三年级数学思维训练（逆推法）
姓名等级
例题 1:一个数减去8，乘以4，除以5，在加上3，结果是27。这个数是多少？
例题2：老爷爷说：“把我的年龄加上20，再用4除，然后减去15，再乘以10，恰好是100岁。”这位老爷爷现在有多少岁？
例题3：A、B、C三个共有图书150本，乙向甲借3本后，又送给丙5本，结果三个人图书数相等。问A、B、C三人原来各有多少本图书？
例题 4：有一袋糖果，拿出它的一半多3个分给小班的小朋友；将剩下的一半分给中班的小朋友，还剩10个。这袋糖果原来有糖多少个？
例题5：做一道整数加法题时，小强把一加数个位上的6看作9，把十位上的8看作3，结果得出和为123，问正确的答案应该是多少？
练习：1、一个数加上8，乘以8，减去8，除以8，结果还是8，这个数是多少？
2、一条毛毛虫由幼虫长到成虫，每天长一倍，16天能长到16厘米。问它几天可以长到4厘米？
4、甲、乙、丙3 人共有120枚邮票，甲给乙13枚，乙给丙18枚，这时他们邮票同样多，甲、乙、丙原来各多少枚邮票？
5、小丽在做一道加法计算题时，把个位数的4 看作7，十位上的8看作2，结果和是306，正确的答案应该是多少？
6、电器商场出售彩色电视机，上午售出总数的一半多20台，下午售出剩下的一半，还剩50台。店里原有彩色电视机多少台？
7、一捆电线，第一次用去全长的一半，第二次用去余下的一半少10米，第三次用去30米，这捆电线原有多少米？
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用 倒 推 法 解 题 【知识与方法】： 倒推法，即从后面的已知条件（结果）入手，逐步向前一步一步地推算，最后得出所需要的结论。这种方法对于解答一些分数应用题同样适用。 【例题精讲】 例题1：有一条铁丝，第一次剪下它的12 又1米；第二次剪下剩下的13 又1米；此时还剩下15米。这条铁丝原来长多少米 模仿练习1：一堆水泥，第一次用去它的12 又3吨，第二次用剩下水泥的13 又3吨，第三次又用去第二次余下的14 又3吨，这时这堆水泥正好剩下3吨。这堆水泥原来有多少吨
例2：甲、乙两仓库各存粮若干，先将乙仓库中存粮的15 运到甲仓库，再将甲仓库此时存粮的14 运到乙仓库，这时甲仓库有粮食600吨，乙仓库有粮食720吨。那么，原来甲仓库和乙仓库中各存粮多少吨 模仿练习2：三只猴子分一筐桃，第一只猴子分得全部桃子的27 多12个，第二只分到余下的23 少4个，第三只分到20个。这筐桃子共有多少个（竞赛决赛试题） 例3：李老师在黑板上写了若干个从1开始的连续自然数1、2、3、……。后来擦掉其中一个，剩下的数的平均数是。那么，被擦掉的那个自然数是多少 模仿练习3：☆黑板上写着从1开始的若干个连续自然数，擦去其中 的一个后。其余各数的平均数是35517 。擦去的数是多少（奥赛初赛
A卷试题） 例4：有一种细胞，每秒钟分裂成2个，两秒钟可分裂成4个，3秒钟可分裂成8个…在瓶中开始放进1个这样的细胞，刚好1分钟后就 1，充满整个瓶。如果一开始就放进8个这样的细胞，要充满整个瓶的 4 需要多少秒 模仿练习4：一种微生物，每小时可增加一倍，现在有一批这样的微生物，10小时可增加到100万个。那么增加到25万个需要多少小时 【巩固与提高】 1、小明今年的岁数加上10后，再扩大5倍，然后减去5，再缩小5倍，刚好是20岁。小明今年多少岁
小学四年级奥数知识点 1．和差倍问题 和差问题和倍问题差倍问题 几个数的和与差几个数的和与倍数几个数的差与倍数 公式适用范围已知两个数的和，差，倍数关系 公式① (和－差)÷2=较小数较小数＋差=较大数和－较小数=较大数公式② (和＋差)÷2=较大数较大数－差=较小数和－较大数=较小数和÷(倍数＋1)=小数 小数×倍数=大数 和－小数=大数 差÷(倍数-1)=小数 小数×倍数=大数 小数＋差=大数 关键问题求出同一条件下的和与差和与倍数差与倍数 2．年龄问题的三个基本特征： ①两个人的年龄差是不变的； ②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的； ③两个人的年龄的倍数是发生变化的； 3．归一问题的基本特点：问题中有一个不变的量，一般是那个“单一量”，题目一般用“照这样的速度”……等词语来表示。 关键问题：根据题目中的条件确定并求出单一量； 4．植树问题 基本类型基本公式 在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都植树棵数=段数＋1 在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都不植树棵距×段数=总长棵数=段数－1 在直线或者不封闭的曲线上植树，只有一端植树棵距×段数=总长棵数=段数 封闭曲线上植树棵距×段数=总长 关键问题确定所属类型，从而确定棵数与段数的关系 5．鸡兔同笼问题 基本概念：鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来； 基本思路：①假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）： ②假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少； ③每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因； ④再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。 基本公式： ①把所有鸡假设成兔子：鸡数＝（兔脚数×总头数－总脚数）÷（兔脚数－鸡脚数） ②把所有兔子假设成鸡：兔数＝（总脚数一鸡脚数×总头数）÷（兔脚数一鸡脚数） 关键问题：找出总量的差与单位量的差。
