x )]的定义域。 例1、y = f ( x ) 的定义域为[ 0 ， 1 ]，求f ( 2x + 1 )的定义域。 答案： [-1/2 ，0 ] 例2、f ( x )的定义域为〔0，1〕，求f ( x 2)的定义域。 答案： [-1 ，1] 〔2〕假设f [ g ( x ) ]的定义域为〔m , n 〕那么由m < x < n 确定出g ( x )的范畴即为f ( x )的定义域。 例3、函数f ( 2x + 1 )的定义域为〔0，1〕，求f ( x ) 的定义域。 答案： [ 1 ，3] 〔3〕由f [ g ( x ) ] 的定义域，求得f ( x )的定义域后，再求f [ h ( x ) ]的定义域。 例4、f ( x + 1 )的定义域为[-2 ，3],求f ( 2x 2 – 2 ) 的定义域。 答案：[-√3/2 ，-√3]∪[√3/2 ，√3] 三、求复合函数的解析式。 关于复合函数的解析式的求法，尽管种类专门多，在那个地点重点介绍配凑法和换元法，详细内容请参阅?教学周刊?第6期。 〔1〕配凑法 假设f [ g ( x ) ] = F ( x )是关于x 的函数，能够把F ( x )表示g ( x )的复合函数形式，然后用x 替换g ( x )，即可得到f ( x )的解析式。 例5、f (x x x x x 21)122++=+，求f ( x )的解析式。 答案：f(x)= x 2 例6、f ( x + 331)1x x x +=,求f ( x )的解析式。 答案：f(x)= x 3-2x-1 〔2〕换元法 假设f [ g ( x ) ]的表达式，能够令g ( x ) = t ，从中解出x 再将x 代入f [ g ( x ) ]的表达式中，如此 函数 一、函数的定义域及求法 1、分式的分母≠0；偶次方根的被开方数≥0； 2、对数函数的真数＞0；对数函数的底数＞0且≠1； 3、正切函数：x ≠kπ+ π/2 ,k∈Z；余切函数：x ≠kπ,k ∈Z ； 4、一次函数、二次函数、指数函数的定义域为R； 5、定义域的相关求法：利用函数的图象（或数轴）法；利用其反函数的值域法； 6、复合函数定义域的求法：推理、取交集及分类讨论． [例题]： 1、求下列函数的定义域 3、已知函数y=lg(mx2-4mx+m+3)的定义域为R，求实数m的取值范围．[解析]：[利用复合函数的定义域进行分类讨论] 当m=0时，则mx2-4mx+m+3=3，→原函数的定义域为R； 当m≠0时，则mx2-4mx+m+3＞0， ①m＜0时，显然原函数定义域不为R； ②m＞0，且△＝(-4m)2-4m(m+3)<0 时，即０＜m＜１，原函数定义域为R， 所以当m∈[0,1) 时，原函数定义域为R． 4、求函数y=log x + 1 (x≥4) 的反函数的定义域． 2 [解析]：［求原函数的值域］ 由题意可知，即求原函数的值域， ∵x≥4,∴log2x≥2∴y≥3 所以函数y=log2x + 1 (x≥4) 的反函数的定义域是[3，+∞)． 5、函数f(2x)的定义域是[-1，1]，求f(log x)的定义域． 2 [解析]：由题意可知2-1≤2x≤21→f(x)定义域为[1/2，2] → 1/2≤log2x≤2→√￣2≤x≤4． x)的定义域是[√￣2,4]． 所以f(log 2 二、函数的值域及求法 1、一次函数y=kx+b(k≠0)的值域为R； 2、二次函数的值域：当a＞0时，y≥-△/4a ，当a＜0时， y≤-△/4a ； 3、反比例函数的值域：y≠0 ； 4、指数函数的值域为（0，+∞）；对数函数的值域为R； 5、正弦、余弦函数的值域为[-1，1]（即有界性）；正切余切函数的值域为R； 6、值域的相关求法：配方法；零点讨论法；函数图象法；利用求反函数的定义域法；换元法；利用函数的单调性和有界性法；分离变量法． [例题]：：求下列函数的值域 高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第01讲： 函数的定义域常见求法 【知识要点】 一、函数的定义域的定义 函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围 二、求函数的定义域的主要依据 1分式的分母不能为零? 2、偶次方根的被开方数的被开方数必须大于等于零，即阪(其中n = 2k,k^ N冷中x K0,奇次方根 的被开方数取全体实数，即n x (其中n= 2k+1,k E N j 中，x 运R. 3、指数函数y =a x的底数a必须满足a ? 0且R. 4、对数函数y = log a x的真数x必须大于零，底数a必须满足a 0且a = 1. 