等比数列基本题型汇总经典讲义

9 等比数列相关概念理解及等比数列的判断

已知某种细胞分裂一次，可得到两个新的细胞，而新的细胞每个分裂一次都

可得两个新细胞，显然，分裂第n 次，可得n

2个新细胞，写成数列为：

2,4,8,16，……，该数列还是等差数列吗？它有什么特点呢？

显然，它不是等差数列，该数列的任意后一项除以前一项为同一个常数. 例 判断下列数列是否为等比数列

（1）n

n n a )3()1(1--=， （2）3)2(--=n n a ，

（3)

n n n a 2⨯= , (4) 1-=n a .

解： （1）为常数3)3()1()3()1(11

1-=--=-++n n n n n

n a a ，为等比数列}{a n ∴.

(2)为常数2)2()2(32

1-=--=--+n n n

n a a ,为等比数列}{a n ∴.

(3)不为常数n n n a a n n n

n 12221)(n 11+=⨯⨯+=++ ,不为等比数列}{a n ∴. (4)1111=--=+n

n a a 为常数，为等比数列}{a n ∴.

总结：判断或证明数列}{a n 是否是等比数列，可以求出n

n a a 1

+，再判断其是

否为常数.如果是常数，是等比数列，如果不是常数，则不是等比数列.

思考：数列，判断下列数列是等比为项数相等的等比数列}{},{n n b a

（1）}b {a n n （2）}{2n a （3）}{1+n n a a (4)}{n ka

(5)}{n n b a + (6)}{1++n n a a (7)}1

{n

a

(8)}{

n n

b a

(9) }2{+n a (10) }{2+n a

解：（1），（2），（3），（7），（8），（10）是等比数列，（4），（5），（6），（9）不是等比数列，其中（4）中，若0=k ，则不是等比数列，若0≠k ，则是等比数列.

例 求等比中项

（1）1-313与+的等比中项为2)13(1

3±=-+±）（. （2）

)0,0(2

24224≠≠++b a b a b b a a 与的等比中项为 )())((33224224ab b a b a b b a a +±=++±.

10. 等比数列通项公式问题

数列}{a n 是等比数列，则有1

1221---====n n n n q a q a q a a .

例 在等比数列}{a n 中，求下列问题

（1）74a ,3,27求-==q a ， （2）q a a 及求142a ,8,18==.

（3） q a a a a 及求12415,6,15a =-=-.

解：（1）13341)3)(1(,1)

3(27

---=∴-=-==

n n a q a a ，7297-=∴a . （2） ⎩⎨⎧====②8①

18314

12q a a q a a

②÷①得94

2

=

q

∴,32±=q 当,27a ①321-==得时，代入q .27a ①3

2

1=-=得时，代入q （2）⎪⎩

⎪⎨⎧=-=-②6①

15a 13114

1q a q a a q 由题可得 ②÷①得1561)1)(1()1(1222243=+=-+-=--q q q q q q q q q 221

,66152==+=∴q q q q 或解得，当16211==a q 时，；当121==a q 时，.

总结:等比数列}{n a 中，1

11,,,a -=n n n q a a a n q 之间有方程，利用该方程，可

以知三求一，又由于q 的次数较高，所以经常使用除法将其次数降低.

11等比数列的性质

若}{a n 为等比数列，公比为q,则有以下性质成立（1）m

n m n q a a -=.

（2）

n m l k a a a a n m l k N n m l k =⇔+=+∈.,,,,*且若.

例 在等比数列}{a n 中，已知128,5128374=+-=a a a a ，且公比为整数，求

10a .

解：5128374-==a a a a ，⎩⎨⎧=+-==∴128512

837483a a a a a a

解

得

)(4128

1284a 8

383舍去或⎩⎨⎧-==⎩⎨

⎧=-=a a a ，

25

3

8

-==∴a a q ，

5127310-==∴q a a .

思考：在各项为正数的等比数列}{a n 中，若

?log log log log ,9a 333231365=++++=n a a a a a 则

12 等比数列前n 项和问题

由古印度象棋发明者提出的一个“简单”要求说起，际象棋起源于古代印度，相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他想要什么，发明者说：“请在棋盘的第一个格子里放上1颗麦粒，第二个格子里放上2颗麦粒，第三个格子里放上4颗麦粒，依次类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子”，国王觉得这个要求不高，

就答应了，而通过计算可得：1964632221084.11-22421⨯>=++++ （超

过7000亿吨），而目前世界年度小麦产量约6亿吨.那么上面这一等比数

列的和是怎么算出的呢？

一般地，对等比数列n n a a a a S ++++= 321 ①

n n n n n a a a q a q a q a q a S +++=++++=--132121a q ②

①-②得 （1-q ）n

n n q a a q a a S 111-=-=

当;1q 1na S n ==时，显然有当q q a S q n n --=≠1)

1(11时，.

总结：上述求等比数列和的方法称之为错位相减法. 例 已知}{a n 为等比数列，求解下列问题 （1）n S n q a 求,6,2,31===.

n a S S 求）（,126,14263==.

(3)15,44,2q a S 求=-=.