十九 逆推法（A ） 年级 班 姓名 得分 一、填空题 1. 已知：[135÷(11+O -141 2 )-1÷7]611?=1.则○=_____. 2. 已知:x 151********+++++ =718501,则x =_____. 3. 将某数的3倍减5,计算出答案,将答案再3倍后减5,计算出答案,这样反复经过4次,最后计算的结果为691,那么原数是_____. 4. 小玲问一老爷爷今年多大年龄,老爷爷说：“把我的年龄加上17后用4除,再减去15后用10乘,恰好是100岁”那么,这位老爷爷今年_____岁. 5. 李老师拿着一批书送给36位同学,每到一位同学家里,李老师就将所有的书的一半给他,每位同学也都还她一本,最后李老师还剩下2本书,那么李教师原来拿了_____本书. 6. 从某天起,池塘水面上的浮草,每天增加一倍,50天后整个池塘长满了浮 草,第_____天时浮萍所占面积是池塘的4 1. 7. 一只猴子摘了一堆桃子,第一天它吃了这堆桃子的七分之一,第二天它吃了余下桃子的六分之一,第三天它吃了余下桃子的五分之一,第四天它吃了余下桃子的四分之一,第五天它吃了余下桃子的三分之一,第六天它吃了余下桃子的二分之一,这时还剩12只桃子,那么第一天和第二天猴子所吃桃子的总数是_____. 8. 某孩子付一角钱进入第一家商店,他在店里花了剩余的钱的一半,走出商店时,又付了一角钱.之后,他又付一角钱进入第二家商店,在这里他花了剩余的钱的一半,走出商店时又付了一角钱,接着他又用同样的方式进入第三和第四家商店.当他离开第四家商店后,这时他身上只剩下一角钱.那么他进入第一家商店之前身上有_____钱. 9. 有甲、乙两箱糖果,如果第一次从甲箱拿出和乙箱同样多块糖果放到乙箱里,第二次从乙箱拿出和甲箱剩下的同样多块糖果放入甲箱,这样拿4次后,甲、乙两箱糖果都是16块.甲、乙两箱各有糖果_____块. 10. 甲、乙、丙三人的钱数各不相同,甲最多,他拿出一些给乙和丙,使乙和丙的钱数都比原来增加了两倍,结果乙的最多；乙拿出一些给甲和丙,使甲和丙的钱数都比原来增加了两倍,结果丙的最多;丙又拿出一些给甲和乙,使他们的钱数各增加两倍,结果三人的钱数一样多.如果他们三人共有81元,则三人原有的钱
第12讲倒推法解题讲义 专题简析 倒推法解题是从最后的结果出发，运用加和减、乘和除之间的互逆关系，从后往前一步一步地推算，直到找到最初的数据，这种方法又常被称为“还原法”。适合用倒推法解题的数学问题常满足以下条件：已知最后的结果和到达最后结果时的每一步具体的过程。 例1、筑路队修一段路，第一天修了全长的又100米，第二天修了余下的，还剩500米。这段公路全长多少米? 练习：1、一堆煤，上午运走，下午运的比余下的还多6吨，最后剩下14吨还没有运走。这堆煤原有多少吨? 2、用拖拉机耕一块地，第一天耕了这块地的又2公顷，第二天耕的比余下的多3公顷，还剩下35公顷没有耕。这块地共有多少公顷? 3、一批水泥，第一天用去多1吨，第二天用去余下的少2吨，还剩下16吨。原来这批水泥有多少吨?
例2、王大伯屋后有一棵桃树。他孙子每天从树上摘下一些桃子和邻居的小伙伴分着吃，第一天摘下桃子总个数的合，以后8天分别摘下当天树上现有桃子的、、、…、，摘了9天，树上还留下10个桃子。树上原来有多少个桃子? 练习：1、把一根绳子对半剪开，再取其中一段对半剪开，这样剪了四次，剩下的正好是1米。这根绳子原来长多少米? 2、《九章算术》中有一道题:“今有人持米出三关，外关三而取一，中关五而取一，内关七而取一，余米五斗。问持米几何?”题意是：有人背米过关卡，经过外关时，用全部米的纳税，过中关时用所余米的纳税，经过内关时用再余米的纳税，最后还剩下5斗米。这个人原来背多少斗米出关? 3、仓库里存粮若干吨，第一次运出总数的又4吨，第二次运出余下的又3吨，第三次运出余下的又5吨，最后还剩下12吨。这个仓库原有粮食多少吨?
小学四年级奥数知识点总复习 1.常用特殊数的乘积 25×4＝100 125×8＝1000625×16＝10000 25×8＝200 125×4＝500 125×3＝375 7×11×13＝1001 37×3=111 2.加减法运算性质： 同级运算时，如果交换数的位置，应注意符号搬家。加、去括号时要注意以下几点：括号前面是加号，去掉括号不变号；加号后面添括号，括号里面不变号；括号前面是减号，去掉括号要变号；减号后面添括号，括号里面要变号。 100+（21+58）=100+21+ 58 100-（21+58）=100-21- 58 3.乘除法运算性质 乘法中性质：（1）乘法交换律（2）乘法结合律（3）乘法分配律（4）乘法性质（5）积的变化规律：一扩一缩法。 除法中性质：当被除数为几个数字之和或者差时才可以用除法分配律。积的变化规律：同扩同缩法。同级运算时，如果有交换数的位置，应该注意符号搬家。加、去括号时注意以下几点：括号前面是乘号，去掉或加上括号不变号；括号前面是除号，去掉或加上括号要变号。 100×（4×5）=100×4×5 100÷（4÷5）=100÷4÷5 4.最大最小 1、解答最大最小的问题，可以进行枚举比较。在有限的情况下，通过计算，将所有情况的结果列举出来，然后比较出最大值或最小值。 2、运用规律。（1）两个数的和一定，则它们的差越接近，乘积越大；当它们相等（差为0）时，乘积最大。 3、考虑极端情况。如“连接两点间的线段最短”、“作对称点”、“联系实际考虑问题”等。 5.比较大小 估算最常用的技巧是“放大缩小”，即先对某个数或算式进行适当的“放大”或“缩小”，确定它的取值范围，再根据其他条件得出结果，调整放缩幅度的方法有两条：一是分组（分段），并尽可能使每组所对应的标准相同；另一种方法是按近似数乘除法计算法则，比要求的精确度多保留一位，进行计算。 6.平均数
十九 逆推法(B) 年级 班 姓名 得分 一、填空题 1. 已知等式-?(19.9825193□725?)?(0.7+3 15)=0, 式中□所表示的数是_____. 2. 已知等式 [1431-( 3.78-□721÷)?321]24 143.2=÷,式中□内应填的数是_____. 3. 满足下面等式的方格中的数等于_____. 4.53)3 22(4 1.475310.7521245721281=?-?+÷?-+ 4. 某数加上6,乘以6,减去6,除以6,其结果等于6,则这个数是_____. 5. 一辆卡车以每小时65千米的速度在公路上行驶,距离它后面5千米处有一辆小轿车以第小时80千米的速度同向行驶.不一会,小轿车追上了卡车.在追上之前1分钟时两车相距_____米. 6. 小明每分钟吹一次肥皂泡,每次恰好吹出100个.肥皂泡吹出之后,经过一分钟有一半破了,经过两分钟后还有二十分之一没有破,经过两分半钟肥皂泡全部破了.小明在第20次吹出100个新的肥皂泡的时候,没有破的肥皂泡共有_____个. 7. 一只猴子偷吃一棵桃树上的桃子.第一天偷吃了10 1,以后八天分别偷吃了当天现有桃子的,71,81,91…，,2 1,31最后树上还剩下10个桃子.树上原桃子_____个. 8. 小明和小聪共有小球200个,如果小明取出11 1给小聪,然后小聪又从现有球中取出11 1给小明,这时小明和小聪的小球一样多.原来小明和小聪依次有小球_____个. 9. 三堆苹果共48个.先从第一堆中拿出与第二堆个数相等的苹果并入第二堆；再从第二堆中拿出与第三堆个数相等的苹果并入第三堆；最后又从第三堆中拿出与这时第一堆个数相等的苹果并入第一堆.这时,三堆苹果数恰好相等.原来第一、二、三堆苹果依次有_____个. 10. 有甲、乙、丙三个油桶,各盛油若干千克.先将甲桶油倒入乙、丙两桶,使它们各增加原有油的一倍；再将乙桶油倒入丙、甲两桶,使它们的油各增加一倍；最后按同样的规律将丙桶油倒入甲、乙两桶.这时,各桶油都是16千克.甲桶原有油_____千克,乙桶原有油_____千克,丙桶原有油_____千克.