5、零次幕的底数不能为零，即x0中X = 0 . 6、正切函数y =tanx的定义域是{x|x = k ,k?z}. 2 7、复合函数的定义域的求法 (1)已知原函数f (x)的定义域为(a,b)，求复合函数f[g(x)]的定义域：只需解不等式a ：：：g(x) ：：：b，不等式的解集即为所求函数的定义域. (2)已知复合函数f[g(x)]的定义域为(a,b)，求原函数f(x)的定义域：只需根据a ：：：x ：：：b求出函数g(x)的值域，即得原函数f (x)的定义域. 8、求函数y = f (x) ? g (x)的定义域 一般先分别求函数y = f (x)和函数y = g(x)的定义域A和B，再求Ap] B，则川B就是所求函数的定义域. 9、求实际问题中函数的定义域 不仅要考虑解析式有意义，还要保证满足实际意义 三、函数的定义域的表示 函数的定义域必须用集合表示，不能用不等式表示.函数的定义域也可以用区间表示，因为区间实际上 是集合的一种特殊表示形式 四、求函数的定义域常用的方法有直接法、求交法、抽象复合法和实际法 五、函数的问题，必须遵循“定义域优先”的原则 研究函数的问题，不管是具体的函数，还是抽象的函数，不管是简单的函数，还是复杂的函数，必须 优先考虑函数的定义域?之所以要做到这一点，不仅是为了防止出现错误，有时还会为解题带来方便【方法讲评】 方法一直接法 使用情景函数的结构比较简单? 解题步骤直接列出不等式解答，不等式的解集就是函数的定义域 【例1】求函数y =-：j2x2- 5x「3的定义域? 【解析】由题得2乂+ 5尤一3二0 I)0c+3)乏0 所以函数的定义域为U|x>^或沐￡}. 【点评】对于类似例题的结构单一的函数，可以直接列出不等式再解答即得到函数的定义域 方法二求交法 使用情景函数是由一些函数四则运算得到的，即函数的形式为 f (x) = g(x) + h(x)型? 解题步骤 一般先分别求函数g(x)和h(x)的定义域A和B,再求A" B, A" B就是函数f (x)的定义域?【例2】求函数y = ?. 25-x2+log3cosx的定义域? 【反馈检测 【解析】由题得丿「2 25 -X2-0 COSX 0 ji 2k — x 2k- 2 Tt 十—z 2 3 兀 {x | -5 - x 或-—：：x 2 2 所以函数的定义域为{x| -5乞x 兀 3 或x 二5} 2 2 3 、、3 或x 或x二5} 2 2 2 2 1】求函数 复合函数的定义域-函数表达式的求法 个性化教学辅导教案 教案课题函数的单调性 教师姓名学生姓名××××上课日期2018.8.3 学科数学适用年级高一教材版本人教版A 学习目标1.掌握用定义法求函数的单调性 2.掌握函数最值的求法 重难点重点：函数的单调性及其几何意义，函数的最大（小）值及其几何意义. 难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性，利用函数的单调性求函数的最大（小）值. 课前检查作业完成情况：优□良□中□差□建议： 第5 讲复合函数的定义域函数表达式的求法 & 一.复合函数的定义域 1.复合函数的定义： 一般地：若)(u f y=，又)(x g u=，则函数)]([x g f y=叫x的复合函 数，其中)(u f y=叫外层函数，)(x g u=叫内层函数，简言之：复合函数就是：把一个函数中的自变量替换成另一个函数所得的新函数. 例如: 2 ()35,()1 f x x g x x =+=+； 复合函数(())f g x 即把()f x 里面的x 换成()g x ， 2 2(())3()53(1)538 f g x g x x x =+=++=+ 2.复合函数的定义域 函数))((x g f 的定义域还是指x 的取值范围，而不是)(x g 的取值范围. ① 已知)(x f 的定义域，求复合函数()][x g f 的定义域 由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若)(x f 的定义域为()b a x ,∈，求出)]([x g f 中b x g a <<)(的解x 的范围，即为)]([x g f 的定义域。 ② 已知复合函数()][x g f 的定义域，求)(x f 的定义域 方法是：若()][x g f 的定义域为()b a x ,∈，则由b x a <<确定)(x g 的范围即为)(x f 的定义域 ③ 已知复合函数[()]f g x 的定义域，求[()]f h x 的定义域 结合以上一、二两类定义域的求法，我们可以得到此类 【知识要点】 一、函数的定义域的定义 函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围. 