1.（15%）对矩阵形式的多元线性回归模型
21111122222211,,,1k k n n kn k n X X Y X X Y X X βεβεβε=+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
Y X βε
Y X βε （1）简述该模型满足的经典假设，并利用OLS 法求出该模型回归参数的估计量ˆβ
（用矩阵形式表示）；
（2）证明在经典假设下，OLS 估计量是无偏的，即ˆ()E =β
β； （3）在经典假设下，证明21ˆˆcov(,)()σ-'=β
βX X 。 2.（15%）根据某省1995年18个纺织企业的产值y （千元）、职工人数l （人）和资产数额k （千元）的资料，欲建立柯布—道格拉斯生产函数：i i i i y Al k e ε
αβ=。将此生产函数的两边取对数，可将其化为线性模型ln ln ln ln i i i i y A l k αβε=+++，记 1112221818
18ln 1ln ln ln ln 1ln ln ,,ln 1ln ln y l k A y l k y l k αβ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦Y X b ， 而且ln 194,ln 141,ln 195i i i y l k ===∑∑∑，2111'=Y Y ，
181411951411104152919515292122⎡⎤⎢⎥'=⎢⎥⎢⎥⎣⎦X X ，19415262114⎡⎤⎢⎥'=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
X Y ，()138.478.31 2.458.31 1.360.212.450.210.07---⎡⎤⎢⎥'=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦X X （1）用OLS 法对其参数向量b 进行估计。
（2）估计随机干扰项i ε的方差2σ，即求2
ˆσ。 （3）计算ˆ()Var α
、ˆ()Var β的估计值。 （4）计算线性模型的判定系数2R 、调整后的判定系数2R 和F 统计量。
（5）在显著性水平0.05下， 对α、β进行显著性t 检验（已知0.025(15) 2.13t =）。
（6）按此模型预测职工人数为1600人、资产数额为30000千元时的企业产值。
3.（10%）考察以下资料：国民生产总值Y ，货币供给M ，私人国内总投资I 以及政府公债的利率R ，根据这些资料设定两个模型：
0123110121t t t t t t t t
R M Y Y Y R ββββεααε-=++++⎧⎨=++⎩模型 012101222t t t t t
t t R M Y Y R I βββεαααε=+++⎧⎨=+++⎩模型 有人认为第2个模型的设定较为合理，你同意这一看吗？从模型识别性证明你的结论。
4.（10%）假定用阶数为2的Almon 多项式20
k i k k d i β==∑对分布滞后模型 01144t t t t t Y X X X u αβββ--=++++
进行估计。根据样本数据，用最小二乘法估计出多项式滞后模型为：
012ˆ21.50.30.510.1t t t t t
Y Z Z Z u =++-+ 其中，40i it t j j Z j X -==∑，0,1,2i =。试计算原模型的参数估计值。
5.（10%）假设在多元回归模型中，所有变量的样本标准差都相等，这时标准化系数的估计和一般的回归参数估计之间的关系是什么？试说明之。
6.（10%）对于模型12233i i i i Y X X βββε=+++，如果随机误差项i ε的方差会随着解释变量i X 值的变化而变化，即产生了异方差。
（1）请说明戈德菲尔德－匡特（Goldfeld-Quandt ）方法检验上述模型是否有异方差的具体步骤。
（2）假设异方差的形式为22var() i i X εσ=，请问如何进行修正，写出详细的修正过程。
7．（10%）针对回归模型
y t = β0 + β1x 1 t + β2 x 2 t + … + β k x k t + εt (t = 1, 2, …, n)
εt 具有一阶自回归形式εt = αεt-1 + v t ，其中t v 是零均值、无序列相关、同方差的随机变量。
若把εt 和εt-1看成两个变量，它们的相关系数为
12ˆn t t t ρεε-=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑ 试证明在大样本情况下，ˆα
的OLS 估计量等于ˆρ。 8.（15%）假设有部分调整模型*01t t t Y X ββε=++，这里*1(1)t t t Y Y Y δδ-=+-，Y 表示商品库存量，*Y 表示商品库存量的期望值（最佳库存量），X 表示商品实际销售量，t ε满足基本假定。
（1）将该模型转化为自回归模型。
（2）该模型中实际销售量对库存量的短期影响乘数和长期影响乘数分别是多少？
（3）如何对该模型进行一阶自相关检验？
9.（10%）某工业行业钢材消费量模型为：
ˆ21.8516.8640.4217
(1985~2003
)t
t t Y D G M =++样本期限为年年 其中t Y 为钢材消费量（万吨）；t GM 为该行业的总产值（亿元）；t D 为虚拟变量，反映的是某一项技改措施对钢材消费量的影响：
11985~19950()t D ⎧=⎨⎩年其他年份技改措施生效年份
其他有关的结果如下：
2R =0.9905 ∑=-n
t t t Y Y
12)(=6560
110.745() 4.3680.00134-**⎡⎤⎢⎥'=**⎢⎥⎢⎥**⎣⎦
X X （1）此模型是否有必要设置虚拟变量？
（2）设该行业总产值可用下述模型描述：
9760.04451.108792.9ˆ2=⨯+=R t M G t
（样本期：1981~1999年）
且1985的t=1。试求该行业2004年钢材平均消费的点预测值和95%置信度的区间预测。
10．（12%）详细论述二阶段最小二乘法的适用范围和基本步骤。