六年级奥数专题讲义：倒推法解题 一、知识要点 有些应用题如果按照一般方法,顺着题目的条件一步一步地列出算式求解,过程比较繁琐。所以,解题时,我们可以从最后的结果出发,运用加与减、乘与除之间的互逆关系,从后到前一步一步地推算,这种思考问题的方法叫倒推法。 二、精讲精练 【例题1】一本文艺书,小明第一天看了全书的1/3,第二天看了余下的3/5,还剩下48页,这本书共有多少页？ 【思路导航】从“剩下48页”入手倒着往前推,它占余下的1－3/5＝2/5。第一天看后还剩下48÷2/5＝120页,这120页占全书的1－1/3＝2/3,这本书共有120÷2/3＝180页。即48÷（1－3/5）÷（1－1/3）＝180（页） 答：这本书共有180页。 练习1： １．某班少先队员参加劳动,其中3/7的人打扫礼堂,剩下队员中的5/8打扫操场,还剩12人打扫教室,这个班共有多少名少先队员？ ２．一辆汽车从甲地出发,第一天走了全程的3/8,第二天走了余下的2/3,第三天走了250千米到达乙地。甲、乙两地间的路程是多少千米？ ３．把一堆苹果分给四个人,甲拿走了其中的1/6,乙拿走了余下的2/5,丙拿走这时所剩的3/4,丁拿走最后剩下的15个,这堆苹果共有多少个？ 【例题2】筑路队修一段路,第一天修了全长的1/5又100米,第二天修了余下的2/7 ,还剩500米,这段公路全长多少米？ 【思路导航】从“还剩500米”入手倒着往前推,它占余下的1－2/7＝5/7,第一天修后还剩500÷5/7＝700米,如果第一天正好修全长的1/5,还余下700+100＝800米,这800米占全长的1－1/5＝4/5,这段路全长800÷4/5＝1000米。列式为： 【500÷（1－2/7）+100】÷（1－1/5）＝1000米 答：这段公路全长1000米。 练习2： １．一堆煤,上午运走2/7,下午运的比余下的1/3还多6吨,最后剩下14吨还没有运走,这堆煤原有多少吨？ ２．用拖拉机耕一块地,第一天耕了这块地的1/3又2公顷,第二天耕的比余下的1/2多3
课题倒推法的妙用 教学目标 本节要求掌握倒推法解题的一般方法，明白倒推法是一种逆向思维，主要要在思维方式上得到新的启迪 教学重难点 重点是如何理解倒推法是一种逆运算，逆向思维 难点是那这种思维用到自己解题中去，发散解题思路 教学过程 一、本讲知识点 在分析应用题的过程中，倒推法是一种常用的思考方法.这种方法是从所叙述应用题或文字题的结果出发，利用已知条件一步一步倒着分析、推理，直到解决问题. 用倒推法解题时要注意： ①从结果出发，逐步向前一步一步推理. ②在向前推理的过程中，每一步运算都是原来运算的逆运算. ③列式时注意运算顺序，正确使用括号. 二、教学方法 讲练结合. 三、具体安排 【经典例题】 例1 一次数学考试后，李军问于昆数学考试得多少分.于昆说：“用我得的分数减去8加上10，再除以7，最后乘以4，得56.”小朋友，你知道于昆得多少分吗？ 分析这道题如果顺推思考，比较麻烦，很难理出头绪来.如果用倒推法进行分析，就像剥卷心菜一样层层深入，直到解决问题. 如果把于昆的叙述过程编成一道文字题：一个数减去8，加上10，再除以7，
乘以4，结果是56.求这个数是多少？把一个数用□来表示，根据题目已知条件可得到这样的等式： ｛［（□－8）＋10］÷7｝×4＝56. 如何求出□中的数呢？我们可以从结果56出发倒推回去.因为56是乘以4后得到的，而乘以4之前是56÷4＝14.14是除以7后得到的，除以7之前是14×7＝98.98是加10后得到的，加10以前是98-10＝88.88是减8以后得到的，减8以前是88＋8＝96.这样倒推使问题得解. 解：｛［（□－8）＋10］÷7｝×4＝56 ［（□－8）＋10]÷7＝56÷4 答：于昆这次数学考试成绩是96分. 例2 小玲问一老爷爷今年多大年龄,老爷爷说：“把我的年龄加上17后用4除,再减去15后用10乘,恰好是100岁”那么,这位老爷爷今年_____岁. 分析｛［（□ + 17）÷4］- 15｝×10 ＝ 100 采用逆推法,易知老爷爷的年龄为(100÷10+15) ×4-17=83(岁) 【尝试实践1】 1、某数加上6,乘以6,减去6,除以6,其结果等于6,则这个数是_____. 2、某数除以4，乘以5，再除以6，结果是615，求某数. 3、将某数的3倍减5,计算出答案,将答案再3倍后减5,计算出答案,这样反复经过4次,最后计算的结果为691,那么原数是_____.