二、求函数的定义域的主要依据 1、分式的分母不能为零. 2(2,)n x n k k N *=∈其中中0,x ≥奇次方根 (21,)n x n k k N *=+∈其中中，x R ∈. 3、指数函数x y a =的底数a 必须满足01,a a x R >≠∈且. 4、对数函数log a y x =的真数x 必须大于零，底数a 必须满足01a a >≠且. 5、零次幂的底数不能为零，即0x 中0x ≠. 6、正切函数tan y x =的定义域是{|,}2 x x k k z π π≠+∈. 7、复合函数的定义域的求法 （1）已知原函数()f x 的定义域为(,)a b ，求复合函数[()]f g x 的定义域：只需解不等式()a g x b <<，不等式的解集即为所求函数的定义域. （2）已知复合函数[()]f g x 的定义域为(,)a b ，求原函数()f x 的定义域：只需根据a x b <<求出函数 ()g x 的值域，即得原函数()f x 的定义域. 8、求函数()()y f x g x =+的定义域 一般先分别求函数()y f x =和函数()y g x =的定义域A 和B ，再求A B I ，则A B I 就是所求函数的定义域. 9、求实际问题中函数的定义域 不仅要考虑解析式有意义，还要保证满足实际意义. 三、函数的定义域的表示 函数的定义域必须用集合表示，不能用不等式表示.函数的定义域也可以用区间表示，因为区间实际上 是集合的一种特殊表示形式. 四、求函数的定义域常用的方法有直接法、求交法、抽象复合法和实际法. 五、函数的问题，必须遵循“定义域优先”的原则. 研究函数的问题，不管是具体的函数，还是抽象的函数，不管是简单的函数，还是复杂的函数，必须优先考虑函数的定义域.之所以要做到这一点，不仅是为了防止出现错误，有时还会为解题带来方便. 【方法讲评】 方法一直接法 使用情景函数的结构比较简单. 解题步骤直接列出不等式解答，不等式的解集就是函数的定义域. 【例1】求函数2 253 y x x =+-的定义域. 【点评】对于类似例题的结构单一的函数，可以直接列出不等式再解答即得到函数的定义域. 【反馈检测1】求函数 2 1 x y x + = + . 方法二求交法 使用情景函数是由一些函数四则运算得到的，即函数的形式为()()() f x g x h x =+型. 解题步骤 一般先分别求函数() g x和() h x的定义域A和B,再求A B I,A B I就是函数() f x的定义 域. 【例2】求函数2 25 y x =- 3 log cos x的定义域. 【解析】由题得 ?? ? ? ? ∈ + < < - ≤ ≤ - ∴ ? ? ? > ≥ - z k k x k x x x 2 2 2 2 5 5 cos 252 π π π π ∴}5 2 3 2 2 2 3 5 | {≤ < < < - - < ≤ -x x x xπ π π π或 或 所以函数的定义域为}5 2 3 2 2 2 3 5 | {≤ < < < - - < ≤ -x x x xπ π π π或 或 关于复合函数定义域的求解方法 若)(u f y =，又)(x g u =，且)(x g 值域与)(u f 定义域的交集不空，则函数)]([x g f y =叫的复合函数，其中)(u f y =叫外层函数，)(x g u =叫内层函数，简而言之，所谓复合函数就是由一些初等函数复合而成的函数。对于有关复合函数定义域问题我们可以分成以下几种类型。 一、已知的定义域，求复合函数()][x g f 的定义域 由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若的定义域为，求出中b x g a <<)(的解的范围，即为的定义域。 例1 已知)(x f 的定义域为]30(，，求定义域。 解 因为复合函数中内层函数值域必须包含于外层函数定义域中，即 ???≤≤->-+?≤+<13023202320222x x x x x x x x x ，或 即23-<≤-x 或10≤高中常见的四种函数的定义域求法
高中数学-函数定义域、值域求法总结
(完整版)1求函数定义域类型几方法(word版)
1求函数定义域类型几方法(word版)
(完整版)几种复合函数定义域的求法
高中函数定义域和值域的求法总结(十一种)
复合函数定义域的常见求法
函数的定义域及求法讲解
第01招函数的定义域常见求法
复合函数的定义域-函数表达式的求法
第01招 函数的定义域常见求法(新高考数学一轮复习资料)
关于复合函数定义域的求解方法
相关主题
文本预览