逆推法 有些数学问题顺向思考很难解答，这时如果能从反向进行思考，有时能化难为易，很快找到解题途径。其思考的方法是从问题或结果出发，一步一步倒着推理，逐步靠拢已知条件，直到问题的解决。 （一）思路指导： 例1. 一种细菌，1小时增长1倍，现在有一批这样的细菌，10小时可增长到400万个，问增长到100万个需要多少小时？ 思路分析：因为细菌每小时增长1倍。10小时增长到400万个，那么9小时就增长到400万个的一半，即9小时增长到200万个，8小时增长到100万个。 算式：100118-+=()（小时） 答：增长到100万个时需要8小时。 例2. 四个小朋友共有课外读物120本，甲给了乙3本，乙给了丙4本，丙给了丁5本，丁给了甲6本，这时他们四个人课外读物的本数相等。他们原来各有课外书多少本？ 思路分析： 学习奥数的优点 1、激发学生对数学学习的兴趣，更容易让学生体验成功，树立自信。 2、训练学生良好的数学思维习惯和思维品质。要使经过奥数训练的学生，思维更捷，考虑问题比别人更深层次。 3、锻炼学生优良的意志品质。可以培养持之以恒的耐心和克服困难的信心， 以及战胜难题的勇气。可以养成坚韧不拔的毅力 4、获得扎实的数学基本功，发挥创新精神和创造力的最大空间。
四个人互相给，总本数仍然是120本，那么每人应有120430÷=（本），然后各自把给别人的本数拿回来，再把别人给自己的本数退回去，就得到原有的本数。 算式：120430÷=（本） 丁原有的本数：306531+-=（本） 丙原有的本数：305431+-=（本） 乙原有的本数：304331+-=（本） 甲原有的本数：303627+-=（本） 答：甲、乙、丙、丁四人原来各有书27本、31本、31本、31本。 例3. 粮仓里存大米若干袋，第一天卖出的比存米的一半少8袋，第二天又卖出剩余米的一半，这时粮仓里还存米32袋，这个粮仓原存大米多少袋？ 思路分析：根据粮仓里最后还有32袋，一步一步地求出粮仓原存大米多少袋。根据第二天又卖出剩余米的一半后还剩32袋，可以求出第一天卖出后粮仓里存有2个32袋（即64袋），根据第一天卖出原存大米的一半少8袋可知，第一天卖后剩下的是原存大米的一半多8袋，原存大米的一半多8袋是64袋，可以求出原存大米是()6482112-?=（袋） 列式：()32282112?-?=（袋） 答：粮仓里原有存米112袋。 例4. 有甲、乙两个港口，各停小船若干只，如果按下面的规则移动船只：第一次从甲港开出和乙港同样多的船只到乙港，第二次从乙港开出和甲港剩下的同样多的船只到甲港，那么照这样移动四次后，甲乙两港所停的小船只数都是48只，甲乙两港最初各有小船多少只？ 思路分析： 第四次从乙港开出船只到甲港后，两港各有船48只，那么在乙港船只移动前，甲港所停的船只数应是48224÷=只，乙港所停船的只数应是482472+=只。这是第四次移动船只前的情况。依照这个逆推的过程，可以逆推出每次移动前的情况，直到推出甲乙两港最初停有船的只数。 列式：（1）第四次移动前： 甲港：48224÷=（只） 乙港：482472+=（只） （2）第三次移动前： 乙港：72236÷=（只） 甲港：243660+=（只） （3）第二次移动前：
五年级奥数讲义：倒推法解题 在我们生活中经常会遇到“还原问题”，如把一盒包装精美的玩具打开，再把它重新包装好，重新包装的步骤与打开的步骤正好相反.其实在数学中，也有许多类似的还原问题.解决这类问题最常用的方法就是倒推法，即从结果入手，逐步向前逆推，最终找到原问题的答案. 例题选讲 例1:有一群猴子分吃桃子，第一只拿走—半，第二只拿走余下的一半多3个，第三只拿走第二只取剩的一半少3个，第四只拿走第三只取剩的一半多3个，第五只拿走第四只取剩的一半，最后还剩3个，这堆桃原来有多少个? 【分析与艉答】l|这道题条件比较多，顺向思考很困难,如果根据最后的结果倒推还原，解决起来就轻松了.曲于第五只猴子拿走余下的一半，还剩3个，所以第五只猴子拿之前应该有桃子：3×2=6(个)，同理，第四只猴子拿之前应该有桃子：(6+3)×2=18(个)，第三只猴子拿之前应该有桃子：(18—3)×2=30(个)，第二只猴子拿之前应该有桃子：(30+3)×2=66(个)，第一只猴子拿之前应该有桃子：66×2=132(个)，即这堆桃有132个. 例2:甲、乙、丙三人各有若干元钱，甲拿出与乙相同多的钱给乙，也拿出与丙相同多的钱给丙；然后乙也按甲和雨手中的钱分别给甲、丙相同的钱；最后丙也按甲和乙手中的钱分别给甲、乙相同的钱，此时三人都有48元钱. 问：开始时三人各有多少元钱? 【分析与解答】从第三次丙给甲、乙钱逐步向前推算，根据三人最后都有48元，那么在丙给甲、乙添钱之前：甲：48÷2：24(元)， 乙：48÷2—24(元)， 丙：48+24+24—96(元)； 第二次在乙给甲、丙添钱之前： 甲：24÷2—12(元)， 乙：24+12+48===84(元)， 丙：96÷2=48(元)； 第一次在甲给乙、丙添钱之前： 甲：12+42+24—78(元)， 乙：84÷2=42(元)， 丙：48÷2=24(元). 所以开始时甲有78元，乙有42元，丙有24元. 例3:甲、乙、丙三人共有48张邮票，第一次甲先拿出与乙的邮票数相等的张数给乙；第三次
六年级奥数专项用倒推法解题精编W O R D版 IBM system office room 【A0816H-A0912AAAHH-GX8Q8-GNTHHJ8】
用倒推法解题 【知识与方法】： 倒推法，即从后面的已知条件（结果）入手，逐步向前一步一步地推算，最后得出所需要的结论。这种方法对于解答一些分数应用题同样适用。 【例题精讲】 例题1：有一条铁丝，第一次剪下它的1 2 又1米；第二次剪下剩下的 1 3 又1米；此时还剩下 15米。这条铁丝原来长多少米？ 模仿练习1：一堆水泥，第一次用去它的1 2 又3吨，第二次用剩下水泥的 1 3 又3吨，第三次 又用去第二次余下的1 4 又3吨，这时这堆水泥正好剩下3吨。这堆水泥原来有多少吨 例2：甲、乙两仓库各存粮若干，先将乙仓库中存粮的1 5 运到甲仓库，再将甲仓库此时存 粮的1 4 运到乙仓库，这时甲仓库有粮食600吨，乙仓库有粮食720吨。那么，原来甲仓库 和乙仓库中各存粮多少吨？
模仿练习2：三只猴子分一筐桃，第一只猴子分得全部桃子的2 7 多12个，第二只分到余下 的2 3 少4个，第三只分到20个。这筐桃子共有多少个（ 竞赛决赛试题） 例3：李老师在黑板上写了若干个从1开始的连续自然数1、2、3、……。后来擦掉其中一个，剩下的数的平均数是10.8。那么，被擦掉的那个自然数是多少？ 模仿练习3：☆黑板上写着从1开始的若干个连续自然数，擦去其中的一个后。其余各数 的平均数是355 17 。擦去的数是多少（ 奥赛初赛A卷试题） 例4：有一种细胞，每秒钟分裂成2个，两秒钟可分裂成4个，3秒钟可分裂成8个…在瓶中开始放进1个这样的细胞，刚好1分钟后就充满整个瓶。如果一开始就放进8个这样的细胞，要充满整个瓶的 4 1，需要多少秒？ 模仿练习4：一种微生物，每小时可增加一倍，现在有一批这样的微生物，10小时可增加到100万个。那么增加到25万个需要多少小时？
倒推法解题 考点、热点分析 有些应用题如果按照一般方法，顺着题目的条件一步一步地列出算式求解，过程比较繁琐。所以，解题时，我们可以从最后的结果出发，运用加与减、乘与除之间的互逆关系，从后到前一步一步地推算，这种思考问题的方法叫倒推法。 例题讲解 【例题1】一本文艺书，小明第一天看了全书的1/3，第二天看了余下的3/5，还剩下48页，这本书共有多少页？ 练习1： １．某班少先队员参加劳动，其中3/7的人打扫礼堂，剩下队员中的5/8打扫操场，还剩12人打扫教室，这个班共有多少名少先队员？ ２．一辆汽车从甲地出发，第一天走了全程的3/8，第二天走了余下的2/3，第三天走了250千米到达乙地。甲、乙两地间的路程是多少千米？
【例题2】筑路队修一段路，第一天修了全长的1/5又100米，第二天修了余下的2/7 ，还剩500米，这段公路全长多少米？ 练习2： １．一堆煤，上午运走2/7，下午运的比余下的1/3还多6吨，最后剩下14吨还没有运走，这堆煤原有多少吨？ ２．用拖拉机耕一块地，第一天耕了这块地的1/3又2公顷，第二天耕的比余下的1/2多3公顷，还剩下35公顷，这块地共有多少公顷？ 【例题3】有甲、乙两桶油，从甲桶中倒出1/3给乙桶后，又从乙桶中倒出1/5给甲桶，这时两桶油各有24千克，原来甲、乙两个桶中各有多少千克油？
练习3： １．小华拿出自己的画片的1/5给小强，小强再从自己现有的画片中拿出1/4给小华，这时两人各有画片12张，原来两人各有画片多少张？ ２．甲、乙两人各有人民币若干元，甲拿出1/5给乙后，乙又拿出1/4给甲，这时他们各有90元，他们原来各有多少元？ 【例题4】甲、乙、丙三人共有人民币168元，第一次甲拿出与乙相同的钱数给乙；第二次乙拿出与丙相同的钱数给丙；第三次丙拿出与这时甲相同的钱数给甲。这样，甲、乙、丙三人的钱数相等，原来甲比乙多多少元钱？ 练习4： １．甲、乙、丙三个班共有学生144人，先从甲班调出与乙班相同的人数给乙班，再从乙班调出与丙班相同的人数到丙班。再从丙班调出与这时甲班相同的人数给甲班，这样，甲、乙、丙三个班人数相等。原来甲班比乙班多多少人？
二年级逆序推理法 逆序推理法，也叫逆推法或倒推法。简单说，就是调过头来往回想。 例1 老师心中想了一个数，对他的学生说：“给这个数加上9，再取和的一半应是5。”他叫学生们把这个数算出来。你会算吗？ 解：用逆推法求解，就是这样想：因为老师想的数加上9后之和的一半是5，那么和就应是 5×2=10；再往前逆推，在没有加上9之前应是10-9=1，这就是老师心中想的数。 让我们再从另一种思路去想： 首先，把老师想的数用□代表，顺着题意列式应有： （□+9）÷2=5，我们可以叫它做顺序式。 然后，再把前面的逆推过程写成算式，就应有： 5×2-9=1，“1”就是方框所代表的数，所以把它写在方框里。我们可以把这个算式叫做逆序式。把两式进行对照比较（如下图如示）可见： ①顺序的运算结果（或最后结论）是逆序式的已知数据（或起始条件）； ②顺序式中除以2变为逆序式中乘以2； ③顺序式中加上9变为逆序式中减去9； ④顺序式中起始未知数变为逆序式中最后运算结果； 总之，逆序式恰为顺序式的逆运算。 这就是逆推法的由来和实质。 例2 某数加上6，乘以6，减去6，除以6，最后结果等于6。问这个数是几？ 解：依题意，写出顺序式，再接着写出逆序式，
[（某数+6）×6-6]÷6=6…顺序式 （6×6+6）÷6-6=某数…逆序式 经计算可知“某数”=1。 例3 小勇拿了妈妈给的零花钱去买东西。他先用这些钱的一半买了玩具，之后又买了1元5角钱的小人书，最后还剩下3角钱。你知道妈妈给小勇多少钱吗？ 解：可以这样倒着想：小勇最后剩下3角钱，在买书之前的钱应是3角+1元5角=1元8角。这个数目是他买玩具后剩下的，买玩具前的钱数应当是：1元8角×2=3元6角。这就是妈妈给他的钱数。 若画出下面的图就更清楚了。 例4 小亮拿着1包糖，遇见好朋友A，分给了他一半；过一会又遇见好朋友B，把剩下的糖的一半分给了他；后来又遇到了好朋友C，把这时手中所剩下的糖的一半又分给了C，这时他自己手里只有一块了。问在没有分给A以前，小亮那包糖有几块？ 解：采用逆推法--从最后结果往前倒着推算。小亮最后手里只剩下一块糖，这是分给C 一半后所剩的数，则知遇见C之前小亮有糖： 1×2=2（块）。 同理，遇到B之前有糖：2×2=4（块）。 遇到A之前有糖：4×2=8（块）。 即小亮未给小朋友前，那包糖应有8块。 例5 农妇卖蛋，第一次卖掉篮中的一半又1个，第二次又卖掉剩下的一半又1个，这时篮中还剩1个。问原来篮中有蛋几个？ 解：
标红：难点或常考 标蓝：基础 小学四年级奥数知识点总复习 1.常用特殊数的乘积 25×4＝100 125×8＝1000625×16＝10000 25×8＝200 125×4＝500 125×3＝375 7×11×13＝1001 37×3=111 2.加减法运算性质： 同级运算时，如果交换数的位置，应注意符号搬家。加、去括号时要注意以下几点：括号前面是加号，去掉括号不变号；加号后面添括号，括号里面不变号；括号前面是减号，去掉括号要变号；减号后面添括号，括号里面要变号。 100+（21+58）=100+21+ 58 100-（21+58）=100-21- 58 3.乘除法运算性质 乘法中性质：（1）乘法交换律（2）乘法结合律（3）乘法分配律（4）乘法性质（5）积的变化规律：一扩一缩法。 除法中性质：当被除数为几个数字之和或者差时才可以用除法分配律。积的变化规律：同扩同缩法。同级运算时，如果有交换数的位置，应该注意符号搬家。加、去括号时注意以下几点：括号前面是乘号，去掉或加上括号不变号；括号前面是除号，去掉或加上括号要变号。 100×（4×5）=100×4×5 100÷（4÷5）=100÷4÷5 4.最大最小 1、解答最大最小的问题，可以进行枚举比较。在有限的情况下，通过计算，将所有情况的结果列举出来，然后比较出最大值或最小值。 2、运用规律。（1）两个数的和一定，则它们的差越接近，乘积越大；当它们相等（差为0）时，乘积最大。 3、考虑极端情况。如“连接两点间的线段最短”、“作对称点”、“联系实际考虑问题”等。 5.比较大小 估算最常用的技巧是“放大缩小”，即先对某个数或算式进行适当的“放大”或“缩小”，确定它的取值范围，再根据其他条件得出结果，调整放缩幅度
EET国际教育三年级数学第十讲逆推问题 知识点，重点，难点 逆推问题还可称为还原问题，解答这类问题时，要根据题意的叙述顺序，有后向前逆推计算。逆推问题还被称为逆推法，主要包含一下两层意思。 1.要根据题意的叙述顺序，从最后一组数量关系逆推至第一组的数量关系，这就是逆推法中运算顺序的逆推含义。 2.原题相加，逆推用减；原题用减，逆推用加；原题相乘，逆推用除；原题用除，逆推用乘，这就是逆推法中计算方法的逆运算含义。 例1：某数如果先加上3，再乘以2，然后除以3，最后减去2，结果是10，问原数是多少？ 分析：我们用代替原数，则□经过一系列运算后是10，这一系列过程，我们可以用下图来表示： 图1 观察图1可以发现，从最后结果10往回推，第个横线上的数应该是10+2=12， 第个横线上的数是12×3=36，第个横线上的数应该是36÷2=18，则就是18－3=15. 例2：小明从家到学校去，先走了全场的一半后，又走了剩下路程的一半。这时离学校还有1千米，问小明家到学校共多少千米？ 分析：如图2，采用倒退的方法，可以发现1千米是第一次剩下路程的一半，所以第一次剩下的路程就是1×2=2（千米），而第一次剩下路程2千米又是全程长的一半，所以全程长为2×2=4（千米）。 图2 例3：做一道整数加法题时，一个同学把个位上的数6看是9，把十位上的数8看作3，结果得出和为123，问正确的和是多少？ 分析：学生把个位上的数6看是9，使和增加了9－6=3，把十位上的数8看作3，使和减少了80－30=50，将多增加的部分去掉，加上少加的部分，就能得出原来的和。 另外，根据题意可知原来的加数应为86，而这个学生误认为是39，所以只要将错误的和123减去错误的加数，得出原来的另一个加数，再重新加上正确的加数
六年级奥数专项用倒推 法解题 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】
用倒推法解题 【知识与方法】： 倒推法，即从后面的已知条件（结果）入手，逐步向前一步一步地推算，最后得出所需要的结论。这种方法对于解答一些分数应用题同样适用。 【例题精讲】 例题1：有一条铁丝，第一次剪下它的1 2 又1米；第二次剪下剩下的 1 3 又1米；此时还 剩下15米。这条铁丝原来长多少米 模仿练习1：一堆水泥，第一次用去它的1 2又3吨，第二次用剩下水泥的 1 3又3吨，第三 次又用去第二次余下的1 4又3吨，这时这堆水泥正好剩下3吨。这堆水泥原来有多少吨 例2：甲、乙两仓库各存粮若干，先将乙仓库中存粮的1 5运到甲仓库，再将甲仓库此时 存粮的1 4运到乙仓库，这时甲仓库有粮食600吨，乙仓库有粮食720吨。那么，原来甲 仓库和乙仓库中各存粮多少吨 模仿练习2：三只猴子分一筐桃，第一只猴子分得全部桃子的2 7多12个，第二只分到余 下的2 3少4个，第三只分到20个。这筐桃子共有多少个（竞赛决赛试题） 例3：李老师在黑板上写了若干个从1开始的连续自然数1、2、3、……。后来擦掉其中一个，剩下的数的平均数是。那么，被擦掉的那个自然数是多少 模仿练习3：☆黑板上写着从1开始的若干个连续自然数，擦去其中的一个后。其余各 数的平均数是355 17。擦去的数是多少（奥赛初赛A卷试题）
例4：有一种细胞，每秒钟分裂成2个，两秒钟可分裂成4个，3秒钟可分裂成8个…在瓶中开始放进1个这样的细胞，刚好1分钟后就充满整个瓶。如果一开始就放进8个这样的细胞，要充满整个瓶的4 1，需要多少秒 模仿练习4：一种微生物，每小时可增加一倍，现在有一批这样的微生物，10小时可增加到100万个。那么增加到25万个需要多少小时 【巩固与提高】 1、小明今年的岁数加上10后，再扩大5倍，然后减去5，再缩小5倍，刚好是20岁。小明今年多少岁 2、甲、乙、丙三个数，从甲数中取出17加到乙数，从乙数中取出19加到丙数，从丙数中取出15加到甲数，这时三个数都是153，甲数原来是多少 3、一只猴子摘了一堆桃子，第一天它吃了这堆桃子的17 ，第二天它吃了余下桃子的16 ，第三天它吃了余下桃子的15 ，第四天它吃了余下桃子的14 ，第五天它吃了余下桃子的13 ， 第六天它吃了余下桃子的12 ，这时还剩12只桃子，那么第一天和第二天猴子所吃桃子的 总数是多少（奥赛初赛试题） 4、学校将一批糖果发给甲、乙、丙、丁四个班。先将全部糖果的13 减去23 千克给甲班， 再把余下的14 加上12 千克给乙班，又把余下的一半给丙班，最后把剩余的一半加上12 千克 给丁班，这时学校还剩5千克。这批糖果有多少千克（邀请赛试题） 5、☆小明每分钟吹一次肥皂泡，每次恰好吹出100个。肥皂泡吹出之后，经过一分钟有一半破了，经过二分钟还有二十分之一没有破，经过两分半钟全部肥皂泡破了。小明
小学数学解题方法解题技 巧之逆推法 Newly compiled on November 23, 2020
小学数学解题方法解题技巧之逆推法 小朋友在玩“迷宫”游戏时，在纵横交错的道路中常常找不到出口。有些聪明的小朋友，反其道而行之，从出口倒回去找入口，然后再沿着自己走过的路返回来。由于从出口返回时，途径单一，很快就会找到入口，然后再由原路退回，走出“迷宫”自然就不难了。 解应用题也是这样，有些应用题用顺向推理的方法很难解答，如果从问题的结果出发，从后往前逐步推理，问题就很容易得到解决了。 这种从条件或问题反过去想而寻求解题途径的方法，叫做逆推法。 用逆推法解应用题列算式时，经常要根据加减互逆，乘除互逆的关系，把原题中的加用减算，减用加算；把原题中的乘用除算，除用乘算。 （一）从结果出发逐步逆推 例1一个数除以4，再乘以2，得16，求这个数。（适于四年级程度） 解：由最后再乘以2得16，可看出，在没乘以2之前的数是： 16÷2=8 在没除以4之前的数是： 8×4=32 答：这个数是32。 *例2 粮库存有一批大米，第一天运走450千克，第二天运进720千克，第三天又运走610千克，粮库现有大米1500千克。问粮库原来有大米多少千克（适于四年级程度）
解：由现有大米1500千克，第三天运走610千克，可以看出，在没运走610千克之前，粮库中有大米： 1500+610=2110（千克） 在没运进720千克之前，粮库里有大米： 2110-720=1390（千克） 在没运走450千克之前，粮库里有大米： 1390+450=1840（千克） 答：粮库里原来有大米1840千克。 *例3 某数加上9后，再乘以9，然后减去9，最后再除以9，得9。问这个数原来是多少（适于四年级程度） 解：由最后除以9，得9，看得出在除以9之前的数是： 9×9=81 在减去9之前的数是： 81+9=90 在乘以9之前的数是： 90÷9=10 在加上9之前，原来的数是： 10-9=1 答：这个数原来是1。
四年级奥数：还原问题 还原问题是指题目给出的是一个数经过某些变化后的结果，要求原来的数的问题.解答这一类的问题时，要根据题意，从所给的结果出发，抓住逆运算关系，由后向前一步步逆推（倒推法、还原法），做相反的运算，逐步靠拢已知条件，直到问题得到解决.在解答还原问题时，如果列综合算式，要注意括号的正确使用. 典型例题 例【1】三（1）班小图书箱第一天借出了存书的一半，第2天又借出43本，还剩32本.小图书箱原有图书多少本？ 分析经过两天借出图书，小图书最后还剩32本书.由此可以往前推算：第2天没借出43本前（也就是第1天借出图书后），应有（32＋43）本书，再根据“第1天借出了存书的一半”，可推算出这75本书也就是第1天借出后的另一半，即相当于第1天借出的本数.这样，小图书箱原有的图书本数可求得. 解第1天借书后还剩的本数：32＋43＝75（本） 原有图书的本数：75×2＝150（本） 综合算式：（32＋43）×2＝150（本） 答：小图书箱原有图书150本. 例【2】某数加上5，乘以5，减去5，除以5，其结果等于5.求这个数. 分析从后往前推，原来是加法，推回去是减法；原来是减法，推回去是加法；原来是乘法，推回去是除法；原来是除法，推回去是乘法.从最后一步推起，“除以5，其结果等于5”可以求出被除数：5×5＝30；再看倒数第2步，“减去5”得25，可以求出被减数：25＋5＝30；然后看倒数第3步，“乘以5”得30，可以求出被乘数：30÷5＝6；最后看第1步，“某数加上5”得6，某数为6－5＝1. 解 5×5＝25 25＋5＝30 30÷5＝6 6－5＝1 答：所求的数为1.
第十二周倒推法解题 专题简析： 有些应用题如果按照一般方法，顺着题目的条件一步一步地列出算式求解，过程比较繁琐。所以，解题时，我们可以从最后的结果出发，运用加与减、乘与除之间的互逆关系, 从后到前一步一步地推算，这种思考问题的方法叫倒推法。 例题1。 1 3 一本文艺书，小明第一天看了全书的3，第二天看了余下的5，还剩下48页，这本书 共有多少页？ 3 2 【思路导航】从“剩下48页”入手倒着往前推，它占余下的 1 -3 = 2。第一天看后还剩 5 5 2 1 2 2 下48-5 = 120页，这120页占 全书的1-3 = 3，这本书共有120^3 = 180 页。即 3 1 = 48+( 1 —5 )*( 1-3)= 180 (页) 答：这本书共有180页。 练习1 3 5 1. 某班少先队员参加劳动，其中7的人打扫礼堂，剩下队员中的8打扫操场，还剩12 人打扫教室，这个班共有多少名少先队员？ 3 2 2. 一辆汽车从甲地出发，第一天走了全程的8，第二天走了余下的3，第三天走了250 千米到达乙地。甲、乙两地间的路程是多少千米？ 1 2 3. 把一堆苹果分给四个人，甲拿走了其中的6，乙拿走了余下的5，丙拿走这时所剩的 3 4，丁拿走最后剩下的15个，这堆苹果共有多少个？ 例题2。 1 2 筑路队修一段路，第一天修了全长的又100米，第二天修了余下的，还剩500米, 5 7 这段公路全长多少米？ 2 5 【思路导航】从“还剩500米”入手倒着往前推，它占余下的1-7 = 7，第一天修后还剩 5 1 500十7 = 700米，如果第一天正好修全长的5，还余下700+100 = 800米，这 1 4 4 800米占全长的1 - =-,这段路全长800 + = 1000米。列式为： 5 5 5 2 1 【500+( 1- ) +1001 + ( 1 - )= 1000 米 7 5
四年级奥数还原法解题 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】
第十三周还原法解题 还原问题也称逆运算问题，是指已知某个数经过加、减、乘、除等 运算后所得的结果，反求原数。解答这类问题，通常利用加与减、乘与 除互为逆运算的道理，根据题目叙述的顺序，从结果出发由后向前逆推 运算。 本周我们主要学习以下三种解题方法及对应的情况： （1）符号还原：有明显的四则运算关系，可以用流程图表示题 意； （2）线段图还原：同一个量的基础上增加或减少； （3）表格还原：多个总量之间相互交换。 符号还原 请在正确的结论后面打“√”，错误的结论后面打“×”： （1）□+6=8，□=8-6 （） （2）□-6=8，□=8-6 （） （3）□÷6=8，□=8×6 （） （4）□×2=8，□=8÷2 （） ☆用结果倒退求原数时要变号：“+”变“-”，“-”变“+”，“×” 变“÷”，“÷”变“×”。 例1.有一位老人说：“把我的年龄加上17用4除，再减去15后用10 乘，恰巧是100岁。”这位老人今年多少岁？ 解：图形思想： 换个角度想一想： 根据题目计算顺序画出这
（ 答：这位老人今年83岁。 方法总结：符号法倒退时，从结果入手，加号变减号，减号变加号，乘 号变除号，除号变乘号。 练习一 1、当当的爷爷今年的年龄减去15岁后，缩小4倍，再减去6之后，乘 以10，恰好是100岁。当当的爷爷今年多少岁（画出流程图） 2、小军问爸爸今年多少岁。爸爸说：“用我的年龄减去8，除以5，再 加上2，乘以4，正好是32岁。”请算一算，小军的爸爸今年多少岁？ 3、 3、小红、小丽、小敏三个人各有年历卡片若干张。如果小红给小丽13 张，小丽给小敏23张，小敏给小红3张，那么她们每人各有40张。原 来三个人各有年历卡片多少张？换个角度想一想： 一个流程图能不能将三种 不同的变化过程表示出来需要 画几个流程图呢
用 倒 推 法 解 题 【知识与方法】： 倒推法，即从后面的已知条件（结果）入手，逐步向前一步一步地推算，最后得出所需要的结论。这种方法对于解答一些分数应用题同样适用。 【例题精讲】 例题1：有一条铁丝，第一次剪下它的12 又1米；第二次剪下剩下的13 又1米；此时还剩下15米。这条铁丝原来长多少米？ 模仿练习1：一堆水泥，第一次用去它的12 又3吨，第二次用剩下水泥的13 又3吨，第三次又用去第二次余下的14 又3吨，这时这堆水泥正好剩下3吨。这堆水泥原来有多少吨？ 例2：甲、乙两仓库各存粮若干，先将乙仓库中存粮的15 运到甲仓库，再将甲仓库此时存粮的14 运到乙仓库，这时甲仓库有粮食600吨，乙仓库有粮食720吨。那么，原来甲仓库和乙仓库中各存粮多少吨？ 模仿练习2：三只猴子分一筐桃，第一只猴子分得全部桃子的27 多12个，第二只分到余下的23 少4个，第三只分到20个。这筐桃子共有多少个？（竞赛决赛试题） 例3：李老师在黑板上写了若干个从1开始的连续自然数1、2、3、……。后来擦掉其中一个，剩下的数的平均数是10.8。那么，被擦掉的那个自然数是多少？ 模仿练习3：☆黑板上写着从1开始的若干个连续自然数，擦去其中的一个后。其余各数的平均数是35517 。擦去的数是多少？（奥赛初赛A 卷试题） 例4：有一种细胞，每秒钟分裂成2个，两秒钟可分裂成4个，3秒钟可分裂成8个…在瓶中开始放进1个这样的细胞，刚好1分钟后就充满整个瓶。如果一开始就放进8个这样的细胞，要充满整个瓶的4 1，需要多少秒？ 模仿练习4：一种微生物，每小时可增加一倍，现在有一批这样的微生物，10小时可增加到100万个。那么增加到25万个需要多少小时？